Т. В. Бубнова, Ю. А. Виноградова Аналитическая геометрия Избранные главы Москва 2012 0 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» Т. В. Бубнова, Ю. А. Виноградова Аналитическая геометрия Избранные главы Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области автоматизированного машиностроения (УМО АМ) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки: бакалавров и магистров «Техносферная безопасность», «Защита окружающей среды», «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» и дипломированных специалистов технологическое обеспечение «Конструкторско- машиностроительных «Проектирование технологических машин и комплексов». Москва 2012 1 производств», УДК 513 ББК 22.151 С23 Рецензенты: д-р ф.-м. н., проф. Л. Ю. Васильева (кафедра общей физики МФТИ); доц. Смирнова М. А. (кафедра информатики и прикладной математики Тверского государственного технического университета) С23 Бубнова Т. В., Виноградова Ю. А. Аналитическая геометрия. Избранные главы: учеб. пособие / Т. В. Бубнова, Ю. А. Виноградова. – М.: ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН», 2012. – 87 с.: ил. Содержит теоретический минимум для решения задач по аналитической геометрии, а также примеры решения всех типов задач, встречающихся в контрольной работе, приводятся задачи для самостоятельного решения. Для использования на практических занятиях и самостоятельной работы студентов. УДК 513 ББК 22.151 © Бубнова Т. В., Виноградова Ю. А., 2012 © ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН», 2012 2 Содержание 1. Простейшие задачи аналитической геометрии ............................................. 4 2. Векторы ............................................................................................................. 9 3. Прямая на плоскости ...................................................................................... 23 4. Плоскость в пространстве. ............................................................................ 44 5. Прямая в пространстве................................................................................... 53 6. Полярные координаты ................................................................................... 75 7. Параметрические уравнения линии .............................................................. 83 Библиографический список ............................................................................... 87 3 1. Простейшие задачи аналитической геометрии Расстояние между двумя точками Если в пространстве Oxyz задана декартова система координат и точки M1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) (рис.1), z M2 M1 y x Рис. 1 то расстояние между ними вычисляется по формуле d (M1 , M 2 ) ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2 . (1.1) Расстояние между двумя точками в плоскости Oxy : d (M1 , M 2 ) ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 . (1.1’) Деление отрезка в данном отношении Рассмотрим отрезок M1M 2 , лежащий на некоторой прямой. Пусть M - любая, отличная от M 2 , точка прямой. M1 M Рис.2 4 M2 Точка M делит отрезок M1M 2 в отношении , если M 1M . MM 2 Координаты этой точки вычисляют по формулам: x x1 x2 y y z z , y 1 2 , z 1 2 . 1 1 1 (1.2) Формулы (1.2) называются формулами деления отрезка в данном отношении. Если точки расположены в плоскости принимают вид: x Oxy , то формулы (1.2) x1 x2 y y2 , y 1 1 1 . (1.2’) При 1 точка M делит отрезок пополам. Тогда координаты середины отрезка определяют следующим образом: x x1 x2 y y z z , y 1 2 , z 1 2 2 2 2 . (1.3) Формулы (1.3) называются формулами деления отрезка пополам. В случае плоскости Oxy формулы (1.3) принимают вид: x x1 x2 y y , y 1 2 2 2 5 . (1.3’) Решение задач. 1. Найти длину медианы АD треугольника АВС с вершинами А(2, 1, 0), В(-1, -1, 2) и С(3, -5, 4). Решение: В По условию AD – медиана ABC . Следовательно, точка D делит отрезок ВС пополам. По формуле (1.3’) найдем координаты точки D: D A C Рис.3 xD zD xB xC 1 3 y y 1, yD B C 1 5 3, 2 2 2 2 zB zC 2 4 3. 2 2 D(1, 3,3) . Нахождение длины медианы сводится к нахождению расстояния между точками А и D. Воспользуемся формулой (1.1). AD ( xD xA )2 ( yD y A )2 ( zD z A )2 (1 2)2 (3 1) 2 (3 0)2 1 16 9 26. Ответ: AD 26 . 2. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами А(3, -4), В(11, 2) и С(1, 8). Решение: Пусть BM и AL - медианы треугольника АВС (рис. 4). 6 В О A L M Рис. 4 C Точка О пересечения медиан треугольника делит медиану BM в отношении 2:1, т.е. BO 2 . OM 1 Точка М делит сторону AC пополам. Пользуясь формулами (1.3’), находим координаты точки М. xM x A xC 3 1 y y 2, yM A C 4 8 2. 2 2 2 2 Теперь применим формулы (1.2’) для нахождения координат точки О. xO xB xM 11 4 5, yO 1 2 1 yB yM 1 2 4 2. 1 2 Ответ: O(5, 2) . 3. Даны точки А(-6, 1, -4) и С(2, 1, -2). Точка С делит отрезок АВ в отношении 3. Найти координаты точки В. Решение: Точка С делит отрезок АВ в отношении 3, т.е. AC 3. CB Воспользуемся формулами (1.2): xC x A xB 1 , yC y A yB 1 , zC z A zB . 1 Подставим координаты точек А, С и 3 в эти формулы. Получим уравнения для определения координат точки В: 2 6 3 xB 1 3 yB 4 3 zB 14 ; 1 ; 2 xB ; yB 1; zB 4. 4 4 4 3 14 3 Ответ: B( , 1, 4) . 7 4.Найти точку М, симметричную точке N(-2, 1) относительно точки K(-5, 3). Решение: Точка М симметрична точке N относительно точки К, если точки M, N, K лежат на одной прямой и точка К делит отрезок MN пополам. Используем формулы (1.3’) для определения координат середины отрезка: xK xN xM y yM . Подставляя в эти соотношения координаты ; yK N 2 2 точек N и K, получим уравнения: 5 2 xM 1 yM ;3 , из которых найдем координаты точки М: 2 2 xM 8, yM 5. Ответ: M (8,5) . Задачи для самостоятельного решения 1. A 2 ; 1 , B 6 ; 3 . Точка С делит отрезок АВ в отношении 3. Найти координаты точки С. Ответ: C (4, 2) . 2. Даны точки A (6; 2; 4) и B (1; 2; 2) .Найти координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении 5. 1 6 Ответ: C ( , 2, 1) . 3. Найти точку A1 , симметричную точке A (2; 1) относительно точки B (3; 3) . Ответ: A1 (8, 5) . 4. A 1; 1; 2 , B (2;1; 1) , C (3; 1; 0) . Найти длину медианы треугольника АВС, проведенной из вершины В. Ответ: 13 . 5. Точка B симметрична точке A (4; 1; 3) относительно оси Ox . Найти координаты точки B . Ответ: B(4, 1, 3) 8 2. Векторы Определение. Геометрическим вектором (или просто вектором) называется направленный отрезок. Вектор, начало которого в точке А, а конец – в точке В, обозначается AB . Также векторы обозначаются строчными буквами, например, a . Начало вектора называется точкой его приложения. Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора AB и обозначается через | AB | . Длина вектора a обозначается через | a | . Всякий геометрический вектор определяется точкой приложения, длиной и направлением. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Определение. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и одинаковые направления. Определение. Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору a , обозначается a . Линейные операции над векторами Определение. Суммой двух векторов a и b называется вектор a b , который определяется по “правилу треугольника” (рис. 5): OA AB OB (если a OA, b AB , то a b OB ). b А a ab a+ О Рис. 5 9 В Сумму двух векторов можно находить и по “правилу параллелограмма” (рис. 6). C B ab b O a A Рис.6 Свойства операции сложения: для любых векторов a, b, c 1) 2) 3) 4) ab ba; (a b) c a (b c) ; a 0 a; a (a) 0 . Определение. Разностью двух векторов a и b называется вектор a b , определяемый равенством b (a b) a . Так как b (a (b)) a , то a b a (b) . Определение. Произведением вектора a на число называется вектор a , длина которого равна | a || | | a | , а направление совпадает с направлением вектора a , если 0 , и противоположно ему, если 0. Свойства операции умножения вектора на число: для любых векторов a и b и любых действительных чисел и 1) 1 a a ; 2) (a) ()a ; 3) ( )a a a ; 4) (a b) a b . Операции сложения и умножения вектора на число называются линейными. 10 Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой). Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях (или в одной плоскости). B A A1 B1 l Рис.7 На рис. 7 изображены вектор AB и ось l . A1 и B1 – проекции точек A и B на ось l , т.е. основания перпендикуляров, опущенных из данных точек на эту ось. Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется величина направленного отрезка A1B1 оси l . Проекция вектора AB на ось l обозначается пр AB . ( AB, l ) - угол между вектором AB и осью l . Под проекцией вектора a на вектор b (обозначается прb a ) понимается проекция вектора a на (любую) ось, имеющую направление вектора b . Справедливы следующие утверждения: 1) проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: пр a | a | cos(a, l ) ; (1) 2) проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось: пр (a b) пр a пр b ; (2) 3) при умножении вектора на число его проекция умножается на это число: пр (a) пр a . (3) 11 Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат Oxyz (рис. 8). z С M k О А x j В y i Рис.8 Вектор r OM называется радиус-вектором точки М. Прямоугольными координатами x, y, z вектора OM называются его проекции на координатные оси: x прх OM , y пр y OM , z прz OM . Запись OM ( x, y, z ) означает, что вектор OM имеет координаты x, y, z . Координаты радиус-вектора OM равны координатам точки М. Рассмотрим единичные векторы i, j, k координатных осей, называемые ортами, и векторы OA xi, OB y j, OC zk . Тогда OM xi y j zk - формула разложения вектора OM по базисным векторам i, j, k . Равные векторы имеют равные координаты, поэтому координаты вектора не зависят от его точки приложения. Прямоугольными координатами любого вектора называются его проекции на координатные оси. Если A( xA , yA , z A ) , B( xB , yB , zB ) , то вектор AB имеет координаты: AB ( xB xA , yB y A , zB z A ) . (2.1) Линейные операции в координатной форме. 1) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: если a ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) , то a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ) ; 12 2) при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число: если a ( x, y, z ) и , то a (x, y, z ) . Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Длина вектора a ( x, y, z ) равна | a | x 2 y 2 z 2 . (2.2) Определение. Пусть a ( x, y, z ) – произвольный ненулевой вектор и , , – углы между вектором a и осями x, y, z соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора a . Направляющие косинусы вектора a ( x, y, z ) равны cos x ( |a| y x ), cos , cos z . 2 2 2 |a| |a| x y z Определение. Скалярным векторов a и b называется число произведением двух (2.3) (ненулевых) ab | a | | b | cos(a, b) . (2.4) Механический смысл скалярного произведения Cкалярное произведение силы на перемещение равно работе этой силы на этом перемещении. Скалярное произведение вектора a на себя, т.е. a a , называется 2 скалярным квадратом вектора a и обозначается через a . Справедливы формулы: |a| a 13 2 . (2.5) Свойства скалярного произведения. 1) ab ba ; 2) (a b)c ac bc ; 3) ( a)b (ab) ; 4) aa 0 для любого вектора a 0; aa 0 , если a 0. Свойства 2) и 3) вместе выражают свойство линейности скалярного произведения по отношению к первому сомножителю. В силу свойства 1) скалярное произведение линейно и по отношению ко второму сомножителю (это означает, что скалярное произведение билинейно). Угол между векторами a и b находят по формуле cos(a, b) ab | a || b | . (2.6) Определение: Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны (угол между ними равен ) или если хотя бы один из 2 них равен нулю. Условие ортогональности двух векторов Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Проекция вектора a на вектор b равна прb a ab |b| . (2.7) Скалярное произведение в координатной форме. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 , где a ( x1 , y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) . 14 (2.8) Определение. (Упорядоченная) тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму (совмещающий их направления) виден с конца третьего вектора происходящим против часовой стрелки (по часовой стрелке). Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов a и b называется вектор a b , длина которого равна | a b | | a | | b | sin(a, b) , а направление определяется двумя условиями: он перпендикулярен каждому из векторов a , b ; тройка a, b, a b – правая. Векторное произведение двух коллинеарных векторов принимается равным нулю. Вместо a b применяется и другое обозначение: [a, b ] . Условие коллинеарности двух векторов Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю. Свойства векторного произведения 1) a b (b a) ; 2) (a b) c a c b c ; 3) (a) b (a b) ; Векторное произведение в координатной форме Если a ( x1 , y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) , то i j k a b x1 y1 z1 x2 y2 z2 . Геометрический смысл векторного произведения | a b | равен Модуль векторного произведения (2.9) площади параллелограмма, построенного на векторах a и b . Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число abc , равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор c : 15 abc (a b)c . Вместо abc применяется и другое обозначение: (a, b, c) . Условие компланарности трех векторов Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (приложенных к одной точке); если оно положительно, то данная тройка векторов – правая, а если отрицательно, то – левая. Смешанное произведение в координатной форме Если a ( x1 , y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ), c ( x3 , y3 , z3 ) , то x1 y1 z1 abc x2 y2 z2 x3 y3 z3 . (2.10) Свойства смешанного произведения 1) Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух сомножителей; 2) Смешанное произведение линейно по отношению к каждому сомножителю (в частности, линейность по отношению ко второму сомножителю означает, что a(b)c (abc); a(b1 b2 )c ab1c ab2c ); 3) abc (a b)c a(b c) . 16 Решение задач. 1. Найти координаты вектора AB , если А(1,2,3), В(-1,-3,0). Решение: Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца этого вектора вычесть координаты начала, т.е. AB (1 1, 3 2, 0 3); AB (2, 5, 3). Ответ: AB (2, 5, 3). 2. Найти длину вектора AB 2i 4 j 2k. Решение: Так как AB 2i 4 j 2k. , значит, координаты вектора AB (2, 4, 2) . Длина вектора AB 22 42 (2)2 24 2 6. Ответ: AB 2 6. 3. Коллинеарны ли векторы a (1, 2, 4) и b (2, 4, 8) ? Решение: Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. если a ( x1 , y1 , z1 ); b ( x2 , y2 , z2 ) , то для того, чтобы они были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы выполнялись равенства Для данных векторов x1 y1 z1 . x2 y2 z2 1 2 4 . Равенства верны, значит, векторы 2 4 8 коллинеарны. Ответ: векторы коллинеарны. 4. Найти скалярное произведение двух векторов a и b , a 2, b 1, (a, b) 3 . 17 если Решение: По определению скалярным произведением двух векторов a и b называется ab 2 1 cos число ab | a | | b | cos(a, b) . Для данных векторов 1 2 1. 3 2 Ответ: ab 1. 5. Найти скалярное произведение векторов a i j и b 2i j 3k . Решение: Первый вектор имеет координаты a (1,0, 1) , второй вектор имеет координаты b (2, 1,3) . Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Для данных векторов ab 1 2 0 (1) (1) 3 1 . Ответ: ab 1. 6. Найти угол между векторами a (1, 2, 2) и b (0, 4,3) . Решение: cos(a, b) ab . | a || b | Найдем скалярное произведение ab : ab 1 0 2 (4) 2 3 2 . Найдем длину вектора a : a 12 22 22 3 . Найдем длину вектора b : b 02 (4)2 32 5 . cos(a, b) 2 2 , значит, (a, b) arccos( 2 ) . 35 15 15 18 Ответ: (a, b) arccos( 2 ) . 15 7. Найти проекцию вектора a 5i 2 j 5k на вектор b 2i j 2k . Решение: Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле: прb a ab . |b| Данные векторы имеют координаты a (5, 2,5) и b (2, 1, 2) . Найдем скалярное произведение: ab 5 2 2 (1) 5 2 18 . Найдем длину вектора b : b 22 (1)2 22 3 . Значит, прb a 18 6. 3 Ответ: прb a 6 . 8. Ортогональны ли векторы a (1, 2,0) и b (2, 3, 4) ? Решение: Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение данных векторов: ab 1 2 2 (3) 0 4 8 0 , значит, векторы не ортогональны. Ответ: нет. 9. Найти векторное произведение векторов a 2i k и b i j 2k . Решение: Поскольку даны координаты векторов a (2,0,1) и b (1,1, 2) , то векторное произведение найдем по формуле: 19 ab i x1 x2 j y1 y2 k z1 z2 i j k 2 0 1 0 (2) i 1 (1) j 2 1 k 0 (1) k 2 (2) j 11 i 1 1 2 i 3 j 2k . Ответ: a b (1,3, 2) . 10. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a 2i k и b i j 2k . Решение: Площадь параллелограмма S, построенного на векторах, равна модулю (длине) векторного произведения. Векторное произведение данных векторов найдено в задаче 9: a b (1,3, 2) . Найдем его длину: a b (1)2 32 22 14 . Значит, S 14 . Ответ: S 14 . 11. Найти смешанное произведение векторов a (1, 2,1) , b (1,0,1) , c (0, 2, 1) . Решение: Смешанное произведение равно: x1 y1 z1 abc x2 y2 z2 1 0 1 1 0 (1) 2 1 0 1 (1) 2 0 0 1 2 (1) (1) x3 y3 z3 1 2 1 0 2 1 2 (1) (1) 6. 20 Ответ: abc 6. 12. Компланарны ли векторы a (1,0,1), b (0,1, 2), c (1, 2,0) ? Решение: Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Найдем смешанное произведение данных векторов: 1 0 1 abc 0 1 2 1 4 3 0 , значит, векторы не компланарны. 1 2 0 Ответ: нет. 13. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a (1, 2,1) , b (1, 0,1) , c (0, 2, 1) . Решение: Объем V параллелепипеда, построенного на данных векторах, равен модулю смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение данных векторов найдено в задаче 11: abc 6 . Значит, V abc 6 6 . Ответ: V 6 . 14.Определить ориентацию тройки векторов a (1,0,1) , b (0,1, 2) , c (1, 2,0) . Решение: Тройка векторов является правой, если смешанное произведение положительно, и левой – если оно отрицательно. Смешанное произведение данных векторов найдено в задаче 12: 21 abc 3 0 , значит, данная тройка векторов правая. Ответ: правая. Задачи для самостоятельного решения. 1. Коллинеарны ли векторы a 5i 2 j 5k и b 2i j 2k ? Ответ: нет. 2. Найти скалярное произведение векторов a i j 4k и b i 2 j 2k . Ответ: -9. 3. Ортогональны ли векторы a i 2 j 3k и b 2i 3 j k ? Ответ: нет. 4. Найти угол между векторами a (1 ; 2 ; 2) и b (1 ; 2 ; 2) . 1 9 5. Найти проекцию вектора a i j 4k на вектор b 3i 4k . 13 Ответ: . 5 6. Найти векторное произведение векторов a (0 ; 4 ; 2) и b (1 ; 2 ; 1) . Ответ: arccos . Ответ: (8, 2, 4) . 7. Найти смешанное произведение векторов a (2 ; 1; 0) , b (0 ; 2 ; 1) , c (4 ; 0 ; 1) . Ответ: 0. 8. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a 2; 0; 1 , b 0; 1; 1 , c 0; 2; 1 . Ответ: 6. 9. Компланарны ли векторы a (1; 1; 0) , b (0; 1;1) , c (2; 0; 1) . Ответ: нет. 10.Определить c (0; 0; 1) . ориентацию тройки векторов a (1; 1; 0) , Ответ: правая. 22 b (3; 2; 1) , 3. Прямая на плоскости Прямую линию на плоскости в системе декартовых прямоугольных координат можно задать различными способами. Прямая однозначно определяется углом, образуемым ею с осью Ox и величиной направленного отрезка, отсекаемого на оси Oy , координатами двух точек и т.п. В зависимости от способа задания прямой рассматривают различные виды ее уравнений. Уравнения прямой на плоскости Рассмотрим прямую (рис. 9), перпендикулярную оси Ox (параллельную оси Oy ). Обозначим буквой А точку пересечения этой прямой с осью Ox . ( x0 , 0) - ее координаты, где x0 OA . Уравнение x x0 является уравнением этой прямой. Если x0 0 , то прямая совпадает с осью Oy , т.е. уравнение оси Oy x 0 . y O A x x0 Рис.9 Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и произвольная прямая L , не перпендикулярная оси Ox (рис. 10). L a y M1 ( x1 , y1 ) M 0 ( x0 , y0 ) n M x O Рис. 10 23 Точка M 0 ( x0 , y0 ) принадлежит этой прямой. Точка M ( x, y) - произвольная точка прямой L . Определение. Углом наклона прямой (к оси Ox ) называется угол, на который нужно повернуть ось x , чтобы она стала параллельной этой прямой. Определение. Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и обозначается через k , k tg , 0 . С помощью k можно определить положение прямой (рис. 11) y y b y x x b x b k 0 k 0 k 0 Рис. 11 Прямая, не перпендикулярная оси Ox , определяется уравнением: y kx b (3.1) - уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, где k - угловой коэффициент прямой; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy , считая от начала координат. Координаты точки M 0 ( x0 , y0 ) , лежащей на прямой L , удовлетворяют уравнению y kx b , т.е. y0 kx0 b . Отсюда b y0 kx0 . Подставим это выражение в уравнение y kx b , получим y kx y0 kx0 y y0 k ( x x0 ) (3.2) - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) с заданным угловым коэффициентом k . Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (2 3, 2) и образующей угол 1200 с осью Ox . 24 Решение: Чтобы составить уравнение искомой прямой нужно найти k и Найдем k : b. k tg1200 3 . Подставим k в уравнение y kx b : y 3x b . Найдем b . По условию задачи точка M (2 3, 2) принадлежит этой прямой, поэтому для нахождения уравнения данной прямой подставим координаты точки М вместо х и y в это уравнение. Получим: 2 3(2 3) b; 2 6 b b 4. Возвращаемся к исходному уравнению и получим уравнение искомой прямой y 3x b . Ответ: y 3x b . Пусть известны координаты еще одной точки M1 ( x1 , y1 ) , лежащей на прямой L (рис. 10). Подставим в уравнение y y0 k ( x x0 ) вместо х и y координаты точки M 1 . Уравнение примет вид: y1 y0 k ( x1 x0 ) , отсюда k y1 y0 . Найденное значение k подставим в x1 x0 уравнение y y0 k ( x x0 ) и получим: y y0 y1 y0 ( x x0 ) или x1 x0 x x0 y y0 x1 x0 y1 y0 (3.3) - уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки M 0 ( x0 , y0 ) и M1 ( x1 , y1 ) . Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M 0 (3, 1) и M1 (4, 5) . 25 Решение: Подставим координаты данных точек в уравнение Получим: x 3 53 x 3 2 x x0 y y0 . x1 x0 y1 y0 y 1 ; 4 1 y 1 . 5 Выразим y из этого равенства: 5 17 5 x 15 2 y 2; 2 y 5 x 17; y x . 2 2 5 2 Ответ: y x 17 . 2 Определение. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Обозначается n ( A, B) (рис. 10). В декартовых координатах любая прямая определяется уравнением первой степени Ax By C 0 , и обратно, любое уравнение первой степени определяет некоторую прямую. Уравнение Ax By C 0 (3.4) называется общим уравнением прямой. Коэффициенты A и В в общем уравнении прямой Ax By C 0 имеют простой геометрический смысл: они являются координатами нормального вектора n ( A, B) . Все другие нормальные векторы прямой коллинеарны ему. Уравнение A( x x0 ) B( y y0 ) 0 26 (3.5) определяет прямую, проходящую через точку M 0 ( x0 , y0 ) , перпендикулярную вектору n ( A, B) . Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M (2, 1) с нормальным вектором n (3, 2) . Решение: y M x n Рис. 12 Подставив координаты нормального уравнение Ax By C 0 , получим вектора n (3, 2) в 3x 2 y C 0 . Для нахождения M (2, 1) : С подставим вместо x и y координаты точки 3 (2) 2 1 C 0, 6 2 C 0, C 4. Подставляя найденное значение С в уравнение 3x 2 y C 0 , получим: 3x 2 y 4 0 или 3x 2 y 4 0 . Эти уравнения определяют одну и ту же прямую. Ответ: 3x 2 y 4 0 . 27 Коэффициенты уравнения Ax By C 0 можно делить и умножать на любое ненулевое число. Если в уравнении Ax By C 0 C 0 , то уравнение Ax By 0 определяет прямую, проходящую через начало координат (рис. 13а). y y y x а) x б) x в) Рис. 13. Если в уравнении Ax By C 0 B 0 , то уравнение Ax C 0 определяет прямую, параллельную оси Oy (рис. 13б). Если A 0 , то уравнение By C 0 определяет прямую, параллельную оси Ox (рис. 13в). Определение. Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой (или лежащий на ней), называется направляющим вектором этой прямой. Обозначается этот вектор a (l , m) (рис. 10). Точка M ( x, y) принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы M 0 M ( x x0 , y y0 ) и a (l , m) коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны, а именно x x0 y y0 l m (3.6) - каноническое уравнение прямой. В каноническом уравнении x x0 y y0 один из знаменателей l l m или m может оказаться равным нулю (неодновременно, т.к. a (l , m) ненулевой вектор). 28 Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (1, 2) с направляющим вектором a (0, 1) . Решение: Подставим координаты точки M 0 (1, 2) вместо x0 и y0 и координаты направляющего вектора a (0, 1) вместо l и m в уравнение x x0 y y0 . l m Получим x 1 y 2 - искомое уравнение прямой. 0 1 Ответ: x 1 y 2 . 0 1 Введем обозначение: x x0 y y0 t. l m Тогда x x0 lt , y y0 mt или x x0 lt , y y0 mt (3.7) - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) с направляющим вектором a (l , m) . * Уравнения x x0 lt , y y0 mt имеют следующий механический смысл. Если считать , что параметр t – это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения x x0 lt , y y0 mt определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью v l 2 m2 . Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (1, 2) с направляющим вектором a (0, 1) . Решение: Подставляя координаты точки M 0 (1, 2) вместо x0 и y0 и координаты направляющего вектора a (0, 1) вместо l и m в уравнения x x0 lt , y y0 mt , получим 29 x 1 0 t , y 2 1 t или x 1, y 2 t - искомые параметрические уравнения. Ответ: x 1, y 2 t . * Проведем радиус-векторы в точки M 0 и M 1 , принадлежащие прямой L (рис. 8). Обозначим OM 0 r0 , OM1 r. Вектор M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 ) коллинеарен направляющему вектору a (l , m) , т.е. вектор M 0 M1 ta . Из треугольника OM 0 M1 получим по правилу сложения векторов OM1 OM 0 M 0 M1 или r r0 t a (3.8) - векторное уравнение прямой, где r0 - радиус-вектор точки M 0 , лежащей на прямой, a – направляющий вектор прямой L. Подведем итог. Виды уравнений прямой на плоскости: 1. x a - уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox . 2. y b - уравнение прямой, параллельной оси Ox . 3. y kx b - уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, где k - угловой коэффициент прямой. 4. y y0 k ( x x0 ) - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) с заданным угловым коэффициентом k . 5. 6. x x0 y y0 - уравнение прямой, проходящей через 2 заданные x1 x0 y1 y0 точки M 0 ( x0 , y0 ) и M1 ( x1 , y1 ) . x x0 y y0 l m - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) с направляющим вектором a (l , m) . 7. x x0 lt , y y0 mt - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) с направляющим вектором a (l , m) . 30 8. A( x x0 ) B( y y0 ) 0 - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) с нормальным вектором n ( A, B) . 9. Ax By C 0 - общее уравнение прямой, где А и В координаты нормального вектора прямой. 10. r r0 ta - векторное уравнение прямой, где r0 - радиус-вектор точки M 0 , лежащей на прямой, a – направляющий вектор прямой L. Взаимное расположение прямых на плоскости Вычисление угла между прямыми Определение. Углом между прямыми называется наименьший из двух смежных углов, образованных прямыми. y L2 n2 L1 a1 n1 2 1 x a2 Рис. 14 На рисунке 14 - угол между прямыми. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: L1 : y k1 x b1 , k1 tg1 L2 : y k2 x b2 , k2 tg2 . tg k2 k1 1 k1k2 . 31 (3.9) Формула (3.9) определяет угол между прямыми, если известны их угловые коэффициенты. Если прямые параллельны, то 1 2 , а следовательно, k1 k2 (3.10) - условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами. Если прямые перпендикулярны, то тангенс угла между ними не существует, т.е. знаменатель формулы tg k2 k1 равен нулю 1 k1k2 0 , 1 k1k2 отсюда k1 1 k2 (3.11) - условие перпендикулярности двух уравнениями с угловыми коэффициентами. прямых, заданных Пусть прямые заданы общими уравнениями. L1 : A1 x B1 y C1 0; L2 : A2 x B2 y C2 0. В этом случае задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными векторами. L2 y L2 x n2 n1 Рис. 15 32 Из курса векторной алгебры известно, что угол между векторами находят, используя скалярное произведение векторов: cos n1 n2 n1 n2 . А так как из уравнений прямых n1 A1 , B1 и n2 A2 , B2 , то A1 A2 B1 B2 cos A12 B12 A22 B22 (3.12) - формула для вычисления угла между прямыми, заданными общими уравнениями. Если прямые параллельны, то векторы n1 A1 , B1 и n2 A2 , B2 коллинеарны (рис. 16). Значит, их координаты пропорциональны, т.е. A1 B1 A2 B2 (3.13) - условие параллельности прямых, заданных общими уравнениями. y n1 L1 L2 n2 x Рис. 16 Если прямые перпендикулярны (рис. 17), значит, угол между ними равен . Следовательно, скалярное произведение нормальных 2 векторов этих прямых равно нулю, т.е. n1 n2 0 . А так как n1 A1 , B1 и n2 A2 , B2 , то 33 A1 A2 B1 B2 0 - условие уравнениями. перпендикулярности L1 y прямых, (3.14) заданных общими L2 n2 n1 x Рис. 17 Пусть прямые заданы каноническими уравнениями. L1 : x x1 y y1 ; l1 m1 L2 : x x2 y y2 . l2 m2 По полной аналогии с предыдущим случаем задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между направляющими векторами a1 l1 , m1 и a2 l2 , m2 (рис. 18). y L2 L2 x a2 a1 Рис. 18 Угол между прямыми находят по формуле cos l1 l2 m1 m2 l12 m12 l22 m22 34 . (3.15) Условие параллельности двух прямых: l1 m1 l2 m2 . (3.16) Условие перпендикулярности двух прямых: l1 l2 m1 m2 0 . (3.17) Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая задана общим уравнением Ax By C 0 . Точка N1 ( x1 , y1 ) не принадлежит прямой (рис. 19). L y N1 N2 x Рис. 19 Расстояние от точки N1 ( x1 , y1 ) до прямой вычисляется по формуле: d Ax1 By1 C A2 B 2 (3.18) - формула расстояния от точки N1 ( x1 , y1 ) до прямой Ax By C 0 . Пример. Найти расстояние от точки N1 (6, 3) до прямой, заданной уравнением 3x 4 y 15 0 . Решение: По формуле (3.18) расстояние от точки до прямой: 35 d Ax1 By1 C A2 B 2 3 (6) 4 3 15 32 (4)2 18 12 15 9 16 15 3. 5 Ответ: d 3 . Решение задач. 1. Дана прямая L : x 3 y 4 0 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2, 5) : а) параллельно данной прямой L ; б) перпендикулярно данной прямой L . Решение: Прямая L задана общим уравнением x 3 y 4 0 . Следовательно, можно определить ее нормальный вектор n (1, 3) (координаты нормального вектора – это коэффициенты при x и y в общем уравнении прямой). А. Пусть L1 - искомая прямая (рис. 20). L1 y L2 n L x Рис. 20 Поскольку прямые L и L1 параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны (в частности, равны). Значит, вектор n (1, 3) является нормальным вектором и прямой L и прямой L1 . Так как известна точка M 0 (2, 5) , которая принадлежит искомой прямой L1 и нормальный вектор этой прямой n (1, 3) , то используем 36 уравнение (3.5): A( x x0 ) B( y y0 ) 0 - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) с нормальным вектором n ( A, B) . Подставив координаты точки и координаты нормального вектора в это уравнение, получим: 1 ( x (2)) 3 ( y 5) 0; x 2 3 y 15 0; x 3 y 13 0 - уравнение искомой прямой L1 . Как видим, уравнения параллельных прямых отличаются только свободными членами. Б. Пусть прямая L2 перпендикулярна данной прямой L (рис. 18). Тогда нормальный вектор прямой L расположен параллельно прямой L2 , значит, он является направляющим вектором для прямой L2 , т.е. a n (1,3) . Таким образом, для прямой L2 известна точка M 0 (2, 5) , ей принадлежащая, и направляющий вектор каноническим уравнением прямой (3.6): a (1,3) . x x0 y y0 l m Воспользуемся . Подставляя координаты точки x0 2, y0 5 и координаты направляющего вектора l 1, m 3 в это уравнение, получим: x 2 y 5 - уравнение искомой прямой L2 . 1 3 Ответ: А. x 3 y 13 0 ; Б. x 2 y 5 . 1 3 2. Составить уравнение высоты AD и медианы ABC , если A(1, 2), B(6,6), C(3,9) . Решение: Рассмотрим треугольник ABC (рис. 21). 37 AK треугольника B K D A C Рис. 21 AD - высота треугольника ABC , т.е. AD BC . Значит, вектор BC является нормальным вектором для прямой AD . Найдем координаты вектора BC . Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца этого вектора вычесть координаты начала, т.е. BC (3 6, 9 6); BC (9,3) n . Так как известна точка A(1, 2) , которая принадлежит искомой прямой AD , и нормальный вектор этой прямой n (9, 3) , то воспользуемся уравнением (3.5) прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 ) с нормальным вектором n ( A, B) : A( x x0 ) B( y y0 ) 0 . Подставим координаты точки x0 9, y0 3 и координаты нормального вектора A 9, B 3 в уравнение и получим: 9 ( x (1)) 3 ( y 2) 0; 9 x 9 3 y 6 0; 9 x 3 y 15 0 - уравнение высоты AD . AK - медиана треугольника ABC , значит, точка K является серединой отрезка Найдем BC . x x y y x 1 2 , y 1 2 . 2 координаты 2 xB xC 6 3 3 1,5, 2 2 2 y y yK B C 6 9 15 7,5. 2 2 2 xK 38 точки K по формулам K (1,5, 7,5) Поскольку известны координаты двух точек A и K прямой, то воспользуемся уравнением (3.3) прямой, проходящей через 2 заданные точки: x x0 y y0 x1 x0 y1 y0 , где ( x0 , y0 ) - координаты точки А, ( x1, y1 ) - координаты точки В. Подставим координаты точек A(1, 2) и K (1,5, 7,5) в это уравнение: x (1) y2 ; 1,5 (1) 7,5 2 1 x 1 y 2 ; умножая обе части этого уравнения на , получим: 2 2,5 5,5 x 1 y 2 - уравнение медианы AK . 5 11 Ответ: 9 x 3 y 15 0 - уравнение высоты AD ; x 1 y 2 - уравнение медианы AK . 5 11 3. Найти точку пересечения с осью Ox прямой, проходящей через точку M (5, 1) , перпендикулярно прямой x 1 4t, y 2t . Решение: Данная прямая задается параметрическими уравнениями. Направляющий вектор этой прямой a (4, 2) (коэффициенты перед параметром t в уравнениях). Так как по условию прямые перпендикулярны, то данный вектор a (4, 2) будет являться нормальным вектором для искомой прямой, значит, Используем уравнение (3.5): n (4, 2) . A( x x0 ) B( y y0 ) 0 - уравнение прямой, проходящей через точку M ( x0 , y0 ) с нормальным вектором n ( A, B) , подставив в него координаты данной точки M (5, 1) и координаты нормального вектора n (4, 2) . Для нашей прямой: 4 ( x (5)) 2 ( y (1)) 0 ; 4 ( x 5) 2 ( y 1) 0 ; 39 4 x 2 y 18 0 - уравнение искомой прямой. В точке пересечения этой прямой с осью Ox вторая координата y будет равна нулю. Подставим y 0 в уравнение 4 x 2 y 18 0 , получим: 4 x 18 0; x 18 4,5. 4 Значит, прямая пересекает ось Ox в точке (4,5; 0) . Ответ: (4,5; 0) . 4. Найти расстояние между параллельными прямыми L1 : 2 x 3 y 6 0 и L2 : 2 x 3 y 4 0. Решение: Задача сводится к нахождению расстояния от точки, принадлежащей одной прямой, до другой параллельной прямой. Найдем координаты какой-нибудь точки М, принадлежащей прямой L1 : 2 x 3 y 6 0 . Пусть x 0 - абсцисса точки М. Для нахождения ординаты точки М подставим x 0 в уравнение этой прямой, получим: 0 3 y 6 0; y 2. Итак, точка M (0, 2) принадлежит прямой L1 . Найдем расстояние от точки M (0, 2) до прямой L2 : 2 x 3 y 4 0 по формуле d d Ax1 By1 C A2 B 2 2 0 3 2 4 2 (3) 2 2 10 13 , где A 2, B 3, С 4, x1 0, y1 2. 10 . 13 Это и есть искомое расстояние между параллельными прямыми. Ответ: d 10 . 13 40 5. M (2, 1) , N (6,3) . Точка К делит отрезок MN в отношении 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно оси Oy . Решение: Найдем координаты точки К, используя формулы (1.3’) деления отрезка в отношении . В нашей задаче 3 . xK xM 3 xN y 3 yN . ; yK M 1 3 1 3 Подставив координаты точек M и N, получим xK 2 18 16 1 3 3 4; yK 2, 4 4 4 K (4, 2) . Поскольку искомая прямая параллельна оси Oy , то любой вектор, лежащий на оси Ox , в том числе и вектор i (1, 0) , будет являться направляющим вектором для нашей прямой. Воспользуемся уравнением (3.6), где x0 xK 4, y0 yK 2; l 1, m 0 : x4 y2 - уравнение искомой прямой. 1 0 Ответ: x4 y2 . 1 0 6. Найти угол между прямыми x 2 y 1 и x 3 y 3 0. 1 2 Решение: Преобразуем каноническое уравнение первой прямой в общее уравнение прямой: x 2 y 1 или 2 x 4 y 1 . 1 2 Отсюда 2 x y 3 0 - общее уравнение первой прямой. Ее нормальный вектор n1 (2, 1) . Нормальный вектор второй данной прямой n2 (1, 3) . За 41 угол между прямыми принимается угол между их нормальными векторами. cos cos n1 n2 n1 n2 x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 2 1 1 3 5 1 . 4 1 1 9 5 2 2 arccos 1 . 2 4 Ответ: 4 . 7. Найти угол, который прямая 3x y 5 0 образует с осью Ox . Решение: Прямая задана общим уравнением. Преобразуем его в уравнение прямой с угловым коэффициентом. Для этого выразим y из этого уравнения: y 3x 5 . 3 - угловой коэффициент прямой, т.е. тангенс угла, который прямая образует с осью Ox : k tg 3 . Следовательно, 1200 . Ответ: 1200 Задачи для самостоятельного решения 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 0; 3 с угловым коэффициентом k 2 . Ответ: y 2 x 3 . 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 2; 4 перпендикулярно прямой y 4 2 x . 1 2 Ответ: y x 5 . 42 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A 2 ; 1 параллельно прямой y 3 2 x . Ответ: y 2 x 3 . 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 2; 3 параллельно прямой 2 x y 3 0 . Ответ: 2 x y 1 0 . 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A 1; 2 параллельно прямой x 5 y 3 . 2 3 Ответ: x 1 y 2 2 3 6. A 2 ; 1 , B 6 ; 3 . Точка С делит отрезок АВ в отношении 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно оси Oy . Ответ: x 4 . 7. A 1; 2 , B 6 ; 6 , C 3; 9 . Составить уравнение высоты треугольника АВС, проведенной из вершины А. Ответ: 3x y 5 0 . 8. Найти угол между прямыми x 2 y 1 и x 3 y 2 0. 2 1 Ответ: arccos 43 7 2 . 10 4. Плоскость в пространстве. Плоскость в пространстве можно задать различными способами: тремя точками; точкой и вектором, перпендикулярным плоскости и т.д. Определение. Вектор n , перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. Пусть дана точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и нормальный вектор n ( A, B, C ) . Уравнение Ax By Cz D 0 (4.1) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты при x, y, z являются координатами нормального вектора плоскости. Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) с заданным нормальным вектором n ( A, B, C ) , используют уравнение A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0. (4.2) Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (3, 1, 2) , перпендикулярно радиус-вектору этой точки. Решение: Радиус-вектор точки имеет такие же координаты, как и сама точка. Вектор OM (3, 1, 2) - радиус-вектор точки М - также является нормальным вектором искомой плоскости. Составим ее уравнение, используя уравнение A( x x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) 0 . 3 ( x 3) 1 ( y (1)) 2 ( z 2) 0 ; 3x y 2 z 14 0 - уравнение искомой плоскости. Ответ: 3x y 2 z 14 0 . 44 Частные случаи уравнения плоскости. z z y x а) z z y y x x б) y x в) г) Рис. 22 Уравнение Ax By Cz 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат (рис. 22, а). Действительно, точка O(0,0,0) удовлетворяет этому уравнению. Уравнение Ax By D 0 определяет плоскость, параллельную оси Oz (рис. 22, б), т.к. вектор n ( A, B,0) перпендикулярен оси Oz . Уравнение Ax By 0 определяет плоскость, проходящую через ось Oz (рис. 22, в). Уравнение Ax D 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz (рис. 22, г). Аналогично рассматриваются другие возможные случаи. Взаимное расположение двух плоскостей Рассмотрим две плоскости, заданные уравнениями A1 x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 . Нормальный вектор первой плоскости n1 ( A1, B1, C1 ) , второй - n2 ( A2 , B2 , C2 ) . Если плоскости параллельны, то векторы n1 ( A1, B1, C1 ) и n2 ( A2 , B2 , C2 ) коллинеарны, поэтому необходимое и достаточное параллельности двух плоскостей выражается равенствами: A1 B1 C1 A2 B2 C2 45 . условие (4.3) Условие совпадения двух плоскостей выражается равенствами: A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 Если условие . (4.4) A1 B1 C1 не выполняется, то плоскости пересекаются. A2 B2 C2 Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы, а значит, их скалярное произведение равно нулю, т.е. n1 n2 0 или A1 A2 B1B2 C1C2 0 (4.5) - необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями. В общем случае за угол между плоскостями принимается угол между их нормальными векторами n1 ( A1 , B1 , C1 ) и n2 ( A2 , B2 , C2 ) . cos A1 A2 B1B2 C1C2 A B C A B C 2 1 2 1 2 1 Пример. Определить взаимное 2 x 3 y 4 z 5 0 и x 2 y z 10 0 . 2 2 2 2 2 2 . расположение Решение: n1 (2, 3, 4) и n2 (1, 2, 1) - нормальные векторы плоскостей. 2 3 4 ; отсюда следует, что плоскости не параллельны. 1 2 1 n1 n2 2 1 (3) 2 4 1 0 , значит, плоскости перпендикулярны. Ответ: плоскости перпендикулярны. 46 (4.6) плоскостей Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость задана общим уравнением Ax By Cz D 0 . Точка N ( xN , yN , zN ) не принадлежит плоскости. Расстояние d от точки N до плоскости определяется по формуле: d AxN ByN Cz N D A2 B 2 C 2 Пример. Найти расстояние x 2y z 4 0 и x 2y z 2 0. между . параллельными (4.7) плоскостями Решение: Расстояние между параллельными плоскостями сводится к нахождению расстояния от точки, лежащей в одной из плоскостей, до другой плоскости. Пусть точка N принадлежит плоскости x 2 y z 4 0 . Если xN yN 0 , то, подставив эти значения в уравнение плоскости, получим zN 4 . Итак, точка N (0, 0, 4) принадлежит плоскости x 2 y z 4 0 . Из уравнения плоскости x 2 y z 2 0 имеем A 1, B 2, С 1. Подставив полученные значения в формулу (4.7), получим: d 1 0 (2) 0 1 (4) 1 (2) 1 2 Ответ: d 2 2 4 6 4 2 6 . 3 6 2 6 . 3 47 Решение задач. 1. Даны точка M (0,1, 2) и вектор MN (1,3, 2) . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку N параллельно плоскости YZ . Решение: Найдем координаты точки N . Координаты вектора MN равны разностям соответствующих координат его конца N и начала M . Значит, MN (1,3, 2) xN xM , yN yM , z N zM ( xN 0, yN 1, z N 2) . Отсюда xN 0 1, xN 1, yN 1 3, yN 4, z N 2 2. z N 0. Т.е. N (1, 4,0) . Искомая плоскость параллельна плоскости YZ . Значит, один из нормальных векторов плоскости – это вектор i (1, 0, 0) . Имеем точку N (1, 4,0) , принадлежащую искомой плоскости, и ее нормальный вектор i (1, 0, 0) . Составим уравнение плоскости, пользуясь уравнением (4.2). A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 , 1 ( x 1) 0 ( y 4) 0 ( z 0) 0, x 1 0 - искомое уравнение плоскости. Ответ: x 1 0 . 2. Составить уравнение плоскости, зная, что точка P(3, 6, 2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Решение: Вектор OP перпендикулярен плоскости (рис. 23). Значит, вектор OP будет являться нормальным вектором искомой плоскости. 48 z P y x Рис. 23 Найдем координаты вектора OP : OP 3 0, 6 0, 2 0 3, 6, 2 . Имеем точку P(3, 6, 2) , принадлежащую искомой плоскости, и ее нормальный вектор OP 3, 6, 2 . Составим уравнение плоскости, используя уравнение (4.2). A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 , 3 ( x 3) 6 ( y 6) 2 ( z 2) 0, 3x 6 y 2 z 49 0 - искомое уравнение плоскости. Ответ: 3x 6 y 2 z 49 0 . 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой KN , если K (1,0, 2), M (1, 2,3), N (1, 2, 2) . Решение: Вектор KN , лежащий на прямой KN , будет являться нормальным вектором для искомой плоскости, так как прямая KN перпендикулярна этой плоскости. Найдем его координаты, которые равны разностям соответствующих координат его конца N и начала K : KN 1 (1), 2 0, 2 (2) 2, 2, 0 . Составим уравнение плоскости, воспользовавшись уравнением (4.2). 49 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 , подставив в него координаты точки M (1, 2,3) , принадлежащей искомой плоскости, и координаты нормального вектора n KN 2, 2, 0 : 2 ( x 1) 2 ( y 2) 0 ( z 3) 0, 2 x 2 y 2 z 6 0 - искомое уравнение плоскости. Ответ: 2 x 2 y 2 z 6 0 . 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P(1, 2, 3) параллельно плоскости 4x 5z 7 0 . Решение: Плоскость задана общим уравнением 4x 5z 7 0 . Коэффициенты при x, y, z в этом уравнении есть координаты нормального вектора этой плоскости, т.е. n1 (4, 0, 5) . Поскольку плоскости параллельны, то в качестве нормального вектора для искомой плоскости n2 мы можем использовать вектор n1 нормальный вектор заданной плоскости, т.е. n2 (4, 0, 5) . Применяя уравнение (4.2): A( x x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) 0 , получим: 4 ( x 1) 0 ( y 2) (5) ( z (3)) 0, 4 x 5z 11 0 - искомое уравнение плоскости. Ответ: 4x 5z 11 0 . 5. Точка М симметрична точке N (1, 2, 4) относительно оси Ox . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно оси Oy . Решение: Так как точка М симметрична точке N относительно оси Ox , то точка М имеет координаты M (1, 2, 4) (рис. 24). 50 Плоскость перпендикулярна оси Oy , следовательно, в качестве нормального вектора можем взять любой из векторов, лежащих на оси Oy , например, вектор j (0, 1, 0) , т.е. n (0, 1, 0) . z N O x y M Рис. 24 Пользуясь уравнением (4.2): A( x x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) 0 , получим: 0 ( x 1) 1 ( y 2) 0 ( z 4) 0, y 2 0 - искомое уравнение плоскости. Ответ: y 2 0 . 6. При каком значении плоскости 3x y 6 z 2 0 и x 4 y 2 z 1 0 параллельны? Решение: Условием параллельности двух плоскостей является коллинеарность их нормальных векторов. Нормальные векторы данных плоскостей: n1 (3, ,6) и n2 (1, 4, 2) . Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов n1 и n2 3 6 3 , отсюда 3, 12. 1 4 2 4 Ответ: 12. 51 Задачи для самостоятельного решения 1. Точка В симметрична точке A 2; 1; 2 относительно оси Oz . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку В параллельно плоскости Oyz . Ответ: x 2 0 . 2. A 1; 3; 1 , B 1; 3; 3 . Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка АВ перпендикулярно оси Oy . Ответ: y 3 0 . 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 2; 3) параллельно плоскости 3x y 4 z 3 0 . Ответ: 3x y 4 z 8 0 . 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 2; 3) перпендикулярно радиус-вектору этой точки. Ответ: x 2 y 3z 14 0 . 5. При каком значении плоскости 2 x 4 y z 3 0 и x 2 y z 0 параллельны? Ответ: 52 1 . 2 5.Прямая в пространстве Уравнения прямой в пространстве. Положение прямой линии в пространстве будет определено, если задана точка M 0 на прямой и ненулевой вектор a , которому прямая параллельна. z a L M1 M0 M O y x Рис. 25 Определение. Любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой. Обозначается a (l , m, n) . Пусть точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) принадлежит прямой L (рис. 25). Точка M ( x, y, z) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) и a (l , m, n) коллинеарны, т.е., их координаты пропорциональны, а именно x x0 y y0 z z0 l m n (5.1) - канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) с направляющим вектором a (l , m, n) . Пусть точка M1 ( x1 , y1 , z1 ) тоже принадлежит прямой L. Вектор M 0 M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 ) лежит на прямой и его можно взять в качестве 53 направляющего вектора. Подставив координаты вектора M 0 M1 в уравнение (5.1), получим: x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0 (5.2) - уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и M1 ( x1 , y1 , z1 ) . Пример. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (1, 0, 1) и M1 (3, 1, 2) . Решение: Воспользуемся уравнением (5.2), где x0 1, y0 0, z0 1, x1 3, y1 1, z1 2 : x 1 y 0 z 1 ; 3 1 1 0 2 1 x 1 y z 1 - уравнения искомой прямой. 2 1 3 Ответ: x 1 y z 1 . 2 1 3 Обозначим через t каждое из соотношений (5.1), тогда x x0 y y0 z z0 t, t, t. l m n Отсюда: x x0 lt , y y0 mt , z z0 nt - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) с направляющим вектором a (l , m, n) . 54 (5.3) Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (2, 3, 7) с направляющим вектором a (4, 6, 5) . Решение: Поскольку из условия следует, что x0 2, y0 3, z0 7, l 4, m 6, n 5 , то в соответствии с формулами (5.3) получаем: x 2 4t , y 3 6t , z 7 5t - уравнения искомой прямой. Ответ: x 2 4t, y 3 6t, z 7 5t . Любые две непараллельные и несовпадающие плоскости определяют прямую как линию их пересечения (рис. 26): A1 x B1 y C1 z D1 0 ( 1 ) A2 x B2 y C2 z D2 0 ( 2 ) (5.4) - общие уравнения прямой. 1 n2 a L 2 n1 Рис. 26 От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим уравнениям прямой. Пусть n1 ( A1 , B1 , C1 ) и n2 ( A2 , B2 , C2 ) - нормальные векторы плоскостей 1 и 2 . Для составления канонических уравнений этой прямой нужно: 1. Найти какую-нибудь точку M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , принадлежащую данной прямой. Для этого задаем численное значение одной неизвестных x, y, z , две другие находим, решая систему (5.4). 55 из 2. Найти направляющий вектор a . Прямая L – линия пересечения плоскостей, следовательно, она перпендикулярна каждому из нормальных векторов n1 и n2 . Значит, в качестве направляющего вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный векторам n1 и n2 , например, их векторное произведение. Пример. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой 3x 2 y 4 z 5 0, 2 x y z 1 0. Решение: Найдем координаты точки M 0 , принадлежащей прямой. Пусть z0 0 , тогда 3x0 2 y0 5 0, x0 3, 2 x0 y0 1 0; y0 7. Итак, прямая проходит через точку M 0 (3, 7, 0) . Найдем направляющий вектор a . n1 (3, 2, 4) и n2 (2, 1, 1) - нормальные векторы плоскостей. i j k a n1 n2 3 2 4 2i 8 j 3k 4k 4i (3) j 6i 11 j k . 2 1 1 a (6, 11, 1) . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (3, 7, 0) с направляющим вектором a (6, 11, 1) : x3 y 7 z . 6 11 1 Ответ: x3 y 7 z . 6 11 1 56 Прямая и плоскость Пусть даны прямая L: x x0 y y0 z z0 и плоскость : l m n Ax By Cz D 0 (рис. 27). L a n Рис. 27 Определение. Углом между прямой и плоскостью называется наименьший из углов, образованных прямой с ее проекцией на эту плоскость. Обозначим - угол между прямой и перпендикуляром к плоскости. a (l , m, n) - направляющий вектор прямой L. n ( A, B, C ) - нормальный вектор плоскости . Угол между векторами a и n находят по формуле cos a n . | a || n | cos cos( ) sin . 2 57 sin an | a || n | или Al Bm Cn sin l 2 m2 n2 A2 B 2 C 2 (5.5) - формула для определения угла между прямой и плоскостью. Если прямая L перпендикулярна плоскости , то векторы a и n коллинеарны, значит, их координаты пропорциональны, т.е. A B C l m n (5.6) - условие перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая параллельна плоскости, то направляющий вектор a прямой перпендикулярен нормальному вектору n плоскости, тогда их скалярное произведение равно нулю, т.е. a n 0 или Al Bm Cn 0 (5.7) - условие параллельности прямой и плоскости. Если прямая параллельна плоскости и точка M1 ( x1 , y1 , z1 ) , лежащая на прямой, удовлетворяет своими координатами уравнению плоскости, то прямая целиком лежит в этой плоскости. Al Bm Cn 0, Ax1 By1 Cz1 D 0 (5.8) - условия принадлежности прямой линии плоскости. Пример. Установить расположение прямой 4x 3 y 6z 5 0 58 x 2 y 1 z 5 и плоскости 2 4 4 Решение: Направляющий вектор данной прямой a (2, 4, 4) , нормальный вектор плоскости n (4, 3, 6) . Условие (5.7) не выполняется: 2 4 4 (3) 4 (6) 28 0 , значит, прямая не параллельна плоскости. Следовательно, прямая пересекает плоскость. Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости. Для этого перейдем от канонических уравнений прямой к параметрическим: x 2 2t , y 1 4t , z 5 4t . Подставим полученные значения x, y, z в уравнение плоскости: 4 (2 2t ) 3 (1 4t ) 6 (5 4t ) 5 0 t 6 . Найденное значение подставим x 2 2t , y 1 4t , z 5 4t , получим: в t равенства x 2 12 10, y 1 24 25, z 5 24 19 . Значит, прямая пересекает плоскость в точке (10, 25, 19) . Ответ: прямая пересекает плоскость в точке (10, 25, 19) . Взаимное расположение прямых в пространстве Рассмотрим две прямые каноническими уравнениями: L1 : x x1 y y1 z z1 ; l1 m1 n1 L2 : x x2 y y2 z z2 . l2 m2 n2 в пространстве, заданные своими Прямая L1 проходит через точку M1 ( x1 , y1 , z1 ) , ее направляющий вектор a1 (l1 , m1 , n1 ) . Прямая L2 проходит через точку направляющий вектор a2 (l2 , m2 , n2 ) . 59 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , ее Данные прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы a1 (l1 , m1 , n1 ) и a2 (l2 , m2 , n2 ) коллинеарны (рис. 28, а). Отсюда l1 m1 n1 l2 m2 n2 (5.9) - условие параллельности двух прямых в пространстве. L1 a1 L2 L2 a2 a2 a1 а) L1 б) Рис. 28 Данные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (в пространстве перпендикулярные прямые могут быть и не пересекающимися) (рис. 28б). Отсюда l1 l2 m1 m2 n1 n2 0 (5.10) - условие перпендикулярности двух прямых. За угол между прямыми принимается угол между их направляющими векторами a1 (l1 , m1 , n1 ) и a2 (l2 , m2 , n2 ) , следовательно, 60 cos l1 l2 m1 m2 n1 n2 l m n l m n 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 . (5.11) L1 a1 M1 M2 L2 a2 Рис. 29 Прямые L1 и L2 являются скрещивающимися тогда и только тогда, когда векторы a1 (l1 , m1 , n1 ) , a2 (l2 , m2 , n2 ) и M1M 2 ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) некомпланарны (рис. 29). В этом случае их смешанное произведение отлично от нуля, т.е. l1 m1 n1 l2 m2 n2 0 x2 x1 y2 y1 z2 z1 В противном случае прямые лежат в одной плоскости. Пример. Исследовать взаимное расположение двух прямых x 1 y 2 z 3 ; 9 8 7 x 6 y 5 z 4 L2 : . 2 3 1 L1 : Решение: Из уравнений прямых следует, что M1 (1, 2, 3) L1 и M 2 (6, 5, 4) L2 . Направляющие векторы данных прямых a1 (9, 8, 7) и a2 (2, 3, 1) . M1M 2 (6 1, 5 2, 4 3) (5, 3, 1) . Составим определитель: 61 9 8 7 2 3 1 203 0 , значит, прямые скрещиваются. 5 3 1 Ответ: прямые скрещиваются. Решение задач. 1. Составить уравнения прямой, проходящей через точку P(2, 5,3) а) параллельно оси Oy ; б) параллельно прямой x 1 y 3 z 2 ; 4 6 2 в) параллельно прямой x 1, y 2 3t, z 4t . Решение: а) искомая прямая параллельна оси Oy . Значит, в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой вектор, лежащий на оси Oy , например, вектор j (0,1, 0) . Имеем точку P(2, 5,3) , принадлежащую этой прямой, т.е. x0 2, y0 5, z0 3 , и направляющий вектор этой прямой a j (0,1,0) , т.е. l 0, m 1, n 0 . Составим канонические уравнения прямой, используя (5.1) x x0 y y0 z z0 . l m n В нашем случае: x 2 y 5 z 3 - уравнения искомой прямой; 0 1 0 б) если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны, в частности, совпадают. Искомая прямая параллельна прямой x 1 y 3 z 2 , 4 6 2 значит, за направляющий вектор можно взять a (4, 6, 2) . 62 Точка P(2, 5,3) принадлежит этой прямой, т.е. x0 2, y0 5, z0 3 , направляющий вектор этой прямой a (4, 6, 2) , т.е. l 4, m 6, n 2 . Составим канонические уравнения прямой, используя (5.1) x x0 y y0 z z0 . l m n В нашем случае: x 2 y 5 z 3 - уравнения искомой прямой; 4 6 2 в) прямая x 1, y 2 3t, z 4t задана параметрическими уравнениями. Как известно, коэффициенты при t есть координаты направляющего вектора этой прямой, т.е. a1 (0,3, 4) . По условию эта прямая параллельна искомой прямой, значит, за направляющий вектор a нашей прямой мы можем взять направляющий вектор a1 , т.е. a (0,3, 4) . Составим канонические уравнения прямой, используя (5.1) x x0 y y0 z z0 . l m n x 2 y 5 z 3 - уравнения искомой прямой. 0 3 4 Ответ: а) x 2 y 5 z 3 ; 0 1 0 б) x 2 y 5 z 3 ; 4 6 2 в) x 2 y 5 z 3 . 0 3 4 2. Составить уравнения прямой, проходящей через вершину B треугольника параллельно стороне если ABC AC , A(1, 1, 2), B(2,5, 4), C(1, 2,1) Решение: Вектор AC , расположенный на прямой AC , является для искомой прямой направляющим вектором. Найдем его координаты. 63 AC ( xC xA , yC y A , zC z A ) (1 (1), 2 (1), 1 2) (0, 3, 1) , т.е. за направляющий вектор прямой примем вектор a (0, 3, 1) . Точка лежит B(2,5, 4) на прямой, т.е. x0 2, y0 5, z0 4 , направляющий вектор этой прямой a (0, 3, 1) , т.е. l 0, m 3, n 1 . Пользуясь формулой (5.1), составим канонические уравнения прямой: x x0 y y0 z z0 . l m n В нашем случае: x 2 y 5 z 4 - уравнения искомой прямой. 0 3 1 Ответ: x 2 y 5 z 4 . 0 3 1 3.Составить уравнение медианы треугольника ABC , проведенной из вершины C , если A(1, 1, 2), B(2, 2, 4), C(3,5,1) . Решение: По условию CD - медиана треугольника ABC (рис. 30). B D A C Рис. 30 Следовательно, D - середина отрезка AB . Найдем координаты середины отрезка по формулам (1.3): xD x A xB y y z z , yD A B , z D A B ; 2 2 2 64 xD 12 3 , yD 12 1 , zD 24 1; 2 2 2 2 2 3 1 D( , , 1) . 2 2 Для составления уравнения медианы воспользуемся уравнениями (5.2) прямой, проходящей через две точки x x0 y y0 z z0 , где x1 x0 y1 y0 z1 z0 C (3,5,1) принадлежит прямой, т.е. x0 3, y0 5, z0 1 ; 3 1 3 1 D( , , 1) также принадлежит прямой, т.е. x1 , y1 , z1 1 : 2 2 2 2 x 3 y 5 z 1 ; 3 1 1 1 3 5 2 2 x 3 y 5 z 1 9 9 2 2 2 Ответ: или x 3 y 5 z 1 - уравнения искомой прямой. 9 9 4 x 3 y 5 z 1 . 9 9 4 7. Составить уравнения прямой, проходящей через точку P(2, 1,3) и точку пересечения прямой x 2 y z 1 с плоскостью XY . 2 3 2 Решение: Найдем точку пересечения P1 данной прямой с плоскостью XY . Точки, лежащие в плоскости XY , имеют координаты ( x0 , y0 ,0) . Если точка P1 принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению: x0 2 y0 0 1 , отсюда 2 3 2 x0 2 1 , 2 2 x0 3 ; y0 1 , 3 2 3 . 2 y0 65 3 2 Т.е. точка P1 (3, , 0) - точка пересечения данной прямой с плоскостью XY . Составим уравнения искомой прямой, проходящей через две точки 3 P(2, 1,3) и P1 (3, , 0) , для этого воспользуемся уравнениями (5.2): 2 x x0 y y0 z z0 ; x1 x0 y1 y0 z1 z0 x 2 y 1 z 3 ; 3 2 3 1 0 3 2 x 2 y 1 z 3 x 2 y 1 z 3 или - уравнения искомой прямой. 5 2 5 6 1 3 2 Ответ: x 2 y 1 z 3 . 2 5 6 8. Точка M симметрична точке N (3, 2,1) относительно плоскости XZ . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M , перпендикулярно прямой x 1 y z 2 . Решение: Поскольку точка M симметрична точке N (3, 2,1) относительно плоскости XZ , то координата y изменит знак, координаты x и z не изменятся (рис. 31) z z N M y1 y x x Рис. 31 66 y Значит, M (3, 2,1) . Искомая плоскость перпендикулярна прямой x 1 y z 2 , следовательно, в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой. Прямая задана каноническими уравнениями, направляющий вектор этой прямой a (1,1,1) является нормальным вектором плоскости. Используя уравнение (4.2): A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 , получим 1 ( x 3) 1 ( y 2) 1 ( z 1) 0, x y z 6 0 - искомое уравнение плоскости. Ответ: x y z 6 0 . 9. Найти расстояние от точки P(3,1,1) плоскости 3x 2 y 3z 4 0 с осью Oy . до точки пересечения Решение: Плоскость пересекается с осью Oy в точке координаты этой точки в уравнение плоскости: P0 (0, y0 ,0) . Подставим 3 0 2 y0 3 0 4 0; 2 y0 4 0; y0 2. Значит, P0 (0, 2,0) . Расстояние d между двумя точками P(3,1,1) и P0 (0, 2, 0) найдем по формуле (1.1): d ( P, P0 ) ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 , в нашем случае d ( P, P0 ) (3 0)2 (1 (2))2 (1 0)2 9 9 1 19 . Ответ: d ( P, P0 ) 19 . 10.Найти угол между прямой x y 5 z 3 и плоскостью 1 2 1 2x y z 4 0 . 67 Решение: Угол между прямой и плоскостью находят по формуле Направляющий вектор прямой a (1, 2, 1) , нормальный (5.5). вектор плоскости n (2, 1, 1) . Al Bm Cn sin l 2 m2 n2 A2 B 2 C 2 1 2 2 (1) 1 1 1 12 22 (1)2 22 (1)2 12 6 . Значит, arcsin 1 . 6 Ответ: arcsin 1 . 6 11.Составить уравнения прямой, проходящей через точку P(2,1, 3) x 2 y z 0; y 4 z 2 0. параллельно прямой Решение: x 2 y z 0; y 4 z 2 0. Прямая задана пересечением двух плоскостей Ее направляющий вектор a n1 n2 , где n1 (1, 2,1) и n2 (0,1, 4) нормальные векторы данных плоскостей. Векторное произведение найдем по формуле (2.8): i j a 1 2 0 k 1 8i 0 j 1k 0k 1i (4) j 7i 4 j k , 1 4 a (7, 4,1) . Искомая прямая параллельна данной, значит, в качестве ее направляющего вектора можно взять найденный направляющий вектор a (7, 4,1) . Воспользуемся каноническими уравнениями прямой (5.1): 68 x x0 y y0 z z0 , подставив координаты точки P(2,1, 3) , лежащей на l m n этой прямой, и координаты направляющего вектора прямой a (7, 4,1) . Получим x 2 y 1 z 3 - уравнения искомой прямой. 7 4 1 Ответ: x 2 y 1 z 3 . 7 4 1 12.Доказать, что прямые x2 y z 3 1 2 1 x y 2 0; 2 x 2 z 0 и взаимно перпендикулярны. Решение: Условие перпендикулярности двух прямых (5.10): l1l2 m1m2 n1n2 0 , где l1 , m1 , n1 и l2 , m2 , n2 - координаты направляющих векторов прямых. Направляющий вектор первой прямой a1 (1, 2, 1) , так как прямая задана каноническими уравнениями. Чтобы найти направляющий вектор второй прямой, заданной пересечением двух плоскостей, нужно найти векторное произведение нормальных векторов этих плоскостей. Нормальные векторы n1 (1, 1, 0) и n2 (2, 0, 2) . i j k a2 1 1 0 2i 0 j 0k 2k 0i (2) j 2i 2 j 2k , 2 0 2 a2 (2, 2, 2) . Подставим координаты a1 и a2 в формулу (5.10): 1 (2) 2 2 1 (2) 2 4 2 0 . Условие выполнено, значит, прямые перпендикулярны. 69 13. Совпадают ли прямые x 3 y 1 z 2 x 7 y 13 z 8 и ? 2 6 3 4 12 6 Решение: Для того чтобы прямые совпадали, они должны иметь хотя бы одну общую точку и их направляющие векторы должны быть коллинеарны. Проверим второе условие. Направляющий вектор первой прямой a1 (2, 6, 3) , второй прямой a2 (4,12, 6) . Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат. Проверим это: 2 6 3 1 направляющие векторы коллинеарны. 4 12 6 2 Следовательно, данные прямые параллельны. Проверим первое условие. Возьмем точку M (3,1, 2) , принадлежащую первой прямой (точка легко определяется из уравнения x x0 y y0 z z0 , где l m n ( x0 , y0 , z0 ) - координаты точки, через которую проходит эта прямая). Подставим координаты точки М в уравнения второй прямой вместо x, y, z . Если точка М принадлежит второй прямой, то мы должны получить тождественные равенства: 3 7 1 13 2 8 ; 4 12 6 1 1 1 . Точка М принадлежит обеим прямым, а т.к. они параллельны и имеют общую точку, значит, они совпадают. Ответ: совпадают. 14. Лежит ли прямая L: x 1 y 5 z 3 3 2 2 2x y 2z 9 0 ? Решение: 70 в плоскости : Если прямая, параллельная плоскости, имеет с ней хотя бы одну общую точку, то прямая лежит в плоскости. Проверим, параллельна ли прямая плоскости. Если n ( A, B, C ) - нормальный вектор плоскости, a (l , m, n) направляющий вектор прямой, то условие параллельности прямой и плоскости: A l B m C n 0 . В нашем случае n (2, 1, 2) и a (3, 2, 2) . Подставим в формулу эти значения, получим: 1 3 (1) 2 2 2 3 2 4 5 0 , значит, прямая не параллельна плоскости, и следовательно, не лежит в этой плоскости. Ответ: нет. 15. Составить уравнение x 2t 2, y 2t , z t 1 плоскости, и лежащей содержащей параллельно прямую прямой x y z . Решение: Искомая плоскость содержит прямую x 2t 2, y 2t , z t 1 , значит, все точки этой прямой находятся в плоскости, в том числе и точка P0 (2,0,1) , принадлежащая прямой. По условию плоскость параллельна прямой x y z . Перепишем эти канонические уравнения в привычном виде: x y z , 1 1 1 отсюда следует, что направляющий вектор этой прямой a (1, 1, 1) . Если прямая параллельна плоскости, то и направляющий вектор прямой также параллелен плоскости. Найдем вектор, перпендикулярный вектору a (1, 1, 1) . В качестве такого вектора можно взять вектор (действительно, чтобы векторы были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю, скалярное произведение данных векторов a n 1 0 1 (1) 11 0 , значит, они перпендикулярны). n (0, 1,1) 71 Итак, точка P0 (2,0,1) принадлежит плоскости, вектор n (0, 1,1) - нормальный вектор плоскости. Используя уравнение (4.2): A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 , получим 0 ( x 2) 1 ( y 0) 1 ( z 1) 0, y z 1 0 или y z 1 0 - искомое уравнение плоскости. Ответ: y z 1 0 . 16. Найти расстояние между параллельными x 2t , y 3t 2, z t 1 и x 4t 2, y 6t 1, z 2t . прямыми Решение: Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой или равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую. Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения. L1 L2 a1 a2 M1 M2 Рис. 32 Рассмотрим прямую L1 (рис.32). Ее направляющий вектор a1 (2, 3, 1) (коэффициенты при t в уравнениях). Точка M1 (0, 2,1) принадлежит прямой L1 . Точка M 2 (2,1,0) принадлежит прямой L2 . 72 Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах a1 и M1M 2 . Площадь этого параллелограмма произведения, т.е. равна длине их векторного S a1 M1M 2 . a1 (2, 3, 1) , M1M 2 2,3, 1 . i j a1 M 1M 2 2 3 2 k 1 3i 2 j 6k (6)k 3i (2) j 4 j 12k ; 3 1 a1 M1M 2 (0, 4,12) . S a1 M1M 2 0 42 122 160 4 10 . Высота этого параллелограмма h, опущенная из точки M 1 , и есть расстояние между этими параллельными прямыми. Площадь параллелограмма S h b , где b - длина стороны параллелограмма, на которую опущена высота. В нашем случае: b a1 22 (3)2 12 14 . Тогда h S 4 10 4 35 b 14 7 - это и есть расстояние между данными параллельными прямыми. Ответ: 4 35 . 7 Задачи для самостоятельного решения 1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 ; 1; 3 параллельно оси Oz . Ответ: x y 1 z 3 . 0 0 1 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M 0; 1; 2 перпендикулярно плоскости x 3z 4 0 . Ответ: 73 x y 1 z 2 . 1 0 3 3. A 3; 1; 2 , B (0; 1; 4) , C (1;1;1) . Составить уравнения проходящей через точку С параллельно прямой АВ. Ответ: прямой, x 1 y 1 z 1 . 3 0 2 4. A 1; 2; 1 , B 3; 0; 3 . Найти ординату точки пересечения прямой АВ с плоскостью Oxy . Ответ: -3. 5. A 1; 1; 2 , B (0; 2; 1) , C (3; 1; 0) . Составить уравнения медианы треугольника АВС, проведенной из вершины В. Ответ: x y 2 z 1 . 1 3 2 6. A 0; 1; 2 , B (0; 1; 4) , C (1; 2; 1) . Составить уравнения проходящей через точку С параллельно прямой АВ. прямой, x 1 y 2 z 1 . 0 0 2 7. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (5; 1; 4) перпендикулярно плоскости x z 0 . x 5 y 1 z 4 Ответ: . 1 0 1 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (5; 1; 0) x y 2 z 1 перпендикулярно прямой . 3 0 1 Ответ: 3x z 15 0 . Ответ: 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно прямой x t 3; y 1; z 5t . Ответ: x 5z 0 . 10. Найти точку пересечения прямой x 2 y 1 z 3 с плоскостью 1 1 1 3x y 2 z 3 0 . Ответ: (6, 7, 11) . 11. Лежит ли прямая x 1 y 3 z 2 в плоскости x y 2 z 9 0 ? 1 2 2 Ответ: нет. 74 6. Полярные координаты Зафиксируем на плоскости точку, обозначим ее буквой О и назовем полюсом. Луч OP , исходящий из полюса, назовем полярной осью (рис. 33). M (r , ) r O P 1 Рис. 33 Выберем единицу масштаба. Пусть М – произвольная точка плоскости. Определение. Полярными координатами точки М называются два числа r и , где r - длина отрезка ОМ; - угол, на который нужно повернуть полярную ось OP, чтобы она совпала с ОМ. Число r называется полярным радиусом, r 0 . Число называется полярным углом. Точку М с полярными координатами r и обозначают M (r, ) . Если поворот оси происходит против часовой стрелки, то принимает положительные значения. Значение для точек, отличных от полюса, определено с точностью до 2 k , где k Z . Значения полярного угла, 0 2 , называются главными. удовлетворяющего неравенствам Для полюса r 0 , значение не определено. Рассмотрим прямоугольную систему координат такую, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ox (масштаб одинаковый). 75 y M y O x x Рис.34 Если М – произвольная точка плоскости, x и координаты, а r и - ее полярные координаты, то y - ее декартовы x r cos , y r sin выражение координаты. прямоугольных r x y ; cos 2 координат x 2 x y 2 2 ; sin (6.1) через полярные y x2 y 2 (6.2) - выражение полярных координат через прямоугольные координаты. Уравнение линии в полярной системе координат имеет вид F r , 0 или r r ( ) . В частности, уравнение окружности радиусом R с центром в полюсе в полярных координатах имеет вид: rR 76 (6.3) Решение задач. 1. Определить полярные координаты точки M (1, 3) . Решение: x 1; y 3 , значит, по формулам 6.2: r (1)2 ( 3)2 2 ; 1 cos ; 2 sin Ответ: M (2, 3 2 , следовательно, . 2 3 2 ). 3 2. Построить линию r 2 . Решение: Из формулы (6.3) следует, что данное уравнение – уравнение окружности радиусом 2 с центром в полюсе (рис. 35). О 2 Рис. 35 3. Построить линию r 2; 3 3 . Решение: Линия r 2 построена в примере 2 (рис. 32), угол меняется от 0 до 2 . Но в данном примере 3 3 3 3 . Проведем лучи ; . Часть окружности, расположенная между этими лучами, и есть искомая линия (рис. 36). 77 О 3 2 3 Рис. 36 4. Построить линию 2 . Решение: Угол 2 больше 3,14 и меньше 1,57 . Точки, 2 лежащие на луче 2 (рис. 34), удовлетворяют уравнению линии 2 , их координаты (r , 2) , где r 0 . О 2 Рис. 37 2 5. Построить линию , 1 r 3 . 4 Решение: Точки, принадлежащие данной линии, расположены на луче 4 (у всех таких точек вторая координата равна ). Первая координата у 4 точек, лежащих на данной линии, удовлетворяет неравенству 1 r 3 , 78 т.е. это точки, удаленные от полюса на расстояние, не меньшее 1, но не большее 3. Искомая линия изображена на рис. 38. О 1 3 4 Рис. 38. 6. Построить линию, составленную из двух звеньев: 1) r 3; 0 ; 2) r 3 ; cos ( 3 ). 2 Решение: Первое звено представляет собой часть окружности с центром в полюсе и радиусом 3, лежащую между лучами 0; (рис. 39, а). Для того чтобы построить второе звено, преобразуем формулу r 3 , умножив обе части этого равенства на cos : cos r cos 3 . По формуле (6.1) r cos x , отсюда x 3 - вертикальная прямая. Возьмем часть этой прямой, расположенной внутри сектора, ограниченного лучами ; 3 (рис. 39, б). 2 Искомая прямая – это объединение двух звеньев (рис. 39, в). 79 О 3 -3 а) О б) -3 О 3 в) Рис. 39 7. Построить линию r 1 . Решение: Поскольку r 0 , то, следовательно, 0 . Давая значения, получим r , причем с увеличением уменьшается r . Для удобства построения возьмем несколько значений и вычислим r : 6 4 2 3 2 2 r 6 4 2 1 2 3 1 2 Искомая линия изображена на рис. 40. 80 О Рис. 40 8. Построить линию r 1 sin . Решение: Функция sin периодическая с периодом 2 . 1 sin 0 . Следовательно, рассмотрим значения от 0 до 2 . 0 6 r 1 1 2 3 1 2 3 2 0 2 3 1 3 2 5 6 7 6 4 3 1 2 1 3 2 1 Рис. 41 81 3 2 3 2 2 5 3 1 3 2 11 6 2 3 2 1 Задачи для самостоятельного решения 1. Построить линию r 4 . 2. Построить линию r 2 sin 3. Построить линию, состоящую из двух звеньев 1) r 4 ( ) , 2) r 2 4 ( ). sin 2 4. Построить линию r 2; 3 5. Построить линию r cos 82 3 . 7. Параметрические уравнения линии Пусть на координатной плоскости Oxy дана некоторая линия. Пусть по этой линии движется точка М. В каждый момент времени t точка М занимает определенное положение на данной линии и, значит, ее координаты x и y принимают вполне определенные значения, т.е. являются функциями от t : x (t ), y (t ) . Эти два уравнения полностью определяют положение точки М в любой заданный момент времени t , а значит, определяют данную линию, т.е. являются уравнениями этой линии. Определение. Уравнения x (t ), y (t ) (t I ) (7.1) называются параметрическими уравнениями данной линии на плоскости Oxy , при изменении t в конечном или бесконечном промежутке формулы (7.1) дают координаты любой точки данной линии и не дают координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии. Определение. Линия, заданная параметрическими уравнениями, называется параметризованной. Если параметризованная линия лежит в пространстве Oxyz , то ее уравнения x (t ), y (t ), z (t ) (t I ) . Пример. Доказать, что x R cos t , y R sin t , t [0; 2 ] параметрические уравнения окружности радиусом R с центром в начале координат. Решение: При любом t t0 x R cos t0 , y R sin t0 . Возведем эти равенства в квадрат и сложим: x2 R2 cos2 t0 , y 2 R2 sin 2 t0 ; x2 y 2 R2 cos2 t0 R2 sin 2 t0 ; x2 y 2 R2 (cos2 t0 sin 2 t0 ) ; 83 x 2 y 2 R2 - получили уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом R . Когда параметр t пробегает все значения из промежутка [0; 2 ] , точка с координатами x и y пробегает эту окружность, значит, x R cos t, y R sin t , t [0; 2 ] - параметрические уравнения окружности радиусом R с центром в начале координат, ч.т.д. Решение задач. 1. Построить линию x t 1, y t 4 . Решение: Т.к. t 0, то t 1 1, t 4 4 . Значит, по условию задачи x 1, y 4 . Наложив эти условия, выразим t из первого уравнения и подставим во второе: t x 1 ; y x 1 4 ; y x 3. Построим прямую y x 3 и с учетом того, что x 1, y 4 , получим искомую линию (рис. 42): Y 4 O 1 Рис. 42 84 x 2. Построить линию x 1 cos t , y 2 cos t . Решение: Выразим из второго уравнения cost и подставим в первое уравнение: cos t y 2; x 1 y 2 ; Разобьем это уравнение на два случая: 1) если y 2 0 , т.е. y 2 , получим: x 1 ( y 2) x 1 y 2 y x 1 ; 2) если y 2 0 , т.е. y 2 , получим: x 1 ( y 2) x 1 y 2 y x 3 ; Построим полученные прямые (рис.43), наложив указанные условия: y 2 -3 1 x Рис.43 3. Построить линию x 2 cos t , y 1 sin t . Решение: 85 Т.к. 0 cos t 1 , значит, 1 x 2 . Выразим из первого уравнения cos t , из второго sin t : cos t 2 x, sin t y 1 . Полученные уравнения возведем в квадрат и сложим: cos2 t sin 2 t ( x 2)2 ( y 1)2 ; ( x 2)2 ( y 1)2 1 - уравнение окружности с центром в точке (2, 1) и радиусом 1. С учетом условия 1 x 2 , получим искомую линию (рис. 44). y 2 x Рис. 44 4. Построить линию x 2 2cos t, y 1 3sin t . Решение: Выразим из первого уравнения cost , из второго sin t : cos t 2 x y 1 . , sin t 2 3 Полученные уравнения возведем в квадрат и сложим: ( x 2)2 ( y 1)2 cos t sin t ; 4 3 2 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2 1 - уравнение эллипса (рис. 45). 4 3 86 y 1 O 2 x Рис. 45 Задачи для самостоятельного решения. 1. 2. 3. 4. Построить линию Построить линию Построить линию Построить линию x 2t 1, y 3 t . x cos t 2, y 2 cos t . x 2 t 2, y 1 3 t . x 1 cos t , y 2 sin t . Библиографический список 1. Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 1 семестра. / Боголюбов А. В., Елисеева Ю. В., Елькин А. Г., Яновская Е. А. под ред. А. В. Боголюбова, А. Г. Елькина, Н. Н. Холщевниковой - М.: МГТУ "Станкин", 2003. 2. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. - М.: Наука, 1975. 3. Краснов М. Л., Киселев А. И. и др. Высшая математика. Том 1 / М. Л. Краснов, А. И. Киселев и др. – М.: УРСС, 2003. 4. Гусак А. А.. Высшая математика. Учебник для студентов вузов. Том 1. 6-е издание / А. А. Гусак. - Минск: Тетросистема, 2007. 87 Учебное издание Бубнова Татьяна Владимировна, Виноградова Юлия Александровна Аналитическая геометрия Избранные главы 88
