teoriya-vozmozhnostey-kak-alternativa-modeli-sluchaynosti-teorii-veroyatnostey

Вестник СурГУ. 2014. Вып. 4 (6)
УДК 519.2
Родный И.Н.
Rodny I.N.
Теория возможностей как альтернатива модели случайности теории вероятностей
The Theory of Possibility As an Alternative Model of Random Theory of Probability
В статье освещается теория возможностей. Автор рассматривает причины неэффективности теории вероятностей и сопоставляет теорию возможностей с теорией вероятностей. Статья содержит перечень областей применения теории возможностей.
The article deals with the theory of possibility. The author examines the causes of ineffectiveness of the
theory of probability and compares the theory of probability with the theory of possibility. This article contains a list of application fields of the theory of possibilities.
Ключевые слова: неопределенность, возможность, теория возможностей, вероятность, теория вероятностей.
Key words: ambiguity, possibility, theory of possibility, probability, theory of probability.
Теоретико-вероятностные методы широко и
успешно применяются в теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии,
астрономии, теории стрельбы, теории автоматического управления, общей теории связи, а также в научных исследованиях для моделирования
многих аспектов неясности и неопределенности,
отражающих неполноту знаний, их недостоверность, а также случайности, нечеткости и неточности, относящихся к их содержанию.
Объективный подход к оценке неопределенности заключается в использовании трех методов вычисления вероятностей: классического,
геометрического и статического. Классическое
определение вероятности применимо только тогда, когда возможные события равновероятны и
взаимоисключаемы. Геометрический метод вычисления вероятностей также имеет серьезные
ограничения при практическом использовании.
Статистический подход является основным методом определения вероятностей, однако и он
далеко не всегда эффективен, так как для использования метода необходимо большое количество данных. В связи с этим ряд исследователей, таких как Заде, Севедж, Демстер, Шеффер,
Шейкл высказали мнение, что теоретико-вероятностные методы являются неэффективными при
моделировании сложных физических, технических, социальных, экономических объектов,
субъективных суждений и т.д. [2].
Причины неэффективности:
1. Объекты не всегда имеют хорошо определяемые стохастические компоненты, а в тех
случаях, когда их удается выделить, возникают
проблемы с эмпирическим построением и про-
веркой адекватности теоретико-вероятностных
моделей, так как требуются наблюдения, которые в конечном счете могут иметь признаки неточности, неполноты либо оказаться противоречивыми или не могут быть представлены в единой матричной структуре. Особенно если учитывать стремление представления исходных
данных в виде количественных оценок под разными названиями.
2. В ряде случаев объекты и внешняя среда,
как правило, постоянно изменяются, поэтому в
принципе нельзя построить адекватную теоретико-вероятностную модель, так как эмпирическое
построение с высокой точностью его вероятностной модели может оказаться нереализуемой из-за
большого объема необходимых наблюдений.
3. Даже если все трудности станут преодолимыми, и модель объекта будет построена, она
может оказаться настолько сложной, что ее использование окажется проблемным на практике.
Выходом из сложившейся ситуации стали
невероятностные модели случайности, нечеткости и неопределенности, которые появились в
60–70-х гг. вместе с такими науками, как «Теория субъективной вероятности», «Теория возможностей», «Теория принятия решений» и т.д.
В теории субъективной вероятности применяется Байесовский подход, оперирующий степенью уверенности, используется большая часть
теоретико-вероятностного аппарата без частотной интерпретации вероятности, остается проблема использования семантически разнородных
сведений.
Теория возможностей как наука была сформулирована Заде в 1965 г., он же доказал, что
17
Родный И.Н. Теория возможностей
как альтернатива модели случайности теории вероятностей
Р(А  В) = Р(А) + Р(В) = max(P(A), P(B)),
Р(А  В) = Р(А) · Р(В) = min(P(A), P(B))
теория вероятности является частным случаем
теории возможностей. Так, теоретико-возможностная модель эксперимента при условии регулярности вероятности будет восстановлена безошибочно на основе конечного числа наблюдений, в то время как на основе любого конечного
числа наблюдений теоретико-вероятностная модель эксперимента может быть восстановлена
лишь приближенно.
(операции max и min для возможностей событий
соответствуют операциям сложения и умножения их возможностей). Причем данные операции
коммутативны: а + b = b + a, a · b = b · a, ассоциативны: (a + b) + c = a + (b + c), (a · b)c = a(b · c) и
взаимно дистрибутивны:
а(b + c) = min(a, max(b, c)) = max(min(a, b),
min(a, c)) = (a · b) + (a · c),
a + (b · c) = max(a, min(b, c)) = min(max(a, b),
max(a, c)) = (a + b)(a + c).
Итак, возможностью называется функция
Р(∙):Ά → £, определенную равенством Р(А) =
р(χА(∙)), А  Ά, ее значение Р(А) = р(χА(∙))  [0,1]
назовем возможностью события А  Ά, шкалу
£ = {[0,1], ≤, +, ·} назовем шкалой значений возможности Р (χА(∙): Ω → [0,1] – индикаторная
функция, где А: χА(ω) = 1, если ω  А, А: χА(ω) = 0,
если ω  Ω\А).
Теория возможностей
Теория возможностей является мерой, определяемой моделируемыми свойствами объекта
исследования, значения которой полностью упорядочивают шансы появления данных свойств [2].
В настоящее время в данной науке не могут
быть содержательно истолкованы ответы на такие вопросы, как:
- чему равно значение возможности того
или иного события;
- во сколько раз или на сколько возможность
одного события больше или меньше другого.
Теория возможностей использует много
общих понятий и конструкций, взятых с теории
вероятности. В частности, пространство возможностей {Ω, Ά, Р}1, где Ω – пространство элементарных событий, элементы ω  Ω – элементарные события, Ά – σ-алгебра подмножеств Ω,
называемых событиями, Р(∙):A → [0,1] – возможность, возможностная мера. Стоит отметить,
что Ά является формальной величиной; P – эмпирической интерпретацией, а конкретные численные значения возможностей исходов эксперимента не важны, имеет смысл лишь их упорядоченность, т.е. при P(∙):Ά → [0,1] и P'(∙):Ά → [0,1] пространства с возможностями {Ω, Ά, Р} и {Ω, Ά, Р'}
определяют эквивалентные модели одного и того же нечеткого эксперимента.
Шкала £ значений возможности определяется интервалом [0,1] с естественной упорядоченностью ≤ и двумя бинарными операциями –
сложением + : [0,1] · [0,1] → [0,1] и умножением · : [0,1] · [0,1] → [0,1], т.е. определяет четверку £ = {[0, 1], ≤, +, ·} [1].
Операции сложения и умножения непрерывных для любых А, В  [0,1] определяют возможность Р по ее распределению, а именно:

Сопоставление теории вероятностей с
теорией возможностей
Используя теоретико-возможностные модели, имеющие стохастическую компоненту, можно произвести эмпирическое восстановление, в
отличие от теоретико-вероятностных моделей.
Подход к решению проблемы эмпирического
построения теоретико-возможностной модели
неопределенного стохастического объекта сводится к статистической задаче выбора одного из
классов вероятностных мер. Поскольку в выбранном классе не требуется указывать конкретную вероятность, то для эмпирического определения возможности требуется существенно
меньше информации, чем для определения конкретной вероятности из этого класса. А если вероятность произвольно изменяется от наблюдения к наблюдению, то эмпирическое восстановление невозможно, в то время как возможность
восстанавливается безошибочно на основе конкретного числа наблюдений.
При повторении статистически независимых наблюдений их случайная составляющая
может быть сколь угодно подавлена (закон больших чисел) в теории вероятности. В теории возможностей комбинирование результатов повторных независимых наблюдений не позволяет подавить их нечеткую составляющую.

Р(  Ат )  sup P( An )   P( An )
т 1
n
n 1
Области применения
На данном этапе развития науки теоретиковозможностные методы находят применение:
(возможность счетно-аддитивна: для любой последовательности А1, А2,…):
________________________________________
1
В теории вероятности вероятностное пространство {Ω, А, Рr}.
18
Вестник СурГУ. 2014. Вып. 4 (6)
- в математическом моделировании (анализ
рисков, ориентированных на управление комплексной безопасности компьютерных систем);
- анализе качества моделей и их адекватности (многокритериальная оценка техногенных
последствий производственной деятельности,
анализ влияния на загрязнение окружающей среды и состояние здоровья человека);
- оптимизации основанных на моделях выводов (диагностика многомерных многозначных
ботанических объектов на основе теории нечетких множеств);
- прогнозировании (долгосрочный прогноз
экономических результатов).
Литература
1. Математические методы распознавания образов : 14-я Всерос. конф. Владимирская обл.,
г. Суздаль, 21–26 сент. 2009.
2. Пытьев Ю. П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические
основы, применение. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. 464 с.
19