Задача 1. Условие. Пользуясь свойствами функции Эйлера, вычислить 𝜙(10800). Решение. Число 10800 = 24 ∗ 33 ∗ 52 . Двойка, тройка, пятёрка - простые числа, значит, пользуясь свойством функции Эйлера: Если 𝑝 - простое, 𝑎 - натуральное числа, то 𝜙(𝑝𝑎 ) = 𝑝𝑎−1 (𝑝 − 1). Данное свойство подходит под наше условие, значит 𝜙(10800) = 𝜙(24 ) ∗ 𝜙(33 ) ∗ 𝜙(52 ) = (23 ∗ 1) ∗ (32 ∗ 2) ∗ (51 ∗ 4) = 2880 Ответ: 𝜙(10800) = 2880 Задача 2. Условие. Выяснить, верно ли сравнение: 32 = 5 (𝑚𝑜𝑑 7) Решение. Если 2 целых числа 𝑎 и 𝑏 имеют одинаковый остаток от деления от m, то они называются сравнимыми по 𝑚𝑜𝑑 𝑚 и пишут 𝑎 = 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚). В нашем случае: 𝑎 = 32, 𝑏 = 5, 𝑚 = 7. Воспользуемся свойством сравнений: 𝑎 = 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ↔ 𝑏 = 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚): 5 = 32 (𝑚𝑜𝑑 7) 7 5−32 = 7 −27 – не верно, следовательно, сравнение 32 = 5 (𝑚𝑜𝑑 7) неверно. Ответ: Сравнение неверно. Задача 3. Условие. Вычислить обратный элемент, если он существует: 77−1 𝑚𝑜𝑑 101. Решение. Чтобы найти 77−1 𝑚𝑜𝑑 101 будем использовать расширенный алгоритм Евклида: 101 = 77 ∗ 1 + 24 77 = 7 ∗ 11 Обратный ход: 1 = 22 − 3 ∗ 7 = 22 − 7 ∗ (25 − 22) = 22 − 7 ∗ 25 + 7 ∗ 22 = −7 ∗ 25 + 8 ∗ 25 𝑥 = 8, 𝑦 = −7 Проверим полученный ответ: 22 ∗ 8 = 176 176 𝑚𝑜𝑑 25 = 1 Решение верно. Ответ: 22−1 𝑚𝑜𝑑 25 = 8.
