Использование ширины полупика напряжения в критерии

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ШИРИНЫ ПОЛУПИКА НАПРЯЖЕНИЯ
В КРИТЕРИИ РАЗРУШЕНИЯ
М.А. Леган
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, Россия
При неоднородном напряженном состоянии будем использовать не классическое
условие прочности 1   в , где  1 – первое главное напряжение (рассматриваемое как
эквивалентное),  в – предел прочности материала, а критерий разрушения
е  в ,
(1)
в котором эффективное напряжение  е меньше  1 и зависит от условного размера 
зоны концентрации напряжений


 е   1 1     2  L1  ,
(2)
где L1 – параметр с размерностью длины, характеризующий свойства материала,   0 –
безразмерный неотрицательный параметр аппроксимации.
В известном градиентном критерии разрушения [1] условный размер зоны
концентрации напряжений  , изображенный на рис. 1, обратно пропорционален
относительному градиенту g1 первого главного напряжения   1 g1 , где
g1  grad 1 1 .
Однако распределение первого главного
напряжения при удалении от границы вглубь тела
может быть немонотонным даже в зоне
концентрации напряжений. В некоторых точках
контура, где первое главное напряжение не
максимально, но больше нуля, производная  1 по
внутренней нормали к контуру не отрицательна
(как показано на рис. 1), а положительна. Таким
образом, градиентная оценка   1 grad 1
условного размера зоны концентрации напряжений
в указанных точках теряет смысл. В качестве
Рис. 1. Условный размер  зоны
примера
можно
привести
распределение
концентрации напряжений
напряжений в задаче о растяжении плоскости с
криволинейным отверстием типа квадрата с закругленными углами, решение которой
дано в [2]. В этой задаче положительное значение производной  1 по внутренней нормали
к контуру имеет место в тех точках контура, где  1 хотя и не максимально, но, тем не
менее, больше номинального напряжения. Поэтому нужна новая оценка условного
размера зоны концентрации в тех точках, где производная  1 по внутренней нормали к
контуру положительна.
Критерий разрушения, использующий ширину полупика напряжения. В
предлагаемом критерии разрушения в отличие от градиентного распределение напряжений
рассматривается в более широких пределах: от контура концентратора до номинальных
значений. В качестве условного размера зоны концентрации напряжений используется
W
ширина
полупика
напряжения в направлении
вдоль площадки  1 на
контуре
концентратора
(рис. 2).
Если
контур
отверстия свободен от
нагрузок, то в тех точках
контура,
где
тангенциальное напряжение
   0 имеем  1    .
Тогда ось r на рис. 2
совпадает с внутренней
нормалью к контуру.
W
Величина
находится из нелинейного
уравнения
max  min 2   ( r ) ,


где r  a  W .
Рис. 2. Ширина W полупика напряжений
Полученный размер
W можно использовать в критерии разрушения в качестве условного размера зоны
концентрации напряжений  , то есть в уравнении (2). Таким образом, эффективное
напряжение  е можно вычислять по формуле


 е  1 1     2  L1 W .
(3)
Параметр L1 находится из условия стыковки рассмотренного критерия с линейной
механикой разрушения и получается таким же, как и для градиентного критерия. Важно,
что этот параметр выражается через известные характеристики материала: предел
прочности  в и критический коэффициент интенсивности напряжений K Ic
2
L1  K I2c  в2

Применение сформулированного критерия разрушения к задаче Кирша.
Рассмотрим применение критерия, использующего ширину полупика напряжения, к
известной задаче об одноосном растяжении плоскости с круглым отверстием (задаче
Кирша), имеющей аналитическое решение. Нас будет интересовать только распределение
окружного напряжения

p  a 2  
a4 
    1  2    1  3 4  cos  2  
2 
r  
r 

Определение ширины полупика напряжения для задачи Кирша свелось к решению
биквадратного уравнения 1,5cos(2 )  0,5 r4  a 2 r2  3a 4 cos(2 )  0 . Решив это
уравнение, нашли
r  a
1  18cos2 (2 )  6cos(2 )  1
.
3cos(2 )  1
Если имеет место концентрация напряжений, то есть  max  p 1  2 cos(2 )  больше, чем
 min  0,5 p 1  cos(2 )  , то знаменатель 3cos(2 )  1 больше нуля. Знак + перед корнем
выбран из условия, что r  a . Ширина W полупика напряжения равна W  r  a .
Составлена вычислительная программа на алгоритмическом языке FORTRAN для
определения номинального напряжения p , при котором на контуре отверстия начнется
разрушение. В программе находится точка на контуре отверстия, в которой достигается
максимальное эффективное напряжение  e , вычисленное по формуле (3), и в этой точке
применяется условие разрушения (1), что позволяет найти предельное номинальное
напряжение p . Как и следовало ожидать, максимальное эффективное напряжение  e
достигается в опасном сечении при   0 и    , перпендикулярном направлению
растяжения. При этом значение W 


1.5  1 a  0, 2247a , что меньше, чем значение
  3a / 7  0, 4286a , вычисленное по градиентному критерию. Таким образом, критерий
разрушения, использующий ширину W полупика напряжения, будет давать большие
значения предельной нагрузки по сравнению с градиентным критерием.
Рассмотренный критерий использовался для анализа экспериментальных данных по
разрушению плоских образцов с центральным круглым отверстием, которые
опубликованы в работе [3]. Образцы были изготовлены из полиметилметакрилата
(ПММА). Показано, что предложенный критерий хорошо описывает опытные данные.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проекты 08-01-00168, 08-08-00316).
ЛИТЕРАТУРА
1. Леган М.А. Определение разрушающей нагрузки, места и направления разрыва с
помощью градиентного подхода // Прикладная механика и техническая физика. – 1994. –
Т. 35. – № 5. – С. 117–124.
2. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. – Киев: Наукова думка,
1968. – 887 с.
3. Li. J and Zhang X.B. A criterion study for non-singular stress concentrations with size
effect // Strength, Fracture and Complexity. – 2005. – Vol. 3. – № 2–4. – P. 205–215.