ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ (по книге Г. Стренга «Линейная алгебра и её применения») Оглавление Введение ................................................................................................................... 3 1. Постановка задачи и некоторые предварительные сведения ......................... 4 2. Свойства определителей..................................................................................... 7 3. Формулы для вычисления определителей ...................................................... 12 3. Применения определителей ............................................................................. 14 Список использованной литературы ................................................................... 16 2 Введение В этой работе мы изложим содержание главы 4 «Определители» книги: Г. Стренг. Линейная алгебра и ее применения. М., Мир, 1980. 454 с. 3 1. Постановка задачи и некоторые предварительные сведения Определитель — это число, которое некоторым вполне определенным способом ставится в соответствие любой квадратной матрице. Определители имеют разнообразные приложения в анализе (они нужны для вычисления интегралов) и в линейной алгебре, потому что определитель матрицы содержит важную информацию об этой матрице. Ставится задача дать определение определителя матрицы произвольного порядка исходя из его свойств (без которых он был бы бесполезным). Определитель матрицы 𝐴 обозначается det 𝐴 или |𝐴|. Считается, что формулы для определения определителя второго и третьего порядка известны: 𝑎11 𝑎12 |𝑎 | = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 ; 21 𝑎22 𝑎11 𝑎12 𝑎13 |𝑎21 𝑎22 𝑎23 | = 𝑎31 𝑎32 𝑎33 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 . Таким образом, наша задача заключается в том, чтобы обобщить эти формулы на случай произвольного 𝑛. В главе «Определители» употребляются некоторые понятия и используются некоторые факты, которые в книге вводятся или доказываются раньше. Приведем здесь необходимые определения и формулировки. Квадратную матрицу 𝑛-го порядка будем записывать в виде 𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋱ ⋮ ) 𝐴=( ⋮ 𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 или кратко: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑖,𝑗=1,...,𝑛 . Матрица 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑖,𝑗=1,...,𝑛 называется верхнетреугольной, если под главной диагональю у нее стоят нули, то есть 𝑎𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 > 𝑗. Если выполняется условие 𝑎𝑖𝑗 = 0 при 4 𝑖 < 𝑗, то матрица называется нижнетреугольной. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы объединяются термином треугольные матрицы. Если матрица является одновременно и верхне-, и нижнетреугольной, то есть ненулевые элементы могут стоять у нее только на главной диагонали, то она называется диагональной. Диагональная матрица с единицами на диагонали называется единичной и обозначается 𝐼: 1 ⋯ 0 𝐼 = ( ⋮ ⋱ ⋮ ). 0 ⋯ 1 Единичная матрица обладает важным свойством: для любой другой квадратной матрицы 𝐴 (того же порядка) имеют место равенства 𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴. Дла матрицы 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑖,𝑗=1,...,𝑛 определена транспонированная матрица 𝐴𝑇 = (𝑎̃𝑖𝑗 )𝑖,𝑗=1,...,𝑛 , где 𝑎̃𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 . Строки матрицы 𝐴 являются столбцами матрицы 𝐴𝑇 , и наоборот. В работе с матрицами часто приходится использовать следующее представление матрицы 𝐴: 𝑃𝐴 = 𝐿𝐷𝑈, (1) где: 𝑃 — перестановочная матрица, то есть матрица, умножение которой на 𝐴 слева переставляет (некоторым определенным образом) строки матрицы 𝐴 (матрица 𝑃 обязательно устроена следующим образом: в каждой ее строке и в каждом столбце имеется ровно одна единица, а остальные элементы равны нулю); 𝐿 — нижнетреугольная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы; 𝐷 — диагональная матрица с ненулевыми элементами на диагонали; 5 𝑈 — верхнетреугольная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы. Если матрица 𝐴 допускает разложение (1), то она называется невырожденной. В следующем разделе мы сформулируем те свойства, на основе которых будем потом давать определение. 6 2. Свойства определителей Требуемые от определителей свойства, которые мы будем здесь перечислять, мы будем иллюстрировать на примере матриц второго порядка. 1. Определитель матрицы является линейной функцией первой строки. Это означает, что если 𝐴, 𝐴′ , 𝐴′′ — три квадратные матрицы одного и того же порядка, у которых совпадают все строки, кроме первой, а первая строка матрицы 𝐴 является линейной комбинацией первых строк матриц 𝐴′ , 𝐴′′: 𝐴(1) = 𝜆𝐴′(1) + 𝜇𝐴′′ (1) , то и определитель матрицы 𝐴 будет линейной комбинацией определителей матриц 𝐴′ , 𝐴′′: det 𝐴 = 𝜆 det 𝐴′ + 𝜇 det 𝐴′′. Определители второго порядка обладают этим свойством: | ′ ′′ 𝜆𝑎11 + 𝜇𝑎11 𝑎21 ′ ′′ 𝜆𝑎12 + 𝜇𝑎12 ′ ′′ )𝑎 ′ ′′ + 𝜇𝑎11 | = (𝜆𝑎11 22 − (𝜆𝑎12 + 𝜇𝑎12 )𝑎21 = 𝑎22 ′ ′′ ′ ′′ = 𝜆𝑎11 𝑎22 + 𝜇𝑎11 𝑎22 − 𝜆𝑎12 𝑎21 − 𝜇𝑎12 𝑎21 = ′ ′ ′′ ′′ = 𝜆(𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 ) + 𝜇(𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 ) = = 𝜆| ′ 𝑎11 𝑎21 ′ 𝑎12 𝑎′′ | + 𝜇 | 11 𝑎22 𝑎21 ′′ 𝑎12 |. 𝑎22 2. При перестановке любых двух строк матрицы определитель меняет знак. Для матрицы второго порядка получается так: 𝑎11 𝑎12 𝑎21 ) |𝑎 | = 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 = −(𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 = − | 11 22 12 21 21 12 11 22 𝑎11 21 𝑎22 𝑎22 𝑎12 |. Отсюда следует, что свойство 1 можно сформулировать не только для первой строки, но и для любой другой: пусть 𝐴, 𝐴′ , 𝐴′′ — три квадратные матрицы одного и того же порядка, у которых совпадают все строки, кроме 𝑘-й, а 𝑘-я строка матрицы 𝐴 является линейной комбинацией 𝑘-х строк матриц 𝐴′ , 𝐴′′: 𝐴(𝑘) = 𝜆𝐴′(𝑘) + 𝜇𝐴′′ (𝑘) . 7 Обозначим через 𝐴̃, 𝐴̃′ , 𝐴̃′′ матрицы, которые получаются из матриц 𝐴, 𝐴′ , 𝐴′′ соответственно обменом местами первой и 𝑘-й строк. Тогда матрицы 𝐴̃, 𝐴̃′ , 𝐴̃′′ обладают свойством 𝐴̃(1) = 𝜆𝐴̃′(1) + 𝜇𝐴̃′′ (1) , поэтому, в силу свойства 1, det 𝐴̃ = 𝜆 det 𝐴̃′ + 𝜇 det 𝐴̃′′. С другой стороны, в силу свойства 2, det 𝐴 = − det 𝐴̃ , det 𝐴′ = − det 𝐴̃′ , det 𝐴′′ = − det 𝐴̃′′ . Поэтому det 𝐴 = − det 𝐴̃ = −(𝜆 det 𝐴̃′ + 𝜇 det 𝐴̃′′ ) = 𝜆(− det 𝐴̃′) + 𝜇(− det 𝐴̃′′ ) = = 𝜆 det 𝐴′ + 𝜇 det 𝐴′′. Итак, определитель должен линейно зависеть от любой своей строки. 3. Определитель единичной матрицы 𝐼𝑛 равен 1. Для единичной матрицы второго порядка: 1 | 0 0 | = 1 ∙ 1 − 0 ∙ 0 = 1. 1 Три этих свойства являются основными. Мы сформулируем еще несколько свойств определителей, но все они будут следовать из первых трех. 4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен 0. Это свойство следует из свойства 2: если поменять местами две одинаковые строки матрицы, то матрица не изменится, но с другой стороны, ее определитель по свойству 2 должен сменить знак. Стало быть, для этой матрицы выполняется равенство det 𝐴 = − det 𝐴, то есть det 𝐴 = 0. 5. Если строку матрицы умножить на число и вычесть из другой строки, то определитель не изменится. 8 Выведем это свойство из предыдущих. Пусть 𝐴 — матрица. Выберем в ней две любые строки: 𝐴(𝑘) и 𝐴(𝑙) . Через 𝐴̂ обозначим матрицу, у которой все строки, кроме 𝑘-й, совпадают со строками матрицы 𝐴, а 𝐴̂(𝑘) = 𝐴(𝑙) . Через 𝐴̌ обозначим матрицу, у которой все строки, кроме 𝑘-й, совпадают со строками матрицы 𝐴, а 𝐴̌(𝑘) = 𝐴(𝑘) − 𝜆𝐴(𝑙) = 𝐴(𝑘) − 𝜆𝐴̂(𝑘) . Мы знаем, что в силу свойства 1 и свойства 2 определитель линейно зависит от любой строки, поэтому det 𝐴̌ = det 𝐴 − 𝜆 det 𝐴̂. Но в матрице 𝐴̂ есть одинаковые строки, поэтому det 𝐴̂ = 0, и, значит, det 𝐴̌ = det 𝐴. 6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен 0. Нулевую строку можно представить в виде суммы двух нулевых строк и она останется нулевой (то есть матрица от этого не изменится), а по свойству линейной зависимости определителя от строки мы получим тогда det 𝐴 = det 𝐴 + det 𝐴. Отсюда следует, что det 𝐴 = 0. 7. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Для доказательства этого свойства можно привести треугольную матрицу к диагональному виду преобразованиями, описанными в свойстве 5. А именно: рассмотрим в верхнетреугольной матрице элемент 𝑎𝑛𝑛 . Если 𝑎𝑛𝑛 = 0, то произведение диагональных элементов равно 0. Но в этом случае вся 𝑛-я строка нулевая (элементы 𝑎𝑛1 , … , 𝑎𝑛,𝑛−1 нулевые, потому что матрица верхнетреугольная), и в силу свойства 6 определитель равен 0, то есть в этом случае утверждение верно. Если же 𝑎𝑛𝑛 ≠ 0, то из строк с первой по (𝑛 − 1)-ю вычтем 𝑛-ю строку, умноженную на числа 𝑎1𝑛 /𝑎𝑛𝑛 , … 𝑎𝑛−1,𝑛 / 𝑎𝑛𝑛 соответственно. Этим мы добьемся того, что во всех строках с первой по (𝑛 − 1)-ю в последнем столбце будут стоять нули, причем в силу свойства 5 9 определитель матрицы не изменится. Мы получим матрицу следующего вида: 𝑎11 ⋮ (𝑎𝑛−1,1 0 ⋯ 𝑎1,𝑛−1 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑛−1,𝑛−1 ⋯ 0 0 ⋮ 0 ). 𝑎𝑛𝑛 Элементы 𝑎11 , …, 𝑎𝑛−1,𝑛−1 такие же, как в исходной матрице, потому что из них мы вычитали нули. Повторим описанную процедуру для матрицы (𝑛 − 1)-го порядка 𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑛−1 ⋱ ⋮ ( ⋮ ), 𝑎𝑛−1,1 ⋯ 𝑎𝑛−1,𝑛−1 затем для оставшейся матрицы (𝑛 − 2)-го порядка и так далее до конца. В результате мы либо на каком-то шаге встретим на диагонали нулевой элемент, и тогда определитель матрицы будет нулевым (матрица, полученная на этом шаге, будет содержать нулевую строку), либо придем к диагональной матрице. Из диагональной матрицы можно последовательно выносить множители из строк, пользуясь свойством линейности определителя по строке: 𝑎11 | 0 ⋮ 0 1 = 𝑎11 𝑎22 |0 ⋮ 0 1 0 ⋯ 0 𝑎22 ⋯ 0 | = 𝑎 |0 11 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 0 0 ⋯ 0 𝑎22 ⋯ 0 | = ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 0 ⋯ 0 1 0 ⋯ 0 1 ⋯ 0 | = ⋯ = 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 |0 1 ⋯ 0| = 11 22 𝑛𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎11 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 . 8. Определитель вырожденной матрицы равен 0, определитель невырожденной матрицы не равен 0. Определение невырожденной матрицы мы давали в разделе 1. Вырожденной является любая матрица, у которой в процессе приведения к диагональному виду по схеме, изложенной в предыдущем пункте (свойство 10 7), на главной диагонали возникает хотя бы один нулевой элемент. При доказательстве свойства 7 мы уже проверили, что в таком случае определитель матрицы нулевой. 9. Определитель произведения матриц равен произведению определителей. Это свойство доказывается сложнее, чем предыдущие. Доказать его можно, приводя последовательными линейными преобразованиями одну из матриц-сомножителей к диагональному виду. 10. При транспонировании определитель матрицы не меняется. Для проверки этого свойства можно воспользоваться разложением (1) для невырожденной матрицы. Если же матрица вырождена, то и ее определитель, и определитель транспонированной матрицы нулевые. Из 10-го свойства следует, что все предыдущие свойства можно переформулировать, заменив строки столбцами. 11 3. Формулы для вычисления определителей Приведем формулы для вычисления определителей, которые получаются из свойств, которые обсуждались в предыдущем разделе. Во-первых, для вычисления определителя невырожденной матрицы 𝐴 можно воспользоваться ее разложением по формуле (1) и свойствами 2, 7, 9. Если 𝐴 = 𝑃 −1 𝐿𝐷𝑈, то в силу свойства 9 det 𝐴 = det 𝑃−1 det 𝐿 det 𝐷 det 𝑈. Но det 𝐿 = 1 и det 𝑈 = 1 в силу свойства 7 и определения матриц L и U (у них на диагонали стоят единицы). Кроме того, det 𝑃−1 = ±1, потому что матрица 𝑃−1 получается из единичной матрицы последовательным обменом местами некоторых строк (или столбцов). Матрица 𝐷 диагональная, поэтому det 𝐷 = 𝑑1 𝑑2 ⋯ 𝑑𝑛 (диагональные элементы 𝑑1 , 𝑑2 , … , 𝑑𝑛 матрицы 𝐷 называются ведущими элементами матрицы 𝐴). Поэтому для невырожденной матрицы 𝐴 det 𝐴 = ±𝑑1 𝑑2 ⋯ 𝑑𝑛 , где знак определяется тем, четное или нечетное число обменов местами строк требуется для того, чтобы получить матрицу 𝑃 из единичной матрицы. Другой способ вычисления определителя получается из свойства линейности определителя по каждой из строк. Отсюда следует, что определитель должен представляться как сумма слагаемых, каждое из которых содержит в качестве множителя один из элементов любой строки матрицы 𝐴. То же должно быть верно и для столбцов. В конце концов эти соображения приводят к формуле det 𝐴 = ∑ 𝑎1𝜎(1) 𝑎2𝜎(2) ⋯ 𝑎𝑛𝜎(𝑛) det 𝑃𝜎 . 𝜎 12 Сумма здесь берется по всевозможным перестановкам 𝜎 чисел 1, 2, … , 𝑛. Определитель det 𝑃𝜎 перестановочной матрицы равен 1 или −1. Наконец, еще одна формула выводится также из свойства линейности определителя по строкам и столбцам. Она называется формулой разложения определителя по строке: для любого 𝑖 = 1, … , 𝑛 верно равенство det 𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 , где 𝑎𝑖1 , 𝑎𝑖2 , . . . , 𝑎𝑖𝑛 — элементы 𝑖-й строки, (2) которые берутсяя последовательно один за другим, а 𝐴𝑖1 , 𝐴𝑖2 , . . . , 𝐴𝑖𝑛 — их алгебраические дополнения. Алгебраическое дополнение 𝐴𝑖𝑘 элемента 𝑎𝑖𝑘 определяется формулой 𝐴𝑖𝑘 = (−1)𝑖+𝑘 det 𝑀𝑖𝑘 , где 𝑀𝑖𝑘 — подматрица матрицы 𝐴, котоая получается вычеркиванием 𝑖й строки и 𝑘-го столбца из матрицы 𝐴. Определитель det 𝑀𝑖𝑘 называется минором. Аналогично разложению по строке определитель можно раскладывать и по столбцу. Поскольку в матрице 𝑛-го порядка есть 𝑛 строк и 𝑛 столбцов, формула (2) дает на самом деле 2𝑛 способов вычисления определителя. Удобно раскладывать определители по строкам или стобълбцам, в которых много нулей: это значительно сокращает объемы вычислений. 13 3. Применения определителей 1. Вычисление обратной матрицы. Можно доказать, что у квадратной матрицы 𝐴 есть обратная матрица 𝐴−1 , то есть такая матрица, что 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼, в том и только том случае, когда det 𝐴 ≠ 0. Матрицу 𝐴−1 можно в этом случае вычислить по формуле 𝐴−1 = 1 adj 𝐴. det 𝐴 Здесь adj 𝐴 — так называемая присоединенная матрица к матрице 𝐴, которая состоит из алгебраических дополнений к элементам матрицы 𝐴: adj 𝐴 = (𝑎̃𝑖𝑗 )𝑖,𝑗=1,...,𝑛 , 𝑎̃𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖 . 2. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера). Если задана система линейных уравнений (относительно 𝑥) 𝐴𝑥 = 𝑏, где 𝑎11 𝐴=( ⋮ 𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎1𝑛 ⋱ ⋮ ), ⋯ 𝑎𝑛𝑛 𝑥1 𝑥 = ( ⋮ ), 𝑥𝑛 𝑏1 𝑏 = ( ⋮ ), 𝑏𝑛 то при условии det 𝐴 ≠ 0 она имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам (они называются формулами Крамера) 𝑥1 = det 𝐵1 det 𝐵2 det 𝐵𝑛 , 𝑥2 = , … , 𝑥𝑛 = , det 𝐴 det 𝐴 det 𝐴 где матрица 𝐵𝑗 получается из матрицы 𝐴 заменой 𝑗-го столбца столбцом 𝑏. 3. Объем параллелепипеда. Если координаты векторов, на которых построен 𝑛-мерный параллелепипед, записать в строки или столбцы матрицы, то 𝑛-мерный объем этого параллелепипеда равен абсолютной величине определителя матрицы. При этом знак определителя тоже несет 14 информацию: он зависит от того, какую ориентацию («правую» или «левую») имеет система векторов, на которых построен параллелепипед. Двумерный объем — это площадь, а трехмерный — это обычный геометрический объем. 4. Вычисление ведущих элементов. Ведущие элементы матрицы 𝐴 определялись нами в предыдущем разделе. Можно доказать, что все эти элементы могут быть вычислены без перестановок (то есть матрица 𝑃 в формуле (1) единичная) в том и только том случае, если 𝑎 |𝑎11 | ≠ 0, |𝑎11 21 𝑎11 𝑎12 ⋮ 𝑎22 | ≠ 0, | 0 ⋯ ⋱ ⋯ 0 ⋮ 𝑎11 | ≠ 0, | ⋮ 𝑎𝑛−1,𝑛−1 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ | ≠ 0. ⋯ 𝑎𝑛𝑛 Здесь |𝑎11 | означает не модуль, а определитель первого порядка. 15 Список использованной литературы [1] Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. – М., Мир, 1980. – 454 с. 16
