Физика взрыва и удара

УДК 532.5:539.5
ББК 24.54
О66
О р л е н к о Л. П. Физика взрыва и удара: Учебное пособие для вузов. —
2-е изд., испр. — М.: Ф И ЗМ А Т Л И Т, 2008. — 304 с. — ISBN 978-5-9221-0891-1.
Излагаются вопросы, касающиеся закономерностей взрывных процессов и
действия взрыва в различных средах (газах, жидкостях и твердых телах). Рас­
сматриваются проблемы, относящиеся к детонации, ударным волнам, метанию
тел продуктами детонации, кумуляции, моделированию взрывных процессов,
высокоскоростному разгону тел с помощью взрыва и их взаимодействию с
преградами. Приведены результаты численного решения ряда задач, связанных
с взрывными процессами.
Д л я специалистов, занимающихся использованием энергии взрыва и удара.
Рекомендовано УМО вузов по университетскому политехническому обра­
зованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведе­
ний, обучающихся по направлению подготовки дипломированного специалиста
170100 — «Оружие и системы вооружения», специальности 170103 — «Сред­
ства поражения и боеприпасы».
Р е ц е н з е н т ы : В. П. Челышев, Н .А . Гладков
Учебное издание
ОРЛЕНКО Леонид П етрович
ФИЗИКА ВЗРЫ ВА И УДАРА
Редактор М .Б . К озинцо ва
Оригинал-макет: В.Е. Р ок от я н
Подписано в печать 15.11.07. Ф ормат 6 0 x 9 0 / 1 6 . Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 19. Уч.-изд. л. 20,9. Тираж 1000 экз. З ак аз №
И здательская фирма «Ф изико-математическая литература»
М А И К «Наука/И нтерпериодика»
117997, М осква, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizm a t@ m a ik .r u , fm lsale@ m aik .ru ;
http ://w w w .fm l.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
I S B N 9 7 8 - 5 -9 2 2 1 - 0 8 9 1 - 1
9 7859 22 10891 1
© Ф И З М А Т Л И Т , 2006, 2008
ISBN 978-5-9221-0891-1
© Л. П. Орленко, 2006, 2008
ОГЛАВЛЕНИЕ
П р е д и с л о в и е ........................................................................................
7
В веден и е ................................................................................................
8
Г л а в а 1. О сн овн ы е д и ф ф ер ен ц и а л ь н ы е уравнения д в и ­
ж ен ия сп л ош н ой с р е д ы ............................................................
13
1.1. Некоторые сведения из термодинамики.................................
1.1.1. Первое начало термодинамики (13).
1.1.2. Изохорный процесс (14).
1.1.3. Изобарный процесс (15).
1.1.4. Второе начало термодинамики (18). 1.1.5. Уравнение
состояния вещества (22).
1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
1.2.1. Лагранжевы
и
эйлеровы
координаты (25).
1.2.2. Уравнения движения сжимаемой твёрдой сре­
ды (26). 1.2.3. Уравнения движения идеальной среды (41).
1.2.4. Интегралы уравнений Эйлера (44). 1.2.5. Диффе­
ренциальные уравнения одномерного движения идеальной
среды (53).
Г л а в а 2. П л о ск ое о д н о м ер н о е и зоэн т р оп и ч еск ое д в и ­
ж ен и е и деал ьн ой с р е д ы ............................................................
2.1. Дифференциальные уравнения движения...............................
2.2. Характеристики плоского изоэнтропического течения. . . .
2.3. Решения дифференциальных уравнений плоского изоэнтро­
пического движения совершенного г а з а .................................
13
25
56
56
57
60
Г л а в а 3. Т еори я у д а рн ы х в о л н ................................................
77
В веден и е.............................................................................................
3.1. Связь между параметрами на фронте ударной волны с па­
раметрами перед фронтом ударной волны для различных
с р е д ..................................................................................................
77
78
Оглавление
4
3.1.1. Соотношения на фронте ударной волны в идеальной
среде (78). 3.1.2. Соотношения на фронте ударной волны
в твёрдом теле (81). 3.1.3. Соотношения на фронте ударной
волны для совершенного газа без учёта процессов диссо­
циации и ионизации (81). 3.1.4. Соотношения на фронте
ударной волны с учётом процессов диссоциации и иони­
зации (82). 3.1.5. Ударная адиабата (83). 3.1.6. Двойное
ударное сжатие (88).
3.2. Изменение температуры и энтропии при ударном и изоэнтропическом процессах в совершенном г а з е ..........................
89
3.2.1. Изменение температуры при ударном сжатии (89).
3.2.2. Изменение энтропии при ударном сжатии (90).
3.2.3. Невозможность существования ударной волны
разрежения в веществе с нормальными свойствами (91).
3.2.4. Толщина фронта ударной волны (93). 3.2.5. Слабые
и сильные УВ в совершенном газе (93).
96
3.3. Диссипация энергии на фронте ударной в о л н ы ...................
3.3.1. Определение удельных необратимых потерь энергии
на фронте ударной волны (97). 3.3.2. Определение пол­
ных необратимых потерь энергии на фронте ударной вол­
ны (99). 3.3.3. Приближённый расчёт необратимых потерь
энергии (100).
3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких т е л ............................. 102
3.4.1. Определение ударных адиабат (102). 3.4.2. Опре­
деление ударных адиабат методом торможения (107).
3.4.3. Уравнения
состояния
жидкостей
и твёрдых
тел (112).
3.5. Косые ударные волны................................................................... 119
3.5.1. Связи между параметрами на фронте косой ударной
волны (119). 3.5.2. Отражение прямых и косых УВ от
жёсткой стенки (122).
Г л а в а 4. Т еори я д етон ац и и в зр ы в ч а ты х в е щ е с т в ............
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
128
Некоторые свойства взрывчатых веществ...............................
Гидродинамическая теория детонации....................................
Теория детонации идеального взрывчатого газа...................
Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ
Термическое уравнение состо я н и я ...........................................
128
138
143
145
154
Г л а в а 5. Р азлёт п р о д у к т о в детон ац и и в п у с т о т у ............
157
5.1. Разлёт продуктов детонации за фронтом детонационной
волны................................................................................................ 157
5.2. Отражение детонационной волны от жёсткой стенки ......... 162
Оглавление
5.3. Активная масса взрывчатого вещества....................................
5
167
5.4. Методы теоретического изучения разлёта продуктов дето­
нации для одномерного течения идеальной с р е д ы .............. 170
Г л а в а 6. Р асп ад п р ои зв о л ь н о го р а зр ы в а на границе
д в у х с р е д ........................................................................................
172
6.1. Отражение детонационных волн от различных сред............
173
6.2. Отражение УВ от границы двух инертных ср ед ...................
182
6.3. Соударение двух твёрдых тел ..................................................... 185
Г л а в а 7. В зр ы в в в о з д у х е ............................................................ 189
7.1. Физические представления о процессе взрыва в воздухе. . . 189
7.2. Определение импульса взрыва в в о з д у х е ...............................
191
7.3. Методы теоретического решения задачи о детонации заряда
взрывчатого вещества в воздухе................................................ 194
7.4. Точечный в з р ы в ..........................................................................
195
7.5. Экспериментальные зависимости параметров воздушных
ударных волн при газовых в зр ы ва х ......................................... 200
7.6. Поражающее действие ударных волн в в о з д у х е ...................
202
Г л а в а 8. В зр ы в в в о д е ................................................................... 208
8.1. Физика взрыва в воде................................................................... 208
8.2. Методы теоретического изучения подводного взры ва.........
213
Г л а в а 9. Т еори я м одел и рован ия в зр ы вн ы х и ударн ы х
п р о ц е с с о в ........................................................................................ 218
9.1. Элементы теории моделирования.............................................
218
9.2. Моделирование обычного и точечного в з р ы в а .....................
219
9.3. Методы обработки опытных данных в воздухе и воде при
моделировании............................................................................... 223
9.4. Теория и практика моделирования........................................... 227
9.5. Моделирование сложных систем................................................ 228
Г л а в а 10. М етани е тел п р од ук там и д е т о н а ц и и ................. 232
10.1. В веден и е........................................................................................
232
10.2. Приближённый метод определения скорости и закона дви­
жения оболочки з а р я д а .............................................................. 234
6
Оглавление
10.2.1. Определение скорости оболочки заряда (234).
10.2.2. Определение закона движения оболочки заря­
да (239).
10.3. Задача о метании жёсткой пластины ...................................... 240
10.4. Метание сжимаемой прочной пластины и короткой цилин­
дрической обол очк и ..................................................................... 244
10.5. Баллистика оск ол к ов................................................................... 248
Г л а в а 11. К у м у л я ц и я .....................................................................
11.1. Физические представления о кумуляции.................................
11.2. Гидродинамическая теория кумуляции....................................
11.3. Приближённый метод расчёта параметров кумулятивной
с т р у и ................................................................................................
11.4. Определение глубины пробития преграды кумулятивной
струей................................................................................................
11.5. Определение глубины проникания кумулятивной струи
с учётом сжимаемости преграды и с т р у и ...............................
11.6. Определение диаметра отверстия при проникании кумуля­
тивной струи в преграду..............................................................
11.7. Некоторые конструктивные особенности кумулятивных за­
р я д о в ................................................................................................
250
250
254
Г л а в а 12. В ол н ы н апряж ения в т в ё р д ы х т е л а х ..............
12.1. Упругие волны...............................................................................
12.2. Пластические волны в твёрдых телах......................................
12.3. Ударные волны в твёрдых телах................................................
275
275
279
279
257
261
265
268
269
12.4. О ткол................................................................................................ 283
Г л а в а 13. В ы с о к о с к о р о с т н о е соударен и е т е л .....................
13.1. В веден и е........................................................................................
13.2. Экспериментальные
исследования
высокоскоростного
взрывного метания тел ................................................................
13.3. Физика взаимодействия тел с преградой.................................
13.4. Численные методы решения задач по высокоскоростному
метанию тел и прониканию ударников в преграды..............
287
287
288
292
297
Список л и тературы ............................................................................... 304
Посвящается 175-летию
М Г Т У им. Н. Э. Баумана
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретической основой курса “Ф изика взры ва и удара”
(ФВУ) является механика сплошных сред, которая изучает
движение газообразных, ж идких и твердых сред, устанавливает
наиболее общие свойства и законы движ ения деформируемых
сред с учетом физико-механических свойств материалов этих
сред. В курсе ФВУ рассматривается взрыв, образовавшийся
вследствие быстрой устойчивой химической реакции во
взры вчатом веществе (нормальная детонация).
Курс ФВУ входит в программу подготовки специалистов, ра­
ботающих в тех отраслях производства, где используется энер­
гия взры ва и удара. Сюда, прежде всего, относится оборонная
промышленность (исследование и проектирование средств уни­
чтожения и боеприпасов), а такж е горнодобывающая отрасль
(добыча полезных ископаемых с помощью энергии взрыва, сей­
сморазведка и др.), неф тяная (перфорация скваж ин кум улятив­
ными зарядами, ликвидация прихватов труб в грунте и др.), ма­
шиностроение (штамповка, сварка и резка м еталла с помощью
взрыва, упрочнение металлов, взрывное прессование пористых
материалов, получение алмазов и др.), строительство (создание
плотин в горах, прокладка каналов, особенно в скальных поро­
дах, разрушение сносимых сооружений и др.), космическая (за­
щита спутников и космических станций от удара метеоритных
частиц и осколков, образовавшихся от разруш ения в космосе
ракет и спутников). Результаты ф изики взры ва используются
специалистами Ф С Б и М ВД д л я анализа взрывных террористи­
ческих актов.
Знания курса ФВУ облегчают изучение монографий типа
“Физика взры ва” [1]. Курс ФВУ является теоретической и ф и зи ­
ческой основой курсов проектирования изделий, использующих
энергию взры ва и удара.
Автор благодарит выпускников М ГТУ им. Н. Э. Баумана,
В. В. Сапрыкина, А. В. Головачева и С. А. Петровского за ф и ­
нансовую поддерж ку в издании учебного пособия “Физика взры ­
ва и удара”.
ВВЕДЕНИЕ
В курсе “Физика взры ва и удара” (ФВУ) изучаю тся ф и зи ­
ческие процессы взры ва и удара, происходящие в различны х
сплошных средах (газах, ж идких и твёрдых телах), рассматри­
ваются существующие методы решения задач ф изики взры ва
и удара.
Курс ФВУ состоит из двух основных частей.
1. Первая, общая часть вклю чает в себя рассмотрение неко­
торых вопросов термодинамики, диф ф еренциальны х уравне­
ний движ ения в разных средах (несжимаемой, сжимаемой,
упруго-пластической), существующие аналитические решения
этих уравнений (интегралы Бернулли и Л агр а н ж а и др.), ана­
литическое изучение простых волн.
2. Вторая, специальная часть курса посвящена изучению
ф изики взрывных и ударных явлений: разлёт продуктов дето­
нации (ПД), распад произвольного разры ва на границе двух
сред, метание тел продуктами детонации, взрыв в газообразных,
ж идких и твёрдых средах, кумуляция, моделирование взрывных
процессов, высокоскоростное взрывное метание и соударение тел
с преградами.
Рассмотрим некоторые определения и постулаты, которые
используются в курсе ФВУ.
Гипотеза сплошности
Введём понятие сплошной среды. Все тела состоят из отдель­
ных частиц (атомов, молекул), но так как их много в любом
очень малом интересующем нас объёме, мы абстрагируемся от
реального строения вещества и представляем среду с непре­
рывно меняющимися свойствами, заполняющ ую пространство
сплошным образом. Воду, воздух, металлы, конденсированные
взры вчаты е вещества (ВВ), продукты детонации и т.д . будем
рассматривать как тела, непрерывно заполняющие некоторую
часть пространства.
Т акая идеализация, в частности, позволяет нам в дальней­
шем при исследовании движ ения таких сред использовать аппа­
Введение
9
рат непрерывных функций, дифф еренциальное и интегральное
исчисления.
Установившееся и неустановившееся движения
К а ж д а я точка среды характеризуется параметрами: давле­
нием р, плотностью р, температурой T , u — вектором скоро­
сти с проекциями на оси координат (ux , u y , u z ) Эти параметры
впредь будем назы вать газодинамическими.
Следует заметить, что в ж идкости и газе р одинаково по
всем направлениям (закон П аскаля), а в металлах, и вообще
в твёрдых телах, в точке вместо р вводится тензор напряж е­
ний Uij, имеющий шесть независимых компонентов: три каса­
тельных напряж ения T j (i = j ) и три нормальных напряж ения
aij (i = j ). Если движение установившееся (стационарное), то
все параметры меняются от точки к точке (зависят от коор­
динат), но не зависят от времени. Такие движения, например,
рассматриваю тся в аэродинамике при полёте тела с постоянной
скоростью.
Д л я установившегося (стационарного) движ ения среды:
aij = aij(x, y, z);
p = p(x, y, z); р = p(x, y, z);
T = T ( x , y, z);
u = u (x , y, z).
В неустановившемся движении все параметры зависят от коор­
динаты и от времени:
aij = aij(x, y, z, t);
p = p(x, y, z, t); р = p(x, y, z, t);
T = T ( x , y, z, t);
u = u(x, y, z, t).
Такие
неустановившиеся
(нестационарные)
движения
сплошной среды рассматриваю тся в курсе “Физика взры ва
и удара”.
Траектории и ли н и и тока. Т раектория — линия, по которой
движ ется частица среды. Л иния в пространстве, касательная
к которой в данный момент времени совпадает с направлением
скорости в этой точке, называется линией тока. Если движение
стационарное, то траектория совпадает с линией тока, если дви­
жение нестационарное, то это разные линии.
Задачей данного курса является рассмотрение в основном
неустановившихся движений, применительно к взрывным
и ударным явлениям в разных средах.
Классификация сплошных сред
В ФВУ рассматриваю тся два вида сплошных сред: идеаль­
ная среда и неидеальная среда.
10
Введение
И д е а л ь н а я с р е д а . Идеальной средой называю т такую
среду, в которой отсутствую т внутренние силы взаимодействия
м еж ду частицами, то есть отсутствую т силы внутреннего тре­
ния м еж ду частицами, отсутствую т касательные напряжения.
И деальная среда не способна оказы вать сопротивление измене­
нию ф орм ы своих частиц.
Среди класса идеальных сред будем вы делять так назы ва­
емый “совершенный газ”, свойства которого описываются урав­
нением М енделеева-Клапейрона.
Н е и д е а л ь н а я с р е д а . В неидеальной среде присутствуют
внутренние силы (внутреннее трение). Это вязкая ж идкость —
изотропная сж им аем ая (или несжимаемая) среда, сдвиговые
и объёмное сопротивления которой линейно зависят от скоро­
стей деформаций.
Заметим, что твёрдые тела (металлы и другие) являю тся
неидеальной средой. Они характеризую тся наличием прочности
и сжимаемости при относительно высоких напряжениях. Д л я
твёрдых тел используют модели:
- упругой среды (сопротивление которой линейно зависит от
деформаций);
- жёсткопластической среды (учитывается только пластичность);
- упругопластической среды, в которых учитываю тся упру­
гие и пластические свойства, а такж е сжимаемость среды.
Классификация сил в сплошной среде
Р азличаю т поверхностные и массовые силы.
Поверхностные силы.Поверхностными силами, называю т­
ся силы, распределенные по поверхности некоторого объёма
сплошной среды.
Рис. 1
Н а рисунке 1 показана система поверхностных сил, действу­
ющих на поверхность выделенного объёма в идеальной сплош­
ной среде, где px = py = pz = p.
Введение
11
Н а рисунке 2 показаны поверхностные силы, действующие
в неидеальной сплошной среде (вязкой среде или твёрдом теле).
У
Рис. 2
Массовые силы. Силы, действующие на единицу массы, на­
зываю тся массовыми. Это, например, гравитационные силы,
которые подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона,
электромагнитные силы, силы инерции и др.
Пространственная классификация движения
сплошной среды
В общем случае имеет место трёхмерное движение. При
этом параметры газа p, р, u, T и другие являю тся функциями
трёх координат x, y, z.
Стационарные (установившиеся) трёхмерные движ ения за ­
висят только от трёх координат и не зависят от времени t,
а неустановившиеся трёхмерные движ ения зависят ещё и от
времени t .
Двумерные движения среды можно разделить на плоские
и осесимметричные (рисунки 3 и 4). В случае плоского двумер­
ного движ ения (см. рис. 3) все явления происходят в плоскости
(x, y), а движение в направлении оси 0z отсутствует. Осесиммет­
ричное движение имеет ось симметрии 0z (см. рис. 4). Это —
частный случай пространственного движения.
z
О
Рис. 3
г
Рис. 4
Введение
12
Если движение среды можно описать только при помощи
одной пространственной координаты, то есть все параметры
среды р, р, u, T и т. п. являю тся ф ункцией одной координаты r
и времени t, имеет место одномерное движение. Одномерные
движ ения сред можно разделить на три вида:
a)
плоские одномерные д
Р®
б) цилиндрические одномерные
движ ения — течения с осевой симмет­
рией;
в) сферические одномерные дви­
жения, то есть течения с точечной
симметрией.
Рис. 5
Плоские одномерные движения.
В плоском одномерном движении па­
раметры среды одинаковы в точках, имеющих одну координа­
ту x . Обычно такое движение заменяю т движением в жёсткой
трубе (см. рис. 5, стенки жёсткой трубы выделены пунктиром).
Цилиндрические одномерные движения. Цилиндрическое
одномерное движение имеет место, например, при разлёте бес­
конечно длинного цилиндра с газом под давлением (см. рис. 6).
Это течение среды, симметричное относительно оси 0z .
О1
Рис. 6
Сферическое одномерное движение. При сферическом од­
номерном движении имеет место точечная симметрия. Здесь
параметры среды являю тся ф ункциями только одной простран­
ственной координаты r (см. рис. 7).
Классическим примером такого движ ения является детона­
ция сферических зарядов, начинаю щ аяся из точки симметрии.
Глава
1
ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВН ЕНИ Я Д В И Ж Е Н И Я СПЛОШ НОЙ
СРЕДЫ
1.1. Некоторые сведения из термодинамики
1.1.1.
П е р в о е н а ч а л о т е р м о д и н а м и к и . Закон сохране­
ния энергии устанавливает, что энергия не создается, не уничто­
ж ается и что одна ф орм а энергии может переходить в другую,
причём превращение энергии из одного вида в другой происхо­
дит всегда в строго определённых, эквивалентных количествен­
ных соотношениях. Первое начало термодинамики представляет
собой закон сохранения энергии д л я тепловых явлений.
При подводе теплоты к среде, например, газу, находящемуся
под некоторым внешним давлением, газ расширяется и темпе­
ратура его возрастает. При этом происходит увеличение внут­
ренней энергии газа (среды) и им совершается работа.
Если элементарное количество теплоты, подведенное к среде
равно dQ, то элементарное изменение внутренней энергии среды
d E и элементарная работа dA, совершаемая при этом средой,
связаны уравнением
dQ = d E + dA.
(1.1)
Внутренняя энергия газа (среды) E имеет две составляющие:
кинетическую энергию K , которая является ф ункцией темпера­
туры, и потенциальную энергию П, которая является функцией
взаимодействия частиц среды, т. е.
E = K ( T ) + П.
Д л я идеальной среды (без химических и ф изических превраще­
ний) справедливо соотношение д л я единицы массы:
d A = pdv,
где v = 1/ р — удельный объём.
14
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Первое начало термодинамики д л я единицы массы в этом
случае можно записать в виде
dQ = d E + pdv.
(1.2)
Д л я твёрдого тела первое начало термодинамики можно запи­
сать в виде
dQ = d E -
(1.3)
р
где Uij и eij — компоненты соответственно тензора напряжений
и тензора деформаций. Член ( а ^ d e j )/ р представляет собой пол­
ную работу при деформировании единицы массы среды.
Т ак как внутренняя энергия газа является ф ункцией удель­
ного объёма и температуры,
E = E (v, T ) ,
то полный диф ф еренциал внутренней энергии равен
И теперь окончательно уравнение, выражаю щ ее первое на­
чало термодинамики д л я идеальной среды, запишем в виде
dv + pdv.
(1.4)
T
Это уравнение является аналитическим выражением перво­
го начала (закона) термодинамики, который устанавливает, что
при подводе к газу (среде) теплоты одна часть его расходуется
на увеличение внутренней энергии газа, а другая — на соверше­
ние газом (средой) внешней работы.
Очевидно, что первое начало термодинамики является вы ра­
жением закона сохранения энергии применительно к тепловым
процессам.
Первое начало термодинамики находит широкое применение
как в теории, так и в практике термодинамических расчётов.
Рассмотрим частные случаи уравнения (1.4).
1.1.2.
И з о х о р н ы й п р о ц е с с . Изохорным называется про­
цесс, протекающий при постоянном объёме, т. е. v = const,
и dv = 0.
1.1. Некоторые сведения из т ермодинамики
15
Тогда уравнение первого закона термодинамики д л я изохорного процесса примет следующий вид:
dQ = ( f ) v d T
Преобразуем это уравнение, разделив обе его части на dT
' dQ \
dT)v
( dEN
K T
v
По определению, д л я изохорного процесса
'dQ \
dT I
( dE
\ 3 T 1v
Cv.
(L5)
Величина Cv является удельной теплоёмкостью д л я изохорного процесса.
Т ак как внутренняя энергия идеального газа при изохорном
процессе является только функцией температуры, т. е.
E = E (T) ,
(1.6)
то мы можем записать д л я идеальной среды (совершенного газа)
при изохорном процессе
E T ) = c
dT
= Cv ■
У множим левую и правую части на d T и получим
d E = cv dT.
(17)
(1' 7)
(1.8)
В общем случае ф ункция cv = cv (v, T )является
слабой
ф ункцией от v и T (т. е. очень мало зависит от изменения па­
раметров v и T ), поэтому, принимая в некотором диапазоне
температур A T , что cv = const, можно получить
E — E 0 = cv ( T — T o) ,
(1.9)
где Eo и To — начальные параметры.
Если Eo = cvTo, то можем записать
E = cv T.
(1.10)
1.1.3.
И з о б а р н ы й п р о ц е с с . Изобарным называется про­
цесс, протекающий при постоянном давлении, то есть р = const,
или dp = 0.
Уравнение первого закона термодинамики (1.2) можно запи­
сать, с учётом (1.8), в виде
dQ = cv d T + pdv.
(1.11)
16
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Д л я преобразования этого уравнения воспользуемся уравнением
д л я единицы массы совершенного газа:
pv = R T
где R = R y/ ц , R y = 8 ,3 1 Д ж /м о л ь К — универсальная газовая
постоянная, ц — м олярная масса.
Д л я изобарного процесса это уравнение имеет вид
pdv = RdT .
Тогда уравнение первого закона термодинамики (1.11) можно
записать в виде:
dQ = cv d T + RdT .
Разделим левую и правую часть этого уравнения на d T и, при­
нимая во внимание, что процесс у нас изобарный (p = const),
получим:
= Сѵ + R = cp.
(1.12)
Величина cp , по определению, называется удельной теплоёмко­
стью при изобарном процессе.
Мы получили формулу
cp = cv + R.
(1.13)
Эта ф орм ула устанавливает соотношение м еж ду теплоёмкостя­
ми газов cp и сѵ.
Из формулы (1.13) следует, что изобарная теплоёмкость ср
больше изохорной cv на величину газовой постоянной R .
Если разделить левую и правую часть уравнения (1.13) на
cv, то получим
1 + R = Ср = k
(1.14)
cv
cv
и далее, преобразуя это выражение, можно написать
R = (k - 1) Сѵ.
(1.15)
Д л я совершенного газа выразим тем пературу из уравнения
М енделеева-Клапейрона
T = pv
R
и подставим его в полученное нами выражение д л я внутренней
энергии (1.10):
E = cvT = cR L .
R
1.1. Некоторые сведения из т ермодинамики
17
С помощью (1.15) получим
В = ^
.
(1-16)
Мы получили выражение д л я внутренней энергии единицы мас­
сы совершенного газа.
Поскольку v = 1/р, то
Е = Р (k — 1) ,
д л я единицы объёма
Е =
^
р
.
(1.17)
и. нц
Энтальпия. Если в правой части уравнения первого начала
термодинамики (1.2)
dQ = d E + pdv
прибавить и вычесть vdp, то, после простейшего преобразования, получим:
dQ = d E + d(pv) — vdp,
или
dQ = d ( E + pv) — vdp.
Обозначив
E + pv = h,
(1.19)
dQ = dh — vdp.
(1.20a)
окончательно запишем:
Д л я адиабатического процесса (без обмена с окружаю щ ей сре­
дой) dQ = 0 и
dh = dp/p.
(1.20b)
Величина h , определяемая выражением (1.19), зависит только
от состояния газа (среды) и не зависит от характера процесса,
в нём протекающего. Значит, она, подобно внутренней энер­
гии, является функцией состояния газа (среды). Эта величина
называется удельной энтальпией или теплосодержанием. Она
измеряется количеством теплоты, которое необходимо сообщить
единице массы газа (среды) при постоянном давлении, чтобы
тем пература его повысилась от Ti до T2.
Применим выражение dQ = dh — vdp к изобарному процессу
(p = const, dp = 0), получим
dQ = dh.
(1.21)
18
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Вместе с тем, д л я этого процесса, согласно (1.12),
dQ = cpdT.
Следовательно,
dh = CpdT.
(1.22)
h — ho = Cp ( T — T o).
(1.23)
Если cp = const, то
1.1.4.
В т о р о е н а ч а л о т е р м о д и н а м и к и . Первое начало
термодинамики говорит об изменении видов энергии, об их ко­
личественных соотношениях при переходе одного вида в другой,
устанавливает постоянство энергии изолированной системы. Но
этот закон не указы вает направление преобразования энергии
и не устанавливает условий, необходимых д л я осуществления
того или иного процесса. К а к показывает опыт, переход тепла
от более нагретого тела к менее нагретому осуществляется сам
собою при отсутствии внешнего вмешательства, обратный про­
цесс сам собою не осуществляется.
Это утверждение и является одним из определений второго
начала термодинамики.
Энтропия. Введём понятие энтропии. Многочисленные ис2
следования показывают, что интеграл J d Q / T не зависит от
1
характера процесса, а определяется состояниями тела в точке 1
и в точке 2. Таким образом, этот интеграл является функцией
состояния тела, а, следовательно, d Q / T является полным д и ф ­
ференциалом некоторой функции состояния тела, называемой
2
энтропией и вычисляемой по формуле S = J d Q / T = Si — S 2 ,
1
здесь S i — энтропия начального состояния тела, S 2 — энтропия
конечного состояния тела.
Запишем изменение энтропии д л я бесконечно малого процес­
са.
dS = -Q .
(1.24)
Изменение теплоты в системе, как известно, склады вается из
притока теплоты извне и тепловых потерь в самой системе, то
есть dQ — dQвнеш + dQ noTepb.
Тогда изменение энтропии можно вы разить следующим об­
разом.
dS
dQвнеш + dQ noTepb
(1 25)
1.1. Некоторые сведения из т ермодинамики
19
Пусть наш а система полностью изолирована от внешнего
мира, то есть dQBHein = 0. Тепловые потери, как показывает
опыт, всегда больше нуля, то есть dQnOTepb > 0, и тогда д л я
изолированной системы мы можем записать
(1.26)
Таким образом, в теплоизолированной системе энтропия не
может уменьшаться.
К а к видно из последнего неравенства, существуют два вида
процессов в теплоизолированной системе:
1) dS > 0 — энтропия возрастает в результате процесса. Т а­
кой процесс называется неизоэнтропическим и необрати­
мым.
2) dS = 0, то есть S = const — энтропия не изменяется (оста­
ется постоянной). Такой процесс называется изоэнтропическим и обратимым.
Можно показать, что чем больше скачок энтропии в резуль­
тате процесса, тем необратимость процесса больше. Таким обра­
зом, энтропия является мерой необратимости данного процесса
(так как изменение энтропии в изолированной системе связано
с внутренним трением).
Н а основе статистической термодинамики Больцман вывел
формулу д л я теплоизолированной системы:
S = fe ln W ,
(1.27)
где S — энтропия системы, kБ — постоянная, W — вероят­
ность равновесного состояния системы. Согласно этой формуле,
в замкнутой системе возрастание энтропии связано с переходом
системы от менее вероятного состояния (неравновесного, когда
тем пература в разны х точках системы различна) к более веро­
ятному состоянию (равновесному, когда тем пература одинакова
во всех точках изолированной системы).
Закон возрастания энтропии в изолированной системе я в л я ­
ется следствием обобщения данных опыта д л я конечных систем.
Очевидно, что энтропия является функцией давления и объ­
ёма S = S(p, v). Д л я совершенного газа эту связь легко найти
с помощью уравнения (1.11):
dQ = cv d T + pdv.
(1.28)
dQ = Tds,
(1.29)
С другой стороны:
где s — энтропия единицы массы среды.
20
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
П риравняем правые части последних двух уравнений и, раз­
делив обе части на T , получим д л я единицы массы:
(1.30)
Воспользуемся уравнением состояния совершенного газа и сде­
лаем следующее преобразование:
ds = cv
(1.31)
Д л я дальнейшего преобразования воспользуемся соотношением
(1.15)
(1.32)
R = (k — 1) cv,
и тогда получим следующее уравнение:
(1.33)
Проинтегрируем это выражение и получим
s = cv (ln T + ln v k-1) + C ,
(1.34)
где C — некоторая постоянная интегрирования.
Преобразовав это выражение, получим
s = cv ln T v k - i + C.
Используя уравнение pv = R T , запишем это уравнение в виде:
s = cv ln p v k + C ,
(1.35)
где C — новая постоянная интегрирования.
Если в каком-то данном процессе энтропия постоянна (S =
= const), тогда мы можем записать
p v k = const = A ( s i),
(1.36)
где i = 1 , 2 , 3 , . . . , то.
Итак, мы получили уравнение изоэнтропы, где k = cp/ c v =
= 1 + R / c v есть так называемый показатель изоэнтропы.
Заменив в уравнении изоэнтропы v на 1/р, получим изоэнтропу д л я Si = const в виде:
(1.37)
или p = A ip k, где каж дой энтропии si = const соответствует своё
уравнение Ai = const.
1.1. Некоторые сведения из т ермодинамики
21
Это соотношение называется уравнением Пуассона или изоэнтропой совершенного газа.
На
(p-p)-диаграмме
(см.
рис. 1.1) показано семейство
•Уі = const
изоэнтроп.
s 2 = const
Вдоль каж дой кривой на
S j = const
этой диаграм ме энтропия посто­
янна. Определим теперь связь
м еж ду давлением и температу­
рой вдоль изоэнтропы. Напишем
уравнение состояния газа для
Рис. 1.1
одной точки изоэнтропы, назо­
вём её нулевой (начальное состо­
яние газа):
po = PoR T o;
д л я какой-нибудь другой текущей точки той ж е самой изоэнтропы
p = pRT.
Теперь разделим второе уравнение на первое:
p = L L
po
Po T 0
(1.38)
Д л я начальной точки уравнение изоэнтропы Пуассона можно
записать в виде
po = A(so)pk ,
а д л я текущей точки — в виде
p = A(so)pk .
Из этих уравнений следует, что
p = ( JL
po
V Po,
(1.39)
Из полученного нами уравнения (1.38), p/po = p T /poTo, вы­
разим отношение
p/ p
p/po
Lp
(1.40)
T /T o
Po
и, подставив его в уравнение изоэнтропы (1.39), получим:
^ = (Tt/TTo¥ Y ' ■
po
(1*41)
22
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
После некоторого преобразования получим
( k - 1)/k
t
(1.42)
= To
и окончательно
p_
k /( k - 1)
(1.43)
po
Это уравнение и вы раж ает связь м еж ду давлением и темпера­
турой вдоль изоэнтропы.
1.1.5.
У р а в н е н и е с о с т о я н и я в е щ е с т в а . Уравнением со­
стояния вещества (среды) называю т соотношение, связывающее
какие-либо три из термодинамических параметров среды: p —
давление, v — удельный объём, T — температуру, S — энтропию,
E — внутреннюю энергию и др.
Общий вид термодинамического уравнения состояния:
p = p(v, T );
p = p(E, v);
p = p ( S , v)
и т. д.
Уравнение состояния, связывающее p , v , S , или p , S , T , при
постоянном S , называется уравнением изоэнтропы.
Из теории твёрдого тела известно, что уравнение состояния
любой твёрдой среды может быть представлено в виде
p = Fi(v) + F 2 (v ) T + F 3 ( v ) T 2.
(1.44)
Вид функций Fi (v), F 2(v), F$(v) определяется с помощью экс­
периментальных данных.
Третье слагаемое в правой части этого уравнения состояния
необходимо использовать д л я сред при давлении более 1 мил­
лиона атмосфер. Поэтому в диапазоне давлений до 1 млн. атм.
уравнение состояния с достаточной точностью может иметь вид
p = Fi(v) + F 2 (v)T.
(1.45)
В общем случае можно рассматривать уравнение состояния
в виде
p = px ( v ) + p r ( v , T ) + p e ( v , T ).
(1.46)
Здесь px (v) — давление холодного (упругого) сж атия, зависит
только от удельного объёма (или плотности вещества) и равно
полному давлению при абсолютном нуле температуры. Слага­
емое p = px (v) является нулевой изотермой вещества. Зависи­
мость p = p t (v, T ) — тепловая составляю щ ая давления, она за ­
висит от интенсивности теплового д виж ения молекул, pe(v, T ) —
электронная часть давления, возникаю щая при тепловом воз­
буждении электронов и зам етная при тем пературах выше 104 К.
1.1. Некоторые сведения из т ермодинамики
23
Д л я совершенного газа уравнением состояния является урав­
нением М енделеева-К лапейрона д л я единицы массы:
p = — .
v
(1.47)
Уравнение М енделеева-К лапейрона не учиты вает взаимодей­
ствие м еж ду молекулами и собственного объёма частиц газа.
Д л я реального газа широко используется уравнение:
( р +—v2
2) (v — а) — R T .
(1.48)
Здесь а и а являю тся постоянными д л я данного газа вели­
чинами, учитывающими: первая — силы взаимодействия, а вто­
рая — размер молекул.
Член a / v 2 характеризует так называемое внутреннее дав­
ление, обусловленное силами притяж ения м еж ду молекулами,
а вся первая скобка (в левой части уравнения) д ает полное
давление газа, равное сумме внешнего p и внутреннего a / v 2
давлений.
В торая скобка представляет объём пространства за вычетом
объёма а , называемого коволюмом и равного, как доказывается
в кинетической теории газов, учётверенному объёму собственно
молекул.
По аналогии с уравнением д л я давления,
p = Px (v ) + P t (v, T ) + P e ( v , T ),
(1.49)
запишем уравнение и д л я внутренней энергии:
E = E x + E t + E e,
(1.50)
где E x —так ж е как и рх является “холодной” составляющей
внутренней энергии тела, E t — тепловая составляю щ ая энергии,
зависящ ая от интенсивности теплового движ ения молекул, Ee —
электронная составляю щ ая энергии.
Установим связь м еж ду E x и px (v), E t и рт(v, T ), а такж е
pe(v) и E e. Д л я этого воспользуемся первым началом термоди­
намики (1.2) и (1.29):
T d s = d E + pdv.
При абсолютном нуле градусов (T = 0) это уравнение примет
вид
d E x + pxdv = 0.
(1.51)
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
24
Отсюда сразу ж е получаем связь м еж ду E x и px, то есть
_ dEx
Px = —d T .
Из теории твёрдого тела известно, что
(L52)
Et
PT =
,(1.53)
где y = y (v ) — коэф фициент Грюнайзена.
Электронные составляющие давления pe и энергии E e свя­
заны уравнениями:
pe = 1 E ,
e
2 v
Ee = T 22 (± ) 1/2 ,
e
2 vo
(1.54)
где во — коэф фициент электронной теплоёмкости при нормаль­
ном объёме.
Тогда уравнение состояния (1.49) запишется в следующем
виде:
dEx
ET
1E e
(1 55)
(1.55)
P = — Т ~ + Y ----+ о — .
dv
v
2 v
Д л я того чтобы найти зависимость
E t = E t ( T ),
(1.56)
воспользуемся следующим выражением д л я изохорной теплоём­
кости (1.7):
_ (dE \
-Et
(1 57)
Cv
Vd T ) v
dT .
( . )
Если считать, что cv = const, то получим
E T — E 0 = Cv (T — T0) .
(1.58)
Выразим из этого уравнения E t и подставим в уравнение состо­
яния:
- Ex E t
1 Ee
rT~ + Y—
о v .
dv
v + 2
После подстановки получим уравнение состояния
P=
p = px +
y
0 oT 2
[Eo + cv( T — To)] + 4 ,----- .
v
4^/ v v o
(1.59)
(1.60)
Очевидно, что д л я того, чтобы воспользоваться этим уравне­
нием, мы д олж ны знать зависимость E x = E x(v) или px = px (v),
(см. 1.53) а такж е коэф фициент Грюнайзена y = Y(v).
Существует зависимость д л я совершенного газа м еж ду к и Y.
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
25
Д л я совершенного газа существует соотношение (1.17):
E =
p
P(k - 1)
Уравнение состояния д л я совершенного газа p = p R T .
Сравнивая это уравнение с уравнением p = px + p t , очевид­
но, что д л я совершенного газа px = 0, тогда
E
=
pt
T P(k - 1).
Отсюда получаем p = p t = (k — 1) E t / v, и поэтому значение
коэф фициента Грюнайзена j = (k — 1) д л я совершенного газа.
1.2. Дифференциальные уравнения движения
сплошной среды
Основные уравнения движ ения сплошной среды выводятся
из общих законов классической механики и термодинамики, из
уравнений, описывающих физические свойства и кинематиче­
ские соотношения д л я данной среды.
1.2.1.
Л а г р а н ж е в ы и э й л е р о в ы к о о р д и н а т ы . При опи­
сании движ ения среды в координатах Л агр ан ж а за независимые
переменные принимаются переменные xo, Уо, z 0 , t, называемые
переменными Л агранж а, и считается, что движение системы
будет известно, если известны три функции,
x = gi(xo, yo, zo, t);
y = g 2 (xo, yo, zo, t);
z = g3(xo, yo, zo, t),
(1.61)
вы раж аю щ ие в каж ды й момент времени t координаты x , y , z
той частицы системы M , находящейся в движении, которая
в начальный момент времени t = t o заним ала положение
Mo(xo, yo, zo). Следовательно, в некоторой задаче об определе­
нии движ ения искомыми величинами будут функции gi, g2, g3.
Очевидно, что эти функции устанавливаю т д л я всех взаимно
однозначное соответствие м еж ду M o и M . Следовательно, су­
ществует единственное решение этой системы уравнений, опре­
деляю щее xo, yo, zo как функции от x, y, z, t:
x o = h 1(x, y, z, t);
yo = h 2 (x, y, z, t);
zo = h 3 (x, y, z, t).
(1.62)
26
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Способ Л агр ан ж а описания движ ения позволяет проследить
за движением некоторой частицы, достаточно принять xo, yo, zo
постоянными. Исходные уравнения в этом случае определяют
траектории различны х точек системы. Компоненты скорости щ
и ускорения ai вы раж аю тся частными производными по време­
ни от функций Qi'.
Ux _
Uy
Uz
<9gi(xo, Уо, zo, t)
dt
’
dg 2 (xo, yo, zo, t)
dt
’
dg3(xo, yo, zo, t)
dt
’
_ d 2gi(xo, yo, zo, t)
ax _
dt2
_ d 2g2(xo, yo, zo, t)
ay
dt2
d 2g3(xo, yo, zo, t)
az _
dt2
(1.63)
'
Несмотря на свою простоту, способ Л агр ан ж а описания дви­
ж ения не всегда бывает удобным д л я изучения задач механики
сплошной среды. Например, часто встречаются случаи, когда
силы, действующие на систему, имеют вы ражения, непосред­
ственно зависящие от положения системы в момент времени t .
В этом случае нецелесообразно использовать в качестве незави­
симых переменных начальные координаты xo, yo, zo. Тогда поль­
зуются способом описания движ ения Эйлера.
В способе Эйлера за независимые переменные принимаются
координаты x, y, z точки M в момент времени t. Рассматривает­
ся кинематическое состояние вещества, определяемое ф ун кц и я­
ми
Ux _ Ux(x, y, z, t);
Uy _ Uy(x, y, z, t);
Uz _ Uz (x, y, z, t),
(1.64)
представляющими собой в каж ды й момент времени t и в к а ж ­
дой точке пространства M (x , y , z ) проекции вектора скорости
u ( M , t).
Переменные x, y, z, t называю тся переменными Эйлера.
Очевидно, что если известно лагранж ево описание движ е­
ния, то нетрудно перейти к эйлерову способу описания движ е­
ния.
1.2.2.
У равн ен и я д ви ж ен и я сж им аем ой твёрдой сре­
д ы . Во многих случаях при ударном и взрывном нагружении
твёрдых тел, например, при метании массивных оболочек про­
дуктам и детонации, при соударении твёрдых тел, при отраж е­
нии ударных волн от свободной границы, при проникании тел
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
27
в прочные преграды, необходимо учиты вать как прочность, так
и сжимаемость твёрдой среды.
В каждой точке сжимаемой твёрдой среды напряжённое со­
стояние характеризуется симметричным тензором напряжений
ay
ax Txy Txz
(1.65)
Tyx
Tyz
Tzx Tzy ay
где aT^ ay , az
нормальные, Txy -- Tyx; Txz -- Tzx; Tyz -- Tzy
ка­
сательные напряж ения на площадках, перпендикулярных к ко­
ординатным осям x, y, z.
В каж дой точке такой среды существуют три взаимно пер­
пендикулярные площадки, на которых касательные напряж ения
равны нулю. Направления нормалей к этим площ адкам образу­
ют главные оси тензора напряжений, не зависящие от исходной
системы координат x , y , z .
Н ормальные напряж ения a i, a 2, аз, которые действуют на
этих площадках, называю тся главными нормальными напряж е­
ниями.
В общем случае, при воздействии сил на твёрдое тело про­
исходит как изменение ф орм ы тела, так и изменение объёма
(плотности) тела. При деформировании тела можно выделить
те компоненты напряжений и деформаций, которые связаны
с изменением объёма (плотности) и те, которые ответственны за
изменение ф орм ы тела.
В связи с этим можно представить тензор напряжений в виде
двух составляющих:
Тн - т 0 + D h
(1.66)
тн -
шаровой тензор, соответствующий среднему давлению
т00
в точке;
0
0
-p
То _ 0 -p
0
(1.67)
0
0 -p
где p представляет собой среднее нормальное напряжение:
ax + ay + az
(1.68)
p _ -----------з-------- _ ” acД евиатор напряжений, характеризующ ий касательные на­
пряж ения в данной точке
Dh -
ax + Р
xy
Txz
ay + p
xy
Tyz
Txz
yz
az + p
(1.69)
28
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Д л я главных направлений компоненты девиатора напряжений
обозначим следующим образом:
51 = аі + p;
5 2 = 02 + p;
5 3 = 03 + p.
(1.70)
S i + S 2 + S3 = 0.
(1.71)
С учётом (1.68) получим:
Если известны главные напряж ения 01, 02, 03 , то интенсив­
ность напряжений, характеризую щ ая сопротивление частицы
изменению её ф ормы , равна
Oi = ^-2 \ j ( 01 - СТ2)2 + ( 02 - 03)2 + ( 03 - a i ) 2 .
(1.72)
Если подставить сюда уравнения (1.70), то получим:
(1.73)
0i
Если компоненты девиатора напряжений равны нулю, то
в этом случае напряж ения по всем направлениям равны, и дви­
жение такой среды описывается газодинамическими уравнени­
ями.
В общем случае напряжённого состояния в каж дой точке
твёрдого тела действует девять неизвестных напряжений, пере­
менных как по координатам, так и по времени.
Д еф орм ация среды в каж дой точке характеризуется симмет­
ричным тензором деформаций ТД:
Т
Тд=~
£xx £xy £xz
£yx £yy £yz
£zx £zy £zz
(1.74)
где £xx, eyy, ezz деформации соответственно в направлении осей
x, y, z. £xy = £yx\ £yz = £zy'; £xz = £zx — деформации сдвига.
В главных осях тензор деформаций определяется тремя
главными деформ ациями £i , £2, £3:
Т
Тд=~
£i 0 0
0 £2 0
0 0 £3
(1.75)
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
29
Компоненты девиатора деформаций, характеризую щ ие из­
менение ф орм ы элементов среды, определяются следующим об­
разом:
Yxx __ £xx _ Пз ;
Ъ
у
_
_ п
_ £yy
з;
(1.76)
_ £zz _ пз . )
Yzz —
где п _ £i + £2 + £з (см. 1.79).
Если рассматриваю тся конечные деформации, которые соиз­
меримы с единицей, то они через проекции вектора перемещения
Ux , Uy , Uz определяются с помощью формул
_ U
+ 1 ( ( U у 2+ ( U у 2 + ( а и , у2'
дх
2 \Д дх )
\ ду )
\ dz
_ 1 / OUx
£xy
2
■”
Если £ij
9Uy\ 1 ( U U
U U
у ду + д х ) + 2 у д х ду + д х ду
U U
+ д х ду J ’
(1.77)
^ 1, где i _ х, у, z и j _ х, у, z, то
£
£xx —
д(
OUx .
. £yy —
1 ( 0 Ux
£xy _ — ( —-----+
2 ( ду
£
ду
dUy
.
дх
dUy
£zz —
£OUz .
.
dz
(1.78)
_ 1(U
+
U
£zy 2 ( d z
ду У ’
1 ( dUx
dUz
£xz _ “2 \I —-----+
dz
дх
Д л я главных деформаций £i, £2, £3, когда деформации велики,
в некоторых случаях используются конечные логарифмические
деформации.
Величина конечной логарифмической деформации некото­
рого элемента тела в некотором направлении определяется как
30
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
сумма последовательных малых деформаций:
lo+ДІ
dl
е-
-
1 І0 + A l
- n —
1 l
-X nю■
где і0 — исходная длина; l - і 0 + A l — длина после деформ иро­
вания в выбранном направлении.
Если деформации малы, то
l0 + A l
е -ln —
(
Al \
Al
- Ы {1 + h ) " V
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, с длиной сто­
рон до деформации і0і, і02, і03 и после деформации li, і2, і3.
Сумма главных деформаций равна:
, l 1 . , l2 . I l3
,
l1l2l3 , v
1^7----- + l n - ---+ln —
- ln -—-—— - l n — .
l01
l02
l03
l01l02l03v0
Если v - 1/p; V0 - 1/p0 — удельные объёмы, то
ei + е2 + е3 - ln Ѵ - ln — - п.
v0
p
(1.79)
Если деформации малы, то
1 Л , V - ѴЛ
V - V0
еі + е2 + е3 - ln 1 +-----------w ------------ A.
V
Ѵ0 )
Ѵ0
Интенсивность деформаций, вы раж енная через главные д еф ор­
мации, равна
еі - —3 ^ \ 1 (е1 - е 2)2 + (е2 - е3)2 + (е3 - е і )2
Рассмотрим составление уравнений движ ения прочной сж им ае­
мой среды. Д л я этого необходимо использовать законы сохране­
ния импульса, массы и энергии, физические и кинематические
соотношения.
Д л я составления уравнений движ ения выделим из объё­
ма деформированного тела частицу в ф орме параллелепипе­
д а с ребрами, параллельными координатным осям x, y, z (см.
рис.1.2), где представлена система сил, которая дает проекции
на ось 0x.
Очевидно, что произведение массы этой частицы pdxdydz на
ускорение долж но быть равно равнодействующей сил, действу-
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
31
.а*,*
о х
ющих на эту частицу. В проекциях, например, на ось 0х получим
уравнение
pdxdydz-
dux
dt
dx
dy
dz
Массовые силы (силы тяж ести, центробежные силы
дем считать равными нулю. Аналогично получаем
движ ения вдоль оси 0y и 0z. Если в этих уравнениях
все члены на объём частицы dxdydz, а компоненты
напряжений обозначить S i j , где
SН]
ij — @
V ijj +
-г pSi j ,
1
—1 0
„Sij
j —
—j )
— j)
и т. п.) бу­
уравнение
разделить
девиатора
(1.80)
то уравнения движ ения могут быть записаны в виде
dp
d S xx
dS-xy
dSx
+
+
+
dx
dx
dy
dz
dp
d S ,yx
OS,yz
d S yy
+
+
+
(1.81)
Р dt
dx
dz
dy
dy
duz
dp
dSzz
yz
dSzx
+
+
+
dz
dz
dx
dy
где u x , u y , u z — проекции вектора скорости u на оси координат.
Если компоненты девиатора напряжений равны нулю, то
получим уравнения Эйлера д л я идеальной жидкости.
В трёх уравнениях (1.81) содержится одиннадцать неизвест­
ны х. p, p, u x , u y , u z , S x:x:i Syy, S xy, S yz, S zzi S xz.
Ч етвёрты м уравнением является уравнение сохранения мас­
сы, которое не зависит от ф изических свойств среды, и поэтому
это уравнение имеет такой ж е вид, как д л я идеальной жидкости.
x t uy
d
dux
z t
П3
32
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Масса элемента равна p d x d y d z . Неизменность массы по
времени определяется законом сохранения массы, то есть
d ( p d x d y d z ) / d t = 0. У читы вая, что d x / d t = u x , d y / d t = u y,
d z / d t = u z , можно уравнение d ( p d x d y d z ) / d t = 0 преобразовать
к виду
д Р , d ( pu x ) , d ( pu y) , d ( pu z )
0
(1 02)
d t + ~~3x~ + ^ T
+
= 0
(1.02)
Перепишем это уравнение в виде
1 dp i -----д u1xд i-u-----y
y
д i-u-----£
z
----L
= 0
p dt
dx
dy
dz
’
или с помощью (1.79) можно записать
_d/q = d ln p = 1 dp = _ f dux + duy + д п Л
dt
dt
p dt
\ dx
dy
dz ) '
( _ 03)
'
Это выражение представляет собой скорость относительного из­
менения плотности, где
П = ln — = ln (1 + А) = ln f 1 + — — 1^ .
p
p
(1.04)
Если изменение плотности мало, то А = (po — p )/p ^ 1 и
П = ln (1 + А) w А.
(1.05)
К уравнениям (1.01) и (1.02) необходимо добавить уравнения,
которые бы учитывали как соответствующие термодинамиче­
ские эф ф екты , связанные с адиабатическим сжатием среды, так
и прочность среды.
В теории пластичности, определяющей пространственное де­
формирование твёрдых тел, наибольшее распространение в на­
стоящее время получили теория упругопластических деф орм а­
ций и теория пластических течений.
Наиболее полно разработана теория малы х упругопластиче­
ских деформаций при простом нагружении, когда все внешние
силы изменяются пропорционально общему параметру. В тео­
рии упругопластических деформаций используются уравнения,
связывающие напряж ения и деформации.
Д л я изучения процессов, связанных со значительными пла­
стическими деформ ациями (например, при пластической обра­
ботке металлов) используются конечные деформации и теория
пластического течения, в основу которой положена связь меж ду
напряжениями и скоростями деформаций.
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
33
Эта теория рассматривает пластическую деформацию твёр­
дого тела как состояние движения. Непосредственный опыт,
при пластической обработке металлов, когда малы деформации
изменения объёма, показывает, что главные оси тензора напря­
жений совпадают с главными осями тензора скорости д еф ор­
маций. При этом направление действия алгебраически наиболь­
шего главного напряж ения совпадает с направлением наибо­
лее быстрого удлинения частицы, направление алгебраически
наименьшего главного напряж ения совпадает с направлением
наиболее быстрого укорочения, а разности главных напряжений
пропорциональны соответствующим разностям главных компо­
нентов скорости деформаций.
При малы х деф орм ациях и простом нагружении уравнения
теории малы х упругопластических деформаций и теории пла­
стического течения тождественны.
В процессе пластического деформ ирования больш ая часть
(около 90%) работы деформации переходит необратимо в теп­
ло, и напряж ения в конечном состоянии зависят от пути де­
формирования. Поэтому уравнения, связывающие напряж ения
и приращ ения пластических деформаций, являю тся ди ф ф ерен ­
циальными и, вообще говоря, неинтегрируемыми зависимостя­
ми. Уравнения теории пластического течения устанавливают
связь м еж ду бесконечно малыми приращениями деформаций
и напряжений, и некоторыми параметрами пластического тече­
ния:
dn
d S ■■
dei 3 - f d i i - - Ц + Sij d\ ',
(1.86)
где е ^ — компоненты тензора деформаций, Sij — компоненты
девиатора напряжений, d \ ' — некоторый бесконечно малый ска­
лярны й множитель.
Если d \ ' - 0, то получим уравнения Гука в диф ф еренциаль­
ной форме.
Уравнения (1.86) справедливы д л я определённой частицы
среды и обобщают эксперименты по сложному нагружению при
медленном (статическом) нагружении. Они указы ваю т на про­
порциональность приращений составляющих пластической де­
ф ормации и напряжений.
Если уравнение (1.86) разделить на диф ф еренциал времени,
то получим
deij
1 - п^
1 dS ij
' Г1п% - ^ Ч 1 + Sij Л,
(1.87)
dt
3 dt ij 2ц dt ' S ij л
где Л - d \ ' / d t .
2 Л. П. Орленко
34
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Следует отметить, что д л я динамических задач, связанных
с кратковременными интенсивными нагрузками, деформации,
как объёмные, так и сдвиговые, могут быть произвольными по
величине и ограниченными только предельными деф орм аци я­
ми, определяющими разрушение твёрдых тел. В этом случае
процесс деформ ирования носит сложный волновой характер:
возникают зоны разгрузки при отражении волн напряжений от
свободных поверхностей или, наоборот, зоны вторичной нагруз­
ки при отражении волн напряжений от границ более жёстких
сред. При динамических нагрузках связь м еж ду объёмными
деформ ациями и средним напряжением существенно нелинейна,
а вследствие ударного сж атия среды плотность после разгрузки
не равна начальной плотности. Д л я рассматриваемого случая
нуж даю тся в доказательстве основные постулаты теории пла­
стического течения: изотропность среды, пропорциональность
девиатора напряжений и девиатора приращений пластической
деформации.
Компоненты тензора скоростей деформаций обозначим как
ei j =
de j
dt
(1.88)
Компоненты тензора скорости деформаций определяю тся через
производные от проекций вектора скорости по координатам:
exx --
dux
dx
exy --
dux
1 / duy
+
2 V dx
ду
duy
"УУ
duy
dz
ду
duz
dz
eyz _
1 / duy + d u 2
2 I dz
ду
П равые части уравнений (1.88) и (1.89) можно приравнять
д л я конечных деформаций при условии, что движение среды
изучается в лагранж евой системе координат. Если ж е движение
изучается в эйлеровой системе координат, то нельзя в уравне­
ниях (1.87) величины d eij/dt заменять с помощью уравнений
(1.89).
Если движение среды изучается в эйлеровых координатах,
то только в случае малых деформаций можно в уравнениях
(1.87) заменить скорости деформаций на производные от ком­
понентов скорости по координатам по уравнениям (1.89).
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
35
В случае малой деформации производные по координате от
деформаций и скоростей обычно можно считать малыми.
Например, с учётом (1.78) можно написать, что
exx --
dexx
dt
dexx
dt
д ( dUx \ д ( dUx \
dt V d x J
d x \ dt J
dux
dx
Интенсивность напряжений Oi и интенсивность скорости д еф ор­
маций ei через компоненты Sij и e j определяются следующими
уравнениями:
Oi
2 Х
х у / (Sxx- S y y ) 2 + ( S y y - S zz) 2 + (Szz- S xx) 2 +6 ( S X y + S X z + S I ) 2 ;
(1.90)
e
V2
x
3
X \ j (exx
eyy)
+ (eyy ezz)
+ (ezz exx)
+ 6 (exy+ex
(1.91)
Согласно первому началу термодинамики, д л я адиабатиче­
ского процесса д л я единицы массы в единицу времени можно
записать уравнение
-^ _ Р - ^ _ - а 1 - 0
(192)
dt
(1.92)
p 2 dt 2
dt
0
где
d A c _ 1(
77 - _
dt
p
s
dexx .
I S xx
dt
s
deyy I s dezz .
77
+ S yy 77
dt
dt
+ S zz
77
+
. 2S dexy . 2 s dexz . 2S deyz
+ 2Sxy dt +
xz dt +
yz dt
Если необходимо определить тем пературу среды, то необхо­
димо уравнение состояния
p - p(p, T ) .
2*
( 1. 93 )
36
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Уравнение состояния, соответствующее уравнению (1.92),
долж но иметь вид
p — p(p, E).
(1.94)
В общем случае величина Ui, характеризую щ ая сопротивление
сдвигу, зависит от интенсивности деформаций ei, от интенсив­
ности скорости деформаций ei, от среднего давления p , от тем­
пературы T , от ф азовы х превращений и т. п.:
Ui _ F(ei, ei, p, T ).
(1.95)
Ч астный вид этой функции F в ряде случаев может быть опре­
делён при простейших напряж ённых состояниях, например, при
растяжении цилиндрических образцов.
В настоящее время вид ф ункции F в широком диапазоне
изменения параметров изучен мало, особенно слабо изучено вза­
имное влияние различны х параметров на прочность. Поэтому,
при постановке динамических задач, связанных с пластическим
течением, неизбежны упрощения при задании конкретного вида
Ui _ F(ei, ei, p, T ).
Интенсивное динамическое деформирование протекает при
высоких скоростях деформации (скорости деформации, как пра­
вило, более 1001/с), что д л я некоторых материалов может су­
щественно изменять механические характеристики. Посколь­
ку при динамическом деформировании существенно меняет­
ся плотность тела, то на механические характеристики влияет
среднее давление, которое по величине может достигать сотен
ты сяч атм осфер (при ещё более высоких давлениях влиянием
прочности можно пренебречь).
При динамическом деформировании твёрдых тел, темпера­
тура повышается за счёт ударного сж атия и необратимых пла­
стических деформаций, но этот нагрев не слишком велик д ля
не очень больших давлений ударного сж атия, поэтому влияние
тем пературы на прочность становится существенным д л я таких
материалов, например, как медь и сталь д л я давлений свыше
нескольких сотен ты сяч атмосфер.
Интенсивность напряжений Ui при пластическом деф орм и­
ровании твёрдых тел д л я многих материалов увеличивается
с увеличением деформации, т. е. имеет место упрочнение.
С учётом сделанных выше замечаний, полную систему урав­
нений, описывающих пространственное адиабатическое движ е­
ние твёрдой сжимаемой среды с деформационным упрочнением
в области нагружения, в координатах Эйлера можно записать
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
37
в следующем виде
1.
2.
3.
dux
dt
duy
dt
duz
dt
dp
_dp
dy
_dp
dz
dSx
+
dx
+ d S syy
+
dy
+ dSzz +
dz
d S x.y
+
dy
yx
+
dx
dSzx
+
dx
dSx
dz
yz
dz
d S zy
1
р
1.
р
1
11.
dy J р
dp + d (pu x) + d ( Pu y) + d (Pu z ) = 0,
dt +
dx
+ dy
+ dz
’
1 dSXX t —Q _ d u x ! 1 dp .
+ J S xx — т ;
г - гг.
2ц dt
dx
3p dt
1 dSyy
1 dp
+
+ Лч
J S yy —
— du y
2ц, dt
dy + 3p dt ’
1 dSzz , T c _ d u z , 1 dP .
+ J S zz — 0 + 0 j, .
2ц dt
dz 3p dt
1 dSxy
1 / duy
dux
+
+ J S xy -2ц dt
2 V dx
dy
1 dSxz
dux
1 Vd u z
+
+ J S xz
„
2ц dt
2 V dx
dz
1 dSyz
1 ( duy
duz
+
+ J S yz — —
2ц dt
’yz 2 \ d z
dy
dE
1
p
12.
p — p (p, E).
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
dt
P2
p
+ 2 S xyexy + 2 S xzexz + 2 S yzeyz)
(1.96)
°>
В уравнении 11 системы (1.96) величина eij определяется урав­
нениями (1.89).
В уравнениях 5-10 системы (1.96) величина Л считается рав­
ной
3 dAp
dAp
Л—
ё
dt
2 а 2 dt
где
1
при
0
при
ё —
dAp
dt
dAp
dt
< 0.
38
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Д л я идеальнопластичного м атериала Oi - от (предел текуче­
сти). Величина A p — работа пластической деформации e j ;
dAp - Oij dePj. Компоненты тензора напряжений Oj определя­
ются через компоненты девиатора напряжений S ij и среднее
давление p (см. (1.80)), а deP - deij — deyj, где deyj — упругая
деформация,
(i - j)
(i - j) .
Д венадцать уравнений (1.96) содержат двенадцать неизвест­
ных: p, u x, u y, u z, p, шесть компонент S i j , E .
Если пренебречь прочностью твёрдого тела, то уравнения
(1.96) превращ аются в уравнения, описывающие адиабатическое
движение идеальной среды. Если ж е плотность твёрдого тела
считать постоянной, то в этом случае из уравнений (1.96) м ож ­
но получить уравнения, определяющие движение несжимаемого
пластического вещества.
Система уравнений (1.96) описывает движение прочной сж и­
маемой среды при нагружении, когда Л > 0. После нагруж е­
ния в области пластичности наступает процесс разгрузки сре­
ды. Закон разгрузки реальных пластичных материалов имеет
нелинейный характер, причём его упругие свойства зависят от
истории процесса нагружения. Такой закон разгрузки должен
определяться из опыта. В первом приближении при разгрузке
связь м еж ду компонентами напряжений и компонентами д еф ор­
маций подчиняется закону Гука. После диф ф еренцирования по
времени закона Гука получим:
J x - 2^ exx + Лп);
(7y - 2^(tyy + Лп);
Txy — 2 ^ e xy;
Tyz - 2^ eyz;
&z - 2 ^ z z + ЛП);
Tzx — ^ ^ z x i
(1.97)
или <rij - 2 ^ e yy + Лп5у.
— p . Если деформации малы,
Величина п - ln — — 1 и п p dt
p
то, согласно (1.85), п ~ Л - po/p — 1.
К оэф ф ициенты Л ям е ц и Л в общем случае зависят от усло­
вий разгрузки (p, ei, ei, T ).
Используя уравнения (1.80) в области разгрузки, получим:
( 1. 98)
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
39
В области упругости
p — —K n ,
(1.99)
2
где K — Л +— ц — модуль объёмного сж атия. Используя урав­
нения (1.97)—р1.99), получим.
(1.100)
или Sij — 2ц, (eij — nSij/3 ).
Эти уравнения следуют из уравнений 5-10 системы (1.96)
при Л — 0.
Если интенсивность напряжений в области пластичности Оі
можно д л я данного м атериала считать постоянной величиной,
т. е. Оі — const, то в системе уравнений (1.96) величина Оі я в л я ­
ется известной.
В более общем случае величина Оі может зависеть от д еф ор­
мационного упрочнения, быть функцией среднего напряж ения
&і — Pi(p), температуры и скорости деформации.
При распространении ударных волн во многих твёрдых те­
лах (Fe, Al, Cu и др.) при давлениях менее 0,5 млн. атмосфер
давление ударного сж атия p отличается от давления при “холод­
ном” сжатии px не более чем на 10%. При этом давление изо­
термического сж атия (при То — 300°К) или давление при изоэнтропическом процессе будут отличаться от давления в ударной
волне на ещё меньшую величину. И поэтому д л я ряда м атериа­
лов при не очень высоких давлениях можно приближённо счи­
тать изотерму, изоэнтропу и ударную адиабату совпадающими.
В этом случае вместо двух уравнений 11 и 12, содержащих
внутреннюю энергию E , в системе (1.96) можно принять закон
связи м еж ду средним давлением p и плотностью р в виде
p — p(p).
(1.101)
Если рассматривается двумерная или одномерная плоская зад а­
ча движ ения сжимаемой прочной среды, то надо в уравнениях
(1.96) положить все параметры, зависящие от z (для двумерной
задачи) или от z и y (для одномерной задачи), равными нулю.
40
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
В настоящее время получен ряд численных решений, одно­
мерных, осесимметричных и трёхмерных динамических задач
(метание короткой стальной оболочки зарядом ВВ, воздействие
цилиндрического зар яд а на металлическую плиту и др.) при
распространении волн напряжений в твёрдом теле.
Выше рассмотрены уравнения движ ения д л я материалов,
в которых отсутствую т фазовы е переходы при ударном сж а­
тии. При наличии ж е фазового перехода необходимо применять
д иф ф еренциальны е уравнения движ ения и сохранения массы
каж дой ф азы и всей смеси д л я двухф азной среды. Так, при
распространении волн в железе и малоуглеродистой стали имеет
место ф азовы й переход при давлении около 130 килобар. Расчё­
ты д л я плоских волн в этой среде, с учётом ф азовы х переходов
показываю т существенное влияние ф азовы х переходов и проч­
ности на характер движ ения и затухания ударных волн.
Уравнения движ ения твёрдой сжимаемой среды, которые
учиты ваю т как термодинамические эф ф екты , связанные с адиа­
батическим сжатием среды, так и силы прочностного сопро­
тивления, не имеют аналитического решения д аж е д л я случая
одномерного плоского движения.
В настоящее время возможно решение как одномерных, так
и двумерных, и трёхмерных задач, с учётом термодинамических
эф ф ектов и прочности среды, с помощью численных методов
и электронно-вычислительных машин (ЭВМ).
Многие реальные процессы, связанные с ударными и взры в­
ными нагрузками, относятся к классу осесимметричных задач.
Сюда, например, относится проникновение тел вращения с за ­
данной энергией в прочные сжимаемые среды. процесс обра­
зования кумулятивной струи и её проникание в разные среды,
метание осесимметричных оболочек любой ф орм ы продуктами
детонации, распространение волн напряж ения в плите и явление
откола при контактном взрыве осесимметричного заряд а ВВ,
штамповка взрывом осесимметричных деталей и другие. Все эти
задачи могут быть решены численно с помощью ЭВМ.
Многие физические и механические свойства различны х
сред, которые необходимы д л я решения осесимметричных за ­
дач, в настоящее время в значительной степени изучены: на ос­
нове известных (определённых опытным путем) ударных адиа­
бат можно вычислить уравнения состояния твёрдых тел, су­
ществуют способы определения уравнений состояния продуктов
детонации конденсированных ВВ. Имеются значительные иссле­
дования по изучению зависимости механических свойств твёр­
ды х тел от различны х скоростей деформации и температуры.
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
41
Во многих случаях известны зависимости прочности и пластич­
ности от гидростатического давления. Суммарное ж е влияние на
прочность и пластичность скорости деформации, температуры
и давления исследовано мало. Поэтому учёт прочности в дина­
мических задачах носит приближённый характер. Но этот, хотя
и приближённый, учёт прочности существенно приближает схе­
му расчёта динамических задач, связанных с твёрдыми телами,
к реальному явлению.
По мере уточнения динамических механических и ф изиче­
ских свойств разных сред, развития численных методов и быст­
родействия и объёма памяти ЭВМ, теоретические (численные)
методы расчёта будут все более точно отраж ать динамику ре­
альных процессов, связанных с ударом и взрывом.
В настоящее время эти расчёты дополняю т эксперименталь­
ные исследования этих процессов, а затем во многих случаях
станут основным методом исследования ударных и взрывных
процессов.
1.2.3.
У р а в н е н и я д в и ж е н и я и д е а л ь н о й с р е д ы . В иде­
альной среде отсутствую т прочность и внутреннее трение. В та­
кой среде отсутствую т девиатор напряжений, т. е. S ij = 0, а все
нормальные напряж ения являю тся главными и равны меж ду
собой.
(71 — 02 — 7 3.
Т ак как среднее давление в среде равно (1.68)
7 1 + 72 + 73
3
и все напряж ения равны м еж ду собой, то
p
p — —7c.
Д л я идеальной среды, если учесть, что Sij — 0, уравнения
Эйлера будут иметь, с учётом массовой силы F , следующий вид.
—х —1 I ;
(1.102)
u
—Y —1 dp;
dt
(1.103)
р dy
^
—Z —i dp,
dt
(1.104)
р dz
£
(Jj U
U
Kj Jb
где X , Y , Z — проекции вектора массовой силы на оси коорди­
нат. Т ак как компоненты скорости u x , u y , u z являю тся функци-
42
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
ями координат и времени, то полные производные этих компо­
нент скорости по времени вычисляю тся по формулам:
dux
d ux d ux
~dT — ~ m + ~ d x ux +
duy
d uy d u y
~ d t — ~ m + d x ux +
duz
d uz
duz
H t —~ m +
ux +
dux
d ux
uy +
uz;
duy
duy
ay" uy + Ж uz;
du z
duz
uy + Ж u z .
Уравнение неразрывности отраж ает закон сохранения массы
и поэтому д л я идеальной среды оно имеет тот ж е вид, что и д ля
прочной сжимаемой среды (1.82):
dp + d ( pu x ) + d ( Pu y) + d (Pu z ) — 0
dt
dx
dy
dz
'
(1 1 0 5 )
'
Закон сохранения энтропии (условие адиабатичности движения)
д л я идеальной среды записывается в форме
ds
Hi
ds ds
ds
ds
„
— m + f r ux + d i uy + a~zuz — 0
(1' 106)
или в виде (1.92) с учётом того, что отсутствует член, учиты ва­
ющий прочность.
Согласно первому закону термодинамики д л я адиабатиче­
ского процесса д л я единицы массы можно записать
dE
d (1/p)
,
It + p
^
—0
(L107)
Уравнение состояния определяется, соответственно, в виде
или
p — p (p , s ),
(1.108)
p — p( p , E ) .
(1.109)
Система шести уравнений содержит шесть неизвестных: u x,
u y, u z , p, p, E (или s), и она описывает движение любой инертной
идеальной среды.
Если движение среды изоэнтропическое, т. е. s — const, то
ее движение определяется уравнениями (1.102)-(1.105), а такж е
уравнением изоэнтропы p — p(p).
Рассмотрим движ ения д л я некоторых конкретных идеаль­
ных сред.
С о в е р ш е н н ы й г а з . Д л я совершенного газа уравнение со­
стояния имеет вид
p — pRT.
( 1. 110)
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
43
Ранее нами были получены вы раж ения д л я энтропии (1.35)
p
s - cv ln —г + const,
pk
(1.111)
и д л я внутренней энергии (1.17):
E -
Р ,
p(k — 1) ’
(1.112)
^
>
где k - Cp/Cv.
Д л я совершенного газа первые три уравнения (уравнения
Эйлера) остаются такими же, как и д л я любой идеальной среды,
так как они не зависят от термодинамических свойств среды:
dux
С
- X
1 9P •
- X —pdx;
(1113)
(1.113)
^
dt
- Y — 1дР;
p ду
(1.114)
^
- Z — i дР.
p dz
(1.115)
dt
Уравнение неразрывности такж е остается неизменным:
др + д (pu x ) + д (pu y) + д (pu z ) - 0
dt
дх
ду
c)z
'
(1 1 1 6 )
'
Условие адиабатичности движ ения записывается в виде
I - °.
(1117)
П родифференцируем уравнение (1.111) по t :
-s dt
d { p k / - 0.
vр
dt
Т ак как в этом уравнении
ок
Cv — - 0,
p
то
p
d \ ок
7 - 0.
dt
(1.119)
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
44
Следовательно, условие адиабатичности движ ения д л я совер­
шенного газа можно записать в развёрнутом виде.
Ій т. КЙ
—
7,
dt
-----
+
гл,
dt
\
гл
dx
ux
\
о,
dy
uy
‘
'
JJL
о
dz
uz
-------
0
.
(1.120)
Система пяти уравнений (1.113-1.115), (1.116) и (1.120) д л я со­
вершенного газа является замкнутой, так как в этом случае у
нас пять неизвестных. p, р, u x, u y, u z.
Если движение среды изоэнтропическое, т. е. происходит при
постоянной энтропии (s — const), то вместо уравнения (1.120),
используется уравнение изоэнтропы совершенного газа (1.37).
С л у ч а й н е с ж и м а е м о й ж и д к о с т и . В несжимаемой ж и д ­
кости плотность со временем и по координатам не меняется, то
есть р — const.
В этом случае уравнения Эйлера остаются без изменения,
так как плотность в этих уравнениях не дифференцируется.
dux — X
1 9p •
~ d f — X — -рдХ;
(1121)
(1.121)
(
(1.122)
dt
l
— Y — - дЕ;
р dy
^
— Z — 1 dE,
dt
р dz
(1.123)
Уравнение неразрывности, которое ранее записывалось в виде
dp + d(pux) + д (р % ) + д (рu z ) — 0
dt + d x
+ dy
+ dz
’
(1124)
( .
)
ввиду постоянства плотности (р = const), д л я несжимаемой
жидкости примет вид
dux
duy
duz
i duxx + i udyy + ~
dzu L — 0.
(1.125)
В этом случае четыре уравнения (1.121)-(1.123) и (1.125) содер­
ж а т четыре искомые функции u x , u y, u z , p.
1.2.4.
И н т е г р а л ы у р а в н е н и й Э й л е р а . Уравнения Эй­
лера в двух частных случаях движ ения идеальной ж идкости
могут быть проинтегрированы. а) если движение стационарное;
б) если движение потенциальное. Рассмотрим эти два случая.
А. С тационарное движ ение идеальной среды . И нте­
г р а л Б е р н у л л и . Рассмотрим уравнения Эйлера д л я идеаль­
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
45
ной среды: Умножим левые и правые части уравнений Эйлера
(1.121)—(1.123) соответственно на dx, dy, dz. Затем сложим их.
Вдоль линии тока
dx — u xdt,
dy — u y dt,
dz — u z dt.
(1.126)
Рассмотрим сумму левых частей уравнений Эйлера:
dux
duy
duz
—— dx Г— -г-dy Г— — dz — u xdux + u yduy + u z duz —
dt
dt
dt
2u xdux2 u yduy
2 u z duz
Г----- +
2
2
2
dux d ul
du 2
d
+ u? + u^)
du 2
— — £ Г---У Г------ £ —
------ y------^ — -----,
2
2
2
2
2
(1.127)
где u — абсолютная величина скорости течения:
u 2 — ux + u 2 + u 2
(1.128)
Н ад правой частью суммы проведем следующие преобразова­
ния. Выделим отдельно сумму X d x + Y d y + Z d z и обозначим её
через —dUv : X d x + Y d y + Z d z — —dUv . Здесь Uv есть потенциал
массовой силы, а X , Y , Z — координаты массовой силы. Т ак как
потенциал массовой силы есть ф ункция координат, т. е. Uѵ —
— Up(x, y, z), то полный диф ф еренциал массовой силы будет
(знак “ —” поставим д л я удобства дальнейш их преобразований)
равен
—dUv — (
dx +
dy +
dz) .
V dx
dy
dz
J
(1.129)
Отсюда видно, что проекции вектора массовой силы равны
X — —U ,
dx
Y — —U
dy
,
Z ——?%*..
dz
(1.130)
Оставшиеся слагаемые преобразуем следующим образом:
—I ( dJ L i x + Jd L d i + Щ
p \ d x dy
dz J
— —I p
(L131)
p
В общем случае p является ф ункцией координат и времени,
т. е. p — p(x, y, z, t).
Чтобы выполнялось равенство необходимо, чтобы p не зави­
село от времени, что как раз и имеет место при стационарном
(установившемся) движении, т. е. p — p(x, y, z).
46
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Н а основании уравнений (1.127), (1.129), (1.131) окончатель­
но получили уравнение
du 2
dp
- - ,п ' —p
которое называется уравнением Бернулли в диф ф еренциальной
форме.
Проинтегрировав это уравнение вдоль линии тока, получим
уравнение Бернулли в интегральной форме:
f dp
----- + Uv - const - C.
(1.133)
p
Следует заметить, что значение C различно д л я разных ли­
ний тока в случае, если движение стационарное и непотенци­
альное, и значение C одинаково д л я всех линий тока (для всей
жидкости), если движение стационарное и потенциальное (см.
интеграл Л агранж а). Уравнение Бернулли можно использовать,
если известна (задана) зависимость
,2
p - p(p).
(1.134)
У р а в н е н и е Б е р н у л л и д л я н е с ж и м а е м о й ж и д к о с т и . В слу­
чае несжимаемой ж идкости плотность постоянна, т. е. p - const,
и интеграл в уравнении Бернулли вычисляется, и уравнение
принимает вид
u2
p
— +------+ Uv - const.
(1.135)
2
p
Если на ж идкость действует сила тяж ести вдоль оси 0z, то
потенциал массовой силы Uѵ - gz, а сила z - —дUv / д z - —g,
g — ускорение свободного падения.
У равнение Б ер н у лл и д л я изоэнтропического тече­
н и я . Из термодинамики известно соотношение (первое начало
термодинамики)
dQ - T d s - d E + pdv.
(1.136)
Преобразуем это соотношение следующим образом:
T d s - d E + pdv - d E + d(pv) — vdp - d ( E + pv) — vdp. (1.137)
Величина, определяемая выражением в скобках, равна удельной
энтальпии h (1.19), т. е.
h - E + pv.
В нашем случае s - const.
(1.138)
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
47
Следовательно, в нашем исходном соотношении ds - 0, и то­
гда соотношение (1.137) принимает вид
dh — vdp - 0.
(1.139)
Поскольку v - 1/p, то получим:
dh - — .
(1.140)
p
Проинтегрировав это выражение, получим уравнение д л я эн­
тальпии (теплосодержания) в изоэнтропическом процессе д ля
единицы массы:
h Подставим
(1.133):
p
выражение
полученное
в уравнение
2
u2
— + h + Uv - const.
Бернулли
(1.141)
Полученное уравнение Бернулли д л я установившегося изоэнтропического движ ения идеальной жидкости является законом
сохранения энергии: первое слагаемое представляет собой кине­
тическую энергию единицы массы, второе — теплосодержание,
третье — работа массовых сил.
У р а в н е н и е Б е р н у л л и д л я с о в е р ш е н н о г о г а з а . Д л я со­
вершенного газа справедливо соотношение (1.37):
p - Apk.
(1.142)
Вычислим диф ф еренциал dp:
dp - A k p k - l dp.
У читы вая это соотношение, вычислим значение интеграла, вхо­
дящего в уравнение Бернулли:
i p - Ak
p
У
'
- A P p l - A k - - - J * .
k — 1 p(k — 1)
p(k — 1)'
(1.143)
Подставив полученное выражение в уравнение Бернулли (1.133)
получим д л я совершенного газа следующее уравнение:
u2
kp
+— —j-— + Up - const.
Т + p(k — 1)
(1.144)
При расчёте взрывных процессов, обычно принимают U^ - 0,
поскольку влияние массовых сил мало по сравнению с другими
силами.
48
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Введём местную скорость звука.
(1.145)
Она зависит от вида функции p — p(р, s).
Д л я совершенного газа, так как s — const
c2 — dp — A k p k-X — ^ .
(р
р
(1.146)
Т ак как д л я совершенного газа p / р — R T , то мы можем на­
писать, что c2 — k R T , т. е. скорость звука зависит только от
тем пературы T .
И нтеграл Бернулли (1.144) можно записать теперь в виде
u2
c2
Т + W —1 ) — const-
(L147)
Отсюда видно, что при изменении скорости частиц u скорость
звука вдоль линии тока меняется по определённому закону. По­
лезно написать ещё один вид уравнения Бернулли д л я совер­
шенного газа, которое очевидно.
u2
kRT
т + 1—
) — const-
(L148)
Заметим, что из интеграла Бернулли (из различны х его форм)
видно, что давление, плотность и тем пература с ростом скорости
вдоль линии тока уменьшаются.
О п р ед ел ен и е ко н стан ты в у р авн ен и и Б е р н у л л и . Для
того, чтобы можно было определить значение постоянной
в уравнении Бернулли, долж ны быть заданы параметры
газа в какой-либо точке линии тока. Обычно пользуются
параметрами торможения, т. е. задаю тся параметры в точке где
u — 0. Очевидно, что температура, давление, плотность и ско­
рость звука в точке, где u — 0 имеют значения, максимально
возможные на линии тока.
Если обозначить параметры торможения через
со,po, so, ho,
To, то константу в уравнении Бернулли можно записать как
const — - C L —
k p0 „ — R o . — ho.
k —1
рo(k — 1 )
k —1
o
Б . П отенциальное
Л а г р а н ж а . Движение
(1.149)
v
7
движ ение ж идкости. И нтеграл
частицы ж идкости может быть
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
49
разложено на три составляющие: вращательное (вихревое),
поступательное и деформационное. Д л я потенциальных течений
идеальной ж идкости (движения, в которых отсутствует
вращ ательная часть движения) как установившихся, так
и неустановившихся, может быть получен первый интеграл
уравнений Эйлера.
Д л я вращательного движ ения среды имеем выражение
2ю = rot u,
(1.150)
где u ( u x , u y, u z) — вектор скорости течения, ю(их, Uy, Uz) — век­
тор угловой скорости.
Компоненты вектора угловой скорости мгновенного вращ е­
ния связаны с компонентами вектора скорости течения следую­
щими соотношениями:
их
диу
дг
9 uz
дх
дих
1 / ди^
2 V ду
1 ( дих
Uy
2 дг
1 ( диу
Uz =
2 \ дх
(1.151)
ду
В потенциальном движении вращение отсутствует, ю = 0;
и х = 0,
и у = 0,
u z = 0.
(1.152)
Если движение потенциальное, то можно ввести потенциал
скоростей у:
u = grady.
Проекции вектора скорости вы раж аю тся через потенциал сле­
дующим образом:
ду
их = -т -,
х
д хy
uy =
“дyу
ду
,
ду
uz =
д у 1 “z
дх
(1.153)
Если эти вы раж ения подставить в соотношения д л я компонент
вектора скорости мгновенного вращения, то они превратятся
в нуль:
1 /( д 2у
дд 2у
2у \'
11
= 0;
2 1
дг д у
Vдудх
д 2у
1 I( д 2у
= 0;
(1.154)
2 1
дх д х
Vд г д х
д 2у
д 2у
1 II( —
Uz = —
—т;-------- —
2 1
У дхду
ду д х
I = 0.
50
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Следовательно, если существует потенциал скоростей, то вращ а­
тельная часть движ ения автоматически пропадает (становится
равной нулю).
Очевидно, что в потенциальном движении существует равен­
ство производных (см. уравнение (1.151)):
ду
дѵ,ѵ
дz
dux
дz
duz;
дх ’
duy
дх
dux
ду
(1.155)
Теперь напишем уравнения Эйлера:
дu x + du x
ux+
дх
да
du
du
y
ux +
да
дх
ду
дuz
да + ~Я-дх u x +
dux
dt
duy
dt
duz
dt
дux
дu x
uz - х — 1 д і •
дz
p дх
ду
duy
du
- Y
'uu y ++ —ГЛ1 uu z —
Y _ 1 J0p •;
дz
p ду
ду
дuz
duz
„
1 дp
—u y +--- ^—u z - Z -----— .
ду
dz
p дz
uy +
(1.156)
У читы вая соотношения (1.155), напишем уравнения Эйлера сле­
дующим образом:
duy
дux
дux
duz
v
1 дp
------- 1
— ~— u x
дх
+ д Х uy + ~a~
да
д х u z - X -----p д7хГ ;
d uy
dduz
uz
дux
дщ
1 дp
y
ux + — u y +--- о—u z - Y ----ду
ду
ду
p ду
д
дПг
дux
дuy
duz
„
1 дp
+ t ; —u z - Z ------— .
+--- ^—u x
да
дz
дz
p дz
+ ~ d uy
(1.157)
Д алее эти уравнения можно преобразовать:
д ( дф
дх
dt
1 d u 2 1 дp
+ 2 д—
х 1 p jr~
дх - X ,
дф
д
дф
д
1дu2
1 dp
+------------1
------ - Y ,
2 ду
p ду
1 д u 2 1 dp
^
+ 2 J—
1
j
r
Z
,
z
p Jz
д_
ду
д_
дz
так как
дux
d_ дф
дд_ дф
дх
дх d t
~дЬ = д
1дu2
дu x
duy
duz
■u x +
u y + dz u z
2 дх
дх
ду
(1.158)
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
51
Чтобы упростить уравнения Эйлера, введём единую д л я всего
потока ф ункцию давления P такую, чтобы выполнялись следу­
ющие соотношения.
1 dp
dP
р dx
dx
1 dp
dP
1 d p = dP •
рдz
dz ’
1 dp
dP
р dt
dt
(L159)
Если умножить эти соотношения на dx, dy, dz и dt, соответ­
ственно, и затем сложить, то мы получим, что
—
р
— dP.
(1.160)
При условии, что ж идкость баротропна, т. е. p — p ^ ) , ф ункция
давления P равна
P (p) —
— .
(1.161)
р
При подстановке функции давления в уравнения (1.158), они
приобретают следующий вид.
+ т
+
p
) —X ;
д
(Щ + f
+
p
) — Y;
Ш
+ т
К
І
+ ^
(1162)
—z .
Умножив первое уравнение на dx, второе на dy, третье на dz
и сложив их, получим следующее соотношение.
dM
dM
дМ
——dx + —— dy + —— dz —X d x + Y d y + Zdz ,
dx
dy
dz
где M — M ( x , y, z, t) — есть выражение в скобках, т. е.
дш
u2
„
M — — +--------+ P.
dt
2
(1.163)
52
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Интегрируя полученное уравнение (1.163) д л я какого-то момен­
та времени (t = const), получаем
M = - U , + F (t),
(1.164)
где F( t) — некоторая произвольная ф ункция времени t.
Напишем вместо M его выражение и получим интеграл
Л агр ан ж а д л я неустановившихся потенциальных движений:
ду
u2
dp
+ U^ = F (t).
— +------- +
-t
2
P
(1.165)
В частном случае, когда потенциальное движение ж идкости или
газа установившееся, интеграл Л агр ан ж а имеет вид
2
u2
У +
dp
— + Uv = const
р
(1.166)
и совпадает с интегралом Бернулли (1.133), в котором постоян­
ная const одинакова д л я всей массы жидкости, а давление зави­
сит только от плотности p = p(p), т. е. имеет место баротропная
жидкость.
И нтеграл Л агр ан ж а д л я несж им аем ой ж идкости.
Очевидно, что д л я несжимаемой ж идкости интеграл Л агр ан ж а
принимает вид
f
+ p + <4- + д у = F (t).
(,Ш )
Д л я несжимаемой ж идкости вместо трёх уравнений Эйлера
можно использовать интеграл Л агр ан ж а совместно с уравнени­
ем неразрывности (1.125)
дих
диу
-uz
д х + - иду1 + 1 Uдг = 0,
(1.168)
где и х , u y , u z связаны с потенциалом скоростей следующим об­
разом (1.153):
- у- ,
их = Т
дх
uy = —- у,
ду
Uz = -—у .
дг
(л
(1.169)
В этом случае мы имеем систему двух уравнений д л я про­
странственного потенциального неустановившегося движения
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
53
несжимаемой жидкости. Напишем эту систему с использовани­
ем потенциала скоростей.
дш
u2 p
idt
sr+
+ т2т +
+ -р — —u v + F (t);
Я2
q2
a2
д 2ш д 2ш д 2ш
— - +------ +------ — 0.
d x2 dy2
dz2
(1.170)
Из уравнения неразрывности (уравнение Л апласа) определяем
потенциал скоростей как ф ункцию координат, т. е. ш — v ( x , y, z),
затем определяется u , т. к. известна связь
u2 — Ш
+ Ш
+ ( I ) 2.
(1171)
Д л я того, чтобы найти ф ункцию F(t), достаточно знать давле­
ние p(t) в какой-либо точке потока. И тогда из первого уравне­
ния определяем давление p — p ( x , y , z , t ).
1.2.5.
Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р авн ен и я одном ерного
д в и ж е н и я и д е а л ь н о й с р е д ы . Теория одномерных движений
среды имеет большое принципиальное значение д л я выяснения
ф изических закономерностей неустановившихся движений и в
ряде случаев позволяет решить ряд конкретных задач (простые
волны, точечный взрыв и др.).
В случае одномерного адиабатического движ ения (т. е. ко­
гда энтропия в каж дой частице не меняется во времени, но
она различна в разны х частицах среды) основные уравнения
газодинамики (уравнение Эйлера без массовых сил и уравнение
неразрывности) можно представить в следующем виде.
ж
— —р Ъ
+ і к ^ + N pu —
dt
dr
r
(1172)
(1.173)
где u — массовая скорость д л я одномерного течения среды, N —
— 0 д л я плоских задач, N — 1 д л я цилиндрических задач, N — 2
д л я сферических задач.
Первое начало термодинамики и условие адиабатичности
процесса д л я адиабатического движ ения записываю тся в виде
dE
dv
—-— +p — —0,
dt
dt
ds
или — — 0.
dt
(1.174)
54
Гл. 1. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
Уравнение состояния среды имеет вид
p = p(p, E ),
или
p = p(p, S).
(1.175)
Система из четырёх уравнений (1.172)-(1.175) полностью опи­
сывает одномерное адиабатическое движение.
В случае изоэнтропического одномерного движ ения основ­
ные уравнения газодинамики (уравнения Эйлера и неразрывно­
сти) имеют такой ж е вид, как (1.172) и (1.173).
Т ак как д л я изоэнтропического движ ения энтропия остается
постоянной, то, вместо уравнения сохранения энергии и урав­
нения состояния среды, в систему уравнений входит уравнение
изоэнтропы p = p(p).
Д л я совершенного газа это уравнение имеет вид p = A p k.
Д л я этого движ ения газа известно аналитическое решение д ля
плоских одномерных задач.
В случае одномерного движ ения несжимаемой ж идкости си­
стема диф ф еренциальны х уравнений ещё больше упрощается:
du
1-p
— = — / ;
dt
p-r
-и
^ти
— + N — = 0.
-r
r
„ .
(1.176)
Д л я этой системы известно общее решение.
Рассмотрим решение системы одномерных уравнений д ля
несжимаемой жидкости.
Интегрируем второе уравнение системы (1.176) д л я ф икси­
рованного момента времени. Д л я этого преобразуем уравнение
следующим образом:
du
„т—
~Г = —N ~ ,
dr
r
и далее
du
„Tdr
— = -N -.
u
r
Проинтегрировав д л я какого-то фиксированного момента вре­
мени, получим:
ln и = —N ln r + l n f (t),
u =
f(t)
(1-177)
Вместо первого уравнения системы (1.176) запишем уравнение
Л агр ан ж а (1.167), если U , = 0:
-У + I
+ Р = F (t).
(,Ш )
1.2. Диф ф еренциальные уравнения движ ения сплош ной среды
55
Уравнение Л агр ан ж а и есть интеграл первого уравнения систе­
мы. Т ак как у нас случай одномерного движения, то справедли­
во следующее выражение (см. 1.177):
u - f (t)
u
dr
rN .
Проинтегрировав это выражение, получим д л я потенциала ско­
ростей
dr
ф - f(t) rN
Подставив вы раж ения д л я потенциала скорости ф и скорости
частиц среды в интеграл (1.178), получим решение системы
диф ф еренциальны х уравнений одномерного движ ения несжи­
маемой ж идкости (1.176) в виде
df (t)
dt
Здесь f (t) и F(t) (см. 1.177 и 1.179) есть неизвестные функции,
которые определяются из начальных и граничных условий.
Глава
2
ПЛОСКОЕ ОДНОМЕРНОЕ
ИЗОЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИ Ж ЕН И Е
ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
2.1. Дифференциальные уравнения движения
В случае плоских одномерных движений основные уравне­
ния газодинамики (уравнения Эйлера и неразрывности) имеют
вид (см. 1.172, 1.173)
-u - _ 1 J p •
dt
p дх ’
(2 1 )
'
І +
0.
(2 2 )
Замыкаю щ им уравнением д л я изоэнтропических движений яв­
ляется уравнение изоэнтропы:
p - p(p),
(2.3)
или в случае совершенного газа
p - Apk.
(2.4)
Д л я решения этих уравнений их удобно преобразовать с помо­
щью скорости звука c:
•- - ( I ) „
“
В случае изоэнтропического движ ения это выражение можно
записать в виде
c2 - І -
(26)
С помощью уравнений (2.3) и (2.6)можно исключить p из
уравнений (2.1) и (2.2). Выполнив необходимые преобразования,
получим д л я общего случая, когда p - p(p), выражение
d(u ± [ c d l n p ) . д (u ± [ c d l n p )
(
dt
p
± c)
.
- °-
(2-7)
2.2. Х аракт ерист ики плоского изоэнтропического т ечения
57
Т ак как, согласно 2.12, с ln р — yj—dpd v , то
0
а д л я совершенного газа, если p — Лр к, то
0.
(2.8)
2.2. Характеристики плоского изоэнтропического
течения
Из уравнений (2.7) и (2.8) видно, что состояния среды, определяемые величинами u ^ J ссПп р, или u + 2 с / (k — 1), распространяю тся со скоростью u + с в положительном направлении
оси x8 по течению среды, а состояние, определяемое величинами
u — J c d l n р или u — 2 с / (k — 1), распространяется со скоростью
u — с. Величины, определяющие состояние среды, когда p — p ^ ) ,
имеют вид
u + ссПп р — щ ,
u —ссПп р — вг,
(2.9)
где i — 1, 2, .. . , ж ; j — 1, 2, .. . , ж , или в случае совершенного
газа, когда p — Лрк,
(2.10)
Эти постоянные комбинации переменных параметров называю т­
ся инвариантами Рим ана и представляю т собой характеристики
основной системы уравнений в плоскости (u, с). Х арактеристи­
ки (2.10) представляю т собой в плоскости (u, с) параллельные
прямые линии.
В зависимости от того, распространяю тся ли возмущения
в положительном или отрицательном направлении x , получаем
два семейства характеристик, назовём их C+- и С - -характеристиками, д л я которых
(2.11)
Н аправляя ось 0x в сторону потока, т. е. считая u > 0, можем
сказать, что волны первого семейства С+ в своем относитель­
ном движении по среде распространяю тся в ту ж е сторону,
58
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
что и среда, волны второго семейства С - — в противополож­
ную сторону. О тносительная скорость распространения волн по
газу равна ± с, где с — местная скорость звука; верхний знак
относится к семейству С+, нижний — к С - . Волны семейства
С+ несут постоянное значение инварианта щ , волны семейства
С - — инварианта f3j.
И нварианты Рим ана можно записать и в другом виде. Д л я
этого с помощью вы раж ения
с=
преобразуем выражение, стоящее под знаком интеграла, следу­
ющим образом:
,,
dp J d p dp
cd ln p = с — =
pV d p p
у
и, так как справедливо соотношение
p
dpdp
2
dv = d 1 = —-1 dp,
p
p2
можно записать, что
c d l n p = \ J —dpdv .
(2.12)
И тогда инварианты Рим ана могут быть записаны в виде
du ± c d l n p = 0,
или
______
du ± \ / —dpdv = 0.
(2.13)
Запись инвариантов Рим ана в таком виде позволяет получить
уравнения
и = u(p) или и = u(p),
если известна изоэнтропа p = p(p).
Г раф ическое представление уравнений характери ­
с т и к . И нварианты Рим ана представляю т собой характеристики
основной системы уравнений в плоскости (u, с) и представля­
ют собой параллельные прямые линии д л я совершенного газа
(рис. 2.1). Их уравнения имеют вид
и +
2с
----- = а і = const,
—с 1
и — ------ = Bj = const.
k —1
<2' 14>
2.2. Х аракт ерист ики плоского изоэнтропического т ечения
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Рис. 2.3
Рис. 2.4
59
В плоскости (x -t) характеристики в общем случае не я в л я ­
ются прямыми линиями (рис. 2.2):
dx
—
dt
= и + с,
dx
— = и — с.
dt
(2.15)
В частном случае, когда k = 3, что является справедливым д ля
сильно сж аты х продуктов детонации конденсированных ВВ, ин­
варианты Рим ана принимают очень простой вид (см. рис. 2.3):
и + с= a i
и —с = в і.
(2.16)
Соответственно, и характеристики принимают вид
dx
U J +
= и + с =а"
dx
{ л ) _ = и —с = j
(2Л7)
В этом случае в плоскости (x -t) характеристики представляют
собой непараллельные прямые линии (см. рис. 2.4).
Следует заметить, что заданны е состояния, определяемые
величинами и + с = ai и и — с = (3j, распространяю тся в среде
при k = 3 независимо друг от друга. Н а это указы вает и то
60
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
обстоятельство, что величины ai и @j определяются в исходных
уравнениях (2.8),
^
+ (u ± с) ^
(2, 8)
при заданны х начальны х и граничных условиях независимо
друг от друга.
2.3. Решения дифференциальных уравнений
плоского изоэнтропического движения
совершенного газа
Д иф ф еренциальны е уравнения этого класса движений газа
имеют особые и общие решения.
О с о б ы е р е ш е н и я . К а к мы отметили выше, в плоском изоэнтропическом движении газа существуют волны двух проти­
воположных направлений, которые в общем случае k = 3 вза­
имодействуют м еж ду собой. Если газ у нас совершенный, т. е.
p = A p k, то эти волны описываются системой уравнений (2.8):
Ж
+ 2с \
д и ± -------
д
/
и ±
2с
dt
дх
Д л я нахождения особых решений этой системы запишем первое
уравнение совместно с инвариантом Рим ана в следующем виде:
я/
, 2с \
/
2с
д и + ------д и +
k — 1/
/
\ V
k —1 ,
д
+ ( и + с)
дХ
= 0;
(2 ‘2 0)
и — k - 1с = в
Преобразуем второе уравнение новой системы уравнений к виду
2
-с = в — и
k —1
и подставим в первое уравнение системы (2.20):
д ( 2и — в )
,
\ д ( 2 и — в)
/
Л
- 4 Г в1 + ( и + с) -± і х ж = 0
(2/21)
Очевидно, что теперь это уравнение можно привести к следую­
щему виду:
^
+ (и + с) д х = 0
(2.22)
2.3. Р еш ения дифференциальных уравнений
61
Тогда система (2.20) принимает вид
ди
.ди
— + (и + c)— = 0;
9t
2c
дх
(2.23)
и — ------- = в = const.
к —1
Решим эту систему. Д л я этого вспомним, что первое уравнение
системы (2.23) является диф ф еренциальны м уравнением типа
dz
Ri
dz
+ R 2 т - = Q,
дх
ду
(2.24)
где R i, R 2, Q есть функции х, у, -. У равнения характеристик
уравнения (2.24) записываю тся в виде
dx _ d y _ d-
(2
Ri
R2
Q .
( . )
Здесь записана система из двух независимых уравнений. Инте­
грируя первое уравнение при z = const,
dx
dy
IRTi = RR 2 '
.
(2/26)
получим решение / i (x, y, z) = Ci, где C i — константа интегри­
рования.
Затем интегрируем уравнение
dy
І
dz
dx
= Q '
"л "
R
dz
=
~Q‘
(2'27)
В результате получим
/ 2(x, y, z ) = C 2 .
(2.28)
Общее решение уравнения (2.24) будет иметь вид
C 2 = F ( C i ).
(2.29)
Проинтегрируем первое уравнение системы (2.23) аналогичным
образом:
dt
dx
du
(2.30)
1
и + c
0
Отсюда видно, что
и = Ci.
(2.31)
Теперь интегрируем уравнение
dt =
dx
и + c
62
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
с учетом, что
2
и — ------- c = const.
к -1
Преобразуем полученное уравнение следующим образом:
u = Ci
и
dx
— = и + c = const.
dt
Проинтегрировав его, получим
(2.32)
x = (и + c)t + C2.
(2.33)
Общее решение первого уравнения системы (2.23) имеет вид
C2 = F (C i) = F (и).
(2.34)
Запишем полученное решение в виде
x — (и + c)t = F (и),
2
(2.35)
и ---------- c = const.
к —1
Это и есть первое особое решение системы диф ф еренциальны х
уравнений, описывающих одномерное изоэнтропическое движ е­
ние совершенного газа (2.19).
Аналогичным способом, реш ая систему
д
— k T - 1 c)
.
д ( и —к h
dt
+ ( и — c)
2
и + ------- c = const,
к — 1
найдем второе особое решение в виде
c
дХ
= 0 (2.36)
x — (и — c)t = F (и),
2
(2.37)
и + ------ c = const.
к — 1
Полученные особые решения описывают частный случай рас­
пространения волны только одного направления. Т акая волна
называется простой римановской бегущей волной. Константа
в данном случае одна д л я всей области течения среды.
О б щ и е р е ш е н и я . В случае когда к = 3 система уравнений
д(и ±
2— c )
S T 2 -1
д ( и ± 2— c
+ (и ± о
^
d x —17
= 0
(2-38)
2.3. Р еш ения дифференциальных уравнений
63
имеет аналитическое решение только если k подчиняется урав­
нению
о . 2N
k — 3 + 2N , (N — 0, 1,...)
(2.39)
1 + 2N
v
’ ’!!
Это соответствует следующим значениям k:
k — 3- 5 - L
;1
; 3 ; 5;...; .
Если k подчиняется уравнениям (2.39), то общее решение урав­
нений (2.38) может быть найдено в виде
ф — dhN {F 1 ( \'/'2(2 N + 1)h + u ) + ( \ / 2(2N + 1)h —
,
(2.40)
где теплосодержание h — с2/ ( k — 1) (см. п. 1.2.4),
Ф
Ф
x — ut — — , t — — .
(2.41)
u
h
F i и F2 — произвольные ф ункции, определяемые д л я каж дой
конкретной задачи на основе начальных и граничных условий.
Наиболее интересным является случай, когда k — 3. В этом
случае величина 2 / ( k — 1) — 1, и система уравнений (2.38) рас­
падается на два независимых уравнения:
Щ ± А + (и +
dt
(2 42)
+ w —с і Щ
t
или, если обозначить u + с — a,
да
— 0,
dx
да
^ — 0,
x
u —с — в ,
дв
'
дв
d t + a lFx — “ •
Ж + fi! — 0(24 3 )
Решением системы в этом случае является (см. уравнения
(2.24)-(2.29))
x — (u + с)t + F 1(u + с),
(2.44)
x — (u — с)t + F2(u — с),
где F i ( u + с), F 2(u — с) — две произвольные ф ункции, одна
зависит от (u + с) и другая — от (u — с).
Это решение является общим решением основной системы
диф ф еренциальны х уравнений (2.38) в случае k — 3.
В заключение следует сделать замечание об использова­
нии особых и общих решений в разны х конкретных случаях.
Во-первых, конкретная задача д ол ж н а быть плоской одномер­
ной и газ — совершенным, а движение газа изоэнтропическим;
64
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
во-вторых, движения, описываемые особыми решениями, обяза­
тельно д олж ны граничить с областью покоя или, в более общем
случае, с областью стационарного движ ения среды, а скорость
распространения ф ронта простой волны можно представить как
скорость перемещения границы м еж ду двум я областями. Во
всех остальных случаях следует применять общие решения.
Приведем некоторые примеры применения особых и общих
решений.
Н а рис. 2.5 изображена ж ёсткая труба с поршнем, справа от
поршня находится газ в состоянии покоя.
Н а рис. 2.5 поршень покоится при t = 0. Состояние газа
характеризуется следующими параметрами:
и н = 0,
сн = const,
р н = const, рн = const.
Пусть поршень начинает по­
степенно выдвигаться влево, то­
гда вправо побежит волна раз­
режения. Движение этой волны
разреж ения будет описываться
особыми решениями, т. к. об­
t >0
Р ц ■Рц’
ласть, охваченная волной разре­
жения, справа сопрягается с об­
X
ластью покоя.
Н а следующем рис. 2.6 так­
Волна разрежения
ж е изображена ж ёсткая труба,
перекрытая заслонкой. Слева от
заслонки
пустота, справа покоя­
Рис. 2.5
щийся идеальный газ. Заслонка
мгновенно убирается и газ начи­
нает истекать в пустоту. Вправо побежит волна разрежения, ко­
торая будет описываться особым решением, т. к. справа и слева
область, охваченная волной разреж ения, граничит с областью
покоя.
t=0
Пустота
Р н , P w сн> йн = 0
Невозмущённый газ
Рис. 2.6
cd
Ё
Н
О
£
Z
«н
1
Ръ Рь Сі «1 Р 2 ’ Р2s С2
/7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
Рис. 2.7
2.3. Р еш ения дифференциальных уравнений
65
Если теперь поставить на пути волны разреж ения жёсткую
стенку, то волна разреж ения отразится от этой стенки и отра­
ж ённая волна разреж ения пойдёт влево (рис. 2.7).
В этом случае можно наблю дать две области: область, охва­
ченная первой волной разреж ения (область I на рис. 2.7), в ко­
торой справедливо особое решение, и область, охваченная от­
ражённой волной разреж ения II. В этой области справедливо
общее решение, т. к. слева эта область граничит с областью
нестационарного движ ения (с простой волной).
П р о с т ы е в о л н ы . Простые римановские волны описывают­
ся особыми решениями основной системы диф ф еренциальны х
уравнений в виде (2.35), (2.37):
х - (u ± c)t + F( u),
2
u ± ------- c - const,
k —1
(2.45)
где знаки выбираются следующим образом: если волна распро­
страняется вправо в положительном направлении оси 0х, то
выбираются верхние знаки; если влево, в отрицательном направ­
лении оси 0х, то выбираю т нижние знаки.
Х а р а к т е р и с т и к и о с о б ы х р е ш е н и й .К а к было установлено
выше, выражение
(2.46)
u ± ------ c - const
k —1
V
7
является характеристикой решений основной системы в плос­
кости (u, c) и представляет собой прямую линию. Т ак как мы
рассматриваем одно уравнение (при решении конкретной зад а­
чи), то характеристика д л я данного особого решения — одна
прям ая линия, вдоль которой переносится постоянное значение
вы ражения, например (см. рис. 2.8)
2
u — ------ c - const.
k —1
Х арактеристики решения системы (2.45) в общем случае
в плоскости (х, t) имеют вид (для системы с верхними знаками)
(х
-
.
, „„ч
( 2 )
Возьмём на характеристике в плоскости ( u , c) какую-нибудь
точку i. Эта точка будет определять состояние среды с ф иксиро­
ванными ui и а . Д л я данного фиксированного состояния имеем:
х - (ui + o ) t + F( ui) .
3 Л. П. Орленко
(2.48)
66
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
Рис. 2.8
Рис. 2.9
Это С +-характеристики (рис. 2.9). Продифференцируем это вы­
ражение и получим скорость распространения данного “ і”-го
состояния среды:
dx
~гг — u i + Ci.
dt
Итак, д л я данного фиксированного состояния среды “ i” в плос­
кости u - c мы имеем в плоскости x —t определённую прямую ли­
нию (см. “i” на рис. 2.9). Д л я другого фиксированного состояния
“n ” мы будем иметь в плоскости x, t другую прямую линию (см.
рис. 2.9).
Таким образом, каж дой точке
t= О
характеристики в плоскости u —с со­
ответствует определённая характе­
ристика в плоскости x —t.
Д алее мы рассмотрим несколь­
ко задач газовой динамики, кото­
рые описываются теорией простых
римановских волн.
В о л н ы с ж а т и я . Пусть мы име­
ем ж ёсткую трубу с поршнем. В на­
чальный момент времени поршень
покоится и справа от него в трубе
находится покоящийся совершен­
ный газ (рис. 2.10а). Затем пор­
Рис. 2.10
шень начинает вдвигаться в трубу.
От поршня вправо по газу побежит
волна сж атия. Движение в данном случае является плоским
изоэнтропическим.
Выбираем решение, пользуясь правилом: если волны идут
в положительном направлении оси 0x, выбираем систему с верх-
2.3. Р еш ения дифференциальных уравнений
67
ними знаками (см (2.45),
x = (и + c)t + F (и),
2
и — к— 1c = const.
(2.49)
Константу определяем из граничных условий перед фронтом
волны:
2
const = и н — —---- - cH.
(2.50)
к —Т ак как и н = 0 (газ покоится), то константа в нашем случае
будет равна
2
const = -------- - cH.
(2.51)
Рассмотрим качественную картину движ ения газа перед порш­
нем (при любом законе движ ения поршня). Подставим значение
константы во второе уравнение системы (2.49):
2
2
и — к — 1 c = —к — 1 cH
(2.52)
С другой стороны мы имеем в простой волне (2.47)
dx
dt = и + c
Исключим c из этого вы ражения. Д л я этого выразим её из
уравнения (2.52),
к —1
c = ch +----- — и,
и подставим её в уравнение
dx
к —1
— = и + c = и + ch +-----2— и.
(2.53)
Скорость поршня нам известна (предполагаем, что нам известен
закон движ ения поршня), поэтому мы можем написать и = Un :
dx
к + 1
г^
d t = ch + ~ 2 ~U n
(
)
Таким образом, любое состояние газа, которое возникает вблизи
поршня, передвигается по газу со скоростью
^ к + 1 ТТ
cH + 2 Un.
Определим наклон характеристик в плоскости x —t д л я некото­
рых фиксированных положений поршня:
3*
68
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
dx
(t = 0,Un = 0);
d = Сн’
dx
k + 1 Un
U l;■
'~dt = Сн +
2
dx
k + 1
2-d t = Сн + —
^
(2.55)
Наклон характеристик с увеличением скорости поршня по­
степенно увеличивается (рис. 2.11).
С физической точки зрения это объясняется тем, что к аж д ая
последующая элементарная волна сж атия двигается по газу,
более уплотнённому предыдущей волной, и амплитуда волны бу­
дет непрерывно увеличиваться. Х арактеристики в конце концов
пересекаются в какой-то точке. В точке пересечения характери­
стик возникает ударная волна (все параметры газа изменяю т­
ся скачком), и течение становится неизоэнтропическим (в этом
случае необходимо использовать адиабатические уравнения дви­
ж ения среды). Следовательно, в случае ускоренного движения
поршня волна сж атия вы рож даётся в ударную волну (УВ).
Рис. 2.11
Рис. 2.12
Определим теперь ф ункцию F (и). Д л я этого мы долж ны
задать закон движ ения поршня.
Пусть в нашем случае поршень движ ется равноускоренно.
Закон движ ения поршня описывается уравнениями
Un = at,
х п --
U2
2a
(2.56)
2.3. Р еш ения дифференциальных уравнений
69
Выразим ф ункцию F (и) из первого уравнения (2.49):
F (и) = x — (и + с)t .
Подставим в это уравнение вы раж ения д л я x n и t из (2.56)
к + 1 Тт
с учетом, что и + с = сн +----^— Un, получим выражение
F (Un) = Ua — ( с н +
2а
\
2
Un) — = ——
—
/ а
а
2а
.
(2.57)
Теперь мы можем записать решение нашей задачи в окончатель­
ном виде:
2
сни
ки2
x = (и + o ) t --------------------,
2
а2
2а
(2.58)
и — к —л с = —к —л сн.
Определим давление и плотность в волне сж атия с помощью с =
= ^ x , t). Т ак как газ совершенный, то
с
( Р \ (к - 1 ^/2
-сн = Рн
Р
.
(2.59)
Соотношение, связывающее параметры газа перед волной сж а­
тия и в самой волне, записывается д л я скоростей звука в виде
( \ к ( с \ 2к/(к- 1 )
p
( Р \
I с \
.
(2.60)
Рн
\Р н/
\с н /
Теперь определим момент и координату образования удар­
ной волны. В момент образования ударной волны производная
скорости по координате стремится к бесконечности, т. к. объем
газа, находящегося в состоянии 2, догоняет газ в состоянии 1,
(рис. 2.12)
ди
dx ^ ™ .
Следовательно, мы можем заклю чить, что производная коорди­
наты по скорости и определяется как
dx
д и = °(2-61)
Найдем эту производную и приравняем ее к нулю. Д л я этого
используем первое уравнение (2.58):
к + 1 \
сни
ки2
x — I сн + -----------------------------------------------и 1 t — -- —------Vн
2
а
2а
ѵ
7
70
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
П родифференцируем это выражение по и и приравняем его
к нулю:
дх
+ 1
1 , ссн
k-и
дх
Ьи
kk +
------- 1 — --- —
0.
(2.63)
2
a
ди
a
Выразим из этого вы раж ения время, которое и будет моментом
образования ударной волны (УВ):
t yB =
2 сн + Ьи
k + 1
a
(2.64)
М инимальное время образования УВ соответствует и = 0. В
этот момент пересекутся две первые характеристики при и = 0
(точка А на рис. 2.11) и образуется ударная волна:
t yB =
2сн
(k + 1)a"
(2.65)
Координата точки, в которой образуется УВ, равна
хув = с ^ у в .
(2.66)
Следует отметить, что с момента образования ударной вол­
ны перестают быть справедливыми уравнения, описывающие
изоэнтропические движения, т. к. после возникновения УВ эн­
тропия каж дой частицы изменится (см. п. 3.2). Поэтому урав­
нения, описывающие движение волны сж атия, справедливы д ля
времени t ^ tyB или х ^ Хув.
В случае, если поршень мгновенно приобретает скорость, т. е.
a ^ ж, тогда УВ возникает в момент времени tyB = 0 и х у в = 0.
В олны разреж ен ия.
х =0
Рассмотрим теперь движеt= 0
//////. /////////
ние газа под действием
выдвигающегося поршня.
Пусть вначале покоящийся
ГТТТТТТ
ТГ7Т7ТТ7
газ с постоянными плотно­
стью, давлением и скоро­
t> 0
стью звука рн, рн, сн зани­
РауРя )^Н )^ н “ 0
Волна
мает пространство в ж ёст­
разрежения
X
кой трубе справа от порш­
ня (х > 0). В момент t =
////////////
б / / / 7 /
Рис 2 і з
= 0 поршень начинает дви­
гаться влево, постепенно
ускоряясь от нулевой скорости до некоторой постоянной скоро­
сти. Вправо от поршня побежит волна разреж ения (рис. 2.13).
2.3. Р еш ения дифференциальных уравнений
71
Эта волна разреж ения является простой римановской вол­
ной, т. к. зона, охваченная волной, граничит с зоной покоя. Вол­
на разреж ения описывается особым решением:
x — (u + с)t + F (u),
2
(2.67)
u — ------- с — const,
k — 1
так как волна движ ется в положительном направлении оси 0x .
Определим значение константы в системе (2.67). Д л я этого вос­
пользуемся граничными условиями на ф ронте волны разреж е­
ния:
u — 0, с — сн.
И тогда получим
2
const — ——— - сн.
k —1
(2.68)
Затем из второго уравнения (2.67) получим д л я скорости звука
k
1
с — сн +-----2— u.
(2.69)
Выражение д л я характеристики в плоскости x , t имеет вид
dx
dt — u + с
С учётом вы раж ения (2.69) получим
dx
k + 1
— — u + с — сн +-----— u.
. „ .
(2.70)
Н а границе с поршнем скорость газа совпадает со ско­
ростью поршня U н, которая отрицательна. Поэтому скорость
звука, а такж е давление и плотность газа у поршня мень­
ше начальных, притом тем меньше, чем скорее движ ется пор­
шень. ^ ^-характери сти к и , которые являю тся прямыми лини­
ями,
выходят с линии закона движ ения поршня (возмущения
рож даю тся на поршне) и
имеют наклоны:
dx
— — u + с — сн
k + 1 k + 1 |т т | / „ ч
+--------------------- — u — с н -— |Un| .(2.71)
Н а рис. 2.14 показаны ^^-хар актер и сти к и в плоскости (x -t.
В области 1 м еж ду осью 0x и ^^-характери сти кой 0А газ не
возмущён, и характеристики представляю т собой параллельные
линии. Первое возмущение от поршня распространяется по газу
со скоростью сн, и поэтому закон движ ения начального возму­
щения имеет вид x — снt.
72
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
Д алее поршень постепенно ускоряется (зона II, A 0 C B на
рис. 2.14).
Поскольку поршень ускоряется, С +-характеристики расхо­
дятся. Это объясняется тем, что каж дое следующее возмущение
идет по газу, уже разреженному предыдущим возмущением.
С+-характеристики, выходящие с того участка линии поршня,
на котором скорость поршня уже постоянна (область III), имеют
одинаковые наклоны и идут параллельно друг другу.
В том случае, когда поршень мгновенно приобретает какуюто конечную скорость, образуется центрированная волна разре­
жения.
Центрированная волна разреж ения представляет собой пре­
дельный случай, когда время переменного движ ения поршня
стремится к нулю (рис. 2.15). Обе С+-характеристики, соответ­
ствующие началу движ ения поршня, выходят из одной точки 0.
С+-характеристики, соответствующие переменному движению
поршня, выходят веером из точки 0, (характеристики 0A и 0 ^
на рис. 2.15).
2.3. Р еш ения дифференциальных уравнений
73
П редставляет интерес ответить на вопрос, с какой скоростью
должен двигаться поршень, чтобы он оторвался от газа. Этот
случай равносилен тому, когда поршень мгновенно убирается,
и газ начинает истекать в пустоту.
И нвариант Рим ана в этом случае, как и в случае волны
разрежения, рассмотренном выше, будет равен
u —
2
2
-с = —k — 1
k —I й
Т ак как в пустоте скорость звука равна нулю, то и на фронте
волны с = 0 (р = 0, с ~ p(k-1)/2), а скорость истечения будет
равна
2
(2.72)
u m = —-----г снk — 1 н‘
Следовательно, если поршень будет иметь скорость
(2.73)
|Un| ^ |Um| ,
то он оторвется от газа.
О дностороннее истечение ранее покоивш егося газа
в п у с т о т у . Представим себе очень длинную трубу, перегорожен­
ную перегородкой. Пусть область слева от перегородки заполне­
на покоящимся газом с параметрами рн, р н , сн, и н = 0, а справа
от перегородки — пустота. Ось направим параллельно оси тру­
бы, начало координат пусть будет в том месте, где находится
перегородка. Площ адь сечения трубы постоянна и принимается
равной единице (рис. 2.16).
t=0
/ / / / / / / / / / / / / / / / /
Невозмущенный газ
а
Пустота
х
777 / / / / / / / / / / / / / /
f> 0
/ / / / / / / / / / / / / / / / /
. . . . I. • .
Волна разрежения ' Пустота
'i' ' '
•—
/ / / / / / / / / /
Фронт волны
разрежения
~7/
Фронт истечения
Рис. 2.16
Теперь мгновенно уберём перегородку в момент времени t =
= 0. Сразу ж е газ начнёт истекать в пустоту, и одновременно
74
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
с этим возникнет волна разрежения, бегущая влево. Истечение
газа в пустоту является неустановившимся, а волна разреж ения
является простой (римановской) волной, она представляет собой
волну одного направления, распространяющуюся по невозму­
щенному газу, т. е. область нестационарного течения газа грани­
чит с областью покоя.
Следует отметить, что движ ущ аяся вправо граница разлёта
не является волной, так как там частицы газа, сами двигаясь, не
приводят в движение никакую среду. Распределение скорости
и плотности газа по обе стороны от снятой стенки описываются
одними и теми ж е уравнениями.
Т ак как наш а волна разреж ения является простой волной,
то д л я решения этой задачи мы воспользуемся уравнениями
х = (и — c)t + F (и),
2
и = ——— - c + const.
k —1
(2.74)
(2.75)
Значение неизвестных F (и) и const будем искать с помощью
граничных условий. Очевидно, что д л я покоящегося газа и = 0
и с = сн . Подставим это условие в уравнение (2.75) и получим
2
const = ------ сн ,
(2.76)
k —1
и тогда уравнение (2.75) окончательно примет вид
2
2
и = k — 1 Сн — k — 1С.
(2' 77)
Из этого уравнения видно, что м аксим альная предельная ско­
рость истечения в пустоту
2
ит =
Сн.
(2.78)
Значение неизвестной F (и) определим из второго условия,
которое состоит в том, что в начальный момент, когда мгновенно
убирается перегородка (t = 0), значения и и с в месте нахож­
дения перегородки являю тся неопределёнными. Действительно,
в начальный момент при снятии перегородки и и c не имеют
определённых значений, так как скорость скачком возрастает от
нуля до своего предельного значения и т , определяемого урав­
нением (2.78), а плотность, давление и скорость звука скачком
падаю т до нуля от своих первоначальных значений рн, р н
и сн.
Покажем, что при этих условиях F (и) дол ж н а тождественно
равняться нулю. Т ак как движение газа в начальный момент
2.3. Р еш ения дифференциальных уравнений
75
(t = 0) определено в сечении x = 0, то F (и) долж но быть равно
нулю. Поскольку
x = (и — c)t,
(2.79)
то при t = 0 и x = 0 получаем
и —с
0
то есть и и с являю тся произвольными (неопределёнными), что
и соответствует условиям нашей задачи.
Итак, решение окончательно запишется в виде
x = (и — c)t,
(2.80)
2
2
и +
k —1
k —1
Определим теперь закон движ ения ф ронта волны разреж е­
ния. Этот ф ронт в каж ды й данный момент граничит с обла­
стью невозмущённого газа в трубе, поэтому на ф ронте и = 0
и с = сн. Следовательно, д л я ф ронта волны разреж ения первое
уравнение (2.80) даёт x = —сн^ т. е. ф ронт волны движется
справа налево со скоростью сн, равной местной скорости звука.
Само соотношение x = —снЬ является характеристикой наших
уравнений.
Из полученного решения (2.80) видно, что рассматриваемое
нами движение газа можно характеризовать одной переменной.
Такое движение называется автомодельным.
2 сн
к- 1
Рис. 2.17
Покажем, что все параметры, характеризующ ие наше дви­
жение, являю тся ф ункциям и одной переменной x / t = z. Д л я
76
Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движ ение идеальной среды
этого запишем уравнения (2.80) в виде
x
u — с — — — z,
2 t
2
(2-81)
u + — 1 с — к — ! сНайдём зависимость скорости газа u и скорости звука с от
переменной x / t = z :
2
2
u — ^ Т Ч с- + Г Т Ч z,
k + 1
* —J
(2.82)
с — k + 1с- — k + 1Z.
Из уравнений (2.82) видно, что в каж ды й данный момент
времени распределение u и с являю тся линейными ф ункциями
от x (рис. 2.17).
Д алее из уравнений (2.82) следует, что в сечении x — 0 всегда
2
u — с — k + 1 с-,
(2.83)
т. е. устанавливается критический режим истечения. Очевидно,
что состояние, при котором u = с, не перемещается по газу, так
как скорость распространения этого состояния (u — с) в данном
случае равна нулю.
Глава
3
ТЕОРИЯ УД А Р Н Ы Х ВОЛН
Введение
При интенсивном импульсном нагружении (типа взры ва
и удара) различны х сплошных сред (газ, жидкость, твёрдое
тело) в последних возникают ударные волны (УВ), с помощью
которых осуществляется передача механической энергии вблизи
источника импульсного нагружения. Ударные волны возникают
перед телом, которое движ ется в среде (газ, жидкость, твердое
тело) со сверхзвуковой скоростью. Торможение сверхзвукового
потока среды сопровождается появлением УВ. Во всех рассмот­
ренных случаях возникают области движ ения среды, ограни­
ченные поверхностями, на которых все параметры среды (p, р,
u, T и др.) скачком меняют свои значения. Эти поверхности раз­
ры ва параметров среды называю т ф ронтами УВ или “ударными
волнами”. Н а рис. 3.1 в качестве примера показано изменение
давления в ударной волне (УВ) скачком от начального давления
p i до давления в УВ р 2.
Существуют два типа УВ — прямые и косые. Н а рис. 3.1а,б
представлены схемы этих волн.
Если направление скорости потока среды и,2 перпендикуляр­
но к поверхности ф ронта УВ, то такая УВ называется прямой
(рис. 3.1а), если это направление не перпендикулярно к поверх­
ности ф ронта УВ, то УВ называется косой (рис. 3.1б). Скорость
ф ронта УВ D > U2, и он перемещается в газе и ж идкости со
сверхзвуковой скоростью, а в твердых телах УВ могут переме­
щаться как со сверхзвуковой, так и с дозвуковой скоростью (см.
гл. 12). С ударной волной мы уже встречались в задаче о сжатии
газа поршнем (см. 2.3).
Мы при этом выяснили, что если поршень, который нахо­
дится в трубе с газом, сразу приобретает конечную скорость, то
в газе образуется УВ. Переход параметров газа перед фронтом
УВ к параметрам за фронтом волны происходит скачком. Далее
Гл. 3. Теория ударных волн
78
параметры газа перед фронтом УВ мы будем обозначать p i , p i ,
ci, E i , ui , т.е. с индексом 1, а за фронтом УВ (или на фронте
УВ) будем обозначать р 2, р 2 , С2, E 2, U2, т. е. с индексом 2 (см.
рис. 3.1).
и2
Косая УВ
ГЬ
оО
Прямая УВ
90°
Рг, Рг
Е 2 , С2
Л .«і =
р1,Е1,с
Рг
Рис. 3.1.
3.1. Связь между параметрами на фронте ударной
волны с параметрами перед фронтом ударной
волны для различных сред
3 .1 .1 .
С оотнош ения на ф ронте ударной волны в иде­
а л ь н о й с р е д е . Пусть мы имеем длинную ж ёсткую трубу
с площадью сечения, равной S. В трубе находится покоящаяся
идеальная среда с постоянными параметрами p i, pi, ci, E i; слева
расположен плоский поршень. Пусть сначала поршень покоится,
а затем в начальный момент времени t = 0 поршень мгновенно
приобретает некоторую скорость U2 и перемещается с этой ско­
ростью вправо, сж им ая находящийся перед ним газ. Вправо от
поршня пойдёт УВ со скоростью D (рис. 3.2).
Найдём неизвестные величины: плотность р 2 и давление газа
Р2 за фронтом УВ, а такж е скорость распространения УВ по
невозмущенной среде D и скорость среды (массовую скорость)
U2. П арам етры невозмущенной среды p i, pi, ci, E i будем считать
известными.
3.1. Связь м еж ду параметрами ударной волны
t= 0 /
/. /
/ /
/ /
/ /
*2. '
/
t> о /
/ /
/ /
/ /
/ /
79
/ /
Р ь Р і , с 1, Е 1, щ = 0
•
/ / / / / / / / / / / / / /
/ / . / / /
/ / / / / / / / /
ѣтP i’ Pi’ ^І’ ^І’
/
/ /
V / / /
/
У/
^
/
Рис. 3.2
К моменту времени t в трубе с сечением S движение охва­
ты вает массу среды, равную p \ S D t . Но к моменту времени t
эта масса среды занимает уже объём (D — U2) t S , в котором
плотность среды равна р2, т. е. закон сохранения массы имеет
вид
p i S D t = p 2 (D — u 2)tS.
Сократив одинаковые члены в правой и левой частях, запишем
условие, которое удовлетворяется при переходе через ф ронт УВ:
p i D = р 2 ( D — U2).
(3.1)
Масса газа p i S D t приобретает импульс p iS Dt u , 2 , который по
закону Ньютона равен импульсу сил давления. Результирую щ ая
сила, действую щ ая на сжатую среду, равна S p 2 — S p i , тогда им­
пульс силы, действующей на сжатую среду, равен ( S p 2 — S pi )t .
П риравняем импульс массы среды, находящейся за фронтом
УВ, и импульс силы, действующей на эту массу:
pi S D t u 2 = (Sp2 — S p ^ t .
С ократим в обоих частях полученного равенства площадь сече­
ния трубы S и время t, получим уравнение д л я скорости ф ронта
УВ:
p 2 — pi = p i u 2D.
(3.2)
При адиабатическом сжатии среды изменение полной энер­
гии газа равно работе внешних сил. До ударного сж атия единица
массы среды имела внутреннюю энергию E i , после ударного
80
Гл. 3. Теория ударных волн
сж атия энергия единицы массы стала равной E 2 + u 2/2 . Изме­
нение полной энергии всей массы ударно сжатой среды равно
( E 2 — E i + u 2/ 2 ) p \ S D t . Внеш няя сила, сж им аю щ ая среду, рав­
на P2S и действует она на пути u 2t. У читы вая все это, получим
соотношение
u2\
E 2 —E i + u l j p i S D t — p 2S u 2t.
Преобразовав это выражение, получим уравнение д л я измене­
ния энергии единицы массы в УВ:
e 2 —E i — D
p i - т .
(3-3)
Пользоваться этим уравнением неудобно, поэтому преобразуем
его к виду, удобному д л я практического пользования. Д л я это­
го исключим скорость из уравнения (3.3). Из уравнений (3.1)
и (3.2) определим D и щ:
п — V u /Р---------------------------------------------------2 — Pi
D
,..
VVi —V2
(3.4)
u 2 — V ( P 2 — Pi)(vi — V2) ,
где Vi — 1 /p i и V2 — 1/ p 2. Подставим полученные вы раж ения
д л я D и u 2 в (3.3):
E 2 —E i — P u ^ . — M — u 2 (
p iu 2D
2VP2 —Pi
P2
1
2/
P2 + Pi
— (P2 — Pi)(Vi — V2):
2(P2 — p i ) '
И окончательно уравнение изменения энергии д л я УВ примет
вид
+
E 2 —E i — (Vi —V2)
.
(3.5)
Н уж но ещё знать термодинамическое состояние среды за
фронтом УВ. Обычно оно задаётся уравнением
P2 — P2(P2 , E 2).
(3.6)
Система четырех уравнений (3.1), (3.2), (3.5), (3.6) связы вает
пять параметров на ф ронте УВ P2, u 2, p 2 , D, E 2. Д л я того, чтобы
решить эту систему, достаточно задать один параметр (любой из
пяти, например, D , который определяется из опыта или расчёта)
тогда остальные определяются при помощи этой системы.
3.1. Связь м еж ду параметрами ударной волны
81
3 .1 .2 . С о о т н о ш е н и я н а ф р о н т е у д а р н о й в о л н ы в т в ё р ­
д о м т е л е . Если в трубе (см. рис. 3.2) находится не идеаль­
ная среда, а сжимаемое твёрдое тело, то соотношения меж ду
параметрами до и после ударного сж атия находятся так же,
как в идеальной среде (см. п. 3.1.1). Пусть перед фронтом УВ
в твёрдом теле перемещается упругая волна со скоростью ci >
> D (см. гл. 12) с параметрами a i a, ра, u a, E a, £a , тогда получим
следующие соотношения:
pa(D - Ua) = P2 ( D - U2);
&2 - &1a = - p a ( U 2 - Ua)(D - Ua);
(3 7 )
ZT
T7
( &2 - &1a)(Va - v2)
E 2 - E a = -------------2-------------,
где D, U2, &2, p 2 = 1/ v 2, E 2 — параметры на фронте УВ.
Д л я плоской УВ к этим уравнениям надо добавить следую­
щие уравнения:
Р2 = р 2 (р 2 , E 2),
2
= &i(£i), &2 = - p + S 2 , £i = 3 n,
3
= 2 S 2,
где S 2 — компонента девиатора напряжений, n = 1 - Р1/ Р 2.
Если среда идеальная и до ударного сж атия находится в по­
кое, то в уравнениях (3.7) надо положить pa = pi, &2 = - p 2 ,
S 2 = 0, &ia = - p i , и получим уравнения (3.1)—(3.2) и (3.5).
3 .1 .3 . С о о т н о ш е н и я н а ф р о н т е у д а р н о й в о л н ы д л я
совер ш ен н о го газа без у ч ёта п роцессов д и ссо ц и ац и и
и и о н и з а ц и и . В случае совершенного газа система уравнений,
связываю щ их параметры газа (без учёта процессов диссоциации
и ионизации) на фронте УВ, значительно упрощается. Первые
д ва уравнения (3.1) и (3.2), вы ражаю щ ие закон сохранения мас­
сы и закон изменения импульса, в случае совершенного газа
остаются без изменения:
p i D = p 2 ( D - u2) ,
( )
ГЛ
(3.8)
p 2 - pi = PiU2D.
Уравнение (3.5), учитывая, что д л я совершенного газа справед­
ливо соотношение (1.17) E = p / p ( k - 1), запишем в виде
p
' -
pi
p2 (k - 1) p i (k - 1)
ч= p 2 + p i (vi
2
- V2).
(3.9)
Уравнение (3.6), связывающее давление, плотность и внутрен­
нюю энергию г а з а p 2 = p 2 (p 2 , E 2), в случае совершенного идеаль­
ного газа не требуется, оно в виде E 2 = p 2/ p 2 (k - 1) уж е входит
в уравнение (3.9).
82
Гл. 3. Теория ударных волн
Если нас интересует температура, то в систему вводится
уравнение состояния вида p 2 = p 2 (p 2 , T2). Д л я совершенного газа
Р2 = p 2 R T 2 .
3 .1 .4 .
С оотнош ения на ф рон те ударной волны с учё­
том процессов ди ссоц и ац и и и и онизации.
В сильной
ударной волне значительно повышается тем пература и внутрен­
няя энергия газа, а благодаря развитию процессов диссоциа­
ции и ионизации, и число частиц в среде. В воздухе процес­
сы диссоциации до T = 1300 K малы, ими можно пренебречь
при любых плотностях р ^ 10_бро (где ро = 1,292кг-м _3 —
плотность воздуха при нормальных условиях). Заметный про­
цесс диссоциации, т. е. распад молекул кислорода O 2 и азота
N2 на атомы, начинается с 2000 K (при нормальном давлении)
и практически заканчивается при 6000 K. Зам етная ионизации
воздуха начинается при 6000 K, при этом происходит отрыв
внешних электронов у атомов. То есть д л я каж дой амплитуды
ударного сж атия, характеризующ ейся параметрами T2, Р2, р 2 ,
и 2, E 2, S 2 , состав воздуха, вследствие процессов диссоциации
и ионизации, различен. Поэтому термодинамические свойства
воздуха до и после ударного сж атия не одинаковы: различны
показатели изоэнтропы, молекулярный вес воздуха до и после
ударного сж атия. В этом случае на основе термодинамических
расчётов необходимо определять состав воздуха при каж дом
определённом ударном сжатии. В основе расчётов параметров
УВ л еж ат система уравнений (3.4) и уравнение (3.5):
и 2 = Ѵ ( Р 2 — Рі)(ѵі — Ѵ2) ,
Р2 = Р2 (Р2 , E 2),
Р2 = Р2 (Р2 , T2).
Задаваясь, например, температурой T 2, определяю т осталь­
ные параметры УВ, Р2, р 2, Щ, D, на основе термодинамических
расчётов с учётом процессов диссоциации и ионизации возду­
ха и известных уравнений состояния: E 2 = Е 2 (р 2 ,Р 2), Р2 =
= Р2 (р 2 , T2). Исходными данными д л я этих вычислений служ ат
сведения о потенциалах диссоциации и ионизации и об энерге­
тических уровнях частиц воздуха.
В настоящее время существуют подробные таблицы с пара­
метрами УВ в воздухе, которыми удобно и просто пользоваться
на практике. Такие таблицы охватываю т интервал температур
3.1. Связь м еж ду параметрами ударной волны
83
от 200 K и до 3 • 106 K и плотности от 30ро до 10_ 6ро, и они
даю т информацию об УВ в воздухе на различны х высотах h над
уровнем моря от h = 0 до h = 100 км.
Ниже приведена таблица д л я параметров УВ при h = 0.
При пользовании такой таблицей необходимо задать один из
параметров, например T2, или р 2 или D, тогда остальные опре­
деляю тся из таблицы 3.1. В таблице 3.1 приведены такж е э ф ­
ф ективны е значения показателя изоэнтропы:
Лэф = - E + 1.
P2E 2
Д л я ударных адиабат предполагалось, что исходный состав воз­
духа не зависит от высоты (учёт необходим при высоте свыше
90-100 км).
3 .1 .5 .
У д а р н а я а д и а б а т а . Ударной адиабатой называется
зависимость м еж ду двум я параметрами в ударной волне: p 2 =
= p 2(p2), D = D ( u 2), p 2 = р 2 (и2) и т.д . Если из уравнений д ля
энергии (3.5) и уравнения состояния (3.6) исключить внутрен­
нюю энергию E 2, то получим уравнение вида Р2 = p 2 (p 2 , Pi, Pi),
которое называется ударной адиабатой. Это уравнение пред­
ставляет собой геометрическое место точек возможных состо­
яний на ф ронте УВ. К аж д ой паре p 1 и P1, соответствует своя
ударная адиабата.
Ниже на примере совершенного газа рассмотрен ряд свойств
УВ, справедливых д л я любой среды.
Рассмотрим ударную адиабату д л я совершенного газа. Н аи­
более простой вид имеют формулы д л я УВ в случае совершен­
ного газа. Подставим в уравнение энергии (3.5),
jp jp
Pi + P2 ,
ч
E 2 — E i = — 2— (vi —V2)
соотношение, справедливое д л я совершенного газа (1.16)
E = сѵT =
PV.(3.10)
После необходимых преобразований получаем уравнение удар­
ной адиабаты в виде
P2 = (k + 1)vi — (k — 1)V2
(3 11)
p i (k + 1)v2 — (k — 1) v i ,
.
или д л я отношения плотностей:
P2 = P2 (k + 1) + P i (k — 1)
Pi P2 (k — 1) + p i ( k + 1).
(3 12)
.
т2,К
2 9 8 ,1 5
т2
Ті
1 ,0173
-1 1to
Таблица 3.1
Р2
Pi
м
«2, —
с
е
2 • Ю -»,
кДж
С
кг
м
кг •К
С2, -
&эф
С
1,0308
1,0458
3 6 4 ,9
1 0,90
0 ,2 0 9 4
6 ,8 16
343,1
1,402
1,1124
3 6 4 ,6
2 5 ,4 7
0 ,2 1 3 0
6 ,8 30
346,1
1,402
4 0 0 ,0 0
1,3881
2 ,0 2 1 5
2 ,80 6 4
5 4 3 ,8
2 7 4 ,8
0 ,2 8 6 5
6 ,8 60
4 0 0 ,2
1,401
5 0 0 ,0 0
1,7351
2 ,7 6 3 2
4 ,7951
7 0 1 ,4
4 4 7 ,6
0 ,3 5 9 8
6 ,9 35
4 46,1
1,399
6 0 0 ,0 0
2 ,0 8 2 2
3 ,3 1 3 8
6 ,9 0 0 7
836,1
5 8 3 ,8
0 ,4 3 5 2
7 ,0 19
4 8 6 ,9
1,396
7 0 0 ,0 0
2 ,4 2 9 2
3,7421
9 ,09 1 4
9 5 5 ,8
7 0 0 ,4
0 ,5 1 2 7
7 ,1 04
5 2 3 ,8
1,392
8 0 0 ,0 0
2 ,7 7 6 2
4 ,0 8 1 7
11,3 3 30
1 0 64,0
8 0 3 ,3
0 ,5 9 2 8
7 ,1 86
5 5 7 ,6
1,388
9 0 0 ,0 0
3 ,1 2 3 3
4 ,3 8 7 5
13,7 0 50
1 167,0
9 0 1 ,0
0,6751
7 ,2 62
5 8 9 ,4
1,383
1000
3 ,4 7 0 3
4 ,6 2 4 4
16,0 5 00
1 2 60,0
9 8 7 ,5
0 ,7 5 9 2
7 ,3 36
6 1 9 ,3
1,378
1100
3 ,8 1 7 3
4 ,8 5 8 5
18,5441
1 3 52,0
1 0 7 4,0
0,8461
7 ,4 04
6 4 7 ,7
1,373
1200
4 ,1 6 4 3
5 ,0 2 7 0
2 0 ,9 8 2 0
1 4 3 5,0
1 150,0
0 ,9 3 4 4
4,471
6 7 4 ,6
1,369
1300
4 ,5 1 1 4
5,2071
2 3 ,4 8 9 0
1 5 17,0
1 2 2 6,0
1,025
7 ,5 34
7 0 0 ,6
1,364
1400
4 ,8 5 8 4
5 ,3 5 7 0
2 6 ,0 2 5 0
1 5 95,0
1 2 9 8,0
1,116
7 ,5 95
7 2 5 ,7
1,360
1500
5 ,2 0 5 4
5 ,5 0 2 0
2 8 ,6 3 9 0
1 6 72,0
1 3 6 8,0
1,210
7 ,6 58
7 4 9 ,3
1,356
1600
5 ,5 5 2 5
5 ,6 3 3 0
3 1 ,2 7 6 0
1 7 45,0
1 4 3 5 ,0
1,305
7 ,7 0 7
7 7 2 ,5
1,352
1700
5 ,8 9 9 6
5 ,7 5 8 0
3 3 ,9 6 8 0
1 8 17,0
1 5 0 1,0
1,402
7 ,7 60
7 9 4 ,4
1,348
1800
6 ,2 4 6 5
5 ,8 7 6 0
3 6 ,7 0 4 0
1 8 87,0
1 5 6 6,0
1,501
7 ,8 10
8 1 6 ,0
1,344
1900
6 ,5 9 3 6
5 ,9 8 5 0
3 9 ,4 6 2 0
1 9 55,0
1 6 2 8,0
1,601
7 ,8 59
8 3 7 ,0
1,341
волн
1,0751
ударных
1 ,03 4 7
Гл. 3. Теория
3 0 0 ,0 0
Т 2, К
т2
Р2
Р2
м
«2, —
е
2 ■ 1 0 -= ,
кД ж
кг
м
кг •К
С2, -
&эф
Ті
Рі
Рі
200 0
6 ,9 4 0 6
6 ,0 9 1 0
4 2 ,2 7 4 0
2 0 2 1 ,0
1 6 8 9,0
1,703
7 ,9 06
8 5 6 ,7
1,337
2 2 0 0 ,0 0
7 ,6 3 4 6
6 ,2 9 5 0
4 8 ,0 6 6 0
2 152,0
1 8 1 0,0
1,914
7 ,9 9 7
8 9 4 ,9
1,330
240 0
8 ,3 2 8 7
6 ,4 8 4 0
5 4 ,0 1 6 0
2 2 7 7 ,0
1 9 2 6,0
2 ,1 32
8 ,0 83
9 3 1 ,5
1,323
260 0
9 ,0 2 2 7
6 ,6 7 2 0
6 0 ,2 3 8 0
2 4 0 1 ,0
2 0 4 1 ,0
2 ,3 60
8 ,1 6 7
966,1
1,316
280 0
9 ,7 1 6 8
6 ,8 5 7 0
6 6 ,7 1 3 0
2 5 2 3 ,0
2 155,0
2 ,6 00
8 ,2 48
1 031
1,310
300 0
10,4 1 10
7 ,0 4 7 0
7 3 ,5 7 2 0
2 6 4 5 ,0
2 2 6 9 ,0
2 ,8 58
8 ,3 2 7
1 068
1,302
320 0
11,1 0 50
7 ,2 3 8 0
8 0 ,7 8 0 0
2 7 6 7 ,0
2 3 8 5 ,0
3 ,1 22
8 ,3 92
1 093
1,296
340 0
11,7 9 90
7 ,4 3 5 0
8 8 ,4 7 3 0
2 8 9 1 ,0
2 5 0 2 ,0
3 ,4 10
8 ,4 85
1 125
1,289
360 0
12,4 9 30
7 ,6 3 1 0
9 6 ,5 1 7 0
3 0 1 6 ,0
2 6 2 1 ,0
3 ,7 13
8 ,5 66
1 158
1,282
380 0
13,1 8 70
7 ,8 5 2 0
1 0 5 ,4 1 00
3 147,0
2 7 4 6 ,0
4 ,0 4 9
8 ,6 48
1 191
1,274
1,268
с
С
С
1 1 4 ,7 2 00
3 2 7 8 ,0
2 8 7 1 ,0
4 ,4 0 0
8 ,7 30
1 225
1 2 4 ,5 8 00
3 4 1 1 ,0
2 9 9 8 ,0
4 ,7 7 0
8 ,8 13
1 263
1,261
4400
15,2 6 90
8 ,4 4 7 0
1 3 4 ,6 5 00
3 5 4 2 ,0
3 123,0
5 ,1 54
8 ,8 96
1 299
1,256
15,9 6 30
8 ,6 2 1 0
1 4 5 ,1 7 00
3 6 7 3 ,0
3 2 4 7 ,0
5,551
8 ,9 78
1 335
1,251
16,6 5 70
8 ,7 7 6 0
1 5 5 ,8 2 00
3 8 0 2 ,0
3 3 6 9 ,0
5 ,9 58
9 ,0 58
1 335
1,247
500 0
17,3 5 10
8 ,9 0 8 0
1 6 6 ,5 0 00
3 9 2 8 ,0
3 4 8 7 ,0
6 ,3 58
9 ,1 3 7
1 375
1,243
550 0
19,0 8 70
9 ,1 3 5 0
1 9 2 ,8 8 00
4 2 2 2,0
3 7 6 0 ,0
7 ,3 48
9 ,3 18
1 4 64
1,238
600 0
2 0 ,8 2 2 0
9 ,2 9 9 0
2 1 9 ,2 2 0 0
4 4 9 8 ,0
4 0 1 4 ,0
8 ,3 3 7
9 ,4 83
1 551
1,234
650 0
2 2 ,5 5 7 0
9 ,4 3 8 0
2 4 6 ,1 6 0 0
4 7 6 4,0
4 2 5 9 ,0
9 ,3 46
9 ,6 39
1 631
1,231
волны
4600
4800
ударной
8 ,0 5 7 0
8 ,2 6 6 0
параметрами
13,8 8 10
14,5 7 50
3.1. Связь между
4000
4200
00
сл
т2, К
т2
Ті
-1 1to
00
Р2
Pi
м
«2, —
с
е
2 • Ю -»,
С
кДж
кг
м
-,2 . ю - = ,
кг •К
С2, -
&эф
С
700 0
2 4 ,2 9 2 0
9 ,5 8 4 0
2 7 4 ,8 9 0 0
5 03 0,0
4 50 5,0
10,430
9 ,7 94
1 699
1,228
750 0
2 6 ,0 2 7 0
9 ,7 9 0 0
3 0 8 ,0 0 0 0
5 31 9,0
4 77 5,0
11,680
9 ,9 60
1 769
1,223
800 0
2 7 ,7 6 2 0
10,0 6 00
3 4 6 ,5 2 0 0
5 63 5,0
5 0 7 5,0
13,150
1 0,14
1 844
1,217
2 9 ,4 9 8 0
10,3 5 00
3 9 0 ,5 9 0 0
5 97 3,0
5 3 9 6,0
14,870
1 0,34
1 925
1,210
3 1 ,2 3 3 0
10,7 2 00
4 4 3 ,7 6 0 0
6 35 7,0
5 7 6 4,0
16,880
1 0,55
2 016
1,203
950 0
3 2 ,9 6 8 0
11,0 5 00
5 0 1 ,6 7 0 0
6 75 1,0
6 140,0
19,120
1 0,60
2 116
1,196
10000
3 4 ,7 0 3 0
11,3 8 00
5 6 6 ,9 0 0 0
7 166,0
6 5 3 7,0
2 1 ,6 4 0
1 1,05
2 214
1,190
11,8 8 00
7 0 7 ,8 3 0 0
7 99 2,0
7 32 0,0
2 7 ,0 5 0
1 1,62
2 4 45
1,182
4 1 ,6 4 4 0
12,1 2 00
8 5 0 ,1 4 0 0
8 75 2,0
8 0 3 0,0
3 2 ,5 1 0
1 2,09
2 668
1,178
13000
4 5 ,1 1 4 0
12,1 9 00
9 8 4 ,0 3 0 0
9 4 12 ,0
8 6 4 0,0
3 7 ,6 0 0
1 2,49
2 867
1,178
14000
4 8 ,5 8 4 0
12,0 8 00
1 0 9 7,9 00
9 94 8,0
9 125,0
4 1 ,9 1 0
1 2,80
3 073
1,179
15000
5 2 ,0 5 4 0
11,9 0 00
1 1 9 5,6 00
10 3 9 0,0
9 5 1 5,0
4 5 ,5 4 0
1 3,06
3 248
1,182
16000
5 5 ,5 2 5 0
11,7 8 00
1 2 8 6,1 00
10 7 8 0,0
9 8 6 1,0
4 8 ,9 0 0
1 3,28
3 396
1,185
17000
5 8 ,9 9 5 0
11,5 5 00
1 3 7 0,1 00
И 130,0
10 170,0
5 1 ,9 9 0
1 3,42
3 540
1,189
18000
6 2 ,4 6 5 0
11,4 0 00
1 4 5 4,7 00
И 4 8 0 ,0
10 4 7 0 ,0
5 5 ,1 2 0
13,61
3 668
1,192
19000
6 5 ,9 3 6 0
11,2 8 00
1 5 4 0,7 00
И 8 2 0 ,0
10 7 7 0,0
5 8 ,2 9 0
1 3,78
3 795
1,194
200 0 0
6 9 ,4 0 6 0
11,1 8 00
1 6 3 0,5 00
12 170,0
И 0 8 0 ,0
6 1 ,6 3 0
1 3,96
3 917
1,196
волн
3 8 ,1 7 3 0
12000
ударных
11000
Гл. 3. Теория
850 0
900 0
3.1. Связь м еж ду параметрами ударной волны
87
У дарная адиабата (ударная адиабата Гюгонио) представляет
собой кривую в плоскости Р2- Р 2, проходящую через точку на­
чального состояния p i, pi. Эта кривая изображена на рис. 3.3.
Ударная адиабата
(адиабата Гюгонио)
Рис. 3.3
Рис. 3.4
Из уравнения (3.12) видно, что при бесконечном увеличении
давления р 2 за фронтом ударной волны (случай очень большой
амплитуды УВ) плотность газа не увеличивается беспредельно,
а стремится к определённому предельному значению. Это пре­
дельное значение легко вычислить, если в уравнении адиабаты
Гюгонио (3.12) сделать следующие преобразования:
Р2
Рі
(к + 1) + Pi (к — 1)
_________ Р2_______
(3.13)
(к - 1) + Pi (к + 1) ‘
Р2
Предел, к которому стремится правая часть этого вы раж ения
при р 2 ^ ж , равен
Ло
кк++1 і
lim —
(3.14)
Р2^<Х pi
к
1
Теперь мы можем подсчитать, до какой предельной плотно­
сти можно сж ать газ при однократном прохождении УВ. Эта
предельная плотность равна
рпр1
к +1
Piк 1
(3.15)
К а к видно из (3.14) и (3.15), предельное сжатие в УВ зависит
только от показателя адиабаты и равно
рпр1
р1
к + 1
к — 1’
(3 .1 6 )
88
Гл. 3. Теория ударных волн
Д л я идеального газа с показателем адиабаты k = 1,4 (что
соответствует воздуху) предельное сжатие равно 6, при k = 1, 2
оно равно 11 (ионизированный и диссоциированный воздух).
Сравним теперь изоэнтропическое и ударное сжатие. У рав­
нение изоэнтропы имеет вид
Р2
к
(3.17)
Рі
К а к видно из этого уравнения, при изоэнтропическом сжатии
газа его можно сж ать во сколько угодно раз, т. е. можно уве­
личивать плотность до бесконечности (рис. 3.3 и рис. 3.4) при
беспредельном увеличении давления.
3 .1 .6 . Д в о й н о е у д а р н о е с ж а т и е . Пусть у нас газ уже
сж ат ударной волной до плотности, близкой к предельному
сжатию рпрі; давление газа при этом будет иметь некоторое
значение Р2 (рис. 3.5).
Затем по газу пропускается вторая сильная УВ. У дарная
адиабата Гюгонио д л я второй УВ записывается следующим об­
разом:
Р3 = P3(k + 1) + Р2 (k — 1)
(3 18)
Рпрі
P3(k — 1) + J ) 2 (k + 1).
'
Предельное сжатие во второй
ударной волне (рз ^ о ) будет
равно
2
k + 1
Рі.
k —1
'(3.19)
Если распространить наши рас­
суж дения на случай п-кратного
ударного сж атия, то мы полу­
чим выражение д л я предельного
сж атия в случае прохождения по
газу п последовательных УВ:
k + 1
рпр2 — рпр1"
k —1
рпр n --
k + 1
k- 1
n
рі.
(3.20)
Следует отметить, что двойное ударное сжатие всегда осу­
щ ествляется при отражении сильной УВ от жёсткой стенки.
3.2. И зм енение температуры и энт ропии
89
3.2. Изменение температуры и энтропии при
ударном и изоэнтропическом процессах
в совершенном газе
3 .2 .1 . И з м е н е н и е т е м п е р а т у р ы п р и у д а р н о м с ж а т и и .
Д л я совершенного газа известно уравнение состояния (см.
п. 1.1.5)
p = p RT.
(3.21)
Д л я двух состояний совершенного газа можно записать
-V2 = р2 T 2 ,
pi
Pi T i ’
(3.22)
1'
где параметры с индексом 1 являю тся первоначальными пара­
метрами газа, а с индексом 2 — после сжатия.
Т ак как д л я изоэнтропического сж атия совершенного газа
справедливо соотношение
\ i/k
^
= р2 ,
Vi)
Pi
(3.23)
то, учиты вая (3.22), отношение давлений равно
— = ( >piУ Д T 2 ,
(3.24)
pi
W
Ti'
''
или, разреш ив это уравнение относительно температуры, полу­
чим
(
\
Ti
Ti
= (» \ ( №
\p ij
(3.25)
Итак, при изоэнтропическом сжатии тем пература вдоль изоэнтропы p = p(p) растёт и имеет следующую зависимость от
давления:
T 2 - p {2k - i ) / k .
(3.26)
Если в случае ударного сж атия совершенного газа отсутству­
ют процессы ионизации и диссоциации, то показатель изоэнтропы k при переходе через ф ронт волны остается без измене­
ния. У читы вая это, мы можем, воспользовавшись соотношением
(3.22), записать адиабату Гюгонио в виде
p 2 p 2 (k + 1) + p i ( k - 1) T 2
pi p 2(k - 1) + p i ( k + 1) T i '
(3 .2 7 )
90
Гл. 3. Теория ударных волн
С равнивая вы раж ения (3.25) и (3.27), можно заклю чить, что
при ударном сжатии тем пература растёт значительно быстрее,
чем при изоэнтропическом сжатии (рис. 3.6).
Более интенсивный рост тем пературы в частице, сжатой
ударной волной, и объясняет существования предельной плот­
ности при ударном сжатии: давление ударного сж атия р 2 стре­
мится увеличить плотность р2, но интенсивный нагрев, кото­
рый сопровождаёт ударное сжатие, стремится уменьшить плот­
ность ударно-сжатой частицы. В результате наступает равнове­
сие м еж ду этими противоположными процессами, которое ха­
рактеризуется величиной предельной плотности рпрі.
3 .2 .2 . И з м е н е н и е э н т р о п и и п р и у д а р н о м с ж а т и и .
Пусть у нас имеется д ва одинаковых объёма газа с одинаковыми
начальными параметрами рі, рі.
Сожмём оба газа до одинаковой плотности р*, причём пер­
вый объём газа будем сж им ать изоэнтропически, а другой —
ударной волной (рис. 3.7).
Д л я совершенного газа известно выражение д л я энтропии
единицы массы (1.35):
p
s = cv ln —k + const.
(3.28)
Тогда в случае изоэнтропического сж атия имеем д л я точки “а ”
(рис. 3.7) значение энтропии
s a = s 1 = cv ln р2и3 + const.
Pk
(3.29)
3.2. И зм енение температуры и энт ропии
91
Д л я случая ударного сж атия имеем значение энтропии в точ­
ке “б”
р2
s 6 = cv l n — + const.
(3.30)
Pk
Разность энтропий в точках “б” и “ а ”будет равна
A s = S6 — Sa = Cv ln f
\ Ѵ 2и з )
.(3.31)
Т ак как у нас Р2уд > Р2из, очевидно, что A s > 0. Принимая во
внимание, что при изоэнтропическом сжатии энтропия газа не
меняется, то есть остается постоянной в течение всего процесса
сж атия га за , то
sa = s i = const.
(3.32)
Итак, вдоль изоэнтропы энтропия постоянна, а на ударной
адиабате энтропия возрастает и в пределе Р2уд ^ ж и s 2 ^
ж, т. е. стремиться к бесконечности. Поскольку энтропия ха­
рактеризует меру необратимости термодинамического процесса,
то чем больше амплитуда УВ, тем больше как энтропия, так
и необратимые энергетические потери в ударной волне.
з .2 .3 . Н е в о з м о ж н о с т ь с у щ е с т в о в а н и я у д а р н о й в о л ­
ны р а зр е ж ен и я в вещ естве с н ор м ал ьн ы м и свойствам и.
Если рассматривать внутреннюю энергию единицы массы как
функцию удельной энтропии и удельного объёма, то можно за ­
писать приращение энергии в ударной волне в виде разложения
по малым приращ ения независимых переменных около точки
начального состояния:
E — E l = ( I f ) , (s2 — s i) + ( S
+ К
И
) ,«
) , («2 — «1)+
— «1)2+ 6 ( И
) ,«
— «1)3 ■■■ (3-33)
Согласно термодинамическому тож деству d E = T d s — pdv, мо­
жем записать
'd E \
fdE \
f
dE)v =
;
\ » v ) ~ѣ
(
)
У читы вая (3.34), запишем разложение (3.33) в виде
E 2 — E i = T i(s 2 — s i) — p i(« 2 —Vi) —
1 ('д
dp \
д
(v 2 — Vi)2—
Х ( д Р \ («2 — v i) 2.
6 \ dv2 $
(3.35)
92
Гл. 3. Теория ударных волн
Подставим выражение (3.35) в уравнение адиабаты Гюгонио
в виде
1
h 2 - hi = 2 (Р2 - p i)(v 2 - vi),
(3.36)
где h = E + pv (см. 1.19), и разлож им в правой части её объём,
ограничиваясь в разложении давления членами второго порядка
по разности р 2 —pi:
Ѵ2 = vi + (^
d p ) s (P2 - P i) + 2 (d p v ) s (P2 - P i )2‘
(3.37)
П роизведя сокращ ения в уравнении адиабаты Гюгонио с под­
ставленными разложениями, получим связь приращения энтро­
пии с приращением давления:
T i (S2 - Si) = — ^ ~QpV^ (Р2 - P i )3 + ■■■'
(3.38)
Теперь посмотрим, в каких случаях в веществе возможно
распространение УВ сж атия и в каких УВ разрежения. Схема­
тические изображения УВ сж атия (а) и разреж ения (б) показа­
ны на рис. 3.8.
а
Рис. 3.8
б
Рис. 3.9
Из уравнения (3.38) видно, что знак приращ ения энтропии
в УВ определяется знаками вторых производных, которые рас­
считываю тся вдоль изоэнтроп (адиабат Пуассона). Если веще­
ство обладаёт нормальными термодинамическими свойствами
(большинство реальных веществ), то есть его адиабата Пуассона
на плоскости p -v изображена кривой, обращённой выпуклостью
вниз (рис. 3.9а). В этом случае энтропия растёт (s2 — Si > 0)
в ударной волне сж атия, когда p 2 > p i, д ‘2v / d p 2 > 0, и умень­
шается в ударной волне разрежения. Но по второму закону
термодинамики, за счёт одних только внутренних процессов
3.2. И зм енение температуры и энт ропии
93
в адиабатических процессах (без отбора тепла наруж у), энтро­
пия вещества не может уменьшаться. У читы вая это, приходим
к выводу, что в веществе с нормальными термодинамическими
свойствами УВ разреж ения невозможна.
Если ж е вещество обладает термодинамическими свойства­
ми такими, что его адиабата Пуассона изображается на плос­
кости p - v кривой, обращённой выпуклостью вверх (аномаль­
ные термодинамические свойства), д л я которой ( д 2v / d p 2) s < 0
(рис. 3.9б), то положение обратное: энтропия растёт в ударной
волне разреж ения, когда p 2 < pi, и уменьшается в ударной
волне сж атия. Д л я такого вещества согласно второму началу
термодинамики УВ сж атия невозможна, но возможна УВ раз­
режения.
3 .2 .4 .
Т о л щ и н а ф р о н т а у д а р н о й в о л н ы . К а к было вы­
яснено выше, энтропия газа, испытывающего ударное сжатие,
возрастает, причём тем сильнее, чем больше амплитуда ударной
волны. Возрастание энтропии
говорит о том, что в ударной
волне идут необратимые, дис­
сипативные процессы, связан­
ные с существованием вязкости
и теплопроводности вещества.
В теории, где вязкость и теп­
лопроводность не учитываются,
ударный ф ронт представляется
поверхностью с нулевой толщиной. Однако, детальный анализ
с учётом вязкости и теплопроводности показывает, что ф ронт
УВ имеет некоторую толщину А Х (рис. 3.10), которая д л я воз­
духа обратно пропорциональна давлению:
4 • 10-5
А Х - [см] , A p [атм] .
Ap2
Эта толщ ина имеет порядок длины свободного пробега молекул,
которая пропорциональна коэф фициенту вязкости и теплопро­
водности.
3 .2 .5 .
С л а б ы е и си л ь н ы е У В в со вер ш ен н о м газе. Ра­
нее мы вывели соотношения (3.8), (3.12), связывающие парамет­
ры на ф ронте УВ д л я совершенного идеального газа, которые
94
Гл. 3. Теория ударных волн
имеют следующим вид:
P iD = p 2 ( D - U2);
p 2 - p i = Piu 2D ;
P2 = P2 (k + 1 ) + P i ( k -
(3 39)
1' J
1)
Pi P2 (k - 1) + Pi (k + 1) ■
Удобно вы разить основные параметры ударной волны U2 , P2 как
ф ункции скорости звука ci невозмущенной среды:
с2 = k P i ■
Pi
(3.40)
Опустив все вы кладки, запишем эти вы раж ения уж е в конечном
виде:
2
2(
с1
P2 - Pi = A P 2 = k + 1 PiD ^ 1 - D 2
(3.41)
U2 = - ^ D
k +1
( 1- С Л ,
V
D 2j
1-
p2
=
k + 1 \
- 4
D2
Эти уравнения годятся и д л я сильных УВ, и д л я слабых УВ.
Д л я сильных (P2 ^ Pi или 1 ^ c2/ D 2) УВ (практически
сильными ударными волнами будем назы вать волны, д л я кото­
рых P2/ Pi > 10- 20) давлением Pi можно пренебречь по сравне­
нию с P2. В этом случае уравнения, связывающие параметры на
ф ронте сильной УВ, принимают особенно простой вид.
Если в третьем уравнении системы (3.39), то есть в урав­
нении ударной адиабаты Гюгонио, в правой части разделить
числитель и знаменатель на P2, то в пределе мы придем к вы­
ражению
Pi = Г
k +
- Г1 '
(3.42)
которое показывает, что плотность газа на ф ронте УВ действи­
тельно стремится, как мы уже выяснили раньше, к определён­
ному пределу, зависящему от значения величины k .
Из первого и второго уравнений системы (3.39) следует вы­
ражение
D 2 = v 2P 2 - P i ,
(3.43)
Vi - V2
которое в случае сильной УВ (пренебрегаем P1 по сравнением
с P2) будет иметь после дополнительных преобразований следу-
3.2. И зм енение температуры и энт ропии
95
ющии вид:
П2
2Р2 - Р 1
D - Vi---------V1 - Vi
Р21V1
P2i V1
k + 1
------VT = ----- k—
1 - _£.
k - 1
1
2 P2V1V1
k + 1
Из этого вы раж ения получаем, что давление на ф ронте сильноИ
УВ равно
2
Pi = k + 1 P1D 2 '
(3'44)
Из первого уравнения системы (3.39), P1D — p i ( D - u i ) получим
р1 — 1 _ —
Pi
D '
У читы вая соотношение (3.42), получим выражение д л я массо­
вой скорости в сильной ударной волне:
2
Ui - k + 1D ■
(3.45)
Формулы (3.42), (3.44) и (3.45) легко получаются из системы
(3.41), если считать c ? jD 2 ^ 1.
Посмотрим теперь, что происходит с ударной волной на боль­
шом удалении от места её возникновения.
Т ак как в ударной волне идут интенсивные необратимые
энергетические потери, а такж е вследствие дивергенции (рас­
хождения) волны, её интенсивность с удалением от места воз­
никновения уменьшается, то есть при r ^ ж, A E ^ 0, А р ^ 0,
А р ^ 0.
Скорость ударной волны D, которая больше скорости звука
в невозмущенной среде, по которой распространяется УВ, в
своём пределе, когда интенсивность УВ сильно падает (pi ~ P 1),
становится равной скорости звука в невозмущенной среде. Это
видно из соотношения д л я D 2 (3.43), если
-
п2
2А р
i f dp\
(dp\
2
D 2 - V2- ►V2 —
—
- с1
4 dv) 1
\d p j 1
1 Av
P2 ^ P1; V2 ^ V1.
1 (3.46)
Таким образом, УВ на большом удалении в пределе пре­
вращ ается в звуковую волну, то есть скорость УВ стремиться
в пределе к скорости звука (рис. 3.11).
Уравнение Гюгонио д л я УВ, имеющее вид
Р
j-,
Pi + P 1 ,
ч
E i - E 1 - ---- 2---- (V1 - V2),
Гл. 3. Теория ударных волн
96
в пределе при p 2 ^ pi прини­
мает вид
A E = - p iAv,
или в
форме
Рис. 3.11
диф ф еренциальной
d E = - p i dv.
Сравним полученное вы­
ражение с известным термодинамическим тождеством (1-е на­
чало термодинамики)
T d s = d E + pdv.
Очевидно, что полученное нами выражение д л я УВ в виде
d E + p i dv = 0
как раз и является этим тождеством, в котором ds = 0, или s =
= const. Иными словами, УВ на большом расстоянии от места
своего возникновения в пределе превращается в изоэнтропическую звуковую волну.
3.3. Диссипация энергии на фронте ударной волны
Н а ф ронте УВ наблюдается скачок энтропии, то есть энергия
направленного движ ения частиц частично переходит в энергию
беспорядочного теплового движения, в результате чего кинети­
ческая энергия соответствующего элемента среды уменьш ает­
ся, а внутренняя энергия его возрастает. С термодинамической
точки зрения это происходит потому, что скорость нагружения
на ф ронте УВ значительно превышает скорость установления
равновесного состояния в среде.
Скачок энтропии S2 — s i яв­
ляется мерой необратимости по­
терь энергии (диссипации энер­
гии). Если провести аналогию
с механическими системами, то
необратимые потери энергии
при ударном сжатии подобны
Рис. 3.12
потерям энергии на трение при
механическом движении.
3.3. Д и с си п а ц и я энергии на фронте ударной волны
97
Скачок энтропии (рис. 3.12) при ударном сжатии пропорци­
онален третьей степени скачка давления на ф ронте УВ, то есть
(см. (3.38))
3
3
S2 - si ~ (Др) = (p2 — p i ) 3•
(3.47)
Поскольку при взрывах в среде (газе, жидкости, твёрдом
теле) возникают УВ, то по мере удаления от места взры ва
энергетические потери возрастают, при этом УВ перекачивает
энергию взры ва в необратимые потери.
3 .3 .1 .
О пределение удельн ы х необратим ы х потерь
э н е р г и и н а ф р о н т е у д а р н о й в о л н ы . Пусть Д Е п есть удель­
ные необратимые потери энергии (из расчёта на единицу массы
данной среды) д л я заданной УВ. Единица массы среды до удар­
ного сж атия занимает объём vi = 1/ p i; в результате ударного
сж атия объём единицы массы среды становится равным Ѵ2 =
= 1/ p 2. После ударного сж атия эта элементарная масса сре­
ды совершает работу изоэнтропического расширения до объёма
Ѵк = 1/ pK (рис. 3.13).
D
до сжатия
а
D
процесс сжатия
D
после сжатия
б
Рис. 3.13
Процесс ударного сж атия
и последующего изоэнтропического расширения единицы
массы среды можно представить
следующим образом (рис. 3.14)
При ударном сжатии измене­
ние внутренней энергии едини­
цы массы среды равно (3.5)
Р2 + Рі
(vi —Ѵ2),
2
(3.48)
Рис. 3.14
что соответствует на рис. 3.14
площади 1234.
После ударного сж атия среда совершает работу изоэнтропического расширения. Согласно первому началу термодинамики
T d s = d E + pdv.
4 Л. П. Орленко
Гл. 3. Теория ударных волн
98
Т ак как расширение у нас изоэнтропическое (s = const), то левая
часть этого уравнения будет равна нулю (ds = 0). Тогда полу­
чим, что
dE = -pdv.
(3.49)
Проинтегрировав это выражение вдоль изоэнтропы, получим
Ek
vk
dE =
pdv.
(3.50)
Е2
Очевидно, что в левой части интеграл равен разности энергий
единицы массы в точках K и 2, то есть
VK
E k —E 2 = —
VK
pdv,
или
E2 —E k =
pdv.
(3.51)
Совершенно очевидно, что необратимые потери энергии на
ф ронте УВ будут равны разности работ при ударном сжатии
и изоэнтропическом расширении, то есть будут равны
VK
p dv .
E k — E \ = A E n = (vx — v 2) —
(3.52)
V2
Эта энергия расходуется на остаточный разогрев системы после
её расширения. Она численно равна разности площади трапеции
1234 и площади под изоэнтропой 2 K (рис. 3.14).
Можно найти тем пературу среды после прохождения УВ.
Например, д л я идеального газа, поскольку
k
Р2_
Рк
(3.53)
интеграл
vk
pdv =
V2
а при 'рк = Рі (при этом
vk
P2v 2 — РК v k
k - 1
(3.54)
> vi) получим:
др
Р2 + P i , s P2v 2 — P i v k
A E n = cv A T = — 2— (vi — v 2) -------- ^
,
(3 .5 5 )
3.3. Д и с си п а ц и я энергии на фронте ударной волны
99
где v к может быть определено из соотношения
Из соотношения (3.55) можно определить тем пературу сре­
ды после прохождения УВ.
Удельные необратимые потери могут быть определены, если
известна тем пература среды в точке K (рис. 3.14) с помощью
формулы (1.23)
A h n = h K — hi = cp i (TK — T 1),
(3.57)
где cpi — удельная теплоёмкость при постоянном давлении; hK
и h i — энтальпии, соответствующие состояниям среды в точках
K и 1 (рис. 3.14).
Поскольку h = E + pv, то A h n и A E n связаны м еж ду собой
соотношением
Ahn = A E n + p i (v k — vi).
(3.58)
3 .3 .2 .
О пределение полны х необратим ы х потерь
э н е р г и и н а ф р о н т е у д а р н о й в о л н ы . Рассмотрим опреде­
ление полных необратимых потерь энергии на примере взры ва
сферического заряд а взрывчатого вещества радиуса То в воздухе
(совершенном газе). Очевидно, что необратимые потери есть
ф ункция радиуса En = f ( t ).
Рассмотрим элементарный слой толщиной dr (рис. 3.15).
Тогда элементарные энерге­
тические потери при прохожде­
нии УВ через элементарный ша­
ровой слой будут равны
A m A E n = 4nT2d r p i A E n = A E 'n ,
(3.59)
где
A m — масса данного элемен­
тарного слоя,
Pi — плотность среды до
ударного сжатия,
A E n — энергетические поте­
ри в данном элементарном ша­
ровом слое.
4*
Рис. 3.15
Гл. 3. Теория ударных волн
100
Проинтегрировав это выражение по радиусу, получим пол­
ные необратимые потери энергии в сферической ударной волне:
R
R /
vk
Л Е п4 п г 2p l dr =
Еп =
Г0
I Pl + P2 (vl —v2) — pdv
2
Г0 \
V2
4 n r 2p l dr.
(3.60)
Д л я того, чтобы определить полные энергетические потери,
нужно знать:
1) ударную адиабату данной среды (ударную адиабату Гюгонио)
P2 = P2(v2);
(3.61)
2)изоэнтропы д л я данной среды, проходящие через разные
точки ударной адиабаты:
P = p(v);
(3.62)
3) зависимость давления на ф ронте УВ от радиуса:
p 2 = p 2(r).
(3.63)
Обычно эта зависимость определяется опытным путём или по­
лучается с помощью численного интегрирования уравнений дви­
ж ения среды.
3 .3 .3 . П р и б л и ж ё н н ы й р а с ч ё т н е о б р а т и м ы х
потерь
э н е р г и и . Приближённый расчёт проводится по формуле
m
Еп
ЛЕпі A m i ,
(3.64)
i=i
где Л Е пі — удельные необратимые потери энергии в г-м ш аро­
вом слое среды, Л т і — масса г-го слоя среды.
Расчёт проводится в следующем порядке. Сначала на мил­
лиметровке вы черчивается ударная адиабата данной среды. На
этой ударной адиабате выбирается достаточное количество то­
чек и д л я каждой из этих точек строятся изоэнтропы (рис. 3.16)
Затем по этому граф ику д л я каж д ы х значений p 2i подсчи­
ты ваю т Л Е пі:
P2i ^ Л Е п і,
P22 ^ Л Е п2,
p 2i
^ Л Е пі ,
3.3. Д и сси п а ц и я энергии на фронте ударной волны
p 2m
101
* A E nm-
После этого строят гр аф и к зависимости удельной диссипации
энергии в ударной волне А Е пі от P2 (рис. 3.17)
Д алее д л я каж дого i-го слоя подсчитываю т его массу A m i
(рис. 3.18), и каж дую массу умножаем на А Е пі, в соответ­
ствии с экспериментальным графиком зависимости p 2 = Р2 (г)
(рис. 3.19) и затем по формуле
A E ui A m i = А Е П
вычисляем необратимые потери энергии д л я каж дого шарового
слоя, и, наконец, просуммировав энергетические потери в слоях
по формуле
m
Еп = ^ А Е п і Am i,
i=1
получаем приближённое значение необратимых потерь энергии
в объёме от Го до R.
Т а б л и ц а 3.2
Среда
R /r o = 2
R /ro = 5
R /ro = 10
Воздух
0,012
0,23
0,32
Вода
0,37
0,2
Песок (сухой)
0,37
0,67
Для песка учитывался процесс упаковки зёрен при ударном
сжатии
В таблице 3.2 приведены значения необратимых потерь энер­
гии д л я разных сред. Значения энергетических потерь даны
в относительных величинах ц = E n/ m Q на относительных рас-
102
Гл. 3. Теория ударных волн
Рис. 3.18
Рис. 3.19
стояниях R / ro, здесь m
плавления.
3.4.
масса ВВ, Q — удельная теплота
Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел
3 .4 .1 .
О п р е д е л е н и е у д а р н ы х а д и а б а т . Д л я совершен­
ного газа ударные адиабаты находятся легко сиспользова­
нием уравнения энергии (3.5) и известного уравнения состоя­
ния (1.16):
E 2 — E l = P2+ P (vi — V2),
E =
pi
1p i ( k — 1) ’
E =
P2
2 p2 (k — 1) ■
(3.65)
Из этих уравнений определяется ударная адиабата: P2 =
= s (p 2 , Pi, pi), см. (3.12).
Д л я жидкостей и твёрдых тел ударные адиабаты находят
опытным путём, поскольку д л я них не известны уравнения со­
стояния. Д л я этого используют уравнения сохранения массы
и изменения импульса:
p i D = P2( D — U2),
P2 — Pi = PiU2D^
(3.66)
В этой системе уравнений мы имеем четыре неизвестных: D , U2,
p 2, P2 . Если любые две неизвестные из них определяю т опытным
путём, например D и U2, остальные две неизвестные определяют
расчётом из уравнений (3.66).
В результате получаем ударные адиабаты в табличной
форме.
3.4 . Ударные адиабаты твёрдых и ж идких т ел
103
Из опыта:
опыт
расчёт
1.
D \ , u i ——pi, p i;
2.
D 2, U2 — P2, P2;
^.
D m un
—'[^т pn.
Н а рис. 3.20 представ­
лена ударная адиабата
в плоскости (D -U 2) и ударная адиабата в плоскости ([2—Р2),
полученная на основе D —U2 ударной адиабаты.
Рассмотрим способы экспериментального определения удар­
ных адиабат. Имеется три способа экспериментального опреде­
ления ударных адиабат: 1) осциллографический, 2) оптический,
3) метод мгновенной рентгенографии.
П реж де чем рассм атривать способы определения ударных
адиабат рассмотрим сначала способы возбуждения УВ в твёр­
дом теле (мишени). Д л я получения плоской УВ используют
плосковолновой генератор. Схема плосковолнового генератора
показана на рис. 3.21. Плосковолновой генератор состоит из
Ударник
С/о
Мишень
Рис. 3.22
линзы и из основного ВВ. Л инза состоит из двух взры вчаты х
веществ: ВВ-I, имеющего скорость детонации D i и ВВ-II, со
скоростью детонации D 2, причём D 2 < D i. Угол при вершине
конуса линзы в долж ен удовлетворять уравнению
tg в = ѵ D
- 1
104
Гл. 3. Теория ударных волн
чтобы детонационная волна одновременно подошла к линии раз­
д ела линза-основной блок ВВ.
П лоская детонационная волна позволяет получить плоскую
ударную волну в мишени, причём, чем больше ф ронт волны
приближается к плоскому, тем меньше ошибки в определении
скорости D и U2 . Другим способом получения УВ в исследуе­
мом теле является высокоскоростное метание ударника. Удар­
ник с большой скоростью ударяется о мишень (исследуемое те­
ло) и возбуж дает в ней ударную волну (рис. 3.22). Существует
несколько способов метания. Н а рис. 3.23а представлена одна
из возможных схем ускорителя д л я метания с помощью взры в­
чатого вещества в трубе: ВВ-I сдерживает снаруж и стальную
трубу, а ВВ-II метает массу M .
а
ВВ -II
б
Рис. 3.23
Н а рис. 3.23б показана установка: полусфера из ВВ (1)
и стальная полусфера (2). ВВ детонируется одновременно по
всей поверхности полусферы и метает стальную полусферу (2),
которая сходится к центру, и её скорость может достичь косми­
ческой скорости. Она ударяет по металлической полусфере (3),
из неё УВ переходит в мишень M .
Рассмотрим разные способы измерения скоростей D и U2.
Принципиальная схема измерения скоростей D и U2 методом
осциллографии, которая широко применяется д л я определения
ударных адиабат твёрдых тел, показана на (рис. 3.24). Д л я
измерения используются осциллографы, способные записывать
явления, время существования которых составляет доли микро­
секунды. В одной серии опытов замеряю т скорость D ударной
волны в теле, а в другой — скорость ип свободной поверхности.
Измерение скорости D ударной волны производится на базе hi =
= 5-8 мм. По осциллограмме определяю т время прохождения
волной этого расстояния, а следовательно, и среднюю скорость
УВ на этом участке пути, т. е. по формуле D = h i / t i , где h i —
база измерения, t i — время прохождения волной базы hi.
Рис. 3.24
Измерение скорости свободной поверхности производят на
плите, толщ ина которой уменьшена на величину 0, 5Н\. Это поз­
воляет замерить скорость и п тех частиц, которые расположены
посредине участка измерения h\. Скорость ип, с которой дви­
ж ется свободная поверхность мишени, определяется по формуле
ип = h 2/ t 2, где h-2 — база измерения,
— время прохождения
свободной поверхностью базы h-2. Скорость свободной поверхно­
сти мишени склады вается из двух составляющих и п = и р + U2,
где и р — скорость частиц в волне разрежения, которая движ ется
внутрь мишени от свободной тыльной поверхности мишени, и 2 —
скорость частиц в ударной волне.
Скорость и р в волне разреж ения определяется уравнени­
ем (2.13):
\
/
Л,
ир =
у/ - d p d v .
(3.67)
Вычисления величины и р/ и 2 показывают, что это отношение
мало отличается от единицы (в пределах 1%). Поэтому д ля
большинства металлов принимают
ип
ир
U2 = ~2 ,
что справедливо, если р2/р і < 1,4.
Кроме описанного выше способа осциллографирования, ши­
роко применяется такж е метод скоростного ф отографирования.
В методе скоростного ф отограф ирования применяются зер­
кальные ф оторазвёртки, способные д ать запись нескольких
миллиметров ф и льм а за 10_6 с.
В металле фрезеруется паз под небольшим углом к поверхно­
сти ~ 10°, в который вставляется блок из люцита (рис. (3.25)).
При действии УВ лю цит из прозрачного делается непрозрачным
106
Гл. 3. Теория ударных волн
и становится ширмой д л я света. М ежду металлом и люцитом
оставляю т зазор порядка 0,1 мм, заполненный аргоном. Та часть
люцита, которая выступает из металла, покры та тонкой полос­
кой (0,5 мм) какого-либо металла, м еж ду этой полоской и люци­
том такж е сохраняется зазор, заполненный аргоном. Когда УВ
доходит до зазора, происходит многократное отражение волны
в зазоре, вызывающее явление люминесценции, причём аргон
увеличивает свечение в зазоре. Свечение аргона перемещается
по зазору и записывается кинокамерой через щели в экране.
К ам ера развёрты вает изображения в направлении, перпенди­
кулярном к цели в экране. Зн ая скорость развёртки и угол
следа свечения 5, определяю т скорость D, по которой находят
среднюю скорость УВ на участке h = 10 мм. К а к только волна
доходит до тыльной поверхности образца, начинается движение
этой поверхности со скоростью и п = и р + щ , которая опреде­
ляется с помощью угла в (рис. 3.25) в одном опыте совместно
с определением скорости УВ.
Кроме двух выше рассмотренных методов определения па­
раметров УВ используется, но относительно редко, метод мгно­
венной рентгенографии.
Рентгеноимпульсная техника наш ла применение при реги­
страции увеличения плотности, вызываемой ударными волнами,
в различны х материалах; она с успехом может применяться
и при исследовании оптически прозрачных веществ, в которых
УВ хорошо ф иксирую тся с помощью скоростной ф оторегистра­
ции.
Н а рис. 3.26 приведена схема эксперимента. Делается
несколько снимков, и определяется D как средняя скорость УВ
3.4 . Ударные адиабаты твёрдых и ж идких т ел
107
на базе h. По интенсивности затемнения, путём сравнения её
с эталонными снимками, определяется плотность за фронтом
УВ. Точность этого метода невысока (около 20%).
3 .4 .2 .
О п ред ел ен и е у д ар н ы х ад и аб ат м етодом то р м о ­
ж ения.
М ишен ь и ударник из одного материала. Максимальное д ав­
ление, полученное в экспериментах с применением блоков ВВ, не
превыш ает 50ГП а. Д л я получения УВ большой интенсивности
используется соударение двух тел с большой скоростью. Этот
метод получения динамической сжимаемости называется мето­
дом “торможения”, при котором одно тело — “ударник”, с боль­
шой скоростью Uo ударяет второе тело — “мишень”. От границы
раздела распространяю тся две УВ, скорость п 2 границы раздела
равна массовой скорости частиц на фронте УВ в “мишени”. Т ак
как “мишень” тонкая (10 мм), то волна считается стационарной.
Скачок скорости на ф ронте УВ, распространяющейся по “удар­
нику” равен (Uo —u2). Из закона сохранения массы следует, что
U2 = (Uo — u2) и, следовательно, u 2 = Uo/2, причём это вы ра­
жение точное и пригодно д л я волн любой интенсивности д ля
ударника и мишени из одинакового материала.
Измерение скорости Uo “ударника” и скорости D ударной
волны в “мишени” осуществляется в самостоятельной серии опы­
тов (рис. 3.27).
Середины баз измерений h i и h 2 , совпадают с тем, чтобы
измерение и,2 и D производилось на одной и той ж е точке т р а ­
ектории. С помощью двух уравнений,
p i D = p2( D — U2),
Р2 — Pi = P1U2D,
(3 .6 8 )
Гл. 3. Теория ударных волн
108
1
Мишень
CN'
г
'
т
-q
Рис. 3.27
по известным значениям щ и D определяются давление р 2
и плотность р 2 . М еняя скорость Uo “ударника”, получаю т дина­
мическую кривую сжимаемости (ударную адиабату) р 2 = Р2(ѵ2).
Из приведённой выше
системы уравнений (3.68)
применительно к “ударнику”
можно получить
Р1Р2 пт
\2
-(U0 — u 2) ,
Р2 — Рі
(3.69)
и д л я “мишени”
Р1Р2
(3.70)
■u2 Р2 =
Р2 — рі
Поскольку ударная сж им ае­
мость “ударника” считается известной, т. е. Р2 = p( p 2) — есть
известная ф ункция р 2 , то можно исклю чить из уравнения (3.69)
р 2, в результате получим динамическую адиабату торможения
A B “ударника” д л я каж дой скорости удара Uo (рис. 3.28).
В этом случае необходимо экспериментально замерить толь­
ко скорость УВ D в “мишени” и скорость Uo “ударника”. Д л я
“мишени” скорость D фиксирует положение прямой 0 М возмож­
ных состояний ударного сж атия м атериала “мишени”. П рям ая
0М имеет уравнение Р2 = P1DU 2, скорость U2 определяется пе­
ресечением прямой 0М с кривой AB.
Координата пересечения определяет давление Р2 и скорость
частиц U2 в ударной волне “мишени”, так как, в силу условия
неразрывности и закона Ньютона о действии и противодействии,
скорости и давления в “ударнике” и “мишени” по обе стороны
границы раздела долж ны быть равны; затем с помощью урав­
нений
Р2 - Рі = P1U2D, p i D = p 2 (D - U2),
Р2 =
определяется плотность p 2 .
3.4. Ударные адиабаты твёрдых и ж идких т ел
109
Н а рис. 3.29 показано рас­
пределение давления и массовой
скорости в “ударнике” и “мише­
ни” через некоторое время после
соударения.
Методом торможения полу­
чено давление ударного сж атия
около 900 ГП а в железе, д л я это­
го железный “ударник” плавно
разгонялся продуктами взры ва
до 14,68 к м /с (см. рис. 3.23б).
“У д а р н и к ” и “м и ш е н ь ”
и з р а з н ы х м а т е р и а л о в . Ме­
тод, аналогичный рассмотренно­
му выше, может быть исполь­
зован д л я определения ударных
адиабат твёрдых тел (рис. 3.30)
при переходе УВ из среды 1,
д л я которой ударная адиабата
уже известна, в среду 2, ударную
адиабату которой необходимо
определить. Н а рис. 3.30 изобра­
ж ена схема измерения скорости
D ударной волны в исследуемой среде 2 при детонации или уда­
ре. П лоская детонационная волна или ударник возбуж дает УВ
в среде 1, ударная адиабата которой известна. У дарная волна
падает на границу раздела обеих сред, при этом от границы
раздела в среду 1 отраж ается УВ, если динамическая жёсткость
исследуемой среды 2 больше динамической жёсткости среды 1.
В противном случае от границы раздела в среду 1 отразится
волна разрежения. В среде 2 всегда будет распространяться УВ.
Схемы измерения D и « 2: а, г — измерение D во второй среде;
б, д — измерение и п в первой среде; в, е — измерение D в первой
среде.
Согласно уравнениям (3.66) на ф ронте УВ в среде 1 давление
равно
Р2 =
р 1р\ «2,
р 2 — рі
(3.71)
или
Р2 = P1U2D.
(3.72)
Т ак как ударная адиабата среды 1 известна, в виде
Р2 = Р2 (P2) или D = D(u2), то уравнение (3.71) позволяет
Гл. 3. Теория ударных волн
110
Ударник
t
U0
Ударник
Ударник
V щ
Г~йо
построить гр аф и к ударной адиабаты в координатах P2-U2
(кривая 0 C , рис. 3.31).
Зависимость м еж ду D
и U2 согласно эксперимен­
тальным
данным
можно
представить в виде
D = Со + AU2,
где Со и A — постоянные.
В этом случае уравнение P2 =
= P1U2D является кривой па­
раболического типа,
P2 = Рі(со + AU2)U2,
(3.73)
которая представляет собой геометрическое место точек воз­
можных состояний в ударной волне, распространяющейся по
невозмущенной среде 1. Скорость звука в ударно сжатом
3.4. Ударные адиабаты твёрдых и ж идких т ел
111
материале определяется формулой
С2 = (D — U2){B
+ XU2) ■
(3.74)
Пусть в момент отраж ения от границы раздела параметры
падающей волны в среде 1 соответствуют точке а (рис. 3.31), т. е.
P2 = Pa и U2 = u a. Если динамическая жёсткость среды 2 больше
жёсткости среды 1, то состояние в среде 1, характеризуемое Pa
и Ua, перейдёт при отражении в другое состояние с большим
давлением и меньшей скоростью (точка d). По среде 2 при этом
будет распространяться УВ со скоростью D . Этой скорости со­
ответствует волновая прям ая P2 = piU 2D в координатах P2-U2
(прямая 0d).
К ривая A B , проходящая через точку “а ”, представляет собой
геометрическое место точек возможных состояний в среде 1
после отраж ения падающей УВ от границы двух сред. Ветвь
этой кривой ad отвечает тем состояниям в среде 1, которые
возникают, если динамическая жёсткость этой среды меньше,
чем динамическая жёсткость среды 2.
Точки кривой ad соответствуют большим давлениям и мень­
шим скоростям частиц по сравнению с параметрами падающей
волны Pa и Ua. Ветвь кривой а А (изоэнтропы расширения) от­
вечает тем состояниям в среде 1, которые возникают при рас­
пространении волны разреж ения по этой среде после отраж ения
падающей волны от границы раздела. Уравнение кривой A B
может быть выражено в виде
P = pi c0(Un — U2) + p iA(U„ —U2) ^
где Un — скорость свободной поверхности среды 1 (при отсут­
ствии среды 2).
К аж дой падающей на границу двух сред ударной волне (с
разными амплитудами) соответствует своя кривая расширения
(торможения). На рис. 3.31 эти кривые изображены штрихо­
выми линиями. Пересечение волновой прямой 0d с кривой A B
(точка d) определяет давление Pd и скорость частиц Ud, соот­
ветствующие одной точке ударной адиабаты среды 2, потому
что линии 0d и AB представляю т собой геометрическое место
точек возможных состояний соответственно в средах 2 и 1 после
отраж ения падающей УВ от границы раздела.
Давление и скорости частиц по обеим сторонам границы раз­
д ела д олж ны быть равны согласно закону Ньютона о действии
и противодействии и закону сохранения массы.
112
Гл. 3. Теория ударных волн
Если динамическая жёсткость среды 1 больше, чем динами­
ческая жёсткость среды 2, то на границе раздела сред реали­
зуется состояние, соответствующее точке b. Этот метод опреде­
ления динамической сжимаемости может быть использован как
при применении ВВ, так и при ударе по среде 1 ударником со
скоростью Uo (см. рис. 3.31). Д л я этого необходимо замерить
скорость ударной волны D в среде 2 (см. рис. 3.30, а и г),
что определяет волновую прямую 0d или 0b (см. рис. 3.31).
Д л я определения нужной кривой A B , соответствующей данной
амплитуде падающей УВ, необходимо определить или скорость
свободной поверхности среды 1, и п = 2ua (см. рис. 3.30, б и д),
или скорость УВ в среде 1 (см. рис. 3.30, в и е), с помощью
которой можно построить волновую прямую Р2 = p l D aU2 д л я
среды 1 (прямая 0а, см. рис. 3.31). По величине u a = и п/ 2 или
D a определяется точка “а ” на ударной адиабате среды 1, через
которую и проводится искомая кривая A B . Пересечение кривой
A B с волновой прямой среды 2 определяет точку d (или точку b),
которая является точкой ударной адиабаты среды 2.
Д л я определения других точек ударной адиабаты среды 2
необходимо менять амплитуду падающей УВ. При этом весь
процесс определения точки d (или точки b) повторяется д л я но­
вых значений u a (или D a) и новой волновой прямой 0d (или 0b).
3 .4 .3 . У р а в н е н и я
тел.
состояния ж и д ко стей
и твёрды х
В п. 1.1.5 рассмотрены
некоторые общие вопросы,
касающиеся уравнений состо­
яния вещества. В этом слу­
чае полное давление равно
(1.49): р = р х + рт, а внут­
ренняя энергия (1.50): Е =
= Е х + Ет, если пренебречь
Ре и Ее.
Н а рис. 3.32 представлена
ударная адиабата вещества
(кривая оа), а такж е кривая
“холодной” сжимаемости ве­
щества (изотерма ed при T =
= 0K ). Начальное состояние
вещества при ударном сжатии соответствует v
v i , при “холодном” сжатии v = Vik, где v\k соответствует T = 0 K и р = 0.
3.4 . Ударные адиабаты твёрдых и ж идких т ел
113
Изменение внутренней энергии вещества на фронте УВ будет
равно
E — E i = - +— (vi - v),
(3.75)
где E i — начальная удельная внутренняя энергия вещества; E —
удельная внутренняя энергия на ф ронте УВ.
Уравнения
p i D = p (D - u),
(3.76)
—— - 1 = p 1uD,
и (3 75) определяю т связь м еж ду параметрами на ф ронте УВ
Общая работа, сообщаемая единице массы вещества при
ударном переходе, равна - (v i - v ); половина этой работы пре­
вращ ается в кинетическую энергию, согласно уравнениям (3 . 76),
при - i = 0:
2
vi - v и2
-—
= Y .
В торая половина работы затрачивается на повышение удельной
внутренней энергии. Если пренебречь значением - і по сравне­
нию с - , то, используя уравнения (3.75), получим
2
E — E i = - v i— v = U_.
(3.77)
Н а рис. 3.32 приращение удельной внутренней энергии
E — E i соответствует площади треугольника abo, равной
—(vi —v )/2 . Приращение E — E i можно разделить на две
составляющие: тепловую часть внутренней энергии, которая
представляет собой энергию колебания частиц (атомов,
молекул) около их положения равновесия, и упругую часть
энергии E x, которая имеет место вследствие упругого взаи­
модействия м еж ду частицами (при T = 0 K) , что приводит
к изменению расстояния м еж ду ними. При T = 0 K тепловая
часть энергии равна нулю и вся внутренняя энергия имеет
упругое происхождение. У пругая часть внутренней энергии E x ,
на рис. 3.32 соответствует площади м еж ду кривой “холодной”
сжимаемости ed и осью удельных объёмов 0v (см. 1.52):
vifc
E X=--
—(v)dv,
(3.78)
v
где - (v ) —- упругая часть полного давления - , которое возникает
вследствие упругого взаимодействия м еж ду частицами и опре­
деляет силы отталкивания, действующие м еж ду ними.
114
Гл. 3. Теория ударных волн
При Т = 0 K всё давление имеет упругое происхождение, то
есть р = р х . Тепловая часть внутренней энергии на рис. 3.32 со­
ответствует заштрихованной площади. Удельная теплоёмкость
при постоянном объёме
дЕ \
дТ
( дЕт
v
дТ
(см. уравнения (3.80) и (1.50)). Величину cv в некотором диа­
пазоне изменения тем пературы можно приближённо считать
постоянной; тогда тепловая часть внутренней энергии, соответ­
ствующ ая заштрихованной площади на рис 3.32, будет Ет —
— Е \ = cv ( Т — Ті). Следовательно, приращение удельной внут­
ренней энергии Е — Е \ можно записать в виде
vifc
Е — Е \ = Cv ( Т — Ті) +
px (v)dv,
(3.79)
v
или
Е = Ет + Е х,
(3.80)
где Ет = Е і + cv ( Т — Ті) — тепловая энергия.
Давление р можно такж е представить в виде двух частей:
упругого давления р х и теплового давления рт (см. рис. 3.32):
Р = Р х ( ѵ ) + р т (v, Т ).
(3.81)
Из термодинамического равенства Тсів = г!Е + pdv, при Т =
= 0 K, получим
д Ех
dEх
(3 82)
рх = - ~aV = —
'
(3-82)
так как
Ех = Е х (у ).
(3.83)
Тепловая часть давления рт может быть представлена вы­
ражением (на основе теории твёрдого тела)
Ет
р т = Y--- ,
(3.84)
где y = y (v ) — есть коэф фициент Грюнайзена, равный отноше­
нию теплового давления рт к плотности тепловой энергии Ет/ v .
Приближённое уравнение состояния вещества запишем в виде
дЕх
Ет
р = —
+ Y— .
дv
v
(3 85)
(3.85)
3.4 . Ударные адиабаты твёрдых и ж идких т ел
115
Н а основании уравнений (3.80), (3.81) и (3.84) получим
Рт = Р - Рх = Y (E - Ex) = - E
v
v
t
.
(3.86)
Д иф ф еренцируя это соотношение, найдём
( &Р \
Y= v (1
1
( &Р
= vЖ
= ^
дТ ) v
При нормальных условиях
3aKv\
f3Kv 1
Y = Y(vi) = ----------------------------------------------- = ------ ,(3.88
v
v
где
1 (I ЁI 1 ),
, K =к - v=i - v , ( ^
в = 3a = —
v i \ д Т / pi
Vd v ) T i
a и в — соответственно линейный и объёмный коэф фициенты
теплового расширения, K — модуль объёмного сжатия.
При нормальных условиях коэф фициент y (vi) д л я металлов
имеет значение от 1 до 3.
В теории твёрдого тела устанавливается связь м еж ду коэф ­
фициентом Y и упругим давлением fjx (v) при Т = 0K:
d 2Рx
Y (v) = - 3 - 2 ж
•
dv
(3-89)
Н а основании уравнений (3.75), (3.79) и (3.86), с учётом элек­
тронных составляющих давления и энергии (см. 1.60), можно
получить следующие выражения:
Р = Рх + —
v
( — + Т - т Л + 4^ v = T 2,
\ 0v
)
4^/w T
Vlrk
a
Рх(v)dv +
2 (v1 - v) = Cv (T - T 1) +
v
2
v1
T 2.
(\
1/
116
Гл. 3. Теория ударных волн
Н ачальная внутренняя энергия Е і может быть подсчитана
путём интегрирования кривой удельных теплоёмкостей Дебая:
Ті
Е1=
cv dT.
(3.91)
о
По известной ударной адиабате p = p(v) из уравнений (3.89)
и (3.90) можно определить значения рх, j и T . Такой расчёт про­
водится на ЭВМ. Входными данными д л я машинной программы
являю тся точки ударной адиабаты Vi и pi, в результате расчё­
та получаем значения j i , Pxi, Ti, которые являю тся табличной
формой уравнения состояния вещества.
Полученные таким образом зависимости р х = р х (р) и j =
= j (р) могут быть с любой точностью аппроксимированы урав­
нениями:
(3.92)
Н а основании этих ф ункций уравнения состояния ж идких
и твёрдых тел можно записать в ф орме (3.86):
p = рх(р) + j ( p ) ( E - Е х ),
v
(3.93)
где (см. 3.78)
У равнения, аппроксим ирую щ ие эксперим ентальны е
у д а р н ы е а д и а б а т ы . Полученные экспериментальным путём
ударные адиабаты в табличном виде аппроксимируются урав­
нениями, которые подбираются таким образом, чтобы кривая,
соответствующая выбранному уравнению, описывала получен­
ные точки наилучшим образом.
Д л я решения некоторых технических задач эксперименталь­
ную кривую сжимаемости удобно представить в следующем ви(3.94)
где A, n, B — постоянные, которые д л я ряда веществ приведены
в таблице 3.3.
3.4. Ударные адиабаты твёрдых и ж идких т ел
117
Т а б л и ц а 3.3
Значения постоянных коэффициентов A , B и n для некоторых
твёрдых и жидких тел
**
A*,
Материал
B,
— ,
n
тыс. атм. тыс. атм.
тыс. атм.
Сталь
553,00
Сталь
142,50
Сталь
231,00
Алюминий,
235,00
дюралюминий
Алюминий,
224,00
дюралюминий
Медь
315,00
Медь
368,00
Свинец
103,00
Свинец
294,00
Баллистиный
5,42
порох
Вода
4,30
Вода
140,00
*) 1 атм = 0,98 • 105Па;
**) —— диапазон давлений,
коэффициенты A , B , n.
-543,00
-67,10
-310,00
-240,00
3,00
6,00
5,60
3,80
70-130
165-500
500-5000
40-700
-298,00
4,10
700-2000
-315,00
-580,00
-103,00
-515,00
-5,42
4,65
4,75
4,80
3,50
7,70
190-1000
1000-4300
200-500
1000-4250
36-130
-4,30
-284,00
6,40
2,00
30-115
115-450
в пределах которого справедливы
Д л я аппроксимации кривых сжимаемости твёрдых и ж идких
сред часто используется уравнение вида
—2 ——i = ¥ ( ( * ) ' — > ) •
(3.95)
где A и n — постоянные коэффициенты, подбираемые по экспе­
риментальным данным; Ck = \ J K / p i — скорость звука в среде,
K = —vi (d—/ d v ) Ti — модуль объёмного сжатия.
Д л я алюминия, меди, свинца в области высоких давлений —
до нескольких миллионов атмосфер, можно принять аппрокси­
мирующее уравнение д л я ударной адиабаты в виде
—2 = ^
a k ( J x — 1)
,
(3.96)
где ak — постоянные коэффициенты , приведённые в таблице 3.4.
М ежду скоростью частиц за фронтом УВ и скоростью
ф ронта в твёрдых телах существует зависимость, близкая
Гл. 3. Теория ударных волн
118
к линейной:
D = с0 + Ли2.
(3.98a)
Численные значения со и Л д л я некоторых твёрдых тел пред­
ставлены в таблице 3.5.
Т а б л и ц а 3.4
Значения коэффициента a k , ГПа
к
Al
Cu
Pb
Fe
1
2
3
4
5
6
7
73,1
152,7
143,5
-887,0
2 862,0
-3 192,0
1 183,0
137,0
271,7
224,0
078,0
967,0
674,0
346,0
41,4
101,7
120,0
-43,0
547,0
-801,0
312,0
30,3
724,5
-271,2
-14,0
852,0
-
1
-2
3
-1
Т а б л и ц а 3.5
Материал
Сталь
Сталь
Дюралюминий,
алюминий
Медь
Медь
Свинец
Свинец
Магний
Цинк
Серебро
Кадмий
Золото
Висмут
Берилий
Кобальт
Хром
Ртуть
Молибден
Никель
Р1,г /с м 3
со, м /с
Л
р * , тыс.атм.
7,85
7,85
3800
4000
1,580
1,580
400-5000
1000-4100
2,78
5250
1,390
40-2000
8,90
8,93
11,34
11,34
1,72
7,14
10,49
8,64
19,30
9,80
1,85
8,82
7,10
13,55
10,20
8,86
3958
4000
2028
2580
4780
3 200
3 300
2 650
3 150
2 000
7 975
4 748
5 817
1 450
5 157
4 646
1,497
1,480
1,517
1,260
1,160
1,450
1,540
1,480
1,470
1,340
1,091
1,330
1,465
2,200
1,238
1,445
220-1470
1000-4300
200-1410
1000-4250
60-400
350-3300
460-4100
360-3500
590-5200
350-3500
144-290
246-1460
238-1400
230-473
260-1670
240-1520
3.5. Косые ударные волны
Олово
Титан
Талий
Ванадий
Вольфрам
Бронза
Баллиститный
порох
Кристаллический
гексоген
Литой тротил
Нитрометан
Парафин (до фазово­
го превращения)
Парафин (после фа­
зового превращения)
Кварц (до фазового
превращения)
Мрамор (до фазового
превращения)
Мрамор (после фазо­
вого превращения)
Сплав Вуда
Люцит
Песок
Песок
119
7,28
4,51
11,84
6,10
19,17
1,58
2 640
4 749
1 859
5 108
4 005
3 760
1 760
1,476
1,088
1,515
1,210
1,268
1,423
1,860
175-1400
172-1080
218-1550
207-1270
400-2110
170-1800
36-130
1,80
2 870
1,610
68-158
1,62
1,14
0,91
2 980
2 000
1 810
1,410
1,380
2,310
61-142
20-88
23-66
0,91
3 320
1,240
66-260
2,65
3 710
1,240
39-190
2,70
3 390
2,000
51-149
2,70
4 010
1,300
159-518
9,70
1,18
1,66
1,65
2 310
2 590
500
1 280
1,030
1,510
2,410
1,420
150-400
3-76
1-50
45-470
*) 1 атм = 0,98 •105 Па
3.5. Косые ударные волны
3 .5 .1 .
С в я зи м е ж д у п а р а м е т р а м и н а ф р о н т е косой
у д а р н о й в о л н ы . Раньш е мы уже рассмотрели прямые УВ,
характерной особенностью которых является то, что, пересе­
кая ф ронт такой волны, газовый поток не меняет своего на­
правления, причём ф ронт прямой УВ располагается нормально
к направлению потока. Кроме прямых УВ, существуют и так
называемые косые УВ. Ф ронт косой УВ располагается наклонно
к направлению потока (рис. 3.33). К осая плоская УВ получается
в том случае, когда, пересекая ф ронт волны, газовый поток
должен изменить свое направление. Т акая косая волна может
Гл. 3. Теория ударных волн
120
возникнуть при обтекании потоком со скоростью Ui > Сі тупо­
го угла (рис. 3.34). При движении такого потока параллельно
одной стороне угла, в точке поворота (у вершины угла 0) воз­
никает косой ф ронт УВ, и поток скачкообразно поворачивает
в направлении другой стороны этого угла и движ ется уж е со
скоростью U2 < Ui. При этом угол $, на который поворачивается
стенка, долж ен быть меньше некоторого предельного значения.
Косая УВ
Прямая УВ
90
Фронт
Фронт
ударной
. волны
И
Рис. 3.33
Фронт
ударной волны
Если газовый поток обтекает клин, то у вершины образуются
две косые УВ. Такое течение образуется как бы соединением
двух течений, рассмотренных нами выше, каж дое из которых
отвечает углу, образованному линией тока, приходящей в вер­
шину клина с одной из его сторон (рис. 3.35).
Рассмотрим плоскую косую ударную волну. Н а рис. 3.34
изображена плоская косая УВ, у которой приходящий поток
среды направлен под некоторым углом ф к поверхности ф ронта
УВ. В дальнейшем будем обозначать индексом 1 параметры
среды перед фронтом волны, индексом 2 — за фронтом, кроме
121
3.5. Косые ударные волны
того, индексом т будем обозначать соответствующую составля­
ющую скорости потока в плоскости ф ронта УВ и индексом n —
составляющую скорости потока, нормальную ф ронту УВ.
Основные уравнения, описы­
вающие косую УВ, применим к
произвольной трубке тока, пере­
секающей ф ронт косой ударной
волны.
1. Закон сохранения массы
щ
Un lSp i t — Un 2S p 2t,
(3.97)
где S — площадь поперечного се­
чения трубки тока, t — время.
Сократив в левой и правой
части S и t , мы получаем вы ра­
жение
u n 1p 1 — u n 2p 2 ■
(3.98)
2. Согласно закону об изменении импульса в проекции на
нормаль к ф ронту УВ
Un1p 1St(Un 1 - Un2) = (Р2 - Рl)St■
(3.99)
Сократив S и t и перегруппировав члены, получим выражение
Р2 - Р 1 = Un1P1(Un1 - Un2) ■
(3.100)
И далее, из уравнений (3.98) и (3.100) получим уравнение
Р1 + U2n1p 1 = Р2 + U2n2p 2 .
(3.101)
3. Вдоль линии ф ронта ударной волны изменение проекции
импульса равно нулю,
Un1p 1>St(UT1 - Ut 2) = 0,
(3.102)
так как давление вдоль ф ронта УВ не меняется. Отсюда сразу
вы текает основное д л я теории косой УВ равенство
u t 1 = u t 2■
(3.103)
4. Поскольку рассматриваемый процесс носит стационарный
характер, то вдоль линии тока долж но выполняться уравнение
Бернулли (1.141):
h 1 + U1 = h 2 + U2 ■
(3.104)
У читы вая, что при прохождении потока среды сквозь
ф ронт УВ касательная составляю щ ая скорости сохраняется,
122
Гл. 3. Теория ударных волн
скачкообразно изменяется лиш ь нормальная составляющая, мы
можем переписать уравнение Бернулли в виде
«2
un 1
2
u n2
2
(3.105)
Частны м случаем косой УВ является прям ая УВ. Чтобы из
уравнений, справедливых д л я косой УВ, получить уравнения
д л я прямой УВ, необходимо положить
«т = 0,«1 = Uni,
U2 = Un2 .
В результате получим
« 1Р1 = и 2р 2 ,
Pi + « 2Р1 = Р2 + «2р2,
«1
«2
hi + « =
+ f
(3.106)
То есть эти уравнения полностью совпадают с соответствующи­
ми уравнениями теории косой УВ, если только под скоростью до
и после ф ронта подразумевать нормальную её составляющую.
В теории косых УВ рассматривается связь м еж ду скоростя­
ми потока до и после ударного сж атия « і и « 2, а такж е углами
§ и ф. Эти вопросы рассматриваю тся в курсе аэродинамики.
а
О
Iсп
3 .5 .2 .
О тр аж ен и е п р я м ы х и косы х У В от ж ёстко й
с т е н к и . При подходе УВ к преграде давление, оказываемое
волной на преграду, в ряде слу­
Р\
Рг
Рі
Ръ
чаев значительно превосходит
давление на фронте УВ. Это
D
D
объясняется тем, что в этих слу­
щ =0 и2
чаях происходит отражение УВ
уі .
Р2 б / / Ръ
Рі
Р2
от преграды.
Рис. 3.36
О траж ение прям ой удар­
ной вол н ы с плоским ф р о н ­
т о м о т ж ё с т к о й с т е н к и . Пусть ф ронт волны подходит к стен­
ке под углом а = 0 (рис. 3.36а).
Состояние газа у стенки перед фронтом характеризуется па­
раметрами: p i, pi, « і = 0. Состояние газа за фронтом УВ харак­
теризуется параметрами p 2, p 2 , « 2. После отраж ения состояние
газа за фронтом УВ характеризуется значениями рз, рз, «3 = 0
(так как стенка неподвижна).
3.5. Косые ударные волны
123
Используя основные соотношения д л я УВ, запишем уравне­
ние д л я случая подхода УВ к стенке (3.4),
U2 = \ / ( р 2 — р і ) Ы — v 2) ,
(3.107)
и адиабату Гюгонио д л я этого случая (3.12):
а =
v2
Р2= r t k + У + М к — і ) .
Рі
р 2 (к — 1 ) + р і ( к + 1)
(3.108)
Аналогично, д л я отражённой волны можно записать
U2 —из = у/(рз — р 2) ^ 2 — v 3) ,
v2 = Рз = рз( к + 1) + р 2(к — 1)
v2
Р2
(3.109)
рз( к — 1) + р 2 (к + 1 ) ’
где из = 0 на стенке.
Если из уравнений (3.107)-(3.109) исклю чить скорость U2
и плотности Рі, р 2, рз, то легко получить формулу, известную
как ф ормула Измайлова:
рз = р 2 ( 3 к — 1) —р і (к — 1)
р2 р 2(к — 1) + р і ( к + 1) .
(3 110)
j
Здесь параметры р і, р 2 и к считаются известными.
В случае сильной падающей волны р 2 ^ р і, после преобра­
зования формулы (3.110),
(3к — 1) — (к — 1) —
рз ^ ^
р2
р2
(к —1) + (к + 1) р і ,
р2
получим
* = (- § — 1 -,
р2
(к — 1)
(3.111)
что при к = 1,4 д аёт 'рз = 8р 2, то есть давление на фронте
отражённой УВ в 8 раз больше, чем на фронте падающей УВ.
Н а основании формул (3.107)-(3.109) можно прийти к урав­
нению д л я избыточного давления в отражённой ударной волне
в следующем виде:
рз —рі = 2(р2
к+ 1
— рі ) +-— Р2и2.
(3.112)
Первый член в правой части определяет статическую состав­
ляющую давления, а второй член — динамическую составляю­
щую давления, создаваемую скоростным напором потока среды.
124
Гл. 3. Теория ударных волн
При отражении слабой волны U2 ^ 0 будем иметь
Рз - p i w 2(p2 - Pi),
то есть приходим к результату, известному в акустике.
Выше мы определили давление на жёсткой стенке при отра­
жении прямой УВ. Теперь рассмотрим вопрос об импульсе д ав­
ления отражённой волны на стенке, если импульс в падающей
волне равен
(p(t) — p{)dt.
(3.113)
о
Импульс іо, который УВ сообщает жёсткой стенке, больше
импульса падающей УВ.
Рассмотрим приближенное определение импульса при отра­
жении воздушной УВ от жесткой стенки при угле падения а = 0.
Импульс на жесткой стенке іо равен
іо = 2(і + j ),
(3.114)
где i — удельный импульс давления в падающей волне, он опрет
деляется с помощью формулы (3.113) или (9.29), а j w J pu2dt
о
есть удельный импульс скоростного потока в падающей волне,
который аппроксимируется с помощью зависимости
j =
.m
.
(3.115)
К оэф ф ициент в определяется из уравнения, аппроксимиру­
ющего импульс скоростного потока от времени д л я крупных
зарядов и на относительно больших расстояниях:
pu 2
f
t\ 2
Г et'
q(t) = — = q2 ^ 1 — т ) exP j —т ) ,
(3.116)
где q2 = p 2u 2/ 2 .
Д л я сферического заряд а Т Г 50/50 удельный импульс ско­
ростного напора может быть рассчитан по аппроксимационной
зависимости, полученной с помощью численного решения зад а­
чи о взрыве сферического заряд а в воздухе (по расчётам В .Н .
Охитина):
, 3 ,— . 2,5
j = 300 ^ — ( —— j
П а ■с.
(3.117)
Зависимость (3.117) справедлива в диапазоне 1 < г / fy— < 10,
где г в м, m в кг.
Д л я определения коэф фициента в в уравнении (3.116)
необходимо д л я заданного г определить j по (3.117). Затем
3.5. Косые ударные волны
125
определяется ф(в) из (3.115) по известным р 2 , Щ и т. (см.
п. 9.3). По значению ф(в) из таблицы 3.6 определяется значение
в, входящее в уравнение (3.116).
Т а б л и ц а 3.6
в
1
2
4
3
5
6
8
10
2,5
1,5
;. 0,528 0,476 0,432 0,395 0,363 0,311 0,272 0,241 0,195 0,164
О т р а ж е н и е к о с ы х У В о т ж ё с т к о й с т е н к и . О тражение
сферической УВ от жёсткой стенки показано на рис. 3.37. В точ­
ке 0 (эпицентр) УВ падает на стенку под углом падения, равным
0°, то есть в точке 0 реализуется отражение плоской УВ от
жёсткой стенки (скорость потока перпендикулярна стенке).
'sbp
Фронт
падающей УВ
Схема отраж ения УВ: а — падаю щ ая волна, б — отраж ённая,
в — головная, г — тангенциальный разрыв.
Фронт падающей УВ образует некоторый угол а с поверхно­
стью стенки, а ф ронт отражённой УВ образует с поверхностью
стенки угол в. Такое отражение называется регулярным (или
линейным), причём в общем случае а = в. Только в предельном
случае бесконечно слабых волн имеет место равенство углов
падения и отраж ения. Если а ^ а кр, то при отражении УВ воз­
никает тройная ударная кофигурация, состоящая из трёх УВ:
подающей (а), отражённой (б) и головной (в), а такж е танген­
циального разры ва (г) (рис. 3.37 и рис. 3.39), по обе стороны
которого скорости газа различны, а давления одинаковы.
Н а рисунке 3.38 графически представлены расчётные зна­
чения углов отраж ения д л я совершенного газа, где в качестве
парам етра принято отношение £ = Р 1/Р 2 , где pi — начальное
давление в газе, р 2 — давление в падающей ударной волне.
Гл. 3. Теория ударных волн
126
А град.
Отраженная УВ
Тангенциалі
разрыв
О
Падающая УВ
Головная УВ
10 20 30 '4о 50 60 7(3 80 90
а , град.
Рис. 3.38
Рис. 3.39
Из рис. 3.38 видно, что при увеличении угла падения (для
разны х давлений) кривые в = f (а) сближаются.
При некотором угле а = а кр эти кривые пересекаются. При
а > а кр регулярное (линейное) отражение, д л я которого харак­
терной особенностью является существование одной общей точ­
ки д л я падающей и отражённой волн, леж ащ их на поверхности
стенки, становится невозможным.
При углах падения а , больших а кр, реализуется нерегуляр­
ное (нелинейное) отражение. О траж енная волна, распространя­
ющ аяся по возмущенной среде, догоняет падающую и, сливаясь
с нею, образует третью волну, называемую головной ударной
волной, или волной Маха (рис. 3.39).
Возникает трёхволновая конфигурация, характерной особен­
ностью которой является существование общей точки M пере­
сечения волн (так называемой тройной ударной конфигурации).
Н а рис. 3.40 изображена зависимость критических углов
падения УВ на жёсткую стенку в совершенном газе в зави­
симости от интенсивности падающей волны p i / p 2 . Д л я очень
слабой ударной волны, Р 1/Р 2 ^ 1, при любом угле падения а
имеет место режим регулярного отраж ения, а д л я сильной вол­
ны, p i / p 2 ^ 0, а кр = 40°. Рисунок 3.40 позволяет по значению
амплитуды УВ оценить области регулярного и нерегулярного
отраж ения косой УВ.
Д л я определения давления при отражении косой УВ от
жёсткой стенки пользуются граф икам и такого типа, как на
рис. 3.41. Этот процесс отраж ения характерен тем, что при опре-
3.5. Косые ударные волны
127
а , град
90
0,6
0,4
90 а, град
Рис. 3.40
делённых значениях Р2/ Р 1 и а давление при отражении косой
УВ больше, чем при отражении прямой УВ (рз/Р 1)о при а = 0.
При отражении воздушной УВ от жесткой стенки под углом
а < ak давление рз определяется (см. (3.112)) из уравнения
( к + 1\
Рз - Р 1 = 2 (р 2 - Р 1) + ( —— j • P2U2 cos2 (!■
(3.118)
В этой формуле учитывается норм альная составляю щ ая мас­
совой скорости Un = U2 • cos а , при а = 0 получим Un = U2
(см. (3.112)).
Удельный импульс на жесткой стенке в этом случае опреде­
ляется с помощью формулы (3.114):
i 0 = 2(i + j • cos2a)(3.119)
Если угол падения УВ а > a k , то
cos а + (к + 1)(p2 - p 1)c o s 2 а ^
(Рз - Р 1) = (Р2 - Р 1) [ 1 +
B
' (к - 1)(p2 - Р 1) + 2 k p 1 j ;
(3.120)
cos а
2
(3.121)
io = i (1 +-— ) + 2j cos а ,
B
где B = cos а , если а ^ cj:k, B = cos cj:k, если а > co:k.
К ритический угол cj:k находим из уравнения
cos а^;
к+ 1 '
’/1 - exp { - 2 , 3 (Р2 - Р1)
4
Р 1
(3.122)
Глава
4
ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИИ ВЗРЫ ВЧАТЫ Х
ВЕЩ ЕСТВ
4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
В зры вчаты е вещества (ВВ) под действием начального им­
пульса (накола, нагрева, ударной волны и т. д.) способны к быст­
рой химической реакции, ф ронт которой в твёрдых и ж идких
веществах может распространяться со скоростями до 9 км /с.
Такой быстрый процесс химической реакции называется дето­
нацией.
При определённых условиях ВВ способны к устойчивому
горению. В этом случае скорость горения при атмосферном д ав­
лении имеет порядок сантиметров в секунду. Скорость горения
пропорциональна давлению окружаю щ ей среды. При опреде­
лённых условиях горение ВВ может перейти в детонацию. Меха­
низм горения веществ отличается от механизма детонации. При
горении процесс передачи энергии от горячего слоя вещества
к другим слоям вещества осуществляется за счёт теплопровод­
ности, диф ф узи и и излучения.
Общее количество энергии, которое выделяется при дето­
нации одного килограмм а ВВ относительно невелико 1000­
2000 ккал; а, например, при сжигании 1 килограмм а бензина (без
учёта веса кислорода воздуха) выделяется 10000 ккал.
Но э ф ф е к т действия на окружаю щ ую среду в этих обоих
случаях (детонация и горение) существенно различен.
Например, процесс выделения энергии при детонации заряда
ВВ длиной 10 см массой в 1 кг, осуществляется за время порядка
20 • 10_6 с (D = 5000 м /с) и, следовательно, мощность взры ва
равна 5 • 107 к к ал /с. Мощность горения бензина в миллионы раз
меньше и энергия сгоревшего бензина будет передаваться окру­
жающ ей среде за относительно больший пром еж уток времени
путём теплопроводности, конвекции, излучения, а такж е с помо­
щью звуковых волн. При детонации процесс передачи энергии
к среде будет осуществляться за очень малое время в основном
4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
129
с помощью ударных волн, которые возникают при отражении
детонационной волны от среды.
Рассмотрим некоторые свойства взры вчаты х веществ.
В зры вчаты е вещества по назначению делятся на четыре
группы: инициирующие (первичные), бризантные (вторич­
ные), метательные (пороха, твёрдые ракетные топлива) ВВ
и пиротехнические составы. Инициирующие ВВ (в составе
капсю ля-детонатора) обычно служ ат д л я возбуждения процесса
взры ва бризантных ВВ. Инициирующие вещества (гремучая
ртуть, азид свинца, Т Н Р С , тетразен и др.) чувствительны
к простому начальному импульсу (нагрев, накол, удар и т. п.)
и поэтому используются как средство д л я детонации менее
чувствительных бризантных ВВ, к которым относятся такие
ВВ как тротил, гексоген, ТЭ Н , тетрил, Д И Н А , октоген и др.,
широко используются сплавы и смеси разны х ВВ, например,
тротила и гексогена в различны х соотношениях: Т Г 50/50, Т Г
40/60 и т.п.; тротила и октогена, тротила и Т Э Н а, которые
называю тся пентолитами (например, 50/50), аммониты — смеси
аммиачной селитры с взры вчатым и (например, тротилом) или
невзры вчатыми (например, торфом) горючими и т. п.
В зры вчаты е вещества (с точки зрения их действия) харак­
теризую тся рядом параметров: плотностью ро, теплотой взры ва
Q, скоростью детонации D , критическим dKp и предельными dnp
диаметрами, показателями изоэнтропы k •
В результате химической реакции выделяется энергия за
счёт разры ва химических связей молекул — теплота взры ва
Q (Д ж /к г ). Теплота взры ва Q позволяет определить энергию
взры ва данного заряд а Е: Е = mQ, где m — масса заряд а ВВ.
Теплота взры ва Q может быть определена эксперименталь­
но, а такж е путём расчёта. Наиболее распространенный ме­
тод вычисления Q основан на приближённых уравнениях хи­
мического разлож ения данного ВВ. Зн ая теплоту образования
продуктов взры ва и теплоту образования данного ВВ, м ож ­
но определить теплоту взрыва. Расчётом такж е определяется
приближённое значение температур, состав и объём продуктов
детонации (ПД). В таблице 4.1 приведены экспериментальные
значения теплоты взры ва разных ВВ. Измерение тепла в ка­
лориметрической бомбе производится в момент времени, когда
вода, образованная в результате химического разлож ения ВВ,
находится в ж идком состоянии, в момент ж е детонации заряда
вода находится в парообразном состоянии. Поэтому д л я опре­
деления теплоты взры ва при воде в парообразном состоянии
измеряется количество воды, находящееся в бомбе, и вносится
5 Л. П. Орленко
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
130
поправка на испарение воды. Значения теплот взры ва при воде
жидкой и парообразной показаны в таблице 4.1. Там ж е при­
веден объём продуктов взры ва Ѵо (л /к г) при давлении, равном
1 атм и 18°С.
Теплота взрыва, приведённая в таблице 4.1, определялась
при взрыве зарядов весом 50 г в свинцовой оболочке, весом 500 г.
В таблице 4.3 представлены соответствующие данные о влиянии
оболочки заряд а на теплоту взрыва, полученные при взрыве
зарядов ВВ диаметром 20 мм и весом 50 г.
Т а б л и ц а 4.1
ВВ
Тротил
Гексоген
ТГ 50/50
Пикриновая
кислота
Тетрил
ро, г/с м 3
PBXW-115
(гексоген 20%, ПХА
43%, Al - 25%, связка
1 2 %)
Нитроглицерин
Нитрометан-бензол
87,5/і2,5
Аммотол 80/20
(амиачная
селитра
8 0 %, тротил 2 0 %)
Аммотол 40/60
Гремучая ртуть
Ѵо, л/кг
вода
пар
4570
3645
5780
5740
5110
4525
4230
3940
4820
4020
6200
6200
4230
3390
5400
5320
4780
4320
4110
3810
4570
3855
5700
5700
8485
750
870
890
950
800
900
750
780
740
840
790
790
1,60
1,45
6870
7540
6410
7330
690
—
1,30
0,90
5110
5070
4150
4110
890
890
1,55
3,77
1,25
4610
1630
1800
4190
1720
1590
—
—
—
1,50
0,85
1,50
0,95
1,68
0,90
1,50
1,00
1,55
1,00
ТЭН
Q, кД ж /кг
1,65
0,85
1,48
Экспериментальные исследования показываю т заметную за ­
висимость теплоты взры ва от плотности заряд а и толщины
4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
131
оболочки. У ВВ с отрицательным кислородным балансом, теп­
лота взры ва линейно зависит от плотности заряда. Эта зависи­
мость д л я гексогена представлена в таблице 4.2. О пыты прово­
дились в калориметрической бомбе д л я зарядов весом 30-50 г
и диаметром 20-30 мм в медной оболочке, толщиной 3-4 мм.
При детонации ВВ (гексогена, тротила, сплава, ТГ, пикри­
новой кислоты, пироксилина и др.) высокой плотности, заклю ­
ченных в массивную оболочку, наблюдаётся повышение теплоты
взрыва. Это эф ф е к т имеет место лишь д л я ВВ с отрицательным
кислородным балансом.
При увеличении толщины
латунной оболочки до значеТ а б л и ц а 4.2
ний, больших 3-4 мм, теплота
Q, кД ж /кг
Po,
взры ва не увеличивается. Оче­
г/с м 3 вода
пар
видно, что роль латунной обо­
лочки может играть плотная
0,5
5405 4990
среда (вода, грунт и т. п.), окру­
0,65
5530
ж аю щ ая заряд.
5570
0,7
В зарядах большой массы
1
5740
следует ож идать меньшего вли­
1,15
5870 5450
яния толщины оболочки зар я­
6240
1,7
д а на теплоту взры ва по срав­
1,73
6240
5870
нению с зарядам и малого ве­
1,74
6285
са, поскольку в центральной
1,78
6330 5950
зоне большого зар яд а будет
иметь место увеличение тепло­
ты взры ва независимо от наличия оболочки.
Т а б л и ц а 4.3
ВВ
Q [H2O]^
кД ж /кг
Условия взрыва
г/с м 3
Гексоген
1,78
5320
Гексоген
1,78
5950
Тротил
1,6
3520
Тротил
1,6
4525
в стеклянной оболочке,
толщиной 2 мм
в латунной оболочке,
толщиной 4 мм
в стеклянной оболочке,
толщиной 2 мм
в латунной оболочке,
толщиной 4 мм
Po,
Опытами было установлено, что скорость детонации д л я за ­
рядов гексогена (рi = 1,71 г /с м 3) и тротила (рi = 1 ,6 3 г /с м 3)
5*
132
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
диаметром 20 мм не зависит от массивной оболочки, в то время
как теплота взры ва заметно зависит от условий опыта (см.
табл. 4.3).
Следовательно, теплота взрыва, которая выделяется в зоне
химической реакции детонационной волны, меньше, чем полная
энергия взры ва заряд а ВВ в массивной оболочке. Оболочка пре­
пятствует разбросу периферийных слоев ВВ, зам едляет разлёт
ПД, что способствует протеканию дополнительных химических
реакций в П Д (за плоскостью Ч еп м ен а-Ж уге, см. п. 4.2) с доба­
вочным выделением тепла. Это добавочное выделение энергии
способствует увеличению механического действия взрыва. Теп­
лота взрыва, полученная в массивной оболочке (фугасная теп­
лота взры ва Q f ), больше той теплоты взры ва (детонационная
теплота взры ва Q d ), которая вы деляется в зоне химической ре­
акции детонационной волны, д л я гексогена на 11%, д л я тротила
на 16% (по расчётам). Экспериментально было установлено, что
ф угасная теплота взры ва (теплота взры ва в массивной оболоч­
ке) линейно зависит от плотности зар яд а (см. таблицу 4.2, где
Q f = Q (H2O)r) .
Д л я ВВ с небольшим отрицательным, нулевым или поло­
ж ительны м кислородным балансом (например, Т Э Н а, нитро­
глицерина) не имеет место повышение теплоты взры ва при их
уплотнении и наличии массивной оболочки у заряда.
Н аряду с теплотой взры ва Q , основной характеристикой ВВ
является скорость детонации D , которая характеризует дей­
ствия П Д вблизи заряда.
Обычно эту величину определяю т экспериментально с по­
мощью скоростных фоторегистраторов или с помощью осцил­
лографов. Экспериментальные методы позволяю т с большой
точностью определить зависимость скорости детонации D от
плотности заряд а р о .
Д л я многих ВВ зависимость D = D(po) может быть пред­
ставлена линейной зависимостью при изменении плотности за ­
ряда от ро = 1,0 г /с м 3 до максимальной:
D = D * + M (ро - р*), м /с.
(4.1)
В таблице 4.4 д л я разных ВВ, имеющих плотности р*, пред­
ставлены значения скорости детонации D * и коэф фициента M ,
которые позволяю т по формуле (4.1) определить скорость дето­
нации D д л я любой другой плотности ро > 1 г /с м 3. В формуле
(4.1) плотности заряд а вы раж ены в г /с м 3.
4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
133
Т а б л и ц а 4.4
ВВ
Тротил
ТЭН
Пентолит
Гексоген
Гексоген-тротил 64/36
Тетрил
Тетритол
Пикриновая кислота
Этилен динитроамин (ЭДНА)
Пикрат аммония
Нитрогуанидин
Азид свинца
Гремучая ртуть
Аммотол 50/50
ДИНА (C 4H 8 N4 Os)
НЕНО (CeHsN6O 12)
Нитроглицерин жидкий
Нитроглицерин-динитротолуол
60/40
Эднатол 60/40 (60% ЭДНА
и 40% тротил)
р*,г/см 3
D t , м /с
1,00
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
1,59
1,50
5 010
5 550
5 480
6 080
7 540
5 600
7 300
5 255
5 910
4 990
5 460
5 100
5 050
5 100
5 950
5 530
7 800
7 000
1,60
7 510
3 325
1,00
1,00
1,00
1,60
1,00
1,60
1,00
1,00
1,00
1,00
4,00
4,00
1,00
1,00
1,00
M , м 4 /с-кг
225
950
100
590
080
225
400
045
275
435
015
560
890
4 150
2 930
3 680
—
Используя экспериментальные данные, из уравнения (4.2)
можно получить связь м еж ду скоростью детонации и теплотой
взры ва (определённой в массивной оболочке):
д л я гексогена:
д л я тротила:
( Q f — 1090
D = 6080 + 3590 I ------------------ 1
' Q f 180
7
— 550
(4
2)
(4.2)
D = 5010 + 3225 ( —^^40--------1
где D выражено в м /сек, а Q f в ккал /к г, ро > 1 г/см .
Следует отметить, что такая линейная зависимость D от
Q f имеет место д л я ВВ с отрицательным кислородным балан­
сом (гексоген, тротил), но несправедлива д л я таких ВВ как
Т Э Н . Д л я некоторых ВВ, содержащих алюминий (например
134
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
45:30:25 гексоген-тротил-Al), зависимость скорости детонации D
от плотности заряд а р і является нелинейной: с увеличением р і
скорость растёт быстрее, чем по линейному закону.
Зависимость D от р о д л я ро ^ 1,2 г /с м 3 (до р о = Ртах) д л я
зарядов, имеющих диаметр больше предельного, может быть
представлена уравнением вида
D = A + БроК оэф ф ициенты A и Б д л я гексогена, тротила и их смесей приве­
дены в таблице 4.5; плотность ро вы раж ена в г /с м 3; погрешность
определения D = ± 50 м /с.
Т а б л и ц а 4.5
ВВ
A, м /с
Б, м 4/с-кг
Гексоген
ТГ 78/22
ТГ 65/35
Тротил
2
2
2
2
3
3
3
2
515
702
673
360
466
193
127
799
Скорость детонации является константой и не зависит от
диам етра данного заряд а ВВ (обычно рассматривается заряд
цилиндрической ф ормы ), если его диаметр больше некоторого
предельного диам етра dnp (на начальном участке в месте ини­
циирования скорость детонации может быть переменной). При
уменьшении диам етра зар я­
д а меньше dnp скорость де­
тонации будет уменьш ать­
ся и при некотором кри­
тическом диаметре заряд а
dKp скорость достигнет сво­
его минимального значения.
Д л я зарядов, диаметр ко­
торы х меньше критического,
^кр
пр
«
«
Рис 4 1
нельзя получить устойчивой
детонации. Типичный харак­
тер изменения скорости детонации D от диам етра заряд а d
показан на рис. 4.1.
Если заряд больше предельного, то скорость детонации за ­
висит только от плотности заряд а (см. таблицы 4.4, 4.5), причём
д л я целого ряда ВВ от плотности заряд а зависит такж е теплота
взры ва Q (см. таблицы 4.1 и 4.2).
4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
135
Если диаметр заряд а находится м еж ду критическим и пре­
дельным диаметрами, то скорость детонации зависит от целого
ряда факторов: от плотности заряда, от толщины и плотности
оболочки заряда, от размеров частиц ВВ и от физического со­
стояния ВВ. Скорость детонации может зависеть такж е от на­
чального импульса, который используется д л я инициирования
данного ВВ, от температуры и внешнего давления, при котором
находится ВВ.
К ритический и предельный диаметр заряд а такж е зависят
от химических свойств ВВ, его плотности, разм ера частиц, аг­
регатного состояния ВВ, оболочки заряд а и т. д. Если размер
заряд а меньше критического, то из-за разлёта П Д в сторону,
перпендикулярную оси заряда, возрастаю т потери энергии из
зоны реакции настолько, что детонация затухает.
Согласно современным представлениям, из-за боковых волн
разрежения, ударный фронт, входящий в структуру детонаци­
онной волны, искривляется, и возникает косая УВ. С учётом
этого явления критический диаметр заряд а определяется вы ра­
жением (по И. Ф. Кобылкину)
4«с2 cos р*
Q
,
(4.3)
Qpv f W
где « — массовая скорость, c — скорость звука в ударносжатом
ВВ, Qpv — изобарно-изохорный тепловой эфф ект, Y — коэф ф и ­
циент Грюнайзена, W — начальная скорость разлож ения ВВ
после ударного сж атия, р* — критический угол наклона ф ронта
косой УВ к вектору скорости набегающего потока. Угол р* ха­
рактеризует переход от дозвукового к сверхзвуковому режиму.
К ритические диаметры зарядов определяются эксперимен­
тальны м путём при подрыве цилиндрических зарядов. Заряд
либо ф отографируется, либо результат оценивается по действию
на плиту, на которой взры вается заряд. Критический диаметр
заряд а определяется таким наименьшим диаметром заряда, д ля
которого ещё имеет место устойчивая детонация.
В таблице 4.6 приведены критические диаметры зар яд а д ля
различны х порошкообразных ВВ при плотности зарядов 0, 9—
1 г /с м 3, размерах зерна ВВ от 0,05 до 0,2 мм и оболочке —
стеклянной трубке:
Зависимость критического диам етра от плотности заряда,
а такж е от физического состояния ВВ (литой, прессованный)
приведена в таблице 4.7.
Подобная зависимость dKp от плотности зар яд а имеет место
д л я тротила. Так, при изменении плотности порошкообразного
^кр =
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
136
Т а б л и ц а 4.6
ВВ
dKp, мм
Азид свинца
ТЭН
Гексоген
Пикрат свинца
Пикриновая кислота
Тротил
Аммонит № 6
Смесь 20% алюминия и
80% аммиачной селитры
Смесь 10% тротила и
90% аммиачной селитры
Аммиачная селитра
0 ,01 - 0,02
1,0-1,5
1-1,5
2-3
6
8-10
10-12
12
15
100
Т а б л и ц а 4.7
ВВ
Тротил прессованный
Тротил литой
Гексоген
Тетрил
ТЭН флегматизированный
ДИНА
ро,г/см 3
dKp, мм
Размер
частиц, мм
1,59
1,45
1,36
3
3
5
1,00
8
0,80
1,62
1,72
1,59
11
1,00
3
0,90
0,95
8
5
0,25
0,42
0,95
8
0,7
0,12
15
1
1
0,1
тротила от 0,85 г /с м 3 до 1,5 г /с м 3 (размер частиц 0,2-0,7мм ),
критический диаметр изменился более, чем в 3 раза. Ж и д к и й
тротил имеет dKp не менее 32 мм, а тротил прессованный мел­
кокристаллический той ж е плотности имеет dKp = 2,1 мм. Д л я
ряда ж идких ВВ критический диаметр приведён в табл. 4.8.
4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
137
Т а б л и ц а 4.8
ВВ или смесь
Тетранитрометан-бензол (87,5/12,5)
Азотная кислота-нитробензол (72/28)
Нитроглицерин
Азотная кислота-метиловый спирт (70/30)
Тротил жидкий при 81° С
Тротил жидкий при 240 °С
dKp, мм
< 0,1
0,5
2
>10
62
6
Д л я порошкообразных ВВ (тротил, ТЭ Н , гексоген, пикри­
новая кислота, пикрат калия, пикрат свинца) на величину dKp
существенно влияет размер частиц ВВ.
Чем меньше частицы ВВ, тем меньше критический диаметр.
Так, д л я тротила при изменении разм ера частиц от 0, 05-0, 01 мм
до 0, 07-0, 2 мм критический диаметр возрастает более, чем в 3
раза, при плотности заряд а 0,85 г /с м 3 (см. таблицу 4.9). По
опытным данным (опыты проводились в тонких целлофановых
оболочках) при изменении размера частиц от 0,08 до 0,45 мм
критический диаметр увеличивается от 2,4 мм до 5,5 мм (для
гексогена при ро = 1 г /с м 3), д л я тетрила (рі = 1 г /с м 3) меняется
от 4 мм до 12,5 мм при изменении размеров частиц от 0,08 мм до
0,72мм, д л я Т Э Н а (ро = 1 г /с м 3), dKp увеличивается от 1,5мм
до 5 мм при увеличении размера частиц от 0,1мм до 0,45 мм.
Наличие оболочки у заряд а уменьшает разлёт ПД, что спо­
собствует существенному уменьшению критического диаметра
заряд а у ВВ.
В первом приближении наличие инертной оболочки эквива­
лентно увеличению диам етра заряда.
Например, д л я аммиачной селитры dKp = 100 мм, а в сталь­
ной оболочке, толщиной 20 мм, аммиачная селитра детонирует
при диаметре 7 мм. Свинцовая оболочка сильнее влияет на дето­
национную способность ВВ, чем стальная оболочка, поскольку
в данном случае основным является инерционное сопротивление
оболочки.
Предельный диаметр заряд а dnp, при котором достигается
м аксим альная постоянная скорость детонации, зависит от тех
ж е ф акторов, что и критический диаметр заряда. Разм еры пре­
дельного и критического зарядов приведены в таблице 4.9.
Скорость детонации быстро нарастает с увеличением диа­
метра заряд а у ВВ, имеющих малый критический диаметр.
В зры вчаты е вещества, имеющие большую чувствительность
138
Гл. 4- Теория дет онации взры вчат ы х веществ
Т а б л и ц а 4.9
ВВ
dKp, мм
dnp,
p0, г/с м 3
Размер
частицы, мм
Тротил
10,5-11,2
4,5-5,4
8,9-9,25
30
16
0,85
0,85
0,95
0,2-0,07
0,05-0,01
0,75-0,1
1-1,15
3-4
1
0,025-0,15
Пикриновая
кислота
Гексоген
10
к начальному инициирующему импульсу, имеют меньший пре­
дельный и критический диаметры.
Д л я малочувствительной к взрыву аммиачной селитры (в
виде гранул) предельный диаметр более 300 мм, а д л я аммотола
50/50 предельный диаметр равен около 120 мм, д л я гексогена
ж е он равен примерно 3-4 мм (см. таблицу 4.9).
4.2. Гидродинамическая теория детонации
Гидродинамическая тео­
рия детонации была созда­
на Чепменом, Ж у ге, Зельдо­
вичем и др. Согласно этой
теории ф ронт детонацион­
ной волны представляет со­
бой ударную волну, в кото­
рой ВВ сжимается ударно
как инертное вещество.
Энергия, которая выде­
ляется за фронтом УВ в ре­
зультате химической реак­
ции ВВ поддерж ивает пара­
метры ударной волны на по­
стоянном уровне, т. е. эпю­
ра давлений в детонационной
волне не меняется по мере
её движ ения по заряду (см.
рис. 4.2). В зоне ж е П Д имеет
место нестационарный раз­
лёт
газа, т. е. все параметры
Рис. 4.2
меняются со временем (зона
3, рис. 4.2).
Таким образом, стационарная зона (зоны 1 и 2, рис. 4.2)
граничит с областью 3 нестационарного течения газа (областью
4.2. Гидродинамическая теория детонации
139
волны разреж ения). Стационарная зона д ол ж н а двигаться от­
носительно П Д со звуковой (или сверхзвуковой) скоростью,
в противном случае волна разреж ения догонит стационарную
зону (зону химической реакции), что приведёт к расшире­
нию вещества в зоне химической реакции, падению давления
и температуры, и процесс стационарного распространения де­
тонационной волны будет невозможен. Чепменом и Ж у г е бы­
ло постулировано, что детонационная волна распространяется
относительно продуктов детонации со звуковой скоростью. Это
положение носит название условия Ч еп м ен а-Ж уге.
П арам етры детонационной волны (плоскость H - H , рис. 4.2)
связаны с параметрами исходного покоящегося ВВ с помощью
законов сохранения массы, изменения импульса, энергии, усло­
вия Ч е м п м е н а-Ж у ге и уравнений состояния ПД:
1.
PoD = р н {D — и н );
2.
Рн — Po = PoD u h ;
3.
E h — {Eo + Q) =
(vo —ѵ н );
(4.4)
4.
5.
6.
где po = 1/vo, Po, Eo — плотность, давление и удельная внут­
ренняя энергия в исходном ВВ; D и Q — скорость детонации
и теплота взрыва, вы деляю щ аяся в детонационной волне; H ,
Р н , и н , E h , T h — плотность, давление, массовая скорость,
удельная внутренняя энергия и тем пература П Д в конце зоны
химической реакции (точка Ж у ге ). Это ж е обозначение отно­
сится и к производным, таким как {dp/dv)H.
Эти уравнения получаются аналогично соответствующим
уравнениям на фронте ударной волны в инертном веществе (см.
гл. 3) с той лишь разницей, что в уравнении энергии появляется
теплота взры ва Q и прибавляется условие устойчивой детонации
(4-е уравнение). Его ф изический смысл рассмотрен ниже.
Из первого и второго уравнений системы (4.4) можно полу­
чить соотношение
PH = Po + —T (vo — v h ).
vo2
(4 .5 )
140
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
П рям ая, соответствующая уравнению 4.5, называется прямой
Михельсона. Д л я устойчивого стационарного реж им а детонации
скорость является постоянной величиной.
В плоскости p -v уравнение (4.5) представляет собой
прямую д л я переменных р н , Ѵ н . Угловой коэффициент
этой прямой равен D 2/ v 0, и проходит эта прям ая через
точку 1, соответствующуюначальному состоянию ВВ (ро, Ѵо).
Проследим процесс детонации ВВ в плоскости p - v (рис. 4.3).
Н а рис. 4.3 изображены две ударные адиабаты: 1) ударная
адиабата 1 В Б \ исходного ВВ, которая представляет собой гео­
метрическое место точек возможных состояний ударного сж а­
тия исходного ВВ как инертного вещества. Давление рв и удель­
ный объём Ѵв на границе м еж ду фронтом ударной волны и зоной
химической реакции (рис. 4.2), д олж ны леж ать на этой кривой.
2) ударная адиабата продуктов детонации, E D M L H C , соот­
ветствую щ ая полному выделению химической энергии в зоне
химической реакции. Очевидно, что состояние p n , v h , соответ­
ствующее границе м еж ду зоной химической реакции и зоной П Д
(рис. 4.2), д олж ны л еж ать на этой кривой. У дарная адиабата
П Д ( E D M L H C ) л еж и т выше ударной адиабаты O B B \ исход­
ного ВВ, поскольку при химической реакции вы деляется тепло,
вследствие чего происходит расширение ПД.
Процесс детонации происходит следующим образом. Взры в­
чатое вещество из исходного состояния (po, vo) ударной волной
4.2. Гидродинамическая теория детонации
141
сжимается до состояния ( р в , ѵ в ). В этом состоянии химическая
реакция ещё не началась. П арам етры этого состояния ВВ (дав­
ление, температура) достаточны д л я интенсивного протекания
химической реакции за фронтом ударной волны. Поскольку в
зоне химической реакции д олж ны выполняться законы сохране­
ния массы и импульса, то состояние в зоне химической реакции
долж но меняться вдоль прямой (4.5). При выделении теплоты
химической реакции давление уменьшается от р в до р н (по
прямой 1 H B ), которое соответствует полному выделению хими­
ческой энергии Q . Поскольку в зоне химической реакции выде­
ляется теплота, то энтропия реагирующей смеси возрастает, так
как
dQ
d S = dQQ, d Q > 0 ^ d S > 0.
Точка H (точка Ж у ге) соответствует окончанию химической
реакции и, следовательно, полному выделению тепла, равному
Q д л я единицы массы ВВ. П рям ая (4.5) и ударная адиабата П Д
д олж ны иметь общую точку, поскольку после выделения тепла
химической реакции Q , параметры состояния П Д д олж ны на­
ходиться на прямой (4.5), а такж е и на кривой ударного сж атия
ПД. Можно доказать, что прям ая (4.5) д ол ж н а касаться в точке
H (точка Ж у ге) ударной адиабаты ПД.
Энтропия в зоне химической реакции достигает максимума
на прямой (4.5) в точке касания этой прямой с ударной адиаба­
той П Д (точка H ). Вблизи точки касания прямой 1B к ударной
адиабате П Д энтропия остаётся постоянной как на прямой 1B ,
так и на ударной адиабате ПД.
В окрестности точки касания (точка Ж у ге) ударная адиа­
бата П Д E D M L H C и изоэнтропа разгрузки П Д H K имеют
общую касательную, т. е.
' dp \
/ dp'
dv J н
\dv/
s
Условие касания (условие Ч еп м ен а-Ж уге) прямой (4.5) к удар­
ной адиабате П Д в точке H (см. четвертое уравнение (4.5))
может быть записано в виде
dp\
dv ) нн
--------- I
или
где
___
ydp
AJt' 22^\
—— v
dv J H
ch
/ dp\
V
\ dv
u'u /) SS
I
—
pt'n
H p0
t'о 2
vo — vh
p H —p0
v0 — v H
2
= -----v h =
— скорость звука в П Д в точке Ж уге.
ch ,
2(an\
(4.6)
142
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
Используя первое уравнение (4.4), (4.5) и (4.6) получим усло­
вие Ч еп м е н а -Ж у ге в виде
D —ин = с н ,
(4.7)
т. е. скорость детонации D относительно продуктов детонации
равна скорости звука в продуктах детонации с н . Поэтому ни
одно возмущение из зоны П Д не может догнать зоны химиче­
ской реакции. В самой ж е зоне химической реакции скорость
возмущений больше скорости ударной волны, т. е. ударная вол­
на относительно реагирующего ВВ в зоне химической реакции
имеет дозвуковую скорость, благодаря чему происходит влияние
выделяющейся энергии на ударную волну.
Гидродинамическая теория доказывает, что из всех возмож­
ных режимов устойчивой детонации осуществляется тот, ко­
торый соответствует условию (4.7), т.е. прям ая 1B (уравне­
ние (4.5)) д ол ж н а касаться ударной адиабаты П Д в точке H
(рис. 4.3). Очевидно, что прям ая (4.5) не может проходить ниже
касательной прямой 1B , поскольку в этом случае ударная адиа­
бата П Д и прям ая (4.5) не будут пересекаться, а состояние П Д
после химической реакции долж ны принадлеж ать и адиабате
ПД, и прямой (4.5). Это условие не нарушается, если прямые
Михельсона провести выше прямой так, чтобы они пересекали
ударную адиабату П Д (1Ві на рис. 4.3).
Тангенс угла наклона прямой (4.5) равен tg в = —D 2/v0 или
tg а = D 2/v0 потому что, если в < 90°, то tg в = — tg а. Поэтому
д л я процессов детонации реальное значение имеет ветвь ударной
адиабаты П Д слева от линии 1 М . Если в < 90°, то получается
мнимое значение д л я скорости детонации. Скорость детонации
зависит от угла а (рис. 4.3); чем больше этот угол, тем больше
скорость D. Следовательно, прям ая 1Ві соответствует большей
скорости детонации, чем прям ая 1В. Если, например, осуществ­
ляется режим, соответствующий прямой 1Ві, то ВВ будет удар­
но сжато до давления р в і (точка В і), затем химическая реакция
будет протекать на участке прямой В і С . Этот режим детонации
называется пересжатым. Точка л еж и т на ударной адиабате П Д
и поэтому соответствует полному выделению теплоты химиче­
ской реакции Q. Можно доказать, что в точке С выполняется
неравенство D < сс + и с , т. е. скорость детонации меньше, чем
сумма местной скорости звука в П Д и массовой скорости П Д (в
точке С ). Скорость сс + и с представляет собой скорость воз­
мущений относительно неподвижного ВВ. Поскольку зона П Д
представляет собой волну разреж ения, то возмущения догоняют
ф ронт ударной волны и уменьшают её амплитуду, т. е. в этом
4.3. Теория детонации идеального взрывчатого газа
143
случае режим устойчивой детонации невозможен. Если силь­
ным ударом создать в ВВ состояние, соответствующее точке Б і ,
то под действием волн разреж ения быстро установится режим
устойчивой детонации, соответствующий прямой 1Б .
Если бы химическая реакция закончилась в точке L, то
D > cl + Ul , т. е. детонационная волна будет уходить от волн
разрежения, что не противоречит устойчивому реж им у дето­
нации. Но при переходе из состояния ПД, соответствующего
точке С , в состояние ПД, соответствующее точке L, необходи­
мо добавочное выделение тепла, сверх того количества тепла
Q, которое выделилось во время химической реакции (участок
В і С , рис. 4.3). Поскольку эту добавочную энергию взять негде,
то режим детонации, соответствующий точке L , осуществить
нельзя при ударно волновом режиме детонации. Детонация на
участке M L называется недосжатой.
При устойчивом режиме детонации всегда осуществляет­
ся условие Ч е п м е н а -Ж у ге (см. четвертое уравнение (4.4) или
(4.7)).
4.3. Теория детонации идеального взрывчатого газа
Относительно полно теоретически и экспериментально ис­
следована детонация взрывных газов (например, в гремучей
смеси водорода и кислорода, или в смесях углеводородов с кис­
лородом и в топливно-воздушных смесях — ТВ С ).
Топливно-воздушные смеси — это смеси горючих газов или
паров топлива с воздухом, а такж е аэровзвеси мелких ж идких
капель или твердых частиц горючих материалов. В качестве
горючего, обычно углеводородного, могут использоваться газы
(метан, этан, пропан, ацетилен, природный газ и др.), либо пары
жидкостей (бензин, керосин, ацетон и др.).
Существуют две ф орм ы взрывчатого превращения ТВ С —
горение и детонация. Д л я возникновения горения ТВ С необхо­
димы два условия: перемешивание горючего с воздухом в опре­
деленном соотношении и наличие источника воспламенения (до
тем пературы 400° и выше). При воспламенении Т В С в зам кну­
том объёме (дома, гараж и и т.п.) повышается давление, и ско­
рость ф ронта горения может достигать сотен м /с, т. е. имеет
место взрывное горение, называемое дефлаграцией. При этом
максимальное давление может достигать нескольких атмосфер,
что достаточно д л я разруш ения окон, дверей, а иногда и стен
строений.
144
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
Д л я детонации Т В С необходим детонатор, в качестве кото­
рого служ ит взрыв конденсированного ВВ (от сотен граммов до
нескольких килограммов) или мощный искровой разряд.
Скорость детонационной волны в ТВ С составляет 1500—
1800 м /с, давление 15—20 атм, массовая скорость 600—800 м /с.
При детонации ТВ С удельная теплота взры ва д л я углеводоро­
дов составляет 10000—12000 ккал /к г, что в 10 раз больше, чем
у тротила. А тем пература в детонационной волне составляет
2000—3300 К.
Давление детонационной волны в Т В С в 104 раз меньше д ав­
ления при детонации конденсированных ВВ, но время действия
ударной волны при детонации Т В С в тысячи раз превышает
время действия ударной волны конденсированного ВВ вблизи
от заряда. В зам кнуты х объёмах при определенных условиях
(необходимая ТВ С, эф ф ективны й детонатор, прочное зам кну­
тое помещение) тротиловый эквивалент при детонации 1 кг го­
рючего может быть равен 5 кг тротила.
В результате исследований детонации взрывных газов была
создана гидродинамическая теория детонационной волны в га­
зовых взры вчаты х системах. Основные закономерности этой
теории справедливы и д л я конденсированных ВВ.
Наиболее простым случаем является рассмотрение взры в­
ного газа, как совершенного газа, подчиняющегося уравнению
pv = R T с постоянной теплоёмкостью ПД. В этом случае внут­
ренняя удельная энергия E = p / p ( k — 1), где к — показатель
изоэнтропы (адиабаты Пуассона), p = Лр к.
Полная система уравнений (4.4) д л я совершенного взры вча­
того газа запишется в следующем виде:
РоО = р н (D — и н );
Рн — Ро = Р о О и н ;
Рн
Ро
Рн + Ро f 1
Рн (к — 1 )ро(к — 1)
2
Ѵро
Рн — Ро
кРн Рн = 1 1
—
--------------------
---
-----------------
і
-----
—
1
Рн
+ Q;
(4.8)
Ро
Рн
Р н = Рн R Т н ■
Эта система может быть такж е записана с помощью уравне­
ния (4.7). Д л я этого вместо четвертого уравнения следует писать
уравнение (4.7):
D = и н + сн ■
(4 .9 )
4.4.
Теория детонации конденсированных взрывчат ых веществ
145
Поскольку прибавилось новое неизвестное с н , то с помощью
уравнения cH = (dP/dp)s и уравнения изоэнтропы ПД, p = A p k ,
получим шестое уравнение
cH = k H .
рн
(4.10)
С читая в системе (4.8) известными po, Po, Q, k из пяти уравне­
ний можно определить пять неизвестных pH , Ph , и н , D, Т н . Из
уравнений (4.8) д л я сильной волны (po ^ Ph ) можно получить
D = V 2(k2 — 1)Q ,
а такж е уравнения д л я давления, плотности и скорости:
poD2
D
k + 1
pH = F + I 'и н = F + I 'pH = к —
'
(4.11)
(4Л2)
Д л я этого необходимо в 4-м уравнении (4.8) положить Po =
= 0, в результате получим pH = po(k + 1) /k , затем подставляем
это выражение в 3-е уравнение (4.8); при po = 0 получаем p h =
= 2po(k — 1)Q. Из 1-го уравнения (4.8) при pH = po(k + 1 )/k
получим и н = D / ( k + 1), затем, исклю чая p h , придём к (4.11).
При детонации взры вчаты х газов свойства исходного газа
и свойства продуктов детонации различны (различные уравне­
ния состояния), что требует д л я точного расчёта рассматривать
вопросы, связанные с химической реакцией взрывчатого газа
в детонационной волне.
4.4. Теория детонации конденсированных
взрывчатых веществ
С и с т е м а у р а в н е н и й д л я д е т о н а ц и о н н о й в о л н ы . В кон­
денсированных ВВ (ж идких и твёрдых) всегда можно считать,
что (po ^ Ph ). В этом случае система уравнений (4.4) может
быть записана в следующем виде:
2 PH
1. D 2 vo----------- ;
vo — vH
2. иu H
н = Ph (vo — v h );
1
3. E h
2*-н v —vH );
(4.13)
4.
—
5.
Ph
dP\
= Ph
.
dvj H
vo — v h ’
Д л я того, чтобы воспользоваться этой системой д л я расчёта,
необходимо знать уравнение состояния П Д в точке Ж у ге. Этот
146
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
вопрос рассмотрим ниже, а сейчас выведем некоторые полезные
уравнения, которые не зависят от уравнения состояния.
Изоэнтропа H K выходит из точки Ж у г е и является каса­
тельной к ударной адиабате П Д в точке H (рис. 4.3). Любое
уравнение изоэнтропы можно представить в диф ф еренциальной
форме:
к = - (^
= -VV(dP) ,
(4.14)
\ d in v j
p \dv)
где показатель изоэнтропы к в общем случае есть к = к(р).
Из (4.14) производная (d p /d v) s в точке H равна
dp\
dv ) н
p H кн
ѵн
(4 1 5 )
Подставим эту производную в 4-е уравнение (4.13), в результате
получим
рн = к н ± 1 (4.16)
ро
кн
И склю чая из 1-го уравнения (4.13) ѵн = 1 / р н , получаем
рн =
і н т і
-
(4-17)
А с помощью 2-го уравнения (4.13) найдём уравнение д л я ско­
рости:
и н = к н + 1'
(4Л8)
Уравнения (4.16)-(4.18) не зависят от вида уравнения со­
стояния и имеют поэтому одинаковый вид как д л я конденси­
рованных ВВ, так и д л я совершенного взрывчатого газа (см.
уравнение (4.12)).
Н а основе современных опытных данны х известно, что по­
казатель изоэнтропы в точке Ж у г е д л я конденсированных ВВ
к н ~ 2, 5-3,5, среднее значение к н ср ~ 3. В этом случае уравне­
ния (4.16)-(4.18) примут вид
рн
4
р о = 3.
роБ>2
рн = —
D
ин = 4 '
/Л ЛП\
(4- і9)
Д л я определения р н , р н и и н при к = к н , в этом случае
надо пользоваться ф ормулами (4.16)-(4.18).
У равн ен и я состояния и и зоэнтропы П Д конденси­
р о в а н н ы х В В . По современным представлениям уравнения
состояния П Д могут быть представлены в такой ж е форме
4.4.
Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ
147
как уравнения состояния твёрдых и ж идких инертных тел
((3.80), (3.81)):
Р = Рх(Р) + Р Т p Т ),
E = Е х ( р ) + Е т (p, Т).
( . 0)
Н а основе этих уравнений и некоторых допущений, как извест­
но, уравнение состояния твёрдой или жидкой среды может быть
представлено уравнением (3.86):
Р = Рх + - ( Е - Ех).
(4.21)
v
Такой вид уравнения состояния П Д удобно использовать в си­
стеме диф ф еренциальны х уравнений движ ения (см. гл. 1).
Представим уравнение (4.21) в виде
р = a(p)+b(p)E,
(4.22)
a(P) = р х (р) + Y (P)PE х (P),
(4 23)
где
b ( p ) = Y(P)P.
()
П реж де чем рассматривать определение ф ункций a(p) и b(p)
д л я П Д определим уравнение изоэнтропы, соответствующее
уравнению состояния (4.22).
Согласно первому началу термодинамики при d S = 0:
fjdp
d E = —pdv = —гг,
—Т
2 ,
p2
dE
р
или 2 —— =
или
dp = ~ 2p2
.(4.24)
Д л я определения уравнения изоэнтропы П Д выразим E из
(4.22):
E = р—
.
(4.25)
Найдём производную d E / d p от этого вы раж ения и подста­
вим её в уравнение (4.24):
dE
dp
или
dp
1( dp
b\ d p
( 1 db
da\
dp)
р —a db
b2 dp
b\
a db
р
p2’
da
Tp — р { ь Т Р + 7 ) = — b d p + dp.
(4‘26)
Это уравнение представляет собой изоэнтропу П Д в д и ф ­
ференциальной форме. Если известны функции a(p) и b(p),
то уравнение (4.26) может быть проинтегрировано, а получен­
ное при этом уравнение р = fj(p, C ) является изоэнтропой, где
C — константа интегрирования, определяемая из начальных
Гл. 4. Теория дет онации взры вчат ы х веществ
148
условий, согласно которым изоэнтропа дол ж н а проходить через
точку Ж у ге, т. е. при р = р н , р = Р н .
При известных ф ункциях а(р) и Ь(р) уравнение (4.26) я в л я ­
ется линейным диф ф еренциальны м уравнением, и его решение,
представляющее изоэнтропу p = р(р, С ), имеет вид
р = exp
Ф (Ір
Q exp
где
Ф= —
q
Ф (Ір\ (Ір + С
1 db
b
b (Ір + р
a db ^ d a
b dр
dр'
(4.27)
(4.28)
Рассмотрим ряд способов определения функций а(р) и Ь(р )
д л я П Д конденсированных ВВ.
1. Задаём уравнение состояния в простейшей форме:
_ A , Yo „
р = ~
vn + v Е ,
(4.29)
где а = А р п , b = Y0 р.
Считаем Yo = const. В уравнении (4.29) необходимо опреде­
лить три константы A, n, Yo. По уравнению (4.29) определяем
изоэнтропу (4.27) в виде
р = В р п + С р і0+і
(4.30)
и
A = В
1
Yo
n
1
(4.31)
Неизвестные константы A, n, Yo, С определяются из следующих
условий:
а) уравнение изоэнтропы долж но проходить через точку
Ж у г ^ Рн = В р н + Ср%+ 1;
(4.32)
б) в точке Ж у г е долж но выполняться уравнение
Сн =
й р ,(
= В п р н і + С (Yo + 1)рн ;
(4.33)
в) в точке Ж у г е справедливо уравнение состояния (4.29
A
Yo
(4.34)
Рн =
+------- Е н ;
vH
vH
г) константа Yo определяется из условия, что при боль­
шом расширении П Д р -— 0 уравнение состояния (4.29)
долж но стремиться к уравнению совершенного газа, т. е.
4.4.
Теория детонации конденсированных взрывчат ых веществ
149
Р (к — 1 ) р Е . Поэтому примем 7о = к — 1 = 0, 2—0,3. Из
трёх уравнений (4.32), (4.33), (4.34) определим три неиз­
вестных константы Л, n, С .
2. Если в предыдущей задаче в качестве исходных данных
использовались параметры в точке Ж у ге, то более точное урав­
нение состояния может быть получено, если кроме точки Ж уге,
известна изоэнтропа ПД, определённая экспериментально.
В этом случае по параметрам точки Ж у г е и опытной изоэнтропе Р = р (р ) определяются уравнения состояния. Рассмотрим
алгоритм решения этой задачи:
Уравнение состояния берут в виде
Р = Рх + YP(E — Е х) ■
(4.35)
Значение 7 меняется обычно в пределах от 7 н = 0, 7—1в точке
Ж у г е до 7о = 1 /5 —1/3 при малы х плотностях (идеальный газ).
Закон д л я 7 = 7 (р) может быть определен на основе динамиче­
ской сжимаемости и уравнений состояния отдельных компонен­
тов ПД. Например, в простейшем виде
7 = 7о + Ср,
7о = 1/5 —1/3, С — константа, которая определяется при условии
Р = Р н , 7 = 7 н . Затем задаётся уравнение д л я Рх, например,
в виде
n
,
кі
Рх = Y 1 O il 1 — ~ ) ■
і=і
^
р '
(4.36)
К оэф ф ициенты ai подбираются так, чтобы удовлетворить экспе­
риментальному уравнению изоэнтропы Р(р). Причём давления
Рх (р) и р (р ) связаны м еж ду собой уравнением (4.27), (4.23),
а величина Рх = —d E ^ d v .
3. Уравнение состояния Р = Р (р, Е ) может быть такж е
определено путём согласования численного решения одномер­
ной газодинамической задачи с опытными данными с помощью
какого-либо параметра. Например, уравнение состояния задаёт­
ся в виде
Р = 7 орЕ + Б р 4 + С e x p j —Р | ,
(4.37)
где 7 о = 1/5—1/3.
К оэф ф ициенты Б и С определяются из следующих условий:
а) уравнение (4.37) долж но удовлетворяться в точке Ж уге;
б) в точке Ж у г е с н = (dj)/dp)s .
150
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
Это д аёт два уравнения:
4 , ^
f
Рн = YoPh E h + Bp H + C exp
I
где
в
PH
(4.38)
cH = YoE h + 4BpH + C exp j — — j + Y^pH ,
Ph
1 P ^
Ph
i7i
I Рн г
ч
E h = Q + — (vo - v h ).
Константа в определяется путём сравнения экспериментальной
зависимости давления на фронте ударной волны в воде с анало­
гичной зависимостью, полученной при численном решении этой
задачи.
4.
Д л я моделирования детонационных процессов широко ис­
пользуется полуэмпирическое уравнение состояния продуктов
детонации Д ж он са-В и л ки н са-Л и (JWL):
р = A ( 1 - Rv
) exp { - R l V } +
+ B (1 - R T ^ j exP { R 2v } + V
,
(4.39)
где V = po/p; A, B, C , R i , R 2, и — эмпирические константы,
E — внутренняя энергия в единице объёма. В детонационной
волне E h = po (Eo + Q) +
(vo -
vh)
■
Уравнению (4.39) соответствует изоэнтропа продуктов детона­
ции
p s = A exp { - R i V } + B exp { - R 2V } + C V -(1+ш),
(4.40)
где C — константа.
Д л я определения констант A, B , C , R i, R 2, и используются
экспериментальные параметры р н , р н , Е н , что даёт два уравне­
ния p s = р н и E s = Е н . Т ретье уравнение получается из условия
касания прямой Михельсона (4.5) изоэнтропы (4.40) в точке “H ”
cH = ( dp /d p) sH (см. уравнения (4.32-4.34). Эти три уравнения
решаются относительно констант A , B , C . Затем подгоночные
константы R i, R 2, и подбираются так, чтобы численное ре­
шение двумерной задачи по метанию медной цилиндрической
оболочки совпадало с экспериментальным законом движения
этой оболочки.
Константы A, B , C , R i, R 2, и д л я ряда взры вчаты х веществ
приведены в табл. 4.10.
Т а б л и ц а 4.10
П арам етры Ч е п м е н а -Ж у ге и коэф фициенты уравнения состояния JW L
В В или индекс
составаа
Параметры Чепмена-Жуге
Ро,
Ео,
Р,
А
км/с ГПа
г/см 3 ГПа
Г
А,
Параметры уравнения состояния JWL
в,
с,
Ді
Й2
ГПа
ГПа
ГПа
LU
БТФ
С отр. А - 3 “
С отр. В “
С отр. С - 4 “
Циклотол77/23“
DIPAM
EL - 506А “
EL - 506С “
Вещество D
ФЭФО “
Н- 6с
Октоген
ГНС
ГНС
ГНС
1,859
1,65
1,717
1,601
1,754
1,550
1,480
1,480
1,42
1,590
1,76
1,891
1,00
1,40
1,65
2,717
2,79
2,706
2,838
2,731
2,842
2,752
2,719
2,75
2,578
3,092
2,740
2,468
2,881
2,804
840,7
611,3
524,2
609,77
603,4
425,4
373,8
349,0
300,7
382,4
758,07
778,3
162,7
366,5
463,1
0,30
0,32
0,34
0,25
0,35
0,39
0,30
0,30
0,35
0,38
0,20
0,30
0,25
0,32
0,35
36, оь
30,0
29,5
28,0
32,0
18,0Ь
20,5Ь
19,5Ь
16,0
25,0
24,0
42,0Ь
7,5
14,5
21,5
8,48
8,3
7,98
8,193
8,25
6,70
7,20
7,00
6,50
7,50
7,47
9,11
5,10
6,34
7,03
11,50
0,89
8,50
9,0
9,20ь
6,20ь
7,00ь
6,20ь
5,4
8,00
10,3
10,50
4Д
6,0
7,45
14,960
10,65
7,678
12,95
9,924
8,007
3,647
4,524
3,94
6,635
8,513
7,071
10,82
6,750
8,873
3,137
1,08
1,082
1,043
1,075
1,175
1,138
0,854
1,00
1,444
0,643
1,143
0,6580
1,163
1,349
4,60
4,4
4,20
4,5
4,30
4,70
4,20
4,10
4,30
4,10
4,90
4,20
5,40
4,80
4,55
1,20
1,20
1,10
1,40
1,10
1,30
1,10
1,20
1,20
1,20
1,00
1,80
1,40
1,35
1,35
152
Продолжение таблицы 4.10
Параметры Чепмена-Жуге
Ео,
Ро,
Р,
А
г/см 3 ГПа
км/с ГПа
LX - 01“
LX - 04 -1 “
LX - 07 “
LX - 09 - 1 “
LX - 10 - Г
LX - 11 “
LX - 14 - 0 “
LX - 17 - 0 “
Нитрометан
Октол 78/22
РВХ - 9010 “
РВХ - 9011 “
РВХ - 9404 “
РВХ - 9407 “
1,230
1,865
1,865
1,84
1,865
1,875
1,835
1,900
1,128
1,821
1,787
1,777
1,840
1,600
15,5
34,0
5,5
337,5
37,5
33,0
37,0
0,0
32,5
134,2
34,2
34,0
37,0
26,5Ь
6,84
8,47
8,64
8,84
8,82
8,32
8,80
7,60
6,28
8,48
8,39
8,50
8,80
7,91
6,10ь
9,50
10,00ь
10,5
10,4
9,00ь
10,2
6,90
5,10
9,60ь
9,00
8,90ь
10,20
8,60ь
Г
А,
Параметры уравнения состояния JWL
в,
с,
Ri
Д2
ГПа
ГПа
ГПа
LU
2,711
2,935
2,921
2,834
2,868
2,868
2,841
2,658
2,538
2,830
2,700
2,776
2,851
2,513
311,0
836,4
848,1
848,1
880,7
779,1
826,1
446,0
209,2
748,6
581,4
634,7
852,4
573,187
0,35
0,42
0,40
0,40
0,38
0,30
0,38
0,46
0,30
0,38
0,35
0,30
0,38
0,32
4,761
12,98
17,10
17,10
18,36
10,668
17,24
13,390
5,689
13,380
6,801
7,998
18,02
14,639
1,039
1,471
1,308
1,308
1,296
0,885
1,296
1,306
0,770
1,167
0,234
0,727
1,207
1,200
4,50
4.62
4,58
4,58
4,62
4,50
4,55
3,85
4,40
4,50
4,10
4,20
4,55
4,60
1,00
1,25
1,25
1,25
1,32
1,15
1,32
1,03
1,20
1,20
1,00
1,00
1,30
1,40
Гл. 4- Теория детонации взрывчатых веществ
В В или индекс
составаа
В В или индекс
составаа
Пентолит
50/50“)
Тэн
Тэн
Тэн
Тэн
Тетрил
Параметры Чепмена-Жуге
Ео,
Аз,
Р,
А
г/см 3 ГПа
км/с ГПа
1,70
25,5
7,53
8,10
0,880
1,260
1,500
1,770
1,730
тнт
1,630
Г — П оказатель адиабаты
Г
2,78
6,2
5,17
7,19ь)
2,668
6,54
5,02ь)
14,0
2,831
22,0
7,45
8,56ь)
2,788
33,5
8,30
10,10
2,640
28,5
7,91
8,20
2,798
21,0
6,93
7,0
2,727
П Д в точке Ч еп м ен а-Ж уге.
Параметры уравнения состояния JWL
Ді
в,
А,
с,
Й2
ГПа
ГПа
ГПа
540,94 9,3726 1,033
4,50
1,10
348,6
573,1
625,3
617,0
586,8
371,2
11,288
20,160
23,290
16,926
10,671
3,231
— индекс ВВ.
— расчётные значения;
с) — смесевое алюминийсодержащее ВВ с неидеальным поведением.
0,941
1,267
1,152
0,699
0,774
1,045
7,00
6,00
5,25
4,40
4,40
4,15
2,00
1,80
1,60
1,20
1,20
0,95
LU
0,32
0,24
0,28
0,28
0,25
0,28
0,30
4-4- Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ
Продолжение таблицы 4.10
153
154
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
4.5. Термическое уравнение состояния
Согласно теоретической термодинамике, если известно урав­
нение состояния в виде Р = р ( р , Т ), то получить с его помощью
уравнение Р = р ( р , Е ) можно только с точностью до произ­
вольной функции T . Поэтому приходится определять уравнение
Р = Р(Р, Т ) независимо от уравнения Р = р (р , Е). Д л я расчё­
та температуры в детонационной волне Т н необходимо иметь
уравнение состояния П Д виде Рн = Рн ( р н , Т н ). Температура
в детонационной волне Т н существенно зависит от выбранного
вида уравнения состояния П Д Р н = Рн ( р н , Т н ).
Н а основании экспериментальных данны х уравнение состо­
яния П Д конденсированных ВВ можно записать в виде (по
Воскобойникову):
Т н = 48 • 10
Р н ѵ н ( ѵ н — 0 , 2 ) Mcp)
(4.41)
где Т н — абсолютная температура, Рн выражено в д и н /с м 2, ѵн
в см3/г, M cp — средняя м олярная масса П Д в г/м оль, которая
может быть вычислена по формуле
M
cp = Т П і ’
где M — м олярная масса ВВ,
n i — сумма молей компонентов
газов, входящих в ПД, которая определяется по уравнению ре­
акции взрывчатого превращения ВВ.
Приближённые значения Р н , ѵн в уравнении (4.41) могут
быть определены с помощью уравнений (4.16)—(4.18).
В общем случае определения параметров детонационной вол­
ны в конденсированных ВВ Р н , р н , D , и н и Т н требуется
знать Рн = Рн ( р н , Т н ) и зависимость внутренней энергии Е н =
= Е н ( р н , Т н ), которая входит в уравнение 5 системы (4.13). На
основе уравнения (4.41) полуэмпирическая система уравнений
д л я определения параметров Р н , р н , D , и н , Т н в конденсиро­
ванных ВВ может быть записана в следующем виде:
Рн
ѵо — ѵн
1.
D = ѵо
2.
и н = \ J Р н (ѵо — ѵ н );
Th
Р н (ѵо — ѵ н )
cv d T = Q +
M cp
2
To
3.
(4 .4 2 )
4.5. Термическое уравнение состояния
155
4.
k
ѵИ = ¥ Т Т ад
5.
Т и = 4,8 •10 - 9 р и ѵ и (ѵ и — 0,2) M cp,
.
где cv — средняя молярная теплоёмкость при постоянном объёме
П Д в идеальном газовом состоянии — мож ет бы ть рассчитана
по формуле
cv
^ ^
где Пі — число молей i -го продукта детонации, cvi — сред­
няя молярная теплоёмкость i-го продукта детонации в рассмат­
риваемом диапазона температур (определяется по таблицам).
Расчётные и экспериментальные значения приведены в табли­
це 4.11. Теплота взрыва Q, выделяющаяся в детонационной
волне, вычисляется с помощ ью приближённых уравнений реак­
ции взры вчатого превращения. Расчёты параметров в системе
(4.42) производятся с использованием единиц системы С ГС —
[см г с].
Сравнение экспериментальных значений скорости детонации
D и температуры Т и с их расчётными значениями по (4.42) для
различных ж идких и твёрды х смесевых ВВ показало хорошее
совпадение экспериментальных и расчётных значений D и Т и
(таблица 4.11).
Т а б л и ц а 4.11
Нитро­
глицерин
Нитро­
гликоль
Метилнитрат
Нитро­
метан
Гексоген
ТЭН
Тротил
Тетрил
ДИНА
_ ”_
Т н ,К
опыт
расчёт
1,60
7 650
7 700
25,8
25,5
4 000
4 250
1,50
7 500
7 450
—
22,5
4 400
4 300
1,21
6
750
6
800
—
15,0
4 500
4 550
1,14
6
300
6
300
13,3
12,5
3 700
3 600
1,80
1,77
1,62
1,70
1,67
1,48
850
600
7 000
7 860
600
400
7 050
7 850
39,0
35,0
3 700
4 200
8 000
8 000
7 400
7 450
36,0
34,0
21,5
26,5
29,0
21,5
3
4
2
2
3
3
о -*
Sсо
D, м /с
р н , ГПа
опыт
расчёт опыт
расчёт
г Ъ
ВВ
8
8
8
8
21,2
26,3
-
2 950
3 700
3 450
750
150
350
940
500
550
156
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых веществ
Рассмотрим ещё одно полуэмпирическое уравнение состоя­
ния (по Чистяковскому-Вильсону):
р
= pMR T (1 + ^ ехр{ ^ ) ,
(4.43)
где x = p k ( T + Ѳ )_", R — газовая постоянная.
К оэф ф ициенты д л я тротила равны:
к = 12,69;
в = 0,096;
Ѳ = 400;
а = 0,5.
Д л я гексогена:
к = 10,9;
в = 0,16;
Ѳ = 400;
а = 0,5.
Эти коэф фициенты д л я гексогена можно использовать д л я лю­
бого другого ВВ, имеющего формулу CaH^NcO^.
Глава
5
РАЗЛЁТ П РО Д УК ТО В ДЕТОНАЦИИ
В ПУСТОТУ
5.1. Разлёт продуктов детонации за фронтом
детонационной волны
Процесс детонации и разлёта продуктов детонации (ПД) мо­
ж ет быть довольно точно описан уравнениями газовой динами­
ки, так как единственное допущение, которое делается при изу­
чении этого процесса, заклю чается в пренебрежении потерями
на трение, теплопроводность и теплообмен. При чрезвычайной
быстроте процесса эти потери действительно исчезающе малы.
Рассмотрим плоскую детонационную волну. Пусть детона­
ционная волна возникает в начале координат в момент времени
t = 0 и распространяется слева направо ((рис. 5.1) и (рис. 5.2)).
пустота
/777777777777777777
Рис. 5.1
Д л я П Д давление р, плотность р, скорость звука с, массовая
скорость и являю тся ф ункциям и х и t.
Изучим процесс изоэнтропического разлёта П Д (совершен­
ный газ), д л я него справедлива следую щая система уравне­
ний (2.1), (2.2) и (2.4):
du
1 др
dt
рдх’
др + д( Ри) =
dt + д х
р = А р к,
(5.1)
;
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
158
или (2.8)
д {и ±
2с
д Iи ±
к - 1
+ (и ± с)dx
2с
к - 1
dt
0.
Н а ф ронте детонационной
волны, как мы знаем, эн­
тропия возрастает по сравне­
нию с невозмущённой средой
(рис. 5.3). Существенно, что
всюду на ф ронте (для любого
момента времени) энтропия
постоянна, а за фронтом вол­
ны начинается изоэнтропическое расширение газа, поэто­
му необходимо реш ать систе­
му уравнений д л я изоэнтроРис. 5.3
пического течения. Посколь­
ку параметры газа на фронте
детонационной волны постоянны, то область разлёта П Д пред­
ставляет собой простую волну. Поэтому воспользуемся особым
решением основных уравнений газодинамики (2.35):
x = (и ± c)t + F (и),
2
и = ± -------- с + const.
к- 1
(5.2)
Т ак как детонационная волна распространяется слева на­
право, и ось 0x направлена слева направо, то мы в уравнениях
(5.2) выбираем верхние знаки. Поскольку движение в момент
времени t = 0 определено в точке x = 0, то F (и) = 0. Н а фронте
сильной детонационной волны имеем (4.16)—(4.18)
D
ин = F + T '
kD
сн = —
p 0D 2
1'
рн = F + Г '
к+ 1
PH = —
p°.
(5.3)
П одставляя значения и н и с н во второе уравнение системы
(5.2), находим значения постоянной:
D
к + 1
или
const = D
2
к
D + const,
к — 1к + 1
D
(к — 1) - 2 к
(к — 1) (к + 1)_
к
(5 .4 )
1
5.1. Р азлёт продуктов дет онации за фронтом детонационной волны 159
Таким образом, разлёт П Д описывают уравнения
2с
D
(5.5)
к —1
к —1
В общем случае к = к(р) при расширении ПД, и тогда задачу
надо решать численно. В случае, когда к = 3, имеем:
x = (и + с) t;
и —
D
и — с = —— ■
2
Разреш ая уравнения (5.6) относительно и и с, получим:
x = (и + c)t,
(5.6)
x D
x D
и = — — ~~~;
(5.7)
2t
4
С = 2t + Т ■
Таким образом, граф ики распределения скорости и и ско­
рости звука с за фронтом детонационной волны изображаются
прямыми линиями в интервале —D t / 2 ^ x ^ D t (рис. 5.4а).
При распространении волна будет
как бы растягиваться подобно са­
мой себе, т. е. мы имеем в данном
случае автомодельное движение га­
за, поскольку x и t можно заменить
одной переменной z = x / t .
Формулы (5.7) определяю т и и с
как ф ункции x и t. Определим Р и р
как t^(x, t).
Н а фронте волны мы имеем:
к+ 1
к Ро;
Ро D 2
(5.8)
к+ 1
где ро — плотность взры вчатого вещества.
Т ак как зад ач а изоэнтропическая и Р = Л р к, то известно, что
с 2 = (дР/др)s=const и поэтому с2 = Лк рк - 1 = кР/р.
Рн =
Рн
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
160
Д л я любого x справедливо
с2
2
сН
А к р к- 1
рк- 1
АкрH 1
pH
(5.9)
1
Д л я к = 3 имеем
с2
2
сН
р
2
с
или
А .
рн
сн
pH
(5.10)
Давление можно определить из следующего соотношения (для
к = 3):
р
Рн
= ( р ) 3= ( р "3
Vр н )
V сн ,
(5.11)
Подставив в уравнения (5.10) и (5.11) значения c(x, t) из системы
уравнений (5.7), получим вы раж ения д л я p и р:
р
рн
x
D
сн
2t + Т
Р
Рн
3
x
D
3
2t + Т
(5.12)
З н а я теперь уравнения (5.7) и (5.12), можно построить граф ики
распределения параметров газа за фронтом детонационной вол­
ны д л я t = to (рис. 5.4а), а такж е характеристики в плоскостях
(x—t) и (и—с) (рис. 5.4б, рис. 5.4в).
Р а з л ё т п р о д у к то в д ето н ац и и от ж ё с тк о й стен ки . Для
этой задачи справедливо всё то, что мы рассматривали в преды­
дущей задаче. Пусть детонационная волна начинается в начале
координат в момент времени t = 0 у стенки и распространяется
слева направо (рис. 5.5). Д л я решения задачи воспользуемся
уравнениями (5.2), в уравнениях вновь берём знак плюс.
Рис. 5.5
Проделав вы кладки аналогично тому, как это было сделано
в предыдущей задаче, получим
x
и + с= т ;
t
2
D
и —1
7с = ~1
7к —1
к —1
(5 .1 3 )
5.1. Р азлёт продуктов дет онации за фронтом детонационной волны 161
Из уравнений (5.13) при k — 3 следует:
x
D
x
D
,
Л
и — — —~ ;
c — — + _■-.
(5.14)
2t 4 ’
2t
4
v
7
Н а фронте волны имеем x — Dt. Очевидно, существует такая
линия, вдоль которой и — 0. Уравнение такой линии имеет вид
x — D t / 2 , и на ней c — D / 2 . Таким образом, граф ики распре­
деления скорости u и скорости звука c за фронтом детона­
ционной волны изображаю тся прямыми линиями в интервале
D t / 2 ^ x ^ Dt.
В интервале 0 ^ x ^ D t / 2 , и — 0, c — D / 2 , т. е. скорость
везде равна нулю, а скорость звука постоянна.
Т ак же, как и в предыдущей задаче, определяем давление
и плотность (5.12) в интервале D t / 2 ^ x ^ Dt:
Ри ( x
D
P ——
cH \ 77Т
2t + 4
р
Ри ( x
c3h U
, D
4
(5.15)
3
где
k + 1
Ри — — — Po;
k '
И
k
= ,1D;
k + 1
poD 2
ри
k + 1
ch
Определим параметры в зоне покоя un — 0, cn — D / 2 . Д л я зоны
покоя справедливо
pn
Ри
cn
D/2
ch
3D /4
2
3
Отсюда можно определить плотность в зоне покоя:
2
24
8
Pn — 3 Ри — 33 Po — 9 Po.
Давление
(5.16)
определим через плотность
Pn — \ P n \ 3 — \ 2 \ 3 — _8_
Ри
\Ри )
W
27
Отсюда имеем, что
8
Pn — 27PH .
(5.17)
Г раф ики распределения параметров за фронтом детонационной
волны при k — 3 изображены на рис. 5.6.
6 Л. П. Орленко
162
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
Рис. 5.6
5.2. Отражение детонационной волны от жёсткой
стенки
1.
Т очное р еш ен и е за д а ч и об о т р а ж е н и и д е т о н а ц и ­
о н н о й в о л н ы о т ж ё с т к о й с т е н к и . Рассмотрим случай от­
раж ения детонационной волны от жёсткой стенки. Пусть де­
тонационная волна начинается в начале координат в момент
времени t = 0 и распространяется слева направо по заряду ВВ
с постоянной скоростью D (рис.5.7).
В момент времени t = l / D детонационная волна отраж ается
от жёсткой стенки. При отражении образуется ударная волна
в продуктах детонации, её ф ронт перемещается со скоростью D 2
(рис. 5.8).
t= О
х=О
ZZ///////
t> l/D
Mm
х =I
х=О
d2
'z z z z z
(2)
// / / J
Рис. 5.7
Рис. 5.8
5.2. Отражение детонационной волны от жёсткой стенки
163
Д л я области 1 справедливы соотношения (5.7) при k = 3:
х
D
х
D
,Г1П,
ui — —
—_“■; ci — — + _“■• (5.18)
1
2t 4 ’
1 2t
4
v
7
Область 2 является областью отражённой волны. Необходимо
определить изменение параметров в этой области.
Это зад ача одномерная, адиабатическая. Д л я совершенного
газа p — A p k в области 2 справедлива следую щая система (гл.1
п . 1.2.5):
du
1 dp
dt
p дх
d p + д (pu) = 0
dt+
дх
;
d ( 4 )
(5.19)
d ( p
+ u A д хf ^ = Оdt
Д л я идеальной среды в области 2 справедливо:
du
1 дp
dt
p дх
др + д (Pu) = 0.
дt
дх
dE
dv
d + p dt = 0;
p = p(p, E ).
’(5.20)
Д л я области 2 справедливы граничные условия:
1) х = l, t ^ l / D , u = 0;
2) при х = хуф выполняются соотношения на фронте
ударной волны (3.1), (3.2) и (3.5).
В такой постановке зад ач а решается численно с помощью
ЭВМ. Но существует приближённое решение в области 2.
2.
А налитическое приближ ённое реш ение задачи
в о б л а с т и о т р а ж ё н н о й в о л н ы . Это приближённое решение
является решением в акустическом приближении.
Сделаем следующие допущения.
1. О траж енная ударная волна считается изоэнтропической,
т. е. энтропия остается постоянной как в области 1, так и в
области 2, т. е. Si = S 2.
2. Считаем справедливым на ф ронте ударной волны соотно­
шение
ui + ci = u 2 + C2
(5.21)
вместо обычных соотношений на фронте ударной волны.
164
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
Область 1 представляет собой нестационарное движение га­
за, поэтому движение газа в области 2 описывается общим реше­
нием основных уравнений газодинамики (при k = 3) (см. (2.44)):
x = (U2 + С2) t + Fi (U2 + C2) ,
(5.22)
x = (U2 - C2) t + F 2 (U2 - C2) .
Надо определить ф ункции F i и F 2. Они определяю тся из
следующих условий (4.7): Uih + Cih = D — когда детонационная
волна ещё не дош ла до стенки. В момент отраж ения детонаци­
онной волны от стенки справедливо соотношение: Uih + Сщ =
= D = U2 + С2, при t = l / D , x = l, U2 = 0, т. к. стенка ж ёсткая.
Тогда в момент отраж ения детонационной волны от стенки D =
= С2 при t = l / D , x = l. П одставляя в (5.22) значения С2, t и х,
находим F i и F 2:
l = (0 + D) D + F i ,
l = (0 - D) D + F 2.
Отсюда
F i = 0,
F2 = 2l.
(5.23)
Окончательно получаем решение:
x = (U2 + C2) t,
(5.24)
x = (u 2 — c 2) t + 2 l.
Систему (5.24) можно разреш ить относительно U2 и С2:
x - l
U2 = —
,
l
С2 = t_.
(5.25)
Это решение неавтомодельно, т. к. U2 и С2 не зависят от парамет­
ра z = x / t . Н а рис. 5.9а д л я фиксированного момента времени t
приведены граф ики зависимостей U2 и С2 от x.
Полученное решение совпадает в пределах 10% с точным
численным решением уравнений (5.19) и (5.20).
Определим закон движ ения ф ронта отражённой ударной
волны D 2. Д л я акустического приближения
D 2 = Ui - С1 + U2 - С2
т. к. по (5.21) U1 + С1 = u 2 + С2, то U1 — С2 = u 2 — С1.
(5.26)
5.2. Отражение детонационной волны от жёсткой стенки
165
Тогда, с учётом (5.18) и (5.25),
x
D
l
D 2 — Ui —Со — ---------г ---- •
2t
4
t
2
1 2
Т ак как Do — dxo/dt, то
(5.27)
dx2
x2 D
l
(5.28)
dt
2t 4
t•
Интегрируя уравнение (5.28) при следующих начальных усло­
виях: t — l / D , x — l, получаем:
x 2 — —D — 1 V l D t + 2l,
2
Do —
dx2
dt
xo
2t
D
T
(5.29)
(5.30)
Скорость звука c и массовая скорость и имеют разры в на
ф ронте отражённой ударной волны (рис. 5.9а). Н а рис. 5.9б
представлены характеристики д л я этой задачи в плоскости
(x -t). Область 0123 — простая волна (характеристики C+),
234 — область отражённой волны (характеристики C+ и C_).
3.
О пределение им пульса при отраж ении детонаци­
о н н о й в о л н ы о т ж ё с т к о й с т е н к и . Удельный импульс давле­
ния на жёсткой стенке определяется следующим соотношением:
СЮ
Р2 (t) d t •
l/D
Здесь p 2 (t) — давление при отражении волны.
(5 .3 1 )
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
166
Д л я к = 3 справедливо равенство
Р2 = ( Р2 У
Рн
V Рн )
В свою очередь
с2
сн
1
(5.32)
р2
Рн
(5.33)
Тогда давление Р2 (t) (с учётом 5.25) определяется соотношением
Р2 = f
(t)
■
(5-34)
П одставляя (5.34) в (5.31), получаем при интегрировании
СЮ
DO
i =
Рн ( I )
сн
t
l/D н
dt = Р н ' 3 1
сн
н
=
1
2t 2
■
4
l/D
Рн ID'
ссн
32
-^ “ з —
( 3 /4 D )3 2
2
= 27 РоШ ^(5.35)
2Го
Ѵ 7
Таким образом, удельный импульс i определяется следующим
соотношением:
8
i = 27 ^ D -
(5.36)
Полный импульс на ж ёсткую стенку равен
8
8
= — DpоlS = — M D ,
(5.37)
27 Ио
27
v
7
где S — площадь трубы, M — масса заряд а ВВ.
При отражении волны от жёсткой преграды давление равно:
J = iS
Р2= Р
Чн) Ч3щ)
с
= Р
= 64 Р
н™2'37Рн■
(5-38)
Это значение давления завышено д л я реальных преград. Если
преграда металлическая, то с учётом сжимаемости преграды
давление отраж ения равно:
Р2отр - (1, 5—1, 7) Р н ■
(5.39)
С учётом сжимаемости преграды значение удельного импульса
будет меньше: д л я стали на 10%, д л я воды на 20% по сравнению
с импульсом на жёсткой стенке (5.37).
5.3. Активная масса взрывчатого вещества
167
5.3. Активная масса взрывчатого вещества
При взрыве зар яд а ВВ на поверхности плиты не вся энергия
заряд а передаётся плите. Масса той части зар яд а ВВ, которая
передаёт энергию плите, называется активной массой. А ктивная
масса заряд а действует в данном направлении, остальная часть
заряд а разлетается вверх и в сторону (рис. 5.10).
t
Рис. 5.10
Рис. 5.11
М етоды о п ред елен и я акти вн ой м ассы
1. Детонацию зар яд а считаем мгновенной, т. е. D ^ о . Этим
методом можно определять активную массу заряд а д ля
любых случаев.
2. Расчёт активной массы с учётом конечной скорости дето­
нации заряда. У чет конечной скорости детонации сильно
усложняет определение активной массы.
Определение активной массы В В при мгновенной детона­
ции. Мгновенная детонация означает, что в объёме заряд а ВВ
мгновенно сдетонировало и из твёрдого состояния перешло в га­
зообразное. В этом ж е объёме мгновенно установилась среднее
давление, определяемое по следующей формуле:
(5.40)
плотность П Д при мгновенной детонации р = ро.
Этот газ начинает расш иряться, какая-то его часть раз­
летается в интересующем нас направлении; этот объём газа
168
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
и определяет объём, занимаемый активной массой ВВ при мгно­
венной детонации (рис. 5.11).
Д л я мгновенной детонации активная масса д л я цилиндри­
ческого заряда, у которого высота l ^ 2го (го — радиус заряда)
определяется следующим образом (рис. 5.11):
1
Ma = 3 пгіро-
(5.41)
Определение активной массы В В с учётом конечной скоро­
сти детонации. Рассмотрим определение M a д л я цилиндриче­
ского заряд а без боковой оболочки (рис. 5.12а). Разобьём эту
задачу на две задачи. Сначала рассмотрим задачу о детонации
заряд а ВВ в жёсткой трубе (рис. 5.12б). Бокового разлёта П Д
нет.
Рис. 5.12
Детонация начинается сверху. Когда детонационная волна
достигнет нижнего конца заряда, то вверх по продуктам дето­
нации пойдёт волна разрежения. Когда эта волна разреж ения
догонит ф ронт разлёта ПД, по П Д вниз пойдёт новая волна
разрежения. Разлёт П Д в этих волнах разреж ения описывается
решением уравнений газодинамики. З а время t
П Д полно­
стью разлетаю тся вверх и вниз по трубе. Если решать эту задачу
в такой постановке, то можно определить, что вверх разлетается
5/9 массы заряда, а вниз — 4 /9 массы заряда. Таким образом,
активная масса в этом случае равна
4
М а = - ISpo.
(5.42)
9
Теперь учтём только боковой разлёт ПД. Заш трихован­
ная часть заряд а на рис. 5.13 разлетается в направлении,
перпендикулярном оси заряда. В конусе a @ Y движение П Д
осуществляется только по оси х, бокового разлёта нет.
5.3. Активная масса взрывчатого вещества
169
!Р
Рис. 5.13
Рис. 5.14
Волна разреж ения достигнет оси заряд а з а время t = Го/cb p .
Cbp — средняя скорость ф ронта волны разрежения. З а это ж е
время детонационная волна пройдет расстояние b = Dt, поэтому
справедливо соотношение
b = І 0_
D = cbp
Скорость волны разгрузки равна cbp
b = 2 ro-
(5.43)
D / 2 . Тогда
(5.44)
Определим длину заряда, д л я которого при данном диаметре
активная масса была бы максимальной (рис. 5.14). С учётом
бокового и осевого разлёта, активная масса равна
1
2
(5.45)
Мл
= з n r 02 ropo = з n r 0 poПри этом b = 4lnp/9 = 2ro, тогда
9
lnp — n r 0-
(5.46)
Формула (5.46) определяет связь длины заряд а l с его ра­
диусом при максимальной активной массе. Если ещё увеличить
длину заряда, то активная масса всё равно остается постоянной.
Если брать длину зар яд а l < lnp, то активная масса будет
равна массе ВВ в усечённом конусе, высотой 41/9 (рис. 5.15).
В этом случае
16 l2
4
8 l
(5.47)
M a = n r „p° H 9 - 8 ! - + 2187 2
170
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
В заключение отметим, что
определение активной массы при
мгновенной детонации носит гео­
метрический характер и может
быть осуществлено практически
д л я зарядов ВВ любой формы. Но
точность определения M a этим ме­
тодом низкая.
Сравним активную массу ци­
линдрического заряда, определён­
ную двум я методами (см. формулы
(5.41)
и (5.45)).
различие достигает 100%. Определение активной массы с учё­
том конечной скорости детонации возможно только д л я простей­
ших случаев.
5.4. Методы теоретического изучения разлёта
продуктов детонации для одномерного течения
идеальной среды
Выше был рассмотрен разлёт П Д д л я плоского одномерного
движ ения совершенного газа и найдено соответствующее анали­
тическое решение.
Уравнение изоэнтропы П Д использовалось в виде p = A p k.
При разлёте П Д в пустоту такое уравнение не является доста­
точно точным, и необходимо использовать уравнение изоэнтропы П Д более сложного вида p = p(p) (см. п. 4.4). Но в этом
случае нельзя найти аналитическое решение д аж е д л я плоского
одномерного разлёта ПД. Н ельзя найти аналитическое решение
и д л я разлёта П Д д л я одномерных сферической и цилиндриче­
ской задач, а такж е д л я неодномерного разлёта П Д при любом
виде изоэнтропы ПД.
При современном развитии ЭВМ эти задачи могут быть
решены численно. В качестве примера рассмотрим математиче­
ское описание разлёта П Д в пустоту д л я одномерного разлёта
с точечной симметрией (сферическая задача). Д етонация начи­
нается в точке (центре заряда) и распространяется с постоянной
скоростью детонации к поверхности заряда, радиусом Го. До
момента времени t ^ Го/ D задача будет изоэнтропической, по
той ж е причине, что и в плоской задаче. Затем в период времени
t > Го/ D начинается разлёт П Д в пустоту.
5.4. Теоретическое изучение 'разлёта ПД
171
Этот разлёт так ж е является изоэнтропическим движением;
на границе пустоты и П Д все параметры р, T , p, c, кроме ско­
рости, равны нулю.
Движение П Д как за фронтом детонационной волны, так
и при разлёте описывается одной и той ж е системой уравнений
(см. п. 1.2):
du
1 др
dt
рдѵ1
др + д (pu) + 2up — 0>
(5.48)
dt +
дг + r
’
P — P(P).
Уравнение изоэнтропы р — р(р) имеет любой вид. Д л я
t ^ r o / D используются начальные и граничные условия.
Начальные условия: при t — 0, р — po, р — po, u — 0 д л я
ro ^ r ^ 0.
Граничные условия: при r
0 u
0 и при r
D t, р
— р н , u — u h , р — р и ; здесь р и , u h , р и — параметры в точке
Ч еп м ен а-Ж уге.
При t > r o / D вместо условия на ф ронте детонационной вол­
ны появляется новое граничное условие на границе П Д -пустота,
т. е. при r — гпд, р — р — 0.
В настоящее время д л я изучения разлёта П Д д л я одномер­
ных, двумерных и трёхмерных задач существуют программы
д л я численного интегрирования системы диф ф еренциальны х
уравнений (типа (5.48)) с начальными и граничными условиями.
Глава
6
РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА НА
ГРАНИЦЕ Д В У Х СРЕД
При распространении ударных волн параметры среды перед
фронтом УВ связаны с параметрами среды за фронтом УВ
уравнениями, соответствующими законам механики (см. гл. 3).
Но существуют поверхности разры ва параметров среды,
в которых параметры по обеим сторонам поверхности разры ва
не связаны м еж ду собой. Эти поверхности разры ва называю тся
произвольными. Такие поверхности возникают, например, при
отражении детонационной волны от границы ВВ—среда и при со­
ударении двух тел. Возможны следующие комбинации ударных
волн и волн разреж ения после распада произвольного разрыва:
две ударные волны, ударная волна и волна разреж ения и две
волны разрежения. Ниже рассмотрены первые два случая рас­
пада произвольного разрыва, возникающего в ряде практически
интересных случаев. Аналитическое определение параметров
ударных волн после распада произвольного разры ва позволяет
определить (’’мгновенные”) значения параметров УВ на грани­
це двух сред. Поскольку начальные параметры определяются
в начальный момент времени (t = 0) распада произвольного
разрыва, то они не зависят от геометрии границы двух сред
(плоская, сферическая, цилиндрическая границы), где возника­
ет произвольный распад.
Во многих случаях, например, при отражении детонацион­
ной волны от плотной среды, при переходе УВ из одной среды
в другую, при соударении с большой скоростью твёрдых тел, на
границе раздела двух сред возникают ударные волны или УВ
и волны разрежения. Начальные параметры УВ, возникающие
при этом на границе раздела двух сред, могут быть определе­
ны с помощью закона действия и противодействия и условия
неразрывности среды, в силу которых давления и скорости на
границе двух сред долж ны быть одинаковыми в обеих средах:
Рі = Р2 = Рх,
и 1 = и2 = их,
(6.1)
6.1. Отражение детонационных волн от различных сред
173
где p i, u i — давление и массовая скорость в первой среде;
р 2 , u 2 — давление и массовая скорость во второй среде.
Поскольку давление и скорости на границе двух сред в рас­
сматриваемом случае д олж ны быть равны, то решение всех
частных задач при определении начальны х параметров волн
на границе двух сред сводится к тому, что необходимо най­
ти зависимости р — p(u) (ударные адиабаты или изоэнтропы)
в обеих средах, и их совместное решение и определяю т искомые
значения рх и u x .
Возможны различны е конкретные задачи о распаде произ­
вольного разрыва.
При детонации заряд а ВВ в контакте с плотной средой (на­
пример, с металлом) происходит удар П Д о плотную среду,
в которой возникает ударная волна; по П Д при этом будет
распространяться ударная волна. При ударе ж е детонационной
волны о среду с малой плотностью (например, воздух) в П Д
распространяется волна разрежения. Значения начальны х па­
раметров УВ зависят от свойств ВВ (плотности, скорости де­
тонации и т. п.) и плотности, а такж е сжимаемости среды, на
которую падает детонационная волна.
При отражении УВ от границы двух сред во второй сре­
де всегда возникает УВ, а в первой среде распространяется
отраж ённая УВ или волна разрежения. При соударении двух
твёрдых тел с большой скоростью будут распространяться УВ
в обоих телах.
Во-первых, рассмотрим отражение детонационной волны от
границы двух сред: ВВ и произвольной среды. Во-вторых, рас­
смотрим определение начальны х параметров при отражении УВ
от границы двух плотных сред. В-третьих, определим началь­
ные параметры УВ при ударе двух твёрдых тел.
6.1. Отражение детонационных волн от различных
сред
1.
Рассмотрим случай, когда давление рх на границе “В В произвольная среда” больше, чем давление р н на ф ронте де­
тонационной волны. Распределение давлений до и после отра­
ж ения детонационной волны от границы произвольной среды
представлено на рис. 6.1. Скорость П Д за фронтом детонацион­
ной волны будет равна (см. (4.18))
uH
DH
k + 1’
174
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе д вух сред
где D h — скорость детонации, а к — показатель изоэнтропы про­
дуктов взрыва. В результате отраж ения детонационной волны
от преграды возникает отраж ённая УВ в ПД, за фронтом этой
УВ скорость равна u i. Давление за фронтом отражённой волны
равно px . З а начальные параметры УВ в среде принимают px
и u x, а перед фронтом волны давление равно р н , следовательно,
скорость (см. 3.4)
и 1 — V(Px — PH) (VH — Vx)
где
(6.2)
— 1 / р н — удельный объём П Д на ф ронте детонацион­
ной волны;
Vx — 1/px — удельный объём П Д на фронте отражённой
волны.
vh
отраженной УВ
ин
Фронт УВ
Dx
DH
ин
f'H
Л
р азд ела
Psl.
рк зд ела
Рис. 6.1
Очевидно, что скорость границы раздела
Ux — и н — Ub
(6.3)
Т ак как д л я П Д справедлив изоэнтропический закон р — Лрк ,
где д л я конденсированных ВВ к = 3, то с помощью уравнения
(3.12) можно получить ударную адиабату д л я П Д в следующем
виде:
Vx
(к + 1) р н + (к — 1) Px
ѵн (к — 1) Рн + (к + 1) Px
(к — 1) п + (к + 1)
(к + 1) п + (к — 1) ’
(6.4)
где п — Px/PH.
Уравнение (6.2) преобразуем к следующему виду:
u i — 4 Ph Vh (п — 1)
1—
Подставим в это уравнение значение
Ui — л / 2PH VH
Vx
(6.5)
vh
vx / v h
из уравнения (6.4):
п —1
л / ( к + 1) п + ( к — 1)
6.1. Отражение детонационных волн от различных сред
175
Т ак как д л я сильной детонационной волны справедливы соот­
ношения (см. 4.16, 4.17)
к+ 1
Рн = —;— Рвв,
к
Рн
PBBD H
к+ 1 ,
где рвв — начальная плотность ВВ, то
лД Р н Ѵ н =
н 1\ / 2к .
Следовательно, формулу д л я скорости и і можно записать в виде
Уравнение (6.3) теперь можно представить в следующей форме:
С другой стороны, при отражении детонационной волны от
границы раздела, по произвольной среде будет распространять­
ся УВ с давлением на фронте Рх; скорость ж е частиц за фронтом
этой волны равна скорости границы раздела и х , следовательно,
согласно уравнениям (3.4),
их
(6.7)
л/(Рх — Ро) (ѵо — Ѵх) ,
где Ро — начальное давление в произвольной среде;
ѵо — удельный объём невозмущённой произвольной среды;
ѵх — удельный объём произвольной среды за фронтом УВ.
Пренебрегая Ро по сравнению с Рх и приравнивая уравнения
(6.6) и (6.7), получаем
ѴРх (ѵо — Ѵх) .
Д л я определения давления Рх на границе раздела необходи­
мо знать динамическую сжимаемость рассматриваемой среды.
Если динамическая сжимаемость произвольной среды может
быть вы раж ена уравнением вида (3.94),
176
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе д вух сред
то давление px следует определять из следующего равенства:
Ux —
Dh
k + 1
1- Ѵ 2 к
■sj(k + 1) п + (k - 1)
Px
— \ Ро
1_
1/«Л
A
(6.9)
Px — В
П арам етры A, В и n д л я ряда
твёрдых тел приведены в гл. 3 (см.
табл. 3.3).
Н а рис. 6.2 графически пред­
ставлены
уравнения
(6.9).
В
табл. 6.1 приведены значения Px
д л я различны х твёрдых сред,
причём при расчётах были исполь­
зованы данные табл. 3.3. В качестве
ВВ использовался гексоген: рвв —
— 1,65 г /с м 3, D — 8,35 км /с.
Рис. 6.2
Таблица
Параметры Воздух Вода
Px, МПа
u x , км/c
D x , км/c
82,5
7,75
8,52
Дюралюминий Титан
1,91104 3,57 •104
2,92
1,665
6,4
7,56
Сталь
6.1
Медь
4,02 •10 4 4,63104 4,8-104
1
1,39
1,06
6,29
6,29
5,29
Расчётные и экспериментальные значения px и u x д л я дю ра­
люминия различаю тся не более чем на 6%.
Д л я контроля величины px может служ ить уравнение, полу­
ченное на основе (3.2) и (3.98a):
px — p 0D xUx — р 0 (О0 + ^ u x) u x2.
Определим теперь начальные параметры УВ в плотной
среде при отражении детонационной волны от её поверхности,
если давление на границе “В В -среда” px < р н (см. рис. 6.3). Этот
случай, например, имеет место при отражении детонационной
волны от поверхности воды, если рвв > 1 г /с м 3. Поскольку px <
< р н , то по продуктам взры ва будет распространяться волна
разрежения. Скорость u x границы раздела “П Д -сред а” будет
равна скорости и н П Д за фронтом детонационной волны плюс
6.1. Отраж ение дет онационных волн от различны х сред
177
скорость в волне разреж ения u p, определяемая выражением
(см. (2.13))
Px
\/-d p d v,
UP —
(6.10)
PH
где v — удельный объём ПД.
Волна
<разрежения
Граница
/ раздела
п \ Фронт УВ
Рн
Рх
их
«о = 0
Рис. 6.3
Если связь м еж ду давлением и плотностью определяется
соотношением p = A p k , то, используя (6.10), получаем
(fc-1)/2fcN
ui
к - 1
(6.11)
PH J
где c2H = к р н / p H .
Следовательно, скорость границы раздела будет равна
(fc-1)/2fcN
Ux = Up + UH = _?C H h - ( p ^
к
1
pH
+ UH,
(6.12)
(при истечении П Д конденсированных “В В -воздух” это соотно­
шение не верно, т. к. д л я П Д до давления pk > 0, 2 ГП а прибли­
жённо справедлив закон p = B p 3 , а д л я p < pk закон p = A p 1,3,
причём в воздухе px < 0,1 ГПа).
Определим из (6.12) px :
px =
ph
( 1 - (Ux -
uh )
к - 1 \ 2k/(k-1)
)
(6 .1 3 )
178
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
Давление в ударной волне (в воде), возникшей при отражении
от воды детонационной волны, равно
(6.14)
рх — p 0D xUx ,
где ро — начальная плотность среды.
Д л я воды экспериментальная ударная адиабата имеет вид
их
Dx — 1483 + 25306 і Л 1 + - ^ 1 м/с.
х
6 1
5190
5190.J '
(6.14a)
’
Т ак как давление рх и скорость и х на границе раздела П Д
и среды равны, то
(
к — 1\
(k—l)
Рх — Рн U — (их — UH) “2 ^ ) = РоDxUx ^ A — B.
(6.15)
Г раф ики зависимостей (6.13) и (6.14) представлены на рис. 6.4.
Д л я конденсированных ВВ при к — 3 (4.19)
PbbDH
Рн — — 4— ,
Dh
ин —— ,
3
сн — 4D h .
Д л я ВВ при плотности рвв — 1, 65 г/с м 3, давление рх в воде
равно около 19,1 ГП а (табл. 6.1).
Рис. 6.4
Рис. 6.5
6.1. Отражение детонационных волн от различных сред
179
3.
Рассмотрим отражение детонационной волны от границы
“В В -воздух”. Эпюры скоростей и давлений д л я этого случая
показаны на рис. 6.5.
Определим связь м еж ду скоростью и и давлением p в волне
разгрузки, которая распространяется в П Д с помощью инвари­
анта Рим ана (2.13): du = y j - d p d v ,
Px
л / -d p d v = f (px).
u x — UH =
(6.16)
PH
Если известна изоэнтропа П Д p = p (vx), то, исклю чая из
уравнения (6.16) vx , получаем
Ux -
uh
(6.17)
= у (px)
У дарная адиабата воздуха в форме px = px (ux ) с учётом
процессов ионизации и диссоциации в табличной форме задана
в табл. 3.1 (гл. 3).
Пересечение изоэнтропы (6.17) и ударной адиабаты воздуха
px = px (ux ) определяет искомое значение параметров УВ в воз­
духе px и u x (см. рис. 6.6). Н а рис. 6.6 нанесены две ударные
адиабаты воздуха (1 и 3), соответствующие двум различным
начальным давлениям в воздухе, 2 — изоэнтропа П Д (6.17).
Рис. 6.6
Рис. 6.7
Теперь рассмотрим приближённое решение этой задачи. Изоэнтропу (6.16) аппроксимируем двум я простейшими уравнения­
ми p = A p k и p = A \ p Y (см. рис. 6.7). В этом случае уравнение
(6.16) примет вид u x = u h + u pi + u p2, где u pi — это скорость,
соответствующая разгрузке от pH до p k , а u P2 — от pk до px .
2
2
Величины upi =
(сн - Ck), up2 =
(Ck - Cx),
(с м . (2 .7 6 )).
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
180
Т ак как с & р (к 1)/2к, то
Ux
UH +
2 сн
fc-1
Рк_
Рн
1
k-1 2k
+
2ск
1
7 - 1
(6.18)
У дарная адиабата воздуха, согласно (3.44) и (3.45), может быть
представлена в виде
p o u l (кэ + 1 )
(6.19)
2
'
Можно принять следующие приближённые значения пара­
метров: рк ~ 0, 2 ГПа, к = 3, 7 = 1,3, к э = 1,18.
У равнения (6.18) и (6.19)
определяю т параметры рх
и Ux.
4.
Теперь
определим
начальные параметры УВ
в плотной среде (в воде,
металлах), если скорость П Д
в направлении плотной среды
равна нулю. Этот случай,
Рис. 6.8
очевидно,
соответствует
скольжению детонационной волны вдоль поверхности плотной
среды (см. рис. 6.8). Начальное давление в газе (ПД) пусть равно
р н , скорость звука с н , плотность р н . Под действием мгновенно
приложенного давления граница раздела “газ-п л отн ая среда”
начнет перемещаться в сторону плотной среды. По газу при
этом пойдёт волна разрежения, а по плотной среде — УВ
(рис. 6.9).
Скорость частиц в волне разреж ения u p = u x определяется
выражением (6.11)
Рх
Ux
2
k - 1
( к- 1)/ 2кУ
(сн - Сх) =
(1_ (р Л
к - 1 V
\Р н)
(6.20)
где сх и рх — скорость звука и давление, соответствующие ско­
рости u x .
Определим Рх из этого уравнения:
к - 1 u ^ \ 2к/(к-1)
Рх = Р н
1 -
сн)
(6 .2 1 )
6.1. Отражение детонационных волн от различных сред
181
Рис. 6.9
Давление px в ударной волне в плотной среде будет равно
Px = PoDxUx.
(6.22)
Следовательно, скорость u x и давление на границе раздела сред
px можно определить из следующих уравнений:
(
к — 1 и \ 2k/(k - l)
= PoDxUx.
Px = Ph ( 1 ------ —
(6.23)
Вид ф ункции D x = D x (ux) д л я многих веществ приведен
в табл. 3.5 (гл. 3). Например, если плотная среда — медь (Dx =
= 3958 + 1,497ux) и характеристики ВВ будут таковы: рвв =
= 1,6 г /с м 3, D h = 6960 м /с, то px = 15, 6 ГПа. Если ж е имеет
место отражение детонационной волны от медной плиты, то дав­
ление на границе “В В -м едь” почти в два раза больше давления
в рассмотренном случае (см. табл. 6.1).
Если детонационная волна скользит вдоль газовой среды
(например, воздуха), то ударная адиабата воздуха определяется
уравнением (6.19), а изоэнтропа П Д либо уравнением (6.17) при
и н = 0, либо уравнением (6.18) при и н = 0.
182
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
6.2. Отражение У В от границы двух инертных
сред
1.
Пусть из первой среды во вторую среду переходит УВ
с известными параметрами (рис. 6.10).
Если динамическая ж ёст­
кость
второй среды, т. е. произ­
1 среда
ведение плотности на скорость
волны, больше динамической
жёсткости первой среды, то
от границы этих сред будут
Рис. 6.10
распространяться две УВ:
отраж ённая и проходящая.
Если ж е динамическая жёсткость второй среды меньше дина­
мической жёсткости первой среды, то отраж ённая волна будет
волной разрежения, а проходящая волна во второй среде будет
ударной.
В первом случае на ф ронте УВ имеем следующие соотношения:
(ин - Ux) = (Px - Рн) (Ѵн - Vix)
(6.24)
иХ = (Px - P20) (V20 - V2x)
Первое уравнение относится к первой среде, а второе
ко
второй среде, причём в этом случае px > рн.
Распределение давлений и скоростей в двух средах изобра­
ж ены на рис. 6.11. П арам етры падающей волны имеют индекс
“н”, начальные параметры второй среды — индекс ”20”, а первой
среды “10”. В силу законов сохранения импульсов и массы, д ав­
ления px и скорости u x частиц за фронтом отражённой волны
в первой среде и проходящей волны во второй среде долж ны
быть равны.
Рис. 6.11
Плотность за фронтом отражённой волны pix = 1 / v i x и за
фронтом проходящей волны p 2x = 1/ v 2x. И з уравнений (6.24)
6.2. Отражение УВ от границы двух инертных сред
183
получим соотношение д л я определения px :
uh
- \ / (px -
ph ) (vh
- vx) = \Jpx (v20 - v2x) •
(6.25)
Н ачальным давлением p20, обычно равным 105Па, по сравнению
с px можно пренебречь.
Д л я определения px необходимо знать динамические сж им а­
емости первой среды px = f (vix) и второй среды px = у (v 2x ).
Удобно представить эти соотношения аппроксимирующими
уравнениями: д л я первой среды надо использовать ударную
адиабату двойного сж атия
/ v \"
px = A A —
+ Bi.
(6.26)
\vix/
Поскольку ударная адиабата двойного сж атия л еж и т меж ду
ударной адиабатой однократного сж атия икривой “холодно­
го” сж атия, то д л я металлов при p < 50 ГП а можно в первом
приближении использовать вместо ударной адиабаты двойного
сж атия ударную адиабату однократного сж атия (см. гл. 3).
Д л я второй среды ударную адиабату однократного сж атия
\ П2
(
—
) + B 2.
(6.27)
v 2x
Подставим эти вы раж ения в формулу (6.25):
uh
”
/
p
_
W
vH - M
,Ai
^ I/ni
p— B
\
\ px u 20 [ 1 -
| p x - B y ' " ' 2) .
(6/28)
С помощью уравнения (6.28) графическим методом или ме­
тодом подбора определяется начальное давление на границе
двух сред.
Если ударная адиабата задана в ф орме D = С0 + Xu, то
скорость ux на границе раздела определяется из квадратного
уравнения. В этом случае д л я первой среды получим д л я дву­
кратного ударного сж атия уравнение
px -
ph
= Рн (uh - ux) (С01 + Xi (uh - ux)) ,
(6.29)
д л я второй среды уравнение
px - p 20 = p 20u x (c02 + X2u x) •
(6.30)
184
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
Из этих двух уравнений найдём соотношения д л я определе­
ния u x и Px :
Px — PH + рн (uH —u x) (c01 + ^1 (uH —u x )) —
— p 20Ux (С02 + ^ 2Ux) •
(6.31)
Рассмотрим случай, когда волна, падаю щ ая на границу двух
сред, слабая. Введём обозначения Й1 — V1x/VH, a 2 — V2x/V 20. То­
гда из уравнения (6.24) получим
pH (uh — u x) — (px — PH) (1 — a 1) ,
(6 32)
p 20Ux — (Px — P20) (1 — a 2) •
Скорость звука слабой волны определяется выражением
2_
2A p
— —V ~—,
Av
с
или
Av _ Ap
— ------— — ~ •
v
pc 2
Э
AP.
Это
выражение можно переписать в виде 1
1 —a — —~
pc2
Если положить a 1 — V1x/ѵн, A p — px — рн, p — р н , c — cH, то
с помощью уравнения (6.32) получим
px — рн — рнСн (ин — u x) •
(6.33)
Аналогично из второго уравнения (6.32) найдём px , пренебрегая
начальным давлением Р20 по сравнению с px ,
Px — p 20c 20u x •
(6.34)
Поскольку плотность и скорость звука при похождении сла­
бой волны меняется мало, то с большой точностью можно по­
лож ить рн ~ р 10, Сн ~ Сю. Например, д л я углеродистой стали
рн/ р 10 — 1,004 при р — 1,17 Г П а согласно экспериментальным
данным.
Из уравнений (6.33) и (6.34) получаем скорость Ux и давление
Px:
2 Р10С 10
2 р 20С 20
,Г. огч
Ux — ---------- :----------Uh, Px — ---------- :----------Рн^
(6.35)
p 20c20 + Р10С10
р 20С 20 + р 10С 10
2.
Теперь рассмотрим отражение УВ от границы двух сред
в том случае, если динамическая жёсткость второй среды
меньше динамической жёсткости первой среды, при этом
отраж ённая волна будет волной разрежения. В этом случае
px < рн (см. рис. 6.12). Скорость частиц в волне разрежения
в первой среде будет определяться с помощью соотношения
(2.13) dU — V —dp dv •
6.3. Соударение двух твёрдых т ел
185
Следовательно, скорость границы раздела
Рх
u x = u H+
(6.36)
y/-dpdv .
Рн
Скорость во второй среде определяется вторым уравнением
(6.24). Если пренебречь Р20 в уравнении (6.24) относительно р х ,
то из сравнения с формулой (6.36) получим
Рх
uh
(6.37)
y - d p d v = s j Рх (V20 - Ѵ2х) .
+
Рн
Для определения интеграла в этом выражении положим, что
изоэнтропа расширения совпадает с ударной адиабатой, которая
определяется выражением (6.26), тогда уравнение (6.37) можно
привести к виду
П1 —i
ux = uh +
vio \
2
vн
f Рх - B A
Ai
П1 —i '
2n i
A2
РxV20
\
1-
Рх - B 2
\ П2
2
A i n i v io
^
ni - 1
A = B.
(6.38)
Э то уравнение, при известных уравнениях (6.26), позволяет
определить начальное давление p x и скорость u x в проходящей
волне. Графически эти уравнения представлены на рис. 6.13.
6.3. Соударение двух твёрдых тел
П усть твёрдое тело 1 падает со ск оростью U o на неподвиж­
ную преграду 2 (рис. 6.14). Определить параметры У В в первом
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
186
и0
ѵі_
Рис. 6.13
\_2_
Рис. 6.14
и втором телах — значит определить давление p x , возникающее
при ударе, и скорость u x границы раздела (см. рис. 6.15).
До соударения
10
-2 0
Uп
Рис. 6.15
Примем те ж е обозначения, что и в предыдущем случае,
различие состоит лишь в том, что перед фронтом отражённой
волны в первом теле параметры будут иметь значения Uo, P 10,
ріо, где ріо и ріо — давление и плотность несжатой среды. Тогда
д л я первого и второго тел (см. (6.24))
(Uo —Ux ) 2 — (Px — Ріо) (ѵ іо — v i x )
U2x — (Px — P20 ) (V20 — V2x ) ■
(6 .3 9 )
6.3. Соударение двух твёрдых тел
187
При составлении этих уравнений принято, что по обе стороны
границ раздела скорости и давления равны вследствие условия
непрерывности среды и закона о действии и противодействии.
Используя уравнения динамической сжимаемости сред в ви­
де (6.26), можно из равенства (6.39) получить соотношение
u x = Uо -
px - p10 / 1 _ (
\
p10
A1
(—
\
\ \ p x - px
B - B1
\
1/ n i '
)
px p20 ^1 - (
A2
p20
\\ p x - B 2
) / ^
.
(6.40)
При больших скоростях удара начальными давлениями p 10
и p 20 можно пренебречь по сравнению с p x .
Если первая и вторая среды состоят из одного и того ж е
материала, то из вы раж ения (6.40) сразу следует, что скорость
границы раздела u x = U°/2. В этом случае p x можно так же
определить по формуле
px = PaUxD = Pa U
^Со +
(6.41)
.
Если ударные адиабаты первого и второго тел представлены,
соответственно, уравнениями
D 1 = С01 + A1U1,
D 2 = С02 + X2U2 ,
(6.42)
д л я одинаковых тел
' px = P10 ( Uo - u x ) D 1,
' px = p 20Ux D 2 ,
D 1 = D 2,
u x = -2°,
то при ударе этих тел давление p x равно
px = P10 ( - 0 - u x ) (c01 + A1 ( U° - u x )) ,
px = p20u x (c02 + X2u x) .
(6.43)
Исклю чив отсюда p x , получим уравнение д л я определения u x :
Ux (p 20X2 - P10A1) + u x ( p20c02 + 2P10A1—0 + P10c01) -
- P10- 0 (A1—0 + c01) = °.
(6.44)
Если первое и второе тела состоят из одного м атериала
(P10 = P2a, A1 = A2, c°1 = C°2), то получим, что Ux = U° / 2.
В таблице 6.2 приведены данные о начальны х давлениях p x ,
скоростях границы раздела u x , определённых по формуле (6.40)
и скоростях УВ во второй среде D 2x = p x / p2° u x в зависимости от
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
188
скорости удара Uo для различных комбинаций соударяющихся
тел.
При расчёте использовались динамические уравнения сж и ­
маемости из гл. 3.
Если скорость соударения двух тел небольшая, т. е. имеет
место упругое соударение с некоторой ск оростью Uo, то можно
записать уравнения (6.33) и (6.34) применительно к соударению
двух тел в виде
Рх — Р 10 = Рн Сн ( Uo — Ux ) ,
(6.45)
Рх — Р 20 = p 20c20u x ■
Т а б л и ц а 6.2
Начальные параметры двух сред при соударении со скоростью Uo
Первая
среда
Вторая
среда
Uo,
км /с
Рх • 1 0 -5,
и х:
D 2x:
МПа
м /с
м /с
сталь
сталь
сталь
сталь
сталь
сталь
сталь
сталь
сталь
дюраль
дюраль
дюраль
2,5
5
10
2,5
5
10
0,585
1,590
4,750
0,354
0,907
2,620
1250
2500
5000
1640
3280
6550
5840
7950
11800
7620
9750
14100
Разница заключается в том, что мы приняли р н = рю , так
как ударяющее тело перед ф рон том отражения волны находится
в невозмущенном состоянии с давлением рю .
Полагая, что давления невозмущенных сред равны, т. е. р а =
= Рю = p 2o, а также рю = рн, Сіа = сн, из уравнения (6.45)
получим:
Рі0с 10
тт
Ux = ---------- :-----------Uo,
Р20с 20 + РЮcio
Рі0с 10Р20с20 тт
,Г. ,гЛ
Рх — Ра = ----------- :-Uo■ (6.46)
Р20c20 + РЮСЮ
Эти соотнош ения устанавливают связь м еж ду скоростью
удара и начальными параметрами акустических волн, возника­
ю щ их при ударе двух тел.
Глава
7
ВЗРЫВ В В О ЗД УХЕ
7.1. Физические представления о процессе взрыва
в воздухе
Рассмотрим процесс детонации зар яд а в воздухе на примере
сферического заряда.
Пусть детонация заряд а начинается в центре O (рис. 7.1). От
поверхности заряд -воздух при отражении ф ронта детонацион­
ной волны в воздух пойдёт ударная волна (УВ), а в продукты
детонации (ПД) — волна разреж ения (ВР) (рис. 7.2).
В момент, когда П Д расширяются до сферы некоторого пре­
дельного радиуса гпр, давление в П Д будет равно давлению
в окружаю щ ей среде, т. е. Р п д = Ро. Эпюра давлений д л я этого
момента представлена на рис. 7.3.
Оценим величину предельного радиуса, при котором давле­
ние в П Д (рпд) равно давлению в окружаю щ ей среде ро.
Д л я сферы Ѵпр/Ѵо = (гпр/г о )3, где Ѵпр — предельный объём
ПД, Ѵ0 — объём в В .
190
Гл. 7. Взрыв в воздухе
Известно, что для типичных ВВ значение Ѵпр ~ 1000 л/кг, а
Ѵ0 = 0, 625 л/кг, тогда гпр = r 0
3 1000/0, 625 w 12r0.
Для цилиндрического заряда гпр ~ (30—40) ro, т. е. после
расширения П Д до гпр, УВ уж е не поддерживается ПД, и её
интенсивность уменьшается за счёт образования отрицательной
ф азы давления (рис. 7.4).
По инерции П Д проскакивают границу равновесия давлений
гпр, и образуется волна разрежения. Затем П Д начнут сж им ать­
ся обратно к центру за счёт давления в окруж ающ ей среде p o .
Для момента, когда П Д дости гн ут границы гпр, распределение
давлений показано на рис. 7.4. П родукты детонации по инер­
ции продолж аю т двигаться к центру и проскакивают положение
равновесия и постепенно сж имаются. Распределение давления
в момент образования волны сж атия выглядит следующим об­
разом (рис. 7.5). Максимальное давление А р достигается в тот
момент, когда радиус П Д достигает минимума г ц д min (рис. 7.5).
Сжавш ись д о гц д min, П Д начинают вновь расширяться. Рас­
пределение давления в момент, когда гпр = Гцд выглядит сле­
дую щ им образом (рис. 7.6). В эт о т момент времени в воздухе
распространяется ударная волна (У В ), волна разрежения (ВР)
и волна сж атия (ВС ).
7.2. Определение им пульса взрыва в воздухе
191
7.2. Определение импульса взрыва в воздухе
Удельный импульс взры ва на единицу площади определяет­
ся следующим образом:
T
г—
(p(t) — ро) dt,
для
r — const.
(7.1)
о
Давление p(t) д л я r — const можно измерить пьезодатчиком или
определить из численного решения на ЭВМ. В каж дой области
зоны УВ имеется p(t), а такж е определённый импульс ^ m u
(рис. 7.7). Здесь m i — масса i-й частицы среды, щ — массовая
скорость г-й частицы среды.
Общий импульс при взры ­
ве (вектор) равен нулю. Нас
^ —1
ж е интересует импульс, полу­
/
ченный путём сложения абсо­
/
/
7
\р ®
лю тных значений mi \щ\.
!
Общий импульс можно опре­
1
. .L. .
делить через удельный импульс:
1
\
уА
г
\
V ,^
\
1
J — iS ,
\ /
\
\ /
\
ч
где S — площадь, на которую
\ __
—
\ (mum)
воздействует импульс взрыва.
Общий импульс можно так­
ж е рассчитать, используя им­
Рис. 7.7
пульсы отдельных частиц:
J i — m iu i ;
Ег —
m iiu i
(7.2)
2
И склю чая ui, получаем
(7.3)
J i — л / 2 m iE i
Д л я системы частиц:
n
J —^2 m u ;
і=і
E —^2
і=і
m i u i2
2
(7.4)
Возникает вопрос, можно ли написать:
J — \J2M E ,
где
M —
mi
і=і
(7.5)
192
Гл. 7. Взрыв в воздухе
Такое равенство нестрого, но если число частиц велико (n ^ ж ) ,
то
J = Н 2M E .
(7.6)
Д л я газа: $ — 0, 83; M = M bb + M c д л я любой среды; M c —
масса среды, вовлекаемая в движение; E = M b b Q — энергия
взрыва.
Таким образом, общий импульс равен
J = V 2 (M bb + M c ) M bbQ .
(7.7
Удельный импульс
i = J .
(7.8)
Д л я сферы
. = $ д / 2 (M bb + Mc) M b b Q
i =
4пг2
(79)
,( )
где M bb = 4/3(nrQ po). Определим массу среды M c, при этом
будем рассматривать два периода:
1 период: гц д ^ гпр,
Mc = ( 3 п г3 - 3 п ^
рc,
(7.10)
где pc — плотность среды;
2 период: гц д >
гпр,
M c = ^ 4 п г 3 - 4 п (г - Л)3)
Pc,
(7.11)
где Л — ширина зоны сж атия ударной волны (рис. 7.8), равная
Л = Л0 + с ln г.
(7.12)
Зона сж атия растёт пропорционально ln г; т. к. D > с, с Со,
Со — скорость звука.
Д л я сферического взры ва в воздухе считаем приближённо,
что
Л = Ло - (10-12) го.
(7.13)
С помощью формулы
7.9 можно оценить удель­
ный импульс взры ва в воде и воздухе: іводы/ і возд =
= л/(M вВ TмB 0ДЫ ]7(M вВTмB 03Д). Н а больших расстояниях
можно пренебречь M bb, и тогда іводы/івозд = \ J Рводы/Рвозд 28.
7.2. Определение импульса взрыва в воздухе
193
P it )
Рис. 7.9
С помощ ью датчика мож но замерить давление p(t) на опре­
делённом расстоянии от места взрыва (рис. 7.9) и определить
удельный импульс взрыва:
т
(p(t) - po) dt.
г=
o
Давление p(t) зависит о т потенци­
альной энергии сжатия, а кинети­
ческую составляю щ ую мы никак не
фиксируем датчиком. В общем слу­
чае энергия есть сумма потенциаль­
ной Е п и кинетической Е к энергии:
УВ
УВ
я
т
Е = Е п + Е к.
В формуле (7.8)
.
J
'&Ѵ 2Ы Е
(7.14)
Рис. 7.10
считаем Е = M Q .
В некотором диапазоне расстояний УВ о т места взрыва Е п ~
~ Е к. Формула (7.14) даёт значение импульса проходящей вол­
ны, завышенное в 1,4 раза.
Точно такой же подход справедлив и для цилиндрического
заряда (рис. 7.10).
7 Л. П. Орленко
194
Гл. 7. Взрыв в воздухе
Удельный импульс
Н 2M E
(7.15)
S
Б оковая поверхность
S = 2п г Н ,
(7.16)
M bb = п г ^Н р в в -
(7.17)
Масса среды
M c = п (г 2 - Го ) H p c ,
r < r пр
(7.18)
Mc = п ( г 2 - (г - A)2) Hpc
Г > Гпр
(7.19)
A = A0 w (30-40) r 0 .
(7.20)
7.3. Методы теоретического решения задачи
о детонации заряда взрывчатого вещества
в воздухе
Рассмотрим состояние вопроса об аналитическом расчёте по­
л я взры ва в воздухе. В настоящее время с помощью числен­
ных методов решаются одномерные, двумерные и трёхмерные
задачи.
Н а примере взры ва сфериче­
ского заряд а рассмотрим мате­
матическую модель этого явле­
ния. Пусть детонация начинает­
ся в центре заряд а (рис. 7.11).
Сначала возникает движение
П Д за фронтом детонационной
волны (рис. 7.11). В области 1
за фронтом детонации движение
П Д описывается системой урав­
нений, описывающих изоэнтропическое движение П Д (1.172) и (1.173):
du
1 dp
— уравнение Эйлера;
dt
р dr
(7 .2 1 )
dp
d (pu)
2 up
0 — уравнение неразрывности;
dt + dr + r
— уравнение изоэнтропы.
Р = Р (p)
Н ачальные условия:
7.4.
Точечный взрыв
195
при t = 0, 0 ^ г ^ г0 : p = p°,
p = p°, u = 0.
Граничные условия:
при г = 0: u = 0;
при г = Dt: p = p h , u = u h , p = p H ,
где индекс “ H ” относится к параметрам в детонационной волне.
Они считаются известными величинами.
После выхода детонационной волны на границу раздела В В воздух, в П Д возникает волна разрежения (В Р ), а в воздухе
ударная волна (см. рис. 7.12).
В области волны разрежения в П Д (область 2, рис. 7.12)
остаю тся справедливыми уравнения (7.21). При этом на границе
П Д -в о зд у х дол ж н ы бы ть равны давления и скорости:
p ПД — ^ о з д ,
"У-ПД — "У-возд.
Область У В в воздухе 3 является адиабатическим течением.
В оздух считается идеальным газом p = A p k. Для области 3
справедливы уравнения (1.172), (1.173), (1.119):
_.
du
1 dp
dt
p дг1
2)
(7.22)
d
3)
p
k
p
dt
d
+
p
k
p
dr
0.
Граничные условия:
а) на границе П Д -в о зд у х при
Г = ГПД (рис. 7.12): p^A =
— pвозд,
u nA — Uвозд;
б) при r = R выполняются соо т­
ношения на ф рон те УВ в воз­
духе (3.39).
Численное совместное решение
систем (7.21) и (7.22) с учётом
начальных и граничных условий
позволяет определить поле взрыва,
т. е. определить параметры p , p , u
как функции г и t.
7.4.
Точечный взрыв
Эта задача является имитацией ядерного взрыва. Она ф о р ­
мулируется следующим образом. В среде совершенного газа
7*
Гл. 7. Взрыв в воздухе
196
мгновенно выделяется конечная энергия Eo (рис. 7.13). О тсут­
ствует зона ПД. Есть только движение воздуха. Эта задача
проще общей постановки задачи о взрыве заряд а ВВ в воздухе.
Существуют два варианта
решения задачи о точечном
взрыве:
1) с противодавлением, т. е.
начальное давление не рав­
но нулю: po = 0. Т акая за ­
д ача решается численно.
2) po ~ 0, т. е. без противодав­
ления. Такую задачу мож ­
но реш ать аналитически.
1.
дачу д л я po = 0 с учётом проти­
водавления. Д л я воздуха спра­
ведлива система уравнений (7.22):
du
1 dp
dt
р dr1
дР д ( рп )
ЫиР
dt + dr + r
d ' i ) + Ч
Р
о
,
(7.23)
0,
dt
dr
N = 2 — д л я сферического взрыва, N = 1 — д л я цилиндриче­
ского взрыва, N = 0 — д л я плоского взрыва.
Начальные условия:
r = 0,
t = 0,
E = Eo■
(7.24)
Граничные условия:
на фронте волны при r = R соблюдаются соотношения (3.41)
РoE>2
k + 1
2
РФ —p o =
иф —
2D
k+ 1
1 ------—
1
D2
1 - -S t
D2
(7.25)
РФ = Рф (k + 1 ) + po (k — 1)
Рo
Рф (k — 1 ) + po (k + 1) ‘
Эта задача решается численно. Если po = 0, т. е. Рф ^ po, то
это сильная ударная волна. Граничное условие д л я (7.25) в этом
Р
7.4.
Точечный взрыв
197
случае на фронте У В будет следующее: при r = R
2poD 2
рФ =
,
2D
иФ = k + r ■
рф
р о = к —г •
k + 1(726)
( 7 ‘26)
Для этого варианта сущ ествует аналитическое решение, найден­
ное Л. И. Седовым в 1945 г. Эта задача автомодельная, посколь­
ку две независимые переменные r и t мож но заменить одной
независимой, являющейся комбинацией r и t (см. (7.27) при ро =
= 0).
М е т о д р е ш е н и я э т о й з а д а ч и . Необходимо преобразовать
уравнения к безразмерным величинам, для этого используют
теорию размерности и подобия.
1. Выписываем все константы (размерные и безразмерные)
в общем случае и добавляем независимые переменные k ,
ро, ро, E o , r, t — это есть система определяющих парамет­
ров (см. гл. 9).
2. Согласно ^-теореме из этих n определяющих параметров
мож но составить (n — m ) независимых безразмерных ком­
бинаций, где m — число независимых единиц измерения
в данной задаче (например: м, с, кг).
В данной задаче n = 6, m = 3, (n — m ) = 3.
Составим независимые безразмерные комбинации. В эти
комбинации дол ж н ы входить все параметры:
\2= Щ
Ai = k,
,
Аз =
р/ ^
Е І / 3p Jl
Por5
,
(7.27)
2
где Ai, А2 — безразмерные независимые комбинации, Аз = 0,
если po = 0. В этом случае r и t заменяются одной переменной
А2 = А .
Введём U, R, P — безразмерные скорость, плотность и дав­
ление:
2
и =
г
U,
р = p oR,
р = p o То
(7.28)
Тогда все безразмерные величины U, R, P являются функциями
АЪ А2:
U =
U (Ai, А2 ) ,
R = R (Ai, А2 ) ,
P = P (Ai, А2 ) •
(7.29)
Подставляя систему (7.28) в общ ую систему дифференциальных
уравнений (7.23), мож но преобразовать уравнения к обыкновен­
ным дифференциальным, где все функции будут зависеть от
одной переменной A2 = A. Эта новая система дифференциаль­
ных уравнений решается аналитически.
Гл. 7. Взрыв в воздухе
198
Закон движения ф ронта У В при точечном автомодельном
взрыве R = R( t) м ож ет бы ть найден независимо о т общ его
решения задачи. Для этого примем Eo = a E , где а — пока
неизвестная постоянная безразмерная величина, зависящая от к
(при к = 1,4, а = 0, 85; при к = 1,2, а = 1, 75). Рассмотрим, как
меняется безразмерная комбинация Л, записанная через E :
E t2
= РОГ
Для фиксированного момента времени t распределение Л
показано на рис. 7.14.
На фронте У В , r = R( t) — сущ ествует связь м еж ду R и t.
Для л ю бого 0 ^ r < R , r и t меняются произвольно, они не
связаны м еж ду собой. Наличие связи м еж ду R и t на ф рон те У В
возмож но при условии, что Л = Лф = const, полагаем: Лф = 1.
Э то обстоятельство учтём при выборе а. Тогда для фронта
У В мож но записать:
2
RS = — ,
po
или
, -
r = ( ! )
>2/ 5-
(7-30)
С корость У В есть производная радиуса по времени,
-
“
- К
З
"
--''
™
Выраж ая t из (7.30), подставляем его в (7.31), получаем:
D = - К — R - 3/ 2.
(7.32)
5 V Ро
Для сильной У В имеем (3.44)
_
Рф =
2PoD2
к+ 1 .
(7 33)
(7.33)
Подставляя D из (7.32), получаем
8
E
>’* = 25(F + I R .
( 734)
(7-34)
П лотность в автомодельной задаче не зависит от радиуса, по­
этом у имеем
к + 1
/7 пг\
Р = Ро
.(7.35)
7.4.
Точечный взрыв
199
Рис. 7.14
Температура определяется из соотношения
рф
рф Тф
Ро
Ро Т 0
(7.36)
Считая, что полная энергия взрыва Ео = const, имеем
R
Ео = f ( P u + т^ ) 4пг2dг = const.
V 2
к —1/
(7.37)
о
С другой стороны: если р и р выразить через Л из (7.28), то
выражение (7.37) мож но представить в виде
200
Гл. 7. Взрыв в воздухе
Eo = E
f (R (A) , U (A) , P (A)) dA = E a (k),
o
Т а б л и ц а 7.1
r/R
u /u Ф
P/ PФ
1
0,9913
0,9773
0,9622
0,9342
0,9080
0,8747
0,8359
0,7950
0,7493
0,6788
0,5794
0,4560
0,3600
0,2960
0,2000
0,1040
0,0000
1
0,9814
0,9529
0,9237
0,8744
0,8335
0,7872
0,7397
0,6952
0,6496
0,5844
0,4971
0,3909
0,3086
0,2528
0,1714
0,0892
0,0000
1
0,8379
0,6457
0,4978
0,3241
0,2279
0,1509
0,0967
0,0621
0,0379
0,0174
0,0052
0,0009
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Р/ Рф
1
0,9109
0,7993
0,7078
0,5923
0,5241
0,4674
0,4272
0,4021
0,3856
0,3732
0,3672
0,3656
0,3655
0,3655
0,3655
0,3655
0,3655
где k — входит в инте­
грал как параметр.
Расчёт интеграла опре­
д еляет зависимость a (k) с
учётом Aф = 1 (рис. 7.15).
Задачу можно считать
автомодельной при давле­
ниях р ^ 1 МПа.
Для
давлений р >
> 4 М Па численное и ав­
томодельное решения сов­
падают, а при р = 1 М Па
расхождение
составляет
20% (рис. 7.16).
В таблице 7.1 представ­
лены данные о распреде­
лении плотности p , давле­
ния р и массовой скоро­
сти u д л я заданного мо­
мента времени или коор­
динаты ф ронта УВ R, ко­
торая определяется по за ­
данному значению энергии
E = E o / a . (см. 7.30).
7.5. Экспериментальные зависимости параметров
воздушных ударных волн при газовых взрывах
Н а основе обработки экспериментальных данных при дето­
нации сферических газовых зарядов из топливно-воздушных
смесей (пропан, метан и ацетилен), а такж е из смеси метана
и пропана с кислородом, Когарно, Адушкиным и Л ямины м бы­
ли получены формулы, позволяющие рассчитать давление Д р ф ,
удельный импульс i и время действия положительной ф азы
давления т в воздушной УВ при детонации газовых зарядов.
7.5. Зависим ост и параметров воздуш ных ударных волн
201
Д л я зарядов из топливно-воздушных смесей:
1/3
E
А рф = 0,6 • ю -- і1- ^ - +
r
E 2/ 3
3E o
+ 1,4 • 10 - 2 E o2 + 2,5 • 10- 3 - f ,
r
при
r
E
i = 9,5 • 10-
E
r
1/3 > 0,3,
1,7
і/3
Eo
Арф = 0,052
при
0, 08 ^ _ 1/з ^ 0, 3,
E
2/3
2
r
при
,
при
т = 0, 35—o/6r 1/2,
r
0,1 <
—
E o1/ 3 ,
r
0,1 <
E
1/3
(7.38)
Д л я зарядов из топливно-кислородных смесей:
E 1/3
А р ф = 0,67 • 10- 1^ — +
E 2/3
o
- 3 —_o
+ 3, 5 • 10- 3 =r33°
r
+ 1, 7 • 10- 2^ ^
E
Арф = 0,068
i = 12 • 10-2
E
1/3
r
r
при
E
1/3
> 0, 3,
1,7
при
0, 05 ^ —1/3 ^ 0, 3,
E
2/3
r
т = 0 ,3 5 E o1/6r 1/2,
,
при
при
r
0, 1 <
0,1 <
E
E 01/ 3 ,
r
E
1/3
(7.39)
В формулах (7.38) и (7.39) Eo — полная энергия взры ва
в ккал; r — расстояние от центра зар яд а в м; Арф — максималь­
ное избыточное давление на фронте УВ в атм; i — удельный
импульс избыточного давления ф азы сж атия в кГс-с/м2; т —
длительность ф азы сж атия в мс.
Экспериментальные зависимости параметров воздушных УВ
при взрыве конденсированных (ж идких и твердых) ВВ приве­
дены в разделе 9.3.
202
Гл. 7. Взрыв в воздухе
7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе
К ритерии пораж аю щ его действия воздуш ны х удар­
н ы х в о л н . Результаты воздействия ударных волн (У В ) при
взрывах конденсированных ВВ, ядерных зарядов, топливно­
воздуш ных смесей и т.п. на различные объекты определяются
избыточным давлением Д p ф, удельным импульсом ф азы сжатия
І в волне, длительностью ф азы сжатия в У В — т. Для УВ,
длина которой намного больше характерных размеров объекта,
нагружение носит “статический” характер (мгновенное прило­
жение постоянного давления), а деформации и смещение объек­
тов определяются максимальным избыточным давлением. При
очень короткой волне реакция объектов на нагружение опреде­
ляется удельным импульсом ф азы сж атия (“импульсное” нагру­
жение).
В ы бор характера нагружения при оценке пораж ающ его дей­
ствия взрывных волн связан с соотношением длительности ф а ­
зы сж атия в волне т и периода собственны х колебаний объекта
T.
Если длительность ф азы сжатия т < 0 , 25 T , то нагрузку
мож но считать импульсной и условие разрушения объекта за­
писать в виде критерия по удельному импульсу:
i ^ Ік .
(7.40)
При т ^ 10T нагружение становится статическим и критерий
разрушения записывается через избыточное давление:
Д p ф ^ Д p к.
(7.41)
Соотношения (7.40, 7.41) называются частными критериями
поражения в результате ф угасного воздействия взрывных волн,
а величины І к и Д p к — критическими значениями удельного
импульса и максимального избы точного давления в волне.
В области 0, 25 T < т < 10T на поведение объекта оказывают
влияние как максимальное избыточное давление, так и удель­
ный импульс в волне. При этом, как показывают эксперименты
и теоретические решения модельных задач, совместное воздей­
ствие указанных параметров мож ет бы ть учтено с помощ ью
обобщенного критерия поражения, который записывается в виде
^ Ф
- Д p к ) ( i - Ік) = к ,
(7.42)
где K — некоторая константа; Д p k , Ік — критические параметры
волны.
7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе
203
Из обобщенного критерия нетрудно получить частные крите­
рии фугасного действия взрывных волн. Так, при А р к = K = 0
из (7.42) следует критерий по удельному импульсу (7.40), а при
і к = K = 0 — по максимальному избыточному давлению (7.41).
Критические параметры и константа K (7.42), как правило,
определяются экспериментально д л я каж дого объекта и вида
его поражения.
Д е й с т в и е у д а р н ы х в о л н н а з д а н и я . Во многих зданиях
при относительно небольших взрывных нагрузках разруш аю тся
окна. Стекло представляет собой хрупкий материал, который
рассыпается, как только напряжение в нем достигает преде­
ла упругости. О кна обычно имеют небольшие горизонтальные
размеры м еж ду опорами и поэтому первыми откликаю тся на
взрывные нагрузки, и чаще всего разруш аю тся в режиме ста­
тического нагружения. Д л я таких случаев вполне оправданно
применение частного критерия по максимальному избыточному
давлению.
Критическое избыточное давление, при котором начинает
разруш аться остекление зданий, связано с площадью поверх­
ности оконного стекла S (м 2), его толщиной h (мм), и соот­
ношением максимального и минимального размеров, A = L / B ,
следующей зависимостью:
Ар
= 1 . 10(o,i75fe+ o,o634A-o,i939)
(7 43)
S
При скольжении длинной УВ вдоль поверхности стекла зна­
чение, вычисленное по (7.43), сравнивается с А р ф , а при нор­
мальном падении волны — с избыточным давлением нормаль­
ного отраж ения (3.110).
Д л я зданий и других объектов различаю т четыре степе­
ни разрушений: полное, сильное, среднее и слабое. При пол­
ном — обрушивается больш ая часть стен, колонн и перекры­
тий. Сильное — характеризуется частичным повреждением стен,
колонн и перекрытий; легкие элементы (двери, перегородки,
крыши) разруш аю тся полностью или частично. При среднем —
основные ограж даю щ ие и несущие конструкции деф орм ирую т­
ся (прогибаются), а разруш аю тся, в основном, второстепенные
конструкции. Слабое — характеризуется повреждением или се­
рьезными деформ ациями отдельных легких элементов о гр аж ­
дения (окна, двери, крыши домов). При полном разрушении
сетей коммунально-энергетического хозяйства выходят из строя
значительные участки трубопроводов, разры вается кабель, об­
рушиваются опоры воздушных линий электропередач.
204
Гл. 7. Взрыв в воздухе
Периоды собственны х колебаний зданий Т с жесткой кон­
структивной схемой, как правило, находятся в диапазоне 0,1-1 с.
Опытные значения Т для различных типов зданий приведе­
ны в табл. 7.2.
Т а б л и ц а 7.2
Периоды собственных колебаний зданий
Число
этажей
Здание
Жилое с несущими
каменными стенами
Жилое крупнопанельное
Жилое сборное
каркасно-панельное
Административное каркасное
с кирпичным заполнением:
железобетонный каркас
стальной каркас
Административное каркасное
TI — поперечные колебания;
TII — продольные колебания.
TI, с
TII, с
3
5
8
4
5
6
9
14
16
0,15
0,26
0,43
0,16
0,30
0,36
0,40
0,86
1,20
0,16
0,22
0,43
0,15
0,22
0,32
0,76
0,76
12
12
22
0,69-0,96
1,17
1,10
0,62-0,89
1,12
1,16
При длительности взрывной волны т > 10Т , то есть при
взрыве крупномасштабных зарядов, степень разрушения объ ­
ектов мож но оценить по критическому избы точном у давлению,
значения которого приведены в табл. 7.3.
Для оценки совместного воздействия избыточного давления
и удельного импульса взрывной волны на типовые здания и про­
мышленные сооруж ения мож но воспользоваться данными о раз­
рушениях о т бом бардировок во второй мировой войне, которые
для кирпичных зданий аппроксимируются уравнением
г
K i ■m
i/3
(7.44)
где г — расстояние о т места взрыва, м; m — масса заряда ВВ
(тротиловый эквивалент), кг; K i — коэффициент (3,8 — полное
разрушение зданий; 5,6 — здания разрушены наполовину; 9,6 —
7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе
205
здания непригодны для обитания; 28 — умеренные разрушения,
повреждения внутренних малопрочных перегородок; 56 — зда­
ниям нанесен небольшой ущерб, разбито более 10% стекол).
С помощ ью (7.44) для каж дого вида разрушений можно
построить предельные диаграммы в плоскости Дpф—І, которые
имеют характерный гиперболический вид с двумя асимптота­
ми — Д p к и Ік, значения которы х вместе с константой K в обоб­
щенном критерии (7.42) приведены в табл. 7.4.
Т а б л и ц а 7.3
Критическое избыточное давление УВ для некоторых объектов
Давление Д рк, кПа,
соответствующее степени
разрушения
полное сильное среднее
Объект
Жилые и промышленные здания
кирпичные многоэтажные 30-40
кирпичные малоэтажные
35-45
деревянные
20-30
Промышленные с тяже­ 60-100
лым металлическим и же­
лезобетонным каркасом
промышленные
бескар­ 60-80
касной конструкции и с
легким
металлическим
каркасом
слабое
20-30
25-35
12-20
50-60
10-20
15-25
8-12
40-50
8-10
8-15
6-8
20-40
40-60
30-40
20-30
Т а б л и ц а 7.4
Значение константы K в формуле (7.42)
Кі
-
с
П
І.
Д p к, кПа
K , кПа-Па-с
3,8
77,50
743,00
921,00
5,6
38,10
504,00
346,00
9,6
16,40
294,00
106,00
28
4,21
101,00
11,50
56
1,96
50,40
3,00
Д е й с т в и е у д а р н ы х в о л н н а ч е л о в е к а . Поражение че­
ловека связано с травмированием различных частей тела. При
этом отдельные органы м огут по-разному реагировать на воз­
действие У В . Например, барабанные перепонки имеют очень ма­
ленький период собственны х колебаний, поэтому их реакцию на
воздействие У В мож но оценивать по критерию максимального
избы точного давления в волне.
Гл. 7. Взрыв в воздухе
206
Связь м еж ду максимальным избыточным давлением в волне
Дрф, кПа, и вероятностью повреждения барабанных перепонок
человека W описывается зависимостью
W = 0, 88 lg Дрф - 1,323.
(7.45)
У множ ив вероятность (7.45) на сто, получим процент повреж де­
ния барабанных перепонок в группе людей, одинаково удален­
ных от места взрыва. Граница временной потери слуха соответ­
ствует давлению Дрф = 1, 5 - 2 кПа, нижний порог повреждения
барабанных перепонок 34-45 кПа, а 50% вероятности разрыва
перепонок — примерно 100 кПа.
Наиболее чувствительны к пораж ающ ему действию У В ор ­
ганы человека, отличающиеся большой разницей в плотностях
соседних тканей, в первую очередь легкие и органы слуха (см.
табл. 7.5).
Т а б л и ц а 7.5
Характерные виды поражения человека ударной волной
Повреждение
Др, кПа
R ^ -кг- 1 / 3
Баротравма легких средней тяжести
Контузия внутренних органов
и центральной нервной системы
Разрыв барабанной перепонки
Временная потеря слуха
R* — приведённое расстояние.
Приведённое расстояние R* = г /
.
150-200
< 2,2
450-500
< 1,4
35-45
>2
< 4,5
-
Существенное влияние на поражение человека оказывает его
ориентация относительно падающей волны и окруж аю щ и х о бъ ­
ектов. Наибольшие повреждения при минимальных значениях
давления и импульса приходящей У В получает человек, кото­
рый стоит или леж ит вблизи плоской отраж аю щ ей поверхности,
по нормали к которой набегает взрывная волна. В этом случае
на него действует не только давление в проходящей У В , но
и давление в волне, отраженной о т жесткой стенки.
Например, критический уровень давления (первые признаки
поражения человека) равен в проходящей волне 80 кПа, если
время действия ударной волны т = 40 мс. Для человека, распо­
ложенного у ж есткой стенки, эт о т кризисный уровень давления
в падающей УВ равен всего 33 кПа, поскольку при отражении
У В о т стенки избыточное давление равно 80 кПа.
7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе
207
При взрывах крупных зарядов, человека мож но рассмат­
ривать как единый объ ект и в качестве критерия поражения
использовать критическое давление в У В , значения которого
в зависимости о т вероятности летального исхода приведены
в табл. 7.6.
Т а б л и ц а 7.6
Критическое давление поражения человека ударной волной
Вероятность летального исхода
Дрк, кПа
0,99
500
0,75
370
0,5
320
0,25
280
0,1
250
Д е й с т в и е в з р ы в а з а р я д а В В н а г р у н т . При взрыве
сосредоточенного заряда ВВ на поверхности грунта в воздухе
диаметр воронки в грунте мож но рассчитать по формуле
( т \ 1/ 3
d = 0, 763 ( — j
,
(7.46)
где d — диаметр воронки, м; т — масса заряда ВВ, кг; К г —
коэф фициент удельного расхода ВВ (табл. 7.7).
Т а б л и ц а 7.7
Значение удельного расхода взрывчатого вещества К г
Наименование грунтов и скальных пород
К г, к г/м 3
Свеженасыпанная, рыхлая земля
Растительный грунт
Супесок
Суглинок
Песок плотный или влажный
Глина
Сыпучий песок
Крепкие глины, лёсс, мел
Крепкие песчаники и известняки
Бетон строительный
0,37-0,47
0,47-81
0,80-1,10
0,97-1,19
1,19-1,27
1,17-1,28
1,51-1,69
1,28-1,5
1,36-2,0
2,0-2,6
Следует учитывать, что для мерзлых глин, суглинков, су ­
песей и других связанных грунтов значение удельного расхода
взры вчаты х веществ К г ( к г /м 3), определяемое по табл.7.7, уве­
личивается в 1,5 раза.
Глава
8
ВЗРЫВ В ВОДЕ
8.1. Физика взрыва в воде
Процесс взрыва заряда ВВ в воде связан с распространением
различных волн (ударных, сж атия и разрежения) в воде и в ПД.
Рассмотрим на примере сферического заряда систему волн
в координатах (r—t) для начальной стадии процесса, получен­
ную на основе численного решения соответствую щ ей задачи (см.
п. 8.2) — рис.8.1.
Детонация начинается в цен­
тре заряда “ 0” и распространя­
ется к границе В В -в о д а (точ­
ка O ' ). Линия 0 0 ' — закон
движения фронта детонацион­
ной волны. Область 0 O ' E — об­
ласть нестационарного движ е­
ния ПД, 0 E A — область стацио­
нарных параметров ПД. При о т ­
ражении детонационной волны
от воды возникает У В в воде, её
закон — линия O ' D D ' , граница П Д -вод а движ ется по закону
O ' C C ' . По П Д начинает распространяться волна разрежения
O ' E . Вслед за волной разрежения O ' E начинается образовы ­
ваться волна сж атия O ' E ' , поскольку П Д имеют более высокие
скорости, чем граница раздела П Д -во д а O ' C C ' и, налетая на
эту границу, П Д уплотняются и волна сж атия O ' E ' тран сф ор­
мируется в ударную волну E ' B , которая, отраж аясь о т центра
симметрии (точка B ), распространяется по ПД, догоняет гра­
ницу П Д -во д а в точке C и распадается на две ударные волны
C D — в воде и C B ' в ПД. Затем эт от процесс повторяется (см.
B ' C ' и C ' D').
При дальнейшем движении граница раздела П Д -во д а т о р ­
мозится и наконец останавливается, а У В продолжает движение,
8.1. Физика взрыва в воде
209
и её скорость на расстоянии r > 10ro (ro — радиус заряда)
стремится к скорости звука в воде Co = 1500 м /сек.
После остановки границы газового пузыря (ГП) среднее д ав­
ление в нём меньше, чем гидростатическое давление в воде, под
влиянием которого граница газового пузыря начинает двигаться
к центру взрыва, но по инерции проскакивает положение стати­
ческого равновесия и продолжает сжиматься, а давление в П Д
становится больше гидростатического. Н а рис. 8.2 изображён
закон движ ения газового пузыря в координатах (r —t ). Л иния
0 а — это закон расширения газового пузыря до радиуса rnp,
соответствующего равенству давления в П Д ргп и гидростати­
ческого давления Р0 . После достижения максимального радиуса
r m 1 газовый пузырь начинает схлопываться до п . Весь этот
процесс 1-й пульсации занимает время Т1 , с момента времени
t = T1 начинается вторая пульсация газового пузыря в течение
времени T 2 . Таких пульсаций может быть 10 и более. При этом
минимальный радиус ( n , r 2 , . . . ) увеличивается от пульсации
к пульсации, а максимальный радиус (r m i , rm2 , . . . ) уменьшается
(см. рис. 8.2).
Время t ab движ ения газового пузыря, когда ргп < p o , состав­
ляет большую часть (около 80%) от полного времени пульса­
ции T1 .
0
t\
Рис. 8.2
/2
Рис. 8.3
Движение газового пузыря в ф азе разреж ения (ргп < po)
служ ит источником возникновения в воде волн разрежения, где
р < po. Этот процесс показан на рис. 8.3. Когда радиус газового
пузыря (ГП) r > rnp, в воде появляется зона давления, меньше
чем p o , это разрежение нарастает, затем оно начинает умень­
шаться при движении ГП к центру. Когда радиус ГП уменьша­
ется от Гь до r 1 , давление в воде становится больше p o , и в воде
возникает волна сж атия (см. рис. 8.3). М аксимум этой волны
возникает в воде, когда радиус ГП достигает п .
210
Гл. 8. Взрыв в воде
Расчёты показывают, что, например, д л я тротила (р о —
— 1,6 г /с м 3) за время 1-й пульсации (Ті) в ударную волну пе­
реходит около 60% m Q , а в ПД, когда они имеют радиус г і ,
остаётся 40%mQ, затем в первую волну сж атия излучается 25%
m Q , а в точке 2 (рис. 8.2) остается 15% m Q , а в точке 3 —
7,5% m Q (рис. 8.3).
Д л я оценки ряда параметров подводного взры ва получены
полуэмпирические формулы на основе опытных данны х и тео­
рии несжимаемой ж идкости (см. п. 8.2).
Так, максимальный радиус ГП определяется формулой
( т \ 1/ 3 ( 1
Гт і — a \ F o )
14
где m в [кг], ро в [атм], д л я Т Э Н а a — 1, 76.
Время пульсации в неограниченном пространстве
Ші / 3
Т і — к ------- m ----- - [с],
(H + 10,3)5/6
где H — глубина взры ва в [м], д л я тетрила, тротила и пентолита
к — 2,1.
Закон движ ения пузыря (ггп < 0, 6гт і)
ггп — го ( 1 +
Со 4 о’4
t
где Го — радиус заряд а ВВ, Со — скорость звука в воде, ц — 2
д л я тротила и ТЭ Н а.
При ггп > 0, 6гт і
(
п t
ГГП — Гт і I Sin 2 Т
где в — 0, 36 (тротил), в — 0, 42 (ТЭН).
Газовый пузырь под действием силы Архимеда всплывает
вверх. З а время Т і ГП всплывает вверх на расстояние
m n/24
h — 1 3 ,2 ---------------- — [м].
( H + 10, 3)5/6
Эмпирические формулы д л я давления и импульса в воде приве­
дены в гл. 9 (п. 9.3).
Б лагодаря всплытию ГП под преградой, расположенной вы­
ше места взрыва, действие 1-й волны сж атия на преграду может
быть соизмеримо с действием УВ.
8.1. Физика взрыва в воде
211
Свободная поверхность воды или жёсткая стенка в воде ис­
каж аю т движение ГП. Так свободная поверхность отталкивает
о т себя ГП, а жёсткая поверхность, наоборот, притягивает ГП
к себе.
Э то явление мож но объяснить следующим образом. В случае
жёсткой поверхности присутствие границы нарушает радиаль­
ный п оток воды вблизи поверхности вне зависимости о т его
направления. Первоначально, когда давление в пузыре превы­
шает гидростатическое, вода со стороны поверхности пузыря,
обращенной к преграде, труднее поддаётся смещению, и пу­
зырь отдаляется от преграды. Однако этот эф ф е к т невелик
из-за того, что избыточное давление положительно только для
небольшой части периода расширения, когда пузырь мал. К о ­
гда давление П Д падает ниже гидростатического, то ускорение
потока по направлению к поверхности пузыря со свободной с т о ­
роны происходит не так бы стро, как со стороны, обращенной
к стенке. Вследствие этого поток должен бы ть таким, чтобы
поверхность пузыря приближалась к жёсткой стенке. Таким
образом, при взрыве вблизи жёсткой поверхности значительная
часть импульса сообщ ается большей массе воды в т о т момент,
когда размеры пузыря велики. По мере сж атия пузыря при­
обретённый импульс сосредотачивается в меньшей массе воды
вблизи пузыря, и скорость потока в этом районе возрастает.
Тогда поверхность пузыря долж на двигаться по направлению
к преграде со все возрастающей скоростью , как если бы пузырь
притягивался к ней. Э то явление проявляется настолько более
значительно по сравнению с явлением отталкивания, что преоб­
ладающим движением пузыря является притяжение.
Свободная поверхность оказывает противоположное влия­
ние на перемещение пузыря, в этом случае вода вблизи поверх­
ности мож ет свободно перемещаться. Когда пузырь начинает
расширяться, то движение воды по направлению к свободной
поверхности встречает меньше препятствий, и поверхность пу­
зыря перемещается вверх.
Однако, когда давление газа становится меньше гидроста­
тического, возникает движение воды о т свободной поверхности.
К ак и в случае взрыва вблизи ж ёсткой поверхности, значитель­
ная часть импульса, сообщаемая воде при расширении пузыря,
перераспределяется в большие скорости движения незначитель­
ной массы воды вблизи поверхности сж имающ егося пузыря. Пу­
зырь отталкивается о т свободной поверхности по мере сжатия.
Выше мы рассмотрели основные физические явления при
взрыве заряда ВВ в безграничной воде и при наличии свободной
212
Гл. 8. Взрыв в воде
и жёсткой поверхности. На практике обычно встречаются слу­
чаи взаимодействия ударных волн с податливыми преградами.
При этом закон движ ения преграды влияет на поле взрыва.
Давление на преграде в разных точках p (t) может иметь
сложный характер. Так, например, при взаимодействии взры в­
ной волны с преградой, сначала идет процесс отраж ения УВ, и в
случае тонкой преграды за весьма короткое время t = Ѳ (посто­
янная времени), пластина разгоняется до такой скорости, что
в воде возникают отрицательные напряжения, которые могут
привести к разры ву в ж идкости около пластины. В этом случае
давление p практически падает до нуля. Но затем пластина
тормозится за счёт сопротивления пластическому деформ иро­
ванию, и поток воды догоняет её и тормозится на поверхности
пластины.
Б ы ло показано, что при взаимодействии УВ с тонкой пре­
градой (заготовкой) в воде в подавляющем большинстве случаев
в окрестности заготовки наступает нарушение сплошности ж и д ­
кости — кавитация.
Основные этапы процесса воздействия взры ва сосредоточен­
ного заряд а на плоскую заготовку показаны на рис. 8.4. После
образования кавитации за счёт разгона заготовки (4) ударной
волной (2) от взры ва заряд а (1), действие давления практически
прекращается, но вслед за заготовкой движ ется поток диспер­
гированной ж идкости в зоне кавитации (6), ш ирина которой
возрастает до некоторого момента времени. Волна сж атия (5),
образовавш аяся при отражении УВ от заготовки, распростра­
няется в направлении газового пузыря ПД. Отражение её от
границы раздела вод а-П Д (3) может вы звать появление второй
зоны кавитации (6а), ликвидация которой обеспечивается за
счёт остаточного давления в ПД.
Торможение заготовки силами сопротивления деформ иро­
ванию ведёт к оседанию на ней ж идкости из зоны кавитации,
при этом давление на заготовке начинает возрастать, а граница
осевшей ж идкости (7) продвигается вглубь зоны кавитации. О д­
новременно движ ущ аяся в направлении заготовки вода с проти­
воположной стороны оттесняет зону кавитации (8). В результате
этого происходит соударение слоев жидкости, осевшей на заго­
товку и движущ ейся от пузыря ПД, и образуется волны сж атия
(9) и (10).
Волна сж атия (10) догоняет заготовку и обеспечивает её до­
полнительное нагружение. При этом снова могут образоваться
зоны кавитации (11), (12), т.е. весь процесс качественно повто­
ряется.
Рис. 8.4
Таким образом, воздействие взрыва на заготовку носит
сложный многоэтапный характер. Заготовка, как правило, неод­
нократно подвергается интенсивному разгону. Характер кавита­
ционных явлений определяется не только инерционными свой­
ствами заготовки, но и зависит от её прочности, способа закреп­
ления, исходной ф орм ы , а также положения заряда ВВ и др.
8.2. Методы теоретического изучения подводного
взрыва
При взрыве заряда в воде образуется газовый пузырь и УВ.
Для теоретического изучения поля взрыва необходимо изучать
две области: 1) разлёт ПД, 2) движение воды м еж ду ГП и ф рон ­
том УВ.
В начальной стадии взрыва (когда радиус ф ронта ударной
волны R < 10го) существенное влияние имеет сж имаемость сре­
ды. Процесс подводного взрыва имеет в этом случае нелинейный
характер. Движение воды при этом надо рассматривать как
адиабатическое течение.
Для последующ его периода времени (R > 10го и давление
на ф рон те У В рф < 100 МПа) скорость У В равна практически
скорости звука в воде со.
Задача о движении воды в этом случае описывается линеа­
ризованной системой уравнений.
214
Гл. 8. Взрыв в воде
Теория несжимаемой ж идкости широко используется при
изучении движения газового пузыря в воде, когда У В отходит
о т П Д на достаточно большое расстояние.
Рассмотрим изучение движение воды как несжимаемой ж и д ­
кости и полную математическую постановку задачи о сфериче­
ском взрыве в воде.
1.
Уравнение движения несжимаемой ж идкости для сф ери ­
ческой симметрии имеет вид (1.176)
(8.1)
Решение этих уравнений (1.177) и (1.179) имеет вид
(8.2)
v2u = ф (t) = u r n ^ n ,
Р - ф (t) = 1 d f (t) f 2 (t)
P0
г
dt
(8.3)
2ггп ’
где u rn и ггп — скорость и радиус газового пузыря, ф ( t ) и f ( t ) —
произвольные функции времени.
П оскольку при г ^ ж , Р ^ Р0 (гидростатическое давление),
то из (8.3) следует, что Р0 = ф ( t ). На основании (8.2) и (8.3)
получаем поле давлений:
Для границы газового пузыря из (8.2) и (8.3) следует:
durn = Ргп - Р0
dt
Р0ггп
3 u rn
(8.5)
2 ггп
Решение этого уравнения мож но найти, если задано среднее
давление П Д в газовом пузыре (см. п. 10.2.2),
(8.6)
а начальная скорость пузыря u rn = u i, где индекс “ 1” относится
к параметрам газового пузыря, когда ударная волна отходит на
достаточное расстояние от ПД.
С учётом этих условий решение (8.5) имеет вид
8.2. Методы теоретического изучения подводного взрыва
2
“ ГП -
2P1 , 2 P o \ ( М
3
“ ‘ + Ц к —Г )Р , + з W
rrn
І
1
2
,
I J
215
-
(
2
n / " , М 3‘ _ 2 » ^ .
3 (к - 1) po \ т г п )
\^3
3poj
(8.7)
Поле скоростей определяется уравнением (8.2). Уравнения
(8.4) и (8.7) описы ваю т поле давлений.
Из уравнения (8.7) мож но найти зависимость для макси­
мального расширения ГП — r m ,. При u rn — 0, и пренебрегая
членами, малыми по сравнению с единицей, получаем
5 p i у 1' 3
Гт 1 — I § P j
^ (8-8)
Используя (8.7) и (8.8), получаем
и гп
drrn
dt
\
Интегрируя это выражение от ro д о rrn, получаем закон
движения газового пузыря:
ГГП
drrn
t —.
1 2
(8.10)
^
2 po
ro
ѴщЛ
__
1
Jrn)
При ro ^ rm, этот интеграл мож но взять:
tm, —
,
(8Л 1)
Po1
или, используя (8.8):
/ 5
\ і'з
tmi — 0,915p , / 2r ^ 2 p i j
1
. (8.12)
При соответствую щ ем подборе r ,, форм улы (8.8) и (8.12)
д а ю т хорошее совпадение с опытом.
2.
Рассмотрим математическую постановку задачи о взрыве
в воде в первый период, когда задача существенно нелинейна
Гл. 8. Взрыв в воде
216
и необходимо учиты вать как механические, так и термодинами­
ческие эф ф екты .
В этом случае движение воды м еж ду границей газового пу­
зы ря и фронтом УВ при взрыве сферического заряд а описыва­
ется системой диф ф еренциальны х уравнений (1.172)—(1.175):
уравнение Эйлера
du
д и 1 dp
d t + u dj rr + ~
р 7Г
dr
= 0,
.
(8.13)
уравнение неразрывности
др
др
д и 2 ир
„
- £ + и / + р— + ^
= 0.
ел
дг
дг r
,0
(8.14)
Условие адиабатичности движ ения записано через энтропию,
дв
дв
д + ' д = °-
,
.
(8Л5)
или через внутреннюю энергию Е:
дЕ
дЕ
p ( др
др\
д + " д - р Ч да +Ѵ . > = 0
,а -,п\
(8Л6)
Уравнение состояния
p = p (р, в) ,
или
p = p (р, Е ) .
(8.17)
Д л я решения задачи необходимо знать конкретный вид этого
уравнения. В настоящее время известен ряд полуэмпирических
уравнений состояния воды.
В качестве начальны х условий выступает распределение па­
раметров П Д к моменту выхода детонационной волны, распро­
страняющейся от центра заряд а к границе раздела ВВ—вода.
Т. е. предварительно д ол ж н а быть решена зад ач а о детонации
заряд а ВВ (см. гл. 5), когда определяются ф ункции в ПД:
pUA = p^A ( r ) ,
" пд = " пд ( r ) ,
рпд = рпд ( r ) .
(8.18)
При отражении детонационной волны от границы ВВ—вода
необходимо определить параметры УВ в воде. Н а границе П Д —
вода скорости и давления долж ны быть равны д л я любого мо­
мента времени:
p n A = p h 2o ,
" п д = u h 2o .
(8 .1 9 )
8.2. Методы теоретического изучения подводного взрыва
217
Но плотность, энтропия и внутренняя энергия терпят разрыв
на этой границе. На фронте У В в воде долж ны соблюдаться
следующие условия (см. гл. 3):
О Ро — Рф (D — u o ) ;
рф
ро — f 0 UфD;
(8.20)
рф — рф(рф, Е ф) .
В место двух последних уравнений мож но использовать экспе­
риментальную ударную адиабату воды (6.14а).
К роме этих граничных условий долж но выполняться в цен­
тре симметрии при r — 0 условие
u п д — 0.
(8.21)
Решение системы уравнений (8.13)—(8.17) при начальных
условиях (8.18) и граничных условиях (8.19)—(8.21) возможно
с помощ ью численного интегрирования с использованием ЭВМ .
В настоящее время эта задача решена различными числен­
ными методами для разных ВВ. Результаты расчётов в плоско­
сти r —t показаны на рис. 8.1.
Глава
9
ТЕОРИЯ М ОДЕЛИРОВАНИЯ ВЗРЫВНЫХ
И УД АРН Ы Х ПРОЦЕССОВ
9.1. Элементы теории моделирования
Экспериментальное исследование процессов взрыва и удара
часто представляет собой д ор огую и сл ож ную задачу. П оэтому
возникает вопрос: как изучить явление взрыва с помощ ью отно­
сительно небольших моделей?
Для этого необходимо воспользоваться теорией моделирова­
ния процесса взрыва. А лгоритм процесса моделирования заклю ­
чается в следующем.
1. При моделировании надо начинать с составления систе­
мы определяющих параметров для данного явления. В систему
определяющих параметров входят все размерные и безразмер­
ные параметры, о т которы х данный процесс существенно зави­
сит, а также независимые переменные: x , y , z , t . Есть два способа
получения определяющих параметров:
а) составление математического описания данного явления,
адекватно отображ аю щ его реальную действительность с учётом
начальных и граничных условий;
б) определение определяющих параметров без составления
математического описания (для этого необходимо хорошее зна­
ние физики процесса).
2. Из имеющейся системы определяющих параметров при
помощи ^-теоремы составляется (п — т) безразмерных, незави­
симых комбинаций:
^ ■2, ... , ^■n—m ,
(9.1)
где п — число определяющих параметров, т — число независи­
мых единиц измерения, например: кг, м, с.
9.2. Моделирование обычного и точечного взрыва
219
3.
Если в модели (М) и в натуре (Н) все безразмерные ком­
бинации равны, т. е.
А1М = А1Н,
А2М = А2Н,
A(n-m)M
(9.2)
A(n-m)H,
то все искомые безразмерные параметры в модели и в натуре
будут равны (совпадают в безразмерной форме):
p_\
Ро ) м
p ) = F (A i,..., An-m)
Ро / н
и т.д.
(9.3)
Достаточно из модельного опыта получить значение F , а затем
его можно использовать д л я пересчёта данных опыта на нату­
ральное явление.
Все безразмерные комбинации (9.2) разделяю тся на две ча­
сти: первая часть из них вклю чает только безразмерные и раз­
мерные постоянные параметры, а вторая часть вклю чает в себя
такж е и независимые переменные x, y, z, t.
В торая часть безразмерных параметров Ai, вклю чает в себя
x , y , z , t , которые являю тся безразмерными независимыми пе­
ременными.
9.2. Моделирование обычного и точечного взрыва
Рассмотрим ряд конкретных примеров моделирования явле­
ния взрыва:
Пример 1. Точечный взрыв.
1. Составляем систему определяющих параметров (см.
п. 7.4):
(9.4)
Eo, ро, Ро, k, r, t.
2.
Н а основе ^-теоремы составляем безразмерные комбина­
ции (п — m = 6 — 3 = 3):
(9 .5 )
220
Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
3. Если
кн = к м ,
(9.6)
то искомые параметры для натуры и модели будут равны в без­
размерной форме:
(9.7)
Функции F , ф, ф получаем из опыта на моделях, что позволяет
определить давление р, плотность р и скорость и и т. д. в натур­
ном явлении.
Рассмотрим случай автомодельной задачи. Здесь Аз = 0. Т о­
гда:
и т. д.
Например, из опыта на модели получаем зависимость р (t)
(рис. 9.1).
Р А
Р_
Ро
E0t 2
Рис. 9.1
Рис. 9.2
9.2. Моделирование обычного и точечного взрыва
221
П риведя данные к безразмерной форме, получим зависи­
мость, справедливую д л я модели и д л я натуры (рис. 9.2).
Р = f ( E0t2
Ро
V Por5
Пример 2. Моделирование
взрыва заряда В В в воздухе.
Имеем сферический натурный
заряд с радиусом Гон (рис. 9.3).
Необходимо определить кри­
терии моделирования взры ва
этого заряда.
Согласно общей схеме моде­
лирования необходимо:
1. Определить систему опре­
деляю щ их параметров
Го, PBB, D, Q , Ро , Po, k, r, t,
(n = 9).
воздух
BB
(9.9)
2. Составить (n — m) безразмерных комбинаций (n — m = 6)
Ai =
Pbb
Ро
A4 = k,
x
A2 =
d
x
JQ ’
A5 = Г ,
Го
A3 =
Ро
Ро^
t
Аб = - V Q .
Го
(9.10)
3. П риравнять в модели и натуре Ai. Если Аім = Аін (i =
= 1 ,... ,6), то все параметры модели и натуры равны в безраз­
мерной форме:
Р
)
Р. )
V ро ) н
= (
ро / М
и \
DJ
м
и \
DJ н
(9.11)
Г е о м е т р и ч е с к о е м о д е л и р о в а н и е . В модели и в натуре
берём одинаковые размерные и безразмерные параметры, кроме
геометрических размеров. Это геометрическое подобие.
1. В этом случае
Ром = Рон
Рввм = Р в в н
Ром = Рон,
Dm = Dh,
kM = k^
Q M = Q H.
(9 .1 2 )
222
Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
2. Из безразмерных комбинаций (9.10) остаю тся только та­
кие, в которые входят независимые переменные
Ai =
tV Q
г0
A2 =
г0
(9.13)
3. При геометрическом подобии (п штаб моделирования), если
п
г \
tV Q )
г 0 /М
геометрический мас-
=
tVQ "^
г0
г0 / м
(9.14)
Н
то
РМ = РН = f
Рм = Рн = Ф
г
г
tV Q \
г 0 ’ г0 ) ’
/ г
tV Q \
г0 J
\Т0 ,
=
um
uh
= ф
W Q \
г0
)
'
(9.15)
Следовательно, все искомые параметры модели и натуры равны
в сходственных точках (т. е. при выполнении условия ( г / ^ ) м =
= ( г / ^ ц ) и в сходственные моменты времени (при выполнении
условия Нt V Q / ѣ ) М = ( t v Q Д 0 ) Н).
О пределение и м п ульса при геом етрическом подобии.
Удельный импульс силы взрыва с помощ ью формул (9.15) мо­
ж ет бы ть определен в следующей ф орм е (рис. 9.4):
т
т
(Р - Р0) dt =
г=
0
Р0 Л
0
Р0г0
VQ
г
г0
- Р0
г0
( f - 1) d
V Q t _ Р0Ѣ
г0
0
dt =
F
(9.16)
VQ
Для модели и натуры импульс выражается следующим об­
разом:
7
Р 0г 0М
г
iM =
M
Р 0г 0Н
> ’V
г
(9.17)
гн = V Q
U ,
Отношение импульсов в натурном и модельном экспериментах
равно геометрическому масштабу моделирования:
гн = г0Н
гм
г0М
п.
(9 .1 8 )
9.3. Методы обработки опытных данных при моделировании
223
То есть
ін
= п ім .
Рис. 9.4
(9.19)
Рис. 9.5
9.3. Методы обработки опытных данных в воздухе
и воде при моделировании
Д л я геометрического подобия импульс и давление определя­
ются следующим образом:
i = ^
F (r ) ,
VQ
\ro j
р = p „ f ( r ,Ш ) .
\Ѣ
ro J
(9.20)
В момент прихода УВ в любую точку время приложения
давления в этой точке отсчитывается от нуля, т. е. при t =
= 0 и р = р ф ; давление на ф ронте УВ при этом определяется
соотношением
(
)
Рф = p o f
.(9.21)
Если взять д л я примера сферический заряд с радиусом r o , то
д л я него радиус r 0 и масса т связаны очевидным соотношением
4 3
т = 3 nrlpo,
,
(9.22)
где po — плотность ВВ, одинаковая в модельном и натурном
экспериментах. Тогда
ro = a ty m .
(9 .2 3 )
224
Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
Для данного примера давление на ф рон те УВ и импульс будут
определяться следующими соотношениями:
РФ = * ( ^
) ,
<= ^
ф
( ^
) .
(9.24)
Функции * и ф определяются экспериментально. Затем под­
бирается кривая для давления на фронте У В , например, вида
Рф = * ( ^ т / г ) , которая удовлетворяла бы результатам экспе­
римента (рис. 9.5).
Причём функции * и ф одинаковы для модельных и натур­
ных опытов и поэтому для их определения могут бы ть исполь­
зованы результаты модельных и натурных испытаний.
А. Э к с п е р и м е н т а л ь н ы е ф орм улы для воздуха. Примером об­
работки натурных испытаний с помощ ью формул (9.24) являет­
ся формула Садовского:
ЛРФ = РФ — Ро = A ( М
) + B ( М
)2 + C ( Ж
) 3 .(9.25)
В формуле (9.25) коэффициенты A, B , C зависят о т типа ВВ.
Для Т Г 50/50, по уточнённым данным Адуш кина и К о р о т ­
кова, эти коэффициенты равны: A = 0, 085; B = 0, 3; C = 0, 8.
Размерности: [Рф] = МПа; [m] = кг; [r] = м.
Диапазон расстояний, где эта формула справедлива, опреде­
ляется соотношением
1 м / к г 1/3 ^
3
3
m
^ 1 0 м / к г 1/3.
(9.26)
Формула (9.25) справедлива для взрыва заряда ВВ в безгранич­
ном пространстве для зарядов практически любой массы.
Если взрыв происходит у поверхности твёрдого тела, то энер­
гия взрыва распределяется на полусферу, а не на всю сферу.
Ч тобы получить в первом случае поле взрыва, необходимо для
взрыва в контакте с твёрдой средой брать вместо m в (9.25)
величину т э = 2 ^ m , где п = 1 (сталь), п = 0, 9 (гранит), п = 0, 75
(глина), п = 0,6 (вода).
Если при взрыве используется новое ВВ, то в ф орм улу (9.25)
необходимо подставлять значение эквивалентной массы ВВ:
m 3 = m x -Q x ,
(9.27)
Q Tr
где: m x — масса используемого ВВ, Q x — теплота взрыва исполь­
зуемого ВВ, Q Tr — теплота взрыва Т Г 5 0 /5 0 (Q = 1140ккал /кг).
9.3. Методы обработки опытных данных при моделировании
225
Рассчитывая давление по формуле (9.25) для используемого
ВВ с учётом эквивалентной массы, мож но использовать значе­
ния коэффициентов A , B , C , определённые для Т Г 50/50.
Для зарядов с большим критическим диаметром надо под­
ставлять в форм улу m a — активную массу ВВ. Для мощ ных ВВ
(гексоген, октоген и т .п .) формула (9.25) даёт удовлетворитель­
ные результаты и для зарядов малой массы (десятки грамм).
Для зарядов типа тротила, для аммонитов и др. надо под­
ставлять в ф орм улу m a — активную массу ВВ, к оторую прибли­
женно мож но определить по формуле
ma = m ( 1 -
[кг Ь
где d Kp — критический диаметр данного ВВ, r o — радиус заряда
ВВ. Если заряд ВВ массой m, находится в оболочке массой М
(обычно стальной или алюминиевой), то часть энергии взрыва
уходит на деформацию, разрушение и разгон осколков. С другой
стороны, сниж аются химические и энтропийные потери.
По имеющимся экспериментальным данным, если к оэф ф и ­
циент наполнения а = m / ( m + М ) > 0, 4, то влиянием оболочки
на ударные волны мож но пренебречь.
Формула (9.25) справедлива для сосредоточенных зарядов
(шар, куб, короткий цилиндр и др.).
При взрыве зарядов, после прохождения У В через данную
точ к у пространства (r = const), давление уменьшается. Э тот
закон спада давления м ож ет бы ть аппроксимирован уравнением
p(t) - po = ^ ф - po) - exp
где t — время, § — время, в течение которого давление в ударной
волне упадет в e = 2, 71 раз.
Формула для p(t) справедлива при t / ^ m < 50 - 10 _ 6 с / к г 1/3,
где m — масса заряда ВВ.
Величина § зависит о т расстояния: § = 10 _ 6( r / r o)1,6, если
1 < r / r o ^ 35.
Импульс при взрыве ВВ в воздухе для падающей волны
равен (см. 9.24)
, = 7
Щ
Для Т Г 50/50: 7 = 2 00 , а = 1, тогда
m 2/3
i = 200------- .
r
8 Л. П. Орленко
а .
(9.28)
(9.29)
226
Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
Размерности: [ т ] = кг; [г] = м; [г] = Па-с. Если берется другое
ВВ, то надо в форм улу импульса подставлять
т э = m.
д
'^ Т Г
Время положительной ф азы действия давления
т = 1,2 / т / г , м с .
(9.30)
Определим параметры на фронте У В при взрыве заряда ВВ
в воздухе. Значение всех параметров на ф рон те У В являются
функциями расстояния г .
Из теории ударных волн известны следующие соотношения
(3.4) и (3.12):
____________________
иф = ^Дрф - ро) (ѵо - Ѵф);
n _
ІРф - Ро ,
D ф = Ѵ0\1
;
ѵо - ѵф
РФ = Ѵо = Рф (к + 1) Ро (к - 1) ;
Ро
Ѵф рф (к - 1 ) + ро (к + 1) ’
рФ
ро
(9.31)
'
рФ Тф
Ро То
Определив по формуле (9.25) давление на ФУВ рф для разных г ,
мож но по вышеприведённым формулам определить все пара­
метры для У В , а именно: скорость У В ^ ф , массовую скорость
и ф , плотность рф , температуру Тф как функции расстояния г ..
Если рф > 1 МПа, то для определения параметров У В надо
использовать таблицы 3.1, рассчитанные с учетом процессов
диссоциации и ионизации воздуха при ударном сжатии. В этом
случае по формуле (9.25) рассчитывается рф = рф ( г ), а затем
для каж дого рф = р 2 (интерполяцией из таблицы 3.1) определя­
ю тся параметры D , иф = и 2, рф = р 2, Тф = Т 2 и др. в зависимо­
сти о т г .
Б. Э к с п е р и м е н т а л ь н ы е форму лы дл я воды. Давление в воде
определяются следующим соотношением:
105
согласно формулам (9.24).
Для пентолита (50% ТЭ Н а, 50% Т Н Т ): в = 555; ц = 1,13 (по
Коулу).
Размерности: [рф] = П а ; [ т ] = кг; [г] = м.
9.4. Теория и практика моделирования
227
Формула справедлива д л я диапазона давлений: 7 • 105 П а <
< р ф < 1800 • 105 Па.
Импульс при взрыве заряд а ВВ в воде, удовлетворяющий
формуле (9.24), определяется следующим соотношением:
(9.33)
Д л я пентолита: b1 — 9260, а 1 — 1,05 (по Коулу).
Размерности: [г] = Па-с; [т] = кг; [r] = м.
Если берётся другое ВВ, то в обе формулы надо подставить
значение эквивалентной массы т э (см. 9.27).
З н ая Дрф при взрыве в воде из формулы (9.32), можно
определить все остальные параметры на УВ в зависимости от r
по следующим соотношениям:
poD ф — рф ( D ф и ф ) ,
рф p0 — p0Б фu ф ,
Б ф — 1500 + 2,1иф.
(9.34)
Последнее соотношение соответствует экспериментальной удар­
ной адиабате волны; это соотношение справедливо д л я давлений
9.4. Теория и практика моделирования
Рассмотрим замеченные опытным путём отклонения от пра­
вил теории геометрического моделирования:
1. Н а больших расстояниях ( r/ro > 10) можно наруш ать
правила геометрического моделирования. З ар яд может быть не
сферическим, но обязательно сосредоточенным (куб, короткий
цилиндр и т. п.). Формула (9.25) справедлива д л я сосредоточен­
ных зарядов.
2. Т ак как экспериментируют часто на зарядах небольшого
диам етра dM, а д л я малых зарядов скорость детонации зависит
от величины диаметра заряда, то необходимо, чтобы выпол­
нялось соотношение dм > dnp, где dnp — предельный диаметр
заряд а (рис. 9.6).
3. Д л я ряда ВВ с большим критическим диаметром (TNT,
аммотолы, аммониты и т.д.) часть массы заряд а не детонирует,
разбрасывается. В этом случае надо учиты вать не полную массу
заряда, а его активную массу.
8*
228
Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
Э нергетическое м оделиро­
в а н и е . Энергетическое модели­
рование позволяет моделировать
взрывной процесс с различной
физической природой, например:
ядерный взрыв, обычный взрыв,
землетрясение, электроразряд и
т. п.
Для примера рассмотрим взрыв
Рис. 9.6
двух зарядов с одинаковой энерги­
ей, но разной плотностью (по тео­
рии плотность при геометрическом подобии долж на бы ть оди­
наковой). Согласно опытам для взрыва в воздухе графики дав­
ления для обоих зарядов будут совпадать при r / r o > 10, для
взрыва в воде — при r / r o > 100 (рис. 9.7).
Ѣ
Ѣ
Рис. 9.7
9.5. Моделирование сложных систем
Примером
слож ны х
систем
являются:
з а р я д -ср е д а преграда; летящее тело-преграда. Решение задач с такими
системами очень сложно, современные ЭВМ не справляются
9.5. Моделирование слож ных систем
229
с решением таких задач в полной постановке д л я ассиметричных
случаев.
Рассмотрим способы решения задач д л я сложных систем:
1. Моделирование.
2. Проведение натурны х опытов.
Второй способ — дорогой, поэтому широко используется мо­
делирование.
Рассмотрим правила моделирования сложных систем:
зар яд -ср ед а-п р егр ад а (например, заряд-воздух-конструкци я).
1. Выписываем систему определяющих параметров для:
а) заряд а — рвв, D, Q, Го;
б) воздуха — Ро, ро, k;
в) конструкции — E , ѵ — упругие константы конструкции,
и s d , £р, £cp — пластические параметры материала конструкции,
L — характерный размер;
г) переменные — x, y, z, t.
2. Используя ^-теорему, составляем (n — m) безразмерных
комбинаций: n = 17, m = 3, n — m = 14. В результате получим
величины A1, A2, ..., A14.
3. Если Аім = Аін , где i= 1 , 2, 3,..., 14, то все безразмерные
напряж ения в сходственных точках в сходственные моменты
времени равны:
(— )
= (— )
= <Р(A1,..., A14) ,
\VSD / м
Vи SD ) н
где ф определяется из опыта.
В каж дой точке конструкции таких напряжений 6.
Все деформации в сходственных точках в сходственные мо­
менты времени равны, а все перемещения в натурном опыте
будут в n раз больше, чем в модельном.
П р и б л и ж ё н н ы й способ м о д е л и р о в а н и я (гео м етр и ч е­
ское м од ел и р о ван и е).
1. Все физические параметры берутся одними и теми ж е
в модельном и в натурном опытах.
2. М еняется только геометрический масштаб явления.
Тогда исчезают все постоянные Ai и остаются только безразмер­
ные переменные:
A1 = х ,
Го
д2 = y ,
Го
A3 = z ,
Го
A4 = D
Го
Если Аім = Аін, где i = 1,2, 3, 4, то во всех сходствен­
ных точках в сходственные моменты времени все напряжения
230
Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
и деформации равны, а все перемещения в натурном опыте бу ­
д у т в п раз больше, чем в модельном.
При геометрическом моделировании модель оказывается
прочнее, чем натура.
1.
При геометрическом подобии имеем соотношение харак­
терных размеров, равное геометрическому масштабу модели­
рования L h / L m = n . Для скоростей деформаций справедливо
следующее соотношение:
ёН . = 1
ём
п
так как £н = ^мп, т. е. ём = ёнп, где й ё м / d t = ём , й е н / d t = ё н .
В этом случае диаграммы нагружения модели и натуры яв­
ляются разными (рис. 9.8). Известно, что с увеличением скоро-
Рис. 9.8
Рис. 9.9
сти деформации повышается предел текучести материала кон­
струкции. Таким образом, модель оказывается более прочной,
чем натура.
2. Разрывающие напряжения зависят о т времени приложе­
ния нагрузки ap = ap (t ) .
Так как tH = tMn, то напряжения, требующиеся для разрыва
конструкции, разные в модели и в натуре, а именно: в модели
они больше (рис. 9.9). Модель вновь оказывается более прочной,
чем натура.
3. П рочность всей конструкции зависит о т её размеров. Ве­
роятность технологических деф ектов больше у натуры, чем у
модели, и, следовательно, вероятностная (статистическая) проч­
ность модели выше (орв)м > (&рв) н
Все эти причины существенным образом увеличивают проч­
ность модели.
Для примера рассмотрим опытный процесс разрыва сталь­
ной сферической оболочки зарядом ВВ. Геометрический мас­
штаб моделирования изменялся в пределах значений п = 3-25.
9.5. Моделирование слож ных систем
231
Согласно теории геометрического моделирования, если модель
разрушается зарядом m-м, то натура долж на разрушаться заря­
дом m n = n 3mM.
Для того, чтобы получить
реальную картину процесса при
моделировании натуры моде­
лью, необходимо соотношение
масс ВВ модели и натуры по
опытным данным выбирать из
следующ его соотнош ения m n =
= n (1,5-1’8)mM, вместо теорети­
ческой формулы m n = n 3mM
Рис. 9.10
(рис. 9.10). Э то последнее со о т ­
ношение позволяет определить только верхнюю границу. Ч тобы
определить ниж ню ю границу, необходимо производить натур­
ный опыт.
Глава
10
МЕТАНИЕ ТЕЛ П РО Д УК ТАМ И ДЕТОНАЦИ И
10.1. Введение
Рассмотрим основные теоретические методы, используемые
для изучения процесса метания оболочек продуктами детона­
ции. Эти методы мож но разделить на два класса:
А. Определение закона метания оболочки путём интегриро­
вания дифференциальных уравнений движения П Д и оболочки.
Решение этих задач в свою очередь осущ ествляется либо чис­
ленно (более слож ные задачи), либо аналитически (задачи более
простые).
Б. Приближённые (инженерные) методы, когда для решения
задач используются интегральные законы (законы сохранения
энергии и массы). Эти методы позволяю т определить конечные
интегральные параметры (скорость оболочки), но не позволяют
определить закон движения оболочки во времени и простран­
стве. В этом случае дифференциальные уравнения не исполь­
зуются. К этом у классу относятся также эмпирические и полуэмпирические уравнения, полученные на основе обработки
опытных данных.
Наиболее мощным современным теоретическим методом ре­
шения задач о метании оболочек является численное интегри­
рование системы дифференциальных уравнений, описывающих
движение П Д и оболочки. Рассмотрим те задачи, которые в на­
стоящее время м огут бы ть решены с помощ ью численного ин­
тегрирования. К их числу относятся одномерные, двумерные
и трёхмерные задачи. Рассмотрим принципиальные схемы этих
задач.
Одномерное м е т а н и е (плоское, цилиндрическое, сфериче­
ское). Если изучается закон движения плоской пластины в т р у ­
бе, в сферической или очень длинной цилиндрической оболочке,
то все параметры зависят о т r и t. Л юбы е такие задачи могут
10.1. Введение
233
бы ть решены численно. На рис. 10.1 и 10.2 изображены схемы
сферической и цилиндрической задач метания оболочки.
Рис. 10.1
Рис. 10.2
Для одномерных и более слож ны х процессов метания обол о­
чек используются две основные модели:
а) учиты ваются только инерционные свойства метаемой мас­
сы. В этом случае масса оболочки M входит только в граничное
условие. Например, для одномерной задачи это условие являет­
ся законом Ньютона:
M A
= Sp
где U — скорость оболочки, S — площадь поверхности оболочки,
p — давление на оболочку.
б) метаемая оболочка рассматривается как сжимаемая, или
как сжимаемая и прочная среда. В этом случае необходимо
составить две системы дифференциальных уравнений — одну
для ПД, а д р у гу ю для материала оболочки.
На рис. 10.3 для плоской одномерной задачи показаны ре­
зультаты, полученные для инерционной массы (1) и сжимаемой
пластины (2). В последнем случае пилообразная кривая набора
скорости объясняется отражением волны в пластине.
Рис. 10.4
Для решения задач о метании численными математическими
методами надо иметь:
234
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
1)
2)
3)
4)
информацию о ВВ;
уравнение состояния ПД;
уравнение состояния м атериала оболочки;
динамическую прочность оболочки (если учитывается
прочность оболочки).
Дв умерн ое метание. При двумерном осесимметричном ме­
тании все параметры зависят от z, r, t (рис. 10.4).
Трехмерное (пространственное) метание. При трехмерном
метании тел продуктами детонации все параметры зависят от
x, y, z, t.
Такие задачи решаются на ЭВМ. Физическая информация
нуж на та же, что и д л я одномерных задач, но здесь больше
уравнений, чем в одномерном случае, и по объёму вычислений
эти задачи на порядок сложнее.
В этом разделе мы рассмотрим ряд типичных конкретных
задач, решённых различны ми методами: определение скорости
метания инженерными методами, определение закона метания
пластины путём аналитического решения диф ф еренциальны х
уравнений движ ения и алгоритмы тех задач, которые требуют
применения численных методов.
Используются модели д л я оболочек: а) инерционная масса;
б) несжимаемая жидкость; в) сж им аем ая жидкость; г) сж им ае­
м ая упруго-пластическая среда.
10.2. Приближённый метод определения скорости
и закона движения оболочки заряда
1 0 .2 .1 .
О п р е д е л е н и е с к о р о с т и о б о л о ч к и з а р я д а . Ме­
тание оболочки заряда, её разрушение и разлёт осколков про­
исходят за счёт энергии, выделяющейся при детонации заряда
ВВ. Если ВВ заключено в оболочку, масса которой существенно
превосходит массу ВВ, то при расчёте скорости оболочки м ож ­
но, в первом приближении, пользоваться гипотезой мгновен­
ной детонации, поскольку отражение волн происходит несколь­
ко раз, прежде чем оболочка разруш ится, и осколки начнут
разлетаться.
М аксимальная скорость метания оболочки одинаковой тол­
щины д л я закры того со всех сторон заряд а (например, ш ара или
длинного цилиндра) можно определить из уравнения
E c + Е к + Е п + Е ф +-------2— — m Q ,
(1 0 .1 )
10.2. П риближ ённы й мет од определения скорости оболочки заряда
235
где U — максимальная скорость оболочки, M — масса о бо­
лочки, m — масса ВВ, Е к — кинетическая энергия ПД, Е п —
внутренняя потенциальная энергия ПД, Q — теплота взрывного
разложения, Е Ф — энергия формоизменения, затрачиваемая на
упруго-пластическую деф орм ацию оболочки и её разрушение,
Е с — энергия, которая передаётся среде (воздуху, воде, грунту)
окруж ающ ей оболочку.
Найдём формулы для приближённого расчёта энергий Е с ,
Е к, Е п, Еф. Верхнее, максимальное значение энергии Е с , переда­
ваемое в У В , распространяю щ ую ся в среде, окруж ающ ей метае­
м ую оболочку, мож ет бы ть получено, если известна максималь­
ная скорость оболочки, определяемая из опыта, либо расчётным
путём без учёта энергии Е с . В этом случае массовая скорость
за ф рон том У В в среде равна максимальной скорости оболочки
и, следовательно, давление на обол очку снаруж и будет равно:
Р = p c U D ( U ), где рс — начальная плотность среды, D — ско­
рость ударной волны в среде, которая м ож ет бы ть определена
по известной скорости U (см. гл. 3). Давление на обол очку со
стороны среды будем считать постоянным. Тогда передаваемая
в среду энергия равна работе, к оторую совершает оболочка про­
тив сил противодавления со стороны среды:
Е с = Рі - о ( ( D
N - ') •
( 102)
где R — внешний радиус оболочки, соответствую щ ий полному
разгону оболочки, Ro — начальный внешний радиус оболочки.
Для сф еры Ѵно = 4 ^ R 3 /3, N = 3; для цилиндра ѴНо = n R ^ H ,
N = 2, где H — высота цилиндра; для плоского случая Ѵно =
= S o R o , S o = const, N = 1.
Если снаружи оболочки находится воздух, то, принимая его
за совершенный газ, для сильных У В получаем
Е с = 2 (k +
1
Ч
(R ] N - Л
(10.3)
Здесь величина R = R p соответствует моменту разрушения обо ­
лочки — получения ею максимальной скорости. Значение R p
определяется по опытным данным, либо расчётным путём. Так,
например, для цилиндрической медной оболочки, когда детона­
ция расположенного внутри оболочки заряда ВВ распространя­
ется вдоль его оси, величина R p = 2, 2 4R o, где Ro — начальный
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
236
наружный радиус оболочки. При достижении радиуса R p обо ­
лочка разрушается.
Для воды, грунта, если D = Со + XU (см. гл. 3), то
E c = PcVhoU (с о + XU ) ^ ( R ^ j
- 1j .
(10.4)
Приближённо кинетическая энергия П Д (Е к) просто вычис­
ляется при одномерном метании сферической, цилиндрической
и плоской оболочек, если известны зависимости скорости и плот­
ности П Д о т координаты.
В качестве примера найдём Е к при метании П Д сферической
оболочки. П усть скорости П Д о т центра до оболочки определя­
ю тся уравнением и = ф (t ) r n , где ф (t ) — произвольная функция
времени, n — числовой показатель. П лотность ПД, р = f (t ) , не
зависит от координаты; тогда полная кинетическая энергия ПД
в каждый фиксированный момент времени будет равна
R
Ек =
R
и 2d m Г ф 2 г 2 п 4 n r 2p d r
2
0
2 п R 3 рф 2 R 2 n
2
3mU2
2n + 3
2 (2n + 3) ’
0
(10.5)
где U — максимальное скорость оболочки, m =
4
3
n R 3p — масса
ПД, r = R — координата оболочки, соответствую щ ая скоро­
сти U .
При метании сферической, цилиндрической и плоской оболо­
чек ф орм улу для кинетической энергии мож но записать в сле­
дую щ ем виде:
Ек = -r U
ф
,
( 1 0 .6 )
где для сф ерического разлёта ф = 2(2n + 3 )/3 , для цилиндриче­
ского ф = 2 n + 2 и для плоского ф = 2 ( 2 n + 1 ).
Из (10.6) следует, что мож но рассматривать кинетическую
энергию П Д Е к , как кинетическую энергию определённой мас­
сы П Д m i, движ ущ ейся с постоянной ск оростью U , т. е. Е к =
= m i U 2 /2 . Эта часть массы П Д для сферического, цилиндри­
ческого и плоского случая, например, соответственно равна
(n = 1):
3
mi =
3
5
,
m
mi = — ,
m
mi =
3
.
(10.7)
Определим внутреннюю потенциальную энергии П Д по ф о р ­
муле Е п= m E ,где Е — внутренняя потенциальная
энергия
10.2. П риближ ённы й мет од определения скорости оболочки заряда
237
единицы массы ПД, с помощью уравнения d E = - p d v (1.2) при
dQ = 0:
E =
pdv,
(10.8)
V
где v — удельный объём, который занимаю т П Д к моменту
полного разгона оболочки. Величину v можно определить по
опытным данным, либо на основе численных расчётов процесса
метания оболочек ПД.
Уравнение изоэнтропы, при расширении П Д от объёма v
до то, можно представить в различном виде (см. гл. 1). Ес­
ли приближённо принять p = A p k, причём k = const, то удель­
ная энергия, рассчитанная на единицу массы ПД, определяется
уравнением (1.17)
E=
A v - k dv =
V
pv
k —1
p
р (k — 1)
О тсю да внутренняя потенциальная энергия ПД
E " = J i m — Г) ■
(10-9)
где p и р соответств у ю т моменту полного разгона оболочки.
Энергия разрушения (формоизменения) оболочки Еф опре­
деляется уравнением
£р
M
ЕЕ ф = —
Рм
0
M
a idei = — Ар,
рМ
(10.10)
где М / р м = Ѵм — объём метаемой оболочки, M — её масса, рм —
плотность оболочки, Ар — энергия разруш ения единицы объёма
материала, a i , ei — интенсивность напряжений и интенсивность
деформаций, ер — интенсивность деформаций, соответствую­
щ ая разруш ения материала.
Численные значения Ар д л я некоторых материалов следу­
ющие: СТ.3 — Ар = 0,2 (Г Н /м 2), нержавею щ ая сталь — Ар =
= 0,28 ( Г Н /м 2).
Следовательно, полное уравнение энергии (10.1) при мета­
нии в воздухе можно записать в виде
МАр
mU2
mp
MU2
------р +----------- 1----------------1----------- +
Рм
Ф
р (k — 1)
2
+ 1 р с Ѵ и 2 (k + 1 ) f ( - R )
— 1 j = mQ.
(10.11)
238
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
Очевидно, что при плоском метании Еф — 0. Скорость метаемой
оболочки, если пренебречь E c будет равна
(10.12)
где в — m / M .
Д алее д л я удобства будем пользоваться формулой (4.11)
D — у/ 2 (к 2 — 1) Q . Следует заметить, что эта формула, спра­
ведливая д л я идеальных газовых систем, является теоретиче­
ски необоснованной д л я конденсированных ВВ. Д л я многих
ВВ большой плотности, pм — 1, 6-1,8 г /с м 2, эта ф ормула даёт
завышенные значения скорости детонации на 10-15% при к —
— 3. В этом случае D — 4 y Q . В ряде случаев более точное
значение скорости детонации получается при к — 2,7, при этом
D — 3 , 5 \ [ Q . При уменьшении плотности данного ВВ скорость
D всегда уменьшается, а величина Q д л я ряда ВВ не зависит
от начальной плотности ВВ (см. раздел 4.1). Использование
формулы (4.11) в этом случаи теряет свой смысл.
Формула (10.12) не учиты вает истечения П Д вдоль оси за ­
ряда д л я цилиндрических оболочек конечной толщины и исте­
чения П Д при разрыве оболочки, не учитывает взаимодействие
детонационной волны с оболочкой. Затем следует заметить, что
эта ф орм ула предполагает толщину оболочки вдоль образую­
щей постоянной, в противном случае скорости различны х ча­
стей оболочки будут разными. Зависимость (10.12) выведена д ля
плоского и шарового заряда, или д л я цилиндрического заряда
бесконечной протяженности. Д л я различны х других случаев
эта ф орм ула либо не годится (например, в случае короткого
цилиндра без днищ), либо она определяет некоторую среднюю
скорость.
В уравнении энергии (10.11) во многих случаях можно прене­
бречь энергией разруш ения Е ф и энергией ударных воздушных
волн. В этом случае скорость разлёта оболочки равна
(1 0 .1 3 )
10.2. П риближ ённы й мет од определения скорости оболочки заряда
239
Поскольку численно Q — E n ~ D 2/16, то
в
U и —
2
\
Д л я плоского случая ф = 6, д л я цилиндра ф = 4, д л я сферы
ф = 10/3. Соответственно, имеем скорости:
U = D J —
,
2 \l 2 + в
U = —
в
V 8 V 5 + 3в
(10.14)
Если в уравнении (10.1) считать, что вся энергия m Q рас­
ходуется на метание оболочки, то — U 2/ 2 = m Q . При условии
D = 4V Q получим
D Гв
U = D \~ .
(10.15)
2 V2
Это верхний теоретический предел скорости метания оболочки.
Запишем уравнение (10.11) д л я цилиндрической оболочки:
MU2
—
m U2
m Q = —2---- + ~ р А р +----- 4----- + m E + n p H ( R p — R q) .
(10.16)
Сравним все составляющие этого уравнения с соответствующи­
ми опытными данными при метании медной трубки зарядом
ТГ-36/64, д л я которой в = m / — = 0, 5.
—
Расчёт показывает, что величина — А р составляет менее
Р
1%mQ, величина m E по расчёту (определённая по точной изоэнтропе) составляет 15%mQ, величина n p H R Q — R q) составляет
(по расчётам) менее 1%mQ, величина — U 2/ 2 (по опыту) —
63%mQ, величина m U 2/4 (по расчётам) — 14%. Скорость обо­
лочки U ~ 1,6 км /с.
1 0 .2 .2 .
О пределение закон а д ви ж ен и я оболочки за ­
р я д а . Рассмотрим закон движ ения инерционной массы — д л я
случаев плоской, цилиндрической и сферической оболочки при
следующих допущениях:
—
мгновенная детонация, когда рм = p oD 2/ 8 , и равновесное
расширение ПД: р = р м ( r o/ r ) N k , где N = 1 д л я плоской оболоч­
ки, N = 2 д л я цилиндрической, N = 3 д л я сферической.
240
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
Например, д л я цилиндра высотой H имеем при k = 3:
Mn
= pS'
^ , г , \ 6 2жгн ,
dt dr
M \ r J
или U dU = A r - 5d r , где A = p Mr 6 2 n H / M , отсюда
и
/Л -ІІУ А = *
у V
r 4 / 2r4
dt
(10.17)
Из уравнения (10.17) получаем закон движ ения r = r ( t ) . При
r = 2 rо скорость оболочки U ~ UmaxД л я плоской и сферической оболочек задача решается ана­
логично.
Уравнение (10.17) справедливо до момента разруш ения обо­
лочки при r = rp. Радиус разруш ения r p стальных цилиндриче­
ских оболочек определяется уравнением (по В. В. Селиванову)
гр
= о
-
(і Г
( 1 - гн Г
<
^
,
где r H и го — наруж ны й и внутренний радиусы оболочки в [мм],
5о — толщ ина оболочки, ау — ударная вязкость материала обо­
лочки в [к Д ж /м 2], ро — плотность ВВ в [кг/м 3], D — скорость
детонации в [м/с].
10.3. Задача о метании жёсткой пластины
В трубе находится пластина, масса которой M , она метается
зарядом ВВ, длиной l и массой m (рис. 10.5). Эта задача реш ает­
ся при определённых допущениях аналитически. Д л я момента
времени t ^ l / D мы имеем разлёт П Д в пустоту (рис. 10.5).
В этом случае решение в области разлёта газа определяется
следующими уравнениями при k = 3 (см. раздел 5.1):
x D
x = (u + c)t, или и = ----------------- ;
ѵ
! ’
2t
4 ’
(10.18)
D
x
D
u — c = ----- ,или c = ------------ 1— - .
2
2t
4
Д л я t ^ l / D начинается движение тела, а по П Д пойдёт
отраж ённая УВ со скоростью D 2 (рис. 10.6).
Необходимо найти закон движ ения тела и изменение пара­
метров П Д в области отражённой волны.
10.3. Задача о метании жёсткой пластины
241
t>0
1
1
1
х = 0
t > I/ D у
////////////////////////////.
ВВ
ПД
і CD
%
X
U
D2
D
Ф
©
77777777777777777777777777777
////////Л V ////////////Z / ////
(
/
Рис. 10.5
Рис. 10.6
Строго говоря, течение в этой области является адиабатиче­
ским, потому что отраж ённая УВ оставляет за собой частицы
с разной энтропией. Т акая зад ач а может быть решена только
численно. При некоторых допущениях эту задачу можно решить
аналитически.
1. Будем считать, что энтропия всех частиц в зоне отраж ён­
ной волны постоянна.
2. Н а фронте отражённой волны вместо ударных соотно­
шений можно использовать равенство (и + с)і = (и + с) 2, т. е.
мы будем задачу рассм атривать в акустическом приближении;
здесь это допустимо, т. к. волна D 2 вторично сж им ает среду
ударно, а при этом энтропия меняется мало.
Область 2 не будет простой волной, так как эта область гра­
ничит с областью нестационарного течения, поэтому используем
общее решение при k = 3 (2.44):
x = (и + c)t + F 1,
x = (и — c)t + F2.
(10.19)
Граничные условия:
1) д л я границы областей 1 и 2 справедливо равенство
(и + с)і = (и + с)2;
(10.20)
2) Д л я границы области 2 и тела закон движ ения тела имеет
вид
. J ПІ
U/
(10.21)
= >,S Положим U = и, т. е. частички газа, которые примыкают
к телу, движ утся по тому ж е закону, что и тело. Использу­
ем условия (10.20) д л я определения F i и F 2. Согласно (10.18)
и (10.20),
x
(и + с)і = t = (и + с) 2.
(10.22)
M it
Чтобы выполнялось это равенство необходимо, чтобы F i = 0.
Следовательно, первое уравнение (10.19) можно записать
в виде
x = ( и + c ) t.
(1 0 .2 3 )
242
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
Для т ого чтобы найти F2, надо проинтегрировать уравнение
(10.21). Выразим в нем u = U и p через c.
Согласно (10.23) u = x / t — c,
du
dt
x
t2
u
t
dc
dt
c
t
dc
dt
- г = — о + ------- — = ---------- т •
(10.24)
Для изоэнтропического процесса при к = 3, p / p H = ( c/ c h ) 3.
Это следует из того, что:
dp
— ,
dP
, 3
p = Ap ,
где p h = PoD 2/4,
c ~ p,
3
p ~ c3,
p = pH
( c?
\ cH
c h = (3/4)D. Таким образом
p = 16po c
(10.25)
v
7
27D
1
Теперь уравнение (10.21) приведём к следующ ему виду:
M ( —c — d-E ) = 16p ><?S ,
V
t
dt J 27 Dc
(10.26)
V
J
где Spol = m.
Обозначим n = ( 1 6 /2 7 ) ( m / M ). Тогда получим следующее
уравнение:
dc
c
nc 3
a + i + D =
0
( 1 0 '27)
Получили закон движения тела, записанный через скорость зву­
ка газа в слое, примыкающем к телу. Уравнение (10.27) инте­
грируется разделением переменных, для чего обозначим
c =X
№ 28)
Тогда уравнение (10.27) примет вид d Z / d t + Z / 2 t + n Z 3/ l D t =
= 0. Разделяя переменные и интегрируя, получим
ln Z 2 — l n ( 1 + - ^ Z 2 ) = — ln t — ln C *.
lD
С помощ ью (10.28) решение уравнения (10.27) мож но предста­
вить в виде
C *< = Z 2 + D ■
( 1 0 '29)
где C * — константа интегрирования для определения которой
используем начальные условия в момент удара: t = l / D , c = D .
10.3. Задача о метании жёсткой пластины
243
Подставляя эти значения в уравнение (10.29), с учётом
(10.28), получим
D2
=т
C
1 + 2n
2nD
2 + TD T = ~ p ~ .
,
Л
(1 0 0 )
Решение (10.29) представим в виде
где
с = -V ,
(10.31)
(
(
l W -i/2
V = ^1 + 2 ^ 1 - — J J
.
(10.32)
Определим закон движения тела. Согласно (10.19),
.
(10.33)
x
dx
и = -с = — ,
t
dt
•• с = 1 -V,
ч поэтому
причём
dx
x
dt
t
,
(10.34)
I п
— = --------- V.
t
Получили дифференциальное уравнение движения тела. Инте­
грируем его при таких начальных условиях: t = l / D , x = l;
x = exp
dx
—- V ] exp
t
ex p { ln t} = t.
— Xdt + c ) ,
t J
J ’
(10.35)
Интегрируя, получаем закон движения тела или газа, примыка­
ю щего к телу:
x = D t[ 1+
“ ) .
(1 0 6 )
Для момента t ^ l / D
dx
x
и = — = ----- с.
t
dt
(10.37)
Используя (10.31) и (10.36), получим, учитывая что и = U ,
U =
d
( 1+
V
^
nV )
— -V.
t
При t
U = Um =
d
( 1 + Vn — 1
nVn
г д е V n = (1 + 2 n ) - i / 2 .
(10.38)
244
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
Определение F2 . Уравнение (10.23) представим в виде
x
x
x
l п x — 2 lV
u — c = -----c — c = ---2c = --------- 2 - v = ------------ ,
t
t
t
t
t
x = (u — c)t + 2lV ,
то есть
F 2 = 2lV.
(10.39)
Окончательно разлёт газа в области отражённой ударной
волны 2 описывается следующими уравнениями:
x = (u + c)t,
x = (u — c)t + 2lV.
(10.40)
Предельный случай. Пусть M — то. Получаем отражение де­
тонационной волны от жёсткой стенки: ц = 16 m / 27 M — 0. Тогда
v = ( 1 + 24 ( 1 —D t ) ) " І/ 2 -
1
и F 2 — 2l , то есть д л я отраж ения от жёсткой стенки в области
2 справедливо (см. (5.24)):
x = (u + c)t, x = (u — c)t + 2l.
(10.41)
10.4. Метание сжимаемой прочной пластины
и короткой цилиндрической оболочки
Применение ЭВМ д л я численного решения задач по метанию
оболочек и пластин позволило использовать более сложные ф и ­
зические модели д л я исследования этих процессов. Рассмотрим
две задачи такого типа.
1.
Пусть заряд ВВ длиной l , расположенный в жёсткой тру­
бе, детонирует в сечении x = 0 и метает сжимаемую прочную
пластину, находящуюся в сечении x = l .
В этом случае одна система диф ф еренциальны х уравнений
описывает движение П Д и другая — движение м атериала пла­
стины.
Д иф ф еренциальны е уравнения, описывающие движение
ПД, имеют вид
d u _ _ 1 dp
dt
d l . д (ри) = 0
dt
dx
.
(10.42)
10.4. М ет ание сж имаемой пласт ины и цилиндрической оболочки
245
Д о момента времени t ^ l / D движение П Д будет изоэнтропическим:
Р = Р(Р).
(10.42a)
На ф рон те детонационной волны параметры постоянны и из­
вестны: Р н , и н , p H ; на границе разлёта с пустотой Р = 0 , p = 0 .
После отражения детонационной волны от метаемого тела
возникает область отражённой ударной волны, где течение бу ­
дет адиабатическим. В этом случае вместо уравнения (10.42a)
необходимо записать
НЕ
dv
Hit + Р ~йЕ + 0,
,
Р = Р ^ , Е ).
.
(10.43)
Граничные условия: а) на ф ронте отражённой ударной волны
дол ж н ы соблю даться ударные соотношения (см. гл. 3); б) на
границе П Д —тело давление и скорости долж ны бы ть равны.
Движение материала пластины мож ет бы ть рассмотрено
с помощ ью разных физических моделей. Например, эт от ма­
териал мож но считать сжимаемой баротропной ж идкостью .
В этом случае движение волн в пластине описывается уравне­
ниями (10.42), (10.42a).
Более точная модель долж на учиты вать и сжимаемость,
и прочность пластины.
В этом случае для фиксированной частицы и идеальной
пластичности од д = const, на основе системы (1.96)), получим
следующие уравнения:
ди
дР
dp
du
d + pd =
дE
p dp
d t p2 d t
,
.
р = p (p , Е ) ;
dS1
( du
1 dp\
~ d t = ^ Vd r + 3 p m ) ; (10.44)
dS i
dr;
p «dt7 = - ^d“r +
;
S du
1dr
dS2
0
;
dt
( и
1
dp
^ \ r + 3p d t
Главные компоненты девиатора напряжений S 1 и S 2 = S 3 так
корректируются, чтобы выполнялось условие
2 S|
+ S2 ^
3
.
Граничное условие — на тыльной поверхности пластины на­
пряжения равны нулю (p = 0 , S i = 0 ).
На рис. 10.3 представлены результаты расчётов для инер­
ционной массы (1, рис. 10.3) и метание сжимаемой, прочной
пластины (2, рис. 10.3). Во втором случае пластина движется
скачками за счёт отражения волн в пластине.
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
246
На рис. 10.7 изображены вол­
ны в пластине в координатах
x —t, где A D E M — траектория
движения границы раздела П Д пластина, C N K — закон движ е­
ния свободной поверхности пла­
стины. На пластину толщиной
Но падает детонационная вол­
на O A , о т пластины отраж ает­
ся ударная волна в П Д — A B ,
а в пластине возникает ударная
волна — A C . При выходе У В на
Рис. 10.7
свободную поверхность, в точке
C возникает центрированная волна разрежения C D E , кото­
рая отраж ается от границы раздела П Д -пластина (точка D )
и происходит её ускорение, что сл уж и т источником образования
волны сжатия в пластине D N K E . Свободная поверхность в
точке C получает мгновенно некоторую скорость, затем идёт
торможение этой поверхности за счёт волны разрежения; по­
сле выхода волны сж атия на свободную поверхность (в точке
N ) свободная поверхность снова получает ускорение, затем от
точки N начинает распространяться волна разрежения и т. д.
Полная скорость пластины устанавливается в этом случае на
расстоянии ( 3 -5 )Но о т пластины, то есть набор скорости идет
интенсивно.
2.
М а т е м а т и ч е с к а я м оде ль д в ум е р н о й задачи. Рассмотрим
математическое описание двумерной осесимметричной задачи
о метании оболочки как инерционной массы. Имеем короткий
цилиндр, заполненный ВВ, детонация начинается одновременно
с двух торцов заряда. Ось 0z совпадает с о сь ю заряда, а точка
z = 0 расположена посередине заряда (рис. 10.8).
Система уравнений газовой динамики (см. п. 1.2.3) для про­
д ук тов детонации в эйлеровых переменных для этого случая
имеет следующий вид:
др
др
др ( dur
duz
ттт + u r^.— + u z ^ — + р I т ;----- \
— ^т-
dt
dur
dr
dz \ dr
dz
dur
d u r 1 dp
"TTT" + u r ТГ-------- + u z ~ , -\----- ТГ = 0;
dt
dr
dz
р dr
duz
duz
d u z 1 dp
ttT" + u r t ; --------+ u z ~ . -\
—
= 0;
dt
dr
dz
р dz
pur
r :
(1 0 .4 5 )
10.4. М ет ание сж имаемой пласт ины и цилиндрической оболочки
dE
dE
dE
р / dur
дпЛ
d t + Ur d r + Uz d z + p \ d r + d z )
247
pur
pr'
Здесь p, u r , u z , E , p — плотность, радиальная и осевая
компоненты массовой скорости, внутренняя энергия и давле­
ние продуктов детонации, соответственно. Система замыкается
уравнением состояния ПД, р = р(р, E ).
Уравнение движения оболочки выглядит следующим обра­
зом:
dU
d — ~dtt = p d S n .
(10.46)
Здесь U — вектор скорости элементарной массы оболочки; n —
единичный вектор, нормальный к оболочке; d S — площадь по­
верхности, соответствую щ ая массе d — .
В проекциях на оси координат имеем:
dU
dU
d.— — ^ = p d S cos 5, d— - U z = p d S sin 5,
(10.47)
dt
dt
где Ur и Uz — радиальная и осевая компоненты скорости эле­
мента оболочки, 5 — угол м еж ду вертикалью и нормалью к
поверхности оболочки.
Граничное условие на оболочке имеет вид
un = U n,
(10.48)
где u n и U n — проекции векторов скоростей продуктов детона­
ции и оболочки, соответственно, на нормаль к оболочке.
Граничные условия на фронте истекающих продуктов д е то ­
нации имеют вид: р = 0, р = 0. В силу осевой симметрии задачи
радиальная составляющая скорости продуктов детонации на оси
равна u r = 0.
Граничные условия на фронте детонационной волны имеют
вид
Р = Р н , Р = Р н , uz = u h ,
(10.49)
где р н , р н , u h — давление, плотность и массовая скорость
продуктов детонации в точке Ч еп м ен а-Ж у ге. П оскольку
рассмотренная задача симметрична относительно плоскости
z = 0, то решение мож но искать только для правой части
заряда. Граничное условие на оси симметрии: u r = 0.
На рис. 10.8 показаны заряд взры вчатого вещества, с радиу­
сом ro, длиной lo и массой m, расположенный на жёсткой стенке,
и ситуация после начала детонации. На рис. 10.9 показано рас­
пределение скорости оболочки (инерционная масса — М) вблизи
жёсткой стенки для случая m / — = 2, lo/ro = 2, рассчитанное по
248
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
Рис. 10.8
Рис. 10.9
формулам (10.45-10.49). Сплош ная линия на рис. 10.9 рассчи­
ты валась д л я уравнения состояния (4.37), а ш трих-пунктирная
линия линия д л я уравнения (4.29). Использовалось ВВ — пентолит (50% Т Э Н а и 50% тротила), ро = 1 ,6 5 г /с м 3, D = 7655м /с.
При численном расчёте разлёта прочных оболочек необходи­
мо учиты вать как их инерционные свойства, так и прочность,
и сжимаемость (см. гл. 13).
10.5. Баллистика осколков
При взрыве заряд а ВВ в оболочке последняя разгоняется до
скорости Uo. При этом оболочка разрывается на осколки разной
массы и формы. Если оболочка состоит из готовых осколков
(шарики, ролики и т.д.), то масса и ф орм а осколков одинако­
ва, кроме тех готовых осколков, которые были разруш ены при
взрыве. При полёте в воздухе осколок тормозится и его скорость
уменьшается.
Если пренебречь силами тяж ести, плотность воздуха ро счи­
тать постоянной, а площадь миделя осколка считать равной
среднему значению Sc, коэф фициент лобового сопротивления
cx = const , то уравнение движ ения осколка с массой M в воз­
духе можно записать в виде
dU
poU 2S rcx
о
= - A U 2,
(10.50)
dt
2M
где A = poScCx/ 2 M .
Уравнение (10.50) представим в другой форме:
dU dx
dU ТТ
.о
dU
Лтт
- — - = — U = - A U 2 или ——= - A U .
dx dt
dx
dx
Интегрируя это уравнение, получаем
.
,
(10.51)
10.5. Баллистика осколков
ln U
= —A x ,
или
U = U0 e x p { —A x } .
249
(10.52)
U0
По этим формулам мож но определить скорость осколка U
на лю бом расстоянии. Если для осколка заданной массы и ф о р ­
мы задается U = Uy — скорость, необходимая для пробития
заданной преграды, то из уравнения (10.52) определяется так
называемый убойный интервал:
x y = A ln I T .
(1° . 53)
Параметр A мож но представить в виде
A =
2
Р2 3 сх Ф,п,
p M3M 1/3 ’
или
A = T B 73 ,
M 1/3 :
(10.54)
где рм — плотность осколка, Ф — параметр ф орм ы осколка, B —
баллистический параметр, его значение B ~ 0, 03 для осколков
естественного дробления (ЕД), если размерности: [A] = 1/м ,
[ M ] = г. Для шара Ф =1,21, для короткого цилиндра — 1,38,
для куба 1,5, для осколков Е Д принимают Ф = 2. К о э ф ф и ­
циент лобового сопротивления существенно зависит о т ф орм ы
осколка. Так сх = 0,47 для шара; сх = 1,05 для куба, грань
которого перпендикулярна вектору скорости; сх = 0, 8 для куба,
если скорость направлена по диагонали куба; сх = 0, 82-1,2 для
цилиндра с учетом разного положения цилиндра в потоке воз­
духа; сх = 2 для пластины, плоскость которой перпендикулярна
вектору скорости; для осколков Е Д в среднем сх = 1, 21.
При более точны х расчетах баллистики осколка необходимо
учиты вать силу тяжести, зависимость сх = сх (U ) и переменную
величину площади поперечного сечения осколка.
При попадании осколка в преграду толщиной h, он мож ет
её пробить или застрять в ней. Эта задача требует численного
решения двумерной или трёхмерной задачи (см. гл. 13). Для
приближенной оценки пробивной способности осколка (корот­
кий цилиндр: высота к диаметру 1:1) до скоростей U < 2 к м /с
мож но использовать ф орм улу h = 4, 7U •M 1/3 (осколки и пла­
стина — среднеуглеродистая сталь): h = 9, 7U •M 1/3 (осколок —
сталь, преграда — дюраль), где h — толщина пробиваемой пла­
стины: [h] = мм, [M ] = г, [U] = к м /с . С корость U у преграды
определяется по формуле (10.52), в зависимости о т начальной
скорости U0 и расстояния x , измеряемого о т заряда с оболочкой
д о преграды.
Глава
11
КУМУЛЯЦИЯ
11.1. Физические представления о кумуляции
Кумулятивный заряд (КЗ) является взрывным устройством,
которое приобрело большое значение в практике применения ВВ
как для военных, так и для промышленных целей. Суть куму­
лятивного эф ф екта иллюстрирует рисунок 11.1. Кумулятивный
заряд обязательно должен состоять из кумулятивной воронки —
К В (1), взры вчатого вещества — ВВ (2), и детонатора (3).
Если монолитный заряд
ВВ, имеющий осевую симмет­
рию, при взрыве на поверхно­
сти стального блока оставля­
ет лишь неглубокую кониче­
ск ую вмятину (случай “ а ”), то
заряд с конической выемкой,
содержащий к том у ж е мень­
шее количество ВВ, выбивает
кратер, глубина которого в 5
Рис. 11.1
раз больше (случай “ б ”). К о ­
гда в том ж е заряде выемка
облицована металлом, а заряд взрывается на некотором рассто­
янии о т преграды, (равном 1-6 диаметра заряда), получается
значительное отверстие, глубиной до 12 диаметров заряда (слу­
чай “ в ”). Явление кумуляции носит чисто местный характер.
Общее воздействие на преграду в случае “ а ” наибольшее, но
местное воздействие будет наибольшим в случае “ в ”.
Кумуляция представляет собой существенное повышение
действия взрыва в определенном направлении. Э т о т эф ф ек т
достигается благодаря концентрации энергии в единице объема
в нужном направлении. Кумуляция энергии мож ет осущ еств­
ляться различными способами. Классическим примером эт о ­
го явления могут сл уж и ть сходящиеся сферические ударные
11.1. Физические представления о кумуляции
251
и детонационные волны. В этом случае в центре симметрии
возникают давления порядка миллиона атмосфер. Чаще всего
в практике используется осесимметричный вид кумуляции. Э тот
эф ф е к т получается при использовании зарядов, имеющих на
одном из своих концов кумулятивную выемку. Э ф ф е к т резко
возрастает, если эта выемка покрыта металлической облицов­
кой. Инициирование кумулятивного заряда (КЗ) дол ж н о произ­
водиться со стороны, противоположной кумулятивной выемке.
Теоретические исследования и современные эксперименталь­
ные методы (импульсная рентгенография, оптические и осциллографические методы и др.) позволили получить д остаточ­
но полное представление о процессе образования кумулятивной
струи (К С ).
Фронт детонационной волны в КЗ начинает распространять­
ся о т детонатора со ск оростью D (см. рис. 11.2 и 11.3). Затем
он отраж ается о т поверхности воронки, на к оторую при этом
действует максимальное давление в 20-60 ГПа. Его величина
зависит от материала воронки, угла подхода фронта детонаци­
онной волны к поверхности облицовки и свойств ВВ.
ПД
Разогнанная продуктами детонации тонкая металлическая
воронка двигается со ск оростью 1-2,5 к м /с к оси КЗ, что соп ро­
вождается последовательным уменьшением ее диаметра в раз­
личных сечениях. В ст р у ю переходит внутренняя часть кумуля­
тивной воронки (рис. 11.2).
252
Гл. 11. Кумуляция
После схлопывания г-й элемент находится под всесторонним
давлением (кроме внутренней поверхности), которое возникает
о т соударения кумулятивной воронки на оси заряда. В результа­
те образуется тонкая металлическая струя, двигающаяся вдоль
оси заряда (см. рис. 11.3).
Различные части К С летят с разной скоростью , поскольку
верхние элементы кумулятивного конуса, толщиной Дхі, имеют
небольшой радиус и малую массу M i по сравнению с массой эле­
ментов у снования конуса, а масса ВВ, прилегающая к разным
элементам воронки ti, и в основном определяющая его скорость,
убывает о т вершины к основанию конуса. Распределение ск оро­
сти частиц вдоль КС показано на рис 11.4. Головные частицы
(для Си, Fe, А1) имеют скорость и = 6-12 к м /с , а хвостовы е и =
= 0, 5-1 к м /с .
х
Рис. 11.4
Рис. 11.5
Из-за градиента скорости струя со временем растягивается
и разрывается на несколько десятков частиц (при свободном
полете в воздухе, пустоте), каждая из которы х летит как целое
тело с постоянной скоростью .
Кумулятивные воронки делают из различных материалов
в зависимости от той задачи, к оторую должен решить КЗ. Ш и ­
роко используются тяжелые, пластичные металлы, такие как
медь (марки М1), которые обр азую т сплошные струи с большим
удлинением (примерно в 10 раз); плотность в струе снижается
не более чем на 10% по сравнению с плотностью исходного мате­
риала. Разрыв этих струй происходит на относительно больших
расстояниях о т места их образования.
Кумулятивные струи из таких металлов, как железо или
малоуглеродистая сталь, цинк, раньше разрываются, меньше
растягиваются и проникают в преграду на меньшую величину
по сравнению с медными струями.
Малопластичные, хрупкие металлы (титан, вольфрам и др.)
не обр азую т сплошных струй. В этом случае сразу формируется
струя из отдельных частиц относительно больш ого диаметра.
Такие дискретные струи проникают на меньш ую глубину, чем
11.1. Физические представления о кумуляции
253
сплошные струи, но, как правило, образую т в преграде отвер­
стие больш его диаметра.
Для получения К С без песта широко используются куму­
лятивные воронки, прессованные из вольфрамого порошка (до
75%) и медного порошка с добавлением связую щ их добавок.
П орош ковые струи не разрываются на частицы, как, например,
медные струи, но при растяжении их плотность уменьшается.
КЗ с такими воронками способны пробить малоуглеродистую
стальную плиту толщиной 12d (где d — диаметр заряда ВВ).
С ущ ествую т и такие материалы (например, биметалличе­
ские соединения меди и цинка, пластмассы), которые песта не
обр азую т из-за малой прочности материала, способности к ис­
парению и сгоранию.
Формирование струи зависит о т угла раствора кумулятивной
воронки. Если этот угол 2 а меньше некоторого критического уг­
ла 7 кр, то КС не образуется. Образование её происходит только
в том случае, если в окрестности точки схлопывания воронки
создается дозвуковой режим течения. При сверхзвуковом же те­
чении в этой области ударные волны препятствую т образованию
КС. Верхний предел скорости струи, соответствую щ ий 7 кр, бли­
зок к удвоенной скорости звука в материале воронки. Но и при
дозвуковом режиме течения не всегда создаю тся необходимые
условия для формирования струи, поскольку при небольших
углах раствора воронки существенную роль в процессе струеобразования играют пластичность и прочность материала куму­
лятивной облицовки.
Струя по массе составляет меньшую часть металла обли­
цовки (для медных воронок 10-20% ). Большая же часть массы
воронки образует пест, который для таких материалов, как Си.
Fe, А1, летит как целое компактное тело.
Исследования показывают, что температура КС ниже темпе­
ратуры плавления: для таких материалов,, как медь и железо,
она равна 600-1000°С. Нагрев КС зависит от нескольких при­
чин: 1) при взаимодействии детонационной волны с облицов­
кой в последней возникают ударные волны, затем происходит
изоэнтропическая разгрузка, причём облицовка нагревается до
150-200° С вследствие необратимых потерь на ф рон те ударной
волны; 2) нагрев еще на 400-700°С достигается за счёт пласти­
ческого деформирования металла воронки и струи; 3) нагрев от
взаимодействия струи с воздухом и от взаимодействия оболочки
с продуктами детонации за счет теплопроводности охватывает
лишь незначительную поверхностную часть металла.
254
Гл. 11. Кумуляция
Кумулятивный эф ф е к т такого типа как на рис. 11.1б, из­
вестен давно. Так, в России военный инженер М. М. Боресков
использовал этот эф ф е к т ещё в 1864 г. д л я разруш ения горных
пород. В С С С Р первые систематические исследования газовой
кумуляции (см. рис. 11.1б) проведены М. Я. Сухаревским в 1923­
1926 г.г. Первые кумулятивные боеприпасы с металлической во­
ронкой были созданы в период второй мировой войны (1939­
1945 г.г.) в С С С Р и Германии.
11.2. Гидродинамическая теория кумуляции
Гидродинамическая теория кумуляции создавалась в соро­
ковые годы ХХ века отечественными и зарубежными учеными
(М. А. Л аврентьев, Г. И. Покровский, Г. Тейлор, Г. Б и р кх о ф ф
и др.). В основе этой теории л еж ат элементы теории струй
несжимаемой жидкости. Зад ач а ставится так. Сходящийся по­
ток с известными параметрами — углом а , скоростью U0 , и мас­
сой m 0 (масса, проходящая через единицу площади в единицу
времени), образует на оси два потока, растекающихся в про­
тивоположных направлениях вдоль оси 0 х с параметрами U i ,
m i , U q, m 2 (рис. 11.6). Т ак как задача симметрична, можно
рассм атривать только одну половину схемы (рис. 11.7).
Считаем, что поверхность симметрии абсолютно гладкая, то
есть при движении ж идкости по поверхности нет трения.
Д л я данной схемы можно записать следующие основные со­
отношения.
1. Закон сохранения м а с с ы :
(11.1)
m o = m 1 + m 2.
2. Закон сохранения и м пуль са.
Т ак как трения нет, то вдоль оси импульс сил равен нулю
и изменение импульса такж е равно нулю:
( m 1U1 cos 0° + m 2U2 cos 180° ) — Uom o c o s ( 180° + a ) = 0,
или
(11.2)
m 1U1 — m 2U2 = —U om o cos a.
3. Закон сохранения энергии.
Т ак как процесс стационарен, а ж идкость несжимаема, то
закон сохранения энергии вы раж ается уравнением
m-pUp = m U 2 + m.2U|
2
2
2
.
(
(
)
. )
11.2. Гидродинамическая теория кумуляции
Рис. 11.6
255
Рис. 11.7
Тогда из уравнений (11.1) и (11.3) имеем:
(11.4)
Uo = Ui = U2 .
Теперь с учётом уравнения (11.4) мож но записать уравнения
(11.1) и (11.2) в следующем виде:
m 0 = m i + m 2,
—m 0 cos a = m i — m 2.
Решим эту систему относительно m i и m 2 :
2 m i = m 0(1 — cos a ),
или
m i = m0
m 2 = m 0 ( 1 + cosa ),
или
m2 = m0
2
1
cos a
1 + cos a
m 0 sin
m 0 cos
2
(11.5)
Справедливость применения описанной модели несжимае­
мой ж идкости основана на том, что давления, возникающие
при детонации, намного превыш ают прочность металлов, но,
с другой стороны, они не настолько велики, чтобы сж имаемость
металлов могла играть существенную роль.
Теперь перейдем от схемы со­
ударения струй (рис. 11.7) к схе­
ме схлопывания кумулятивной
воронки (рис. 11.8).
Допустим, что кумулятивная
воронка получает скорость UB,
нормальную к своей поверхно­
сти.
Разложим вектор U B на две
составляющие: вдоль стенки во­
ронки U 0 и вдоль оси симметрии
U k (рис. 11.8). Вдоль оси при столкновении струй со ск оро­
ст ь ю U0 , согласно теории соударения двух струй, возникнет две
струи: одна со ск оростью Ui, а другая со ск оростью U2 , причём
Ui = U2 = U0 . Но направления Ui и U2 разные. Эти две струи
2
Гл. 11. Кумуляция
256
будут сноситься вправо со скоростью Uk. При этом скорость
струи Uc = Ui + Uk, а песта Un = Uk — U2 .
Составляющие Uk и Uo равны (см. рис. 11.8):
Uk = —
sin a
,
Uo = U - ,
tga
Uk — скорость точки соударения элементов облицовки.
Согласно вышесказанному, скорость струи равна
Uc = Ui + Uk = Uo + Uk,
или
Ub
Ub
U' cc = ,—
= U
- . +1 — . = ^Ubb — ------.
^ bb
2—
1 + c o s a 2cos 2 _
a
a
, a ■
Ub
?11.6)
Скорость песта:
Un = Uk — U2 = Uk — Uo,
или
2a
1 — cos a
TT
sin 2
a
Un — ,
.
— UB .
— UB
a
a — UBtg о ■
tg a
sin a
sin a
2 sin — cos —
2
2
2
Определим энергию струи и песта:
Г7
Ub
Ub
TT
r7.
U 2m 1 m oUb2 sin2 —
2a
Ec = ^ J - 1 = -------- - a - 2 = Eo cos2
2 tg 2 —
2
2
6 2
2 2—
2—
U 2- 2—oUb t g2 2 cos2 2
E„ =
^
(11. 7)
2a
2 = ------- - ------- 2 = Eo s
причём Eo = E c + E n.
Рассмотрим предельный случай:
a — 0,
Uc ——to ,
—1 — 0,
E c ——Eo,
m 2 — —o,
E n ——0.
Un — 0,
Отсюда долж но было бы следовать, что можно достичь бес­
конечно большой скорости струи при a — 0. В действительно­
сти, однако, этого не происходит. Скорость струи практически
имеет верхний предел, зависящий от сжимаемости м атериала
облицовки.
11.3. Приближённый метод расчёта параметров
257
Имеется некоторый критический угол а к . Если а ^ а к , то
кумулятивная струя не образуется, а летит поток частиц. Ско­
рость струи, соответствую щ ая а к, равна
Uck = с + у / с2 + U2 ,
(11.9)
где с — местная скорость звука в точке 0 (рис. 11.7). Э то мак­
симальная скорость струи для данного кумулятивного заряда.
11.3. Приближённый метод расчёта параметров
кумулятивной струи
Процессы детонации кумулятивного заряда, схлопывания
воронки и образования кумулятивной струи относятся к классу
двумерных осесимметричных задач. Эта задача требует исполь­
зования машинной программы, реализуемой на ЭВМ .
В настоящее время сущ ествует несколько приближённых
(инженерных) методов расчёта параметров кумулятивных заря­
дов. Рассмотрим один из таких методов.
Весь кумулятивный заряд разбивается на n элементов,
n ^ 10 (рис. 11.9). На рисунке обозначено: 1 — детонатор, 2 —
взрывчатое вещество, 3 — кумулятивная воронка, 4 — корпус,
5 — преграда. Рассчитывается часть заряда высотой H .
Рассмотрим i -й элемент заряда, помещённый в корпус, мас­
сой M t f i , масса ВВ i-го элемента m i, а масса кумулятивной
облицовки M i (рис. 11.10).
Для данной схемы запишем уравнение сохранения энергии
(см. п. 10.2):
Щ т . + m a U i = m aiQ.
(11.10)
Из уравнения (11.10) видно, что энергия активной массы ВВ
m ai преобразуется в кинетическую энергию движения элементов
воронки и в кинетическую энергию движения газов, образую ­
щихся при взрыве активной массы ВВ.
Активная масса рассчитывается по следующ ему соотнош е­
нию [1]:
mi ( M m —Mi
\
m ai = —
1 +----------------------------.
2 V
Mi + M m + m j
9 Л. П. Орленко
(1111)
(11.11)
У
}
258
Гл. 11. Кумуляция
Рис. 11.10
11.3. Приближённый метод расчёта параметров
259
Рассмотрим несколько более простых случаев нагружения, сле­
дующих из (11.11):
.
Mi = Mm \
m&i =
2.
M Hi ^ M i ;
m ai = m i ;
3.
M Hi = 0;
m ai =
1
- 2
;
(11.12)
m2
^/r
22 (M
i + m i)
I
Г.
Обозначим: в і = m ai / M i , где в і — коэф фициент нагрузки i-го
элемента.
Известно, что D = 4y Q , где D — скорость детонации ВВ
(4.11).
Уравнение (11.10) преобразуем к следующему виду:
Ubi =
2 у 2 + ві
Ѵ
.(11.13)
7
Определим скорость струи д л я i -го элемента с помощью
уравнения (11.6):
Uci = t f |
■
=
(1L14)
Значение угла а і вдоль облицовки изменяется, в процессе со­
ударения воронка схлопывается от вершины к основанию со все
увеличивающимся углом а|. То есть, угол а надо определять
конкретно д л я каж дого i -го элемента облицовки.
Вследствие того, что процесс детонации имеет конечную ско­
рость D , точка а в течение времени A t i = A x i / D будет дви­
гаться, а точка b ещё будет неподвижной (рис 11.11). Возникает
перекос, изменение угла а|.
Величина A x i задана делением зар яд а на элементы, линия
ab — начальное положение образующей воронки. _
Согласно рис. 11.12 a ' d = cb = а ' а + ad, а ' а = U i A t i , ad =
= t g ao i A x i .
Точка “ а ” л еж и т на границе i -го и (i — 1) -го элементов, по­
этому её скорость можно определить как полусумму скоростей
этих элементов:
и
+ и
U i = UB’i-12 + UBi .
(11.15)
Д л я данного этапа можно определить угол a ii (рис. 11.12):
cbU i A t i + t g ao i A x i
Ui
tg a i i = A x i = --------- A F i----------- = d + t g a o i '
9*
(1 L 16)
Гл. 11. Кумуляция
260
Ух
а' a d
\\
\ I
^ \ I
Т '\ Ѵ "
J _\ь
Рис. 11.11
Рис. 11.12
Угол наклона линии a'b
дополнительно изменится ,
когда точка b начнёт дви­
гаться, так как точки а 1 и b
будут иметь разные скоро­
сти.
Обозначим: ti — время,
в течение которого точка
а 1 переместится в точку а"
(рис. 11.13):
t
yi
i _
U iA t i
Ui
(11.17)
■
Тангенс искомого угла определяется из уравнения
tg ai _
y i+i
Axi
Необходимо определить величину y +
(см. рис. 11.13):
y i+ 1 — y i+ 1 _ U i+ 1t i,
где Ui+ 1 -- ( UB,i + UB,i+ 1) / 2'
С учётом (11.17), отсюда получим
Yt
yi — UiA t i
y i+1 _ y i+1 - U i+1 ----- U ------ ■
Ui
—
(11.18)
Окончательно на основе (11.18) будем иметь
tg a i _
y i+ 1U i+1 ( y i — U i A t i
A xi
A xi
(11.19)
Ui
где A t i _ A x i/ D .
Формула (11.19) определяет истинный угол схлопывания об­
лицовки д л я i-го элемента кумулятивной облицовки.
11.4■ Определение глубины пробит ия преграды к ум у ля т и в н о й ст руей 261
Масса кумулятивной струи определяется с помощ ью ф о р м у ­
лы (11.5), если m 1 = — ci, mo = — i, а её кинетическая энергия —
с помощ ью (11.14):
П
— ci = — i sin2 а ,
2
Е
— ci U 2Ci
Ec i =
2
,
— кс =
^ 2
— ci ;
i=n
П E
Екс = ^ E ci ,
i=1
E
(11.20)
n Е кс
n = mQ.
Показатель n характеризует К П Д кумулятивного заряда.
У гол a i определяется по формуле (11.19).
Диаметр i-го элемента кумулятивной струи определяется по
формуле
— ci = ^
О тсю да следует, что
li Pc.
_____
dci = W
4— ci
У n l i pc
,
(11.21)
то есть dci зависит от l i . Определение l i дано в п. 11.4.
11.4. Определение глубины пробития преграды
кумулятивной струей
Скорости КС, наблюдаемые
в действительности, составляю т
(2-12) к м /сек . Если такая струя
встречается с преградой, состоя ­
щей также из плотного матери­
ала, то возникает давление т о р ­
можения, намного превосходя­
щее прочность металла. Таким
образом, и в этом случае оказывается возмож ным применить
гидродинамическую модель.
Рассмотрим кинематическую схему проникания i-го элемен­
та КС в преграду (рис. 11.14).
При проникании в преграду со ск оростью Ux , элемент струи
срабатывается, подобно струе воды, проникающей в глину
(рис. 11.15).
Перейдем к системе координат, в которой точка x покоится
(рис. 11.16).
262
Гл. 11. Кумуляция
Рис. 11.15
Рис. 11.16
Элемент К С проникает на
глубину L i (рис. 11.17).
Li
Uxitl .
Время пробития отверстия
равно времени срабатывания
струи:
О тсю да
Рис. 11.17
(11.22)
Величина Uxi зависит от свойств преграды и струи.
С амую простейш ую гипотезу для определения глубины про­
бития предложил М. А. Лаврентьев. По этой гипотезе материал
преграды и струи считается несжимаемой ж идкостью , так как
скорости большие, и прочность большой роли не играет.
В общем случае струя и преграда имеют разную плотность.
Для центральной линии тока (в точке х) справедливо уравнение
Бернулли:
для струи :
Pxc
pc(Uci
Uxi)
2
pnUx
для преграды :
Pxn
2 '
П оскольку в точке х давление справа и слева одинаково:
Pxc
Pxп,
то
puU%i — pc(Uci — Uxi)2,
или
11.4. Определение глубины пробит ия преграды к ум у ля т и в н о й ст руей 263
Решая совместно это уравнение и (11.22), получим ф ормулу
Лаврентьева:
— .
L i — li
(11.23)
рп
А н а л и з ф орм улы Л аврен т ьева.
1.
При выводе форм улы (11.23) длина l i считается постоян­
ной величиной. Но её длина меняется в процессе полёта элемента
д о преграды, поэтому надо рассчитывать li для каж дого i-го
элемента.
Величина l i определяется по формуле
l i = l0i + A l i ,
где loi = ab — длина образующ ей i-го элемента кумулятивной
воронки до её схлопывания (рис. 11.12). Поскольку головная
и хвостовая части i-го элемента имеют разные скорости, то
элемент за время t i полёта о т места его образования до дна
пробитого отверстия в преграде на расстояние Zi увеличивается
на величину (см. рис. 11.9)
A l i = t iA U i =
0
0
0
Uci
(Uc’i - 1 — Uc’i+ l ) .
2
После разрыва кумулятивной струи l im = k i l oi . Если i-й элемент
К С в период полёта на расстояние Zi не разорвался, то его длина
определяется из формулы
l = l + z i (Uc,i-1 Uc,i+l) ^ 1
li — l0i + тт
q
^ lim.
Uci
2
(11.24)
На рис. 11.18 показаны опытные значения ki для кумуля­
тивных зарядов для перфораторов, используемых при добы че
нефти.
К оэф ф ициент k i предель­
ного удлинения i-го элемента
К С определяется с помощ ью
экспериментального уравне­
ния:
ki = A +
,
gradUci,
„
Рис. 11.18
где dcoi — начальный диаметр
i-го элемента КС (см. 11.21),если li = loi; A и В — коэффициен­
ты, определяемые из опыта.
264
Гл. 11. Кумуляция
Величина градиента равна
grad Uci
U •=
grad
= Uci - i — Uc,i+ in i.
2 l0 i
В таблице 11.1 приведены числовые значения коэффициентов A
и B.
Т а б л и ц а 11.1
Материал
A
B, (с/км)
Алюминий
Медь
Никель
Ниобий
Сталь 20
Тантал
Цирконий
1,5
1,8
1,8
2,4
1,6
2,2
1,5
12,2
15.2
14,0
17,7
8,0
18,0
25,9
2. Формула Лаврентьева не отраж ает зависимость глубины
проникания струи о т ее скорости, то есть L i не зависит от Uci ,
что справедливо для стальных преград при Uci ^ 4 к м /с .
3. Головные элементы кумулятивной струи д ви ж утся со ско­
ростями (6-12) к м /с , а хвостовы е элементы — со скоростями
(0,5-1) к м /с . Формула Лаврентьева это никак не учитывает, в то
время как для х востовы х элементов струи прочность уж е играет
существенную роль. П олучаю тся ошибки, которые надо учи ты ­
вать при расчётах. Если, например, прочность первой преграды
в три раза больше прочности второй, то L i < L 2 на 20%.
4. Формула Лаврентьева не учитывает сж имаемости прегра­
ды и струи.
Формулу (11.23) с учётом указанных ф ак торов мож но запи­
_____
сать в виде
L i = Y ilu I — — k s k F ктк ш,
V рп £c
(11.25)
где Yi = (Uci — UK) / U K учиты вает влияние скорости на Li, UK —
критическая скорость, определяемая экспериментально (см. таб­
лицу 11.2).
Если Uci < UK, то Yi = 0, если Uci ^ 4 к м /с , то Yi = 1. К о э ф ф и ­
циент ks учитывает прочность преграды, ks = 1-0, 75 (от стали 3
д о высокопрочной стали); k F = 1 для z = F (см. рис. 11.23
и 11.24), при z ^ F , k F < 1 и определяется по опытным данным
(см. рис. 11.25); kT = 1 ,... ,2 и зависит о т уровня технологии
11.5. Определение глубины проникания
265
изготовления кумулятивного заряда (К З), о т традиционной (20­
летней давности) до современной прецизионной технологии;
к ш = 1-0, 5 учитывает вращение КЗ о т 0 до 20 000 оборотов
в минуту. Величина en/ e c учитывает сж имаемость материалов
струи и преграды (см. (11.32).
Зависимость критической скорости струи Uk от твёрдости
преграды и материала кумулятивной облицовки представлена
в таблице 11.2
Т а б л и ц а 11.2
Материал преграды
Материал КС
Uk, м /с
Сталь закаленная, HRC 50
Сталь, Н В= 125
Сталь, НВ=125
Дюралюминий, НВ=115
Сталь прочная
Бетон
Песок
Мрамор
Известняк
Песчанник
Бетон
Лед
Грунт мерзлый
Сталь
Сталь
Дюралюминий
Дюралюминий
Медь
Медь
Медь
Медь
Медь
Медь
Сталь
Медь
Сталь
2200
2050
3300
2900
3000
1500
1000
1600
1500
1300
1900
1800
1000
В настоящее время сущ ествую т двумерные численные про­
граммы для определения параметров кумулятивного заряда Uci ,
E ci , dci, M ci, но численный расчёт проникания струи в пре­
граду практически не м ож ет бы ть достоверно осуществлен изза сильной зависимости глубины проникания струи от уровня
технологии изготовления заряда, зависящего о т случайного рас­
положения допусков в каж дом кумулятивном заряде.
11.5.
Определение глубины проникания
кумулятивной струи с учётом сжимаемости
преграды и струи
1.
Н е с т а ц и о н а р н а я т е о р и я . Эта теория основана на тео­
рии соударения двух тел (см. п. 6.3).
Гл. 11. Кумуляция
266
Элемент КС подлетает к преграде со ск оростью Uc и внед­
ряется в неё с ударом со ск оростью Ux . О т границы соударения
идут ударные волны в преграде и в элементе струи (рис. 11.19).
Для
струи
и
преграды
справедлива следующая система
уравнений (см. главу 3):
Px = Pc (U c - Ux) D c ,
p x -- pn UXD n .
Отсю да
Ux
Uc
p cD c
Ux
p nD n
С учётом уравнения (11.22) по­
лучаем
Li
li
p cD c
(11.26)
Pn D n
Относительная
сж имаемость
определяется формулой
e = 1 - P0 .
P
(11.27)
Для ударной волны справедливо равенство (см. гл. 3)
poD = p ( D - U ),
тогда
Po
1- P
то есть
U
= D ,
U
(11.28)
e = D
Для КС и преграды будем иметь
p c( Uc
или
UX) D c -- pnUx D п ,
Pn Ux D nc(U c - Ux ) D Q
Dn
(1 1 .2 9 )
Dc
В этом уравнении
Ux
Dn
U c - Ux
eп ,
Dc
ec ,
11.5. Определение глубины проникания
267
поэтому
£п
£с
PcD c
Pn D2 ■
(11.30)
Теперь уравнение (11.26) перепишем в следующем виде:
т _ jP D _ J
Li
г PnDn Ч
p D
PIDI
(11.31)
С помощ ью (11.30) произведем замену в уравнении (11.31)
и получим окончательное выражение для определения глубины
проникания КС с учётом сжимаемости:
Li _ J i j
рс £п
рп £с
(11.32)
При одинаковой сж имаемо­
сти струи и преграды из выра­
жения (11.32) получаем ф ор м у ­
лу Лаврентьева (11.23).
2. С т а ц и о н а р н а я т е о р и я .
По этой теории элемент КС сра­
батывается в преграде, прони­
кая в неё с постоянной скоро­
ст ь ю Ux. В результате возника­
ю т ударные волны в преграде
и в струе, которые располагают­
ся на постоянном расстоянии от
места контакта струи и прегра­
ды. Картина проникания во вре­
мени не меняется, так как проникание идет с постоянной скоро­
ст ь ю (рис. 11.20).
Используем уравнение Бернулли для центральной линии т о ­
ка (для сжимаемой ж идкости), которое записывается в следую ­
щем виде:
U2
Г dp
— _ const
р
Д ол ж н о бы ть задано p _ р(р).
О тсю да мож но получить:
тi = Ji
I рс (1 + £с)
рп (1 + £п)
(1 1 .3 3 )
Гл. 11. Кумуляция
268
Формулы (11.32) и (11.33) противоречивы: при увеличении
ес по (11.32) L i уменьшается, а по (11.33) увеличивается. Оче­
видно, что чем больше сж имаемость преграды и меньше сж им а­
емость струи, тем больше глубина проникания струи в преграду
L i (см. 11.32).
11.6. Определение диаметра отверстия при
проникании кумулятивной струи в преграду
Будем считать, что вся кинетическая энергия струи расхо­
дуется на образование отверстия, то есть кинетическая энергия
струи Е кс равна энергии пластической деформации преграды
Е ф.
На рис. 11.21 изображена схема
плиты с отверстием, пробитым
КС.
Если известна
(из опыта)
удельная
работа
вытеснения
объёма
материала
преграды
в г-м сечении A yi, то диаметр
отверстия в преграде di и глубина
пробития L i связаны уравнением
сохранения энергии:
0 d\
Рис. 11.21
п d2
MciUc2i
Е
—L
— ---- г---- — Ec
4 LТi AАyi —
(11.34)
О тсю да определяем величину d i :
d i=
4Ec
(11.35)
п L i A yi
Для медной кумулятивной воронки и стальной преграды со
средней твёрдостью
м
Ayi — <
0 ,6 •1010
м3
,
при
Li
— > 10,
d ci
(1 1 .3 6 )
Уравнение 11.35 мож но представить в виде:
11.7. Конструктивные особенности кумулятивных зарядов
di = А ^ Щ ,
269
(11.37)
где E ci в Д ж , а L i и di — в мм.
К оэф ф ициент А для ряда материалов преграды приведен
в таблице 11.3.
Т а б л и ц а 11.3
Материал
Конструкционная сталь
Алюминиевый сплав
Титан
Медь
Свинец
Лед
Бетон
Тяжелый суглинок
Рп, г/с м 3
7,81
2,7
4,5
8,9
11,3
0,95
2,4
1,75
А, Дж 1/2 мм3/2
0,575
0,7
0,44
0,9
2,2
2,7
0,8
4,0
11.7. Некоторые конструктивные особенности
кумулятивных зарядов
1.
Ф о р м ы к у м у л я т и в н ы х в о р о н о к . В зависимости о т ха­
рактера технических задач, решаемых с помощ ью кумулятив­
ных зарядов, используются кумулятивные облицовки различной
ф орм ы . На рис. 11.22 представлены кумулятивные облицовки
разной ф орм ы , используемые на практике. Чаще всего в ку­
мулятивных зарядах используются простейшие геометрические
ф орм ы облицовок (рис. 11.22а-д). Цилиндрические облицовки
применяют в тех случаях, когда надо получить безградиентную
кумулятивную струю , у которой все элементы имеют постоян­
ную скорость (рис. 11.22а). Конические облицовки использу­
ю т для получения максимальной глубины пробития преграды
(рис. 11.22б, к). Угол 2 а обы чно изменяется в пределах 3 0 ° -6 0 °,
оптимальные значения угла составляю т 40°-50°.
В конических облицовках часто используют переменную
толщину стенок облицовки (рис. 11.22к). Э то позволяет уве­
личить градиент скорости и увеличить длину кумулятивной
струи (см. (11.24). Сферические облицовки используются в тех
случаях, когда надо получить увеличенный диаметр пробитого
270
Гл. 11. Кумуляция
Рис. 11.22
в преграде отверстия, но при меньшей глубине пробития пре­
грады по сравнению с конической облицовкой.
Облицовки с большими углами 2 а = 130°-150° или сф ериче­
ские сегменты (рис. 11.22г, д) используются не для образования
кумулятивной струи, а для формирования компактного тела из
облицовки, которое называется ударным “ядром ”. Скорость ядра
обы чно 2 -3 к м /с . Они м огут поражать цели на расстоянии до
нескольких десятков метров.
Рупорообразные и тюльпанообразные облицовки (рис. 11.22е,
ж ), имеющие криволинейные образующие, расш иряют возм ож ­
ности управления длиной струи. Их недостаток — слож ность
в изготовлении.
Для решения специфических задач используются комбини­
рованные облицовки (рис. 11.22з, и).
2. П р и м е н е н и е л и н з . Линза увеличивает К П Д заряда,
она разворачивает детонационную волну на воронку. Без лин­
зы воронка обж имается скользящей детонационной волной, а с
линзой — падающей волной (рис. 11.23).
Линзы обы чно имеют цилиндрическую ф ор м у или ф орм у
усеченного конуса. Материалом для линзы мож ет бы ть пено­
пласт, текстолит, дерево и т. п. Обычно её толщина подбирается
такой, чтобы детонация не передавалась через линзу. Основной
путь детонации должен проходить в обход линзы сбок у (см.
рис. 11.23).
3. В ы б о р ф о к у с н о г о р а с с т о я н и я . Для кумулятивных за­
рядов сущ ествует оптимальное расстояние z = F от заряда до
271
11.7. К онст рукт ивны е особенности к ум у ля т и в н ы х зарядов
0 do
0d
F
z
Рис. 11.23
Рис. 11.24
преграды, называемое фокусны м расстоянием (рис. 11.24). При
срабатывании заряда на ф окусном расстоянии бронепробитие
максимально по сравнению с другими вариантами. Для кони­
ческих зарядов старой технологии обы чно F = ( 2 - 3)d, где d —
диаметр взры вчатого вещества. Для прецизионных зарядов F =
= ( 6 - 10)d. Зависимость глубины пробития от расстояния до
преграды имеет вид, показанный на рис. 11.25, где линия 1
для КЗ с технологией 20-летней давности, линия 2 — с преци­
зионной технологией, 3 — идеальная технология (с нулевыми
допусками), 4 — идеальная технология с учётом торможения
струи в воздухе. Для современных прецизионных зарядов L / d =
10-12.
L/'
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 F/d
Рис. 11.25
Наличие ф окусного расстояния объясняется рядом причин:
после схлопывания элементов кумулятивной воронки и образо­
вания элементов струи, последние продолж аю т растягиваться,
и длина струи увеличивается до тех пор, пока не разрывается на
части, вследствие наличия градиента скорости вдоль струи. То
272
Гл. 11. Кумуляция
есть ф окусное расстояние F из этих соображений долж н о опре­
деляться тем минимальным расстоянием заряда от преграды,
при котором КС растянулось до своего предельного значения.
Но такое определение ф окусного расстояния справедливо для
абсолю тно точно изготовленных зарядов. В этом случае все эле­
менты не получают боковы х импульсов и летят один за другим
точно по оси. В реальном заряде все детали КЗ изготовлены
с определённым допуском, и элементы струи получают боковые
скорости, в результате струя перемещается не строго по оси, а в
некотором конусе (см. рис. 11.5). Э то обстоятельство требует
уменьшать ф окусное расстояние по сравнению с F , в противном
случае разные элементы будут попадать в разные места прегра­
ды, площадь поражения увеличится, а глубина пробития будет
уменьшаться. П оэтом у реальное ф окусное расстояние меньше,
чем F , и КС в этом случае частично пробивает преграду в разо­
рванном состоянии, а частично сплошной, ещё не разорванной
струей. Зависимость ф окусного расстояния от точности изго­
товления заряда заставляет определять ф окусное расстояние
опытным путём.
К огда расстояние z > F , то глубина пробития преграды
уменьшается (см. рис. 11.25). Э то происходит по той причине,
что К С летит в рамках некоторого конуса с углом j (рис. 11.5).
Чем больше z — расстояние К З о т преграды, тем больше по­
перечное сечение этого конуса. В результате всё большее число
элементов КС попадает в преграду несоосно, что ведёт к умень­
шению величины L. При достаточно больших значениях z все
элементы К С попадают в преграду несоосно и глубина L равна
той глубине, которую пробивает отдельный элемент. Например,
для 140 мм КЗ значение L ~ 20-30 мм, если z = 20 м.
4.
З ави си м о сть к у м у л я ти в н ы х п ар ам етр о в от тех н о ­
л о г и и и с б о р к и з а р я д а . На действие К З сильное влияние
оказы ваю т технологические ф акторы . К ним в первую очередь
относятся:
а) точн ость изготовления воронки и качество её материала,
её разностенность и соосн ость с линзой и зарядом ВВ. Недо­
статочно точное изготовление воронки приводит к тому, что
у кумулятивной скорости появляются составляющие скорости,
перпендикулярные к оси заряда, в результате различные части
струи расходятся в сторону, и эф ф ек т действия уменьшается;
б) неодинаковая плотность ВВ в сечениях, перпендикуляр­
ных оси заряда. Так, например, при обы чном литье заряда ВВ,
в горизонтальных сечениях заряда сплавов типа Т Г детона­
ция в разных точках отличается на 150 м / с (или около 2% от
11.7. Конструктивные особенности кумулятивных зарядов
273
скорости детонации), пористость — 3-5% , плотность ВВ рав­
на (1,675-1,705) г / с м 3, а специальный вид вибрационного ли­
тья позволяет снизить разброс в скорости детонации в гори­
зонтальном сечении до 20 м /с (около 0,3% о т скорости детона­
ции), снизить пористость до 1-2% и увеличить плотность ВВ до
1,78 г /с м 3;
в) разнотолщинность ВВ в сечениях, перпендикулярных оси
заряда;
г) точн ость сборки всех изделий: воронка, линза, детонатор,
наружная оболочка. Отклонение размеров элементов реального
изделия о т оси д ол ж н о бы ть минимальным. Глубина проника­
ния кумулятивной струи в стальную преграду для прецизионной
технологии составляет L = ( 8 - 10)d, в перспективе до 12d, а для
обычной технологии L = ( 3 - 5)d.
7, град.
12 ­
10 -
8­
6
-
42
-
0
1
0
1
0
ЛЬ/Ь, %
10
1
2
і
10
20
і
4
і
20
30
і
6
і
30
40
50
і
і
8
10
і
і
40
50
Рис. 11.26
60
1
12
80
і
14
60
80
І/d , %
На рис. 11.26 представлены экспериментальные данные за­
висимости угла 7 (рис. 11.5) о т точности изготовления ряда
параметров КЗ. На этом рисунке линия 1 показывает зависи­
мость угла y о т разностенности А 5 воронки; линия 2 — от
разностенности А ^вв слоя ВВ; линия 3 — от смещения точки
инициирования. Наибольшее влияние из этих трёх параметров
оказывает разностенность кумулятивной воронки А 5 . Величина
Y определяет уровень технологии изготовления КЗ.
274
Гл. 11. Кумуляция
Влияние погрешностей на глубину пробития различно, по­
этом у допуски на отдельные параметры существенно различа­
ются. Так, допуск на разностенность облицовки м ож ет бы ть в 6
раз меньше, чем д опуск на разностенность ВВ и в 12 раз меньше
допуска на корпус КЗ.
Существенное влияние на величину L оказывает допуск на
разноплотность ВВ, размер зерна медных кумулятивных обли­
цовок и несоосность облицовки и заряда ВВ, а также зазоры
и перекосы отдельных элементов КЗ.
Глава
12
ВОЛНЫ Н А П РЯ Ж ЕН И Я В ТВЁРДЫХ Т Е Л А Х
В телах, имеющих прочность, могут распространяться сле­
дующие типы волн под действием взрывных и ударных нагру­
зок: упругие, пластические, ударные. Рассмотрим специфиче­
ские особенности этих волн.
12.1. Упругие волны
Распространяю тся с постоянной скоростью, не зависимой от
амплитуды волны. Напряжение в волне не долж но выходить
за предел упругости м атериала данного тела. Скорость самих
упругих волн зависит:
а) от геометрии тела,
б) от типа приложенной нагрузки.
Упругие волны изучаю тся в таких науках, как сейсмология,
акустика.
Основные типы упругих волн.
1.
Рассмотрим бесконечное упругое пространство, в кото­
ром могут распространяться продольные волны и волны сдвига.
В динамической теории упругости эти волны описываются сле­
дующими уравнениями:
Продольные объёмные волны (волны расширения) описыва­
ются волновыми уравнениями типа:
(12.1)
где Ѳ — (dv — dvo)/dvo — относительное изменение объёма, Ѳ —
— dUx / d x + dUy/ д у + dUz/ d z , ci — скорость распространения
продольных волн, Ux , Uy, Uz — перемещения по осям.
Скорость продольной волны c1 определяется через упругие
константы материала:
(12.2)
276
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
где K — модуль объёмного сж атия, G — модуль сдвига.
Можно ввести вместо K и G д л я изотропной среды величины
E — модуль Ю нга и ѵ — коэф фициент Пуассона:
G =
E
2(1 + ѵ) ’
„
E
K =
“ 3(1 - 2ѵ) ’
(12.3)
Волны сдвига описываются уравнениями вида
3 2W X
ді2
c2
c2
д 2Wx
д 2Wx
д 2Wx
+
+
дх2
дz2
ду2
(12.4)
где W x — проекция вектора вращательного движ ения частицы
как твёрдого тела на ось 0х:
Wx = 1 ( ?Ui - toy
x
2 \ ду
дz
где u z и u y — проекции вектора скорости u по осям 0z и 0у.
Аналогично (12.4) два уравнения имеют место д л я W y и W z
Скорость волны сдвига равна
(12.5)
c2
Уравнения д л я продольных волн (12.1) и волн сдвига (12.4)
решаются независимо друг от друга методами, которые изуча­
ются в курсе “У равнения математической ф и зи ки ”.
2.
Рассмотрим бесконечное упругое полупространство со сво­
бодной поверхностью.
Если объёмная волна выхо­
дит на поверхность, то вдоль
поверхности распространяются
волна Рэлея (поверхностная вол­
на) со скоростью Сз (рис. 12.1).
Скорость волны Рэлея равна
Рис. 12.1
Сз = а(ѵ)с 2
(12.6)
Д л я сталей ѵ ~ 0, 29 и а = 0, 95.
Д л я каж дого определённого ѵ величина а = ао = const < 1.
Тогда Сз = аоС2, Сз < С2, то есть волны Р элея распростра­
няются со скоростью, меньшей скорости сдвига. Волны Рэлея
наибольшую амплитуду имеют на поверхности, которая быстро
затухает с глубиной (рис. 12.2).
У п р у г и е в о л н ы в с т е р ж н е . При приложении продольной
динамической нагрузки к торцу стерж ня вдоль него будет
12.1. Упругие волны
-->
-->
277
_+?4
_ _____
распространяться, если нагрузка не велика, упругая волна
(рис. 12.3).
Скорость упругой волны в стержне меньше, чем в упругом
пространстве из одинакового материала. Д л я упругой волны
в стержне справедливо уравнение
д 2Ux
dt2
2 д» 22Ux
дх2 ’
где
1 da
с4 = —
Г .
р de
(12.7)
(12.8)
Здесь а и e — напряж е­
ние и деф орм ация в стержне,
Ux — смещение частиц вдоль
оси стерж ня относительно их
положения равновесия.
Определим производную
da/d e. Зависимость а(е) по­
казана на рис. 12.4, откуда
следует, при а < аі, что
da
Тde = tg во.
Известно, что в пределах упругости а = Ее, тогда d a / d e =
= Е . Скорость продольной волны равна
Е
с4 = \ І — ;
р
c4 < Cl.
(12.9)
Приведем значения скоростей Cl , C2, C4 д л я некоторых м атериа­
лов.
В стержне, кроме продольных волн, могут распространяться
волны сдвига.
Если ударом закрутить стержень, то вдоль стерж ня будет
распространяться поперечная сдвиговая волна (рис. 12.5).
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
278
Т а б л и ц а 12.1
Материал
с і ,м /с
С2, м /с
С4 ,м /с
Сталь
Алюминий
Резина
5940
6320
1040
3220
3100
27
5190
5090
46
Удар
4Н-----------—— 1
^
— ► с5
-Л
----------- ------1
Рис. 12.5
Рис. 12.6
Скорость волны сдвига в стержне определяется следующим
образом:
С5 = С2 = J G ,
(12.10)
т. е. скорость сдвига не зависит от конфигурации упругого тела
и она одна и та ж е в стержне и в полупространстве.
Если ударом нагрузить тонкий стержень так, как это пока­
зано на рисунке 12.6, то в стержне возникнут волны изгиба.
Скорость волны определяется следующим уравнением:
2nc4M
С6 = — 4— ,
(12.11)
где c4 = \ J E / p , A — длина волны, M = \ J J zz / F , z - z — ось,
относительно которой происходит изгиб, F — площадь попереч­
ного сечения, J zz — момент инерции площади F относительно
оси z .
У п р у г и е в о л н ы в п л а с т и н а х . Рассмотрим пластину, бес­
конечную в двух измерениях, толщиной ho (рис. 12.7).
Д л я волн, у которых дли­
на волны A ^ ho, скорость
Ш Ш ЯШ Ш Ш Ш Ш т
распространения в пластине
равна
Рис. 12.7
12.3. Ударные волны в твёрдых телах
279
Если ж е Л ^ ho, то возникает в пластине волна со скоростью eg
(волна Рэлея)
eg _ С3 _ a ( v ) J P .
(12.13)
12.2. Пластические волны в твёрдых телах
В пластических волнах напряж ения превосходят предел
упругости. Известно аналитическое решение только одной зад а­
чи: распространение пластической волны в стержне.
Стержень нагруж ается с торца, напряж ения находятся за
пределом упругости (рис. 12.3). Эту задачу аналитически решил
в 1945 г. Х. А. Рахматулин. Д л я такого процесса справедливо
уравнение (12.7)
д 2Ux
2 д 2Ux
dt2
п dx2
Скорость пластической волны равна
eп
11 da
р de
где d a / d e _ tg в определяется из зависимости a(e) (см.
рис. 12.4).
Характерной особенностью пластичной волны в стержне
является то, что состояние с большой амплитудой (точка 2
рис. 12.4) распространяется с меньшей скоростью, чем состояние
с меньшей амплитудой (точка 1 рис. 12.4). Впереди такой вол­
ны будет двигаться упругая волна со скоростью С4 _
Е /р _
_ л/ t g во/ P (упругий предвестник).
Поскольку чем меньше амплитуда волны, тем больше её
скорость, то волна со временем будет растягиваться.
12.3. Ударные волны в твёрдых телах
Н а фронте УВ имеется разры в параметров. В общем слу­
чае эта задача неизоэнтропична, хотя энтропия меняется сла­
бо д л я не очень больших давлений. При больших давлениях
(р > 50ГП а) энтропия меняется сильно, но здесь прочность
не играет большой роли. В общем случае задача описывается
уравнениями, где учитываю тся прочность, сжимаемость среды
280
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
и термодинамические соотношения. На ф рон те У В в твёрдом
теле справедливы следующие уравнения (см. (3.7)):
pa(D - Ua) = P2 (D - « 2 );
&2 - а 1a = - p a («2 - Ua)(D - Ua);
(12.14)
jp
jp
( а 2 - a 1a)(v 2 - Va)
E 2 - E a = -----2
где V2 = 1/p2, Va = 1/p a .
В данном случае, если &2 < а*, впереди У В пере­
мещается упругая продольная волна со ск оростью сі =
= \ J ( k + ( 4 / 3 ) G ) / p > D. Для стали а * & 50ГПа.
В газе или ж идкости такая ситуация невозможна, там всегда
скорость У В больше скорости звука в невозмущенной среде.
Ч тобы понять, почему У В в твёрдом теле могут распространять­
ся со скоростью , меньшей скорости упругой волны, рассмотрим
принципиальную связь м еж ду прочностью, которая характери­
зуется кривой а - е і (интенсивность напряжений-интенсивность
деформаций) и сж имаемостью, определяемой кривой & 2 - £ 2 , где
&2 — напряжение в направлении движения ф ронта У В , а £2 =
= 1 - p a / p 2 — относительная сж имаемость среды.
На рис. 12.8 изображена кривая а і - £ і , характеризующая
прочность. У часток 05 определяет закон Гука, 51 — пластиче­
ское деформирование при нагружении. После того как напря­
жение достигло точки 1, начинается упругая разгрузка (1-2 на
рис. 12.8). Эта разгрузка, как правило, носит нелинейный харак­
тер. На рис. 12.8 принят линейный закон упругой разгрузки. Ес­
ли после полной разгрузки (точка 2 рис. 12.8) начинается новое
нагружение (растяжение или сж атие), то процесс нагружения
следует по кривой 2,3,4. Местный предел текучести (точка 3)
вследствие эф ф екта Баушингера уменьшается по сравнению
с исходным напряжением в точке 1. Величина а і > 0 и £і > 0
как при растяжении, так и при сжатии. Такая диаграмма а і - £
зависит о т скорости деформаций, среднего напряжения а с и от
температуры. Получить такую диаграмму при сущ ествующ ем
уровне знаний мож но только опытным путём.
На рис. 12.9 изображена ударная адиабата в плоскости &2-£2 ,
которая получается опытным путём на основе измерения скоро­
сти У В D и массовой скорости « 2 в прочных телах. Напряжение
а 2 по направлению совпадает с направлением движения волны,
а а і = аз, деформация £і = 1 - po/p, а £1 = £3 = 0. Прямая 0а
(рис. 12.9) характеризует упругое сжатие среды, а кривая а1
является ударной адиабатой твёрдого тела.
12.3. Ударные волны в твёрдых телах
281
Все состояния твёрдого тела, соответствую щ ие точкам диа­
граммы U i - £ i (рис. 12.8) находятся во взаимной связи с состоя ­
ниями среды в плоскости 0 2 —£ 2 . Для определения связи меж ду
диаграммами o S i и а 2 - £ 2 , в пределах упругости необходимо
использовать соотношения теории упругости. Эти соотношения
позволяю т связать предел текучести o s (точка 5 рис. 12.8)
и предел упругости на ударной адиабате o 2a через коэффициент
Пуассона ѵ (точка а рис. 12.9):
1 —ѵ
02a = - ^ T 2V a S ■
,
Л
(12.15)
Если бы в твёрдом теле отсутствовала прочность, то ударная
адиабата определялась бы кривой o c = o c(e 2 ) (рис. 12.9), где
o i + 2o2
Oc
Найдём связь м еж ду кривыми o c =
напряжённого состояния в УВ:
Oi =
0
(12.16)
-p.
3
0
c(£ 2 ) и
2 — 0 1.
02
=
0 2 (^2 ).
Для
(12.17)
На основе уравнений (12.16) и (12.17) получим
2
°2 = ° с + 3 0 i ,
Oi
1
(12.18)
°c — 3 °i.
Эти уравнения определяют связь м еж ду 0 2 , o i и Oi при нагруз­
ке. При разгрузке от точки 1 до точки 2 (на рис. 12.8), разгрузка
в плоскости 0 2 — £2 осущ ествляется по линии 1-2 (рис. 12.9), при
этом значение 0 i на кривой 0 С равно нулю. При изменении знака
нагружения в плоскости 0 i-£i (от 2 до 3, рис. 12.8), соответ­
ствую щ ая разгрузка в плоскости 0 2 - £ 2 , отвечает участку 2-3
282
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
(рис. 12.9), затем разгрузка происходит в пластической области
( 3 - А - 4 - 5 , рис. 12.9).
Сложный вид кривой разгрузки в плоскости ( 0 2 - £ 2 ) опреде­
ляет две скорости разгрузки: одна соответствует наклону линии
1-3, а другая наклону линии А -3 . Эти обе волны были опреде­
лены экспериментально.
Скорость У В в твёрдом теле определяется тангенсом накло­
на линии а-1, а скорость продольной упругой волны наклоном
линии O a (рис. 12.9). Если наклон линии a -1 меньше наклона
линии Oa, то впереди У В будет распространяться упругий пред­
вестник со скоростью
С1 = л / ( к + ( 4 / 3 ) 0 ) / р .
Система УВ в ста­
ли усложняется также за
счёт полиморфных пре­
вращений, в результате
чего ударная адиабата
02 = 02 (v) имеет излом
в точке n при 02 ~ 13 ГПа
(на рис. 12.10). В этом
случае, в зависимости от
давления 02 в У В , по
твёрдой среде будет рас­
пространяться сложная система волн.
1. Если напряжения в У В 02 > 0 2 4 , то по твёрдой среде будет
распространяться одна УВ.
2. Если 022 < 0 2 < 024 (рис. 12.10), то впереди У В пой­
дёт упругий предвестник со ск оростью ci и давлением 0 2 а
(рис. 12.11).
3. Если 0 2 п < 0 2 < 0 2 2 , то в твёрдом теле будут распростра­
няться две У В, а впереди упругий предвестник (рис. 12.12).
12.4■ Откол
283
12.4. Откол
При взрыве ВВ на поверхности металла и ударе тела может
произойти откол массы металла с тыльной стороны (рис. 12.13).
С тыльной стороны при Гі ^ г р от­
рывается кусок металла со скоро­
стью Uo, где г р — разрываю щее на­
пряжение.
При нагружении происходит
сжатие материала, при подходе УВ
к тыльной стороне м еталла проис­
ходит отражение волны, и по ме­
таллу от тыльной стороны идет
волна растяж ения. Условие откола
Гі ^ г р, где г і — растягивающее
напряжение.
Рассмотрим принцип образования растягиваю щих напряж е­
ний на простейшем примере соударения двух пластин из упру­
гого м атериала (рис. 12.14). Н а рис. 12.14 изображён процесс
столкновения двух пластин толщиной §о и $і из одинакового
упругого материала. После соударения по первой и второй пла­
стинам пойдут волны сж атия (0n и 0 а ). Эпюра напряжений
и скоростей изображена на рис. 12.14(б), в момент ti. В момент
времени tii и tin произойдет отражение этих волн сж атия от
свободных поверхностей. Эпюра напряжений и скоростей в мо­
мент tii приведена на рис. 12.14(б). В этом случае на участке 1-2
второй пластинки напряжений нет, а скорость равна скорости
удара и, на участке 2-3 вторая плита сж ата и имеет скорость
и / 2 , участок 3-4 находится в покое и не напряжён. В точке “C”
сойдутся две волны разреж ения, и с этого момента возникнет
растягивающее напряжение. Эпюра напряжений и скоростей
изображена в момент tiii на рис. 12.14(б). На участке 2-3 имеют
место напряж ения растяж ения. Если эти напряж ения Гі ^ г р,
где г р — критическое напряжение на разрыв, то возникает от­
кол.
В более сложных случаях, чем рассмотренный выше, про­
цесс образования откола, в принципе, происходит точно такж е,
например, д л я системы заряд -преграда, но с тем различием, что
напряжение и скорости переменны по x и во времени t, впере­
ди УВ может перемещаться упругий предвестник, УВ и волны
разреж ения имеют переменные скорости движения.
Рассмотрим различны е типы откола:
284
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
Рис. 12.14
П е р в ы й т и п о т к о л а . Пластина летит со ск оростью Uo
и ударяет по плите.
При определённых h i , h,2 ,
^Uo происходит распыление слоя
A h i , и плита распадается на два
Г с/о
куска (рис. 12.15). Рассмотрим
Ah,
h2
объяснение этого явления.
При динамических нагруз­
Рис. 12.15
ках величина разрывающего на­
пряжения ар зависит о т време­
ни его действия (рис. 12.16). Так, например, если напряжение
растяжения действует в материале время ti, то только при
285
12.4■ Откол
достижении напряж ения <j\p и больших напряжений начнётся
разры в материала. При определённых условиях h i, Uo в пли­
те может возникнуть целая зона, где действует определённое
время разрываю щ ие напряжения, в результате происходит раз­
рыв (распыление) всей этой зоны.
В т о р о й т и п о т к о л а . Схема опыта показана на рис. 12.17.
При определённых значениях D, H , h имеет место следующий
откол:
Поверхность I гладкая (гладкий откол). Поверхность II ме­
нее гладкая.
Рис. 12.16
Рис. 12.17
Наличие гладкого откола (отполированная поверхность от­
кола) объясняется наличием УВ разреж ения в железе и в уг­
леродистой стали. Д иаграм м а а 2 = 02 (v) с ф азовы м переходом
д л я этих материалов при 13Г П а показана на рис. 12.18.
В точке “с” происходит ф азовы й переход и диаграм м а 02(v)
на участке a-c-b имеет отрицательную кривизну d 202 / d v 2 < 0,
а в этом случае возможны, согласно второму началу термоди­
намики, УВ разреж ения (см. п. 3.2). Эпюра напряжений в об­
разце толщиной H , с ударной волной разреж ения показана на
рис. 12.18. Если максимальное напряжение достаточно велико,
286
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
> 0 с, то при отражении о т тыльной поверхности мож ет воз­
никнуть ещё одна У В разрежения, которая пойдёт навстречу
первой У В разрежения (У В Р ). В стреча двух У В Р и образует
гладкий откол.
О т точки а до точки b суще­
ствует У В разрежения. При о т ­
0d
ражении волны о т свободной по­
h
верхности м ож ет возникнуть та­
кой ж е вид импульса, где в хво­
сте получается ещё одна У В раз­
режения. При встрече двух У В Р
происходит гладкий откол.
Рис. 12.19
Т р е т и й т и п о т к о л а . Это
обычный откол. Получается откол с очень неровной поверхностью (рис. 12.19).
Варьируя размеры заряда d и h для данной плиты, можно
изменять скорость откола Uo и массу откола M q. При опреде­
лённых условиях масса M q мож ет не отделиться о т плиты, но
в плите возникнет трещина, перпендикулярная оси заряда.
Расчёт явления откола, имеющего явно выраженный волно­
вой характер, проводится приближёнными (инженерными) ме­
тодами, в которы х используются, обычно, интегральные со о т ­
ношения.
При современном уровне вычислительных методов и ЭВМ
явление откола мож ет бы ть рассчитано путём численного ин­
тегрирования. В этом случае для материала плиты необходимо
учиты вать как сж имаемость, так и прочность, а также знать
критерии разрушения материала при отколе.
02
Глава
13
ВЫ СОКОСКОРОСТНОЕ СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ
13.1. Введение
В связи с развитием космической техники возникла пробле­
ма защиты космических аппаратов о т воздействия высокоско­
ростны х частиц (осколков разрушенных космических объектов
и др.), массой о т долей грамма до десятков грамм, летящих о т ­
носительно защищаемого объекта со ск оростью от 3 д о 16 к м /с ,
а также о т метеорных частиц (доли грамма), имеющих скорость
д о 30-70 к м /с . Для исследования и создания эф фективной за­
щиты космических аппаратов необходимы экспериментальные
исследования их взаимодействия с вы сокоскоростны ми части­
цами на полигоне или в лабораторных условиях. Но для реше­
ния этой задачи необходимо научиться разгонять частицы, как
правило, металлические, до высоких скоростей. Этой пробле­
мой во многих странах занимаются уж е несколько десятилетий.
Д остигнуты определённые результаты, но в нужной мере эта
проблема не решена.
Разрабатываются два основных экспериментальных направ­
ления решения проблемы вы сокоскоростного метания твёрдых
частиц. Во-первых, используются легкогазовые пушки, позво­
ляющие метать частицы до десятка грамм со ск оростью до
7,5 к м /с . Во-вторы х, для разгона металлических частиц ши­
роко применяются различные устройства, использующие энер­
гию взрыва. Эти устройства делятся на две группы. Первая из
них использует кумулятивный эффект, позволяющий разгонять
длинные металлические струи (Al, Mo, Ni и др.) до скоростей
11-12 к м /с . Но при этом возникает проблема получения ком­
пактной частицы путём отсечения части кумулятивной струи.
Другая группа устройств использует для разгона сегментные
исходные элементы, как правило, части сфер, которые сворачи­
ваются затем в компактные частицы. Для увеличения скорости
частиц используются разные методы кумуляции энергии взрыва
288
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
на поверхности метаемого элемента. Для взрывного метания
используются однокаскадные, двухкаскадные и трёхкаскадные
устройства. Наибольшие скорости достигнуты в трёхкаскадных
устройствах, с помощ ью которы х удалось разогнать алюминие­
вую пластину, массой около 2 г, до скорости почти 14 к м /с .
Из-за высокой стоим ости устройств для взрывного метания
широко используется математическое моделирование процесса
функционирования таких устройств. Э то позволяет с помощ ью
расчётов на компьютере находить рациональные схемы и опре­
делять их параметры, что является необходимым этапом разра­
ботки устройств для метания частиц заданной массы с задан­
ной скоростью . Слабым звеном математического моделирования
работы устройств для взрывного метания является отсутствие
надежных критериев разрушения метаемых частиц. Эта про­
блема с необходимой надеж ностью м ож ет бы ть решена только
экспериментально.
13.2.
Экспериментальные исследования
высокоскоростного взрывного метания тел
К у м у л я т и в н ы е у с к о р и т е л и ч а с т и ц . При разгоне метал­
лических частиц взрывными ускорителями учиты ваются четы ­
ре параметра: скорость, масса, плотность и ф орм а частицы.
Принципиальное значение имеет скорость частиц, она ограничи­
вается энергетическими возмож ностями взрывных ускорителей.
М асса метаемой частицы при определённой скорости зависит
о т размеров взрывной установки, то есть о т технологических
и экономических факторов. Ч то касается ф орм ы частиц, то она
зависит о т конкретной конструкции взрывной установки, разме­
ров её деталей и применяемого типа установки (многокаскадные
или кумулятивные). Численное моделирование функционирова­
ния взрывных установок позволяет с удовлетворительной т о ч ­
ностью вычислять ск орость частиц. Масса, плотность и особен­
но окончательная ф орм а частиц определяются с недостаточной
точностью , что прежде всего связано с недостаточным уровнем
знаний поведения материалов и его разрушения при динамиче­
ских нагрузках с учётом больш их деформаций, скоростей де­
формаций, температуры, среднего давления и др.
Экспериментальные взрывные ускорители позволяют разго­
нять кумулятивные металлические струи (сплошные или разо­
рванные) в широком диапазоне скоростей 7-90 к м /с . Для эт о ­
го используются разные схемы взрывных кумулятивных уско­
рителей (см. рис. 13.1-13.5). На рис. 13.1 представлена схема
13.2. Экспериментальные исследования метания тел
289
кумулятивного устройства для разгона части кумулятивной
струи. Она состои т из детонатора (1), стальной верхней встав­
ки (2), взры вчатого вещества (3), кумулятивной воронки (4),
нижней вставки (5). Для выделения компактного элемента из
кумулятивной струи используется взрывное устройство, состоя ­
щее из металлической пластины (6) и взры вчатого вещества (7).
В
таких
установках
были получены: для алю­
миниевых
частиц
массой
(0,13-1,15) г
—
скорости
(11-11,28) к м /с ,
для
мо­
либденовых частиц массой
(2,5-4) г, — скорости (11,68­
11,81) к м /с , и для никеле­
вых частиц массой (1,11­
1,94) г, — скорости (10,75­
10,85) к м /с .
Такой
метод
разгона
металлических
частиц позволяет получить
устойчивые значения ск оро­
стей метаемых частиц, но
при этом о т опыта к опыту
существенно
меняются
массы элементов — в 1,5­
3,7 раза, а отношение длины
элемента к его диаметру
составляю т
l / d = 5-9.
При ударе кумулятивной
струи пластиной (6) при
отсечке элемента струи он
произвольно вращается, что
существенно меняет глубину пробития элементом преграды (до
2-х раз). Получить в этом методе разгона компактный элемент с
соотношением размеров менее чем l / d = 3 при отсекании части
кумулятивной струи сложно.
С помощ ью эф ф екта кумуляции были экспериментально по­
лучены металлические кумулятивные струи со скоростями до
20 к м /с . На рис. 13.2 представлена схема метательного устрой­
ства, состоящ ая из линзы (1), заряда взры вчатого вещества
(2), металлической плиты (4) и полости (3) в плите. В этом
случае детонационная волна, отраж аясь о т плиты, возбуж дает
ударную волну a-b в плите (4), которая подходит к полости (3)
10 Л. П. Орленко
290
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
и метает частицы плиты, леж ащ ие на свободной поверхности
полости.
Из углов полости “ с”
и “ d” образуется кониче­
ская кум улятивная пелена
E - E , головная часть кото­
рой движ ется со скоростью
Ur (рис. 13.3а). Затем эта
пелена сходится к оси
метательного устройства
(рис. 13.3б). В результате
образуется в начальный
момент струя с большим
градиентом скорости —
1 к м /с
на
сантиметр.
Рис. 13.2
Д иам етр
заряд а
равен
150 мм. Головная струя быстро разруш ается на частицы
(доли грамма). Схема образования высокоскоростной струи
со скоростью Ur по существу воспроизводит схему “струй
несжимаемой ж идкости”, лежащ ей в основе инженерных
методик расчёта параметров кумулятивны х струй (см. п. 11.2).
Но данные эксперименты противоречат этой теории. Ведь
согласно этой теории долж но быть Ur = Ur, но скорость Ur
много меньше скорости Ur. При этом скорость Ur = 6 к м /е ,
а Ur = 20 км /c . Возникает вопрос, откуда возникает скорость
Ur? Теория плоских струй несжимаемой ж идкости на этот
вопрос не отвечает, но численный расчёт с учётом сжимаемости
даёт удовлетворительное совпадение скоростей, полученных
численным расчётом и в эксперименте.
0
Рис. 13.3
С помощью кумуляции были достигнуты экспериментально
скорости распыленных кумулятивных струй до 90 км /с. Схема
13.2. Экспериментальные исследования метания тел
291
экспериментов показана на рис. 13.4. Кумулятивное устройство
состои т из детонатора (1), взры вчатого заряда (2), линзы (3)
и трубки (4), из которой ф ормируется кумулятивная струя (по­
то к частиц). Наибольшая скорость кумулятивной струи состав­
ляла 90 к м /с . Она была достигнута при использовании трубок
из бериллия с удельной плотностью 1 ,8 г / с м 3.
Рис. 13.5
На рис. 13.5 представлена схема цилиндрической кумуляции
для получения компактного элемента из алюминия, массой око­
ло одного грамма, со ск оростью до 1 1 к м /с. Взрывное устрой­
ство включает в себя детонатор (1), взрывчатое вещество (2),
корпус (3), линзу (4), алюминиевую трубк у (5) для образования
кумулятивной струи, отсекатель (6) и опорную плиту (7) с о т ­
верстием.
Д в у х - и т р ё х к а с к а д н ы е в з р ы в н ы е у с к о р и т е л и . На
рис. 13.6 представлена схема двухкаскадного взрывного уско­
рителя. Первый каскад состои т из взры вчатого вещества (1)
и плоской стальной пластины (2). В торой каскад включает
взрывчатое вещество (3) и стальной элемент (4), который мета­
ется в вакуумную камеру (5). С помощ ью этой установки масса
(0,8-3) г разгонялась д о скорости (6,8-8) к м /с . П лотность мета­
емого элемента составляла (2-4,8) г / с м 3 при начальной плотно­
сти 7,8 г / с м 3, то есть материал элемента разрыхлялся в процессе
разгона.
Эксперименты показы­
вают, что плотность ма­
териала метаемого элемен­
та относительно мало вли­
яет на глубину кратера
в мишени. Так, при скоро­
сти 6,6 к м /с и одинаковой
массе элемента, уменьше­
ние плотности материала
10*
292
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
с 7,8 г /с м 3 до 2 г / с м 3 и 4,8 г /с м 3 приводит к уменьшению глуби­
ны проникания в алюминиевую мишень, соответственно, на 25%
и 10%.
Увеличение скорости элемента до значений выше 10 к м /с
возмож но при использовании трёхкаскадного ускорителя. На
рис. 13.7 представлен такой ускоритель, имеющий три каскада
(I, II, III). К аж ды й каскад имеет поддерживающ ую пластину
(2, 5, 8), метаемые плоские элементы (пластины 3, 6, 9), слой
взры вчатого вещества (1, 4, 7).
М еж ду
метаемыми
пластинами
и
слоями
взры вчатого
вещества
имеются воздушные за­
зоры.
Диаметр
заряда
взры вчатого
вещества
первого каскада составлял
150 мм, его масса равна
Рис. 13.7
3
исследованиях в первом
каскаде для медной пластины, толщиной 2,5 мм и массой 98 г,
была получена скорость 5,6 к м /с , во втором каскаде скорость
была равна 9,2 к м /с для стальной пластины, толщиной 0,5 мм
и массой 8,9 г. Максимальная скорость, полученная в третьем
каскаде, составляла 13,8 к м /с для алюминиевой пластины,
толщиной 0,5 мм и массой 1,75 г.
13.3. Физика взаимодействия тел с преградой
Б а л л и с т и ч е с к а я п р е д е л ь н а я к р и в а я . Для защиты кос­
мических объектов используются специальные легкие разнесен­
ные преграды (около 20 к г /м 2). Они с остоя т из первой преграды,
которая обы чно включает пластину из алюминиевого сплава,
толщиной 1-2 мм или из стальной сетки. Вторая защитная пре­
града состои т из нескольких слоев бронежилетной ткани (типа
некстел, кевлар). Общая ширина преграды составляет не бо­
лее 110 мм. Оценка эф фективности конкретной защиты косми­
ческих аппаратов производится экспериментально. Для этого
защита обстреливается шариками из алюминия разного диамет­
ра d с различными скоростями U . На основе этих эксперимен­
тов строится баллистическая предельная зависимость (БПЗ),
которая состои т из точек (d, U ), характеризующ их границу
пробития-непробития преграды.
Рис. 13.8
Н а рис. 13.8 показана типичная Б П З д л я космических объ­
ектов защ иты (первая преграда — пластина АМГ-6, вторая —
из бронежилетной ткани). По вертикальной оси откладывается
диаметр алюминиевого шарика, а по горизонтальной — его ско­
рость. Угол а измеряется от нормали к преграде. До скорости
удара U = 3 к м /с диаметр ш арика уменьшается. В этом случае
идет пробитие преграды за счёт больших пластических д еф ор­
маций как преграды, так и шарика. При скоростях U ^ 3 к м /с
ф изика процесса меняется. Чем больше скорость удара, тем
большую роль начинают играть УВ и волны разреж ения, воз­
никающие при ударе. При ударе в шарике возникают сильные
УВ. После их выхода на свободную границу ш арика возникают
волны разреж ения в шарике. Они разбрасываю т материал ша­
рика во все стороны.
Это хорошо видно на рис. 13.9, где представлены рентге­
новские снимки соударения алюминиевого ш арика (d = 6, 35 мм,
U = 4,16 км /с) с никелевой, медной и кадмиевой пластинами
толщиной около 1 мм (рис. 13.9а), а такж е снимки соударе­
ния стального ш арика (d = 3,2 мм, U = 7,06 км /с) с этими ж е
пластинами (рис. 13.9б). Ч асть материала ш арика и прегра­
ды выбрасывается вверх, а часть летит вниз. При этом ш арик
294
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
Экран
Никель
Медь
Кадмий
£ ШШЯШШШ
Рис. 13.9
разрывается на мелкие частицы, облако которы х расширяется.
В этом случае вторая преграда улавливает это облако мел­
ких частиц. При скоростях удара U > 7 к м /с основную роль
в рассматриваемом процессе играет волновой механизм, и пре­
дельный диаметр шарика практически не зависит о т скорости
удара.
При ударе шарика (алюминиевого и стального) по преграде
(Ni, Cu, Cd) в последней возникает отверстие, диаметр которого
D мож ет бы ть вычислен по формуле:
(13.1)
где h — толщина преграды, U в к м /с .
Диаметр отверстия в преграде (D ) при заданной скорости
удара практически не зависит от материала преграды, но зави­
сит о т толщины преграды.
На рис. 13.10 представлена экспериментальная зависимость
суммарной толщины разнесенных преград h s из алюминиевых
сплавов, пробиваемых одним и тем же стальным компактным
ударником, от скорости удара U . Эта зависимость хорош о кор­
релирует с зависимостью на рис. 13.8. Ч етко различаются три
диапазона скоростей. С увеличением скорости до 2 к м /с вели­
чина h s увеличивается, затем при росте скорости до 3,5 к м /с
h s уменьшается (1 на рис. 13.10), а при росте U до 8 к м / с h s
13.3. Физика взаимодействия тел с преградой
295
медленно увеличивается (2 на рис. 13.10). К руж ки на рисун­
ке 13.10 — экспериментальные точки.
2
Л
ок
&
д а
7 -^
о)Ь
0
1
2
3
4
^--5
----G«ѳ-~Т ■DO
О
6
7
U, км/с
Рис. 13.10
В л и я н и е ф о р м ы и п лотн ости у д а р н и к а н а его п р о н и ­
к а н и е в п р е г р а д у . На рис. 13.11 приведены результаты экс­
периментов, исследовавших удар шариков с одинаковой массой
(0,32 г), но из разных материалов с разной плотностью: пла­
стик (р = 1 , 2 г / с м 3), алюминий (р = 2 , 7 г / с м 3 ) и сталь (р =
= 7, 8 г / с м 3). Скорость шариков была одинакова, U = 6 ,6 к м /с .
•
•
S3
&
У
&
=1
£
о
Рис. 13.11
В качестве преграды использовалась толстая (полубесконечная) преграда из сплава алюминия. На рис. 13.11а
показаны размеры кратеров, образовавшихся в преграде при
296
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
ударе пластиковым, алюминиевым и стальным шариками. На
рис. 13.11б показана зависимость глубины проникания (2)
и объёма кратеров (1) от плотности шарика. Так, при изменении
плотности шарика в 4 раза (400%) глубина проникания меняется
всего на 34% при одинаковой кинетической энергии шариков.
2
0
оЗ
S'
в
В1
1
&
о
l/d
Рис. 13.12
На рис. 13.12 представлены результаты удара по тол ­
стой алюминиевой преграде ударников разной ф орм ы (см.
рис. 13.12а) из алюминиевого сплава одинаковой массы (0,32 г)
при U = 6, 6 к м /с .
На рис. 13.12б представлены зависимости глубины проника­
ния кривая (2) и объёма кратера (1) о т отношения l / d для этих
трёх случаев, l — длина ударника, d — диаметр ударника.
Вычисление глубины L проникания в полубесконечную пре­
граду мож ет определяться из приближённого уравнения сохра­
нения энергии:
M j U 2/ 2 = М т ет ,
где М у , U — масса и скорость ударника, М т — масса преграды
(мишени) в объёме кратера, образованного ударником, ет —
удельная энергия, необходимая для выброса из кратера единицы
массы преграды (определяется из опыта).
13.4■ Численные решения
297
Если ударник шар диаметром d, а объём кратера — полу­
сф ера с радиусом R = L, то глубина кратера L в преграде
определяется на основе предыдущего уравнения по формуле
(13.2)
где рт,ру — плотности преграды и ударника, U — скорость
в к м /с . Величина £т равна 0,31; 0,43; 0,5; 0,75 к м 2/ с 2, со о т ­
ветственно, для алюминиевых преград (АД -1, А М Г-6, Д16) и
нержавеющей стали (по данным Л. В. Зинченко и В. П. Романченкова). Величины £т справедливы для U > 2 к м /с . При ско­
ростях удара больше 10-18 к м /с (в зависимости о т материалов
ударника и преграды) глубина L растёт медленнее, чем радиус
кратера R , то есть энергия ударника более интенсивно расходу­
ется на разрушение преграды вдоль ее поверхности, при этом
происходит частичное испарение ударника и преграды в объёме
кратера.
Полуэмпирическая формула для определения предельной
толщины монолитной преграды h из алюминиевых сплавов (ти­
па А М Г-6, Д16), пробиваемая компактным ударником, имеет
вид (см. [9])
1/3 ру2/3ТТ2
U
0 ’, 424Myу
______
«у
_ ка (1 + 1, 55(U — 0 ,8 ) 4/3) ,
h =
(13.3)
где k a = 1,21 + (кр — 1, 21)0, 8 / U , к@ = 1, 21; 1,39; 1,5 — к оэф ф и ­
циент ф орм ы ударника (шара, короткого цилиндра, куба), U —
скорость ударника в к м /с , М у в г, р у — плотность ударника в
г / с м 3, h в см. Формула справедлива для скоростей ударника от
2,0 до 8 ,0 к м /с .
13.4.
Численные методы решения задач по
высокоскоростному метанию тел и прониканию
ударников в преграды
М атем ати ч еско е описание процессов вы сокоскорост­
н о г о м е т а н и я и п р о н и к а н и я у д а р н и к о в в п р е г р а д ы . Си­
стема уравнений двумерных упругопластических течений в ци­
линдрической системе координат z, r, (z — ось симметрии)
включает в себя:
—
уравнения движения (для трёхмерного движения см. си­
стему 1.96):
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
298
dUr
d o rr d o rz
p dt d r + d z +
du z
d o zz d o rz
p dt d z
+
dr
Оrr
Офф
r
’( і з 4)
o rz
r ’
+
где p — плотность; u r — скорость в направлении r; u z — ско­
рость в направлении z; t — текущее время; (orr — S rr — p, ozz —
— S zz — p, Офф — Sфф — p, orz — S rz — p) — компоненты тензора
напряжений; S z z , S rr, S rz , Sфф — компоненты девиатора напря­
жений; p — гидростатическое давление;
— уравнение неразрывности:
dur duz
dp
dt + p ( w
+ Ж
ur
+ Т
°-(13-5)
—
уравнение энергии:
dE — _ p
dt
p
d ( 1
\ p J + S (d u L _ ur i +
dt
+ rr I d r
r 1+
+
d z - + S . J d r - d z ] , (13.6)
V dz
r J
V dz
dr
где 1 /p — удельный объём; E — внутренняя энергия единицы
начальной массы;
— компоненты девиатора скоростей напряжений:
с _ 2 .. {„
і1 d p \
S rr — 2 ц I e rr +
0
\
3p dt j
с
,,
_ d S rr , , , о
1
Srr—
dt
S zz — 2ii ( e zz +
3 -dp) ,
\
3p d t )
S rz — 2Pe r z 1
S rz —
dt
Szz—
+ WDr z 1
—u S rz,
----- 2 (S rr — S z z )
(13
7)
1
S
2 (
+ 1 dP \
S
—% ф
Офф — 2Ц I ефф + 3 p ddtt Jj 1 S фф — dt
где и — (duz / d z — d u r/ d r ) — скорость вращения; ц — модуль
сдвига;
13.4. Численные решения
299
— скорости деформации:
duz
„ ,
dz
dur
e zz
e rr — т : ,
dr
1 ( dur
e rz
e"
duz \
(13.8)
2 \ d z + dr
- ( _ p d ft- (e rr - ezz )) ;
— уравнение состояния в общем виде:
p -
р (р , E
);
— для твёрдых тел уравнение состояния в ф орм е М и Грюнайзена (см. раздел 3.4):
p -
+
yep
,
(13.9)
Ро
где В — коэффициент; ро — начальная плотность материала;
Y — постоянная Грюнайзена;
— для продуктов детонации уравнение состояния в ф орм е
Д ж он а-В и л к и н са-Л и (Jones-W ilkins-Lee) — см. (4.39):
р
- A ( 1 - RJ v ) exp { ~ R l V } +
+ В ( 1 - R ^ ) exP { - R 2V } + J VE ,
(13.10)
где A ,
B ,J , R i, R 2 — коэффициенты; V - ро/р — отношение
плотности непродетонировавшего ВВ к плотности ПД.
Для описания перехода из упругого состояния в пластиче­
ское используется условие текучести Мизеса:
2
(S^ r + S rz + S zz + S w ) — 3 ( Y) 2 - 0,
(13.11)
где Y — динамический предел текучести материала, зависящий
о т скорости деформации, среднего давления и температуры.
В случае, когда о т су т ств у ю т сходящиеся детонационные вол­
ны, мож но применить п ростую модель детонации, в которой ско­
рость детонации D постоянна. Таким образом, в каждый момент
времени t возмож но геометрически определить поверхность и ,
которая является ф рон том детонационной волны.
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
300
Для точечного иницииро­
вания — это сф ера с радиусом
Го (см. рис. 13.13), который
определяется как
Г о (t) - D t - л / r (t) + z (t) .
(13.12)
На самой границе и , ча­
стицы приобретают парамет­
ры Ч еп м ен а -Ж у ге (п. 4.4):
Р = Рн,
Рис. 13.13
р = Рн,
E = Eh
при (r, z) £ и .
К уравнениям (13.4)-(13.12) добавляются начальные и гра­
ничные условия.
Для областей Qi, занятых конденсированными взрывчатыми
веществами, до прихода детонационной волны считается, что
давление, скорости иэнергия в них равны нулю. В областях Q ,
занятых твёрдыми материалами для времени t - 0 задавались
следующие начальные значения:
р = ро,
и = ио,
Е = 0,
ar = az = arz = a$$ = 0,
при (r, z) £ Q 2 , где ро — начальная плотность вещества, Uo —
начальная скорость движения среды.
Граничные условия имеют следующий вид:
a nn
a nT
0
при (r, z) £ Ui — свободная поверхность;
a nn ----
a nT -- °
p,
и п --- u n ,
при (r, z) £ U 2 — контактная граница (граница раздела конден­
сированной ( 1 ) и газообразной ( 2 ) среды);
1
ann
=
=
2
0
a nT 0 ,
a nn,
1
=
Un
2
u n,
при (r, z) £ U3 — контактная граница (граница раздела двух
конденсированных сред (1) и (2));
р 1 - р 2,
апт =
0,
иП - иП,
при (r, z) £ U4 — контактная граница (граница раздела двух
газообразных сред (1) и (2));
dar
и п -- 0 ^
~о
dr
--
0
a rz --
0
13.4. Численные решения
301
при (r, z) Е U5 — ось симметрии;
Un = 0,
Urz = 0,
при (r, z) Е Uq — жёсткая стенка, где а пп и а пт — нормальная и
касательная составляющие вектора напряжений, действую щ его
на площадку границы с нормалью n; и п — значения нормальных
компонент вектора скорости граничных точек контактирующ их
сред.
Н е к о т о р ы е р е з у л ь т а т ы ч и с л е н н ы х р а с ч ё т о в . П рограм­
ма, созданная на основе безсеточного численного метода SPH,
для решения системы уравнений (13.4)—(13.12) с соответству­
ющими начальными и граничными условиями позволяет ис­
следовать работу взрывных ускорителей, а также проникание
вы сокоскоростны х тел в различные преграды.
В табл. 13.1 представлены значения скоростей головных
струй, полученные экспериментально и при численном рас­
чёте для алюминиевых и медных плит, для диаметра заря­
да ВВ 150 мм (скорость детонации 8,8 к м /с , плотность заряда
1,84 г /с м 3) для кумулятивного ускорителя (рис. 13.2)
Т а б л и ц а 13.1
Материал
плиты
Al
Cu
мм
h,
мм
R,
мм
Uo, км /с
(эксперимент)
Uo, км /с
(расчёт)
20
20
30
30
20
20
30
30
1
10
15
3
21,5
9,7
5,3
15,5
19,9
9,5
6,0
15,9
d,
На рис. 13.14 представлена последовательность ф орм ирова­
ния и структура метаемого элемента, полученная при числен­
ном моделировании. Х ор ош о видно, что формируется струя (1),
утолщённый элемент (2) и головная струя (3), что удовлетвори­
тельно совпадает с экспериментальными данными.
Рассмотрим влияние геометрических, кинематических и ф и ­
зических характеристик ударника на глубину его проникания
в преграду.
Для сравнения результатов численного моделирования с экс­
периментальными данными было рассчитано проникание удар­
ников различной плотности в алюминиевую полубесконечную
мишень со ск оростью 6,6 к м /с . Ударники были изготовлены из
пластика с плотностью ро = 1 ,2 0 г / с м 3, диаметром 8,0м м из
алюминиевого сплава с плотностью ро = 2, 70 г /с м 3, диаметром
302
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
Рис. 13.14
6,1м м и из стали с плотностью ро = 7,80 г / с м 3, диаметром
4,3 мм. Сравнение экспериментальных и расчётных данных по
глубине проникания представлено на рис. 13.15
Эксперимент
Рис. 13.16
Рис. 13.15
Исследование влияния ф орм ы , скорости проникания и ма­
териала ударника на глубину кратера проводилось для полубесконечной преграды из алюминия. Рассчитывались ударники
из стали с плотностью рд = 7, 80 г / с м 3, алюминия с плотностью
Р0 = 2,70 г /с м 3 и В Н Ж
плотностью ро = 18, 69 г /с м 3.
Исследования
проводились
для
ударников
массой
10г.
Геометрические размеры удар­
Т а б л и ц а 13.2
ников вычислялись из условия
равенства их масс (рис. 13.16).
В, ГПа
Y
Начальные скорости ударников
Алюминий
79
принимались равными 3, 10
2,1
Сталь
176
и 14 к м /с . Для расчёта давлений
1,7
бралось уравнение состояния
ВН Ж
300
1,6
в форм е М и-Грю найзена (13.9):
Р
В (р - ро)
р0
+ іЕ р ,
13.4■ Численные решения
303
где B — изотермический модуль сжатия, Y — коэффициент
Грюнайзена, E — энергия. Коэф ф ициенты этого уравнения при­
ведены в табл. 13.2.
Расчётные данные представлены на рис. 13.17 для алюмини­
евых ударников (шар, конус и цилиндр). На рис. 13.18 представ­
лены результаты расчётов проникания шара, конуса и цилиндра
из стали в алюминиевую преграду для различных скоростей.
I 70
I 70
сз 60
§-50
U 40
&30
3 20
10
60
& 50
В ..
& 30
с о
10
15
Скорость алюминиевого ударника, км/с
Шар
_
Конуе
------- 1
------I 10
5
10
15
С о
Скорость стального ударника, км/с
Рис. 13.17
Рис. 13.18
Шар
_
Конус
Цилиндр'
Скорость ударника из ВНЖ, км/с
Рис. 13.19
3 20
Скорость ударника, км/с
Рис. 13.20
На рис. 13.19 аналогичные результаты показаны для ударни­
ка из В Н Ж . Результаты расчётов показывают, что глубина про­
никания слабо зависит, при одинаковых скорости и массе удар­
ников, от ф орм ы ударника, при условии равенства отношения
длины и максимального диаметра. На рис. 13.20 представлены
результаты расчётов для шара из различных материалов. Из
этого рисунка видно, что глубина проникания при одинаковой
скорости и массе ударников зависит о т плотности материала
ударника. При этом при увеличении скорости удара зависимость
глубины проникания о т плотности материала заметно умень­
шается. Так при скорости удара 3 к м /с глубина проникания
ударника из В Н Ж на 45% больше глубины проникания алюми­
ниевого ударника, а при скорости 14 к м /с — всего на 12%.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Физика взрыва. /П о д ред. Л. П. Орленко. — 3-е изд, ис­
правленное. — В 2 т. - М.: Физматлит, 2004. — 1488с.
2. Высокоскоростное взаимодействие тел. /П о д
ред.
В. М. Фомина. — Новосибирск: Издательство СО РАН, 1999. —
600 с.
3. К о б ы л к и н И. Ф., С еливанов В. В., Соловьев В. С., Сысо­
ев Н. Н. Ударные и детонационные волны. М етоды исследова­
ния. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Физматлит, 2004. —
367 с.
4. Ударные волны и экстремальные состояния вещества.
/П о д ред. В. Е. Фортова и др. — М.: Наука, 2000. — 425 с.
5. Свойства конденсированных веществ при высоких давле­
ниях и температурах. /П о д ред. Р. Ф. Т рунин а. — Арзамас-16:
Изд. В Н И И ЭФ , 1992. — 398с.
6. Высокоскоростны е ударные явления. /П о д ред. В. Н. Н и ­
колаевского. - М.: Мир, 1973.
7. К а н е л ь Г. И., Разоренов С. В., У т к и н А. В., Фортов В. Е.
У дарно-волновые явления в конденсированных средах. — М.:
Янус-К, 1996, — 407 с.
8. Методика определения параметров взрывного устройства
по разрушениям окруж ающ ей обстановки... /П о д ред. В. А. Х и м ич ева. — М.: НПО “Специальная техника и связь”, 2002, —
106 с.
9. С т епанов Э. С., Соломонов Ю. С., Сычев М. П. и др. К и­
нетическое воздействие на летательные аппараты. / — Ч.1, —
М.: М Г Т У им. Н. Э. Баумана, 2005 - 112с.