1. Теория множеств

1. Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Диаграммы Венна. Декартово произведение множеств.
Множество – это совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.
Способы задания множеств:
1) Перечисление элементов: М={0,1,2,…,9}
2) Указание свойств Р(х), которым элементы множества должны удовлетворять: М={x | P(x)}.
Неправильное заданные свойства могут привести к противоречию!
Парадокс Рассела:
Рассмотрим множество всех множеств, которые не являются своими собственными элементами: K  {M | M  M} . Является ли тогда множество К своим элементом. Если КєК, то
должно выполняться свойство, задающее множество К, т.е. К¢К, что приводит к противоречию. Если же К¢К, то, поскольку выполняется свойство, задающее К, то КєК, а это
противоречит предположению. Таким образом, не всякое свойство приводит к осмысленному заданию множества.
Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы А принадлежат В, т.е. A  B : x  A  x  B
Множества А и В называются равными или совпадающими, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. A  B : A  B  B  A
Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном или множеством-степенью и обозначается Р(А), т.е. P( A)  {B | B  A} . Если |U|=n (множество U
содержит n элементов), то |P(U)|=2n.
Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым ø.
Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом U.
Операции над множествами:
1) объединение A  B  {x | x  Aилиx  B}
2) пересечение A  B  {x | x  Aиx  B}
A \ B  {x | x  Aиx  B}
3) вычитание
А
В
U
4) кольцевая сумма
А
5) дополнение
А
Свойства основных
1) Ассоциативность:
А
(симметрическая разность)
В
A  B  ( A \ B)  ( B \ A) 
( A  B) \ ( A  B)
U
A  U \ A  {x | x  A}
В
U
В
U
операций над множествами:
( A  B)  C  A  ( B  C )
( A  B)  C  A  ( B  C )
А
2) Коммутативность:
3) Идемпотентность:
A B  B  A
B  A  A B
A A  A
A A  A
4) Дистрибутивность:
5) Поглощение:
U
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  ( A  B)  A
A  ( A  B)  A
6) Законы де Моргана:
A B  A B
A B  A B
7) Законы нуля и единицы: 0=ø, 1=U
A0  A _ A0  0
A 1  1 _ A 1  A
A A  1_ A A  0
8) Закон двойного отрицания: A  A
Упорядоченную последовательность (х1, х2,…,хn) называют кортежем длины n.
Декартовым (прямым) произведением множеств А1, А2,…, Аn называется множество {(x1, x2,…, xn) | x1 є A1,…, xn є An}.
Если А1=А2=…=Аn, то A A1  ... An  An – n-ная декартова степень множества А.
А0 = ø
2. Отношения и бинарные отношения, область определения, область значения, обратные отношения. Произведение отношений.
n-местным отношением или n-местным предикатом Р на множествах А1, А2,…, Аn называется любое подмножество прямого произведения A A1 ... An . Другими словами,
элементы х1, х2,…, хn (где хi є Ai) связаны соотношением Р тогда и только тогда, когда (х1, х2,…, хn) є Р. При n=1 отношение Р является подмножеством множества А1 и называется
унарным отношением или свойством.
При n=2 отношение Р называется бинарным отношением или соответствием. P  A  B
Пример: Если А={2,3,4,5,6,7,8}, то бинарное отношение Р={(x,y) | x,y є A, x делит y и х≤3} можно записать в виде Р = {(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,3),(3,6)}.
Если Р={(x, y) | x, y є R, x≤y}, то запись xPy означает, что x≤y. idA = {(x,x) | x є A} – тождественное отношение, idA принадлежит А2.
U = A2 – универсальное отношение. Пусть Р – некоторое бинарное отношение. Областью определения отношения Р называется множество δР = {x | (x,y) є P для некоторого у}.
Областью значений отношения Р называют множество ρР = {y | (x,y) є P для некторого х}. Обратным отношением называется множество Р-1 = {(y,x) | (x,y) є P}.
Образом множества Х относительно предиката Р называется множество Р(Х)={y | (x,y) є P для некоторого х є Х}
Прообразом множества относительно предиката Р называется множество Р-1(Х) или, другими словами, образ множества Х относительно предиката Р-1.
Произведением бинарных отношений P1  A B и P2  B  C или композицией Р1 и Р2 называется множество Р1•Р2 = {(x,y) | x є A, y є C, и найдется элемент z є B такой, что (x,z) є
Р1 и (z,y) є P2}.
Свойства:
1) Ассоциативность композиции: (P•Q)•R=P•(Q•R)
Доказательство: Пусть (x,y) є (P•Q)•R. Тогда для некоторых u и v имеем (x,u) є P, (u,v) є Q, (v,y) є R. Тогда (u,y) є Q•R и (x,y) є P•(Q•R). Включение P•(Q•R) є (P•Q)•R доказывается
аналогично.
2) (P•Q)-1=Q-1•P-1
Доказательство: Предположим, что (x,y) є (P•Q)-1. Тогда (y,x) є P•Q, и, следовательно, (y,z) є P и (z,x) є Q для некоторого элемента z. Значит (x,z) є Q-1, (z,y) є P-1 и тогда (x,y) є Q-1 •P1
. Обратное включение доказывается аналогично.
3) P•Q ≠ Q•P
4) (P-1)-1=P
Доказательство: Если (x,y) є P, то (y,x) є Р-1, но тогда (x,y) є (Р-1)-1.
3. Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности.
Отношение f  A B называется функцией или отображением из множества А в множество В, если  f  A,  f  B и из (x,y1) є f, (x,y2) є f следует y1=y2. Если вместо  f  A
f
выполняется  f  A , то f называется частичной функцией. Функция f из А в В обозначается через f  A  B или A  B . Если (x,y) є f, то пишем y=f(x) или f : x  y .
11
Функция f : A 
 B называется разнозначной инъективной (инъекцией) или 1-1 функцией если из условия, что   x1, y1 ,  x2 , y2  f выполняется х1≠х2, следует y1≠y2.
на
Функция f : A 
 B называется функцией из А на В или сюръекцией, если  f  B . Функция f : A  B называется взаимно однозначным соответствием между
множествами А и В или биекцией, если она инъективна и сюръективна одновременно.
Биекция f : A  A называется подстановкой.
Утверждения:
1) Если f : A  B , g : B  C , то f  g : A  C
2) Если f : A  B , то f  id B  id A  f  f
3) Если f и g - инъекции, то f•g – инъекция.
Доказательство: Предположим противное, т.е. найдутся элементы x1, x2, y такие, что х1≠х2, (x1,y) є f•g и (x2,y) є f•g, т.е. g(f(x1))=y=g(f(x2)). В силу разнозначности f имеем f(x1)≠f(x2).
Отсюда в силу разнозначности g получаем g(f(x1))≠g(f(x2)), а это противоречит предположению.
4) Если f,g – сюръекции, то f•g – сюръекция
Доказательство: Нужно доказать, что для любого с существует а такое, что f•g(a)=c. Т.к. g – сюръекция, то существует b, для которого g(b)=c, а т.к. f – сюръекция, то для любого b
существует а такое, что f(a)=b. Тогда f•g(a)=g(f(a))=c
5) Если f и g – биекции, то f•g – биекция
6) Если f : A  B , то f 1 : B  A
Функция f : N  B называется последовательностью. Её можно представить в виде f(0)=b0, f(1)=b1,…, f(n)=bn.
4. Множество натуральных чисел. Два подхода к определению множества натуральных чисел. Аксиомы Дедекинда-Пеано. Принцип математической индукции.
Два подхода к определению множества натуральных чисел:
1) Конструктивный.
Позволяет представить натуральные числа в виде объектов, построенных из пустого множества.
Положим по определению 0  , 1  {0}  {}, 2  {0,1}  {, {}},..., n  {0,1,2,..., n 1} . Множества 0, 1, 2,… называются натуральными числами. Объединение этих чисел N={0,
1, 2,…, n,…} называется множеством натуральных чисел.
Замечание: АВ – множество всех функций из В в А. Если В=n={0,1,2…,n-1}, A=2={0,1}, то АВ=2n.
2) Аксиоматический подход.
Рассмотрим аксиоматику Дедекинда Пеано:
Пусть имеется некоторое множество N, в котором выбран элемент 0 и функция, которая элементу n из N ставит в соответствие элемент n’ из N, называемый непосредственно
следующим (элемент n’ играет роль числа n+1).
Множество N называется множеством натуральных чисел, если система <N,0,’> удовлетворяет аксиомам:
- для любого m≠0 найдется n из N такой, что n’=m.
- для любых m,n из N, если m’=n’, то m=n.
- n’≠0 для любого n из N.
- на множестве N выполняется аксиома математической индукции.
Принцип (аксиома) математической индукции:
Для любого свойства Р (унарного отношения на множестве N), если Р выполняется на элементе 0 (т.е. 0 обладает свойством Р), и для любого n из N из выполнимости Р на элементе
n следует выполнимость Р на элементе n’, то свойство Р выполняется на любом элементе n из N.
0  P, n(n  P  (n  1)  P)
P(0), n( P(n)  P(n  1))
или
P((P(0), n(P(n)  P(n' ))  nP(n)) или
PN
nP(n)
Иногда удается установить только выполнение Р(к) для некоторого к>0 и свойство Р(n)=>Р(n+1) для всех n≥к:
P(k ), n  k ( P(n)  P(n  1))
n  kP(n)
Принцип полной индукции:
Если для всякого n из N из предположения, что P(k) верно при любом натуральном k<n, следует, что P(k) верно также при k=n, то P(n) верно при любом натуральном n:
n((k  nP(k ))  P(n))
nP(n)
5. Понятие мощности множества. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Берштейна. Операции над кардинальными числами.
Множества А и В называются эквивалентными (А~В), если существует биекция f: А↔В.
Свойства отношения эквивалентности:
1) А~А (поскольку idA: А↔А);
2) если А~В, то В~А (т.к. из f: А↔В следует f-1: В↔А);
3) если А~В и В~С, то А~С (т.к. из f: А↔В, g: В↔С следует f•g: А↔С).
Мощностью множества А называется класс всех множеств, эквивалентных множеству А (|А|).
Эквивалентные множества А и В называются равномощными: |A|=|B|.
Если А~n для некоторого n  , т.е. А имеет ровно n элементов, то множество А называется конечным (|A|=n).
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если А~ω, то множество А называется счетным: |A|=ω. Если А~2ω, то множество А называется континуальным или
континуумом: |A|=2ω.
Мощности множеств также иногда называют кардинальными числами.
Сравнение мощностей:
Говорят, что мощность множества А не превосходит мощности множества В: |A|≤|B|, если А эквивалентно некоторому подмножеству множества В
Теорема Кантора-Бернштейна:
Если |A|≤|B| и |B|≤|A|, то |A|=|B|.
Доказательство: Пусть f: A→B, g: B→A – разнозначные отображения, А0=А, А1=g(B) и Аn+2=(f•g)(An). Индукцией по n легко показать, что An1  An , n  . Пусть D   Ak
k 
и Mi  Ai \ Ai 1 . Очевидно, что Ak  (
 M i )  D и M i  M j   при i≠j. Т.к. f•g разнозначно отображает Mi на Мi+2 для любого i   , то отображение h: А→А,
k i
определенное следующим образом:
a, еслиa  (  M 2i 1)  D
i
h( a )  {
( f  g )(a), еслиa   M 2i
i
является разнозначным отображением А на A1  (  M i )  D . Т.к. |B|=|A1|, |B|=|A|.
1 i
Следствие: Для любых множеств А и В выполняется только одно из соотношений: |A|=|A|, |A|<|B|, |B|<|A|.
Операции над кардинальными числами:
Пусть |A|=α, |B|=β. Тогда
1)    | A  B |, гдеA B   ;
2)    | A B | ;
3)   | AB | .
Для конечных кардинальных чисел справедливы следующие три правила, используемые в комбинаторике:
Правило суммы: Если |A|=m, |B|=n, то | A  B | m  n | A  B | .
Правило произведения: Если |A|=m, |B|=n, то | A B | m  n .
Правило степени: Если |A|=m, |B|=n, то |AB|=mn.
Некоторые свойства бесконечных кардиналов:
ω2~ω; ω~   n ; |Q|=ω; |P(U)|=2|U|; |U|<2|U|; если |A|>ω и |B|≤ω, то |A\B|=|A|; 2ω~10ω~ωω;
n
6. Конечные, счетные, континуальные множества. Мощность булеана.
Если А~n для некоторого n  , т.е. А имеет ровно n элементов, то множество А называется конечным (|A|=n).
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если А~ω, то множество А называется счетным: |A|=ω. Если А~2ω, то множество А называется континуальным или
континуумом: |A|=2ω.
Мощности множеств также иногда называют кардинальными числами.
Мощность булеана:
|P(U)|=2|U| для любого множества U.
Доказательство:
Установим биекцию между Р(U) и 2А
Любому подмножеству А из U взаимно однозначно ставим в соответствие функцию f  2U , для которой
0, еслиx  A
f ( x)  {
1, еслиx  A
т.е. P(U)~2U. Заметим, что 2|U|=|2U|.
7. Матрицы бинарных отношений и их свойства. Специальные бинарные отношения.
Рассмотрим два конечных множества А={a1, a2,…, am}, B={b1, b2,…, bn} и бинарное отношение P  A  B . Определим матрицу [P]=(pij) размера m n бинарного отношения Р по
следующему правилу:
1, если(ai , b j )  P
pij  {
0, если(ai , b j )  P
Полученная матрица содержит полную информацию о связях между элементами.
Основные свойства матриц бинарных отношений:
1) Если P, Q  A B , [P]=(pij), [Q]=(qij), то [ P  Q]  ( pij  qij )  [ P]  [Q] и [ P  Q]  ( pij  qij )  [ P]  [Q] , где сложение осуществляется по правилам 0+0=0, 1+1=1+0=0+1=1, а
умножение – обычным образом.
2) Если P  A  B , Q  B  C , то [P  Q]  [P] [Q] , где умножение матриц [P] и [Q] производится по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов
по определенным в п.1 правилам.
3) Матрица обратного отношения Р-1 равна транспонированной матрице отношения P: [P-1]=[P]T.
4) Если P  Q , [P]=(pij), [Q]=(qij), то pij≤qij.
5) Матрица тождественного отношения idA единична: [idA]=E.
Специальные бинарные отношения:
Пусть Р – бинарное отношение на множестве А: P  A 2
Отношение Р называется рефлексивным, если для всех x  A выполняется ( x, x)  P , т.е id A  P . Отношение Р называется симметричным, если для любых x, y  A из
( x, y)  P следует ( y, x)  P , т.е Р-1=Р, или [P]T=[P]. Отношение Р называется антисимметричным, если из ( x, y)  P и ( y, x)  P следует, что x=y, т.е P  P1  id A , или на
языке матриц это означает, что в матрице [ P  P1]  [ P] [ P]T все элементы вне главной диагонали являются нулевыми. Отношение Р называется транзитивным, если из
( x, y)  P и ( y, z)  P следует ( x, z)  P , т.е P  P  P
8. Отношения эквивалентности и разбиения. Фактор-множества. Матрица отношения эквивалентности.
Отношение Р называется отношением эквивалентности, если Р рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обозначается Е и ~ (тильда).
Пусть Е – эквивалентность на множестве А. Классом эквивалентности элемента x  A называется множество E(x)={y | xEy}. Классы эквивалентности Е также называют Еклассами. Множество A / E  {E( x) | x  A} называется фактор-множеством множества А по отношению к Е.
Утверждение: Множество всех классов эквивалентности образует разбиение множества А (система непересекающихся подмножеств, объединение которых совпадает с А). Если
{Ai} – некоторое разбиение множества А, то по этому разбиению можно однозначно определить эквивалентность. Т.е. xEy тогда и только тогда, когда x, y принадлежат Аi для
некоторого i.
Доказательство:
Пусть Е – отношение эквивалентности на множестве А, А/Е – фактор-множество множества А по Е. Т.к. в силу рефлексивности Е выполнимо x  E(x) для любого x  A , то
каждое множество из А/Е непустое и
 E ( x)  A . Чтобы установить, что А/Е – разбиение множества А, покажем, что если E( x)  E( y)   , то E(x)=E(y).
xA
Пусть z  E( x)  E( y) и u  E(x) , т.е. ( x, z), ( y, z), ( x, u)  E . Т.к. Е симметрично, то ( z, x)  E . Из транзитивности Е следует ( y, u)  E , т.е. u  E(y) . Таким образом,
E( x)  E( y) . Обратное включение доказывается аналогично.
Предположим, что Е – отношение на множестве А, соответствующее разбиению R={Ai}. Рефлексивность и симметричность Е очевидны. Пусть выполняется xEy и yEz. Тогда
x, y  Ai , y , z  A j , где Ai , A j  R . Поскольку y  Ai и y  A j , то Аi=Aj. Следовательно Е транзитивно. Е – эквивалентность.
Матрица отношения эквивалентности имеет блочно-диагональный вид. Или приводится к нему путем одновременных перестановок строк и столбцов.
9. Отношения порядка. Максимальные и минимальные, наибольший и наименьший элементы частично упорядоченного множества. Диаграммы Хассе. Линейно и
вполне упорядоченные множества.
Отношение P  A 2 называется предпорядком или квазипорядком, если Р рефлексивно и транзитивно.
Отношение P  A 2 называется частичным порядком, если Р рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Т.е. частичный порядок – это антисимметричный предпорядок.
Множество, с заданным на нём частичным порядком называется частично упорядоченным множеством (ЧУМ)
Пусть <A,≤> - ЧУМ. Тогда элемент a  A называется наибольшим, если x  A, x  a . Элемент a  A называется наименьшим, если x  A, a  x . Элемент a  A называется
максимальным, если для него нет большего, т.е. x  A , если a  x , то a  x . Элемент a  A называется минимальным, если для него нет меньшего, т.е. x  A , если x  a ,
то x  a .
Наименьший элемент всегда минимален (наибольший – максимален). Обратное неверно.
Наибольший элемент часто называют единицей. Наименьший – нулем.
Диаграммы Хассе:
Рассмотрим ЧУМ <A,≤>. Говорят, что элемент y покрывает элемент x, если x≤y и x≠y не существует такого элемента z, что x<z<y. Если множество А конечно, то частично
упорядоченное множество <A,≤> можно представить в виде схемы, в которой каждый элемент изображается точкой на плоскости, и если y покрывает х, то точки х и y соединяются
отрезком, причем точку х располагают ниже y. Такие схемы называются диаграммами Хассе.
Частичный порядок ≤ на множестве А называется линейным порядком, если любые два элемента x и y из множества А сравнимы, т.е. x≤y или y≤x.
Линейный порядок ≤ на множестве А называется полным, если каждое непустое подмножество множества А имеет наименьший элемент. Пара <A,≤>, в которой отношение ≤
является полным порядком на множестве А, называется вполне упорядоченным множеством.