Оценка погрешностей результатов измерений задание к практической 1.4

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Погрешности измерений и их типы
Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной
точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений,
физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения
и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности
измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой
величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно
сказать, что истинное значение его находится в интервале от t1  (t  0,2) с до t 2  (t  0,2) с. Таким
образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность X    X , где  и
X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина X
X
называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение E 
 100% ,

характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.
Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей
достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить
ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют
эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели
проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и
как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.
Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа –
систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.
Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов
(приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной
формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности
вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и
тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по
определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике
этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям
приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.
Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение
измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно.
Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком
Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением
температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и
не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства
органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся
и погрешности
обусловленные свойствами измеряемого объекта.
Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить
влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений.
Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет
смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений.
Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы
уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или
одного порядка с
погрешностью прибора.
Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись
отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как
соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены
1
путем
контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные
значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.
2. Оценка систематической (приборной) погрешности
При прямых измерениях значение измеряемой величины
отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора.
f (x)
Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления
шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической
погрешности считают равной половине цены деления шкалы
измерительного прибора.
Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими
величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего
разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает
x
значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна
 0,01 мВ.
Рис. 1
Систематические погрешности возникают и при использовании
постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной
половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается
величиной, равной 7,9∙103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна  0,05  103 кг/м3.
Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов
будут рассмотрены ниже.
При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений
функциональной величины y  f ( x1 , x2 ,..., xm ) используется формула
y 
f
m
 ( x x )
i 1
2
i
,
(1)
i
где xi - приборные ошибки прямых измерений величины xi ,
f
- частные производные функции по
xi
переменной xi .
В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении
объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид
d 2 h
.
V
4
Частные производные по переменным d и h будут равны
V dh
V d 2

,
,
(2)

d
2
h
4
Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении
объема цилиндра в соответствии с (2) имеет следующий вид
2
2

 dh   d
 2d   h 
V  
d   
h   V 
   ,
d
 2
  4

  h

где d и h приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра
2
2
2
3. Оценка случайной погрешности.
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый
нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих
2
эмпирических положений.
1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
2) при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака
встречаются одинаково часто,
3) чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.
График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой
имеет вид
x 2

1
2
(3)
f (x) 
 e 2 ,
 2
где f (x) - функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая
вероятность появления ошибки x , σ – средняя квадратичная ошибка.
Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия
измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют
дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше
точность измерений.
Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой
величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в
соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке
среднего арифметического S x . Величина которой определяется по формуле
n
Sx 
(x  x)
i 1
2
i
,
(4)
n(n  1)
где xi - результат i-го измерения; x - среднее арифметическое полученных значений; n – число
измерений.
Чем больше число измерений, тем меньше S x и тем больше оно приближается к σ. Если
истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в
результате измерений x , а случайная абсолютная погрешность x , то результат измерений запишется
в виде   x  x .
Интервал значений от x  x до x  x , в который попадает истинное значение измеряемой
величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку x является случайной величиной,
то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется
доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади
заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)
Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда S x близка к σ. Для
отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений,
с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение
вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины t , n , называемой
коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала x в долях средней
квадратичной ошибки среднего арифметического S x .
t ,n 
x
.
Sx
(5)
Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа
опытов n. С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению
Гаусса.
3
Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на
пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего
доверительной вероятности α
Таблица 1.
α
α
n
n
0,8
0,9
0,95
0,98
0,8
0,9
0,95
0,98
3
1,9
2,9
4,3
7,0
6
1,5
2,0
2,6
3,4
4
1,6
2,4
3,2
4,5
7
1,4
1,9
2,4
3,1
5
1,5
2,1
2,8
3,7
8
1,4
1,9
2,4
3,9
Пользуясь данными таблицы, можно:
1) определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;
2) выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.
При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения
функции y  f ( x1 , x2 ,..., xm ) вычисляют по формуле
Sy 
m
f
 ( x
i 1
S xi ) 2 .
(6)
i
Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае
прямых измерений.
Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.
Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее
квадратичное значение систематической и случайной погрешностей
(7)
  x  x 2  x 2 ,
где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.
В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.
Окончательный результат измерений рекомендуется представлять в следующем виде
α=…,
Е=…
(8)
  x   x ,
Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число
измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется
при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений n  10 рекомендуется
ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра
меньше 3. Например, если Δх= 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх=0,04, а если Δх=0,123, то пишем
Δх=0,12.
Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому
среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое
вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение
уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.
4. Методика расчета погрешностей измерений.
Погрешности прямых измерений
При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок
выполнение операций.
1. Проводятся измерения заданного физического параметра n раз в одинаковых условиях, и
результаты записываются в таблицу.
2. Если результаты некоторых измерений резко отличаются по своему значению от остальных
измерений, то они как промахи отбрасываются, если после проверки не подтверждаются.
3. Вычисляется среднее арифметическое x из n одинаковых измерений. Оно принимается за
наиболее вероятное значение измеряемой величины
4
1 n
 xi .
n i 1
4. Находятся абсолютные погрешности отдельных измерений xi  xi  x
5. Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных измерений (Δхi)2
6. Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического
x
(9)
n
Sx 
(x  x)
i 1
2
i
n(n  1)
.
7. Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать
α=0,95.
8. Находится коэффициент Стьюдента t , n для заданной доверительной вероятности α и числа
произведенных измерений (см.табл.)
9. Определяется случайная погрешность
x  t ,n  S x .
10. Определяется суммарная погрешность
  x  x 2  x 2 .
11. Оценивается относительная погрешность результата измерений
 x
E    100% .
x
12. Записывается окончательный результат в виде
  x   x , с α=… Е=…%.
5. Графическое представление результатов измерений
Результаты физических измерений очень часто представляют в графической форме. Графики
обладают рядом важных преимуществ и ценных свойств:
а) дают возможность определить вид функциональной зависимости и пределы, в которых она
справедлива;
б) позволяют наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической
кривой;
в) при построении графика сглаживают скачки в ходе функции, возникающие за счет случайных
ошибок;
г) дают возможность определять некоторые величины или проводить графическое
дифференцирование, интегрирование, решение уравнения и др.
Общие рекомендации по построению графиков
Графики, как правило, выполняются на специальной бумаге (миллиметровой, логарифмической,
полулогарифмической). Принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т.е.
величину, значение которой задает сам
экспериментатор, а по вертикальной оси – ту
величину, которую он при этом определяет.
Следует иметь в виду, что пересечение
координатных осей не обязательно должно
совпадать с нулевыми значениями x и у. При
выборе
начала
координат
следует
Рис.2
5
руководствоваться тем, чтобы полностью использовалась вся площадь чертежа (рис.2.).
На координатах осях графика указываются не только названия или символы величин, но и
единицы их измерения. Масштаб по осям координат следует выбирать так, чтобы измеряемые точки
располагались по всей площади листа. При этом масштаб должен быть простым, чтобы при нанесении
точек на график не производить арифметических подсчетов в уме.
Экспериментальные точки на графике должны изображаться точно и ясно. Точки, полученные
при различных условиях эксперимента (например, при нагревании и охлаждении), полезно наносить
разными цветами или разными значками.
Если известна погрешность эксперимента, то
вместо точки лучше изображать крест или
прямоугольник, размеры которого по осям
соответствуют
этой
погрешности.
Не
рекомендуется соединять экспериментальные
точки между собой ломаной линией. Кривую
на графике следует проводить плавно, следя
за тем, чтобы экспериментальные точки
Рис.3
располагались как выше, так и ниже кривой,
как показано на рис.3.
При построении графиков помимо системы координат с равномерным
масштабом применяют так называемые функциональные масштабы.
Подобрав подходящие функции x и y, можно на графике получить более
простую линию, чем при обычном построении. Часто это бывает нужно при
подборе к данному графику формулы для определения его параметров.
Функциональные масштабы применяют также в тех случаях, когда на
графике нужно растянуть или сократить какой-либо участок кривой. Чаще
всего из функциональных масштабов используют логарифмический масштаб
(рис.4).
Рис.4
6. Задания для выполнения практической работы
Вариант
Показания расходомера n, м3/час
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
50
80
10
26
84
74
110
56
60
2
3
21,5
21
49,5 49,8
81
80,5
10
10,8
25
25,5
84,2 84,3
74,5 74,9
110,1 109,5
55
55,9
59,7 59,9
4
5
6
7
8
9
10
20,5
50,3
79,5
10,5
26
85
73,5
109,8
55,8
60
19
50,5
79,9
10,3
26,5
84,9
73,9
109,9
56
60,1
20,3
51
79,8
12
26,3
83,9
74
110
56,4
60,8
19,5
50,8
80,1
10,9
26,2
83,8
74,1
110,1
56,5
60,4
19,8
49,0
82
11
25,9
83,7
74,2
110,5
56,3
60,6
20,1
49,9
80
9,8
25,8
84
74,8
111
56,8
60,5
19,2
50,1
80,3
9,9
27
84,6
73,8
110,8
57
61
6