УМК Т-100, ТЗ-100 Математика Савушкин А.Ю., Астафурова О.А
advertisement
ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы
при Президенте Российской Федерации»
Волгоградский филиал
Кафедра Информационных систем и математического моделирования
Астафурова О.А., Савушкин А.Ю.
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс для студентов специальности
036401 Таможенное дело
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры
Протокол № 2…..от «14» сентября...............2011г.
Подпись заведующего кафедрой
………………………………..
Волгоград 2011
СОДЕРЖАНИЕ
2
№
стр
Наименование раздела
СОДЕРЖАНИЕ ......................................................................................................................................... 1
РАЗДЕЛ 1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ............................................ 2
1.1. ТРЕБОВАНИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» ......... 2
1.2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА ............................................................................................ 3
1.3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. .......................................................................... 4
1.4. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА «МАТЕМАТИКА» (288 Ч.) ................................................................... 6
1.5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ .................................................. 12
РАЗДЕЛ 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ................................................................................................. 65
2.1. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МАТЕРИАЛОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА. .... 65
2.2. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ С ЛИТЕРАТУРОЙ .................................................................................. 66
2.3. СОВЕТЫ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ............................................................................ 66
РАЗДЕЛ 3. МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ ПО ОСНОВНЫМ РАЗДЕЛАМ
КУРСА, ТЕСТЫ ...................................................................................................................................... 67
РАЗДЕЛ 4. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ (ГЛОССАРИЙ) ............................................ 77
РАЗДЕЛ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ,
КУРСОВЫХ И ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ РАБОТ .......................................... 87
РАЗДЕЛ 6. ДАННЫЕ О МУЛЬТИМЕДИЙНЫХ ЛЕКЦИЯХ ....................................................... 88
РАЗДЕЛ 1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1. Требования образовательного стандарта по учебной дисциплине «Математика»
Основные понятия теории множеств. Элементы математического анализа. Математика как
научная дисциплина. Предмет и задачи математики. Основные этапы становления математики.
Функция одной переменной. Предел и непрерывность функции. Производная и дифференциал
функции. Приложение производной для исследований функций. Неопределенный и определенный
интеграл. Дифференциальные уравнения. Функции нескольких переменных.
Элементы аналитической геометрии на плоскости. Уравнение линии первого порядка.
Уравнение линии второго порядка.
Элементы линейной алгебры. Матрицы и определители. Система линейных уравнений.
Теория вероятностей и математическая статистика. Случайные события. Случайная
величина. Закон больших чисел и центральная предельная теорема. Вариационный ряд и его
характеристики. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределений: точечные
и интервальные оценки. Проверка статистических гипотез. Элементы регрессионного анализа.
N
ДЕ
1
Наименование
дидактической единицы
ГОС
Линейная алгебра
Тема задания
Вычисление определителей
3
2
Аналитическая геометрия
3
Математический анализ
4
Дифференциальные
уравнения
5
Теория вероятностей
6
Математическая
статистика
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Системы линейных уравнений: основные понятия
Системы линейных уравнений: методы решения
Квадратичные формы
Основные задачи аналитической геометрии на плоскости
Прямая на плоскости
Полярная система координат
Прямая и плоскость в пространстве
Функции: основные понятия и определения
Предел функции
Непрерывность функции. Точки разрыва
Приложения дифференциального исчисления ФОП
Основные методы интегрирования
Приложения определенного интеграла
Типы дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения первого порядка
Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Полная вероятность. Формула Байеса
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина
Статистическое распределение выборки
Точечные оценки параметров распределения
Интервальные оценки параметров распределения
Проверка статистических гипотез
1.2. Цели и задачи преподавания курса
Знать и уметь использовать: основные понятия и методы математического анализа,
линейной алгебры, аналитической геометрии, дискретной математики, дифференциальных
уравнений; методы теории вероятностей и математической статистики.
Иметь опыт: употребления математической символики для выражения количественных и
качественных
отношений
объектов,
построения
экономико-математических
моделей,
использования основных приёмов обработки экспериментальных данных.
Иметь представление: о математике как особом способе познания мира, общности её
понятий и представлений, о фундаментальном единстве наук, незавершённости естествознания и
возможности
его
дальнейшего
развития,
применения
новых
математических
методов,
4
появляющихся в естественнонаучных дисциплинах, в исследованиях в предметной области;
понимать, что математические знания играют одну из фундаментальных ролей в формировании
специалиста в любой отрасли экономики.
Как одна из фундаментальных наук математика тесно переплетена со многими другими
дисциплинами по своим методам и целям в подготовке специалистов в области экономики. Самое
тесное
взаимодействие
статистикой»,
математики
«Эконометрикой»,
а
происходит
также
со
с
«Информатикой»,
статистикой:
«Математической
социальной,
торговой
и
экономической. Методы математики находят своё продолжение и применение в других
дисциплинах, таких как: социология, исследование операций, теория управления, экономика,
теория систем и системный анализ, математическая экономика и многих других.
Основными задачами данного учебного курса являются:
●
Формирование у студентов математической культуры, как важнейшей составляющей в системе
фундаментальной подготовки современного экономиста.
●
Овладение студентами логическим и вычислительным аппаратом современной математики.
Демонстрация методических, технических и технологических возможностей математики в
решении экономических задач.
●
Умение строить и выполнять анализ экономико-математических моделей. Пользуясь методами
теории вероятностей и математической статистики принимать решения в условиях
неопределенности.
●
Развитие способностей к самостоятельной научно - исследовательской деятельности.
Изучение математики на факультете экономики базируется на знаниях, полученных в школе.
Настоящий
комплекс
составлен
для
специальности
«Таможенное
дело»,
для
которой
математические знания составляют ту основу, без которой специальность экономиста теряет
всякий смысл.
В изучаемом курсе рассматриваются сначала важнейшие темы, пройденные в средней школе,
затем - основы линейной алгебры, линейного программирования, теория пределов. Во втором
семестре представлены основы дифференциального и интегрального исчисления, темы
«Дифференциальные уравнения» и «Ряды», а так же основные понятия теории вероятностей и
математической статистики.
Завершается курс специальными разделами, посвященными операционному исчислению и
математическому моделированию в экономике. Все разделы математики изучаются на лекциях,
практических занятиях, а также во время самостоятельной работы.
1.3. Требования к уровню освоения дисциплины.
Современная
финансово-экономическая
теория
предлагает
высокий
уровень
5
формализации как на макро- так и на микроуровне. Поэтому овладение математическими
методами анализа и моделирования является естественной и необходимой составляющей
финансово-экономического образования.
Задачи преподавания математики как фундаментальной дисциплины, состоят в
следующем:
развитие логического и алгоритмического мышления студента;
выработка умения моделировать реальные финансово-экономические процессы;
освоение приемов решения и исследования математически формализованных задач;
овладение численными методами решения и их реализацией на ЭВМ.
Учебная программа по математике для студентов специальности «Таможенное дело»
рассчитана на первые два семестра и содержит следующие разделы: математический
анализ, теория вероятностей и математическая статистика, линейная алгебра и
математическое программирование, экономическо-математические методы и модели.
В результате изучения дисциплины будущий специалист должен:
иметь представление о математике, как особом способе познания мира, общности и
универсальности ее понятий и представлений;
уметь использовать математическую символику для выражения количественных и
качественных отношений объектов;
знать методы и приемы обработки количественной информации;
владеть способами наглядного графического представления результатов исследования;
иметь понятие о математическом моделировании финансово-экономических процессов с
учетом их стохастического характера;
иметь навыки исследования моделей и оценки пределов применимости полученных
результатов.
Обладать следующими компетенциями:
ОК-6 способностью применять математические методы и методы системного анализа
для решения задач профессиональной деятельности;
ПК-1 способностью самостоятельно повышать уровень профессиональных знаний,
реализуя специальные средства и методы получения нового знания, и использовать
приобретенные знания и умения в практической деятельности.
6
1.4. Тематический план курса «Математика» (288 ч.)
на 2011 – 2012 уч. год. для студентов Т-100, ТЗ-100
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Наименование тем
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
Очная форма обучения
Раздел 1. Линейная алгебра.
Тема 1. Введение. Элементы матричного
2
2
2
6
анализа.
2
2
2
6
Тема 2. Теория определителей.
2
2
4
8
Тема 3. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Тема 4. Системы линейных алгебраических
уравнений.
Определение
решения.
Матричный метод решения. Формулы
Крамера.
2
2
2
6
Тема 5. Анализ и решение систем
линейных
алгебраических
уравнений.
Метод Гаусса.
2
2
2
6
2
2
2
6
10
10
2
4
4
10
4
6
Тема 6. Критерий совместности системы
линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли.
Общее
решение
системы
линейных уравнений.
Тема 7. Основы теории множеств.
Раздел 2. Математический анализ.
Тема 8. Определение функции. Способы
задания и основные свойства функций.
Тема 9. Предел функции. Основные
теоремы о пределах. Замечательные
пределы.
Тема
10.
Непрерывность
функции.
Основные
теоремы
о
непрерывных
функциях.
Точки
разрыва
и
их
классификация.
Тема
11.
Задачи,
приводящие
к
производной. Определение производной.
Геометрический смысл. Экономическое
истолкование производной. Связь между
непрерывностью и дифференцируемостью
функции в точке.
Тема
12.
Основные
правила
дифференцирования. Таблица производных
элементарных
функций.
Производные
высших порядков. Дифференциал функции.
Тема
13.
Основные
теоремы
о
дифференцируемых функциях. Теоремы
Ролля, Лагранжа и Коши. Правило
Лопиталя-Бернулли.
Тема 14. Приложение производной к
исследованию
функции.
Интервалы
2
2
4
2
2
1
2
5
2
2
4
8
2
2
2
6
2
3
4
9
7
Наименование тем
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
монотонности. Экстремумы. Приложение
второй производной. Выпуклость функции.
Точки перегиба.
Тема 15. Асимптоты графика функций.
Общая схема исследования функций и
2
2
6
построения их графиков.
Тема 16. Неопределенный интеграл.
Свойства
неопределенного
интеграла.
Интегралы от основных элементарных
2
4
8
функций.
Основные
методы
интегрирования.
Тема 17. Понятие определенного интеграла.
Его геометрический и экономический
2
2
6
смысл. Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Тема
18.
Методы
интегрирования.
Геометрические приложения определенного
2
2
4
интеграла. Несобственные интегралы.
Тема 19. Функции нескольких переменных.
Предел
и
непрерывность.
Частные
2
2
4
производные. Дифференциал.
Раздел 3. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 20. Дифференциальные уравнения.
Основные понятия. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям. Общее
1
2
2
решение дифференциального уравнения.
Задача Коши. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши.
Тема 21. Дифференциальные уравнения 1 –
го порядка. Линейные неоднородные
1
4
6
дифференциальные уравнения
1 – го
порядка. Методы интегрирования.
Тема 22. Линейные дифференциальные
уравнения 2 – го порядка с постоянными
коэффициентами. Уравнения однородные.
2
4
6
Фундаментальная
система
решений.
Неоднородные
уравнения.
Структура
общего решения.
Раздел 4. Классическая теория вероятностей.
Тема 23. Предмет и основные понятия
теории вероятностей. Виды случайных
2
2
4
событий.
Классическое
определение
вероятности.
Тема 24. Алгебра событий. Теоремы
сложения и умножения вероятностей
2
2
4
независимых событий. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
Тема 25. Последовательность независимых
2
2
4
испытаний. Схема и формула Бернулли.
8
12
10
8
8
5
11
12
8
8
8
8
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
Наименование тем
Наивероятнейшее число появлений события
в серии из n независимых испытаний.
Асимптотические формулы Муавра –
Лапласа и Пуассона.
Тема 26. Случайные величины. Дискретная
и непрерывная случайная величина. Закон
распределения.
Многоугольник
распределения. Интегральная функция
распределения вероятностей случайной
величины. Основные свойства.
Тема
27.
Плотность
распределения
вероятностей.
Основные
свойства.
Числовые
характеристики
дискретной
случайной
величины.
Числовые
характеристики непрерывной случайной
величины.
Тема
28.
Классические
законы
распределения
случайных
величин.
Биномиальный закон. Равномерное и
показательное распределение. Нормальная
случайная
величина.
Центральные
предельные теоремы теории вероятностей.
Раздел 5. Линейное программирование.
Тема 29. Линейное программирование как
раздел математического программирования.
Общая характеристика и примеры задач
линейного программирования. Экономикоматематическая модель производственной
задачи. Теоретические основы анализа
задачи линейного программирования.
Тема 30. Геометрическое решение задачи
линейного программирования.
2
2
4
8
2
2
4
8
2
2
4
8
2
2
2
6
2
2
2
6
10
10
Тема 31. Линейные модели в экономике.
Раздел 6. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
Тема 32. Уравнение линии первого
2
2
2
порядка.
Тема 33. Уравнение линии второго
2
2
2
порядка.
60
66
126
ИТОГО по курсу:
Контр/раб, зачет, экзамен
Форма контроля
Всего часов с экзаменом
6
6
252
36
288
(8 ЗЕТ)
Заочная форма обучения
Раздел 1. Линейная алгебра.
Тема 1. Введение. Элементы матричного
анализа.
1
2
2
5
9
Наименование тем
Тема 2. Теория определителей.
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
1
1
2
4
Тема 3. Обратная матрица. Ранг матрицы.
2
1
4
7
Тема 4. Системы линейных алгебраических
уравнений.
Определение
решения.
Матричный метод решения. Формулы
Крамера.
1
1
2
4
Тема 5. Анализ и решение систем
линейных
алгебраических
уравнений.
Метод Гаусса.
1
1
2
4
2
2
10
10
2
3
4
7
10
10
2
2,5
Тема 6. Критерий совместности системы
линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли.
Общее
решение
системы
линейных уравнений.
Тема 7. Основы теории множеств.
Раздел 2. Математический анализ.
Тема 8. Определение функции. Способы
задания и основные свойства функций.
Тема 9. Предел функции. Основные
теоремы о пределах. Замечательные
пределы.
Тема
10.
Непрерывность
функции.
Основные
теоремы
о
непрерывных
функциях.
Точки
разрыва
и
их
классификация.
Тема
11.
Задачи,
приводящие
к
производной. Определение производной.
Геометрический смысл. Экономическое
истолкование производной. Связь между
непрерывностью и дифференцируемостью
функции в точке.
Тема
12.
Основные
правила
дифференцирования. Таблица производных
элементарных
функций.
Производные
высших порядков. Дифференциал функции.
Тема
13.
Основные
теоремы
о
дифференцируемых функциях. Теоремы
Ролля, Лагранжа и Коши. Правило
Лопиталя-Бернулли.
Тема 14. Приложение производной к
исследованию
функции.
Интервалы
монотонности. Экстремумы. Приложение
второй производной. Выпуклость функции.
Точки перегиба.
Тема 15. Асимптоты графика функций.
Общая схема исследования функций и
построения их графиков.
1
1
2
0,5
1
1
4
6
0,5
1
2
3,5
10
10
10
10
10
Наименование тем
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
Тема 16. Неопределенный интеграл.
Свойства
неопределенного
интеграла.
Интегралы от основных элементарных
1
1
8
функций.
Основные
методы
интегрирования.
Тема 17. Понятие определенного интеграла.
Его геометрический и экономический
1
1
8
смысл. Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Тема
18.
Методы
интегрирования.
Геометрические приложения определенного
10
интеграла. Несобственные интегралы.
Тема 19. Функции нескольких переменных.
Предел
и
непрерывность.
Частные
10
производные. Дифференциал.
Раздел 3. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 20. Дифференциальные уравнения.
Основные понятия. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям. Общее
10
решение дифференциального уравнения.
Задача Коши. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши.
Тема 21. Дифференциальные уравнения 1 –
го порядка. Линейные неоднородные
10
дифференциальные уравнения
1 – го
порядка. Методы интегрирования.
Тема 22. Линейные дифференциальные
уравнения 2 – го порядка с постоянными
коэффициентами. Уравнения однородные.
10
Фундаментальная
система
решений.
Неоднородные
уравнения.
Структура
общего решения.
Раздел 4. Классическая теория вероятностей.
Тема 23. Предмет и основные понятия
теории вероятностей. Виды случайных
1
2
5
событий.
Классическое
определение
вероятности.
Тема 24. Алгебра событий. Теоремы
сложения и умножения вероятностей
1
2
5
независимых событий. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
Тема 25. Последовательность независимых
испытаний. Схема и формула Бернулли.
Наивероятнейшее число появлений события
10
в серии из n независимых испытаний.
Асимптотические формулы Муавра –
Лапласа и Пуассона.
Тема 26. Случайные величины. Дискретная
10
и непрерывная случайная величина. Закон
10
10
10
10
10
10
10
8
8
10
10
11
Наименование тем
распределения.
Многоугольник
распределения. Интегральная функция
распределения вероятностей случайной
величины. Основные свойства.
Тема
27.
Плотность
распределения
вероятностей.
Основные
свойства.
Числовые
характеристики
дискретной
случайной
величины.
Числовые
характеристики непрерывной случайной
величины.
Тема
28.
Классические
законы
распределения
случайных
величин.
Биномиальный закон. Равномерное и
показательное распределение. Нормальная
случайная
величина.
Центральные
предельные теоремы теории вероятностей.
Раздел 5. Линейное программирование.
Тема 29. Линейное программирование как
раздел математического программирования.
Общая характеристика и примеры задач
линейного программирования. Экономикоматематическая модель производственной
задачи. Теоретические основы анализа
задачи линейного программирования.
Тема 30. Геометрическое решение задачи
линейного программирования.
Тема 31. Линейные модели в экономике.
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
10
10
10
10
4
4
4
4
10
10
Раздел 6. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
Тема 32. Уравнение линии первого
10
порядка.
Тема 33. Уравнение линии второго
10
порядка.
14
16
222
ИТОГО по курсу:
Контр/раб, экзамен
Форма контроля
Всего часов с экзаменом
10
10
252
36
288
(8 ЗЕТ)
12
1.5. Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины
Лекционный курс
Лекция 1. Введение. Элементы матричного анализа.
Основные исторические этапы развития математики. Структура современной математики.
Место и роль математики в финансово-математических исследованиях. Основные черты
математического мышления.
Определение матрицы. Виды матриц: матрица прямоугольная и квадратная, матрица-строка
и матрица-столбец, нулевая и единичная матрица. Операции над матрицами: произведение
матрицы на число, сумма (разность) матриц, произведение двух матриц, транспонирование
матриц. Свойства матричных операций.
Основные понятия: матрица, главная диагональ квадратной матрицы, побочная
диагональ, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность.
Лекция 2. Теория определителей.
Понятие определителя. Определители второго порядка. Определители третьего порядка.
Правила вычисления. Миноры и алгебраические дополнения. Определители любого порядка.
Формула Лапласа. Основные свойства определителей. Теоремы замещения и аннулирования.
Основные понятия: детерминант, минор элемента матрицы, алгебраическое дополнение
элемента матрицы.
Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Неособенная (невырожденная матрица). Определение присоединенной (союзной) матрицы.
Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Алгоритм построения обратной
матрицы. Определитель обратной матрицы.
Определение минора k-го порядка матрицы. Понятие и определение ранга матрицы.
Основные
свойства
элементарных
ранга.
Способы
преобразований.
Метод
определения.
Инвариантность
окаймляющих
миноров.
ранга
относительно
Определение
линейной
зависимости (независимости) строк или столбцов матрицы. Теорема о ранге.
Основные понятия: неособенная матрица, ранг матрицы, союзная матрица, линейная
комбинация строк (столбцов), линейная зависимость строк (столбцов), эквивалентные
преобразования.
Лекция 4. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решения.
Формулы Крамера.
Определение системы линейных алгебраических уравнений. Матричная и векторная формы
записи. Определение решения системы. Совместность, несовместность системы. Системы
определенные и неопределенные. Эквивалентные системы. Элементарные преобразования систем.
13
Главная матрица системы. Решение системы линейных уравнений в случае невырожденности
главной матрицы. Метод обратной матрицы (матричный метод). Формулы Крамера.
Основные понятия: линейное уравнение, система уравнений, векторная форма,
совместная система, определенность системы.
Лекция 5. Анализ и решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод
Гаусса (последовательного исключения неизвестных).
Алгоритм метода Гаусса. Прямой ход. Применение элементарных преобразований системы
с целью последовательного исключения неизвестных. Несовместность системы. Бесконечное
множество решений. Обратный ход в случае определенности системы. Универсальность метода
Гаусса.
Основные понятия: несовместная система, эквивалентные преобразования системы,
метод алгебраического сложения.
Лекция 6. Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема КронекераКапелли. Общее решение.
Главная и расширенная матрицы системы. Теорема Кронекера-Капелли. Понятие базисного
минора. Основные и свободные переменные. Структура общего решения систем линейных
уравнений в случае неопределенности. Базисное решение. Допустимое решение.
Основные понятия: расширенная матрица, базисное решение, ранг системы, базисный
минор.
Основные понятия: метод потенциалов, цикл пересчета, базисная ячейка.
Лекция 7. Определение функции. Способы задания и основные свойства функций.
Постоянные
и
переменные
величины,
абсолютные
постоянные
и
параметры,
действительные переменные. Числовые множества: отрезок, интервал, промежуток. Понятие
функции. Способы задания функции. Графики элементарных функций: целая рациональная
функция (многочлен), дробно-рациональная функция, показательная и логарифмическая функция,
тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Функции чётные и нечётные,
периодические. Возрастающие и убывающие функции (монотонные). Сложные функции. Неявные
и обратные функции.
Основные понятия: функция, монотонность, область определения, область значений,
график, неявная функция, обратная функция.
Лекция 8. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Определение предела
функции в точке. Предел функции при неограниченном возрастании аргумента. Основные
теоремы о пределах. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке.
14
Бесконечно малая величина. Бесконечно большая величина. Связь бесконечно малой с пределом
функции. Эквивалентность бесконечно больших и бесконечно малых величин. Первый и второй
замечательные пределы.
Основные понятия: числовая последовательность, предел числовой последовательности,
предел функции, односторонние пределы, пределы в функции бесконечности, бесконечно малая и
бесконечно большая функции, замечательные пределы.
Лекция 9. Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Точки разрыва и их классификация.
Определение непрерывности функции в точке и на интервале. Теоремы о непрерывных
функциях. Определение точек разрыва. Точки разрыва 1-го рода. Точки разрыва 2-го рода.
Теорема о предельном переходе под знаком непрерывной функции.
Основные понятия: непрерывность, точка разрыва, устранимый разрыв, конечный
скачок, бесконечный скачок.
Лекция 10.
Геометрический
Задачи,
смысл.
приводящие
к
Экономическое
производной.
истолкование
Определение
производной.
производной.
Связь
между
непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке.
Истоки дифференциального исчисления. Задача о касательной. Задача о мгновенной
скорости движения. Задача о производительности. Определение производной. Понятие
дифференцируемости функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
в точке. Уравнение касательной. Механический смысл производной. Приложение производной в
экономической теории. Эластичность.
Основные
понятия:
касательная,
производная,
мгновенная
скорость
изменения,
дифференцируемость, относительная производная, эластичность.
Лекция 11.
Основные
правила
дифференцирования.
Таблица
производных
элементарных функций. Производные высших порядков. Дифференциал функции.
Производная постоянной функции. Производная суммы (разности) функций. Формула
Лейбница.
Производная
Дифференцирование
производных.
частного.
неявных
Производные
Производная
функций.
высших
сложной
Логарифмическое
порядков.
и
обратной
функций.
дифференцирование.
Дифференциал
функции.
Таблица
Приложение
дифференциала в приближенных вычислениях.
Основные понятия: приращение функции, дифференциал функции, линеаризация функции.
Лекция 12. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ролля,
Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей вида
0
и .
0
15
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
Теорема
Лагранжа
о
конечном
приращении
(геометрический
смысл).
Теорема
Коши.
Геометрическая иллюстрация изучаемых теорем. Приложение производной к вычислению
пределов. Правило Лопиталя-Бернулли.
Лекция 13.
Приложение
производной
к
исследованию
функции.
Интервалы
монотонности. Экстремумы. Приложение второй производной. Выпуклость функции. Точки
перегиба.
Возрастание и убывание функции. Необходимое условие монотонности. Достаточное
условие монотонности. Определение экстремума функции. Точка экстремума. Критическая точка.
Стационарная точка. Максимум, минимум функции. Необходимое условие экстремума. Первое
достаточное условие экстремума функции в точке. Второе достаточное условие экстремума.
Алгоритм исследования функции на интервалы монотонности и экстремумы. Наибольшее и
наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
Достаточное условие выпуклости. Алгоритм исследования функции на интервалы выпуклости и
точки перегиба.
Основные понятия: критическая точка, стационарная точка, экстремум функции,
минимум, максимум функции, выпуклость (вогнутость), точки перегиба.
Лекция 14. Асимптоты графика функций. Общая схема исследования функций и
построения их графиков.
Определение асимптоты графика функции. Классификация асимптот. Вертикальная и
горизонтальная асимптоты. Наклонная асимптота. Нахождение асимптот. Основные этапы
исследования функций с последующим построением эскиза графика.
Основные понятия: асимптота.
Лекция 15.
Неопределенный
интеграл.
Свойства
неопределенного
интеграла.
Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования. (3ч).
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл как совокупность первообразных.
Геометрическое понимание неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов. Основные методы интегрирования. Табличное. Метод подстановки. Формула
интегрирования по частям. Об интегралах, не берущихся в элементарных функциях.
Основные понятия: первообразная, неопределенный интеграл.
Лекция 16. Понятие определенного интеграла. Его геометрический и экономический
смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Интегральная
сумма.
Определённый
интеграл
как
предел
интегральной
суммы.
Геометрический смысл определённого интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Связь
16
определённого и неопределённого интегралов. Теорема существования определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определённого интеграла. Теорема о среднем.
Определенный интеграл как функция переменного верхнего предела.
Основные понятия: интегральная сумма, криволинейная трапеция, определенный
интеграл, среднее значение функции.
Лекция 17. Методы интегрирования. Геометрические приложения определенного
интеграла. Несобственные интегралы.
Вычисление
определенного
интеграла.
Интегрирование
подстановкой.
Формула
интегрирования по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в пределах
симметричных
относительно
начала
координат.
Приложения
определенного
интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длины дуги плоской кривой. Вычисление
объемов тел вращения. Понятие несобственных интегралов. Их классификация. Определение
сходимости. Методы решения несобственных интегралов.
Основные понятия: спрямляемость дуги кривой, тело вращения, несобственный
интеграл.
Лекция 18.Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные
производные. Дифференциал.
Определение функции нескольких переменных. Область определения и область значений
функции двух и более переменных. Частные значения аргументов и частное значение функции.
Поверхность в пространстве как график функции двух переменных. Предел и непрерывность
функции в точке. Полное и частные приращения функции нескольких переменных. Частные
производные,
их
механический
смысл.
Частные
производные
высших
порядков.
Дифференцируемость и полный дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное
условие дифференцируемости. Частные производные высших порядков. Приложение полного
дифференциала в приближенных вычислениях.
Основные понятия: функция нескольких переменных, частные приращения, частные
производные, касательная плоскость, нормаль.
Основные понятия: экстремум функции многих переменных, уравнение связи, условный
экстремум.
Лекция19. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям. Общее решение дифференциального уравнения. Задача
Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Определение дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения.
Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решение. Общий вид
17
дифференциального уравнения первого порядка. Другие представления дифференциального
уравнения первого порядка. Геометрический смысл общего и частного решений. Общий интеграл.
Начальные условия для нахождения частного решения дифференциального уравнения первого
порядка и их геометрический смысл (задача Коши).
Методы интегрирования дифференциальных уравнений I-го порядка.
Дифференциальные
уравнения
с
разделяющимися
переменными
и
их
решение.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, с
правой частью – однородной функцией нулевого порядка. Интегрируемость. Линейные
однородные и неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Методы решения.
Основные понятия: дифференциальное уравнение, общее решение, задача Коши, особое
решение, общий интеграл, однородная функция, разделение переменных, линейность,
однородность.
Лекция 20. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с правой
частью специального вида.
Общее и частное решения дифференциального уравнения второго порядка. Геометрический
смысл общего и частного решений. Начальные условия для нахождения частного решения
дифференциального уравнения второго порядка и их геометрический смысл. Линейные
однородные
дифференциальные
дифференциальное
уравнение
уравнения
второго
второго
порядка
с
порядка.
Однородное
постоянными
линейное
коэффициентами.
Его
характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений. Общее решение Линейные
неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения.
Нахождение общего решения и частного решения линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
уравнения.
Основные
понятия:
линейное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
с
постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, независимость решений,
вронскиан, структура решения, неоднородное уравнение с правой частью специального вида,
квазимногочлен, частное решение, первый интеграл.
Лекция 21. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Виды случайных
событий. Классическое определение вероятности.
Классическая теория вероятностей. Краткая историческая справка. Основные понятия
теории вероятностей: испытание и событие в теории вероятностей; классификация событий в
теории вероятностей; предмет теории вероятностей; виды случайных событий; элементарные
исходы и благоприятствующие элементарные исходы испытания; вероятность события,
18
классическое определение вероятности события; основные свойства (аксиомы) вероятности;
относительная частота события и ее отличие от вероятности; статистическая вероятность;
свойство устойчивости относительной частоты события. Введение в теорию вероятностей –
элементы комбинаторики. Классическая формула определения вероятности. Геометрические
вероятности. Задача о встрече. Игла Бюффона.
Основные
понятия:
случайное
событие,
частота
события,
вероятность,
комбинаторика, факториал натурального числа, сочетания, размещения, перестановки,
геометрическая вероятность.
Лекция 22. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей
событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Случайные события и их описание. Основные теоремы теории вероятностей: понятие
суммы событий; события совместные и несовместимые; теорема сложения вероятностей
несовместимых событий и событий, образующих полную группу; противоположные события и
соотношение между вероятностями противоположных событий.
Основные теоремы теории вероятностей: понятие произведения событий; события
зависимые и независимые; условная вероятность события; теорема умножения вероятностей для
зависимых и независимых событий. Следствия теорем сложения и умножения: теорема «про хотя
бы»; теорема сложения вероятностей для двух совместимых событий; формула полной
вероятности; формула Байеса.
Основные понятия: сумма и произведение случайных событий, зависимые (независимые)
события, совместные (несовместные) события, условная вероятность, полная группа событий,
гипотеза.
Лекция 23. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли.
Наивероятнейшее число появлений события в серии из n независимых испытаний.
Асимптотические формулы Муавра – Лапласа и Пуассона.
Повторные независимые испытания; последовательность независимых испытаний. Вывод
формулы Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в серии повторных независимых
испытаний. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Нормированная функция Гаусса и её основные
свойства. Формула Пуассона. Интегральная теорема Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства.
Основные понятия: схема независимых испытаний..
Лекция 24. Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины.
Закон распределения. Многоугольник распределения. Интегральная функция распределения
вероятностей случайной величины. Основные свойства.
19
Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины и их
описание.
Закон
распределения
дискретной
случайной
величины.
Ряд
распределения.
Многоугольник распределения. Интегральная функция распределения; свойства функции
распределения; график. Построение интегральной функции распределения для дискретных
случайных величин. Интегральная функция как аналитическая форма закона распределения
случайных величин.
Основные понятия: случайная величина, дискретная случайная величина, закон
распределения, интегральная функция распределения.
Лекция 25. Плотность распределения вероятностей. Основные свойства. Числовые
характеристики дискретной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной
случайной величины.
Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятностей;
свойства плотности распределения вероятностей. Связь интегральной и дифференциальной
функций распределения вероятностей. Понятие числовых характеристик случайной величины.
Математическое ожидание. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение. Формулы вычисления
числовых характеристик для дискретных и непрерывных случайных величин.
Основные понятия: непрерывная случайная величина, функция плотности распределения
вероятностей,
числовые
характеристики,
математическое
ожидание,
дисперсия,
среднеквадратическое отклонение.
Лекция 26. Классические законы распределения случайных величин. Биномиальный
закон. Равномерное и показательное распределение. Нормальная случайная величина.
Центральные предельные теоремы теории вероятностей.
Биномиальный
закон
распределения
дискретной
случайной
величины.
Числовые
характеристики. Равномерное и показательное распределения непрерывных случайных величин.
Интегральные и дифференциальные функции распределений, их графики. Вывод числовых
характеристик.
Нормальное
распределение
непрерывной
случайной
величины:
нормально
распределённая случайная величина; зависимость кривой нормального распределения от величины
математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины; вероятность
попадания нормальной случайной величины в заданный интервал; вероятность заданного отклонения
нормально распределённой случайной величины от её среднего значения; правило трёх сигм и его
графическое представление. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема теории
вероятностей - теорема Ляпунова.
20
Основные понятия: биномиальный закон, геометрический закон, гипергеометрический
закон, показательное распределение, равномерное распределение, нормальный закон, кривая
Гаусса, интеграл ошибок.
Лекция 27. Линейное программирование как раздел математического программирования.
Общая характеристика и примеры задач линейного программирования. Экономикоматематическая модель производственной задачи. Теоретические основы анализа задачи
линейного программирования.
Математическое программирование как наука. Линейное программирование как раздел
математического программирования. Производственная задача
- задача об оптимальном
использовании ресурсов. Табличная форма постановки производственной задачи. Экономикоматематическая модель производственной задачи. Целевая функция в задачах линейного
программирования. Система ограничений основной задачи линейного программирования.
Математическая формулировка основной задачи линейного программирования. Общая, стандартная и
каноническая форма постановки основной задачи линейного программирования. Матричная
форма записи основной задачи линейного программирования. Теория выпуклых множеств.
Фундаментальные теоремы решения задачи линейного программирования. Решения системы
линейных ограничений - её базисные решения.
Основные понятия: экономико-математическая модель, оптимум функции цели, система
допустимых решений, ,линейная функция, линейные ограничения, балансовые переменные,
каноническая модель, стандартная модель, угловая точка, выпуклое множество.
Лекция 28. Геометрическое решение задачи линейного программирования.
Основные
теоремы
линейного
программирования.
Преимущества
и
недостатки
геометрического метода решения задачи. Нахождение области допустимых решений системы
линейных
ограничений. Нахождение постоянных
уровней
функции цели. Направление
возрастания целевой функции. Геометрическое нахождение оптимального решения основной
задачи
линейного
оптимального
плана.
программирования.
Геометрическая
Геометрическое
интерпретация
представление
множества
единственного
оптимальных
решений.
Геометрическое представление отсутствия оптимального решения из-за неограниченности
функции цели. Геометрический аналог отсутствия оптимального решения из-за несовместимости
линейных ограничений (область допустимых решений - пустое множество). Свойства
оптимальных решений основной задачи линейного программирования на плоскости.
Основные понятия: функционльно-графический метод, выпуклый многоугольник, линия
уровня, градиент функции цели, угловая точка.
Лекция 29. Прямая на плоскости.
21
Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение с угловым
коэффициентом, уравнение прямой «в отрезках». Нормальный и направляющий векторы прямой.
Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Основные понятия: прямая, направляющий вектор, угловой коэффициент, нормаль,
коллинеарность, ортогональность.
Лекция 30. Кривые второго порядка.
Уравнение второго порядка в декартовой системе координат. Замечательные кривые
второго порядка на плоскости. Канонические уравнения. Геометрические характеристики.
Основные понятия: окружность, радиус, центр, эллипс, фокус, большая ось, малая ось,
эксцентриситет, гипербола, асимптота, парабола, директриса.
Семинарские занятия
Семинар 1.
Тема: Элементы матричного анализа. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Определение матрицы. Виды матриц.
2. Умножение матрицы на число. Алгебраическая сумма матриц.
3. Умножение матриц. Некоммутативность произведения.
4. Транспонирование матриц.
Практические задания:
I. Транспонировать матрицы
3 5
,
0 7
1 2 3
1 2 3
2 3 5,
, 4 5 6 .
4 5 6
7 8 9
II. Умножить матрицу на число
1 0
2 1
2
, 3 2 1 .
3 2
2 3
III. Сложение и вычитание матриц
22
2 1 1 1 3 0
2 0 1
2 1 2 2 2 1
, 3
2
,
3 2 1 1 4 3
5 2 2
0 1 3 15 4 12
1 5
2 1 11 0
3 1 1 2 2 3 8 0 5
7 9 5 4 2 13 1 , 2 2 1 2 2 1 3 2 3 1 .
9 5
3 0 24 5
1 2 3 4 2 3 2 6 3
IV. Умножение матриц
3 1 1 1 1 1 6 2 1
2 1 2 1 5 5 2 1 1 1 3 1
;
; 2 1 2 2 1 1 6 1 1
1 3 1 3 5 10 3 2 1 1 5 1
1 2 3 1 0 1 8 1 4
3 1
1
4 6 7
2 1 1
9 3 3 2 1 10
2 1
;
2 ; 1 3 2 1 0 1 7 2 6;
3 0 1
10 3 0 1 2 8
1 0
3
0 4 1
6 2 1 1
1
1 1 0 0 1 4 1 4
1 1 4 3 6; 3 2 1 1 3 2 3 9 15 ; 3 1 0
9 0 1 2
1
2 0 1 5 0 1 5 2
3
2 1 5 3 9
3 2 1 2 2
7 0 1 2 22 ; 4 1 1 3 1
2 7 5 1 3
2
cos
sin
sin
cos
2
cos 2
sin 2
4
0 1
1 18 21 2 1
;
1 21 27 3 0
3 7
3
2
7 4 4
9 4 3 ;
3 3 4
2
0 1
3 1
1
9 3
2 1
;
1
10 3
1 0
24 10
1
2 1 1 x 2 x y z
sin 2
; 3 1 2 y 3x y 2 z .
cos 2
1 1 0 z x y
V. Для заданной матрицы A вычислить E + A + A2 + A3:
1 2
22 18
Ответ:
.
3 0
27 13
1. A
1 1
1 1
2. A
2 3
.
3 2
Ответ:
Семинар 2.
Тема: Теория определителей. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Определители второго порядка.
2. Определители третьего порядка. Правило треугольников. Правило Сарруса.
23
3. Применение основных свойств вычисления определителей для квадратных матриц
произвольной размерности.
4. Алгебраические дополнения. Формула Лапласа.
Практические задания:
I. Вычислить det по определению:
1)
2 1
3 2
1; 2 )
3 1
2
4
3 2 1
4 3 5
3 2 2
10; 3) 2 3 1 12; 4 ) 7 2 2 72; 5) 1 3 1 5.
1 2 3
6 5 3
5 3 4
II. Вычислить определители по правилу Сарруса:
1 7 5
2
1 ) 0 3 2 10;
0
1
7
2
4 ) 5 1 5 7 ;
2
3
0
3
2 1
3
2 ) 2 1 2 3;
0 4 6
7
1 3
3) 2
1
3 0;
3
2
1
1
1
5 ) 2 3 1 0.
1
4
6
2
III. Вычислить определители при помощи разложения по любой строке или столбцу:
9
7 5
1) 0
1
2
4)
1
2 0 2
2 8; 2 ) 1 3
1
5 3
1
2
4
5
0 1 3
7
0
0
2
5
0
0
0 1
2 1
4 6; 3) 4
1
3
1 3 0 1
4; 5)
2 3 3 5
0 2 4 6
6; 6 )
2 0 2 3
1
2 71;
5
3
3
5 2
2
1
3
2 4
1
1
1
2
4
1 6
5
2
0;
IV. Вычислить определитель, упростив его элементарными преобразованиями:
1
1)
2
3
4
1 1 1 2
0
3
3
3
0
0
1
2
1; 2 )
3 2 3 2
3)
2 3 2 3
2 3 3 2
3 2 2 3
0; 4 )
2
1
1 3
1
0
2
1
4 3
1
3
2
1 1
2
4
3 3 2
2
2 2 2
4 2 4 3
2
3 5 2
12 .
32 ;
24
V. Вычислить определители:
1)
sin
cos
cos
sin
1; 2 )
x3
x2 x 1
x 1
1
1.
Семинар 3.
Тема: Обратная матрица. Ранг матрицы. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Обратная матрица. Корректность постановки задачи. Алгоритм построения.
2. Главный минор матрицы. Ранг матрицы.
3. Вычисление ранга: метод элементарных преобразований; метод окаймляющих миноров.
Практические задания:
I. Найти обратные матрицы
1 2
1) A
2 5
1 2 3
5
2
A 1
; 2) A 0 1 2
2 1
0 0 1
2 2 3
3) A 1 1 0
1 2 1
1 1 1
5) A 1 1 2
1 2 3
A
1
1 2 7
A 1 0 1 2 ;
0 0 1
1 4 3
3 1 0
1 5 3 ; 4) A 2 1 1
1 6 4
2 1 4
1 1 1
1 2 1
A 1 1 2 1 ; 6) A 1 1 2
1 1 0
2 3 1
A
1
5 4 1
1
10 12 3 ;
5
0 1 1
7 1 5
1
A 1 3 1 1 .
4
5 1 3
II. Используя обратную матрицу, найти неизвестную матрицу X из матричного уравнения.
2 5
4 6
1)
X
1 3
2 1
2 23
X
;
0 8
1 1 1 1 1 3
2 ) X 2 1 0 4 3 2
1 1 1 1 2 5
4 2 0
0 2 6
3) 1 1 2 X 2 4 3
3 2 0
0 3 4
1 2 3 4 11 3
4) X 2 3 5 1 6 1
1 4 1 2 2 16
3 2 0
X 4 5 2 ;
5 3 0
0 1 2
X 0 3 1 ;
1 0 0
0 1 2
X 1 0 2 .
2 2 0
25
III. Найти обратные матрицы и проверить результат умножением на исходную.
5 8 1
1) A 1 2 3
2 3 2
1 2 1
2) A 3 5 3
2 7 1
13 13 26
1
A 1
4
12
16
;
104
2
7 31
A
1
16 9 11
1
9 3 0 .
33
31 3 11
IV. Определите ранг следующих матриц:
1 2
1)
3 4
1 0
r 2 ; 2) 1 2
3 5
3 5 7
4) 1 2 3
1 3 5
2 1
3 1
r 2 ; 5)
1 3
4 3
1 2 1 3 4
7) 3 4 2 6 8
1 2 1 3 4
1
3
9)
3
5
3
2
1
r 3 ; 10)
1
1
2
0 4 10 1
4 8 18 7
11)
10 18 40 17
1 7 17 3
3 1
2 0
4 2
1 1
r 3;
2 1 3 2 1
r 2 ; 6) 4 2 2 1 7
2 1 1 8 2
3 2
1 2
r 2 ; 8) 2 4 6 4
3 6 9 6
5
5 2 3 4
1 5 0 7
7 1 4 1
3
2 3 4
r 2 ; 3) -1 2 0
1 1 3
1 1 1
3 1 1
1 3 1
1 1 5
r 3;
r 1;
r 4;
3 2 1 2 0 1
4
1
0
3
0
2
r 2 ; 12) 2 1 2 1 1 3
3
1
3
9
1
6
3 1 5 7 2 7
r 3.
Семинар 4.
Тема: Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решения. Формулы
Крамера. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.
26
2. Матричный метод решения.
3. Формулы Крамера.
Практические задания:
I. Решить системы уравнений матричным методом и по формулам Крамера.
x1 x 2 2x 3 1
1) 2x1 x 2 2x 3 4
4x x 4x 2
2
3
1
1
x 2 ;
2
x1 x 2 3x 3 1
2) 3x1 x 2 2x 3 4
2x 3x x 6
2
3
1
1
x 1 ;
1
2x1 x 2 x 3 4
3) 3x1 4x 2 2x 3 11
3x 2x 4x 11
2
3
1
3
x 1 ;
1
3x1 2x 2 x 3 5
4) 2x1 3x 2 x 3 1
2x x 3x 11
2
3
1
2
x 2 ;
3
x1 3x 2 7x 3 12
5) 3x1 5x 2 x 3 0
5x 7x 3x 4
2
3
1
1
x 1 ;
2
x1 2x 2 3x 3 2
6) 2x1 x 2 2x 3 2
3x 2x x 8
2
3
1
1
x 2 ;
1
x1 2x 2 4x 3 14
7) 2x1 x 2 3x 3 7
3x 2x 2x 4
2
3
1
2
x 2 ;
3
x1 2x 2 4x 3 31
8) 5x1 x 2 2x 3 29
3x x x 10
2
3
1
3
x 4 ;
5
Семинар 5.
Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Алгоритм метода Гаусса.
2. Решение в случае определенности системы.
3. Бесконечное множество решений.
4. Несовместность системы.
Практические задания:
I. Решить системы уравнений методом Гаусса.
x1 3x 2 7 x 3 12
1) 3x1 5x 2 x 3 0
5x 7 x 3x 4
2
3
1
1
x 1 ;
2
x1 x 2 2 x 3 3x 4 1
3x x x 2 x 4
2
3
4
2) 1
2 x1 3x 2 x 3 x 4 6
x1 2 x 2 3x 3 x 4 4
1
1
x ;
0
1
27
x1 2 x 2 3x 3 2 x 4 6
2 x x 2 x 3x 8
2
3
4
3) 1
3x1 2 x 2 x 3 2 x 4 4
2 x1 3x 2 2 x 3 x 4 8
4 x1 2 x 2 3x 3 x 4 13
1
5x 2 x 3x 16
2
2
3
4
x
; 4)
1
2 x1 3x 2 4 x 3 2 x 4 0
x1 3x 3 x 4 14
2
x1 2 x 2 3x 3 4 x 4 5
2 x x 2 x 3x 1
2
3
4
5) 1
3x1 2 x 2 x 3 2 x 4 1
4 x1 3x 2 2 x 3 x 4 5
2 x1 3x 2 11x 3 5x 4 5
2
x x 5x 2 x 3
2
2
3
4
x
; 6) 1
3
3x1 2 x 2 8x 3 4 x 4 5
3x1 4 x 2 14 x 3 9 x 4 4
3
x1 3x 2 5x 3 7 x 4 12
3x 5x 7 x x 0
2
3
4
7) 1
5x1 7 x 2 x 3 3x 4 4
7 x1 x 2 3x 3 5x 4 16
1
1
x .
0
2
1
2
x ;
3
4
1
1
x ;
1
1
Семинар 6.
Тема: Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Общее решение систем линейных уравнений. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Ранг основной и расширенной матрицы системы. Условие совместности (теорема
Кронекера-Капелли).
2. Структура общего решения систем линейных уравнений в случае неопределенности.
3. Базисное решение.
Практические задания:
I. Исследовать системы линейных уравнений и в случае совместности найти общее решение.
Выделить базисные решения.
x 2 x x 5
3
1) 21x x2 3 x
1
2
3 4
x1 x2 x3 x4 2
3) 2 x1 2 x2 x3 2 x4 2
x1 x2 x4 2
2)
3xxxx xx 22xx 14
1
1
2
2
3
3
4
4
3 x1 x2 2 x3 2 x4 18
4) x1 x2 2 x4 0
x1 x2 x3 2 x4 1
28
x1 2 x2 3x3 14,
3x 2 x x 10,
1
2
3
5)
x1 x2 x3 6,
2 x 3x x 5,
2
3
1
x1 x2 3.
II. Установить, при каком значении система имеет ненулевое решение. Найти такие решения:
x 3y z 0
.
2 x y z 0
4 x 11y z 0
III. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S1, S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одну
пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей.
Виды
сырья
S1
Нормы расхода сырья на одну пару, у.е.
Сапоги
Кроссовки
Ботинки
Расход сырья на 1 день, у. е.
5
3
4
2700
S2
2
1
1
800
S3
3
2
2
1600
Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.
Рекомендуемая литература:
по разделу «Линейная алгебра»:
1. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. 3-е изд. — М.: юнити-дана, 2007.
2. Краткий курс высшей математики / Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. — М.: АСТ, Астрель,
2001.
Семинар 7-8.
Тема: Предел функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.
Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Точки разрыва и
их классификация. (6 часов).
Рассматриваемые вопросы:
1. Предел функции в точке по Коши.
2. Основные теоремы о пределах. Основные приемы раскрытия неопределенностей.
3. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
4. Первый замечательный предел.
29
5. Второй замечательный предел.
6. Замечательные пределы.
7. Основные эквивалентности бесконечно больших и бесконечно малых функций.
8. Определение непрерывной функции.
9. Свойства непрерывных функций.
10. Точки разрыва и их классификация.
Практические задания:
I. Вычислить пределы.
1.
x2 4x 1
x 1
2x 1
lim
x 3x 1
lim
1
x 0
x
4
2
2.
x3
lim
3.
x 1 x 2
4.
lim
5.
6.
7.
8.
7
x
x2 4
3n
n 1 2 n
lim
1 7x2 x
3x 6
x2 x 3 8
3
10.
11.
12.
lim
2
3x x 5
Ответ:
21.
Ответ: 0
22.
Ответ: 1
23.
Ответ: 1/7
lim
x 7
lim
2x 6 2
x7
x 2 3x 10
x 2 x 2
x3 x
x
lim
x 0 1 3x 1
x
lim
3 x 3 x
lim
7 x 10
2 x3
x 7 x 2 49
lim
9 x2
x 3 3x 3
lim
x8
x8 3 x 2
26.
1
x3
lim
x1 x 1 x 2 1
27.
lim
Ответ: 1/4
2x 3 3
x 2 1
x3
x 4 2 x 5x 3
3
x 25
Ответ: 0
x x 4 3x 2 1
25.
x x 2 x 3
Ответ: 3/5
2
20. lim
Ответ:
x2 1
lim
Ответ: 3/4
24.
x3 1
lim
x5
Ответ: -3/2
lim
x
2
19. lim x 4x 5
x0
2
3
lim 1
x
x 4 x 2
x
9.
1
Ответ: -2/3
28.
x 6x
x 3x 1
lim
Ответ: 2/3
Ответ:
3
Ответ: -1/56
Ответ: -12
Ответ: 12
Ответ: 1
Ответ: 2/3
Ответ: -2
3
29.
2x 3 1
lim
x x 1
Ответ: 3 2
30
5
13.
lim
2x 4 5 9x3 1
6
x
9
30.
7
x x 1 x
15.
16.
x 4 3x
3
17.
18.
lim
5x
x2
33.
x2 4 x
4
x 3
lim
32.
4
4
x x 3x 1
34.
5
20
lim
x 2 4 x 2
x 2
35.
Ответ: -1/2
x 2 2x 1
x1
x 4 5x
2
lim
31.
lim x 3 2 x 2 x 3 3x
x
lim
lim
n 1 2 n1
3
14. lim x
x
x x 2 4
1 2n
lim
Ответ: 0
3
x x
x22
Ответ: ½
x 1 1
x 3 27
Ответ: -27/7
x3 2 x 2 5x 3
lim
10 t 2
Ответ: 1/10
t 10 t 1 5
lim
1 x 3x 3
x 1 x
2
3x
Ответ: -1
3
II. Используя «Замечательные пределы», вычислить:
arctg 3x
x 0 sin4 x
1.
lim
x
x 0 sin 3x
2.
4.
1 cos 6x
x 0 1 cos 2 x
ex 1
5. lim
x
x 0
lim
2
7. lim 1
x
x
3.
2x
1
10. lim x sin
x
x
tg x sin x
14. lim 1 3x
x 0
13. lim
x 0 x sin 2 x
2x
ln(1 3 x )
22. lim
x 0
sin 6 x
1
1 3x x
25. lim
x 0 1 2 x
9.
-
1
2
e
1
x 1
23. lim
x x 2
lim x ctg 2 x
12. lim
x0 3
sin 3x
2x 9
x
15. lim 1
2
x0
5/ x
2 x 1
5x
x 0
e
1
24. lim 1 2
x
x
e
2 3x x
27. lim
x 0 2 5 x
-6
x
1
26. lim 1 tgx
x 0
1
sin x
7/ x
2
3
18. lim 1 2 x x
x x 2 3x 4
sin x sin a
21. lim
xa
x a
2
17. lim x 2 x 3
x 3 x 2 5x 6
2
sin ax x
a
20. lim
x 0
tgbx
b
19. lim x 1 2x
x
1 cos 2 x
x
x 0
lim
1
6. lim 1
x
x
x
8. lim
x 1 x
ln(1 x )
11. lim
x 0 sin 2 x
3x
16. lim 2 x 1
x 0 2 x 1
lim
1
e
1
31
1
28. lim cos 2 x sin
2
x 0
x 1
e
2x 5
29. lim
e
x 2 x 3
ln(1 x ) ln 2 1
32. lim
x 1
x 1
2
2
x
31. lim 5 x ln( x 6) ln x 30
x
3
35. lim 2 x e x 1 6
x
ctgx
1
2
x 2 x
34. lim
2
30. lim sin x
x
tgx
2
1
125 1
33. lim
ln 5
x 0
3x
cos x
36. lim
1
x
2 x
2
x
Рекомендуемая литература:
по разделу «Математический анализ»:
1. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. 3-е изд. — М.: юнити-дана, 2007.
2. Краткий курс высшей математики / Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. — М.: АСТ, Астрель,
2001.
Семинар 9.
Тема: Определение производной. Геометрический смысл. Основные правила
дифференцирования. Таблица производных элементарных функций. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Техника дифференцирования. Производная функции в точке.
2. Дифференцирование неявно заданной функции.
3. Уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
Практические задания:
A.
Найти производные функций и вычислить их значение при х=х0 :
1) z( x , y ) x 2 2 y 2 3 xy 4 x 2 y 5
2) y( x ) x
1
2
3) y( x )
2x 2
1 ln 2 ( x ) ,
4) y( x ) ln( x
5) y( x ) sin( x )e
6) y( x ) ln 4
B.
y (2) - y (-2);
,
x 2 12 ),
cos( x )
,
1 tgx
,
1 tgx
Найти производные функций:
x 0 1;
x 0 2;
x0
2
;
x0 0.
32
1) y( x )
2)
y( x )
1 x2
1 x2
3
;
8)
x 3 3x 2 ;
;
;
2
y( x ) e x ;
12) y( x ) x 12 x 36 x ;
3
13)
3
3
7) y( x ) ln 1 ctg x ;
2
C.
1 x2
;
11) y( x ) x ln x ;
y( x ) x 2 e x ;
6)
x2
2
x3
9) y( x )
10)
x2
y( x )
;
3)
x1
3x 2
y( x )
;
4)
x2
5) y( x ) x ln x ;
y( x ) 2 xe
2
y( x ) 1 x ;
x
1
14) y( x )
x 2 1 ln( x x 2 1 );
2
2
Найти производные неявно заданных функций:
3) x xy ln y 2 в точке (2;1);
1) x y 1;
2
2
2) x xy y
2
D.
2
2
6;
4) e sin y e
x
y
cos x 0 .
Геометрическое приложение производной:
1. Составить уравнение касательной к кривой y
8
4x
2
в т. x0=2; в точке пересечения с осью
ОY.
2. Составить уравнение касательной к кривой y x 2x в точках пересечения её с прямой
2
3x y 2 0 .
3. Составить уравнение касательной к кривой y x ln( x e ) в т. x0=2.
4. Составить уравнение касательной к кривой y
x
в точке пересечения с осью ОY.
x2
5. В каких точках касательная к графику функции y
1 3 5 2
x x 7 x 4 образует с осью
3
2
ОХ угол в 45.
x2
6. В каких точках касательная к графику функции y 2x
образует с осью ОХ угол в 135.
2
33
x2
7. Дана кривая y
x . Составить уравнения касательных, проходящих через т. (2;-5).
4
Семинар 10.
Тема: Дифференциал функции. Производные высших порядков. Приложение производной в
теории пределов. (3 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие дифференциала и его геометрический смысл. Приложение дифференциала в
приближенных вычислениях.
2. Производные высших порядков (производная от производной).
3. Приложение производной в теории пределов. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия
0
неопределенностей вида и .
0
A.
B.
Практические задания:
Исследовать на монотонность и найти экстремумы функции:
1)
y( x) x 3 6 x 2 9 x 4;
6)
y( x) x ln 2 x;
2)
y ( x)
x4 x3
;
4
3
7)
y ( x)
3)
y ( x)
2
;
1 x2
8)
y ( x) ln 2 x 1;
4)
y( x) x 3 2 x 2 7 x 4;
9)
y ( x) ln( 2 cos x);
x3
y ( x)
;
1 x2
1 x2
.
10) y ( x )
1 x2
5)
ex
;
x
Используя приложение дифференциала вычислить приближенно значение функции:
f ( x x) f ( x) f ( x)x
1)
4
2)
tg 46 ;
0,95;
3)
C.
16,64 ;
4)
e 1, 03 ;
5)
5
255,15;
6)
ln( e 0,272);
7)
arctg
8)
ln( 0,1 0,12 1);
9)
f (2,01) , где f ( x) x 3 3x 2 3x;
10)
f ( x) 1 x 2 , x 0, x 0,01.
0,99
;
1,01
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном интервале:
34
1)
y( x) x 3 6 x 2 9 x 5,
[0;5];
2)
y( x) x 3 1,5x 2 6 x 1,
3)
y( x) 3x 2 6 x,
[-2;0];
[0;3];
1 x
,
ln x
4)
f ( x)
5)
y ( x) cos 2 x sin x, [0; ];
4
6)
y ( x)
(1; e];
x 2
,
8 x
[1;6].
Семинар 12.
Тема: Приложение производной к исследованию функции. Приложение второй производной
к исследованию функции. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Исследование функции на монотонность и экстремумы.
2. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
3. Определение интервалов выпуклости. Точки перегиба.
Практические задания:
A.
Вычислить пределы, используя правило Лопиталя – Бернулли:
0
Раскрытие неопределенностей вида , :
0
x 3 x 2 6x
;
x x 3 x 16
ln( x 2 3)
;
4. lim 2
x 2 x 3 x 10
7. lim x ln x;
1. lim
x 0
1
1
10. lim x
;
x 0 x
e 1
x3 27
27
13. lim 2
x 3 2 x 5 x 3
7
2
2x 7 x 6
1
16. lim
x 2 6 x x 2
5
1
19. lim x1 x e
x x0
e3 x esin x
4
x 0
x
22. lim
x 3 x 2 5x 3
;
x 1 x 3 4 x 2 5 x 2
x3 1
5. lim
;
x 1 ln x
1 xx
8. lim
;
x 1 1 x
11. lim x ln x x x 2 .
x
x3 x
0
x x 4 3 x 2 1
4 x2 5x 1
17. lim
3
x 1 3 x x 2 2
14. lim
x5 1 5
x 1 x 3 1
3
cos x
2 x) 1
23. lim(sin
x
1
x 2 16
8
2
x 4 x 5 x 4
3
ln(sin(5 x))
6. lim
1
x 0 ln(sin(2 x))
9. lim x ln x 0
3. lim
x 0
12. lim x x 1
x 0
15. lim
x 2
3x 6 1
x3 8 4
sin x
1
18. lim 1
x 0 x
tg 2 x 2 x 8
21. lim
x 0
x3
3
24. lim(tgx) x 1
x 0
2
1
ln x
f ( x)
f ' ( x)
lim
.
g ( x ) x x0 g ' ( x )
2. lim
20. lim
x 1
1
25. lim 1
x
x
lim
26. lim ln x x 1
x
x3 2 x 2 x 2
27. lim
5
x 2
sin( x 2)
35
2
tg x
28. lim 3 1
x 0 sin 4 x
6
B.
3
1
x 0
x 0
Найти асимптоты графиков функций:
1. y ( x)
3 4x
;
2 5x
2.
1 x2
;
1 x2
2 x 3 ln x
;
5. y ( x) 2
x 1
3. y ( x)
C.
30. lim(ctgx) ln x e 1
29. lim x1 ln x e3
4.
6.
1 x2
y ( x)
;
1 x2
3x 5
y ( x)
;
2 x4
x2
y ( x)
.
x 1
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции:
1. y( x) 2 x 3 3x 2 15;
4. y( x) 2 x 2 ln x;
2. y( x) x3 6 x 2
5. y( x) xe x ;
3. y( x) e x ;
6. y ( x)
2
x2 1
.
x2 1
Семинар 13.
Тема: Асимптоты графика функций. Общая схема исследования функций и построения их
графиков. (3 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Асимптотические линии графика функции.
2. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
3. Полная схема исследования функции и построения графика.
Практические задания:
1. Найти область определения и область значений функции.
2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат.
4. Найти интервалы знакопостоянства функции.
5. Найти асимптоты.
6. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.
7. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
A.
Провести полное исследование функций и построить их графики :
1) y( x )
1 x2
1 x2
;
7) y( x ) 2 xe
x2
2
;
36
2) y( x )
3
x 3 3x 2 ;
8) y( x )
x2
3) y( x )
;
x1
3x 2
4) y( x )
;
x2
5) y( x ) x ln x ;
2 x
6) y( x ) x e
x3
1 x2
x2
9) y( x ) e
;
;
10) y( x ) x ln x ;
11) y( x ) x 12 x 36 x ;
3
12) y( x )
;
2
1 x3 ;
3
Замечание: На семинарском занятии рекомендуется разобрать задания [1], [7], [8], [12].
Семинар 14-15.
Тема: Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от
основных элементарных функций. Основные методы интегрирования. (4 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Табличное интегрирование. Основные правила интегрирования. Метод разложения.
2. Интегрирование методом подстановки.
3. Формула интегрирования по частям.
Практические задания:
A.
Вычислить интегралы, используя таблицу:
dx
;
2
1
dx
9x
2.
sin
3.
4.
5.
7.
;
4x 2 1
(2 x 1) 2 dx
x x
2
( x 16)dx
x 2
9. tg xdx;
6.
;
10.
2
( x 2 3x 5)dx
;
x
sin
8.
;
2
В.
dx
;
x cos 2 x
x 2 dx
;
x2 4
1.
2
x
dx;
2
x 4 dx
.
x2 1
Вычислить интегралы, используя метод подстановки [замену переменной].
xdx
1.
(1 x
3.
x
5.
2
;
2.
sin( x 3 1)dx;
4.
6.
x
2 3
)
dx
4x 5
;
1 x 2 dx
;
x2
dx
x (1 x )
2 x dx;
;
37
ln xdx
;
x
7.
8.
x 1
dx
;
10.
sin x
1
( x sin )dx
x
9.
;
2
x
x dx
;
11.
x 16
sin x
sin( 2x)e dx;
15.
2 sin x 1 ;
6)
С.
e x dx
;
12.
x2
dx
14.
1
16.
x
cos xdx
xdx
1 x4
;
;
1
13.
2
dx
x
;
x
ln 2 xdx
3 ln x
dx
11)
;
sin 3 x
;
Найти интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
1)
2)
xe dx;
x sin xdx;
x
4)
sin(
5)
3)
ln x;
6)
4)
arcsin xdx;
7)
5)
6)
ln x
x
ln
2
2
dx;
xdx;
7)
sin(ln
8)
(x
2
x)dx;
4 x 1)e x dx;
8)
9)
10)
11)
x )dx;
ln(ln x)dx
;
x
xdx
cos 2 x ;
arcsin x dx
1 x
x sin xdx;
;
x cos xdx
;
sin 3 x
x 2 dx
( x 2 1) 2 ;
arctgxdx.
Семинар 16-17.
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования.
Геометрические приложения определенного интеграла. (4 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Интегрирование подстановкой. Формула интегрирования по частям.
3. Приложения определенного интеграла. Площади плоских фигур. Объемы тел вращения.
Практические задания:
38
А. Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить следующие определенные
интегралы методом подстановки:
2
1. (4 x 3 6 x 2 2 x 1)dx 5
1
4
1
cos x sin x dx 2
2
e
4.
1
4
sin(ln x )dx
x
dx
2x 3
6. tgx ln(cos x )dx
xdx
x2 1
8.
9. x 9 94 x 2 dx
10.
5
5.
2
5
7.
1
3
0
xdx
1
0
1
2
1
x dx
0
x 1
2 ln 2 1
3
11. 4 x 2dx
12. x 2 9 x 2 dx
1
2
0
2
13. 2 sin x 1 cos xdx 3 1 / 3
0
ln 2 2
2
1 32 3
ln
2
2
x x 1
4
0
2
В.
4
1 3x
0
3.
xdx
5
2.
4
14. tg 3 xdx
0
81
16
1 ln 2
2
Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить следующие определенные
интегралы методом интегрирования по частям:
1.
2.
0
1
3.
arctgxdx
ln 4
0
4
e2
4.
ln( x 4)dx 4 6 ln 2
2
0
1
7.
2
(arcsin x ) dx
0
8
6.
2
2
2
4
5x
xe dx 0,04
0
2
x3
0
1 x
2
dx
2 52
3
9
8.
e dx 4e 2
x
3
0
0,2
9.
ln xdx 2e 2
1
2
5.
ln 3 x
6e 16
1 x 2 dx e
e
x sin xdx
2
4
10.
sin x dx 2
0
С.
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
1)
y x 2 2,
2)
y x 2 ,
3)
y 4 x2 ,
y x; S 4,5
y x 2, y 0; S 5 / 6
y x 2 2 x; S 9
7)
y x 2 1,
y 3 x, x 0
8)
y x,
y 1 1 x 2 ; S /2 - 1
9)
y x2 ,
y 2 x, y x; S 7 / 6
39
4)
y x2 ,
y 0, x 1, x 2
5)
y x2 ,
y 2x 3
6)
y x 2 4 x 5, x - y 5, y 0, x 2
10)
y x 3 3x,
11) y
x,
12) y 1 / x,
y x; S 8
y 2 x, y 0; S 7 / 6
y x, x 2; S 3 / 2 ln 2
Семинар 18.
Тема: Функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференциал. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Частные производные.
2. Дифференцирование неявных функций. Полная производная.
3. Дифференциал функции двух переменных. Приложение дифференциала в приближенных
вычислениях.
Практические задания:
A.
Вычисление частных производных:
1) Найти частные производные до второго порядка включительно:
1.1.
z( x , y ) x 2 2 y 2 3 xy 4 x 2 y 5
1.2.
z( x , y ) x 3 y 3 4 xy
1.3.
z( x , y ) x 3 y xy 3
1.4.
z( x , y ) x 2 y 3
1.5.
z( x , y ) y ln x
, при x=1 и y=2
2) Найти частные производные в указанной точке:
2.1.
z( x , y ) x y x 2 y 2 , при x=3, y=4
2.2.
z( x , y )
2.3.
y
z( x , y ) arctg , при x=1, y=1
x
x 3y
, при x=2, y=4
y 3x
3) Найти z’x+ z’y при x=y=1, если z( x , y ) ln( 1 x y 2 )
4) Найти
B.
z y
zx
, если z( x , y ) ln( x 2 y 2 )
Приложение полного дифференциала в приближенных вычислениях:
1) Вычислить приближенно, применив линеаризацию функций двух переменных:
40
z( x x , y y ) z( x , y ) zx x zy y
1,024 ,05 1,08
ln( 0 ,09 3 0 ,99 3 ) 0 ,03
arctg
1,04 2 3,012 3,185
1,02
0 ,82
0 ,95
2) Найти производные неявно заданных функций, используя формулу
dy
z
x
dx
zy
1. xe 2 y y ln x 8
2. 1 xy ln( e xy e xy ) 0
3. x 2 ln y y 2 ln x
4. 1 xy ln(e xy e xy ) 0
Семинар 19.
Тема: Методы интегрирования дифференциальных уравнений I-го порядка (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения. Геометрический смысл. Общий
интеграл.
2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
3. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.
4. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
5. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной с
правой частью однородной функцией.
Практические задания:
I. Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
1. xyy 1 x 2
x
y 2 ln Cx2
1 x
y(0) 1 y
1 x
Cy
3. xy y y 3 x
y 2 1
Cx
, y 1
4. y xy 1 x 2 y, y (1) 1 y 1
x 1
2. y
1 y2
,
1 x2
2
5. x 2 y ' 1 y xy '
6. yy
1 2x
, y (0) 0
y
y
7.
xy2 x dx y x 2 y dy 0
8. y 2 1dx xydy
3
3x 3x 2
1 y
ln x C
2
C 1 x2
y 2 1, x 0
1 x
9. 2 x 2 yy y 2 2 y 2 2 Ce
y
0, y (e) 1
10. xy '
ln x
II. Решить дифф.ур-ия с правой частью однородной функцией нулевого порядка:
41
1)
y
x y
x y
5)
xy y xe x
2)
y 2 x 2 y xyy
6)
x 2 y 2 2 xyy
3)
y 2 xy x y ' 0, y(0)=1
7)
y 4 2 x 3 y x 4 2 xy 3 y ' 0
4)
y 2 x 2 y ' xyy ', y(1) 1
8)
y
y
y2
y
4
2.
x2
x
III. Построить математическую модель и решить задачу.
Скорость
обесценивания
производственного
оборудования
вследствие
его
износа
пропорциональна в каждый данный момент времени t его фактической стоимости y. Начальная
стоимость A0. Какова будет стоимость оборудования по истечении t лет?
Рекомендуемая литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
Семинар 20-21. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Методы решения. Уравнения Бернулли (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1 – го порядка. Структура общего
решения.
2. Метод Бернулли.
3. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.
4. Уравнение Бернулли. Методы решения.
Практические задания:
I. Решить ЛДУI:
1) y
y
x,
x
y (1) 1
3) y 2 xy xe x
2
y x
2
x 2
x2
y
e
C
2
ex
5) xy y e x 0, y(1) e y
x
1
x
, y (0) 0 y
7) y ytgx
cos x
cos x
II. Решить уравнения Бернулли:
2) y y e x
4) y
y ( x C)e
1 2x
y 1
x2
x
1
2 x
y
Cx
e
x2
6) 1 x 2 y 2 xy 1 x 2
8) y
2
y 2 x3 , y (1) 1
x
y x C 1 x
2
2
42
y
2
y x
x
1.
y 2
3.
y 2 y y e
2.
y y cos x ytgx
4
4. (1 x ) y 2 xy xy , y(0) 0, 5
2 x
2
2
5. xy y x y , y(1) 1
6. xy 2 x
7. xyy ' y 2 x 4 , y(1) 1
8. y ' ytg ( x) y 2 cos( x) 0, y(0) 1
2
2
3
2
y 4 y , y(1) 0
Рекомендуемая литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 22-23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Характеристическое уравнение. Определение фундаментальной системы решений в
зависимости от корней характеристического уравнения.
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Структура общего решения. Интегрирование линейных неоднородных
дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью уравнения.
3. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью уравнения.
4. Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка.
Практические задания:
I. Решение ЛОДУII:
Найти общее решение ЛОДУII
1. y y 2 y 0
y C e
2. y 2 y y 0
y e
3. y 4 y 5 y 0
y e
y 3 y 2 y 0, y (0) 3, y(0) 4
6.
C1 C2 x
7.
x
1
x
Найти решение задачи Коши ЛОДУII
2x
C2e
2 x
C1 cos x C2 sin x
y 2e x e 2 x
y 2 y y 0, y (0) 1, y(0) 0
y 1 x e x
8. y 2 y 2 y 0, y (0) 1, y(0) 1 y e x cos x
4. 4 y '' 6 y ' 3 y 0
9. y '' 6 y ' 25 y 0
5. y '' 4 y ' 29 y 0
10. 9 y '' 6 y ' y 0
II. Решить ЛНДУII с правой частью «специального» вида:
43
y C C e x x
y 3 y 2 y 2e
y C e C e e
y 2 y y 6e y e (C C x ) 3x e
1. y 3 y 1 6 x
2.
3.
3x
1
3x
x
3x
7. y '' 4 y sin 2 x
2 x
8. 3 y '' 7 y ' 2 y 3xe2 x
2x
1
x
6. y '' y x sin x
2
2
2
x
1
2
4. y y 2 y cos x 3sin x при y(0) 1, y(0) 2 y e x sin x
9. 2 y '' 5 y ' 2 y xe2 x
5. y 3 y 2 y sin x
10. y '' sin x
y C e
1
x
C2e2 x 0,3cos x 0,1sin x
III. Решить ЛНДУII методом Лагранжа (вариации произвольных постоянных):
ex
, y(1) e, y '(1) 3e
x
y xe x (1 ln x )
3. y '' y
1
, y( 2 ) 1, y '( 2 ) 0
sin x
y 2 cos x sin x x cos x sin x ln(sin x)
4. y '' y
1. y '' 2 y ' y
2. y '' y
1
, y(0) 1, y '(0) 0
cos x
y cos x(ln(cos x ) 1) x sin x
4 x2 1
, y(1) e 4, y '(1) e 2
x x
y e
x
4 x
Рекомендуемая литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
Семинар 24.
Тема: Классическое определение вероятности. Алгебра событий. Теоремы сложения и
умножения вероятностей. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Классическая формула вероятности.
2. Основные формулы комбинаторики.
3. Теорема сложения вероятностей событий.
4. Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей событий.
Практические задания:
A.
Классическое определение вероятности.
1. Из корзины, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара извлекают один шар. Найти
вероятность, что он - белый. Извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них
окажутся:
a) Один белый;
{ 15/56 }
b) Два белых;
{ 30/56 }
c) Три белых;
{ 10/56 }
44
d) Хотя бы один белый;
{ 55/56 }
2. В 10 экзаменационных билетах содержатся по 2 вопроса, которые не повторяются. Студент
знает ответы на 15 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для
этого достаточно ответить на один вопрос. {0,95}
3. В партии из 10 изделий 7 - стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу
деталей ровно 4 - стандартные. {0,5}
4. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются - 2. Найти вероятность того, что среди
взятых наудачу 5 билетов выигрышными окажутся один или два.
B.
{0,78}
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
1. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4,
либо 5, либо тому и другому одновременно. {7/18}
2. В барабане 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу извлечены 2. Вычислить вероятность того,
что оба они белые. {0,2}
3. Вероятность попасть в цель для первого снайпера 0,8; для второго - 0,9; для третьего - 0,7.
Найти:
a) Вероятность одного попадания;
b) Вероятность двух попаданий;
c) Вероятность хотя бы одного попадания.
4. Вероятность безотказной работы в течение гарантированного срока составляет для пылесоса
- 0,8 и для холодильника - 0,95. Какова вероятность того, что в течение срока гарантии
окажутся работоспособными:
a) оба прибора;
{ 0,76 }
b) один прибор;
{ 0,23 }
5. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на
первый вопрос 0,9; на второй - 0,7; третий - 0,4. Найти вероятность того, что студент сдаст
экзамен, если для этого достаточно правильно ответить на два вопроса.
6. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в неё в начале
стрельбы равна 0,8; а после каждого выстрела уменьшается на 0,2. Найти вероятность того,
что он попадает два раза.
Семинар 25.
Тема: Формула полной вероятности. Формула Байеса. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Полная группа событий. Вероятности гипотез. Априори. Апостериори.
2. Решение задач на формулу полной вероятности.
45
Практические задания:
А.Формула полной вероятности. Формула Байеса.
1. В пирамиде 10 винтовок [6 с оптическим прицелом и 4 без оптики]. Вероятность поразить цель
для винтовок соответственно 0,8 и 0,3. Из случайно выбранной винтовки произведен выстрел.
Найти вероятность поражения цели.
2. На склад поступили изделия с трех заводов [ 40% с первого; 35% со второго и 25% с третьего ].
На первом заводе было изготовлено 90% изделий первого сорта, на втором - 80%, на третьем
70%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие первого сорта. { 0,815 }
3. В корзину [ 2 белых и 1 черный шаров ] доложили один шар. После чего из неё наугад
извлекли один шар. Найти вероятность того, что он белый, если первоначально мог быть
доложен любой шар.
4. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое с вероятностью 0,4. Что
вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет.
5. В группе из 25 человек, среди которых три отличника, 15 хорошистов, 7 троечников
необходимо сдать зачет. Вероятность успешно сдать зачет для отличника 0,9; для хорошиста –
0,8; для троечника – 0,6. Вызванный наугад студент не сдал зачет. Какова вероятность того,
что он хорошист.
6. В группе из 200 мужчин и 300 женщин 5% мужчин и 3% женщин страдают бронхитом. Наугад
выбранное для обследования лицо страдает бронхитом. Какова вероятность того, что это
женщина.
7. Из 20 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 8 – с вероятностью 0,7 и остальные с
вероятностью – 0,4. Наудачу выбранный стрелок попал в мишень. К какой группе вероятнее
всего он принадлежит.
8. В одной из трех корзин 6 белых и 4 черных шара, во второй 7 белых и 3 черных, в третьей – 8
черных. Наугад выбирают одну из трех корзин и из неё шар. Он черный. Найти вероятность
того, что шар из второго ящика.
9.
Одна и та же контрольная работа была проведена в трех группах. В первой группе, где 30
студентов, оказалось 8 работ, выполненных на "отлично"; во второй, где 28 студентов, — 6
работ; в третьей, где 27 студентов — 9 работ. Найти вероятность того, что первая взятая
наудачу при повторной проверке контрольная из работ, принадлежащих группе, которая также
выбрана наудачу, окажется выполненной на "отлично".
10. В двух залах кинотеатра идут два различных фильма. Вероятность того, что на определенный
час в кассе первого зала есть билеты, равна 0,3, в кассе второго зала — 0,4. Какова
вероятность того, что на данный час в первой кассе есть билеты, а во второй — нет?
46
11. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное
лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что
мужчин и женщин одинаковое число).
12. На первом заводе на каждые 100 лампочек 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а
продукция их составляет соответственно 50%, 30%, 20% всех электролампочек, поставляемых
в магазины данного района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.
Семинар 26.
Тема: Последовательность независимых испытаний. Наивероятнейшее число появлений
события в серии из n независимых испытаний. Асимптотические формулы. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Схема и формула Бернулли.
2. Определение наивероятнейшего числа появлений события в серии из n независимых
испытаний.
3. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
5. Асимптотическая формула Пуассона.
Практические задания:
A. Схема и формула Бернулли. Асимптотические формулы.
1. Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что герб появится трижды.
2. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна 0,9984.
Найти вероятность попадания при одном выстреле.
3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах 0,64. Найти вероятность
трех попаданий при пяти выстрелах.
4. В цехе работают 4 станка, причем вероятность остановки в течение часа для каждого из них
одна и та же и равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа остановятся не менее
трех станков.
5. Вероятность изготовления пальто высшего качества на швейной фабрике 0,6. Изготовлено
600 пальто. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего качества и вероятность
этого события. Найти вероятность того, что изделий высшего качества будет не более 400.
6. Вероятность получения дивидендов по акции 0,8. Найти вероятность того, что дивиденды
принесут не менее 120 акций из 144.
47
7. С вероятностью 0,8 орудие при выстреле поражает цель. Произведено 1600 выстрелов.
Найти наивероятнейшее число попаданий. Найти вероятность того, что число попаданий
будет в интервале от 1000 до 1500.
8. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть семян
оценивается с вероятностью 0,75. { 0,036 }
9. Вероятность нарушения точности в сборке прибора составляет 0,2. Найти наиболее
вероятное число точных приборов в партии из 9 штук. {7,8}
10.Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если
вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. {0,05}
11.Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК равна 0,2. Найти вероятность того,
что среди 400 деталей проверку не пройдут от 70 до 100 штук. {0,8882}
12.Садовод сделал осенью шесть прививок. По опыту прошлых лет известно, что после
зимовки семь из каждых десяти прививок оставались жизнеспособными. Какое число
прижившихся прививок наиболее вероятно?
13.Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9. Найти
вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.
14.Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий.
Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных
изделий?
Семинар 27.
Тема: Дискретная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики. (2
часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие дискретной случайной величины.
2. Закон распределения. Табличная форма (ряд распределения). Многоугольник распределения
(графическая форма). Интегральная функция распределения вероятностей (аналитическая
форма).
3. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание.
Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
Практические задания:
A.
ДСВ. Ряд и многоугольник распределения. Функция распределения вероятностей.
Числовые характеристики.
48
1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить
закон распределения случайной величины Х – число стандартных деталей среди отобранных.
Построить многоугольник распределения. Найти F(x).
2. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон
распределения случайной величины X – число стандартных деталей среди отобранных.
3. Студенту для сдачи экзамена необходимо ответить на билет, содержащий два вопроса.
Вероятность того, что он знает первый вопрос 0,8; второй 0,6. Составить закон
распределения случайной величины X – число вопросов, на которые ответит студент. Найти
и построить график F(x).
4. В корзине находятся 4 белых и 2 черных шаров. Случайным образом извлекаются два. Найти
закон распределения случайной величины X – количество белых шаров среди извлеченных.
F(x), M(x), D(x).
5. Рассматривается случайная величина X – число появлений события в двух независимых
испытаниях. M(x)=1,2. Найти p и D(x), если вероятность события в каждом из испытаний
постоянна.
6. Дискретная случайная величина X представлена табличной формой закона распределения:
Xi
Pi
-4
0,2
6
0,3
Вычислить М(х), D(x), (x). Построить график F(x).
10
0,5
7. Дискретная случайная величина представлена рядом распределения:
Xi
x1=4
x2=6
x3=?
Pi
p1=0,5
p2=0,3
p3=?
Найти x3, p3, если M(x)=8.
8. Дискретная случайная величина принимает два значения, причем x1<x2. Найти закон
распределения случайной величины Х, если М(х)=1,4; D(x)=0,24; p1 0, 4 .
9. Известны возможные значения дискретной случайной величины Х: x1=-1, x2=0, х3=1.
Известно, что М(х)=0,1 и D(x)=0,89. Найти p1, p2, p3.
10. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для
случайной величины Х, заданной рядом распределения:
Х
Р
3
0,4
5
0,3
7
0,2
9
0,1
Семинар 28.
Тема: Непрерывная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики.
(2 часа)
49
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие непрерывной случайной величины.
2. Закон
распределения.
Интегральная
функция
распределения
вероятностей.
Дифференциальная функция распределения вероятностей (плотность распределения).
3. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание.
Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
Практические задания:
А.
Непрерывная
случайная
величина.
Функция
распределения,
плотность
распределения. Вероятность попадания в заданный интервал. Числовые характеристики.
1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x 0
F ( x) 81 x 3 , если 0 x 2 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
1, при x 2
P(1<X<3) – ?.
2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x 1
F ( x) 12 ( x 2 x), если 1 x 2 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и
1, при x 2
f(x). P(X<3/2) – ?.
3. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x 0
F ( x) cx 2 , если 0 x 3 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
1, при x 3
P(1<X<3) – ?.
4. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
0, при x 1
f ( x) x 12 , если 1 x 2 Найти F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
0, при x 2
P(0<X<3/2) – ?.
5. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
50
0, при x 1
f ( x) с, если - 1 x 1 Найти c, F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
0, при x 1
P(X<0) – ?.
6. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
0, при x 4
f ( x) с( x 4), если 4 x 6 Найти c, F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x)
0, при x 6
и f(x). P(X>5) – ?.
7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией плотности:
x 1
0,
2
f ( x) 3x , 1 x 0 .
0,
x0
8. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем a
неизвестно:
x 0,
0,
2
f ( x) a(3x x ), 0 x 3,
0,
x 3.
Требуется:
1. Найти коэффициент a.
2. Найти вероятность попадания X в промежуток (1; 2).
9. Функция распределения случайной величины X задана выражением
0, x 0,
x 2
F ( x) , 0 x 2, Найти функцию плотности.
4
x 2.
1,
Семинар 29.
Тема: Классические законы распределения случайных величин. Биномиальный закон.
Равномерное и показательное распределение. Нормальная случайная величина. (2 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Определение биномиального закона распределения дискретной случайной величины.
Свойства. Числовые характеристики.
2. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины. Свойства. Числовые
характеристики.
51
3. Показательный закон распределения непрерывной случайной величины. Свойства. Числовые
характеристики.
4. Нормальный закон распределения. Кривая Гаусса. Числовые характеристики. Основные
свойства. Правило трех сигм.
Практические задания:
Равномерное распределение.
1. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть
непрерывная случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [19;20].
Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 час. 22 мин. до 19 час. 46
мин.
2. Случайная величина X распределена равномерно и имеет следующие числовые
характеристики M ( x ) 2, D( x ) 3. Найти F ( x ), f ( x ) , построить графики.
3. Про случайную величину X известно, что X
R[4, 7]. Найти:
a ) f ( x); b) P X (6; 6, 81); c) M ( x), ( x).
Показательный закон распределения.
4. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с
0, 2 e 0, 2 t , при t 0, Найти: функцию распределения F ( t ) ;
плотностью: f ( t )
0,
при t 0.
математическое ожидание и дисперсию случайной величины T ; вероятность того, что
радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.
5. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 0, 4. Найти
интегральную и дифференциальную функции распределения, а также вероятность попадания
значений случайной величины в интервал (0,25;5).
6. Случайная величина X , равная длительности работы элемента, имеет плотность
распределения f ( t ) 0, 003 e 0, 003t , t 0. Найти среднее время работы элемента и вероятность
того, что элемент проработает не менее 400 часов.
7. Средняя продолжительность телефонного разговора составляет 3 мин. Найти вероятность того,
что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут.
Нормальный закон распределения.
8. Нормальная случайная величина задана числовыми характеристиками: М(х)=10, (x)=4.
Найти: f(x); P(2<X<13); P( ( X a 10).
52
9. Нормальная случайная величина задана числовыми характеристиками: М(х)=15, (x)=2.
Найти: f(x); P(10<X<17); P( ( X a 3).
10. Случайная величина распределена нормально с параметрами a = 8, = 3. Найти вероятность того,
что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5;14).
11. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое
ожидание) a = 40 см, среднее квадратическое отклонение = 0,4 см. Найти вероятность того,
что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.
12. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с
параметрами a = 0, = 9 мм. Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность
того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3
мм.
Рекомендуемая литература:
по разделу «Теория вероятностей»:
1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2004.
Семинары 30-31.
Тема: Общая характеристика и примеры задач линейного программирования. Экономикоматематическая модель производственной задачи. Теоретические основы анализа задачи
линейного
программирования.
Геометрическое
решение
задачи
линейного
программирования. (4 часа)
Рассматриваемые вопросы:
1. Экономико-математическая модель производственной задачи.
2. Стандартная, общая и каноническая формы постановки производственной задачи.
3. Целевая функция. Анализ области допустимых решений (системы ограничений задачи).
4. Нахождение области допустимых решений системы линейных ограничений.
5. Нахождение постоянных уровней функции цели.
6. Направление
возрастания
целевой
функции.
Градиент
функции.
Геометрическое
истолкование.
7. Геометрическое
нахождение
программирования.
оптимального
решения
основной
задачи
линейного
53
8. Геометрическое представление единственного оптимального плана.
9. Геометрическая интерпретация множества оптимальных решений.
10. Геометрическая иллюстрация отсутствия оптимального решения из-за неограниченности
функции цели.
Практические задания:
I. Решить графически систему линейных неравенств и найти координаты его угловых точек.
x1 x2 6
2 x1 x2 4
1) x1 2 x 2 4
x1 3
x2 4
x1 x2 6
x1 x2 2
2) x1 2 x2 0
x1 5
0 x2 3
4 x1 x2 8 0
x1 x2 4
3) x1 3 x2 6 0
x1 0
x2 0
II. Предприятие выпускает два вида продукции А и D. На изготовление единицы изделия А
требуется затратить а1 кг. сырья первого типа, а2 кг. сырья второго типа и а3 кг. сырья третьего
типа. На изготовление единицы изделия D требуется затратить d1 кг. сырья первого типа, d2 кг.
сырья второго типа и d3 кг. сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьём каждого типа в
количестве b1 кг., b2 кг., b3 кг. Стоимость единицы изделия А составляет c1 тыс. ден. ед., а
единицы изделия D
– c2
тыс. ден. ед. Составить план производства изделий А и D,
обеспечивающий максимальную сумму от их реализации. Решить задачу геометрически.
Задача 1.
а1 = 2 кг; d1 = 5 кг; b1 = 432 кг;
а2 = 3 кг; d2 = 4 кг; b2 = 424 кг;
а3 = 5 кг; d3 = 3 кг; b3 = 582 кг.
c1 = 34 тыс. руб.
c2 = 50 тыс. руб.
Задача 2.
а1 = 4 кг; d1 = 1 кг; b1 = 240 кг;
а2 = 2 кг; d2 = 3 кг; b2 = 180 кг;
а3 = 1 кг; d3 = 5 кг; b3 = 251 кг.
c1 = 40 тыс. руб.
c2 = 30 тыс. руб.
Задача 3.
а1 = 2 кг; d1 = 7 кг; b1 = 560 кг;
а2 = 3 кг; d2 = 3 кг; b2 = 300 кг;
а3 = 5 кг; d3 = 1 кг; b3 = 332 кг.
c1 = 55 тыс. руб.
c2 = 35 тыс. руб.
Задача 4.
а1 = 1 кг; d1 = 3 кг; b1 = 300 кг;
а2 = 3 кг; d2 = 4 кг; b2 = 477 кг;
а3 = 4 кг; d3 = 1 кг; b3 = 441 кг.
c1 = 52 тыс. руб.
c2 = 39 тыс. руб.
54
Рекомендуемая литература:
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике. — М.: ЮНИТИ, 2004.
Семинар 32.
Тема: Прямая на плоскости (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
4. Уравнение прямой в отрезках.
5. Нормальное уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
перпендикулярно известному вектору.
6. Общее уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
7. Расстояние от точки до прямой.
Практические задания:
Обязательный уровень
1.
Даны четыре точки на плоскости: A( 4; 4), B( 3; 2), C ( 2; 5), D(3; 2). Найти угол между
векторами AC и BD .
2.
.
2
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (1; 2) параллельно вектору
a ( 4;3) ( 2; 0) . / 3 x 4 y 5 0 /, / y 2 / .
3.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (1; 1) перпендикулярно вектору
n ( 1;1) . x y 2 0 .
4.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( 2; 3) перпендикулярно оси
абсцисс. x 2 .
5.
Вычислить угол между прямыми x 2 y 1 0 и 2 x y 3 0 .
6.
Вычислить взаимное расположение следующих пар прямых:
a.
6 x 15 y 7 0 и 10 x 4 y 1 0
b.
5 x 7 y 4 0 и 3x 2 y 13 0
.
2
55
c.
7.
x 2 y 1 0 и 2x 4 y 1 0
.
Найти расстояние от точки M 0 ( 2; 1) до прямой 3 x 4 y 22 0 . Определить координаты
проекции точки на данную прямую. d 4 .
8.
Дан
ABC с вершинами A(1; 0), B( 2; 3), C (3;1). Вычислить длину перпендикуляра BD ,
5 .
опущенного из вершины B на сторону AC .
9.
Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку A( 2;1) , одна из которых
параллельна прямой 3 x 2 y 2 0 , а другая перпендикулярна этой прямой.
/ 3x 2 y 4 0 /, / 2 x 3 y 7 0 / .
10.
Найти расстояние между прямыми 3 x 4 y 24 0 и 3 x 4 y 6 0 .
11.
Даны уравнения сторон
d 6 .
ABC :
3 x 4 y 24 0 / AB /, 4 x 3 y 32 0 / BC /, 2 x y 4 0 / AC / . Составить уравнение
высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины B , и найти их длины.
/ x 2 y 8 0, 4
12.
5 /, / 2 x 11 y 16 0, 5 5 /, / x 7 y 8 0, 203 2 / .
Составить уравнение прямой, проходящей через точку A( 2; 3) : а) параллельно оси Ox ; б)
параллельно оси Oy ; с) составляющей с осью абсцисс угол 45 .
13.
y 3, x 2, y x 1 .
Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых
2 x 3 y 1 0 и 3 x y 2 0 параллельно и перпендикулярно прямой y x 1 .
/ x y 0 /, / x y 2 0 / .
14.
Найти длину и уравнение высоты BD в треугольнике с вершинами
A( 3; 0), B( 2;5), C (3; 2).
15.
10 , 3 x y 11 0 .
Найти уравнение прямой, проходящей через точку A( 4; 3) и отсекающей от первого
координатного угла треугольник площадью 3 кв. ед.
16.
x
4
23y 1 .
Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y x 2 и x 5 y 6 0 . Диагонали
его пересекаются в начале координат. Найти уравнения двух других сторон
параллелограмма и его диагоналей.
/ x y 2 0 /, / x 5 y 6 0 /, / x y 0 /, / x 2 y 0 / .
Дополнительные задачи.
56
17.
ABC S 8 кв. ед. Две его вершины суть точки A(1; 2), B( 2; 3) , а третья
Площадь
вершина C принадлежит второй четверти и лежит на прямой 2 x y 2 0 . Определить
координаты вершины C .
18.
Найти проекцию точки P ( 6; 4) на прямую 4 x 5 y 3 0 . Найти расстояние от точки до
прямой.
19.
C (1; 4) .
(2; 1), 41 .
Найти точку Q , симметричную точке P ( 5;13) относительно прямой 2 x 3 y 3 0 .
(11; 11) .
20.
Даны две точки: P ( 2; 3), Q( 1; 0) . Составить уравнение прямой, проходящей через точку
Q перпендикулярно к отрезку PQ .
21.
x y 1 0 .
Даны вершины треугольника A(1; 1), B( 2;1), C (3; 5). Составить уравнение
перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведенную из вершины B .
4 x y 3 0 .
22.
Через точки M1(1; 2), M2 (2;3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой
прямой с осями координат и углы, которые образует прямая с осями координат.
(7;0),(0; ) .
7
3
23.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку P (3; 5) на одинаковых расстояниях
от точек A( 7; 3), B(11; 15) .
24.
x y 8 0,11x y 28 0 .
Даны вершины треугольника A(1; 2), B(5; 4), C ( 2; 0). Составить уравнения биссектрис
его внутреннего и внешнего углов при вершине A .
25.
5 x y 3 0, x 5 y 11 0 .
Дана прямая 2 x 3 y 4 0 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 (2;1) под углом 45 к данной прямой и образующей острый угол с осью абсцисс.
x 5 y 3 0 .
26.
Через точку пересечения прямых x y 1 0 и 2 x 3 y 4 0 провести прямую
перпендикулярную прямой 3 x y 7 0 .
x 3 y 11 0 .
27.
Найти внутренние углы треугольника с вершинами: A(1;1), B( 2; 3), C (5; 1).
28.
На плоскости заданы две точки: M (3; 2), N (5; 2) . На оси абсцисс найти такую точку P ,
чтобы MNP был прямым. Записать уравнение высоты, проведенной из точки P .
29.
Составить уравнение биссектрисы угла, образованного двумя прямыми x 3 y 5 0 и
3x y 2 0 .
4 x 4 y 3 0, 2 x 2 y 7 0 .
57
30.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2 x 7 y 8 0
и 3 x 2 y 5 0 под углом 45 к прямой 2 x 3 y 7 0 . Решить задачу, не вычисляя
координат точки пересечения данных прямых.
x 5 y 13 0, 5 x y 13 0 .
Рекомендуемая литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
Семинар 33.
Тема: Кривые второго порядка (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Окружность.
2. Эллипс.
3. Гипербола.
4. Парабола.
Практические задания:
I. ЭЛЛИПС.
1. Эллипс задан уравнением 9 x 2 25 y 2 225 . Найти полуоси эллипса, координаты фокусов и
эксцентриситет.
2. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что:
А) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = 3;
B) большая полуось a = 6, а эксцентриситет 0,5 ;
3
С) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ;
5
D) расстояние между фокусами равно 6, а a b 9 ;
Е) расстояние между фокусами равно 2 13 , а a b 1 .
3. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, если известно, что эллипс
проходит через точки M 1 (4;4 5 / 5) и M 2 (0;6) .
4. Эллипс проходит через точку M (4; 21) и имеет эксцентриситет 0,75 . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки M.
5. Найти длину хорды эллипса x 2 2 y 2 18 , делящей угол между осями пополам.
58
6. Ординаты всех точек окружности x 2 y 2 36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.
7. Определить траекторию точки M, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке
F (1;0) , чем к прямой x 4 .
II. ГИПЕРБОЛА.
1. Гипербола задана уравнением 3x 2 4 y 2 12 . Найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот.
2. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:
А) расстояние между фокусами равно 10, а между вершинами 8;
B) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет
3
;
2
4
C) расстояние между фокусами равно 20, а уравнения асимптот y x ;
3
D) мнимая полуось равна 4, а расстояние между фокусами 10.
3. Гипербола проходит через точку M (6;2 2 ) и имеет мнимую полуось b =2. Написать её уравнение и найти расстояния от точки M до фокусов.
4. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса
x2 y2
1.
25 9
5. Написать уравнения касательных к гиперболе x 2 4 y 2 16 , проведенных из точки A(0;2) .
6. Определить траекторию точки M ( x; y ) , которая при своем движении остается вдвое ближе к
прямой x 1, чем к точке F (4;0) .
III. ПАРАБОЛА.
1. Парабола задана каноническим уравнением y 2 6 x . Найти координаты фокуса, уравнение директрисы.
2. Написать уравнение параболы:
А) проходящей через точки (0; 0) и (1; -3) и симметричной относительно оси абсцисс;
B) проходящей через точки (0; 0) и (2; -4) и симметричной относительно оси ординат.
3. Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся её директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности.
4. Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ох и что точка пересечения прямых y x и x y 2 лежит на параболе.
59
5. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола проходит через
точки пересечения прямой x y 0 и окружности x 2 y 2 4 y 0 и симметрична относительно оси Oy.
6. На параболе y 2 6 x найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.
7. Из вершины параболы y 2 2 px проведены всевозможные хорды. Написать уравнение множества середин этих хорд.
8. Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от точки F(0; 2) и от прямой
y 4 . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат.
9. Написать уравнение множества точек одинаково удаленных от начала координат и от прямой
x 4 . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат.
Рекомендуемая литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А.,
Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
Организация самостоятельной работы студентов
График самостоятельной работы
№
Тема
Вопросы, выносимые на СРС
п/п
Содер-
Форма
Учебно-
жание
контроля
методиче-
СРС
СРС
ское обеспечение
1
2
1
Основы теории множеств
3
Понятие
множества.
Операции
над
4
5
6
УМ
Б
ДЛ3
УМ
Б
ДЛ3
множествами. Отображение. Функция.
Числовые множества. Грани числового
множества. Комплексные числа. Формы
записи
комплексного
алгебраическая,
числа:
тригонометрическая,
показательная. Кванторы, логические
символы и обозначения.
2
Линейные
Основная задача межотраслевого
модели в эко-
баланса. Модель Леонтьева
номике
многоотраслевой экономики
(балансовый анализ).
60
Список рекомендуемой литературы для тем, вынесенных на самостоятельное изучение:
1. Высшая математика для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера.-М.: Банки и биржи, 1997.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1986.
3. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
Тематика курсовых работ
Учебным планом курсовых работ по предмету «Математика» не предусмотрено.
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. Матрицы.
Основные определения: матрица прямоугольная и квадратная, матрица-строка и
матрица-столбец, нулевая и единичная матрица.
Действия над матрицами: произведение матрицы на число, сумма (разность) матриц,
произведение двух матриц, транспонирование.
Обратная матрица: её вычисление, проверка правильности нахождения.
Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.
2. Определители.
Определители второго порядка, вычисление.
Определители третьего порядка Методы вычислений.
Миноры и алгебраические дополнения.
Свойства определителей (два доказать). Теоремы замещения и аннулирования. Теорема
Лапласа.
3. Системы линейных уравнений.
Основные понятия: линейные уравнения, системы линейных уравнений.
Решение системы, системы совместные и несовместные, определённые и
неопределённые.
Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений.
Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными: случаи
несовместности, неопределённости и определённости системы.
Решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.
Формулы Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными.
61
Системы m линейных уравнений с n переменными (m < n).
Основные и неосновные переменные, базисные решения.
Базисные решения невырожденные и вырожденные, допустимые и недопустимые.
Вопросы к зачету
1. Матрицы.
Основные определения: матрица прямоугольная и квадратная, матрица-строка и
матрица-столбец, нулевая и единичная матрица.
Действия над матрицами: произведение матрицы на число, сумма (разность) матриц,
произведение двух матриц, транспонирование.
Обратная матрица: её вычисление, проверка правильности нахождения.
Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.
2. Определители.
Определители второго порядка, вычисление.
Определители третьего порядка Методы вычислений.
Миноры и алгебраические дополнения.
Свойства определителей (два доказать). Теоремы замещения и аннулирования. Теорема
Лапласа.
3. Системы линейных уравнений.
Основные понятия: линейные уравнения, системы линейных уравнений.
Решение системы, системы совместные и несовместные, определённые и
неопределённые.
Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений.
Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными: случаи
несовместности, неопределённости и определённости системы.
Решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.
Формулы Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными.
Системы m линейных уравнений с n переменными (m < n).
Основные и неосновные переменные, базисные решения.
Базисные решения невырожденные и вырожденные, допустимые и недопустимые.
4. Введение в математический анализ
Понятие функции.
Способы задания функции. Функции чётные и нечётные.
62
Возрастающие и убывающие функции (монотонные). Сложные функции.
Неявные и обратные функции.
Непрерывность функции. Некоторые свойства непрерывных функций.
Предел функции. Односторонние пределы.
Точки разрыва функции.
Основные теоремы о пределах.
Предел функции при неограниченном возрастании аргумента.
Бесконечно малая и бесконечно большая величины.
Два замечательных предела.
Список литературы
Основная литература
Учебники и учебные пособия:
1. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для вузов / Под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. 3-е изд. — М.: юнити-дана, 2010.
2. Краткий курс высшей математики / Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. — М.: АСТ, Астрель,
2001.
3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / Наум
Шевелевич Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 2007
4. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для вузов / Борис Павлович Демидович, Всеволод Александрович Кудрявцев. - М.: АСТ; Астрель, 2004
5. Шипачев В. С. Высшая математика: учебник для вузов / Виктор Семенович Шипачев. - 6-е
изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003.
Сборники задач:
6. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для экон. спец. вузов /
Н.Ш. Кремер, И.М. Трошин, Б.А. Путко и др.; Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2003.
7. Касьянов В. И. Руководство к решению задач по высшей математике: учеб. пособие / Владимир Ибрагимович Касьянов. - М.: Изд-во Юрайт; ИД Юрайт, 2011.
8. Сборник задач по высшей математике : в 2 ч.: учеб. пособие. Ч. 2 / под ред. А. С. Поспелова. - М.: Изд-во Юрайт; ИД Юрайт, 2011
9. Сборник задач по высшей математике : в 2 ч.: учеб. пособие. Ч. 1 / под ред. А. С. Поспелова. - М.: Изд-во Юрайт; ИД Юрайт, 2011. - 605 с
10. Высшая математика для экономистов: практикум / под ред. Н. Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
Дополнительная литература
11. Сборник задач по высшей математике : в 2 ч.: учеб. пособие. Ч. 1 / под ред. А. С.
Поспелова. - М.: Изд-во Юрайт; ИД Юрайт, 2011.
12. Сборник задач по высшей математике : в 2 ч.: учеб. пособие. Ч. 2 / под ред. А. С.
Поспелова. - М.: Изд-во Юрайт; ИД Юрайт, 2011.
13. Дьяченко С. А. Математика: учеб. пособие / Светлана Анатольевна Дьяченко; Федер.
агентство по образованию ; ГОУ ВПО "Орловская регион. акад. гос. службы". - Орел: Изд-во
ОРАГС, 2010.
14. Чесноков Е. А. Основы математического анализа: учеб. пособие для студентов по спец.
"Финансы и кредит", "Мировая экономика" / Евгений Александрович Чесноков; ФГОУ ВПО
"Сев.-Зап. акад. гос. службы". - СПб.: Изд-во СЗАГС, 2010
63
15. Филонов А. Г. Математические олимпиады: методика проведения, требования к заданиям,
анализ и решение задач / Анатолий Григорьевич Филонов, Елена Владимировна Чаева;
Федеральное агентство по образованию; Орл. регион. акад. гос. службы (ОРАГС). - Орел: Изд-во
ОРАГС, 2009
16. Кириллов А. Л. Введение в математический анализ элементарных функций: учебник /
Александр Леонардович Кириллов; Сев.-Зап. акад. гос. службы (СЗАГС). - СПб.: Изд-во СЗАГС,
2008.
Материалы текущего, промежуточного и итогового контроля
1 семестр
Примерный вариант аттестационной контрольной работы.
1. Вычислить определитель.
4. Найти обратную матрицу и выполнить
2
3
1 2
3
1
5
2
2 1
2
3
4
2
2
1
2. Найти обратную матрицу и выполнить
проверку, умножив ее на исходную.
проверку, умножив ее на исходную.
3 3 1
7 6 2
7 9 2
5. Решить систему уравнений методом
Крамера.
3x1 5x 2 2 x 3 4
4 x1 5x 2 x 3 8
3x 4 x 1
1
3
3 3 1
7 6 2
7 9 2
3. Решить систему методом Гаусса.
2 x1 x 2 3x 3 2 x 4 3
x 2 x x 3x 5
1
2
3
4
2 x1 3x 2 2 x 3 x 4 1
3x1 x 2 x 3 x 4 5
6. Найти ранг матрицы.
2 1
3 1
1 3
4 3
2 семестр
Примерный вариант аттестационной контрольной работы.
Вариант – 0
1. Найти решение следующих дифференциальных уравнений:
a. 1. y tgx tgy
b. 2. y
2
y ( x 1) 2 , y (0) 1
x 1
c. 3. y 5 y 4 y e x
d. 4. xy 4 y x2 y
3 1
2 0
4 2
1 1
64
2. Предприятие выпускает два вида продукции А и D. На изготовление единицы изделия А
требуется затратить а1кг. сырья первого типа, а2кг. сырья второго типа и а3кг. сырья третьего
типа. На изготовление единицы изделия D требуется затратить d1кг. сырья первого типа, d2кг.
сырья второго типа и d3кг. сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьём каждого типа в
количестве b1кг., b2кг., b3 кг. Стоимость единицы изделия А составляет c1 ден. ед., а единицы
изделия D – c2 ден. ед. Составить план производства изделий А и D, обеспечивающий
максимальную сумму от их реализации.
1. Решить задачу геометрически.
Вариант 0.
а1 = 1 кг; d1 = 5 кг; b1 = 401 кг; b1 = 259 кг; c1 = 22 тыс. руб.
а2 = 2 кг; d2 = 3 кг; b2 = 298 кг; b2 = 140 кг; c2 = 40 тыс. руб.
а3 = 6 кг; d3 = 2 кг; b3 = 600 кг; b3 = 0 кг.
65
РАЗДЕЛ 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
2.1. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса.
Данный учебно-методический комплекс ставит своей целью оказание помощи студентам
экономических специальностей академии в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков по дисциплине «Математика» в объеме действующей
программы. Эта работа требует не только большого упорства, но и умения, без которого затрата
сил и времени не дает должного эффекта. Читать, понимать прочитанное и применять его практически – вот в чем суть умения работать с методическими пособиями.
Особое внимание в комплексе уделено практикуму. Решение задач является лучшим способом творческого проникновения в математическую истину. Учебный комплекс – это, как правило, ключ сразу к нескольким основным задачника по соответствующей дисциплине. Оно содержит
классифицированные образцы решения типовых задач. Каждой задаче соответствует определенный раздел. Предложен полный и подробный план решения, содержащий необходимые теоретические сведения. Это может служить для рассуждений по аналогии.
Чтобы научиться решать задачи того или иного типа, рекомендуется сначала изучить план
решения в общем виде (алгоритм), затем рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае решив при этом не менее 3 – 5 задач из числа предлагаемых для самостоятельного решения.
Важной позицией является также то, что основным навыком профессионала является умение самостоятельно работать с литературой в процессе решения конкретной проблемы.
Конечно общих рецептов для решения разнообразных задач не существует, однако рекомендуем придерживаться следующих советов:
●
Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или некоторыми ее элементами.
●
Не следует приступать к решению, не обдумав условия и не найдя плана решения.
●
Попробуйте выделить в данной задаче серию вспомогательных, последовательное решение
которых может привести к успеху.
●
Определив алгоритм решения, реализуйте его, произведите проверку полученного результата и его анализ.
●
Очень успешным бывает применение функционально-графического метода.
●
Если решить задачу не удается, возможно снять проблему на консультации.
66
2.2. Рекомендации по работе с литературой
Очень важную роль играет выбор учебной литературы и методических пособий. Желательно придерживаться учебников из основного списка литературы при изучении всего курса, так как
замена может привести к утрате логической связи между отдельными темами.
2.3. Советы по подготовке к экзамену (зачету)
Фундамент математических знаний закладывается на лекционных и семинарских занятиях,
а также при подготовке к ним. Буквально с первого сентября необходимо выработать серьезное
отношение к конспекту по математике. Он должен в полном объеме содержать определения,
теоремы и выводы основных формул курса. Записи должны быть аккуратными. Не нужно
забывать, что они делаются для того, чтобы впоследствии с ними работать. Все теоремы и факты
нужно понять, а поняв, уметь их самостоятельно доказывать. Прочитав доказательство какой-то
теоремы, воспроизвести это доказательство на бумаге без конспекта или учебника.
Помните,
что
умение
решать
задачи
является
следствием
глубоко
понятого
соответствующего теоретического материала. Учебник нужно не просто читать, а изучать;
основой запоминания является понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение –
важнейшее
средство,
предотвращающее
забывание;
необходимо
выработать
привычку
систематической самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену или зачету дает слабый и
поверхностный результат.
Для успешной сдачи зачета и экзамена студент должен знать наизусть достаточно
солидный объем теорем, формул, алгоритмов, моделей. Не откладывая процесс заучивания на
последние три дня перед экзаменом, подготовка должна вестись с первых лекций. Будет очень
хорошо, если вы заведете себе личный справочник и будете его регулярно изучать, пополняя
новым материалом.
67
РАЗДЕЛ 3. МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ ПО ОСНОВНЫМ РАЗДЕЛАМ КУРСА,
ТЕСТЫ
Практические задания к разделу «Линейная алгебра».
Пример_1.
1 2 2
Вычислить определитель 2 1 1 :
3 1
4
а) разложив его по элементам первого столбца;
б) предварительно упростив с помощью элементарных преобразований.
Решение: а) Разложим заданный определитель по элементам первого столбца, которые
равны a11 = 1, a21 = 2, a31 = 3. Вычислим алгебраические дополнения этих элементов:
A11 ( 1)11
A21 ( 1) 21
A31 ( 1) 31
2 2
1 1
1 1
1
4
2 2
1
4
4 1 ( 1) 1 4 1 5 ,
2 4 ( 2) 1 10 ,
0 , так как первая строка пропорциональна второй.
Итак, применяя теорему Лапласа, получаем:
∆ = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 = 1 5 +2 (-10) + 3 0 = -15.
б) упростим определитель с помощью элементарных преобразований.
1 2 2
2 1
3 1
3 1 4
( 1) 3 2 5
тат запишем во второй столбец.
4
1 22 2
2 11
Сложим элементы второго и третьего столбцов. Резуль-
1
1 0 2
1 2 0 1
4
1 2
2 1
второго столбца, т. к. в нём содержится два
3 5
4
Вычислим определитель 2-го порядка.
( 5) (1 ( 1) 2 ( 2)) 15 .
Пример_2.
Разложим этот определитель по элементам
нуля.
Ответ: обоими способами получили ∆ = -15.
68
Вычислить определитель четвёртого порядка
2
4
4
6
4
2
5
7
3
2
8
5 столбца вычтем третий. Получим:
2
8
7
3
. Решение. Выполним следующие элементарные преобразования. Из второго
2 44 4 6
2 4 4 6
4 2 5 7
3 2 8 5
2
4 25 5 7
3 28 8 5
2 87 7 3
2 8 7 3
0
4 6
4 3 5 7
3 6 8 5
2
1
.
7 3
Затем из третьего столбца вычтем удвоенный первый:
2
4 22 6
0
4 3 5 42 7
3 6 8 32 5
2
2
7 22 3
1
0
0
6
4 3 3 7
3 6
2
5
2
1
3
3
2
0
0
.
Из четвёртого столбца вычтем утроенный первый:
2
0
6 2 3
0
4 3 3 7 4 3
3 6
2
5 3 3
2
3
3 2 3
1
0
4 3 3 5
3 6
2
4
2
3
3
1
.
Разложим этот определитель по элементам 1-й строки:
3 3 5
a11 A11 2 ( 1) 6
1 1
1
3 3 5
2
4 2 6
2
4 .
3
3
3
3
1
Сложим второй и третий столбцы, получим:
3 3 53
2 6
1
3 3 8
2
4 2 2 6
2
3
33
3
1
2 .
0
Из второго столбца вычтем утроенный первый и разложим определитель по элементам третьей
строки:
69
3 3 ( 3 ) 3 8
2 6
2 ( 6 ) 3
2 1 ( 1) 31
6
8
20 2
6
8
2 2 6 20 2 2 a 31 A31
3 1 3
1
3
0
1
0
0
2 6 ( 2) 20 ( 8) 2 ( 12 160) 296 .
Ответ: ∆ = 296.
Пример_3.
1 2 3
Для матрицы A 0 4 1 найти обратную.
5 0
0
Решение. Сначала запишем транспонированную матрицу:
0 5
1
A 2 4 0 .
3 1 0
T
Находим присоединенную матрицу. По определению, элементами присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы. Вычислим
элементы присоединенной матрицы.
A11 ( 1)11
A21 ( 1) 2 1
A31 ( 1) 31
4
0
1 0
0 , A12 ( 1)1 2
2 0
0
1 0
0 , A22 ( 1) 2 2
3
0
2
4
3
1
5
1 5
3 0
10 , A32 ( 1)3 2
1
5 , A13 ( 1)1 3
0 5
4 0
15 , A23 ( 1) 2 3
0
3 1
1
20 ,
5
2 0
1 , A33 ( 1) 3 3
1
10 ,
0
2 4
4.
Таким образом, матрица, присоединенная к матрице A, имеет вид:
A11
A A12
A
13
A21
A22
A23
A31 0
0
10
A32 5 15
1 .
A33 20 10
4
Пользуясь правилом треугольников, найдем
1 2
3
A 0
4
1 1 4 0 0 0 3 5 (2) (1) 3 4 5 0 1 ( 1) 0 0 ( 2) 10 60 50 .
5
0
0
70
Так как = –50 0, то матрица — неособенная и для неё существует обратная
A1
1
A.
A
Подставляя найденные определитель и присоединённую матрицу, находим обратную мат-
рицу:
10 0
0
0,2
15 1 0,1 0,3 0,02 .
0
1
1
A 1
A
5
A
50
20
0
10
4 0,4 0,2 0,08
Нам осталось сделать проверку, используя то свойство, что произведение заданной мат-1
-1
рицы A и найденной обратной A должно равняться единичной матрице, т. е. A A = E.
0
0,2
1 2 3 0
A A 0 4 1 0,1 0,3 0,02
5 0
0 0,4 0,2 0,08
1
0 0,2 1,2 0 0,6 0,6 0,2 0,04 0,24 1 0 0
0 0,4 0,4 0 1,2 0,2 0 0,08 0,08 0 1 0 E ,
000
0 0 1
000
1 0 0
следовательно, обратная матрица найдена верно.
0
0,2
0
Ответ: A 0,1 0,3 0,02 .
0,4 0,2 0,08
1
5 4 3 2
Пример_4. Определить ранг матрицы А = 3 3 2 2 .
8 1 3 4
Решение. В левом верхнем углу матрицы минор второго порядка отличен от нуля
5 4
3 3
3 0 . Два минора третьего порядка, которые его окаймляют равны:
5 4 3
5 4
2
3 3 2 = 118 – 118 = 0, 3 3 2 = 10 – 10 = 0.
8 1 4
8 1 3
Как видно, они нулевые, поэтому r(A) = 2.
Ответ: r(A) = 2.
Пример_5. Применяя метод Гаусса, решить систему уравнений:
71
x 2 3 x 3 x 4 10,
x 3 x 8 x x 22,
1
2
3
4
4 x 1 2 x 2 3 x 4 11,
x 1 6 x 2 2 x 4 0.
Решение. С помощью одного из уравнений надо исключить из всех последующих уравнений переменную x1. Поменяем местами первое уравнение со вторым, тогда получим:
x 1 3 x 2 8 x 3 x 4 22,
x 3 x x 10,
2
3
4
4 x 1 2 x 2 3 x 4 11,
x 1 6 x 2 2 x 4 0.
Шаг 1. Так как а11 = 1 0, можно исключить с помощью первого уравнения переменную
x1 из последующих уравнений. Как видно из системы, второе уравнение не содержит переменную
x1.Чтобы с помощью первого уравнения исключить переменную x1 из третьего уравнения, умножим первое уравнение на (-4) и прибавим полученное уравнение к третьему уравнению:
4 x1 12 x 2 32 x 3 4 x 4 88
4 x1 2 x 2 0 x 3 3 x 4 11 .
10 x 2 32 x 3 x 4 77
Это уравнение записываем вместо третьего. Теперь исключаем x1 из четвертого уравнения. Для этого первое уравнение умножаем на (-1) и складываем с четвертым:
x1 3 x 2 8 x 3 x4 22
x1 6 x 2 0 x 3 2 x 4 0
.
9 x 2 8 x 3 x4 22
Записываем полученное уравнение в четвертой строке новой системы. Сохраняем первое и
второе уравнения без изменения, а третье и четвёртое записываем в преобразованном виде, получим:
x1 3 x 2 8 x 3
x2 3 x3
10 x 2 32 x 3
9 x 2 8 x 3
x 4 22,
x 4 10,
x 4 77,
x 4 22.
Шаг 2. Рассмотрим новую систему. Здесь а22 = 1 0, следовательно, можно, оставляя без
изменения первое уравнение новой системы, с помощью второго уравнения исключить переменную x2 из последующих. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 10, а
к четвёртому — второе, умноженное на 9. В результате получим систему:
72
x1 3 x 2 8 x 3 x 4
x2 3 x3 x4
2 x3 9 x4
19 x 3 10 x 4
22,
10,
23,
68.
Шаг 3. Сохраняя первые два уравнения новой системы без изменения, с помощью третьего уравнения исключаем переменную x3 из последнего уравнения. Это возможно, так как а33 = -2
0. Прибавим к четвертому уравнению третье, умноженное на 19/2 = 9,5. В результате приходим к
системе треугольной формы, содержащей четыре уравнения и четыре переменные:
x1 3 x 2 8 x 3 x 4
x2 3 x3 x4
2 x3 9 x4
95,5 x 4
22,
10,
23,
286,5.
Следовательно, полученная и исходная системы являются совместными. Искомое решение находим, используя обратный ход метода Гаусса, т.е. все неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего уравнения. Из четвёртого уравнения находим:
x4 = 286,5 / (-95,5) = -3. Это значение x4 = -3.
Подставляем в третье уравнение системы и получаем:
-2x3 -9(-3) = 23, отсюда x3 = 2.
Далее, подставляем значения x3 и x4 во второе уравнение системы:
x2 + 32 - (-3) = 10, тогда x2 = 1.
Наконец, подстановка значений x2, x3, x4 в первое уравнение даёт:
x1 +31 +82 - (-3)=22, откуда x1 = 0.
Итак, данная система уравнений совместна и имеет единственное решение
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = -3.
Практические задания к разделу «Линейное программирование».
Пример_1. (об оптимальном использовании ресурсов).
Для производства двух видов изделий A и D предприятие использует три типа сырья.
Нормы расхода сырья каждого типа на изготовление единицы продукции данного вида приведены
в таблице. Здесь же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного типа, которое может быть использовано предприятием. Требуется составить
такой план выпуска изделий, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной.
73
Таблица
Тип сырья
Нормы расхода сырья
на одно изделие (кг)
A
D
Общее количество
сырья (кг)
I
12
4
300
II
4
4
120
III
Прибыль от реализации
одного изделия (ден. ед.)
3
12
252
30
40
Решение: 1. Математическая постановка задачи.
Пусть x1 — количество изделий вида A, x2 — количество изделий вида D, спланированных к
выпуску. В этом случае сырья первого типа потребуется затратить: на все изделия вида A в количестве a1x1 = 12x1 (кг); на все изделия вида D в количестве d1x2 = 4x2 (кг).
Значит, общие затраты сырья первого типа на производство всех запланированных изделий вида A и D составят a1x1 + d1x2 = 12x1 + 4x2 (кг). Сырья второго типа потребуется затратить: на все
изделия вида A в количестве a2x1 = 4x1 (кг); на все изделия вида D в количестве d2x2 = 4x2 (кг).
Итак, общие затраты сырья второго типа на производство всех запланированных изделий вида
A и D составят а2x1 + d2x2 = 4x1 + 4x2 (кг). Сырья третьего типа потребуется затратить: на все изделия вида A в количестве а3x1 = 3x1 (кг); на все изделия вида D в количестве d3x2 = 12x2 (кг).
Тогда общие затраты сырья третьего типа на производство всех запланированных изделий вида
A и D составят а3x1 + d3x2 = 3x1 + 12x2 (кг). При этом после реализации всех изделий будет получена прибыль F = c1x1 + c2x2 = 30x1 + 40x2 (ден. ед.).
Учтём, что затраты сырья не могут превышать их первоначальных запасов, а количество произведённых изделий не бывает отрицательным; тогда ограничения будут иметь вид:
12 x 1 4 x 2 300,
4 x 4 x 120,
1
2
3 x 1 12 x 2 252,
x 1 0, x 2 0.
Общая прибыль от реализации изделий, т.е. целевая функция, имеет вид:
F = 30x1 + 40x2 max.
2. Найдем решение задачи, используя ее геометрическую интерпретацию.
Определим многоугольник решений.
Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных
знаки неравенства заменим знаками точного равенства и построим соответствующие прямые
(рис. 1.):
74
12x1 + 4x2 = 300
(I)
4x1 + 4x2 = 120
(II)
3x1 + 12x2 = 252 (III)
x1 = 0
(IV)
x2 = 0
(V)
x2
IV
I
II
B
A
с
O
III
C
V
Fmax
F=0 D
x1
Рис. 1.
Пересечение найденных полуплоскостей определяет многоугольник решений задачи. На рис. 1.8 это
многоугольник OABCD. Строим вектор c (30;40) и линию уровня F = 0. Перемещая линию уровня в
направлении вектора c , видим, что последней общей точкой является точка B. Найдем ее координаты
как точки пересечения прямых II и III:
4 x1 4 x 2 120,
3 x1 12 x 2 252.
Решая систему, получим x1* 12, x 2* 18 .
Следовательно, если предприятие изготовит 12 изделий вида A и 18 изделий вида D, то оно
получит максимальную прибыль, равную
Fmax = 3012 + 4018 = 1080 (ден. ед.).
Практические задания к разделу «Математический анализ. Предел и непрерывность
функции».
2x2 3x 2
Пример_1. lim
.
x2
x2 2x
75
Решение. Подстановка предельного значения x = 2, дает нам неопределенность вида 0/0.
Избавимся от нее путем разложения числителя и знаменателя на линейные множители.
2x2 – 3x – 2 = 0 — квадратный трехчлен, корни которого находим по формулам корней
квадратного уравнения: x1, 2
3 9 422 3 5
1
b b 2 4ac
, т. е. x 1, 2
. Итак, x 1 ,
2a
22
4
2
x2 = 2. Зная корни, имеем разложение трехчлена: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) или, в нашем слу1
чае, 2 x 2 3 x 2 2 x x 2 2 x 1 x 2 .
2
Аналогично получаем для знаменателя x2 – 2x = x(x – 2). Тогда наш предел примет вид:
2 x 1 x 2 2 x 1 .
2x 2 3x 2
lim
lim
lim
2
x 2
x 2
x 2
x 2x
x x 2
x
Теперь подставим под знак предела значение x = 2:
2 x 1 2 2 1 5 .
lim
x 2
Пример_2. lim
x 1
x
2
2
x 1
.
x 8 3x
Решение. Подстановка предельного значения x = –1 дает неопределенность вида 0/0. Из2
бавимся от нее, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, т.е.
на
x 2 8 3 x ; тогда имеем:
lim
x 1
x 1
x2 8 3x
x 2 8 3x
x 2 8 3x
lim
x 1
x 1 x 2 8 3 x .
x 2 8 3x
lim
x 1
x 2 8 9x 2
8 8x 2
x 1
В знаменателе выносим общий множитель, раскладываем разность квадратов и получаем
x 1 x 8 3 x x 1 x 8 3 x
lim
lim
81 x
81 x 1 x
2
lim
x 1
2
2
x 1
x 1
93 3
x 2 8 3x
.
lim
x 1
82
8
81 x
5x3 7x2 2
.
2x3 4x 3
Решение. Имеем неопределенность вида /. Разделим числитель и знаменатель дроби на
Пример_3. lim
x
старшую степень x, т.е. на x3:
5x3 7x2 2
5 7 x 2 x3
5
lim
lim
3
2
3
x
x
2x 4x 3
24 x 3 x
2
(т.к. выражения 7/x, 2/x3, 4/x2, 3/x3 при x имеют своим пределом 0).
Пример_4. Доказать равенства:
а) lim
x 0
tgx
arctg x
1 cos x 1
1 ; б) lim
1 ; в) lim
.
x 0
x 0
x
x
x2
2
76
Решение. а) lim
x 0
tgx
1
sin x
1
sin x
lim
1 (так как lim
cos x 1 ).
lim
x 0
x 0
x 0
x
x lim
cos x
x cos x
x 0
б) Сделаем замену переменной y = arctgx. Тогда x = tgy и y стремится к нулю вместе с x.
Таким образом, имеем lim
x 0
arctg x
y
lim
y 0
x
tgy
1
1.
tgy
lim
y 0
y
x x
в) Так как 1 cos x 2 sin 2 ,
стремится к нулю вместе с x, и, следовательно, lim
x 0
2 2
sin
x
2
x
2 1,
2
x
x
2 sin
sin
1 cos x
1
2 lim
2 1.
то lim
lim
2
2
x 0
x 0
x 0
x
x
2 x
2
2
2
2 x 7
3x 2
Пример_5. lim
1 .
x
3x 4
Решение. Выделяем в круглых скобках единицу, для чего делаем следующие преобразо-
вания:
3 x 2 3 x 2 4 4 ( 3 x 4) 6 3 x 4
6
6
1
.
3x 4
3x 4
3x 4
3x 4 3x 4
3x 4
Теперь воспользуемся вторым замечательным пределом:
3 x 4
3 x 4
6 6
lim
1
x
3x 4
e
6
6
lim
1
x
3x 4
2 x 7
2 x 7
6
lim
e 3 x 4
x
( 2 x 7 )
.
Предел в показателе степени вычислим как предел отношения многочленов:
6( 2 x 7)
12 x 42
3x 2
lim
lim
4 . Следовательно, lim
n
n
x
3x 4
3x 4
3x 4
3
Пример_6. lim
x 0
e4 .
1 2x 1
.
1 sin 8 x 1
Решение. Числитель запишем в виде
4
(1 2 x)1 3 1 , а знаменатель — в виде
(1 sin 8 x )1 4 1 . Используя соотношение 1 x 1
(1 2 x)1 3 1
, при x 0 получаем:
1
1
2 x , (1 sin 8 x )1 4 1 sin 8 x .
4
3
1
2x
1 2x 1
3
Значит, lim
lim
sin 8 x ~ 8 x lim
x 0 4
x 0
1 sin 8 x 1 x 0 1 sin 8 x
4
3
2 x 7
1
2x
4 2x 1
3
lim
.
x 0
1
3 8x 3
8x
4
77
Пример_7. Исследовать на непрерывность функцию f ( x ) arctg
Решение. Выражение
1
.
x
1
не определено при x = 0, следовательно, точка x = 0 есть точка
x
разрыва заданной функции. Определим вид разрыва.
Выполним замену переменной t
lim
arctg
x 0
1
, тогда при x 0 t и
x
1
1
lim
arctg t , lim
arctg lim
arctg t .
t
x 0
t
x
2
x
2
Таким образом, при x = 0 имеем разрыв первого рода, а именно — скачок.
РАЗДЕЛ 4. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ (ГЛОССАРИЙ)
Алгебраическое дополнение – для данного минора M квадратной матрицы A это такое
число (-1)kM', где M' – определитель, образованный элементами матрицы A, остающимися после
вычеркивания в A строк и столбцов, образующих M, k – сумма номеров строк и столбцов,
входящих в минор M.
Алгоритм – точное формальное предписание, однозначно определяющее содержание и
последовательность операций, переводящих заданную совокупность исходных данных в искомый
результат.
Альтернативная гипотеза – предположение, принимаемое в случае отклонения нулевой
гипотезы.
Аппликата – третья из декартовых координат точки в трехмерном пространстве.
Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое последующее
число получается из предыдущего прибавлением некоторого постоянного числа.
Асимптота – такая прямая, что расстояние от точки на данной кривой до этой прямой
стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.
Ассоциативность – свойство алгебраических операций сложения (+) и умножения ()
чисел, выражаемое тождествами: (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c).
Базис векторного пространства – система линейно независимых векторов, линейными
комбинациями которых можно представить любой вектор этого пространства.
Базис ортонормированный – базис векторного пространства, образованный единичными
попарно ортогональными векторами.
78
Вариационный ряд – совокупность величин, расположенных в порядке их возрастания.
Вариационный ряд полностью определяется указанием различных значений входящих в него
величин и числа членов ряда.
Вырожденная матрица – матрица, определитель которой равен нулю.
Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой каждое последующее
число получается из предыдущего умножением на некоторое постоянное число.
Геометрическое место точек – множество точек (образующих кривую или поверхность),
выделяемых из всех точек пространства каким-либо геометрическим требованием или свойством.
Геометрия – часть математики, изучающая пространственные отношения и формы тел, а
также их обобщения.
Геометрия аналитическая – раздел геометрии, в котором геометрические объекты
изучаются средствами алгебры на основе метода координат.
Гипербола – плоская кривая второго порядка, получающаяся при пересечении кругового
конуса плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной двум его образующим;
каноническая форма уравнения гиперболы в прямоугольных координатах
x2 y 2
1, где a –
a 2 b2
действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы.
Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения некоторого явления и
требующее верификации.
Гистограмма – столбиковая диаграмма, показывающая распределение значений некоторой
переменной по выбранной совокупности интервалов, покрывающих область изменения этой
переменной.
Граф – математический объект, заданный множеством вершин и набором упорядоченных
пар вершин (ребер).
Действительные (вещественные) числа
– числа, представимые всевозможными
десятичными дробями.
Диагональная матрица – квадратная матрица, все элементы которой, кроме, быть может,
элементов главной диагонали, равны нулю.
Директриса – прямая, обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой
точки кривой до фокуса к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная,
равная эксцентриситету.
Дискретные случайные величины – случайные величины, которые принимают
отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Дисперсия –
характеристика случайной величины, определяемая как математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
79
Дистрибутивность – свойство алгебраических операций сложения (+) и умножения (),
выражаемое тождествами: a (b c) (a b) (a c) и (a b) c (a c) (b c) .
Длина вектора – положительное значение квадратного корня из скалярного произведения
вектора на себя.
Достоверное событие – событие, которое обязательно происходит при каждом испытании;
вероятность этого события равна единице.
Единичная матрица – диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой
равны единице; обозначается обычно E или I.
Зависимые события – события, для которых вероятность одного из них меняется в
зависимости от того, произошло другое или нет.
Закон распределения случайной величины – соответствие между возможными
значениями случайной величины и их вероятностями.
Иррациональные числа – числа, не представимые обыкновенными дробями.
Испытание – изучение какого-либо явления в порядке наблюдения.
Качественный регрессионный анализ – группа методов многомерного анализа данных,
позволяющих оценить влияние нескольких номинальных независимых признаков (предикторов)
на зависимый признак.
Квадратная матрица – матрица, у которой число строк равно числу столбцов.
Ковариационный
анализ
–
совокупность
методов
математической
статистики,
предназначенных для выявления зависимости среднего значения некоторой случайной величины от набора неколичественных факторов, задающих условия качественной природы, при которых
получены наблюдения; и одновременно – от набора количественных факторов (сопутствующих
переменных).
Коллинеарность – свойство векторов (1.), заключающееся в том, что они лежат на
параллельных
прямых
или
на
одной
прямой.
Компоненты
коллинеарных
векторов
пропорциональны.
Комбинаторика – раздел математики, изучающий составление различных комбинаций из
заданных объектов.
Коммутативность – свойство алгебраических операций сложения (+) и умножения () чисел,
выражаемое тождествами: a+b=b+с, ab=ba; вычитание и деление чисел некоммутативны.
Компланарность – свойство векторов (1.), заключающееся в том, что все они параллельны
одной плоскости.
Комплексное число – число, включающее действительную и мнимую части.
Координата – одно из чисел, совокупность которых характеризует положение точки;
каждая координата имеет свой порядковый номер в этой совокупности.
80
Координаты декартовы – прямолинейные координаты, у которых все оси взаимно
перпендикулярны; для нахождения координат произвольной точки M из неё опускаются
перпендикуляры
на
соответствующие
оси;
координатами
точки
M
являются
числа,
характеризующие положения оснований перпендикуляров на этих осях.
Корреляционный анализ – статистические методы обнаружения корреляционной
зависимости между двумя или более случайными признаками или факторами.
Корреляция – связь переменных, при которой одному значению одного признака
соответствует несколько значений другого признака, отклоняющегося в ту или иную сторону от
своего среднего значения.
Коэффициент угловой – тангенс угла между данной прямой и осью абсцисс.
Кривая второго порядка – плоская линия, декартовы координаты которой удовлетворяют
алгебраическому уравнению второй степени a11x 2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0 , где не все
aij равны нулю одновременно для i, j = 1,2.
Линейная зависимость – зависимость между элементами векторного пространства,
заключающаяся в том, что некоторая линейная комбинация этих элементов равна нулю, хотя не
все коэффициенты равны нулю.
Линейная корреляция – корреляция, при которой отношение степени изменения одной
переменной к степени изменения другой переменной является постоянной величиной.
Линейно независимые решения – решения, никакая линейная комбинация которых не
равняется нулю тождественно.
Линейные уравнения – уравнения вида Ax = b, где A –линейный оператор, x – неизвестная
переменная, b – константа (в широком смысле).
Линия
регрессии
–
линия,
которая
точнее
всего
отражает
распределение
экспериментальных точек на диаграмме рассеяния и крутизна наклона которой характеризует
зависимость между двумя интервальными переменными.
Логарифм числа – показатель степени, в которую возводится основание для получения
данного числа.
Максимум – значение функции, которое не меньше любого из её значений в некоторой
окрестности аргумента.
Математика – система наук, изучающих количественные отношения и пространственные
формы реальности.
Математическая модель – приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с
помощью математической символики.
81
Математическая статистика – наука, изучающая методы раскрытия закономерностей,
свойственных большим совокупностям однородных объектов, на основании их выборочного
обследования.
Математическое ожидание – среднее значение случайной величины, определяемое как
сумма произведений случайной величины на их вероятности (дискретное распределение
случайной величины) или интеграл от произведения случайной величины на функцию плотности
вероятности (непрерывное распределение случайной величины).
Математическое программирование – раздел математики, исследующий математические
модели и методы решения многоэкстремальных задач с ограничениями.
Матрица – прямоугольная таблица, состоящая из элементов, расставленных в m строк и n
столбцов.
Обозначается
двойными
линейками,
круглыми
или
квадратными
скобками,
охватывающими таблицу слева и справа.
Матрица корреляции – числовая матрица коэффициенты корреляции для всех пар
анализируемых переменных.
Матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца и имеющая размер m 1.
Матрица-строка – матрица, состоящая из одной строки и имеющая размер 1 n.
Минор – определитель матрицы, составленный с сохранением порядка из элементов,
стоящих на пересечениях заданных k разных строк и k разных столбцов данной матрицы.
Мнимая единица – число, квадрат которого равен минус единице.
Многомерный
статистический
анализ
–
раздел
математической
статистики,
развивающий математические методы выявление характера и структуры взаимосвязей явлений,
характеризующихся большим количеством различных свойств.
Множественная корреляция – корреляция между одной зависимой переменной и
комбинацией двух или более независимых переменных, которая дает оценку смешанного влияния
на зависимую переменную.
Множественная
регрессия
–
статистическая
процедура
изучения
зависимости,
существующей между зависимой переменной и несколькими независимыми переменными.
Множество – совокупность объектов, объединенных общим для них признаком.
Наибольший общий делитель– наибольшее натуральное число, на которое делится без
остатка каждое из данных чисел.
Наименьшее общее кратное – наименьшее натуральное число, которое делится без
остатка на каждое из данных чисел.
Натуральные числа – целые положительные.
Начало координат – точка пересечения осей координат, являющаяся началом отсчёта;
обычно обозначается буквой O.
82
Невозможное событие – событие, которое при заданной совокупности условий произойти
не может; его вероятность равна нулю.
Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля.
Независимые испытания – испытания, для которых вероятность того или иного исхода
каждого из испытаний не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.
Независимые события – события, для которых появление любого их них не изменяет
вероятности появления другого.
Нелинейная корреляция – корреляция, при которой отношение степени изменения одной
переменной к степени изменения другой переменной является изменяющейся величиной.
Неоднородность – отсутствие у системы уравнений или уравнения свойства однородности.
Непрерывные случайные величины – случайные величины, которые могут принимать
все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Несовместность – свойство системы уравнений или неравенств, заключающееся в
отсутствии решения, удовлетворяющего всем составляющим системы.
Несовместные события – события, которые не могут осуществиться в одном и том же
испытании.
Нормаль – перпендикуляр к касательной плоскости или к касательной в данной точке.
Нулевая гипотеза – предположение об отсутствии взаимосвязи или корреляции между
исследуемыми переменными.
Нуль-вектор – вектор, все компоненты которого равны нулю.
Обратная матрица – матрица, которая, будучи умножена справа или слева на данную, дает
единичную матрицу. A-1 – обозначение матрицы, обратной к A.
Общее решение – решение системы линейных алгебраических уравнений, зависящее от
нескольких параметров, из которого при частных значениях этих параметров можно получить
любое решение.
Обыкновенная дробь – отношение двух целых чисел.
Окружность – множество всех точек плоскости, находящихся на одном и том же
положительном расстоянии R (радиус окружности) от данной точки этой плоскости (центра
окружности).
Определитель – сумма всех возможных для данной квадратной матрицы произведений
членов определителя, взятых с соответствующими знаками; обозначается в виде таблицы элементов
данной матрицы, ограниченной по бокам простыми вертикальными чертами.
Ордината – вторая из декартовых координат точки.
Орт – единичный вектор, т.е. вектор, длина которого равна единице.
83
Ось – Прямая, на которой путем задания единичного вектора указаны направление,
единица длины и начало отсчёта.
Ось абсцисс – первая из осей декартовой системы координат на плоскости или в
пространстве.
Ось аппликат – третья из осей декартовой системы координат в пространстве.
Ось действительная – отрезок между вершинами гиперболы.
Ось координатная – часть системы координат, являющаяся прямой с заданным на ней
направлением и масштабом длины.
Ось кривой второго порядка – прямая, относительно которой данная кривая расположена
симметрично.
Ось мнимая – перпендикуляр к действительной оси гиперболы, проходящий через её
центр.
Ось ординат – вторая из осей декартовой системы координат на плоскости или в
пространстве.
Отображение – правило перехода одного элемента множества A в один элемент множества
B.
Отрицательная корреляция – корреляция, при которой увеличение одной переменной
связано с уменьшением другой переменной.
Парабола – плоская кривая второго порядка, получающаяся при пересечении кругового
конуса плоскостью, не проходящей через его вершину и параллельной одной из его образующих.
Параллелограмм – плоский четырехугольник, противоположные стороны которого
попарно параллельны.
Параллельность – отсутствие общих точек у двух прямых, лежащих в одной плоскости,
или у прямой и плоскости, или у двух плоскостей.
Перестановки – группировки из данных элементов, отличающиеся друг от друга их
порядком.
Перпендикуляр к плоскости – прямая, пересекающая под прямым углом любую прямую,
лежащую в данной плоскости и проходящую через точку пересечения.
Перпендикуляр к прямой – прямая, пересекающая под прямым углом данную прямую.
Перпендикулярность – взаимное свойство двух прямых, прямой и плоскости или двух
плоскостей, которые пересекаются друг с другом и образуют в точке пересечения прямой угол (две
плоскости в этом случае образуют по линии пересечения двугранный прямой угол).
Плоскость – один из основных объектов геометрии, определяемый аксиоматически своими
отношениями с прямой и точкой. В трёхмерном евклидовом пространстве это – множество точек,
84
декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению Ax By Cz D 0 , где A, B, C не
равны нулю одновременно.
Плоскость координатная – плоскость, содержащая две оси координат.
Положительная корреляция – корреляция, при которой увеличение одной переменной
связано с увеличением другой переменной.
Полуось – одна из величин a и b в уравнениях эллипса, гиперболы.
Проверка
статистических
гипотез
–
процедура
установления
согласованности
выборочных значений некоторой случайной величины с определенным вероятностным
предположением о ее распределении.
Произведение вектора на скаляр – вектор, компоненты которого равны соответствующим
компонентам данного вектора, умноженным на данный скаляр.
Произведение событий – событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пропорция – равенство двух отношений.
Пространство n-мерное – векторное пространство, в котором существует n линейно
независимых векторов, но всякие n + 1 векторов линейно зависимы.
Пространство евклидово – конечномерное векторное пространство, в котором определено
скалярное произведение для любых двух векторов, причём скалярный квадрат ненулевого вектора
положителен.
Процент – сотая часть числа.
Прямая – 1. один из основных объектов геометрии, определяемый аксиоматически; 2.
множество точек в евклидовой плоскости, прямоугольные декартовы координаты которых ( x, y )
удовлетворяют уравнению ax by c 0 , где a и b не равны нулю одновременно; 3.
пересечение двух различных плоскостей в евклидовом трёхмерном пространстве.
Пучок прямых – множество прямых, лежащих в одной плоскости и проходящих через
одну и ту же точку (центр пучка).
Равновозможные события – события, для которых есть основания считать, что ни одно из
них не является более возможным, чем другое.
Равносильность – свойство двух или нескольких уравнений с одним неизвестным (или
систем n уравнений с m неизвестными), заключающееся в том, что они имеют одно и то же
множество корней (решений).
Равносильные уравнения – уравнения, совокупности решений которых совпадают.
Радиус – отрезок, соединяющий любую точку окружности или сферы с центром, а также
длина этого отрезка.
Радиус-вектор – вектор (1.), начало которого совпадает с некоторой фиксированной
нулевой точкой 0, а конец – с точкой М.
85
Размерность – число базисных векторов, одинаковое для всех базисов данного векторного
пространства.
Размещения – группировки из данного числа элементов по заданному меньшему числу в
каждой группе, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Ранг матрицы – наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Рациональные числа – числа, представимые обыкновенными дробями.
Регрессионный анализ – статистический метод, который используется для оценки
отношений между (двумя) переменными.
Решение – математический объект, удовлетворяющий условиям поставленной задачи.
Сжатие эллипса – характеристика эллипса
a b
(a и b – большая и малая полуоси
a
эллипса), связанная со значением его эксцентриситета е соотношением е 2 (2 ) .
Симметрия – преобразование, совмещающее геометрический объект с самим собой при
повторении.
Система уравнений – множество уравнений, для которых требуется найти решения,
удовлетворяющие одновременно всем уравнениям системы.
Скаляр – величина, каждое значение которой может быть выражено одним числом.
Сложение векторов – образование вектора c a b из двух данных векторов a и b по
правилу параллелограмма: начало вектора b параллельным переносом совмещается с концом
вектора a и тогда начало вектора c совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b .
Случайная величина – величина, которая в результате испытания может принять то или
иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно.
Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти в результате
испытания.
Событие – всякий результат или исход испытания.
Событие, противоположное событию A – событие, которое происходит тогда и только
тогда, когда не происходит событие A.
Совместность – свойство системы уравнений (неравенств) иметь хотя бы одно общее для
всех уравнений (неравенств) решение.
Совместные события – события, которые могут произойти вместе в одном и том же
испытании.
Сочетания – группировки из данного числа элементов по заданному меньшему числу в
каждой группе, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
86
Среднее квадратическое отклонение – характеристика случайной величины, которая
показывает среднюю величину разброса случайной величины относительно ее математического
ожидания; определяется как корень квадратный из дисперсии.
Статистическая
гипотеза
–
предположение
об
определенных
эмпирических
характеристиках распределения в данной совокупности.
Статистические методы анализа – группа методов и способов сбора и обработки данных,
используемых для описания и анализа информации.
Статистический тест – процедура, применяемая к количественным данным выборки для
вычисления возможной истинности статистической гипотезы.
Сумма событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных
явлениях.
Теория игр – математическая теория, предсказания результатов игр, в которых участники
не имеют полной информации о намерениях друг друга. Формализованное описание игры
представляется списком ее участников и множества стратегий для каждого из них.
Транспонированная матрица – матрица, у которой взаимно переставлены местами
столбцы и строки. Обозначение AT.
Уравнение – запись в форме равенства задачи об отыскании значений аргументов, при
которых значения двух данных функций равны.
Уравнение прямой – координатное уравнение прямой на плоскости; общий вид его в
прямоугольных декартовых координатах
Ax + By + C = 0, где постоянные коэффициенты A и B не могут одновременно быть равными
нулю.
Уровень значимости – степень риска, заключающаяся в том, что исследователь может
сделать неправильный вывод об ошибочности статистической гипотезы на основе выборочных
данных.
Условная вероятность – вероятность события A, вычисленная при условии осуществления
другого события B.
Факториал числа – функция целых неотрицательных чисел, равная произведению всех
целых чисел от 1 до данного числа.
Фокус кривой – точка, лежащая в плоскости кривой второго порядка и обладающая тем
свойством, что отношение расстояний от любой точки кривой до фокуса и до соответствующей
директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету этой кривой.
Функция – правило перехода одного числового множества в другое.
Функция плотности вероятности – производная от функции распределения.
87
Функция распределения – функция, определяющая для каждого действительного
значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, не превышающее x.
Центр – центр симметрии кривой, поверхности или тела.
Центр гиперболы – середина отрезка между фокусами гиперболы.
Центр окружности – точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от всех точек
окружности и принадлежащая плоскости, в которой расположена окружность.
Частное решение – решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях
параметров.
Численное решение – решение математической задачи, полученное одним из численных
методов.
Эксцентриситет – число, равное отношению расстояния от любой точки кривой второго
порядка до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы; обычно
обозначается е; у эллипса е < 1, у окружности е = 0, у гиперболы е > 1, у параболы е = 1.
Элементарное событие – возможный исход испытания, который в условиях задачи нельзя
представить как объединение других возможных исходов.
Эллипс – плоская кривая второго порядка, получающаяся при пересечении кругового
конуса плоскостью, не проходящей через его вершину и пересекающей все его образующие;
каноническая форма уравнения эллипса в прямоугольных декартовых координатах
x2 y2
1,
a 2 b2
где a – большая полуось, b – малая полуось.
РАЗДЕЛ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ,
КУРСОВЫХ И ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ по математике нужно придерживаться следующих правил.
1.
Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета,
кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
2.
На обложке тетради ясно написать фамилию, инициалы, учебный шифр, номер
контрольной работы, название дисциплины. В конце работы указать использованную
литературу, дату выполнения и расписаться.
3.
В работу включить все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту.
4.
Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера
задач.
5.
Перед решением каждой задачи записать полностью ее условие.
88
6.
Решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу
решения и делая необходимые чертежи.
7.
После получения прорецензированной работы, исправить все отмеченные рецензентом
ошибки и недочеты, и выполнить все рекомендации рецензента.
Если работа возвращена на доработку, то нужно выполнить указания рецензента в той же тетради
в короткий срок и сдать работу на повторную проверку.
В связи с этим рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов.
По каждой работе со студентом проводится собеседование, после чего выставляется зачет по
контрольной работе.
Студенту, не выполнившему контрольную работу до начала экзаменационной сессии, может быть
предложена аудиторная контрольная работа.
Без зачтенных контрольных работ студент к экзамену (зачету) не допускается.
РАЗДЕЛ 6. ДАННЫЕ О МУЛЬТИМЕДИЙНЫХ ЛЕКЦИЯХ
Мультимедийные лекции отсутствуют.
