Загрузил Tori Kvechman

Задачи на сечение из ЕГЭ

реклама
Задачи на
сечения из ЕГЭ
Тип 13 № 507887
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1
лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4.
Точка N — середина ребра A1C1.
а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
б) Найдите периметр этого сечения.
Решение
а) Проведём через точку N прямую, параллельную
прямой AB, до пересечения с прямой B1C1 в точке
K. Трапеция ABKN — искомое сечение.
б) Имеем A1N= 3, так как точка N — середина
ребра A1C1. Значит,
Аналогично BK = 5.
Далее NK = 3, как средняя линия треугольника
A1B1C1. Следовательно, искомый периметр
сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.
Ответ: 19.
Тип 13 № 508233
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все
ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового
ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей
через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Решение
а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую,
параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB
в точке L — середине AB. В основании ABCD через точку
L проведем прямую, параллельную прямой BC до
пересечения ее с ребром СD в точке M — его середине.
По признаку параллельности прямой и плоскости
плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая
LM параллельна прямой AD, следовательно, она
параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM
пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM и
пересекает ребро PD в его середине N.
Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.
Решение
б) Отрезки KL и MN равны, как средние
линии равных правильных треугольников ABP
и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата
ABCD, следовательно, построенное сечение ―
равнобедренная трапеция, в которой LM = 4,
KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой
трапеции. Тогда
и из прямоугольного треугольника KLF
находим
Окончательно получаем
Ответ:
Тип 13 № 509821
Основанием
прямой
четырехугольной
призмы
ABCDA'B'C'D' является квадрат ABCD со стороной
высота призмы равна
Точка K — середина ребра BB'.
Через точки K и С' проведена плоскость α, параллельная
прямой BD'.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является
равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением
призмы плоскостью α.
Решение
а) Проведём
KE —
среднюю
линию
треугольника BB'D'. E — середина B'D',
следовательно, точка пересечения диагоналей
верхнего основания и сечение содержит
диагональ A'C'. Треугольник A'C'K является
искомым
сечением
по
признаку
параллельности прямой и плоскости.
Прямоугольные треугольники A'B'K и С'B'K
равны по двум катетам, поэтому A'K = С'K,
следовательно,
треугольник
A'C'K —
равнобедренный.
Решение
Тип 13 № 507202
Площадь
основания
правильной
четырёхугольной
пирамиды SABCD равна 64.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и
плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды,
середину стороны АВ и центр основания.
б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды,
если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.
Решение
Тип 13 № 519810
Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, все
рёбра которой равны 12. Точка N — середина бокового
ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2 :
1, считая от вершины M.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точки N и K параллельно прямой AD,
является равнобедренной трапецией.
Решение
а) Через точки N и K проведём прямые,
параллельные ребру AD. Эти прямые
пересекают рёбра MD и MC в точках P
и L соответственно. Четырёхугольник
KLPN — сечение пирамиды указанной
плоскостью. Стороны NP и KL
параллельны и не равны.
Следовательно, KLPN — трапеция. В
треугольниках NMK и PML углы при
вершине M равны, ML = MK, MN = MP.
Следовательно, треугольники равны, и
поэтому NK = PL. Таким образом,
трапеция KLPN равнобедренная.
Тип 13 № 516275
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба
ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямые B1P и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей
через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро
куба равно 10.
Решение
а) Проведём отрезок B1R параллельный A1P
Пусть M — точка пересечения отрезков B1R
и BQ Треугольник BMR прямоугольный с
прямым углом при вершине M. Это следует
из равенства треугольников RB1B и QBC.
Значит, прямые QB и B1R
перпендикулярны. Прямые QB и PR
перпендикулярны, так как прямая PR
перпендикулярна плоскости BCC1.
Поэтому прямая QB перпендикулярна
плоскости A1B1P и, следовательно, прямая
QB перпендикулярна прямой B1P.
Решение
б) Указанное сечение — прямоугольник
Его площадь равна
Скачать