О.В. ФАДЕЕВА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Самара Самарский государственный технический университет 2020 0 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Фадеева ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Самара Самарский государственный технический университет 2020 1 Печатается по решению ученого совета СамГТУ (протокол № 8 от 28.03.2019 г.) УДК 519.2 (075.8) ББК 22.171Я73 Т 338 Фадеева О.В. Теория вероятностей: учебное пособие / О.В. Фадеева. – Самара: СамГТУ, 2020. – 148 с. Является разработкой для аудиторных практических занятий и самостоятельной работы по теории вероятностей. Первая часть содержит основные понятия и теоремы теории вероятностей: каждая тема включает краткие теоретические сведения, расчетные формулы, методические указания и примеры решения задач. Далее следует система упражнений по заявленной теме: задачи для аудиторного занятия и задачи для самостоятельной работы. В конце каждой главы приведен перечень контрольных вопросов и пример контрольного теста по изученной теме. Вторая часть включает в себя 30 вариантов индивидуальных контрольных работ по двум разделам, предназначенных для самостоятельного решения. УДК 519.2 (075.8) ББК 22.171Я73 Т 338 Рецензент – к. ф.-м. н., доцент кафедры высшей математики СамГТУ Яковлева Ю.О. О.В. Фадеева, 2020 Самарский государственный технический университет, 2020 2 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ............................................................................................................ 4 Введение .................................................................................................................. 5 Глава 1. Случайные события .................................................................................. 6 1.1. Классическая и геометрическая вероятность. Элементы комбинаторики ............................................................................... 6 1.2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей ........................................... 11 1.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса............................................ 18 1.4. Повторение независимых испытаний ............................................................ 22 Контрольные вопросы к главе 1 ........................................................................... 29 Образец контрольного теста по теме «Случайные события» ............................. 30 Глава 2. Случайные величины .............................................................................. 34 2.1. Дискретные случайные величины. Закон распределения и числовые характеристики ....................................... 34 2.2. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности. Числовые характеристики .............................................................................. 42 2.3. Некоторые типичные законы распределения непрерывных случайных величин ................................................................. 49 2.3.1. Равномерный закон распределения ............................................................ 50 2.3.2. Показательный закон распределения ......................................................... 54 2.3.3. Нормальный закон распределения ............................................................. 56 Контрольные вопросы к главе 2 ........................................................................... 62 Образец контрольного теста по теме «Случайные величины» ........................... 63 Индивидуальные задания ..................................................................................... 66 Ответы .................................................................................................................. 117 Заключение .......................................................................................................... 141 Библиографический список ................................................................................ 142 Приложения ......................................................................................................... 143 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие содержит методические указания и контрольные задания по курсу «Теория вероятностей» и предназначено для студентов дневного отделения, а так же может быть использовано для самостоятельной работы студентов заочной формы обучения. В начале каждого пункта указаны разделы рекомендуемой литературы в соответствии с предложенным библиографическим списком, приведены основные теоретические сведения и расчетные формулы, методические указания и примеры решения задач. К каждому подразделу приведены подборки задач – для занятий в аудитории и для самостоятельного закрепления изученного материала. В конце каждой главы приведены контрольные вопросы и образец контрольного теста по указанному разделу. Приложения содержат необходимые справочные материалы. Во второй части пособия приведены варианты индивидуальных контрольных работ по теории вероятностей по двум разделам – «Случайные события» и «Случайные величины». Они предназначены для активизации самостоятельной работы студентов и более глубокого изучения учебного материала. Индивидуальные задания рекомендованы либо для итогового контроля с последующей защитой, либо для подготовки к зачету или экзамену по указанной дисциплине (на усмотрение преподавателя). Изложенный материал даст возможность преподавателям вести практические занятия по заявленной дисциплине насыщенно и интенсивно, а студентам – изучить материал и подготовиться к промежуточной аттестации по указанному разделу высшей математики. 4 ВВЕДЕНИЕ Данное учебное пособие представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей и предназначено для проведения практических занятий по темам этого раздела и самостоятельной работы студентов. В начале каждого параграфа приведены основные теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач. Далее следует система упражнений по заявленной теме: задачи для аудиторного занятия и задачи для самостоятельной работы. Последние рекомендованы для домашнего задания и осуществления преподавателем текущего контроля. Ответы ко всем приведенным задачам указаны в конце пособия. Во всех параграфах упражнения рассредоточены по отдельным подтемам, внутри которых выдерживается линия нарастания трудности. Среди них есть как задачи, предназначенные для приобретения навыков применения готовых формул и теорем, так и более сложные задачи, решение которых требует некоторой изобретательности. Во второй части задачника приведены варианты индивидуальных заданий по теории вероятностей по двум разделам – «Случайные события» и «Случайные величины». Они предназначены для активизации самостоятельной работы студентов и более глубокого изучения учебного материала. Индивидуальные задания рекомендованы либо для итогового контроля с последующей защитой, либо для подготовки к аудиторным контрольным работам по соответствующим темам (на усмотрение преподавателя). Данный задачник включает более 500 задач, которые прошли тщательный отбор и были апробированы в ходе учебного процесса. Автор надеется, что он будет полезен как преподавателям, так и студентам, изучающим этот раздел математики. 5 ГЛАВА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 1.1. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Для более глубокого понимания материала советуем изучить рекомендованные разделы учебной литературы (нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия). Литература: [1] гл. 2, п. 2.1, 2.2; [3] гл. 1, § 3, 4; [7] гл. 1, п. 1.7, 1.8, 1.10. Событием назовем всякий возможный факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Различают три вида событий: а) невозможное – событие, которое в результате опыта произойти не может; б) достоверное – событие, которое в результате опыта произойдет обязательно; в) случайное – событие, которое в результате опыта может произойти, а может не произойти. В классической модели вероятность события А равна: m P( A) , (1.1) n где m – число исходов опыта, благоприятствующих событию А , n – общее число всех равновозможных исходов опыта. Из определения следует, что если: а) событие А – невозможное, то его вероятность P ( A) 0 ; б) событие А – достоверное, то его вероятность P( A) 1 ; в) событие А – случайное, то его вероятность 0 P( A) 1 . При вычислении вероятности часто используют известные из комбинаторики понятия: правила сложения и умножения, а так же такие виды комбинаций, как перестановки, размещения, сочетания. Правило суммы. Если объект можно выбрать n1 способами, а объект можно выбрать n2 способами, то выбрать объект или можно n1 n2 способами. Правило произведения. Если объект можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать n2 способами, то выбрать пару объектов , можно n1 n2 способами. Эти правила можно распространить на любое конечное число объектов. Перестановки из n элементов – комбинации из n элементов, отличающиеся только порядком их расположения. 6 Число перестановок из n элементов можно вычислить по формуле: (1.2) Pn n!. Заметим, что n! 1 2 3 ... n . Размещения из n элементов по m – комбинации по m элементов, отличающиеся не только составом элементов, но и их порядком. Число размещений из n элементов по m можно вычислить по формуле: n! . (1.3) Anm (n m)! Заметим, что Аn0 1, Аn1 n . Сочетания из n элементов по m – комбинации по m элементов, отличающиеся только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m можно вычислить по формуле: n! . (1.4) C nm m!(n m)! Заметим, что Cn0 Cnn 1, Cn1 Cnn1 n, Cnm Cnnm . Классическая вероятность предполагает, что число исходов опыта конечно. Для случая бесконечного числа исходов опыта введем понятие геометрической вероятности – вероятности попадания точки в заданную область. В геометрической модели вероятность события А равна: m( d ) , (1.5) P ( A) m( D ) где m(d ) – мера множества, в которое должна попасть точка, m(D) – мера множества, в которое может попасть точка. Замечание (для тех, кого смутило словосочетание «мера множества»). Если множество одномерное, то его мерой считают его длину, и тогда: L(d ) P( A) ; (1.6) L( D) если множество двумерное, то его мерой считают его площадь, и тогда: S (d ) P( A) ; (1.7) S ( D) если множество трехмерное, то его мерой считают его объем, и тогда: V (d ) P ( A) . (1.8) V ( D) Пример 1. Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король? (Считать, что в колоде 36 карт). Решение. Пусть событие А – среди четырех выбранных карт один туз и один король. Вычислим общее число равновозможных исходов опытов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? 7 Ясно, что порядок извлечения карт из колоды НЕ ВАЖЕН, а значит: 36! 33 34 35 36 n C364 58905. 4! 32! 1 2 3 4 Найдем число благоприятствующих исходов (помня о том, что в выборке должен быть один туз, один король и (!) две другие карты). С 41 4 способами можно извлечь одного туза (из четырех тузов), С 41 4 способами можно выбрать одного короля (из четырех королей), 28! 27 28 С282 378 способами можно извлечь две другие карты 2! 26! 2 (ведь НЕ тузов и НЕ королей в колоде 28, да?!). По правилу умножения комбинаций m С41 С41 С282 4 4 378 6048 . m 6048 96 Тогда, согласно формуле (1.1), P( A) 0,1027 . n 58905 935 Пример 2. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «ДВА»? Решение. Пусть событие А – получено слово «ДВА». Вычислим общее число равновозможных исходов опытов. Сколькими слов из трех букв можно составить из пяти карточек? Обратим внимание на то, что при составлении слов порядок извлечения карточек ВАЖЕН, а значит, общее число исходов испытания 5! n A3 3 4 5 60 . 5 2! Число благоприятных исходов при этом m=1, так как слово «ДВА» может получиться единственным образом. m 1 Итак, P( A) 0,017 . n 60 Пример 3. На плоскости начерчены две концентрические окружности с радиусами 4 и 5 см соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное этими окружностями. Решение. Число исходов данного опыта – бесконечно, поэтому следует использовать формулу геометрической вероятности (1.7): S (d ) P ( A) , S ( D) где D – большой круг, d – кольцо, образованное окружностями. S (d ) 52 4 2 9 Тогда P( A) 0,36. S ( D) 52 25 8 Задачи для аудиторного занятия 1. Найдите вероятности следующих событий при бросании игральной кости: а) A – выпало 2 очка; б) B – выпало 5 очков; в) C – выпало четное число очков; г) D – число выпавших очков кратно трем; д) E – число выпавших очков превышает 6; е) F – число выпавших очков не превышает 6; ж) H – выпало 8 очков. 2. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что на выпавших гранях: а) сумма очков кратна 3; б) произведение очков равно 4? 3. Шестеро студентов дежурят 6 дней. Сколькими способами можно составить график дежурств, если каждый должен дежурить один день? 4. Хор состоит из 10 человек. Сколько дуэтов (квартетов) можно составить из участников этого хора? 5. Сколько обыкновенных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11? 6. Из колоды в 36 листов наудачу берут 4 карты. Сколькими способами это можно сделать? В скольких случаях среди выбранных карт будет: а) только два туза; б) одна дама и один король? 7. В урне лежат 4 белых и 6 черных шаров. Наугад вынули 4 шара. Какова вероятность, что среди вынутых шаров: а) все черные; б) только 2 черных? 8. В партии, состоящей из 16 деталей, – 4 бракованных. Для контроля случайным образом выбирают 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди них: а) 3 бракованные; б) все бракованные. 9. Из коробки с 15 шарами, среди которых 3 зеленых, 5 красных и 7 синих шаров, наудачу выбирают 8 шаров. Какова вероятность того, что вынули 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шара? 10. В ящике 12 писем, из которых 7 городских и 5 иногородних. Какова вероятность, что из четырех вынутых наудачу писем окажутся: а) только одно городское; б) городских и иногородних поровну? 9 11. Студент выучил 25 из 30 вопросов программы. Его экзаменационный билет состоит из трех вопросов. Найдите вероятность того, что этот студент получит: а) оценку «отлично» (ответит на все три вопроса); б) оценку «хорошо» (ответит только на два вопроса); в) оценку «неудовлетворительно» (не ответит ни на один вопрос). 12. Найдите вероятность с первой попытки ввести верный пин-код, состоящий из четырех цифр, если абонент забыл три последние цифры. 13. Слово «КНИГА» разрезали на буквы и перемешали. Ребенок, не умеющий читать, выложил буквы в ряд в порядке их появления. Какова вероятность того, что получится это же слово? 14. Слово «САМАРА» разрезали на буквы и, перемешав, выложили в ряд в порядке их появления. Какова вероятность того, что получится то же слово? 15. Слово «ЛЕСТНИЦА» разрезали на буквы, наугад выбрали 5 букв и выложили их в ряд в порядке их появления. Какова вероятность того, что при этом получится слово «СТЕНА»? «ТЕННИС»? 16. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 3, но не дойдя до отметки 7 часов. 17. Наудачу выбраны два положительных числа, каждое из которых не больше трех. Найдите вероятность того, что их сумма не превышает 1,5. 18. На плоскость с нанесенной на нее квадратной сеткой со стороной 4 см случайным образом бросают монету диаметром 2 см. Какова вероятность того, что монета пересечет линию? 19. Два теплохода в течение суток должны подойти к одному причалу. Найдите вероятность того, что ни одному из судов не придется ждать освобождения причала, если стоянка первого теплохода длится два часа, а второго – три часа. Задачи для самостоятельного решения 1. Определите вероятности следующих событий при вынимании одной карты из колоды в 54 листа: а) A – появление карты черной масти; б) B – появление карты червонной масти; в) C – появление картинки; г) D – появление туза; д) E – появление джокера; е) F – появление пиковой дамы. 10 2. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей: а) разность очков, выпавших на верхних гранях, равна трем; б) сумма выпавших очков больше их произведения. 3. В ящике лежат 12 белых и 8 красных шаров. Наудачу выбирают 4 шара. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров: а) три красных; б) два красных; в) нет красных? 4. В партии, состоящей из 35 деталей, – 5 бракованных. Для контроля случайным образом выбирают 5 деталей. Найдите вероятность того, что среди выбранных: а) только 2 бракованные; б) нет бракованных. 5. Набирая номер телефона, абонент забыл три его последние цифры и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что он набрал верный номер. 6. На пяти одинаковых внешне карточках написаны буквы А, В, Г, Л, О. Какова вероятность, разложив эти карточки в ряд в порядке их появления, получить слово «ВОЛГА»? Какова вероятность, выбрав наугад три карточки и разложив их в ряд в порядке появления, получить слово «ГОЛ»? 7. Какова вероятность того, что при выборе четырех букв из букв слова «РЕМОНТ» получится слово «МОРЕ»? «НОМЕР»? 8. В равносторонний треугольник со стороной a вписан круг. Какова вероятность того, что наудачу вброшенная в треугольник точка не попадет в круг? 9. Коэффициенты приведенного квадратного уравнения – положительные числа, каждое из которых не превышает 4. Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут мнимыми числами? 1.2. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Для более глубокого понимания материала советуем изучить рекомендованные разделы учебной литературы (нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия). Литература: [3] гл. 2, § 1-3, гл. 3, § 1-4; [7] гл. 1, п. 1.15, 1.16; [9]. События называют независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события называют зависимыми. 11 События называют несовместными, если наступление одного из них исключает появление других событий в данном опыте. В противном случае события называют совместными. Событие, состоящее в ненаступлении события А , называется противоположным событию А (обозначается А ). Суммой событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Теорема (сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность наступления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.: P( A B) P( A) P( B) . (1.9) Теорема (сложения вероятностей противоположных событий). Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.: P ( A) P ( A) 1 . (1.10) Теорема (сложения вероятностей совместных событий). Вероятность наступления суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.: P( A B) P( A) P( B) P( A B) . (1.11) Теорема (умножения вероятностей независимых событий). Вероятность наступления произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.: P( A B) P( A) P( B) . (1.12) Теорема (умножения вероятностей зависимых событий). Вероятность наступления произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие наступило, т.е.: P( A B) P( A) P( B / A) . (1.13) Пример 1. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наудачу выбирают 3 шара. Какова вероятность того, что среди них окажется: а) не менее двух черных; б) хотя бы один черный шар? Решение. а) Пусть событие А – среди трех отобранных шаров не менее двух черных. Если A1 – среди трех шаров два черных и один белый, A2 – среди трех шаров все черные, то A A1 A2 . События A1 и A2 – несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей P( A) P( A1 ) P( A2 ) . 12 Для обоих событий A1 и A2 общее число равновозможных исходов опытов 20! 18 19 20 n C203 1140. 3! 17! 1 2 3 8! Число исходов, благоприятных событию A1 : m1 C 2 C1 12 336 , 8 12 2! 6! m 336 а его вероятность P( A1 ) 1 . n 1140 8! 6 7 8 Число исходов, благоприятных событию A2 : m2 C 3 56 , 8 3! 5! 1 2 3 m 56 а его вероятность P( A2 ) 2 . n 1140 336 56 392 Тогда P( A) P( A1 ) P( A2 ) 0,3439 ; 1140 1140 1140 б) Пусть событие В – среди трех отобранных шаров хотя бы один черный. Для нахождения вероятности этого события можно поступить аналогично случаю 1, но проще использовать теорему о сумме вероятностей противоположных событий. Событие, противоположное данному, В – среди отобранных шаров все белые. Число исходов, благоприятных событию В : 12! 10 11 12 m3 C 3 220 , 12 3! 9! 1 2 3 m 220 920 220 тогда P( B) 3 , а искомая P( B) 1 P( B) 1 0,807 . n 1140 1140 1140 Пример 2. Три орудия производят по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания равны 0,4; 0,5 и 0,7 соответственно. Какова вероятность, что в результате этих выстрелов в мишени будет: а) только одна пробоина; б) не менее двух пробоин? Решение. Введем обозначения: событие A1 – попадание в мишень из первого орудия; событие A2 – попадание в мишень из второго орудия; событие A3 – попадание в мишень из третьего орудия. а) Пусть событие А – в результате трех выстрелов в мишени оказалась только одна пробоина. Это событие можно представить в виде: A A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 , где событие A1 A2 A3 означает, что из первого орудия попали, а из второго и третьего не попали; 13 событие A1 A2 A3 означает, что из второго орудия попали, а из первого и третьего не попали; событие A1 A2 A3 означает, что из третьего орудия попали, а из первого и второго не попали. Эти события несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий: P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) . Заметим, что события A1 , A2 , A3 – независимы. Тогда, с учетом теорем умножения вероятностей независимых событий и сложения вероятностей противоположных событий, получим: P( A) 0,4 (1 0,5) (1 0,7) (1 0,4) 0,5 (1 0,7) (1 0,4) (1 0,5) 0,7 0,36 ; б) Пусть событие В – в результате трех выстрелов в мишени оказалось не менее двух пробоин (т.е. две или три пробоины). Аналогично тому, как это было сделано в пункте а), событие В можно представить в виде: В A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 . И снова, с учетом теорем сложения вероятностей несовместных событий и умножения вероятностей независимых событий, получим: P( В) P( A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) 0,4 0,5 (1 0,7) 0,4 (1 0,5) 0,7 (1 0,4) 0,5 0,7 0,4 0,5 0,7 0,55 . Задачи для аудиторного занятия 1. В цехе работают 3 станка. Рассматривают события Ai – i-тый станок работает (i = 1, 2, 3). Представьте в виде сумм, произведений или сумм произведений событий Ai и Ai следующие события: а) A – работает хотя бы один станок; б) B – работают все три станка; в) C – все три станка сломаны; г) D – работает только первый станок; д) E – работает только один станок; е) F – работают не менее двух станков; ж) G – сломано не более одного станка. 2. Два стрелка попадают в мишень с вероятностями 0,7 и 0,8 соответственно. Каждый из них делает по выстрелу. Какова вероятность того, что: а) мишень поражена; б) попал только один стрелок; в) ни один из стрелков не попал? 14 3. На предприятии установлены три независимо работающие сигнализации. Вероятность срабатывания их при аварии – 0,9; 0,8 и 0,85 соответственно. Найдите вероятность того, что при аварии поступят сигналы: а) от всех трех сигнализаций; б) только от одной сигнализации; в) хотя бы от одной сигнализации. 4. Экзаменационный билет содержит три вопроса: один теоретический и две задачи. Студент знает 90 % теоретических вопросов и умеет решать 80 % задач. Определите вероятность того, что студент сдаст экзамен: а) на «отлично» (ответит на все три вопроса); б) на «хорошо» (ответит на любые два вопроса); в) не сдаст экзамен (не ответит ни на один вопрос). 5. Чтобы пройти в финал соревнований, команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в финал, если в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша равны 0,4? 6. Чтобы поступить в университет на специальность «Строительство», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из предметов – математика, русский язык и физика. Чтобы поступить на специальность «Информационные системы и технологии», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из предметов – математика, русский язык и информатика. Вероятность того, что абитуриент N получит не менее 70 баллов по математике и русскому языку – 0,8; по физике – 0,7 и по информатике – 0,5. Какова вероятность, что N сможет поступить хотя бы на одну из двух специальностей? 7. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашены. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найдите вероятность того, что среди них: а) не менее двух деталей окрашены; б) хотя бы одна окрашена. 8. В урне лежат 10 шаров, из которых – 3 белых и 7 черных. Наудачу выбирают один, а затем второй шар. Найдите вероятность того, что: а) второй шар – белый; б) шары разноцветные. Как изменятся вероятности, если после первого вынимания шар возвращается в урну? 9. В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 4 человека. Каждый из них равновероятно может выйти на любом этаже, начиная со второго. 15 Найдите вероятность, что: а) все пассажиры выйдут одновременно; б) все пассажиры выйдут на восьмом этаже; в) все пассажиры выйдут на разных этажах; г) только двое пассажиров выйдут одновременно. 10. В лотерее участвуют 7 билетов, из которых только два выигрышных. Три человека по очереди вытягивают по одному билету. Зависит ли вероятность выигрыша для каждого из них от места в очереди? 11. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 0,25, выжить с вероятностью 0,25 или разделиться на две амебы с вероятностью 0,5. В следующий период времени с каждой амебой происходит то же самое. Определите вероятность того, что к концу второго временного промежутка будут существовать: а) ни одна амеба; б) две амебы. 12. Найдите вероятность скорейшего попадания туриста, не имеющего карты, из пункта А в пункт В, если на развилках дорога выбирается им случайным образом с равновероятным выбором пути. В А 13. Вероятности отказа работы элементов электрической цепи, изображенной на схеме, равны 0,1; 0,15 и 0,2 соответственно. Чему равна вероятность безотказной работы этой электрической цепи? 2 1 3 Задачи для самостоятельного решения 1. В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течение суток для первого станка – 0,05; для второго – 0,1; для третьего – 0,15. Найдите вероятность того, что в течение суток безотказно проработает: а) все три станка; б) только один станок; в) хотя бы один станок. 16 2. В авторалли участвуют три автомобиля из РФ. Первый может сойти с трассы с вероятностью 0,15; второй – с вероятностью 0,1, третий – с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что до финиша дойдут: а) два автомобиля из РФ; б) хотя бы два автомобиля из РФ? 3. Стрелок попадает в мишень при одном выстреле с вероятностью 0,2. Имея 4 патрона, он стреляет до первого попадания или пока не кончатся патроны. Какова вероятность, что он израсходует: а) два патрона; б) три патрона; в) хотя бы три патрона? 4. В группе спортсменов-боксеров 10 студентов I курса, 8 студентов II курса и 4 студента III курса. Какова вероятность, что, случайно войдя на тренировку, мы увидим спарринг между студентами одного курса? 5. Группа туристов состоит из 8 мужчин и 6 женщин. Какова вероятность того, что среди трех человек, отправляющихся на экскурсию, не менее двух женщин? 6. В урне 10 красных и 5 синих шаров. Наудачу, один за другим, извлекают три шара. Какова вероятность того, что третьим будет вынут красный шар? 7. В урне лежат 5 шаров, среди которых 3 белых и 2 черных. Два игрока поочередно вынимают из урны по одному шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для первого игрока? 8. Бросают 4 игральных кубика. Найдите вероятность того, что: а) на всех гранях выпало разное число очков; б) на всех гранях выпало одинаковое число очков; в) только на трех гранях выпало одинаковое число очков. 9. Найдите вероятность безотказной работы электрической цепи, изображенной на схеме, если вероятности отказа работы элементов этой цепи равны 0,2; 0,1; 0,1; 0,3 и 0,3 соответственно. 2 3 1 5 4 17 1.3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА Для более глубокого понимания материала советуем изучить рекомендованные разделы учебной литературы (нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия). Литература: [3] гл. 4, § 2, 3; [5] гл. IV, § 11, 12; [7] гл. 1, п. 1.17, 1.18; [9]. События H1 , H 2 , ..., H n называют полной группой событий, если в результате испытания обязательно появится одно из них. Очевидно, что сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице, т.е.: (1.14) P( H1 ) P( H 2 ) ... P( H n ) 1 . Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий H1 , H 2 , ..., H n , которые образуют полную группу. Эти события назовем гипотезами. Теорема (формула полной вероятности). Вероятность события А , которое может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий H1 , H 2 , ..., H n , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А , т.е.: n P( A) P( H 1 ) PH ( A) P( H 2 ) PH ( A) ... P( H n ) PH ( A) P( H i ) PH ( A) . (1.15) 1 2 n i 1 i Если событие А уже произошло и требуется определить вероятность того, что оно наступило при осуществлении одного из событий H i . В этом случае вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса: P( H i ) PH ( A) PA ( H i ) n , i 1, 2,..., n. P( H i ) PH ( A) i i 1 (1.16) i Пример 1. В магазин поступает однотипная продукция с трех заводов, причем первый завод поставляет 50 % продукции, а второй и третий – 30 % и 20 % соответственно. Среди продукции первого завода 80 % первого сорта, среди продукции второго и третьего заводов – 90 % и 95 % соответственно. Какова вероятность того, что случайно выбранный в магазине продукт окажется первого сорта? Решение. Пусть событие А – взятый продукт первого сорта. Здесь возможны три гипотезы: H 1 – продукция изготовлена на первом заводе; H 2 – продукция изготовлена на втором заводе; H 3 – продукция изготовлена на третьем заводе. 18 События H1 , H 2 , H 3 образуют полную группу событий. Их вероятности пропорциональны производительности заводов и составляют соответственно P( H1 ) 50% 0,5 ; P( H 2 ) 30% 0,3 ; P( H 3 ) 20% 0,2 (напомним, что их сумма должна быть равна 1). Событие А может наступить только с одной из перечисленных гипотез. По условию задачи условные вероятности события А при указанных гипотезах: PH ( A) 80 % 0,8 ; PH ( A) 90 % 0,9 ; PH ( A) 95 % 0,95 . 1 2 3 Тогда по формуле полной вероятности (1.15) будем иметь: P( A) P( H 1 ) PH ( A) P( H 2 ) PH ( A) P( H 3 ) PH ( A) 1 2 3 0,5 0,8 0,3 0,9 0,2 0,95 0,86 . Пример 2. В клинику поступают в среднем 40 % пациентов с заболеванием А, остальные – с заболеванием В. Вероятность полного излечения пациента с диагнозом А равна 0,7, с диагнозом В – 0,8. Больной, поступивший в клинику, был выписан здоровым. Найдите вероятность, что этот больной страдал заболеванием В. Решение. Пусть событие А – полное излечение болезни. Здесь возможны две гипотезы: H 1 – больной страдает заболеванием А; H 2 – больной страдает заболеванием В. События H1 , H 2 образуют полную группу. Их вероятности равны соответственно P( H1 ) 40% 0,4 ; P( H1 ) 60% 0,6 (контроль: 0,4+0,6=1). Событие А может наступить только с одной из этих гипотез. По условию задачи условные вероятности события А при указанных гипотезах: PH ( A) 0,7 ; PH ( A) 0,8 . 1 2 Тогда по формуле полной вероятности (1.15) будем иметь: P( A) P( H 1 ) PH ( A) P( H 2 ) PH ( A) 0,4 0,7 0,6 0,8 0,76 . 1 2 По формуле Байеса (1.16) находим искомую вероятность: P( H 2 ) PH ( A) 0,6 0,8 PA ( H 2 ) 0,63 . P( A) 0,76 2 Задачи для аудиторного занятия 1. В сборочный цех поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,15 %, третий – 0,4 %. Определите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с этих автоматов поступило 100, 200 и 300 деталей соответственно. 19 2. Два радиодатчика посылают сигналы в общий канал связи, причем первый посылает сигналов в два раза больше, чем второй. Известно, что первый датчик искажает 6 % сигналов, а второй – 3 %. Какова вероятность получить искаженный сигнал в общем канале связи? 3. В магазин поступили телевизоры из Кореи и Китая. Корейская продукция содержит 3 % телевизоров со скрытым дефектом, а китайская продукция – 5 %. Какова вероятность приобрести в этом магазине исправный телевизор, если доля китайской продукции в нем – 60 %? 4. В супермаркете «Все для народа» проходит дегустация. Известно, что попробовать товар соглашаются 50 % женщин и 30 % мужчин. Какова вероятность того, что наудачу выбранный покупатель не будет дегустировать продукцию, если доля покупателей-мужчин в этом магазине – 40 %? 5. Всем пациентам с подозрением на Н делают анализ крови (если анализ выявляет Н, то результат анализа называется положительным). У больных пациентов анализ даёт положительный результат в 90 % случаев. Если пациент не болен Н, анализ дает ложный положительный результат в 2 % случаев. Известно, что 10 % пациентов, поступающих с подозрением на Н, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на Н, будет положительным. 6. В ящик с тремя одинаковыми на ощупь деталями положили стандартную деталь, а затем наудачу извлекли одну деталь. Найдите вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе деталей в ящике. 7. По самолету производится три независимых выстрела с вероятностями попадания 0,5, 0,7 и 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6, а при трех попаданиях будет сбит наверняка. Найдите вероятность того, что самолет будет сбит. 8. В первой урне лежат 2 белых и 5 черных шаров, во второй урне лежат 4 белых и 2 черных шара. Из первой урны во вторую переложили два шара, после чего из второй урны наудачу достали один шар. Определите вероятность того, что: а) взятый шар – белый; б) были переложены два белых шара, если из второй урны достали белый шар. 9. Изделия поступают на обработку на один из трех станков в отношении 2:3:5. После обработки на первом станке признают бракованными 2 % изделий, на втором – 3 %, на третьем –5 %. Изделие при проверке оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно обработано на третьем станке? 20 10. На предприятии установлены 3 датчика сигнализации первого типа и 5 датчиков сигнализации второго типа. Сигнализация первого типа срабатывает при аварии с вероятностью 0,95, а сигнализация второго типа – с вероятностью 0,8. Сигнализация сработала при аварии. К какому типу сигнализаций, скорее всего, принадлежит она? 11. По статистике 8 % мужчин и 0,4 % женщин – дальтоники. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что этот человек – мужчина? 12. В специализированную клинику поступают в среднем 50 % пациентов с диагнозом А, 30 % пациентов с диагнозом В и 20 % пациентов с диагнозом С. Вероятности полного излечения пациентов с этими диагнозами составляют 70 %, 80 % и 90 % соответственно. Больной, поступивший в клинику, был выписан здоровым. Какова вероятность, что этот пациент страдал заболеванием А? 13. При разрыве снаряда образуются мелкие, средние и крупные осколки в отношении 2:7:1. При попадании в танк мелкий осколок разбивает броню в 10 % случаев, средний и крупный – в 50 % и 90 % случаев соответственно. Попавший в танк снаряд пробил броню. Какова вероятность, что это был не крупный осколок? 14. (Парадокс Монти Холла) Представьте, что Вы стали участником розыгрыша, в котором нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из этих дверей находится автомобиль (который может стать Вашим!), а за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей. Ведущий, который знает, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. После этого он спрашивает, не желаете ли Вы изменить свой выбор. Увеличатся ли шансы выиграть автомобиль, если Вы измените свой выбор? Задачи для самостоятельного решения 1. В пирамиде пять винтовок, из которых три – с оптическим прицелом. Вероятность попадания из обычной винтовки – 0,7, а из винтовки с оптическим прицелом – 0,95. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если стреляют из наудачу взятой винтовки? 2. В первой коробке лежат 12 ламп, из которых две бракованных; а во второй коробке – 9 ламп, из которых одна бракованная. Из первой коробки наудачу взята лампа и переложена во вторую, после чего из второй коробки вынимают одну лампу. Найдите вероятность того, что вынутая лампа бракованная. 21 3. Двое стрелков в тире делают по одному выстрелу в мишень с вероятностями попадания 0,6 и 0,8. Вероятность падения мишени при одном попадании равна 0,5, а при двух попаданиях – 0,9. Какова вероятность того, что мишень упадет? 4. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер, причем производительность у первого автомата в два раза больше, чем у второго. Первый автомат производит 60 % деталей первого сорта, а второй – 84 % таких деталей. Наудачу взятая деталь оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она выполнена вторым автоматом? 5. В сборной школы по легкой атлетике 20 спортсменов, из них 7 занимаются бегом, 10 – спортивной ходьбой, остальные – прыжками в высоту. Вероятность выполнить квалификационную норму для каждого из них – 0,9, 0,8 и 0,75 соответственно. Выбранный наудачу спортсмен выполнил квалификационную норму. Каким видом спорта, скорее всего, он занимается? 6. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, на предприятии используют индикаторы. С вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5 они принадлежат к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении работы равны соответственно 1; 0,75 и 0,4. В результате нарушения режима работы автоматической линии от индикатора получен сигнал. К какому типу индикаторов, скорее всего, принадлежит он? 1.4. ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ Для более глубокого понимания материала советуем изучить рекомендованные разделы учебной литературы (нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия). Литература: [3] гл. 5, § 1-3; [7] гл. 1, п. 1.19–1.21; [9]. При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых многократно повторяется одно и то же испытание (например, контролер проверяет партию деталей). Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А . Пусть производят n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью p (где 0 p 1 ) и не наступить с вероятностью q 1 p . Поставим своей задачей найти вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз – Pn ,k ( A) . 22 Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p , событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна: Pn ,k ( A) С nk p k q n k . (1.17) Из формулы Бернулли следует, что вероятность того, что в серии из n независимых опытов событие А наступит хотя бы один раз, равна: Pn ,k 1 ( A) 1 Pn , 0 1 q n . (1.18) Отметим, что формулу Бернулли удобно применять, если число опытов n 20 . При большом числе испытаний пользоваться ею затруднительно. Тогда подсчет вероятностей можно производить по одной из следующих теорем. Формула Пуассона. Если вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и мала, а число испытаний n велико, то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз, приближенно равна: Pn ,k ( A) k e , где np . (1.19) k! Отметим, что формулу Пуассона целесообразно применять в случае, если 10 (при этом n 50 ). Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна, а число испытаний n велико, то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ): Pn ,k ( A) где ( x) 1 2 e x2 2 k np 1 , npq npq (1.20) – функция Гаусса. Эта функция четная ( ( x) ( x) ) и та- булируемая (ее значения приведены в таблице; для значений x 4 следует считать ( x) 0 ). Можно убедиться, что вероятности Pn ,k ( A) изменяются с изменением k , а именно: с возрастанием k от 0 до n вероятности Pn ,k ( A) вначале растут до некоторого момента, а затем начинают убывать. Число k 0 называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие А наступит в n испытаниях k 0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов. 23 Наивероятнейшее число k 0 определяют из двойного неравенства: np q k0 np p , (1.21) причем: 1) если число np q – дробное, то k 0 единственное; 2) если число np q – целое, то существуют два наивероятнейших числа: k 0 и k0 1 (с равными вероятностями); 3) если число np – целое, то k0 np . Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна ( 0 p 1 ), то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее k1 и не более k 2 раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n ): k2 np k np 1 , npq npq Pn (k1 k k2 ) (1.22) x где ( x) (t )dt – функция Лапласа. Эта функция нечетная ( ( x) ( x) ) 0 и табулируемая (ее значения приведены в таблице, для значений x 5 полагают ( x) 0,5 ). Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Если вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна ( 0 p 1 ), то вероятность того, что абсолютная величина отклонения частоты события А от вероятности его появления в одном опыте не превышает положительного числа , приближенно равна: m P p 2 n n . pq (1.23) Рассмотрим серию из n независимых испытаний, в которых вероятности появления события А различны. Пусть вероятность наступления события А в первом испытании равна p1 , во втором испытании – p2 , …, в n -ном испытании – pn (тогда вероятности ненаступления события А равны q1 , q2 ,..., qn соответственно). Производящей функцией вероятностей называют функцию, определяемую равенством: (1.24) n ( z) ( p1 z q1 ) ( p2 z q2 ) ... ( pn z qn ) . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно k раз Pn ,k ( A) , равна коэффициенту при z k в разложении производящей функции. 24 Пример 1. Игральную кость подбрасывают 4 раза. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, появится: а) трижды; б) не менее трех раз? Решение. Пусть событие А – выпало число очков, кратное трем. Число независимых испытаний n 4, 4 20 удобно использовать формулу Бернулли (1.17), где p P( A) 2 / 6 1 / 3 (вероятность выпадения числа очков, кратных трем, при одном броске); тогда вероятность ненаступления события А q 1 p 2/3. 3 4! 1 2 8 а) k 3 : P4,3 ( A) C p q 0,099 ; 3!1! 3 3 81 3 4 3 1 б) k 3 , т.е. событие должно наступить 3 или 4 раза. По теореме сложения вероятностей несовместных событий и формуле Бернулли получим: 4 8 1 9 P4,k 3 ( A) P4,3 P4, 4 C p q C p q 0,111. 81 3 81 3 4 3 1 4 4 4 0 Пример 2. Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,02. Определите вероятность того, что при проверке партии из 200 изделий будет обнаружено: а) одно бракованное изделие; б) хотя бы одно бракованное изделие. Решение. Пусть событие А – взяли бракованную деталь. Число испытаний n 200 , 200 20 , т.е. использовать формулу Бернулли затруднительно. Вычислим значение параметра np 200 0,02 4; 4 10 используем асимптотическую формулу Пуассона (1.19). 41 4 а) k 1 : P200,1 ( A) e 0,073 ; 1! б) k 1 : P200,k 1 ( A) 1 P200, 0 4 0 4 1 e 0,018 . 0! Пример 3. При автоматической штамповке деталей наблюдается в среднем 12 % брака. Какова вероятность того, что при проверке партии из 400 изделий окажутся бракованными 10 % от общего числа деталей? Каково наивероятнейшее число бракованных деталей в этой партии? 25 Решение. Пусть событие А – взяли бракованную деталь. Число испытаний n 400 , n 20 использовать формулу Бернулли неудобно. Значение параметра np 400 0,12 48; 48 10 , условия применения формулы Пуассона не выполняются. Будем применять локальную теорему Лапласа (1.20), в которой k 0,1 400 40 (10 % от 400 деталей): P400,40 40 400 0,12 1 1 8 400 0,12 0,88 400 0,12 0,88 42, 24 42, 24 0,1538 (1,23). Учитывая, что функция (x ) четная и табулируемая (см. приложение 1), окончательно получаем: P400, 40 0,1538 (1,23) 0,1538 0,1872 0,029 . Для нахождения наивероятнейшего числа бракованных деталей в этой партии воспользуемся неравенством (1.21) np q k0 np p . Получим: 400 0,12 0,88 k0 400 0,12 0,12 , 47,12 k0 48,12 . Этому неравенству удовлетворяет только одно целое число: k0 48 . Это и есть наивероятнейшее число бракованных деталей в партии из 400 деталей. Пример 4. Вероятность появления детали первого сорта в продукции данного предприятия равна 0,7. Найти вероятность того, что в партии из 2100 штук деталей первого сорта будет: а) не менее 1470 и не более 1500 штук; б) не менее 1470 штук; в) не более 1469 штук. Решение. Пусть событие А – взятая деталь оказалась первого сорта. Число независимых испытаний n 2100 , p 0,7 q 0,3 . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа (1.22). а) 1470 k 1500 : 1500 2100 0,7 1470 2100 0,7 2100 0,7 0,3 2100 0,7 0,3 P2100 (1470 k 1500) 10 (0) (1,43) 0 0,4236; 7 б) k 1470 , т.е. 1470 k 2100 : 2100 2100 0,7 1470 2100 0,7 2100 0,7 0,3 2100 0,7 0,3 P2100 (1470 k 2100) 30 (0) 0,5; в) k 1469 , т.е. 0 k 1469 . 26 Можно вновь воспользоваться формулой (1.22), но заметим, что это событие является противоположным для события, описанного в случае б). Тогда: P0 k 1469 1 P1470 k 2100 1 0,5 0,5 . Пример 5. Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01. Решение. Число испытаний n 10 000 ; p 0,75 q 0,25 . Чтобы найти вероятность отклонения вероятности от частоты, воспользуемся формулой (1.23), где отклонение 0,01 : 10000 4 m 2 P p 0,01 2 0,01 2(2,3) 2 0,4893 0,9786. 0 , 75 0 , 25 3 n Задачи для аудиторного занятия 1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее для каждого из них: выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6? 2. Тест содержит 10 вопросов, на каждый из которых предложено 5 вариантов ответов. Студент отвечает наугад. Какова вероятность получить «зачет», если для этого достаточно ответить на 8 вопросов? 3. Произведено 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Найдите: а) наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность; б) вероятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно двух попаданий. 4. Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность, по меньшей мере, одного попадания в цель была больше, чем 0,9? 5. Из 1000 звонков рекламного агента лишь в 10 случаях с ним соглашаются говорить. В понедельник агент сделал 100 звонков. Какова вероятность того, что удачных звонков было хотя бы два? 6. Какое наименьшее число независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании 0,3 надо произвести, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 20? 7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле – 0,1. Какова вероятность попадания в цель хотя бы двух пуль, если сделано 100 выстрелов? 27 8. Вероятность того, что игрок школьной баскетбольной команды забросит мяч в корзину при одном броске, равна 0,2. В течение тренировки он сделал 100 бросков со штрафной линии. Какова вероятность, что он набрал 15 очков? 9. Вероятность выздоровления больного в результате применения нового лекарства равна 0,8. Сколько вылечившихся пациентов из 100 можно ожидать с вероятностью 0,0011? 10. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найдите вероятность того, что это событие появится: а) не менее 75 и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз. 11. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,2. Какова вероятность того, что относительная частота этого события отклонится от его вероятности не более чем на 2 %? 12. Вероятность брака при производстве корпусной мебели равна 2 %. Определите максимально возможное с вероятностью 0,996 отклонение частоты дефектной мебели от вероятности в партии из 100 буфетов. 13. Известно, что на данном оборудовании 5 % изделий выходят с дефектом. Сколько изделий надо взять, чтобы с вероятностью 0,996 утверждать, что доля брака в этой партии отличается от статистики не более чем на 2 %? 14. Производят три независимых выстрела по мишени с различных расстояний, с вероятностями попадания 0,2, 0,3 и 0,5 соответственно. Найдите вероятности: а) двух попаданий; б) не менее двух попаданий. Задачи для самостоятельного решения 1. Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что «герб» выпадет: а) дважды; б) менее двух раз; в) хотя бы два раза? 2. В семье пятеро детей. Найдите наивероятнейшее число мальчиков в семье и соответствующую вероятность, если вероятность рождения мальчика – 0,51. 3. Найдите наивероятнейшее число ясных дней в первой декаде сентября и соответствующую вероятность, если по статистике в сентябре в среднем 12 ненастных дней. 28 4. Задачник издан тиражом 20 тысяч экземпляров. Вероятность того, что он сброшюрован неправильно, равна 0,01 %. Какова вероятность, что в этом тираже 3 бракованные книги? 5. Чему равна вероятность наступления события в каждом из 29 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 20? 6. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных будет 50 мальчиков, если вероятность рождения мальчика – 0,51. 7. Всхожесть семян кактуса Rebutia minuscula при температуре 200 С равна 0,95. Какова вероятность того, что из 200 семян не менее 190 дадут всходы? 8. Вероятность появления события в одном независимом испытании равна 0,5. При каком числе испытаний с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 1 1. Теория вероятностей: предмет и объект изучения. 2. Понятие события. Классификация событий. 3. Случайные события, их классификация. 4. Классическая вероятность. Свойства вероятности. 5. Относительная частота события. Свойство устойчивости относительной частоты. 6. Геометрическая вероятность. 7. Комбинаторика: предмет и объект изучения. 8. Правила сложения и умножения. 9. Перестановки: определение, правила вычисления. 10. Размещения: определение, правила вычисления. 11. Сочетания: определение, правила вычисления. 12. Алгебра событий: сумма и произведение событий. 13. Сумма событий. Теоремы о вероятности суммы несовместных событий. 14. Сумма событий. Теоремы о вероятности суммы совместных событий. 15. Произведение событий. Теоремы о вероятности произведений независимых событий. 16. Зависимые события. Понятие условной вероятности. 17. Произведение событий. Теоремы о вероятности произведений зависимых событий. 29 18. Противоположные события. Теорема о сумме вероятностей противоположных событий. 19. Полная группа событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. 20. Формула полной вероятности. 21. Гипотезы. Формулы Бейеса (теорема гипотез). 22. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. 23. Повторение независимых испытаний. Формула Пуассона. 24. Повторение независимых испытаний Локальная теорема Лапласа. 25. Повторение независимых испытаний. Интегральная теорема Лапласа. 26. Повторение независимых испытаний. Наивероятнейшее число наступлений опыта. 27. Повторение независимых испытаний. Производящая функция. ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОГО ТЕСТА ПО ТЕМЕ «СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ» 1. Вероятность события может принять любое значение из промежутка: а) ( , ) ; b) (0, ) ; c) (0,1) ; d 0,1 . 2. Какое из нижеприведенных событий является равновозможным событию А «выпадение двух очков» при бросании игральной кости? a) выпадение числа очков, кратных двум; b) выпадение числа очков, кратных трем; c) выпадение не более двух очков; d) выпадение менее двух очков. 3. Вероятность банкротства предприятия в течение года равна 10 %. Найдите вероятность того, что в течение года предприятие не обанкротится. a) 0,01; b) 0,1; c) 0,9; d) 0,99. 4. Слово «ТЕОРИЯ» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают 4 карточки и складывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получения при этом слова «ТИРЕ»? 30 a) 1/1296; b) 1/324; c) 1/360; d) 1/90. 5. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы этих элементов (в течение рабочего дня) равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что в течение рабочего дня будет работать безотказно хотя бы один элемент? a) 0,006; b) 0,06; c) 0,504; d) 0,994. 6. Лампочки изготавливают независимо друг от друга. В среднем одна лампочка из ста оказывается бракованной. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад лампочек исправными окажутся обе? a) 0,9801; b) 0,98; c) 0,0098; d) 0,0002. 7. Вероятность того, что разговор можно будет провести по каждому из трех каналов связи – 0,7; 0,8 и 0,9 соответственно. Какова вероятность того, что разговор сможет состояться только по первому каналу связи? a) 0,006; b) 0,014; c) 0,7; d) 0,994. 8. Формула P( A) P( H1 ) PH1 ( A) P( H 2 ) PH2 ( A) ... P( H n ) PHn ( A) называется: a) формулой классической вероятности; b) формулой полной вероятности; c) формулой Байеса; d) формулой Бернулли. 9. С первого станка на сборку поступает 30 %, со второго – 70 % всех деталей. Среди деталей первого станка 10 % брака, второго – 20 %. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной? a) 0,27; b) 0,56; c) 0,83; d) 0,85. 31 10. В пирамиде установлено 20 винтовок, 14 из которых имеют оптический прицел. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9, а из винтовки без оптического прицела – 0,4. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Какова вероятность того, что он стрелял из винтовки с оптическим прицелом? a) 0,84; b) 0,75; c) 0,25; d) 0,16. 11. Локальная теорема Лапласа имеет вид: a) Pn ,k p(1 p) ; b) Pn ,k c nk p k (1 p ) n k ; c) Pn ,k k k! e ; d) Pn ,k ( A) k np 1 . npq npq 12. Проводят 10 испытаний, в которых вероятность наступления события А равна 0,4. Какой формулой следует воспользоваться, чтобы найти вероятность того, что событие А не наступит ни один раз? a) формулой Бернулли; b) локальной теоремой Лапласа; c) формулой Пуассона; d) интегральной теоремой Лапласа. 13. Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что «герб» не выпадет ни разу? a) 0; b) 1/32; c) 1/16; d) 5/32. 14. Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что «герб» выпадет только во второй раз? a) 2/5; b) 5/16; c) 1/32; d) 5/32. 32 15. Техническое устройство состоит из трёх узлов. Событие Ak – k-ый узел выйдет из строя (k = 1, 2, 3). Установите соответствие между событиями и их словесной формулировкой: а) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ; 1) все узлы выйдут из строя 2) только третий узел выйдет из строя б) A1 A2 A3 ; в) A1 A2 A3 ; 3) ровно два узла выйдут из строя 4) хотя бы один узел выйдет из строя г) A1 A2 A3 ; 5) ни один узел не выйдет из строя 33 д) A1 A2 A3 . ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2.1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Для более глубокого понимания материала советуем изучить рекомендованные разделы учебной литературы (нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия). Литература: [3] гл. 6, § 2-3, гл. 7, § 1-2, гл. 8, § 3-4; [7] гл. 2, п. 2.1-2.2, 2.5; [8] гл. 2, § 10, 12; [9]. Случайная величина – это величина, которая в результате опыта примет одно и только одно значение, неизвестное заранее. Если случайная величина принимает отдельные, изолированные значения, то ее называют дискретной; если же случайная величина принимает все значения из некоторого промежутка (конечного или бесконечного), то ее называют непрерывной. Примером дискретной случайной величины может служить число очков, выпадающих на верхней грани при бросании игральной кости (она может принимать изолированные значения: 1, 2, 3, 4, 5,6). Пример непрерывной случайной величины – время безотказной работы прибора (она принимает все значения из некоторого промежутка [0; t ), t 0 ). Закон распределения дискретной случайной величины – соответствие между ее возможными значениями и соответствующими вероятностями. Закон распределения может быть задан: – таблично (рядом распределения) – с перечислением всех значений случайной величины и соответствующих им вероятностей. хi х1 х2 х3 хn … pi p1 p2 p3 … pn … Отметим, что в этом случае сумма вероятностей равна единице, т.е. … n P 1; i 1 i – аналитически – с помощью формулы, в т.ч. с помощью интегральной функции распределения вероятностей (речь об этой функции пойдет ниже); – графически – в виде графика интегральной функции распределения вероятностей или в виде многоугольника распределения. 34 Если в прямоугольной системе координат Охр отметить точки ( xi , pi ) , где xi – возможные значения случайной величины Х, а pi – соответствующие вероятности, и соединить эти точки отрезками прямых, то полученную ломаную называют многоугольником распределения. Рис. 1 Закон распределения дискретной случайной величины полностью описывает ее с вероятностной точки зрения. Однако иногда он неизвестен или неудобен для восприятия (например, в случае большого количества значений случайной величины). В таких случаях предпочитают использовать числовые параметры, описывающие случайную величину «суммарно» – числовые характеристики, которые в сжатой форме выражают наиболее существенные черты распределения. Чаще всего используют числовые характеристики положения (математическое ожидание, мода) и характеристики рассеяния (дисперсия, стандартное отклонение). Математическое ожидание дискретной случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям. Для дискретной случайной величины математическое ожидание равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е. если дан ряд распределения случайной величины, то: n M ( X ) mX x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi . i 1 Свойства математического ожидания: 1) M (C ) C ; 2) M (CX ) CM ( X ) ; 3) M ( X Y ) M ( X ) M (Y ) ; 4) M ( X Y ) M ( X ) M (Y ) , если X , Y независимы; 5) для биномиального распределения M ( X ) np . 35 (2.1) Дисперсия (рассеяние) дискретной случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.: D ( X ) M X M ( X ) . 2 (2.2) На практике часто используют следующую формулу: D( X ) M X 2 M 2 ( X ) , где M X 2 xi2 pi . n (2.3) i 1 Свойства дисперсии: 1) D(C ) 0 ; 2) D(CX ) C 2 D( X ) ; 3) D( X Y ) D( X ) D(Y ) ; 4) D( X Y ) M X 2 M Y 2 M 2 ( X ) M 2 (Y ) , если X , Y независимы; 5) для биномиального распределения D( X ) npq . Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что в сравнительных целях не всегда удобно. Поэтому, когда хотят, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, рассматривают еще одну числовую характеристику – стандартное отклонение. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) дискретной случайной величины есть квадратный корень из дисперсии, т.е.: ( X ) D( X ) . (2.4) Мода Mo( X ) дискретной случайной величины – значение случайной величины, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями. Функция распределения (интегральная функция распределения) случайной величины – функция, определяющая для каждого значения аргумента вероятность того, что случайная величина примет значение меньше, чем значение этого аргумента, т.е.: F ( x) P( X x) . Свойства функции распределения: 1) x : 0 F ( x) 1 ; 2) F (x) – неубывающая функция; 3) P(a X b) F (b) F (a) ; F ( x) 0 , xlim F ( x) 1 ; 4) xlim 5) F (x) непрерывна слева. 36 Отметим, что график функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид и претерпевает разрыв в каждой точке х хi , где хi – значения, принимаемые случайной величиной. Рис. 2 Для непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек. Пример 1. В партии из 8 деталей 2 бракованных. Наудачу взяли 2 детали. Составьте ряд распределения случайной величины – числа стандартных деталей в выборке. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Решение. Дискретная случайная величина X – число стандартных деталей из двух взятых. Она может принимать значения: 0, 1 или 2. Чтобы составить ее ряд распределения, найдем соответствующие вероятности, рассматривая каждое значение случайной величины как отдельное случайное событие: 2 1 1 событие A0 – взяли два бракованных изделия, P A0 ; 8 7 28 2 6 12 событие A1 – взяли только одно стандартное изделие, P A1 2 ; 8 7 28 6 5 15 событие A2 – взяли два стандартных изделия, P A2 . 8 7 28 Отметим, что в данном случае для нахождения вероятностей была использована теорема о вероятности произведения зависимых событий. Тот же результат может быть получен с помощью формулы классической вероятности. Итак, ряд распределения числа стандартных деталей в выборке имеет вид: хi 0 1 2 pi 1 28 12 28 15 28 37 1 12 15 1 , так как 28 28 28 рассмотренные нами события A0 , A1 , A2 образуют полную группу. Заметим, что сумма полученных вероятностей Вычислим числовые характеристики этой случайной величины: 1 12 15 42 M ( X ) x1 p1 x2 p2 x3 p3 0 1 2 1,5 ; 28 28 28 28 1 12 15 D( X ) M X 2 M 2 ( X ) 0 2 12 2 2 1,5 2 0,321; 28 28 28 ( X ) D( X ) 0,321 0,567 ; Mo( X ) 2 (т.к. значению х2 2 соответствует самая большая вероятность). Пример 2. Производят три независимых выстрела, вероятность попадания в каждом из которых равна 0,4. Рассматривается дискретная случайная величина X – число попаданий в мишень в трех опытах. Постройте ряд распределения и найдите числовые характеристики этой случайной величины. Составьте функцию распределения случайной величины X и постройте ее график. Решение. Дискретная случайная величина X – число попаданий в мишень при трех выстрелах. Возможные значения этой случайной величины – 0, 1, 2, 3. Чтобы составить закон распределения этой величины, найдем соответствующие вероятности с помощью формулы Бернулли: число испытаний n 3 (n 20 ) ; событие А – попадание в мишень при одном выстреле; p P( A) 0,4 q 1 p 0,6 . По формуле Бернулли вычисляем: p0 P3, 0 ( А) C30 p 0 q 3 (0,6) 3 0,216 ; p1 P3,1 ( А) C31 pq 2 3 0,4 (0,6) 2 0,432 ; p2 P3, 2 ( А) C32 p 2 q 3 (0,4) 2 0,6 0,288 ; p3 P3, 3 ( А) C33 p 3 q 0 (0,4) 3 0,064 . Таким образом, ряд распределения случайной величины X имеет вид: (Контроль: 3 p i 0 i хi 0 1 2 3 pi 0,216 0,432 0,288 0,064 0,216 0,432 0,288 0,064 1 ). Числовые характеристики этой случайной величины можно вычислить с помощью формул (как это было сделано в предыдущем примере). Например, M ( X ) x1 p1 x2 p2 x3 p3 x4 p4 0 0,216 1 0,432 2 0,288 3 0,064 1,2 . 38 Однако в данном случае гораздо проще воспользоваться свойствами для математического ожидания и дисперсии № 5, поскольку данное распределение является биномиальным (так как оно определялось формулой Бернулли). Получим: M ( X ) np 3 0,4 1,2 ; D( X ) npq 3 0,4 0,6 0,72 ; ( Х ) D( Х ) 0, 72 0,849 ; Mo( X ) 1 . Заметим, что для нахождения числовых характеристик биномиальной случайной величины НЕ требуется составления ряда распределения. Составим интегральную функцию, используя ее определение: F (x ) P (X x ). Будем находить значения интегральной функции отдельно на каждом промежутке, на которые разбивают числовую прямую значения данной случайной величины. x 0 : F ( x) P( X x) 0 (т.к. событие X 0 – событие невозможное); 0 x 1 : F ( x) P( X x) P( X 0) 0,216 ; 1 x 2: F (x) P(X x) P( X 0 или X 1) 0,216 0,432 0,648 ; 2 x 3: F (x) P(X x) P( X 0 или X 1или X 2) = 0,216 0,432 0,288 0,936 ; x 3: F (x) P(X x) P( X 0 или X 1или X 2 или X 3) = 0,216 0,432 0,288 0,064 1 . Итак, интегральная функция имеет вид: 0, 0,216, F ( x) 0,648, 0,936, 1, x 0, 0 x 1, 1 x 2, 2 x 3, 3 x. Обратим внимание читателя на соответствие полученного результата свойствам функций распределения: ее значения принадлежат отрезку [0, 1], при x F ( x) 0 ; а при x F ( x) 1 . Построим график интегральной функции распределения. Как и было указано в свойствах интегральной функции, он имеет ступенчатый вид с разрывами в точках хi = 0, 1, 2, 3. 39 Полученный график функции распределения можно рассматривать как еще один способ задания закона распределения случайной величины – графический. Задачи для аудиторного занятия 1. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывают один выигрыш в 500 рублей и десять – по 100 рублей. Найдите закон распределения случайной величины X – размера возможного выигрыша по одному билету, постройте многоугольник распределения. 2. В партии, состоящей из 6 деталей, 4 стандартных. Для контроля выбирают три детали. Составьте закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных. Постройте многоугольник распределения, найдите числовые характеристики этой случайной величины. 3. Монета брошена три раза. Составьте закон распределения случайной величины X – числа выпадений герба, постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики этой случайной величины (двумя способами). 4. В первой урне лежат 4 синих и 12 красных шаров, во второй – 6 синих и 8 красных. Из каждой урны наудачу взяли по одному шару. Найдите закон распределения и числовые характеристики случайной величины X – числа красных шаров из двух вынутых. 5. Стрелок попадает в мишень при одном выстреле с вероятностью 0,3. Имея три патрона, он стреляет до первого попадания или пока не кончатся патроны. Составьте закон распределения случайной величины X – числа израсходованных патронов. Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график. Вычислите числовые характеристики случайной величины X . 6. Дискретная случайная величина принимает значения -1, 0, 1, а ее числовые характеристики M ( X ) 0,1; D( X ) 0,89 . Составьте закон распределения этой случайной величины, найдите ее функцию распределения и постройте график. 40 7. Дискретная случайная величина принимает два значения – x1 и x2 ( x2 x1 ) с вероятностями 0,3 и 0,7. Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график, если числовые характеристики M ( X ) 2,7 , D( X ) 0,21 . 8. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью p появления события А в каждом опыте ( p q) . Дисперсия числа появлений события А в трех испытаниях равна 0,63. Найдите недостающие числовые характеристики этой случайной величины. 9. Дискретная случайная величина задана законом распределения: хi 2 pi 0,5 0,2 4 7 0,3 Найдите функцию распределения этой случайной величины и вероятности: P( X 3), P( X 3) , P( X 0), P(4 X 6) , P(3 X 10 ) . 10. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения: хi 1 pi 0,1 2 3 уi 0 1 0,6 0,3 pi 0,2 0,8 Найдите закон распределения и числовые характеристики случайной величины Z X Y (двумя способами: исходя из закона распределения и пользуясь свойствами числовых характеристик). Найдите функцию распределения этой случайной величины и вероятности P( Z 2), P( Z 4) , P(0 Z 2,5) , P(1 Z 7) . Задачи для самостоятельного решения 1. Игральная кость брошена трижды. Составьте закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений шестерки при трех бросаниях. Постройте многоугольник полученного распределения, найдите числовые характеристики этой случайной величины. 2. В урне лежат 8 шаров, среди которых 3 синих и 5 белых. Наудачу выбирают 4 шара. Составьте закон распределения случайной величины X – количества синих шаров среди четырех отобранных. Постройте многоугольник полученного распределения, найдите числовые характеристики этой случайной величины. 41 3. Производится три выстрела по мишени с вероятностями попадания при каждом из них 0,3; 0,4; 0,7 соответственно. Найдите закон распределения и числовые характеристики случайной величины X – числа попаданий в цель при трех выстрелах. Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график. 4. На пути движения машины 4 светофора, каждый из которых либо разрешает автомобилю дальнейшее движение с вероятностью 0,3, либо запрещает с вероятностью 0,7. Найдите закон распределения и числовые характеристики случайной величины X – числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график. 5. Дискретная случайная величина может принимать три значения: 1, 2, 3. Составьте закон распределения этой случайной величины, если ее числовые характеристики M ( X ) 2,3 , D( X ) 0,61 . Найдите функцию распределения этой случайной величины и постройте ее график. 6. Дискретная случайная величина задана законом распределения: хi 2 pi 0,4 0,5 6 10 0,1 Найдите функцию распределения этой случайной величины и вероятности P( X 5), P( X 5) , P( X 0), P(6 X 9) , P(1 X 15) . 2.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ, ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Для более глубокого понимания материала советуем изучить рекомендованные разделы учебной литературы (нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия). Литература: [3] гл. 10, § 1-2, гл. 11, § 1-3; [7] гл. 2, п. 2.3-2.5; [8] гл. 2, §11, 13. Напомним, что случайная величина называется непрерывной, если все ее значения непрерывно заполняют некоторый промежуток (конечный или бесконечный). Поскольку число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно, ясно, что составить ряд распределения не представляется возможным. Непрерывная случайная величина может быть задана функцией распределения 42 или дифференциальной функцией распределения. Отметим, что если случайная величина непрерывна, то ее интегральная функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек (а также удовлетворяет всем свойствам, перечисленным в п. 2.1). Дифференциальная функция распределения (плотность распределения вероятностей) непрерывной случайной величины – производная ее функции распределения, т.е.: f ( x) F ( x) . График дифференциальной функции распределения называют кривой распределения. Свойства плотности распределения: 1) x : f ( x) 0 ; b 2) P(a X b) f ( x)dx ; a 3) f ( x)dx 1; f ( x) 0 ; 4) xlim 5) F ( x) x f ( x)dx . Математическое ожидание непрерывной случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям. Для непрерывной случайной величины математическое ожидание есть число, определяемое равенством: M ( X ) x f ( x)dx . (2.5) В частности если все значения случайной величины принадлежат отрезку a, b, то математическое ожидание определяют равенством: b M ( X ) x f ( x)dx . (2.6) a Дисперсия (рассеяние) непрерывной случайной величины – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.: D( X ) x M ( X ) 2 f ( x)dx . (2.7) В частности если все значения случайной величины принадлежат отрезку a, b, то ее дисперсию определяют равенством: b D( X ) x M ( X ) f ( x)dx . 2 a 43 (2.8) На практике часто используют более удобные формулы: D( X ) x 2 f ( x)dx M 2 ( X ) , (2.9) D( X ) x 2 f ( x)dx M 2 ( X ) . (2.10) b a Свойства математического ожидания и дисперсии, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины – квадратный корень из дисперсии, т.е.: ( X ) D( X ) . (2.11) Мода Mo( X ) непрерывной случайной величины – точка локального максимума плотности вероятности f (x) . Медиана Me ( X ) непрерывной случайной величины – такое ее значение, для которого: (2.12) PX Me( X ) PX Me( X ) 0,5 . Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f (x) делит пополам площадь под кривой распределения. Пример 1. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения: a(4 x x 2 ), x 0,3, f ( x) x 0,3. 0, Найдите параметр а и числовые характеристики этой случайной величины. Решение. Неизвестный параметр найдем, используя свойство № 3 плотности распределения (свойство нормировки): f ( x)dx 1 . 0 3 f ( x)dx 0dx 0 a(4x x )dx 3 2 3 1 x3 0dx a 2 x2 9a ; 9a 1 a . 3 9 0 Так, плотность распределения данной случайной величины имеет вид: 1 2 (4 x x ), x 0,3, f ( x) 9 0, x 0,3. Найдем ее числовые характеристики. Поскольку все значения данной случайной величины принадлежат отрезку 0, 3, то по формуле (2.6) получим: 13 13 2 M ( X ) x f ( x)dx x(4 x x )dx (4 x 2 x 3 )dx 90 90 0 3 3 1 4x3 x 4 1 4 33 3 4 7 1,75 . 9 3 4 0 9 3 4 4 44 Дисперсию вычислим по формуле (2.10): 2 13 7 D( X ) x f ( x)dx M ( X ) x 2 (4 x x 2 )dx 90 0 4 3 2 2 3 13 49 1 4 x 5 49 1 4 35 49 43 3 4 (4 x x )dx x 3 0,5375 , 5 0 16 9 5 16 80 90 16 9 тогда ( X ) D( X ) 0,5375 0,733 . Мода случайной величины – точка локального максимума ее дифференциальной функции. Поскольку плотность вероятностей есть квадратичная функция, графиком которой является парабола (ветви направлены вниз), то легко определить точку ее максимума – это ее вершина. Находим по формуле b xB 2 . Таким образом, Mo( X ) 2 . 2a Пример 2. Непрерывная случайная величина X задана функцией плотности распределения: x , 0, 2 1 f ( x) cos x, x , 2 2 2 0 , x . 2 Найдите интегральную функцию этой случайной величины. Вычислите ве- роятность того, что значение случайной величины попадет в интервал , 6 4 и покажите эту вероятность на графике. Решение. Интегральную функцию найдем, используя свойство № 5 дифференциальной функции распределения: F ( x) x f ( x)dx . Заметим, что плотность вероятности задана кусочно (что встречается довольно часто). Поэтому значения интегральной функции будем находить отдельно на каждом из промежутков, на которых задана дифференциальная функция. Получаем: x x x : F ( x) f ( x)dx 0dx 0 ; 2 2 x x x 1 1 1 x : F ( x) f ( x)dx 0 dx cos x dx sin x (sin x 1) ; 2 2 2 2 2 2 2 x 2 1 1 1 x : F ( x) f ( x)dx 0 dx cos x dx 0 dx sin x (1 1) 1. 2 2 2 2 x 2 2 2 2 45 2 Таким образом, интегральная функция распределения данной случайной величины имеет вид: 0 , x , 2 1 F ( x) (sin x 1), x , 2 2 2 x . 1, 2 , 6 4 Вероятность попадания данной случайной величины в интервал можно найти двумя способами. С помощью интегральной функции распределения (свойство № 3, п. 2.1): 1 1 P , F F sin 1 sin 1 4 2 6 6 4 4 6 2 1 2 1 1 2 1 , 2 2 2 2 4 или с помощью дифференциальной функции распределения (свойство № 2, п. 2.2): 4 1 1 1 2 1 P , cos x dx sin x sin sin . 2 2 4 4 6 6 4 2 4 6 6 Второй способ вычисления дает возможность геометрической интерпретации полученного результата, поскольку известно, что геометрический смысл определенного интеграла есть площадь фигуры. Вероятность попадания слу чайной величины в интервал , графически можно интерпретировать как 6 4 площадь под кривой распределения, ограниченной слева прямой x справа – прямой x 4 6 и . Построим график кривой распределения и покажем искомую вероятность. 46 Задачи для аудиторного занятия 1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения: 0, x 2, F ( x) 0,5 x 1, 2 x 4, 1, x 4. Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее 2,5; в) не меньшее 2,5; г) не меньшее 5; д) больше, чем 2, но меньше, чем 3. 2. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности вероятностей: 0, x 0, 3 f ( x) sin 3x, 0 x , 3 2 x . 0, 3 Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение из интервала: а) , ; б) , . 6 4 4 2 3. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности вероятностей: x 1, 0, x f ( x) c 1 ,1 x 3, 3 0, x 3. Найдите параметр c и числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0,2) и покажите эту вероятность на графике. 4. График дифференциальной функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид: f (x ) 0 2 47 õ x Найдите максимальное значение функции f (x) и числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 2) и покажите ее на графике. 5. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения: 0, x 0, 3 1 F ( x) a x2 x3 , 0 x 3, 3 2 1, x 3. Найдите параметр а и числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в интервал (0,5; 1), и покажите ее на графике. 6. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения: a sin x, 0 x 3 , f ( x) 0, x 0, x . 3 Найдите параметр а, числовые характеристики этой случайной величины. Найдите интегральную функцию распределения и постройте графики функций распределений. Вычислите вероятность попадания случайной величины в ин 3 тервал , и покажите ее на графике. 4 2 7. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения: 4 6 x, x 0, a , f ( x) 0, x 0, a . Найдите параметр а и числовые характеристики этой случайной величины. Найдите интегральную функцию распределения и постройте графики функций распределения. 8. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения: a , x 1, f ( x) 1 x 2 0, x 1. Найдите параметр а и интегральную функцию распределения. Вычислите вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет 1 в интервал , 3 . 3 48 9. Случайная величина X имеет непрерывную плотность: ae x , x 0, f ( x) x be , x 0. Найдите неизвестные параметры, интегральную функцию распределения и постройте графики функций распределения. Вычислите вероятность того, что в результате испытания значение случайной величины попадет в интервал (-1, 2). Задачи для самостоятельного решения 1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения: 0, x 0, F ( x) a x2 x , 0 x 1, x 1. 1, Найдите параметр а, числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал (0,5; 1) и покажите ее на графике. 2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения: a sin x, 0 x , f ( x) 0, x 0, x . Вычислите параметр а и вероятность попадания случайной величины в интервал , M ( X ) . Найдите функцию распределения и постройте графики 3 функций распределения. 3. Случайная величина X имеет непрерывную плотность: ax 2 bx, x 0,3, f ( x) x 0,3. 0, Найдите неизвестные параметры, числовые характеристики, функцию распределения и постройте графики функций распределения. 4. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией с распределения f ( x) x x , x R . Найдите неизвестный параметр с и инe e тегральную функцию распределения. 2.3. НЕКОТОРЫЕ ТИПИЧНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для более глубокого понимания материала советуем изучить рекомендованные разделы учебной литературы (нумерация соответствует номерам литературы, указанной в библиографическом списке пособия). Литература: [3] гл. 12, § 1-3, гл. 13, § 1-3; [7] гл. 2, п. 2.7. 49 2.3.1. Равномерный закон распределения Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на интервале ( a, b) , если ее плотность вероятностей постоянна на этом интервале, а вне его равна нулю, т.е.: a xb, x a, x b . с, f ( x) 0, Значение константы с легко определить с помощью свойства нормировки непрерывной случайной величины (см. п. 2.1): b с dx c (b a) 1 c a 1 . ba Тогда равномерная случайная величина имеет плотность распределения: 1 , f ( x) b a 0, a xb, x a, x b . Обозначают: X ~ R (a, b) . Кривая распределения равномерной случайной величины имеет вид: f(x) P(α<X<β) 0 a α β b x Рис. 3 Интегральная функция распределения равномерной случайной величины: 0 , x a, x a F ( x) , a x b, b a 1 , x b. 50 График интегральной функции распределения имеет вид: F(x) 1 0 a b Рис. 4 x x Числовые характеристики равномерного распределения легко вычислить так, как это было сделано ранее (см. п. 2.2). Получим следующие формулы: (b a) 3 (b a)2 ab . , X , D( X ) 6 2 12 Вероятность попадания равномерной случайной величины в интервал ( , ) , принадлежащий целиком интервалу (a, b) , можно вычислить по формуле: M ( X ) Me( X ) P( X ) (2.13) , ( , ) (а, b) . ba Геометрически эта вероятность представляет собой площадь прямоугольника, заштрихованного на графике функции f (x ) (см. рис. 4). Этот факт дает возможность вычислять вероятность попадания равномерной случайной величины в заданный промежуток из геометрических соображений – наиболее удобный в данном случае. К равномерным величинам относятся те случайные величины, про которые известно, что все их значения лежат внутри некоторого промежутка и все они имеют одинаковую вероятность. Среди них – время ожидания пассажирами транспорта, курсирующего с определенным интервалом, ошибка округления чисел до целых и пр. Замечание. Дискретную случайную величину называют равномерно распределенной, если она принимает целочисленные значения 1, 2, 3,…, n с 1 равными вероятностями p . n n 1 n2 1 В этом случае M ( X ) ; D( X ) . 2 12 51 Примером равномерной дискретной величины может служить Х – число очков, выпавших на верхней грани игральной кости. Она может принять значе1 ния 1, 2, 3, 4, 5, 6 с равными вероятностями p . 6 6 1 62 1 3,5 ; D( X ) Ее числовые характеристики: M ( X ) 2,917 . 2 12 Пример. Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [1, 3]. Напишите дифференциальную и интегральную функции, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики и вероятность по- 1 5 падания случайной величины в интервал , , покажите эту вероятность на 2 2 графике. Решение. Случайная величина Х распределена по равномерному закону, следовательно, ее дифференциальная функция имеет вид: 0, 1 f ( x) , 2 0 , x 1, 1 x 3, x 3, ее график: Интегральная функция имеет вид: 0 , x 1 F ( x) , 2 1 , ее график: 52 x 1, 1 x 3, x 3. Вычислим числовые характеристики случайной величины: a b 1 3 2; 2 2 (b a) 2 (3 1) 2 4 1 D (X ) = ; 12 12 12 3 M ( X ) Ме( Х ) (b a) 3 (3 1) 3 2 3 3 0,577. 6 6 6 3 Вероятность попадания случайной величины в интервал 0,5; 2,5 можно (X ) вычислить рассмотренными выше способами. Например, с помощью интегральной функции распределения: 2,5 1 1,5 P0,5 X 2,5 F 2,5 F 0,5 0 0,75 . 2 2 Можно воспользоваться формулой нахождения вероятности попадания равномерной величины в данный интервал (2.13) или найти вероятность из геометрических соображений. Последний вариант в данном случае кажется наиболее удобным. На графике дифференциальной функции заштрихуем площадь под кривой распределения на интервале 0,5; 2,5 – получим прямоугольник, площадь которого численно равна искомой вероятности. Таким образом: 1 1 P0,5 X 2,5 S 2,5 1 1,5 0,75 . 2 2 2.3.2. Показательный закон распределения Непрерывная случайная величина называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность вероятностей имеет вид: x 0, 0, f ( x ) x e , x 0, где число 0 называется параметром распределения. 53 Кривая распределения равномерной случайной величины имеет вид: f(x) 0 x x Рис. 5 Интегральная функция распределения показательной случайной величины: x 0, 0, F ( x) x 1 e , x 0. График интегральной функции распределения имеет вид: F(x) 1 0 x Рис. 6 Числовые характеристики показательного распределения: 1 1 1 M ( X ) , D( X ) 2 , ( X ) . Вероятность попадания показательной случайной величины в интервал ( , ), где 0 , можно вычислить по формуле: P( X ) e e , 0 . (2.14) Пример. Случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром 4 . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения этой случайной величины, постройте их графики. Найдите числовые характеристики случайной величины, а также вероятность попадания ее в интервал (1,5; 2,5), покажите эту вероятность на графике. Решение. Случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром 4 , следовательно, дифференциальная функция имеет вид: x 0, 0, f ( x) 4 x 4 e , x 0, 54 ее график: Интегральная функция имеет вид: x 0, 0, F ( x) 4 x 1 e , x 0. Ее график: F(x) 1 x 0 x Числовые характеристики найдем по формулам: 1 1 1 1 1 1 M ( X ) ; D( X ) 2 ; ( X ) . 4 16 4 Вероятность попадания случайной величины в интервал (1,5; 2,5) найдем по формуле (2.14): P(1,5 X 2,5) e1,54 e2,54 e6 e10 0,0024 . 2.3.3. Нормальный закон распределения Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятностей имеет вид: 2 ( x a ) 1 f ( x) e 2 , x R , 2 где числа a 0 , 0 – параметры распределения. Обозначают: X ~ N (a, ) . 2 График плотности распределения вероятности нормального закона – кривая, которую называют нормальной кривой, или кривой Гаусса. 55 f(x) 0 a x Рис. 7 Нормальное распределение с параметрами a 0 и 1 N (0,1) называют стандартным (нормированным). Плотность вероятности стандартной случайной величины имеет вид: 2 x 1 ( x) e 2 , xR . 2 Напомним, что с этой функцией мы уже встречались выше (п. 1.4) – это функция Гаусса. Она четная и табулируемая – ее значения приведены в таблице (см. приложение 1), где для значений x 4 следует считать ( x) 0 . Интегральная функция распределения нормального распределения: x a F ( x) 0,5 , x где ( x) (t )dt – функция Лапласа также уже была описана в п. 1.4. Эта 0 функция нечетная и табулируемая – ее значения приведены в таблице (см. приложение 2), где для значений x 5 полагают ( x) 0,5 . График интегральной функции нормального распределения имеет вид: Рис. 8 56 При нахождении числовых характеристик нормального распределения становится ясен вероятностный смысл параметров распределения, так как: M ( X ) Mo( X ) Me( X ) a, D( X ) 2 , ( X ) . Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал , можно вычислить по формуле: a a (2.15) P( X ) Ф Ф . Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания можно вычислить по формуле: (2.16) P X a 2Ф . Последняя формула при подстановке в нее 3 позволяет сделать важный вывод – правило трех сигма: практически достоверно (с вероятностью 0,9973), что абсолютное отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е. все ее значения лежат в промежутке a 3 , a 3 . Закон Гаусса играет исключительную роль в теории вероятностей и математической статистике. Его отличительной особенностью является тот факт, что он является предельным законом, к которому (при определенных условиях) приближаются другие законы распределения. Именно нормальный закон распределения встречается на практике чаще других: им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами; погрешности измерений в физических приборах, численность популяций некоторых видов животных, рост человека и мн. др. Пример 1. Средний процент выполнения плана некоторым предприятием составляет 105 % со средним отклонением – 5 %. Полагая, что выполнение плана предприятием подчинено закону нормального распределения, вычислить долю предприятий, выполняющих план от 110 % до 130 %. Решение. Случайная величина Х – процент выполнения плана предприятиями, она имеет нормальное распределение с параметрами a 105 и 5 . Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой (2.15): 130 105 110 105 P(110 X 130) Ф Ф Ф(5) Ф(1) 0,1587. 5 5 Так, доля предприятий, выполняющих план на 110 % – 130 %, составляет около 16 % от общего числа предприятий. 57 Пример 2. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя длина детали равна 50 мм, а дисперсия – 0,25 мм2. Какое поле допуска длины изготавливаемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,99? Решение. Длина изготавливаемой детали – случайная величина Х , имеющая нормальный закон распределения с параметрами a 50 и D( X ) 0,25 0,5 . Известна вероятность, гарантирующая поле допуска: P X a 0,99 . Воспользуемся указанной выше формулой (2.16) для нахождения отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания: P X a 2Ф ; 2Ф 0,99 ; Ф 0,495 . По таблице значений функции Лапласа (см. приложение 2) находим значение аргумента, при котором значение функции ( x) 0,495 : 2,58 2,58 2,58 0,5 1,29 . Тогда с вероятностью 0,99 можно указать поле допуска длины детали: a Х a ; 50 1,29 Х 50 1,29 ; 48,71 Х 51,29 . Задачи для аудиторного занятия 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины постоянна в интервале 0, 4 и равна нулю вне его. Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. 2. Непрерывная случайная величина распределена равномерно на промежутке [5, 3] . Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения и числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал 2,1 и покажите ее на графике. 58 3. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найдите вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05. 4. Автобусы маршрута «Самара – Тольятти» идут по расписанию с интервалом движения 30 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать автобус, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно. Найдите вероятность того, что пассажир, наудачу приехавший на автовокзал, будет ожидать очередной автобус менее 10 минут. 5. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром 0,5 . Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал 1, 2 и покажите ее на графике. 6. Время работы прибора до поломки подчинено показательному закону распределения. Какова вероятность того, что прибор проработает безотказно а) 200 часов; б) 800 часов, если среднее время работы прибора 400 часов? 7. Время безотказной работы прибора имеет показательное распределение F ( x) 1 e0,01t (t 0) . Найдите время гарантийной работы прибора. Какова вероятность того, что прибор проработает безотказно: а) менее 200 часов? б) не менее 200 часов? 8. Время безотказной работы прибора имеет показательное распределение. Найдите вероятность того, что прибор проработает не менее 500 часов, если среднее время работы прибора 300 часов. 9. Выберите из перечисленных ниже законов распределения те, которые являются нормальными. Постройте их графики и определите числовые характеристики этих случайных величин. 2 10 400( x20)2 1 ( x63) e e а) f ( x) ; в) f ( x) ; 6 ( x 2)2 2 2( x5)2 1 e e 8 ; г) f ( x) б) f ( x) . 4 2 10. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а 5, 2 . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения этой случайной величины. Найдите вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал (1, 10). 59 11. Диаметр подшипников представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 20 мм и дисперсией 0,16 мм 2 . Найдите вероятность поступления на конвейер стандартной детали, если разрешено отклонение размера диаметра от его среднего значения не более чем на 1 мм. 12. Размер детали, изготавливаемой станком-автоматом, задан полем допуска 40-42 мм. Средний размер детали равен 40,6 мм, а среднее отклонение составляет 0,5 мм. Вычислите процент брака при производстве таких деталей, при условии, что их размер – случайная величина, распределенная по нормальному закону. 13. Диаметр деталей представляет случайную величину, распределенную по нормальному закону. Ее математическое ожидание равно 3,5 см, а дисперсия – 0,01 см 2 . В каких границах можно гарантировать диаметр детали с вероятностью 0,9818? 14. Продолжительность горения электрической лампы в некоторой партии – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 1200 ч и средним квадратическим отклонением 50 ч. Найдите вероятность того, что продолжительность горения наугад взятой лампы составила 1200 80 часов. 15. Известно, что рост человека подчиняется нормальному закону распределения. Для некоторой группы лиц средний рост оказался равным 170 см со средним отклонением 5 см. Какова вероятность того, что случайно выбранное лицо выше 165, но ниже 168 см? Каков процент таких лиц в этой группе? Задачи для самостоятельного решения 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины постоянна на отрезке 0,1; 0,1 и равна нулю вне его. Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 0,05) и покажите ее на графике. 2. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Определите вероятность того, что в данное мгновение эти часы показывают время, отличающееся от истинного, не более чем на 20 секунд. 60 3. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром 2 . Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Определите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал (0,5; 1) и покажите ее на графике. 4. Время безотказной работы прибора имеет показательное распределение с интенсивностью 0,3 . Найдите время гарантийной работы прибора. Какова вероятность того, что прибор проработает безотказно: а) хотя бы два года? б) не менее 4 лет? Покажите найденные вероятности на графике. 5. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а 6, 2 . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения этой случайной величины и постройте их графики. Какова вероятность попадания случайной величины в интервал (3, 7)? Покажите найденную вероятность на графике. 6. Диаметр некоторой партии гаек представляет случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 16 мм и дисперсией 0,09 мм 2 . Найдите вероятность поступления на конвейер бракованной детали, если разрешено отклонение размера диаметра от его среднего значения не более чем на 0,5 мм. В каких границах можно гарантировать диаметр гайки с вероятностью 0,901? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 2 1. Случайная величина: определение, классификация. 2. Дискретная случайная величина: определение, способы задания. 3. Ряд распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения. 4. Зависимые и независимые случайные величины. 5. Дискретная случайная величина. Числовые характеристики. 6. Характеристики положения случайной величины. 7. Характеристики рассеяния случайной величины. 8. Математическое ожидание случайной величины: определение, свойства. 9. Дисперсия случайной величины: определение, свойства. 10. Функция распределения: определение и свойства. 11. Биномиальный закон распределения вероятностей. 12. Распределение Пуассона. 61 13. Геометрическое распределение вероятностей. 14. Гипергеометрическое распределение вероятностей. 15. Непрерывная случайная величина: определение, способы задания. 16. Плотность распределения вероятности: определение и свойства. 17. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. 18. Равномерный закон распределения вероятностей: функции распределения, числовые характеристики. 19. Показательный закон распределения вероятностей: функции распределения, числовые характеристики. 20. Нормальный закон распределения вероятностей: функции распределения, числовые характеристики. 21. Стандартный закон распределения вероятностей. 22. Кривая Гаусса: определение, свойства. 23. Правило 3-сигма: формулировка, вывод. 24. Понятие о различных формах закона больших чисел. 25 Законы больших чисел. Теорема Бернулли. 26. Законы больших чисел. Теорема Чебышева. 27. Центральная предельная теорема Ляпунова. 62 ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОГО ТЕСТА ПО ТЕМЕ «СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ» 1. Дискретная случайная величина всегда: a) принимает все значения из некоторого промежутка; b) принимает отдельные (изолированные) значения; c) принимает бесконечное число значений; d) принимает конечное число значений. 2. Каким свойством НЕ обладает дифференциальная функция распределения? a) f x 0 ; b) f ( x)dx 1; x c) F ( x) f x dx ; f ( x) . d) . lim x 3. Какая из числовых характеристик случайной величины является характеристикой положения? a) математическое ожидание; b) центральный момент второго порядка; c) среднее квадратическое отклонение; d) дисперсия. 4. Какое из свойств дисперсии указано НЕверно? a) D(C ) 0 ; b) D(CХ ) C 2 D( X ) ; c) D(CХ ) CD ( X ) ; d) D( Х Y ) D( X ) D(Y ) . 5. Дан закон распределения случайной величины. Найдите р3 . xi 0 15 pi 0,38 0,01 a) 0,6; b) 0,51; c) 0,49; d) 0,4. 63 25 100 р3 0,1 6. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения: xi 0 pi 0,15 1 2 0,3 0,55 Тогда ее функция распределения имеет вид: 0, x 0 0,15, 0 x 1 a) F ( x) 0, 45, 1 x 2 0, 4, x 2 0, x 0 0,15, 0 x 1 b) F ( x) 0,3, 1 x 2 1, x 2 0, x 0 0,15, 0 x 1 c) F ( x) 0,5, 1 x 2 1, x 2 0, x 0 0,15, 0 x 1 d) F ( x) 0, 45, 1 x 2 1, x 2 7. Найдите математическое ожидание случайной величины из задачи № 6. a) 1,4; b) 1,55; c) 1; d) 0,41. 8. Дисперсия случайной величины D ( X ) 2,5 . Используя свойства дисперсии, найдите D (2 X 1,5) . a) 2; b) 3,5; c) 7,5; d) 10. 64 9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения: 0, x 2 f ( x) Ах , 2 x 3 . 0, x 3. Чему равен коэффициент А ? a) 1; b) 1/5; c) 2/5; d) 1/2 10. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения: x 0; 0, 2 F ( x) 2 x x3 , 0 x 1. 1, x 1. Найдите вероятность попадания этой величины в интервал (0; 0,5). a) 0,125; b) 0,375; c) 0,5; d) 0,625. 11. Найдите дисперсию случайной величины, распределенной равномерно на интервале (-2, 4). a) 1/3; b) 1; c) 3; d) 9. 12. Чему равна дисперсия непрерывной случайной величины, распределенной e x , если x 0; по показательному закону f ( x) ? если x 0, 0, a) ; 1 b) ; c) 2 ; 1 d) 2 . 65 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Вариант 1 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – бросание двух монет; события А1 – появление двух гербов, А2 – появление герба и надписи? 2. В классе 30 учеников: 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, отвечает один ученик. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка? 3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик наудачу взял один, а затем другой валик. Найдите вероятность того, что второй валик конусный. 4. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найдите вероятность того, что на базу придут 4 поврежденные изделия. 5. Вероятность поражения движущейся мишени при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что при 2000 выстрелах отклонение частоты попадания от его вероятности не будет превышать по абсолютной величине 0,03? 6. Бросаются две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков – нечетная, а на грани одной из костей появится пятерка. 7. В жюри из трех человек два человека независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p , а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p . Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью? 8. На стройку поступает 50 % деталей с первого завода, 20 % – со второго, 30 % – с третьего завода. Первый завод дает 2 % брака, второй – 3 %, третий – 1 %. В результате поступления бракованной детали возникла авария. Какова вероятность того, что бракованная деталь была изготовлена на втором заводе? 9. Определите вероятность того, что при пяти бросаниях монеты число выпадений герба будет равно: а) трем; б) не менее трех. Случайные величины 1. В одной урне 3 белых и 9 черных шаров, а в другой – 8 белых и 4 черных. Из каждой урны взяли по шару. Найдите закон распределения белых шаров среди этих двух и математическое ожидание этой величины, постройте многоугольник распределения. Запишите интегральную функцию распределения и постройте ее график. 66 2. Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности: a(1 x), 1 x 1, f ( x) 0, x 1, x 1. Определите постоянный коэффициент a и числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (0,5; 1) и покажите ее на графике. 3. Плотность распределения непрерывной случайной величины постоянна в интервале 1, 6 и равна нулю вне его. Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. 4. Время безотказной работы прибора имеет показательное распределение с интенсивностью =0,25. Найдите время гарантийной работы прибора. Какова вероятность того, что прибор проработает безотказно: а) хотя бы два года? б) не менее 4 лет? 5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равны соответственно 3 и 3. Запишите дифференциальную функцию распределения, постройте ее график. Какова вероятность того, что в результате испытания эта случайная величина примет значение из интервала (1, 3) ? Вариант 2 Случайные события 1. Являются ли несовместными следующие события: опыт – два выстрела по мишени; событие А1 – хотя бы одно попадание, событие А2 – хотя бы один промах? 2. Вероятность выпуска изделия, отвечающего утвержденным техническим нормам, равна 0,9. Какова вероятность в партии из 300 изделий получить 265 стандартных? 3. В урне лежат 35 красных и 30 синих шаров. Наудачу достают один шар, а затем, не возвращая его, второй. Какова вероятность того, что первый вынутый шар был синим, а второй – красным? 4. В ящике находится 54 одинаковых по виду и весу деталей, помеченных номерами от 1 до 54. Какова вероятность того, что наудачу вынутая деталь окажется с номером, содержащим цифру 3? 5. Всхожесть семян хосты сорта Зибольда в субтропической климатической зоне составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 6 посаженных семян взойдут 4? 67 6. Два датчика посылают сигналы в общий канал связи, причем первый посылает в 2 раза больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,06; от второго – 0,03. Какова вероятность того, что наугад выбранный из общего канала связи сигнал будет искаженным? 7. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит пять вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает ответ только на три вопроса билета. 8. Первый рабочий производит 55 % всех деталей, второй рабочий – 45 %. В продукции первого – 2 % брака, у второго – 3 %. Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она сделана вторым рабочим? 9. Две монеты подбрасываются 1000 раз. Найдите приближенное значение вероятности того, что число выпадений комбинации «герб – герб» будет заключено между 236 и 264. Случайные величины 1. Функция распределения случайной величины имеет вид: x 0, 0, 2 F ( x) x , 0 x 1, 1, x 1. Найдите числовые характеристики этой случайной величины и вероятность попадания ее в интервал 0,5; M ( X ) . Постройте графики функций распределения. 2. Из ящика с десятью шарами (среди которых 7 белых и 3 черных) одновременно извлекаются 4 шара. Запишите закон распределения числа белых шаров в выборке. Постройте многоугольник распределения и график интегральной функции распределения F(x). Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 3. Непрерывная случайная величина распределена равномерно на промежутке [2, 3] . Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения и числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал 2,1 и покажите ее на графике. 4. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром 0,4 . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения этой случайной величины, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины и определите вероятность попадания ее в интервал 2, 5 . Покажите эту вероятность на графике. 68 5. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, есть величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 8 мм и дисперсией 0,16 мм 2 . Какова вероятность брака по размеру диаметра, если разрешенный допуск 0,6 мм? Вариант 3 Случайные события 1. Являются ли равновозможными события: опыт – выстрел по мишени; события А1 – попадание, А2 – промах? 2. В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом № 1, и 10 деталей, изготовленных заводом № 2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найдите вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная заводом № 2. 3. Вероятность попадания в самолет из зенитного орудия при одном выстреле равна 0,008. Производятся 100 выстрелов. Определите вероятность двух попаданий. 4. В одном институте установили, что вероятность наличия иногородних студентов составляет 36 %. Определите с вероятностью 0,9545, в каких границах может заключаться относительная частота иногородних студентов во всем обследуемом коллективе, если численность выборки равна 900 человек. 5. Определите вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, причем номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001. 6. Во время тренировок установлено, что спортсмен может улучшить прежний результат с вероятностью 0,2 при каждой попытке. Какова вероятность того, что на очередных соревнованиях, где разрешается три попытки, спортсмен улучшит свой результат? 7. В партии из 10 деталей 7 окрашены. Наудачу отобраны 3 детали. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей 2 окрашены. 8. Пять стрелков попадают в мишень с вероятностью 0,6, три стрелка – с вероятностью 0,7, два – с вероятностью 0,9. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе стрелков вероятнее всего принадлежал он? 9. Производится пять независимых выстрелов по цели. Вероятность попа1 дания при каждом выстреле равна . Чему равна вероятность того, что число 3 попаданий будет заключено в пределах от 1 до 3? 69 Случайные величины 1. Устройство состоит из двух независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого из них в одном опыте 0,2. Составьте ряд распределения случайной величины – числа отказавших элементов в одном опыте. Найдите функцию распределения и числовые характеристики этой случайной величины. Постройте многоугольник распределения и график функции распределения. 2. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности вероятностей: a(1 x 2 ), 1 x 1, f ( x) x 1, x 1. 0, Определите постоянный коэффициент A, числовые характеристики этой случайной величины и вероятность ее попадания в интервал (0; 1). Постройте кривую распределения. 3. Непрерывная случайная величина распределена равномерно в интервале (1,5;4). Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. 4. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром 0,04 . Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал 2, 5 и покажите ее на графике. 5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равны соответственно 6 и 2. Запишите дифференциальную функцию распределения, постройте ее график. Какова вероятность того, что в результате испытания эта случайная величина примет значение из интервала (2; 6)? Вариант 4 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – два выстрела по мишени; событие А1 – хотя бы одно попадание, событие А2 – хотя бы один промах? 2. В цехе имеется три резервных мотора на случай поломки основных моторов. Для каждого мотора вероятность быть включенным в данный момент равна 0,2. Найдите вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один резервный мотор. 3. Найдите вероятность того, что в течение рабочего дня 30 машин из 100 работающих в цехе потребуют внимания мастера, если вероятность поломки одной машины равна 0,2. 70 4. Брошены две игральные кости (кубики). Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на верхних гранях, равна 5? 5. Имеются две партии изделий по 10 и 15 штук. В каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую. После этого случайным образом выбирается изделие из второй партии. Определите вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии. 6. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара. Найдите вероятность того, что хотя бы один из них белый. 7. На сборку поступают детали с двух станков-автоматов. С первого станка поступает 70 деталей в час (при этом он допускает 2 % брака), а со второго станка – 30 деталей в час (при этом он допускает 1 % брака). Случайно взятая сборщиком деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке? 8. По статистике левши в среднем составляют 1 % от общего числа населения. Какова вероятность, что среди наудачу выбранных 200 человек будет не менее четырех левшей? 9. Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет четыре раза? Хотя бы четыре раза? Случайные величины 1. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,4. Найдите закон распределения числа промахов при четырех выстрелах и постройте многоугольник полученного распределения. Определите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите интегральную функцию распределения и постройте ее график. 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью f (x) , где: a а 2 x 2 , а x а, f ( x) 0, x а, x а. Найдите коэффициент а, числовые характеристики и вероятность того, что a эта случайная величина попадет в интервал , a . Постройте график функции 2 плотности вероятности. 71 3. Интервал движения электропоездов направления «Самара – Тольятти» в среднем – 1 час 30 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать электричку, представляет собой случайную величину, распределенную по равномерному закону. Найдите вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд более 20, но менее 40 минут. Покажите найденную вероятность на графике. 4. Средний срок свечения энергосберегающих ламп Iskra Львовского электролампового завода составляет 8000 часов. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает не менее 10000 часов, если время безотказной работы лампы имеет показательное распределение. 5. Цех изготавливает детали, длины которых представляют собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины соответственно равны 1 и 0,1 см. Найдите вероятность того, что отклонение длины детали в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,05 см, и покажите ее на графике. Вариант 5 Случайные события 1. Являются ли несовместными следующие события: опыт – извлечение двух карт из колоды; событие А1 – появление дамы, событие А2 – появление короля? 2. Вероятность выиграть по одному билету лотереи «А у нас выигрывают» равна 0,08. Какова вероятность того, что человек, купивший 5 билетов, выиграет хотя бы по одному? 3. Вероятность выпуска дефектной лампы равна 0,03. Найдите максимально возможное с вероятностью 0,999 отклонение частоты дефектных ламп от 0,03 среди 2000. 4. В камере хранения ручного багажа 80 % всей клади составляют чемоданы, которые вместе с другими вещами хранятся на стеллажах. Через окно выдачи были получены все вещи с одного стеллажа. Какова вероятность того, что среди выданных 50 вещей было 38 чемоданов? 5. Четыре станка-автомата производят детали на общий конвейер. Вероятность получения брака на первом автомате равна 0,009, на трех остальных – 0,006. Производительность у первого автомата вдвое больше, чем у каждого из остальных. Какова вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь будет бракованной? 6. В ящике лежат 6 красных и 2 черных носка. Из ящика в темноте вытягивают два носка. Какова вероятность того, что они одного цвета? 72 7. Бросают две игральные кости. Определите вероятность того, что произведение числа выпавших очков делится на два. 8. Болты изготавливают на трех станках, каждый из которых производит соответственно 25, 30, 45 % всего количества болтов. В продукции каждого станка брак составляет соответственно 3, 2, 1 %. Взятый наудачу болт оказался бракованным. Какова вероятность того, что он сделан на третьем станке? 9. В партии из 12 деталей – 8 стандартных. Наудачу отобраны 9 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей будет 5 стандартных. Случайные величины 1. Случайная величина X имеет функцию плотности вероятности: x 0, 0, f ( x) 2 x, 0 x 1, 0, x 1. Вычислите числовые характеристики данной случайной величины и вероятность попадания ее в промежуток 1; М ( Х ). 2. На пустую шахматную доску случайно ставится слон. Вероятности поставить слона на каждую клетку будем считать одинаковыми. Составьте закон распределения случайной величины X – числа битых полей, постройте многоугольник распределения. Найдите интегральную функцию распределения и постройте ее график. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. 3. Интервал движения электропоездов «Самара – Похвистнево» в среднем составляет 1 час 10 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать электричку, представляет собой случайную величину, распределенную по равномерному закону. Найдите вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд менее 35 минут и покажите эту вероятность на графике. 4. Время безотказной работы прибора имеет показательное распределение F ( x) 1 e0,01t (t 0) . Найдите время гарантийной работы прибора. Какова вероятность того, что прибор проработает безотказно: а) менее 300 часов? б) не менее 300 часов? 5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равны 5 и 2 соответственно. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0, 8) и покажите ее на графике. 73 Вариант 6 Случайные события 1. Являются ли равновозможными следующие события: опыт – извлечение одной карты из колоды; события А1 – появление карты червовой масти, А2 – появление карты бубновой масти, А3 – появление карты пиковой масти? 2. В урне лежат 11 шаров, среди которых 5 белых и 6 красных. Из урны наудачу вынимают 5 шаров. Найдите вероятность того, что среди них будут два белых шара. 3. На склад поступили одинаковые электрические утюги. Первый завод поставляет 80 %, а второй – 20 % всего количества. Известно, что первый завод выпускает 90 % продукции, способной прослужить положенный срок, а второй – 95 %. Какова вероятность того, что наугад взятый утюг прослужит положенный срок? 4. Если в среднем левши составляют 1 % от общего числа населения, каковы шансы на то, что среди 200 человек двое левшей? 5. В лотерее «Золотая подкова» вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3. Какова вероятность того, что из пяти приобретенных билетов два выигрывают? 6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, а из винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из винтовки, взятой наудачу. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? 7. Бросаются две игральные кости. Найдите вероятность того, что суммарное число очков на обеих костях делится на три. 8. Три стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по мишени с вероятностями попадания 0,4; 0,7; 0,9 соответственно. Определите вероятность хотя бы одного попадания. 9. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 99,95 % изделий высшего сорта. Чему равна вероятность того, что из 10000 наудачу взятых изделий не высшего сорта окажется: а) ровно 40 изделий; б) не более 70 изделий? Случайные величины 1. Стрелок имеет три патрона и стреляет в цель до первого попадания или пока не кончатся патроны. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 2 равна . Постройте закон распределения числа израсходованных патронов и 3 найдите числовые характеристики этой случайной величины. Постройте многоугольник распределения и график интегральной функции распределения. 74 2. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид: x 0, 0, f ( x) c arctgx, 0 x 1, 0, x 1. Найдите постоянный параметр с и математическое ожидание этой случайной величины. 3. Цена деления шкалы секундомера равна 0,5 с. При проведении кросса показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найдите вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка: а) меньшая 0,1 с; б) большая 0,25 с. 4. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром 0,1 . Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал 1, 4 и покажите ее на графике. 5. Диаметр деталей представляет случайную величину, распределенную по нормальному закону. Ее математическое ожидание равно 40 мм, а среднее квадратичное отклонение – 2 мм. В каких границах можно гарантировать диаметр детали с вероятностью 0,9796? Вариант 7 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – два выстрела по мишени; события А1 – ни одного попадания, А2 – одно попадание, А3 – два попадания? 2. Всхожесть семян данного растения равна 0,8. Какова вероятность того, что при посеве 10000 семян доля взошедших семян отклонится от 0,8 не более чем на 0,01? 3. Сборная команда по боксу, состоящая из пяти русских, четырех чеченцев и трех дагестанцев, проводит тренировку. Проводится спарринг. Какова вероятность того, что в нем участвуют двое спортсменов одной национальности? 4. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, а их разность – 4. 5. На складе имеется 15 изделий, из которых 10 со знаком качества. Найдите вероятность того, что среди наудачу взятых 5 изделий 3 окажутся со знаком качества. 75 6. Болты изготавливают на трех станках, каждый из которых производит соответственно 20, 30, 50 % деталей общего количества. В продукции каждого станка брак составляет соответственно 3, 2 и 1 %. Какова вероятность того, что случайно взятый болт окажется дефектным? 7. Команда стрелков составлена из двух отличных, трех хороших и пяти средних стрелков. Вероятность попадания в мишень для каждой группы равна 0,99; 0,9 и 0,75 соответственно. Наугад выбранный из команды стрелок попадает в цель. Какова вероятность того, что это отличный стрелок? 8. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости равна 0,01. Сверла укладываются в коробку по 200 штук. Определите вероятность того, что количество бракованных сверл в наудачу выбранной коробке не превосходит двух. 9. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,01. В предположении независимости искажения знаков найдите вероятность того, что сообщение из пяти знаков содержит одно искажение. Случайные величины 1. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составьте закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных. Запишите интегральную функцию распределения F(x), постройте ее график и многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 2. Дана функция плотности вероятности случайной величины X: х 0, 0, f ( x) a sin x, 0 x , 0, x . Определите коэффициент а и математическое ожидание этой случайной величины. Запишите интегральную функцию распределения F(x). Постройте графики дифференциальной и интегральной функций. 3. Непрерывная случайная величина распределена равномерно в интервале 2,5; 3 . Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал 1, 5 и покажите эту вероятность на графике. 4. Гарантийный срок службы энергосберегающих ламп Start фирмы General Electric составляет 3000 часов. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа этой модели проработает не менее 5000 часов, если время безотказной работы лампы имеет показательное распределение? 76 5. Заряд пороха для ружья 32 калибра отвешивается на весах со средней ошибкой взвешивания 0,25 г и является нормально распределенной случайной величиной. Номинальный вес заряда составляет 2,5 г. Найдите вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес заряда равен 3 г. Покажите эту вероятность на графике. Вариант 8 Случайные события 1. Являются ли совместными следующие события: опыт – бросание монеты; события А1 – появление герба, А2 – появление цифры? Изменится ли ответ, если опыт – бросание двух монет? 2. По данным технического контроля в среднем 2 % изготавливаемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 300 изготовленных часов 290 не нуждаются в дополнительной регулировке? 3. В конверте находятся 4 одинаковые карточки, на каждой из которых напечатана одна из букв: А, Е, Р, К. Эти карточки вынимаются по одной и укладываются рядом. Найдите вероятность того, что получится слово «РЕКА». 4. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый автомат дает 70 % необходимых для сборки деталей, второй – 30 %. Вероятность появления бракованной детали с первого автомата равна 0,02, со второго – 0,01. Какова вероятность поступления на сборку бракованной детали? 5. Аппаратура содержит 2000 одинаковых элементов, каждый из которых может выйти из строя с вероятностью 0,005. Найдите вероятность отказа аппаратуры, если он наступит при поломке хотя бы одного элемента. 6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта. 7. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков суммарное число выпавших очков не менее 9. 8. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах 12 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 9 вопросов, посредственно – на 6, плохо – на 3 вопроса. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найдите вероятность того, что этот студент подготовлен плохо. 9. В урне 8 красных и 6 черных шаров. Наудачу, один за другим, извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что третьим будет вынут черный шар? 77 Случайные величины 1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения: x 0, 0, F ( x) 0,5(1 cos x), 0 x , 1, x . Найдите плотность вероятности f(x) и математическое ожидание этой случайной величины. Какова вероятность того, что значение этой случайной вели- чины попадет в интервал 0, ? Покажите найденную вероятность на графике. 3 2. На пустую шахматную доску случайно ставится конь. Вероятности поставить его на каждую клетку будем считать одинаковыми. Найдите закон распределения случайной величины X – числа битых полей. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. 3. Поезда метрополитена идут с интервалом 4 минуты. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно. Найдите вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд более 1, но менее 2 минут. Покажите эту вероятность на графике. 4. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром 0,04 . Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал 2, 5 . 5. Цех изготавливает детали, длины которых представляют собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 15 и 1 см. Найдите вероятность того, что отклонение длины детали в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,5 см. Покажите найденную вероятность на графике. Вариант 9 Случайные события 1. Являются ли равновозможными следующие события: опыт – бросание двух монет; события А1 – появление двух гербов, А2 – появление двух цифр? 2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,4. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в цель при шести выстрелах. 78 3. При вытачивании болтов наблюдается 1 % брака. Какова вероятность того, что из 400 болтов не менее 390 будут стандартными? 4. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0,4. Найдите вероятность того, что среди наудачу взятых 26 деталей половина окажется высшего сорта. 5. Имеются три одинаковых по виду коробки. В первой коробке – 10 белых шаров, во второй – 5 белых и 5 черных шаров, в третьей – 10 черных шаров. Выбирают наудачу одну из коробок и вынимают из нее шар. Найдите вероятность того, что этот шар белый. 6. В группе из 18 студентов, пришедших на экзамен, 6 подготовлены отлично, 8 – хорошо, 3 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 12 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 12 вопросов, хорошо – на 9, посредственно – на 6, плохо – на 3. Вызванный наугад студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найдите вероятность того, что этот студент подготовлен отлично. 7. На складе имеется 10 ящиков со стеклом, причем 6 из них содержат стекло высокого качества. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых трех ящиков хотя бы два окажутся со стеклом высокого качества? 8. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров не менее 13? 9. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет, и шар возвращается в урну. Чему равно число извлечений n, при котором с вероятностью 0,9722 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01? Случайные величины 1. Непрерывная случайная величина имеет вероятностную плотность: x 1, 0, A f ( x) , 1 x 1, 2 1 x x 1. 0, Вычислите постоянную А и числовые характеристики этой случайной величины. Постройте кривую распределения. 79 2. Две игральные кости одновременно бросаются два раза. Напишите закон распределения дискретной случайной величины X – количества выпадений нечетного числа очков на двух игральных костях (в сумме), постройте многоугольник распределения и график интегральной функции распределения F(x). Вычислите математическое ожидание этой случайной величины. 3. Интервал движения электропоездов направления «Самара – Сызрань» в среднем – 40 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать электричку, представляет собой равномерно распределенную случайную величину. Найдите вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд более 15 минут и покажите эту вероятность на графике. 4. Гарантийный срок службы энергосберегающих ламп Extra фирмы General Electric составляет 15000 часов. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа этой модели проработает не менее 25000 часов, если время безотказной работы лампы имеет показательное распределение? 5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равны 1 и 3 соответственно. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (1, 4) и покажите ее на графике. Вариант 10 Случайные события 1. Являются ли равновозможными следующие события: опыт – бросание игральной кости (кубика); события А1 – появление не менее трех очков, А2 – появление не более четырех очков? 2. Средний процент нарушения работы прибора в течение гарантийного срока равен 12. Какова вероятность того, что из 46 приборов 36 выдержат гарантийный срок? 3. Из колоды в 36 карт вынимают 3 карты. Найдите вероятность того, что среди них два туза. 4. В железнодорожном составе 50 вагонов, груженных углем двух сортов: 25 вагонов содержат 70 % угля первого сорта и 30 % – второго; 15 вагонов содержат 60 % и 40 %; остальные 10 вагонов – 85 % и 15 % угля первого и второго сорта соответственно. Случайно взятый для анализа кусок угля оказался второго сорта. Какова вероятность, что он взят из вагона первой группы? 80 5. Игральная кость бросается 5 раз. Найдите вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем. 6. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что на выпавших гранях число очков различно. 7. В первой урне содержится 5 шаров, из них 2 белых и 3 черных; во второй урне 12 шаров, из них 4 белых и 8 черных. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета? 8. Проверкой установлено, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости равна 0,01. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Определите вероятность того, что в наудачу выбранной коробке не окажется бракованных сверл. 9. В команде из 10 стрелков двое имеют третий разряд и попадают в мишень с вероятностью 0,6; трое имеют второй разряд и попадают в мишень с вероятностью 0,7; пятеро имеют первый разряд и попадают в мишень с вероятностью 0,9. Наудачу выбран стрелок. Какова вероятность того, что он попадет в мишень? Случайные величины 1. В ящике № 1 имеется 9 белых и 3 черных шара, в ящике № 2 – 4 белых и 8 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найдите закон распределения белых шаров среди этих двух и числовые характеристики этой случайной величины. Постройте многоугольник распределения и график интегральной функции распределения. 2. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности вероятностей: если x 0; 0, f ( x) 4 x x3 , если 0 x 2; 0, если x 2. Найдите значение параметра λ и вычислите числовые характеристики этой случайной величины. 3. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону на отрезке [-1;1]. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-0,5; 2) и покажите эту вероятность на графике. 81 4. Гарантийный срок службы энергосберегающих ламп OSRAM составляет 12000 часов. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает не менее 15000 часов, если время безотказной работы лампы имеет показательное распределение? 5. Диаметр деталей, выпускаемых станком-автоматом, есть величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 5 мм и дисперсией 0,25 мм 2 . Найдите вероятность брака на этом станке, если допустимый размер детали 5 0,25 мм. Вариант 11 Случайные события 1. Являются ли полными следующие группы событий: а) опыт – бросание монеты; события А1 – появление герба, А2 – появление цифры; б) опыт – бросание двух монет; события А1 – появление двух гербов, А2 – появление двух цифр? 2. Вероятность выпуска дефектной лампы равна 0,1. В магазин поступила партия из 200 ламп. Найдите вероятность того, что среди них окажется от 17 до 23 бракованных ламп. 3. В первой урне содержится 5 шаров, из них 2 белых и 3 красных; во второй урне – 12 шаров, из них 4 белых и 8 красных. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что выбранные шары одноцветные? Разноцветные? 4. Автоматическая штамповка клемм для предохранителей дает 10 % отклонений от принятого стандарта. Сколько стандартных деталей должно быть в партии из 400 клемм, чтобы вероятность появления такого числа равнялась 0,0587? 5. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найдите вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 будут стандартными. 6. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков суммарное число очков на выпавших гранях будет не меньше 8, а произведение их – четное число. 7. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 % всех изделий, вторая – 35 %, третья – 40 %. Брак в продукции этих станков составляет 4 %, 3 % и 2 % соответственно. Найдите вероятность того, что случайно выбранный болт произведен второй машиной, если он оказался дефектным. 82 8. В цехе имеется четыре резервных мотора. Для каждого мотора вероятность включения на данный момент равна 0,1. Какова вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один резервный мотор? 9. Из урны, содержащей 4 белых и 12 черных шаров, один шар утерян. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный из урны после потери, окажется белым. Случайные величины 1. Игральный кубик бросают три раза. Найдите закон распределения случайной величины – числа выпадений 6 очков и числовые характеристики этой величины. Постройте многоугольник распределения и график интегральной функции распределения. 2. Непрерывная случайная величина X задана функцией плотности вероятности: a f ( x) 2 , x R. x 4 Найдите параметр а и интегральную функцию распределения. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в промежуток (0, 2) и покажите эту вероятность на графике. 3. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону в интервале (-3,7). Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал 1, 2 и покажите эту вероятность на графике. 4. Длительность времени безотказной работы нагревательного элемента отопительного прибора имеет показательное распределение, определяемое законом F (t ) 1 e 0.025t , t 0 . Какова вероятность того, что этот элемент проработает безотказно хотя бы 100 часов? 5. Размер деталей, изготавливаемых станком-автоматом, есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 2 см и дисперсией 0,04 см 2 . В каких границах можно гарантировать диаметр такой детали с вероятностью 0,996? Вариант 12 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – бросание монеты; события А1 – появление герба, А2 – появление цифры? 83 2. В ящике лежат 20 теннисных мячей, из них 12 новых и 8 играных. Для игры берут наугад 2 мяча и после игры возвращают в ящик. Затем из ящика вынимают 2 мяча для следующей игры. Найдите вероятность того, что оба мяча будут новыми. 3. Вероятность попадания в цель равна 0,3. Сбрасываются одиночно 6 бомб. Найдите вероятность того, что в цель попадет 4 бомбы. 4. При штамповке 70 % деталей выходит первым сортом, 20 % – вторым, 10 % – третьим. Определите, сколько надо взять отштампованных деталей, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было утверждать, что доля первосортных из них будет отличаться от вероятности изготовления первосортной детали по модулю не более чем на 0,05. 5. Из шести букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Карточки перемешаны. Какова вероятность получить это слово в порядке появления карточек при их произвольном выборе? 6. Преподаватель вызвал через старосту на обязательную консультацию трех студентов из 6 отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трех отстающих студентов. Какова вероятность того, что староста послал на консультацию именно тех трех студентов, которых назвал преподаватель? 7. Первый рабочий производит 55 % всех деталей, второй – 45 %. В продукции первого рабочего брак составляет 2 %, у второго – 1 %. Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим. 8. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков суммарное число очков на выпавших гранях будет не больше 6, а произведение числа очков при этом – нечетное число? 9. На прядильной фабрике работница обслуживает 800 веретен, вероятность обрыва нити на каждом из них в течение некоторого промежутка времени равна 0,005. Найдите вероятность того, что в течение этого времени обрыв произойдет в десяти веретенах. Случайные величины 1. Функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид: x 0, 0, 2 F ( x) 0,04 x , 0 x 5, 1, x 5. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что значение этой случайной величины окажется в интервале (3, 6), и покажите эту вероятность на графике. 84 2. Монета подбрасывается 5 раз. Рассматривается случайная величина X – количество выпавших гербов. Постройте ряд распределения этой случайной величины и многоугольник этого распределения. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите интегральную функцию распределения и постройте ее график. 3. Автобусы маршрута № 77 идут строго по расписанию с интервалом движения 7 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать автобус, есть величина, распределенная по равномерному закону. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 4 минут, и покажите эту вероятность на графике. 4. Длительность времени безотказной работы прибора имеет показательное распределение F (t ) 1 e 0, 03t . Найдите вероятность безотказной работы прибора в течение 100 часов. Каков гарантийный срок прибора? 5. Длины деталей, выпускаемые автоматом, представляют собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 7 см и 0,01 см. Найдите вероятность того, что отклонение длины детали от ее математического ожидания не превзойдет 0,005 см, и покажите эту вероятность на графике. Вариант 13 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – бросание двух монет; событие А1 – появление двух гербов, событие А2 – появление герба и цифры? 2. Энергосберегающие лампы изготавливаются на двух заводах. Первый завод производит 60 % общего количества ламп, второй – 40 %. Продукция первого завода содержит 80 % стандартных ламп, второго – 90 %. В магазин поступает продукция обоих заводов. Купленная в магазине лампа оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что она изготовлена на первом заводе. 3. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью не менее 0,9 герб появился хотя бы один раз? 4. Какова вероятность того, что в сентябре наудачу взятого года будет пять воскресений? 5. В мешочке содержатся 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекаются по одному три кубика. Чему равна вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если они извлекаются без возвращения? С возвращением? 85 6. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Какова вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков? 7. Студент знает 25 из 30 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найдите вероятность того, что студент знает ответ на два вопроса билета. 8. На складе цеха имеются электродвигатели, 19 из них изготовлены на первом заводе, 6 – на втором и 11 – на третьем. Двигатели могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76, 0,71. Рабочий берет один двигатель и монтирует его к устройству. Найдите вероятность того, что двигатель проработает безотказно до конца гарантийного срока. 9. Определите вероятность того, что при четырех бросаниях монеты число выпадений цифры будет равно: а) трем; б) не более трех; в) не менее трех? Случайные величины 1. Каждая из 4 ламп с вероятностью 0,9 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток, при этом дефектная лампочка сразу перегорает, после чего заменяется другой. Постройте ряд распределения случайной величины – числа лампочек, которое будет испробовано. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите интегральную функцию распределения и постройте ее график. 2. Случайная величина X задана интегральной функцией: x 0, 0, 2 F ( x) x , 0 x 1, 1, x 1. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал (-1; 0,5) и покажите ее на графике. 3. Цена деления шкалы секундомера равна 0,2 с. При проведении кросса показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найдите вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка: а) меньшая 0,1 с; б) большая 0,05 с. 86 4. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром 5 . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал (1, 1) и покажите ее на графике. 5. Размер деталей задан полем допуска 10-12 см. На заводе средний размер таких деталей 11,4 см, а среднее отклонение – 0,8 см. Какова вероятность получения бракованной детали с этого завода, если ее размер подчиняется нормальному закону распределения? Вариант 14 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – бросание игральной кости; события А1 – появление не более двух очков, А2 – появление трех или четырех очков, А3 – появление не менее пяти очков? 2. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,2. Найдите вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,02. 3. Предприятие изготавливает 95 % стандартных изделий, причем 86 % из них I сорта. Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие этого предприятия окажется I сорта? 4. Какова вероятность того, что в наудачу взятом високосном году будет 53 воскресенья? 5. Два охотника одновременно стреляют по цели. Известно, что первый охотник попадает с вероятностью 0,2, второй – 0,6. Найдите вероятность того, что: а) цель поражена; б) попал только один охотник; в) никто из охотников не попал в цель. 6. На семи одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 7, 8, 12, 14, 15. Наугад берутся две карточки. Какова вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима? 7. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70 % из первого цеха и 30 % – из второго. При этом материал первого цеха имеет 10 % брака, а второго – 20 %. Найдите вероятность того, что одна взятая наугад болванка не имеет дефектов. 8. При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых диодов 50 будут бракованными? 87 9. Среди деталей, вырабатываемых рабочим, бывает в среднем 3 % нестандартных. Найдите вероятность того, что среди взятых на испытание 6 деталей две будут нестандартными. Случайные величины 1. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью 0,5. Для случайной величины – числа появлений герба постройте: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) график интегральной функции распределения F(x). Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 2. Функция распределения случайной величины X имеет вид: x 1, 0, F ( x) a b arcsin x, 1 x 1, 1, x 1. Найдите коэффициенты a, b и математическое ожидание этой случайной величины. Чему равна вероятность попадания значений этой случайной величины в промежуток (-0,5; 0,5)? 3. Автобусы некоторого маршрута идут по расписанию с интервалом движения 10 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать автобус, представляет собой величину, распределенную равномерно. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Найдите вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной автобус менее 4 минут, и покажите ее на графике. 4. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром =1. Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность того, что значение этой случайной величины попадет в интервал (-1; 1,5), и покажите ее на графике. 5. Заряд пороха для ружья 20 калибра отвешивается на весах со средней ошибкой взвешивания 0,25 г и является нормально распределенной случайной величиной. Номинальный вес заряда составляет 4,2 г. Найдите вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес заряда равен 4,6 г. Вариант 15 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – два выстрела по мишени; события А1 – ни одного попадания, А2 – одно попадание, А3 – два попадания? 88 2. Что вероятнее: выиграть в волейбол у равносильного противника: а) 2 партии из 3 или 4 из 5; б) не менее 2 из 3 или не менее 4 из 5? 3. Среди выпускаемых на данном предприятии трикотажных изделий в среднем 90 % приходится на изделия 1 сорта. Вычислите вероятность того, что в партии из 400 штук число изделий низших сортов будет от 35 до 40 включительно. 4. В ящике 35 одинаковых деталей, помеченных номерами от 1 до 35. Какова вероятность того, что наудачу вынутая деталь окажется с номером, сумма цифр которого либо 4, либо 9? 5. В тире 5 ружей. Три из них выбивают цель с вероятностью 0,8 и два – с вероятностью 0,9. Стрелок попал в мишень. Какова вероятность того, что он стрелял из ружья первой группы? 6. Найдите вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть семян оценивается вероятностью 0,75. 7. Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 6, а другое больше 6? 8. Радиолампа, поставленная в телевизор, может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями p1 = 0,25, p2 = 0,5, p3 = 0,25. Вероятности того, что лампа проработает определенное количество часов, для этих партий равны соответственно 0,1, 0,2, 0,4. Определите вероятность того, что лампа проработает заданное число часов. 9. При увеличении сетевого напряжения в два раза может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя хотя бы одного из трех последовательно соединенных элементов соответственно с вероятностями 0,3; 0,4; 0,5. Определите вероятность того, что при увеличении напряжения не произойдет разрыва цепи. Случайные величины 1. Интегральная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины имеет вид F ( x) A B arctgx , x R Найдите параметры А и В. Определите вероятность того, что значения этой случайной величины попадут в интервал (–1, 1), и покажите эту вероятность на графике. 2. Бросаются два игральных кубика. Случайная величина X – сумма очков, выпавших на их верхних гранях. Постройте: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) график интегральной функции распределения случайной величины X. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 89 3. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону в интервале (-1, 9). Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики данной случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-2, 5) и покажите эту вероятность на графике. 4. Гарантийный срок эксплуатации адресной системы пожарной сигнализации составляет в среднем 18 месяцев. Какова вероятность того, что наудачу взятая сигнализация проработает не менее 2 лет, если время ее безотказной работы имеет показательное распределение. 5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равны 0 и 2 соответственно. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (6, 6) и покажите ее на графике. Объясните полученный результат. Вариант 16 Случайные события 1. Являются ли зависимыми следующие события: опыт – выстрел по мишени; события А1 – попадание, А2 – промах? Изменится ли ответ, если производят два выстрела? 2. В коробке 10 револьверов одной системы и одинаковых по виду, из них 6 пристреленных и 4 новых. Вероятность попасть в цель из пристреленного револьвера – 0,8, из нового – 0,4. Из взятого наудачу револьвера сделан выстрел. Какова вероятность того, что выстрел сделан из нового револьвера, если мишень не была поражена? 3. 90 % изделий, изготовленных на станке-автомате, первого сорта. Какова вероятность того, что среди пяти наудачу взятых изделий будет хотя бы четыре первого сорта? 4. Семена гороха сорта Саламанка имеют всхожесть 75 %. Определите вероятность того, что из 1000 посаженных семян гороха этого сорта взойдут от 720 до 780. 5. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найдите вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется хотя бы одно окрашенное. 6. В урне лежат 10 шаров, среди которых 4 красных и 6 синих шаров. Наугад вынимают 4 шара. Какова вероятность, что среди вынутых шаров: а) все синие; б) только 2 синих? 90 7. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 25 %, второй – 30 %, третий – 45 % деталей данного типа. Первый автомат допускает 0,1 % нестандартных деталей, второй – 0,2 %, третий – 0,3 %. Найдите вероятность поступления на сборку нестандартной детали. 8. Каждая прядильщица цеха обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найдите вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах. 9. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум? Случайные величины 1. Два равносильных противника играют три партии в шахматы. Случайная величина X – число набранных очков для каждого (результат «ничья» исключается). Для нее постройте: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) график интегральной функции распределения. Найдите числовые характеристики данной случайной величины. 2. Функция распределения вероятностей имеет вид: x 3, 0, 2 F ( x) 3 1 x , x 3. Найдите функцию плотности вероятности и вероятность нахождения случайной величины в интервале (5, 10). Найдите числовые характеристики данной случайной величины. 3. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону в интервале (1, 7). Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики данной случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-1, 4) и покажите эту вероятность на графике. 4. Длительность времени работы прибора до первой поломки имеет показательное распределение F (t ) 1 e 0, 04t . Найдите вероятность того, что за 100 часов работы этот прибор не откажет. Каков гарантийный срок прибора? 91 5. Длины деталей, выпускаемые автоматом, представляют собой случайную величину X, распределенную по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 5 и 0,02 мм. Найдите вероятность того, что отклонение длины детали от ее математического ожидания не превзойдет 0,03 мм, и покажите эту вероятность на графике. Вариант 17 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – бросание игральной кости; события А1 – появление не менее трех очков, А2 – появление не более четырех очков? 2. Из 25 вопросов программы студент знает 20. Найдите вероятность того, что студент сдаст зачет (ответит хотя бы на два из трех предложенных ему вопросов). 3. Бросаются два игральных кубика. Найдите вероятность того, что на верхних гранях этих кубиков выпадет: а) одинаковое число очков; б) разное число очков. 4. Команда составлена из двух отличных стрелков, трех хороших и пяти средних. Вероятность попадания в мишень каждого отличного стрелка – 0,99, хорошего – 0,9 и среднего – 0,75. Наугад выбранный из команды стрелок попадает в цель. Какова вероятность того, что это был отличный стрелок? 5. Производят 4 независимых выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,3 при каждом выстреле. Найдите вероятность: а) двух попаданий; б) хотя бы двух попаданий. 6. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,03, для второго – 0,02 и для третьего – 0,01. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Какова вероятность того, что взятая наугад из бункера деталь будет бракованной? 7. Из 15 билетов лотереи «Везучий случай» выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу шести билетов будет два выигрышных? 8. Фабрика выпускает 75 % продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 300 изделий число первосортных заключено между 219 и 234? 9. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадет 235 раз? 92 Случайные величины 1. Два баскетболиста забрасывают в корзину мяч с вероятностями 0,8 и 0,9 соответственно. Найдите закон распределения случайной величины – числа заброшенных мячей при трех бросаниях, если начинает более слабый игрок. Постройте многоугольник распределения. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. 2. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения: x 0, 0, F ( x) a ( х 2 x), 0 x 1, 1, x 1. Найдите дифференциальную функцию распределения и числовые характеристики этой случайной величины. Какова вероятность того, что значения этой случайной величины попадут в промежуток (-1; 0,5)? Покажите найденную вероятность на графике. 3. Найдите числовые характеристики равномерно распределенной в интервале (6, 4) случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики данной случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал 1, 6 и покажите ее на графике. 4. Длительность времени безотказной работы прибора имеет показательное распределение, определяемое законом F (t ) 1 e 0, 005t . Каков гарантийный срок этого прибора? Найдите вероятность безотказной работы прибора в течение 400 часов. 5. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя длина детали составляет 80 мм, а дисперсия – 0,64 мм 2 . Какое поле допуска длины таких деталей можно гарантировать с вероятностью 0,997? Вариант 18 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – извлечение двух карт из колоды; события А1 – появление двух красных карт, А2 – появление двух черных карт? 2. Вероятность получения бракованной детали при массовом изготовлении равна 0,08. Сколько надо проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9973 утверждать, что частота появления бракованной детали отличается по модулю от вероятности детали быть бракованной не более чем на 0,01? 93 3. Из 20 деталей 5 бракованных. Сборщик берет детали наудачу. Найдите вероятность того, что для выбора стандартной детали ему понадобится не более двух попыток. 4. Бросают две игральные кости. Чему равна вероятность того, что на выпавших гранях число очков одинаково? Различно? 5. Последовательно посланы четыре радиосигнала. Вероятность приема каждого из них не зависит от того, приняты ли остальные сигналы, и равна 0,3. Определите вероятность приема: а) двух сигналов; б) четырех сигналов. 6. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,2, 0,3, 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1, 0,75 и 0,4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего принадлежит индикатор? 7. Заготовки на сборку поступают из двух цехов: 70 % – из первого и 30 % – из второго. При этом заготовки первого цеха имеют плюсовые допуски в 10 % случаев, а второго – в 20 %. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь имеет плюсовой допуск? 8. Вероятность выхода из строя за некоторое время одного конденсатора равна 0,2. Найдите вероятность, что из 100 конденсаторов за это время выйдут из строя: а) не менее 30 конденсаторов; б) не более 20 конденсаторов. 9. Из ящика, в котором находится 31 стандартная деталь и 6 бракованных, берут три детали. Чему равны вероятности следующих событий: а) все три детали без дефекта; б) по крайней мере, одна деталь без дефекта? Случайные величины 1. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения: 0, x 1, 1 F ( x) a( x 3 1), 1 x , 3 1 x . 1, 3 94 Найдите параметр a и числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность ее попадания в интервал (-0,5; 0,5) и покажите эту вероятность на графике. 2. Из каждых четырех пенальти вратарь парирует в среднем один удар. Найдите ряд распределения и числовые характеристики случайной величины – числа забитых мячей при пяти одиннадцатиметровых ударах. Постройте многоугольник полученного распределения. 3. Автобусы маршрута № 11 идут строго по расписанию с интервалом движения 11 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать автобус, есть величина, распределенная по равномерному закону. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус более 3, но менее 7 минут и покажите эту вероятность на графике. 4. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром 3 . Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал 2, 8 и покажите ее на графике. 5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по нормальному закону, равны соответственно 5 и 9. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Покажите, что практически достоверно попадание значений этой случайной величины в интервал (4,14) , и объясните полученный результат. Вариант 19 Случайные события 1. Являются ли несовместными следующие события: опыт – бросание двух монет; события А1 – появление герба на первой монете, А2 – появление надписи на второй монете? 2. В лотерее 100 билетов. Из них: 1 выигрыш – в 100 руб., 3 – по 50 руб., 6 – по 30 руб. и 15 – по 10 руб. Найдите вероятность выиграть хотя бы по одному билету, если куплено 3 билета. 3. В тире имеются три ружья, вероятности попадания из которых составляют 0,6; 0,8 и 0,9. Определите вероятность попадания при одном выстреле, если стрелок берет одно из ружей наудачу. 95 4. В партии смешаны детали двух сортов: 80 % первого сорта и 20 % – второго. Сколько деталей первого сорта с вероятностью 0,0967 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей? 5. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Доля грузовых машин среди них – 60 %. Вероятность того, что проезжающая грузовая машина будет заправляться, равна 0,1, а для легковых – 0,2. К бензоколонке подъехала на заправку машина. Найдите вероятность того, что она грузовая. 6. Прибор состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы первого узла равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найдите вероятность безотказной работы прибора. 7. В квадрат со стороной a вписан круг. Какова вероятность того, что наудачу вброшенная в квадрат точка не попадет в круг? 8. В мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к обеденному перерыву равна 0,8. Найдите вероятность того, что к обеденному перерыву: а) перегреются 4 мотора; б) перегреются все моторы; в) ни один мотор не перегреется. 9. Какова вероятность того, что в 10000 независимых испытаниях частота наступления события будет иметь отклонение от его вероятности 0,36 не более чем на 0,01? Случайные величины 1. На пути движения автомашин 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает либо запрещает автомашине движение. Случайная величина X – число светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки. Постройте: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения случайной величины X; в) график функции F(x). Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 2. Случайная величина X задана функцией распределения: 3 0 , x , 4 3 F ( x) cos 2 x, x , 4 x . 1, 96 Найдите плотность распределения вероятностей и числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания случайной вели5 чины в промежуток (2; и покажите ее на графике. 6 3. Найдите числовые характеристики равномерно распределенной в интервале (8,14) случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики данной случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал 10,12 и покажите эту вероятность на графике. 4. Интервалы времени между приходом в порт судов – показательно распределенная величина с интенсивностью =2,5. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что время между приходами судов будет больше 1, но менее 2 часов. Покажите эту вероятность на графике. 5. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом N, есть величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 20 см и дисперсией 6,25 см 2 . Найдите вероятность брака в продукции этого завода, если допустимый размер детали 20 2 см. Вариант 20 Случайные события 1. Являются ли равновозможными следующие события: опыт – бросание монеты; события А1 – появление герба, А2 – появление цифры? Зависимы ли они? 2. Вероятность того, что станок-автомат выпускает стандартное изделие, равна 5/6. Случайным образом отобрали 180 деталей. Найдите наивероятнейшее число стандартных деталей среди этих 180 и соответствующую вероятность. 3. Из колоды карт (36 листов) наугад извлекаются три карты. Найдите вероятность того, что среди выбранных карт – дама и два туза. 4. Три стрелка стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,3; 0,5 и 0,7 соответственно. Какова вероятность того, что мишень будет поражена двумя пулями? Не будет поражена? 5. В семье пятеро детей. Найдите вероятность того, что среди этих детей не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. 6. Вероятность обнаружения дефекта в бракованном изделии равна 0,8. Вероятность принять стандартное изделие за бракованное – 0,05. Изделие при проверке признали дефектным. Какова вероятность ошибки, если общая доля бракованных изделий 5 %? 97 7. В партии электрических лампочек 20 % продукции изготовлены заводом № 1, 30 % – заводом № 2 и 50 % – заводом № 3. Для завода № 1 вероятность выпуска бракованной лампочки равна 0,01, для завода № 2 – 0,005 и для завода № 3 – 0,006. Какова вероятность того, что взятая из партии наудачу лампочка окажется бракованной? 8. Маша пришла на экзамен, зная ответы на 20 из 25 вопросов программы. Какова вероятность того, что она получит оценку «хорошо» (ответит на два из трех предложенных ей вопросов)? 9. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Опыт повторили независимым образом 400 раз. Какова вероятность того, что при этом событие А произойдет не менее 70, но не более 90 раз? Случайные величины 1. В двух урнах по 5 пронумерованных шаров. В первой урне 2 шара имеют № 1, 2 шара – № 2 и 1 шар – № 3. Во второй урне 3 шара имеют № 1 и 2 шара имеют № 2. Из этих урн наугад берут по одному шару и находят произведение их номеров. Получившееся число есть случайная величина X. Постройте ее ряд распределения, многоугольник распределения и график функции распределения. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 2. Найдите параметр А и математическое ожидание случайной величины X, если ее функция распределения имеет вид: 0, x 0, F ( x) А (1 cos 2 x), 0 x , 2 x . 1, 2 Определите вероятность попадания значений этой случайной величины в промежуток (1; и покажите ее на графике. 6 3. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону в промежутке [-1; 4]. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики данной случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-2, 5) и покажите эту вероятность на графике. 98 4. Лампы накаливания фирмы OSRAM рассчитаны на «средний срок службы» 1000 часов (по стандарту). Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает не менее 1200 часов, если время безотказной работы лампы имеет показательное распределение? 5. Длины деталей, выпускаемые автоматом, есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны 15 и 0,4 мм. Найдите вероятность того, что отклонение длины детали от ее математического ожидания не превзойдет 1 мм, и покажите эту вероятность на графике. Вариант 21 Случайные события 1. Являются ли равновозможными следующие события: опыт – бросание согнутой пополам монеты; события А1 – появление герба, А2 – появление цифры? Образуют ли они полную группу? 2. Чтобы провести контроль продукции, из трех партий поступивших деталей взяли одну. Какова вероятность обнаружения брака, если в одной партии 25 % бракованных деталей, в другой – 20 %, а в третьей нет брака? 3. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,8. Найдите вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла будет заключено между 290 и 340. 4. В лотерее 100 билетов, среди них один выигрыш в 50 руб., 3 выигрыша по 25 руб., 6 выигрышей по 10 руб. Некто купил 1 билет. Найдите вероятность выиграть не менее 25 руб. 5. Вероятность хотя бы одного появления события А при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события А в одном испытании? 6. В мешочке лежат 10 кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекаются по одному три кубика с последующим возвращением. Найдите вероятность, что последовательно появятся кубики с номерами 5, 6, 7. Как изменится вероятность, если кубики после извлечения не возвращают в мешок? 7. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найдите вероятность того, что на базу прибудет три поврежденных изделия. 99 8. Клапаны, изготавливаемые в цехе, проверяются двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 60 % всей продукции. Вероятность того, что годная деталь будет забракована, для первого контролера равна 0,06, а для второго – 0,02. При дополнительной проверке забракованных клапанов обнаружен годный. Найдите вероятность того, что этот клапан проверял первый контролер. 9. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынули один зеленый, два синих и три красных шара? Случайные величины 1. Случайная величина X задана плотностью вероятности: x 0, 0, 2 f ( x) a3x x , 0 x 3, 0, x 3. Найдите параметр а и числовые характеристики данной случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в промежуток (1, 2) и покажите ее на графике. 2. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 недействующих. Наудачу из этой партии взяли 4 аппарата. Найдите закон распределения случайной величины – числа недействующих аппаратов в выборке. Постройте многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. 3. Интервал движения электропоездов направления «Самара – Тольятти» в среднем – 1 час 30 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать электричку, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно. Найдите вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд более 35 минут, и покажите эту вероятность на графике. 4. Интервалы времени между приходом в порт судов – показательно распределенная величина с интенсивностью =1,5. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что время между приходами судов будет больше 2, но менее 3 часов. Покажите эту вероятность на графике. 5. Заряд пороха для ружья 12 калибра отвешивается на весах со средней ошибкой взвешивания 0,2 г и является нормально распределенной случайной величиной. Номинальный вес заряда составляет 2,5 г. Найдите вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес заряда равен 2,8 г. 100 Вариант 22 Случайные события 1. Является ли полной следующая группа событий: опыт – извлечение карты из колоды; события А1 – появление карты червонной масти, А2 – появление карты черной масти? 2. Из колоды карт в 36 листов случайным образом вынимают три карты. Определите вероятность того, что среди взятых карт появится хотя бы один король. 3. На опытной станции посеяно 150 семян кукурузы. Наблюдения показывают, что всхожесть таких семян 95 %. Найдите вероятность того, что из 150 семян взойдут не менее 90 %. 4. В коробке 10 одинаковых изделий, 6 из которых окрашены. Наудачу извлечены три изделия. Найдите вероятность того, что среди трех извлеченных изделий два окрашены. 5. Слово «САМАРА» разрезали на буквы, наугад выбрали 4 буквы и выложили в ряд в порядке их появления. Найдите вероятность того, что при этом получится слово «РАМА». 6. Что вероятнее: выиграть в шахматы у равносильного противника не менее 3 партий из 4 или не менее 6 партий из 8 (считать, что результат «ничья» исключен)? 7. В спартакиаде участвуют 4 студента I курса, 6 студентов II курса и 5 студентов III курса. Студент первого курса попадает в сборную института с вероятностью 0,9, студент второго курса – с вероятностью 0,7, а третьекурсник – с вероятностью 0,8. Наудачу выбранный студент оказался членом сборной института. На каком курсе вероятнее всего учится этот студент? 8. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,4. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет отклоняться от ее вероятности не более чем на 0,1? 9. Из последовательности натуральных чисел от 1 до 10 случайным образом выбирают два числа. Какова вероятность того, что произведение этих чисел кратно 6? Случайные величины 1. В одной урне 4 шара, в другой – 3. На каждом шаре отмечено число очков от 1 до 4 для первой урны и от 1 до 3 – для другой. Из каждой урны наугад извлекаются по одному шару. Пусть случайная величина X – сумма очков, отмеченных на вынутых шарах. Постройте: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) график функции распределения этой случайной величины. Найдите числовые характеристики случайной величины X. 101 2. Найдите параметр А и интегральную функцию распределения случайной величины X, если ее плотность вероятности имеет вид: x 0, 0, x f ( x) А sin , 0 x , 2 x . 0, Вычислите вероятность попадания значений этой случайной величины в 2 промежуток (1; и покажите эту вероятность на графике. 3 3. Найдите числовые характеристики случайной величины, равномерно распределенной в интервале (7,12) . Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал 10,12 и покажите эту вероятность на графике. 4. Длительность времени безотказной работы нагревательного элемента отопительного прибора имеет показательное распределение, определяемое законом F (t ) 1 e 0.0025t , t 0 . Какова вероятность того, что этот элемент проработает безотказно хотя бы 500 часов? 5. Размер детали, изготавливаемой станком-автоматом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 100 мм и дисперсией 0,64 см 2 . Найдите интервал, в который с вероятностью 0,997 попадает размер наудачу взятой детали. Вариант 23 Случайные события 1. Образует ли полную группу следующая группа событий: опыт – бросание двух монет; событие А1 – появление двух гербов, событие А2 – появление герба и цифры? Если нет, то дополните указанную совокупность до полной группы. 2. В ящике лежат 20 шаров, среди которых 12 белых и 8 красных шаров. Наудачу выбирают 4 шара. Определите вероятность того, что среди вынутых шаров: а) два красных; б) нет красных. 3. В урне лежат два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найдите вероятность того, что выиграет первый игрок. 102 4. Два равносильных противника играют три партии в шахматы. Найдите вероятность для каждого выиграть две партии из трех. 5. Три охотника делают по одному выстрелу по мишени с вероятностями попадания 0,2; 0,4 и 0,6 соответственно. Определите вероятность того, что: а) мишень поражена; б) мишень не поражена. 6. По данным длительной проверки качества выпускаемых запчастей определенного типа, брак составляет 13 %. Определите вероятность того, что в непроверенной партии из 150 запчастей этого типа пригодных деталей окажется 128 штук. 7. Имеются три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 2 белых и 5 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найдите вероятность того, что этот шар окажется белым. 8. В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определите вероятность того, что среди выбранных наудачу шести деталей две окажутся нестандартными. 9. Проведено 1000 независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью 0,002. Каково наивероятнейшее число наступления события А в этой серии? Чему равна соответствующая вероятность? Случайные величины 1. Случайная величина X задана функцией распределения: 0, f ( x) a cos3х, 0, x , 6 x , 6 x . 3 3 Найдите неизвестный параметр а и числовые характеристики данной случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в промежуток 0, и покажите ее на графике. 4 2. Производят 4 независимых выстрела, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Постройте: а) ряд распределения; б) многоугольник распределения; в) график интегральной функции случайной величины X – числа попаданий при 4 выстрелах. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 103 3. Автобусы маршрута № 123 идут строго по расписанию с интервалом движения 12 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать автобус, есть величина, распределенная по равномерному закону. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус более 4, но менее 9 минут. Покажите эту вероятность на графике. 4. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром 0,01. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал 1, 2 и покажите ее на графике. 5. Размер деталей задан полем допуска 75-80 мм. На заводе средний размер таких деталей 7,7 см, а среднее отклонение – 0,5 см. Какова вероятность получения бракованной детали с этого завода, если ее размер подчиняется нормальному закону распределения? Покажите найденную вероятность на графике. Вариант 24 Случайные события 1. Являются ли зависимыми следующие события: опыт – бросание игральной кости; события А1 – появление четного числа очков, А2 – появление нечетного числа очков? 2. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что произведение выпавших очков окажется кратным 6? 3. Производится залп из двух орудий по мишени. Найдите вероятность поражения цели, если первое попадает с вероятностью 0,5, второе – с вероятностью 0,7. 4. Стрелок трижды стреляет по мишени с вероятностью попадания 0,6. Найдите для него вероятность набрать не менее 10 очков, если за каждое попадание начисляется 5 очков. 5. Помехи искажают 2/5 «точек» и 1/3 «тире» (при искажении каждый сигнал переходит в противоположный). В сообщении «точки» и «тире» встречаются в отношении 5:3. Определите вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принята «точка». 6. При массовом производстве продукции и установившемся процессе производства 4 % изделий выходят бракованными. Сколько изделий следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что среди изделий доля бракованных по абсолютной величине отличается от 4 % не более чем на 2 %? 104 7. Автомашина используется для подвозки товара в три магазина. В первом магазине разгрузка выполняется в течение 30 минут с вероятностью 0,77, во втором – 0,67 и в третьем – 0,62. На базу сообщили, что машина разгружена за 30 минут. Определите вероятность того, что это произошло в первом магазине. 8. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний составляет 0,2. Найдите вероятность того, что это событие наступит 20 раз в 100 испытаниях. 9. Из 12 имеющихся приборов 3 неисправных. Какова вероятность того, что среди 4 взятых наугад приборов находятся 2 неисправных? Случайные величины 1. Функция распределения этой случайной величины имеет вид: x 0, 0, F ( x) 0,3x a x 2 , 0 x 1, 1, x 1. Найдите числовые характеристики данной случайной величины. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в промежуток (-1; 0,05) и покажите ее на графике. 2. Бросается три раза кубик, у которого две грани окрашены в белый цвет, а четыре – в черный. Случайная величина X – число появления белой грани. Постройте ряд распределения, многоугольник распределения и график функции распределения для случайной величины X. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 3. Непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону в интервале (-1,5; 3). Найдите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-0,5; 5) и покажите эту вероятность на графике. 4. Гарантийный срок службы энергосберегающих ламп КОСМОС составляет 8000 часов. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает не менее 12000 часов, если время безотказной работы лампы имеет показательное распределение? 5. Длины деталей, выпускаемые автоматом, – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 10 мм, и дисперсией, равной 0,25 мм 2 . Найдите вероятность того, что отклонение длины детали от ее математического ожидания не превзойдет 1 мм, и покажите эту вероятность на графике. 105 Вариант 25 Случайные события 1. По мишени производится три выстрела. Рассматривают события Ak – попадание при k-том выстреле, k = 1, 2, 3. Пользуясь действиями над событиями Ak и Ak , записать событие B – только одно попадание. 2. Согласно наблюдениям, всхожесть семян ржи составляет 90 %. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5? 3. В первой урне лежат 3 черных и 2 красных шара, во второй – 5 черных и 5 красных и в третьей – 6 черных и 4 красных. Из каждой урны берут по одному шару. Найдите вероятность того, что все три вынутых шара одного цвета. 4. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найдите вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнил норму. 5. Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки: А, А, К, Н, У. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «НАУКА»? 6. При вытачивании болтов наблюдается 1 % брака. Какова вероятность того, что из 400 болтов 390 будут стандартными? 7. В собранной электрической цепи может быть поставлен предохранитель первого типа, который при перегрузке срабатывает с вероятностью 0,8, или предохранитель второго типа, который при перегрузке срабатывает с вероятностью 0,9. Предохранитель первого типа может быть поставлен в цепь с вероятностью 0,6, а второго типа – с вероятностью 0,4. Предохранитель в цепи сработал. Что вероятнее: поставлен предохранитель первого или второго типа? 8. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0,02? 9. На десяти одинаковых карточках написаны числа от 1 до 10. Наугад берутся две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел на этих карточках делится на три? Случайные величины 1. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид: x 0, 0,5e x , F ( x) 1 0,5e x , x 0. 106 Найдите функцию плотности вероятности и числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0; 1) и покажите эту вероятность на графике. 2. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске для данного игрока составляет 0,4. Случайная величина X – число попаданий мячом в корзину при двух бросках. Напишите закон распределения и интегральную функцию распределения случайной величины X, найдите ее числовые характеристики. 3. Случайная величина распределена равномерно в интервале (4; 8,5) . Составьте дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-0,5; 5) и покажите эту вероятность на графике. 4. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,5. При проведении измерений показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найдите вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка: а) меньшая 0,1; б) большая 0,25. 5. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины равны соответственно 8 и 4. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Покажите, что практически достоверно попадание случайной величины в интервал (-2, 14), и объясните полученный результат. Вариант 26 Случайные события 1. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события Ak – попадание при k-том выстреле, k = 1, 2, 3. Пользуясь действиями над событиями Ak и Ak , записать событие С – только два попадания. 2. Электростанция обслуживает сеть с 10000 лампами, вероятность включения каждой из них вечером равна 0,6. Определите вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет лежать между 5900 и 6100. 3. Рабочий, обслуживающий два станка, вынужден был отлучиться на некоторое время. Вероятности того, что в течение этого времени станки потребуют внимания рабочего, равны 0,7 и 0,8 соответственно. Найдите вероятность того, что за время отсутствия рабочего ни один станок не потребует его внимания. 107 4. В ящике 10 деталей, среди них 4 детали изготовлены заводом № 1, остальные – заводом № 2. Взяты три детали. Какова вероятность того, что вынуты две детали завода № 1 и одна – завода №2. 5. Из 10 деталей 4 окрашены. Вероятность того, что окрашенная деталь тяжелее нормы, равна 0,3, а для неокрашенной детали эта вероятность равна 0,1. Взятая наудачу деталь оказалась тяжелее нормы. Найдите вероятность того, что она окрашена. 6. В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них вероятность перегореть после 1000 часов работы равна 0,4. Если перегорело хотя бы два предохранителя, то прибор требует ремонта. Найдите вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы, если предохранители перегорают независимо друг от друга. 7. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найдите вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит хотя бы 900 раз. 8. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что разность выпавших очков равна 1? 9. Производят три выстрела. Вероятности попадания при этом равны 0,5; 0,6 и 0,8 соответственно. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6, при трех – самолет будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолет будет сбит? Случайные величины 1. Случайная величина X задана функцией плотности распределения: 0 при x 0, x 2 f ( x) 1 при 0 x a, a a 0 при x a. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите a вероятность попадания этой случайной величины в промежуток x a и 2 покажите эту вероятность на графике. 2. Из партии из 25 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Постройте (с точностью до 0,01) закон распределения случайной величины – числа нестандартных изделий, содержащихся в выборке, многоугольник распределения и график функции распределения. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 108 3. Поезда метрополитена идут с интервалом 3 минуты. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно. Найдите вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд менее 1 минуты, и покажите эту вероятность на графике. 4. Длительность времени безотказной работы нагревательного элемента отопительного прибора имеет показательное распределение, определяемое законом F (t ) 1 e 0.015t , t 0 . Найдите гарантийный срок этого прибора. Какова вероятность того, что этот элемент проработает безотказно хотя бы 200 часов? 5. Заряд пороха для ружья 16 калибра отвешивается на весах со средней ошибкой взвешивания 0,25 г и является нормально распределенной случайной величиной. Номинальный вес заряда составляет 5,1 г. Найдите вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес заряда равен 5,5 г. Вариант 27 Случайные события 1. Назовите противоположные события для событий: А – не более двух попаданий при пяти выстрелах, В – хотя бы одно попадание при пяти выстрелах. 2. Имеется 100 станков, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков? 3. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,8, второго – 0,9. Найдите вероятность поражения цели. 4. Бросаются две правильные треугольные пирамиды, сделанные из однородного материала. На их гранях помечены точками очки: 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что произведение очков, выпавших на обеих пирамидах, кратно четырем? 5. В пирамиде установлено 20 винтовок, 14 из которых имеют оптический прицел. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95, а из винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Найдите вероятность, что он стрелял из винтовки с оптическим прицелом? 6. 40 % шестерен, лежащих в ящике, изготовлены на заводе № 1, остальные – на заводе № 2. Из ящика взяли наудачу 7 шестерен. Определите вероятность того, что среди них окажутся изготовленными заводом № 1: а) две детали; б) менее трех деталей. 109 7. Вероятность наступления события в одном испытании равна 0,7. Найдите вероятность того, что в 140 испытаниях это событие наступит 100 раз. 8. В ящике лежат 5 красных, 6 синих и 7 белых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность, что вынули один синий, два белых и три красных шара? 9. Часы изготовляются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40 % продукции, второй – 45 % и третий – 15 %. В продукции первого завода спешат 20 % часов, у второго – 30 % и у третьего – 10 %. Найдите вероятность того, что купленные часы не спешат. Случайные величины 1. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения: 0, x 0, 1 F ( x ) a x 2 2 х , 0 x , 3 1 x . 1, 3 Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-1; 0,25) и покажите эту вероятность на графике. 2. Производят выстрелы из орудий с вероятностью попадания 0,8 при каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше четырех выстрелов. Напишите закон распределения случайной величины X – числа произведенных выстрелов. Постройте многоугольник распределения и график функции распределения. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. 3. Поезда метрополитена идут с интервалом 330 секунд. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно. Найдите вероятность того, что пассажир будет ожидать поезд более 1, но менее 2 минут. Покажите эту вероятность на графике. 4. Длительность времени безотказной работы прибора имеет показательное распределение F (t ) 1 e0,07t , t 0 . Каков его гарантийный срок? Какова вероятность того, что этот прибор прослужит вдвое дольше гарантийного срока? 5. Размер деталей задан полем допуска 20-22 см. Средний размер таких деталей 20,6 см, а среднее отклонение – 0,8 см. Какова вероятность получения бракованной детали, если ее размер подчиняется нормальному закону распределения? 110 Вариант 28 Случайные события 1. Назовите противоположные события для событий: А – выпадение двух гербов при бросании двух монет; В – хотя бы два попадания в мишень при трех выстрелах. 2. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найдите вероятность того, что из 200 родившихся детей мальчиков и девочек будет поровну. 3. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, равны 0,8; 0,4 и 0,7 соответственно. Определите вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей. 4. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наудачу вынимают два шара. Какова вероятность того, что они одного цвета? Разного цвета? 5. Изделие может поступить для обработки на первый станок с вероятностью 0,2, на второй – с вероятностью 0,3 и на третий станок – с вероятностью 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,05. Выбранное наудачу изделие оказалось бракованным. Чему равна вероятность того, что изделие было обработано на третьем станке? 6. В ящике лежат несколько тысяч предохранителей. Половина их изготовлена заводом № 1, остальные – заводом № 2. Случайным образом отобрали пять предохранителей. Чему равна вероятность того, что заводом № 1 из них изготовлены: а) два; б) менее двух; в) более двух? 7. Игральную кость бросают 4200 раз. Какова вероятность того, что при этом три очка выпало 700 раз? 8. Бросили две игральные кости и подсчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее: получить в сумме 7 или 8? 9. На сборку поступают детали, изготовленные тремя автоматами. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,2 % и третий – 0,4 %. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей. 111 Случайные величины 1. Случайная величина задана функцией распределения F(x): 0, x 0; 2 x , 0 x 2; 16 F ( x) 7 11 x , 2 x ; 4 4 11 1, x . 4 Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-1; 2,5) и покажите эту вероятность на графике. 2. Билет на право разового участия в азартной игре стоит x долларов. Игрок выбрасывает две игральные кости и получает выигрыш 100 долларов, если выпали две шестерки, 10 долларов – при выпадении одной шестерки и проигрывает, если ни одной шестерки не появилось. Какова должна быть стоимость билета, чтобы игра приносила доход ее устроителям? 3. Автобусы маршрута № 11 идут строго по расписанию с интервалом движения 11 минут. Время, в течение которого пассажиру приходится ждать автобус, есть величина, распределенная по равномерному закону. Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус более 5, но менее 8 минут, и покажите эту вероятность на графике 4. Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром 0,7 . Найдите числовые характеристики этой случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Определите вероятность попадания случайной величины в интервал (-1; 5) и покажите ее на графике. 5. Длины деталей, выпускаемые автоматом, – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 30 мм, и дисперсией, равной 0,64 мм 2 . Найдите вероятность того, что отклонение длины детали от ее математического ожидания не превзойдет 2 мм, и покажите эту вероятность на графике. Вариант 29 Случайные события 1. Назовите противоположные события для событий А – выпадение одного герба при бросании двух монет, B – ни одного попадания при трех выстрелах. 2. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков суммарное число очков на выпавших гранях будет не меньше 9. 112 3. В ящике имеется 12 деталей, среди которых 10 стандартных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найдите вероятность того, что среди них две стандартные. 4. В урне лежат два красных и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по одному шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит красный шар. Найдите вероятность того, что выиграет первый игрок. 5. Имеются две партии однородных изделий: в первой партии 10 изделий, среди которых одно дефектное, во второй партии 12 изделий, причем два дефектных. Из первой партии берутся случайным образом два изделия, а из второй – одно, которые смешиваются и образуют новую партию. Из новой партии берется наугад одно изделие. Найдите вероятность того, что оно будет дефектным. 6. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 50 %, второй – 30 %, третий – 20 % изделий. Среди изделий первого завода 70 % первосортных, второго – 80 %, третьего – 90 %. Купленное изделие оказалось первосортным. Определите вероятность того, что оно выпущено третьим заводом. 7. Игральная кость подброшена 5 раз. Найдите вероятность того, что «шестерка» выпала: а) один раз; б) хотя бы один раз. 8. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 80 раз. 9. Среди семян пшеницы имеется 0,2 % семян сорняков. Сколько семян сорняков будет обнаружено при случайном отборе среди 1000 семян пшеницы? Чему равна соответствующая вероятность? Случайные величины 1. Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения: 0 при x 2, F ( x) A ( x 3 8) при 2 x 3, 1 при x 3. Найдите плотность распределения вероятностей и числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (1; 2,5) и покажите эту вероятность на графике. 113 2. В партии 5 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 3 детали. Напишите закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди трех отобранных. Найдите числовые характеристики этой случайной величины и интегральную функцию распределения. Постройте многоугольник распределения и график интегральной функции. 3. Найдите числовые характеристики равномерно распределенной в интервале (-2,5; 1,5) случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0, 2) и покажите эту вероятность на графике. 4. Время безотказной работы прибора имеет показательное распределение. Найдите вероятность того, что прибор проработает не менее 100 часов, если среднее время работы прибора 80 часов. 5. Диаметр детали, изготавливаемой станком-автоматом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и дисперсией 0,16 см 2 . Какое поле допуска длины изготавливаемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,996? Вариант 30 Случайные события 1. Ребенок играет с буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «МАТЕМАТИКА»? 2. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков произведение числа очков на выпавших гранях будет не меньше 20. 3. Завод изготавливает определенного вида изделия. Каждое изделие имеет дефект с вероятностью 0,09. Изделие осматривается одним контролером. Он обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью 0,95, а если дефект не обнаружен, пропускает изделие в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефект с вероятностью 0,08. Найдите вероятность того, что: а) изделие будет забраковано; б) изделие будет забраковано, но ошибочно; в) изделие будет пропущено в готовую продукцию с дефектом. 4. В коробке 8 одинаковых деталей, среди них три окрашены. Наудачу извлечены две детали. Найдите вероятность того, что среди извлеченных деталей хотя бы одна окрашена. 114 5. Из 100 ламп 30 принадлежат первой партии, 70 ламп – второй партии. В первой партии 6 % бракованных ламп, во второй – 4 %. Наудачу выбирают одну лампу. Какова вероятность, что выбранная лампа бракованная? 6. На сборку поступают детали с двух станков-автоматов. Первый допускает 2 % брака, второй – 1 %. С первого автомата в час поступает 60 деталей, со второго – 40. Случайно взятая деталь оказалась бракованной. Что вероятнее: деталь изготовлена на первом или на втором станке? 7. Игральная кость брошена 5 раз. Найдите вероятность того, что «пятерка» выпала: а) ровно пять раз, б) хотя бы пять раз. 8. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 и не более 90 раз. 9. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,002. Поступило 1000 вызовов. Сколько сбоев, скорее всего, можно ожидать? С какой вероятностью? Случайные величины 1. Случайная величина X задана функцией распределения: x 0, 0, 2 x F ( x) , 0 x 2, a x 2. 1, Найдите плотность распределения вероятностей и числовые характеристики этой случайной величины. Определите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (-2; 0,5) и покажите эту вероятность на графике. 2. Две игральные кости бросают два раза. Напишите закон распределения дискретной случайной величины X – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях (в сумме). Постройте многоугольник распределения и график интегральной функции. Найдите числовые характеристики данной случайной величины. 3. Найдите числовые характеристики равномерно распределенной в интервале (-3; 1,5) случайной величины. Запишите дифференциальную и интегральную функции распределения, постройте их графики. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0, 2) и покажите эту вероятность на графике. 115 4. Интервалы времени между приходом в порт судов – показательно распределенная величина с интенсивностью =0,25. Вычислите числовые характеристики этой случайной величины. Вычислите вероятность того, что время между приходами судов будет больше 3, но менее 5 часов. Покажите эту вероятность на графике. 5. Размер деталей задан полем допуска 50-60 мм. На заводе средний размер таких деталей 5,6 см, а среднее отклонение – 0,6 см. Какова вероятность получения бракованной детали с этого завода, если ее размер подчиняется нормальному закону распределения? 116 ОТВЕТЫ ГЛАВА 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 1.1. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. Задачи для аудиторного занятия 2. а) 0,333 б) 0,083 3. 720 4. а) 45 б) 210 5. 12 6. а) 58905 б) 2976 в) 6048 7. а) 0,071 б) 0,043 8. а) 0,060 б) 0 9. 0,0054 10. а) 0,141 б) 0,424 11. а) 0,567 б) 0,369 в) 0,002 12. 0,001 13. 0,00833 14. 0,00833 15. 0,000149; 0 16. 0,333 17. 0,125 18. 0,75 19. 0,803 Задачи для самостоятельного решения 2. а) 0,167 б) 0,306 3. а) 0,139 б) 0,381 в) 0,102 4. а) 0,125 б) 0,439 5. 0,00138 6. 0,0083; 0,0167 7. а) 0,00278 б) 0 8. 0,395 9. 0,667 117 1.2. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Задачи для аудиторного занятия 1. A A1 A2 A3 B A1 A2 A3 C A1 A2 A3 D A1 A2 A3 E A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 F A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 GF 2. а) 0,94 б) 0,38 в) 0,06 3. а) 0,612 б) 0,056 в) 0,997 4. а) 0,576 б) 0,352 в) 0,004 5. 0,32 6. 0,544 7. а) 0,758 б) 0,978 8. а) 0,3 б) 0,467 / а) 0,3 б) 0,42 9. а) 0,00195 б) 0,000244 в) 0,410 г) 0,492 10. нет (0,286) 11. а) 0,344 б) 0,281 12. 0,146 13. 0,873 Задачи для самостоятельного решения 1. а) 0,727 б) 0,0253 в) 0,999 2. а) 0,328 б) 0,941 3. а) 0,16 б) 0,128 в) 0,64 4. 0,342 5. 0,385 6. 0,667 7. 0,7 8. а) 0,278 б) 0,00463 в) 0,0926 9. 0,528 118 1.3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА Задачи для аудиторного занятия 1. 0,003 2. 0,05 3. 0,958 4. 0,58 5. 0,108 6. 0,625 7. 0,628 8. а) 0,571 б) 0,0625 9. 0,658 10. ко второму типу (с вероятностью 0,584) 11. 0,952 12. 0,455 13. 0,804 Задачи для самостоятельного решения 1. 0,85 2. 0,117 3. 0,652 4. 0,412 5. спортивная ходьба (с вероятностью 0,483) 6. ко второму типу (с вероятностью 0,36) 1.4. ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ Задачи для аудиторного занятия 1. 2 партии из 4 (с вероятностью 0,375) 2. 0,0000779 3. а) 2; 0,324 б) 0,580 4. n 7 5. 0,264 6. 66 119 7. 0,9995 8. 0,0456 9. 92 10. а) 0,8882 б) 0,8944 в) 0,1056 11. 0,6826 12. 0,040 13. 985 14. а) 0,22 б) 0,25 Задачи для самостоятельного решения 1. а) 0,313 б) 0,188 в) 0,813 2. 3; 0,318 3. 6; 0,251 4. 0,180 5. 0,667 p 0,7 6. 0,078 7. 0,5 8. 225 9. а) 0,612 б) 0,329 в) 0,941 Контрольный тест по теме «Случайные события» 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D D C C D А B B C 10 А 11 D 120 12 A 13 В 14 С 15 1 2 3 4 5 Г Д А В Б ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2.1. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Задачи для аудиторного занятия 1. хi 0 100 500 pi 0,89 0,1 0,01 хi 1 2 3 pi 0,2 0,6 0,2 2. M (X ) 2; D( X ) 0,4; (X ) 0,632 3. хi 0 pi 0,125 1 2 3 0,375 0,375 0,125 M (X ) 1,5; D( X ) 0,75; (X ) 0,866 4. хi 0 1 2 pi 3 28 13 28 12 28 M (X ) 1,321; D( X ) 0,43 2; (X ) 0,657 5. хi 1 2 3 pi 0,3 0,21 0,49 M (X ) 2,19; D( X ) 0,754; (X ) 0,868 x 1 0, 0,3, 1 x 2 F ( x) 0,51, 2 x 3 x3 1, 121 6. p1 0,4; p2 0,1; p3 0,5 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1 0, 0,4, F ( x) 0,5, 1, 7. x1 2, x2 3 x2 2 x3 x3 0, F ( x) 0,3, 1, 8. p 0,7; M ( X ) 2,1; Mo( X ) 2; ( X ) 0,794 9. 0,5; 0,5; 0; 0,2; 1 x2 2 x4 4 x7 x7 0, 0,5, F ( x) 0,7, 1, 10. zi 1 pi 0,02 2 3 4 0,2 0,54 0,24 M (Z ) 3; D(Z ) 0,52; ( Z ) 0,721 0,02; 0,24; 0,22; 1 0, 0,02, F ( z ) 0,22, 0,76, 1, z 1 1 z 2 2 z3 3 z 4 x4 Задачи для самостоятельного решения 1. хi 0 1 2 3 pi 125 216 75 216 15 216 1 216 M (X ) 0,5; D( X ) 0,417; (X ) 0,646 122 2. хi 0 1 2 3 pi 1 14 6 14 6 14 1 14 M ( X ) 1,5; D ( X ) 0,536; ( X ) 0,732 3. хi 0 pi 0,126 1 2 0,432 0,358 3 0,084 M (X ) 1,4; D( X ) 0,66; (X ) 0,812 x0 0, 0,126, 0 x 1 F ( x) 0,558, 1 x 2 0,916, 2 x 3 1, x3 4. хi 0 1 2 pi 0,7 0,21 0,063 3 0,0189 4 0,0081 x0 0, 0,7, 0 x 1 0,91, 1 x 2 F ( x) 0,973, 2 x 3 0,9919, 3 x 4 1, x4 5. хi 1 2 3 pi 0,2 0,3 0,5 0, x 1 0,2, 1 x 2 F ( x) 0,5, 2 x 3 1, x 3 6. 0, x 2 0,4, 2 x 6 F ( x) 0,9, 6 x 10 1, x 10 0,4; 0,6; 0; 0,5; 1 123 2.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ, ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Задачи для аудиторного занятия 1. 0; 0,25; 0,75; 0; 0,5 2. 2 2 2 ; 4 4 3. с 3 2 2 5 2 0,471; M ( X ) 1,667 ; D( X ) 0,222 ; ( X ) 3 3 9 Mе( X ) 3 2 1,586 ; P(0 X 2) 0,75 1 x 1, 4. f ( x) 2 0, M (X ) x 0,2, x 0,2. 2 2 2 0,471; 0,667 ; D( X ) 0,222 ; ( X ) 3 3 9 Mе( X ) 2 2 0,586 ; P(1 X 2) 0,25 2 9 M ( X ) 1,5 ; D( X ) 0,45 ; (X ) 0,671; Mе( X ) Mо( X ) 1,5 ; 5. а P(0,5 X 1) 5 27 6. а 2 M ( X ) 3 0,685 ; D( X ) 1 2 3 0,062 ; (X ) 0,249; 3 3 3 Р , 2 1 0,414 4 2 0, F ( x) 2(1 cos x), 1, 2 x 0, 0 x x 3 3 , . 124 7. а 1 3 4 13 0,148 ; D( X ) 0,009 ; (X ) 0,094; 27 1458 4 10 Mе( X ) 0,14 6 0, x 0, 1 F ( x ) 4 x 6 х 2 , 0 x , 3 1 1 , x . 3 4 8. а M (X ) 1 1 P , 3 0,333 3 3 1 9. а b 2 1 x e , x 0, F ( x) 2 1 1 e x , x 0. 2 e 1 P(1 X 2) 1 2 0,748 2e Задачи для самостоятельного решения 1. а 1 2 7 11 5 1 0,076 ; (X ) 0,276; Mе( X ) 0,618 ; ; D( X ) 12 144 2 5 P(0,5 X 1) 8 1 2. а 2 x 0, 0, 1 F ( x) (1 cos x), 0 x , 2 x . 1, 1 M ( X ) ; P X 2 2 4 3 M (X ) 125 2 2 3. а ; b 9 3 M ( X ) 1,5 ; D( X ) 0,45 ; (X ) 0,671; Mе( X ) Mо( X ) 1,5 ; x 0, 0, 2 1 F ( x) x 3 х 2 , 0 x 3, 3 27 x 3. 1, 1 4. с 2 F ( x) arctg e x 2.3. НЕКОТОРЫЕ ТИПИЧНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задачи для аудиторного занятия 1 , 1. f ( x) 4 0, 0, x F ( x) , 4 1, x (0, 4), x (0, 4). x 0, 0 x 4, x 4. M ( X ) Me( X ) 2 ; D( X ) 1 , 2. f ( x) 8 0, 4 2 1,333 ; (X ) 1,155 3 3 x [5, 3], x [5, 3]. x 5, 0, x 5 F ( x) , 8 1, 5 x 3, x 3. M ( X ) Me( X ) 4 ; D( X ) P(2 X 1) 16 4 5,333 ; (X ) 2,309; 3 3 3 8 126 3. 0,4; 0,5 1 4. 0,333 3 x 0, 0, 5. f ( x) 0 , 5 x 0,5 e , x 0, x 0, 0, F ( x) 0 , 5 x 1 e , x 0. M ( X ) 2 ; D( X ) 4 ; ( X ) 2 ; P(1 X 2) е 1 0,239 е 6. 0,607; 0,135 7. 0,865; 0,135 8. 0,189 9. а) да; M ( X ) 3 ; D( X ) 3 ; ( X ) 3 1,732 б) нет в) нет г) да; M ( X ) 5 ; D( X ) 0,25 ; ( X ) 0,5 2 ( x 5 ) 1 10. f ( x) e 8 , xR 2 2 x 5 F ( x) 0,5 2 P(1 X 10 ) 0,971 11. 0,9876 12. 0,1177 13. 3,5 0,236 14. 0,8904 15. 0,1859; 19% Задачи для самостоятельного решения x 0,1; 0,1, 5, 1. f ( x) 0, x 0,1; 0,1. x 0,1; 0, F ( x) 5( х 0,1), 0,1 x 0,1; 1, x 0,1. . 1 1 0,003 ; (X ) 0,058; 300 10 3 P(0 X 0,05) 0,25 M ( X ) 0 ; D( X ) 127 2. 1 0,333 3 x 0, 0, 3. f ( x) 2 x 2 e , x 0, x 0, 0, F ( x) 2 x 1 e , x 0. M ( X ) 0,5 ; D( X ) 0,25 ; ( X ) 0,5 ; P(0,5 X 1) 4. M ( X ) е 1 0,233 е2 10 3,333 ; 0,549; 0,301 3 2 ( x 6 ) 1 5. f ( x) e 8 , xR 2 2 x 6 F ( x) 0,5 2 P(1 X 10 ) 0,6247 6. 0,095 16 0,495 Контрольный тест по теме «Случайные величины» 1 B 2 D 3 А 4 С 5 B 6 D 7 А 128 8 D 9 C 10 В 11 С 12 D РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ТЕСТОВ КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО ТЕМЕ «СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ» 1. Вероятность события может принять любое значение из промежутка: а) (, ) ; b) (0, ) ; c) (0,1) ; d) 0,1 . Решение. Согласно классическому определению вероятности (1.1) и свойствам вероятности: 0 P( A) 1 . Ответ: d. 2. Какое из нижеприведенных событий является равновозможным событию А «выпадение двух очков» при бросании игральной кости? a) выпадение числа очков, кратных двум; b) выпадение числа очков, кратных трем; c) выпадение не более двух очков; d) выпадение менее двух очков . 1 Решение. Согласно классическому определению вероятности (1.1) P( A) . 6 Найдем вероятности приведенных событий при однократном бросании кости: 3 1 (число очков, кратных двум, равно 3); 6 2 2 1 P2 (число очков, кратных трем, равно 2); 6 3 2 1 P3 (выпадение не более двух очков означает выпадение 1 или 2 очков); 6 3 1 P4 (выпадение менее двух очков означает выпадение 1 очка). 6 События называют равновозможными, если нет оснований считать одно из них более возможным, чем другое, т.е. вероятности таких событий одинаковы. 1 Таким образом, только P4 P( A) . 6 Ответ: d. P1 129 3. Вероятность банкротства предприятия в течение года равна 10 %. Найдите вероятность того, что в течение года предприятие не обанкротится. a) 0,01; b) 0,1; c) 0,9; d) 0,99. Решение. Пусть событие А – банкротство предприятия в течение года. Противоположное событие А – в течение года предприятие не обанкротится. По теореме сложения вероятностей противоположных событий (1.10) получим: P А 1 P ( A) 1 0,1 0,9 . Ответ: c. 4. Слово «ТЕОРИЯ» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают 4 карточки и складывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получения при этом слова «ТИРЕ»? a) 1/1296; b) 1/324; c) 1/360; d) 1/90. Решение. Пусть событие А – получено слово «ТИРЕ». Вычислим общее число равновозможных исходов опытов (обратим внимание на то, что при составлении слов порядок извлечения карточек важен), а значит, общее число 6! исходов испытания n A64 3 4 5 6 360 . 2! Число благоприятных исходов при этом m=1, так как слово «ТИРЕ» может получиться единственным образом. m 1 Итак, согласно (1.1) находим P( A) . n 360 Ответ: c. 5. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы этих элементов (в течение рабочего дня) равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что в течение рабочего дня будет работать безотказно хотя бы один элемент? a) 0,006; b) 0,06; c) 0,504; d) 0,994. 130 Решение. Введем обозначения: событие A1 – безотказная работа первого элемента в течение дня, событие A2 – безотказная работа второго элемента в течение дня, событие A3 – безотказная работа третьего элемента в течение дня. Обозначим событие А – «в течение рабочего дня будет работать безотказно хотя бы один элемент». Тогда противоположное ему событие А – «все элементы сломались в течение рабочего дня» – можно записать в виде А А1 А2 А3 . и Согласно теоремам умножения вероятностей независимых событий (1.12) сложения вероятностей противоположных событий (1.10), находим P А P А1 P А2 P А3 (1 0,9)(1 0,8)(1 0,7) 0,1 0,2 0,3 0,006 . Окончательно по теореме сложения вероятностей противоположных собы- тий (1.10) получаем: P( A) 1 P А 1 0,006 0,994 . Ответ: d. 6. Лампочки изготавливают независимо друг от друга. В среднем одна лампочка из ста оказывается бракованной. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад лампочек исправными окажутся обе? a) 0,9801; b) 0,98; c) 0,0098; d) 0,0002. Решение. Обозначим событие А – «взятая лампочка исправна», тогда по условию P( А) 0,99 (поскольку в партии из 100 ламп исправных ламп в среднем 99). Событие В – «из двух лампочек обе окажутся исправными» можно записать в виде В А А . Согласно теореме умножения вероятностей независимых событий (1.12), найдем искомую вероятность P( В) P( А) P( А) 0,99 0,99 0,9801 . Ответ: a. 7. Вероятности того, что разговор можно будет провести по каждому из трех каналов связи – 0,7; 0,8 и 0,9 соответственно. Какова вероятность того, что разговор сможет состояться только по первому каналу связи? a) 0,006; b) 0,014; c) 0,7; d) 0,994. 131 Решение. Введем обозначения: событие A1 – разговор идет по первому каналу связи, событие A2 – разговор идет по второму каналу связи, событие A3 – разговор идет по третьему каналу связи. Тогда событие А – «разговор сможет состояться только по первому каналу связи» – можно записать в виде А A1 A2 A3 , и по теореме умножения вероятностей независимых событий (1.12) находим: P( А) P( A1 A2 A3 ) 0,7 (1 0,8) (1 0,9) 0,7 0,2 0,1 0,014 . Ответ: b. 8. Формула P( A) P( H1 ) PH1 ( A) P( H 2 ) PH2 ( A) ... P( H n ) PHn ( A) называется: a) формулой классической вероятности; b) формулой полной вероятности; c) формулой Байеса; d) формулой Бернулли. Решение. Согласно теореме (1.15) это формула полной вероятности. Ответ: b. 9. С первого станка на сборку поступает 30 %, со второго – 70 % всех деталей. Среди деталей первого станка 10 % брака, второго – 20 %. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной? a) 0,27; b) 0,56; c) 0,83 d) 0,85. Решение. Пусть событие А – взятая деталь оказалась стандартной. Здесь возможны две гипотезы: H 1 – продукция изготовлена на первом станке; H 2 – продукция изготовлена на втором станке. События H1 , H 2 образуют полную группу событий. Их вероятности P( H1 ) 30% 0,3 ; P( H 2 ) 70% 0,7 (их сумма должна быть равна 1). Событие А может наступить только с одной из перечисленных гипотез. По условию задачи условные вероятности события А при указанных гипотезах: PH ( A) 90 % 0,9 ; PH ( A) 80 % 0,8 . 1 2 Тогда по формуле полной вероятности (1.15) будем иметь: P( A) P( H 1 ) PH ( A) P( H 2 ) PH ( A) 0,3 0,9 0,7 0,8 0,83 . 1 2 Ответ: c. 132 10. В пирамиде установлено 20 винтовок, 14 из которых имеют оптический прицел. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9, а из винтовки без оптического прицела – 0,4. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Какова вероятность того, что он стрелял из винтовки с оптическим прицелом? a) 0,84; b) 0,75; c) 0,25; d) 0,16. Решение. Пусть событие А – стрелок поразил мишень. Здесь возможны две гипотезы: H 1 – стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом; H 2 – стрелок стрелял из винтовки без оптического прицела. События H1 , H 2 образуют полную группу событий. Их вероятности 14 6 0,7 ; P( H 2 ) 0,3 . 20 20 Событие А может наступить только с одной из перечисленных гипотез. По условию задачи условные вероятности события А при указанных гипотезах: PH ( A) 0,9 ; PH ( A) 0,4 . P( H 1 ) 1 2 Тогда по формуле полной вероятности (1.15) будем иметь: P ( A) P ( H 1 ) PH ( A) P( H 2 ) PH ( A) 0,7 0,9 0,3 0,4 0,75 . 1 2 По формуле Байеса (1.16) находим искомую вероятность: P( H 1 ) PH ( A) 0,7 0,9 PA ( H 1 ) 0,84 . P( A) 0,75 21 Ответ: a. 11. Локальная теорема Лапласа имеет вид: a) Pn ,k p(1 p) ; b) Pn ,k c nk p k (1 p ) n k ; c) Pn ,k k k! e ; d) Pn ,k ( A) k np 1 . npq npq Решение. Согласно локальной теореме Лапласа (1.20). Ответ: d. 133 12. Проводят 10 испытаний, в которых вероятность наступления события А равна 0,4. Какой формулой следует воспользоваться, чтобы найти вероятность того, что событие А не наступит ни одного раза? a) формулой Бернулли; b) локальной теоремой Лапласа; c) формулой Пуассона; d) интегральной теоремой Лапласа. Решение. Поскольку в данной серии опытов проводят независимые испытания и вероятность наступления события А в каждом из них постоянна, то речь идет о схеме Бернулли. Так как число испытаний невелико: n 10, n 20 , то следует воспользоваться формулой Бернулли (1.17). Ответ: a. 13. Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что «герб» не выпадет ни разу? a) 0; b) 1/32; c) 1/16; d) 5/32. Решение. Пусть событие А – выпал «герб». Проводится серия независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна, тогда имеем дело со схемой Бернулли. Число испытаний n 5, 5 20 удобно использовать формулу Бернулли 1 (вероятность выпадения «герба» при одном броске); 2 1 тогда вероятность «ненаступления» события А q 1 p . 2 Число «успехов» (т.е. число наступлений события А ) k 0 , искомая веро- (1.17), где p P( A) 5 1 1 ятность P5, 0 ( A) C p q 1 . 2 32 Ответ: b. 14. Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность того, что «герб» выпадет только во второй раз? a) 2/5; b) 5/16; c) 1/32; d) 5/32. 0 5 0 5 134 Решение. Пусть событие A1 – выпал «герб». Тогда событие A – ««герб» выпадет только во второй раз» можно записать в виде А A1 A1 A1 A1 A1 , а его вероятность найти по теореме умножения вероятностей независимых 1 1 1 1 1 1 событий (1.12): P( A) . 2 2 2 2 2 32 Ответ: c. 15. Техническое устройство состоит из трёх узлов. Событие Ak – k-ый узел выйдет из строя (k = 1, 2, 3). Установите соответствие между событиями и их словесной формулировкой: а) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ; 1) все узлы выйдут из строя 2) только третий узел выйдет из строя б) A1 A2 A3 ; в) A1 A2 A3 ; 3) ровно два узла выйдут из строя 4) хотя бы один узел выйдет из строя г) A1 A2 A3 ; 5) ни один узел не выйдет из строя д) A1 A2 A3 . Решение. Введем обозначения: событие A1 – первый узел выйдет из строя, событие A2 – второй узел выйдет из строя, событие A3 – третий узел выйдет из строя. Тогда, используя понятия суммы и произведения событий, а так же противоположного события, событие «все узлы выйдут из строя» можно записать в виде A1 A2 A3 ; Событие «только третий узел выйдет из строя» – в виде A1 A2 A3 ; событие «ровно два узла выйдут из строя» – в виде A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ; событие «хотя бы один узел выйдет из строя» – в виде A1 A2 A3 ; событие «ни один узел не выйдет из строя» – в виде A1 A2 A3 . Ответ: 1 2 3 г д а 4 5 в б 135 КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ ПО ТЕМЕ «СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ» 1. Дискретная случайная величина всегда: a) принимает все значения из некоторого промежутка; b) принимает отдельные (изолированные) значения; c) принимает бесконечное число значений; d) принимает конечное число значений. Решение. Согласно определению дискретная величина – это величина, которая принимает отдельные, изолированные значения (см. п. 2.1). Ответ: b. 2. Каким свойством НЕ обладает дифференциальная функция распределения? a) f x 0 ; b) f ( x)dx 1; x c) F ( x) f x dx ; f ( x) . d) lim x Решение. Среди перечисленных свойств дифференциальной функции распределения выполняются свойства 1-3 (см. п. 2.2). Ответ: d. 3. Какая из числовых характеристик случайной величины является характеристикой положения? a) математическое ожидание; b) центральный момент второго порядка; c) среднее квадратическое отклонение; d) дисперсия. Решение. Из перечисленных числовых характеристик только математическое ожидание является характеристикой положения (см. п. 2.1). Ответ: a. 4. Какое из свойств дисперсии указано НЕверно? a) D(C ) 0 ; b) D(CХ ) C 2 D( X ) ; c) D(CХ ) CD ( X ) ; d) D( Х Y ) D( X ) D(Y ) . Решение. Среди перечисленных свойств дисперсии верно указаны свойства № 1, 2 и 4 (см. п. 2.1). Ответ: c. 136 5. Дан закон распределения случайной величины. Найдите р3 . 0 0,38 xi pi 15 0,01 25 р3 100 0,1 a) 0,6; b) 0,51; c) 0,49; d) 0,4. Решение. Вспомним, что если дискретная случайная величина задана рядом распределения, то сумма всех вероятностей, соответствующих ее возможным значениям, равна единице, т.е. n p i 1 i 1 (см. п. 2.1). Отсюда находим р3 1 (0,38 0,01 0,1) 1 0,49 0,51. Ответ: b. 6. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения xi 0 1 pi 0,15 0,3 Тогда ее функция распределения имеет вид: a) 0, x 0 0,15, 0 x 1 F ( x) 0, 45, 1 x 2 0, 4, x 2 b) 0, x 0 0,15, 0 x 1 F ( x) 0,3, 1 x 2 1, x 2 c) 0, x 0 0,15, 0 x 1 F ( x) 0,5, 1 x 2 1, x 2 d) 0, x 0 0,15, 0 x 1 F ( x) 0,45, 1 x 2 1, x 2 137 2 0,55 Решение. Вспоминая рекомендации по построению графика интегральной функции и пример № 2 (п. 2.1), имеем общий вид интегральной функции: 0, p1 , F ( x) p1 p2 , ... p p ... p , 1 2 n x x1 , x1 x x2 , x 2 x x3 , xn x. В нашем случае получим: x0 0, 0,15, 0 x 1 F ( x) 0,15 0,3, 1 x 2 0,15 0,3 0,55, x 2 0, x 0 0,15, 0 x 1 F ( x) 0,45, 1 x 2 1, x 2 Ответ: d. 7. Найдите математическое ожидание случайной величины из задачи № 6. a) 1,4; b) 1,55; c) 1; d) 0,41. Решение. Согласно формуле для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины (2.1) получаем: M ( X ) x1 p1 x2 p2 x3 p3 0 0,15 1 0,3 2 0,55 0,3 1,1 1,4 . Ответ: a. 8. Дисперсия случайной величины D ( X ) 2,5 . Используя свойства дисперсии, найдите D (2 X 1,5) . a) 2; b) 3,5; c) 7,5; d) 10. Решение. С учетом свойств дисперсии случайной величины (см. п. 2.1) получаем D(2 X 1,5) D(2 X ) D(1,5) 2 2 D( X ) 0 4 2,5 10 . Ответ: d. 138 9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения: 0, x 2 f ( x) Ах , 2 x 3 . 0, x 3. Чему равен коэффициент А ? a) 1; b) 1/5; c) 2/5; d) 1/2. Решение. Неизвестный параметр найдем, используя свойство № 3 плот ности распределения: f ( x)dx 1 (см. п. 2.2). Получим: 3 x2 5 f ( x)dx 0dx 2 Ахdx 3 0dx А 2 А 2 . 2 2 3 Согласно свойству нормировки: А 5 2 1 А . 2 5 Ответ: c. 10. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения: x 0; 0, 2 F ( x) 2 x x3 , 0 x 1; 1, x 1. Найдите вероятность попадания этой величины в интервал (0; 0,5). a) 0,125; b) 0,375; c) 0,5; d) 0,625. Решение. Согласно свойству № 3 функции распределения вероятность попадания данной величины в интервал P(a X b) F (b) F (a) (см. п. 2.1). В нашем случае вероятность попадания величины в интервал (0; 0,5) равна: P(0 X 0,5) F (0,5) F (0) 2 0,52 0,53 0 0,5 0,125 0,375. Ответ: c. 139 11. Найдите дисперсию случайной величины, распределенной равномерно на интервале (-2, 4). a) 1/3; b) 1; c) 3; d) 9. Решение. Дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на (b a) 2 интервале ( a, b) , может быть найдена по формуле D( X ) (см. п. 2.3.1). 12 (4 (2))2 6 2 В нашем случае a 2, b 4 . Значит D( X ) 3. 12 12 Ответ: c. 12. Чему равна дисперсия непрерывной случайной величины, распределенной e x , если x 0; по показательному закону f ( x) ? если x 0, 0, a) ; 1 b) ; c) 2 ; 1 d) 2 . Решение. Дисперсия случайной величины, распределенной по показатель1 ному закону с параметром , равна D( X ) 2 (см. п. 2.3.2). Ответ: d. 140 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Настоящее пособие содержит методические указания и контрольные задания по курсу «Теория вероятностей». Оно предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов очной формы обучения по специальности «Строительство», а также может быть использовано для самостоятельной работы студентов заочной формы обучения. В учебном пособии рассмотрены общие вопросы теории вероятностей, в начале каждого параграфа указаны разделы рекомендуемой литературы, а также приведены основные теоретические сведения и расчетные формулы, методические указания и примеры решения задач. Приложения содержат необходимые справочные материалы. В ходе изучения данного курса студенты получают необходимый минимум знаний по основным разделам теории вероятностей. Кроме этого, данное пособие призвано: способствовать углублению и закреплению знаний, полученных студентами во время учебного процесса и в ходе самоподготовки; развивать у студентов способность к самостоятельному анализу учебной и методической литературы; вырабатывать умение систематизировать и обобщать усвоенный материал, критически его оценивать; формировать и укреплять навыки практического применения своих знаний, аргументированного и грамотного изложения своих мыслей; прививать навыки комплексного подхода к изучению учебного материала, а также служить материалом для самопроверки при изучении и закреплении отдельных разделов курса. Во второй части пособия приведены варианты индивидуальных контрольных работ по теории вероятностей по двум разделам – «Случайные события» и «Случайные величины». Они предназначены для активизации самостоятельной работы студентов и более глубокого изучения учебного материала. Индивидуальные задания рекомендованы либо для итогового контроля с последующей защитой, либо для подготовки к зачету или экзамену по указанной дисциплине (на усмотрение преподавателя). Изложенный в данном пособии материал даст возможность студентам овладеть необходимыми знаниями, выполнить индивидуальные контрольные работы, а также подготовиться к промежуточной аттестации по указанному разделу высшей математики. 141 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 576 с. 2. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учебное пособие для студентов втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 448 с. 3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов вузов / В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с. 4. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов / В.Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2006. – 404 с. 5. Гнеденко, Б.В. Элементарное введение в теорию вероятностей / Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин. – М.: Едиториал УРСС, 2012. – 210 с. 6. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. В 2-х частях. Часть 2. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Оникс, 2003. – 415 с. 7. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – М.: Айриспресс, 2008. – 288 с. 8. Свешников, А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / А.А. Свешников и др. – СПб: Лань, 2008. – 632 с. 142 ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 1 x2 2 e 2 6 7 3982 3980 3939 3932 3857 3847 3739 3726 3589 3572 3410 3391 3209 3187 2989 2966 2756 2732 2516 2492 2275 2251 2036 2012 1804 1781 1582 1561 1374 1354 1182 1163 1006 0989 0848 0833 0707 0694 0584 0573 0478 0468 0387 0379 0310 0303 0246 0241 0194 0189 0151 0147 0116 0113 0088 0086 0067 0065 0050 0048 Таблица значений функции ( x) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 1 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 2 3989 3961 3894 3790 3652 3485 3292 3079 2850 2613 2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 3 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 4 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 143 5 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 8 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 9 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1786 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 1 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 2 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 3 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002 4 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 144 5 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 6 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 7 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 8 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 9 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 Приложение 2 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 1 x z2 2 Таблица значений функции Ф( x) e dz 2 0 x x x Ф(x) Ф(x) Ф(x) 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,0080 0,34 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 1,01 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 1,11 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 1,12 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1,13 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1,17 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 1,18 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 1,20 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1,21 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,22 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3186 1,23 0,1103 0,60 0,2257 0,92 0,3212 1,24 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,25 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,3264 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289 145 Ф(x) 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 x 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 Ф(x) 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0.4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 x 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 x 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 Ф(x) 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 146 Ф(x) 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 x 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 Ф(x) 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997 147 Учебное издание ФАДЕЕВА Оксана Владиславовна Теория вероятностей Учебное пособие Редактор, корректор А.А. Сыромятников Технический редактор И.Л. Соколов Подписано в печать 29.10.2020 Формат 60×84/16. Бумага офсетная Усл. п. л. 8,60. Уч.-изд. л. 8,39 Тираж 50 экз. Рег. № 57/20 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Самарский государственный технический университет» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус Отпечатано в типографии Самарского государственного технического университета 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Корпус № 8 148
