Титул Мазунин АГ 1 1. 2. 3. 4. Задача. Изобразить в масштабе расчетную схему фермы (рис. 1) в соответствии с данными таблицы 1. От собственного веса фермы – q, равномерно распределенного по всей длине, определить аналитически усилия в трех элементах фермы, указанных в таблице 1. Построить линии влияния усилий в тех же элементах. Сравнить величины усилий, полученные аналитически и по линиям влияния. Исходные данные: Шифр 2020-СЖД-449 Таблица 1 Номер схемы 4 q, кН/м d, м H/d 5 7 1,1 Рисунок 1 2 Элементы U3 D4 V4 Решение. Определим геометрические параметры фермы. Н/d = 1,1; Н = 1,1 * d = 1,1 * 7 = 7,7 м; Н/2 = 7,7 / 2 = 3,85 м; l = 8d = 8 * 7 = 56 м. Вычерчиваем заданную расчетную схему фермы в масштабе (рис. 2). Указываем распределенную нагрузку q, которую можно заменить узловой F. Рисунок 2 Вес фермы можно представить в виде узловой нагрузки. В любой узел фермы стягивается нагрузка с прилегающей панели, то есть F = q * d = 5 * 7 = 35 кН, а на крайние панели фермы нагрузка стягивается с половины панели: F/2.= (q * d) / 2 = 17,5 кН. Исследуемые стержни выделены на рис. 2: U3, D4, V4. Подсчитаем степень статической определимости, которая должна удовлетворять условию W = 0, по формуле W = 2У – СФ - СОП = 2 * 18 – 33 – 3 = 0 где У = 18 – число узлов фермы, включая опорные; CФ = 33– число стержней фермы; СОП = 3 – число опорных связей. Таким образом заключаем, что данная ферма статически определима. Анализируя структуру фермы, видим, что ферма геометрически неизменяема, поскольку образована последовательным соединением стержней, соединенных шарнирами, в виде треугольника, представляющего собой неизменяемый диск. Определяем опорные реакции в ферме: ΣMA = 0: RB * 8d - q * 8d * 4d = 0; RB = 3 q ∗ 8d ∗ 4d 8𝑑 = 5∗4∗7 1 = 140 кН; RА = RB = 140 кН; ΣFy = 0: RA + RВ = q * 8 *d; 280 кН = 280 кН. Реакции опор определены верно. Рассчитаем усилия в заданных стержнях фермы от постоянной нагрузки. Усилие в стержне D4. Используем способ проекций. Условие равновесия левой части фермы: ΣYлевых сил = 0: RA – D4 * Sin48º - 3F – F/2 = 0; D4 = RA − 3 F+ F/2 Sin48º = 140−105−17,5 0,743 = 23,553 Кн. Усилие в стержне U3. Используем способ проекций. Условиеравновесия левой части фермы: ΣYлевых сил = 0: RA - U3 * Sin10º - 2F – F/2 = 0; U3 = RA − 2F− F/2 Sin10º = 140−2∗35−17,5 0,174 = 301,724 Кн. Усилие в стержне V4. Используем способ проекций. Условиеравновесия левой части фермы: ΣYлевых сил = 0: RA – V4 - 2F – F/2 = 0; V4 = - 140 + 2 * 35 + 17,5 = -52,5 кН. Построим линии влияния опорных реакций. RА = 𝑙−𝑥 𝑙 𝑥 ; RВ = . 𝑙 Линия влияния D4. Строим левую прямую, когда единичный груз Р = 1 занимает положение 0 ≤ х ≤ 3d. Используем способ моментной точки. Используем способ проекций. ΣY = 0: D4 * Cos42º + RВ = 0; D4 = − RВ Cos42º = − RВ 0,743 = - 1,35RВ. Строим правую прямую, когда единичный груз Р = 1 занимает положение 5d ≤ х ≤ 8d. ΣY = 0: RA – D4 * Sin48º = 0; D4 = RА Sin48º = RА 0,743 = 1,35RA. Линия влияния U3. Строим левую прямую (Р = 1 € 0 ≤ х ≤ 2d). Используем способ проекций. ΣY = 0: U3 * Cos80º + RВ = 0; U3 = − RВ Cos80º = − RВ 0,174 = - 5,75RВ. Строим правую прямую (Р = 1 € 4d ≤ х ≤ 8d). ΣY = 0: RA - U3 * Sin10º = 0; U3 = RА Sin10º = RА 0,174 = 5,75RA. Линия влияния V4. Строим левую прямую (Р = 1 € 0 ≤ х ≤ 3d). Используем способ проекций. ΣY = 0: - V4 + RВ = 0; V4 = RВ. Строим правую прямую (Р = 1 € 4d ≤ х ≤ 8d). 4 ΣY = 0: V4 + RА = 0; V4 = - RА. Сравним величины усилий, полученные аналитическим способом и по линиям влияния. Загружаем линию влияния усилия D4 постоянной нагрузкой – собственным весом фермы интенсивностью q = 5 кН/м. D4 = q * ω = 5 * (0.5 * у * 2d + 0.5 * y * 6d) = = 5 * (0.5 * (-0,5) * 24,5 + 0.5 * 0,7 * 31,5) = 24,5 кН. Погрешность вычисления – расхождение с аналитическим результатом составляет Δ= | 23,553−24,5 23,553 | * 100% = 4,05%. Загружаем линию влияния усилия U3 постоянной нагрузкой – собственным весом фермы интенсивностью q = 5 кН/м. U3 = q * ω = 5 * (0.5 * (- 1,45) * 17,5 + 0.5 * 3,7 * 38,5) = 292,688 кН. Погрешность вычисления – расхождение с аналитическим результатом составляет Δ= | 301,724−292,688 301,724 | * 100% = 2,99%. Загружаем линию влияния усилия V4 постоянной нагрузкой – собственным весом фермы интенсивностью q = 5 кН/м. V4 = q * ω = 5 * (0.5 * 0,3 * 17,5 + 0.5 * (- 0,7) * 38,5) = - 54,25 кН. Погрешность вычисления – расхождение с аналитическим результатом составляет Δ= | − 52,5 −(−54,25) − 52,5 | * 100% = 3,33%. Различие результатов аналитического расчета и расчета по линиям влияния не должно превышать 5%, следовательно, расчеты проведены верно. 5 Рисунок 3 6
