Системный анализ и исследование операций ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Элементы теории массового обслуживания. Цель работы: приобрести навыки в вычислении стационарного распределения вероятностей для дискретных и непрерывных цепей Маркова, а также научиться выполнять аналитический расчет и моделирование простейшей элементарной системы массового обслуживания с отказами. Постановка задачи: 1) Найти стационарное распределение вероятностей для заданного индивидуального задания а) дискретной цепи Маркова аналитически и численно точностью ε; б) непрерывной цепи Маркова (аналитически) 2) Рассчитать аналитически характеристики функционирования простейшей СМО в соответствии с заданным индивидуальным заданием. Сравнить рассчитанные характеристики с аналогичными характеристиками, полученными посредством моделирования с помощью программы W:\SAIO\smo.exe. 1. Порядок выполнения работы. 1. Изучить теоретический материал. 2. Найти стационарное распределение вероятностей 1. По матрице переходных вероятностей дискретной цепи Маркова построить ее графическую интерпретацию. 2. Составить систему линейных уравнений для отыскания стационарного распределения вероятностей, найти ее решение. ( k +1 ) (0 ) = P π и заданное начальное приближение π Используя итерационную формулу π найти приближенное решение с заданной точностью ε . 4. По матрице интенсивностей непрерывной цепи Маркова построить ее графическую интерпретацию. 5. Составить систему линейных уравнений для отыскания стационарного распределения вероятностей, найти ее решение. 3. Выполнить аналитический расчет и моделирование простейшей элементной системы массового обслуживания с отказами: 1. Построить диаграмму переходов для заданной элементарной СМО. 2. Рассчитать аналитически следующие характеристики: - вероятность немедленного обслуживания; - вероятность ожидания; - вероятность отказа; - среднее количество заявок в системе; - среднее время обслуживания; - среднюю длину очереди; - среднее время пребывания в очереди; - среднее время пребывания заявки в системе. 3. Рассчитать аналогичные характеристики с помощью программы smo.exe. При выполнении расчетов (в том числе проверки аналитического решения системы уравнений) рекомендуется использовать Google Таблицы (в Google Class таблицу можно создать и прикрепить к заданию автоматически). 3. T (k) 2. Требования к отчету. Отчет должен содержать: • условие задачи; • описание выполнения задания в соответствии с порядком выполнения работы (письменно); • файл Google Таблиц с расчетами + скрин программы smo в Google Рисунках прикрепить в Google Class. Системный анализ и исследование операций 3. Теоретический материал. 3.1. Вычисление стационарного распределения вероятностей для дискретных и непрерывных цепей Маркова Допустим, что данные варианта таковы Матрица переходных вероятностей Начальное Матрица интенсивностей непрерывной дискретной цепи Маркова приближ. цепи Маркова π (0 ) 0,3 0,7 0 0,6 -5 3 2 0,1 0 0,9 0,1 1 -2 1 0,9 0,1 0 0,3 3 1 -4 Аналитический расчет стационарного распределения вероятностей дискретной цепи Маркова базируется на формулах: n ∑ π i pij = π j , j = 1,n, i =1 n π = 1. i ∑ i =1 По заданной матрице составим систему линейных уравнений 0.3 π1 + 0.1 π 2 + 0.9 π 3 = π1 , 0.7 π + 0.1 π 3 = π 2 , 1 0.9 π 2 = π3 , π1 +π2 + π 3 = 1. Отбросив, например, 1-ое уравнение и выполнив элементарные преобразования, получим: 0.7 π1 π 1 − π 2 + 0.1 π 3 = 0 , 0.9 π 2 +π2 − π3 = 0 , + π 3 =1. Отсюда найдем: π1 = 91 5 9 = 0 ,40625 , π 2 , = = 0 ,3125 , π 3 = = 0 , 28125 . 224 16 32 В основе приближенного вычисления стационарного распределения вероятностей дискретной цепи Маркова лежит формула: π ( k +1) = P T π ( k ) . Примечание: в Google Таблицах для вычисления произведения матрицы на вектор используется функция МУМНОЖ(матрица; вектор), для вычисления обратной матрицы – МОБР(матрица), для транспонирования матрицы – ТРАНСП(матрица), для выполнения матричных функций – ARRAYFORMULA(выражение), которая вызывается комбинацией клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. Аналитический расчет стационарного распределения вероятностей непрерывной цепи Маркова базируется на формулах: n ∑ π i q ij = 0, j = 1,n, i =1 n π = 1. i ∑ i =1 Системный анализ и исследование операций Составим по матрице интенсивностей непрерывной цепи Маркова систему линейных уравнений: −5π 1 + π 2 + 3π 3 = 0, 3π − 2π + π = 0, 1 2 3 2π 1 + π 2 − 4π 3 = 0, π 1 + π 2 + π 3 = 1. Отбросив, например, 1-ое уравнение и выполнив элементарные преобразования, получим: −5π 1 + π 2 + 3π 3 = 0, 2π 1 + π 2 − 4π 3 = 0, π + π + π = 1. 1 2 3 Решив последнюю систему, получим стационарное распределение вероятностей для непрерывной цепи Маркова: π1 = 1 1 1 = 0,25; π 2 = = 0,5; π 3 = = 0,25. 4 2 4 Пример реализации в Google Таблицах 3.2. Аналитический расчет и моделирование простейшей элементарной системы массового обслуживания с отказами. Допустим, что элементарная СМО обладает параметрами Количество Количество Интенсивность мест в обслуживающих поступления заявок накопителе приборов 2 3 2 Интенсивность обслуживания 1 Системный анализ и исследование операций Составим диаграмму переходов, соответствующую СМО 2 S0 2 2 S2 S1 S3 2 1 2 2 S4 3 3 S5 3 Здесь S0 – состояние системы, в которой нет заявок; S1 – состояние системы, в которой одна заявка находится на обслуживании S2 – состояние системы, в которой две заявки находятся на обслуживании S3 – состояние системы, в которой три заявки находятся на обслуживании S4 – состояние системы, в которой три заявки находятся на обслуживании, а одна в накопителе (очереди) S5 – состояние системы, в которой три заявки находятся на обслуживании, а две в накопителе (очереди) Для каждого Si-го состояния найдем его вероятность pi в установившимся режиме. Для этого воспользуемся формулой: pi +1 = λi pi , i = 1, k + m µ i +1 (1) Из графа СМО и (1) следует 2 p1 = p 0 = 2 p 0 ; 1 2 p 2 = p1 = p1 = 2 p0 ; 2 2 2 4 p3 = p 2 = 2 p0 = p0 ; 3 3 3 2 2 4 8 p = p = p 0 = p0 ; 4 3 3 33 9 2 28 16 p0 = p0 ; p5 = p 4 = 3 39 27 (2) Поскольку p0+p1+p2+p3+p4+p5=1, то p0 + 2 p0 + 2 p 0 + 4 8 16 211 p0 + p0 + p0 = p0 = 1 , 3 9 27 27 или p0=27/211≈0.128. Подставляя найденное значение в (2), получаем: p1=54/211≈0.256, p2=54/211≈0.256, p3=36/211≈0.171 p4=24/211≈0.114, p5=16/211≈0.076 Теперь можно найти параметры 1. Вероятность немедленного обслуживания Поскольку немедленное обслуживание подразумевает ситуацию, когда заявка, поступающая в СМО, должна тут же поступить на обслуживание, а это возможно когда есть свободный прибор для обслуживания, т.е. когда система находится в одном из состояний S0, S1 или S2: Системный анализ и исследование операций n −1 2 i =0 i =0 PНО = ∑ p i = ∑ p i = p0 + p1 + p 2 = 0.640 2. Вероятность ожидания Поскольку ожидание подразумевает ситуацию, когда заявка, поступающая в СМО, не может сразу поступить на обслуживание и становится в накопитель (очередь), но если там есть свободное место, т.е. когда система находится в одном из состояний S3 или S4: PОЖ = n + m −1 4 i =n i =3 ∑ p i = ∑ p i = p3 + p4 = 0.284 3. Вероятность отказа Поскольку отказ подразумевает ситуацию, когда заявка, поступающая в СМО, не может сразу поступить на обслуживание и даже не может стать в накопитель (очередь), т.е. когда система находится в состоянии S5: PОТК = p n +m = p5 = 0.076 4. Среднее количество заявок в системе N= n +m 5 i =0 i =0 ∑ i ⋅ p i = ∑ i ⋅ p i = 0 ⋅ p0 + 1⋅ p1 + 2 ⋅ p2 + 3 ⋅ p3 + 4 ⋅ p4 + 5 ⋅ p5 = 2.114 5. Среднее время обслуживания TОБ = 1 1 = =1 µ 1 6. Средняя длина очереди W= n +m 5 i =n +1 i =4 ∑ (i − n) ⋅ p i = ∑ (i − n) ⋅ pi = 1⋅ p4 + 2 ⋅ p5 = 0.265 7. Среднее время пребывания заявки в очереди TОЖ = W 0.265 = ≈ 0.088 n ⋅µ 3 ⋅1 8. Среднее время пребывания заявки в системе T = TОБ + TОЖ = 1 + 0.088 = 1.088 Пример реализации в Google Таблицах Системный анализ и исследование операций Моделирование работы СМО
