строймех

Титул
Мазунин АГ
1
1.
2.
3.
4.
Задача.
Изобразить в масштабе расчетную схему фермы (рис. 1) в соответствии с
данными таблицы 1.
От собственного веса фермы – q, равномерно распределенного по всей
длине, определить аналитически усилия в трех элементах фермы, указанных в таблице 1.
Построить линии влияния усилий в тех же элементах.
Сравнить величины усилий, полученные аналитически и по линиям влияния.
Исходные данные:
Шифр 2020-СЖД-449
Таблица 1
Номер
схемы
4
q, кН/м
d, м
H/d
5
7
1,1
Рисунок 1
2
Элементы
U3
D4
V4
Решение.
Определим геометрические параметры фермы.
Н/d = 1,1; Н = 1,1 * d = 1,1 * 7 = 7,7 м; Н/2 = 7,7 / 2 = 3,85 м;
l = 8d = 8 * 7 = 56 м.
Вычерчиваем заданную расчетную схему фермы в масштабе (рис. 2). Указываем распределенную нагрузку q, которую можно заменить узловой F.
Рисунок 2
Вес фермы можно представить в виде узловой нагрузки. В любой узел
фермы стягивается нагрузка с прилегающей панели, то есть
F = q * d = 5 * 7 = 35 кН,
а на крайние панели фермы нагрузка стягивается с половины панели:
F/2.= (q * d) / 2 = 17,5 кН.
Исследуемые стержни выделены на рис. 2: U3, D4, V4.
Подсчитаем степень статической определимости, которая должна удовлетворять условию W = 0, по формуле
W = 2У – СФ - СОП = 2 * 18 – 33 – 3 = 0
где У = 18 – число узлов фермы, включая опорные;
CФ = 33– число стержней фермы;
СОП = 3 – число опорных связей.
Таким образом заключаем, что данная ферма статически определима. Анализируя структуру фермы, видим, что ферма геометрически неизменяема, поскольку образована последовательным соединением стержней, соединенных
шарнирами, в виде треугольника, представляющего собой неизменяемый диск.
Определяем опорные реакции в ферме:
ΣMA = 0: RB * 8d - q * 8d * 4d = 0; RB =
3
q ∗ 8d ∗ 4d
8𝑑
=
5∗4∗7
1
= 140 кН;
RА = RB = 140 кН;
ΣFy = 0: RA + RВ = q * 8 *d; 280 кН = 280 кН.
Реакции опор определены верно.
Рассчитаем усилия в заданных стержнях фермы от постоянной нагрузки.
Усилие в стержне D4. Используем способ проекций. Условие равновесия
левой части фермы:
ΣYлевых сил = 0: RA – D4 * Sin48º - 3F – F/2 = 0;
D4 =
RA − 3 F+ F/2
Sin48º
=
140−105−17,5
0,743
= 23,553 Кн.
Усилие в стержне U3. Используем способ проекций. Условиеравновесия
левой части фермы:
ΣYлевых сил = 0: RA - U3 * Sin10º - 2F – F/2 = 0;
U3 =
RA − 2F− F/2
Sin10º
=
140−2∗35−17,5
0,174
= 301,724 Кн.
Усилие в стержне V4. Используем способ проекций. Условиеравновесия
левой части фермы:
ΣYлевых сил = 0: RA – V4 - 2F – F/2 = 0;
V4 = - 140 + 2 * 35 + 17,5 = -52,5 кН.
Построим линии влияния опорных реакций.
RА =
𝑙−𝑥
𝑙
𝑥
; RВ = .
𝑙
Линия влияния D4. Строим левую прямую, когда единичный груз Р = 1 занимает положение 0 ≤ х ≤ 3d. Используем способ моментной точки. Используем
способ проекций.
ΣY = 0:
D4 * Cos42º + RВ = 0; D4 =
− RВ
Cos42º
=
− RВ
0,743
= - 1,35RВ.
Строим правую прямую, когда единичный груз Р = 1 занимает положение
5d ≤ х ≤ 8d.
ΣY = 0:
RA – D4 * Sin48º = 0; D4 =
RА
Sin48º
=
RА
0,743
= 1,35RA.
Линия влияния U3. Строим левую прямую (Р = 1 € 0 ≤ х ≤ 2d). Используем
способ проекций.
ΣY = 0:
U3 * Cos80º + RВ = 0; U3 =
− RВ
Cos80º
=
− RВ
0,174
= - 5,75RВ.
Строим правую прямую (Р = 1 € 4d ≤ х ≤ 8d).
ΣY = 0:
RA - U3 * Sin10º = 0; U3 =
RА
Sin10º
=
RА
0,174
= 5,75RA.
Линия влияния V4. Строим левую прямую (Р = 1 € 0 ≤ х ≤ 3d). Используем
способ проекций.
ΣY = 0: - V4 + RВ = 0; V4 = RВ.
Строим правую прямую (Р = 1 € 4d ≤ х ≤ 8d).
4
ΣY = 0: V4 + RА = 0; V4 = - RА.
Сравним величины усилий, полученные аналитическим способом и по линиям влияния.
Загружаем линию влияния усилия D4 постоянной нагрузкой – собственным весом фермы интенсивностью q = 5 кН/м.
D4 = q * ω = 5 * (0.5 * у * 2d + 0.5 * y * 6d) =
= 5 * (0.5 * (-0,5) * 24,5 + 0.5 * 0,7 * 31,5) = 24,5 кН.
Погрешность вычисления – расхождение с аналитическим результатом
составляет
Δ= |
23,553−24,5
23,553
| * 100% = 4,05%.
Загружаем линию влияния усилия U3 постоянной нагрузкой – собственным весом фермы интенсивностью q = 5 кН/м.
U3 = q * ω = 5 * (0.5 * (- 1,45) * 17,5 + 0.5 * 3,7 * 38,5) = 292,688 кН.
Погрешность вычисления – расхождение с аналитическим результатом
составляет
Δ= |
301,724−292,688
301,724
| * 100% = 2,99%.
Загружаем линию влияния усилия V4 постоянной нагрузкой – собственным весом фермы интенсивностью q = 5 кН/м.
V4 = q * ω = 5 * (0.5 * 0,3 * 17,5 + 0.5 * (- 0,7) * 38,5) = - 54,25 кН.
Погрешность вычисления – расхождение с аналитическим результатом
составляет
Δ= |
− 52,5 −(−54,25)
− 52,5
| * 100% = 3,33%.
Различие результатов аналитического расчета и расчета по линиям влияния
не должно превышать 5%, следовательно, расчеты проведены верно.
5
Рисунок 3
6