1 Задачи по теории случайных событий. Образец решения и оформления задач по теории случайных событий. Задача №1. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что они оба белые? Какова вероятность того, что они разного цвета? Решение. Подсчитаем общее число исходов опыта. Оно равно числу двухэлементных подмножеств множества, содержащего 20 элементов, то есть . Введем событие А – оба шара белые. Подсчитаем теперь число исходов, благоприятствующих событию А. Это число двухэлементных подмножеств множества, содержащего 12 элементов, то есть . Тогда вероятность события А равна ( ) ( ) ( ) При решении второй части задачи рассматриваются те же исходы опыта. Событию В, вынуты шары разного цвета, благоприятствуют исходы, для которых белый шар может быть любым из 12 шаров, а черный тоже может быть любым из 8 черных. Следовательно, по принципу умножения число исходов, благоприятствующих событию В, есть и ( ) ( ) Ответ: 0,35; 0,5. Задача №2. Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по зайцу. Заяц подстрелен, если попал хотя бы один из охотников. Какова вероятность того, что заяц подстрелен, если вероятность попадания первого охотника равна 0,8, а второго – 0,75? Решение. Введем события: А – попал первый охотник и В – попал второй охотник. По условию Р(А)=0,8, Р(В)=0,75 и события эти независимы. Событие - попал хотя бы один из охотников представляет сумму (объединение) событий А и В, то есть А+В. Тогда Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)= =0,8+0,75-0,8·0,75=0,95. Ответ: 0,95. Задача №3. Для сигнализации о пожаре установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при пожаре сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при пожаре: а) сработает только один сигнализатор; б) сработает хотя бы один сигнализатор; в) сработают два сигнализатора; г) не сработает ни один сигнализатор. 2 Решение. а) Пусть событие – сработает первый сигнализатор; сработает второй сигнализатор; В - сработает только один сигнализатор. Введем противоположные события: ̅ – не сработает первый сигнализатор; ̅ - не сработает второй сигнализатор. События и ̅ образуют полную группу несовместных событий, поэтому Р( )+Р(̅ )=1. Отсюда Р(̅ )=1- Р( ). По условию Р( )=0,95, следовательно, Р(̅ )=1-0,95=0,05. Аналогично, Р( )=0,9 и Р(̅ )=1-0,9=0,1. Сработает только один сигнализатор – это сработает первый, а второй при этом не сработает или сработает второй, а первый не сработает, то есть событие В можно представить так В= ·̅ +̅ · . Так как события ·̅ и ̅ · - несовместны и сигнализаторы срабатывают независимо, то Р(В)=Р( · ̅ )+ Р( ̅ · )=Р( )·Р( ̅ )+Р( ̅ )·Р( )=0,95·0,1+0,05·0,9=0,14. б) Пусть событие С – сработает хотя бы один сигнализатор, а именно, сработает только первый сигнализатор, или сработает только второй сигнализатор, или сработают одновременно два сигнализатора. Поэтому событие С можно представить в суммы (объединения) двух событий С= + . По теореме сложения двух совместных событий Р(С) = Р( + ) = Р( )+Р( ) – Р( ) = Р( )+Р( ) – Р( )·Р( ) = =0,95+0,9 – 0,95·0,9 = 0,995. в) Пусть событие D – сработают два сигнализатора одновременно. Событие D является произведением (пересечением) событий и , то есть D= · . Вероятность события D по теореме умножения независимых событий равна Р(D) = Р( · ) = Р( )·Р( ) = 0,95·0,9 = 0,855. г) Пусть событие F – не сработает ни один сигнализатор, а именно первый и второй сигнализаторы не сработали одновременно. . Событие F является произведением (пересечением) событий ̅ и ̅ , то есть F= ̅ · ̅ . Вероятность события F по теореме умножения независимых событий равна Р(F) = Р( ̅ · ̅ ) = Р( ̅ )·Р( ̅ ) = 0,05·0,1 = 0,005. Ответ: 0,14; 0,995; 0,855; 0,005. 1. Классическая и геометрическая вероятности. 1.1. Шеститомное собрание сочинений Н.В. Гоголя поместили на полку в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в порядке возрастания номеров? 1.2. Из урны, содержащей 8 шаров, помеченных цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8, вынимают наугад все шары один за другим. Какова вероятность того, что номера извлеченных шаров будут идти в порядке возрастания? 1.3. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечётное число очков? что выпадет « шестёрка »? 3 1.4. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода их независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 1 час, а второго – 2 часа 1.5. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово « крыша ». Ребёнок рассыпал буквы и собрал их в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что у него снова получится слово « крыша ». 1.6. Имеется 1000 деталей, из которых возможны 4% бракованных. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь – бракованная? 1.7. Восемь различных книг расставлены наугад на одной полке. Какова вероятность того, что три определённые книги окажутся поставленными рядом? 1.8. Карточка «Спортлото » содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 6 чисел? 1.9. Карточка «Спортлото » содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 5 чисел? 1.10. Карточка «Спортлото » содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа? 1.11. На карточках разрезной азбуки написано 32 буквы алфавита. Пять карточек вынимают наугад одну за другой и укладывают на стол в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово « хорда »? 1.12. Из группы, состоящей из 10 юношей и 8 девушек, выбирают по жребию 4 дежурных. Какова вероятность того, что в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки? 1.13. Экзаменационные билеты пронумерованы от 1 до 35. Какова вероятность того, что наудачу взятый билет имеет номер, кратный пяти? 1.14. Из семи одинаковых карточек разрезной азбуки «а», «к», «н», «о», «с», «у», «ф» наудачу выбирают 5 карточек и складывают их в порядке извлечения. Какова вероятность того, что получится слово «конус»? 1.15. В партии из 20 лампочек 3 бракованных. Из партии выбирают наугад 5 лампочек. Какова вероятность того, что среди этих пяти лампочек две бракованных? 1.16. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов). 1.17. В урне лежат 12 одинаковых шаров: 3 белых, 7 чёрных, остальные красные. Какова вероятность того, что наугад выбранный шар окажется не белым? 1.18. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными? 4 1.19. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных. 1.20. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороною а наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. 1.21. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди трёх наугад вынутых из ящика деталей нет дефектных. 1.22. Замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с написанными на них различными цифрами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть. 1.23. Найти вероятность того, что при случайном распределении 3 шаров по 3 урнам все урны будут заняты. 1.24. Определить вероятность того, что серия наугад выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001. 1.25. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r . найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. 1.26. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых. 1.27. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника. 1.28. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t<T). Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу. 2. Непосредственный подсчет вероятностей. 2.1. Ящик содержит 80 годных и 20 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди трёх наугад вынутых из ящика деталей есть хотя бы одна дефектная деталь. 2.2. Из трёх орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того , что: 1) хотя бы один снаряд попадёт в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) все три снаряда попадут в цель. 5 2.3. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти: а) вероятность поражения цели всеми тремя выстрелами; б) вероятность хотя бы одного попадания в цель. 2.4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий и соответственно равны и . Найти вероятность появления только одного из этих событий. 2.5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7; а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один из стрелков. 2.6. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. 2.7. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, во втором, в третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трёх ящиках; б) не менее чем в двух ящиках. 2.8. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобренные лица окажутся мужчинами. 2.9. В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными. 2.10. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0.1, 0.15, 0.2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет. 2.11. Агрегат состоит из трёх параллельных цепей, каждая из которых включает в себя 4 последовательно соединенных элемента. Две цепи являются резервными. Надёжность элементов в основной цепи 0.97, а в резервных – 0.92. Определить надёжность агрегата. 2.12. Устройство состоит из четырёх элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы в течение месяца соответственно равны 0,6 для первого элемента; 0,8 – для второго; 0,7 – для третьего и 0,9 – для четвертого. Найти вероятность того, что в течение месяца будут безотказно работать: а) все четыре элемента; б) только один элемент; в) не менее двух элементов. 2.13. Игральный кубик с цифрами бросают четыре раза. Найти вероятность того, что шесть очков выпадут: а) два раза; б) не менее двух раз; в) менее двух раз. 2.14. В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных. Наугад извлекают три детали. Каковы вероятности того, что среди них: а) одна бракованная; б) две бракованных; в) хотя бы одна стандартная? 2.15. В лифт девятиэтажного дома вошли три человека. Предположим, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, 6 начиная со второго. Найти вероятность того, что все три пассажира выйдут на одном этаже; что все пассажиры выйдут на разных этажах. 2.16. В барабане револьвера 6 гнёзд, из которых в 4 вложены патроны, а 2 пустые. Барабан приводится в движение, в результате чего против ствола оказывается одно из гнёзд. После этого нажимают спусковой крючок. Если гнездо пустое, то выстрела не происходит. Найти вероятность того, что в результате двух опытов: а) выстрела не произойдёт; б) произойдёт два выстрела; в) произойдёт хотя бы один выстрел. 2.17. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара; во втором – 2 белых, 6 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих? 2.18. Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 12 деталей, из которых 4 бракованных. Вторая партия состоит из 15 деталей, из которых 4 бракованных. Из первой и из второй партии извлекают по две детали. Какова вероятность того, что среди них нет бракованных деталей? 2.19. В урне 7 красных и 6 синих шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что они разного цвета? 2.20. Охотники Александр, Виктор и Павел попадают в летящую утку с вероятностями, соответственно равными Все одновременно стреляют по пролетающей утке. Какова вероятность того, что утка будет подбита? 2.21. На экзамене студенту предлагаются 20 билетов. В каждом билете 3 вопроса. Из 60 вопросов, вошедших в билеты, студент знает 50. Какова вероятность того, что взятый студентом билет будет состоять из известных ему вопросов? 2.22. Для сдачи коллоквиума студенту достаточно ответить на один из двух предложенных вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум, если он не знает ответов на 8 вопросов из 40, которые могут быть предложены. 2.23. Рабочий обслуживает четыре станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего первый станок, равна 0,92; второй – 0,9; третий – 0,85; четвертый – 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего хотя бы один станок. 2.24. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что по мишени будет произведено не менее трёх выстрелов, если после первого же попадания стрельба прекращается. 2.25. В двух урнах находятся шары, различающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых, 11 черных и 8 красных, а во второй – соответственно 10, 8, и 6. Их обеих урн наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета? 7 3. Формула полной вероятности. 3.1. Сборщик получил две коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом № 1, и три коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того , что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,9, а завода № 2 -0,7. Из наудачу взятой коробки сборщик извлёк деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь. 3.2. Сборщик получил три ящика одинаковых деталей: в первом ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных; во втором -50, из них 10 окрашенных; в третьем -30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из наудачу взятого ящика окажется окрашенной. 3.3. В каждой из двух урн содержится 8 чёрных и 2 белых шара. Из второй урны наудачу переложили в первую урну один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый из первой урны шар окажется чёрным. 3.4. В каждом из двух ящиков содержится 5 красных, 3 синих и 2 белых шара. Из первого ящика наудачу переложили во второй ящик один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второго ящика, окажется синим. 3.5. В ящике 100 деталей, из которых 20 изготовлены первым заводом. Первый завод производит 90 % хороших деталей, второй – 80 %. Найти вероятность того, что две извлечённые наудачу детали окажутся хорошими. 3.6. Из урны, содержащей три белых и два черных шара, переложили два вынутых наудачу шара в урну, содержащую четыре белых и четыре черных шара. Найти вероятность вынуть из второй урны белый шар 3.7. Из урны, содержащей n шаров с номерами от 1 до n, последовательно извлекаются два шара, причем первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 появится при втором извлечении. 3.8. На рисунке изображена схема дорог. Туристы вышли из пункта А, выбирая наугад на разветвлении дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт С. 3.9. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат делает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 1000 деталей, со второго -2000, а с третьего - 2500. 3.10. В первой урне находятся 10 шаров, из них 8 белых; во второй – 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. 3.11. Три стрелка производят стрельбу по трем целям. Каждый выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, поражается 8 каждым стрелком с одной и той же вероятностью р. Найти вероятность того, что из трёх целей две будут поражены, а третья нет. 3.12. В двух ящиках содержится по 20 деталей, причем из них в первом – 17, а во втором -15 стандартных деталей. Из второго ящика извлечена наудачу одна деталь и переложена в первый ящик. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из первого ящика будет стандартной. 3.13. Наборщик пользуется двумя кассами. В первой кассе -90 %, а во второй – 80 % отличного шрифта. Найти вероятность того, что любая извлеченная литера из наудачу взятой кассы будет отличного качества. 3.14. Имеются 5 урн: в двух урнах – по 2 белых и 1 черному шару, в одной – 10 черных шаров, и ещё в двух – по 3 белых и 1 черному шару. Найти вероятность того, что вынутый из наудачу взятой урны шар окажется белым. 3.15. При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в отношении При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9; средний – 0,3; мелкий – 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьёт её? 3.16. При передаче сообщения сигналами « точка» и «тире» эти сигналы встречаются в отношении . Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 0,4 сообщений «точка» и сообщений «тире». Найти вероятность того, что произвольный из принятых сигналов не искажен. 3.17. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Найти вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов. 3.18. Частица пролетает мимо трёх счетчиков, причем она может попасть в каждый из них с вероятностями 0,3; 0,2; 0,4. В свою очередь, если частица попадает в первый счетчик, то она регистрируется с вероятностью 0,6; во второй – с вероятностью 0,5; в третий – с вероятностью 0,55. Найти вероятность того, что частица будет зарегистрирована. 3.19. В группе 15 студентов. Из них: 5 «отличников», 7 «четверочников» и 3 «троечника». Известно, что «отличник» с вероятностью 0,9 получает на каждом экзамене «отлично» и с вероятностью 0,1 – «хорошо». Аналогично, «четверочник» с вероятностью 0,1 получает «отлично», с вероятностью 0,7 «хорошо» и с вероятностью 0,2 – «удовлетворительно». Наконец, «троечник» получает с вероятностью 0,1 «отлично», с вероятностью 0,2 – «хорошо» и с вероятностью 0,7 – «удовлетворительно». Найти вероятность того, что наудачу взятый студент на экзамене получит «хорошо». 3.20. Для изделия некоторого производства вероятность удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная схема испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какая вероятность того, что изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту? 9 3.21. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода из строя прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,7. Найти вероятность выхода из строя прибора за время t. 3.22. Три завода выпускают одинаковые изделия, причем первый завод производит 50%, второй – 20%, третий – 30% всей продукции. Первый завод выпускает 1% брака, второй -8%, третий – 3%. Какова вероятность, что взятое наудачу изделие окажется стандартным? 3.23. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом, втором, третьем выстрелах соответственно 0,4; 0,5; 0,7. Самолет выходит их строя при одном попадании с вероятностью 0,2; при двух – с вероятностью 0,6; при трех – с вероятностью 1. Найти вероятность того, что после трех выстрелов самолет будет выведен из строя. 3.24. В подразделении имеются пять готовых к пуску ракет трёх типов: А, В и С. Вероятность поражения цели ракетой типа А равна 0,6; ракетой типа В – 0,7 и ракетой типа С – 0,8. По воздушной цели производится один пуск наугад взятой ракеты. Найти вероятность поражения цели, если известно, что из пяти готовых к пуску ракет две ракеты типа А, две ракеты типа В и одна ракета типа С. 3.25. В белом ящике лежат 12 красных и 6 синих одинаковых на ощупь шаров. В желтом ящике лежат 15 красных и 19 синих шаров. Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно трём, то наудачу вынимают шар из белого ящика. Если число выпавших очков не кратно трём, то наудачу вынимают шар из желтого ящика. Какова вероятность того, что вынутый шар красный? 4. Формула Байеса. 4.1. В коробке лежат 9 теннисных мячей, из которых 6 новых. Для первой игры взяли 2 мяча, которые после игры возвратили. Для второй игры также взяли 2 мяча, оказавшиеся новыми. Найти вероятность того, что для первой игры брали 2 старых мяча. 4.2. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно? 4.3. Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два черных и по два белых шара, а в одной - пять белых и один чёрный .шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров? 4.4. Определить вероятность того, что среди 1000 лампочек нет ни одной неисправной, если из взятых наудачу 100 лампочек все оказались 10 исправными. Предполагается, что число неисправных лампочек из 1000 равновозможно от 0 до 5. 4.5. В батарее из 10 орудий одно не пристрелянное. Вероятность попадания из не пристрелянного орудия равна 0,23, а из пристрелянного – 0,73. Произвели один выстрел и промахнулись. Найти вероятность того, что выстрел произведен из не пристрелянного орудия. 4.6. В цехе, изготавливающем болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй и третьей машиной? 4.7. На экзамене предлагаются задачи по трем темам: по первой теме – 15 задач; по второй – 20 задач; по третьей – 25 задач. Вероятность того, что студент сможет решить задачу по первой теме, равна 0,7, по второй – 0,9, по третьей – 0,3. Студент справился с задачей. Какова вероятность того, что ему попалась задача по первой теме? 4.8. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, причем каждый из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого – 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишень обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку. 4.9. Имеются три одинаковые урны: первая содержит 1 белый и 6 черных шаров, вторая -3 белых и 2 черных шаров, третья- 7 белых и 8 черных шаров. Из одной наудачу взятой урны вынут шар. Он оказался белым. Чему равна вероятность того, что шар вынут из первой урны? 4.10. Батарея состоит из трех орудий. Первое орудие пристреляно так, что его вероятность попадания равна 0,2; остальным двум орудиям соответствует вероятность попадания 0,3. Два орудия одновременно произвели по выстрелу, в результате чего цель поражена. Какова вероятность того, что первое орудие стреляло? 4.11. Три завода выпускают одинаковые изделия, причем первый завод производит 50%, второй – 20%, третий – 30% всей продукции. Первый завод выпускает 1% брака, второй -8%, третий – 3%. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что это изделие изготовлено на втором заводе? 4.12. Два охотника одновременно стреляют одинаковыми пулями в медведя. В результате медведь был убит одной пулей. Как охотники должны поделить шкуру медведя, если известно, что вероятность попадания у первого охотника 0,3, а у второго – 0,6? 4.13. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат делает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. С первого автомата поступает 1000 деталей, со второго -2000, а с третьего - 2500. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что эта деталь изготовлена третьим автоматом? 11 4.14. Для изделия некоторого производства вероятность удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная схема испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0,05. Какая вероятность того, что изделие, признанное при проверке стандартным, действительно удовлетворяет стандарту? 4.15. В группе 25 студентов. Из них: 5 «отличников», 17 «четверочников» и 3 «троечника». Известно, что «отличник» с вероятностью 0,9 получает на каждом экзамене «отлично» и с вероятностью 0,1 – «хорошо». Аналогично, «четверочник» с вероятностью 0,1 получает «отлично», с вероятностью 0,7 «хорошо» и с вероятностью 0,2 – «удовлетворительно». Наконец, «троечник» получает с вероятностью 0,1 «отлично», с вероятностью 0,2 – «хорошо» и с вероятностью 0,7 – «удовлетворительно». Наудачу взятый студент на экзамене получил «хорошо». Каковы вероятности того, что 1) этот студент из «отличников»? 2) из «четверочников»? 3) из «троечников»? 4.16. Наборщик пользуется двумя кассами. В первой кассе -90 %, а во второй – 80 % отличного шрифта. Извлеченная литера из наудачу взятой кассы оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что деталь извлечена из второй кассы? 4.17. При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в отношении При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9; средний – 0,3; мелкий – 0,1. Попавший в броню осколок пробил танк. Какова вероятность того, что танк пробит мелким осколком? 4.18. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода из строя прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,7. За время t прибор вышел из строя. Какова вероятность того, что прибор вышел из строя в нормальном режиме? 4.19. В двух ящиках содержится по 20 деталей, причем из них в первом – 17, а во втором -15 стандартных деталей. Из второго ящика извлечена наудачу одна деталь и переложена в первый ящик. Наудачу извлеченная деталь из первого ящика оказалась стандартной. Что вероятнее: переложили в первый ящик стандартную или бракованную деталь? 4.20. В каждой из двух урн содержится 8 чёрных и 2 белых шара. Из второй урны наудачу переложили в первую урну один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Наудачу вынутый из первой урны шар оказался чёрным. Какова вероятность того, что переложили белый шар? 4.21. Сборщик получил три ящика одинаковых деталей: в первом ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных; во втором -50, из них 10 окрашенных; в третьем -30 деталей, из них 15 окрашенных. Извлечённая деталь из наудачу взятого ящика оказалась окрашенной. Какова вероятность, что деталь извлечена из второго ящика? 12 4.22. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Радиолампа проработала заданное число часов. Оценить к какой партии могла принадлежать эта лампа? 4.23. Частица пролетает мимо трёх счетчиков, причем она может попасть в каждый из них с вероятностями 0,3; 0,2; 0,4. В свою очередь, если частица попадает в первый счетчик, то она регистрируется с вероятностью 0,6; во второй – с вероятностью 0,5; в третий – с вероятностью 0,55. Частица зарегистрирована. Какова вероятность того, что она зарегистрирована первым счетчиком? 4.24. При передаче сообщения сигналами « точка» и «тире» эти сигналы встречаются в отношении . Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 0,4 сообщений «точка» и сообщений «тире». Произвольный из принятых сигналов искажен. Что вероятнее –это «точка» или «тире»? 4.25. В каждом из двух ящиков содержится 5 красных, 3 синих и 2 белых шара. Из первого ящика наудачу переложили во второй ящик один шар. Наудачу извлеченный из второго ящика шар, оказался синим. Какова вероятность того, что из первого ящика переложили во второй красный шар? 5. Формула Бернулли. Повторные испытания. 5.1. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того ,что «герб» выпадет: а) три раза; б) менее трёх раз; в) не менее трёх раз. 5.2. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность поражения цели: а) двумя выстрелами; б) хотя бы одним выстрелом. 5.3. В мастерской работает 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,2. Найдите вероятность того, что к обеденному перерыву: а) перегреются 4 мотора; б) перегреются все моторы; в) ни один мотор не перегреется. 5.4. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти что вероятнее: три попадания при четырёх выстрелах или шесть попаданий при восьми выстрелах. 5.5. Событие В наступает в том случае, если событие А появится не менее трёх раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3 и произведено: а) пять независимых опытов; б) семь независимых опытов. 5.5. На отрезок АВ длины а наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем х, а три на расстоянии, большем х. 5.6. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. 13 5.7. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы равна 0,4. Если перегорело не менее двух предохранителей, то прибор требует ремонта. Найти вероятность того, что прибор требует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители перегорают независимо друг от друга. 5.8. Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий. 5.9. Пусть всхожесть ржи составляет 90%. Посеяли 7 семян. Чему равна вероятность того, что взойдут: а) пять; б) менее трех; в) более пяти? 5.10. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8 (ничьи не бывают)? 5.11. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что при 10 испытаниях ровно в 4 испытаниях появится в точности по две «6». 5.12. По цели производится пуск пяти ракет. Вероятность попадания для одной ракеты равна 0,6. Зная, что для поражения цели достаточно двух попаданий, найти вероятность того, что цель будет поражена. 5.13. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Произведено 7 выстрелов. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий. 5.14. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 10 единиц. Каждый из объектов может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что будут потеряны: а) два объекта; б) менее трех объектов; в) хотя бы один объект. 5.15. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. 5.16 Отрезок АВ, длина которого равна 15 см, разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две правее. 5.17. Событие В появится в том случае, если событие А не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. 5.18. Прибор состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов. 5.19. В ящике лежат несколько сотен предохранителей. Половина их изготовлена заводом №1, остальные заводом №2. Наудачу вынули пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что заводом №1 из них изготовлены: а) два; б) менее двух; в) более двух? 14 5.20. 40% шестерен, лежащих в ящике, изготовлены на заводе №1, остальные – на заводе №2. Из ящика взяли наудачу 7 шестерен. Чему равна вероятность того, что заводом №1 из них изготовлены: а) две; б) менее трех; в) более двух? 5.21. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата втрое больше второго. Вероятность изготовления годной детали первым автоматом равна 0,9, а вторым – 0,7. С конвейера наудачу взяты 5 деталей. Найти вероятность того, что 4 из них годные. 5.22. В цеху имеется 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включены 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы. 5.23. 40% изделий предприятия – продукция высшего сорта. Некто приобрёл 6 изделий. Чему равна вероятность того, что а) 4 изделия высшего сорта; б) менее 4 высшего сорта; в) нет изделий высшего сорта. 5.24. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантированного срока 10%. Вычислить вероятность того, что из 10 наблюдаемых телевизоров а) более 8 выдержат гарантийный срок; б) менее 8 выдержат гарантийный срок. 5.25. Производится 6 выстрелов по цистерне с горючим, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Первое попадание дает пробоину и вызывает течь горючего, второе – воспламенение горючего. Найти вероятность того, что цистерна будет подожжена. 6. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Отклонение относительной частоты от вероятности в независимых испытаниях. 6.1. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний постоянна и равна p=0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 раз и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1769 раз. 6.2 Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна p=0,6. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний. 6.3 Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна p=0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 65 раз и не более 90 раз; б) не менее 65 раз; в) не более 64 раз. 6.4 Вероятность поймать рыбу при одном забрасывания спиннинга равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 забрасываний спиннинга десять окажутся удачными. 15 6.5 Вероятность появления события в каждом из 800 независимых испытаний постоянна и равна p=0,4. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от p=0,4 не более, чем на 0,05. 6.6 Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний постоянна и равна p=0,3. Найти вероятность того, что событие произойдет от 250 до 320 раз. 6.7 Вероятность появления события в каждом из 1000 независимых испытаний постоянна и равна p=0,6. Найти вероятность того, что событие появится не менее, чем 580 раз. 6.8 Вероятность появления события в каждом из 700 независимых испытаний постоянна и равна p=0,45. Найти вероятность того, что событие появится в меньшинстве испытаний. 6.9 Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний постоянна и равна p=0,5. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний 6.10 Вероятность появления события в каждом из 800 независимых испытаний постоянна и равна p=0,6. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от вероятности p=0,6 не более, чем на 0,05. 6.11 Найти вероятность того, что при 400 независимых испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2. 6.12 Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз. 6.13 Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,001. 6.14 Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаний. 6.15 Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности равной 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01? 6.16 Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью равной 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях 800 раз. Определить вероятность того, что относительная частота появления события А отклонится от вероятности p=0,6 не более, чем на 0,05. 6.17 Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью равной 0,4. Опыт повторяют в неизменных условиях 800 раз. Определить вероятность того, что событие А произойдет от 300 до 400 раз 16 6.18 Вероятность появления события в каждом из 1000 независимых испытаний равна 0,4. Найти , какое отклонение относительной частоты появления события от p=0,4 можно ожидать с вероятностью 0,9. 6.20 Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний постоянна и равна p=0,8. Найти вероятность того, что событие произойдет от 600 до 700 раз. 6.21 Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью равной 0,8. Опыт повторяют в неизменных условиях 900 раз. Определить вероятность того, что относительная частота появления события А отклонится от вероятности p=0,8 не более, чем на 0,1 6.22 Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью равной 0,7. Опыт повторяют в неизменных условиях 700 раз. Определить вероятность того, что относительная частота появления события А отклонится от вероятности p=0,7 не более, чем на 0,05. 6.23 Вероятность появления события в каждом из 500 независимых испытаний постоянна и равна p=0,5. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний 6.24 Вероятность появления события в каждом из 300 независимых испытаний постоянна и равна p=0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 100 раз и не более 200 раз; б) не менее 100 раз; в) не более 99 раз. 6.25 Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью равной 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях 800 раз. Определить вероятность того, что относительная частота появления события А отклонится от вероятности p=0,6 не более, чем на 0,05. Случайные величины. Задача №7. Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны возможные значения хi случайной величины Х, а во второй строке – вероятности рi возможных значений хi.. Требуется: а) найти функцию распределения F(x) и схематично построить её график; б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. № 1. xi pi 10 0,1 12 0,2 20 0,1 25 0,2 30 0,4 xi pi 30 0,1 40 0,2 50 0,5 60 0,1 70 0,1 № 2. № 3. xi pi 8 0,05 12 0,05 16 0,2 20 0,3 24 0,3 28 0,1 17 № 4. xi pi 1 0,1 5 0,1 8 0,2 10 0,3 12 0,2 14 0,1 № 5. xi pi -5 0,1 0 0,2 5 0,1 10 0,2 15 0,4 № 6. xi pi -10 0,2 -5 0,05 5 0,05 10 0,2 15 0,3 20 0,2 xi pi -14 0,1 -7 0,3 7 0,3 14 0,2 21 0,05 28 0,05 № 7. № 8. xi pi 10 0,1 12 0,1 20 0,2 25 0,2 30 0,4 № 9. xi pi -6 0,4 -3 0,2 -1 0,1 2 0,1 4 0,1 6 0.1 № 10. xi pi -2 0,1 2 0,2 5 0,1 7 0,2 10 0,4 № 12. xi pi 4 0,3 6 0,2 8 0,1 10 0,1 12 0,2 14 0,1 №т13. xi pi 10 0,4 12 0,2 20 0,1 25 0,2 30 0,1 № 14. xi pi -2 0,3 -1 .0,3 5 0,2 8 0,1 10 0,05 13 0,05 № 15. xi pi 10 0,4 12 0,2 20 0,1 25 0,2 30 0,1 № 16. xi pi 0 0,3 2 0,2 5 0,1 7 0,05 9 0,05 10 0,3 № 17. xi pi 10 0,2 12 0,1 20 0,1 25 0,4 30 0,2 № 18. xi pi -3 0,1 2 0,2 4 0,3 7 0.2 8 0,1 9 0,1 18 № 19. xi pi 10 0,1 11 0,2 16 0,1 20 0,2 25 0,4 № 20. xi pi -2 0,05 -1 0,05 2 0,10 5 0,2 6 0,3 8 0,3 №21. xi pi 4 0,1 8 0,2 10 0,1 12 0,2 15 0,4 № 22. xi pi 2 0,4 3 0,3 5 0,1 6 0.1 8 0,05 10 0,05 № 23. xi pi -10 0,1 6 0,2 12 0,1 15 0,2 18 0,4 № 24. xi pi -8 0,1 -4 0,2 1 0,3 3 0.1 4 0,2 8 0,1 № 25. xi pi 7 0,1 10 0,2 12 0,1 15 0,2 20 0,4 Задача № 8. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: х1 с вероятностью р1 и х2 с вероятностью р2, причем х1 < х2. Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) известны. 1. р1= 0,9, М(Х)= 4,1, D(X)= 0,09. 2. р1= 0,7, М(Х)= 3,3, D(X)= 0,21. 3. р1= 0,1, М(Х)= 5,8, D(X)= 0,36. 4. р1= 0,2, М(Х)= 2,6, D(X)= 0,64. 5. р1= 0,1, М(Х)= 1,9, D(X)= 0,09. 6. р1= 0,3, М(Х)= 3,1, D(X)= 1,89. 7. р1= 0,5, М(Х)= 3, D(X)= 1. 8. р1= 0,4, М(Х)= 2,6, D(X)= 0,24. 9. р1= 0,6, М(Х)= 3,2, D(X)= 2,16. 10. р1= 0,8, М(Х)= 3,4, D(X)= 0,64. 11. р1= 0,1, М(Х)= 2,5, D(X)= 2,25. 12. р1= 0,2, М(Х)= 3,4, D(X)= 1,44. 13. р1= 0,3, М(Х)= 2,4, D(X)= 0,84. 14. р1= 0,4, М(Х)= 2,6, D(X)= 0,24. 19 15. р1= 0,5, 16. р1= 0,6, 17. р1= 0,7, 18. р1= 0,2, 19. р1= 0,2, 20. р1= 0,7, 21. р1= 0,4, 22. р1= 0,6, 23. р1= 0,8, 24. р1= 0,9, 25. р1= 0,7, М(Х)= 3, М(Х)= 2,8, М(Х)= 1,6, М(Х)= 2,2, М(Х)= 1,2, М(Х)= -1,5, М(Х)= 1,8, М(Х)= 1,8, М(Х)=-2,2, М(Х)= -1,5, М(Х)=-1,2, D(X)= 1. D(X)= 0,96. D(X)= 0,84. D(X)= 2,56. D(X)= 2,56. D(X)= 5,25. D(X)= 2,16. D(X)= 0,96. D(X)= 2,56. D(X)= 2,25. D(X)= 7,56. Задача № 9. . Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x). Требуется: 1) найти плотность распределения вероятностей f(x); 2) схематично построить графики F(x) и f(x); 3) найти математическое ожидание и дисперсию X. 0, при x 0, 1. F ( x) sin 2 x, при 0 x , 4 1, при x . 4 x 0, 0 при 3 2. F ( x) x 2 , при 0 x 1 1, при x 1. x 0, 0, при 2 x 3. F ( x) , при 0 x 4, 16 x 4. 1, при 0, при x 0, 4. F ( x) 2 sin x, при 0 x , 4 1, при x . 4 при 0, 5. F ( x) cos 3x, при 1, при x 2 , 2 x , 2 3 2 x . 3 x 0, 0, при 3 x 7. F ( x) , при 0 x 2, 8 x 2. 1, при при 0, 9. F ( x) 2 cos x, при 1, при 3 , 2 3 5 x , 2 3 5 x . 3 x при x 1, 0, 6. F ( x) x 1, при 1 x 2, 1, при x 2. 0, при x 0, 8. F ( x) 1 cos x, при 0 x , 2 1, при x . 2 0, 10. F ( x) ( x 2) 2 , 1, x 2, 2 x 3, x 3. 20 при x 1, 0, x 1 , при 1 x 1, 11. F ( x) 2 при x 1. 1, x 0, 0, при 2 13. F ( x) x , при 0 x 1, 1, при x 1. x 0, 0, при x 15. F ( x) , при 0 x 4, 4 x 4. 1, при 17. x 0, 0, при 2 x F ( x) , при 0 x 2, 4 x 2. 1, при x 0, 0, при x 19. F ( x) , при 0 x 5, 5 x 5. 1, при при x 1, 0, x 1 , при 1 x 3, 12. F ( x) 2 при x 3. 1, x 0, 0, при x 14. F ( x) , при 0 x 3, 3 x 3. 1, при x 0, 0, при 2 x 16. F ( x) , при 0 x 3, 9 x 3. 1, при 0, при x 0, 18. F ( x) sin x, при 0 x 2, 1, при x . 2 при x , 0, 2 20. F ( x) cos x, при x 0, 2 1 , при x 0. Задача №10. Задана непрерывная случайная величина Х своей плотностью распределения вероятностей f(x). Требуется: 1) определить коэффициент А; 2) найти функцию распределения F(x); 3) схематично построить графики функций f(x) и F(x); 4) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х; 5) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a,b). A cos 2 x при 4 x 4 , 1. f ( x) 0 при x . 4 при x 0, 0 2. f ( x) x при x 0. Ae Ax 2 при x 3, 3. f ( x) при x 3. 0 0, при x 3, A , при 3 x 3, 4. f ( x) 2 9 x 0, при x 3. a 6 , b 2. a 1, b . a 1, b 2. a0 3 b . 2 21 5. A sin 2 x, f ( x) 0, 0 x при x при 2 2 a и x 0. A e x , при x 0, 6. f ( x) при x 0. 0, 0, при x 0, 7. f ( x) A cos x, при 0 x , 2 0, при x . 2 0, при x 1, 1 8. f ( x) A ( x ), при 1 x 2, 2 0 , при x 2. при x , 0, 6 x , 9. f ( x) A sin 3x, при 6 3 0, при x . 3 0, A 10. f ( x) 2 2 , c x 0, 0, 11. f ( x) A ( x 2 2 x), 0, при 0, 12. f ( x) A sin x, при 0, при , 6 ,b 6 . a=- , b=-1. 4 b a= , a a 1 , 4 4 . 3 3 b . 4 , b 3 . x c, c x c, c b . 2 a 0, x c. при x 0, при 0 x 1, при a 0,5, b 0,75. x 1. x 0, 0 x , x . 0, при x 0, 13. f ( x) A cos 2 x, при 0 x , 4 0, при x . 4 0, при x 2, 9 14. f ( x) Ax 2 x 6, при 2 x 4, 2 0 , при x 4. a 2 , b . a 0, b а 3, в 4. 6 . 22 15. 16. 17. 18. 19. 20. 0, при x 1, A f ( x) , при 1 x 1, 2 1 x 0, при x 1. 0, при x 0, f ( x) A cos 3x, при 0 x , 6 0, при x . 6 при x 1, 0, f ( x) A ln x, при 1 x e, 0, при x e. 0, при x 1, 2 f ( x) A ( x 2) , при 1 x 3, 0, при x 3. при x 0, 0, x f ( x) A e , при 0 x 1, 0, при x 1. 0, при x 2, A f ( x) , при 2 x 2, 2 4 x 0, при x 2. a 0, 1 b . 2 a 0, b a 1, b 2. a 2, b 3. 12 . a 0, 1 b . e a 0, b 1. Задача №11. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а (математическое ожидание) и 𝝈 (среднее квадратическое отклонение). Требуется: а) написать функцию плотности вероятности и схематически изобразить её график; б) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α,β); в) найти вероятность того, что Х отклонится по абсолютному значению от а не более, чем на δ; г) применяя правило «трех сигм», найти границы, в которых заключены значения случайной величины Х. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. а=7, а=6, а=5, а=4, а=3, а=2, а=1, а=9, 𝝈=2, 𝝈=1 𝝈=3, 𝝈=2, 𝝈=1, 𝝈=4, 𝝈=5, 𝝈=2, α=6, α=5, α=-1, α=0, α=2, α=-5, α=-8, α=6, β=10, β=7, β=10, β=8, β=4, β=5, β=9, β=10, δ=3. δ=2. δ=1. δ=2. δ=4. δ=2. δ=3. δ=1. 23 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. а=8, а=7, а=10, а=12, а=-2, а=-3, а=-4, а=-5, а=-6, а=-7, а=-8, а=2, а=3, а=4, а=5, а=6, а=7, 𝝈=3, 𝝈=4, 𝝈=5, 𝝈=6, 𝝈=1, 𝝈=2, 𝝈=3, 𝝈=4, 𝝈=5, 𝝈=6, 𝝈=5, 𝝈=4, 𝝈=3, 𝝈=2, 𝝈=1, 𝝈=2, 𝝈=3, α=2, α=-2, α=0, α=-2, α=-1, α=-6, α=-6, α=0, α=-10, α=-15, α=-16, α=-6, α=0, α=0, α=4, α=6, α=1, β=10, β=14, β=10, β=20, β=0, β=1, β=2, β=5, β=0, β=5, β=2, β=10, β=10, β=8, β=6, β=10, β=11, δ=2. δ=3. δ=4. δ=2,5. δ=3. δ=2. δ=3. δ=2. δ=1. δ=1,5. δ=2. δ=2,5. δ=3. δ=1. δ=2. δ=3. δ=4. 24 Элементы математической статистики. Задача №12 По данному распределению выборки найти эмпирическую функцию и построить её график: №1 xi ni 2 1 5 3 7 4 10 2 №2 xi ni 1 1 4 4 8 4 10 1 №3 xi ni 10 1 6 3 4 4 2 2 №4 xi ni 2 4 5 4 7 1 10 1 №5 xi ni -2 1 0 3 4 4 6 2 №6 xi ni -4 1 -2 3 0 4 2 2 №7 xi ni 2 3 5 3 7 2 8 2 №8 xi ni 1 2 2 3 4 3 5 2 №9 xi ni 0 2 3 3 5 3 10 2 № 10 xi ni -1 2 0 4 1 4 4 2 № 11 xi ni -2 1 0 4 1 2 4 1 № 12 xi ni -2 1 -1 4 0 2 2 1 25 № 13 xi ni -5 4 -3 8 1 2 4 1 № 14 xi ni -4 6 -2 8 1 4 5 2 № 15 xi ni 2 8 4 6 6 4 8 2 № 16 xi ni -4 2 -2 4 1 6 3 8 № 17 xi ni -3 4 -1 2 1 8 3 6 № 18 xi ni 2 5 3 7 5 6 7 2 № 19 xi ni 1 2 2 7 3 6 4 3 № 20 xi ni -1 1 2 8 4 7 6 2 № 21 xi ni -2 8 -1 4 1 4 4 2 № 22 xi ni 1 4 3 9 5 3 7 2 № 23 xi ni 0 1 2 8 4 6 6 3 № 24 xi ni -1 12 1 7 3 4 5 2 № 25 xi ni -3 7 -1 2 1 4 4 12 26 Задача №13 1) По данному распределению выборки найти несмещённую оценку генеральной средней; 2) по данному распределению выборки найти несмещённую оценку генеральной дисперсии: xi ni xi ni 2 1 1 1 5 3 4 4 7 4 8 4 10 2 10 1 №3 xi ni 10 1 6 3 4 4 2 2 №4 xi ni 2 4 5 4 7 1 10 1 №5 xi ni -2 1 0 3 4 4 6 2 №6 xi ni -4 1 -2 3 0 4 2 2 №7 xi ni 2 3 5 3 7 2 8 2 №8 xi ni 2 1 5 2 7 4 10 3 №9 xi ni 0 2 3 3 5 3 10 2 № 10 xi ni -1 2 0 4 1 4 4 2 № 11 xi ni 1 2 3 4 5 4 9 2 № 12 xi ni 3 2 6 4 9 2 14 4 № 13 xi ni 4 4 5 4 9 2 12 2 №1 №2 27 № 14 xi ni 2 1 6 4 10 6 16 2 № 15 xi ni -3 2 3 6 9 3 15 1 № 16 xi ni -11 1 -5 4 4 4 11 1 № 17 xi ni -7 2 -4 6 3 1 4 1 № 18 xi ni 3 2 7 2 8 4 10 4 № 19 xi ni 4 3 6 7 10 4 12 1 № 20 xi ni 2 7 5 4 8 3 11 1 № 21 xi ni 3 2 7 4 9 4 12 2 № 22 xi ni 1 4 2 4 5 2 8 2 № 23 xi ni 0 1 3 5 5 4 9 2 № 24 xi ni 1 2 2 5 4 2 7 1 № 25 xi ni -1 1 2 2 5 4 9 5 Задача №14 Отдел технического контроля провел выборку 10-ти изделий. Результаты выборочной проверки некоторой величины Х приведены в таблице. Предполагая, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения вероятностей, оценить математическое ожидание 28 величины Х при помощи доверительного интервала с доверительной вероятностью 0,95. №1 x1 3,1 x2 5,2 x3 3,9 x4 4,4 x5 5,3 x6 5,9 x7 4,2 x8 4,6 x9 4,8 x10 3,9 №2 x1 5,2 x2 4,2 x3 3,6 x4 5,4 x5 3,7 x6 5,1 x7 5,2 x8 4,8 x9 4,1 x10 4,3 №3 x1 3,9 x2 4,7 x3 4,9 x4 4,0 x5 5,1 x6 4,9 x7 3,4 x8 3,5 x9 3,8 x10 4,8 №4 x1 4,4 x2 3,2 x3 5,2 x4 3,8 x5 4,9 x6 3,6 x7 3,8 x8 4,9 x9 3,7 x10 4,2 №5 x1 5,1 x2 3,9 x3 4,9 x4 4,7 x5 4,3 x6 3,9 x7 3,7 x8 5,6 x9 5,0 x10 4,9 №6 x1 3,1 x2 5,7 x3 4,8 x4 3,4 x5 5,2 x6 5,3 x7 4,7 x8 3,6 x9 4,1 x10 3,7 №7 x1 5,8 x2 4,5 x3 4,9 x4 4,0 x5 4,9 x6 3,8 x7 5,2 x8 4,7 x9 3,6 x10 4,9 №8 x1 4,2 x2 3,8 x3 5,4 x4 3,2 x5 4,8 x6 4,9 x7 3,8 x8 3,3 x9 5,5 x10 5,2 №9 x1 4,6 x2 4,4 x3 4,7 x4 4,4 x5 4,3 x6 5,4 x7 5,1 x8 4,7 x9 4,5 x10 4,3 № 10 x1 3,1 x2 5,2 x3 3,9 x4 4,4 x5 5,3 x6 5,9 x7 4,2 x8 4,6 x9 4,8 x10 3,9 29 № 11 x1 3,1 x2 5,2 x3 3,9 x4 4,4 x5 5,3 x6 5,9 x7 4,2 x8 4,6 x9 4,8 x10 3,9 № 12 x1 3,1 x2 5,2 x3 3,9 x4 4,4 x5 5,3 x6 5,9 x7 4,2 x8 4,6 x9 4,8 x10 3,9 № 13 x1 5,1 x2 7,2 x3 5,9 x4 6,4 x5 7,3 x6 7,9 x7 6,2 x8 6,6 x9 6,8 x10 5,9 № 14 x1 3,6 x2 5,7 x3 4,4 x4 4,9 x5 5,8 x6 6,4 x7 4,7 x8 5,1 x9 5,3 x10 4,4 № 15 x1 1,6 x2 3,7 x3 2,4 x4 2,9 x5 3,8 x6 4,4 x7 2,7 x8 3,1 x9 3,3 x10 2,4 № 16 x1 5,3 x2 7,4 x3 6,1 x4 6,6 x5 7,5 x6 8,1 x7 6,3 x8 6,8 x9 7,0 x10 6,2 № 17 x1 4,1 x2 6,2 x3 4,9 x4 5,4 x5 6,3 x6 6,9 x7 5,2 x8 5,6 x9 5,8 x10 4,9 № 18 x1 1,1 x2 3,2 x3 1,9 x4 2,4 x5 3,3 x6 3,9 x7 2,2 x8 2,6 x9 2,8 x10 1,9 № 19 x1 4,6 x2 6,7 x3 5,4 x4 5,9 x5 6,8 x6 7,4 x7 5,7 x8 6,1 x9 6,3 x10 5,4 № 20 x1 3,9 x2 4,8 x3 4,6 x4 4,2 x5 5,0 x6 5,3 x7 4,4 x8 3,8 x9 5,2 x10 3,1 № 21 x1 6,4 x2 8,5 x3 7,2 x4 7,7 x5 8,6 x6 9,1 x7 7,5 x8 7,9 x9 8,1 x10 7,2 30 № 22 x1 1,1 x2 3,2 x3 2,9 x4 3,4 x5 4,3 x6 4,9 x7 3,2 x8 3,6 x9 3,8 x10 2,9 № 23 x1 2,0 x2 4,1 x3 2,8 x4 3,3 x5 4,2 x6 4,8 x7 3,1 x8 3,5 x9 3,7 x10 3,8 № 24 x1 5,6 x2 7,7 x3 8,4 x4 6,9 x5 7,8 x6 8,4 x7 6,7 x8 7,1 x9 7,3 x10 6,4 № 25 x1 7,1 x2 8,2 x3 6,9 x4 7,4 x5 8,3 x6 8,9 x7 7,2 x8 7,6 x9 7,8 x10 6,9
