Комбинаторные алгоритмы. Множества, графы, коды.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра прикладной математики
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 1
курс лекций
Кемерово
2018
© С. Г. Гутова, 2018
© Кемеровский государственный
университет, 2018
ISBN 978-5-8353-1686-1
Об издании – 1, 2, 3
1
ББК В19я73-5
УДК 519.6(075.8)
Г 89
Издается по решению редакционно-издательского совета
Кемеровского государственного университета
Составитель:
Гутова Светлана Геннадьевна – кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной
математики
Г 89 Гутова, С. Г. Дискретная математика. Ч. 1: курс лекций [Электронный ресурс]: /
С. Г. Гутова; КемГУ. – Электрон. дан. (1 Мб). – Кемерово: КемГУ, 2018. – 1 электрон. опт.
диск (СD-ROM). – Систем. требования: Intel Pentium (или аналогичный процессор других
производителей), 500 МГц; 512 Мб оперативной памяти; видеокарта SVGA, 1280x1024
High Color (32 bit); 2 Мб свободного дискового пространства; операц. система Windows
ХР/7/8; Adobe Reader. – Загл. с экрана. – Номер гос. ре
ISBN 978-5-8353-1686-1
2
Утверждено на заседании кафедры
прикладной математики
Протокол № 8 от «27 » марта 2018 г.
Заведующий кафедрой,
____________________ Е. С. Каган
Рекомендовано научно-методическим
советом института фундаментальных наук
Рекомендовано
Протокол № 8 от «19» апреля 2018 г.
Председатель совета доцент
_____________С. М. Сирик
© С. Г. Гутова, 2018
© Кемеровский государственный
университет, 2018
3
Текстовое электронное издание
Минимальные системные требования:
Компьютер: Pentium 3 и выше, 500 МГц; ОЗУ 512 Мб; 2 Мб на жестком
диске;
видеокарта
SVGA,
1280x1024
High
Color
(32
bit);
привод
CD-ROM
Операционная система: Windows ХР/7/8
Программное обеспечение: Adobe Reader
© С. Г. Гутова, 2018
© Кемеровский государственный
университет, 2018
4
Введение
Учебное (электронное) издание «Дискретная
математика. Ч.1.: курс лекций» разработано для
направления 01.03.02 «Прикладная математика и
информатика» в соответствии с требованиями ФГОС ВО и
включает теоретический материал, примеры решения задач,
снабжено анимацией.
В результате освоения данной дисциплины
формируются компетенции учебного плана по направлению
01.03.02 «Прикладная математика и информатика»:
ОПК-1 – способность использовать базовые знания
естественных наук, математики и информатики, основные
факты, концепции, принципы теорий, связанных с
прикладной математикой и информатикой;
ПК-2 – способность понимать, совершенствовать и
5
применять современный математический аппарат.
Курс лекций может быть использован для
проведения лекционных занятий по дисциплине
«Дискретная математика» студентами направлений
02.03.02 «Фундаментальная информатика и
информационные технологии» и 02.03.03
«Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем» и по дисциплине «Дискретная
математика и математическая логика» студентами
направления 02.03.01 «Математика и компьютерные
науки». Предназначено для студентов 1-2 курсов заочной
формы обучения Института фундаментальных наук.
Курс лекций может быть использован для полезен для
подготовки к занятиям студентами очной формы обучения
по указанным направлениям бакалавриата.
6
Оглавление
Введение
Лекция 1
Лекция 2
Лекция 3
Лекция 4
Лекция 5
Лекция 6
Лекция 7
Лекция 8
Лекция 9
Лекция 10
Лекция 11
Лекция 12
Лекция 13
Лекция 14
Лекция 15
Лекция 16
Лекция 17
7
Введение
Курс лекций разработан по дисциплине «Дискретная
математика» для направления 01.03.02 «Прикладная математика и
информатика» в соответствии с требованиями ФГОС ВО и
включает краткий теоретический материал, примеры, снабжен
анимацией.
В результате освоения данной дисциплины формируются
компетенции учебного плана по направлению 01.03.02
«Прикладная математика и информатика»:
ОПК-1 – способность использовать базовые знания естественных
наук, математики и информатики, основные факты, концепции,
принципы теорий, связанных с прикладной математикой и
информатикой;
ПК-2 – способность понимать, совершенствовать и применять
современный математический аппарат.
8
Курс лекций может быть использован для обеспечения лекционных
занятий по дисциплине «Дискретная математика» для студентов
направлений 02.03.02 «Фундаментальная информатика и
информационные технологии» и 02.03.03 «Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем» и по
дисциплине «Дискретная математика и математическая логика» для
студентов направления 02.03.01 «Математика и компьютерные
науки». Предназначено для студентов 1-2 курсов заочной формы
обучения института фундаментальных наук
9
Лекция 1
Множества
Множество – это совокупность
определенных различаемых объектов
таких, что для любого объекта можно
установить, принадлежит объект
данному множеству или нет.
Множество, которое подчиняется лишь
такому ограничению, может содержать
объекты почти любой природы.
11
Георг Кантор определил множество так:
Множество – это многое,
мыслимое как целое.
12
Например:
• множество всех станций Московского
метро;
• множество левых ботинок;
• множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и
т. д.;
• множество символов, доступных
специальному печатающему устройству;
• множество кодов операций конкретного
компьютера.
13
• множество всех натуральных чисел: 1, 2, 3, . .
Обозначим N. Часто 0 считают натуральным
числом. Множество N с добавлением 0
обозначается N 0 .
• множество всех натуральных чисел, не
превосходящих 100.
• множество всех решений уравнения
sin x  1
14
Множество обозначают заглавными
буквами, а его элементы – прописными.
А  а1 , а2 , ..., аn 
Говоря об определенном множестве, мы
полагаем, что для каждого объекта имеется
две возможности: элемент либо входит в
множество x  X , либо нет x  X .
Мощность множества – количество его
элементов.
Обозначение мощности: А .
15
Множество, не содержащее элементов,
называется пустым множеством и
обозначается Ø.
Ø  0.
В зависимости от их мощности
множества различают как конечные или
бесконечные. Конечные множества могут
состоять из одного или нескольких
элементов.
16
Способы задания множества
Перечисление всех элементов множества
(список), например, множество однозначных
неотрицательных чисел
X  0,1,2,3,...9.
Множества часто рассматриваются как
«неупорядоченные совокупности элементов»,
хотя иногда полезно подчеркнуть, что,
например
X  0,1,2  2,1,0  2,0,1.
17
Выяснить, какие из приведенных
определений верные?
В  1,2,3.
С  5,6,6,7.
D  В , С.
18
Порождающая процедура
Описывает способ получения элементов
множества из уже полученных элементов
либо других объектов. Тогда элементы
множества – все объекты, которые могут
быть получены (построены) с помощью такой
процедуры.
19
Множество М
2
n
натуральных степеней
двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…
Порождающую процедуру зададим
рекуррентно:
1 1 M 2n
2) m  М 2 n ; 2m  М 2 n
20
Пример 2
Какое множество задается рекуррентной
формулой: x1  1, xn  xn 1  n
при n  2, x2  x1  2  1 2  2!
при n  3, x3  x2  3  2! 3 = 3!
при n  4, x4  x3  4  3! 4 = 4!
Множество, состоящее
из факториалов :1!, 2!, 3!, 4!,..., n!,...
21
Задание множества описанием его
элементов
(разрешающая процедура)
указание общего свойства, которым
обладают все элементы множества,
например, множество четных
натуральных чисел
или
X  {2,4,6,8,10,12...}
X  {x : x  2n, n  N };
22
Множество А называют подмножеством
множества В (обозначается A  B ), если
каждый элемент множества А является также
элементом множества В.
Рис.1. Подмножество
23
Множества А и В называют равными
( A  B ), если каждый элемент множества А
является
одновременно
элементом
множества В и наоборот,
т.е. если A  B и B  A .
24
Множество U называется
универсальным множеством (множество
элементов всех подмножеств) для некоторой
системы множеств, если каждое множество
этой системы является подмножеством U, т.е.
A  U , B  U ,C  U ...
25
Дополнением множества A называется
множество A , состоящее из тех и только тех
элементов универсального множества,
которые не входят в множество А.
Рис.2. Дополнение
множества
26
Объединением двух множеств А и В
называется множество A U B , состоящее из
тех элементов, которые принадлежат или
множеству А, или В, или А и В
одновременно.
Рис.3.
Объединение
множеств
27
Пересечением двух множеств А и В
называется множество A I B , состоящее из
тех и только тех элементов, которые
принадлежат множествам
А
и
В
одновременно.
Рис.4.
Пересечение
множеств
28
Разностью двух множеств А и В
( A  B или A \ B ) называется множество тех
элементов множества А, которые не
принадлежат множеству В:
A B  AI B
Рис.5.
Разность множеств
29
Прямым (декартовым) произведением
двух множеств А и В называется множество,
состоящее из упорядоченных пар элементов,
в которых первый элемент принадлежит
множеству А, а второй – множеству В.
A  B   a,b  : a  A,b  B
30
Пример 3
Заданы два множества: А = {-2, -1, 0, 1, 2}
и B = {0, 2, 4, 5}. Определить множества A  B ;
A  B ; A\ B ; B \ A и их мощность.
Решение:
Множество А = {-2, -1, 0, 1, 2} состоит из
пяти элементов, следовательно мощность этого
множества равна 5:
Аналогично, B = {0, 2, 4, 5} содержит 4
элемента:
31
По определению пересечение двух
множеств состоит только из общих для обоих
множеств элементов, следовательно,
A  B  {0, 2} и
Пояснение:
A I B   0, 2

32
По определению объединение двух
множеств состоит из всех элементов, которые
принадлежат только множеству А, или только
множеству В, или множествам А и В
одновременно, следовательно,
A  B = {-2, -1, 0, 1, 2, 4, 5} и
Пояснение:
A U B 0, 2, 2, 1,

1, 4, 5  
.
33
Множество A\ B является разностью двух
множеств А и В и состоит из элементов
множества А, которые одновременно не
принадлежат множеству В, следовательно
Пояснение:
A\ B  2, 1, 1 .
34
Аналогично,
Пояснение:
B \ A   4, 5 .
35
Пример 4: A  2,1, 0,1, 2 , B  0, 2, 4, 5
• Прямое (декартово) произведение:
A B = {(-2, 0); (-2, 2); (-2, 4); (-2, 5);(-1, 0);
(-1, 2); (-1, 4); (-1, 5);(0, 0); (0, 2);(0, 4);(0, 5);
(1, 0); (1, 2); (1, 4); (1, 5); (2, 0); (2, 2); (2, 4);
(2, 5)};
• B  A = {(0, -2); (0, -1); (0, 0); (0, 1); (0, 2);
(2, -2); (2, -1); (2, 0); (2, 1); (2, 2); (4, -2); (4, 1); (4, 0); (4, 1); (4, 2); (5, -2); (5, -1); (5, 0).
(5, 1); (5, 2)}
36
Из примера 2 видно, что
A B  B  A
A  B  B  A  A  B  5  4  20.
37
Пример 5
На диаграмме Вьенна-Эйлера изобразить
результат действия  А  В   С.
Решение:
Решаем по действиям. На каждой копии
диаграммы
необходимо
восстановить
контуры всех множеств, участвующих в
задании. Они должны пересекаться в самом
общем виде. Самый большой контур –
универсальное множество. Оно содержит в
38
себе все множества задачи.
Основа
диаграммы
выполнения каждого действия.
для
Рис.6. Основа
диаграммы
для трех
множеств
39
1) Изобразим на 1 диаграмме
множества, вступающие в 1 действие
(действие в скобках). Каждое множество
заштриховываем штриховкой своего вида
(с наклоном влево, с наклоном вправо,
горизонтальной
или
вертикальной).
Множества
штрихуются
целиком,
независимо от их пересечения с другими
множествами диаграммы.
40
Рис.7. Множества, вступающие в 1 действие
A
B
C
U
41
42
Рис.8. Множества, вступающие во 2 действие
A
B
C
U
43
44
Рис.9. Ответ
A
B
C
U
45
Лекция 2
Векторы и прямые
произведения множеств.
Проекция вектора на ось
Векторы
Вектор – это упорядоченный набор
элементов. Его элементы зазываются
координатами или компонентами вектора.
Длина (размерность) вектора – число
координат вектора.
В отличие от элементов множества, его
координаты могут совпадать. Обозначение
вектора: в круглых скобках, координаты –
через запятую (0, 5, 4, 5, 0, 1). Иногда скобки и
даже запятые опускаются.
47
Векторы длины 2 называют
упорядоченными парами; длины 3 –
тройками; и т.д., длины n – n-ками.
Два вектора равны, если они имеют
одинаковую длину, и соответствующие
координаты равны, т. е.
 a1 , a2 , ..., am   b1 ,b2 , ...,bn 
если m  n
и
a1  b1 , a2  b2 ,..., am  bn .
48
Прямое произведение n множеств
Прямое произведение множеств
A1 , A2 ,..., An
называется множеством всех векторов
(a1 , a2 ,..., an ), длины n таких, что
a1  A1 , a2  A2 ,..., an  An .
Иначе говоря
A1  A2  ... An 
 a1 ,a2 ,...,an  : a1  A1 ,a2  A2 ,...,an  An .
49
Пример 1:
Найти прямое произведение множеств
A1 , A2 и A3 где
A1  0,1, A2  т, п, A3  1,3.
Перечисляем тройки элементов в лексикографическом порядке.
A1  A2  A3  0, т,1, 0, т,3, 0, п,1,
0, п,3, 1, т,1, 1, т,3, 1, п,1, 1, п,3.
50
Пусть А – конечное множество,
элементами которого являются символы
(буквы, цифры, знаки препинания, знаки
операций и т. д.). Такие множества обычно
называют алфавитом.
1)
2)
3)
4)
Примеры алфавитов:
33 русских буквы,
26 латинских букв,
10 арабских цифр;
список символов клавиатуры компьютера.
51
Слова длины n в алфавите А – это элементы
множества An . Множество всех слов в
алфавите А – это множество

A  U A  A U A U ... U A U ...
i
1
2
n
iN
Здесь слово определено как вектор.
При написании слова не принято
пользоваться разделителями: скобками,
запятыми; они могут оказаться символами
самого алфавита. Поэтому слово в алфавите
обозначается как конечная последовательность
символов из алфавита А.
52
Пример 2:
1) Десятичное число – слово в алфавите цифр
{0, 1, 2, 3, ... , 9}.
2) Двоичное слово в алфавите {0, 1}.
3) Текст, отпечатанный на машинке – слово в
алфавите, определяемом клавиатурой этой
машинки.
53
Теорема (о мощности прямого
произведения множеств)
Пусть A1 , A2 ,..., An
конечные множества и
A1  m1 , A2  m2 ,..., An  mn .
Тогда мощность множества
A1  A2  ...  An
равна произведению мощностей множеств:
A1  A2  ...  An  m1  m2  ...  mn .
54
Следствие:
A  A .
n
n
Например, множество
B3 
двоичных
векторов длины 3, содержит
3
B3  B  B  2 .
3
3
55
Проекции
множества векторов на оси
Проекцией вектора
v  a1 , a2 , ...,an 
длины n на i-ю ось называется его i-я
координата. Обозначается это так:
прi v  ai
Например:
v  в , п , л  , тогда пр1 v  в , пр3 v  л.
56
Проекцией вектора v  a1 , a2 , ...,an 
длины n на оси с номерами i1 , i2 ,...,ik
называется вектор, составленный из
соответствующих координат. Обозначается


это так: прi1 , i2 , ...ik v  ai1 , ai2 , ..., aik .
Например:
v  в, п, л , тогда пр1,2 v  в , п.
57
Пусть дано множество V векторов
одинаковой длины.
Проекцией множества векторов на
i-ю ось называется множество проекций
на прi V  прi v : v V .
i-ю ось всех его векторов. Обозначается
это так:
V  a, b, c, d , c, a,
Например:
пр2 V  b, c, пр3 V  c, a.
58
Проекцией множества векторов на оси
с номерами
i1 , i2 ,...,ik
называется
множество проекций на оси с номерами
i1 , i2 ,...,ik всех его векторов. Обозначается:
прi1 , i2 , ...ik V  прi1 , i2 , ...ik v : v V .

Например:V

 a, b, c, d , c, a, тогда
пр1,2 V  a ,bd ,c  .
59
Пример 3:
Дано множество векторов:
V = {(Иванов Александр Николаевич),
(Иванов Михаил Александрович),
(Иванов Сергей Александрович)}.
пр1 V = {Иванов},
пр2 V = {Александр, Михаил, Сергей},
пр23 V = {(Александр Николаевич), (Михаил
Александрович), (Сергей Александрович)}.
60
Пример 4
Дано множество векторов
V  v1  (a, b, d ); v2  (c, b, d ); v3  (d , b, b).
Тогда
пр1v1  a – это вектор из одной координаты вектора v1 , а именно, первой
координаты;
пр3v2  d – это вектор из одной координаты вектора v2 , а именно, третьей;
пр 2 v 3  b – это вектор из одной координаты вектора v3 , а именно, второй;
61
Пример 4
V  v1  (a, b, d ); v2  (c, b, d ); v3  (d , b, b)
пр1,2v2  c , b – это вектор из двух координат вектора v2 , а именно первой и
второй;
пр2,3v3  b, b – это вектор из двух координат вектора v3 , а именно второй и
третьей;
пр1,3v1  a , d  – это вектор из двух координат вектора v1 , а именно первой и
третьей;
62
Пример 4
V  v1  (a, b, d ); v2  (c, b, d ); v3  (d , b, b)
пр1V  a , c , d 
– это множество векторов,
составленных из первых координат элементов
V. Они все различны, поэтому пр1V  3 ;
пр2V  b
– это множество векторов,
составленных из вторых координат элементов
V. Они все одинаковы, поэтому пр2V  1 ;
пр3V  d , b –
это множество векторов,
составленных из третьих координат элементов
V. Две из трех одинаковы, поэтому пр3V  2 ;
63
Пример 4
V  v1  (a, b, d ); v2  (c, b, d ); v3  (d , b, b)
пр1,2V  a , b, c , b, d , b – это множество
векторов, составленных из 1-х и 2-х координат
векторов множества V.
пр2,3V  b, d , b, b
– это множество
векторов, составленных из 2-х и 3-х координат
векторов множества V.
пр1,3V  a , d , c, d , d , b – это множество
векторов, составленных из 1-х и 2-х координат
векторов множества V.
64
Лекция 3
Комбинаторика
Правило суммы
Классическая формулировка
Если элемент α можно выбрать k
способами, а элемент β можно
выбрать m способами.
Тогда α или β можно выбрать k + m
способами.
66
Теорема о мощности объединения
множеств
(современная формулировка)
Количество элементов объединения
двух множеств равно сумме количества
элементов в первом и во втором множестве,
за вычетом количества элементов их
пересечения:
А В  А  B  A B
67
Причем, если множества не
пересекаются, то теорема приобретает
вид, аналогичный классической
формулировке:
АВ  А  В
68
Для трех множеств теорема имеет вид:
АВС  А  В  С 
 АВ  АС  ВС  АВС
69
Пример 1
Из 35 учащихся класс по итогам года имели
“5” по математике – 14 человек; по физике – 15
человек; по химии – 18 человек; по математике
и физике – 7 человек; по математике и химии –
9 человек; по физике и химии – 6 человек; по
всем трем предметам – 4 человек.
Сколько человек имеют “5” по указанным
предметам? Сколько человек не имеет “5” по
указанным предметам? Имеет “5” только по
математике? Имеет “5” только по двум
предметам?
70
Пример 1
Введем обозначения. Обозначим буквой U
множество всех учеников класса, буквой М
множество учеников, имеющих «5» по
математике, буквой Ф – имеющих «5» по
физике, Х – имеющих «5» по химии. Тогда,
согласно условию,
71
Пример 1
На рисунке 1 приведено множество,
состоящее из учеников, имеющих «5» хотя бы
по одному из указанных предметов.
• Рис.1. Множество
учеников,
• имеющих «5» хотя
бы по одному
предмету
72
Пример 1
Очевидно, что это объединение множеств
М, Ф и Х. Для нахождения количества
элементов объединения воспользуемся
правилом суммы.
73
Пример 1
На рисунке 2 приведено множество,
состоящее из учеников, не имеющих «5» ни по
одному из указанных предметов. Обозначим его
буквой Н.
Рис. 2. Множество
учеников, не
имеющих «5» по
указанным
предметам
74
Пример 1
Очевидно, что это разность между
универсальным множеством U и объединением
множеств М, Ф и Х.
75
Пример 1
На рисунке 3 приведено множество,
состоящее из учеников, имеющих «5» только по
математике. Обозначим его буквами ТМ.
• Рис. 3. Множество
учеников, имеющих
«5» только по
математике
76
Пример 1
Очевидно, что это разность между
множеством М и множествами ТМФ – имеющих
«5» только по математике и физике, ТМХ –
имеющих «5» только по математике и химии, и
77
Пример 1
На рисунке 4 приведено множество,
состоящее из учеников, имеющих «5» только по
двум предметам. Обозначим его Т2. Очевидно,
что Т2 является суммой трех непересекающихся
множеств ТМФ,
ТМХ, ТФХ.
Рис. 4. Множество
учеников, имеющих
«5» только по двум
предметам
78
Найдем мощность каждой части
искомого множества:
ТМФ  М  Ф  М  Ф  Х ;
ТМХ  М  Х  М  Ф  Х ;
ТФХ  М  Ф  М  Ф  Х .
Тогда искомая мощность примет
вид:
Т 2  ТМФ  ТМХ  ТФХ 
 М Ф  М  Х  Ф  Х  3 М Ф  Х .
79
Правило произведения
Классическая формулировка
Если элемент α можно выбрать k
способами, а элемент β можно
выбрать m способами.
Тогда пару α и β можно выбрать km
способами.
80
Теорема о мощности прямого
произведения множеств
(современная формулировка)
АВ  А  В
81
Пример 2:
Из 3 экземпляров учебника алгебры,
7 экземпляров учебника геометрии и 6
экземпляров учебника физики, надо
выбрать комплект, содержащий все
учебники по одному разу. Сколькими
способами это можно сделать?
Ответ: 3 ⨉ 7 ⨉ 6 = 126.
82
Пример 2:
Из 10 арабских цифр составляют 5значный код. Сколькими способами это
можно сделать так, чтобы: а) все цифры
были разными; б) на последнем месте
четная цифра.
а) 10 ⨉ 9 ⨉ 8 ⨉ 7 ⨉ 6;
б) 10 ⨉ 10 ⨉ 10 ⨉ 10 ⨉ 5.
83
Число размещений без
повторений
Число размещений без повторений из n
по k – это число способов, сколькими можно
из n различных элементов построить векторов
с k различными координатами.
Число размещений без повторений находится
по формуле:
n!
А 
n  k !
k
n
84
Число размещений без повторений
Пример 3:
Сколькими способами можно построить
3-значное число с различными цифрами, не
содержащее цифры 0?
3
А9
9!
9! 1  2  ...  6  7  8  9
 
 7  8  9.
9  3! 6!
1  2  ...  6
85
Число размещений с повторениями
Число размещений с повторениями из n
по k – это число способов, сколькими можно
из n различных элементов построить
векторов с k координатами, среди которых
могут быть одинаковые.
Число размещений с повторениями
находится по формуле:
k
Вn
n
k
86
Число размещений с повторениями
Пример 4:
Сколько слов длины 6 можно составить
из 26 букв латинского алфавита?
6
В26
 26
6
87
Число перестановок без повторений
Число перестановок без повторений из
n элементов – это число способов, сколькими
можно расположить на n различных местах n
различных элементов.
Число перестановок без повторений
находится по формуле:
Рn  n!
88
Задача на рассадки и расстановки
В задачах на рассадки и расстановки
используется тот факт, что
n различных элементов на
n различных местах
можно расставить n!
различными способами
89
Пример 5:
Сколькими способами можно расставить
на книжной полке 5 различных книг? В
скольких случаях две определенные книги А
и В окажутся рядом?
Всего вариантов расстановки 5 книг на 5
местах :
5!=120
90
Замечание:
В задаче на рассадки и расстановки число
элементов множества А ищут по формуле:
А  х1  х2  х3 ,
где х1 – число способов выбрать нужные
места;
х2
– число способов расположить на них
нужные элементы;
х3
– число способов расположить
остальные элементы на оставшихся местах.
91
Рис. 5. Схема расстановки
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
х1  4;
х2  2!; х3  3!;
A  4  2! 3!
92
Число сочетаний без повторений
Число сочетаний без повторений из n
по k – это число способов, сколькими можно
из n различных элементов выбрать k штук
без учета порядка.
Число сочетаний без повторений
находится по формуле:
k
Сn
n!

.
k!n  k !
93
Свойства числа сочетаний
0
1) Cn
3)
1
Cn
 1;
 n;
5)
k
Cn
 1;
2)
n
Cn
4)
n 1
Cn

 n;
nk
Cn ;
n(n  1)
6) C 
;
2
2
n
nn  1n  2 
7) C 
.
3!
3
n
94
Урновая задача
Урновая задача – это задача, в которой
производится выбор сразу нескольких
элементов из заданной совокупности.
Пример 6:
В урне 7 шаров. Из них 3 белых, 4
черных. Наугад выбирают 3 шара.
Сколькими способами это можно сделать? В
скольких случаях среди них будет: 1) один
белый; 2) два белых; 3) все белые.
95
Схема урновой задачи
96
Общее число исходов эксперимента
найдем по общей формуле
k
Сn
U
3
 С7
n!

.
k!n  k !
7! 5  6  7


 5  7  35
3!4! 1  2  3
97
Количество элементов множества А1
найдем по формуле:
43
А1  С С  3 
 3  6  18.
2
1
3
2
4
98
Количество элементов множества А2
найдем по формуле:
2

3
1
4
А2  С С  3  4  12.
99
Количество элементов множества А3
найдем по формуле:
3

3
0
4
А3  С С  1 1  1.
100
Лекция 4
Соответствия
Соответствия и функции
Соответствием множеств А и В
называется подмножество G такое, что
G  A  B.
Если (a, b)  G, то говорят, что
«b соответствует a при соответствии G».
Область определения соответствия G
– множество пр1G  A.
Область значений соответствия G –
множество пр2 G  B.
102
Соответствие G называется всюду
(полностью) определенным – если пр1 G = А
(в противном случае – частично
определенное соответствие).
Соответствие G называется
сюрьективным, если пр2 G = B.
103
Образ элемента a  пр1G в множестве B
при соответствии G – это множество всех
элементов b  пр2G которые соответствуют a.
Прообраз элемента b  пр2G в
множестве А при соответствии G – это
множество всех a  пр1G которым
соответствует b.
104
Образом множества C  пр1G
называется объединение образов всех
элементов С.
Прообразом множества D  пр2G
называется объединение прообразов всех
элементов D.
105
Соответствие G называется
функциональным (однозначным)
соответствием, если образом любого
элемента из пр1 G является единственный
элемент из пр2 G.
106
Соответствие G называется
инъективным соответствием, если
прообразом любого элемента из пр2 G
является единственный элемент из пр1 G.
107
Соответствие F является функцией типа
F : A  B, если оно функционально
(однозначно)
F ( a )  b.
108
Соответствие G является отображением
множества А в множество В, если оно
функционально и полностью определено.
Соответствие G является отображением
множества А на множество В, если оно
сюрьективно.
109
Соответствие G является взаимно
однозначным, если оно:
1) всюду определено;
2) сюрьективно;
3) функционально;
4) инъективно.
110
Пример 1:
Определить свойства соответствия G
между множествами A и B.
A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}.
G = {(a, 2), (b, 2), (c,3)}.
111
Область определения:
D(G) = пр1G = {a, b, c} = A, значит
полностью определено.
Область значения:
Е(G) = пр2G = {2, 3} ≠ B, значит не
сюрьективно.
112
Образы элементов области определения:
G (a) = {2}; G (b) = {2}; G (c) = {3}.
Видим, что есть единственность образа,
значит соответствие функционально.
113
Прообразы элементов области значений:
G
1
 2  a,b; G 3  c .
1
Нет единственности прообраза, значит не
инъективно.
114
Выводы:
1.Соответствие является функцией, так как
функционально.
2. Соответствие является отображением, так
как полностью определено и функционально.
3. Соответствие является отображением А в В,
так как не сюрьективно.
4. Соответствие не является взаимно
однозначным, так как не сюьективно и не
инъективно.
115
Пример 2:
Определить свойства соответствия G
между множествами A и B.
A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}.
G = {(b, 1), (b, 2), (c,3)}.
116
Область определения:
D(G) = пр1G = {a, b} ≠ A, значит не
полностью определено
Область значения:
Е(G) = пр2G = {1, 2, 3} = B, значит
сюрьективно
117
Образы элементов области определения:
G (b) = {1, 2}; G (c) = {3}.
Видим, что нет единственности образа,
значит соответствие не функционально.
118
Прообразы элементов области значений:
G-1 (1) = {b}, G-1 (2) = {b}, G-1 (3) = {c}
Есть единственность прообраза, значит
инъективно.
119
Выводы:
1.Соответствие не является функцией, так как
не функционально.
2. Соответствие является отображением, так
как не полностью определено и не
функционально.
3. Соответствие не является взаимно
однозначным, так как не функционально и не
полностью определено.
120
Преобразованием множества А
называется отображение типа A  A.
Функция типа A1  A2  ...  An  B
называется n-местной функцией
f (a1 , a2 ,..., an )  b.
121
Соответствие H  B  A называется
обратным к G  A  B, если Н таково, что
(b, a )  H  (a, b)  G.
122
Если соответствие, обратное к функции
f : A  B является функциональным, то оно
называется функцией, обратной к f,
f
1
: B  A.
123
Пусть дана функция
Соответствие f
1
f : A  B.
: B  A.
является функцией тогда и только тогда, когда
1
f
f инъективна, и
является отображением
тогда и только тогда, когда f инъективна и
сюрьективна, то есть биективна.
124
Утверждение:
Для функции f : A  B
существует
1
обратная функция f
тогда и только тогда,
когда f является взаимно однозначным
соответствием между своей областью
определения и областью значений.
125
Пусть даны функции
f : A  B и g : B  C.
Функция h : A  C называется композицией
функций f и g, если
f  g  h( x)  g ( f ( x)), x ∈ A.
Часто говорят, что h получена
подстановкой f в g.
126
Для многоместных функций
f : A  B и g : B n  C возможны
m
различные варианты подстановки f в g,
задающие функции различных типов.
Например, при m = 3 и n = 4 функция
имеет 6 аргументов и тип B  A  B  C ,
3
2
h  g (b1 , f (a1 , a2 , a3 ), b3 , b4 ).
127
Для множества многоместных
f1 : A  A, ...
m1
fn : A
mn
A
функций типа возможны любые
подстановки функций друг в друга, а также
любые переименования аргументов.
Например, переименование x3 в x2 из
функции четырёх аргументов порождает
функцию трёх аргументов:
f ( x1 , x2 , x2 , x4 )  f ( x1 , x2 , x4 ).
128
Функция, полученная из функций
f1 , ..., f n
некоторой подстановкой их друг в друга и
переименованием аргументов, называется
суперпозицией.
Выражение, задающее эту суперпозицию
и содержащее функциональные знаки, скобки
и символы аргументов, называется
формулой.
129
Взаимно однозначные соответствия и
мощность множеств
Утверждение (о взаимно
однозначном соответствии равномощных
множеств):
Если между конечными множествами А
и В существует взаимно однозначное
соответствие, то А  В .
130
Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
Доказательство:
1. Пусть мощность А больше, чем
мощность В.
131
Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
Тогда если выполняется свойство полной
определенности, то не выполняется свойство
инъективности.
132
Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
Доказательство:
2. Пусть мощность А меньше, чем
мощность В.
133
Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
Тогда если выполняется свойство
функциональности, то не выполняется
свойство сюрьективности, и наоборот.
134
Взаимно однозначные соответствия и
мощность множеств
Таким образом, получили противоречие, что
доказывает истинность сформулированного
утверждения.
135
Этот факт:
1) позволяет установить равенство
мощностей двух множеств, не вычисляя
мощностей этих множеств;
2) дает возможность вычислить мощность
множества, установив его взаимно
однозначное соответствие с множеством,
мощность которого известна или легко
вычисляется.
136
На понятии взаимно однозначного
соответствия строится доказательство многих
важных теорем в теории множеств.
Теорема о числе подмножеств
конечного множества
Если мощность конечного
множества U равна n, то число
его подмножеств равно 2n .
137
Доказательство:
Пусть элементы множества U
перенумерованы:
U = {a1 , a2 , a3 ,…, an }.
Установим взаимно однозначное
соответствие между множеством всех
подмножеств U –
булеаном ℬ (U) и множеством двоичных
векторов длины n – Вn.
138
Доказательство:
Двоичный вектор
v = (v1 , v2 , v3 ,…, vn ), соответствующий
подмножеству М множества U: имеет
координату
vi = 0, если ai не принадлежит U;
vi = 1, если ai принадлежит U.
139
Например:
Элементу булеана Ø соответсвует
двоичный вектор (0,
0, …, 0);
подмножеству
{a1} – (1, 0,…,0);
подмножеству
{a2} – (0, 1,…,0);
подмножеству
{a1 , a2 } – (1, 1,…,0);
подмножеству
U – (1, 1,…,1).
140
Теорема о числе подмножеств конечного множества
Таким образом, между множествами
ℬ (U) и Вn установлено взаимно
однозначное соответствие.
Согласно утверждению, их мощности
равны:
│ℬ (U)│= │Вn │= 2n .
141
Лекция 5
Отношения
Определение:
Подмножество R  M
n
называется n -
местным отношением на множестве М.
Говорят, что a1 , a 2 ,  , a n находится в
отношении R, если (a1 , a 2 ,  , a n ) ∈ R .
143
Одноместное отношение – это просто
подмножество М. Такие отношения называют
признаками: элемент а – обладает признаком
R, если R⊆ M и a ∈ R.
Свойства одноместных отношений это
свойства подмножеств М, поэтому для случая
n = 1 термин «отношение» употребляется
редко.
144
Примером трехместного (тернарного)
отношения является множество троек
нападающих в хоккейной команде. Любой из
нападающих находится в этом отношении со
всеми теми игроками, с которыми он играет в
одной тройке (один нападающий может,
вообще говоря, участвовать более, чем в
одной тройке).
145
При n = 2 – отношения называются
двуместными или «бинарными».
Если a и b находятся в отношении R,
это записывается aRb.
Таким образом, бинарное отношение,
заданное на множестве М, это любое
2
подмножество R ⊆ M .
146
Способы задания
Бинарные отношения задаются:
1) Списком;
2) Матрицей бинарного отношения;
3) Графом.
147
Задание списком
Списком задаются отношения, где М –
конечное множество, а R содержит небольшое
количество пар.
Пример 1:
M  а , b , c – алфавит из трех букв, отношение
R – предшествования букв в алфавите. Тогда R
содержит пары:
R  а, b , a, c , b, c .
148
Матрица бинарного отношения,
заданного на множестве
M = {a1 , a 2 ,  , a n } это квадратная
матрица С порядка n, в которой cij
(где i – номер строки, j - номер столбца)
определяется так:
1, если ai Ra j ;
cij  
0, в противном случае.
149
Пример 2:
M  1, 2, 3, 4
Отношение R – «быть больше или равно»
 1 2 3 4
1 1 0 0 0
2 1 1 0 0
3 1 1 1 0
4 1 1 1 1
150
Задание графом
При задании графом, элементы М
сопоставляются одноименным точкам. Точки a
и b соединяются стрелками, если aRb.
Пример 3:
M  1, 2, 3.
Отношение –
быть меньше.
Рис. 1. Задание
отношения
графом
151
Свойства бинарных отношений
Отношение R на М называется
рефлексивным, если для любого a ∈ M
выполняется a Ra.
Главная диагональ матрицы такого
отношения содержит только единицы, граф –
петлю в каждой вершине.
Пример 4: Отношение «быть делителем»,
заданной на множестве N. 1 делитель 1; 2
делитель 2; 3 делитель 3; и т. д.
152
Свойства бинарных отношений
Отношение R на М называется
антирефлексивным, если для любого
выполняется aRa.
a∈ M
Главная диагональ матрицы такого
отношения содержит только нули, граф – не
имеет петель.
Пример 5: Отношение «быть больше»,
заданной на множестве N. 1 не больше 1; 2 не
больше 2; 3 не больше 3; и т.д.
153
Свойства бинарных отношений
Отношение R на М называется
симметричным, если для любой пары
a ,b ∈ M из aRb следует bRa (то есть, для
любой пары отношение R выполняется в обе
стороны или не выполняется вообще).
Матрица симметричного отношения –
симметрична относительно главной диагонали,
у графа все стрелки парные, симметричные.
154
Пример 6:
• Отношение «жить в одной комнате в
общежитии».
• Если А живет в одной комнате с В, то и
В живет в одной комнате с А.
• Если С живет в одной комнате с D, то и
D живет в одной комнате с C.
• И так далее.
155
Свойства бинарных отношений
Отношение R на М называется
антисимметричным, если для любой пары
a ,b ∈ M из того, что одновременно выполняется:
aRb и bRa следует что a = b .
Матрица антисимметричного отношения не
имеет ни одной симметричной 1, у графа все
стрелки непарные, направлены лишь в одну
строну.
156
Пример 7:
• Отношение «быть начальником».
• Если А начальник В, то В не является
начальником А.
• Если C начальник D, то D не является
начальником C.
• И так далее.
157
Свойства бинарных отношений
Отношение R на М называется
транзитивным, если для любых трех
a ,b ,c ∈ M из того, что выполняется aRb и
одновременно bRc следует, что aRc.
Пример 8: Отношение «быть больше»,
заданной на множестве N.
если 3 больше 2 и 2 больше 1, то 3 больше 1;
если 5 больше 3 и 3 больше 1, то 5 больше 1;
и т.д.
158
Отношение эквивалентности
Отношение R на М называется отношением
эквивалентности,
если оно
Рефлексивно,
Симметрично,
Транзитивно.
159
Пример 9:
На множестве натуральных чисел
задано отношение R – иметь одинаковый
остаток от деления на 3.
R – рефлексивно, так как каждое
число само с собой имеет одинаковый
остаток от деления на 3,
например 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, и т.д.
160
Отношение: иметь одинаковый остаток от деления на 3
R – симметрично, так как каждое если число
а имеет с числом b одинаковый остаток от
деления на 3, то и число b с числом а тоже имеет
одинаковый остаток от деления на 3. Например,
1 и 4 имеют одинаковый остаток от деления на 3,
то и 4 и 1 тоже имеют одинаковый остаток;
2 и 5 имеют одинаковый остаток от деления на 3,
то и 5 и 2 тоже имеют одинаковый остаток;
3 и 12 имеют одинаковый остаток от деления на
3, то и 12 и 3 тоже имеют одинаковый остаток, и
161
т.д.
Отношение: иметь одинаковый остаток от деления на 3
R – транзитивно, так для каждых чисел
а , b и с если а с b имеют одинаковый остаток
от деления на 3, и b с с имеют одинаковый
остаток от деления на 3, то и а с с тоже
имеют одинаковый остаток от деления на 3,
например 1 и 4 имеют одинаковый остаток от
деления на 3, и 4 и 13 тоже имеют одинаковый
остаток от деления на 3, тогда 1 и 13 тоже
имеют одинаковый остаток.
162
Отношение: иметь одинаковый остаток от деления на 3
Таким образом, отношение R –
рефлексивно, симметрично и
транзитивно, то есть является
отношением эквивалентности.
163
Разбиение на классы эквивалентности
Если отношение R – отношение
эквивалентности, то оно разбивает
множество, на котором задано, на
классы эквивалентности.
164
Разбиение на классы эквивалентности
Для разбиения на классы надо:
1) Выбрать из М произвольный элемент a1 и
поместить его в класс C1 , затем поместить в этот
класс все элементы, эквивалентные ему;
2) Затем из оставшихся элементов М выбрать
элемент a2 и поместить его в класс C 2 , затем
поместить в этот класс все элементы,
эквивалентные ему;
3) Делать, пока останутся нераспределенные по
классам элементы.
Число классов разбиения – индекс разбиения I.
165
Отношение: иметь одинаковый остаток от деления на 3
Для разбиения на классы надо:
1) Выбрать произвольный элемент 1 и поместить его
в класс C1 , затем поместить в этот класс все
элементы, эквивалентные ему: 4, 7, 10, 13, ... ;
2) Затем из оставшихся элементов М выбрать элемент
2 и поместить его в класс C 2 , затем поместить в
этот класс все элементы, эквивалентные ему: 5, 8,
11, 14, 17, … ;
3) Затем из оставшихся элементов М выбрать элемент
3 и поместить его в класс C3 , затем поместить в
этот класс все элементы, эквивалентные ему: 6, 9,
12, 15, … Индекс разбиения равен 3.
166
Отношение порядка
Отношение R – отношение
порядка, если оно
антисимметрично и
транзитивно.
167
Отношение порядка
Отношение порядка R –
отношение строгого порядка,
если оно антирефлексивно,
антисимметрично и
транзитивно.
168
Отношение порядка
Отношение порядка R –
отношение нестрогого
порядка, если оно
рефлексивно,
антисимметрично и
транзитивно.
169
Отношение порядка
Если элементы a и b связаны отношением
порядка, то есть aRb или bRa, то a и b
сравнимы по отношению порядка R.
170
Отношение порядка
Если любые два элемента a и b сравнимы
по отношению порядка R, то R отношение
полного или линейного порядка, а М
называется полностью упорядоченным.
171
Пример 10:
отношение «быть делителем», задано на N
R – рефлексивно, так как каждое число
является делителем самого себя:
1 делитель 1;
2 делитель 2;
3 делитель 3, и т.д.
172
Отношение «быть делителем», задано на N
R – антисимметрично, так как если числа
разные и a делитель b,то b не является делителем
a:
если 1 делитель 2 и 2 не делитель 1;
если 4 делитель 8, то 8 не делитель 4;
если 3 делитель 9, то 9 не делитель 3,
и т. д.
173
Отношение «быть делителем», задано на N
R – транзитивно, так как если числа разные и
a делитель b и b делитель с, то а тоже является
делителем с:
если 1 делитель 2 и 2 делитель 4, то 1 –
делитель 4;
если 4 делитель 8 и 8 делитель 24, то 4 –
делитель 24, и т. д.
174
Отношение «быть делителем», задано на N
R – рефлексивно, антисимметрично
и транзитивно, значит
R – отношение нестрогого порядка.
175
Отношение «быть делителем», задано на N
R – задает неполный порядок,
так как можно найти хотя бы одну пару
несравнимых элементов,
например: 2 и 3; 7 и 11; 4 и 9, и т.д.
176
Лекция 6
Операции и алгебры
Определение операции
N-арная операция на множестве М –
это функция типа
n
 : М  M,
где n – арность операции. Операция
замкнута относительно множества М по
определению, то есть операция над
элементами множества М, и результат
тоже элемент М.
178
Определение алгебры
Алгеброй называется множество М,
вместе с заданной на нем
совокупностью операций
   1 ,  2 , ... ,  n ,
то есть система
А  M ; 1 ,  2 , ... ,  n 
179
М – основное (несущее)
множество (носитель алгебры)
алгебры А.
Тип алгебры – вектор арностей
операций.
Сигнатура – совокупность
операций Σ.
180
Множество M   М
называется
замкнутым относительно n-арной
операции на М, если
 М    M ,
n
т. е. если значения на аргументе
из М' принадлежат М' .
181
Если М' замкнуто относительно
всех операций 1 ,  2 , ... ,  n ,
алгебры А с носителем М, то система
А  M ; 1 ,  2 , ... ,  n 
называется подалгеброй алгебры А.
182
Пример 1:
Алгебра R, ,  – называется полем
действительных чисел.
Обе операции бинарные, поэтому
тип этой алгебры (2,2).
Сигнатура Σ  , .
Подалгеброй этой алгебры является,
например, поле рациональных чисел.
183
Примеры 2:
Пусть N p  0, 1, 2, ... , p  1.
Определим на N p операции:
 – «сложение по модулю р»,
 – «умножение по модулю р»,
следующим образом:
a b  c и a b  d,
где с и d – остатки от деления на р чисел
а + b и а  b соответственно.
184
Пример 2:
Пусть, например, р = 7, тогда
N p = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 }
и
3  4  0, 3  4  5, 4  6  3.
Часто обозначают:
a + b = с (mod p) и a  b = d (mod p).
185
Конечным полем характеристики р
называется алгебра
N p , , ,
если р – простое число.
186
Пример 3:
Булеаном U называется множество всех
подмножеств множества U
(обозначается ℬ(U)).
Булева алгебра множеств над U или
алгебра Кантора – алгебра (ℬ(U), , , )
Ее тип (2,2,1), сигнатура
  , , .
187
Пример 3:
⊂U
Для любого U ′
B' = (ℬ(U'), U, ∩, ¬ )
– является подалгеброй В.
188
Пример 3:
Множество U={a, b, c, d}
тогда основное множество алгебры В
содержит 16 элементов.
B՛=(ℬ({a, b}),U, ∩, ¬ ).
является подалгеброй В.
189
Свойства бинарных
алгебраических операций
Операция φ называется
ассоциативной, если для любых
элементов а, b, с .
a  b c  a  bc  a  b c.
190
Пример 4:
1. Сложение и умножение чисел
ассоциативны, что позволяет не ставить
скобки в выражениях a  b  c  a  b  c,
a  b c  a  b  c.

2. Возведение в степень

b
a  a b
– не ассоциативна,
a  b  c  a   a
не равно
bc
a  b  c   a .
так как
b c
bc
191
Пример 4:
3. Прямое произведение множеств не
ассоциативно: A  1, 2, B  a, b, C  z.
 A  B  C 
 1, a , z , 1, b , z , 2, a , z , 2, b , z ;
A B  C 
 1, a, z , 1, b, z , 2, a, z , 2, b, z .
192
Свойства бинарных алгебраических
операций
Операция φ называется
коммутативной, если для любых
элементов a, b
a b  b  a.
193
Пример 5:
1. Сложение чисел коммутативно
(«от перемены мест слагаемых сумма не
меняется»):
abba
2. Умножение чисел коммутативно («от
перемены мест множителей произведение
не меняется»):
a b  b a
194
Пример 5:
3. Вычитание и деление – некоммутативные
операции: a  b  b  a ; a / b  b / a .
4. Умножение матриц – некоммутативная
операция, например:
 1 2   2 2   2 3

  
  
 ;
 0 1   0 1   0 1
 2 2   1 1  2 4 

  
  
 .
 0 1   0 1  0 1 
195
Свойства бинарных алгебраических
операций
Операция φ называется
дистрибутивной слева относительно
операции ψ, если для любых a, b, с
a  b c   a  b a  c .
196
Свойства бинарных алгебраических
операций
Операция φ называется
дистрибутивной справа относительно
операции ψ, если для любых a, b, с
a b c  a  с  b c .
197
Пример 6:
1. Умножение дистрибутивно относительно
сложения слева и справа
a  b  c  a  b  a  c ;
a  b c  a  c  b  c .
198
Пример 6:
2. Возведение в степень дистрибутивно
относительно умножения справа.
a b c  a  b
c

 a  b  a  с  b  c .
c
c
199
Пример 6:
но не слева, так как
a  b c   a
bc

 a b a c   a  a  a
b
c
bc
.
200
Пример 6:
3. Сложение не дистрибутивно
относительно умножения
a  b  c  a  b a  c ;
a  b  c  a  c b  c .
201
Лекция 7
Гомоморфизм алгебр
Алгебры разного типа, очевидно, имеют
существенно различное строение. Если же алгебры
имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства
характеризуется с помощью вводимых ниже
понятий гомоморфизма и изоморфизма.
Пусть даны две алгебры
А  K ; 1 ,  2 , ... ,  n  и В  M ;  1 ,  2 , ... ,  n 
одинакового типа, т. е. арности 1 и ψ1 ;  2 и
ψ 2 , ...;  п и ψ п
– одинаковы.
203
Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В
называется отображение
Γ : K М ,
удовлетворяющее условию:
 i k1 , k2 , ... , kl i     i  k1 ,  k2 , ... ,  kl i   
для всех i  1, 2, ..., n, ,

  i m1 , m2 , ... , ml i 

где l i  – арность операций i и ψ i ).
204
Смысл условия гомоморфизма:
a , b, c ∈ K ; Γ (a), Γ (b), Γ (c) ∈ M
независимо от того, выполнена ли сначала операция i в
множестве K и затем произведено отображение Г, либо
сначала произведено отображение Г, а затем в
множестве M выполнена соответствующая операция  i ,
результат будет одинаков.
205
Изоморфизмом алгебры А на алгебру В
называется взаимно однозначный гомоморфизм.
В этом случае существует обратное отображение
 1: K  M , так же взаимно однозначное.
1
m j .


k


Пусть  k j  m j , m j  M . Тогда j
Поменяем в условии гомоморфизма левые части
1
к
этих равенств на правые и применим 
обеим частям получившегося равенства. Так как
 1 k   k , то получим:
 1  i k1, k2 , ..., kl (i )    1 i m1, m2 , ..., ml (i ) ,
1
     , получим

учитывая, что
i 
m1 ,  1m2 , ...,  1 ml (i )    1 i m1, m2 , ..., ml (i ) .
1
206
Это тоже равенство с заменой Г на
1
 , элементов множества K на
элементы множества М и переменой
1

ψ
местами i и i . Иначе говоря,  – это
изоморфизм В на А.
Утверждение 1.
Если существует изоморфизм А на В,
то существует изоморфизм В на А; при
этом алгебры А и В называются
изоморфными.
207
Утверждение 2.
Мощности несущих множеств
изоморфных алгебр равны (при
гомоморфизме это равенство может не
выполняться).
Автоморфизм на себя или
автоморфизм – это гомоморфизм при
условии, что А = В.
Изоморфизм
в
себя
–
изоморфизм В ⊂ А .
208
Пример 1.
Пусть QN – множество всех целых чисел;
Q2 N – множество всех четных чисел.
(QN ;+)
(Q2 N ;+)
Алгебры
и
изоморфны.
Изоморфизмом является отображение  : n  2n , причем,
условие гомоморфизма здесь имеет вид:
Г(a + b) = Г(a) + Г(b).
Поскольку
nо условие
равенства:
Г(a + b) = 2 (a + b),
Г(a) = 2a, Г(b) = 2b,
гомоморфизма примет
вид
истинного
2 (a + b) = 2a + 2b.
Поскольку Q2 N  QN , то Г – изоморфизм алгебры
(QN ;+) в себя.
209
Пример 2.
Пусть QZ – множество всех целых чисел;
Отображение:
 : n  2n ,
является для алгебры QZ ;  автоморфизмом.
Условие гомоморфизма здесь имеет вид:
Г(a + b) = Г(a) + Г(b).
Поскольку
Г(a + b) = – (a + b),
Г(a) = – a, Г(b) = – b,
то условие гомоморфизма примет вид истинного
равенства:
– (a + b) = (– a) + (– b).
210
Пример 3.
Отображение:
 : n  (n)
для алгебры (QN ;+) не является автоморфизмом, так как
условие гомоморфизма имеет вид:
 a  b   a    b .
Поскольку
 a  b  a  b,
 a    a,  b   b,
то условие
равенства:
гомоморфизма
принимает
вид
ложного
 a  b   a    b .
211
Пример 4.
Изоморфизмом между алгебрами R ;  и R;   , где
R+ – положительное подмножество R, является отображение:
а  log a.
Условие гомоморфизма имеет вид:
 a  b    a    b  .
и поскольку
 a  b  loga  b ,
то условие
равенства:
 a   log a,  b   logb,
гомоморфизма принимает
вид
истинного
loga  b   log a  log b.
212
Булевы алгебры Кантора
), , ,  ),
= ( B(U ′
B = ( B(U), , ,  ), и B′
образованные двумя различными
множествами U и U΄ одинаковой мощности,
изоморфны. Операции у них просто
одинаковы, а отображением Г может служить
любое взаимно однозначное соответствие
между U и U΄ .
Утверждение 3.
Отношение
изоморфизма
является
отношением эквивалентности на множестве
алгебр:
– рефлексивность отношения изоморфизма
очевидна;
– симметричность следует из существования
обратного изоморфизма;
– транзитивность устанавливается следующим
образом: если Γ1 – изоморфизм А на В, Γ2 –
изоморфизм В на С, то изоморфизмом А на С будет
композиция Γ1 и Γ2 .
214
Классами эквивалентности в разбиении
по отношению изоморфизма являются классы
изоморфных между собой алгебр. Понятие
изоморфизма – одно из важнейших в
математике. Его сущность, как видно из
примеров можно выразить так: если алгебры А
и В изоморфны, то элементы и операции в В
можно переименовать так, что В совпадет с А.
215
• Это позволяет получить такие соотношения в
алгебре А и автоматически распространить
их на все алгебры, изоморфные А.
Распространенное в математике выражение
«рассматривать
с
точностью
до
изоморфизма»
означает,
что
рассматриваются
только
те
свойства
объектов,
которые
сохраняются
при
изоморфизме, т. е. являются общими для всех
изоморфных объектов.
• В
частности,
изоморфизм
сохраняет
ассоциативность,
коммутативность,
дистрибутивность.
216
Лекция 8
Графы. Определения,
способы задания.
Виды графов.
Определение графа
Пусть V – множество вершин,
а Е – множество ребер.
Графом G называется пара объектов
(V, E) между которыми задано отношение
инцидентности:
Г : е → (v, w),
где вершина v и ребро e инцидентны друг
другу, если вершина является для этого ребра
концевой точкой.
218
Определение графа
Вершины v' и v" называются смежными,
если существует ребро, соединяющее их, т.е.
они инцидентны одному и тому же ребру.
Ребра e' и e" называются смежными,
если они имеют, по крайней мере, одну
общую вершину (инцидентны одной
вершине).
219
Определение графа
Граф, содержащий направленные ребра
(дуги) с началом v' и концом v" , называется
ориентированным графом (ор-графом). Для
ор-графа
v, v  v, v.
Граф, содержащий ненаправленные ребра
с конами v' и v" , называется
неориентированным графом (н-графом).
Для н-графа
v, v  v, v.
220
Определение графа
Рис.1 Неориентированное ребро (a,b)
Рис.2 Ориентированное ребро (a,b)
221
Определение графа
Ребро, концевые вершины которого
совпадают, называется петлей.
Рис.3.
Неориентированная
петля
Рис.4. Ориентированная
петля
222
Определение графа
Ребра (дуги), имеющие одинаковые
начало и конец, называются
параллельными или кратными.
Рис.5. Кратные неориентированные ребра
223
Определение графа
Рис. 6. Кратные ориентированные ребра
224
Определение графа
Ребра ор-графа, соединяющие одну и
туже пару вершин в разных направлениях
называются симметричными или
противоположно-направленными.
Рис. 7. Симметричные ребра
225
Определение графа
Граф называется конечным, если
множество его элементов (вершин и ребер)
конечно.
Рис. 8. Конечный граф
226
Определение графа
Граф называется бесконечным, если
бесконечно множество вершин или
множество его ребер.
Рис. 9. Граф с бесконечным числом вершин
227
Определение графа
Рис. 10. Граф с бесконечным числом ребер
228
Определение графа
Рис. 11. Бесконечный граф
229
Каноническое соответствие
Каждому неориентированному графу
канонически соответствует
ориентированный граф с тем же множеством
вершин, в котором каждое ребро заменено
двумя ориентированными ребрами,
инцидентными тем же вершинам и
имеющим противоположные направления.
230
Каноническое соответствие
Рис 12. Канонически соответствующие графы
231
Способы задания
Задать граф – значит описать множества
его вершин и ребер, а также отношение
инцидентности.
Пусть вершины графа v1 , v2 , , vn ;
e1 , e2 ,, em ребра графа G.
Граф задают:
1) Матрицей инцидентности.
2) Матрицу смежности.
3) Списком ребер.
4) Рисунком.
232
Матрица инцидентности
матрица инцидентности
 ij
размера m n (строкам соответствуют
ребра, столбцам – вершины графа), в которой
для н-графа
 1, ребро ei инциндентно вершине v j ;
 ij  
 0 , в противном случае.
233
Матрица инцидентности
для ор-графа
 1, если вершина v j  начало ребра ei ;

 1, если вершина v j  конец ребра ei ;
 ij  
  , если ei  петля вокруг вершины v j ;
 0  в остальных случаях.

234
Пример 1:
Рис.13 Матрица инцидентности н-графа
b c d
1 1 0 0 0
2 1 0 1 0
a
3 1 0 1 0
4 1
1 0 0
5 0 1 1 0
235
Пример 2:
Рис. 14. Матрица инцидентности ор-графа
a b
1 α 0
2 1 0
3 1 0
4 -1 1
5 0 -1
6 0 1
c d
0 0
-1 0
-1 0
0 0
1 0
-1 0
236
Матрица смежности
Матрица смежности
 ij
размера n n , столбцам и строкам которой
соответствуют вершины графа.
Для н-графа  ij равно количеству ребер,
связывающих i-ю и j-ю вершины,
для ор-графа  ij равно количеству ребер
выходящих из i-й и входящих в j-ю вершину.
237
Матрица смежности
• Матрица смежности н-графа всегда
симметрична.
• Матрица смежности ор-графа в общем
случае не симметрична.
• Она симметрична, если данному орграфу
есть канонически соответствующий н-граф.
238
Пример 3:
Рис. 15. Матрица смежности н-графа
a
b c d
a
1
1 2 0
b
1 0
c
2
1 0 0
d
0
0
1 0
0 0
239
Пример 4:
Рис. 16. Матрица смежности ор-графа
a
b c d
a
1
1 0 0
b
0
0
c
2
1 0 0
d
0
0 0 0
1 0
240
Список ребер
• Списком ребер можно задать граф без
кратных ребер.
• Ребро представляется парой вершин,
инцидентных ему, например е = (v, w).
• Для н-графа порядок вершин в строке
произволен, для ор-графа первым
стоит номер вершины–начала ребра.
241
Рисунок
• Рисунок или геометрическая
интерпретация появляется, если
сопоставить вершинам точки плоскости,
ребрам – линии на плоскости, причем,
линия соединяет только те точки, которые
соответствуют вершинам, инцидентным
данной линии-ребру.
• Граф для которого возможна
геометрическая интерпретация на
плоскости, называется планарным.
242
Пример 5:
Рис. 17. Список ребер н-графа
E = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,c)}.
243
Пример 6:
Рис. 18. Список ребер ор-графа
E={(a,a), (a,b), (a,c), (с,a), (b,c)}.
244
Планарные графы
- это графы, допускающие геометрическую
реализацию на плоскости без пересечения
ребер.
Далеко не все графы являются
планарными. В трехмерном пространстве
можно геометрически реализовать без
пересечения ребер любой граф.
245
Планарные графы
• На рисунке приведен пример не
планарного графа
Рис. 19. Граф «три дома - три колодца»
246
Изоморфные графы
Графы, отличающиеся только
нумерацией вершин, называются
изоморфными.
247
Изоморфные графы
Рис.20. Изоморфные графы
248
Изоморфные графы
• Графы, отличающиеся только
нумерацией вершин, называются
изоморфными.
249
Пустой и полный граф
Граф называется пустым, если
множество ребер пусто:
E  Ø.
Рис. 21. Пустой граф
250
Пустой и полный граф
Н-граф называется полным, если
любые две вершины связаны ребром:
E V .
2
Рис. 22. Полный
н-граф
251
Пустой и полный граф
Ор-граф называется полным, если
любые две вершины связаны парой
симметричных
ребер:
Рис. 23. Полный
ор-граф
252
Двудольный граф
Граф называется двудольным если
множество его ребер разбито на два
подмножества,
V  V1 V2 , V1 V2  Ø
и ребрами связаны только вершины из
разных подмножеств.
253
Двудольный граф
V1  a, b
V2  c, d , g 
Рис. 6. Двудольный
граф
254
Двудольный граф
Граф называется полным
двудольным,
если каждая
вершина V1
Связана ребром
с каждой V2 .
вершиной
Рис. 24. Полный
двудольный граф
255
Двудольный граф
Если V1  n1 , а V2  n2 ,
то
полный двудольный граф обозначается:
K n1 ,n2
256
Двудольный граф
Рис. 25. Полный
двудольный граф
K1, 2 .
257
Двудольный граф
Рис. 26. Полный двудольный граф K 2 , 2 .
На рис. 24 приведен
пример
K 2,3 .
На рис. 19 приведен
пример
K 3,3 .
258
Лекция 9
Локальные степени вершин
Локальные степени вершин
н-графа
Пусть G = (V, E) – н-граф.
Локальной степенью вершины v V
называется число ρ v равное числу
ребер, инцидентных вершине v.

При этом вклад петли в степень
вершины равен 2.
260
Локальные степени вершин
н-графа
Вектор степеней н-графа
G = (V, E) – вектор размерности n,
составленный из степеней вершин графа,
расположенных по убыванию.
261
Локальные степени вершин н-графа
ρ(a)=5
ρ(b)=2
ρ(c)=3
ρ(d)=0
Вектор
степеней
ρ = (5, 3, 2, 0)
Рис.1 Степени
вершин н-графа
262
Локальные степени вершин н-графа
Замечание 1: векторы степеней
изоморфных графов одинаковы:
ρ = (5,3,2,0)
Рис. 2. Граф, изоморфный графу на рис.1
263
Локальные степени вершин н-графа
Замечание 2: Сумма всех локальных
степеней вершин
н-графа равна удвоенному количеству
ребер.
n

  vi   2e
i 1
число
ребер
н-графа.
e
264
Локальные степени вершин н-графа
Теорема
(о числе вершин нечетной степени)
Число вершин нечетной степени –
четно.
265
Локальные степени вершин н-графа
Доказательство:
  vi   2e .
Сумма в левой части равенства –
четна.
Если убрать все четные слагаемые,
сумма останется четной.
Сумма нечетных слагаемых четна,
если их четное число.
266
Локальные степени вершин н-графа
Однородным степени k
называется н-граф, локальные степени
которого одинаковы и равны k.
Для однородного графа степени k:
  vi   kv
 2e ,
k
e  v , v  число вершин.
2
267
Локальные степени вершин н-графа
Локально-конечным называется
н-граф, все локальные степени которого
конечны.
Рис. 3.
Локальноконечный,
бесконечный
однородный
граф степени 4.
268
Локальные степени вершин
ор-графа
Пусть G = (V, E) – ор-граф.
Локальной степенью исхода
вершины v V называется число ρ
равное числу ребер, выходящих из
вершины v.
- v ,
269
Локальные степени вершин
ор-графа
Локальной степенью захода
вершины v V называется число

ρ v  равное числу ребер, входящих
в вершину v.
270
Локальные степени вершин ор-графа
Вектор степеней исхода
ор-графа G = (V, E) – вектор
размерности n, составленный из
степеней исхода вершин графа,
расположенных по убыванию.
271
Локальные степени вершин
ор-графа
Вектор степеней захода
ор-графа – вектор размерности n,
составленный из степеней захода
вершин графа, расположенных по
убыванию.
272
Локальные степени вершин ор-графа
ρ a   3; ρ a   2;


ρ b   1; ρ b   1;


ρ c   1; ρ c   2;


ρ d   0; ρ d   0.


ρ  3,1,1, 0,

ρ  2, 2,1, 0.

273
Локальные степени вершин ор-графа
Замечание 3:
Векторы степеней исхода и степеней
захода изоморфных графов одинаковы.
274
ρ  3,1,1, 0; ρ  2, 2,1, 0.


275
Локальные степени вершин н-графа
Замечание 4:
Сумма всех локальных степеней
исхода вершин и сумма всех
локальных степеней захода ор-графа
равна количеству ребер.
  vi     vi   e .
n
i 1

n

i 1
276
Локальные степени вершин ор-графа
Однородным степени k
называется ор-граф, локальные
степени исхода и степени захода
которого одинаковы и равны k.
Для однородного графа степени k:
  vi     vi   kv  e ,


e  kv .
277
Локальные степени вершин ор-графа
Локально-конечным называется
ор-граф, все локальные степени
исхода и захода которого конечны.
Рис. 5.
Локальноконечный,
бесконечный
однородный
граф степени 2.
278
Лекция 10
Части графа.
Операции над частями графа
Часть графа
Пусть G = (V, E) – н-граф.
Частью (подграфом) графа G
называется граф Н =(V', E' ),
где V'  V, E'  E ,
причем все ребра множества E' входят в
граф Н вместе со своими концами.
280
Суграф
Подграф Н = (V', E' ), называется
суграфом, если V' = V.
Суграф называется
покрывающим, если каждая вершина
инцидентна хотя бы одному ребру
графа G.
281
Подграф,
порожденным множеством вершин
Подграф Н = (V', E' ), называется
подграфом, порожденным
множеством вершин А  V,
если V' = А, E' состоит из ребер
множества Е, соединяющих вершины
множества А.
282
Звездный граф
Подграф Н = (V', E' ), называется
звездным графом вершины
v V
если V' составляют вершина v и все
смежные ей вершины,
E' состоит из ребер множества Е,
инцидентных вершине v.
283
Пример покрывающего суграфа
G(V,E)
Н1 = (V', E' )
Рис.1. Покрывающий суграф
284
Пример непокрывающего суграфа
G(V,E)
Н2 = (V', E' )
Рис.2. Непокрывающий суграф
285
Пример подграфа, порожденного множеством А
G(V,E)
Н3 = (А, E' ), А={3,4,5,6}
Рис.3. Подграф, порожденный множеством А286
Пример звездного графа
G(V,E)
Н4 = (V', E' ) = Z(4)
Рис. 4. Звездный граф
287
Операции над частями графа
Суммой подграфов
Н1 = (V1, E1 ) и Н2 = (V2, E2 ) называется
граф Н = (V, E ),
такой что
V  V1  V2 ,
Обозначается:
Е  Е1  Е2 .
H  H1  H 2 .
288
Операции над частями графа
Пересечением подграфов
Н1 = (V1, E1 ) и Н2 = (V2, E2 )
называется граф D = (V, E ),
такой что
V  V1  V2 , Е  Е1  Е2 .
Обозначается:
D  H1  H 2 .
289
Операции над частями графа
Сумма подграфов
Н1 = (V1, E1 ) и Н2 = (V2, E2 )
называется прямой по ребрам, если у
них нет общих ребер:
E1  E2  Ø.
290
Операции над частями графа
Сумма подграфов
Н1 = (V1, E1 ) и Н2 = (V2, E2 ) называется
прямой по вершинам, если у них нет
общих вершин:
V1  V2  Ø.
291
Операции над частями графа
Дополнением подграфа
Н = (V1, E1 ) до графа G = (V, E )
называется подграф H  V2 , E2 ,
где множество его ребер:
E2  E  E1 ,
292
Операции над частями графа
а множество вершин V2 состоит из всех
вершин множества V, инцидентных
ребрам из Е2 и всех
изолированных вершин, не попавших
в множество V1.
293
Пример суммы подграфов
Н1 = (V1, E1 )
Н2 = (V2, E2 )
H  H1  H 2
Рис. 5. Сумма подграфов
294
Пример пересечения подграфов
Н1 = (V1, E1 )
Н2 = (V2, E2 )
H  H1  H 2
Рис. 6. Пересечение
подграфов
295
Пример суммы, прямой по ребрам
Н1 = (V1, E1 )
Н2 = (V2, E2 )
H  H1  H 2
Рис. 7. Прямая по ребрам
сумма подграфов
296
Пример суммы, прямой по вершинам
Н1 = (V1, E1 )
Н2 = (V2, E2 )
H  H1  H 2
Рис. 8. Прямая сумма
подграфов
297
Пример дополнения
Н = (V1, E1 )
G(V,E)
Рис. 9. Дополнение
H  V2 , E2 
298
Замечание:
Подграф и его дополнение являются
прямой суммой по ребрам:
Н  H  G.
299
Лекция 11
Маршруты.
Расстояние в графе
Маршруты
Пусть G = (V, E) – н-граф.
Маршрутом в графе G называется
чередующаяся последовательность
вершин и ребер
M  v0 , e1 , v1 , e2 , ..., en , vn 
где ребро
ei
инцидентно вершинам
vi -1 , vi .
301
Маршруты
Вершина v0 - начальная вершина
маршрута М,
vn – конечная,
vi – внутренняя вершина,
M v0 , vn   маршрут
соединяющийv0 и vn .
Дина маршрута – число его ребер.
302
Маршруты
Маршрут М называется
маршрутом общего вида, если
вершины и ребра повторяются,
цепью – если его ребра не повторяются,
простой цепью – если его вершины не
повторяются.
303
Маршруты
Маршрут М называется
циклическим, если начальная и
конечная вершина совпадают.
Замечание: совпадают,
не значит повторяются.
304
Маршруты
Циклический маршрут М называется
маршрутом общего вида, если
вершины и ребра повторяются,
циклом – если его ребра не
повторяются,
простым циклом – если его вершины
не повторяются (кроме начала и конца).
.
305
Пример 1
М1 = (1, 2, 3, 4, 1, 3, 4, 5) – общего вида.
М2 = (1, 2, 3, 4, 1, 5) – цепь
М3 = (5, 6, 3, 4, 1) –
простая цепь.
Рис.1. Маршруты
306
Маршруты
М1 =(1, 2, 3, 1, 2, 3, 1) – циклический
маршрут общего вида.
М1 =(1, 3, 4, 5, 6, 4, 1) – цикл
(не простой)
М1 =(1, 2, 3, 4, 1) –
простой цикл.
Рис.2. Циклические
маршруты
307
Расстояния в графе
Расстоянием между вершинами a
и b называется длина минимальной
простой цепи, связывающей их.
Расстояние обозначается d(a, b).
Аксиомы метрики:
1) d(a, b) = d(b, a);
2) d(a, b) ≥ 0, d(a, b) = 0 ↔ a = b;
3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b)
308
Расстояния в графе
Пример 2
1 2 3 4 5
Рис.3. Расстояния в
графе
1
2
3
4
5
0
1
1
2
1
1
0
2
1
1
1
2
0
1
1
2
1
1
0
1
1
1
1
1
0
309
Расстояния в графе
ri – эксцентриситет
i-ой вершины
– расстояние от этой вершины до
наиболее удаленной от нее вершины.
ri = max d(vi,vj)
по всем j от 1 до n.
310
Расстояния в графе
Диаметр графа G – максимальное
расстояние между вершинами графа
d(G)= max d(vi,vj)
по всем i и j от 1 до n, или
d(G)=max ri по всем i от 1 до n.
311
Расстояния в графе
Центр графа G – это вершина,
расстояние от которой до наиболее
удаленной вершины – минимальное.
Что бы найти центр, надо сначала
найти радиус графа.
312
Расстояния в графе
Радиус графа G –расстояние от
центра графа до наиболее удаленной
вершины.
r (G) = min ri
по всем i от 1 до n.
313
Расстояния в графе
Центр графа G –такая вершина vi,
для которой
ri = r(G).
Замечание:
Центр в графе может быть не
единственный.
314
Расстояния в графе
В нашем
примере
центром
является
вершина 5.
Радиус – 1,
диаметр – 2.
1 2 3 4 5 ri
1
2
3
4
5
0 1 1 2 1 2
1 0 2 1 1 2
1 2 0 1 1 2
2 1 1 0 1 2
1 1 1 1 0 1
315
Расстояния в графе
Диаметральные цепи графа G –
простые цепи, длина которых равна
d(G), соединяющие наиболее
удаленные вершины графа.
316
Расстояния в графе
Радиальные цепи графа G –
простые цепи, длина которых равна
r(G), соединяющие центр и наиболее
удаленные от него вершины графа.
317
Расстояния в графе
D1=(1,5,4), D2=(1,3,4),
D3=(1,2,4), D4=(2,5,3),
D5=(2,1,3), D6=(2,4,3),
R1=(5,1), R2=(5,2),
R3=(5,3), R4=(5,4).
Рис.4. Расстояния
318
Лекция 12
Связные компоненты графа
Связность
Пусть G = (V, E) – н-граф.
связными называются вершины a и b
если существуют маршрут,
связывающий их.
Н-граф G называется связным,
если все его вершины связны.
320
Связность
Утверждение: отношение
связности является отношением
эквивалентности.
Доказательство:
1.Каждая вершина связана сама с собой
маршрутом нулевой длины, значит
отношение связности рефлексивно.
321
Связность
2. Если вершина a связна с b, то и b
связна с a. Если a с b связаны
маршрутом М(a,b), то b с a связаны
маршрутом М(b,a), где ребра и
вершины идут в обратном порядке.
Значит отношение связности
симметрично.
322
Связность
3. Если вершина a связана маршрутом
с b, b связана с с, то и a связана
маршрутом с с.
Это маршрут, начало которого
М(a,b), окончание – M(b,c), вершина b
– общая.
Значит отношение связности
транзитивно.
323
Связность
Отношение рефлексивно,
симметрично и транзитивно,
значит является отношением
эквивалентности.
Множество вершин V
разбивается отношением связности
на классы эквивалентности –
подмножества связных вершин.
324
Связность
Связными компонентами графа
G называются подграфы,
порожденные классами
эквивалентности по отношению
связности.
Замечание: В связном графе
одна связная компонента.
325
Связные компоненты
V={a,b,c,d,g},
класс
V1 = { a,c,d
},
класс
V2 = {b,g}.
Рис. 1. Связные
компоненты 326
Разделяющие множества
Разделяющим множеством
н-графа G = (V, E) называется
множество ребер, при удалении
которых число компонент связности
графа увеличивается.
327
Разделяющие множества
Разрезом в н-графе G =(V, E)
называется разделяющее множество
в котором нет лишних ребер, то есть
минимальное разделяющее
множество.
328
Разделяющие множества
Мостом или перешейком
в н-графе G = (V, E) называется
разрез, состоящий из одного ребра.
329
Рис.2. Разделяющее множество
Разделяющее множество:
{(1,4), (2,3), (7,8)};
разрез:{(1,4), (2,3)}, (7,8) – лишнее;
мост :{(4,5) }.
330
Шарнир
Вершина v0  н-графа G = (V, E)
называется шарниром, если
удаление этой вершины и всех
инцидентных ей ребер приводит к
увеличению числа компонент
связности графа.
331
Шарнир
Рис.3. Шарнир в графе
Шарниром является вершина 4.
332
Лекция 13
Задачи об обходах
Задача о мостах Кёнигсберга
Рис.1. Карта мостов Кенигсберга
во времена Эйлера
334
Граф – схема мостов
Части города – вершины, мосты – ребра.
Из рисунка видно,
что задача,
поставленная
Эйлером,
не выполнима.
Рис.2. Граф,
соответствующий схеме мостов
335
Известные головоломки
Рис.3. Сабли Магомеда
Рис.4. Пентаграмма
336
Эйлеров граф
Эйлеровым циклом в н-графе
называется цикл, обходящий все ребра
графа (ровно по одному разу).
Эйлеров граф – граф, в котором
есть эйлеров цикл.
337
Полуэйлеров граф
Эйлеровой цепью в н-графе
называется цепь, обходящая все ребра
графа (ровно по одному разу).
Полуэйлеров граф – граф, в котором
есть эйлерова цепь.
338
Теорема Эйлера
(условие эйлеровости графа)
Для того, чтобы произвольный
н-граф был эйлеровым, необходимо и
достаточно, чтобы
1) он был связен;
2) локальные степени всех его вершин
были четными.
339
Теорема (условие
полуэйлеровости графа)
Для того, чтобы произвольный
н-граф был полуэйлеровым, необходимо и
достаточно, чтобы:
1) он был связен;
2) локальные степени всех его вершин,
кроме двух, были четными.
Вершины с нечетными степенями являются
началом и концом эйлеровой цепи.
340
Эйлеров, полуэйлеров, не эйлеров графы
Рис.5. Эйлеров граф
Рис.6. Полуэйлеров граф
Рис.7. Не эйлеров граф
341
Алгоритм Флери
При построении эйлерова цикла
начинаем с произвольной вершины и
двигаемся в произвольном направлении
выполняя два условия:
1) стираем пройденные ребра и
изолированные вершины, которые при этом
появляются;
2) идем по мосту, только если нет другой
342
возможности.
Рис. 8. Пример построения эйлерова цикла
343
Гамильтонов граф
Гамильтоновым циклом в н-графе
называется простой цикл, обходящий
все вершины графа (ровно по одному
разу).
Гамильтонов граф – граф, в
котором есть гамильтонов цепь.
344
Полугамильтонов граф
Гамильтоновой цепью в н-графе
называется простая цепь, обходящий
все вершины графа (ровно по одному
разу).
Полугамильтонов граф – граф, в
котором есть гамильтонова цикл.
345
Гамильтонов, полугамильтонов графы
Рис.9. Гамильтонов граф
Рис.10. Полугамильтонов граф
346
Задача о кратчайшем пути
Пусть G = (V, E) – н-граф.
Пусть каждому ребру e графа
приписано положительное число –
длина ребра L(e).
Задача заключается в нахождении
маршрута от вершины a к вершине b,
наименьшей длины.
347
Алгоритм
Присвоим всем вершинам метки
s(v) = +∞, причем метка s(а) = 0.
Проверим каждое ребро (vi , vj) на
выполнение условия пересчета:
s(vj) - s(vi) > L(vi,vj).
Если это так, пересчитаем метку конца
ребра:
s(vj) = s(vi) + L(vi,vj).
348
Алгоритм
Совершаем пересчет меток до тех
пор, пока не перестанет выполнятся
указанное условие. Метка, которую
получила вершина b является длиной
искомого маршрута.
349
Пример 1
Рис. 11. Задача о кратчайшем пути
350
Задача о кратчайшем пути
1.2,1 : s1  s2    L2,1 
s1  s2  L2,1  0  1  1;
2.2,3 : s3  s2    L2,3 
s3  s2  L2,3  0  3  3;
3.1,3 : s3  s1  2  L1,3 
s3  3;
4.1,5 : s5  s1    L1,5 
1

1
1
1
1
1
2
0
0
0
0
0
0
3


3
3
3
3
4





4
5
6
7
  
 
  
  
3 
3 
s5  s1  L1,5  1  2  3;
5.1,4 : s4  s1    L1,4 
s4  s1  L1,4  1  3  4;
351
Задача о кратчайшем пути
6.3,4 : s4  s3  1  L3,4 
s4  4;
7.3,7 : s7  s3    L3,7 
s7  s3  L3,7  3  2  5;
8.4,7  : s7   s4  L4,7 
s7  5;
9.5,7  : s7  s5  2  L5,7 
s7   s5  L5,7  3  1  4;
10.5,6 : s6  s5    L5,6 
s6  s5  L5,6  3  4  7;
11.7,6 : s6  s7   3  L7,6 
s6  s7  L7,6  4  1  5.
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
3


3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4





4
4
4
4
4
4
4
5
6
7
 
 
  
  
3  
3 
3 
3  5
3  5
3  4
3 7 4
3 5 3524
Задача о кратчайшем пути
Таким образом, длина кратчайшего
пути равна 5.
Возвращаясь от вершины 6
переходя к вершинам, инцидентным
ребрам, ведущим в вершину 6, доходим
о вершины 2.
μ = ( 2, 1, 5, 7, 6)
353
Лекция 14
Деревья
Определения дерева
Пусть G =(V, E) – н-граф.
Деревом называется связный
ациклический граф.
Рис. 1. Дерево
355
Определение леса
Лесом называется несвязный
ациклический граф.
Рис. 2. Лес
356
Теорема 1 (о деревьях)
Граф будет дерево тогда и только
тогда, когда любые две его вершины
связаны единственной простой цепью.
Связность дает наличие
такой цепи, ацикличность
– ее единственность.
Рис. 3. Теорема 1
357
Терема 2 (о деревьях)
Граф с n вершинами будет деревом
тогда и только тогда, в нем ровно n-1
ребро.
Если ориентировать
дерево о выбранной
вершины,
то в каждую вершину
будет входить 1 ребро,
а в а0 – 0.
Рис. 4. Теорема 2 358
Вершины максимального типа
Дано неориентированное дерево Т.
Концевые вершины дерева – вершины,
локальная степень которых равна 1.
Назовем их вершинами первого типа
дерева Т.
Рис. 5. Вершины
1 типа
359
Вершины максимального типа
Удалим из дерева Т ребра,
инцидентные концевым вершинам –
концевые ребра. Получим дерево Т1.
Концевые вершины
дерева Т1 – Вершины
типа 2.
Рис. 6. Вершины
2 типа
360
Вершины максимального типа
Удалим из дерева Т1 концевые ребра.
Получим дерево Т2.
Концевые вершины
дерева Т2 –
вершины
типа 3.
Рис. 7. Вершины максимального типа
361
Вершины максимального типа
Утверждение 1:
В конечном дереве есть вершины
только конечного числа типов.
Утверждение 2:
Вершин максимального типа k одна
или две.
362
Вершины максимального типа
Утверждение 3:
Центрами деревьев являются
вершины максимального типа k и
только они. Все диаметральные цепи
проходят через центры.
Длина диаметральной цепи равна
2k-1, если центра два и 2k-2, если центр
один.
363
Вершины максимального типа
k = 3 , центров два, длина диаметральной
цепи 2k-1=5.
Рис. 8. Диаметральная цепь
364
Корень дерева
Если дерево не ориентировано,
то его можно ориентировать от
корня.
Корень – это один из центров
дерева.
365
Корень дерева
У всех вершин дерева локальные
степени захода равны 1, а у корня 0.
Вершины, степени исхода которых
равны 0 называются листьями.
Высотой дерева называется
наибольшее расстояние от корня до
листа.
366
Рис. 9 Листья367
Бинарное дерево
Бинарным деревом называется
ориентированное дерево с корнем,
где каждая вершина имеет локальную
степень исхода, равную 2.
368
Ветвь дерева
Ветвью вершины а в дереве Т
с корнем а0 называется подграф,
порожденный множеством
вершин В(а) состоящим из
вершин, связанных с корнем цепь,
проходящей через а.
369
Ветвь
t
Рис.10. Ветвь дерева
370
Лекция 15
Характеристические
числа графа
Цикломатическое число
Цикломатическим числом
графа G называется число ребер,
которые надо убрать, что бы граф
стал ацикличным.
372
Цикломатическое число
1.1
1.2
Рис.1. Цикломатическое число
373
Цикломатическое число
Цикломатическое число графа G
находится по формуле:
γG    e   v   с
 e  число ребер,
 v  число вершин,
 с  число компонент связности.
374
Цикломатическое число
Замечание 1: Цикломатическое
число дерева равно 0.
Замечание 2: Цикломатическое
число леса равно 0.
Замечание 3: Если
цикломатическое число графа равно 1,
то в графе ровно 1 цикл.
375
Цикломатическое число
Пример 1:
Рис. 3. Нахождение цикломатического числа
γG    e   v   с 
 7  5  1  3.
376
Цикломатическое число
Пример 2:
γG    e   v   с 
 10  7  2  5.
Рис.4. Цикломатическое число несвязного графа
377
Число внутренней устойчивости
Внутренне устойчивым
множеством графа G называется
множество вершин S, все вершины
которого попарно несмежны.
Число внутренней устойчивости:
αG   max S .
S V
378
Число внутренней устойчивости
Пример 3:
Рис.5. Нахождение α(G)
S1  a, S 2  a, c, S3  g , c, S 4  a, d .
 G   max Si  2.
379
Число внешней устойчивости
Внешне устойчивым множеством
графа G называется множество
вершин Q, таких, что из всех вершин
множества Q ведут ребра в вершины
множества Q.
Число внутренней устойчивости:
 G   min Q .
QV
380
Число внешней устойчивости
Пример 4:
Рис.6. Нахождение β(G)
Q1  a, b, c, Q2  g , d , Q2  b
 G   min Qi  1.
381
Хроматическое число
Граф G называется hхроматическим, если его вершины
можно раскрасить h различными
красками так, чтобы никакие две
смежные (различные) вершины не были
окрашены в один цвет. Хроматическое
число графа – это наименьшее число
красок.
 G   min h.
382
Хроматическое число
Пример 5:
Рис.7. Нахождение χ(G)
H1  a, d , H 2  g , c, H 3  b.
 G   min h  3.
383
Хроматическое индекс
Граф G называется kраскрашиваемым, если его ребра
можно раскрасить k различными
красками так, чтобы никакие два
смежные ребра не были окрашены в
один цвет. Хроматический индекс
графа – это наименьшее число красок.
 G   min k.
384
Хроматическое индекс
Согласно теореме Визинга, если
максимальная локальная степень
вершины графа равна k, то
хроматический индекс подчиняется
условию:
k   G   k  1.
385
Хроматическое число
Пример 6:
Рис.8. Нахождение χ'(G)
k  max  v    b   4;
4   G   5;
 G   4.
386
Пример 7:
В пунктах Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6 могут
быть источники излучения. Если
источники расположены в пунктах Xi и
Xj влияют друг на друга (поражают друг
друга), то на графе они соединены
ребром (Xi, Xj).
Можно ли расположить в каких-либо
из данных пунктов 4 или 3 источника, не
поражающих друг друга?
387
Рис.9. Нахождение
максимального
внутренне
устойчивого
множества.
S1={X2, X5},
S2={X1, X4},
S3={X3, X6},
S4={X2, X4, X6}.
388
Пример 8:
Объекты Х1, Х2, … , Х9
расположены так, как показано на
графе. Объекты, которые
просматриваются друг из друга
соединены ребрами. Определить в
каких объектах достаточно поставить
камеры наблюдения, чтобы они в
совокупности просматривали все
объекты.
389
Рис.10. Нахождение минимального
внешне устойчивого множества
390
Пример 9: Дана политическая карта
континента. Найти минимальное число
цветов, чтобы раскрасить карту.
Рис.11. Раскраска
географической карты
391
Рис.12. Замена
стран на
вершины, а
границ между
ними на ребра.
Найдем
хроматическое
число графа.
χ(G) = 3.
392
Рис.13. Раскраска карты в три цвета
393
Лекция 16
Сети,
потоки в сетях
Введение
Сети – это графы, которые
моделируют реальные
транспортные и
коммуникационные сети.
395
Введение
Задача о максимальном потоке в сети
заключается в том, чтобы подсчитать
максимальное количество некоторых
объектов, которые могут двигаться от
одного конца сети к другому. При этом
пропускная способность узлов сети
ограничена.
396
Введение
Под объектами могут пониматься пакеты данных, путешествующих по
интернету;
- коробки с товарами, которые везут
по автомагистрали; и т. д.
397
Введение
Эта задача может использоваться
при составлении расписания авиарейсов,
распределения задач в
суперкомпьютерах, обработке цифровых
изображений и расположении
последовательности ДНК.
398
Введение
Перемещение объектов могут
ограничено пропускной способностью
соединений сети или скоростью
транспорта на загруженных дорогах.
399
Введение
В задаче о максимальном потоке одна
их вершин графа назначается истоком –
точкой, в которой все объекты начинают
свой путь, а другая – стоком, точкой, в
которую они все направляются. Пропускная
способ-ность каждого ребра ограничена. В
вершинах вещество не накапливается –
сколько пришло, столько и ушло.
400
Сети
Сетью называется частично
ориентированный граф G(V, E)
Истоком и стоком (входным и
выходным полюсом) называются
некоторые отмеченные вершины.
401
Сети
Исток – вершина, локальная
степень захода которой равна 0.
Сток – вершина, локальная
степень исхода которой равна 0.
402
Сети
Если в сети k истоков и
m стоков – сеть называется
(k,m)- полюсником.
Если в сети 1 исток и 1 сток, сеть
называется двухполюсной.
Далее будем рассматривать только
двухполюсные сети.
403
Сети
Пусть s – исток, t – сток, так что
любая другая вершина лежит на пути
из вершины s в t. Вершины, не
являющиеся истоком и стоком
называются внутренними вершинами
сети.
404
Сети
Разобьем множество вершин V на
два подмножества Х и Х таких, что
s  Х , а t  Х.
Множество ребер, реализующих
это разбиение назовем разрезом в
сети
R X, Х  .
405
Сети
Ориентированные ребра с
Х
началом в Х и концом в
называются прямыми.
Множество прямых ребер
обозначим
E R .
-
406
Сети
Ориентированные ребра с
началом в Х и концом в Х
называются обратными.
Множество обратных ребер
обозначим
E R .

407
Сети
Все неориентированные
ребра являются прямыми.
Их ориентация произвольна,
и определяется при задании
потока в сети.
408
Сети
Замечание 1:
Прямым или обратным ребро
будет в зависимости от вида
разреза в сети.
409
Пример 1
Дана частично ориентированная
двухполюсная сеть.
410
X  s,1, 3; X  t , 2, 4.
R X , X   1,2, 3,4, 4,1.
E R   1,2, 3,4; E R  4,1.


411
X  s, 3, 4; X  t ,1, 2.
R X , X   s,1, 1,3, 4,1, 2,4, 4, t .
E R   s,1, 1,3, 4,1, 2,4, 4, t ;

E R   пусто .

412
X  s,1, 2; X  t, 3, 4.
R X, X   s,3, 1,3, 4,1, 2,4, 2, t .

E R   s,3, 1,3, 2,4, 2, t ;
E R   4,1.

413
X  s,1, 3, 4; X  t, 2.
R X, X   1,2, 2,4, 4, t .

E R   1,2, 2,4, 4, t ;
E R   пусто

414
Поток в сети
Пусть S произвольная частично
ориентированная сеть.
Пусть каждому ребру сети e  E
приписано число
с(e)  0,
– пропускная способность ребра е.
415
Поток в сети
Потоком в сети S называется пара,
составленная из числовой и
нечисловой функций ( f ,w):
w – ориентация всех
неориентированных ребер сети,
f =f(e) – функция значений потока
на ребрах.
416
Поток в сети
Функция f удовлетворяет
условиям:
1) 0  f (e)  c(e), e  E;
2) выполняется закон Киргофа:
дивергенция любой внутренней
вершины сети равна 0.
417
Поток в сети
Дивергенция вершины сети – число
находимое по формуле:
R(a)   f e    f e  .

e  a 

e  a 
 a   ребра, выходящие из а;

 a   ребра, входящие в а.

418
Поток в сети
Величина потока в сети S –
равна дивергенции потока в вершине
s (дивергенция истока).
R  R(s).
419
Поток в сети
Замечание 2:
R ( s )   R t .
420
Поток в сети
Замечание 3:
Величина потока в сети есть
величина переменная, зависящая
от значений функции f(e).
421
Пример 2
Дана частично ориентированная
двухполюсная сеть. Найти величину
потока в сети.
422
с(a)=2; c(b)=3; c(h)=1; c(d)=2; c(q)=1;
c(w)=1; c(x)=3; c(y)=2; c(z)=2.
423
424
425
Поток в сети
Каждому ребру разреза R
ставится в соответствие пропускная
способность разреза с(R), равная
сумме пропускных способностей
всех прямых ребер разреза.
426
с(a) = 2; c(b) = 3; c(h) = 1; c(d) = 2;
c(q) = 1; c(w) = 1; c(x) = 3; c(y) = 2;
c(z) = 2. C = c(w) + c(d) = 3 + 1 = 4.
427
C = c(b) + c(h) + c(x) + c(y) =
= 3 + 1 + 3 + 2 = 9.
428
Поток в сети
Теорема Форда-Фалкерсона
Максимальная величина потока
в сети S равна минимальной
пропускной способности среди
всех ее разрезов.
429
Лекция 17
Основы
теории кодирования
Основы теории кодирования
Кодом называется система условных знаков (символов),
для передачи, обработки и хранения информации.
Пусть А – произвольный алфавит. Элементы алфавита А
называются буквами, а конечные вектора, составленные из
букв – словами.
Длина слова – число букв в слове  , обозначается   .
Соединение слов  1 и  2 обозначим через 1 2 , а
соединение n одинаковых слов α – через  n . Слово 1
называется началом слова α, если существует слово  2 ,
такое что   1 2 .
431
Основы теории кодирования
Пример 1:
Алфавит А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Слова: натуральные числа, составленные их
цифр.
n1=23421, n2= 5600976, и так далее.
Двоичный код натуральных: разложение по
неотрицательным степеням 2.
код числа m1 = 3 – v1 =11;
код числа m2 = 4 – v2 =100;
код числа m3 = 6 – v3 =110;
код числа m4 = 12 – v4 =1100; и так далее.
432
Рассмотрим алфавит Bk  0 ,1, 2, ... , k  1.
Произвольное
отображение
произвольного
множества М в множество слов в алфавите Bk
называется k-ичным кодированием множества М.
При k = 2, B2  B  0,1 – двоичное множество.
433
Кодирование (отображение) Е – двоичная запись
натуральных чисел с помощью минимального количества
букв.
Числу n  N 0 ставится в соответствие слово
b( n )  b1b2 ...bl( n ) ,
наименьшей длины, удовлетворяющее условию:
l( n )
n   bi  2l( n )i .
i 1
При этом b1  1, а длина слова l( n )   log2 n  . Последнее
условие означает, что n удовлетворяет неравенству
2l( n )1  n  2l( n ) .
434
Пример 2:
Пусть n = 12.
log2 12  3,59 , т. е. это дробное число между 3 и 4.
Инкремент этого логарифма равен l( 12 )   log2 12  4 , так
как это следующее целое, идущее за ним.
4
4 i
12

b

2
 i
Аналогично 2  12  2 . Значит,
.
3
4
i 1
12  b1  2  b2  2  b3  2  b4  2 
3
2
1
0
 1  8  b2  4  b3  2  b4  1 
 1  8  1  4  0  2  0 1.
Таким образом, двоичный код числа 12 имеет вид:
b(12) = 1100 .
435
Кодирование E m – двоичная запись натуральных чисел
с помощью m букв.
Числу n  N 0 , удовлетворяющему условию
0  n  2m
ставится в соответствие слово
bm ( n )  0m l( n ) b( n ) .
Пусть n = 12, m = 3.
3
Так как неверно то, что 0  12  2 , то это означает, что
код b3 ( 12 ) построить невозможно.
436
Пример 3:
Пусть n = 12, m = 6.
6
0

12

2
Так как верно то, что
, то это означает,
что код b3 ( 12 ) построить можно, его вид:
b6 ( 12 )  0
64
b( 12 )  001100.
437
Побуквенное кодирование
Кодирование является
побуквенным, если каждой букве
алфавита ставиться в
соответствие двоичный код.
Код слова получается из
последовательной записи кодов букв.
438
Побуквенное кодирование
Пример 4: Алфавит А={a, b, c, d}
Двоичные код букв:
код буквы a – v1 =0;
код буквы b – v2 =11;
код буквы c – v3 =01;
код буквы d – v4 =011.
Тогда слово bc имеет код 1101. Его можно
однозначно разделит на коды букв.
Тогда слово ab имеет код 011. Его можно
декодировать как ab или как d.
439
Побуквенное кодирование
Побуквенный код называется
равномерным, если коды букв имеют
одинаковую длину.
Пример 5: Алфавит А={a, b, c, d}
Двоичные код букв:
код буквы a – v1 =000;
код буквы b – v2 =110;
код буквы c – v3 =010;
код буквы d – v4 =011.
440
Побуквенное кодирование
Побуквенный код называется
префиксным, если ни одно кодовое слово не
является началом другого кодового слова.
Пример 6: Алфавит А={a, b, c, d}
Двоичные код букв:
код буквы a – v1 =00;
код буквы b – v2 =10;
код буквы c – v3 =010;
код буквы d – v4 =011.
441
Побуквенное кодирование
Побуквенный код называется
разделимым,
если код слова можно однозначно
разделить на коды букв.
442
Побуквенное кодирование
Утверждение 1:
Равномерный код всегда разделим.
Утверждение 2:
Префиксный код всегда разделим.
Утверждение 3:
Префиксный код всегда является
разделимым, но разделимый код не
обязательно является префиксным, т. е.
префиксность является достаточным
условием разделимости, но не является
необходимым условием.
443
Оптимальное кодирование
Пусть источник случайным образом генерирует
буквы алфавита А  а1 , а2 , ... , аm  , причем вероятность
появления каждой буквы известна. Таким образом
задано распределение вероятностей Р вида:
… a
a
a
a
i
1
2
pi
p1
p2
m
…
pm
Так как алфавит фиксирован, то это распределение
можно записать в виде:
m


P  p1 , p2 , ... , pm ,  p i  0,  pi  1 444
.


i 1
Оптимальное кодирование
Стоимостью
кода
распределении P назовем число
V
при
m
LV P     vi   pi .
i 1
Оно характеризует среднее количество
букв кодирующих слов, приходящихся на
одну букву алфавита А при кодировании V.
Очевидно, что при различных кодированиях
одного и того же алфавита, стоимость кодов
будет различной.
445
Префиксный код V  v1 , v2 , ..., vm 
называется оптимальным при распределении
Р  р1 , р2 , ..., рm , если его стоимость
минимальна по сравнению с другими кодами
алфавита А при распределении Р.
446
Код Фано
Код Р. Фано, близкий к оптимальному,
заключается в следующем. Упорядоченный (в порядке
не возрастания вероятностей) список букв алфавита
делится на две последовательные части так, чтобы
суммы вероятностей входящих в них букв отличались
как можно меньше. Буквам из 1-ой части
присваивается символ 0, из 2-ой – 1. С каждой частью
поступают аналогично. Так делается пока, в каждой из
частей не окажется по одной букве. Полученные
последовательности нулей и единиц является кодом
Фано данного алфавита.
447
Пример 6:
Дано распределение частот для букв
алфавита. Построить код Фано. Найти
стоимость кода.
A
B
C
D
E
F
0,17 0,13 0,04 0,29 0,15 0,07
G
H
0,1
0,05
448
Код Фано
1. Упорядочить буквы по не
возрастанию частот.
A
B
C
D
E
F
0,17 0,13 0,04 0,29 0,15 0,07
G
H
0,1
0,05
449
А
B
C
D
E
F
G H
0,17 0,13 0, 04 0, 29 0,15 0, 07 0,1 0, 05
450
Код Фано
1. Упорядочить буквы по не
возрастанию частот.
2.Разделить список на две
последовательные части так, чтобы
разница между суммами частот этих
частей была минимальна.
451
D
А
E
B
G
F
H
C
0, 29
0,17
0,15
0,13
0,1
0, 07
0, 05
0, 04
0, 29  0,71  0, 42;
0, 46  0,54  0,08;

 0, 46





 0,54




0,61 0,39  0, 22.
452
Код Фано
1. Упорядочить буквы по не
возрастанию частот.
2.Разделить список на две
последовательные части так, чтобы
разница между суммами частот этих
частей была минимальна.
3. Сопоставить частотам первой части
символ 0, второй части сопоставить 1.
453
D
0,29
A
0,17
E
0,15
B
0,13
G
0,1
F
0,07
H
0,05
C
0,04

 0,46





 0,54




454
Код Фано
1. Упорядочить буквы по не возрастанию
частот.
2.Разделить список на две
последовательные части так, чтобы разница
между суммами частот этих частей была
минимальна.
3. Сопоставить частотам первой части
символ 0, второй части сопоставить 1.
4.С каждой из полученных частей
произвести аналогичное деление.
455
D
0,29
A
0,17
E
0,15
B
0,13
G
0,1
F
0,07
H
0,05
C
0,04

 0,46

 
  0,28
 


 0,54 


0,26






456
D
0,29
A
0,17
E
0,15
B
0,13
G
0,1
F
0,07
H
0,05
C
0,04

 0,46

 
  0,28
 


 0,54 


0,26






457
D
0,29
A
0,17
E
0,15
B
0,13
G
0,1
F
0,07
H
0,05
C
0,04

 0,46

 
  0,28
 


 0,54 


0,26






458
D
0,29
A
0,17
E
0,15
B
0,13
G
0,1
F
0,07
H
0,05
C
0,04

 0,46

 
  0,28
 


 0,54 


0,26






459
D
0,29
00
A
0,17
E
0,15
B
0,13
G
0,1
F
0,07
H
0,05
01
100
101
110
1110
11110
C
0,04
11111
460
Стоимость кода
Стоимость кода V при распределении Р
находится по формуле:
Здесь 
 vi   длина кодирующего слова vi ;
pi  частота появления слова vi .
461
D
A
E
B
G
F
H
C
L 

2
2
3
3
3
4
5
0, 29
0,17
0,15
0,13
0,1
0, 07
0, 05
0, 04





00
01
100
101
110
1110
11110
11111
5



 2, 79


462
Код Хаффмена
Теорема Хаффмена
Если V  v1 , v2 , ..., vm  – оптимальный двоичный код
при распределении P  p1 , p2 , ... , pm  ,
и некоторая вероятность p j = q1 + q2 , причем
р1  р2  ...  p j 1  p j  p j 1  рm  q1  q2 ,
то код V   v1, v2 , ..., v j 1, v j 1, ..., vm , v j 0, v j1
так же является оптимальным при распределении
P   p1 , p2 , ... , p j 1 , p j 1 , ... , pm , q1 , q2 .
Код V является расширением кода V.
463
Код Хаффмена
Построение оптимального кода Хаффмена заключаются
в следующем. Пусть в упорядоченном по невозрастанию
вероятностей списке две последние вероятности pm 1 и p m .
Эти вероятности из списка исключаются, а их сумма
вставляется в список таким образом, чтобы вероятности попрежнему не убывали. Делаем так, пока в списке не
останется две вероятности. Первой из них присваивается
символ 0, второй – символ 1. Получаем оптимальный код,
состоящий из 2 кодовых слов. Далее, используя теорему
расширяем его до кода из 3 слов, и т. д. Пока не получим
список исходных вероятностей.
464
ai
a
b
c
d
pi
xi
0,5
0
,5 0,5

00,2
,2 0,3

0,2
0,1
0,5 0
1

1
00
0
1
01

0 000
1 001
465
Стоимость кода
Найдем стоимость полученного кода.
4
LV P     vi pi 
i 1
 0,5  2  0,2  3  0,2  0,1  1,8.
.
466
Рассмотрим
равномерный
код
с обнаружением и исправлением ошибок.
Однозначной ошибкой типа замещения
называют результат замены одного из символов
0 на 1 или 1 на 0.
Кратностью ошибки s называется число
ошибок
одного
типа.
Например,
если
передаваемое слово x = 1011, а на приемной
станции получено у = 0011, то в слове
произошла ошибка типа замещения.
467
Функция Хемминга H(x), задается на двоичных
n
B
∈
x
. Это вектор минимальной длины l,
векторах
полученный в результате покоординатного сложения по
модулю 2 двоичных кодов номеров тех координат
вектора х, которые равны 1.
Здесь l – та длина двоичного кода, которой
достаточно, чтобы закодировать номера всех координат
слова х.
l   log 2 n  1  .
Таким образом,
H  x   x1  bl 1  x 2  bl 2  ...  x n  bl n  .
468
Пример 8:
Найти функцию Хемминга для двоичного слова
x = 1011. Так как n = 4 , то
l   log 2 4  1    log 2 5   3 . Найдем двоичные
коды длины 3 для всех номеров координат слова х .
1
2
3
4
n
b3 (n)
001
010
011
100
Тогда
H x   1  001⊕0  010⊕1  011⊕1  100 =
= (001) ⊕(011) ⊕(100) =
= (0 ⊕0 ⊕1, 0 ⊕1⊕0, 1⊕1⊕0)= (110) .
469
Кодом
Хемминга
называется
подмножество
n
H
∈
B
двоичных слов
, для каждого из которых
n
функция Хемминга равна нулевому вектору. Таким
образом x  1011 H 3 .
Утверждение 4:
n
x
∈
B
Количество двоичных слов
, принадлежащих
n l
H

2
коду Хемминга равно
.
n
Теорема Хемминга
Код Хемминга является кодом с исправлением одного
замещения.
470
Пример 9:
Пусть при передаче по каналу связи в двоичном слове
x = 010101∈ H 6 произошло замещение 5-ого символа, в
результате чего получилось слово y = 010111. Найдем
функцию Хемминга H ( y) . l   log 2 6  1    log 2 7   3 .
Сложим по модулю 2 двоичные коды номеров только тех
координат вектора у, которые равны 1.
H  у   010⊕100⊕101⊕110  101  b3 5.
Полученный результат является двоичным кодом номера
того места, на котором произошло замещение.
471
Литература
1. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]:
практикум / Кемеровский гос. ун-т; [сост. С. Г. Гутова]. - Кемерово:
КемГУ, 2017. - 185 с.: рис., табл.
2. Дискретная математика: учеб.-метод. Пособие [Текст] /
ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»; сост.
С. Г. Гутова, Т. А. Невзорова. – Кемерово, 2011. – 128 с.
3. Кузнецов, О. П. Дискретная математика для инженера [Текст]
/ О. П. Кузнецов, Г. М. Адельсон-Вельский. – М.: Энергоатомиздат,
1986. – 480 с.
4. Чуешева, О. А. Математическая логика: учеб.-метод. пособие
[Текст] / сост. О. А. Чуешева. – Кемерово, 2006. – 48 с.
5. Щекочихина, С. Г. Дискретная математика: вопросы для
самостоятельного изучения для студентов 1 курса МФ спец. 01.02. /
[Текст] / С. Г. Щекочихина. – Кемерово: Кузбассвузиздат, 2003. –
64 с.
472
ГУТОВА
Светлана Геннадьевна
ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Часть 1
курс лекций
473