АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
Осипенко Л.А., доцент кафедры ТВиДМ ИМЭИ ИГУ
Шеметова Л.Н., старший преподаватель кафедры ТВиДМ ИМЭИ ИГУ
Первая часть учебного пособия. Предназначена для студентов первого
курса ИМЭИ
Оглавление
ГЛАВА 1. Векторная алгебра..................................................................................................................... 2
1. Основные понятия векторной алгебры ............................................................................................. 2
2. Линейные операции над векторами................................................................................................... 3
3. Векторное пространство ..................................................................................................................... 4
4. Базис и система координат на плоскости и в пространстве ............................................................ 6
5. Изменение координат при замене системы координат ................................................................... 7
6. Скалярное произведение векторов .................................................................................................... 8
7. Векторное произведение векторов .................................................................................................. 10
8. Смешанное произведение векторов ................................................................................................ 11
9. Примеры решения задач ................................................................................................................... 12
Проверочная работа №1: .......................................................................................................................... 20
Контрольная работа №1............................................................................................................................ 21
ГЛАВА 2. Линейные образы .................................................................................................................... 25
1. Прямая на плоскости......................................................................................................................... 25
Различные виды уравнений прямой на плоскости ............................................................................. 25
Расстояние от точки до прямой ............................................................................................................ 27
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых .... 28
Примеры решения задач ....................................................................................................................... 29
Проверочная работа №2 ........................................................................................................................ 38
2. Плоскость ........................................................................................................................................... 43
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору ...... 43
Неполные уравнения плоскости:.......................................................................................................... 44
Нормальное уравнение плоскости ....................................................................................................... 44
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ............................................................ 45
Уравнение плоскости в отрезках.......................................................................................................... 46
Параметрические уравнения плоскости .............................................................................................. 46
Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей..... 47
3. Прямая в пространстве ..................................................................................................................... 48
Общее уравнение прямой в пространстве. Пучок плоскостей .......................................................... 48
Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору .................. 48
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ............................................................... 49
Угол между двумя прямыми ................................................................................................................ 49
Взаимное расположение прямых в пространстве............................................................................... 50
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между прямыми ......................................................... 50
Угол между прямой и плоскостью ...................................................................................................... 51
Примеры решения задач ....................................................................................................................... 53
Контрольная работа №3............................................................................................................................ 57
ГЛАВА 3. Кривые второго порядка ....................................................................................................... 65
1. Окружность и эллипс ............................................................................................................................ 65
2. Гипербола............................................................................................................................................... 67
3. Парабола................................................................................................................................................. 69
4. Оптические свойства кривых второго порядка .................................................................................. 71
5. Уравнение кривых второго порядка в полярной системе координат............................................... 71
4. Примеры решения задач ....................................................................................................................... 73
Проверочная работа .................................................................................................................................. 77
1
ГЛАВА 1. Векторная алгебра
1. Основные понятия векторной алгебры
Определение 1.1. Пусть даны две точки на плоскости A и B . Вектором
называется направленный отрезок, идущий из точки A в точку B . Точка A
называется началом вектора, точка B – концом.
Обозначение: a или AB .
Определение 1.2. Расстояние между началом и концом вектора называ
ется его длиной или модулем и обозначается как a AB AB
Нулевой вектор – вектор у которого начало и конец совпадают. Длина
нулевого вектора равна нулю.
Определение 1.3. Вектор, модуль которого равен единице, называется
единичным вектором или ортом.
Определение 1.4. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной (или в параллельных) плоскостях.
В зависимости от того, как определяется понятие равенства векторов,
различают свободные, скользящие и фиксированные векторы. В геометрии,
как правило, рассматриваются свободные векторы, для которых равенство
определяется следующим образом:
Определение1.5. Два вектора называют равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины совпадают.
Свободный вектор
AB
можно определить, как параллельный перенос
плоскости или пространства, при котором точка А переходит в точку В.
При рассмотрении скользящих векторов, равными считаются сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину, при условии, что эти векторы
лежат на одной прямой (но не на параллельных прямых!). Такие векторы часто
рассматриваются в механике.
Два фиксированных вектора называются равными, если у них совпадают
начало и конец.
2
В дальнейшем рассматриваются только свободные векторы.
2. Линейные операции над векторами
Сложение векторов
Определение 2.1. Если начло вектора b приложить к концу вектору a ,
то вектор, идущий от начала вектора a к концу вектора b называется суммой
этих векторов a b (рис.1).
Для нахождения суммы двух векторов можно использовать также «правило параллелограмма»: если приложить два вектора к одной точке и достроить до параллелограмма, то сумма векторов
будет равна диагонали параллелограмма, идущей из точки приложения векторов.
Свойства операции сложения векторов:
1) коммутативность a b b a
Рисунок 1
2) ассоциативность: a (b c ) (a b ) c
3) для любого вектора a : a 0 0 a a .
4) для любого вектора a существует вектор a , такой, что a (a) 0 .
Вектор a называют противоположным вектору a .
Вычитание векторов
Определение 2.2. Разностью векторов a и b называется вектор c , удо
a
b
c
a
b c .
влетворяющий условию
Отметим, что вычитание можно заменить сложением с противоположным вектором.
Вектор c , являющийся результатом вычитания двух векторов, строится
также по правилу параллелограмма, но является в нем второй диагональю.
Умножение вектора на число (скаляр)
Определение 2.3. Произведением вектора a на скаляр называется
1)
a , удовлетворяющий условиям:
a коллинеарен вектору a ;
вектор
3
2)
a имеет длину a ;
3)
a сонаправлен a
при 0 и направлен в противоположную сторону
при 0.
Свойства операции умножения вектора на скаляр:
1) ассоциативность относительно умножения скаляров: (a) ()a ;
2) дистрибутивность
( )a a a ;
относительно
сложения
скаляров
чисел:
3) дистрибутивность относительно сложения векторов: (a b ) a b ;
4) 1 a a .
3. Векторное пространство
Пусть V - некоторое множество, элементы которого a, b , c . . . будем
называть векторами независимо от природы последних. Наряду с этим множеством рассмотрим поле над множеством действительных чисел R, элементами которого являются действительные числа α, β, λ, μ, . . ..
Зададим на V две операции: операцию сложения, ставящую в соответствие
любым двум векторам a, b ∈V элемент этого же множества: c ∈V , (
a b c ) и произведение вектора a на число λ, ставящее в соответствие
любому вектору a ∈V и любому числу λ ∈R новый вектор b ∈V , ( b a )
Определение 3.1. Вещественным векторным пространством (или просто
- векторным пространством). Называется множество V, на котором заданы
операции сложения векторов и умножения векторов на действительные
числа, удовлетворяющие следующим свойствам (1-8)
1.
2.
3.
4.
5.
(a b ) c a (b c ) ; ∀ a, b, c ∈V ,
a b b a , ∀ a, b ∈V ,
∃ 0 ∈V | 0 a a ; ∀ a ∈V ,
∃ a ∈V | a (a) 0 ;∀ a ∈V .
(λ + μ) a = λ a + μ a , ∀λ, μ ∈R, ∀ a ∈V
4
(λμ) a = λ(μ a ) , ∀λ, μ ∈R, ∀ a ∈V;
6.
(a b ) a b , ∀λ ∈R, ∀ a, b ∈V;
1 a = a , ∀ a ∈V.
7.
8.
Определение 3.2. Линейной комбинацией векторов a1, a2 ,...,an называется
вектор b 1a1 2 a2 ... n an , а числа 1, 2 ,...,n - коэффициентами линейной комбинации.
Определение 3.3 Совокупность векторов a1, a2 ,...,an называется линейно независимой, если существуют такие числа 1, 2 ,...,n , среди которых хотя бы
одно отлично от нуля, что 1a1 2a2 ... nan 0 ; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все i 0 (i 1,2,...,n) , то
вектора a1, a2 ,...,an называют линейно зависимыми.
Определение 3.3 Если в V существует n линейно независимых векторов, а
любая система из (n + 1) вектора линейно зависима, то натуральное число n
называется размерностью векторного пространства V: dimV = n.
Определение 3.4 Упорядоченная система векторов{ e1, e2 ,еn } называется
базисом пространства V , если
1. система { e1, e2 ,еn } линейно независима;
2.∀ x ∈V∃xi∈R (i= 1, n) | x x1e1 x2e2 xnen
Упорядоченная система чисел xi называется координатами вектора x в
базисе { e1 , e2 ,еn }. Натуральное число n называется размерностью базиса.
Справедливы следующие теоремы:
Теорема.3.1 Координаты вектора в заданном базисе определены однозначно.
Теорема 3.2 Если dimV = n, то в V любая совокупность из n линейно независимых векторов образует базис.
Теорема 3.3 Если в V существует базис из n векторов, то dimV = n.
5
4. Базис и система координат на плоскости и в пространстве
Теорема 4.1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда
они коллинеарны: b a a || b . Любые три вектора на плоскости линейно
зависимы.
Любые два ненулевых неколлинеарных вектора образуют базис плоско-
сти. Пусть e1,e2 - базис, тогда любой вектор x на плоскости можно предста-
вить и притом единственным образом в виде: x x1e1 x2e2 . Такое представ-
ление вектора называют разложением вектора по базису e1,e2 , а коэффициенты x1, x2 – координатами разложения.
Теорема 4.1 Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда
они компланарны: b 1a1 2 a2 a1 , a2 , b компланарны. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Любые три ненулевых некомпланарных вектора образуют базис трехмерного пространства. Пусть
e1 , e2 , е3 - базис, тогда любой вектор x трехмер-
ного пространства можно представить и притом единственным образом в
виде:
x x1e1 x2e2 xe3 . Такое представление вектора называют разложе-
нием вектора по базису e1, e2 , е3 , а коэффициенты x1, x2 , x3 – координатами
разложения.
С базисом можно связать систему координат, которая состоит из фиксированного начала координат – точки О, и базиса. Каждой точке А соответствует вектор OA, который называется радиус-вектором точки. Координаты
радиуса-вектора при разложении по базису называются координатами точки
в построенной системе координат
Базис, образованный единичными взаимно перпендикулярными векторами называется декартовым, а соответствующая система координат - декартовой прямоугольной системой координат.
Обычно векторы декартового базиса в пространстве обозначают как
6
i , j , k , а координаты вектора a относительно декартова базиса как x, y, z .
В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным,
и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки
O
и
векторного аффинного базиса пространства, называют аффинной системой
координат этого пространства. Точка O - начало аффинной системы координат.
Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:
1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над
их соответствующими координатами;
2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат
его начала и конца;
3) векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Утверждение 4.1 Если AС CB , 1 , то для любой точки О, не
принадлежащей прямой АВ, справедливо равенство
ОС
ОА OB
1
(4.1)
Доказательство. Так как AC OC OA, CB OB OC, то из условия
следует, что OC OA OB OC или 1 OC OA OB .
5. Изменение координат при замене системы координат
Выбор системы координат может быть сделан различными способами.
Правила, выражающие зависимость координат произвольной точки пространства, заданных в одной системе координат, от координат этой же точки в другой ДСК: пусть даны две декартовы системы координат: «старая» O, e1 , e2 , e3
и «новая» O, e1 , e2 , e3 и известно разложение базисных векторов «новой» системы координат и вектора OO в «старом» базисе:
7
e1 a11e1 a21e2 a31e3 ;
e2 a12e1 a22e2 a32e3 ;
e3 a13e1 a23e2 a33e3 ;
OO b1e1 b2e2 b3e3.
(5.1)
Тогда координаты произвольной точки в «старой» системе координат
x1, x2 , x3 связаны с ее координатами x1, x2 , x3 в «новой» системе координат
соотношениями:
x1 a11x1 a12 x2 a13 x3 b1;
x2 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 ;
x3 a31x1 a32 x2 a33 x3 b3.
(5.2)
В частности, если «новая» декартова система координат на плоскости получена из «старой» декартовой системы координат
параллельным переносом на вектор OO a; b , то
x x a;
y y b,
поворотом на угол φ, то
x x cos y sin;
y x sin y cos.
6. Скалярное произведение векторов
Определение 6.1. Углом между двумя векторами называется наименьший из углов, образованных векторами, если их приложить к одной точке.
Угол между векторами обозначается как ab или строчными греческими бук-
вами (например, ) .
Определение 6.2 Скалярным произведением векторов называется число
(скаляр), равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между
ними; обозначают скалярное произведение векторов a и b одним из следую
щих символов: a, b , a, b или a b
a, b a b cos , где ab .
8
(6.1)
Свойства скалярного произведения векторов:
1) коммутативность: a, b b , a ;
2) линейность по двум аргументам:
a, b a, b , a, b a, b где - любое число;
a b , c a, c b , c , a, b c a, b a, c ;
3) положительная определенность: a, a 0 при этом a, a 0 a 0 .
Вычисление скалярного произведения в декартовом базисе:
Если a x1i y1 j z1k и b x2 i y2 j z2 k , то
a, b x1x2 y1 y2 z1z2 .
(6.2)
С помощью скалярного произведения решаются следующие задачи:
1) Определение длины вектора:
a
a, a x1x2 y1 y2 z1z2
В частности, для декартового базиса: если a x1i y1 j z1k , то
a x12 y12 z12
(6.3)
2) Определение проекции одного вектора на направление другого:
a
,b
prb a
b
(6.4)
3) Определение косинуса угла между векторами:
a, b
cos ab .
ab
(6.5)
В частности, из формулы (5.5) следует условие ортогональности векторов (с учетом того, то нулевой вектор ортогонален любому):
a b a, b 0 .
9
(6.6)
7. Векторное произведение векторов
Определение 7.1. Векторным произведением двух ненулевых векторов
a и b называется вектор, обозначаемый как [a, b ] (или [ab ], или a b ), удовлетворяющий условиям:
вектор [a, b ] перпендикулярен векторам a и b ;
векторы a , b , [a, b ] в указанном порядке образуют правую тройку, то
есть если эти векторы приведены к общему началу, то из конца [a, b ] поворот
от вектора a к вектору b на меньший угол происходит против часовой стрелки
(см. рис.2);
длина вектора [a, b ] численно равна площади параллелограмма, постро
енного на векторах a и b , то есть
a, b a b sin , где ab
(6.1)
Рисунок 2
Векторное произведение обладает свойствами:
1) Антикоммутативность: [a, b ] [b, a]
2) Линейность по обоим аргументам:
[a, b ] [a, b ] , [a, b] [a, b] , где – скаляр;
[a b, c] [a, c] [b, c] ; [a, b c] [a, b] [a, c] .
Если известны координаты векторов a и b в декартовом базисе:
a ( x1 , y1 , z1 ) и b ( x2 , y2 , z2 ) , то их векторное произведение можно предста-
вить в виде:
10
i
[a, b ] x1
x2
j
y1
y2
k
z1 .
z2
(6.2)
8. Смешанное произведение векторов
Определение 8.1 Смешанным произведением трех ненулевых некомпла-
нарных векторов a , b , c называется число, равное скалярному произведе
нию векторов [a, b ] и c .
Обозначается смешанное произведение как [a, b ], c или a, b, c (встре-
чаются также обозначения ab c и a b c ).
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
1) Если векторы a , b и c в указанном порядке образуют правую тройку,
то смешанное произведение равно численно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. В частности, три вектора компланарны то-
гда и только тогда, когда a, b, c 0 .
2)
a, b, c [a, b], c
a,[b , c ] ,
3) a, b, c b, a, c c, b, a, a, c, b ;
4) Линейность по всем трем аргументам.
Если известны координаты векторов a , b и c в декартовом базисе:
a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) и c ( x3 , y3 , z3 ) , то их векторное произ-
ведение можно вычислить по формуле:
x1
a, b , c x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2 .
z3
11
(8.1)
9. Примеры решения задач
Задача 1. Разложить вектор a 5,6 по базису e1 1,3 и e2 1,2.
Решение: Обозначим координаты вектора a в базисе e1,e2 как x1 , x2 ;
5 x1 x2
тогда a x1e1 x2 e2 или в координатной форме
.
6 3x1 2 x2
Решив эту систему, получаем x1 16; x2 21.
Ответ: a 16 e1 21 e2 .
a
2
m
4
n
Задача 2. Найти угол между векторами
и b m n , где
m и n - единичные векторы, угол между которыми равен 120°.
Решение. По определению скалярного произведения, находим
m , n m n cos120 0,5 , m , m m 2 1, n, n n 2 1.
Вычислим a, b , a, a и b , b , используя свойства скалярного произведения:
a, b 2m 4n, m n 2m, m 2m, n 4n, m 4n, n
;
2
2
2 m 2m, n 4 n 3;
2
2
a, a a 2m 4n 4m, m 16m, n 16n, n 12 ;
2 2
b , b b m n m, m 2m, n n, n 3 .
Теперь вычислим косинус искомого угла по формуле (6.5):
cos ab
a, b
3
1
.
2
12 3
ab
Таким образом, искомый угол равен 120°.
Ответ: 120°.
Задача 3. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векто-
рах a 4m 3n и b m 2n , где m и n - единичные векторы, угол между
которыми равен 30°.
Решение. Найдем векторное произведение векторов a 4m 3n и
12
b m 2n , используя его свойства:
4m 3n, m 2n 4m , m 8m , n 3n, m 6n, n 8n, m 3n, m 5n, m .
Площадь параллелограмма, построенного на векторах, численно совпадает с длиной векторного произведения, таким образом,
S 4m 3n, m 2n 5 n, m 5 n m sin ab 5sin 30 2,5.
Ответ. 2,5.
Задача 4. В декартовой системе координат вычислить координаты еди
ничного вектора e , перпендикулярного векторам a 2,3,4 и b i j 5k .
Решение: Искомый вектор коллинеарен вектору c [a, b ] . По формуле
(7.2), получаем:
i j k
2 2 4 2 4 2
a, b 4 2 2 i
j
k
4i 14 j 6k .
1 3
1 3
1 1
1 1 3
Так как с 42 142 62 2 62 , то искомый вектор
1
4,14,6 2 , 7 , 3 .
e
2 62
62
62
62
7
3
2
,
,
62
62
62
Ответ:
Задача5. В декартовой системе координат даны координаты последовательных вершин параллелограмма АВСD: А(1,2,3); В(-2,0,4); С(3 ,1,5). Вычислить:
1)
координаты вершины D;
2)
острый угол между диагоналями параллелограмма;
3)
площадь параллелограмма;
4)
длину высоты АК параллелограмма, проведенную из вершины А к сто-
роне CD;
Решение: 1) Так как противоположные стороны параллелограмма
13
равны и параллельны, то АВ DC . Пусть D(x,y,z), тогда АВ 3,2,1 ,
DC 3 x,1 y,5 z . Из равенства векторов следует равенство соответствующих координат, поэтому 3 x 3, 1 y 2, 5 z 1, отсюда
x 6, y 3, z 4 .
2) Вычислим угол φ между векторами, направленными по диагоналям параллелограмма АС 2,1,2 и ВD 8,3,0 по формуле (6.5):
cos
AC, BD
AC BD
2 8 (1) 3 2 0
13
.
4 1 4 64 9 3 73
13
Так как cos 0 , то угол arccos
– острый.
3 73
3) По определению векторного произведения векторов его длина
численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах. Вычислим сначала векторное произведение векторов АВ 3,2,1 и
АD 5,1,1 по формуле (7.2), получаем
i
j
AB, AD 3 2
5
1
k
2 1 3 1 3 2
1 i
j
k
3i 8 j 7k .
1 1
5 1
5
1
1
Таким образом, S ABCD AB, AD
32 82 72
4) Так как S ABCD АК CD , то АK
122 .
S ABCD
122
61
.
CD
7
9 4 1
13
Ответ: 1) 6,3,4 ; 2) arccos
; 3) 122 ; 4)
3 73
61
.
7
Задача 6. Даны декартовы координаты вершин тетраэдра ABCD:
A(1,2,3), B(-1,2,2,), C(2,0,3), D(0,1,-2), требуется
1) определить какую тройку образуют векторы АВ, АС, AD взятые в указанном порядке;
2) вычислить объем тетраэдра ABCD;
14
3) вычислить длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D на плоскость ABC.
Решение: 1) Вычислим смешанное произведение векторов
АВ 2,0,1, АС 1,2,0, AD 1,1 5 по формуле (8.1):
2 0 1
2 0 1 2
АВ, АС, AD 1 2 0 2
20 3 23 .
1 5 1 1
1 1 5
Так как смешанное произведение векторов, взятых в указанном порядке, положительно, то векторы образуют правую тройку.
Объем тетраэдра составляет шестую часть объема параллелепи-
педа, поэтому, согласно свойству 1) смешанного произведения векторов,
1
5
VABCD 23 3 .
6
6
Высота DO тетраэдра совпадает с высотой параллелепипеда, по-
строенного на векторах АВ, АС, AD, поэтому ее можно вычислить, разделив
объем параллелепипеда V на площадь его основания S, то есть
DO
AB AC AD
V
.
S
AB, AC
Вычислим векторное произведение векторов АВ, АС :
i
j k
0 1 2 1 2 0
AB, AC 2 0 1 i
j
k
2i j 4k .
2 0
1 0
1 2
1 2 0
Таким образом, DO
23
23
.
4 1 16
21
5
Ответ. 1) правую; 2) 3 ; 3) 23 .
6
21
Замечание. Смешанное произведение в данном пункте можно было вычислить по определению, с помощью скалярного произведения
АВ, АС, AD AB, AC, AD (2) (1) (1) (1) 4 5 23.
15
Задача 7. Даны три вектора a 8,4,1 , b 2,2,1 , с 1,1,1 . Найдите еди
ничный вектор d , компланарный векторам a и b , ортогональный вектору с
и направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов a , b , с и a , d , с
имели противоположные направления.
Решение. Из условия компланарности векторов a , b и d следует, что
d 1a 2b . Так как вектор d ортогонален вектору с , то d , c 0 поэтому
1a 2b , c 0 или 1 a, c 2 b , c 0 . Так как a, c 13 , b , c 1, то
131 2 0 , отсюда
d 1a 131b 1 8 26;4 26;1 13 61 3,5,2 ,
d 6 1 9 25 4 6 1 38.
Так как по условию длина вектора равна 1, то 1
1
.
6 38
Вычислим смешанное произведение векторов a , b , с :
8 4 1
2 1
2 1 2 2
a,b, c 2 2 1 8
4
24
1 1
1 1 1 1
1 1 1
Так как a, b, c 0 , то эта упорядоченная тройка образует левую тройку век
торов, поэтому тройка a , d , с - должна быть правой . Так как
8 4 1
3 2
5 2 5 3
5 3 2 8
4
40 12 8 44 0, то 1 0 .
1 1
1
1
1 1
1 1 1
3
5
2
,
,
.
Таким образом d
38
38 38
3
5
2
,
,
.
Ответ:
38
38 38
Задача 8. В основании параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, все ребра ко16
торого равны 1, лежит прямоугольник АВСD, А1 АВ А1 АD 60 . На диагонали A1C1 выбрана точка Е так что A1Е: ЕC1=2:1. Требуется
1) разложить вектор АЕ по базису
АA, АB, AD ;
2) вычислить длину вектора АЕ .
Решение. 1) Первый способ. Воспользуемся формулой (4.1), получаем
АЕ
AA1 2 AC1
.
3
Так как АC1 AA1 AB AD, то
АЕ
AA1 2 AA1 AB AD
2
AA1 AB AD .
3
3
2
2
Второй способ. АЕ AA1 A1 E AA1 A1C1 AA1 A1 B1 A1 D1 .
3
3
Так как A1 B1 AB, A1 D1 AD, то АЕ AA1
2
AB AD . .
3
2
2
2) АЕ AE AA1 2 AB AD . Вычислим скалярный квадрат вектора
3
АЕ :
2
2
2
2
2
4
AA1 AB AD AA1 AB 2 AB, AD AD +
3
9
4
4
4 1 1 29
AB, AA1 AD, AA1 1 2 .
3
9
3 2 2 9
2
Таким образом, АЕ AE 29 .
3
Ответ.
29
.
3
Задача 9. Дан прямоугольник АВСD со сторонами АВ = 2 и ВС = 3 . На
прямой А выбрана точка Е так, что АЕD СЕD . Найдите АЕ.
Решение. Выберем прямоугольную систему
17
Рисунок 3
координат с началом в точке А как показано на рисунке 3. Вычислим коор-
динаты вершин прямоугольника: B2,0 , С 2, 3 , D 0, 3 . Так как точка Е лежит на оси абсцисс, ее координаты можно записать в виде Ex0 ,0 . Для определения абсциссы точки Е воспользуемся равенством углов АЕDи СЕD .
Для этого вычислим косинусы углов между векторами EA , ED и EC , ED соответственно. Имеем:
EA (x0 ,0) , ED (x0 , 3) , EC (2 x0 , 3),
cosEAED
cosECED
EA, ED
EA ED
x02
EC, ED
EC ED
x02
x0
x02
3
,
x02 2x0 3
3 2 x0 3
2
.
Приравняв полученные значения косинусов углов, получаем уравнение для
определения абсциссы точки Е:
x02 2x0 3
2 x0
2
3
x0 x02 4x 3 0 .
Получаем два возможных значения абсциссы точки Е: 1 или 3, поэтому
EA (1,0) или EA (3,0) и, соответственно, AE=1 или AE=3.
Ответ: 1 или 3.
Задача 10 .Дан прямоугольник АВСD, в котором ВС=2AB. На диагонали BD взята точка М, такая, что
BM 3
.
MD 2
Точка N – середина стороны ВС. Докажите, что
AMN 90. и треугольник NMA подобен тре-
угольнику ABC.
Решение. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В, как показано на рисунке 4. Пусть АВ=а, тогда А(0, а), С(2а, 0),
18
Рисунок 4
3
5
D(2a, a), N(a, 0).Определим координаты (x, y) точки М из условия BM BC ,
получаем ( x, y) (2a, a) , отсюда M 6 a, 3 a . Вычислим скалярное произведе3
5
5
5
ние векторов AM 6 a, 2 a и MN 1 a, 3 a :
5
5
5
AM , MN
5
6 2 6 2
a a 0,
25
25
следовательно, AM MN, и AMN 90.
Для доказательства второй части утверждения вычислим отношения
АМ
МN
и
:
BC
AB
36 2 4 2
1 2 9 2
a a
a a
АМ
10 МN
25
25
25
25 10
,
BC
2a
5 AB
a
5 .
АМ
MN
Так как BC AB и AMN ABC, то треугольник NMA подобен треугольнику ABC.
Задача 11. Вне прямоугольного треугольника АВС на его катетах АС и ВС построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы СМ треугольника АВС пересекает прямуюDF в точке N. Докажите, что прямая МN
перпендикулярна прямой DF.
Рисунок 5
Решение. Пусть DC=a, AC=b. Выберем прямоугольную систему координат с началом в точке С, как показано на рисунке 5, тогда А(0,b), В(a,0), Е(b,b), D(-b,0), F(0,-a), G(a,-a), M(0,5a; 0,5b), СМ (0,5a;0,5b) , DF (b;a) . Так как
1
1
СМ , DF ab ba 0 , то СМ DF , поэтому прямая МN перпендику2
2
лярна прямой DF, что и требовалось доказать.
19
Задача 12. На медиане АD треугольника АВС взята точка E, причем
АE:ED=1:3. В каком отношении прямая BE делит сторону АС (рисунок 6)?
Решение. Воспользуемся формулой
(4.1), получаем, СE
условию
CА CD
, где по
1
1
AE 1
, СD CB , то есть
2
ED 3
3
1
СE CA CB .
4
8
С другой стороны, СE
СE
CF CB
FE
, где
, Пусть СF x CA тогда
1
EB
x
CA
CB . Так как разложение вектора в данном базисе един1
1
ственное, то
чаем
Рисунок 6
x
3
1
,
, отсюда 1 , x 6 . Таким образом, полу1 4 1 8
7
7
CF FA 7
AF 1
или
.
CF
6
FC 7
Ответ 1:7.
Проверочная работа №1:
1. Найти координаты вектора, коллинеарного вектору a 2,4,1 , если
его длина равна 7 и он направлен в противоположную сторону.
2. При каких значениях α и β векторы a i j 2k и b 4i 2 j k
коллинеарны?
3. Вычислить скалярное произведение векторов a 2,4,3 и
b 4i 2 j k .
4. Найти угол между векторами a 2,4,3 и b 4i 2 j k .
20
5. Найти внутренний угол треугольника АВС при вершине А, если
А(2,-1,3), В(0,1,3), С (3,2,1).
6. При каких значениях α векторы a i j 2k и b 4i 2 j k ортогональны
7. Найти векторное произведение векторов a 4i j 2k и b 5i 2 j .
8. Вычислить площадь параллелограмма ABCD, если А(2,-1,3),
В(0,1,3), С (3,2,1).
9. Определить, какую тройку образуют векторы a , b , с в указанном по
рядке, если a 8,4,1 , b 2,2,1 , с 1,1,1 .
10. Вычислить объем тетраэдра ABCD, если А(2,-1,3), В(0,1,3), С (3,2,1),
D(2,2,2).
11. Проверить, лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если А(2,1,3), В(0,1,3), С (3,2,1), D(6,3,3).
12. Преобразовать выражения a b , a b и a 2b ,2a b .
Контрольная работа №1
Варианты 1-5
Задача 1. Даны декартовы координаты четырех вершин A,B,C и А1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1. Найти:
1) координаты вершин Dи D1;
2) координаты единичного вектора е , перпендикулярного плоскости АВС,
если векторы АВ, е, AD в указанном порядке образуют правую тройку;
3) объем тетраэдра A1ABC;
4) длину высоты AK грани ABCD, проведенную перпендикулярно CD;
5) длину высоты A1H параллелепипеда, проведенную перпендикулярно плоскости АВС.
6) Найти координаты вектора АD1 в базисе АВ, АА1 , AD .
В-1
В-2
В-3
В-4
21
В-5
A(-1,3,5)
A(2,-2,3) A(1,2,3)
A(0,-2,3) A(2,1,0)
В(1,3,0)
В(2,4,0)
В(-4,-1,1) В(1,-2,6)
В(2,-3;2)
С(3,5,1)
С(4,-3,3)
С(1,5,3)
С(4,7,-1)
С(4,-1,2)
A1(-4,2,2) A1(1,2,1) A1(6,-1,4) A1(1,2,1) A1 (1,6,1)
Задача 2. Даны векторы a 2m 3n и b 3m 2n . Вычислите:1) угол
между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a и b ,
если m 2 , n 3и угол между ними равен 150°;
2) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если m 2 ,
n 3и угол между ними равен 150°.
Варианты 6-10
Задача 1. Даны декартовы координаты четырех вершин A,B,C и D1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1. Найти:
1) координаты вершин D и A1;
2) координаты единичного вектора е , перпендикулярного плоскости АВС,
если векторы е, AB, AD в указанном порядке образуют левую тройку;
3) объем тетраэдра A1ABC;
4) длину высоты СK грани ABCD, проведенную перпендикулярно АD;
5) длину высоты A1H параллелепипеда, проведенную перпендикулярно плоскости АВС.
6) Найти координаты вектора АA1 в базисе АВ, АD1 , AD .
В-6
В-7
В-8
В-9
В-10
A(-1,0,5)
A(2,2,3)
A(1,-2,3)
A(0,2,3)
A(1,1,0)
В(-1,3,0)
В(2,4,0)
В(-4,1,1)
В(1,-2,4)
В(1,-3;2)
С(3,-1,1)
С(4,0,3)
С(1,5,3)
С(4,-1,2)
С(4,2,-1)
D1(4,2,2)
D1(-1,2,1)
D1(6,-2,4)
D1(1,0,-1)
D1(1,-2,1)
7)
22
Задача 2. Даны векторы a 2m n и b m 2n . Вычислите:
1) угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a и b , если m 2 , n 1 и угол между ними равен 120°;
2) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если m 2 ,
n 1 и угол между ними равен 120°.
Варианты 11-15
Задача 1. Даны декартовы координаты четырех вершин A,B,C и А1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1. Найти:
1) координаты вершин B1 и D1;
2) координаты единичного вектора е , перпендикулярного плоскости
АА1В1если векторы А1В1 , е, A1 Ав указанном порядке образуют левую тройку;
3) объем тетраэдра САA1B1;
4) длину высоты AK грани AА1BВ1, проведенную к стороне ВВ1;
5) длину высоты СH параллелепипеда, перпендикулярную плоскости AА1В1.
6) Найти координаты вектора А1С в базисе А1 А, А1В1 , A1D1 .
В-11
В-12
В-13
В-14
В-15
A(-1,3,5)
A(2,-2,3)
A(1,2,3)
A(0,-2,3)
A(2,1,0)
В(-1,3,0)
В(2,4,0)
В(-4,-1,1)
В(1,-2,6)
В(2,-3;2)
С(3,5,1)
С(4,3,3)
С(1,5,3)
С(4,-1,2)
С(4,7,-1)
A1(-4,2,2)
A1(1,2,1)
A1(6,-1,4)
A1(1,2,1)
A1(1,6,1)
Задача 2. Даны векторы a 2m n и
b m 3n . Вычислите:
1) угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a и b , если m 2 , n 1 и угол между ними равен 60°.
2) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если m 2
, n 1 и угол между ними равен 60°.
23
Варианты 16-20
Задача 1.Даны декартовы координаты четырех вершин A,B,C и D1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1. Найти:
1) координаты вершин C1 и A1;
2) координаты единичного вектора е , перпендикулярного плоскости CC1D1
если векторы е, С1С, С1D1 в указанном порядке образуют правую тройку;
3) объем тетраэдра A1C1D1C;
4) длину высоты С1K грани CC1D1D, проведенную перпендикулярно DD1;
5) длину высоты A1H параллелепипеда, проведенную перпендикулярно
плоскости CC1D1.
6) Найти координаты вектора АA1 в базисе АВ, АD1 , AD .
В-16
В-17
В-18
В-19
В-20
A(-1,0,5)
A(2,2,3)
A(1,-2,3)
A(0,2,3)
A(1,1,0)
В(-1,3,0)
В(2,4,0)
В(-4,1,1)
В(1,-2,4)
В(1,-3;2)
С(3,-1,1)
С(4,0,3)
С(1,5,3)
С(4,-1,2)
С(4,2,-1)
D1(4,2,2)
D1 (1,2,1)
D1 (6,-2,4)
D1 (1,0,-1)
D1 (1,-2,1)
Задача 2. Даны векторы a m 3n и
b m 2n . Вычислите:
1) угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a и b , если m 4 , n 1 и угол между ними равен 30°.
2) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если m 4
, n 1 и угол между ними равен 30°.
Варианты 21-25
Задача 1. Даны декартовы координаты четырех вершин A,B,C и А1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1. Найти:
1) координаты вершин B1 и D;
24
2) координаты единичного вектора е , перпендикулярного плоскости АDC
если векторы АС, е, DА в указанном порядке образуют левую тройку;
3) объем тетраэдра В1АDC;
4) длину высоты АK грани ABСВD, проведенную к стороне ВC;
5) длину высоты B1H параллелепипеда, перпендикулярную плоскости ADC.
6) Найти координаты вектора В1 D в базисе B1 А1 , B1В, B1C1 .
В-21
В-22
В-23
В-24
В-25
A(-1,2,5)
A(2,-2,3)
A(1,2,3)
A(0,-2,3)
A(2,1,0)
В(-1,2,0)
В(2,3,0)
В(-4,-1,1)
В(1,-2,5)
В(2,-3;2)
С(3,5,1)
С(3,3,3)
С(1,4,3)
С(4,-1,2)
С(4,5,-1)
A1(-4,-2,2)
A1 (-1,2,1)
A1 (5,-1,4)
A1 (1,2,1)
A1 (1,4,1)
Задача 2. Даны векторы a 4m n и
b m 3n . Вычислите:
1) угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a и b , если m 2 , n 2 и угол между ними равен 45°.
2) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b , если m 2
, n 2 и угол между ними равен 45°.
ГЛАВА 2. Линейные образы
1.
Прямая на плоскости
Различные виды уравнений прямой на плоскости
Любой ненулевой вектор параллельный данной прямой называют
направляющим вектором данной прямой, а любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой - её нормальным вектором.
Общим уравнением прямой на аффинной плоскости называется уравнение вида
Ax By C 0,
25
(1.1)
где вектор l В, A является направляющим вектором прямой.
Если уравнение (1.1) задает прямую в прямоугольной системе координат, то вектор n A, B является нормальным вектором прямой.
Множество прямых, проходящих через данную точку, называется пучком прямых. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку M 0 (x0 , y0 )
имеет вид
A(x x0 ) B( y y0 ) 0
(1.2)
Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ) параллельно
вектору l m, n может быть записано в виде
x x0 y y0
m
n
(1.3)
x x0 m t
y y0 n t.
(1.4)
или
Уравнение (1.3) называется каноническим уравнением прямой, уравнения (1.4) называются параметрическими уравнениями прямой, t - параметр.
В частности, уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M 1 x1 , y1
и
M 2 x2 , y 2
имеет вид
x x1
y y1
,
x2 x1 y2 y1
(1.5)
а уравнение прямой, проходящей через токи M1 a,0, M 2 0, b , имеет вид
x y
1
a b
(1.6)
Уравнение (1.6) называется уравнением прямой в отрезках, так как |а|
и |b| - это длины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Пусть задана прямоугольная (декартова) система координат. Углом
наклона прямой к оси Ох называется угол, на который надо повернуть ось Ох
вокруг точки пересечения прямой с осью Ох, чтобы ось Ох совпала с прямой
26
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой и обозначается через k. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ) имеет вид
y y0 kx x0
(1.7)
Уравнение (1.7) определяет также пучок прямых, проходящих через
точку M 0 (x0 , y0 ) , за исключением прямой, параллельной оси ординат.
Если прямая пересекает ось Оу в точке М1 (0,b), то уравнение (1.7)
принимает вид
y kx b
(1.8)
Уравнение (1.8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая определяется расстоянием р от начала координат до данной прямой и углом
между положительным направлением оси Ох и осью
т, проходящей через начало координат О перпендикулярно данной прямой. Уравнение
x cos y sin p 0
(1.9)
называется нормальным уравнением прямой.
Для того чтобы привести общее уравнение (1.1) к виду (1.9) надо умножить обе части уравнения нормирующий множитель
1
A B2
2
. Знак нор-
мирующего множителя µ противоположен знаку С.
Если дана некоторая точка M ( x1 , y1 ) на плоскости, то число
x1 cos y1 sin p
(1.10)
называется отклонением точки М от данной прямой. При этом
если 0 , точка М и начало координат лежат по разные стороны относительно данной прямой,
если 0 , точка М и начало координат лежат по одну сторону от прямой,
27
если 0 , точка М лежит на данной прямой.
Модуль отклонения равен расстоянию от данной точки до прямой. Таким образом, если прямая задана нормальным уравнением (1.9), то расстояние d от точки
M ( x1 , y1 ) до
этой прямой можно вычислить по формуле
d x1 cos y1 sin p
(1.10)
или, если прямая задана общим уравнением (1.1), то по формуле
d
Ax1 By1 C
A2 B 2
(1.11)
.
Угол между двумя прямыми.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Углом между двумя прямыми называется наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми.
1) Если прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: y k1 x b1 и y k 2 x b2 , то
tg
k2 k1
,
1 k1k2
(1.12)
Из (1.12) следуют
(1.12.1) условие параллельности двух прямых: k1=k2, b1 b2 ;
(1.12.2) условие перпендикулярности двух прямых: k1k2=-1.
2) Если прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями:
А1х + В1у + С1= 0 и А2х + В2у + С2=0,
n1 A1 , B1 и n2 A2 , B2 ) нормальные векторы прямых, то
n1 , n2
cos
n1 n2
A1 A2 B1B2
A12
B12
Из (1.13) следуют
28
A22
B22
.
(1.13)
(1.13.1) условие параллельности прямых:
A1 B1 C1
;
A2 B2 C2
(1.13.2) условие перпендикулярности прямых: А1А2 + В1 В2=0.
3) Если прямые l1 и l2 с направляющими векторами l1 m1 ,n1 и
l2 m2 ,n2 заданы каноническими (1.3) или параметрическими (1.4) уравнениями , то
l1, l2
m1m2 n1n2
cos
.
2
2
2
2
l1 l2
m1 n1 m2 n2
(1.14)
Из (1.14) следуют
(1.124.1) условие параллельности прямых (включая случай совпадения):
m1 n1
;
m2 n2
(1.14.2) условие перпендикулярности прямых: m1m2 n1n2 0 .
Заметим, что иногда углом между прямыми называют любой из смежных
углов, образованных этими прямыми, в этом случае выражения в формулах
(1.12)- (1.14) не следует брать по абсолютной величине.
Примеры решения задач
Задача1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
Мо(-1,4):
a)
параллельно прямой 2x 5y 1 0
b)
перпендикулярно прямой 2x 5y 1 0
c)
под углом 45о к прямой 2x 5y 1 0
Решение: Воспользуемся уравнением (1.7). Получаем уравнение пучка
прямых проходящих через точку Мо(-1,4)
y 4 k x 1.
29
Отметим, что во всех случаях дана одна и та же прямая с угловым коэффициентом k 2 . Для определения угловых коэффициентов искомых
5
прямых из пунктов а) и b) задачи воспользуемся соответственно условиями
(1.12.1) и (1.12.2), получаем:
а) y 4
2
x 1 или 2x 5y 18 0 ;
5
Замечание. Для решения пункта а) можно также воспользоваться формулой
(1.2), получаем 2( x 1) 5( y 4) 0 или 2x 5 y 18 0 .
b) y 4
5
x 1 или 5x 2 y 13 0 .
2
Замечание. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой можно составить также, воспользовавшись
формулами (1.3) или (1.4). Смотрите решение задачи 2.
с) Для определения углового коэффициента искомой прямой в пункте
с) воспользуемся формулой (1.12), имеем
2
5 , или 5 2k 5k 2 , или
tg45
2
1 k
5
k
5 2k 5k 2;
5 2k 5k 2 .
Таким образом, получаем два возможных значения углового коэффициента искомой прямой: k 3 или k 7 , и ответом являются уравнения двух
7
3
взаимно перпендикулярных прямых 3x 7 y 31 0 и 7x 3y 5 0.
Ответ. а) 2x 5 y 18 0 ;b) 5x 2 y 13 0 ; c) 3x 7 y 31 0 и
7x 3y 5 0.
Задача 2. . Найти координаты проекции точки М(1,5) на прямую a, заданную уравнением 2x 3y 4 0.
Решение. Требуется найти координаты точки пересечения данной прямой a с прямой a1, проходящей через точку М перпендикулярно a.
Можно составить уравнение прямой a1, воспользовавшись методом,
30
предложенным в предыдущей задаче, а затем определить координаты точки
пересечения прямых a и a1, решив систему из двух линейных уравнений.
Рассмотрим более короткий метод решения, для этого составим параметрические уравнения (4) прямой a1. Заметим, что нормальный вектор
n (2,3) прямой aявляется направляющим вектором искомой прямой a1. По-
лучаем:
x 1 2 t
y 5 3 t.
Для определения координат точки пересечения прямыхaиa1 решим систему
2x 3 y 4 0
x 1 2 t
y 5 3 t.
Получаем
2(1 2t ) 3(5 3t ) 4 0 t 1
x 1
x 1 2 t
y 5 3 t.
y 2
Ответ: (-1,2).
Задача 3. Площадь треугольника, отсекаемого прямой, проходящей
через точку A(6, -2), от координатного угла равна 3. Составить уравнение
этой прямой.
Решение. Так как площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла, равна половине произведения длин отрезков, отсекаемых
прямой на осях координат, то для решения задачи удобнее всего воспользоваться уравнением прямой в отрезках (6).
Из условия задачи следует, что 1 а b 3 и 6 2 1. Получаем две си2
стемы:
31
a
b
6
6
a b
a b
и
2
b 1 b 2 1
b
b
Решением первой системы являются пары (-6,-1) и (3,2). Вторая система не имеет решений. Получаем две прямых
x
y
x y
1 или 1 .
6 1
3 2
После очевидных преобразований можно привести полученные уравнения к
виду (1.1).
Ответ: x 6 y 6 0 или 2x 3y 6 0 .
Задача 4. Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми 3x 4 y 2 0 и x y 3 0 .
Решение.
Воспользуемся свойством: биссектриса угла является геометрическим
местом точек, равноудаленных от сторон угла. Пусть точка M(x,y) принадлежит биссектрисе, вычислим расстояния от этой точки до данных прямых по
формуле (1.11):
d1
3x 4 y 2
9 16
d2
x y 3
11
Используя условие равенств найденных расстояний, получаем уравнение :
2 3x 4 y 2 5 x y 3)
3x 4 y 2 x y 3
или
.
5
2
2
3
x
4
y
2
5
x
y
3
Решая совокупность уравнений, получаем искомые уравнения прямых.
Ответ. 3 2 5 x 4 2 5 y 2 2 15 0 и
3 2 5 x 4
2 5 y 2 2 15 0 .
Замечания.
1. Легко проверить, используя, например, критерий (1.13.2), что полученные
32
прямые перпендикулярны (биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны).
2. Возможен другой способ решения данной задачи. Определить координаты
точки пересечения данных прямых, а затем, воспользовавшись формулой
(1.12) для вычисления угла между прямыми, определить угловые коэффициенты искомых прямых из уравнения k k1 , k k 2 , где k – угловой коэффи1 k1k
1 kk2
циент биссектрисы, k1 и k2 - угловые коэффициенты данных прямых.
Задача5. Доказать, что прямая 2x 3y 6 0 не пересекает отрезка,
ограниченного точками M1(-2; -3), M2(1; -2).
Решение. Отрезок М1М2 не будет пересекать данную прямую, если обе
точки лежат в одной полуплоскости относительно данной прямой, то есть отклонения точек M1 и М2 от данной прямой имеют одинаковый знак.
Приведем уравнение прямой 2x 3y 6 0 к нормальному виду (), для
этого умножим обе части уравнения на нормирующий множитель
1
1 . Получаем:
49
13
2
3
6
x
y
0.
13
13
13
Вычислим отклонение точек M1 и М2 от прямой 2x 3y 6 0 , получаем:
1
2
3
6
11
(2)
(3)
0
13
13
13
13
2
2
3
6
14
(2)
0.
13
13
13
13
Что и требовалось доказать.
Задача 6. Установить, является ли четырехугольник АВСD выпуклым,
если A(-1; 6), B(-2; -4), C(7; -1), D(2; 9).
Решение: Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
33
B
A
А
B
С
A
D
C
D
В
C
D
Рисунок 7
На рисунке 7 первые два четырехугольника не являются выпуклыми.
Для того чтобы доказать, что четырехугольник не является выпуклым
достаточно найти две его вершины, расположенные в разных полуплоскостях
относительно прямой, проходящей через две другие вершины. Для того
чтобы доказать, что четырехугольник выпуклый необходимо убедиться, что
он расположен в одной полуплоскости относительно прямых, проходящих
через какие-либо три его стороны.
Составим уравнение стороны АВ, используя формулу (1.5), получаем
x 1 y 6
или 10x y 16 0 .
1
10
Приведем полученное уравнение к нормальному виду (1.9) и вычислим
отклонения от данной прямой точек C и D, имеем
10x y 16
0
101
C
D
10 7 1 16
87
0
101
101
10 2 9 16
27
0.
101
101
Таким образом, относительно прямой АВ точки С и D лежат в одной полуплоскости.
Рассмотрим теперь прямую ВС и точки A и D получаем соответственно:
x 3 y 10
0
10
A
1 3 6 10
29
0
10
10
34
D
2 3 9 10
35
0.
10
10
Таким образом, относительно прямой ВС точки А и D лежат в одной полуплоскости.
Для прямой СD и точек A и B получаем соответственно:
2 x y 13
0
5
A
2 (1) 6 13
9
0
5
5
В
2 (2) 4 13
13
0.
5
5
Таким образом, относительно прямой СD точки A и B лежат в одной полуплоскости.
Ответ. Данный четырехугольник является выпуклым.
Задача 7. Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма ABCD (система координат декартова) А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2), найти:
1)
параметрические уравнения стороны AD;
2)
нормальное уравнение прямой АD;
3)
общее уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону
AD;
4)
площадь треугольника, отсекаемого высотой BK от координатного
угла;
5)
длину высоты BK;
6)
координаты центра тяжести треугольника АВD;
7)
угловой коэффициент диагонали ВD;
8)
тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Решение. 1) ПрямаяAD проходит через точку A параллельно прямой ВС,
следовательно, можно взять в качестве направляющего вектора данной прямой вектор СB 3i 5 j . Воспользовавшись формулой (1.4), получаем уравнения x 1 3t; y 2 5t.
35
2) Исключая параметр t из полученных в пункте 1) параметрических уравнений, получаем общее уравнение прямой AD: 5x 3y 1 0. Приведем уравнение к нормальному виду (1.9), умножив на нормирующий множитель
1
1 , получаем
25 9
34
5
3
1
x
y
0.
34
34
34
3) Прямая ВК проходит через точку В перпендикулярно вектору СB 3i 5 j
, поэтому, воспользовавшись формулой (1.2), получаем 3( x 1) 5( y 3) 0 или
3x 5 y 12 0 .
4) Запишем уравнение ВК «в отрезках» (1.6), для этого разделим обе части
общего уравнения прямой ВК, полученное в пункте 3) на 12. Получаем:
x
y
1 . Таким образом, длины отрезков, отсекаемых прямой ВК на коор4 2,4
динатных осях, равны 4 и 2,4, а площадь искомого прямоугольного треугольника равна
1
4 2,4 4,8 .
2
5) Длину высоты ВК можно найти как расстояние от точки В до прямой
AD. Воспользовавшись результатом пункта 2) и формулой (1.10), получаем
BK
5
3
1
13
.
3
34
34
34
34
Второй способ: найдем координаты точки К, как точки пересечения прямых AD и ВК, воспользовавшись уравнениями этих прямых, полученными в
пунктах 1) и 3). Получаем систему:
x 1 3t
y 2 5t
3x 5 y 12 0,
решая которую, получаем: 3(1 3t) 5(2 5t) 12 0 , t 1 ,
34
x 1
31 63
3 31
5 63
; y 2 . Таким образом, К , и
34 34
34 34
34 34
2
2
13
31 63
BK 1 3
.
34
34 34
36
6) Центр тяжести треугольника – точка пересечения его медиан. Как
известно, медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от
вершины. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам, то медианой треугольника АВD является отрезок AO, где О- середина АС. Найдем координаты точки О по формуле (4.1) главы 1,где 1 , получаем О(-1,5; 0). Координаты центра тяжести треугольника ABD, обозначим его за М, находим по формуле (4.1) главы 1, где 2 :
x
2 2
1 2 1,5
2
2
, y , то есть M , .
3 3
3
3
3
7) Прямая BD проходит через точки В и О, где О – точка пересечения
диагоналей. Поэтому можно составить ее уравнение, воспользовавшись формулой (1.4), получаем, x 1 y 3 или y=6x+9 поэтому угловой коэффи 1,5 1
3
циент прямой BD равен 6.
8) Тангенс угла φ между диагоналями параллелограмма можно найти
по формуле (1.12). Вычислим угловой коэффициент прямой АС. Аналогично
решению в п 7) , получаем:
x 1
y2
или y 0,8x 1,2 , то есть угловой ко
4 1 2 2
эффициент прямой АС равен 0,8. Таким образом, tg
6 0,8
26
.
1 6 0,8 29
Ответ: 1) x 1 3t; y 2 5t ; 2) 5 x 3 y 1 0 ; 3) 3x 5 y 12 0 ;
34
34
34
2 2
4) 4,8; 5) 13 ; 6) , ; 7) 26 .
29
3 3
34
Задача 8. Даны координаты трех последовательных вершин трапеции
ABCD (система координат декартова) А(2;2), В(-4;3),С(4;-2). Известно, что
ВС||AD и AD=3BC. Найти : 1) площадь трапеции; 2) координаты точки пересечения диагоналей трапеции.
Решение. 1) Вычислим длину высоты трапецииh, как расстояние от точки
Aдо прямой BC. Для этого составим уравнение прямой ВС по формуле (1.5):
37
x4
y 3
или 5x+8y-4=0.
4 4 23
Используя формулу (1.11), получаем h
5 2 8 2 4
25 64
22
. Теперь вы89
числим длины оснований, используя формулу для вычисления расстояния
между двумя точками:
ВС 64 25 89 , AD=3BC= ВС 3 89
Таким образом, площадь S трапеции равна
S
BC AD
4 89 22
h
44.
2
2
89
2) Обозначим точу пересечения диагоналей трапеции через О, тогда
AО:ОC=AD:BC=3:1. Вычислим координаты точки О, используя формулу
(4.1) главы 1, получаем: x
2 3 4 7
2 3 2
, y
1. Таким образом,
4
2
4
О(3,5; -1).
Ответ: 1) 44; 2) (3,5; -1).
Проверочная работа №2
Даны декартовы координаты трех точек М(2,3); N(-3,1) и P(1,-1). Требуется
составить
1) каноническое уравнение прямой МN;
2) параметрические уравнения прямойMN;
3) общее уравнение прямойMN;
4) уравнение прямойMN в отрезках;
5) нормальное уравнение прямой МN;
6) Вычислить расстояние от точки Pдо прямой MN.
7) Найти угол между прямыми MNи 3x+2y-4=0.
Контрольная работа №2
Варианты 1-5
38
Задача 1. Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма ABCD (система координат декартова)
В1
В2
В3
В4
В5
В(1;3)
В(2;4)
В(-4;-1)
В(-2;6)
В(-3;2)
С(3;5)
С(4;3)
С(1;5)
С(4;-1)
С(4;7)
D(4;-2)
D(-1;-2)
D(6;1)
D(1;2)
D(6;1)
Найти:
1) параметрические уравнения стороны AD;
2) площадь треугольника, отсекаемого прямойAD от координатного
угла;
3) нормальное уравнение высоты DK, опущенной из вершины D на сторону AB;
4) длину высоты DK;
5) координаты центра тяжести треугольника АВС;
6) угловой коэффициент диагонали АС;
7) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.
Задача 2. Дан параллелограмм АВСD (см. условие задачи 1) и точка
Е(1;1). Проверить аналитически
1)
пересекает ли отрезок BЕ прямую AD;
2) является ли четырехугольник ВСDЕ выпуклым.
Найти точку, симметричную точке Е относительно прямой AD.
Варианты 6-10.
Задача 1. Даны координаты трех последовательных вершин трапеции
ABCD (система координат декартова). Известно, что АВ||CD и CD=2AB.
В6
В7
В8
В9
В10
А(1;3)
А(2;-4)
А(4;-1)
А(2;-6)
А(-3;2)
39
В(3;5)
В(4;-3)
В(-1;5)
В(-4;1)
В(4;-7)
С(4;-1)
С(-1;2)
С(-6;1)
С(-1;-2)
С(6;-1)
Найти:
1) параметрические уравнения стороны СD;
2) площадь треугольника, отсекаемого прямой СD от координатного
угла;
3) нормальное уравнение высоты АK, опущенной из вершины А на сторону DC;
4) площадь трапеции,
5) координаты точки пересечения диагоналей трапеции;
6) угловой коэффициент диагонали BD;
7) тангенс угла между диагоналями трапеции.
Задача 2. Дан параллелограмм АВСD (см. условие задачи 1) и точка
Е(1;1). Проверить аналитически
1) пересекает ли отрезок BЕ прямую СD;
2) является ли четырехугольник AВСЕ выпуклым.
Найти точку, симметричную точке Е относительно прямой CD.
Варианты 11- 15.
Задача 1. Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма ABCD(система координат декартова)
В11
В12
В13
В14
В15
А(1;3)
А(2;-4)
А(4;-1)
А(2;-6)
А(-3;2)
В(-3;5)
В(4;-3)
В(-1;5)
В(-4;1)
В(4;-7)
С(4;-2)
С(-1;2)
С(-6;1)
С(1;-2)
С(6;-1)
Найти:
1) параметрические уравнения стороны СD;
40
2) общее уравнение высоты ВK, опущенной из вершины В на сторону
СD;
3) длину высотыВK;
4) координаты центра тяжести треугольника АВD;
5) площадь треугольника, отсекаемого диагональю BD от координатного угла;
6) угловой коэффициент диагонали BD;
7) тангенс острого угла параллелограмма.
Задача 2. Дан параллелограмм АВСD (см. условие задачи 1) и точка Е(1;-1). Проверить аналитически
1)
пересекает ли отрезок BЕ прямую СD;
2)
является ли четырехугольник АВСЕ выпуклым.
Найти точку, симметричную точке Е относительно прямой СD.
Варианты 16-20.
Задача 1. Даны координаты трех последовательных вершин трапеции
ABCD (система координат декартова). Известно, что АВ||CD и CD=0,4AB.
В16
В17
В18
В19
В20
В(-1;3)
В(2;4)
В(-4;1)
В(-2;6)
В(-3;2)
С(3;5)
С(4;3)
С(1;5)
С(4;-1)
С(4;7)
D(4;2)
D(1;2)
D(6;1)
D(1;2)
D(6;1)
Найти:
1) параметрические уравнения стороны АВ;
2) общее уравнение высоты CK, опущенной из вершины С на сторону
АВ;
3) площадь трапеции;
4) координаты точки пересечения диагоналей трапеции;
41
5) площадь треугольника, отсекаемого диагональю АС от координатного угла.
6) угловой коэффициент диагонали АС;
7) тангенс острого угла трапеции.
Задача 2. Дан параллелограмм АВСD (см. условие задачи 1) и точка Е(1;-1). Проверить аналитически
1)
пересекает ли отрезок СЕ прямую АВ;
2)
является ли четырехугольник ВСDЕ выпуклым.
Найти точку, симметричную точке Е относительно прямой AB.
Варианты 21- 25.
Задача 1. Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма ABCD(система координат декартова)
В21
В22
В23
В24
В25
А(2;3)
А(-2;4)
А(4;1)
А(2;6)
А(3-;2)
В(3-;5)
В(-4;3)
В(1;-5)
В(4;0)
В(-4;7)
С(-4;2)
С(1;2)
С(-2;1)
С(-1;2
С(0;1)
Найти:
1)
параметрические уравнения стороны СD;
2) общее уравнение высоты ВK, опущенной из вершины В на сторону
СD;
3) длину высоты ВK;
4) координаты центра тяжести треугольника АВD;
5) площадь треугольника, отсекаемого диагональю BD от координатного угла;
6) угловой коэффициент диагонали BD;
7) тангенс острого угла параллелограмма.
42
Задача 2. Дан параллелограмм АВСD (см. условие задачи 1) и точка
Е(0;5). Проверить аналитически
1) пересекает ли отрезок BЕ прямую СD;
2)
является ли четырехугольник АВСЕ выпуклым.
Найти точку, симметричную точке Е относительно прямой СD.
2. Плоскость
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору
Пусть плоскость проходит через данную точку M 0 x0 , y0 , z0 перпендикулярно данному вектору n =(А, В, С) (система координат декартова). Возьмем на этой плоскости произвольную точку
M x, y, z ,
тогда при любом рас-
положении точки М на плоскости векторы M0 M = (x-xo,y-yo,z-zo) и n ортогональны, следовательно, n, M 0 M 0 или
n, r r0 0 , где r и r0 - радиус
векторы точек М и M 0 соответственно. В координатной форме:
Ax x0 By y0 Cz z0 0.
(2.1)
Уравнение (2.1) называется уравнением плоскости, проходящей через
данную точку М 0 (х 0 , у 0 , z 0 )перпендикулярно вектору n A, B, C .
Вектор n при этом называется нормальным вектором плоскости.
Общее уравнение плоскости
Раскроем в (2.1) скобки, обозначим через D Ax0 By0 Cz0 и в результате получим уравнение
Ax By Cz D 0,
Называемое общим уравнением плоскости.
43
(2.2)
Неполные уравнения плоскости:
Таблица 2.1. Неполные уравнения плоскости
№
Условие
Уравнение
Расположение
1.
D=0
Ax+By+Cz=0
через начало координат
2.
А=0
Ву+Сz+D=0
параллельно оси ОХ
3.
В=0
Aх+Cz+D=0
параллельно оси ОY
4.
С=0
Aх+Bу+D=0
параллельно оси ОZ
5.
A=D=0
Ву+Сz=0 или z=ky
через ось OX
6.
B=D=0
Aх+Cz=0 или z=kx
через ось OY
7.
C=D=0
Aх+Bу=0 или y=kx
через ось OZ
8.
A=B=0
Сz+D=0 или z=c
параллельно плоскости OXY
9.
A=C=0
By+D=0 или y=b
параллельно плоскости OXZ
10. B=C=0
Ax+D=0 или x=a
параллельно плоскости OYZ
11. A=B=D=0
z=0
совпадает с плоскостью OXY
12. A=C=D=0
y=0
совпадает с плоскостью OXZ
13. B=C=D=0
x=0
совпадает с плоскостью OYZ
Нормальное уравнение плоскости
Обозначим через p - расстояние от начала координат до данной плоскости, а через , , - углы, образованные единичным вектором e , имеющего
направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость, с положительными направлениями осей координат Ox, Oy,Oz соответственно, тогда
e cos, cos , cos . Возьмем на данной плоскости произвольную точку
М (x,y,z), тогда OM r и OM x, y, z .
При любом положении точки М на данной плоскости проекция радиус – вектора r на направление вектора e остается неизменной и равна р,
то есть
44
r, e p 0
(2.3)
Уравнение (2.3) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме, а уравнение
x cos y cos z cos p 0.
(2.4)
- нормальным уравнением плоскости в координатной форме.
Аналогично плоскому случаю, для того чтобы привести общее уравнение (2.2) к виду (2.4) надо умножить обе части уравнения нормирующий множитель
1
A2 B 2 С 2
, где знак нормирующего множителя противопо-
ложен знаку С.
Если дана некоторая точка M ( x1 , y1 , z1 ) в пространстве, то число
x1 cos y1 cos z1 cos p
(2.5)
называется отклонением точки М от данной плоскости. При этом
если 0 , точка М и начало координат лежат в разных полуплоскостях
относительно данной плоскости,
если 0 , точка М и начало координат лежат в одной полуплоскости
относительно данной плоскости,
если 0 , точка М лежит на данной плоскости.
Модуль отклонения равен расстоянию от данной точки до плоскости.
Таким образом, если плоскость задана нормальным уравнением (2.3),
то расстояниеdот точки M ( x , y , z ) до этой плоскости можно вычис1 1 1
лить по формуле
d x1 cos y1 cos z1 cos p (2.6)
или, если плоскость задана общим уравнением (2.2), то по формуле
d
Ax1 By1 Cz1 D
A2 B 2 C 2
.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Найдем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
45
(2.6а)
M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ), M 3 ( x3 , y3 , z3 ) , не лежащие на одной прямой.
Возьмем на этой плоскости произвольную точку M(x,y,z) и рассмотрим
три вектора: M1M x x1 , y y1 , z z1 , M1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ,
M1M3 x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 .
Так как эти векторы лежат в одной плоскости, то есть компланарны, то
их смешанное произведение равно нулю:
M M, M M , M M 0, или
1
1
2
1
3
x x1 y y1 z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0.
x3 x1 y3 y1 z3 z1
(2.7)
Уравнение (2.7) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость проходит через точки M1 (а,0,0) , M2(0,b,0), M3(0,0,c).
М3(0,0, с).
Уравнение
x y z
1.
a b c
(2.8)
называется уравнением плоскости в отрезках.
Параметрические уравнения плоскости
Пусть плоскость проходит через точку M 0 (xо , y0 , z0 ) параллельно двум
неколлинеарным векторам l1 m1 , n1 , p1 и l2 m2 , n2 , p2 . Тогда, если
M ( x , y , z) - произвольная точка плоскости, векторы
M 0 M x x0 , y y0 , z z0 , l1 m1 , n1 , p1 и l2 m2 , n2 , p2 компланарны, а,
46
следовательно, линейно зависимы. Отсюда
r r0 u l1 v l2 ,
где r и r0 - радиус-векторы точек M и M 0 соответственно.
(2.9)
Уравнение (2.9) называется параметрическим уравнением плоскости в
векторной форме.
Переходя к координатам, получаем параметрические уравнения плоскости:
x x0 u m1 v m2
y y0 u n1 v n2
z z u p v p
0
1
2
(2.10)
Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
Пусть плоскости заданы общими уравнениями:
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0 .
Так как по определению углом φ между двумя плоскостями считается наименьший из двух смежных двугранных углов, образованных этими
плоскостями, то косинус этого угла неотрицательный и по модулю совпадает с косинусом угла между нормальными векторами
n1 A1 , B1 , C1
и
n2 A2 , B2 , C2 плоскостей, то есть
cos
n1 , n2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
2
2
2
2
2
2
.
(2.11)
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей следуют из
соответствующих условий на нормальные векторы n1 A1 , B1 , C1 и
n2 A2 , B2 , C2
Условие параллельности двух плоскостей:
47
A1 B1 C1 D1
.
A2 B2 C2 D2
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
A1 A2 B1 B2 C1C2 0 .
3. Прямая в пространстве
Общее уравнение прямой в пространстве. Пучок плоскостей
Прямая в пространстве может быть получена в результате пересечения
двух непараллельных плоскостей, то есть
A1 x B1 y C1 z D1 0,
A2 x B2 y C2 z D2 0,
(3.1)
А В1 С1
при условии, что ранг матрицы 1
равен 2.
А
В
С
2
2
2
Уравнения (3.1) называют общим уравнением прямой.
Множество плоскостей, проходящих через данную прямую, образуют
пучок плоскостей. Прямая может быть задана как пересечение любых двух
плоскостей из этого пучка.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую (3.1) имеет
вид
A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0.
(3.2)
Уравнения прямой, проходящей через данную точку
параллельно данному вектору
Пусть прямая проходит через данную точку M 0 x0 , y0 , z0 параллельно
данному (направляющему) вектору l m, n, p .
Возьмем на прямой произвольную точку М (х,y,z). Через r0 и r обозначим радиус-векторы М0и М соответственно. Из условий коллинеарности век
торов M 0 M r r0 и l получаем:
r r0 t l .
(3.3)
48
Уравнение (3.3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой.
В координатной форме, получаем
x x0 mt,
y y0 nt,
z z pt.
0
(3.4)
Уравнения (3.4) называются параметрическими уравнениями прямой в
пространстве.
Исключая в (3.4) параметр t, получим уравнения
x x0 y y0 z z0
.
m
n
p
(3.5)
Уравнения (3.5) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть прямая проходит через данные точки M 1 x1 , y1 , z1 )и M 2 x2 , y 2 , z 2
Возьмем на прямой произвольную точкуM(x,y,z), а в качестве направляющего вектора выберем вектор M1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 и воспользуемся
каноническими уравнениями (3.5). В результате получим уравнения
x x1
y y1
z z1
.
x2 x1 y2 y1 z2 z1
(3.6)
Уравнения(3.6) называются уравнениями прямой в пространстве, проходящей через две данные точки.
Угол между двумя прямыми
l
Пусть даны две прямые с направляющими векторами 1 m1 , n1 , p1 и
l2 m2 , n2 , p2 . Так как углом φ между двумя прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных прямыми, проведенными через
произвольную точку пространства, параллельно данным прямым, то
49
l1 , l2
m1m2 n1n2 p1 p2
cos
.
2
2
2
2
2
2
l1 l2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
(3.7)
Условие перпендикулярности прямых.
m1m2 n1n2 p1 p2 0
(3.8)
Взаимное расположение прямых в пространстве
Пусть даны две прямые: первая проходит через точку M 1 x1 , y1 , z1 в
направлении вектора l1 m1 , n1 , p1 , а вторая – через точку M 2 x2 , y 2 , z 2 в
направлении вектора l2 m2 , n2 , p2 . В таблице 2.2 приведены условия, по
которым можно определить взаимное расположение прямых в пространстве
Таблица 2.2. Взаимное расположение прямых в пространстве
Условие
Расположение прямых
x1 x2
m1
m2
y1 y 2
n1
n2
z1 z 2
p1 0
p2
x1 x2
m1
m2
y1 y 2
n1
n2
z1 z 2
p1 0
p2
Прямые скрещивающиеся
l1 l2
Прямые пересекаются
Прямые параллельны
l1 l2
l1 M1M 2 1
Прямые совпадают
l1 l2
l1 M1M 2 2
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между прямыми
Расстояние от точки M 1 x1 , y1 , z1 до прямой, проходящей через точку
1Это
2
условие равносильно тому, что точка М1 не принадлежит второй прямой.
Это условие равносильно тому, что точка М1 н принадлежит также и второй прямой.
50
M 0 x0 , y0 , z0 в направлении вектора l m, n, p , можно найти как высоту параллелограмма, построенного на векторах M 0 M1 x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 и
l m, n, p , опущенную из точки M 1 x1 , y1 , z1 :
M M ,l
d
0
l
1
(3.9)
По формуле (3.9) можно также найти расстояние между параллельными прямыми, если взять в качестве точки M 1 x1 , y1 , z1 любую точку на одной из параллельных прямых.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые: первая проходит через
точку M 1 x1 , y1 , z1 в направлении вектора l1 m1 , n1 , p1 , а вторая – через точку
M 2 x2 , y2 , z 2 в направлении вектора l2 m2 , n2 , p2 . Расстояние между этими
прямыми можно найти как высоту параллелепипеда, построенного на векто
рах M1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 , l1 и l2 , опущенную из вершины М 2 на плос
кость векторов l1 и l2 :
d
М М , l , l
1
2
1
l1 , l 2
2
(3.10)
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью называется наименьший из
двух смежных углов, образованных прямой и её проекцией на плоскость.
Обозначим через угол между прямой и плоскостью, через
2
- угол между нормальным вектором плоскости n =(А, В, С) И направля
ющим вектором прямой l m, n, p
Так как sin cos , то
2
51
n, l
sin
nl
Am Bn Cp
A2 B 2 C 2 m2 n 2 p 2
.
(3.11)
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
A B C
.
m n p
(3.12)
Условия параллельности плоскости Ax By Cz D 0
и прямой
x x0 y y0 z z0
:
m
n
p
Am Bn Cp 0, Ax0 By 0 Cz0 D 0
52
(3.13)
Примеры решения задач
Задача 1. Даны точки М0 (1,0,3), N(2,-3,4) и векторы
a (2,3,-1) и b (5,4,1). Требуется
1. Написать уравнения плоскости α, проходящей через точку М0 параллельно векторам a и b : а) параметрические, б) общее, в) в отрезках, г) нормальное.
2. Вычислить расстояние от точки Nдо плоскости α.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Nпараллельно плоскости α.
Решение.1 a) Воспользуемся уравнением (2.10), получаем
x 1 2u 5v
y 0 3u 4v
z 3 u v
1b) Пусть точка M(x,y,z) принадлежит плоскости тогда векторы
M0 M x 1, y, z 3, a (2,3,-1) и b (5,4,1) компланарны, следовательно
x 1 y z 3
2 3 1 0 или x y z 2 0 .
5 4 1
1c)Приведем уравнение x y z 2 0 к виду (3.8), для этого разделим
обе части уравнения на (-2). Получаем
x
y
z
1.
2 2 2
1d) Для того, чтобы привести уравнение x y z 2 0 к виду (2.4),умножим обе части уравнения на нормирующий множитель
1
12 (1) 2 (1) 2
1
, получаем
3
x
y
z
2
0.
3 3 3 3
53
2. Воспользуемся формулой (2.6) и результатом, полученным в
пункте 1d) данной задачи, получаем
d
2 3 4
2
3.
3
3
3
3
3. Так как данная плоскость параллельна плоскости α, то в качестве ее
нормального вектора можно взять её нормальный вектор. Воспользовавшись
формулой (2.1), получаем
x 2 y 3 z 4 0 или x y z 1 0 .
x 1 2u 5v
Ответ. 1а) y 0 3u 4v; 1b) x y z 2 0;
z 3 u v
x y z 2
1c) x y z 1; 1d) 0;
2 2 2
3 3 3 3
2. 3; 3. x y z 1 0 .
Задача 2. Найти угол между прямыми
x 2 y 4 z 3
1
0
2 и
2x 2 y z 6 0
4x y 2z 0 .
Решение. Воспользуемся формулой (3.7), для этого определим координаты
направляющих векторов данных прямых. Направляющим вектором первой
прямой является вектор l1 1,0,2 . В качестве направляющего вектора второй
прямой можно взять любой вектор, коллинеарный векторному произведению
нормальных векторов плоскостей 2x 2 y z 6 0 и 4x y 2z 0 . Вычислим
векторное произведение векторов
n1 (2,2,1) и n2 (4,1,2) ,
i j k
n1 , n2 2 2 1 5i 8 j 6k
4 1 2
Следовательно, l2 5,8,6 и
54
получаем
l1 , l2
5 0 12
7
7
cos
.
2
2
2
2
2
2
5 125 25
l1 l2
1 0 2 5 8 (6)
Ответ: arccos 7 .
25
Задача 3. Определит взаимное расположение прямых в пространстве:
2x 2 y z 6 0
a) x 2 y 4 z 3 и
;
5
8
6
4x y 2z 0
x 1 10t
2x 2 y z 6 0
b)
и y 4 16t ;
4x y 2z 0
z 12t
c) x 1 y 2 z 3 и x 1 y 4 z 1 .
1
3
0
2
0
3
Решение. а) Воспользуемся критериями приведенными в таблице 2.
Направляющим вектором первой прямой является вектор l1 5,8,6 , а
l
направляющим вектором второй прямой - вектор 2 5,8,6 (см. решение за
дачи 2). Так как l2 l1 , то данные прямые либо параллельны, либо совпадают. Проверим, принадлежит ли точка М1(2,-4,3), лежащая на первой прямой, также и второй прямой, для этого подставим ее координаты в уравнения
плоскостей, определяющих эту прямую:
2 2 2(4) 3 6 0
4 2 4 23 0
Таким образом, данные прямые параллельны.
b) Направляющие векторы данных прямых также коллинеарны, так как
l1 5,8,6 , l2 10,16,12, то есть l2 2l1 . Но при этом точка М2(-1,4,0), лежащая на второй прямой, принадлежит также и первой прямой, так как
2 8 6 0
44 0
Таким образом, прямые совпадают.
с) Направляющие векторы данных прямых l1 1,3,0 и l2 2,0,3 не коллине55
арны, следовательно, прямые либо пересекаются, либо скрещиваются. Вычислим смешанное произведение векторов M1M 2 1 1,4 2,1 3 (0,2,2)
l1 1,3,0 и l2 2,0,3 , получаем:
0 2 2
1 3 0 9 6 12 3 0 .
2 0 3
Векторы не компланарны, следовательно, данные прямые не лежат в
одной плоскости, то есть являются скрещивающимися.
Ответ. а) параллельные, b) совпадающие с) скрещивающиеся.
Задача 4. Найти координаты проекции точки М(1,2,3) на прямую
x 1 y 4 z 1
.
2
0
3
Решение. Проекцией точки М на данную прямую является точка пересечения данной прямой с плоскостью α, проходящей через данную точку
перпендикулярно данной прямой. Составим уравнение плоскости α. Для
этого воспользуемся формулой (2.1), где в качестве нормального вектора
(перпендикулярного плоскости) можно взять направляющий вектор данной
l
прямой 2,0,3 . Получаем
2x 1 0 y 2 3z 3 0 или 2x 3z 7 0 .
Для того чтобы найти точку пересечения, запишем параметрические
уравнения данной прямой (3.4)
x 1 2t ,
y 4,
z 1 3t.
Получаем систему
2x 3z 7 0, 2(1 2t ) 3(1 3t ) 7 0
x 1 2t,
x 1 2t
y 4,
y 4
.
z 1 3t.
z 1 3t
Решая систему, получаем
56
t
6
25
5
, x , y 4, z
13
13
13
5
25
Ответ. ,4,
13 .
13
Задача 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
М(1,1,1) параллельно плоскости 2x z 7 0 и пересекающей прямую l:
2x 2 y z 3 0
.
4x y 3z 0
Решение. Искомая прямая лежит в плоскости α, проходящей через
точку М параллельно данной плоскости. Составим уравнение плоскости α,
воспользовавшись формулой (2.1) где в качестве нормального вектора можно
взять нормальный вектор n (2,0,1) данной плоскости, получаем
2x 1 0 y 1 z 1 0 или 2x z 1 0 . Прямая l пересекает искомую прямую, следовательно, пересекает плоскость α. Найдем координаты точки пересечения, для этого решим систему:
2x 2 y z 3 0 2 y 1 3 0
y 1
4x y 3z 0
4x y 32x 1 0 x 2
2x z 1 0
z 2 x 1
z 3 .
Таким образом, искомая прямая проходит через точки М(1,1,1) и
N(2,1,3). Воспользовавшись формулой (3.6), получаем ее канонические уравнения.
Ответ:. x 1 y 1 z 1
1
0
2
Контрольная работа №3
Задание 1. По данным, приведенным в таблице, найти уравнения плоскости: а) общее,b) нормальное, с) в отрезках, d) параметрическое. Найти
уравнение параллельной плоскости, проходящей через точку M 0 и расстояние между параллельными плоскостями:
57
№
Точки плоскости
Направляющие век-
В
M0
торы
1
M 1 (3,-1,2), M 2 (0,3,4)
2
M 1 (2,1,0), M 2 (3,-2,1),
a (4,0,1)
(3,4,7)
(7,2,3)
M3 (4,0,-
1)
3
M 1 (3,1-2)
a (1,0,4), b (2,1,0)
(5,0,0)
4
M 1 (4,0,-1), M 2 (2,3,0)
a (3,5,-1)
(4,1,0)
5
M 1 (3,0,-1), M 2 (1,0,-2),
(4,1,0)
M3
(5,1,3)
6
M 1 (4,0,-1)
a (2,0,-1), b (0,2,1)
(-3,1,5)
7
M 1 (4,0,2), M 2 (3,1,4)
a (2,3,-4)
(4,-5,1)
8
M 1 (2,4,0), M 2 (0,-3,1),
(2,1,3)
M3
(5,1,3)
M 1 (5,0,1)
a (1,0,2), b (5,3,1)
(6,0,2)
10
M 1 (3,5,1), M 2 (0,-2,3)
a (4,5,0)
(7,0,-2)
11
M 1 (3,4,-5), M 2 (4,4,-7),
9
(4,-6,7)
M3
(5,6,-6)
12
M 1 (2,2,0)
a (-2,1,3), b (3,2,0)
(-1,2,5)
13
M 1 (3,-2,1), M 2 (2,0,4)
a (2,0,1)
(1,-7,2)
14
M 1 (2,-1,3), M 2 (0,1,3),
(2,1,5)
M3
(0,3,1)
15
M 1 (3,2,4)
a (2,1,0), b (1,2,-3)
(4,1,-5)
16
M 1 (3,-2,0), M 2 (4,0,-3)
a (0,1,3)
(5,0,-2)
17
M 1 (6,0,0), M 2 (1,-2,3),
(4,1,-5)
M3
(2,3,3)
18
M 1 (2,3,-4)
a (0,1,2), b (3,1,2)
(2,0,5)
19
M 1 (-2,-3,1), M 2 (-4,0,2)
a (1,2,0)
(2,3,-5)
58
20
M 1 (3,1,2), M 2 (0,-2,1),
(4,5,0)
M3
(4,1,4)
21
M 1 (3,-2,2)
a (2,-1,0), b (3,2.4)
(4,5,0)
22
M 1 (2,3,-5), M 2 (0,3,1)
a (1,3,2)
(1,1,5)
23
M 1 (2,3,-1), M 2 (0,1,3),
(2,3,5)
M3 (3,-
1,0)
24
M 1 (2,-4,1)
a (1,2,-1), b (4,01)
(5,-1,6)
25
M 1 (3,-1,0), M 2 (2,4,1)
a (2,0,1)
(-2,3,6)
Задание 2
a)
Доказать, что прямые параллельны, найти расстояние между прямыми.
b)
Доказать, что данная плоскость перпендикулярна прямым и найти
уравнение общего перпендикуляра прямых, лежащего в плоскости.
№В
Первая прямая
Вторая прямая
1
x 1 y 3 z 2
2
1
0
x 2y z 0
2x 4 y 3z 1 0
4x-2y-1=0
2
x 2 y 4 z 3
1
0
2
2x 2 y z 6 0
4x y 2z 0
2x+4z-2=0
3
x y 1 z 3
2
3
1
x y z 1 0
x 2z 0
4x+6y+2z=0
4
x 2 y z 1
1
2
3
2x y 2 0
x yz 0
2x-4y-
5
x 2 y 1 z
3
2
1
x yz 0
y 2z 1 0
6x+4y-2z=0
6
x 3 y 2 z 4
1
0
2
2x 3y z 4 0
2x y z 0
2x-4z-2=0
7
x 1 y 1 z 3
0
2
1
x y 2z 0
3x y 2z 2 0
6y-3z-1=0
8
x 2 y 3 z
1
2 3
x yz 0
3x z 3 0
2x-4y+6z=0
59
Плоскость
6z+1=0
9
x 2 y 1 z 3
3
2
0
9x+6y-1=0
2x 3 y z 0
2x 3y 2z 2 0
10
x 3 y z 2
2
1
3
x yz 0
x 2 y 3 0
4x+2y-6z-
11
x 2 y 3 z 1
1
0
2
2x y z 0
4x y 2z 3 0
3x-6z+1=0
12
x y 2 z 1
1
3
2
x yz 0
5x y z 4 0
2x-6y+4z-
13
x 3 y 1 z 2
2
3
1
x y z 0
y 3z 1 0
2x-3y-z-2=0
14
x y 1 z 2
1 2
3
x yz 0
x 2 y z 2 0
3x-6y+9z-
x 2 y 1 z
1
2
3
2x y 0
3x z 1 0
x-2y-3z-
16
x 1 y 3 z 2
2
1
0
x 2y 2 0
2x 4 y z 0
4x-2y-3=0
17
x y 2 z 1
3
1
2
x yz 0
2 y z 3 0
6x-2y+4z-
18
x 2 y 3 z 1
1
2
0
2x y z 0
4x 2 y z 3 0
2x+4y-5=0
19
x 1 y 2 z 3
3
1
2
x yz 0
2 y z 1 0
6x-2y+4z-
x 2 y 3 z 1
1
2
3
2x y 2 0
x yz 0
2x-4y+6z-
21
x 2 y 3 z 2
3
0
2
2x y 3z 0
2x 3y 3z 3 0
3x+2z-7=0
22
x 2 y 3 z 2
1
1
2
x y 5 0
3x y 2z 21 0
x+y-2z-5=0
23
x y z
2 1 3
x 5 y z 8 0
x 2y 2 0
2x-
15
20
60
5=0
3=0
1=0
11=0
1=0
1=0
3=0
y+3z+1=0
24
25
x 4 y 4 z 15
1
2
5
5x z 0
x 2 y z 2 0
x-
x 1 y 2
z
3
2
1
x y z 2 0
y 2z 0
3x-2y-z-6+0
2y+3z+2=0
Задание 3. 1) Написать параметрические уравнения данной прямой. 2)Найти
точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
3) Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат параллельно данной плоскости, пересекающей данную прямую.
№В
Плоскость
Прямая
1
x-2y+z+2=0
2x y z 0
x y 2z 3 0
2
5x-3y-5=0
x 2y z 0
x 3y 2z 1 0
3
5x-y+3z-1=0
3x y 2z 0
2x y z 4 0
4
4x-5y+1=0
2x 2 y 3z 0
2x y 4z 1 0
5
3x-z-2=0
x 2y z 0
2x 3y 3z 2 0
6
y-z-1=0
2x y z 0
x y 2z 3 0
7
2x-z-1=0
x y 3z 0
2x y z 2 0
8
3x+y-z-2=0
x 3y z 0
2x 4 y z 1 0
9
x+z-3=0
x 4 y 2z 0
2x 3y z 3 0
10
x-y-1=0
x yz 0
3x y z 2 0
61
11
2x+y+2=0
2x y 2z 0
3x y z 3 0
12
3x+z+1=0
2x y 2z 0
3x y z 1 0
13
x-2y-z+6=0
x yz 0
3x 2 y z 6 0
14
x-z-3=0
x 2 y 3z 0
2x y 4z 4 0
15
x+y-2=0
2x 3 y z 0
x 4 y 2 z 6 0
16
3x+y+2z+5=0
3x 2 y z 0
2x 2 y z 4 0
17
x-y-z-3=0
x y 3z 0
2x y 2z 6 0
18
x+z+4=0
3x y z 0
x 2 y z 7 0
19
x+2y-z+1=0
2x y z 0
x y 2z 3 0
20
x+y-2z-3=0
2x 3 y z 0
x 2 y z 4 0
21
y+2z-5=0
x 2 y z 2 0
x y 3z 3 0
22
x-2y-z+1=0
x y z 1 0
2x y 2z 3 0
23
2x+y-z-1=0
x y 2z 1 0
2x 3y z 3 0
24
3x-y-1=0
x y z 2 0
x yz 0
25
3x+2y-z-1=0
2x y z 0
x y z 3 0
62
Задание 4 Найти точку M , симметричную точке M относительно прямой (для вариантов 1 – 13) или плоскости (для вариантов 14 – 25).
№В Условие
1
M 0, 3, 2 ,
x 1 y 1,5 z
.
1
1
1
2
M 2, 1, 1 ,
x 4,5 y 3 z 2
.
1
0,5
1
3
M 1, 1, 1 ,
x 2 y 1,5 z 1
.
1
2
1
4
M 1, 2, 3 ,
x 0,5 y 1,5 z 1,5
.
0
1
1
5
M 1, 0, 1 ,
6
M 2, 1, 0 ,
7
M 2, 3, 0 ,
x 0,5 y 1,5 z 0,5
.
1
0
1
8
M 1, 0, 1 ,
x y 1,5 z 2
.
1
0
1
9
M 0, 2, 1 ,
10
M 3, 3, 1 ,
11
M 3, 3, 3 ,
12
M 1, 2, 0 ,
x 0,5 y 0,7 z 2
.
1
0,2
2
13
M 2, 2, 3 ,
x 1 y 0,5 z 1,5
.
1
0
0
14
M 1, 0, 1 , 4x 6 y 4z 25 0.
15
M 1, 0, 1 , 2x 6 y 2z 11 0.
16
M 0, 2, 1 , 2x 4 y 3 0.
17
M 2, 1, 0 , y z 2 0.
18
M 1, 2, 0 , 4x 5 y z 7 0.
x 3,5 y 1,5 z
.
2
2
0
x 2 y 1,5 z 0,5
.
0
1
1
x 1,5 y z 2
.
2
1
1
x 6 y 3,5 z 0,5
.
5
4
0
x 1 y 1,5 z 3
.
1
0
1
63
19
M 2, 1, 1 , x y 2z 2 0.
20
M 1, 1, 1 , x 4 y 3z 5 0.
21
M 1, 2, 3 , 2x 10 y 10z 1 0.
22
M 0, 3, 2 , 2x 10 y 10z 1 0.
23
M 1, 0, 1 , 2y 4z 1 0.
24
M 3, 3, 1 , 2x 4 y 4z 13 0.
25
M 2, 3, 0 , x 5 y 4 0.
64
ГЛАВА 3. Кривые второго порядка
Рассмотрим линии, определяемые уравнением второй степени относительно текущих координат,
a11x 2 2a12 xy a22 y 2 2a01x 2a02 y a00 0.
Коэффициенты уравнения - действительные числа и, по крайней мере,
одно из чисел a11, a12 или a22 отлично от нуля. Такие линии называются кривыми второго порядка. К невырожденным, не мнимым кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
1. Окружность и эллипс
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
Пусть С(а,b) центр окружности, R – её радиус, тогда уравнение
окружности имеет вид
x a2 x b2 R2
(3.1)
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами
эллипса, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
Если фокусы эллипса расположены на оси координат, симметрично относительно начала координат, то уравнение эллипса имеет вид
x2 y 2
1
a 2 b2
(3.2)
и называется каноническим уравнением, а числа а и b – полуосями эллипса. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается 2с. Расстояние от точки эллипса до фокуса – фокальным радиусом
точки.
Если фокусы эллипса лежат на оси ОХ, то a – большая полуось (a>b), а
65
если на оси ОУ, b – большая полуось. При a=b эллипс вырождается в окружность. Точки пересечения эллипса с осями координат, то есть точки
A1 a, o, A2 a, o, B1 0,b, B2 0, b. , называются вершинами эллипса.
Отношение половины фокусного расстояния к большой полуоси называется эксцентриситетом эллипса (чаще всего обозначается греческое буквой ).Эксцентриситет эллипса удовлетворяет неравенству и 0<<1 и характеризует степень его «вытянутости», при этом эксцентриситет окружности
можно считать равным 0.
Директрисы эллипса – прямые, перпендикулярные к оси, на которой
расположены фокусы эллипса и удовлетворяющие свойству: отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.
Фокальным параметром эллипса называется длина перпендикуляра,
восстановленного в его фокусе до пересечения с эллипсом. Отношение фокального параметра к эксцентриситету равно расстоянию от фокуса эллипса
до ближайшей директрисы.
Ниже на рисунке изображен эллипс
x2 y 2
1.
25 16
В таблице 3.1 приведены основные формулы для определения характеристик эллипса.
Таблица 3.1
a>b (фокусы эл-
a<b (фокусы эл-
липса лежат на оси липса лежат на оси
66
Половина фокусного
расстояния
Координаты фокусов
Эксцентриситет
Фокальные радиусы
ОХ)
ОY)
c a 2 b2 .
c b2 a 2 .
F 1 (-с, 0),
F 1 (0,-с),
F 2 (с, 0)
F 2 (0,с)
с
а
с
b
.
.
r1 a x ,
r1 b x ,
r2 a x
r2 b x
a
Уравнения директрис
x
Фокальный параметр
b2
p
a
Расстояние от фокуса
p
до директрисы
y
b
a2
p
b
b2
c
p
a2
c
2. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль
разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых
фокусами гиперболы, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние
между фокусами.
Если фокусы гиперболы расположены на оси ОХ, симметрично относительно начала координат, то уравнение гиперболы имеет вид
x2 y 2
1 и
a 2 b2
называется каноническим уравнением, а числа а и b – соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Расстояние между фокусами
называется фокусным расстоянием и обозначается 2с. Расстояние от точки
гиперболы до фокуса – фокальным радиусом точки.
Гипербола, фокусы которой лежат на оси OY, симметрично относительно начала координат, а действительная и мнимая оси соответственно
67
равны b и a, называется сопряженной гиперболой и имеет уравнение
x2 y 2
1
a 2 b2
(3.3)
Точки пересечения гиперболы с осью координат, называются вершинами гиперболы.
Отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси
называется эксцентриситетом гиперболы, и также как у эллипса чаще
всего обозначается греческое буквой . Эксцентриситет гиперболы больше 1
Директрисы гиперболы – прямые, перпендикулярные к оси, на которой
расположены фокусы гиперболы и удовлетворяющие свойству: отношение
расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Фокальным параметром гиперболы называется длина перпендикуляра,
восстановленного в её фокусе до пересечения с гиперболой. Отношение фокального параметра к эксцентриситету равно расстоянию от фокуса гиперболы до ближайшей директрисы.
Прямые y b x являются асимптотами гиперболы (и сопряженной
a
гиперболы).
x2 y 2
1
Иже на рисунке изображены гиперболы
16 4
68
В таблице 3.2. приведены основные формулы для определения характеристик гиперболы.
Таблица 3.2
Половина фокусного расстояния
Координаты фокусов
Эксцентриситет
Каноническое распо-
Сопряженная
ложение гиперболы
гипербола:
x2 y 2
1
a 2 b2
x2 y 2
1
a 2 b2
c a 2 b2 .
c a 2 b2 .
F 1 (-с, 0), F 2 (с, 0)
F 1 (0,-с), F 2 (0,с)
с
а
с
b
.
.
Фокальные радиусы r1 a x , r2 x а
Уравнения директрис
Фокальный пара-
x
a
метр
Расстояние от фо-
p
куса до директрисы
y
b2
p
a
r1 b x , r2 x b
b
a2
p
b
b2
c
p
a2
c
3. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы
и обозначается через р (р > 0).
Если прямоугольная система координат выбрана так, что ось Ох проходит через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы, а начало координат находится посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы имеет вид
69
y 2 2 px, .
(3.4)
и называется каноническим уравнением параболы.
Эксцентриситет параболы принято считать равным единице.
2
2
2
Уравнения y 2 px, x 2 py, x 2 py p0 также определяют пара-
болы.
В таблице 3.2. приведены канонические уравнения, координаты фокуса
и уравнения директрис при различном выборе системы координат.
Таблица 3.3
Уравнение пара-
Координаты фо-
Уравнение ди-
болы
куса
ректрисы
y 2 2 px,
p
,0
2
p
x .
2
y 2 2 px,
p
,0
2
x
x 2 2 py
p
0,
2
p
y .
2
x 2 2 py
p
0,
2
y
70
p
.
2
p
.
2
График (p=1)
4. Оптические свойства кривых второго порядка
Теорема 4.1 Луч света, выпущенный из одного из фокусов
эллипса, отражаясь от него проходит через второй его фокус.
Утверждение теоремы 4.1
может быть сформулировано подругому: пусть прямая l касается
эллипса в точке P. Тогда прямая l - это внешняя биссектриса угла F1PF2, где
F1 и F2 - фокусы эллипса.
Теорема 4.2. Луч света, выпущенный из одного из фокусов гиперболы,
отражаясь от нее проходит так, как будто был выпущен из второго фокуса.
Утверждение теоремы 4.2 также может быть сформулировано по-другому: если прямая l касается гиперболы в точке P, то l является биссектрисой
угла F1PF2, где F1 и F2 – фокусы гиперболы.
Теорема 4.3. Луч света, выпущенный из фокуса параболы, отражаясь
от нее проходит параллельно оси параболы.
Утверждение теоремы 4.2 также может быть сформулировано по-другому: пусть прямая l касается параболы в точке P. Проекцию точки P на директрису обозначим через P′. Тогда l является биссектрисой угла FPP′.
5. Уравнение кривых второго порядка в полярной системе координат
Поместим полюс полярной системы координат для эллипса – в левый фокус,
для гиперболы – в правый фокус, для параболы – в фокус. Полярную ось
направим в сторону, противоположную ближайшей директрисе (см. рисунок).
71
Тогда, если точка М(r, φ) принадлежит одной из перечисленных кривых, то
r
, где d – расстояние от этой точки до директрисы, ɛ – эксцентриситет.
d
Так как расстояние от фокуса до соответствующей директрисы равно p (см.
формулы, приведенные в таблицах 3.1 и 3.2) где p – фокальный параметр
кривой второго порядка (для параболы это расстояние, очевидно, равно p),
r
или
то d p r cos . Таким образом получаем,
p r cos
r
p
1 cos
(4.1)
Если в уравнении (4.1) 0<ɛ<1, то это уравнение задает эллипс, если ɛ>1
– правую ветвь гиперболы, если ɛ=1 – параболу.
Отметим, что если полюс поместить в другой фокус (в правый у эллипса и
левый для гиперболы), а направить полярною ось в сторону ближайшей директрисы, то уравнение примет вид
r
p
1 cos
и для гиперболы будет задавать левую ветвь.
72
4. Примеры решения задач
Задача 1.
Составить уравнение окружности, проходящей через точки
М (2, 1), N (3, 4), если ее центр лежит на прямой 2x y 1 0.
Решение. Пусть С(а,b) центр окружности, R – её радиус. Так как
точки M и N лежат на окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению (3.1). Кроме того, координаты центра удовлетворяют уравнению данной
прямой. Получаем систему уравнений:
2 a2 1 b2 R 2
a 2 b 2 4a 2b 5 R 2
2 2
2
2
2
2
3 a 4 b R a b 6a 8b 25 R .
2a b 1 0
b 2a 1
Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем:
a 2 b 2 4a 2b 5 R 2
R 2 5
a 1 .
2a 6b 20 0
2a b 1
b 3
2
2
Ответ: x y 2x 6 y 5 0 .
Задача 2.
Написать уравнение окружности, проходящей через точку
А(1,2) и касающейся двух пересекающихся прямых x 2 y 2 0 и
2x y 2 0 .
Решение. Пусть точка С(а,b) - центр окружности, R – ее радиус. Так
как окружность касается прямых, то ее центр равноудален от этих прямых и находится от них на расстоянии равном радиусу окружности. Воспользовавшись формулой (1.11) главы 2 для вычисления расстояния от
точки до прямой, получаем:
R
a 2b 2
1 2
2
2
2a b 2
2 2 12
Так как окружность проходит через точку А(1,2), то 1 a 2 b R 2 .
2
73
2
Таким образом, для определения координат центра и радиуса окружности получаем систему уравнений:
a 4 3b
2
2
a 2b 2 2a b 2
b 3a
2
a 2b 22
2 a 2b 2
2
.
R
R
5
5
a 2b 22
a 2b 22
2
2
2
2
1
a
2
b
1 a 2 b
5
5
Решая систему, получаем два возможных ответа: либо a 7 , b 21, R 2 5
5
5
, либо a 3 , b 9 , R 2 1 . Отметим, что случай, когда a 4 3b не имеет реше5
5
5
ний.
2
2
2
2
Ответ. x 7 y 21 5 или x 3 y 9 1
5
5
5
5
5
Задача 3. Расстояние от одного из фокусов эллипса до концов его большей оси соответственно равны 7 и 1. Составить каноническое уравнение этого
эллипса.
Решение. Каноническое уравнение эллипса зависит от выбора системы
координат.
Если расположить фокусы на оси ОХ, симметрично относительно
начала координат, то в уравнении (3.2) a – большая полуось. Исходя из условия задачи, получаем a с 7, a c 1 , следовательно,
a 4, c 3, b2 a2 c 2 7.
Если расположить фокусы на оси ОY, симметрично относительно
начала координат, то в уравнении (3.2) b – большая полуось. Аналогично
2
2
2
предыдущему случаю, получаем, b 4, c 3, a b c 7.
x2 y 2
x2 y 2
Ответ: 1 или 1 .
16 7
7 16
Задача 4. Доказать, что расстояние от фокуса эллипса до односторон-
74
ней директрисы эллипса равно p , где p – параметр эллипса, ɛ - эксцентриси
тет.
Решение. Для удобства расположим фокусы эллипса на оси ОХ симметрично относительно начала координат. Найдем расстояние d от правого
фокуса до ближайшей директрисы. Воспользовавшись формулами, приведенными в таблице 3.1, получаем:
2
a c a b2
a
p
d c
.
a
Что и требовалось доказать.
Задача 5. Эксцентриситет эллипса 2 , фокальный радиус точки М
3
эллипса равен 15. Вычислить расстояние от точки М до соответствующей
этому фокусу директрисы.
Решение. Из определения директрисы эллипса следует, то r , где r –
d
фокальный радиус точки, принадлежащей эллипсу, d – расстояние от этой
точки до соответствующей этому фокусу директрисы. Поэтому d r 45 .
2
Ответ 22,5.
Задача 6. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на
оси ординат, симметрично относительно начала координат, если уравнения
асимптот y 3 x и расстояние между директрисами равно 7,2.
4
Решение. Воспользуемся формулами, приведенными в таблице 3.2. Получаем систему уравнений
b 3
3
a 4
b 4 a
a 8
b 2 36
5
c a
b 6
2
5
c
4
c 10
2
2
c a b
9a 2 4 18
16 5a 5
Ответ.
x2 y 2
1 .
64 36
75
Задача 7. Составить уравнение гиперболы фокусы которого находятся
x2 y 2
в вершинах, а вершины – в фокусах эллипса 1 .
49 16
Решение. Найдем расстояние от начала координат до фокусов данного
эллипса (см. таблицу формул 3.1) с a2 b2 4916 33 .
Согласно условию задачи, для гиперболы действительная полуось
a 33 , а половина фокусного расстояния c= 7. Определим длину мнимой
полуоси (см. таблицу формул 3.2) b c2 a2 49 33 16 .
x2 y 2
Ответ: 1 .
33 16
Задача 8. Написать уравнение параболы имеющей вершину в начале ко2
2
ординат и имеющей фокус в центре окружности x 4x y 0 .
Решение: Определим координаты центра окружности, для этого приведем уравнение окружности к виду (3.1):
x
2
4x y 2 0 x 22 y 2 4
Следовательно, фокус параболы находится в точке С(-2,0) и параметр
параболы равен 4. Используя таблицу 3.3, получаем уравнение параболы:
y 2 8x .
2
Ответ: y 8x .
x2 y2
1 под углом α (0 ≤ α ≤
Задача 9. Из левого фокуса гиперболы
5 4
π/2 ) к оси Ох направлен луч света. Известно, что tg α=2. Дойдя до гиперболы,
луч от неё отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отражённый луч.
2
2
2
Решение. Найдем координаты левого фокуса: с a b 9, F1 (3,0) .
Уравнение прямой, по которой направлен луч света: y 2( x 3) . Найдем абсциссы точек пересечения полученной прямой с гиперболой:
76
x 5
x 2 4( x 3) 2
.
1 2x 2 15x 25 0
5
4
x 2,5
Так как луч света направлен под острым углом к оси ОХ, то он отразится
от точки с абсциссой -2,5, то есть от точки (-2,5; 1). Из оптического свойства
гиперболы следует (теорема 4.2), что отраженный луч будет лежать на прямой,
проходящей через правый фокус, то есть через точку (3,0). Получаем, воспользовавшись формулой (1.5) главы 2:
x 2,5 y 1
2x 11y 6 0
3 2,5 1
Ответ: 2x 11y 6 0 .
Проверочная работа
1. Найти координаты центра и радиус окружности
x 2 y 2 2x 3 y 2 0 .
2
2
2
2
2. Для эллипсов 4x 25y 100 и 25x 4 y 100 найти полуоси, фо-
кусы, эксцентриситет, уравнения директрис.
2
2
2
2
3. Для гипербол 4x 25y 100 и 4x 25y 100 найти полуоси, фо-
кусы, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот.
4. Определить параметр, написать координаты фокуса и уравнение ди2
2
2
ректрисы парабол, заданных уравнениями y 5x , x 6 y , y 0,25x 1 ,
x 4y2 5 .
5. Какая кривая второго порядка в полярной системе координат задается уравнением r
5
.
2 3cos
6. Найти эксцентриситет кривой, имеющей в полярной системе координат уравнение r
2
.
5 3 cos
Чему равно расстояние от фокуса до соответствующей директрисы кривой
второго порядка, имеющей в полярной системе координат уравнение
r
4
?
4 3cos
77
