111111new

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Департамент координации деятельности организации в сфере сельскохозяйсвенных наук
ФГБОУВО
Волгоградский государственный аграрный университет
Кафедра информационные системы и технологии
Контрольная работа
по дисциплине "Эконометрика"
Выполнил: Умиров Р.О.
Проверила: доцент Заяц О.А.
Волгоград 2022
2
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация,
характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( Y , млн. руб.) от
объема капиталовложений ( X , млн. руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую
интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить
дисперсию остатков S2 ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с
помощью t-критерия Стьюдента (  0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения
регрессии
с
помощью
F -критерия Фишера
(  0,05) ,
найти
среднюю
относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при
уровне значимости   0,1 , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от
его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y , точки
прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
 гиперболической;
 степенной;
 показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
3
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние
относительные
ошибки
аппроксимации.
Сравнить
модели
по
этим
характеристикам и сделать вывод.
Вариант 8
X
Y
17
22
10
7
12
21
14
7
20
3
26
27
22
19
21
26
20
15
30
13
Решение:
1.
Уравнение линейной регрессии имеет следующий вид:
ˆ  a  bx, где а  y  bx , b 
y
x y  x y
2
x2  x
Таблица 1
Найдем b:
№наблюдения
X
Y
X2
X·Y
1
17
26
289
442
2
22
27
484
594
3
10
22
100
220
4
7
19
49
133
5
12
21
144
252
6
21
26
441
546
7
14
20
196
280
8
7
15
49
105
9
20
30
400
600
10
3
13
9
39
Сумма
133
219
2161
3211
Ср. значение
13,3
21,9
216,1
321,1
4
b
x y  x y
x x
2
2

321,1  21,9 13,3 321,1  291,27 29,83


 0,761
216,1  176,89 39,21
216,1  13,32
Тогда a  y  bx  21,9  0,761  13,3  21,9  10,1213  11,7787  11,779
Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷx =11,779+0,761x.
Коэффициент регрессии показывает среднее изменение результата с
изменением фактора на одну единицу.
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. рублей объем
выпускаемой продукции увеличится в среднем на 761 тыс. рублей.
2.
Вычислим остатки при помощи. Получим:
Таблица 2
ВЫВОД ОСТАТКА
Остатки
Наблюдение
Yˆ
 i  yi  yˆ i
2
1
24,72
1,284
1,649
2
28,52
-1,521
2,313
3
19,39
2,611
6,817
4
17,11
1,894
3,587
5
20,91
0,089
0,008
6
27,76
-1,76
3,098
7
22,43
-2,433
5,919
8
17,11
-2,106
4,435
9
27
3,001
9,006
10
14,06
-1,062
1,128
Сумма
219
-0,003
37,961
Найдем остаточную сумму квадратов:

 2  ( y  y x )2  37,961
5
Дисперсия остатков равна:
n
 i2
37,961 37,961
S 2  i 1


 4,745 .
n  k 1 10 1 1
8
График остатков имеет следующий вид:
График 1
График остатков
4
3
остатки
2
1
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
-2
-3
-4
х
3.
Проверим выполнение предпосылок МНК.
 Случайный характер остатков.
Случайный характер остатков εi проверяется по графику. Как видно из
графика 1 в расположении точек εi нет направленности (на графике получена
горизонтальная полоса). Следовательно, εi – случайные величины и применение
МНК оправдано.
 Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.
6
Так как расположение остатков на графике не имеет направленности
(расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от
значений фактора xi. Следовательно, модель адекватна.
 Проверка гомоскедастичности остатков.
Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность
остатков используем метод Голдфельда - Квандта.
1)
Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.
2)
Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой
группы определим уравнения регрессии.
Таблица 3
х
y
x·y
x2
1
3
13
39
9
2
7
19
133
49
3
7
15
105
49
4
10
22
220
100
5
12
21
252
144
Сумма
39
90
749
351
Ср.знач
7,8
18
149,8
70,2
х
y
x·y
x2
1
14
20
280
196
2
17
26
442
289
3
20
30
600
400
4
21
26
546
441
5
22
27
594
484
Сумма
94
129
2462
1810
Ср.знач
18,8
25,8
492,4
362
ŷ
εi=yi-ŷi
ε2
13,181
-0,181
0,033
17,197
1,803
3,251
17,197
-2,197
4,827
20,209
1,791
3,208
22,217
-1,217
1,481
12,799
ŷ
εi=yi-ŷi
ε2
21,672
-1,672
2,796
24,252
1,748
3,056
26,832
3,168
10,036
27,692
-1,692
2,863
28,552
-1,552
2,409
21,159
7
b1 
x  y  x  y 149,8  7,8 18 149,8 140,4 9,4



 1,004
2
2
70
,
2

60
,
84
9
,
36
x2  x
70,2  7,8
a1  y  bx  18  1,004  7,8  18  7,831  10,169
yˆ1x  10,169  1,004 x
b2 
x y  x y
x2  x
2

492,4 18,8  25,8 492,4  485,04 7,36


 0,860
362  353,44 8,56
362 18,82
a2  y  bx  25,8  0,86 18,8  25,8  16,168  9,632
yˆ 2 x  9,632  0,860 x
3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.
n

1
S   ( yi  y ) 2  12,799 ,
1y i1
1i
S
2y


n
( yi  y 2i ) 2  21,159 .

in1n
1
4) Вычислим F- распределения.
Fнабл=S2ŷ/S1ŷ =1,653.
8
5) Произведем сравнение Fнабл и Fтабл.
1,653<5,32
(при
k1=1
и
k2=n–2=10–2=8),
следовательно,
гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.
 Отсутствие автокорреляции.
Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:
Таблица 4
εi
εi-1
εi- εi-1
(εi- εi-1)2
1
1,284
2
-1,521
1,284
-2,805
7,868
3
2,611
-1,521
4,132
17,073
4
1,894
2,611
-0,717
0,5141
5
0,089
1,894
-1,805
3,258
6
-1,760
0,089
-1,849
3,4188
7
-2,433
-1,760
-0,673
0,4529
8
-2,106
-2,433
0,327
0,1069
9
3,001
-2,106
5,107
26,081
10
-1,062
3,001
-4,063
16,508
Сумма
75,282
n
 ( i   i1) 2
d  i 2 n
; d=75,282/37,961=1,983.
2

i1 i
Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие
положительной автокорреляции.
 Остатки подчиняются нормальному закону распределения.
4.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с
помощью t-критерия Стьюдента (  0,05).
9
ta 
b
a
;t 
,
Sa b S
b
S a  S
 xi
2
n
; S  S
b
2
2
n x   x
i
i
n

 
 
n x 2   x 2
i
i
,
i2
37,961
где S  i  1

 2,18
n2
10  2
S  2,18
b
2161
S a  2,18
Тогда
10
10  2161  133 2

10  2161  133 2

2,18  46,49
101,35

 1,62 ,
21610  17689 62,62
6,89
11,779
0,761
 0,11 ; t a 
 7,27 и t 
 6,92
b
1,62
0,11
62,62
tтабл=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); tа и tb> tтабл, что говорит о
значимости параметров модели.
5.
Коэффициент детерминации находится по формуле:
n
 ( yˆ  y )
R2  i  1
n
i
i 1
i
 ( y  y)
n
2

 1
2
i2
i 1
n
 ( y  y)
i 1
i
Данные возьмем из таблицы 5:
 1
2
37,961
 1  0,143  0,857 .
264,9
10
Таблица 5
xi  x
yi  y
( xi  x ) 2 ( yi  y ) 2
i
i
yi
100 %
№
x
y
1
17
26
3,7
4,1
13,69
16,81
1,284
4,938
2
22
27
8,7
5,1
75,69
26,01
-1,521
5,633
3
10
22
-3,3
0,1
10,89
0,01
2,611
11,868
4
7
19
-6,3
-2,9
39,69
8,41
1,894
9,968
5
12
21
-1,3
-0,9
1,69
0,81
0,089
0,424
6
21
26
7,7
4,1
59,29
16,81
-1,760
6,769
7
14
20
0,7
-1,9
0,49
3,61
-2,433
12,165
8
7
15
-6,3
-6,9
39,69
47,61
-2,106
14,040
9
20
30
6,7
8,1
44,89
65,61
3,001
10,003
10
3
13
-10,3
-8,9
106,09
79,21
-1,062
8,169
Сумма
133
219
392,1
264,9
Ср. знач.
13,3
21,9
83,979
Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:
F
R2
1 R2
(n  2) 
0,857
 8  47,944 .
1  0857
Fтабл=5,32 (k1=1, k2=8 степенями свободы) ;
F>Fтабл, что говорит о значимости уравнения регрессии.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:
A
1
1 n i
100 %   83,979  8,4% ;

n i1 yi
10
В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.
11
Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации
находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет
хорошее качество.
6. Ширина доверительного интервала находится по формулам:

Sy

2
i
n2

37,961
 2,18;
8
xпрогноз  xmax : 100  80  22 : 100  80  17,6
2
1 (17,6  13,3) 2
1 ( xпр  x )
U  S  t 1   n
 2,18 1,86 1  

n
10
392,1
y
 ( xi  x ) 2
i1
4,32
18,49
 4,0548 1,1 
 4,0548 1,1 
 4,34,
392,1
392,1
где tα=1,86 при m=n-2=8 и α=0,1
Т.о.
yˆ прогноз  11,779  0,761  х прогноз  11,779  0,761  17,6  11,779  13,3936  25,173
Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513
Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833
Таблица 6
Нижняя граница
Прогноз
Верхняя граница
20,83
25,17
29,51
12
7. Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на
графике 2.
График 2
Фактические и модельные значения Y
35
29,51
30
30
26
25
22
20
21
y
19
15
25,17
20
20,83
15
20
26
27
15
13
10
5
0
0
5
10
x
25
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
 Гиперболической
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.
Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х.
Тогда уравнение примет вид: ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6
Таблица 7
i
100 %
№
y
x
X
X2
Xy
ŷ
εi
εi2
1
26
17
0,0588
0,0035
1,5294
24,41
1,59
2,52
6,11
2
27
22
0,0455
0,0021
1,2273
25,10
1,90
3,61
7,04
3
22
10
0,1000
0,0100
2,2000
22,29
-0,29
0,09
1,33
4
19
7
0,1429
0,0204
2,7143
20,09
-1,09
1,18
5,72
5
21
12
0,0833
0,0069
1,7500
23,15
-2,15
4,63
10,24
6
26
21
0,0476
0,0023
1,2381
24,99
1,01
1,02
3,89
yi
13
7
20
14
0,0714
0,0051
1,4286
23,76
-3,76
14,16
18,82
8
15
7
0,1429
0,0204
2,1429
20,09
-5,09
25,88
33,91
9
30
20
0,0500
0,0025
1,5000
24,87
5,13
26,35
17,11
10
13
3
0,3333
0,1111
4,3333
10,28
2,72
7,38
20,90
Сумма
219
133
1,0757
0,1843
20,0638
86,82
125,07
Ср.знач.
21,9
13,3
0,1076
0,0184
2,0064
b
X y X y
X X
2
2

2,0064  0,1076  21,9 2,0064  2,3564  0,35


 51,47
0,0184  0,0116 0,0068
0,0184  0,1076 2
Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:
a  y  bX  21,9  51,47  0,1076  27,44
Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.
Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической
модели:

51,47
.
y  27,44 
x
График 3
Гиперболическая
30
25
Y
20
15
10
5
0
0
5
10
x
15
20
25
14
Степенная
Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · xb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию
переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + b lg x
Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; X = lg x
Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:
Таблица 8
y
x
Y
X
YX
X2
ŷ
εi
εi2
i
100 %
yi
26
17
1,4150
1,2304
1,7411
1,5140
24,545
1,45
2,12
5,60
27
22
1,4314
1,3424
1,9215
1,8021
27,142
-0,14
0,02
0,52
22
10
1,3424
1,0000
1,3424
1,0000
19,957
2,04
4,17
9,29
19
7
1,2788
0,8451
1,0807
0,7142
17,365
1,63
2,67
8,60
21
12
1,3222
1,0792
1,4269
1,1646
21,427
-0,43
0,18
2,04
26
21
1,4150
1,3222
1,8709
1,7483
26,654
-0,65
0,43
2,51
20
14
1,3010
1,1461
1,4911
1,3136
22,755
-2,76
7,59
13,78
15
7
1,1761
0,8451
0,9939
0,7142
17,365
-2,37
5,59
15,77
30
20
1,4771
1,3010
1,9218
1,6927
26,151
3,85
14,81
12,83
13
3
1,1139
0,4771
0,5315
0,2276
12,479
0,52
0,27
4,01
Сумма
219
133
13,2729
10,5887
14,3218
11,8913
37,86
74,94
Ср.знач.
21,9
13,3
1,3273
1,0589
1,4322
1,1891
№
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:
15
b
X Y  X Y
X X
2
2

1,4322 1,0589 1,3273 1,4322 1,4055 0,0267


 0,39
1,1891 1,1213 0,0678
1,1891 1,0589 2
Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:
A  Y  bX  1,3273  0,39 1,0589  0,91
Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного
уравнения:
ŷ=100,91 · x0,39
ŷ =8,13 · x0,39.
График 4
Степенная
30
25
у
20
15
10
5
0
0
5
10
х
15
20
25
16
 Показательная
Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · bx
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию
переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + x lg b
Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b
Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx - линейное уравнение регрессии.
Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.
Таблица 9
y
№наблюдения
x
Y
Yx
ŷ
x2
εi
εi2
i
yi
100 %
1
26
17
1,4150
24,0545
289
24,564
1,436
2,06
5,52
2
27
22
1,4314
31,4900
484
29,600
-2,600
6,76
9,63
3
22
10
1,3424
13,4242
100
18,920
3,080
9,49
14,00
4
19
7
1,2788
8,9513
49
16,917
2,083
4,34
10,96
5
21
12
1,3222
15,8666
144
20,385
0,615
0,38
2,93
6
26
21
1,4150
29,7144
441
28,516
-2,516
6,33
9,68
7
20
14
1,3010
18,2144
196
21,964
-1,964
3,86
9,82
8
15
7
1,1761
8,2326
49
16,917
-1,917
3,68
12,78
9
30
20
1,4771
29,5424
400
27,472
2,528
6,39
8,43
10
13
3
1,1139
3,3418
9
14,573
-1,573
2,47
12,10
Сумма
219
133
13,2729
182,8324
2161
45,75
95,84
Ср.знач.
21,9
13,3
1,3273
18,2832
216,1
В
x Y  x Y
x x
2
2

18,2832 13,3 1,3273 18,2832 17,653 0,63


 0,016
216,1 176,89
39,21
216,1 13,32
17
Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:
A  Y  Bx  1,3273  0,016 13,3  1,115
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного
уравнения:
ŷ =101,115·(100,016)x;
ŷ =13,03·1,038x.
График 5
Показательная
35,00
30,00
у
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
0
5
10
15
20
25
х
9. Для указанных моделей найти: R2 – коэффициент детерминации и
средние относительные ошибки аппроксимации А.
 ( y  y) 2 для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).
 Степенная модель (см. таблицу 8):
18
R2  1
i
2
 ( y  y)2
 1
37,86
 0,857 ;
264,9
1
1 E
A   i *100%   74,94  7,5 ;
n
y
10
 Показательная модель (см.таблицу 9):
R2  1
i
2
 ( y  y)2
 1
45,75
 0,827 ;
264,9
1
1 E
A   i *100%   95,84  9,6 ;
n
y
10
 Гиперболическая модель (см. таблицу 7):
R2  1
i
2
 ( y  y)2
 1
86,82
 0,672
264,9
1
1 Ei
A 
*100%  125,07  12,5 .
n
y
10
Таблица 10
Параметры
Коэффициент
Средняя относительная ошибка
Модели
детерминации R
аппроксимации А
1. Степенная
0,857
7,5
2. Показательная
0,827
9,6
2
19
3. Гиперболическая
0,672
12,5
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного
признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R2 к 1,
тем выше качество модели.
Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии
регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации
меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.
При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по
данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента
детерминации R2 и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель,
следовательно, ее можно считать лучшей.
Задача 2
Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели.
Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе
системы на идентифицируемость.
Таблица 1
№
варианта
8
№ уравнения
Задача 2а
Задача 2б
переменные
переменные
y1
y2
y3
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
x1
x2
x3
x4
1
-1
b12
b13
0
a12
a13
0
-1
0
b13
a11
0
a13
a14
2
0
-1
b23
a21
a22
0
a24
b21
-1
b23
0
a22
0
a24
3
0
b32
-1
a31
a32
a33
0
b31
0
-1
a31
0
a33
a34
20
Решение
 - 1 b12 b13 0 a 12 a 13 0 


2а)  0 - 1 b 23 a 21 a 22 0 a 24  , тогда система уравнений будет иметь вид:
 0 b -1 a a a 0 
31 32 33
 32

0  - y1  b12 y 2  b13 y 3  a 12 x 2  a 13 x 3

0  - y 2  b 23 y 3  a 21x 1  a 22 x 2  a 24 x 4 ,
0  b y - y  a x  a x  a x
32 2
3
31 1
32 2
33 3

y1  b12 y 2  b13 y 3  a 12 x 2  a 13 x 3

y 2  b 23 y 3  a 21x 1  a 22 x 2  a 24 x 4 ,
y  b y  a x  a x  a x
32 2
31 1
32 2
33 3
 3
Модель имеет 3 эндогенные (y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4)
переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие
идентификации.
1 уравнение: y1= b12y2+b13y3+a12x2+a13x3;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3
Отсутствующие экзогенные переменные: х1, х4; D=2
2+1=3 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х1, х4. Построим матрицу
из коэффициентов для второго и третьего уравнения:
Таблица 2
Уравнение
переменные
х1
х4
2
a21
a24
3
a31
0
21
Найдем
определитель:
DetA  a21  0  a24  a31  0 ,
ранг
=2,
следовательно, условие достаточности выполнено.
1-ое уравнение идентифицируемо.
2 уравнение: y2= b23 y3+a21x1+a22x2+a24x4 ;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y2, y3; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х3; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х3. Построим матрицу
из коэффициентов для первого и третьего уравнения:
Таблица 3
Уравнение
переменные
y1
х3
1
-1
a13
3
0
a33
Найдем определитель: DetA  1  a33  0  a13  0 , ранг =2, следовательно,
условие достаточности выполнено.
2-ое уравнение идентифицируемо.
3 уравнение: y3= b32y2+a31x1+a32x2+a33x3;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y2, y3; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х4; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу
из коэффициентов для первого и второго уравнения:
22
Таблица 4
Уравнение
переменные
х1
х4
1
-1
0
2
0
a24
Найдем определитель: DetA  1 a24  0  0  0 , ранг =2, следовательно,
условие достаточности выполнено.
3-е уравнение идентифицируемо.
В целом вся система уравнений является идентифицируемой.
Решение
 -1

2б)  b 21
b
 31
0
b13
a 11
0
a 13
-1
b 23
0
a 22
0
0
-1
a 31
0
a 33
a 14 

a 24  ,
a 34 
Тогда система уравнений будет иметь вид:
0  - y1  b13 y 3  a11x 1  a 13 x 3  a 14 x 4

0  b 21 y1 - y 2  b 23 y 3  a 22 x 2  a 24 x 4 ,
0  b y - y  a x  a x  a x
31 1
3
31 1
33 3
34 4

 y1  b13 y 3  a 11x 1  a 13 x 3  a 14 x 4

 y 2  b 21 y1  b23 y 3  a 22 x 2  a 24 x 4 ,
y  b y  a x  a x  a x
31 1
31 1
33 3
34 4
 3
Модель имеет 3 эндогенные (y1, y2, y3) и 4 экзогенные (x1, x2, x3, x4)
переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие
идентификации.
1 уравнение: y1= b13y3+a11x1+a13x3+a14x4;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1, y3; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х2; D=1
23
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y2, х2. Построим матрицу
из коэффициентов для второго и третьего уравнения:
Таблица 5
Уравнение
переменные
y2
х2
2
-1
a22
3
0
0
Найдем определитель: DetA  1 0  0  a22  0 , следовательно, условие
достаточности НЕ выполнено.
1-ое уравнение НЕидентифицируемо.
2 уравнение: y2= b11 y1+b23y3+a22x2+a24x4 ;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1, y2, y3; H=3
Отсутствующие экзогенные переменные: x1, х3; D=2
2+1=3 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют x1, х3. Построим матрицу
из коэффициентов для первого и третьего уравнения:
Таблица 6
Уравнение
переменные
x1
х3
1
a11
a13
3
a31
a33
Найдем определитель: DetA  a11  a33  a31  a13  0 , ранг =2, следовательно,
условие достаточности выполнено.
24
2-ое уравнение идентифицируемо.
3 уравнение: y3= b31y2+a31x1+a33x3+a34x4;
Необходимое условие: D + 1 = H
Эндогенные переменные: y1, y3; H=2
Отсутствующие экзогенные переменные: х2; D=1
1+1=2 - условие необходимости выполнено.
Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y1, х4. Построим матрицу
из коэффициентов для первого и второго уравнения:
Таблица 7
Уравнение
переменные
y2
х2
1
0
0
2
-1
a22
Найдем определитель: DetA  0  a22  0  (1)  0 , следовательно, условие
достаточности НЕ выполнено
3-е уравнение НЕидентифицируемо.
В целом вся система уравнений является НЕидентифицируемой, так как
первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.
2в) По данным, используя косвенный метод наименьших квадратов,
построить структурную форму модели вида: y1=a01+b12y2+a11x1+ε1;
y2=a02+b21y1+a22x2+ε2
Таблица 8
Вариант
8
n
y1
y2
x1
x2
1
51.3
39.4
3
10
2
112.4
77.9
10
13
25
3
67.5
45.2
5
3
4
51.4
37.7
3
7
5
99.3
66.1
9
6
6
57.1
39.6
4
1
Решение
1)
Структурную форму модели (СФМ) преобразуем в приведенную
форму модели (ПФМ):
Для этого из второго уравнения выражаем y2 и подставляем его в первое, а
из первого выражаем y1 и подставляем его во второе уравнение. Получим:
y1=δ11x1+ δ12x2+u1;
y2=δ21x1+ δ22x2+u2,
где u1 и u1 –случайные ошибки ПФМ.
Здесь
11 
a
a b
a b
a
11 ;   22 12 ;   11 21 ;  
22 .
12 1  b b
21 1  b b
22 1  b b
1 b b
12 21
12 21
12 21
12 21
2)
В каждом уравнение ПФМ с помощью МНК определим δ –
коэффициент.
Для первого уравнения:
 y1x1  11  x12  12  x1x2 ;
 y1x2  11  x1x2  12  x22 .
26
Для решения системы уравнений требуются вспомогательные расчеты,
которые представлены в таблице 9, 10.
Таблица 9
n
y1
y2
x1
x2
1
51,3
39,4
3
10
2
112,4
77,9
10
13
3
67,5
45,2
5
3
4
51,4
37,7
3
7
5
99,3
66,1
9
6
6
57,1
39,6
4
1
Сумма
439
305,9
34
40
Сред. знач.
73,17
50,98
5,67
6,67
Для упрощения расчетов удобнее работать с отклонениями от средних
уровней:
∆у = у - уср; ∆х = х - хср
Таблица 10
n
∆y1
∆y2
∆x1
∆x2
∆y1∆x1
∆x12
∆x1∆x2
∆y1∆x2
∆y2∆x1
∆y2∆x2
∆x22
1
-21,9
-11,6
-2,7
3,3
58,31
7,11
-8,89
-72,89
30,89
-38,61
11,11
2
39,2
26,9
4,3
6,3
170,0
18,78
27,44
248,48
116,64
170,47
40,11
3
-5,7
-5,8
-0,7
-3,7
3,78
0,44
2,44
20,78
3,86
21,21
13,44
4
-21,8
-13,3
-2,7
0,3
58,04
7,11
-0,89
-7,26
35,42
-4,43
0,11
5
26,1
15,1
3,3
-0,7
87,11
11,11
-2,22
-17,42
50,39
-10,08
0,44
6
-16,1
-11,4
-1,7
-5,7
26,78
2,78
9,44
91,04
18,97
64,51
32,11
∑
-0,2
-0,1
-0,2
-0,2
404,03
47,33
27,33
262,73
256,17
203,07
97,33
С учетом приведенных данных получим:
404,03 = 47,33δ11 + 27,33δ12
27
262,73 = 27,33δ11 + 97,33δ12
 11 
 404,03  27,33 12 
404,03  27,33 12
  97,33 12 ;
; 262,73  27,33  
47
,
33
47,33


δ12 = 0,36;
 11 
404,03  27,33  0,36
 8,33;
47,33
С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:
y1 = 8,33х1 + 0,36х2 + u1
Для второго уравнения определим δ – коэффициент с помощью МНК:
 y2 x1   21  x12   22  x1x2 ;
 y2x2   21  x1x2   22  x22
Для дальнейших расчетов данные берем из таблицы 9, 10. Получим:
256,17=47,33δ21+27,33δ22
203,07=27,33δ21+97,33δ22
 21 
256,17  27,33 22
256,17  27,33 22 
; 203,07  27,33  
  97,33 22 ;
47,33
47
,
33


δ22 = 0,68;
 21 
256,17  27,33  0,68
 5,02;
47,33
Второе уравнение ПФМ примет вид:
28
у2 = 5,02х1 + 0,68х2 + u2
3) Выполним переход от ПФМ к СПФМ. Для этого из последнего уравнения
найдем х2:
y  5,02 x
1
x  2
2
0,68
Найденное х2 подставим в первое уравнение.
0,36( y  5,02 x )
2
1  8,33x  0,53 y  2,66 x  5,67 x  0,53 y ,
y  8,33x 
1
1
1
2
1
1
2
0,68
тогда b12=0,53; a11=5,67
Из первого уравнения ПФМ найдем х1
y  0,36 x
2
x  1
1
8,33
Подставим во второе уравнение ПФМ
y 
2
5,02( y  0,36 x )
1
2  0,68 x  0,46 x  0,6 y ,
2
2
1
8,33
тогда b21=0,6; a22=0,46
4) Свободные члены СФМ найдем из уравнения:
29
а01 = у1ср - b12у2ср - а11х1ср = 73,17 – 0,53 50,98 - 5,67 5,67 = 14,00;
а02 = у2ср - b21у1ср - а22х2ср = 50,98 - 0,6 73,17 - 0,46 6,67 = 4,00.
5) Записываем СФМ в окончательном виде:
y1=a01 + b12y2 + a11x1 + ε1;
y2=a02 + b21y1 + a22x2 + ε2.
y1 =14 + 0,53y2 + 5,67x1 + ε1;
y2 = 4 + 0,6y1 + 0,46x2 + ε2.