Курсовая по ТОЭ Исследование линейной цепи в переходных и устано

Государственный комитет РФ по высшему образованию
Санкт-Петербургский государственный электротехнический
университет
Кафедра теоретических основ электротехники
Курсовая работа по теоретическим основам электротехники
Исследование линейной цепи в
переходных и установившемся
периодическом режимах
Башарин С.А.
Преподаватель
Студент гр. 2211
Тимофеев Ю.В.
Санкт-Петербург
2004г.
Содержание
Задание к курсовой работе……………………………………………………………………………………………3
Нормировка параметров цепи…………………………………………………………………………………………4
1. Анализ цепи во временной области методом переменных
состояния при постоянных воздействиях………………………………………………4
2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом
воздействии……………………………………………………………………………………………………………………8
3. Качественный анализ цепи частотным методом при
апериодическом воздействии……………………………………………………………………………11
4. Анализ цепи частотным методом при периодическом
Воздействии……………………………………………………………………………………………………………………15
Вывод…………………………………………………………………………………………………………………………………………………19
Список использованной литературы…………………………………………………………………………20
2
ЗАДАНИЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ
1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при
постоянных воздействиях;
2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии;
3. Качественный анализ цепи частотным методом при апериодическом
воздействии;
4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии.
R1  10 3 Îì ;
R2  0,5  10 3 Îì ;
R3  8  10 3 Îì ;
R Í  10 3 Îì ;
L  0.08 Ãí ; Ñ  0.05  10 6 Ô ; i 0 (t )  3  10 3 A; U 0 (t )  9   1 (t );
I m  2 10 3 A;
t È  5  10 5 ñ; T  9  10 5 ñ;
3
НОРМИРОВКА ПАРАМЕТРОВ ЦЕПИ
R* 
R
t
; t*  ;
tá
Rá
Rá  R H  10 3 Îì ;
t á  t È  5  10 5 ñ;
R *1  1; R *2  0,5; R *3  8;
L
C
L* 
 1,6; C* 
 1;
Lá
Cá
U á  1Â; I á 
U* 
t* 
U
 9;
Uá
Lá  Rá t á  5  10 2 Ãí ;
Ñá 
tá
 5  10 8 Ô ;
Rá
R *Í  1;
Uá
1
 3  10 3 À;
Rá 10
I
I* 
 3;
Iá
T
t
 1; T *   1.8;
tá
tá
Im* 
Im
 2;
Iá
Далее индекс «*» опускается
1. Анализ цепи во временной области методом переменных
состояния при постоянных воздействиях
1.1. Составление уравнений состояния цепи для t  0
Сведем динамическую цепь к резистивной (заменим С-элемент источником
напряжения, а L-элемент заменим на источник тока):
Выразим переменные состояния (ic и UL), используя метод узловых
напряжений
4
U2  UC ;
Ó
G11U 1  G12U 2  G13U 3  i1
Ó
Ó
Ó
Ó
G31U1  G32U 2  G33U 3  i3
Ó
Ó
Ó
Ó
Определяем коэффициенты:
1
1
1
1
1
G11 
 1; G33 


 3,125; G12  0; G13  G31  0; G32  
 2;
R1
R 2 R3 R Í
R2
U
Ó
Ó
i1  i0  i L ; i3  0 ;
RH
U1
Ó
После подстановки численных значений получаем:
 3  iL ;
U2  UC ;
Ó
U 3  2.88  0.64U C ;
Ó
Все переменные выражаем через переменные состояния и воздействия:
Ó
Ó
dU C
U2 U3
iC  C
 iL 
 0.72U C  i L  5.76;
dt
R2
di
Ó
Ó
U L  L L  U1  U 2  3  iL  U C ;
dt
Уравнения состояния цепи:
U C  0.72U C  i L  5.76;
i L  0.625U C  0.625i L  1.875;
1.2. Нахождение точных решений уравнений состояния
Общий вид решений уравнений состояния:
U C (t )  U Câ  U Cñâ ;
i L (t )  i Lâ  i Lñâ ;
1) Независимые начальные условия t  0 

R3 R H 
 3   1  8 
i 0   R2 
R

R
3
H 

 2 9  75
i1 


 1.744;
R3 R H
1 8
43
1 
R1  R2 
2 9
R3  R H
5
i 0  R1
3 1
54


 1.256;
R3 R H
1 8 43
1 
R1  R 2 
2 9
R3  R H
75
U C (0  )  U 1  R1  i1 
 1.744;
43
i L (0  ) 
2) Определяем вынужденные составляющие при t  
 0.72U Câ  i Lâ  5,76  0;
 0.625U Câ  0,625i Lâ  1,875  0;
U Câ  5.093;
i Lâ  2,093;
3) Определяем корни характеристического многочлена
pE  A  0;
p  0.72
1
0.625
p  0.625
 p 2  1.345 p  1.075  0;
p1, 2  0.673  0.789 j
4) Определяем постоянные интегрирования (t  0  )
U C (t )  5.093  e 0.673t ( A1 cos(0.789t )  A2 sin( 0.789t );
i L (t )  2.093  e 0.673t ( A3 cos(0.789t )  A4 sin( 0.789t );
U C (0  )  5.093  A1 ;
U C (0  )  0.673 A1  0.789 A2 ;
U C (0  )  U C (0  )  1.744;
i L (0  )  i L (0  )  1.256;
U C (0  )  0.72  U C (0  )  i L (0  )  5.76  5.76;
A1  3.349;
A2  4.444;
i L (0  )  2.093  A3 ;
U C (0  )  0.673 A3  0.789 A4 ;
i L (0  )  i L (0  )  1.256;
U C (0  )  U C (0  )  1.744;
i L (0  )  3.625  U C (0  )  0.625i L (0  )  1.875  5.232;
A3  3.349;
A4  3.775;
6
Точное решение уравнений состояния:
U C (t )  5.093  e 0.673t (3.349 cos(0.789t )  4.444 sin( 0.789t );
i L (t )  2.093  e 0.673t (3.349 cos(0.789t )  3.775 sin( 0.789t );
1.3. Построение точных решений уравнений состояния:
Ðèñ.1 Ðåøåíèå 1-îãî óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ
6
5
Uc( t )
4
3
2
0
2
4
6
8
10
12
10
12
t
Ðèñ.2 Ðåøåíèå 2-îãî óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ
0
2
4
6
8
i( t )
2
t
7
2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом
воздействии
Операторная схема замещения:
2.1. Определение функции передачи
Применим метод пропорциональных величин для нахождения функции
I ( s)
передачи H I ( s)  H
;
I 0 ( s)
1
1
16s
ZC 
 ; ZL  s  L 
;
sC s
10
I H (s)  1; U H (s)  RH  I H (s)  1;
U ( s) 1
I 3 ( s)  3
 ; U 3 (s)  U H (s)  RH  I H (s)  1;
R3
8
1
9
9
I 2 ( s )  I 3 ( s )  I H ( s )   1  ; U 2 ( s )  R2  I 2 ( s )  ;
8
8
16
U ( s) 25s
9 25
U C ( s)  U 2 ( s)  U 3 ( s)  1 
 ; I C ( s)  C

;
16 16
ZC
16
25s 9 25s  18
(25s  18)  16s 25s 2  18s
I L ( s)  I C (s)  I 2 ( s) 
 
; U L ( s)  I L ( s)  Z L 

;
16 8
16
16  10
10
25s 2  18s 25 400s 2  288s  250
U 1 ( s)  U L ( s)  U C ( s) 


;
10
16
160
U ( s) 400s 2  288s  250
I1 ( s)  1

;
R1
160
I 0 ( s)  I 1 ( s)  I L ( s) 
400s 2  288s  250 25s  18 400s 2  538s  430


;
160
16
160
Функция передачи:
I (s)
160
0.4
H I ( s)  H

 2
;
2
I 0 ( s) 400s  538s  430 s  1.345s  1.075
2.2. Нахождение нулей и полюсов функции передачи и нанесение их на
плоскость комплексной частоты
s 2  1.345s  1.075  0;
s1, 2  0.673  0.789 j - полюсы функции передачи;
8
Конечных нулей функция передачи не имеет;
2.3. Определение из функции передачи переходной h1 (t ) и импульсной h(t )
характеристики для выходного сигнала
1) импульсная характеристика h(t ) :
h(t )  H ( s);
0.4
H ( s)  H I ( s)  1  2
;
s  1.345s  1.075
Обратное преобразование Лапласа:
h(t )  0.507  e 0.673t sin( 0.789t );
2) переходная характеристика h1 (t ) :
h1 (t )  H1 (s);
H ( s)
0.4
H 1 ( s)  I

;
2
s
s  ( s  1.345s  1.075)
Обратное преобразование Лапласа:
h1 (t )  0.372  0.372  e 0.673t cos(0.789t )  0.317  e 0.673t sin( 0.789t );
2.4. Определение изображения по Лапласу входного одиночного импульса
Получим изображение сигнала путем дифференцирования i (t )
Для получения самого сигнала, дважды проинтегрируем i (t ) в sобласти:
 ( s)  4  8  e 0.5 s  4  e  s ;
I âõ
9
4 8 0.5 s 4  s
 e
 e ;
s s
s
4
8 0.5 s 4  s 4
I âõ (s)  2  2  e
 2  e  2 (1  2  e 0.5 s  e  s );
s
s
s
s
 ( s) 
I âõ
2.5. Определение тока i H (t ) на выходе цепи, используя функцию передачи
на выходе цепи H I (s)
i H ( s)  I âõ ( s)  H I ( s);
4
0.4
1.6
i H ( s)  2 (1  2  e 0.5 s  e  s )  2
 2 2
(1  2  e 0.5 s  e  s );
s
s  1.345s  1.075 s ( s  1.345s  1.075)
i H (t )  1.448t  1.862  1.862  e 0.673t cos(0.789t )  0.299e 0.673t sin( 0.789t )  2.977 1 (t  0.5)t 
 5.213 1 (t  0.5)  3.724 1 (t  0.5)e 0.673t  0.366 cos(0.789t  0.395)  0.598 1 (t  0.5)e 0.673t  0.366 
 sin( 0.789t  0.395)  1.448 1 (t  1)t  3.351 1 (t  1)  1.862 1 (t  1)e 0673t  0.673 cos(0.789t  0.789) 
 0.299 1 (t  1)e 0673t  0.673 sin( 0.789t  0.789);
2.6. Построение графиков переходной и импульсной характеристик цепи,
а также входного и выходного сигналов
Ðèñ.3 Ïåðåõîäíàÿ è èìïóëüñíàÿ õàð-êè
0.36
0.32
0.27
h( t )
0.23
h1( t ) 0.19
0.15
0.11
0.064
0.022
0.02 0
2
4
6
8
t
10
10
Ðèñ.4 Âõîäíîé è âûõîäíîé ñèãíàë
2
1.8
1.6
1.4
i( t )
1.2
i_vh( t )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
t
3. Качественный анализ цепи частотным методом при
апериодическом воздействии
3.1. Нахождение и построение амплитудно-фазовой (АФХ), амплитудночастотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик функции
передачи цепи H I (s)
0.4
;
s  1.345s  1.075
F ( j )  F ( s) | s  j ;
H I (s) 
2
0.4
;
( j )  1.345( j )  1.075
0.4
;
АЧХ: H I ( j ) 
(1.075   2 ) 2  (1.345 ) 2
H I ( j ) 
2
0.538

ФЧХ:  H ( )  arctg  
2
 0.43  0.4

;

11
Ðèñ.5 Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàð-êà
0.4
0.36
0.32
0.28
Hi( w)
0.24
Polosa( w) 0.2
0.16
0.12
0.08
0.04
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8
9
10
w
Ðèñ.6 Ôàçî÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
0
1
2
3
4
5
6
7
0.31
0.63
0.94
1.26
a( w)
1.58
1.89
2.21
2.52
2.84
3.15
w
Ðèñ.7 Àìïëèòóäíî-ôàçîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.08
0.16
Im( Hi( w) )
0.24
0.32
0.4
Re( Hi( w) )
12
3.2. Определение полосы пропускания цепи по уровню 0.707 H I ( j) max
Полоса пропускания определена по графику H I ( j) (см. выше)
H I ( j) max  0.413
0.707 H I ( j) max  0.292
 0.707  1.018 с-1
3.3. Нахождение и построение амплитудного и фазового спектров
апериодического входного сигнала и определение ширины спектра по
уровню 0.1 I âõ ( j) max
F ( j )  F ( s) | s  j ;
4
(1  2  e 0.5 s  e  s );
2
s
Комплексный спектр входного сигнала:
I âõ (s) 
2
j


4 
2 
I âõ ( j ) 
(
1

2

e

e
)


1

e
2
2 
 ;
( j )
 

Приведем выражение в скобках к синусу по Эйлеру (умножим и разделим на
4
 j
4 j  e 4

2
 0.5( j )
 ( j )
2

 ):


 j
4  4 j  e 4

2
I âõ ( j )  
2
j

 
  1  e 2
 
 
 j4
  4 j   e

2
2




2




2
j

 j
44j e 4 e 4


2j
2 

2


sin 2
j
j
j
2



4

2
4  e 2 ;
2
2

e


sin

e


4
2
 2

4

Амплитудный спектр входного сигнала: I âõ ( j ) 
Фазовый спектр входного сигнала:  âõ ( w)  
13

2
;
2
 
sin 2

4;
2
 4 
Ðèñ.8 Àìïëèòóäíûé ñïåêòð
1
0.9
0.8
0.7
Iâõ( jw)
0.6
Polosa( jw) 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
jw
Ðèñ.9 Ôàçîâûé ñïåêòð
0
2
4
6
1
a1( w)
2
3
w
Ширина спектра определяется по графику:
I âõ ( j) max  1;
0.1 I âõ ( j) max  0.1;
 0  9.274 с-1;
3.4. Сопоставляя соответственно спектры входного сигнала с частотными
характеристиками цепи, дадим заключение об ожидаемых искажениях
сигнала на выходе цепи.
Можно установить, что приблизительно одна десятая часть амплитудного
спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, а
фазочастотная характеристика в этой полосе имеет гиперболическую
зависимость, в отличие от прямолинейной фазочастотной характеристики
входного сигнала. Таким образом, при прохождении через цепь входной
сигнал будет в значительной степени искажен. На выходе цепи можно
ожидать сигнал, значительно более слабый, чем поданный на вход, и
более выраженный по своей продолжительности. Этот качественный вывод
подтверждается точным расчетом в п.2 (см. Рис.4)
14
4. Анализ цепи частотным методом при периодическом
воздействии
4.1. Разложим в ряд Фурье заданный входной периодический сигнал.
Построим его амплитудный и фазовый спектры.
T  1.8; t È  1;

A0
  Ak cos( k1t   k );
2 k 1
2
4
iâõ ( jk )  I âõ ( s ) | s  jk1 ; I âõ ( s)  2 (1  2  e 0.5 s  e s );
s
T
iâõ (t ) 
2
2 4
iâõ ( jk ) 

1.8 s 2
s
 

24
1  e 2  | s  jk 
2
1


1.8   jk1 


k

j 1
1  e 2


2

 ;


Для получения амплитудного и фазового дискретного спектра выделим
модуль и фазу, для этого выражение сведем к синусу по Эйлеру (умножим
 j k4 1
и разделим на 4 e

iâõ ( jk ) 
24
1.8   jk1 
2
2

 ):



1  e


k
j 1
2
2

  244
2

1.8  k1 

k
 j k4 1
j 1
e
e 4

2j


2

k
j 1
  j k2 1
244
2  k1 
2
e

sin
e
;



2
4
1.8  k1 




 k 
sin 2  1  k1
2
 4  j 2
iâõ ( jk ) 
e
;
1.8 k1 42
 k 
sin 2  1 
2
 4 
;
Амплитудный дискретный спектр: i âõ ( jk ) 
1.8 k1 42
k
Фазовый дискретный спектр:  âõ (k1 )   1 ;
2
2 2

 3.49;
k  0...; 1 
T 1. 8
k
iâõ ( jk )
0
1.111
1
0,856
2
0,354
3
0,041
4
0,011
5
0,052
6
0,03
 âõ(k1 )
0
-1.745
-3.491
-5.236
-3,84
-8.727
-10.472
15
Ðèñ.10 Àìïëèòóäíûé äèñêðåòíûé ñïåêòð âõ.
1.39
1.27
1.16
i_vh( kw1)
1.04
0.93
Pol( kw1)
0.81
f ( kw1)
0.69
0.58
0.46
0.35
0.23
0.12
0
1
2
3
4
5
6
kw1
Ðèñ.11 Ôàçîâûé äèñêðåòíûé ñïåêòð âõ.
0
0.5
1
1.5
2
1
a( kw1)
2
3
4
kw1
4.2. Построение входного периодического сигнала и его аппроксимации
отрезком ряда Фурье
Число гармоник ряда Фурье определяется шириной спектра по
уровню 0.1iâõ ( jk) max : 2 гармоники (см. Рис.10)
iâõ (t )  0.555  0.856 cos(
2
2
t  1.745)  0.354 cos( 2
t  3.491);
1.8
1.8
16
Ðèñ.12 Âõîäíîé ïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë
2
1.5
i_vh( t )
1
i_vh2( t )
i_Furie( t )
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0.5
t
4.3. Построение амплитудного и фазового спектров выходного
периодического сигнала, используя рассчитанные в п.3.1 АЧХ и ФЧХ
функции передачи цепи. Запись тока i H (t ) на выходе цепи в виде
отрезка ряда Фурье
0.4
;
s  1.345s  1.075
0.4
0.4
H I ( jk1 ) 

;
2
( jk1 )  1.345( jk1 )  1.075 1.075  (k1 ) 2  j  1.345k1
0.4
АЧХ: H I ( jk1 ) 
;
(1.075  (k1 ) 2 ) 2  (1.345k1 ) 2
H I (s) 
2


0.538k1
;
ФЧХ:  H (k1 )  arctg  
2 
0
.
43

0
.
4
(
k

)
1


Ðèñ.14 Äèñêðåòíûé ôàçîâûé ñïåêòð ïåð
Ðèñ.13 Äèñêðåòíûé àìïëèòóäíûé ñïåêòð ïåð
0.4
0
0.3
0.5
1
1.5
2
1
a_vih( kw1)
Hi( kw1)
0.2
2
0.1
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
kw1
kw1
Амплитуды и начальные фазы гармоник выходного напряжения:
i H ( jk1 )  iâõ ( jk) H I ( jk1 ) ;
17
2.5
3
 H (k1 )   âõ (k1 )   H (k1 );
k
k1 , c-1
0
1
2
3
0
3,491
6,981
10,480
H I ( jk1 )
0,372
0,033
0,008
0,004
 H (k1 )
 H (k1 )
i H ( jk1 )
0.413
0.028
0.003
0.0002
0
-2,742
-2,947
-3,013
0
-4.487
-6.438
-8.249
Ðèñ.15 Àìïëèòóäíûé ñïåêòð âûõ-ãî ñèãí.
0.5
0.4
0.3
i_h( kw1)
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
kw1
Ðèñ.16 Ôàçî÷àñòîòíûé ñïåêòð âûõ-ãî ñèãí
0
ah_vih( kw1)
1
2
3
5
10
kw1
В соответствии с принятым критерием ширины спектра:
2
2
i (t )  0.207  0.028 cos( t  4.487)  0.003 cos( 2
t  6.438);
1.8
1.8
18
4.4. Построение графика тока i H (t ) на выходе цепи в виде суммы
гармоник найденного отрезка ряда Фурье
Âõîäíîé ïåðèîäè÷åñêèé ñèãíàë
2
1.5
i_vh( t )
1
i_vh2( t )
i_Furie( t )
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
3
3.5
4
0.5
t
Ðèñ.17 Òîê íà âûõîäå öåïè
2
1.5
1
i_vihod( t )
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.5
t
ВЫВОД: При исследовании линейной цепи, можно сделать заключение, что
при прохождении треугольного импульса через цепь он искажается:
растягивается во времени, изменяется его амплитуда. На выходе при
периодическом воздействии импульса получены слабовыраженные колебания
тока.
19
Список использованной литературы
1. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. М.: Высш. школа, 1990.
2. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.
- М.: Высш. школа, 1986.
3. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Теория электрических
цепей.
Переходные
процессы.
Установившейся
синусоидальный
режим:
Учеб. Пособие для самостоятельной работы \ ГЭТУ. СПб., 1993
4. Башарин
С.А.,
Бычков
Ю.А.
Компьютерное
моделирование
и
расчет
по
теории
самостоятельной
работы
электрических цепей \ Учеб. Пособие \ ГЭТУ. СПб., 1994
5. Ю.А.
Бычкова,
электрических
Э.П.
Чернышева
цепей:
Учеб.
Курсовое
Пособие
студентов. ГЭТУ. СПб., 1996
20
проектирование
для