МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» (СГАУ)
ТЕОРИЯ ГРАФОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Электронный учебно-методический комплекс
по дисциплине в LMS Moodle
Работа выполнена по мероприятию блока 1 «Совершенствование
образовательной деятельности» Программы развития СГАУ
на 2009 – 2018 годы по проекту «Разработка контента для системы электронного и дистанционного
обучения по основным образовательным программам факультета информатики»
Соглашение № 1/34 от 3.06.2013 г.
САМАРА
2013
УДК 510
Т 338
Автор-составитель: Додонова Наталья Леонидовна
Теория графов и ее приложения [Электронный ресурс] : электрон. учеб.-метод. комплекс по
дисциплине в LMS Moodle / Мин-во образования и науки РФ, Самар. гос. аэрокосм. ун-т им. С. П. Королева (нац.
исслед. ун-т); авт.-сост. Н.Л. Додонова. - Электрон. текстовые и граф. дан. - Самара, 2013. – 1 эл. опт. диск (CD-ROM).
В состав учебно-методического комплекса входят:
1.Лекционный материал
2.Задачи для практических занятий
3.Индивидуальные домашние задания
4.Варианты контрольных работ
5.Задания для самостоятельной работы
6.Вопросы к экзамену
7.Примерные задачи к экзамену
8.Тесты для промежуточного и итогового контроля знаний
9.Рабочая программа.
УМКД «Теория графов и ее приложения» предназначен для студентов факультета информатики, обучающихся
по специальности 090303.65 «Информационная безопасность автоматизированных систем» в 5 семестре.
УМКД разработан на кафедре прикладной математики.
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2013
« А А
А
( ац
а ь
Ы АЭ
.а а
а . .
ва ь
Фа
я
«И
И
ь е и
«П
АФ
ц
я
я
в
Ч
ва
р а и и
)» (
»
ц
И
И
И
в
2013
А )
»
ь
в
. .
I.
§ 1.
§ 2. Э
§ 3.
§ 4.
§ 5.
§ 6.
II.
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
III.
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
IV.
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§ 4.
§ 5.
§ 6.
§ 7.
§ 8.
§ 9.
я
,
я
,
,
2
I.
я
.
ё
—
ё
.
,
я
1736
,
,
,
Э
. 1.
. .—
и
.
,
(
.
Э
:
3
,
,
.
,
1736
,
,
,
.
,
,
К и
,
.
. Э
.
,
1. З
я
),
.
. .
,
,
,
,
(
.
.
,
ё
,
.
,
.
. 1). Э
,
I.
2. З
.
и
(
.
.
,
.2). Э
. 2.
,
,
–
,
.
,
,
),
.
,
,
ё
.
.
,
,
.
—
.
:
.
,
.
,
4
.
(
1930
,
,
,
I.
I.
§ 1.
V —
,
.
V
—
( 2)
V: V x, y x V , y V , x y.
(
)G
, –
, E V ( 2) .
(2)
(
)
.
,
( , )–
( , ).
,
,
(V, ),
,
V–
–
.1.1
~
V ( 2)
V–
—
~
V: V ( 2) x, y x V , y V , x y.
(
)G
~
, –
, E V ( 2) .
. 1.2
V: V ( 2)
V ( 2) –
x, y x V , y V .
5
(V, ),
I.
,
x, x ,
(
) G
–
(V,
,
),
V –
. 1.3
E V ( 2) .
V[2] —
V: V [ 2] x1 ,
(
(
), –
2
x1 V ,
2
V , x1
)G
(
2
.
), E V
[ 2]
(V, ),
V–
.
. 1.4
.
«
,
G (V,
.
)
,
»(
.
,
, =.
,
(
,
6
-
.
),
.
)
I.
§ 2.
G (V, ).
1
2
3
4
5
6
. 2.1
V , E ,
G(V, E)
G (V, )
V V , E E .
1
4
5
. 2.2
V , E
G V , E
G(V, E)
E x, y E x, y V .
G V , E
x, y V , x, y E
1
2
4
5
. 2.3
,
G(V,
),
,
x, y E .
6
G(V, E)
V
,
G(V, ).
7
,
I.
1
2
4
5
6
G V , E
. 2.4
G(V, E)
,
,
(
)
1
2
3
4
5
6
. 2.5
V V .
.
G(V, E)
§ 3.
x, y E, x, y
G(V, )
.
,
,
,
,
.
,
.
,
.
.
,
,
1
2
3
4
5
6
. 3.1
8
,
.
.
I.
3.1:
1 2
;
(4,2) (2,6) –
5–
;
4 5–
(4,2) (5,6) –
3–
;
;
.
,
,
,
.
,
;
( ).
d(x).
3.1: d(1)=2, d(2)=3, d(3)=0, d(4)=2, d(5)=1, d(6)=2.
,
k.
k,
r(G).
G
r(G)=1
r(G)=2
r(G)=4
. 3.2
(
).
d ( x ) 2q ,
.
V–
.
.
, q=|E| -
xV
.
,
.
.
G(V, ).
,
, . . ( , ) .
.
. 3.3,
1.
,
2,
2
,
,
d (x) .
( , )
,
d (x) .
,
: d ( x) d ( x) d ( x) .
9
,
1
.
,
I.
1
2
3
4
5
6
. 3.3
G(V, E)
3.3
d (1) =1, d (1) =2, d(1)=3;
d (2) =1, d (2) =3, d(2)=4;
d (3) =2, d (3) =0, d(1)=2;
d (4) =2, d (4) =0, d(1)=2;
d (5) =1, d (5) =2, d(1)=3;
d (6) =1, d (6) =1, d(1)=2.
.
G(V, ).
,
,
.
,
–
1,
hij 1,
0,
,
(i, j ) E
–
,
,
j
:
i,
j
i,
j
10
i
.
,
j
j
–
(i, j ) E
,
i
i
,
M (G) (mij )
1,
mij
0,
H (G) (hij )
1,
hij
0,
–
.
I.
1
2
3
1
2
3
4
5
6
4
5
6
. 3.3
G,
D
,
3.3.
0
1
0
M (G )
1
0
0
1 0 1 0 0
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
,
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
,
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0
0
0
M (D)
1
1
0
1
2
3
H (G )
4
5
6
(1,2) (1,4) (2,4) (2,6) (5,6)
1
2
3
H ( D)
4
5
6
(1,2) (2,6) (3,2) (3,5) (4,1) (4,2) (5,1) (6,5)
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
11
0
0
0
0
0
1
I.
§ 4.
G (V , E )
E x, y x, y V , x, y E.
,
.
G
V V ,
G(V , E ) ,
,
G
.4.1
(
)
H (V , E )
H G1 G2 ,
V V1 V2
.
G1
E E1 E2 .
G1 V1 , E1
V1 V2 ,
G2 V2 , E2 ,
G1 G2
G2
.4.2
(
)
H (V , E )
H G1 G2 ,
V V1 V2
G1
G1 V1 , E1
G2 V2 , E2 ,
E E1 E2 ( x, y) x V1 , y V2 .
,
.
G1+G2
G2
.4.3
12
I.
G2 V2 , E2 ,
G1 V1 , E1
H (V , E )
H G1 G2 ,
V V1 V2 ,
:
x1 , x2 y1 , y2
x1 y1 x2 , y2 E2 ,
x2 y2 x1 , y1 E1 .
,
(1, a)
(1, b)
(1, c)
(2, a)
(2, b)
(2, c)
1
a
b
c
G2
2
H G1 G2
G1
H G1 G2
. 4.1
.
,
.
v
G-v
G
.4.4
–
.
.
v
G
G+v
.4.5
13
I.
.
G-
G
.4.6
,
.
G
G+
.4.7
H G x y
G.
,
.
G
.
.
G
v
.4.8
( , )
.
v
.4.9
.
–
14
v
,
I.
§ 5.
,
,
,
1, 2, ..., .
V. Э
V
( 2)
V
( 2)
,
x, y x V , y V , x y.
( 1)
2
2
.
,
2
еV|= ,
.
,
(
,
,
)
(
).
.
3
2
1
4
6
:
3
1
5
4
6
5
. 5.1.
G1 V1 , E1
G2 V2 , E2
: V1 V2 ,
x, y E1 ( x), ( y) E2 .
5.2
,
,
1
2
3
2
3
2
, . .
,
1
3
2
.
3
1
3
,
1
2
1
3
,
, ,
1
1
2
8
.
2
1
3
2
3
. 5.2.
– , ,
. 5.3( )
,
. 5.2
4
,
.
,
5.3( ) –
15
.
?
I.
. 5.3
,
.
§ 6.
–
–
–
–
,
,
:
,
;
,
,
.
,
G(V , E )
V1 , V2 , V1 V2 V , V1 V2 ,
V1
.
;
V2 .
V1
V2
. 6.1
V1
,
, . .
,
, n | V1 |, m | V2 | .
. 6.2( )
6.2.( ).
16
V2 ,
.
I.
. 6.2
,
,
, K1, , m | V2 | .
. 6.3
K1,5 (
)
,
.
2,
.
K1,
Wn
.
=
5
1,5
. 6.4
W5 (
)
–
,
.
6.5.
. 6.5
(
(
. 6.6).
):
,
17
,
,
,
I.
.6.6
18
,
II.
,
,
II.
,
§ 1.
v0 , e1 , v1 , e2 , ... , en , vn ,
.
.
,
,
,
,
,
,
.
.
,
.
.
.
v0 , e1 , v1 , e2 , ... vi1 , ei , vi ,...,en , vn ,
,
,
,
1
1
2
2
i
vi –
–
3
vi-1
.
.
1
1
2
6
5
5
3
8
6
1
1
1
1
12
12
12
12
6
5
7
4
.1.1
1 12
1 12
1 12
8
4
3
7
3
6
4
4
2
5
.1.2
.1.1
23 55 41 12
23 55 41 34
23 55 86 –
.1.2
23 55 41 12
23 55 41 34
23 55 86 –
66 85 –
66
–
75 86
66
–
75 86
–
,
–
,
,
;
,
;
;
,
,
u
,
;
v,
.
19
;
;
.
u, v .
,
,
II.
,
(
).
,
,
.
§ 2.
u
.
u, v –
d u, v min u, v .
u, v
u, v ,
,
v
,
d(u, v).
,
.
Э
e(v)
v
G(V,
v
e(v) max d v, x .
)
G:
xV
R(G)
D(G) –
.
,
,
.
,
.
,
.
2
1
3
6
5
7
4
.2.1
,
2.1.
№
1
2
3
4
5
6
7
,
1
2
3
4
5
6
7
0
1
1
2
2
1
2
1
0
2
2
1
2
3
1
2
0
1
2
2
1
2
2
1
0
1
3
2
2
1
2
1
0
3
3
1
2
2
3
3
0
1
2
3
1
2
3
1
0
20
(v)
2
3
2
2
3
3
3
,
II.
,
R(G)=2;
§ 3.
,
,
.
(
,
)
:
,
(
. .
,
,
),
;
)
(
,
,
-
,
.
. .
,
,
.
(
д1,3,4ж
D(G)=3;
).
(vi ) —
,
(v j ) —
vi ,
,
,
,
(vi ) (v j )
vj .
2
1
5
3
4
. 3.1
,
.
vi vj, е (vi ) (v j ) | —
,
. 3.1,
(3) 2, 4, (1) 2, 5, (3) (1) 2, (3) (1) 1
i (vi ) ,
—
(v j ) ,
aij –
aik akj
| (vi ) (v j ) | aik akj .
n
k 1
,
,
2
,
i-
j21
.
n
k 1
j-
,
II.
,
,
(
.
vi
l
vj
ij
,
1
2
3
4
5
,
2
2
,
3
,
)
2
...
.
3
l
,
.
. 3.1.
1 2 3 4 5
0 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 1 0 0
0
1
0
0
1
2,
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
1 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
,
35- –
2
З
.
«
2
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 2
,
15,
422
1
0
2
0
0
12 (
.
.
,
»
.
,
2
a
b
d
c
e
1
3
f
g
h
4
. 3.1
22
,
.
2.
,
II.
,
,
1
2
3
4
5
m
. 3.1,
1 2 3 4
.
. 3.2),
5
0 0 0
f
a 0 0
0
0 c 0
h
0 0 0
0
0 e
0
d
(
0
b
.
0
g
0
l
m.
l
,
(
0
bd
Am2 ca
gd
0
,
,
(
af
0 be
0
cb hg
0 0
0
0 ge
0
0
ec 0 df eh
0
).
,
,
,
.
,
,
0
0
0
.3.2)
fg
,
1)
.
l
l
m)
(
l;
2)
),
.
—1 (
§ 4.
.
,
V ,
,
.
s
s
t,
,
V .
.
s
.
23
–
,
II.
,
.
,
.
Э
s, v (s) ,
,
2
v ( s) ,
,
,
,
s.
,
.
s
,
v i (s)
i
,
(
)
,
,
,
v ( s)
3
l(v)=i.
,
t
,
,
.
.
v5
v1
v8
v2
v6
v3
v4
v9
v7
v11
.4.1
v5
. 4.1.
v1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
l(v)
v2
1
v3
v4
,
v5
1
v6
v7
1
v8
l(vi)
v9
1
,
v7
.
v10
v11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
4
5
1
0
1
3
24
6
3
2
1
1
5
4
,
II.
,
v5
5l(v1)=1.
i-
, (i-1)i.
2v5
3v9: l(v8)=3, l(v6)=3.
456v7
.
1-
,
,
–
–
.
,
,
,
,
v5 v7
, . .
6
v7.
,
v3,
Э
,
v2
v5
.
5.
,
l(v3)=4, l(v7)=6, l(v10)=5.
.
.
v6.
v4
(l(v4)=5, l(v6)=3)
),
.
v4
.
v9: l(v2)= l(v9)=2.
v2
v6 v8: l(v3)=l(v11)=4.
v11: l(v4)=l(v10)=5.
v10: l(v7)=6.
.
.
(
.
,
v3
v4
,
v9
v1
,
v1,
,
,
v6 .
,
v1.
,
v5 v1 v9 v6 v3 v4 v7 .
v5
v7
.
§ 5.
.
,
,
i-
,
j-
.
(
25
)
.
,
,
II.
,
,
.
Э
.
–
(
:
.
–
(
)
.
)
v*
.
:
:
).
,
.
.
v1
. 4.2.
3
3
v4
4
4
5
v5
5
6
v6
7
,
8
v2
2
,
(v*,
– l*(v),
l (v*) d (v*, vi ) .
v*
,
(
v3
.
,
.
,
,
,
l (vi ) minl * (vi ); l (v*) d (v*, vi ) ,
; l*(v) –
; v* –
; d(v*, vi) –
vi
,
d(v*, vi)
l(v) –
vi),
.
3
7
4
6
v1
.
v*=v1 (
1-
.4.2
v7
.
v1
l(v1)=0,
26
0,
v1
–
).
,
II.
1
2
3
4
5
6
7
,
v2
2
v1
0
v3
5
5
5
v4
11
8
8
v5
13
11
2-
v6
3
3
v7
6
6
6
6
,
v*
v1
v2
v6
v3
v7
v4
v5
l(v*)
0
2
3
5
6
8
11
v*=v1,
,
v2, v3, v6 v7.
l(v2)=min{, 0+2}=2;
l(v3)=min{, 0+5}=5;
l(v6)=min{, 0+3}=3; l(v7)=min{, 0+6}=6.
,
l(v4)=min{, 0+}==l(v5).
l(v2)=2,
v2
v*=v2.
3,
v*=v2,
,
v3 .
l(v3)=minд5, 2+4ж=5
.
:
l(v4)=min{, 0+}==l(v5), l(v6)=min{3, 0+}=3, l(v7)=min{6, 0+}=6.
l(v6)=3,
v6
v*=v6.
4,
v*=v6,
,
v4 .
l(v4)=min{, 3+8}=11.
.
l(v3)=5,
v3
v*=v3.
5,
v*=v3,
,
v4 v7 .
l(v4)=min{11, 5+3}=8, l(v7)=min{6, 5+6}=6.
.
l(v7)=6,
v7
v*=v7.
6,
v*=v7,
,
v3, v6 v5,
v3, v6
,
.
l(v5)=min{, 6+7}=13.
l(v4)=8, v*=v4.
7,
v5
,
.
v5
v*=v4,
l(v5)=min{13, 8+3}=11.
27
,
II.
,
Э
.
l(v4)=8, v*=v4.
,
.
v1
vn.
vn
,
l(vn-1) = l(vn) – d(vn-1, vn).
v1 v5 .
v5
v4
v7 ,
, l(v5)=11, l(v4)=8,
l(v7)=6,
d(v4, v5)=3, d(v7, v5)=7.
l(v4) = l(v5) – d(v4, v5),
– v4.
( .4.3): v1 v3 v4 v5.
0
5
5
v1
8
3
v3
v4
3
6
6
8
v7
3
.
7
v6
6
.4.3
,
28
v5
v7
11
III.
III.
§ 1.
я
,
я
,
(
,
,
.
G
G –
.
).
G
k(G)=1.
,
,
k(G).
k(G)>1,
,
.
G1
G2
G3
. 1.1
.1.1
.
,
,
G2 –
.
1.
.
1, k:=1.
2.
3.
4.
.
.
-
.
,
, k:= k+1
,
.
,
G1 –
G3 –
k
,
2.
,
GV , E
,
Т
.
.
,q
.
k
.
GV , E , | V | p, | E | q, k (G) k
.
pk q
p k p k 1 .
29
2
Д1Ж.
III.
§ 2.
я
(
,
v1
(
)
v2
)
v1
v2
,
v2 v1.
G',
v1 v2,
),
G,
v2
v1.
.
G
v1
.
v1
(
)
v2
,
v2
G
(
,
(
).
,
.
,
R(v) —
(v)
v1 v2 .
,
v2,
v1
,
R(v) v 1 (v) 2 (v) ... p (v) .
,
R(v)
,
,
.
.
,
Q(v) —
-n
(v) —
,
R(v) —
,
,
, = 1, 2, …
v
Q(v) v 1 (v) 2 (v) ... p (v)
,
,
Q(v)
Q(v)
.
v.
v
,
, = 1, 2, …
R(v)
v.
v1.
v1
,
,
w,
,
,
30
,
v,
Q(w) —
R(v)Q(w)
v w.
III.
,
v=w
i
.
(
,
v)
,
G(V, ):
(vi)
1.
vi V .
2.
3.
4.
,
R(v)Q(v)
v
R(v)
VS = R(v)Q(v).
G
,
V \ VS
VS
-
-
v1
v2
v6
v5
.
. 2.1.
v4
(v1)={v2, v3, v5},
(v2)={v3},
1
(v3)={v4},
1
(v4)={v3},
1
(v5)={v4, v6},
1
(v6)={v1, v2},
(vi)
(vi)
2
(v1)={v3, v4, v6},
2
(v2)={v4},
2
(v3)={v3},
2
(v4)={v4},
2
(v5)={v1, v2, v3},
2
(v6)={v2, v3, v5},
-1
-2
,
,
v3
.2.1
(v1)={v6},
-1
(v2)={v1, v6},
-1
(v3)={v1, v2, v4ж,
-1
(v4)={v3, v5},
-1
(v5)={v1},
-1
(v6)={v5},
.
V \ VS
G(V, ),
1
Q(v).
-
.1.
1
(vi)
vi V .
R(v1)=V
3
(v2)={v3},
3
(v3)={v4},
3
(v4)={v3},
R(v5)=V
3
(v6)={v3, v4},
R(v2)={v2, v3, v4},
R(v3)={v3, v4},
R(v4)={v3, v4},
R(v6)=V.
-3
(v1)={v5},
(v1)={v1},
Q(v1)={v1, v5, v6},
-2
-3
(v2)={v5, v6ж,
(v2)={v1, v5}, Q(v2)={v1, v2, v5, v6},
-2
(v3)={v1, v5, v6}, Q(v3)=V,
-2
-3
(v4)={v1, v2, v4ж,
(v4)={v1, v3, v6}, Q(v4)=V,
-2
-3
(v5)={v6},
(v5)={v5},
Q(v5)={v1, v5, v6},
-2
-3
(v6)={v1},
(v6)={v6},
Q(v6)={v1, v5, v6}.
R(v), Q(v)
R(v)Q(v)
v1:
R(v1)=V, Q(v1)={v1, v5, v6}, R(v)Q(v)={v1, v5, v6}.
VS1 = R(v)Q(v)={v1, v5, v6} –
.
31
III.
V \ VS1 ,
V \ VS1 v2 , v3 , v4 (
,
.
.2.2)
v2
v3
v4
.2.2
(vi)
2
(v2)={v4},
2
(v3)={v3},
2
(v4)={v4},
1
(v2)={v3},
(v3)={v4},
1
(v4)={v3},
1
-1
(v2)=,
(v3)={v2, v4},
-1
(v4)={v3},
-1
-
Q(v2)={v2},
-2
(v3)={v3},
-2
(v4)={v2, v4},
Q(v3)={v2, v3, v4},
Q(v4)={v2, v3, v4}.
R(v), Q(v)
,
vi V .
(vi)
R(v3)={v2, v3, v4},
R(v3)={v3, v4},
R(v4)={v3, v4},
R(v)Q(v)
v3:
R(v3)={v3, v4}, Q(v3)={v2, v3, v4}, R(v)Q(v)={v3, v4}.
VS2 = R(v)Q(v)={v3, v4} –
.
V \ VS1 \ VS2 ,
V \ VS1 \ VS2 v2 . Э
G(V, ).
,
,
.3.1
: VS1={v1, v5, v6}, VS2={v3, v4}, VS3={v2}.
,
§ 3.
(
G(V, )
1,
rij
0,
R
v j R(vi ) ,
еGе,
vj
vj
vi
vi
,
1.
R(vi)
R rij
)
rij 1 ,
rij 0 .
32
.
III.
,
1
0
0
R
0
1
1
. 2.1,
1 1 1 1 1
1 1 1 0 0
0 1 1 0 0
.
0 1 1 0 0
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
еGе,
,
1
1
1
Q
1
1
1
Q qij
1,
qij
0,
Q,
0 0 0 1 1
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
.
1 1 1 1 1
0 0 0 1 1
0 0 0 1 1
,
R Q rij qij
R Q,
1
0
0
RQ
0
1
1
vi
vj
vi
vj
R,
. 4.1,
Q RT .
.
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1
,
–
1.
0 0 0
1 0 0
0 1 1
0 1 1
0 0 0
0 0 0
,
:
33
:
1 1
0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
R Q
III.
v1 v2
v3
v4
v5
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
v1 1
v2 0
v3 0
v4 0
v5 1
v6 1
v6
,
{v1, v5, v6}, {v2}, {v3, v4}.
v1 v5
v6
v2
v3
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1 v1 1
0 v5 1
0 v6 1
0 v2 0
1 v3 0
1 v4 0
v4
0
0
0.
0
1
1
:
R
G(V, E), |V|=n, |E|=q.
,
aij maxaik a kj
,
1.
2
ij
,
n
k 1
I –
2.
3
,
4
, 5
3,4, 5
. .
. .
,
:
R I A A 2 ... A q ,
«+» -
).
,
(vi, vk)
(vi, vj).
(vk, vj)
,
(
.
5.1.
.3.1.
G
G
,
34
.
,
v
Gt,
,
III.
(v, w).
G,
w,
,
G,
,
G.
Gt
,
R
.
.
§ 4.
G0 —
,
,
v1, v2, …, vn.
G0
Gi 1
Gi
G –
Gi
Gi-1
vi
4.1.
1
Gi, i 1, 2, ... , n ,
G0.
1
vi
2
2
.4.1
Gi-1
"
vi
"
(
( , ),
( , vi )
(vj, ),
,
)
x1 , y1 , x1 , y 2 , x2 , y1 , x2 , y 2 .
.
,
vi
Gi.
G,
4.2.
R.
v1
v1 0
A= v 2 0
v3 0
v4 0
v2
v3
1
0
0
0
0
0
0
1
v4
0
1 ,
0
0
v1
v1 1
R= v 2 0
v3 0
v4 0
35
v2
1
1
0
0
v3
v4
1 1
1 1
1 0
1 1
III.
v1
v2
v4
v3
.4.2
*:
0
0
0
0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 1 0 0
(G1 )
,
,
1 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 1 0 0
(G 2 )
1 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 1 0 0
(G3 )
. 4.3.
1 1 1
0 1 1
0 0 0
0 1 0
(G 4 )
v1
v2
v1
v2
v1
v2
v1
v2
v4
v3
v4
v3
v4
v3
v4
v3
G1
G2
G3
G4
.4.3
G4
,
. 4.2.
G
,
A*(G)= (G4)
v1
v1 0
R=A*(G)+I= v2 0
v3 0
v4 0
§ 5.
v2
v3
1
1
0
1
0
0
0
1
я
v4
v1
1 v1 1
1 + v2 0
0 v3 0
0 v 4 0
я
v3
0
0
1
0
0
1
0
0
v4
v1
v2
0 v1 1
0 = v2 0
0 v3 0
1 v 4 0
1
1
0
0
v3
v4
1 1
1 1 .
1 0
1 1
я
Э
.
v2
.
.
,
,
ё
,
,
,
36
,
III.
,
.
:
–
(
)
.
–
χ(G)
G
λ(G)
,
.
G
.
,
v
),
v–
G
G–v
.
G–v
,
δ(G) –
.
,
,
.
G
.
G,
,
G,
.
,
χ(G)≥k,
,
- k-
,
,
,
G—S
,
χ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G).
,
.
,
,
,
,
k-
G
,
p, q, r,
χ(G) = p, λ(G) = q, δ(G) = r.
G,
,
,
G.
.
,
G
.
(
.
,
.
.
,
,
λ(G)≤δ(G),
.
,
.
λ(G)≥k.
.
,
.
,
,
,
,
.
p q r,
,
,
.
S
b
b
37
III.
.
S( , b).
( , b)-
,
1927
,
b
G
,
,
b,
.
-
,
( , b)-
( , b).
,
.
,
.
,
.
,
.
,
b
G,
( , b):
min S (a, b) max P(a, b) .
38
-
-
IV.
IV.
§ 1.
,
,
О
.
,
.
.
и .
(
).
,
G–
1)
2)
;
3)
4)
5)
G–
G–
G –
6)
G –
7)
.
;
:
G
G
,
G–
,
p=q+1;
p=q+1;
,
G+
;
=3,
,
,
;
G+
, p=q+1,
G+
,
.
.
,
§ 2.
–
,
G
G.
G.
–
G.
,
;
.
.
–
G,
.
.
,
G –
.
.
,
(
G.
,
39
,
)
IV.
G.
.
. 2.1
.
.
,
11
12
6
9
12
.2.1
.
.
,
–
,
.
§ 3.
–
.
(
.
3
1
2
.
1
3
2
3-
3.1
.
,
1
!
,
.
).
.
,
.
,
.
1
3
2
3
.3.1
.
,
40
.
43.2.
(
).
IV.
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
3
4
3
4
.3.2
.
,
-2
.
.
,
–
,
.
1.
2.
–
3.
.
.
,
.
,
1
,
.
–
.2.
–
.
41
IV.
–
–
1.
,
2.
–
,
.
.
,
–
.
(
–
.
.
–
,
.
,
.
,
,
)
k-
.
.
.
,
,
,
.
.
,
–
.
,
,
,
.
.
,
.
,
,
, .
7
1
2
4
5
8
3
,
,
,…
.3.3
6
,
,
.3.3
(2, 4, 1, 2, 4, 4)
.
42
.
(2, 4, 1, 2, 4, 4).
.
–
IV.
0
1
2
3
4
5
6
7
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}
{1, 2, 4, 6, 7, 8}
{1, 2, 4, 7, 8}
{2, 4, 7, 8}
{4, 7, 8}
{4, 8}
(2, 4, 1, 2, 4, 4)
(4, 1, 2, 4, 4)
(1, 2, 4, 4)
(2, 4, 4)
(4, 4)
(4)
,
§ 4.
,
я
.
,
(3, 2)
(5, 4)
(6, 1)
(1, 2)
(2, 4)
(7, 4)
(4, 8)
. 3.3.
G
.
.
G
G
.
G,
G1
G3
.
,
4.1.
,
,
G2
G5
G4
. 4.1
,
.5
G.
.
,
,
.
.
.
G
43
,
IV.
G
(
.
4.2.)
.
.4.1,
G,
1
.
2
3
4
5
G
.4.2
G
G
21
,
21.
.
.
, . .
,
(
.
q
,
1.
2.
.
–
–
).
.
,
.
.
,
.
.
.
G,
,
.
. 4.3.
44
,
IV.
5
1
1
4
2
6
4
3
3
3
1
2
4
7
5
6
. 4.3
.
№
0
1
2
я
{(1, 4)}
{(1, 4), (4, 5)}
(1,5)
, . .
3
{(1, 4), (4, 5)}
4
{(1, 4), (4, 5), (3,6)}
(2,6)
{(1, 4), (4, 5), (3,6), (2,3)}
,
6
{(1, 4), (4, 5), (3,6), (2,3)}
(2,6)
, . .
7
{(1, 4), (4, 5), (3,6), (2,3), (1,2)}
5
(
1
.4.4)
5
2
4
1
3
1
4
2
5
6
. 4.4
15.
45
3
IV.
.
,
q
–
–
.
1.
.
2.
.
,
.
,
–
.
V,
).
(
.
.
. 4.3.
G,
.
№
1
2
3
4
5
6
{1}
{1,4}
{1, 4, 5}
{1, 4, 5, 2}
{1, 4, 5, 2, 6}
{1, 4, 5, 2, 6, 3}
(1, 4)
(1, 4), (4, 5)
(1, 4), (4, 5), (1, 2)
(1, 4), (4, 5), (1, 2), (2, 6)
(1, 4), (4, 5), (1, 2), (2, 6), (6, 3)
(
5
1
.4.5)
4
15.
3
2
1
3
1
4
2
5
6
. 4.5
,
,
.
.
46
IV.
§ 5.
я
.
:
1)
,
0,
;
2)
3)
.
1;
(
.5.1).
.5.1
:
.
1.
2.
.
,
.
.
3.
4.
.
5.
,
,
(
,
,
).
6.
,
.
.«
»
.
.
(
.
)
.
0.
.
47
.
IV.
.«
,
»
.
.
,
.
,
,
–
.
.
§ 6.
я
я
.
.
,
,
:
,
1.
.
2.
,
,
,
.
.
.
,
З
.
.
(
.
.
,
.
,
,
.
,
,
,
,
,
(
48
)
.6.1).
,
,
.
.
.
,
,
,
IV.
(1)
(2)
(3)
. 6.1
,
,
.
(1)
,
(2),
(2)
,
,
.
(
,
.12,
.
,
.6.2 (
)
),
1
a
b
2
c
e
(3).
.
,
d
.
f
g
3
h
5
4
6
7
8
9
i
. 6.2
.
49
IV.
§ 7.
я
.
.
.
.
0
1
.
,
я
1,
(
2q (q –
,
.
(
) – 0.
,
).
).
.
.
,
7.1
(1101001101011000)
1
2
3
5
4
6
7
8
9
. 7.1
З
1
.
:
,
.
50
0
IV.
§ 8.
я
.
–
,
:
,
1.
.
2.
,
,
.
,
:
. 8.1
.8.1
.
.
.
,
.
,
. 8.2
.
–
,
,
.
,
,
,
.
,
(
).
-
a
a
b
b
c
d
d
e
f
g
h
c
e
f
g
i
h
. 8.2
51
i
IV.
§ 9.
я
,
.
–
(
-
,
. 9.1.
,
).
-
. 9.1
.
,
.
52
,
« А А
А
( ац
а ь
Ы АЭ
.а а
а . .
ва ь
Фа
я
я
«И
ь е и
«П
АФ
я
в
Ч
ва
р а и и
я
я
)» (
»
Л
»
в
2013
А )
ь
в
.Л.
А
1.
я
я
2.
3.
4.
5.
я
1.
я
я
я
2.
,
1. Д
2. Д
.
3. Д
,
п–
,
. . В
5
.
,r–
Т
,
?
.
. Д
k?
Т–
,
.
п
,
,
. П
.П
-
97
,
,
–
,
.
,
. С
?
,
.
,
,
я
,
7
. (11)
. К
,
b)
3
1
2
2
3
6
1
4
7
3
4
1
3
2
1
4
8
5
1
5
0
4
2
3
3
2
6
4
2
6
4
3
8
10
(
4
2
5
7
,
.
6
9
6
1
7
10
10
4
4
2
П,
.)
5
6
8
1
3
4
2
,
,
.
П
0
5
4
3
5. Н
П
1
.
,
4. Н
а)
1
,
k
2? (В
,
2
.Д
,
2
п –
,
3. В
1
,
)
1.
2. П
1
.
,
,
11. Н
?
,
4. В
.
10. С
0)
я
,
5. В
6. П
7. В
8. Д
–
9. П
(
я
8
2
3
6
8
4
10
0
11
11
0
8
10
4
3
9
6
10
7
4
5
6
7
2
6
9
10
5
8
6
10
8
4
9
10
10
3
6
7
0
2
5
9
2
0
1
5
5
10
0
8
9
5
8
0
Н
,
6. С
.
П
1
2
3
4
8
9
10
11
15
16
7. П
8. П
а) 10b) 119.
а)
b)
с)
d)
,
;
.
.В
;
П
17
5
6
7
12
13
14
18
П
,
6
?
(3,3,7,4,6,5,2,9,5,3,6)
:
:
,
;
;
?
3.
я
4.
5.
« А А
А
( ац
а ь
Ы АЭ
.а а
а . .
ва ь
Фа
И
я
в
И
«И
ь е и
«П
АФ
я
И
я
в
Ч
ва
р а и и
я
ИЛ
)» (
»
ц
И
в
2013
А )
»
в
.Л.
А
.
ш
АЧА
№1
Ц л р от –
З чи:
.
,
;
.
1.
.
:
10
20
2.
G1
G1 ,
3.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
:
G2 .
10
;
G1, G2 (
.
,
,
20
.)
,
20
.
.
:
G1 G1 ( .
G1 v ;
G2 e ;
G1 e ;
G2 v0 ;
G1
F;
G2
;
10
G1 ,
,
7)
10)
G1
,
2);
F,
G2 ,
2
G1
u
F
v,
1
e
v
u
G2
G1
__________________________________________________________________
2
u
e
v
G2
G1
__________________________________________________________________
3
3
v
e
G2
u
G1
__________________________________________________________________
4
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
4
5
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
6
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
5
7
v
e
G2
u
G1
__________________________________________________________________
8
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
6
9
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
10
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
7
11
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
12
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
8
13
v
e
G2
u
G1
__________________________________________________________________
14
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
9
15
v
e
G2
u
G1
__________________________________________________________________
16
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
10
17
e
v
u
G2
G1
__________________________________________________________________
18
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
11
19
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
20
v
e
u
G2
G1
__________________________________________________________________
12
«
.
(
а
Ы
Э
. .
Ч
)» (
)
Фа
ь е и
р а и и
ра «При а ая ат ати а»
в
я
Ы
ц
А
в
2013
в
.
А
А
ш
Ц л р от –
З чи:
;
№2
А
,
,
Ы
.
,
,
,
;
-
,
.
1.
1)
;
2)
,
;
:
;
:
,
;
.
F,
3)
,
.
,
;
;
1-9.
3.
4)
4.
(
.
2.
F
,
F
5)
;
)
u
v,
G
.
6
1
.
3.
G
6
( 7)
1
-
.
2
.
1
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
7 2
2
2
3
4
5
6
1
1
2
3
13
4
5
6
1
3
3
11
5
5
6
6
2
3 5
4
5
6
1
1
3
2
3
4
11
5
6
7
6
4
5
6
5
7
6
2
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
2
3
4
5
6
1
1
3.
11 14 15
13
13
7 11 9
11 10 14
2
3
4
5
2
3
4
5
6
6
1
1
4
13 9 10
3 4 2
9
8
2
7
3
8
4
5
6
3
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
5 8 7 18
1
11
2
17
3
10
12
6
4
7 8 11
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
1
1
5
2
8
10 7
6
5
8
6 7
3
4
7
11
5
6
4
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
6 8
2
8
3
4
5
6
1
1
2
3
11 10
9 7 15
7 4 11
6 7
9
4
5
6
6
2
3 4
4
2
5
6
1
1
6
2
3
9
4
6
5
8 10
5 7
4
5
6
5
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
10 12
11 9
2
10
3
13 11
4
5
6
1
1
2
3
4
5
19
10
6
6
7
9
2
3
4
4 6
8 5
5
6
1
1
7
2
3
8
10
6
4
6
5
6
6
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
5 6 9
1
3
2
3 3
3
4
3
5
6
1
2
3
4
5
4
14
16
4
8
2
3
4
5
6
6
1
1
8
2
3
7
5
8
5
9
4
3
6
4
4
8
6
6
7
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
15 12 10
4
6
2
2
4 2 3
3
10
7
9
4
5 5
5
6
6
7
1
7 9
2
6
3
4
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
5
6
6
13
7
8
6
1
9
2
3
4
5
6
7
8
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
2
3
4
5
6
7
1
7 15 14
1
7 16
2
19 21
3
17
4
13 14 15 18
5
6
1
2
3
4
5
6
1
10
2
3
3
5
5 11
4 6 5
8 6 4
6 10
3
4
7
5
6
7
9
1
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
10 11
13
2
3
4
5
6
1
1
2
3
6
4
2
2
2 3
6
3
7
4
4 8
5
3 5
6
7
1
8 11 17
5 6 15
7
9
4
5
6
1
11
2
3
4
5
6
10
4
11
3
7
10
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
2
3
4
5
6
7
1
1
3.
11 15
7
13
7
11
11
8
2
9
3
4
5
14 18
6
22
16
23
19
8
3
2
4
3
5
4
9
5
6
7
1
7
1
12
2
3
7 10
7 6 10
4
12 6
5
4
5
6
7
11
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
6
2
3
4
4
7
5
6
1
1
2
3.
3
4
9
6
8
5
6
6 14
10
5
12
6
3 7
5 11
2
5
3
4
7 9
5
8
6
7
1
1
13
2
3
4
5
8
13
6 4
6 12
5
6
7
12
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
4
2
3
2
4
2
5
6
1
1
2
3.
3
4
5
9
8
2
6
4
4 7
3
2
3
4
5
6 12
7
1
3
3
6
1
14
2
3
14 6 11
10
8 7 10
3
5
5 6
4
5
6
7
13
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
7 2
2
2
3
4
5
6
1
1
2
3
13
4
5
6
1
3
3
11
5
5
6
6
2
3 5
4
5
6
1
1
15
2
3
4
11
5
6
7
6
4
5
6
5
7
6
14
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
2
3
4
5
6
1
1
3.
11 14 15
13
13
7 11 9
11 10 14
2
3
4
5
2
3
4
5
6
6
1
1
16
13 9 10
3 4 2
9
8
2
7
3
8
4
5
6
15
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
5 8 7 18
1
11
2
17
3
10
12
6
4
7 8 11
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
1
1
17
2
8
10 7
6
5
8
6 7
3
4
7
11
5
6
16
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
6 8
2
8
3
4
5
6
1
1
2
3
11 10
9 7 15
7 4 11
6 7
9
4
5
6
6
2
3 4
4
2
5
6
1
1
18
2
3
9
4
6
5
8 10
5 7
4
5
6
17
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
10 12
11 9
2
10
3
13 11
4
5
6
1
1
2
3
4
5
19
10
6
6
7
9
2
3
4
4 6
8 5
5
6
1
1
19
2
3
8
10
6
4
6
5
6
18
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
5 6 9
1
3
2
3 3
3
4
3
5
6
1
2
3
4
5
4
14
16
4
8
2
3
4
5
6
6
1
1
20
2
3
7
5
8
5
9
4
3
6
4
4
8
6
6
19
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
15 12 10
4
6
2
2
4 2 3
3
10
7
9
4
5 5
5
6
6
7
1
7 9
2
6
3
4
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
5
6
6
13
7
8
6
1
21
2
3
4
5
6
7
20
1.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
2.
3.
2
3
4
5
6
7
1
7 15 14
1
7 16
2
19 21
3
17
4
13 14 15 18
5
6
1
2
3
4
5
6
1
22
2
3
3
5
5 11
4 6 5
8 6 4
6 10
3
4
7
5
6
7
« А А
А
(
.
Ы АЭ
. .
Ч
)» (
А )
Фа
ь е и
р а и и
аф ра «При а ая ат ати а»
в
я
Ч
ц
А
в
2013
в
. .
ш
Ц л
З
р от
-
№3
А А
.
чи:
-
;
,
1.
,
,
.
2.
G1.
.
,
G2.
.
,
3.
,
Т
v.
4.
.
.
(G3 )
G3.
.
u
.
G4
,
.
G5
,
2
.
,
(G3 )
(T ) =a (T ) =b.
,
.
5.
;
.
А
А
1.
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
1
0
0
0
0
5.
0 1 1 0
0 1 0
0 1
0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
3
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 0
0 1 0 0
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 0
0 0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
2
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
1
0
0
0
0
5.
0 1 1 0
0 0 0
0 1
0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
4
0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
2
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
0
0 1 1 1
0 0 0
0 1
0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
5
5.
1
1
0
1
0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
1 1 1
0 1 1
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 1 1
0 1
0
4
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
5.
0 1 1 1
0 1 0
0 1
0
4.
0
0
0
0
0
0
0 0 0 1 1
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
6
1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0
0 0
0
А
А
1.
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
5
2
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
0
5.
0 1 1 0
0 0 0
0 1
0
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
7
0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
6
2
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
1
1
0
0
0
5.
0 1 1 1
0 1 1
0 1
0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
8
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
7
2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
0
5.
0 1 0 0
0 1 0
0 1
0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
9
0 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
8
2
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
1
5.
0 1 1 0
0 1 0
0 1
0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
10
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 0
0 1 0 0
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
9
2
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
1
5.
0 1 1 1
0 0 0
0 1
0
1 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
11
1 0 0 1
1 0 0 0
0 1 1 0
1 1 1 1
0 0 1 1
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 1 1
0 1
0
10
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
1
0
0
0
5.
0 1 1 1
0 1 0
0 1
0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 1
1 0 0 0 0
12
1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0
0 0
0
А
А
1.
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
11
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
0
5.
0 1 1 0
0 1 0
0 1
0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 0
13
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 0
0 1 0 0
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 1
0
12
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
1
1
0
0
0
5.
0 1 1 1
0 1 1
0 1
0
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
14
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
13
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
1
0
0
0
0
5.
0 1 1 0
0 1 0
0 1
0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
15
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 0
0 1 0 0
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 0
0 0
0
14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
2
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
1
0
0
0
0
5.
0 1 1 0
0 0 0
0 1
0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
16
0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0
0
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
2
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
0
0 1 1 1
0 0 0
0 1
0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 1 0
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
17
5.
1
1
0
1
0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
1 1 1
0 1 1
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 1 1
0 1
0
16
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
0
5.
0 1 1 1
0 1 0
0 1
0
0 0 0 1 1
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
18
1 0 0 0
1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0
0 0
0
А
А
1.
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
17
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
0
5.
0 1 1 0
0 0 0
0 1
0
0 1 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
19
0 1 0 1
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 1
0
18
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
1
1
0
0
0
5.
0 1 1 1
0 1 1
0 1
0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
20
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 0 0
0 1
0
А
А
1.
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
19
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
2
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
0
5.
0 1 0 0
0 1 0
0 1
0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
21
0 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0
0 1
0
А
А
1.
0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 0
0 1 0
0 0
0
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
2
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
3.
1
2
3
4
5
6
u
v
7
8
9
10
11
12
4.
0
0
0
0
0
1
5.
0 1 1 0
0 1 0
0 1
0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
22
0 0 1 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 0
0 1 0 0
0 1 0
0 1
0
« А А
А
(
.
Ы АЭ
. .
Ч
)» (
А )
Фа
ь е и
р а и и
аф ра «При а ая ат ати а»
Ч Ы
А
. .
2013
Э
№4
.
А
Ы
Ц л р от –
,
З чи:
.
я
:
,
,
,
А
.
А
.
,
,
1
8 11
6 12
9
5
12 20
7
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
;
;
.
я
.
,
.
.
1.
10 10
я
я
я
№1
№2
А
–
–
–
a3
a2, a4
a1, a2, a3
a2, a5
7
5
10
14
8
10
6
2
,
А
А
2
10 7 5
9 7 4
5 4
14 7
9 5
10
1.
2.
,
–
–
a2
a1, a2
a1, a3
a2, a4, a5
a2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
6
8
12
5
7
7
10
А
А
3
1.
8 4
3
1 3
2 1
6 7
4 2
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
–
a1
a1, a2
a1, a2, a3
a4
a4, a5, a6
a1, a7, a8
10
11
13
9
7
15
6
12
5
3
А
А
4
3 4 3
6 4 5
6 5 7
5 8
4
4 3
1.
2.
,
–
–
a1
a1, a2
a2, a3
a2, a3, a4
a4
a5, a6
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
5
4
6
5
7
9
4
7
А
А
5
10 16 22
14
18
14 8
12 20 12
8 10
1.
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
–
–
a1, a2
a1
a3, a4
a2
a3, a4, a6
a2, a5
7
9
11
6
8
10
12
13
4
А
1.
12 9
8
5
9
6
5
4
3
13
7
А
6
13
5
7
15
2.
,
–
–
a1
a1, a2
a1, a2
a1, a4
a3
a1, a4
a5, a6
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
10
12
14
11
7
9
15
13
8
А
А
7
1.
7 8
6 5 7 7
3 4
3 5
3 4
6 3
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
a1
a1
a1, a2
a3
a4, a5
a6, a7
a4, a5
3
2
5
6
4
4
6
7
5
5
А
А
8
6 5 6
4 6 5
3 4
3 7
4 5
8 3
1.
2.
,
–
–
–
a1, a2
a2, a3
a2, a3
a1, a2
a2, a4, a5
a6
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
11
13
10
8
6
15
7
9
12
А
6
А
9
10 15
9 8 6
10 5
20 12
8 9 13
1.
8
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
–
a3
a2, a4
a1, a2, a3
a2, a5
5
7
8
8
10
5
7
6
А
А
10
1.
36 30
22 28 32
28
28 38 14
52
38
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
a2
a1, a2
a3
a2, a4, a5
a2
6
10
10
8
6
4
3
А
А
11
1.
20 24 32
18 22 26
24 34
28
32 36
22 14
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
–
a1, a2
a2
a2, a3
a3, a4, a5
8
5
6
10
10
8
5
7
А
5
18
15
1.
10
2.
13
7
5
А
12
4
25
13
,
–
–
a1
a1, a2
a2
a3, a4, a5
a3, a4
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
8
10
8
12
6
9
7
А
1.
10 10
А
13
8 11
6 12
9
5
12 20
7
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
–
a3
a2, a4
a1, a2, a3
a2, a5
7
5
10
14
8
10
6
8
А
А
14
10 7 5
9 7 4
5 4
14 7
9 5
10
1.
2.
,
–
–
a2
a1, a2
a1, a3
a2, a4, a5
a2
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
6
8
12
5
7
7
10
А
А
15
1.
8 4
3
1 3
2 1
6 7
4 2
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
–
a1
a1, a2
a1, a2, a3
a4
a4, a5, a6
a1, a7, a8
10
11
13
9
7
15
6
12
5
9
А
А
16
3 4 3
6 4 5
6 5 7
5 8
4
4 3
1.
2.
,
–
–
a1
a1, a2
a2, a3
a2, a3, a4
a4
a5, a6
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
5
4
6
5
7
9
4
7
А
А
17
10 16 22
14
18
14 8
12 20 12
8 10
1.
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
–
–
a1, a2
a1
a3, a4
a2
a3, a4, a6
a2, a5
7
9
11
6
8
10
12
13
10
А
1.
12 9
8
5
9
6
5
4
3
13
7
А
18
13
5
7
15
2.
,
–
–
a1
a1, a2
a1, a2
a1, a4
a3
a1, a4
a5, a6
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
10
12
14
11
7
9
15
13
8
А
А
19
1.
7 8
6 5 7 7
3 4
3 5
3 4
6 3
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
a1
a1
a1, a2
a3
a4, a5
a6, a7
a4, a5
3
2
5
6
4
4
6
7
5
11
А
А
20
6 5 6
4 6 5
3 4
3 7
4 5
8 3
1.
2.
,
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
–
a1, a2
a2, a3
a2, a3
a1, a2
a2, a4, a5
a6
11
13
10
8
6
15
7
9
12
12
« А А
А
(
.
Ы АЭ
. .
Ч
)» (
А )
Фа
ь е и
р а и и
аф ра «При а ая ат ати а»
И
И
в
я
Ч
А
ц
И
И
в
2013
И
в
. .
ш
№5
.
1.
.
.
2.
.
.
3.
4.
,
5.
6.
.
10.
Т
.
,
.
.
.
Т,
.
?
Т
.
.
0 4 0 8 7 0 0 0 0 0 6 0
0 0 9 11 0 5 3 0 7 2 9
0 0 4 0 9 0 7 0 5 0
0 0 7 0 8 10 0 3 8
1.
0 0 0 0 4 0 6 0
0 3 7 12 4 0 10
0 0 7 8 0 0
0 2 9 13 9
0 7 6 8
0
10
0 11
0
,
.
.
7.
8.
9.
.
.
,
,
0 5 0 6 9 0 9 8 11 0 7 0
0 8 0 10 5 0 4 0 3 7 9
0 2 0 8 5 8 0 0 10 8
0 0 0 0 0 8 7 0 9
2
0 9 3 3 0 11 0 10
0 3 0 6 0 5 0
0 4 0 6 9 0
0 0 0 12 9
0 4 0 0
0 6 3
0 0
0
2
0
3.
0
5.
0
7.
10 0
9 0 8 0 4 0 4 5
7 6 9 3 7 2 0 0
6 0 4 5 9 10 0 9
0 9 0 0 3 0 6 0
0 0 5 0 4 5 0
0 2 7 0 12 9
0 5 0 3 0
0 0 4 0
0 7 9
0 4
0
7 8 0 4 10 0 0 8
9 0 5 0 7 0 6 3
0 8 0 2 0 6 3 0
10 7 0 0 3 5 0 7
0 0 4 7 5 0 9 2
0 9 0 8 0 3 9
0 6 5 7 0 0
0 3 7 0 8
0 0 11 0
0 0 9
0 3
0
0 0 0 6 0 4 3 8
2 0 0 0 8 0 0 0
0 4 12 9 0 0 0 6
7 5 0 0 2 0 4 0
0 0 9 5 0 7 0 0
0 8 0 3 0 6 0
0 7 8 0 3 0
0 0 4 0 6
0 0 6 8
0 11 0
0 3
0
9 0 7 6 4 0 5 8
0 2 0
0 0
0
0 0
9
0 0 13
0
7
0
7 0 9
0 0 6
0 0
0
0
4.
0
6.
0
0
0 0 2 5 0 3 8 0
2 8 0 0 9 7 11 9
5 0 9 3 0 3 8 0
0 0 0 4 5 0 0 2
0 3 8 9 12 0 9
0 0 3 0 7 0
0 6 4 0 0
0 0 6 8
0 3 0
0 7
0
0 5 0 0 0 4 0 0
10 0 0 7 7 9 6 0
3 0 8 0 8 0 0 9
0 5 0 7 0 4 4 6
0 2 0 7 0 8 13 0
0 9 0 10 0 0 3
0 5 0 9 0 4
0 5 0 6 0
0 0 4 0
0 0 3
0 6
0
6 0 5 0 7 7 0 9
0 5 3
0 0
0
5 6 12
0 0
9
0
0
0
0
8
0 5 7 0 8 8 0 0 9 0 10 0
0 0 3 0 6 5 7 0 0 3 0
0 0 4 0 0 8 10 5 0 7
0 8 7 9 0 3 0 3 8
8.
0 0 5 0 0 3 0 0
0 8 9 3 0 7 12
0 0 0 4 6 0
0 0 6 0 9
0 0 2 0
0 4 0
0 5
0
3
0
9.
0
11.
0
13.
8
0 7 9 0 0
0 0 7 11
6 4 5 9 0 10 3 0
0 0 0
0 7 0 0 0 5 0 3
0 0
6 0 8 9 0 0 5 12
0
0 6 0 7 8 10 0 0
10.
0 0 0 9 0 12 9
0 6 0 3 0 0
0 7 0 3 8
0 0 4 0
0 0 6
0 8
0
7 11 0 9 0 0 4 0
0 4 0 7 0
0 7 0 5 0 10 0 0
0 0 6 0
12 0 3 0 9 5 5 3
0 11 0
6 0 4 0 6 0 0 10
0 5
0 7 9 4 0 11 5 0 12.
0
0 6 0 3 0 6 9
0 0 0 8 0 0
0 0 9 8 4
0 7 0 3
0 9 0
0 8
0
5 0 0 0 9 0 5 3
0 7 0 5 0
0 0 5 0 7 0 0 2
0 10 0 0
6 0 8 4 0 11 0 6
0 2 7
0 0 7 9 0 0 12 0
0 0
14.
0 9 0 0 3 0 4 0
0
0 2 7 0 10 0 0
0 0 8 3 0 0
0 4 0 5 5
0 3 8 0
0 0 9
0 0
0
0 4 0 7 0 9 0 9
0 0 0
0 4
0
8 0 0
0 4 8
0 0
0
6 0 0
0 9 3
0 0
0
0
0
4
6
0 0 5 0 3 8
3 8 0 10 0 0
5 5 0 0 6 9
7 0 3 11 0 8
0 9 0 4 9 0
0 2 0 0 0 5
0 6 0 8 0
0 0 12 0
0 4 9
0 3
0
0 4 0 4
0
0
0 9 0 11
0
0
4 0 7
0
3
0
9 4 0
5
0
8
0 7 8
0
8
0
6 4 0
7
0
5
0 0 7
9
0
3
0
7
0
8
0
0 4
0 12 0
0
3
0
8
0
5
7
0
0
0
4 0
9
0 9 8
8 0
0
7 0 3
0 9
0
0 4 0
4 0
3
0 8 0
2 0 11 7 0 8
0 4
4
0 0 6
0
0
6 7 0
0
0 9 0
0 0 0
0 6
0
9
10
4
0
5
0
6
0
0
9
5
0
0
0
12
0
9
0
0
12
3
0
8
0
0
15.
0
17.
0
19.
2 0 0 0 6 0 9 0 9 0 10
0 9 0 5 0 5 0 0 0 7 0
0 0 4 0 3 0 0 8 0 9
0 8 7 0 2 7 0 4 6
0 0 0 9 0 3 0 10
0 2 8 0 0 4 0
0 0 9 2 0 5
0 4 0 0 0
0 7 0 3
0 8 0
0 11
0
8 0 0
7
11 0 9 0
0
4
0 4 8
0
7
0 5 0 10 0
0 0 12
0
3 0 9
5
5
0
6
0
4 0 6
0
0
0
7
9 4 0 11 5
0
6 0 3
0
6
0 0 0
8
0
0 0
9
8
0
7
0
0
9
0
8 0 0
7
11 0 9 0
0
4
0 4 8
0
7
0 5 0 10 0
0 0 12
0
3 0 7
5
5
0
6
0
6 0 6
0
8
0
7
9 4 0 11 5
0
6 0 3
0
6
0 0 0
8
0
0 3
9
0
0
7
0
0
9
0
0
16.
0
18.
0 4 0 7 0 9 0 9
0
0
0 0 0 6 4 5 9 0 10
3
0 4 0 7 0 0 0
5
0
0 6 0 8 9 0
0
5
0 6 0 7 8 10
0
0 0 0 9
0
12
0 6 0
3
0
0 7
0
3
0
0
4
0
0
4 0 7 0 0 9 0
0
0 0 6 0 4 0 7
0
0 11 0 9 4 0
3
0 5 0 7 8
10
0 6 4 0
0
0 0 7
9
0 4
0
0
4
3
0
8
0
0
0 4 0 9 0 0 9 0
0
0 0 6 0 4 0 7
3
0 11 0 4 4 0
0
0 5 0 7 8
20.
0
0 0 5 2
9
0 0 7
0
0 4
4
0
3
0
8
0
5
0
11
0
0
0
3
0
5
0
8
0
8
0
7
0
5
9
0
3
0 12 0
3
0
8
0
5
7
0
0
0
11
0
0
0
3
0
8
0
8
0
8
0
7
0
8
9
0
3
0 12 0
3
0
8
0
5
7
0
0
0
8
0
3
12
0
9
0
8
0
6
8
0
9
10
4
0
5
0
6
0
0
9
5
0
9
10
4
0
5
0
6
0
0
9
5
0
« А А
А
( ац
а ь
Ы АЭ
.а а
а . .
ва ь
Фа
и
я
«И
И
ь е и
«П
АФ
я
я
в
Ч
ва
р а и и
И
ИЛ
)» (
»
и
и
и
2013
А )
и
И
»
.Л.
Вариант №1
№ 1.
Е.
1. С
2.
3. В
V
E
V–
G V , E
.
.
,
.
х1, х2 , х2 , х5 , х2 , х3 , х2 , х4 , х1, х6 , х2 , х7 , х6 , х7
х2 =(3, 5)
х1 =(1, 3)
№ 2.
х1
х4 =(2, 2)
х5 =(3, 3)
х6 =(1, 0)
х2
х6
х3
х4
х5
6
1
3
13
3
х6
.В
.
11 .
5
5
,
х7 =(3, 0)
х1
G
х1 7 2
х2
х3 2
х4
х 5
х6
№ 3.
х3 =(6, 5)
.
х8 =(6, 2)
Вариант №2
№ 1.
Е.
1. С
2.
3. В
V
E
G V , E
V–
.
.
,
.
х1, х2 , х2 , х5 , х2 , х3 , х1, х4 , х4 , х7 , х6 , х7 , х1, х3 , х3 , х4 , х5 , х6 , х3 , х6
х2 =(2, 4)
х1 =(4, 6)
№ 2. Д
х1
G
G,
х2
х1 8
х2 8
х3 9 7
х4 6
х5 9
х6
х7 6
х3
х4
х5
х6
9
7
6
9
6
10
5
8
7
10
8
5
7
4
5
6
№ 3.
G
6
х4 =(6, 4)
х3 =(4, 4)
4
х5 =(2, 0)
6
.
5
6
v3
)
v11
v6
v8
v4
v9
v12
х8 =(9, 2)
х7
v5
v2
х7 =(6, 0)
,
(
v1
х6 =(4, 1)
v10
v7
.
,
№ 1.
V
E
G V , E
V–
Е.
1. С
2.
3. В
Вариант №3
.
.
,
.
х1, х2 , х2 , х3 , х4 , х6 , х3 , х4 , х5 , х6 , х3 , х5 , х5 , х7
х2 =(2, 6)
х1 =(2, 3)
х3 =(3, 7)
х4 =(3, 5)
№ 2.
,
G
х1
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
№ 3. В
х2
9
х3
6
5
х4
11
х5
8
х6
17
5
7
х7
12
7
.
4
9
.
v1
v2
v8
v3
v7
v4
v6
х5 =(5, 6)
v5
х6 =(5, 4)
х7 =(6, 6)
х8 =(4, 1)
.
№ 1.
Е.
1. С
2.
3. В
V
E
V–
Вариант №4
G V , E
.
.
,
.
х1, х2 , х2 , х3 , х5 , х6 , х3 , х5 , х6 , х8 , х2 , х7 , х7 , х8 , х5 , х7
х2 =(2, 2)
х1 =(1, 1)
№ 2.
х1
х1
х2
х3
х4
х 5
х6
№ 3.
х3 =(2, 4)
х4 =(2, 5)
х5 =(3, 5)
х6 =(5, 5)
G
х2
х6
х3
х4
х5
х6
.В
.
11 14 15
13
13 .
7 11 9
11 10 14
.
,
х7 =(3, 2)
х1
х8 =(5, 2)
Вариант №5
№ 1. Д
,
.
№ 2. Д
G
х1
х2
G,
х3
х4
х1 7 15 12
х 2 7 13 9
х3 15 13 7
х 4 12 9 7
х5 15 9
х6 10 7
х7 8 11
№ 3. Д
х5
G
х6
10
15
9
10
,
х7
8
7
11
10
12
12
n4
4.
,
Вариант №6
№ 1. Д
.
№ 2. Д
G
х1
,
G,
х2
х3
х4
х5
х6
G
,
х7
х1 10 11 14 12
х 2 10 10 9
7
х3 11 10 12 10 6
х 4 9 12 9 12
х5 14 10 9 11 12
х6 12 11
х7 12 7 6
12
№ 3.
,
,
,
v5
v1
v3
v2
v8
v4
v9
v12
v11
v6
v10
v7
.
Вариант №7
№ 1. Д
,
.
v3
v4
v7
v5
v2
v6
v11
v1
v8
v9
v10
v12
№ 2. Д
G
х1
х2
G,
х3
х1 3 5
х 2 3 10
х3 5 10
х4 6 5
х5 6 8 7
х6
х7 4 9
х4
х5
6
6
8
5
7
8
8
7
9
11
х6
G
,
х7
4
9
7
9 11
№ 3. К
G1
,
G2
G3
G4
?
G5
G6
Вариант №8
№ 1. Д
,
.
№ 2. Д
G
х1
G,
х2
х3
х4
х5
х6
G
,
х7
х1 8 10 13 11
х 2 8 7 8 15
х3 7 19 10 15
х 4 10 8 9 6
х5 13 19 9 8
х6 15 10 8 12
х7 11 15 6 12
№ 3. У
:
1)
2)
3)
,
6)
7)
« ». В
?
(
4)
5)
В
)
?
,
?
?
?
?
,
,
?
,
№ 1.
Е.
1. С
2.
3. В
V
E
V–
Вариант №9
G V , E
.
.
.
х1, х2 , х2 , х5 , х2 , х3 , х2 , х4 , х1, х6 , х2 , х7 , х6 , х7
х1 =(1, 3)
№ 2. Д
G
х1
х2 =(3, 5)
х3 =(6, 5)
G,
х2
х3
х4
х1 6 8
х 2 6 11 12
х3 8 11 7
х 4 12 7
х5 9 8 6
х6 7 5
х7 5 9 10
х5
9
8
6
8
х6
х4 =(2, 2)
G
х5 =(3, 3)
х6 =(1, 0)
х8 =(6, 2)
х7
5
9
5 10
8
7
7
7
,
3)
(
В
« ». В
,
)
?
?
.
.В
?
?
х7 =(3, 0)
,
№ 3. У
:
1)
2)
4)
5)
,
,
?
,
№ 1.
Е.
1. С
2.
3. В
V
E
V–
Вариант №10
G V , E
.
.
,
.
х1, х2 , х2 , х5 , х2 , х3 , х1, х4 , х4 , х7 , х6 , х7 , х1, х3 , х3 , х4 , х5 , х6 , х3 , х6
х2 =(2, 4)
х1 =(4, 6)
№ 2. Д
G
х1
х2
G,
х3
х4
х1 3 8
х2 3 7
х3 8 7
х4 6 4
х5 3 6
х6 6
х7 4 10
№ 3. У
,
G1
х3 =(4, 4)
х5
3
6
4
6
5
5
7
8
9
G2
х6
х4 =(6, 4)
G
х5 =(2, 0)
х6 =(4, 1)
х7 =(6, 0)
,
х7
4
10
7
8 9
6
G3
G4
G5
G6
х8 =(9, 2)
№ 1.
Е.
1. С
2.
3. В
V
E
V–
Вариант №11
G V , E
.
.
.
х1, х2 , х2 , х3 , х4 , х6 , х3 , х4 , х5 , х6 , х3 , х5 , х5 , х7
х2 =(2, 6)
х1 =(2, 3)
№ 2. Д
G
х1
х1
х2 9
х3 10
х4 15
х5
х6
х7 11
№ 3. Д
х3 =(3, 7)
G,
х2
х3
9
10
х4
х5
15
х6
х4 =(3, 5)
х5 =(5, 6)
G
,
х7
11
14 12 8 15
14 10 9 6
12 10 11 12
9 11 12 11
8 12 12
15 6 11
,
,
.
х6 =(5, 4)
х7 =(6, 6)
х8 =(4, 1)
№ 1.
Е.
1. С
2.
3. В
V
E
V–
Вариант №12
G V , E
.
.
,
.
х1, х2 , х2 , х3 , х5 , х6 , х3 , х5 , х6 , х8 , х2 , х7 , х7 , х8 , х5 , х7
х2 =(2, 2)
х1 =(1, 1)
№ 2.
х1
х4 =(2, 5)
х3 =(2, 4)
х5 =(3, 5)
х6 =(5, 5)
G
х2
х6
х3
х4
х5
х6
х7
.В
.
х7 =(3, 2)
х8 =(5, 2)
х1
х1 10 11 14 12
х 2 10 10 9
7
х3 11 10 12 10 6
.
х 4 9 12 9 12
х5 14 10 9 11 12
х6 12 11
х7 12 7 6
12
№ 3.
(
3)
2n 1
,
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти все вершины заданного графа, недостижимые от заданной его
вершины.
2. Определить, верно ли, что для любой пары вершин заданного
орграфа одна из этих вершин достижима от другой.
3. Определить, является ли ободом заданный граф.
4. Определить, является ли связным заданный граф.
5. Найти длину кратчайшего цикла в графе.
6. Для двух выделенных вершин графа построить соединяющий их
простой путь.
7. Найти самый длинный простой путь в графе.
8. Найти все вершины графа, к которым существует путь заданной
длины от выделенной его вершины.
9. Найти такую нумерацию вершин орграфа, при которой всякая дуга
ведет от вершины с меньшим номером к вершине с большим номером.
10. Найти все вершины орграфа, от которых существует путь заданной
длины к выделенной вершине.
11. Источником орграфа называют вершину, от которой достижимы
все другие вершины; стоком -- вершину, достижимую от всех других
вершин. Найти все источники и стоки данного орграфа.
12. Известно, что заданный граф -- не дерево. Проверить, можно ли
удалить из него одну вершину (вместе с инцидентными ей ребрами), чтобы в
результате получилось дерево.
13. Подсчитать количество компонент связности в дополнении
заданного графа.
14. Найти такую вершину заданного графа, которая принадлежит
каждому пути между двумя выделенными (различными) вершинами и
отлична от каждой из них.
15. Вершины и ребра графа называют его элементами. По графу
построить граф
, у которого в качестве вершин взяты элементы
, а
две вершины смежны тогда и только тогда, когда соответствующие элементы
в смежны или инцидентны.
16.
Пусть
-- степень вершины
в графе
. Степенью
ребра
назовем
неупорядоченную
пару
.
Определить, совпадают ли степени всех ребер заданного графа, и если нет, то
можно ли удалить из него одну вершину (вместе с инцидентными ребрами)
так, чтобы полученный граф обладал этим свойством.
17. По графу
построить граф
с тем же множеством вершин,
что и у ; вершины в
смежны тогда и только тогда, когда расстояние
между ними в
не превышает 2.
Проверить, совпадают ли степени всех вершин в
, и если нет, то
нельзя ли удалить из него одну вершину так, чтобы полученный граф
удовлетворял этому требованию.
18. Задан орграф с циклами. Проверить, можно ли удалить одну
вершину так, чтобы в полученном орграфе не было циклов длины меньше
заданной.
19. По графу
построить граф
следующим образом: в качестве
вершин в
берутся ребра графа : две вершины в
смежны тогда и
только тогда, когда смежны соответствующие ребра в . В
найти все
вершины, расстояние от которых до некоторой выделенной равно 2.
20. В заданном дереве, все вершины которого имеют степень не больше
3, найти самый длинный путь от выделенной вершины до вершины со
степенью 1.
21. Из графа удалить все вершины, от которых недостижима заданная
вершина.
22. Для заданного натурального
построить граф, не
содержащий циклов длиной 3, в котором степени всех вершин равны 3.
23. Найти диаметр графа,
всевозможными парами его вершин.
т.е.
максимум
расстояний
между
24. Вершина графа называется точкой сочленения, если ее удаление
приводит к увеличению числа компонент связности. Найти все точки
сочленения заданного графа.
25. Найти медиану графа, т.е. такую его вершину, что сумма
расстояний от нее до остальных вершин минимальна.
26. По графу
построить последовательность графов
с
тем же множеством вершин, что и у
(здесь -- максимум расстояний для
пар вершин в , между которыми имеется соединяющий их путь). Ребро
между вершинами в
проводится тогда и только тогда, когда расстояние
между соответствующими вершинами в
не превышает .
27. Гамаком называется подграф заданного орграфа с таким непустым
множеством вершин , что существует не более одной вершины в , к
которой ведут дуги от вершин вне , и не более одной вершины вне , к
которой ведут дуги от вершин множества . Найти количество различных
гамаков графа.
28. Задана система односторонних дорог. Найти путь, соединяющий
города
и и не проходящий через заданное множество дорог.
29. Система двусторонних дорог называется трисвязной, если для
любой четверки разных городов
существует два различных пути
из
в , причем один из них проходит через , а другой -- через .
Определить, является ли трисвязной заданная система двусторонних дорог.
30. В системе двусторонних дорог для каждой пары городов указать
длину кратчайшего пути между ними.
31. Задана система двусторонних дорог. Найти два города и
соединяющий их путь, который проходит через каждую из дорог системы
ровно один раз.
32. Задана система двусторонних дорог. Найти замкнутый путь длиной
не более 100 км, проходящий через каждую дорогу ровно один раз.
33. В заданном графе указать все его четырехвершинные полные
подграфы.
34. Задана система двусторонних дорог, причем для любой пары
городов можно указать соединяющий их путь. Найти такой город, для
которого сумма расстояний до остальных городов минимальна.
35. По системе односторонних дорог определить, есть ли в ней город,
из которого можно добраться до каждого из остальных городов, проезжая не
более 100 км.
36. По системе двусторонних дорог определить, можно ли, построив
какие-нибудь новые три дороги длиной 10 км каждая, добраться из заданного
города до каждого из остальных городов, проезжая не более 100 км.
37. По системе двусторонних дорог определить, можно ли, закрыв
какие-нибудь три дороги, добиться того, чтобы из города
нельзя было
попасть в город .
38. Задана система двусторонних дорог. - периферией называется
множество городов, расстояние от которых до выделенного города (столицы)
больше . Определить -периферию для заданного .
39. Определить, можно ли в заданной системе односторонних дорог
проехать из города
в город
таким образом, чтобы посетить город
и
не проезжать никакой дороги более одного раза.
40. В системе двусторонних дорог за проезд каждой дороги взимается
некоторая пошлина. Найти путь из города
в город
с минимальной
величиной
, где
проезжаемых дорог.
-- сумма длин дорог пути, а
-- сумма пошлин
41. Заданы две системы двусторонних дорог с одним и тем же
множеством городов (железные и шоссейные дороги). Найти минимальный
по длине путь из города
в город
(который может проходить как по
железным, так и по шоссейным дорогам) и места пересадок с одного вида
транспорта на другой на этом пути.
42. В орграфе без циклов выделены вершины
и . Найти какоенибудь множество путей
из в
такое, что ни одна вершина, кроме
и , не лежит на двух путях из
и любое расширение
приводит к
нарушению этого свойства.
43. Построить дерево двоичного поиска для заданного множества
целых чисел и занумеровать его вершины в соответствии с их обходом во
внутреннем порядке.
44. Построить дерево двоичного поиска для заданного множества
целых чисел и занумеровать его вершины в соответствии с порядком прямого
обхода этого дерева.
45. Построить дерево двоичного поиска для заданного множества
целых чисел и занумеровать его вершины в соответствии с их порядком при
обратном обходе этого дерева.
46. Множество целых чисел представить в виде дерева двоичного
поиска и на основе этого представления напечатать числа в порядке
убывания их значений.
47. Заданы граф и дерево. Удалить из графа часть ребер, чтобы
полученный граф был изоморфен дереву.
48. К множеству целых чисел
, представленному в виде АВЛ-дерева,
добавить число
так, чтобы множество
представленным в виде АВЛ-дерева.
также
49. Решить предыдущее задание для случая, когда число
удалить из множества
оказалось
требуется
50. Множество целых чисел
представляется в виде 2-3-дерева
следующим образом: листьям приписываются элементы
(в любом
порядке), а нелисту -- наименьшее из чисел в поддереве с корнем . По
множествам
представление для
и
,
построить
соответствующее
.
51. Множество целых чисел
представлено в виде 2-3-дерева
следующим образом: листьям приписаны элементы
в порядке возрастания
слева направо; нелисту приписана пара чисел
, где -- наибольшее
число в поддереве, корнем которого является самый левый преемник , а -наибольшее из чисел в поддереве, корень которого есть второй преемник .
Добавить к
число
так, чтобы
представленным таким же образом.
множество
52. Решить предыдущее задание для случая, когда число
удалить из .
оказалось
требуется
53. Найти максимальное по числу вершин подмножество попарно
несмежных вершин заданного графа.
в
54. Заданы граф и положительное число
Раскрасить вершины графы
красок, т.е. сопоставить каждой вершине графа число из
отрезка
(краску) таким образом, чтобы смежным вершинам были
сопоставлены разные числа.
55. Компонентой сильной связности в орграфе называется такой его
подграф, в котором любые две вершины взаимно достижимы и который не
содержится в другом подграфе, удовлетворяющем этому условию. Построить
компоненты сильной связности для заданного орграфа.
56. Найти минимальное подмножество вершин заданного орграфа, от
которых достижимы все остальные его вершины.
57. Определить, изоморфны ли два заданных графа.
58. Определить, изоморфен ли заданный граф своему дополнению.
59. Подсчитать количество попарно не изоморфных графов с
вершинами и четырьмя ребрами.
60. Пусть фиксирована нумерация вершин орграфа. Дуга называется
обратной при этой нумерации, если она ведет от вершины с большим
номером к вершине с меньшим номером. Построить такую нумерацию
вершин заданного орграфа, при которой число обратных дуг минимально.
61. Подмножество вершин графа называется доминирующим, если
каждая вершина вне подмножества смежна хотя бы с одной вершиной этого
подмножества. Найти минимальное по числу вершин доминирующее
подмножество вершин заданного графа.
62. Говорят, что вершина графа накрывает ребро, если она инцидента
этому ребру. Вершинным покрытием графа называется множество вершин,
накрывающих все его ребра. Построить минимальное по числу вершин
вершинное покрытие заданного графа.
63. Найти все подграфы заданного графа, которые являются ободами.
64. Граф называется вершинно-симметричным, если для любой пары
его вершин существует автоморфизм, переводящий первую вершину во
вторую. Определить, является ли вершинно-симметрическим заданный граф.
65. Вершину графа
называют неподвижной, если она является
неподвижной точкой любого его автоморфизма
неподвижные вершины заданного графа.
, т.е.
66. Определить, является ли заданный граф гамильтоновым.
. Найти все
67. Граф называется асимметричным, если у него имеется
единственный автоморфизм -- тождественный. Определить, является ли
асимметричным заданный граф.
68. Определить, является ли заданный граф двудольным, т.е. можно ли
разбить множество его вершин на два подмножества так, чтобы каждое ребро
соединяло вершины из разных подмножеств.
69. В графе найти максимальное (по количеству ребер) подмножество
попарно несмежных ребер.
70. Ребро графа накрывает его вершину, если оно инцидентно этой
вершине. Найти минимальное (по количеству ребер) подмножество ребер,
накрывающих все вершины заданного графа.
71. Найти минимальное (по количеству ребер) подмножество ребер,
удаление которых превращает заданный связный граф в несвязный.
72. В заданном графе найти максимальный по количеству вершин
полный подграф.
73. -интервалом орграфа называется максимальный среди его
подграфов , который можно построить по следующим правилам: (1)
вершина
включается в пустой граф ; (2) если все предшественники
некоторой вершины
уже содержатся в , то
также включается в .
Построить -интервалы для всех вершин заданного орграфа.
74. Пусть
-- орграф, в вершинах которого расположены фишки, а
состояние
задается количеством фишек в каждой из его вершин. Говорят,
что состояние
достижимо из состояния за один шаг, если
можно
получить из
следующим образом: сначала удаляются все фишки,
находящиеся в одной из его вершин (скажем, в вершине
), а затем такое же
количество фишек добавляется каждому преемнику вершины . Найти все
(различные) состояния , которые достижимы из некоторого заданного не
более, чем за шагов.
75. Решить предыдущее задание, изменив понятие достижимости
следующим образом:
достижимо из за один шаг, если существует
вершина , каждый предшественник которой имеет хотя бы одну фишку,
а
получается из удалением одной фишки у каждого предшественника
вершины
и добавлением одной фишки каждому преемнику вершины
.
76. Мостом графа называется такое ребро, удаление которого
увеличивает число компонент связности графа. Найти все мосты заданного
графа.
77. Подсчитать количество попарно
содержащих не более четырех вершин.
не
изоморфных
графов,
78. Треугольником графа называют всякую тройку различных и
попарно смежных вершин этого графа. Склеиванием треугольника
называется следующая операция: три вершины, составляющие треугольник,
удаляются из графа вместе со всеми инцидентными им ребрами; добавляется
новая вершина , а ребро
добавляется тогда и только тогда, когда
вершина
была смежна хотя бы с одной вершиной удаленного
треугольника. Последовательным применением операции склеивания
треугольника преобразовать исходный граф в такой, в котором нет
треугольников.
79. По орграфу
построить орграф
, который получается из
последовательным применением (пока это возможно) следующих
преобразований: (1) если
-- вершина из
с единственным
предшественником
она удаляется из
и единственным преемником
вместе с дугами
и
, то
, а затем добавляется
новая дуга
; (2) если
-- вершина без предшественников и
преемников, то она просто удаляется из .
80.
орграфа
Через
обозначим
подмножество
, которые являются преемниками вершин из
вершин
. Найти
такое максимальное по числу вершин подмножество
вершин заданного графа, для которого
.
81. Найти длину самого длинного простого пути от города
города в заданной системе односторонних дорог.
до
82. По заданной системе односторонних дорог определить, есть ли в
ней город, куда можно попасть из любого другого города, проезжая не более
100 км.
83. По заданному орграфу
построить орграф его транзитивного
замыкания, т.е. такой орграф
, в котором множество вершин совпадает с
множеством вершин , а любые две его вершины
тогда и только тогда, когда в
существует путь из
являются смежными
к .
84. Проверить, является ли заданный граф транзитивным, т.е. таким,
что для любых трех вершин
выполняется условие: если вершины
и , а также и смежны, то вершины и также смежны.
85. Для заданного целого
построить граф с
котором степень каждой вершины равна 4.
вершинами, в
86. Найти количество разных простых путей, соединяющих пары
вершин заданного ориентированного графа.
87. Задан ориентированный ациклический граф. Найти минимальное
число попарно непересекающихся простых путей, содержащих все вершины
графа.
88. По заданной вершине графа распечатать все вершины, из которых
есть путь в данную. Вершины должны печататься в порядке не убывания их
расстояния до заданной: сначала сама вершина, потом ее соседи, потом
соседи соседей (еще не напечатанные) и т.д.
89. Заданы система односторонних дорог и положительное число
Подсчитать количество разных простых путей длины
двумя заданными городами.
,
.
, между
90. Заданы граф и целое положительное число . Подмножество
вершин графа называется независимым, если никакие две вершины не
соединены в графе ребром. Найти разбиение множества вершин
исходного
графа на такие независимые подмножества
где
, что объединение любой пары
независимое множество.
и
,
,
, не есть
91. Заданы два графа
и , такие, что
содержит в заданное
число раз больше вершин, чем . Раскрасить вершины в цветов так,
чтобы любой подграф , образованный всеми одноцветными вершинами,
был изоморфен графу .
92. Заданы система односторонних дорог и положительные числа
и . Найти такое подмножество из дорог, где
, которое содержит
по крайней мере одну дорогу из каждого замкнутого маршрута, имеющего
длину не более .
93. Проверить, можно ли раскрасить ребра графа в два цвета так, чтобы
в графе не было треугольника, ребра которого окрашены одним цветом.
94. Заданы граф
и положительное целое число
. Раскрасить
вершины в цветов, где
, таким образом, чтобы был ациклическим
любой подграф, образованный всеми одноцветными вершинами.
95. Решить задание 94 таким образом, чтобы был полным любой
подграф, образованный всеми одноцветными вершинами.
96. Решить задание 94 таким образом, чтобы любой подграф,
образованный всеми одноцветными вершинами, состоял только из вершин
степени 1.
97. Заданы граф, положительное целое число
и неотрицательное
целое число . Можно ли удалить часть ребер из графа таким образом,
чтобы осталось не менее
ребер, граф был бы связным и не имел вершин
степени более .
98. Задан орграф
и положительное целое число . Можно ли
удалить из орграфа часть дуг таким образом, чтобы осталось не менее
дуг
и для любой пары его вершин имелся по крайней мере один путь,
соединяющий их.
99. Задан граф. Удалить из него часть ребер (но не все!) таким образом,
чтобы любая вершина имела степень равную 3 или 0.
100. Задан орграф, в котором выделены две вершины, и целое число
. Пометить не более
дуг так, чтобы для любых двух путей, соединяющих
две выделенные вершины, существовала помеченная дуга, принадлежащая
ровно одному пути.
Вопросы к экзамену по дисциплине
по дисциплине «Теория графов и ее приложения»
специальность 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем»
1. Определение графа. Виды графов: простые графы, ориентированные
графы, мультиграфы, псевдографы.
2. Элементы графа: часть, подграф, правильный подграф, суграф.
3. Смежность и инцидентность. Свойства матриц смежности и
инцидентности.
4. Степени вершин графа. Лемма о рукопожатии.
5. Операции над графами.
6. Изоморфизм графов.
7. Полные, двудольные, регулярные графы.
8. Маршруты. Цепи. Циклы. Метрические характеристики графа.
9. Маршруты с заданным количеством ребер.
10. Нахождение кратчайших путей в графе (волновой алгоритм).
11. Нахождение кратчайших путей в графе (алгоритм Дейкстры).
12. Нахождение кратчайших путей в графе (алгоритм Белмана-Мура).
13. Связность. Компоненты связности. Теорема об оценке количества ребер в
связном графе.
14. Связность в орграфах.
15. Матрицы достижимости.
16. Транзитивное замыкание графа. Алгоритм Уоршолла.
17. Вершинная и реберная связность. Теорема о соотношении вершинной и
реберной связности в графе.
18. Теорема Менгера.
19. Независимые множества вершин и ребер. Доминирующие множества.
Теорема о максимальном независимом множестве.
20. Клики. Теорема о связи клик и независимых множеств.
21. Сети. Потоки в сетях.
22. Алгоритм Форда-Фалкерсона.
23. Определение свободного дерева. Свойства свободных деревьев.
24. Остов. Теорема Киркгофа (без доказательства).
25. Остов экстремального веса (алгоритм Прима).
26. Остов экстремального веса (алгоритм Краскала).
27. Кодирование свободных деревьев.
28. Ориентированные деревья и их свойства.
29. Упорядоченные деревья. Кодирование упорядоченных деревьев.
30. Бинарные деревья. Представление упорядоченного дерева бинарным.
31. Сбалансированные деревья. Теорема о высоте сбалансированного дерева.
32. Циклы. Фундаментальная система циклов.
33. Эйлеровы циклы. Теорема о необходимых и достаточных условиях.
34. Гамильтовновы циклы. Достаточные условия.
35. Планарные графы. Эйлерова характеристика планарных графов.
36. Раскраска графов. Теорема о раскраске планарного графа.
Примерные задачи к экзамену по дисциплине
по дисциплине «Теория графов и ее приложения»
специальность 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем»
№ 1. Заданы множества V – множество точек на координатной плоскости и
множество Е. Построить граф G(V, E)
1. Составить матрицы смежности и инцидентности.
2. Определить степени вершин.
3. Вычислить радиус и диаметр графа.
V х1 =(1, 3) х2 =(3, 5) х3 =(6, 5) х4 =(2, 2) х5 =(3, 3) х6 =(1, 0) х7 =(3, 0) х8 =(6, 2)
E х1, х2 , х2 , х5 , х2 , х3 , х2 , х4 , х1, х6 , х2 , х7 , х6 , х7
№ 2. По матрице смежности построить наглядное изображение графа
2
1
2
0
0
1 2 0 0
0 1 3 0
1 2 0 2 .
3 0 2 1
0 2 1 0
Определить тип графа (простой, мультиграф, псевдограф). Составить
матрицу инцидентности.
№ 3. По матрице инцидентности построить наглядное изображение графа
1
1
0
0
0 1 0 1
1 0 0 0
.
1 1 1 0
0 0 1 1
Определить тип графа. Составить матрицу смежности, определить степень
каждой вершины.
№ 4. Заданы графы G1 и G1 . Построить G1 G2 , G2 , G1 \ u, v.
u
v
G1
G2
№ 5. Найти эксцентриситеты вершин графа, радиус, диаметр, центральные и
периферийные вершины.
v3
v4
v7
v5
v6
v2
v8
v1
v12
v11
v9
v10
№ 6. Построить граф, центр которого состоит точно из трех вершин и не
совпадает с множеством всех вершин.
№ 7. С помощью волнового алгоритма найти кратчайшие расстояния от v1 до
всех остальных вершин графа
v5
v1
v3
v6
v8
v2
v4
v7
v9
v12
v11
v10
№ 8. По заданной матрице весов графа G найти путь от вершины х1 до
вершины х6 минимального веса. В каждом случае вычислить вес пути.
х1
х2
х1 6
х2
х3 5
х4
х5
х6
х3
х4
х5
11
5
6
7
6
4
х6
6
5
7
№ 9. По заданной матрице весов графа G найти путь от вершины х1 до
вершины х6 минимального веса. В каждом случае вычислить вес пути.
х1
х1
х2
х3
х4
х 5
х6
х2
х3
х4
х5
5 10 13
8
х6
9 13
5 3 6 .
8 10
9
№ 10. По данной матрице пропускных способностей найти максимальный
поток в сети G.
х1
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х7
х2
х3
х5
х6
9
х7
8 11 7 13
13 19
10 15
17 28
14
18 16
х4
№ 11. В графе найдите: наибольшее независимое множество вершин,
наименьшее доминирующее множество, максимальную клику. Определите
плотность графа.
v2
v3
e7
e1
e8
e5
e6
e2
v1
e4
e3
v4
v6
v5
№ 12. Для графа G, заданного матрицей весов, построить остов
минимального веса G и найти его вес G
х1
х2
х3
х4
х1 10 5
х 2 10 6 2
х3 6 3
х4 5 2 3
х5 4 1 6
х6 8 1
х7 14 3
х5
х6
14
.
1
3
5
2
2
4
1
6
5
х7
8
№ 13. Составьте код Прюфера для дерева
1
2
3
4
8
9
10
11
15
16
17
5
6
7
12
13
14
18
№ 14. Постройте дерево, для которого код Прюфера имеет вид
(3,3,7,4,6,5,2,9,5,3,6)
№ 15. Найдите цикломатическое число графа. Составьте матрицу
фундаментальных циклов.
v1
v2
v8
v3
v7
v4
v6
v5
№ 16. В связном графе 18 вершин. Сколько ребер содержит его остов?
№ 17. Укажите номера вопросов, на которые Вы дадите ответ «да». Верно ли,
что:
1) цикломатическое число дерева равно 0?
2) всякое дерево является планарным графом?
3) фундаментальная система циклов дерева состоит из одного цикла?
4) формула для нахождения цикломатического числа справедлива и для
непланарных графов?
5) формула для нахождения цикломатического числа справедлива и для
псевдографов?
6) одновершинный граф с одной петлей является деревом?
7) изолированная вершина может быть компонентой леса?
8) граф, в котором число ребер равно числу вершин может быть деревом?
№ 18. Определите хроматическое число графа
№ 19. Является ли граф планарным?
v2
v3
e7
e1
e8
e5
e6
e2
v1
e4
e3
v4
v5
v6
«Теория графов и ее приложения»
Вариант 1
Проверочный тест по дисциплине
«Теория графов и ее приложения»
Выполнил студент__________________________________________________
ФИО, группа
Вариант-1
ЗАДАНИЕ № 1 (выберите все правильные варианты ответа)
Укажите псевдографы
а)
б)
в)
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) а;
2) б
г)
3) в
д)
4) г;
5) д.
ЗАДАНИЕ № 2 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Укажите номера всех пар вершин, являющихся смежными
1
2
4
3
5
6
7
Рис.2.
1) 1 и 2;
2) 1 и 5;
3) 3 и 4;
5) 1 и 7;
6) 2 и 7;
7) 6 и 7;
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
4) 3 и 5;
8) 2 и 1.
ЗАДАНИЕ № 3 (выпишите правильный ответ)
Сколько вершин четных степеней в графе, изображенном на рисунке
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
__________________________________________________________________________________
Специальность 090303
Составитель: Н.Л. Додонова
«Теория графов и ее приложения»
Вариант 1
ЗАДАНИЕ № 4 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Укажите номера графов, изоморфных графу
1)
2)
3)
4)
5)
6)
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 5 (выпишите правильный ответ)
Сколько ребер в однородном (регулярном) графе, если n = 7 и p = 6?
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 6 (выпишите правильный ответ)
Укажите эксцентриситеты всех вершин графа
ВАРИАНТ ОТВЕТА: (выпишите последовательность правильных ответов в
порядке возрастания номеров вершин)
ЗАДАНИЕ № 7 (выпишите правильный ответ)
Сколько ребер имеет полный двудольный граф, если
;
?
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
__________________________________________________________________________________
Специальность 090303
Составитель: Н.Л. Додонова
«Теория графов и ее приложения»
Вариант 1
ЗАДАНИЕ № 8 (выпишите правильный ответ)
Дан граф
1
е1
е2
2
3
е5
е3
е4
4
е9
е6
5
е8
е7
е10
6
В нижеприведенном списке укажите маршруты, не являющиеся цепями
1) 2 е2 3;
4) 3 е4 4 е9;
7) е4 3 е2 2 е1
2) 1 е3 4 е4 3 е4 4 е31; 5) 3 е6 5 е104;
8) 1 е1 3 е2 4
3) 2 е2 3 е8 3;
6) 2 е2 3 е8 6 е10 5 е5 2 е2 3 е4 4;
9) 1 е1 2 е2 4 е3 1.
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 9 (выпишите правильный ответ)
Граф задан множеством вершин и множеством ребер: V={1, 2, 3, 4, 5, 6},
Е={{1, 2}, {2,6}, {3,4}}; 5) {{1, 2}, {2, 5}, {3, 6}}
Определите число компонент связности графа.
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 10 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Укажите номера гамильтоновых графов
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
__________________________________________________________________________________
Специальность 090303
Составитель: Н.Л. Додонова
«Теория графов и ее приложения»
Вариант 1
ЗАДАНИЕ № 11 (выпишите правильный ответ)
Найдите цикломатическое число графа
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
ЗАДАНИЕ № 12 (выпишите правильный ответ)
В связном графе 20 вершин и 40 ребер. Сколько ребер необходимо удалить, чтобы
получить остов?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
ЗАДАНИЕ № 13 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Укажите номера вопросов, на которые Вы ответите «да». Верно ли, что:
1)
цикломатическое число дерева равно нулю?
2)
всякое дерево является планарным графом?
3)
фундаментальная система циклов дерева состоит из одного цикла?
4)
одновершинный граф с одной петлей является деревом?
5)
изолированная вершина может быть компонентой леса?
6)
граф, в котором число ребер равно числу вершин, может быть
деревом?
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 14 (выпишите правильный ответ)
Дерево задано кодом Прюфера (1,4,3,3,3,5). Укажите номера висячих вершин
ВАРИАНТ ОТВЕТ:
__________________________________________________________________________________
Специальность 090303
Составитель: Н.Л. Додонова
«Теория графов и ее приложения»
Вариант 2
Проверочный тест по дисциплине
«Теория графов и ее приложения»
Выполнил студент__________________________________________________
ФИО, группа
Вариант-2
ЗАДАНИЕ № 1 (выберите все правильные варианты ответа)
Укажите мультиграфы
а)
б)
в)
г)
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
1) а;
2) б
3) в
д)
4) г;
5) д.
ЗАДАНИЕ № 2 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Укажите номера всех пар ребер, являющихся смежными
1
2
4
3
5
6
7
Рис.2.
1) {1, 4} и {2, 5};
2) {3, 4} и {4, 5};
4) {1, 7} и {2, 7};
5) {2, 6} и {5, 7};
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
3) {4, 6} и {2, 6};
6) {2, 6} и {2, 5};
ЗАДАНИЕ № 3 (выпишите правильный ответ)
Сколько вершин нечетных степеней в графе, изображенном на рисунке
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
__________________________________________________________________________________
Специальность 090303
Составитель: Н.Л. Додонова
«Теория графов и ее приложения»
Вариант 2
ЗАДАНИЕ № 4 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Укажите номера вопросов, на которые Вы дадите утвердительные ответы:
1) могут ли быть изоморфными графы, не содержащие ребер?
2) даны два полных графа с одинаковым числом вершин. При всякой ли
нумерации вершин сохраняются условия изоморфизма этих графов?
3) даны два однородных графа с одинаковым числом вершин. Всякая ли
нумерация вершин этих графов удовлетворяет условиям изоморфизма?
4) применимо ли понятие изоморфизма к псевдо графам?
5) может ли непустой граф быть изоморфным своему собственному подграфу?
6) является ли изоморфизм отношением эквивалентности?
7) могут ли быть изоморфными графы, содержащие разное число вершин?
8) могут ли быть изоморфными графы, содержащие разное число ребер?
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 5 (выпишите правильный ответ)
В полном графе 18 вершин. Сколько в нем ребер, инцидентных одной вершине?
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 6 (выпишите правильный ответ)
Укажите диаметр и радиус графа
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 7 (выпишите правильный ответ)
В полном двудольном графе степень каждой вершины множества
равна 6,
степень каждой вершины множества равна 8. Сколько ребер в графе?
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
__________________________________________________________________________________
Специальность 090303
Составитель: Н.Л. Додонова
«Теория графов и ее приложения»
Вариант 2
ЗАДАНИЕ № 8 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Дан граф
1
2
3
е1
е2
е5
е3
е4
4
е9
е6
5
е8
е7
е10
6
В нижеприведенном списке укажите цепи, не являющиеся простыми
1) 2 е2 3;
4) 3 е4 4 е9;
7) е4 3 е2 2 е1
2) 1 е3 4 е4 3 е8 6;
5) 3 е6 5 е104;
8) 1 е1 3 е2 4
3) 2 е2 3 е8 6 е7 2 е5 5;
6) 2 е2 3 е8 6 е10 5 е5 2;
9) 1 е1 2 е2 4 е3 1.
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 9 (выпишите правильный ответ)
Граф задан множеством вершин и множеством ребер: V={1, 2, 3, 4, 5, 6},
Е={{1,6}, {2, 3}, {3, 4}}; 8) {{1, 2}, {2, 3}, {4, 5}}.
Определите число компонент связности графа.
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 10 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Укажите номера полугамильтоновых графов
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
__________________________________________________________________________________
Специальность 090303
Составитель: Н.Л. Додонова
«Теория графов и ее приложения»
Вариант 2
ЗАДАНИЕ № 11 (выпишите правильный ответ)
Найдите цикломатическое число графа
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
ЗАДАНИЕ № 12 (выпишите правильный ответ)
В дереве 25 вершин. К нему добавили 4 ребра. Сколько ребер стало в графе?
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:
ЗАДАНИЕ № 13 (выпишите последовательность номеров правильных ответов в
порядке возрастания)
Укажите номера вопросов, на которые Вы ответите «да»:
1) может ли двудольный граф содержать петли?
2) является ли двудольным граф, содержащий одну вершину?
3) может ли быть двудольным простой граф, содержащий 35 ребер?
4) во всяком ли полном двудольном графе существует гамильтонов цикл?
5) существует ли двудольный граф, содержащий замкнутую эйлерову цепь?
6) существуют ли связные двудольные графы, в которых все вершины
множества являются четными, а все вершины множества — нечетными?
ВАРИАНТ ОТВЕТА:
ЗАДАНИЕ № 14 (выпишите правильный ответ)
Найдите код Прюфера для дерева
ВАРИАНТ ОТВЕТ:
__________________________________________________________________________________
Специальность 090303
Составитель: Н.Л. Додонова
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
(СГАУ)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Наименование модуля (дисциплины)
Теория графов и ее приложения
Цикл, в рамках которого происходит
освоение модуля (дисциплины)
Часть цикла
Математический и естественнонаучный
цикл
базовая часть
Код учебного плана
090303.2.65-2011-О-П-4г00м
Факультет
информатики
Кафедра
прикладной математики
Курс
3
Семестр
5
Лекции (СЛ)
36
Семинарские и практические занятия (СП)
36
Лабораторные занятия (СЛР)
0
Экзамен
Контроль самостоятельной работы /
Индивидуальные занятия (КСР / ИЗ)
0
Зачет
Самостоятельная работа (СРС)
Всего (Всего с экзаменами)
36
108
28.10.2013
5
090303.2.65-2011-О-П-4г00м
Наименование стандарта, на основании которого составлена рабочая программа:
090303 "Информацтонная безопасность автоматизированных систем"
Соответствие содержания рабочей программы, условий ее реализации,
материально-технической и учебно-методической обеспеченности учебного
процесcа по дисциплине всем требованиям государственных стандартов
подтверждаем.
Составители:
к.ф.-м.н., доц. Додонова Н.Л.
_________________________________
(подпись)
Заведующий кафедрой:
д.т.н., проф. Привалов А.Ю.
_________________________________
(подпись)
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры
прикладной математики
Протокол №___ от "____" _____________ 20___ г.
Наличие основной литературы в фондах научно-технической библиотеки (НТБ)
подтверждаем:
Директор НТБ
________________
(подпись)
/______________________/
(расшифровка подписи)
________________
(подпись)
/______________________/
(расшифровка подписи)
Согласовано:
Декан
28.10.2013
2
090303.2.65-2011-О-П-4г00м
1 Цели и задачи модуля (дисциплины),
требования к уровню освоения содержания
1.1 Перечень развиваемых компетенций
ОК-3, ОК-9 - общекультурные компетенции
ПК-2, ПК-3 - профессиональные компетенции
ПСК-7.1 - профессионально-специализированные компетенции
1.2 Цели и задачи изучения модуля (дисциплины)
Знакомство с фундаментальными понятиями теории графов для последующего
свободного использования моделей и алгоритмов теории графов к различным
задачам.
1.3 Требования к уровню подготовки студента,
завершившего изучение данного модуля (дисциплины)
В pезультате изучения дисциплины студент должен:
1. иметь пpедставление об основных понятиях теории графов;
2. знать и уметь использовать методы теории графов для решения практических
задач;
3. иметь навыки применения алгоритмов теории графов для
решенияоптимизационных задач.
1.4 Связь с предшествующими модулями (дисциплинами)
Для успешного усвоения курса студентам достаточно знакомства с основными
сведениями из теории множеств и комбинаторики, изучение которых ведется в
рамках курса «Дискретная математика».
1.5 Связь с последующими модулями (дисциплинами)
Сведения, полученные при изучении этого курса необходимы для дальнейшего
освоения следующих дисциплин: организация ЭВМ и вычислительных систем,
основы информационной безопасности, разработка и эксплуатация защищенных
автоматизированных систем и др.
2 Содержание рабочей программы (модуля)
Семестр 1
СЛ 0,3333
36 часов Активные 0,5
1 ЗЕТ
Начальные понятия: виды графов;
изоморфизм графов; операции над графами;
понятия смежности и инцидентности
Маршруты, цепи, циклы: метрические
характеристики графов, алгоритмы
нахождения экстремальных маршрутов
Связность: компоненты связности;
компоненты сильной связности в орграфах;
транзитивное замыкание
Покрытия в графах: независимые и
доминирующие множества; клики
Сети, потоки в сетях: определение сети,
понятие потока и его свойства, теорема
Интерактивные 0,5
Форда-Фалкерсона. Элементы сетевого
планирования
Деревья: свободные деревья, кодирование
свободных деревьев. Остов графа.
Алгоритмы нахождения остовов
экстремального веса. Ориентированные
деревья. Упорядоченные деревья.
Сбалансированные деревья.
Циклы. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Фундаментальные системы циклов.
Цикломатическое число графа
Планарные графы. Раскраски графов.
Хроматическое число
Традиционные 0
СП 0,3333
Виды графов; изоморфизм графов; операции
36 часов Активные 0,5
над графами; матрицы смежности и
1 ЗЕТ
инцидентности; лемма о рукопожатиях
Метрические характеристики графов:
радиус, диаметр, эксцентриситеты вершин.
Алгоритм Дейкстры, алгоритм
Беллмана-Мура, алгоритм Флойда
нахождения экстремальных маршрутов
ахождение компонент связности в
неориентированных графах. Компоненты
сильной связности в орграфах. Транзитивное
замыкание, алгоритм Уоршолла
Нахождение независимых и доминирующих
множеств. Максимальные клики
Построение максимального потока в сети,
Интерактивные 0,5 алгоритм Форда-Фалкерсона. Элементы
сетевого планирования
Свободные деревья, кодирование свободных
деревьев. Остов графа. Алгоритмы Прима и
Краскала нахождения остовов
экстремального веса. Ориентированные
деревья. Упорядоченные деревья.
Сбалансированные деревья.
Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Построение фундаментальной системы
циклов. Цикломатическое число графа
Планарные и плоские графы. Раскраски
графов. Хроматическое число
Традиционные 0
СЛР 0
0 часов
0 ЗЕТ
Активные 0
Интерактивные 0
Традиционные 0
КСР 0
0 часов
0 ЗЕТ
Активные 0
Интерактивные 0
Традиционные 0
СРС 0,3333
36 часов Активные 0
1 ЗЕТ
Интерактивные 1
Традиционные 0
ИДЗ №1: Графы. Операции над графами
ИДЗ №2: Кратчайшие маршруты
ИДЗ №3: Связность
ИДЗ №4: Сети. Потоки в сетях
ИДЗ №5: Деревья
ИДЗ №6: Циклы
ИДЗ №7: Планарные графы
3 Инновационные методы обучения
1. Использование тестов для текущего и семестрового контроля знаний студентов
в компьютерном классе.
2. Использование электронных изданий методических материалов
присамостоятельной работе студентов.
4 Технические средства и материальное обеспечение
учебного процесса
Компьютерный класс, используемый при проведении контрольного тестирования.
5 Учебно-методическое обеспечение
5.1 Основная литература
1. Дискретная математика для программистов./ Новиков Ф.А.-СПб.; Питер, 2006.
–304 с. (4 экз)
2. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение [Текст] /
В.Н. Касьянов, В. А. Евстигнеев. - СПб. : БХВ-Петербург, 2003. - 1104 с. (5 экз).
5.2 Дополнительная литература
1. Харари Ф. Теория графов. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009г. – 296с.
2. Оре О. Графы и их применение. – М.: КомКнига, 2006 г. – 168с.
3. Теория графов [Текст] : Алгоритмы обработки бесконтурных графов / В.
А.Евстигнеев, В. Н. Касьянов ; отв. ред. И. В. Поттосин ; Рос. акад. наук,
Сиб.отд-ние, Ин-т систем информатики. - Новосибирск : Наука. Сиб. предприятие
РАН, 1998. - 385 с. (4 экз)
5.3 Электронные источники и интернет ресурсы
Электронный каталог библиотеки СГАУhttp://lib.ssau.ru/digicat
5.4 Методические указания и рекомендации
Текущий контроль знаний студентов в семестре завершается на отчетном занятии,
результатом которого является допуск или недопуск студента к экзамену по
дисциплине. Основанием для допуска к экзамену является выполнение студентом
всех индивидуальных заданий. Экзамен проводится согласно положению о
текущем и промежуточном контроле знаний студентов, утвержденному ректором
университета. Экзамен ставится на основании письменного ответа студента
побилету, а также, при необходимости, ответов на дополнительные вопросы.
Билет включает один теоретическийвопрос и две задачи. В качестве
дополнительного задания может быть предложен как теоретический вопрос, так и
задача.
