17 СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С РЕКУРРЕНТНЫМ ВХОДНЫМ

СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С РЕКУРРЕНТНЫМ ВХОДНЫМ
ПОТОКОМ И ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ
В. И. Клименок, А. Н. Дудин, Ч. С. Ким
Белорусский государственный университет
Минск, Беларусь
E-mail: [email protected] [email protected]
Университет Сангжи
Вонжу, Корея
E-mail: [email protected]
Исследована система массового обслуживания с повторными вызовами и
постоянной интенсивностью повторов, в которую поступает рекуррентный
17
входной поток запросов. Результаты могут быть использованы при моделировании и оптимизации телекоммуникационных сетей со случайным множественным доступом.
Ключевые слова: рекуррентный входной поток, обслуживание, повторные
вызовы, стационарное распределение вероятностей.
ВВЕДЕНИЕ
Системы массового обслуживания с повторными вызовами являются
адекватными математическими моделями процессов передачи информации в сетях
связи со случайным множественным доступом и беспроводных сетях. Поэтому их
исследованию в настоящее время уделяется много внимания. Недавний обзор работ
по данной тематике содержится, например, в [1]. Подавляющее большинство работ
посвящено системам, у которых маргинальное распределение интервалов между
моментами поступления запросов является показательным или распределением
фазового типа. Известно, что любое распределение с наперед заданной точностью
может быть аппроксимировано распределением фазового типа. Однако точная
аппроксимация некоторых практически важных распределений, например
вырожденного и равномерного, требует очень большого порядка распределения
фазового типа, что создает подчас неразрешимые вычислительные трудности.
Поэтому в данной работе рассмотрена задача анализа системы массового
обслуживания с повторными вызовами и произвольным распределением интервалов
между моментами поступления.
Рассматривается система типа GI/PH/1 с повторными вызовами и постоянной
интенсивностью повторов. Времена между моментами поступления запросов
являются независимыми случайными величинами с функцией распределения A(t ),
∞
преобразованием Лапласа – Стилтьеса A ( s ) = ∫ e− st dA(t )
*
и конечным первым
0
∞
моментом a1 = ∫ tdA(t ).
0
Если прибывший запрос застает единственный обслуживающий прибор
свободным, он немедленно начинает обслуживание. В противном случае он идет в
некоторую виртуальную область, называемую орбитой, и становится в очередь так
называемых
повторных
вызовов.
Вместимость
орбиты
предполагается
неограниченной. Первый вызов из этой очереди совершает попытки попасть на
обслуживание через промежутки времени, длины которых являются независимыми
случайными величинами, имеющими показательное распределение с параметром γ.
Если в момент попытки прибор является свободным, вызов немедленно начинает
обслуживание. Каждый вызов повторяет попытки до тех пор, пока он не получит
обслуживание.
Времена обслуживания запросов предполагаются независимыми случайными
величинами, имеющими показательное распределение с параметром μ .
Целью анализа является нахождение условия существования стационарного
режима функционирования системы и нахождение стационарного распределения
числа запросов и времени пребывания запроса в системе.
18
ПРОЦЕСС, ОПИСЫВАЮЩИЙ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ.
ВЛОЖЕННАЯ ЦЕПЬ МАРКОВА
Состояние системы будем обозначать как пару (it , mt ), где it есть число
запросов в системе (на орбите и на обслуживании), mt равно 0, если прибор в
момент времени t простаивает, и равно 1, если прибор в момент времени t занят
обслуживанием. Отметим, что, в отличие от систем с ожиданием (с конечным или
бесконечным буфером), в системах с повторными вызовами имеются интервалы
времени, когда система не пуста, но прибор простаивает после окончания
обслуживания, ожидая, когда придет новый первичный запрос или совершит
попытку запрос с орбиты.
Таким образом, динамика рассматриваемой системы описывается процессом
ζ t ,t ≥ 0, имеющим пространство состояний X = {(i, m), i ≥ 0,m = 0,1}. Нетрудно
видеть, что в случае, если распределение A(t ) не является показательным, процесс
ζ t не является марковским. Поэтому для нахождения его стационарного
распределения сначала изучим вложенную в него цепь Маркова.
Пусть t n есть момент поступления n -го запроса. Нетрудно видеть, что процесс
ξ n = (in , mn ), n ≥ 1, где in , i n ≥ 0, есть число запросов в системе перед моментом
поступления n -го запроса (в момент t n − 0 ), а mn , mn = 0,1, задает состояние прибора в
момент t n − 0, является неприводимой цепью Маркова с пространством состояний X .
Для того чтобы получить одношаговые вероятности переходов этой вложенной
цепи Маркова, необходимо уметь рассчитывать распределение вероятностей числа
запросов, получивших обслуживание в системе за время между двумя
последовательными моментами поступления запросов. Для расчета этого
распределения введем понятие обобщенного времени обслуживания запроса с
орбиты как времени с момента, когда перед удачной попыткой прибор
освобождается, и до момента, когда он завершит обслуживание, т. е. обобщенное
время обслуживания состоит из двух последовательных фаз, первая из которых имеет
показательное распределение с параметром γ , а вторая – с параметром μ . Из этого
следует, что обобщенное время обслуживания запроса с орбиты имеет распределение
фазового типа с неприводимым представлением (β, S ), где вектор β имеет вид
⎛ −γ γ
⎞
⎜
⎟
β = (1, 0), а субгенератор S имеет вид S = ⎜ 0 −μ
⎟ . Обозначим S0 = − Se,
⎜
⎟
⎝
⎠
где e есть вектор-столбец, состоящий из единиц.
Что касается времени обслуживания запроса, который попал на обслуживание
непосредственно по приходу в систему, оно имеет показательное распределение с
параметром μ и может быть интерпретировано как вторая фаза обобщенного
времени обслуживания.
Пусть P(n, t ), n ≥ 0, есть матрица, задающая вероятности того, что за время t
произойдет n восстановлений в процессе марковского восстановления, порожденном
случайными величинами, имеющими PH распределение, введенное выше. Известно
[2], что матрицы P(n, t ), n ≥ 0, можно вычислить из матричного разложения
19
∞
∑P(n, t ) z
n
=e
( S +S0βz ) t
.
n =0
Обозначим через Pi , j матрицу вероятностей одношаговых переходов двумерной цепи
Маркова ξ n , n ≥ 1, из состояний, соответствующих наличию i запросов в системе, в
состояния, соответствующие наличию j запросов в системе, i, j ≥ 0.
Теорема 1. Матрица вероятностей одношаговых переходов двумерной цепи
Маркова ξ n , n ≥ 1, имеет следующую блочную структуру:
P = ( Pi , j )i , j ≥0
⎛ B0
⎜
⎜ B1
= ⎜ B2
⎜
⎜ 
⎜
⎝
A0
A1
A2

0
A0
A1

0
0
A0





⎞
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎟
⎠
где
⎛0 1 ⎞
⎛1 0

⎟  ⎜
⎜
An = E ∫P (n, t )dA(t ), Bn = E ∑ ∫P(k , t )dA(t ) E , E = ⎜ 0 1 ⎟, E = ⎜ 1 0
k = n +1 0
0
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
Следствие 1. Процесс ξ n , n ≥ 1, есть цепь Маркова типа GI/M/1 [2].
∞
∞
∞
⎞
⎟
⎟.
⎟
⎠
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛОЖЕННОЙ
ЦЕПИ МАРКОВА
Теорема 2. Необходимым и достаточным условием существования
стационарного распределения цепи Маркова ξ n , n ≥ 1, является выполнение
неравенства
μ
μ
[
(1 − A* (μ + γ )) + a1γ ] > 1.
(1)
μ+γ μ+γ
Далее предполагаем это условие выполненным.
Обозначим стационарные вероятности цепи Маркова ξ n как π(i, m), i ≥ 0,
m = 0,1, и введем векторы-строки, состоящие из этих вероятностей
πi = (π(i, 0), π(i,1)), i ≥ 0.
Теорема 3. Векторы стационарных вероятностей πi , i ≥ 0, вычисляются по
формуле
πi = π0Ri , i ≥ 1,
(2)
где матрица R является миниальным неотрицательным решением матричного
уравнения
∞
R = ∑R j A j ,
j =0
а вектор π0 является единственным решением системы уравнений
20
∞
π 0 = π 0 ∑R m Bm , π 0 ( I − R) −1 e = 1.
m=0
Доказательство теорем 2 и 3 следует из результатов [2].
Следствие 2. Векторы π i , i ≥ 0, имеют следующий вид:
π 0 = (1 − r )(1,0),
π i = (1 − r )r i −1 (r − r2 ,r2 ), i ≥ 1,
где величины r и r2 вычисляются как
∞
r = (0,1) ∫e
( S +S0βr ) t
0
∞
dA(t ))e, r2 = ( ∫e
( S + S0βr ) t
dA(t )) 2,2 .
0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА – СТИЛТЬЕСА СТАЦИОНАРНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ
Пусть ϕi ( s ) есть преобразование Лапласа – Стилтьеса стационарного
распределения времени пребывания в системе запроса, который по прибытии застал
прибор занятым и i − 1 запросов на орбите, i ≥ 1 . Введем производящие функции
∞
Φ( z , s ) = ∑ϕi ( s ) z i ,| z |≤ 1.
i =1
Лемма 1. Производящие функции
уравнению:
Φ( z, s)
Φ( z , s )[1 − A* ( s + μ) − zù( s) − δ( s)] =
удовлетворяют следующему
μz
ù( s),
μ−γ
где
μ
[ A* ( s + γ ) − A* ( s + μ)],
μ−γ
1
1
1
1
ù( s ) = γμ[
+
[
A* ( s + μ) −
A* ( s + γ )]].
( s + γ )( s + μ) μ − γ s + μ
s+γ
Теорема 4. Преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения
времени пребывания в системе задается следующим образом:
1 − r2 μ
r
⋅
+ 2 Φ (r , s )].
v( s ) = (1 − r )[
(3)
1− r s + μ r
Дифференцируя (3), можно подсчитать среднее время пребывания запроса в
системе v по формуле v = −v′(0) .
Следствие 3.
1 − r2 1 r2
v = (1 − r )[
− Φ′(r , 0)],
1− r μ r
где
δ( s ) =
Φ′(r , 0) = (
rA* ( γ )(μ + γ (1 − r )) (r − 2) A* (μ)( γr ) r (( γ + μ) + γ (1 − r ))
+
−
)×
(μ − γ ) γ
μ(μ − γ )
μγ
21
×((1 − r )2 (−
μA* ( γ ) γA* (μ)
+
+ 1)) −1.
μ−γ
μ−γ
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ
В ПРОИЗВОЛЬНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ
Вычислив стационарное распределение вложенной цепи Маркова ξ n , n ≥ 1, c
использованием аппарата теории процессов марковского восстановления [3], можно
вычислить стационарное распределение исходного немарковского процесса ζ t , t ≥ 0.
Пусть p0 есть вероятность нахождения этого процесса в произвольный момент
времени в состоянии (0,0) и p i есть вектор стационарных вероятностей состояний
(i,0),(i,1), i ≥ 1.
Теорема 5. Стационарные вероятности p 0 , p i , i ≥ 1, вычисляются следующим
образом:
r 1
r 1
p0 = 1 − a1−1 ( 2 + ), pi = a1−1 (1 − r )r i −1 ( 2 , ), i ≥ 1.
γ μ
γ μ
Следствие 4. Среднее число запросов в системе в произвольный момент времени
вычисляется следующим образом:
λ r2 1
Larb =
( + ).
1− r γ μ
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
Gomez-Corral, A. A bibliographical guide to the analysis of retrial queues through matrix analytic
techniques / A. Gomez-Corral // Annals of Operations Research. 2006. Vol. 141. P. 163–191.
Neuts, M. F. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models – An Algorithmic Approach /
M. F. Neuts. Johns Hopkins University Press, 1981.
Cinlar, E. Introduction to stochastic processes / E. Cinlar. N. J.: Prentice-Hall, 1975.
22