L5

Лекція 5. Площина і пряма у просторі. Поверхні другого
порядку
5.1 Рівняння площини у просторі.
5.1.1 Загальне рівняння площини.
Нехай задана площина  , n A; B; C  - вектор,
перпендикулярний (нормальний) до площини
,
M x; y; z  - довільна точка площини,
A0 x0 ; y 0 ; z 0  - фіксована точка площини.
A0 M  x  x0 ; y  y 0 ; z  z 0 
- рівняння площини, що має нормальний
вектор.
1) A  0 ,
- рівняння площини в загальному
вигляді.
Дослідження:
By  Cz  D  0 - рівняння площини, паралельної осі Ох;
2) B  0 ,
Ax  Cz  D  0 - рівняння площини, паралельної осі Оу;
3) C  0 ,
Ax  By  D  0 - рівняння площини, паралельної осі Оz;
4) D  0 , Ax  By  Cz  0 - рівняння площини, що проходить через початок
системи координат;
5) A  B  0 ,
Cz  D  0 - рівняння площини, паралельної площині ХОУ;
6) A  C  0 ,
By  D  0 - рівняння площини, паралельно площині ХОZ;
7) B  C  0 ,
Ax  D  0 - рівняння площини, паралельно площині УОZ;
5.1.2 Рівняння площини у відрізках на осях.
Ax  By  Cz  D  0
- рівняння площини у відрізках на осях
1
5.1.3 Рівняння площини, що проходить через три точки.
Точки M 1 x1 ; y1 ; z1  , M 2 x2 ; y2 ; z 2  , M 3 x3 ; y3 ; z 3  - фіксовані
точки площини, M x; y; z  - довільна точка площини.
З цих чотирьох точок утворимо три вектори
M 1 M  x  x1 ; y  y1 ; z  z1 
M 1 M 2  x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 
M 1 M 3  x3  x1 ; y 3  y1 ; z 3  z1 
Ці вектори лежать в одній площині, якщо їх змішаний добуток дорівнює нулю.
- рівняння площини, що
проходить через три точки.
5.1.4 Взаємне розміщення двох площин.
Нехай дві площини  1 і  2 задані загальними рівняннями
1 :
2 :
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
Дві площини паралельні, якщо
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
Дві площини перпендикулярні, якщо скалярний добуток їх нормальних векторів
n1  A1 ; B1 ; C1  , n 2  A2 ; B2 ; C2  дорівнює нулю: A1 A2  B1 B2  C1C2  0 .
Кут між двома площинами знаходиться як кут між нормальними векторами цих
площин
cos 
n1  n2
n1  n2

A1 A2  B1 B2  C1C 2
A  B12  C12  A22  B22  C 22
2
1
Відстань від точки M 0 x0 ; y0 ; z 0  до площини Ax  By  Cz  D  0 обчислюється за
формулою d 
Ax 0  By 0  Cz 0  D
A2  B 2  C 2
5.2 Рівняння прямої у просторі.
5.2.1 Загальне рівняння прямої у просторі.
Пряму можна задати як перетин двох площин:
(1)
Напрямний вектор прямої, заданої системою (1) обчислюється за формулою
i
j
k
a  n1  n2  A1
B1
C1
A2
B2
C2
2
5.2.2 Канонічне рівняння прямої.
Нехай M 0 x0 ; y0 ; z 0  - довільна точка прямої, ak ; l; m напрямний вектор прямої, координати якого обчислюються з
системи (1) k 
B1
C1
B2
C2
l
A1
C1
A2
C2
m
A1
B1
A2
B2
- канонічне рівняння
5.2.3 Параметричні рівняння прямої.
- параметричні рівняння, де M 0 x0 ; y0 ; z 0  - задана точка, що
належить прямій, ak ; l; m - напрямний вектор прямої.
5.2.4 Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
Якщо пряма проходить через дві точки у просторі M 1 x1 ; y1 ; z1  , M 2 x2 ; y2 ; z 2  , то :
5.3 Кут між прямою і площиною.
Нехай  - кут між прямою  і площиною  ,  - кут
між нормальним вектором n A; B; C  площини  і
напрямним вектором ak ; l; m прямої 
Кут між прямою
x  x0 y  y 0 z  z 0


k
l
m
і площиною
Ax  By  Cz  D  0 знаходять за формулою
Умова паралельності прямої
x  x0 y  y 0 z  z 0


k
l
m
і площини Ax  By  Cz  D  0 :
Ak  B l  Cm  0
Умова перпендикулярності прямої
x  x0 y  y 0 z  z 0
і площини


k
l
m
Ax  By  Cz  D  0 :
A B C
 
k
l m
5.4 Окремі випадки задання площини у просторі.
3
5.4.1 Рівняння площини, яка проходить через задану пряму,
перпендикулярно до заданої площини.
x  x0 y  y 0 z  z 0
, а площина  задана


k
l
m
Ax  By  Cz  D  0 причому    . Тоді рівняння має вигляд:
Нехай пряма  задана рівнянням
рівнянням
5.4.2 Рівняння площини, яка проходить
через дві паралельні прямі.
Дві паралельні прямі l1 і l2 задані відповідно рівняннями
l1 :
x  x1 y  y1 z  z1


k
l
m
l2 :
x  x2 y  y 2 z  z 2


k
l
m
- рівняння шуканої площини.
5.4.3 Рівняння площини, яка проходить через дві прямі, що
перетинаються.
Дві прямі, що перетинаються l1 і l2 задані відповідно рівняннями
l1 :
x  x1 y  y1 z  z1


k1
l1
m1
l2 :
x  x2 y  y 2 z  z 2


k2
l2
m2
Тоді:
- рівняння шуканої площини.
4
5.4.4 Рівняння площини, яка проходить через задану пряму і
задану точку.
x  x0 y  y 0 z  z 0
і точка M 1 x1 ; y1 ; z1 


k
l
m
Дана пряма l задана рівнянням l :
( M1  l ) .
Тоді:
- рівняння шуканої площини.
Поверхні другого порядку
Означення Поверхнею другого порядку називається множина точок,
прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду:
ах2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz + 1 = 0,
де принаймні один з коефіцієнтів а, b, c, d, e, f відмінний від нуля. Це рівняння
називається загальним рівнянням поверхні другого порядку.
Еліпсоїд — замкнена
центральна
поверхня
другого порядку. Еліпсоїд
має центр симетрії та три
осі, які називаються осями
еліпсоїда. Точки перетину
координатних
осей
з
еліпсоїдом
називаються
його вершинами. Переріз
еліпсоїда площинами є
еліпсами (зокрема, завжди
можна вказати кругові
перерізи еліпсоїда).
Сфе́ра
замкнена
поверхня,
геометричне
місце
точок
рівновіддалених від даної
точки, що є центром
сфери.
-
Еліптичний
5
параболоїд виглядає як
овальна чашка й може
мати точку максимуму або
мінімуму.
де a, b, с- дійсні півосі
Гіперболічний
параболоїд (не плутати з
гіперболоїдом) — це двічі
лінійчата поверхня, що має
вигляд сідла.
Гіперболоїд
однопорожнинний
де a і b- дійсні півосі, а cуявна піввісь;
Гіпеболоїд
двопорожнинний
де a і b - уявні півосі, а cдійсна піввісь.
6
Конус
Еліптичний циліндр
Гіперболічний
циліндр
Параболічний
циліндр
7