Возможность применения геометрических методов при решении алгебраических задач

МУНИЦИЦАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1 ИМ. Л.Б. ЕРМИНА А С. ЗАСЕЧНОЕ
ГИПОТЕЗА
решение задач геометрическим
методом направляется наглядным
представлением условий в виде
рисунка или чертежа, что помогает
глубже понять условие задачи, делает
их более наглядным, очевидным,
значительно упрощает решение,
ведёт к более быстрому получению
ответа.
Цель исследования: изучить возможность применения
геометрических идей в решении алгебраических задач на
примере решения уравнений и систем уравнений и
показать их преимущества.
Объект исследования: Уравнения и системы уравнений.
Предмет исследования: геометрический метод решения
уравнений и систем уравнений.
Задачи:
1. Обозначить ключевые положения теории.
2.Определить уравнения и системы, которые удобнее
решать геометрическим методом.
3. Опытным путем проверить возможность применения
геометрического метода при решении уравнений и систем
уравнений.
Методы исследования: аналогия, обобщение, сравнение,
анализ научной литературы
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1.Теорема Пифагора
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2
2. Теорема косинусов
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∙ cos 𝛼
3.Теорема о площади треугольника
1
𝑆 = 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼
2
4.Прямоугольный треугольник и его свойства
5.Равнобедренный треугольник и его свойства
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. ПИФАГОРА
1. Найти положительные решения системы
.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. ПИФАГОРА
1. Геометрический
метод
4
, 𝑠𝑖𝑛𝐴
5
𝑦
,
3
I. 𝑠𝑖𝑛𝐴 =
=
4 𝑦
𝟏𝟐
значит, = => 𝒚 =
5 3
𝟓
II. 𝑐𝑜𝑠𝐴 =
3𝑧
3
и 𝑐𝑜𝑠𝐴 =
𝟑
=> 𝒛 =
𝟓
III. 𝑐𝑜𝑠𝐶 =
Получившийся треугольник АВС –
прямоугольный,
2𝑥
4
𝑦
3
и 𝑐𝑜𝑠𝐶 =
𝟖
=> 𝒙 =
𝟓
4
5
.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. ПИФАГОРА
Алгебраический метод
4𝑥 2 + 𝑦 2 = 16
൞ 𝑦 2 + 9𝑧 2 = 9
𝑦 2 − 6𝑥𝑧 = 0
4𝑥 2 + 12𝑥𝑧 + 9𝑧 2 = 25
2𝑥 + 3𝑧 2 = 25
2𝑥 + 3𝑧 = 5
5 − 3𝑧
𝑥=
2
2
9𝑧 + 6𝑥𝑧 = 9
5 − 3𝑧
9𝑧 2 + 6𝑧
=9
2
30𝑧 = 18
𝑧 = 0,6
𝑦 2 + 9 ∙ 0,62 = 9
𝑦 2 = 9 − 3,24
𝑦 = ±2,4
5 − 3 ∙ 0,6
𝑥=
2
𝑥 = 1,6.
Ответ: 𝑥 = 1,6; 𝑦 = 2,4; 𝑧 = 0,6.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. ПИФАГОРА
2. Найти положительные решения системы
൝
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 6,
1 − 𝑥2 +
4 − 𝑦 2 + 9 − 𝑧 2 + 16 − 𝑡 2 = 8
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. ПИФАГОРА
൝
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 + 𝒕 = 𝟔,
𝟏 − 𝒙𝟐 +
𝟒 − 𝒚𝟐 + 𝟗 − 𝒛𝟐 + 𝟏𝟔 − 𝒕𝟐 = 𝟖
х+2х+3х+4х=6
х=0,6
Значит, у=1,2; z=1,8; t=2,4
Т.к. получившийся
BA= 36  64 =10
ABC – прямоугольный, угол C=900 , BA2=BC2+AC2,
Ответ: х=0,6; у=1,2; z=1,8; t=2,4
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. КОСИНУСОВ
1. Найти значение:
𝑏 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧, если 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0
𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 9,
൞𝑦 2 + 𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 16,
𝑧 2 + 𝑧𝑥 + 𝑥 2 = 25.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. КОСИНУСОВ
𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 9,
൞𝑦 2 + 𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 16,
𝑧 2 + 𝑧𝑥 + 𝑥 2 = 25.
Глядя на эту систему, можно заметить теорему косинусов:
x 2  xy  y 2  9  3 2  x 2  y 2  2 xy  cos   cos   
1
   120
2
1
y  yz  z  16  4  y  z  2 yz  cos   cos       120
2
2
2
2
2
2
z 2  zx  x 2  25  5 2  z 2  x 2  2 xz  cos   cos   
1
   120
2
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. КОСИНУСОВ
𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 9,
൞𝑦 2 + 𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 16,
𝑧 2 + 𝑧𝑥 + 𝑥 2 = 25.
∆АВС − прямоугольный,
угол В = 90⁰.
1
𝑆 ∆𝐴𝐵𝐶 = ∙ 3 ∙ 4 = 6
2
𝑺∆𝑨𝑩𝑪 = 𝑺∆𝑨𝑶𝑩 + 𝑺∆𝑩𝑶𝑪 + 𝑺∆𝑨𝑶𝑪
𝟏
= 𝒚𝒛 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝟎° +
𝟐
𝟏
𝟏
𝒙𝒛 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝟎° + 𝒙𝒚 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝟎°
𝟐
𝟐
𝟏
= 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝟎° 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛 + 𝒙𝒚 = 𝟔
𝟐
b  yz  xz  xy
6
1
sin 120  b
2
Ответ : b = 8√3
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. КОСИНУСОВ
2. Решить
уравнение
1 + 𝑥2 + 1 + 𝑥2 − 𝑥 3 = 3
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ Т. КОСИНУСОВ И Т.
1 + 𝑥 2 + 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 = ПИФАГОРА
3
Геометрический метод
Используя теорему косинусов и теорему Пифагора построим
треугольники. Отложим отрезки ОА,ОМ,ОВ так, что ОА=ОВ=1,
ОМ=х.
Тогда 𝑀𝐴 = 1 + 𝑥 2 и BM= 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3.
Сумма корней равна 3 , когда два треугольника образуют один
треугольник со сторонами 1 и 1 и углом между ними 120°
12 + 12 − 2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 120° =
1
2
1 + 1 + 2 ∙ = 3 => АВ= 3
Следовательно, МА+МВ =АВ=>М≡ К
Рассмотрим ∆𝐴𝐵О – равнобедренный
Угол B равен углу А = (180° − 120°): 2 = 30°
Рассмотрим ∆К𝐵О − прямоугольный
𝑡𝑔 30° =
𝑥
1
=> 𝑥 = 𝑡𝑔 30° =
Ответ: 𝑥 =
3
3
3
3
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С
ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ
Алгебраический метод
1 + 𝑥2 + 1 + 𝑥2 − 𝑥 3 = 3
Введем в уравнение
переменную:
1 + 𝑥2 = 𝑡
𝑡+ 𝑡−𝑥 3= 3
𝑡−𝑥 3=
3− 𝑡
ห^2
Возведем обе части уравнения
в квадрат:
𝑡 − 𝑥 3 = 3 − 12𝑡 + 𝑡
3 ∙ 3 − 3 ∙ 4𝑡 + 𝑥 3 = 0
𝑡 − 𝑡 = 3 − 12𝑡 + 𝑥 3
3 − 4𝑡 + 𝑥 = 0
𝑥 + 3 = 2 𝑡 ห^2
Возведем обе части уравнения
в квадрат:
𝑥 2 + 2𝑥 3 + 3 = 4𝑡
Сделаем возврат к замене:
𝑥 2 + 12𝑥 + 3 − 4 − 4𝑥 2 = 0
−3𝑥 2 + 12𝑥 − 1 = 0
3𝑥 2 − 12𝑥 + 1 = 0
3 ∙ 3𝑥 2 − 2 ∙ 3𝑥 + 1 = 0
Свернем по формуле :
( 3𝑥 − 1)2 = 0
3𝑥 − 1 = 0
1
𝑥=
3
3
𝑥=
3
Ответ: 𝑥 =
3
3
ВЫВОДЫ
• При решении уравнений и систем геометрическими
методами наблюдается явно выраженная экономия сил,
энергии, а главное времени;
• Чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить
общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи,
оценить реальность результата и промежуточных действий;
• Чтобы решить алгебраическую задачу геометрическим
методом необходимо иметь навык и «видение»
геометрической интерпретации задачи, что, на мой взгляд, и
является самым сложным в данном методе;
• Во многих разделах алгебры существуют классы задач,
решаемых геометрическими методами;
• Чтобы решить задачу геометрическими методами необходимо
иметь мощную базу знаний по геометрии, т.к. в решении
используются: метод площадей, векторная геометрия,
свойства геометрических фигур, геометрические неравенства
и т.п.