Эконометрика - учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
ÄÀËÜÍÅÂÎÑÒÎ×ÍÀß ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÀß ÀÊÀÄÅÌÈß
ÝÊÎÍÎÌÈÊÈ È ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
Ä.Á. Êàðï
Ýêîíîìåòðèêà:
îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå
Âëàäèâîñòîê
Èçäàòåëüñòâî ÄÂÃÀÝÓ
2004
ÓÄÊ 330.43+519.862
Ê26 Êàðï Ä.Á. Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè: ó÷åáíîìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå. - Âëàäèâîñòîê: Èçä-âî ÄÂÃÀÝÓ, 2004. - 50ñ.
Ðàáîòà çàäóìàíà êàê êðàòêèé ñïðàâî÷íèê ïî îñíîâíûì ôîðìóëàì è àëãîðèòìàì,
âñòðå÷àþùèìñÿ â êóðñå ýêîíîìåòðèêè è íå ìîæåò çàìåíèòü ñîáîé ïîëíîöåííîãî êóðñà
ëåêöèé ïî ïðåäìåòó. Òåì íå ìåíåå, êàæäûé ðàçäåë ñîäåðæèò êðàòêîå èçëîæåíèå íåîáõîäèìîé òåîðèè è ïîäðîáíûå êîììåíòàðèè îòíîñèòåëüíî ïðèìåíèìîñòè ïðèâîäèìûõ
ìåòîäîâ äëÿ îáðàáîòêè äàííûõ ðàçíîé ïðèðîäû. Îõâàò çàòðîíóòûõ òåì è ðàçäåëîâ çàìåòíî ïðåâûøàåò îáû÷íûé ñåìåñòðîâûé êóðñ è îñòàâëÿåò äëÿ ïðåïîäàâàòåëÿ ñâîáîäó
âûáîðà òåì äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé.
Âî ââåäåíèè ïðèâåäåí êðàòêèé îáçîð òèïîâ äàííûõ è ìîäåëåé, ïîçâîëÿþùèé ÷èòàòåëþ âèäåòü èçëàãàåìûå äàëåå ìåòîäû â áîëåå øèðîêîì êîíòåêñòå. Âíèìàòåëüíûé
÷èòàòåëü äîëæåí áûòü ñïîñîáåí ðåàëèçîâàòü ïðåäñòàâëåííûå ìåòîäû íà êîìïüþòåðå
- âñÿ íåîáõîäèìàÿ äëÿ ýòîãî èíôîðìàöèÿ ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå. Îñîáåííîñòüþ ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ âêëþ÷åíèå â íåãî ðÿäà íîâûõ ôîðìóë è ìåòîäîâ, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ
âïåðâûå ïóáëèêóþòñÿ íà ðóññêîì ÿçûêå. Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòåé 351400 - ¾Ïðèêëàäíàÿ èíôîðìàòèêà â ýêîíîìèêå¿ è 061700 - ¾Ñòàòèñòèêà¿,
ïðåïîäàâàòåëåé ñîîòâåòñòâóþùèõ ñïåöèàëüíîñòåé è ðàáîòàþùèõ ýêîíîìåòðèñòîâ.
Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîãî ñîâåòà â îáëàñòè ìåæäèñöèïëèíàðíûõ ñïåöèàëüíîñòåé ýêîíîìèêè è ñòàòèñòèêè ÄÂÃÀÝÓ.
Ðåöåíçåíòû: Øìèäò Þ.Ä., ä.ý.í., çàâ. êàôåäðîé ìàòåìàòèêè
è ìîäåëèðîâàíèÿ, ïðîðåêòîð ïî íàó÷íîé ðàáîòå ÄÂÃÀÝÓ
Òåðåøêî Ä.À., ê.ô.ì.í., ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê
Èíñòèòóòà Ïðèêëàäíîé Ìàòåìàòèêè ÄÂÎ ÐÀÍ
ISBN 5-93362-269-9
c Êàðï Ä.Á, 2004
c Èçä-âî ÄÂÃÀÝÓ, 2004
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
3
1 Ââåäåíèå
Òåðìèí ¾ýêîíîìåòðèêà¿ áûë ââåä¼í â 1926 ãîäó Þëîì (Yule) è â áóêâàëüíîì ïåðåâîäå îçíà÷àåò ¾èçìåðåíèå ýêîíîìèêè¿. Íå ñóùåñòâóåò îáùåïðèíÿòîãî îïðåäåëåíèÿ ýòîé íàóêè. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè
ýêîíîìåòðèêó ìîæíî ñ÷èòàòü îäíèì èç ðàçäåëîâ ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè ýêîíîìåòðèêà ÿâëÿåòñÿ ìåòîäîì (âåðíåå íàáîðîì ìåòîäîâ), ïîçâîëÿþùèì ïðèäàòü òî÷íûé
êîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð êà÷åñòâåííûì ýêîíîìè÷åñêèì çàâèñèìîñòÿì, ïîñòóëèðóåìûì òåîðèåé. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýêîíîìåòðèêà
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ
îáðàáîòêè ýêîíîìè÷åñêèõ äàííûõ. Îñíîâíàÿ ïðè÷èíà, ïî êîòîðîé ýòè ìåòîäû äîëæíû îòëè÷àòüñÿ îò ìåòîäîâ ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè äàííûõ äðóãèõ íàóê (ìåäèöèíû, áèîëîãèè, ïñèõîëîãèè, è äð.), ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýêîíîìè÷åñêèå äàííûå íå ÿâëÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî, ýêñïåðèìåíòàëüíûìè - âîïåðâûõ, ìû íå ìîæåì ïðîèçâîëüíî çàäàòü ïàðàìåòðû (äîõîäû, öåíû, ñòàâêè íàëîãîâ, óðîâåíü èíôëÿöèè èëè áåçðàáîòèöû, è ò. ä.) è ïðîñëåäèòü çà
ðåàêöèåé ýêîíîìèêè (íàïðèìåð óâåëè÷èòü âäâîå öåíû íà øîêîëàä, îñòàâèâ
îñòàëüíîå áåç èçìåíåíèé); âî-âòîðûõ, ìû íå ìîæåì ïðîâîäèòü ìíîãîêðàòíûõ ýêñïåðèìåíòîâ äàæå ïðè ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèÿõ ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé. Âìåñòî äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé ïðèâåä¼ì êëàññè÷åñêèé ïðèìåð,
äåìîíñòðèðóþùèé ãäå ïðîëåãàåò ãðàíèöà ìåæäó ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèåé è
ýêîíîìåòðèêîé.
Òåîðèÿ ïîòðåáëåíèÿ Êåéíñà. Â ñâîåé Îáùåé òåîðèè (1936) Êåéíñ
(Keynes) ïèøåò:
Ìû îïðåäåëèì, ïîýòîìó, òî, ÷òî ìû íàçîâåì ñêëîííîñòüþ ê
ïîòðåáëåíèþ, êàê ôóíêöèîíàëüíîå îòíîøåíèå f ìåæäó äàííûì
óðîâíåì äîõîäà X è ïîòðåáëåíèåì èëè îáúåìîì ðàñõîäîâ C , ñîîòâåòñòâóþùèì ýòîìó óðîâíþ äîõîäà.
Ñóììà, êîòîðóþ íåêîòîðîå ñîîáùåñòâî òðàòèò íà ïîòðåáëåíèå,
çàâèñèò (1) ÷àñòè÷íî îò åãî äîõîäîâ, (2) ÷àñòè÷íî îò îáúåêòèâíûõ
ñîïóòñòâóþùèõ îáñòîÿòåëüñòâ è (3) îò ñóáúåêòèâíûõ ïîòðåáíîñòåé è ïñèõîëîãè÷åñêèõ íàêëîííîñòåé è ïðèâû÷åê èíäèâèäóóìîâ
åãî (ñîîáùåñòâî) ñîñòàâëÿþùèõ.
Ôóíäàìåíòàëüíûé ïñèõîëîãè÷åñêèé çàêîí, íà êîòîðûõ ìû ìîæåì ñ óâåðåííîñòüþ îïèðàòüñÿ, êàê èñõîäÿ èç íàøåãî çíàíèÿ ÷åëîâå÷åñêîé ïðèðîäû, òàê è èç ïîäðîáíûõ äàííûõ íàáëþäåíèé,
ñîñòîèò â òîì, ÷òî ëþäè ïðåäðàñïîëîæåíû, êàê ïðàâèëî è â ñðåäíåì, óâåëè÷èâàòü ñâîå ïîòðåáëåíèå ïðè óâåëè÷åíèè äîõîäà, íî íå
4
íà ñòîëüêî íà ñêîëüêî óâåëè÷èëñÿ äîõîä. Òî åñòü, ïðîèçâîäíàÿ
dC/dX ïîëîæèòåëüíà è ìåíüøå åäèíèöû.
Îäíàêî, åñëè íå ó÷èòûâàòü êðàòêîñðî÷íûå èçìåíåíèÿ â óðîâíå
äîõîäà, î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî áîëåå âûñîêèé àáñîëþòíûé óðîâåíü
äîõîäà èìååò òåíäåíöèþ óâåëè÷èâàòü ðàçðûâ ìåæäó äîõîäîì è
ïîòðåáëåíèåì. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðè óâåëè÷åíèè äîõîäà åãî ÷àñòü,
îòâîäèìàÿ íà ñáåðåæåíèÿ, áóäåò, êàê ïðàâèëî, òàêæå ðàñòè.
Òåîðèÿ, òàêèì îáðàçîì, ïîñòóëèðóåò çàâèñèìîñòü ìåæäó äîõîäîì è ïîòðåáëåíèåì, C = f (X) è óòâåðæäàåò, ÷òî ìãíîâåííàÿ ñêëîííîñòü ê ïîòðåáëåíèþ (MPC - marginal propensity to consume), ðàâíàÿ dC/dX , ëåæèò
ìåæäó 0 è 1. Ïîñëåäíèé ïàðàãðàô ãîâîðèò, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêëîííîñòü ê ïîòðåáëåíèþ (APC - average propensity to consume), ðàâíàÿ C/X , ïàäàåò ñ
d(C/X)
óâåëè÷åíèåì äîõîäà, òî åñòü dX < 0. Ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
äðîáè è ó÷èòûâàÿ, ÷òî C = C(X), ïîëó÷èì
d(C/X) C 0 X − C
C 0 − C/X
M P C − AP C
=
=
=
< 0.
2
dX
X
X
X
Ñëåäîâàòåëüíî, M P C < AP C .
Ýòî ðàññóæäåíèå, òèïè÷íîå äëÿ ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè, ñëóæèò îñíîâîé
äëÿ äàëüíåéøåãî ýêîíîìåòðè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ. Òàêîå èññëåäîâàíèå, áàçèðóÿñü íà äàííûõ íàáëþäåíèé, ïðèçâàíî îòâåòèòü íà ðÿä âîïðîñîâ, íà êîòîðûå íå äà¼ò îòâåòà ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ. Íàïðèìåð, êàêîâà êîíêðåòíàÿ
ôîðìà çàâèñèìîñòè C(X)? ×åìó ðàâíû ïàðàìåòðû ýòîé çàâèñèìîñòè äëÿ
äàííîãî ñîîáùåñòâà (íàïðèìåð, åñëè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàâèñèìîñòü
ëèíåéíàÿ C = aX + b, òî ÷åìó ðàâíû a è b)? Ñòàáèëüíû ëè ïàðàìåòðû
ýòîé çàâèñèìîñòè âî âðåìåíè? Ñóùåñòâóþò ëè ñèñòåìàòè÷åñêèå ðàçëè÷èÿ
â âèäå ýòîé çàâèñèìîñòè ìåæäó ñòðàíàìè èëè ðåãèîíàìè? Åñòü ëè äðóãèå ôàêòîðû, êîòîðûå ïîìîãóò íàì ëó÷øå îáúÿñíèòü âçàèìîñâÿçü ìåæäó
ïîòðåáëåíèåì è äîõîäîì? Ïîäòâåðæäàþò ëè äàííûå ïîëîæåíèÿ òåîðèè?
Ïîâåäåíèå ýêîíîìèêè â öåëîì ñêëàäûâàåòñÿ èç ïîâåäåíèÿ ìíîæåñòâà
ýêîíîìè÷åñêèõ àãåíòîâ (ôèðì, ôèíàíñîâûõ èíñòèòóòîâ, ñåìåé, è.ò.ä.). Íåò
íèêàêîé íàäåæäû òî÷íî îïèñàòü ïîâåäåíèå êàæäîãî èç ýòèõ àãåíòîâ, íàõîäÿùèõñÿ â ðàçëè÷íûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ è äâèæèìûõ ðàçëè÷íûìè ìîòèâàìè. Ïîýòîìó ýêîíîìåòðè÷åñêèå ìîäåëè íåîáõîäèìî äîëæíû âêëþ÷àòü ñëó÷àéíûé, ñòîõàñòè÷åñêèé ýëåìåíò, â îòëè÷èå îò äåòåðìèíèñòñêèõ ìîäåëåé
ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè. 1 .
1 Âïåðâûå
ýòî óáåäèòåëüíî ïîêàçàë íîðâåæñêèé ýêîíîìèñò Òðèãâå Õààâåëìî (Trygve Haavelmo) â
ñâîåé äîêòîðñêîé äèññåðòàöèè 1944 ãîäà The Probability Approach in Econometrics (Âåðîÿòíîñòíûé
ïîäõîä â ýêîíîìåòðèêå). Ðàáîòà Õààâåëìî îêàçàëà îãðîìíîå âëèÿíèå íà äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ýêîíîìåòðèêè è áûëà óäîñòîåíà Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ýêîíîìèêå 1987 ãîäà.
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
5
Íàêîíåö, ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ îòíîñèòñÿ ê ðàâíîâåñíîìó ñîñòîÿíèþ
ýêîíîìèêè èëè ê òàê íàçûâàåìîé ¾äîëãîñðî÷íîé ïåðñïåêòèâå¿. Òàê, íàïðèìåð, â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè ïîòðåáíîñòü ýêîíîìèêè â äåíüãàõ è ïðåäëîæåíèå äåíåã ðàâíû.  ýòîì ñëó÷àå ìû ìîãëè áû èñïîëüçîâàòü äàííûå î
ïðåäëîæåíèè äåíåã âìåñòî äàííûõ î ïîòðåáíîñòè â äåíüãàõ. Îäíàêî, â äåéñòâèòåëüíîñòè, äåíåæíûé ðûíîê ïî÷òè íèêîãäà íå íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè.
Ïðè ýòîì ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ íå ãîâîðèò íè÷åãî î òîì, êàê ýêîíîìèêà
äâèæåòñÿ îò îäíîãî ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ ê äðóãîìó. Òî åñòü, îíà íå
îïèñûâàåò ïðîöåññ êîððåêòèðîâêè. Ê ñîæàëåíèþ, ðåàëüíûå ýêîíîìè÷åñêèå
äàííûå îáû÷íî îòíîñÿòñÿ ê ïðîöåññó êîððåêòèðîâêè, à íå ê ïîñëåäîâàòåëüíûì ïîëîæåíèÿì ðàâíîâåñèÿ.
Îáû÷íî ýêîíîìè÷åñêèå äàííûå ìîæíî îòíåñòè ê îäíîìó èç ñëåäóþùèõ
òðåõ òèïîâ:
• Äàííûå ñðåçà (èçâåñòíûå òàêæå êàê ñòàòè÷åñêèå èëè ïðîñòðàíñòâåííûå äàííûå) - ýòî äàííûå, îòíîñÿùèåñÿ ê îäíîìó ìîìåíòó âðåìåíè è
äàþùèå íå÷òî âðîäå ïîïåðå÷íîãî ñðåçà íåêîòîðîé îòðàñëè ýêîíîìèêè (îòñþäà ïðîèñõîäèò òåðìèí cross-sectional data - äîñëîâíî - äàííûå
ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ). Ê ýòîìó òèïó ïðèíàäëåæàò, íàïðèìåð, äàííûå
î öåíàõ íà àâòîìîáèëè èëè íåäâèæèìîñòü â çàâèñèìîñòè îò èõ âñåâîçìîæíûõ õàðàêòåðèñòèê è îòíîñÿùèåñÿ ê îïðåäåëåííîìó ìîìåíòó
âðåìåíè; äàííûå îïðîñà ñåìåé îá èõ óðîâíÿõ äîõîäà, îáðàçîâàíèÿ è
ïîòðåáëåíèÿ; èëè äàííûå î êóðñàõ âàëþò â â ðàçëè÷íûõ îáìåííûõ
ïóíêòàõ ãîðîäà íà êàêóþ-òî ôèêñèðîâàííóþ äàòó.
• Âðåìåííûå ðÿäû - ýòî íàáëþäåíèÿ íåêîòîðûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé, îòíîñÿùèåñÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíûì ìîìåíòàì âðåìåíè. Ïðîìåæóòîê âðåìåíè ìåæäó íàáëþäåíèÿìè ÷àùå âñåãî ïîñòîÿííûé (åæåäíåâíûå, åæåìåñÿ÷íûå, åæåêâàðòàëüíûå èëè åæåãîäíûå äàííûå), íî
ìîæåò áûòü è ïåðåìåííûì. Ê ýòîìó òèïó äàííûõ îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, êóðñ åâðî çà ïîñëåäíèé ìåñÿö; åæåêâàðòàëüíûå äàííûå îá óðîâíå
èíôëÿöèè èëè áåçðàáîòèöû â Ðîññèè çà ïîñëåäíèå 5 ëåò; íàöèîíàëüíûé äîõîä èëè ñàëüäî âíåøíåòîðãîâîãî áàëàíñà çà ïîñëåäíèå 10 ëåò;
óðîâåíü ïðîöåíòíûõ ñòàâîê èëè èíäåêñ êóðñà àêöèé íà áèðæå çà ïîñëåäíèå 18 ìåñÿöåâ, è ò.ä.
• Ïàíåëüíûå äàííûå (èëè ïðîäîëüíûå äàííûå) - ýòî íàáëþäåíèÿ çà
îäíîé è òîé æå ãðóïïîé ýêîíîìè÷åñêèõ àãåíòîâ, ïðîâåäåííûå ÷åðåç
îïðåäåëåííûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè, òî åñòü ýòî íàáîð ñðåçîâ. Çäåñü
ìû èìååì äàííûå ñðåçà â äèíàìèêå. Ýòî ìîãóò áûòü äàííûå åæåãîäíûõ îïðîñîâ èçáðàííîé ãðóïïû ñåìåé îá èõ óðîâíÿõ äîõîäà è ïîòðåáëå-
6
íèÿ; èëè åæåêâàðòàëüíûé íàáîð ñâåäåíèé (îáúåì ïðîäàæ, êîëè÷åñòâî
ðàáîòíèêîâ, ïðèáûòü, è ò.ä.) îá èçáðàííîé ãðóïïå ôèðì.
Äëÿ îïèñàíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ýêîíîìåòðèêà èñïîëüçóåò ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Òàêèå ìîäåëè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ èëè ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïðèçâàííûå îïèñàòü îñíîâíûå ÷åðòû ðåàëüíîãî ïðîöåññà,
ïðîèçâîäÿùåãî íàáëþäàåìûå äàííûå. Åñëè ìîäåëü àäåêâàòíî ïðåäñòàâëÿåò
ýòîò ïðîöåññ, òî å¼ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ýêîíîìè÷åñêîãî àíàëèçà, äëÿ
ïðîãíîçà èëè äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðåàêöèè ñèñòåìû íà èçìåíåíèå íåêîòîðûõ
ïîêàçàòåëåé. Ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå îñíîâíûå òèïû ìîäåëåé:
• Ñòàòè÷åñêèå ðåãðåññèîííûå ìîäåëè ñ îäíîé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé - ýòî ìîäåëè âèäà
Y = f (X1 , X2 , . . . , Xk , ε).
(1)
Çäåñü ïåðåìåííûå X1 , . . . , Xk ïðèíÿòî íàçûâàòü îáúÿñíÿþùèìè (ïîñêîëüêó ìû ïûòàåìñÿ îáúÿñíèòü èçìåíåíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé Y
èçìåíåíèÿìè ïåðåìåííûõ X1 , . . . , Xk ), à ε - ýòî ñëó÷àéíàÿ ïîïðàâêà, î êîòîðîé ãîâîðèëîñü âûøå.  òèïè÷íîì ïðèìåðå àâòîìîáèëüíîãî
ðûíêà Y îçíà÷àåò öåíó ìàøèíû, X1 - ýòî ãîä âûïóñêà, X2 - îáúåì
äâèãàòåëÿ, X3 - ìàðêà ìàøèíû (êîòîðîé íåòðóäíî ïðèäàòü ÷èñëîâîå
çíà÷åíèå ïðîñòî êîäèðóÿ ðàçëè÷íûå ìàðêè: Toyota Corolla - 1, Toyota
Corona - 2, Nissan Bluebird - 3, è ò.ä.), X4 ìîæåò áûòü òèï òðàíñìèññèè
(1 - êîðîáêà, 0 - àâòîìàò), à âèä ôóíêöèè f ìîæåò áûòü, íàïðèìåð,
ñëåäóþùèì:
Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β3 X3 + β4 X4 + ε.
(2)
Çäåñü ÷èñëà β0 , β1 , β2 , β3 , β4 - ýòî ïàðàìåòðû ìîäåëè, êîòîðûå ýêîíîìåòðèñò äîëæåí îöåíèòü ïî èìåþùèìñÿ äàííûì. Äàííûå â íàøåì
ñëó÷àå - ýòî ñïèñîê âûñòàâëåííûõ íà ïðîäàæó ìàøèí âìåñòå ñ èíòåðåñóþùèìè íàñ õàðàêòåðèñòèêàìè (öåíàìè, îáúåìàìè äâèãàòåëåé, è
ò.ä.).
Ìîäåëè âèäà (1) ïîäõîäÿò äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äàííûõ ñðåçà èëè
ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ýêîíîìèêè. Ïîñêîëüêó âðåìÿ ÿâíî íå âõîäèò â
óðàâíåíèå (1), òàêàÿ ìîäåëü ïîäðàçóìåâàåò ìãíîâåííóþ ðåàêöèþ ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû íà èçìåíåíèå çíà÷åíèé îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ.
• Äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè ñ îäíîé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé - ýòî
ìîäåëè, â êîòîðûå âõîäÿò çàïàçäûâàþùèå ïåðåìåííûå, òî åñòü çíà÷å-
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
7
íèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé, îòíîñÿùèåñÿ ê ïðåäûäóùèì ìîìåíòàì âðåìåíè. Îáùèé âèä ýòèõ ìîäåëåé òàêîâ:
Yt =f (Yt−1 , Yt−2 , . . . , Yt−m , . . . ,
X1t , X1(t−1) , X1(t−2) , . . . , X1(t−m1 ) , . . . , Xkt , Xk(t−mk ) , εt ).
(3)
Çäåñü Xn(t−i) - çíà÷åíèå ïåðåìåííîé Xn â ìîìåíò âðåìåíè t − i, òî åñòü
çàïàçäûâàþùåå íà i ïåðèîäîâ. Äðóãîé ïîïóëÿðíûé òåðìèí äëÿ çàïàçäûâàíèÿ ýòî ëàã (îò àíãë. lag - çàäåðæêà), i íàçûâàþò òîãäà äëèíîé
ëàãà, à ïåðåìåííóþ Xn(t−i) - ïåðåìåííîé ñ ëàãîì. Åñëè â ïðàâóþ ÷àñòü
óðàâíåíèÿ (3) íå âõîäÿò çàïàçäûâàþùèå çíà÷åíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé, òî åñòü
Yt = f (X1t , X1(t−1) , X1(t−2) , . . . , X1(t−m1 ) , . . . , Xkt , . . . , Xk(t−mk ) , εt ),
(4)
òî ìîäåëü íàçûâàþò ìîäåëüþ ñ ðàñïðåäåëåííûì ëàãîì. Åñëè æå íàïðîòèâ çàïàçäûâàþùèå çíà÷åíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé ïðèñóòñòâóþò, òî
ãîâîðÿò ïðî àâòîðåãðåññèâíûé ëàã.
Åñòü ðÿä ïðè÷èí, ïî êîòîðûì çàïàçäûâàþùèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ ïîÿâëÿþòñÿ â ýêîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ. Âî-ïåðâûõ, îíè ìîãóò âîçíèêíóòü ïî òåõíîëîãè÷åñêèì ïðè÷èíàì. Íàïðèìåð, ïðè óâåëè÷åíèè ñïðîñà íà ïðîäóêò ïðîèçâîäñòâà íåêîòîðîé ôèðìû, îíà íå
ìîæåò ìãíîâåííî óâåëè÷èòü ïðîèçâîäñòâî - òðåáóåòñÿ âðåìÿ íà çàêóïêó ìàòåðèàëîâ, à äëÿ ñóùåñòâåííîãî óâåëè÷åíèÿ îáú¼ìîâ íà óñòàíîâêó äîïîëíèòåëüíîãî îáîðóäîâàíèÿ, è ò.ä. Âî-âòîðûõ, ïñèõîëîãè÷åñêèå
ôàêòîðû ïðèâîäÿò ê çàäåðæêàì. Ïðè èçìåíåíèè äîõîäîâ, íàïðèìåð,
â ñèëó ïîòðåáèòåëüñêèõ ïðèâû÷åê, ðàñõîäû íà ïîòðåáëåíèÿ èçìåíÿòñÿ íå ñðàçó. Â-òðåòüèõ, çàïàçäûâàíèå âîçíèêàåò â ñèëó íåñîâåðøåííîé
èíôîðìàöèè - ýêîíîìè÷åñêèì àãåíòàì òðåáóåòñÿ âðåìÿ äëÿ ñáîðà èíôîðìàöèè, ÷òî çàäåðæèâàåò ïðèíÿòèå ðåøåíèé. Â-÷åòâåðòûõ, ê çàïàçäûâàíèþ ìîãóò ïðèâîäèòü èíñòèòóöèîíàëüíûå ôàêòîðû - êîíòðàêòíûå îáÿçàòåëüñòâà è ò.ï. Íàêîíåö, çíà÷åíèå çàâèñèìîé ïåðåìåííîé â
òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè î÷åíü ÷àñòî çàâèñèò îò å¼ çíà÷åíèé â ïðîøëîì.
Åñëè íàøè äàííûå èìåþò õàðàêòåð âðåìåííîãî ðÿäà, òî íàì íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ìîäåëü âèäà (3).
Åñëè ìîäåëü (1) îïèñûâàåò ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå ýêîíîìèêè è ÷àñòî íåïîñðåäñòâåííî îïèðàåòñÿ íà ýêîíîìè÷åñêóþ òåîðèþ, òî ìîäåëè
(3), (4) îïèñûâàþò ïðîöåññ êîððåêòèðîâêè. Åñëè âñå çíà÷åíèÿ îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ äîëãîå âðåìÿ íå ìåíÿþòñÿ, òî ñèñòåìà äîëæíà
8
ïîñòåïåííî ïðèéòè â ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ. Ïóñòü X1 íå ìåíÿåòñÿ m1
ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, òî åñòü:
X1t = X1(t−1) = X1(t−2) = . . . = X1(t−m1 ) = X1const
Àíàëîãè÷íî:
X2t = X2(t−1) = X2(t−2) = . . . = X2(t−m2 ) = X2const ,
è òàê äàëåå. Òîãäà â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ìîäåëü (4) äàñò ñëåäóþùóþ
ñâÿçü ìåæäó çàâèñèìîé ïåðåìåííîé è îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè
Y const = f (X1const , X2const , . . . , Xkconst , ε).
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèøëè ê ñòàòè÷åñêîé ìîäåëè âèäà (1). Ýòà ñòàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äîëæíà äàâàòü íåïðîòèâîðå÷àùåå ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïåðåìåííûìè.
Ïðè íàëè÷èè àâòîðåãðåññèâíîãî ëàãà ñâÿçü ìåæäó ðàâíîâåñíîé ñòàòè÷åñêîé ìîäåëüþ è äèíàìè÷åñêîé ìîäåëüþ (3) ïðîñëåäèòü íå òàê ïðîñòî, ïîñêîëüêó âñå îáúÿñíÿþùèå ïåðåìåííûå äîëæíû îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííûìè áåñêîíå÷íî äîëãî, ïðåæäå ÷åì Yt òàêæå ïðèäåò ê ðàâíîâåñèþ.
Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì äâå ìîäåëè:
Yt = β1 + β2 Xt + β3 Xt−1 + εt
(5)
Yt = β1 + β2 Xt + β3 Yt−1 + εt .
(6)
è
Ïðè èçìåíåíèè îáúÿñíÿþùåé ïåðåìåííîé X íà îäíó åäèíèöó èçìåíåíèå Y (èëè îòêëèê) çà îäèí ïåðèîä ðàâíî â îáåèõ ìîäåëÿõ β2 . Ïî ýòîé
ïðè÷èíå, β2 èíîãäà íàçûâàþò èìïóëüñíûì ìíîæèòåëåì.  ìîäåëè
(5) Y èçìåíèòüñÿ â ñëåäóþùåì ïåðèîäå åùå íà β3 ïîñëå ÷åãî áóäåò
îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííûì äî ñëåäóþùåãî èçìåíåíèÿ X . Òàêèì îáðàçîì,
ñóììàðíîå èçìåíåíèå Y ïðè èçìåíåíèè X íà îäíó åäèíèöó ðàâíî â
ìîäåëè ñ ðàñïðåäåëåííûì ëàãîì (5) β2 + β3 . Ýòó âåëè÷èíó íàçûâàþò
äîëãîñðî÷íûì èëè ðàâíîâåñíûì ìíîæèòåëåì.
 ìîäåëè ñ àâòîðåãðåññèâíûì ëàãîì (6) Yt èçìåíèòüñÿ â îáùåé
ñëîæíîñòè íà âåëè÷èíó
β2 + β2 β3 + β2 β32 + β2 β33 + · · ·
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
9
Åñëè |β3 | < 1, òî ýòîò ðÿä ñõîäèòüñÿ è, ïî ôîðìóëå äëÿ ñóììû áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, åãî ñóììà ðàâíà β2 /(1 − β3 ).
Óñëîâèå |β3 | < 1 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ òîãî, ÷òîáû âëèÿíèå åäèíè÷íîãî ñêà÷êà X çàòóõàëî âî âðåìåíè. Ýòî óñëîâèå
óñòîé÷èâîñòè ìîäåëè (6).
• Ñèñòåìû îäíîâðåìåííûõ óðàâíåíèé. Äëÿ îïèñàíèÿ íåêîòîðîé
îòðàñëè ýêîíîìèêè èëè, òåì áîëåå, ýêîíîìèêè â öåëîì, îäíîãî óðàâíåíèÿ, êîíå÷íî, íåäîñòàòî÷íî.  ýòîì ñëó÷àå ìîäåëü ñîñòîèò èç íàáîðà
óðàâíåíèé, íåêîòîðûå èõ êîòîðûõ ìîãóò áûòü ðåãðåññèîííûìè óðàâíåíèÿìè âèäà (1) èëè (3) èëè òîæäåñòâàìè (òî åñòü íå ñîäåðæàòü ñëó÷àéíîé ïîïðàâêè, íàïðèìåð Ñáåðåæåíèÿ = Äîõîäû - Ðàñõîäû). Íàïðèìåð,
ìîäåëü ýêîíîìèêè ÑØÀ óîðòîíñêîé àññîöèàöèè ñîäåðæàëà 207 óðàâíåíèé. Àíàëîãè÷íûé ïðîåêò áîííñêîãî óíèâåðñèòåòà äëÿ ýêîíîìèêè
Ãåðìàíèè ñîäåðæàë 137 óðàâíåíèé. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ òàêèõ ìîäåëåé
òðåáóåòñÿ áîëåå ñëîæíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ÷åì äëÿ ìîäåëåé
ïåðâûõ äâóõ òèïîâ è îíè íå ðàññìàòðèâàþòñÿ â íàñòîÿùåì ïîñîáèè.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïðîñòåéøóþ ìàêðîýêîíîìè÷åñêóþ ìîäåëü :
Ct = α0 + α1 Yt + α2 Ct−1 + ε1t
It = β0 + β1 Rt + β2 (Yt − Yt−1 ) + ε2t
Yt = C t + I t + Gt
(7)
Çäåñü ïîòðåáëåíèå Ct , èíâåñòèöèè It è ñóììàðíûé ñïðîñ Yt îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé ìîäåëè è íàçûâàþòñÿ ýíäîãåííûìè (âíóòðåííèìè,
âíóòðèñèñòåìíûìè) ïåðåìåííûìè. Óðîâåíü ïðîöåíòíûõ ñòàâîê Rt è
ïðàâèòåëüñòâåííûå ðàñõîäû, íå ñâÿçàííûå ñ çàðàáîòíîé ïëàòîé, Gt
ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè è íàçûâàþòñÿ ýêçîãåííûìè (âíåøíèìè, âíåñèñòåìíûìè) ïåðåìåííûìè. Ïåðåìåííûå Ct−1 è Yt−1 ê ìîìåíòó âðåìåíè t
óæå ïðèíèìàþò íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ è ïîýòîìó íàçûâàþòñÿ ïðåäîïðåäåëåííûìè.
Êðîìå ïåðå÷èñëåííûõ ñóùåñòâóþò è äðóãèå âèäû ìîäåëåé, òàêèå íàïðèìåð, êàê ìîäåëè äëÿ ïàíåëüíûõ äàííûõ, ìîäåëè ñ äèñêðåòíîé çàâèñèìîé
ïåðåìåííîé, ìîäåëè ñ óðåçàííûìè è öåíçóðèðîâàííûìè âûáîðêàìè è äðóãèå.
10
2 Ìíîæåñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ
Ïðîñòåéøåé è â òîæå âðåìÿ âàæíåéøåé ñòàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ÿâëÿåòñÿ
ìíîæåñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ. Îíà çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì:
(8)
Y = β1 + β2 X2 + β3 X3 + . . . + βk Xk + ε,
ãäå Y - çàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, X1 , . . . , Xk - îáúÿñíÿþùèå ïåðåìåííûå, ε ñëó÷àéíîå âîçìóùåíèå. Ïóñòü ó íàñ èìåþòñÿ n íàáëþäåíèé íàä âñåìè ïåðåìåííûìè. Ñôîðìèðóåì èç ýòèõ äàííûõ ìàòðèöó íàáëþäåíèé X è âåêòîð
Y:



X=

1 X12 X13 . . . X1k
1 X22 X23 . . . X2k
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
1 Xn2 Xn3 . . . Xnk



,




Y=

Y1
Y2
..
.
Yn



.

×åðåç x·m ìû áóäåì îáîçíà÷àòü m-ûé ñòîëáåö ìàòðèöû X, òî åñòü nìåðíûé âåêòîð ñòîëáåö íàáëþäåíèé çà ïåðåìåííîé Xm ; xi· áóäåò îáîçíà÷àòü
i-óþ ñòðîêó ìàòðèöû X, òî åñòü k -ìåðíûé âåêòîð-ñòðîêó, ñîäåðæàùóþ i-îå
íàáëþäåíèå çà âñåìè ïåðåìåííûìè. Ñîãëàñíî (8) X è Y ñâÿçàíû óðàâíåíèåì
Y = Xβ + ε,
(9)
ãäå β = (β1 , . . . , βk )T è ε = (ε1 , . . . , εn )T - íàáîð ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ε. Êëàññè÷åñêàÿ ìîäåëü ìíîæåñòâåííîé ëèíåéíîé ðåãðåññèè äîáàâëÿåò ê óðàâíåíèþ (9) ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:
A1 Âñå ñòîëáöû ìàòðèöû X ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî åñòü ìàòðèöà X èìååò ðàíã k . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäó îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè íå
ñóùåñòâóåò òî÷íîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, íåêîòîðûå èç ïåðåìåííûõ ìîæíî áåçáîëåçíåííî óäàëèòü èç ìîäåëè.
A2 Ñëó÷àéíûå îøèáêè èìåþò íóëåâîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è íåêîððåëèðîâàííû ñ îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè. Òî÷íåå ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî ïðè ëþáîé ìàòðèöå íàáëþäåíèé X óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âîçìóùåíèé ðàâíî íóëþ: E(ε|X) = 02 .
A3 Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ íàáëþäåíèé íå êîððåëèðóþò
äðóã ñ äðóãîì è èìåþò ïîñòîÿííóþ äèñïåðñèþ äëÿ ëþáîé ôèêñèðîâàííîé ìàòðèöû íàáëþäåíèé: E(εεT |X) = σ 2 I, ãäå I - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà
ðàçìåðà n × n.
2 Ñèìâîë
E(ε|X) îçíà÷àåò óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, òî åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â
óñëîâíîì ðàñïðåäåëåíèè ε ïðè çàäàííîé ìàòðèöå X. Íà ïðàêòèêå ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèÿ
îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ íå íåñóò íèêàêîé èíôîðìàöèè î âîçìóùåíèÿõ.
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
11
A4 Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî ñî ñðåäíèì íîëü è
äèñïåðñèåé σ 2 : ε ∼ N (0, σ 2 I).
Òðåáóåòñÿ îöåíèòü íåèçâåñòíûé âåêòîð β . Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ íåêîòîðàÿ
îöåíêà β̂ âåêòîðà β . Òîãäà îöåíêîé äëÿ âîçìóùåíèé ñëóæàò îñòàòêè:
ε̂i = ei = Yi − xi· β̂,
i = 1, . . . , n,
(10)
êîòîðûå îáðàçóþò âåêòîð
e = (e1 , . . . , en )T = Y − Xβ̂ = Y − Ŷ.
Çäåñü Ŷ = Xβ̂ - ïðîãíîç çíà÷åíèé Y ïî çíà÷åíèÿì X. Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñîñòîèò â òàêîì âûáîðå β̂ , êîòîðûé ìèíèìèçèðóåò ñóììó
êâàäðàòîâ îñòàòêîâ:
n
X
e2i = eT e → min .
i=1
Îöåíêà ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èìååò âèä:
β̂ = (XT X)−1 XT Y.
(11)
Ìàòðèöà XT X îáðàòèìà áëàãîäàðÿ ïðåäïîëîæåíèþ A1. Îöåíêà ìåòîäîì
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ áóäåò íåñìåù¼ííîé, åñëè âûïîëíåíî ïðåäïîëîæåíèå A2. Ýòà îöåíêà îáëàäàåò íàèìåíüøåé äèñïåðñèåé ñðåäè âñåõ ëèíåéíûõ
îöåíîê âåêòîðà β åñëè âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ A1-A33 . Íàêîíåö, îöåíêà
(11) ýôôåêòèâíà, òî åñòü îáëàäàåò íàèìåíüøåé äèñïåðñèåé ñðåäè âñåõ (à íå
òîëüêî ëèíåéíûõ) îöåíîê âåêòîðà β , åñëè ñîáëþäåíû âñå ÷åòûðå ïðåäïîëîæåíèÿ A1-A4. Óñëîâèÿ ñîñòîÿòåëüíîñòè ýòîé îöåíêè ïðèâåäåíû íèæå â ðàçäåëå 5. Òåîðèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà, èçëîæåííàÿ íèæå â ýòîì ðàçäåëå
è ðàçäåëå 2, îïèðàåòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèå A4 î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè
âîçìóùåíèé.
Äëÿ ñëó÷àÿ ïàðíîé ðåãðåññèè
(12)
Y = α + βX + ε
ôîðìóëà (11) ïðèâîäèòüñÿ ê âèäó:
Pn
β̂ =
ãäå Y = [
ñòâåííî.
3 Ýòî
Pn
i=1 (Xi − X)(Yi −
Pn
2
i=1 (Xi − X)
i=1 Yi ] /n, X = [
Pn
i=1 Xi ] /n
Y)
,
α̂ = Y − β̂X,
(13)
- ñðåäíèå çíà÷åíèÿ Y è X , ñîîòâåò-
óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Ãàóññà-Ìàðêîâà.
12
Íåñìåùåííîé îöåíêîé äëÿ äèñïåðñèè σ 2 ñëóæèò
n
1 X 2
eT e
σ̂ = s =
e =
.
n − k i=1 i
n−k
2
2
(14)
T
Ìàòðèöà âàðèàöèé-êîâàðèàöèé âåêòîðà β̂ , ðàâíàÿ E(β̂ β̂ ), îöåíèâàåòñÿ
ïðè ïîìîùè ôîðìóëû:
d β̂) = E(
b β̂ β̂ T ) = s2 (XT X)−1 .
Var(
(15)
b - îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ýòîé
Çäåñü E
ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ îöåíêàìè äëÿ äèñïåðñèé îòäåëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, òî
åñòü:
q
sβ̂j = s (XT X)−1
jj .
(16)
Ïðè ïîìîùè ýòèõ îöåíîê ñòðîÿòñÿ äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ èíäèâèäóàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Çàäàäèì óðîâåíü äîâåðèÿ α. Ïî çàäàííîìó
óðîâíþ äîâåðèÿ íàéäåì êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ tαn−k ïî òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ n − k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (â ïðîãðàììå MS-Excel ýòî
ìîæíî ñäåëàòü ïðè ïîìîùè ôóíêöèè ¾=ÑÒÜÞÄÐÀÑÏÎÁÐ(α, n − k )¿).
Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ êîýôôèöèåíòà βj ïîëó÷àþòñÿ ïî ôîðìóëå:
β̂j − tαn−k sβ̂j ≤ βj ≤ β̂j + tαn−k sβ̂j .
(17)
Ñòàòèñòèêà äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû βj = 0 (t-òåñò) ïîëó÷àåòñÿ ïî ôîðìóëå
t=
β̂j
sβ̂j
(18)
è èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû βj = βj∗ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñòàòèñòèêó
β̂j − βj∗
,
t =
sβ̂j
∗
(19)
èìåþùóþ òàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ äèñïåðñèè σ 2 íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
(n − k)s2
(n − k)s2
2
≤σ ≤
,
χ2α/2
χ21−α/2
(20)
ãäå χ2α/2 è χ21−α/2 - êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ χ2 - ðàñïðåäåëåíèÿ ñ n − k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
13
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ êà÷åñòâà ïîäãîíêè ðàññìàòðèâàþò ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîëíîé âàðèàöèåé Y îòíîñèòåëüíîãî ñâîåãî ñðåäíåãî (SST=sum of squares
total)
SST =
n
X
2
(Yi − Y )2 = YT Y − nY ,
(21)
i=1
îáúÿñíåííîé âàðèàöèåé (SSE=sum of squares explained)
n
X
T
T
2
2
SSE =
(Ŷi − Y )2 = β̂ XT Y − nY = β̂ XT Xβ̂ − nY
(22)
i=1
è îñòàòî÷íîé âàðèàöèåé (SSR=sum of squares residual)
SSR = eT e.
(23)
SST = SSE + SSR.
(24)
Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî:
Êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè ðàâåí äîëè îáúÿñíåííîé âàðèàöèè Y â
ïîëíîé âàðèàöèè:
SSE
eT e
R =
=1−
2.
SST
YT Y − nY
2
(25)
Âåëè÷èíà
SST
YT Y − nY
sy =
=
n−1
n−1
2
(26)
ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé äèñïåðñèè Y . Êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè
íèêîãäà íå óáûâàåò ïðè äîáàâëåíèè íîâîãî ðåãðåññîðà, äàæå íå èìåþùåãî
íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê îáúÿñíåíèþ äâèæåíèé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé Y . Ïîýòîìó ïðåäïî÷òèòåëüíåé èñïîëüçîâàòü ìîäèôèöèðîâàííûé êîýôôèöèåíò
äåòåðìèíàöèè R̃2 , â êîòîðîì ââåäåí øòðàô çà óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà ïåðåìåííûõ:
R̃2 = 1 −
n−1
(1 − R2 ).
n−k
(27)
Êîýôôèöèåíòû äåòåðìèíàöèè (25), (27) èìåþò ñìûñë òîëüêî åñëè ñðåäè
ðåãðåññîðîâ åñòü êîíñòàíòà (òî åñòü, êîãäà â ìàòðèöå X åñòü ñòîëáåö
åäèíèö). Äëÿ ïðîâåðêè çíà÷èìîñòè êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè (èëè, ÷òî
14
òî æå ñàìîå, äëÿ ïðîâåðêè ñîâìåñòíîé çíà÷èìîñòè âñåõ ïåðåìåííûõ) ïðèìåíÿåòñÿ F -ñòàòèñòèêà:
R2 /(k − 1)
F =
,
(1 − R2 )/(n − k)
(28)
êîòîðàÿ èìååò F -ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà ñ [k − 1, n − k] ñòåïåíÿìè ñâîáîäû
â ïðåäïîëîæåíèè î ðàâåíñòâå íóëþ âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïåðåìåííûõ:
β2 = β3 = · · · = βk = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïðîâåðêè ýòîé ãèïîòåçû íà
âûáðàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α íàì íåîáõîäèìî ñðàâíèòü íàáëþäàåìîå
α
çíà÷åíèå F-ñòàòèñòèêè ñ ïîëó÷åííûì ïî òàáëèöàì çíà÷åíèåì Fk−1,n−k
(â
MS-Excel ýòî çíà÷åíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ôóíêöèåé ¾=FÐÀÑÏÎÁÐ(α, k − 1,
n−k )¿). Âûñîêèå çíà÷åíèÿ F-ñòàòèñòèêè ñâèäåòåëüñòâóþò ïðîòèâ ãèïîòåçû
î ðàâåíñòâå íóëþ âñåõ êîýôôèöèåíòîâ.
Íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî äëÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ õàðàêòåðíû âåñüìà
âûñîêèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè (÷àñòî > 0.9). Òàêèå çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü ðåçóëüòàòîì ñîâìåñòíîãî òðåíäà, åñëè îí ïðèñóòñòâóåò êàê
â çàâèñèìîé ïåðåìåííîé, òàê è â ðåãðåññîðàõ, òî åñòü ÿâëÿòüñÿ ñëåäñòâèåì
òàê íàçûâàåìîé ëîæíîé êîððåëÿöèè (ïîäðîáíåå ñì. ðàçäåë 8 íàñòîÿùåãî
ïîñîáèÿ).  òî æå âðåìÿ äëÿ äàííûõ ñðåçà çíà÷åíèÿ R2 > 0.3 ìîãóò áûòü
âïîëíå ïðèåìëåìûìè.
Äëÿ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè òàêæå ìîæíî ñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû. À èìåííî, äëÿ γ = wT β , ãäå w - çàäàííûé
âåêòîð, íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α ïîëó÷àåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë
γ̂ − tαn−k sγ̂ ≤ γ ≤ γ̂ + tαn−k sγ̂ ,
(29)
ãäå
γ̂ = wT β̂,
s2γ̂ = wT s2 (XT X)−1 w.
Âàæíûì àñïåêòîì äèàãíîñòèêè ðåãðåññèîííîé ìîäåëè (8) ÿâëÿåòñÿ ïðîâåðêà íàëè÷èÿ ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòè (òî åñòü ïðèáëèæåííîé ëèíåéíîé
çàâèñèìîñòè ìåæäó îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè). Âàæíîñòü îáúÿñíÿåòñÿ
ñëåäóþùåé ôîðìóëîé äëÿ äèñïåðñèè îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ:
σβ̂2 =
j
σ2
,
n
P
2
(1 − Rj ) (Xji − x·j )
(30)
i=1
ãäå x·j - ñðåäíåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé Xj , òî åñòü j -îãî ñòîëáöà ìàòðèöû
X, Rj2 - êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè ïðè ðåãðåññèè Xj ïî âñåì îñòàëüíûì
îáúÿñíÿþùèì ïåðåìåííûì. Ýòà ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè çíà÷åíèÿõ
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
15
Rj2 áëèçêèõ ê åäèíèöå, äèñïåðñèÿ îöåíîê β̂j ïðèáëèæàåòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè,
÷òî ïðèâîäèò ê ðàçìûâàíèþ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ (17) äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè è ê íèçêèì çíà÷åíèÿì t-òåñòà, ïðè âûñîêîé ñîâìåñòíîé
çíà÷èìîñòè ïåðåìåííûõ. Äëÿ ïðîâåðêè íàëè÷èÿ ìóëüòèêîëëèíåàðíîñòè èñïîëüçóåòñÿ êîýôôèöèåíò âîçðàñòàíèÿ äèñïåðñèè (VIF=Variance Ination
Factor):
VIFj =
1
.
1 − Rj2
(31)
Åùå îäèí àñïåêò äèàãíîñòèêè - âûÿâëåíèå âûáðîñîâ. Äëÿ ýòîãî ìîæíî
èñïîëüçîâàòü îöåíêó êîýôôèöèåíòîâ, ïîëó÷åííóþ ïî âñåì íàáëþäåíèÿì,
çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî (i-îãî):
β̂(i) = [X(i)T X(i)]−1 X(i)T Y(i),
(32)
ãäå îáîçíà÷åíèå (i) ïîêàçûâàåò, ÷òî i-îå íàáëþäåíèå áûëî ïðîïóùåíî. Îñòàòîê, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîïóùåííîìó íàáëþäåíèþ, ðàâåí
ei (i) = Yi − xi· β̂(i),
à åãî äèñïåðñèÿ îöåíèâàåòñÿ ïî ôîðìóëå:
Var(ei (i)) = s2 (i)(1 + xi· [X(i)T X(i)]−1 xT
i· ).
p
Íîðìèðîâàííûå îñòàòêè ei (i)/ Var(ei (i)) äîëæíû èìåòü ðàñïðåäåëåíèå
áëèçêîå ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Çíà÷åíèÿ ïðåâûøàþùèå ïî ìîäóëþ 2 óêàçûâàþò íà íàáëþäåíèÿ, òðåáóþùèå îñîáîãî èçó÷åíèÿ
(âûáðîñû).
Ïðèâåäåì íàêîíåö, îäíó âàæíóþ äëÿ âû÷èñëåíèé ôîðìóëó (ôîðìóëà
îáíîâëåíèÿ), êîòîðàÿ ïðèìåíÿåòñÿ êîãäà ê èìåþùèìñÿ n íàáëþäåíèÿì äîáàâëÿþòñÿ åùå m íàáëþäåíèé è íàì íåîáõîäèìî îáíîâèòü îöåíêó âåêòîðà
êîýôôèöèåíòîâ β . Ïóñòü X0 (n × k), Y0 (n × 1) - ïåðâîíà÷àëüíûå íàáëþäå−1
T
íèÿ è A0 = (XT
0 X0 ) , B0 = X0 Y0 . Ïóñòü íîâûå m íàáëþäåíèé ñîáðàíû â
ìàòðèöó X1 (m × k) è âåêòîð Y1 (m × 1). Îáîçíà÷èì ÷åðåç X((m + n) × k),
Y((m + n) × 1) îáúåäèíåííûå íàáëþäåíèÿ. Èìåþò ìåñòî ôîðìóëû:
T −1
A = (XT X)−1 = A0 − A0 XT
1 [I + X1 A0 X1 ] X1 A0 ,
B = XT Y = B0 + XT
β̂ = (XT X)−1 XT Y = AB.
1 Y1 ,
(33)
Îáùèå ñâåäåíèÿ î ìíîæåñòâåííîé ëèíåéíîé ðåãðåññèè çàâåðøèì ñëåäóþùèì çàìå÷àíèåì. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ âàæíà
ëèøü ëèíåéíîñòü ìîäåëè (8) ïî ïàðàìåòðàì β1 , . . . , βk . Ìîäåëü âèäà
g(Y ) = β1 + β2 f2 (X2 , . . . , Xk ) + · · · + βk fk (X2 , . . . , Xk ) + ε,
(34)
16
ãäå g , f2 , . . . , fk - çàäàííûå ôóíêöèè, ñâîäèòñÿ ê ìîäåëè (8) ïðè ïîìîùè
ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ Y ∗ = g(Y ), X2∗ = f2 (X2 , . . . , Xk ), . . . , Xk∗ =
fk (X2 , . . . , Xk ). Êðîìå òîãî, ìîäåëü, çàâèñÿùàÿ îò ïàðàìåòðîâ θ1 , . . . , θk
íàçûâàåòñÿ âíóòðåííå ëèíåéíîé, åñëè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå íàáîðà ïàðàìåòðîâ θ1 , . . . , θk â íàáîð ïàðàìåòðîâ
β1 , . . . , βk , îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ìîäåëü èìååò âèä (34).
3 Ëèíåéíûå îãðàíè÷åíèÿ, ñòàáèëüíîñòü ïàðàìåòðîâ è
ôèêòèâíûå ïåðåìåííûå
Ïóñòü íàì íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü J ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé íà ìîäåëü (9):
r11 β1 + r12 β2 + · · · + r1k βk = q1
r21 β1 + r22 β2 + · · · + r2k βk = q2
..
.
rJ1 β1 + r22 β2 + · · · + rJk βk = qJ .
Çàïèøåì îãðàíè÷åíèÿ â âåêòîðíîé ôîðìå:
(35)
Rβ = q,
ãäå



R=


r11 r12 r13 . . . r1k
r21 r22 r23 . . . r2k 

..
..
..
..
..  ,
.
.
.
.
. 
rJ1 rJ2 rJ3 . . . rJk



q=

q1
q2
..
.
qJ



.

 ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îãðàíè÷åíèÿ (35) âûïîëíåíû F -ñòàòèñòèêà, ðàâíàÿ
F = (Rβ̂ − q)T [s2 R(XT X)−1 RT ]−1 (Rβ̂ − q)/J,
(36)
èìååò F -ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà ñ [J, n−k] ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. F -ñòàòèñòèêà
èç ôîðìóëû (28) ïîëó÷àåòñÿ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé (36), êîãäà îãðàíè÷åíèÿ
èìåþò âèä β2 = β3 = · · · = βk = 0, òî åñòü êîãäà R - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà
ðàçìåðà (k − 1) × (k − 1) ñ ïðèïèñàííûì ñëåâà ñòîëáöîì íóëåé, à q = 0
(ñì. ôîðìóëó (40)).
Ïðè ïîìîùè F -ñòàòèñòèêè ìû ìîæåì ñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå îáëàñòè
äëÿ ãðóïïû êîýôôèöèåíòîâ. Ïóñòü p - êîëè÷åñòâî êîýôôèöèåíòîâ, äëÿ
êîòîðûõ ñòðîèòñÿ äîâåðèòåëüíàÿ îáëàñòü. Ýòà îáëàñòü ñîñòîèò èç òåõ çíà÷åíèé βi01 , βi02 , . . . , βi0p , äëÿ êîòîðûõ ãèïîòåçà βi1 = βi01 , βi2 = βi02 , . . . ,
βip = βi0p íå ìîæåò áûòü îòâåðãíóòà F -ñòàòèñòèêîé íà çàäàííîì óðîâíå
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
17
çíà÷èìîñòè α. Îáîçíà÷èì i = {i1 , i2 , . . . , ip }, β 0i = (βi01 , βi02 , . . . , βi0p )T , β̂ i =
( βˆi1 , . . . , βˆip )T . Íàéäåì ïî òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà ñ [p, n−k] ñòåïåα
íÿìè ñâîáîäû êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå Fp,n−k
. Äîâåðèòåëüíàÿ îáëàñòü ñîñòîèò
0
èç çíà÷åíèé β i , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó
1
d i (β̂)−1 (β̂ i − β 0 ) ≤ F α ,
(β̂ i − β 0i )T Var
i
p,n−k
p
(37)
d i (β̂) - ìàòðèöà ðàçìåðà p × p, ñîñòîÿùàÿ èç òåõ ñòðîê è ñòîëáöîâ
ãäå Var
ìàòðèöû (15), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò êîâàðèàöèÿì êîìïîíåíò β̂ i . Äîâåðèòåëüíàÿ îáëàñòü (37) èìååò ôîðìó ìíîãîìåðíîãî ýëëèïñîèäà.
Ïðè íàëîæåíèè îãðàíè÷åíèé (35) íà ìîäåëü (9) ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ îãðàíè÷åíèÿìè ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó âåêòîðó îöåíîê:
β̃ = β̂ − (XT X)−1 RT [R(XT X)−1 RT ]−1 (Rβ̂ − q).
(38)
Ìàòðèöà âàðèàöèé-êîâàðèàöèé ýòîãî âåêòîðà îöåíîê èìååò âèä:
Var(β̃) = σ 2 (XT X)−1 − σ 2 (XT X)−1 RT [R(XT X)−1 RT ]−1 R(XT X)−1 (39)
è ìîæåò áûòü îöåíåíà çàìåíîé σ 2 íà s2 . Ýòà ìàòðèöà ìåíüøå ìàòðèöû (15)
â òîì ñìûñëå, ÷òî ïîëó÷àåòñÿ èç íåå âû÷èòàíèåì ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé ìàòðèöû.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ẽ âåêòîð îñòàòêîâ â ðåãðåññèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè (35):
ẽ = Y − Xβ̃.
Òîãäà F -ñòàòèñòèêà (36) ìîæåò áûòü òàêæå âûðàæåíà ôîðìóëîé:
(ẽT ẽ − eT e)/J
(R2 − R12 )/J
F = T
=
,
e e/(n − k)
(1 − R2 )/(n − k)
(40)
ãäå e è R2 - âåêòîð îñòàòêîâ è êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè â ðåãðåññèè (9)
áåç íàëîæåíèÿ îãðàíè÷åíèé (35), ñîîòâåòñòâåííî, R12 - êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè â ðåãðåññèè (9) c îãðàíè÷åíèÿìè (35).
Îäíî èç ðàñïðîñòðàíåííûõ ïðèìåíåíèé F -ñòàòèñòèêè ýòî òåñòèðîâàíèå
ãèïîòåçû î ðàâåíñòâå íóëþ íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà êîýôôèöèåíòîâ. Â
ýòîì ñëó÷àå ðåãðåññèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè - ýòî ðåãðåññèÿ â êîòîðîé ïðîñòî îòñóòñòâóþò ïåðåìåííûå, êîýôôèöèåíòû ïðè êîòîðûõ ïðåäïîëàãàþòñÿ
ðàâíûìè íóëþ. Âåêòîð îñòàòêîâ ýòîé ðåãðåññèè è åñòü â ýòîì ñëó÷àå ẽ è
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (40). Åñëè âû÷èñëåííàÿ òàêèì îáðàçîì
F -ñòàòèñòèêà ïðåâîñõîäèò êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå íà çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè, òî ãèïîòåçà î ðàâåíñòâå íóëþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîäìíîæåñòâà
êîýôôèöèåíòîâ äîëæíà áûòü îòâåðãíóòà.
18
Äðóãîå ïðèìåíåíèå F -ñòàòèñòèêè - ïðîâåðêà ñòàáèëüíîñòè ïàðàìåòðîâ
ðåãðåññèè. Òàêàÿ ïðîâåðêà ïðèìåíÿåòñÿ ê âðåìåííûì ðÿäàì, êîãäà èìååòñÿ
ïîäîçðåíèå íà ñòðóêòóðíûé ñäâèã, ïðèâåäøèé ê èçìåíåíèþ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ìîäåëè è ïðîèçîøåäøèé â ïåðèîä íàáëþäåíèé. Ðàçîáúåì íàøè
äàííûå íà äâà ïîäìíîæåñòâà: X1 , Y1 - äî ìîìåíòà âîçìîæíîãî ñòðóêòóðíîãî ñäâèãà è X2 , Y2 - ïîñëå òàêîãî ìîìåíòà. Òîãäà â ìîäåëè áåç îãðàíè÷åíèé
âåêòîð ïàðàìåòðîâ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì ïðè X1 è ïðè X2 . Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ìû îöåíèâàåì äâå ðàçëè÷íûõ ìîäåëè - îäíó íà äàííûõ
äî ìîìåíòà âîçìîæíîãî ñòðóêòóðíîãî ñäâèãà, âòîðóþ - íà äàííûõ ïîñëå
òàêîãî ìîìåíòà:
−1 T T
β̂ 1 = (XT
1 X1 ) X1 Y1 ,
−1 T T
β̂ 2 = (XT
2 X2 ) X2 Y2 .
(41)
Ñóììà êâàäðàòîâ îñòàòêîâ â ðåãðåññèè áåç îãðàíè÷åíèé ñêëàäûâàåòñÿ èç
äâóõ ÷àñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ äâóì ïåðèîäàì:
T
eT e = eT
1 e1 + e2 e2 .
(42)
Îãðàíè÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ãèïîòåçå îá îòñóòñòâèè ñòðóêòóðíîãî ñäâèãà, èìååò âèä β 1 = β 2 èëè R = [I, −I], q = 0, Rβ = q, è ìîæíî ïðèìåíèòü
ôîðìóëó (36). Ïðîùå îäíàêî çàìåòèòü, ÷òî ðåãðåññèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè â
äàííîì ñëó÷àå - ýòî ïðîñòî ðåãðåññèÿ, â êîòîðîé âñå äàííûå îáúåäèíåíû:
X1
,
X=
X2
Y1
,
Y=
Y2
β̂ = (XT X)−1 XT Y,
ẽ = Y − Xβ̂.
(43)
Òåïåðü ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëó (40) c J ðàâíûì êîëè÷åñòâó ñòîëáöîâ â
X è n − k = n1 + n2 − 2k (ïîñêîëüêó â ðåãðåññèè áåç îãðàíè÷åíèé n1 + n2
íàáëþäåíèé è 2k ïåðåìåííûõ).
Åñëè íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ñòðóêòóðíûé ñäâèã ïîâëèÿë íå íà âñå êîýôôèöèåíòû, à ëèøü íà íåêîòîðîå èõ ïîäìíîæåñòâî
(ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû èçìåíèëèñü), òî ðåãðåññèÿ
áåç îãðàíè÷åíèé ñíîâà ñîñòîèò èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ÷àñòåé (41) ñ ñóììîé
îñòàòêîâ (42), à â ðåãðåññèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè ìàòðèöà íàáëþäåíèé èìååò
âèä:
XR =
Zpre 0
Wpre
0 Zpost Wpost
,
(44)
ãäå èíäåêñû pre è post - îáîçíà÷àþò íàáëþäåíèÿ äî è ïîñëå ìîìåíòà ñòðóêòóðíîãî ñäâèãà, ñîîòâåòñòâåííî; Zpre , Zpost - íàáëþäåíèÿ çà ïåðåìåííûìè,
íà êîýôôèöèåíòû ïðè êîòîðûõ íå íàëàãàåòñÿ îãðàíè÷åíèé (òî åñòü îíè ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè äî è ïîñëå ñäâèãà), Wpre , Wpost - íàáëþäåíèÿ çà ïåðåìåííûìè, êîýôôèöèåíòû ïðè êîòîðûõ íàì íåîáõîäèìî ïðîòåñòèðîâàòü
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
19
íà íåèçìåííîñòü. Åñëè êîíñòàíòà ìîæåò áûòü ðàçëè÷íîé äî è ïîñëå ìîìåíòà ñòðóêòóðíîãî ñäâèãà, òî ñòîëáåö åäèíèö i âõîäèò â ãðóïïû Zpre , Zpost
(åñëè åñòü ïîäîçðåíèå, ÷òî èçìåíèëàñü òîëüêî êîíñòàíòà, òî Zpre = in1 ,
Zpost = in2 ); åñëè íåîáõîäèìî ïðîòåñòèðîâàòü îñòàëàñü ëè êîíñòàíòà ïîñòîÿííîé, òî ñòîëáöû åäèíèö ïîäõîäÿùåãî ðàçìåðà âõîäÿò â Wpre , Wpost .
Îñòàòêè îò ðåãðåññèè Y íà ìàòðèöó XR íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó
(40) âìåñòî ẽ. Ïðè ýòîì J - ýòî êîëè÷åñòâî ñòîëáöîâ â Wpre (= êîëè÷åñòâî
ñòîëáöîâ â Wpost ).
Åñëè ìû ïðîâåðÿåì ãèïîòåçó î ñòàáèëüíîñòè íåêîòîðîé ãðóïïû êîýôôèöèåíòîâ ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû î ñòàáèëüíîñòè âñåõ êîýôôèöèåíòîâ, òî
(44) èãðàåò ðîëü ìîäåëè áåç îãðàíè÷åíèé, â òî âðåìÿ êàê ìîäåëü ñ îãðàíè÷åíèÿìè çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (43), â êîòîðîì âñå ïàðàìåòðû íåèçìåííû
âåñü ïåðèîä íàáëþäåíèé.
Íàêîíåö â òîì ñëó÷àå, êîãäà íàáëþäåíèé â îäíîé èç ãðóïï X1 èëè X2
(ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè â X2 ) íåäîñòàòî÷íî äëÿ ðàñ÷åòà êîýôôèöèåíòîâ â ìîäåëè áåç îãðàíè÷åíèé (n2 < k )4 , ïðèìåíÿåòñÿ òåñò ×àó íà ïðîâàë
ïðîãíîçà (Ñhow predictive failure test). Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ðåãðåññèÿ
ñ îãðàíè÷åíèÿìè ïðîâîäèòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëíîãî íàáîðà äàííûõ, òî
åñòü ñîãëàñíî (43). Îñòàòêè â ýòîé ðåãðåññèè îáîçíà÷èì ẽ. Ìîäåëü áåç îãðàíè÷åíèé ðàññ÷èòûâàåòñÿ íà äàííûõ èç áîëåå äëèííîé ãðóïïû X1 , òî åñòü
ïî ïåðâîé èç ôîðìóë (41). Ýòî äåëàåòñÿ ïîòîìó, ÷òî íà äàííûõ èç âòîðîé ãðóïïû ìû ìîæåì âûáðàòü β̂ 2 òàê, ÷òîáû îñòàòêè áûëè ðàâíû íóëþ,
ïîñêîëüêó îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ áîëüøå ÷åì íàáëþäåíèé. Îáîçíà÷èâ
îñòàòêè â ýòîé ðåãðåññèè ÷åðåç e, âû÷èñëèì F -ñòàòèñòèêó ïî ôîðìóëå:
(ẽT ẽ − eT e)/n1
F = T
e e/(n2 − k)
(45)
è ñðàâíèì íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå ñ êðèòè÷åñêèì ïî òàáëèöå F-ðàñïðåäåëåíèÿ
ñ [n1 , n2 − k] ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Ïðèâåä¼ííûå âûøå òåñòû ïðèìåíÿþòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ìîìåíò âîçìîæíîãî ñòðóêòóðíîãî ñäâèãà èçâåñòåí çàðàíåå. Åñëè ýòî íå òàê, ìîæíî èñïîëüçîâàòü CUSUM (cumulative sum) òåñò Áðàóíà-ļðáèíà-Ýâàíñà (BrownDurbin-Evans), îñíîâàííûé íà ðåêóðñèâíûõ îñòàòêàõ. Ïóñòü β̂ t−1 - îöåíêà
âåêòîðà β ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ïîñòðîåííàÿ ïî ïåðâûì t − 1
íàáëþäåíèÿì (t − 1 ≥ k ). Òîãäà ðåêóðñèâíûé îñòàòîê et ðàâåí îøèáêå ïðîãíîçà çíà÷åíèÿ Yt :
et = Yt − xt· β̂ t−1 ,
4 Òî
åñòü ðàíã ìàòðèöû XT
2 X2 ìåíüøå k è îíà íåîáðàòèìà.
20
ãäå xt· , êàê ïðåæäå, íàáëþäåíèå ñ íîìåðîì t, òî åñòü t-àÿ ñòðîêà ìàòðèöû
X. Â ïðåäïîëîæåíèè î ïîñòîÿíñòâå ïàðàìåòðîâ ìîäåëè âåñü ïåðèîä íàáëþäåíèé íîðìèðîâàííûå ðåêóðñèâíûå îñòàòêè
wt = q
et
T
−1
1 + xT
t· (Xt−1 Xt−1 ) xt·
èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì 0 è äèñïåðñèåé σ 2 è íåçàâèñèìû. Â ïîñëåäíåé ôîðìóëå ìàòðèöà Xt−1 ((t − 1) × k) - ýòî ïåðâûå t − 1
ñòðîê ìàòðèöû X. Îöåíèì äèñïåðñèþ âûðàæåíèåì:
n
X
1
σ̂ =
(wt − w)2 ,
n−k−1
n
1 X
w=
wt .
n−k
2
t=k+1
t=k+1
Òîãäà âåëè÷èíû wt /σ̂ èìåþò ðàñïðåäåëåíèå áëèçêîå ñ ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó è íåêîððåëèðîâàííû. Ìîæíî èñïîëüçîâàòü ãðàôèê wt /σ̂ â çàâèñèìîñòè îò t êàê îäíî èç ñðåäñòâ ïðîâåðêè íîðìàëüíîñòè. Âûõîä çà
ãðàíèöû äèàïàçîíà (−2, 2) ñâèäåòåëüñòâóåò â ïîëüçó íàðóøåíèÿ ãèïîòåçû î ñòàáèëüíîñòè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè. Êóìóëÿòèâíûå ñóììû ïîëó÷àþòñÿ
ïî ôîðìóëå
s
X
wt
Ws =
.
σ̂
t=k+1
 ïðåäïîëîæåíèè î ïîñòîÿíñòâå ïàðàìåòðîâ ìîäåëè âåñü ïåðèîä íàáëþäåíèé âåëè÷èíû Ws èìåþò ðàñïðåäåëåíèå áëèçêîå ê íîðìàëüíîìó ñî ñðåäíèì
íîëü è äèñïåðñèåé s − k . Ãðàôèê Ws êàê ôóíêöèè s äîëæåí îñòàâàòüñÿ â
êîðèäîðå, çàäàâàåìîì ïðÿìûìè, ñîåäèíÿþùèìè òî÷êè [k, ±a(n − k)1/2 ] ñ
òî÷êàìè [k, ±3a(n − k)1/2 ], ãäå çíà÷åíèÿ a çàâèñÿò îò óðîâíÿ çíà÷èìîñòè è
ðàâíû 0.948 è 1.143 äëÿ óðîâíåé äîâåðèÿ 95% è 99%, ñîîòâåòñòâåííî.
Íàêîíåö Õàíñåí (Hansen) ïðåäëîæèë â 1992 ãîäó ñëåäóþùèé òåñò íà
ñòàáèëüíîñòü ïàðàìåòðîâ ìîäåëè (8). Ïóñòü
n
ft =
[xt , e2t
−
e2 ]T ,
e2
1X 2
=
e.
n t=1 t
Òîãäà ïîñêîëüêó
T
X e=
n
X
xt· et = 0,
n
X
t=1
t=1
ïîëó÷àåì
n
X
t=1
ft = 0.
(e2t − e2 ) = 0,
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
21
Îáîçíà÷èì:
st =
t
X
r=1
n
fr ,
1X T
F=
ft f ,
n t=1 t
S=
n
X
st sT
t .
t=1
Ñòàòèñòèêà Õàíñåíà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå5
H = tr(F−1 S).
Âûñîêèå çíà÷åíèÿ H ñâèäåòåëüñòâóþò ïðîòèâ íóëåâîé ãèïîòåçû î ñòàáèëüíîñòè ïàðàìåòðîâ. Àñèìïòîòè÷åñêèå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ íà óðîâíå äîâåðèÿ 95% ñëåäóþùèå: ïðè k = 1 - 1.01; ïðè k = 5 - 1.68; k = 15 - 3.54;
k = 20 - 4.52.
Ôèêòèâíûå ïåðåìåííûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ êà÷åñòâåííûõ ôàêòîðîâ â ðåãðåññèîííûõ ìîäåëÿõ. Òàê íàïðèìåð, äëÿ êâàðòàëüíûõ äàííûõ
ìû ìîæåì ó÷åñòü âëèÿíèå âðåìåíè ãîäà íà ïàðàìåòð β1 â ìîäåëè (8), äîáàâèâ â ÷èñëî ðåãðåññîðîâ ïåðåìåííóþ D1 , ðàâíóþ åäèíèöå äëÿ âñåõ íàáëþäåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ïåðâîìó êâàðòàëó, è íóëþ äëÿ îñòàëüíûõ êâàðòàëîâ, ïåðåìåííóþ D2 , ðàâíóþ åäèíèöå äëÿ âñåõ íàáëþäåíèé, îòíîñÿùèõñÿ
êî âòîðîìó êâàðòàëó, è íóëþ äëÿ îñòàëüíûõ êâàðòàëîâ è ïåðåìåííóþ D3 ,
ðàâíóþ åäèíèöå äëÿ âñåõ íàáëþäåíèé, îòíîñÿùèõñÿ ê òðåòüåìó êâàðòàëó,
è íóëþ äëÿ îñòàëüíûõ êâàðòàëîâ. Ìû íå äîëæíû ââîäèòü òàêóþ ïåðåìåííóþ äëÿ ÷åòâ¼ðòîãî êâàðòàëà, ïîñêîëüêó ýòî ïðèâåëî áû ê ëèíåéíîé
çàâèñèìîñòè ñòîëáöîâ ìàòðèöû X (D1 + D2 + D3 + D4 = 1 äëÿ âñåõ íàáëþäåíèé), òî åñòü ê íàðóøåíèþ ïðåäïîëîæåíèÿ A1 è íåîáðàòèìîñòè
ìàòðèöû (XT X)! Ìû ìîæåì ïðîâåðèòü ñóùåñòâåííîñòü ñåçîííûõ ýôôåêòîâ ïî çíà÷èìîñòè êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñåçîííûõ ôèêòèâíûõ ïåðåìåííûõ.
Ïðè ïîìîùè F -ñòàòèñòèêè ìîæíî ïðîâåðèòü ãèïîòåçó îá îòñóòñòâèè ñåçîííûõ ýôôåêòîâ, òî åñòü î ðàâåíñòâå íóëþ âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ñåçîííûõ
ïåðåìåííûõ îäíîâðåìåííî. Åñëè ìû õîòèì ó÷åñòü âëèÿíèå êà÷åñòâåííîãî
ôàêòîðà íå òîëüêî íà ñäâèã β1 , íî è íà íåêîòîðûé íàêëîí βj , ìû ìîæåì
äîáàâèòü â ÷èñëî ðåãðåññîðîâ DXj , ãäå D - ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ôèêòèâíàÿ
ïåðåìåííàÿ, ðàâíàÿ 1 äëÿ íàáëþäåíèé ñ âûäåëåííûì çíà÷åíèåì êà÷åñòâåííîãî ôàêòîðà è 0 äëÿ îñòàëüíûõ íàáëþäåíèé.
4 Èíñòðóìåíòàëüíûå ïåðåìåííûå
Âàæíåéøèì ïðåäïîëîæåíèåì, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó îöåíêà ÌÍÊ (11) îáëàäàåò êëþ÷åâûìè ñâîéñòâàìè ñîñòîÿòåëüíîñòè è íåñìåùåííîñòè ÿâëÿåòñÿ
ïðåäïîëîæåíèå A2 î íåêîððåëèðîâàííîñòè îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ Xi è
5 Íàïîìíèì,
÷òî tr(A) - ñëåä ìàòðèöû A - ýòî ñóììà åå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ
22
âîçìóùåíèÿ ε6 . ×àñòî îäíàêî, ýòî ïðåäïîëîæåíèå íå âûïîëíÿåòñÿ. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ïðè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ îøèáêè èçìåðåíèÿ è ïðèíàäëåæíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî ðåãðåññèîííîãî óðàâíåíèÿ ê ñèñòåìå îäíîâðåìåííûõ óðàâíåíèé. Äëÿ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ â òàêèõ ñëó÷àÿõ ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ. Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Ïóñòü ó íàñ åñòü l ≥ k ïåðåìåííûõ Zi , i = 1, . . . , l, íåêîððåëèðîâàííûõ ñ ε,
íî êîððåëèðîâàííûõ ñ Xi . Äëÿ òåõ ïåðåìåííûõ Xj , êîòîðûå íåêîððåëèðîâàíû ñ ε ìîæíî âçÿòü Zj = Xj . Äëÿ äðóãèõ ïåðåìåííûõ â êà÷åñòâå èíñòðóìåíòîâ ÷àñòî âûáèðàþò èõ çíà÷åíèÿ â ïðåäûäóùåì ïåðèîäå: Zit = Xi(t−1) .
Ïóñòü Z(n × l) - ìàòðèöà íàáëþäåíèé íàä èíñòðóìåíòàëüíûìè ïåðåìåííûìè. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà l = k . Òîãäà îöåíêà âåêòîðà ïàðàìåòðîâ β
ìîäåëè (8) ìåòîäîì èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ ðàâíà:
β̂ IV = (ZT X)−1 ZT Y.
(46)
Ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà äèñïåðñèè âîçìóùåíèé σ 2 ìîæåò áûòü, êàê ïðåæäå,
îñíîâàíà íà ñóììå êâàäðàòîâ îñòàòêîâ:
1
(Y − Xβ̂ IV )T (Y − Xβ̂ IV ).
(47)
n
Êîððåêöèÿ çíàìåíàòåëÿ äëÿ ó÷åòà ñòåïåíåé ñâîáîäû çäåñü íå òðåáóåòñÿ,
ïîñêîëüêó îöåíêà â ëþáîì ñëó÷àå áóäåò ñìåù¼ííîé è íåîáõîäèìî îïèðàòüñÿ ëèøü íà å¼ àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ìàòðèöà
âàðèàöèé-êîâàðèàöèé âåêòîðà β̂ IV îöåíèâàåòñÿ ôîðìóëîé:
σ̂ 2 =
\ β̂ IV ) = σ̂ 2 (ZT X)−1 (ZT Z)(XT Z)−1 .
AVar(
(48)
Ýòó ôîðìóëó ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ îòäåëüíûõ êîìïîíåíò âåêòîðà β , äëÿ ýòîãî ìàòðèöà (48) èñïîëüçóåòñÿ âìåñòî ìàòðèöû (15) â ôîðìóëàõ (16) è (17). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ
äîâåðèòåëüíûõ îáëàñòåé äëÿ ãðóïïû êîìïîíåíò íåîáõîäèìî â ôîðìóëå (37)
d i (β̂) íà ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîäìàòðèöó ìàòðèöû (48).
çàìåíèòü ìàòðèöó Var
Ïóñòü òåïåðü èíñòðóìåíòàëüíûõ ïåðåìåííûõ áîëüøå ÷åì ïåðâîíà÷àëüíûõ ðåãðåññîðîâ: l > k .  ýòîì ñëó÷àå íîâûé íàáîð èíñòðóìåíòîâ, ñîäåðæàùèé ðîâíî k ðåãðåññîðîâ ïîëó÷àåòñÿ ïî ôîðìóëå:
X̂ = Z(ZT Z)−1 ZT X.
(49)
 ýòîì âûðàæåíèè X̂ ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê íàáîð ïðîãíîçîâ çíà÷åíèé ñòîëáöîâ X (òî åñòü çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ Xi , i = 2, . . . , k ) ïðè ðåãðåññèè êàæäîãî ñòîëáöà X íà âñå ïåðåìåííûå èç ìàòðèöû Z. Åñëè êàêèå-òî ïåðåìåííûå èç X ñîäåðæàòñÿ â Z (òî åñòü íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ñòîëáöîâ
6 Òî÷íåå
ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E(ε|X) ðàâíî íóëþ äëÿ ëþáûõ
íàáëþäåíèé X. Íåêîððåëèðîâàííîñòü ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ.
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
23
X ïîâòîðÿåòñÿ â Z), òî ýòè ïåðåìåííûå áóäóò áåç èçìåíåíèÿ âîñïðîèçâåäåíû â X̂. Îöåíêà β̂ IV âû÷èñëÿåòñÿ òåïåðü ïî ëþáîé èç òðåõ ýêâèâàëåíòíûõ
ôîðìóë:
β̂ IV =(X̂T X)−1 X̂T Y =
=[XT Z(ZT Z)−1 ZT X]−1 XT Z(ZT Z)−1 ZT Y
(50)
= (X̂T X̂)−1 X̂T Y.
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ìàòðèöà âàðèàöèé-êîâàðèàöèé âåêòîðà β̂ IV ñíîâà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (48). Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà β̂ IV ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì ñî ñðåäíèì β è ìàòðèöåé âàðèàöèé-êîâàðèàöèé (48). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííûõ äîâåðèòåëüíûõ îáëàñòåé ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöàìè ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
 òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàëè÷èå êîððåëÿöèè ìåæäó îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè è âîçìóùåíèÿìè íå î÷åâèäíî èç ñâîéñòâ ìîäåëè, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé òåñò Âó (Wu, 1973) íà íàëè÷èå òàêîé êîððåëÿöèè. Ïóñòü
X∗ - íàáëþäåíèÿ íàä k ∗ ïåðåìåííûìè ïîäîçðèòåëüíûìè íà êîððåëÿöèþ ñ
âîçìóùåíèÿìè (òî åñòü X∗ íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ñòîëáöîâ ìàòðèöû X).
Ïóñòü
X̂∗ = Z(ZT Z)−1 ZT X∗
- ïðîãíîçèðóåìûå çíà÷åíèÿ X∗ ïðè ðåãðåññèè íà Z. Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ
ðåãðåññèþ:
Y = Xβ + X̂∗ γ + ε∗ .
(51)
Ñîâìåñòíàÿ çíà÷èìîñòü âñåõ êîìïîíåíò âåêòîðà γ ñâèäåòåëüñòâóåò â ïîëüçó êîððåëÿöèè ìåæäó ïåðåìåííûìè èç X∗ è ïåðâîíà÷àëüíûìè âîçìóùåíèÿìè ε. Äëÿ ïðîâåðêè çíà÷èìîñòè èñïîëüçóåòñÿ F -ñòàòèñòèêà (40) c [k ∗ , n −
k − k ∗ ] ñòåïåíèÿìè ñâîáîäû.
5 Íåñôåðè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ - îáùèé ñëó÷àé
Ïðè ðàññìîòðåíèè ðåãðåññèîíîé ìîäåëè (8) ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî âîçìóùåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì íàáëþäåíèÿì, îáëàäàþò îäèíàêîâîé
äèñïåðñèåé è íåêîððåëèðîâàííû äðóã ñ äðóãîì, òî åñòü E(εεT | X) = σ 2 I
äëÿ ëþáîé ìàòðèöû íàáëþäåíèé X (ïðåäïîëîæåíèå A3). Îòêàç îò ýòîãî
òðåáîâàíèÿ ïðèâîäèò ê ìîäåëè (8) ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì:
E(εεT | X) = σ 2 Ω,
(52)
24
ãäå Ω - íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåë¼ííàÿ ìàòðèöà7 . Ìîäåëü (8) ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì (52) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííîé ëèíåéíîé ðåãðåññèåé. Äâà âàæíåéøèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ ýòîé ìîäåëè ýòî ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü è àâòîêîððåëÿöèÿ âîçìóùåíèé. Âîçìóùåíèÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íû,
åñëè ìàòðèöà σ 2 Ω èìååò âèä:


ω1 0 . . . 0
 0 ω ... 0 
2


σ2Ω = σ2 
,
..


.
0 0 . . . ωn
(53)
òî åñòü âîçìóùåíèÿ îáëàäàþò ðàçëè÷íûìè äèñïåðñèÿìè σi2 = σ 2 ωi , íî íå
êîððåëèðîâàííû äðóã ñ äðóãîì. Äëÿ óäîáñòâà âåñà ωi è ñðåäíþþ äèñïåðñèþ
σ 2 ÷àñòî âûáèðàþò òàê, ÷òîáû
tr(Ω) =
n
X
ωi = n.
(54)
i=1
Ïðè òàêîé íîðìèðîâêå êëàññè÷åñêîé ãîìîñêåäàñòè÷íîé ìîäåëè ñîîòâåòñòâóþò ωi = 1, i = 1, . . . , n. Ïîäðîáíåå ýòîò ñëó÷àé ðàññìîòðåí íèæå.
Àâòîêîððåëÿöèÿ âîçìóùåíèé âñòðå÷àåòñÿ â îñíîâíîì âî âðåìåííûõ ðÿäàõ. Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ âèä àâòîêîððåëÿöèè âîçìóùåíèé, çàäàâàåìûé ìàòðèöåé


1
ρ1 . . . ρn−1

1 . . . ρn−1 

2
2  ρ1
σ Ω=σ 
.
..


.
ρn−1 ρn−2 . . .
1
(55)
Òàêîé âèä ìàòðèöà âàðèàöèé-êîâàðèàöèé âîçìóùåíèé áóäåò èìåòü âñåãäà,
êîãäà êîððåëÿöèÿ ìåæäó âîçìóùåíèÿìè çàâèñèò ëèøü îò âðåìåííîãî ïðîìåæóòêà ìåæäó íèìè, íî íå îò ñàìîãî ìîìåíòà âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå
ρi - ýòî êîððåëÿöèÿ ìåæäó âîçìóùåíèÿìè, îòñòîÿùèìè äðóã îò äðóãà íà
i ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè. Áîëüøèíñòâî ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ îáëàäàåò çàòóõàþùåé ïàìÿòüþ, ÷òî ïðèâîäèò ê óáûâàíèþ çíà÷åíèé ρi ïðè óâåëè÷åíèè
i.
Îäíîâðåìåííî àâòîêîððåëÿöèÿ è ãåòåðîñêåäàñò÷íîñòü âñòðå÷àåòñÿ ïðè
èññëåäîâàíèè ïàíåëüíûõ äàííûõ - òî åñòü äàííûõ ñðåçà â äèíàìèêå.
7 Íàïîìíèì,÷òî
âåêòîðà x.
ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé åñëè xT Ax > 0 äëÿ ëþáîãî
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
25
Îöåíêà (11) âåêòîðà β ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ â îáîáùåííîé
ìîäåëè (8)+(52) ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî íåñìåùåííîñòè. Áóäåò ëè îíà ñîñòîÿòåëüíîé çàâèñèò îò âûïîëíåíèÿ ðÿäà óñëîâèé.  ÷àñòíîñòè, åñëè
plim(XT X/n) = Q1
è
plim(XT ΩX/n) = Q2
- êîíå÷íûå ïîëîæèòåëüíî- îïðåäåëåííûå ìàòðèöû, òî β̂ - ñîñòîÿòåëüíàÿ
îöåíêà âåêòîðà β 8 . Àëüòåðíàòèâíûé íàáîð óñëîâèé ñîñòîÿòåëüíîñòè ñëåäóþùèé:
à) íàèìåíüøåå (ïî ìîäóëþ) ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû XT X íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè n → ∞; è
á) íàèáîëüøåå (ïî ìîäóëþ) ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå Ω êîíå÷íî ïðè âñåõ n.
Ïåðâîå óñëîâèå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè ñ ðîñòîì n ñóììà êâàäðàòîâ
Pn
2
çíà÷åíèé íàáëþäåíèé íàä êàæäîé ïåðåìåííîé i=1 Xji
íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, ïðè ýòîì íè îäíî íàáëþäåíèå íå äîìèíèðóåò íàä îñòàëüíûì:
Xjm /
n
X
Xji2 → 0
i=1
ïðè n → ∞ äëÿ êàæäîãî j è m. Âòîðîå óñëîâèå îçíà÷àåò êîíå÷íîñòü äèñïåðñèé â ãåòåðîñêåäàñòè÷íîé ìîäåëè (53) è äîñòàòî÷íî áûñòðîå óáûâàíèå
àâòîêîððåëÿöèé ïðè óäàëåíèè îò ãëàâíîé äèàãîíàëè â ìîäåëè (55).
Äàæå åñëè îöåíêà ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ β̂ ñîñòîÿòåëüíà äëÿ
ìîäåëè (8)+(52), îíà óæå íå áóäåò îáëàäàòü íàèìåíüøåé äèñïåðñèåé íè
ñðåäè âñåõ, íè äàæå ñðåäè ëèíåéíûõ îöåíîê âåêòîðà β . Åùå áîëåå ñåðüåçíîå ïîñëåäñòâèå çàìåíû ïðåäïîëîæåíèÿ A3 íà E(εεT | X) = σ 2 Ω â òîì,
÷òî ïåðåñòàþò âûïîëíÿòüñÿ îöåíêà (15) ìàòðèöû âàðèàöèé-êîâàðèàöèé β̂
è îöåíêà (14) äëÿ äèñïåðñèè âîçìóùåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå èñïîëüçîâàííûå íàìè â ðàçäåëàõ 1 è 2 ïðîöåäóðû ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà ñòàíîâÿòñÿ
íåâåðíûìè.
Ìàòðèöà âàðèàöèé-êîâàðèàöèé îöåíêè ÌÍÊ β̂ äëÿ ìîäåëè (8)+(52) ðàâíà
VOLS
1
=
n
1 T
X X
n
−1 −1
1 T 2
1 T
X [σ Ω]X
X X
.
n
n
(56)
Äëÿ ýôôåêòèâíîãî îöåíèâàíèÿ îáîáù¼ííîé ðåãðåññèîíîé ìîäåëè ïðèìåíèì ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííîé ìàòðèöû Ω:
Ω = CΛCT ,
8 Îáîçíà÷åíèå
plim îçíà÷àåò ïðåäåë ïî âåðîÿòíîñòè.
26
ãäå ñòîëáöû ìàòðèöû C - ñîáñòâåííûå âåêòîðû Ω, à Λ - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè Ω íà ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ýòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíû è ïîýòîìó îïðåäåëåíà äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà
Λ−1/2 , ñîñòîÿùàÿ èç ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Λ â ñòåïåíè −1/2. Îáîçíà÷èì
PT = CΛ−1/2 .
(57)
Òîãäà Ω−1 = PT P. Óìíîæèì (8) íà P:
PY = PXβ + Pε
èëè, ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ Y∗ = PY, X∗ = PX, ε∗ = Pε:
(58)
Y∗ = X∗ β + ε∗ .
Ìàòðèöà âàðèàöèé-êîâàðèàöèé âîçìóùåíèé â ïðåîáðàçîâàííîé ìîäåëè (58)
ðàâíà:
2
T
2
E(ε∗ εT
∗ ) = Pσ ΩP = σ I,
òî åñòü âîçìóùåíèÿ ε∗ èç (58) óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâàíèÿì A2, A3 êëàññè÷åñêîé ðåãðåññèîíîé ìîäåëè. Áîëåå òîãî, åñëè ε èìåë ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòðèöåé âàðèàöèé-êîâàðèàöèé Ω, òî ε∗ èìååò
ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî åñòü óäîâëåòâîðÿåò òàêæå òðåáîâàíèþ A4. Ïîýòîìó ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà âåêòîðà β ïîëó÷àåòñÿ ïî ôîðìóëå:
−1 T
T −1
−1 T −1
β ∗ = (XT
∗ X∗ ) X∗ Y∗ = (X Ω X) X Ω Y.
(59)
Îíà íàçûâàåòñÿ îöåíêîé îáîáù¼ííûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
(ÎÌÍÊ) èëè îöåíêîé Àéòêåíà (Aitken, 1935). Îöåíêà (59) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ìèíèìèçàöèåé îáîáù¼ííîé ñóììû êâàäðàòîâ îñòàòêîâ:
T −1
eT
∗ e∗ = (Y − Xβ) Ω (Y − Xβ) → min .
Ìàòðèöà âàðèàöèé-êîâàðèàöèé ýòîé îöåíêè íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
Var(β ∗ ) = σ 2 (XT Ω−1 X)−1 ,
(60)
à äèñïåðñèÿ σ 2 ìîæåò áûòü îöåíåíà âûðàæåíèåì:
(Y − Xβ ∗ )T Ω−1 (Y − Xβ ∗ )
eT
∗ e∗
=
.
(61)
=
n−k
n−k
Ôîðìóëû (36) è (40) äëÿ F -ñòàòèñòèêè äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé â îáîáùåííîé ìîäåëè ïðèìóò âèä:
s2∗
T
F = (Rβ ∗ − q)
[Rs2∗ (XT Ω−1 X)−1 RT ]−1 (Rβ ∗
T
(ẽT
∗ ẽ∗ − e∗ e∗ )/J
,
− q)/J =
eT
e
/(n
−
k)
∗
∗
(62)
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
27
ãäå ẽ∗ = Y∗ − X∗ β̃ ∗ - îñòàòêè â ìîäåëè ñ îãðàíè÷åíèÿìè, ïîëó÷åííûå ïðè
ïîìîùè îöåíêè
β̃ ∗ = β ∗ − (XT Ω−1 X)−1 RT [R(XT Ω−1 X)−1 RT ]−1 (Rβ ∗ − q)
âåêòîðà ïàðàìåòðîâ β â ìîäåëè (8)+(52) ñ îãðàíè÷åíèÿìè (35) (ñð. ñ ôîðìóëîé (38)). Íàáëþäàåìîå çíà÷åíèÿ F -ñòàòèñòèêè ïî-ïðåæíåìó íåîáõîäèìî ñðàâíèòü ñ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì ïî òàáëèöå F -ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà c [J, n − k] ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íà çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè, ãäå J
-êîëè÷åñòâî îãðàíè÷åíèé. Âûñîêèå çíà÷åíèÿ F -ñòàòèñòèêè ñâèäåòåëüñòâóþò ïðîòèâ îãðàíè÷åíèé.
Òàêèì îáðàçîì, ñ ïðåîáðàçîâàííîé ìîäåëüþ (58) ìîæíî ðàáîòàòü êàê
ñ êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ ïðèìåíÿÿ ìåòîäû è ôîðìóëû ðàçäåëîâ 1 è 2 ñ
åäèíñòâåííîé, íî âàæíîé, îãîâîðêîé. Ïîñêîëüêó ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà
íàáëþäåíèé X∗ íå ñîäåðæèò ñòîëáöà åäèíèö, ìîäåëü (58) íå ñîäåðæèò ñâîP
áîäíîãî ÷ëåíà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ñóììà îñòàòêîâ
e˜i ∗ íå ðàâíà íóëþ. Ýòî
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè äëÿ ïðåîáðàçîâàííîé
ìîäåëè íå îãðàíè÷åí ðàìêàìè [0, 1] è ïîýòîìó íå ïîääàåòñÿ èíòåðïðåòàöèè
êàê ïðîöåíò îáúÿñíåííûõ äâèæåíèÿìè ïåðåìåííûõ X∗ äâèæåíèé Y∗ .
Êîíå÷íî, ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ôîðìóë (59)-(62) íåâîçìîæíî áåç
çíàíèÿ ìàòðèöû Ω. Ýòà ìàòðèöà â íàèáîëåå îáùåì ñëó÷àå ñîäåðæèò
n(n + 1)/2 ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ è íå ìîæåò áûòü îöåíåíà ïðè ïîìîùè
n íàáëþäåíèé. ×òîáû ñäåëàòü îöåíèâàíèå âîçìîæíûì, ïðåäïîëàãàþò, ÷òî
âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû Ω çàâèñÿò îò íåáîëüøîãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ θ =
(θ1 , . . . , θm ): Ω = Ω(θ). Êîëè÷åñòâî ïàðàìåòðîâ m ÷àùå âñåãî íàõîäèòñÿ â
ïðåäåëàõ îò îäíîãî äî ïÿòè. Òîãäà, åñëè θ̂ - ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà âåêòîðà
ïàðàìåòðîâ θ , ìû ìîæåì îöåíèòü Ω ôîðìóëîé Ω̂ = Ω(θ̂). Ïîäñòàíîâêà
ýòîé îöåíêè â ôîðìóëó (59) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé îöåíêå âåêòîðà β
−1
−1
β̂ ∗ = (XT Ω̂ X)−1 XT Ω̂ Y.
(63)
Ýòà îöåíêà îñóùåñòâèìûì îáîáù¼ííûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
Äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ýôôåêòèâíîñòè ýòîé îöåíêè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îöåíêà θ̂ áûëà ñîñòîÿòåëüíîé.
6 Ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü
Ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü òèïè÷íà äëÿ äàííûõ ñðåçà, êîãäà èññëåäóþòñÿ îáúåêòû ðàçíîãî ìàñøòàáà. Äðóãîé ðàñïðîñòðàíåííûé ñëó÷àé âîçíèêàåò ïðè
ðàáîòå ñ äàííûìè â ôîðìå ñðåäíèõ ïî ãðóïïàì - äèñïåðñèÿ òîãäà îáðàòíî
28
ïðîïîðöèîíàëüíà êîëè÷åñòâó íàáëþäåíèé, ïî êîòîðûì ïðîâîäèëîñü óñðåäíåíèå. Äëÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ (â îñîáåííîñòè äëÿ äàííûõ ôèíàíñîâûõ ðûíêîâ) õàðàêòåðíî ÷åðåäîâàíèå ïåðèîäîâ ñ âûñîêîé è íèçêîé äèñïåðñèåé âîçìóùåíèé - òî åñòü ôîðìèðîâàíèå êëàñòåðîâ èç íàáëþäåíèé ñ âûñîêîé äèñïåðñèåé âîçìóùåíèé (ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðèîäàì íåñòàáèëüíîñòè èëè âûñîêîé âîëàòèëüíîñòè9 ðûíêà) è êëàñòåðîâ èç íàáëþäåíèé ñ íèçêîé äèñïåðñèåé âîçìóùåíèé (ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðèîäàì îòíîñèòåëüíîé ñòàáèëüíîñòè
èëè íèçêîé âîëàòèëüíîñòè ðûíêà)10 .
Êàê óêàçàíî âûøå, ïðè íàëè÷èè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè îöåíêà (11) ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ òåðÿåò ýôôåêòèâíîñòü. Ïðîöåäóðû ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà, èñïîëüçîâàííûå â ðàçäåëàõ 1 è 2 ïåðåñòàþò áûòü âåðíûìè â
êîíå÷íûõ âûáîðêàõ. Òåì íå ìåíåå, â ñëó÷àå, åñëè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü íå
êîððåëèðîâàíà ñ ïåðåìåííûìè ìîäåëè, ôîðìóëû è ñòàòèñòè÷åñêèå âûâîäû ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ îñòàþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè âåðíûìè
è ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â áîëüøèõ âûáîðêàõ.
 ñëó÷àå, êîãäà òðóäíî îöåíèòü ïîñëåäñòâèÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè äëÿ
ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (56) äëÿ
ìàòðèöû âàðèàöèé-êîâàðèàöèé îöåíîê. ×òîáû îöåíèòü ýòó ìàòðèöó Óàéò
(White, 1980) ïðåäëîæèë ñëåäóþùóþ ñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó ìàòðèöû
XT [σ 2 Ω]X/n:
n
1X 2
S0 =
ei xi· xT
i· .
n i=1
(64)
Íà îñíîâå ýòîé ôîðìóëû äëÿ ìàòðèöû (56) ïîëó÷àåòñÿ óñòîé÷èâàÿ ê ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè îöåíêà Óàéòà:
V̂OLS
1
=
n
−1
1 T
X X
n
n
1X
n
!
e2i xi· xT
i·
i=1
T
−1
−1
1 T
X X
n
(65)
= n(XT X)−1 S0 (X X) .
Äëÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ âîçìóùåíèé ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì β è ìàòðèöåé âàðèàöèéêîâàðèàöèé (65) äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíûõ îáëàñòåé è òåñòèðîâàíèÿ
çíà÷èìîñòè êîìïîíåíò âåêòîðà β . Ýêñïåðèìåíòû ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ïîêàçàëè, ÷òî îöåíêà Óàéòà äàåò íåñêîëüêî çàíèæåííûå çíà÷åíèÿ äèñïåðñèé
è êîâàðèàöèé îöåíîê. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, Äýâèäñîí è ÌàêÊèííîí (Davidson9 Îò
àíãë. volatile - ëåòó÷èé, íåïîñòîÿííûé, èçìåí÷èâûé.
ìîäåëèðîâàíèÿ ýòîãî ÿâëåíèÿ ïðèìåíÿþòñÿ ARCH è GARCH ìîäåëè ([Generalized]
autoregressive conditional heteroscedasticity - [îáîáùåííàÿ] îáóñëîâëåííàÿ àâòîðåãðåññèâíàÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü). Ðàññìîòðåíèå ýòèõ ìîäåëåé âûõîäèò çà ðàìêè íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ.
10 Äëÿ
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
29
Mackinnon, 1993) ïðåäëîæèëè ìîäèôèöèðîâàòü ôîðìóëó (64):
n
1X
e2i
S1 =
xi· xT
i· .
T
−1
n i=1 1 − xT
(X
X)
x
i·
i·
(66)
Ïîäñòàíîâêà ýòîé ìàòðèöû â (65) âìåñòî S0 ïðèâîäèò ê îöåíêå ÄýâèäñîíàÌàêêèííîíà äëÿ ìàòðèöû âàðèàöèé-êîâàðèàöèé âåêòîðà β̂ .
Äëÿ òåñòèðîâàíèÿ íà íàëè÷èå ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè â äàííûõ ïðèìåíÿþò ñëåäóþùèå òåñòû:
1. Òåñò Óàéòà (White,1980). Ýòî íàèáîëåå îáùèé òåñò, êîòîðûé ñëåäóåò ïðèìåíÿòü êîãäà î ôîðìå ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè íè÷åãî íåèçâåñòíî.
Òåñòèðóåòñÿ ãèïîòåçà
H0 : σi2 = σ 2 , i = 1, . . . , n,
ïðîòèâ íàèáîëåå îáùåé àëüòåðíàòèâû, ñîñòîÿùåé â òîì, ÷òî H0 íå âûïîëíÿåòñÿ. Äëÿ ýòîãî èç âñåâîçìîæíûõ ïîýëåìåíòíûõ ïðîèçâåäåíèé
ñòîëáöîâ ìàòðèöû X (âêëþ÷àÿ êâàäðàòû) - Xmi Xli , m, l = 1, . . . , k ,
i = 1, . . . , n - è ñòîëáöà åäèíèö ñòðîèòñÿ ìàòðèöà íàáëþäåíèé ðàçìåðà n × (k(k + 1)/2 + 1).  êà÷åñòâå çàâèñèìîé ïåðåìåííîé âûáèðàþò
êâàäðàòû îñòàòêîâ e2i â ïåðâîíà÷àëüíîé ðåãðåññèè Y íà X ìåòîäîì
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç R2 êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè â ðåãðåññèè ýòîé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé íà ïîñòðîåííóþ ìàòðèöó íàáëþäåíèé. Ñòàòèñòèêà Óàéòà ðàâíà nR2 è èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå χ2 ðàñïðåäåëåíèå ñ k(k + 1)/2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïðè ïðåâûøåíèè êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ íà çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè ïî
òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 ãèïîòåçà H0 î ãîìîñêåäàñòè÷íîñòè äîëæíà
áûòü îòâåðãíóòà.
2. Òåñò Ãîëüäôåëüäà-Êâàíäòà (Goldfeld-Quandt, 1965). Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ýòîãî òåñòà âñå íàáëþäåíèÿ íåîáõîäèìî ðàçáèòü íà äâå ãðóïïû. Ïðè ñîáëþäåíèè íóëåâîé ãèïîòåçû äèñïåðñèè âîçìóùåíèé äëÿ îáåèõ ãðóïï ðàâíû, òîãäà êàê àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà ñîñòîèò â òîì, ÷òî
ìåæäó äèñïåðñèÿìè ñóùåñòâóåò ñèñòåìàòè÷åñêîå ðàçëè÷èå. Åñëè èìååòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î çàâèñèìîñòè äèñïåðñèè âîçìóùåíèé îò çíà÷åíèé îäíîé èç ïåðåìåííûõ, íàáëþäåíèÿ óïîðÿäî÷èâàþò ïî âîçðàñòàíèþ
çíà÷åíèé ýòîé ïåðåìåííîé.  ïåðâóþ ãðóïïó âêëþ÷àþò íàáëþäåíèÿ ñ
ïðåäïîëîæèòåëüíî âûñîêîé äèñïåðñèåé, âî âòîðóþ - ñ ïðåäïîëîæèòåëüíî íèçêîé. Äëÿ óâåëè÷åíèÿ ìîùíîñòè òåñòà ðåêîìåíäóþò òàêæå
îïóñòèòü íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé èç öåíòðàëüíîé ÷àñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Êîëè÷åñòâî ïðîïóùåííûõ íàáëþäåíèé íå äîëæíî
30
ïðåâûøàòü îäíîé òðåòüåé îò èõ îáùåãî ÷èñëà. Ïîñëå ðàçáèåíèÿ íà
ãðóïïû ðåãðåññèÿ ïðîâîäèòñÿ îòäåëüíî ïî êàæäîé èç ãðóïï. Òåñòîâàÿ
ñòàòèñòèêà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
GQ =
eT
1 e1 /(n1 − k)
,
eT
e
/(n
−
k)
2
2
2
(67)
ãäå n1 , n2 - êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé â ãðóïïàõ ñ ïðåäïîëîæèòåëüíî
áîëüøåé è ìåíüøåé äèñïåðñèÿìè, ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè ñîáëþäàåòñÿ íóëåâàÿ ãèïîòåçà î ãîìîñêåäàñòè÷íîñòè è âîçìóùåíèÿ íîðìàëüíî
ðàñïðåäåëåíû, òî ýòà ñòàòèñòèêà èìååò F - ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà c
[n1 − k, n2 − k] ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òàêèì îáðàçîì, íóëåâàÿ ãèïîòåçà
äîëæíà áûòü îòâåðãíóòà, åñëè íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå ýòîé ñòàòèñòèêè
ïðåâûøàåò êðèòè÷åñêîå íà çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè.
3. Òåñò Áðîéøà-Ïàãàíà (Breusch-Pagan, 1979). Äèñïåðñèÿ âîçìóùåíèé ìîæåò çàâèñåòü îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ èëè îò íåèçâåñòíîé
çàðàíåå ïåðåìåííîé. Åñëè ýòî ïðîèñõîäèò, òî ìû íå ìîæåì ïðèìåíèòü
òåñò Ãîëüäôåëüäà-Êâàíäòà. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ Áðîéø è Ïàãàí ðàçðàáîòàëè òåñò ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ãèïîòåçû
σi2 = σ 2 f (α0 + αT zi· ),
ãäå zi· - i-îå íàáëþäåíèå íàä íåêîòîðûì ïîäìíîæåñòâîì îáúÿñíÿþùèõ
ïåðåìåííûõ (â íåãî ìîãóò âõîäèòü òàêæå âñå îáúÿñíÿþùèå ïåðåìåííûå). Ìîäåëü ãîìîñêåäàñòè÷íà, åñëè α = 0. Ïóñòü
g = (g1 , g2 , . . . , gn )T ,
gi = e2i /(eT e/n) − 1.
Îáúÿñí¼ííàÿ ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé gi îò íóëÿ (ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî g = e = 0) ïðè ðåãðåññèè íà íàáëþäåíèÿ (1, zi· ), i = 1, . . . , n,
èç êîòîðûõ ñîñòàâëåíà ìàòðèöà Zn×(p+1) , ðàâíà gT Z(ZT Z)−1 ZT g (ñì.
ôîðìóëó (22)). Òåñò ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà Áðîéøà-Ïàãàíà ðàâåí ïîëîâèíå ýòîé âåëè÷èíû:
LM = [gT Z(ZT Z)−1 ZT g]/2.
(68)
Ïðè óñëîâèè ñïðàâåäëèâîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû î ãîìîñêåäàñòè÷íîñòè,
LM èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå χ2 ðàñïðåäåëåíèå ñ p ñòåïåíÿìè ñâîáîäû
(p - ýòî êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ â Z).
4. Òåñò ʼíêåðà-Áàññåòòà (Koeonker-Basset, 1982). Òåñò ÁðîéøàÏàãàíà âåñüìà ÷óâñòâèòåëåí ê ïðåäïîëîæåíèþ î íîðìàëüíîñòè âîçìóùåíèé. ʼíêåð è Áàññåòò ïðåäëîæèëè áîëåå óñòîé÷èâóþ ìîäèôèêàöèþ
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
31
ýòîãî òåñòà. Ïóñòü u = (e21 , e22 , . . . , e2n ) è i - ñòîëáåö åäèíèö ðàçìåðîì
n × 1. Òîãäà u = eT e/n, à îöåíêîé äëÿ σ 2 ìîæåò ñëóæèòü
2
n 1 X 2 eT e
V =
ei −
= (u − ui)T (u − ui)/n.
n i=1
n
Òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà èìååò âèä:
LM =
1
(u − ui)T Z(ZT Z)−1 ZT (u − ui).
V
(69)
Ïðè óñëîâèè ñïðàâåäëèâîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû î ãîìîñêåäàñòè÷íîñòè
è äëÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ âîçìóùåíèé, îíà èìååò òàêîå æå
àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå êàê ñòàòèñòèêà (68).
5. Òåñò íà ìåæãðóïïîâóþ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü. Ïóñòü âñå äàííûå
ðàçáèòû íà G ãðóïï:



X=

X1
X2
..
.
XG




,



Y=

Y1
Y2
..
.
YG



.

(70)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ng êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé â ãðóïïå ñ íîìåðîì g ,
P
n= G
g=1 ng . Ìû õîòèì ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ïîñòîÿíñòâå äèñïåðñèè
âîçìóùåíèé âî âñåõ ãðóïïàõ ïðîòèâ àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû î òîì,
÷òî äèñïåðñèè ðàçëè÷íû. Îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ
äèñïåðñèè âîçìóùåíèé, ïðè óñëîâèè ñïðàâåäëèâîñòè íóëåâîé ãèïîòåçû, ðàâíà
eT e
s =
,
n
2
ãäå e - âåêòîð îñòàòêîâ ïðè îöåíèâàíèè îáúåäèí¼ííûõ äàííûõ îáû÷íûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ: e = Y − Xβ̂ . Ïðè óñëîâèè ñïðàâåäëèâîñòè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ äèñïåðñèè âîçìóùåíèé â ãðóïïå ñ íîìåðîì g ðàâíà
s2g
eT
g eg
=
.
ng
Çäåñü âåêòîð îñòàòêîâ e∗ ðàçáèò íà ïîäâåêòîðû eg , g = 1, . . . , G, ñîîòâåòñòâóþùèå ãðóïïàì íàáëþäåíèé. Âåêòîð e∗ = Y − Xβ̂∗ , ãäå β̂∗
- îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ïîëó÷åííàÿ ïî ôîðìóëå (75)
32
ìåòîäîì èçëîæåííûì â ïóíêòå (â) íèæå. Êðèòåðèé îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû î ïîñòîÿíñòâå äèñïåðñèé âî âñåõ
ãðóïïàõ ðàâåí:
2
LR = n ln s −
G
X
ng ln s2g .
g=1
Ýòîò êðèòåðèé èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå χ2 ðàñïðåäåëåíèå ñ G−1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïðåâûøåíèå íàáëþäàåìîãî çíà÷åíèÿ íàä êðèòè÷åñêèì,
âçÿòûì èç òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ χ2G−1 , ñâèäåòåëüñòâóåò ïðîòèâ ïîñòîÿíñòâà äèñïåðñèé â ðàçëè÷íûõ ãðóïïàõ.
Ïðè ïðèìåíåíèè ýòèõ òåñòîâ íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî îòðèöàíèå ãèïîòåçû î ãîìîñêåäàñòè÷íîñòè ìîæåò, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ñâèäåòåëüñòâîâàòü
î íåâåðíîé ñïåöèôèêàöèè ìîäåëè, à âîâñå íå î íàëè÷èè èñòèííîé ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè â äàííûõ. Òðåáóåòñÿ òùàòåëüíîå äîïîëíèòåëüíîå èññëåäîâàíèå, ñâÿçàííîå ñ ñîäåðæàòåëüíûì õàðàêòåðîì îáðàáàòûâàåìûõ äàííûõ,
ïðåæäå ÷åì ãèïîòåçà î íàëè÷èè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè ìîæåò áûòü ïðèíÿòà.
Åñëè â ðåçóëüòàòå òåñòèðîâàíèÿ ïðèíÿòî ðåøåíèå, ÷òî â ìîäåëè ïðèñóòñòâóåò èñòèííàÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü, òî äëÿ ýôôåêòèâíîãî îöåíèâàíèÿ
ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä îáîáùåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, òî åñòü ôîðìóëó (59). Ìàòðèöà Ω èìååò âèä (53) ñ íîðìèðîâêîé (54). Ñëåäîâàòåëüíî,
√
ìàòðèöà P èç (57) äèàãîíàëüíà ñ ÷èñëàìè 1/ ωi íà ãëàâíîé äèàãîíàëè,
ïîýòîìó òðàíñôîðìèðîâàííàÿ ìîäåëü (58) ïîëó÷àåòñÿ äåëåíèåì i-îé ñòðî√
êè X è Y íà ωi . Îöåíêà ìåòîäîì îáîáù¼ííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
ïðèíèìàåò âèä
"
n
X
1
β∗ =
xi· xT
i·
ω
i=1 i
#−1 "
#
n
X
1
xi· Yi .
ω
i
i=1
(71)
Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå, íàáëþäåíèÿ ñ ìåíüøåé äèñïåðñèåé âîçìóùåíèé
ïîëó÷àþò áîëüøèé âåñ è íàîáîðîò. Ïî ýòîé ïðè÷èíå îöåíêó (71) íàçûâàþò
åùå îöåíêîé âçâåøåííûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû (71) íàì íåîáõîäèìî îöåíèòü
äèñïåðñèè âîçìóùåíèé σi2 . Åñëè îáîçíà÷èòü òàêèå îöåíêè ÷åðåç σ̂i2 , òî:
2
σ̂ =
n
X
σ̂i2 /n,
ω̂i = σ̂i2 /σ̂ 2 .
i=1
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê σ̂i2 áûëî ïðåäëîæåíî íåñêîëüêî ñïîñîáîâ:
(72)
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
33
(à) äèñïåðñèè ïðåäïîëàãàþò ïðîïîðöèîíàëüíûìè çàäàííîé ôóíêöèè îò
2
îäíîé èç îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð σi2 = σ 2 Xim
, σi2 = σ 2 ln(Xim )
èëè σi2 = σ 2 (Xim )−1 . Âûáðàííàÿ ïåðåìåííàÿ Xm îòâå÷àåò çà ìàñøòàá ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà - äîõîä ñåìüè, êîëè÷åñòâî ðàáîòíèêîâ ôèðìû èëè
âàëîâûé âíóòðåííèé ïðîäóêò ñòðàíû, è ò.ï.;
(á) äèñïåðñèè ïðåäïîëàãàþòñÿ çàâèñÿùèìè ëèíåéíî11 îò íåêîòîðîãî íàáîðà ïåðåìåííûõ z: σi2 = zi α, ãäå zi - i-îå íàáëþäåíèå çà z. Â ýòîò íàáîð
ìîãóò áûòü âêëþ÷åíû êàê ïåðåìåííûå âçÿòûå èç ìàòðèöû X, òàê è ëþáûå
äðóãèå ïåðåìåííûå, îò êîòîðûõ ïðåäïîëîæèòåëüíî çàâèñèò äèñïåðñèÿ âîçìóùåíèé. Äëÿ îöåíêè âåêòîðà ïàðàìåòðîâ ýòîé çàâèñèìîñòè α èñïîëüçóþò òîò ôàêò, ÷òî îñòàòêè ei = Yi − xi β̂ ïðè îöåíèâàíèè îáû÷íûì ìåòîäîì
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè îöåíêàìè âîçìóùåíèé
εi äàæå ïðè íàëè÷èè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè è ε2i = σi2 + νi , ãäå νi - íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ ïîïðàâêà. Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëèðóåòñÿ ðåãðåññèîííàÿ
ìîäåëü:
e2i = zi α + νi∗ ,
i = 1, . . . , n,
(73)
â êîòîðîé âîçìóùåíèÿ νi∗ ãåòåðîñêåäàñòè÷íû è àâòîêîððåëèðîâàííû. Îöåíêà ýòîé ìîäåëè îáû÷íûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ12
α̂ = (ZT Z)−1 ZT u
ñîñòîÿòåëüíà, õîòÿ è êðàéíå íåýôôåêòèâíà. Ýòà îöåíêà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ
ñîñòîÿòåëüíîãî îöåíèâàíèÿ äèñïåðñèè âîçìóùåíèé:
σ̂i2 = zi α̂.
Òàêîé ìåòîä íàçûâàþò äâóõøàãîâûì îöåíèâàíèåì.
(â) îöåíêó ïðåäûäóùåãî ïóíêòà ìîæíî ñóùåñòâåííî óëó÷øèòü äëÿ ìîäåëè ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòè Õàðâåÿ (Harvey, 1976):
σi2 = exp(qi γ) ⇔ σi2 = σ 2 exp(zi α),
ln σ 2
ãäå γ =
, qi = [1, zi ], à zi èìååò òîò æå ñìûñë, ÷òî â ïóíêòå (á). Ñëåα
äóþùèé àëãîðèòì â ñëó÷àå ñõîäèìîñòè äà¼ò îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ âåêòîðà α è àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíóþ îöåíêó îñóùåñòâèìûì ìåòîäîì îáîáùåííûõ íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ äëÿ β :
11 Ýòà
çàâèñèìîñòü ìîæåò áûòü íåëèíåéíà ïî ïåðåìåííûì è äàæå ïî ïàðàìåòðàì, åñëè îíà ëèíåàðèçóåìà. Óêàçàííûé âèä èìååò òîãäà óæå ëèíåàðèçîâàííàÿ ìîäåëü. Ïîäðîáíåå ñì. çàìå÷àíèå â êîíöå
âòîðîãî ðàçäåëà íà ñòðàíèöå 15.
12 Íàïîìíèì, ÷òî u = (e2 , e2 , . . . , e2 ).
n
1 2
34
1. Îáúåäèíèòü äàííûå è îöåíèòü β îáû÷íûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ïî ôîðìóëå (11), âû÷èñëèòü îñòàòêè e = Y − Xβ̂ ;
2. Ðåãðåññèåé ln(e2i ) ïî qi , i = 1, . . . , n, îáû÷íûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ âû÷èñëèòü γ̂ . Ê ïîëó÷åííîé îöåíêå γ̂ 1 äëÿ ïåðâîé êîìïîíåíòû âåêòîðà γ̂ äîáàâèòü 1.270413 .
3. Îöåíèòü äèñïåðñèè âîçìóùåíèé ôîðìóëîé σ̂i2 = exp(qi γ̂).
4. Âû÷èñëèòü îöåíêè âåñîâ ïî ôîðìóëàì (72) è îöåíèòü β̂∗ âçâåøåííûì
ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (71). Ïîñ÷èòàòü îñòàòêè e∗ = Y−Xβ̂∗ .
5. Îáíîâèòü îöåíêó âåêòîðà γ ðåãðåññèåé [e2∗i exp(−γ̂qi ) − 1] ïî qi :
"
γ̂ := γ̂ + (QT Q)−1
n
X
#
2
qT
i (e∗i exp(−γ̂qi ) − 1) .
(74)
i=1
6. Ñðàâíèòü îáúåäèí¼ííûé âåêòîð [β̂∗ , γ̂] ñ âû÷èñëåííûì íà ïðåäûäóùåé
èòåðàöèè. Åñëè ðàçíèöà ìàëà (íå ïðåâûøàåò íåñêîëüêèõ ïðîöåíòîâ),
òî ñõîäèìîñòü äîñòèãíóòà è òåêóùåå çíà÷åíèÿ β̂∗ äà¼ò îöåíêó âåêòîðà
−1
β ñ êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé ïðèìåðíî ðàíîé (XT Ω̂ X)−1 , ãäå Ω̂
- äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ñôîðìèðîâàííàÿ èç òåêóùèõ çíà÷åíèé σ̂i2 .
Èíà÷å âåðíóòüñÿ ê øàãó 3.
(ã) äëÿ äàííûõ, ðàçáèòûõ íà G ãðóïï (ñì. (70)), òàêèì îáðàçîì, ÷òî
âíóòðè êàæäîé ãðóïïû äèñïåðñèè âîçìóùåíèé îäèíàêîâû, íî îòëè÷àþòñÿ
ìåæäó ãðóïïàìè, ñëåäóþùàÿ ïðîöåäóðà Îáåðõîôåðà-Êìåíòà (OberhoferKmenta, 1974) ïðèâîäèò ê îöåíêå ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ âåêòîðà ïàðàìåòðîâ β :
1. Îáúåäèíèòü äàííûå è îöåíèòü β îáû÷íûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ïî ôîðìóëå (11);
2. Èñïîëüçóÿ îöåíêó β̂∗ , ïîëó÷åííóþ íà ïðåäûäóùåì øàãå, âû÷èñëèòü
îñòàòêè îòäåëüíî äëÿ êàæäîé ãðóïïû íàáëþäåíèé: eg = Yg − Xg β̂∗ ,
g = 1, . . . , G, è îöåíêè äèñïåðñèé ïî ãðóïïàì σ̂g2 = eT
g eg /ng , ãäå ng êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé â g -îé ãðóïïå;
3. Ïåðåñ÷èòàòü îöåíêó âåêòîðà ïàðàìåòðîâ ïî ôîðìóëå (71), êîòîðàÿ â
ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:
"
G
X
1 T
β̂∗ =
X Xg
2 g
σ̂
g
g=1
13 Õàðâåé
òåëüíîé.
#−1 " G
#
X 1
XT
g Yg ;
2
σ̂
g
g=1
(75)
ïîêàçàë, ÷òî γ̂ 1 äà¼ò íåñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó γ1 , îäíàêî γ̂ 01 = γ̂ 1 + 1.2704 óæå áóäåò ñîñòîÿ-
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
35
4. Åñëè íîâàÿ îöåíêà ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò ïîëó÷åííîé â ïðåäûäóùåé èòåðàöèè (ñêàæåì íà 1-2%), òî ñõîäèìîñòü äîñòèãíóòà è β̂∗ ìîæíî ñ÷èòàòü
îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ β ; èíà÷å âåðíóòüñÿ ê øàãó
2.
Ïðè ëþáîì âûáîðå äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû âåñîâ Ω̂ îöåíêà
−1
−1
β̂ ∗ = [XT Ω̂ X]−1 XT Ω̂ Y
(76)
âçâåøåííûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ áóäåò ñîñòîÿòåëüíîé. Îäíàêî, îíà áóäåò òåì ìåíåå ýôôåêòèâíîé, ÷åì ñèëüíåå îöåíåííàÿ ìàòðèöà
Ω̂ îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîé ìàòðèöû Ω. Êðîìå òîãî, ìàòðèöà âàðèàöèéêîâàðèàöèé îöåíêè (76) (à ñëåäîâàòåëüíî è äèñïåðñèè îòäåëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ) íå áóäåò èìåòü âèä (60). Ïðàâèëüíàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ìàòðèöà
âàðèàöèé-êîâàðèàöèé îöåíêè (76) èìååò âèä:
−1
−1
−1
−1
Varβ̂ ∗ = σ 2 [XT Ω̂ X]−1 XT Ω̂ ΩΩ̂ X[XT Ω̂ X]−1 .
(77)
Ãðèí (Greene, 1997) ïðåäëîæèë èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (77) ñîâìåñòíî ñ
îöåíêîé Óàéòà (64). Ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé îöåíêå ìàòðèöû âàðèàöèéêîâàðèàöèé îöåíêè β̂ ∗ âçâåøåííûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
−1
d β̂ ∗ = [XT Ω̂ X]−1
Var
" n
X e2
∗i T
2 xi· xi·
ω̂
i
i=1
#
−1
[XT Ω̂ X]−1 .
(78)
7 Àâòîêîððåëÿöèÿ âîçìóùåíèé
Àâòîêîððåëÿöèÿ âîçìóùåíèé õàðàêòåðíà, ãëàâíûì îáðàçîì, äëÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîðû íàáëþäåíèé íàä îáúÿñíÿþùèìè ïåðåìåííûìè x·j , j = 2, . . . , k , âåêòîð íàáëþäåíèé íàä çàâèñèìîé ïåðåìåííîé
Y è âåêòîð âîçìóùåíèé ε äëÿ öåëåé àíàëèçà è ìîäåëèðîâàíèÿ ñ÷èòàþò ðåàëèçàöèÿìè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ14 . Äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íåîáõîäèìî èìåòü íàáîð åãî ðåàëèçàöèé.
Ýêîíîìè÷åñêèå äàííûå, îäíàêî, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé åäèíñòâåííóþ ðåàëèçàöèþ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïî åäèíñòâåííîé ðåàëèçàöèè ïðîöåññà ìîæíî áûëî
äîñòîâåðíî îöåíèòü åãî ïàðàìåòðû, íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîöåññà îñòàâàëèñü íåèçìåííû ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Òàêîå ñâîéñòâî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íàçûâàþò ñòàöèîíàðíîñòüþ15 . Áîëåå òî÷íîå îïðåäåëåíèå ñëåäóþùåå. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ εt íàçûâàþò ñëàáî
14 Ñëó÷àéíûì
ïðîöåññîì ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì íàçûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
15 Òî÷íåå äëÿ ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíîê, ïîëó÷åííûõ ïî îäíîé ðåàëèçàöèè òðåáóåòñÿ ýðãîäè÷íîñòü.
Ýòî ïîíÿòèå íå ðàññìàòðèâàåòñÿ â íàñòîÿùåì ïîñîáèè, íî äëÿ âñåõ âñòðå÷àþùèõñÿ çäåñü ïðîöåññîâ
ýðãîäè÷íîñòü ñëåäóåò èç ñòàöèîíàðíîñòè.
36
ñòàöèîíàðíûì, åñëè åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ è àâòîêîâàðèàöèÿ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè:
E(εt ) = µ = const,
E(εt − µ)2 = γ0 = σ 2 = const,
E((εt − µ)(εt−s − µ)) = γs = const.
(79)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ðàññìîòðèì ìîäåëü (9), â êîòîðîé âîçìóùåíèÿ ε ÿâëÿþòñÿ ðåàëèçàöèåé ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Áëàãîäàðÿ òðåòüåìó èç óñëîâèé (79) ìàòðèöà Ω èìååò âèä (55) ñ ρs = γs /γ0 . Ëþáîé ñëàáî
ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî òî÷íî ïðèáëèæåí ïðîöåññîì àâòîðåãðåññèè - ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî êîíå÷íîãî
ïîðÿäêà, òî åñòü ïðîöåññîì âèäà16 :
εt = φ1 εt−1 + . . . + φp εt−p + ηt + θ1 ηt−1 + . . . + θq ηt−q ,
(80)
ãäå ηt - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ âîçìóùåíèé ñî ñðåäíèì íîëü è äèñïåðñèåé σ 2 . Ñëåäóþùèå äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ
ýòîãî ïðîöåññà íàèáîëåå âàæíû:
εt = φ1 εt−1 + . . . + φp εt−p + ηt
(81)
íàçûâàþò ïðîöåññîì àâòîðåãðåññèè (èëè ïðîñòî àâòîðåãðåññèåé) ïîðÿäêà p
è îáîçíà÷àþò εt ∼ AR(p);
εt = ηt + θ1 ηt−1 + . . . + θq ηt−q
(82)
íàçûâàþò ïðîöåññîì ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (èëè ïðîñòî ñêîëüçÿùèì ñðåäíèì) ïîðÿäêà q è îáîçíà÷àþò εt ∼ MA(q). Ñìåøàííûé ïðîöåññ (80) îáîçíà÷àþò εt ∼ ARMA(p, q). Ïðîöåññû (81) è (80) ñëàáî ñòàöèîíàðíû òîãäà
è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
λp − φ1 λp−1 − . . . − φp = 0
(83)
ïî ìîäóëþ ñòðîãî ìåíüøå åäèíèöû. Ïðîöåññ (82) ñëàáî ñòàöèîíàðåí ïðè
ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ.
×àùå âñåãî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ àâòîêîððåëÿöèè âîçìóùåíèé èñïîëüçóåòñÿ ïðîöåññ àâòîðåãðåññèè ïåðâîãî ïîðÿäêà (|ρ| < 1):
εt = ρεt−1 + ηt .
16 Ýòî
(84)
ñëåäóåò èç òåîðåìû Âîëüäà î äåêîìïîçèöèè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ëþáîé ñëàáî
ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íîãî ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî (íåäåòåðìèíèñòêîé
÷àñòè) è êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ïðîöåññà (äåòåðìèíèñòñêîé ÷àñòè).
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
37
 ýòîì ñëó÷àå
γ0 = ση2 /(1 − ρ2 ),
γs = ρs ,
ãäå ση2 - äèñïåðñèÿ ηt è ìàòðèöà Ω èìååò âèä:


1
ρ . . . ρn−1
ση2 
1 . . . ρn−1 
 ρ

2
σ Ω=

.
..
2
1−ρ 

.
n−1
n−2
ρ
ρ
...
1
(85)
Äðóãîé ÷àñòî èñïîëüçóåìûé âèä àâòîêîððåëÿöèè âîçìóùåíèé - ïðîöåññ
ñêîëüçÿùåãî ñðåäíåãî ïåðâîãî ïîðÿäêà
(86)
εt = ηt + θηt−1
ïðèâîäèò ê çíà÷åíèÿì:
γ0 = ση2 (1 + θ2 ),
γ1 = ση2 θ,
γs = 0, s > 1,
è ñëåäóþùåìó âèäó ìàòðèöû Ω:

1
 θ
 1+θ2
2  ..
2
2
σ Ω = ση (1 + θ )  .

 0
0
θ
1+θ2
1
..
.
0
0
0
θ
1+θ2
..
.
...
...
...
...
..
.
1
θ
1+θ2
0
0
..
.




.
θ 

1+θ2
1
(87)
Îöåíêà ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ìîäåëè â àâòîêîððåëèðîâàííûìè âîçìóùåíèÿìè ñîõðàíÿò ñâîéñòâî íåñìåùåííîñòè. ż ñîñòîÿòåëüíîñòü
çàâèñèò îò ïîâåäåíèÿ ìàòðèöû XT ΩX/n ñ ðîñòîì n. Åñëè ïðåäåë ïî âåðîÿòíîñòè ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé, òî
îöåíêà ÌÍÊ (11) îñòà¼òñÿ ñîñòîÿòåëüíîé. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, âåðíî äëÿ âîçìóùåíèé âèäîâ (84) è (86).  ëþáîì ñëó÷àå îöåíêà ìåòîäîì íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ íå áóäåò ýôôåêòèâíîé. Íàêîíåö â ñëó÷àå, êîãäà ñðåäè îáúÿñíÿþùèõ ïåðåìåííûõ åñòü çàïàçäûâàþùèå çíà÷åíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé (òî åñòü Xtm = Yt−1 äëÿ íåêîòîðîãî m), îöåíêà ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íåñîñòîÿòåëüíà ïðè íàëè÷èè àâòîêîððåëÿöèè âîçìóùåíèé. Ïðîöåäóðû ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà, ïðèâåäåííûå â ðàçäåëàõ 1 è 2
äîëæíû áûòü ìîäèôèöèðîâàíû êàê óêàçàíî â ðàçäåëå 5. Äëÿ îöåíèâàíèÿ
ìàòðèöû XT [σ 2 Ω]X/n Íüþýé è Âåñò (Newey-West, 1987) ïðåäëîæèëè îöåíêó:
L
n
1X X
T
Q̂ = S0 +
wl et et−l (xt· xT
t−l· + xt−l· xt· ),
n
l=1 t=l+1
wl =
l
,
L+1
(88)
38
ãäå S0 - îöåíêà Óàéòà (64). Âåëè÷èíà L äîëæíà âûáèðàòüñÿ çàðàíåå - îíà
ðàâíà ìàêñèìàëüíîìó ïðîìåæóòêó âðåìåíè (òî åñòü êîëè÷åñòâó ïåðèîäîâ
âðåìåíè), ïðè ïðåâûøåíèè êîòîðîãî ìû ìîæåì ïðåíåáðå÷ü àâòîêîððåëÿöèåé âîçìóùåíèé. Ýòà îöåíêà áóäåò ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè àâòîêîððåëÿöèè
âîçìóùåíèé äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàþò ïðè óäàëåíèè îò ãëàâíîé äèàãîíàëè ìàòðèöû Ω.
Çíà÷åíèÿ âîçìóùåíèé εt íåíàáëþäàåìû, ïîýòîìó äëÿ òåñòèðîâàíèÿ íà
íàëè÷èå àâòîêîððåëÿöèè â âîçìóùåíèÿõ ìû âûíóæäåíû èñïîëüçîâàòü îñòàòêè et = Yt − xt· β̂ â êà÷åñòâå îöåíîê äëÿ âîçìóùåíèé17 . Òàêèì îáðàçîì, ìû
ôàêòè÷åñêè òåñòèðóåò àâòîêîððåëèðîâàííîñòü îñòàòêîâ, à íå âîçìóùåíèé!
Àâòîêîððåëèðîâàííîñòü æå îñòàòêîâ, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò áûòü âûçâàíà êàê àâòîêîððåëÿöèåé âîçìóùåíèé òàê è ðÿäîì äðóãèõ ïðè÷èí. Ïåðâîé â ðÿäó ýòèõ ïðè÷èí ñòîèò íåâåðíàÿ ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè. Áîëåå òîãî,
íåâåðíàÿ ñïåöèôèêàöèÿ ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ íàìíîãî áîëåå ÷àñòîé ïðè÷èíîé
àâòîêîððåëÿöèè îñòàòêîâ, ÷åì àâòîêîððåëÿöèÿ âîçìóùåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèâåä¼ííûå íèæå òåñòû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåñòû íà íåâåðíóþ
ñïåöèôèêàöèþ ìîäåëè.
1. Òåñò ļðáèíà-Óàòñîíà (Durbin-Watson, 1950). Òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
n
P
d=
t=2
(et − et−1 )2
n
P
t=1
e2t
e21 + e2n
= 2(1 − r) − P
≈ 2(1 − r),
n
2
et
(89)
t=1
ãäå r - âûáîðî÷íàÿ àâòîêîððåëÿöèÿ:
n
P
r=
et et−1
t=2
.
n
P
2
et
t=1
(90)
Åñëè ñïðàâåäëèâà íóëåâàÿ ãèïîòåçà îá îòñóòñòâèè àâòîêîððåëÿöèè
H0 : ρ = 0, ãäå ρ - èñòèííûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè, ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî r ≈ 0 è d ≈ 2. Òîãäà ìû äîëæíû îòâåðãíóòü H0 ïðîòèâ
àëüòåðíàòèâû ρ > 0, åñëè d < d∗ , ãäå d∗ - íåêîòîðîå êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå íà çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîãî êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ íàì íåîáõîäèìî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé
d. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íå çàâèñèò îò β è σ , íî çàâèñèò îò
17 Îñòàòêè
ÌÍÊ áóäóò ñîñòîÿòåëüíûìè îöåíêàìè âîçìóùåíèé ïðè íàëè÷èè àâòîêîððåëÿöèè, íî ëèøü
ñ ñëó÷àå, êîãäà ñðåäè ðåãðåññîðîâ íåò çàäàçäûâàþùèõ çíà÷åíèé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé.
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
39
n, k è ìàòðèöû íàáëþäåíèé X, ïîýòîìó íå ìîæåò áûòü çàòàáóëèðîâàíî18 . ļðáèí è Óàòñîí äîêàçàëè, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé d
ëåæèò ìåæäó ðàñïðåäåëåíèÿìè âåðîÿòíîñòåé äâóõ ãðàíè÷íûõ ñòàòèñòèê, îáîçíà÷àåìûõ du (upper - âåðõíÿÿ ãðàíèöà) è dl (lower -íèæíÿÿ
ãðàíèöà). Ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé du è dl çàâèñÿò òîëüêî îò ÷èñëà
íàáëþäåíèé n è êîëè÷åñòâà ðåãðåññîðîâ k . Òàêèì îáðàçîì, íà çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α ïî òàáëèöå íàõîäÿò êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ
dαu è dαl , ïîëå ÷åãî ñðàâíèâàþò èõ ñ íàáëþäàåìûì çíà÷åíèåì d. Ãèïîòåçà îá îòñóòñòâèè àâòîêîððåëÿöèè îòâåðãàåòñÿ ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû î
íàëè÷èè ïîëîæèòåëüíîé àâòîêîððåëÿöèè åñëè d < dαl è íå ìîæåò áûòü
îòâåðãíóòà, åñëè d > dαu . Åñëè dαl < d < dαu , òî ñòàòèñòèêà îñòàâëÿåò âîïðîñ îòêðûòûì. Òî÷íî òàêæå ãèïîòåçà îá îòñóòñòâèè àâòîêîððåëÿöèè
îòâåðãàåòñÿ ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû î íàëè÷èè îòðèöàòåëüíîé àâòîêîððåëÿöèè åñëè d > 4 − dαl è íå ìîæåò áûòü îòâåðãíóòà åñëè d < 4 − dαu ;
ïðîìåæóòîê (4 − dαl , 4 − dαu ) îñòà¼òñÿ çîíîé íåîïðåäåëåííîñòè. Àíàëîãè÷íûé òåñò äëÿ êâàðòàëüíûõ äàííûõ ïðåäëîæåí Âàëëèñîì (Wallis,
1972). Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòàòèñòèêà èìååò âèä
n
P
d4 =
(et − et−4 )2
t=5
n
P
t=1
.
e2t
(91)
Âàëëèñ çàòàáóëèðîâàë êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ äëÿ ýòîé ñòàòèñòèêè.
Ïðè ïðèìåíåíèè òåñòà ļðáèíà-Óàòñîíà âàæíî èìåòü â âèäó, ÷òî ïðè
íàëè÷èè çàïàçäûâàþùèõ çíà÷åíèé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé ñðåäè ðåãðåññîðîâ çíà÷åíèÿ d ñìåùåíû ê 2 è òåñò ñëèøêîì ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ íå ñïîñîáåí îáíàðóæèòü àâòîêîððåëÿöèþ, òî åñòü íà åãî ðåçóëüòàòû íåëüçÿ ïîëàãàòüñÿ.
2. Òåñò Áðîéøà-Ãîäôðè (Breusch-Godfrey, 1978). Ýòî òåñò ãèïîòåçû H0 îá îòñóòñòâèè àâòîêîððåëÿöèè ïðîòèâ àëüòåðíàòèâû
H1 : ε ∼ AR(p) èëè ε ∼ MA(p).
Äëÿ ïðîâåäåíèÿ òåñòà íàäî âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèè R2
(ñì. ôîðìóëó (25)) â ðåãðåññèè e (â êà÷åñòâå Y) íà ìàòðèöó Zn×(k+p)
18 Íåêîòîðûå
ñîâðåìåííûå ïðîãðàììíûå ïðîäóêòû, òåì íå ìåíåå, ñïîñîáíû âû÷èñëÿòü òî÷íûå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè ļðáèíà-Óàòñîíà äëÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ âîçìóùåíèé è çàäàííîé
ìàòðèöû X.
40
âèäà






Z=




1
1
1
..
.
1
..
.
1
X12
X22
X32
..
.
Xt2
..
.
Xn2
X13
X23
X33
..
.
Xt3
..
.
Xn3
...
...
...
..
.
...
..
.
...
X1k 0
0
X2k e1
0
X3k e2
e1
..
..
..
.
.
.
Xtk et−1 et−2
..
..
..
.
.
.
Xnk en−1 en−2
...
0
...
0
...
0
..
.
. . . et−p
..
.
. . . en−p






.




Òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà LM (Lagrange multiplier - ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà)
ðàâíà nR2 è èìååò, åñëè ñïðàâåäëèâà íóëåâàÿ ãèïîòåçà, χ2p ðàñïðåäåëåíèå. Äàííûé òåñò ðàáîòàåò òàêæå ïðè íàëè÷èè çàïàçäûâàþùèõ
çíà÷åíèé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé ñðåäè ðåãðåññîðîâ. Îòðèöàíèå íóëåâîé ãèïîòåçû îçíà÷àåò íàëè÷èå àâòîêîððåëÿöèè îñòàòêîâ, îòñòîÿùèõ
äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå îò 1 äî p íàáëþäåíèé.
3. Q òåñò Âîêñà-Ïèðñà (Box-Pierce, 1970). Òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
Q=n
p
X
rj2 ,
(92)
j=1
ãäå âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû àâòîêîððåëÿöèè ðàâíû
n
P
rj =
et et−j
t=j+1
n
P
t=1
.
e2t
Ýòîò òåñò àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòåí ïðåäûäóùåìó è íàáëþäàåìîå
çíà÷åíèå Q òàêæå ñâåðÿþò ñ òàáëèöåé ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 ñ p ñòåïåíÿìè
ñâîáîäû. Âûñîêèå çíà÷åíèÿ Q ñâèäåòåëüñòâóþò ïðîòèâ ãèïîòåçû îá
îòñóòñòâèè àâòîêîððåëÿöèè.
4. Òåñò Ëüþíãà-Áîêñà (Ljung-Box, 1979). Ýòî ìîäèôèêàöèÿ ïðåäûäóùåãî òåñòà. Òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà ðàâíà
p
X
rj2
Q = n(n + 2)
n−j
j=1
0
(93)
è òàêæå èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå χ2p . Äëÿ êîíå÷íûõ âûáîðîê, îäíàêî, ðàñïðåäåëåíèå Q0 áëèæå ê χ2p , ÷åì ðàñïðåäåëåíèå Q.
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
41
5. Òåñò ļðáèíà (Durbin, 1970). Ýòà ìîäèôèêàöèÿ òåñòà ļðáèíàÓàòñîíà ñïåöèàëüíî ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñðåäè ðåãðåññîðîâ èìåþòñÿ çàïàçäûâàþùèå çíà÷åíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Òåñòîâàÿ ñòàòèñòèêà
h=
d
1−
2
r
n
1 − nsy2t−1
(94)
ñðàâíèâàåòñÿ ñ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì ïî òàáëèöå ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè. Âûñîêèå çíà÷åíèÿ h ñâèäåòåëüñòâóþò ïðîòèâ ãèïîòåçû îá îòñóòñòâèè àâòîêîððåëÿöèè.  ôîðìóëå (94) d - ýòî ñòàòèñòèêà ļðáèíà-Óàòñîíà (89), s2yt−1
- îöåíêà äèñïåðñèè êîýôôèöèåíòà ïðè yt−1 , âû÷èñëÿåìàÿ ïî ôîðìóëå
(16). Íåäîñòàòîê òåñòà â íåâîçìîæíîñòè âû÷èñëèòü h, êîãäà s2yt−1 >
1/n.
Åñëè â ðåçóëüòàòå òåñòèðîâàíèÿ è ñîäåðæàòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ äàííûõ áûëî ïðèíÿòî ðåøåíèå î íàëè÷èè èñòèííîé àâòîêîððåëÿöèè âîçìóùåíèé, òî äëÿ ýôôåêòèâíîãî îöåíèâàíèÿ ìîäåëè ïðèìåíÿþò îñóùåñòâèìûé
ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (63) èëè ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
Ïóñòü ñíà÷àëà âîçìóùåíèÿ ïîðîæäåíû ïðîöåññîì àâòîðåãðåññèè ïåðâîãî ïîðÿäêà (84), ε ∼ AR(1), è ρ èçâåñòíî. Òîãäà ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü
ôîðìóëó (59) ñ Ω èç (85) äëÿ ýôôåêòèâíîãî îöåíèâàíèÿ β . Ìàòðèöà P èç
(57) îêàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì ðàâíîé:
p
1 − ρ2 0 0 0 . . . 0

−ρ
1 0 0 ... 0


2 1/2
0
−ρ 1 0 . . . 0
(1 − ρ ) P = 

.
.. .. .. ..
..
..

. . . .
.
0
0 0 0 . . . −ρ
0
0
0







(95)
1
è ïðèìåíåíèå (59) ýêâèâàëåíòíî ïðèìåíåíèþ îáû÷íîãî ìåòîäà íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ ê òðàíñôîðìèðîâàííîé ìîäåëè (58), êîòîðàÿ ïðèìåò âèä:

1 − ρ2 x1·
 x − ρx 
1· 
 2·
 x − ρx 
X∗ =  3·
2·  ,


.
..


xn· − ρxn−1·
p
p

1 − ρ2 Y1
 Y − ρY 
1 
 2
 Y − ρY 
Y∗ =  3
2 .


.
..


Yn − ρYn−1
(96)
Äëÿ ïðèìåíåíèÿ ýòèõ ôîðìóë íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå ρ çàìåíÿþò îäíîé èç
îöåíîê. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îöåíêè:
42
•  êà÷åñòâå ρ̂ èñïîëüçóþò âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè (90).
• Îöåíêà Òåéëà r∗ (Theil, 1971):
n
−
k
r∗ =
r.
n−1
(97)
• Îöåíêà Òåéëà r∗∗ (Theil, 1971):
d
r∗∗ = 1 − ,
2
(98)
ãäå d - ñòàòèñòèêà ļðáèíà-Óàòñîíà (89).
• Îöåíêà ļðáèíà (Durbin, 1970) ðàâíà îöåíêå ìåòîäîì íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ êîýôôèöèåíòà ïðè Yt−1 â ðåãðåññèè
Yt = ρYt−1 + xt· β − xt−1· (ρβ) + εt ,
t = 2, . . . , n.
(99)
• Îöåíêà Õèëüäåðòà-Ëó (Hilderth-Lu, 1960) ïîëó÷àåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûì ïåðåáîðîì çíà÷åíèé ρ îò −1 äî 1 ñ íåêîòîðûì øàãîì. Âûáèðàåòñÿ
çíà÷åíèå ρ, ïðè êîòîðîì ìèíèìàëüíà ñóììà êâàäðàòîâ îñòàòêîâ ïðè
îöåíèâàíèè òðàíñôîðìèðîâàííîé ìîäåëè (96) ìåòîäîì íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ.
Âñå ïðèâåäåííûå îöåíêè ρ ñîñòîÿòåëüíû, íî èõ ñâîéñòâà â êîíå÷íûõ âûáîðêàõ ðàçëè÷íû. Âûáðàííóþ îöåíêó ρ ïîäñòàâëÿþò â ôîðìóëó (96) ïîñëå
÷åãî òðàíñôîðìèðîâàííóþ ìîäåëü îöåíèâàþò ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ïîëó÷åííóþ òàêèì îáðàçîì îöåíêó β íàçûâàþò îöåíêîé ÏðàéñàÓèíñòåíà (Prais-Winsten, 1954). Èíîãäà äëÿ ïðîñòîòû îïóñêàþò ïåðâîå íàáëþäåíèå (ïîñêîëüêó ôîðìóëà äëÿ åãî ïðåîáðàçîâàíèÿ îòëè÷àåòñÿ îò ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ îñòàëüíûõ íàáëþäåíèé). Ïîëó÷àþùàÿñÿ ïðè ýòîì
îöåíêà áûëà ïðåäëîæåíà Êîõðåéíîì è Îðêàòòîì (Cochrane-Orcutt, 1949).
Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, îäíàêî, ÷òî îöåíêà Ïðàéñà-Óèíñòåíà âñåãäà ïðåäïî÷òèòåëüíåé.
Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ñîñòîèò â âûáîðå çíà÷åíèé ρ, β è
2
ση êîòîðûå ìàêñèìèçèðóþò ëîãàðèôìè÷åñêóþ ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ
n
n
1 X 2
n
1
ln L = − ln(2π) − 2
e∗t + ln(1 − ρ2 ) − ln ση2 ,
2
2ση t=1
2
2
ãäå
p
e∗1 = 1 − ρ2 (Y1 − x1· β),
e∗t = (Yt − ρYt−1 ) − (xt· − ρxt−1· )β,
t = 2, . . . , n.
(100)
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
43
Ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè ρ îöåíêàìè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ β è
ση2 ÿâëÿþòñÿ îöåíêà îáîáùåííûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (òî åñòü
îöåíêà òðàíñôîðìèðîâàííîé ìîäåëè (96) îáû÷íûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ) è îöåíêà
n
σ̂η2
1X 2
=
e ,
n t=1 ∗t
(101)
ñîîòâåòñòâåííî. Ýòî ïîäñêàçûâàåò ñëåäóþùèé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îöåíêè
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ:
(à) ïîëîæèì ρ̂ = −1;
(á) óâåëè÷èì òåêóùåå çíà÷åíèå ρ̂ íà øàã δ : ρ̂ := ρ̂ + δ ;
(â) âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ îöåíîê β̂ ∗ ìåòîäîì îáîáùåííûõ íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ è σ̂η2 ïî ôîðìóëå (101);
(ã) âû÷èñëèì çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ (100) ïðè òåêóùèõ çíà÷åíèÿõ ρ̂, β̂ ∗ è σ̂η2 è çàïîìíèì âû÷èñëåííûå çíà÷åíèå ln L, ρ̂, β̂ ∗ è σ̂η2 ;
(ä) Åñëè ρ̂ < 1 ïåðåõîä ê øàãó (á), èíà÷å
(å) âûáåðåì çíà÷åíèÿ ρ̂, β̂ ∗ è σ̂η2 ñîîòâåòñòâóþùèå ìàêñèìóìó ôóíêöèè
ïðàâäîïîäîáèÿ.
Åñëè âîçìóùåíèÿ ïîðîæäåíû ïðîöåññîì àâòîðåãðåññèè 2-ãî ïîðÿäêà
εt = φ1 εt−1 + φ2 εt−2 + ηt ,
(102)
òî òðàíñôîðìèðîâàííàÿ ìîäåëü (58) ïîëó÷àåòñÿ ïî ôîðìóëàì:
z∗1
(1 + φ2 )[(1 − φ22 ) − φ21 ]
=
1 − φ2
z∗2 = (1 −
φ22 )1/2 z2
1/2
z1
φ1 (1 − φ21 )1/2
−
z1
1 − φ2
z∗t = zt − φ1 zt−1 − φ2 zt−2 ,
(103)
t > 2.
Çäåñü zt îáîçíà÷àåò Yt èëè xt· . Îöåíêè äëÿ φ1 , φ2 ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû
ïðèìåíåíèåì ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ê ìîäåëè (102), â êîòîðîé âîçìóùåíèÿ εt çàìåíåíû îñòàòêàìè et .
Åñëè ñðåäè ðåãðåññîðîâ åñòü çàïàçäûâàþùèå çíà÷åíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé, âñå îöåíêè êîýôôèöèåíòà àâòîêîððåëÿöèè ρ, îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè íà ÌÍÊ-îñòàòêîâ e, ïåðåñòàþò áûòü ñîñòîÿòåëüíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, è îöåíêà Ïðàéñà-Âèíñòåíà, ïîëó÷åííàÿ ñ ïðèìåíåíèåì íåâåðíîé
44
îöåíêè äëÿ ρ, òàêæå íå áóäåò ñîñòîÿòåëüíîé.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðèìåíèòü ñëåäóþùèé ìåòîä Õàòàíàêà (Hatanaka, 1974) äëÿ ìîäåëè:
Yt = xT β + γYt−1 + εt
εt = ρεt−1 + ηt .
(104)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïåðâîé îöåíêè β èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä èíñòðóìåíòàëüíîé ïåðåìåííîé.  êà÷åñòâå èíñòðóìåíòà äëÿ Yt−1 èñïîëüçóþòñÿ ïðîãíîçíûå çíà÷åíèÿ Yt â ðåãðåññèè Yt íà xt· è xt−1· , òî åñòü
Ŷt = xt· α̂1 + xt−1· α̂2 ,
t = 2, . . . , n,
α̂1
α1
ãäå α̂ =
- îöåíêà ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ âåêòîðà α =
α̂2
α2
â ðåãðåññèè
Yt = xt· α1 + xt−1· α2 ,
t = 2, . . . , n.
Ìàòðèöà Z ïîëó÷àåòñÿ äîáàâëåíèåì ê ìàòðèöå X (áåç ïåðâîãî íàáëþäåíèÿ)
ñòîëáöà [Ŷ2 , Ŷ3 , . . . , Ŷn ]T . Îöåíêà âåêòîðà β ìåòîäîì èíñòðóìåíòàëüíîé ïåðåìåííîé ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå (46). Ýòà îöåíêà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ
âû÷èñëåíèÿ îñòàòêîâ e = Y−Zβ̂ IV . Íà èõ îñíîâå ïîëó÷àåòñÿ ñîñòîÿòåëüíàÿ
îöåíêà äëÿ ρ:
n
P
ρ̂ =
et et−1
t=3
.
n
P
e2t
t=3
Äëÿ ýôôåêòèâíîãî îöåíèâàíèÿ âåêòîðà β ìîæíî ïðèìåíèòü òåïåðü äîñòóïíûé îáîáùåííûé ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëÿåòñÿ
îöåíêà ÌÍÊ âåêòîðà ïàðàìåòðîâ â ðåãðåñcèè
Y∗t = Yt − ρ̂Yt−1
íà ïåðåìåííûå
x∗t· = xt· − ρ̂xt−1· ,
Y∗t−1 = Yt−1 − ρ̂Yt−2 ,
et−1 = Yt−1 − zt−1· β̂ IV .
Åñëè ÷åðåç b îáîçíà÷èòü îöåíêó êîýôôèöèåíòà ïðè et−1 â ýòîé ðåãðåññèè,
òî ýôôåêòèâíîé îöåíêîé ρ áóäåò:
ρ̂ˆ = ρ̂ + b.
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
45
8 Íåñòàöèîíàðíîñòü è êîèíòåãðàöèÿ
Âðåìåííûå ðÿäû ýêîíîìè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé îáû÷íî íåñòàöèîíàðíû. Âàëîâûå ïîêàçàòåëè âñåõ ýêîíîìè÷åñêè ðàçâèòûõ ñòðàí â ïîñëåâîåííîå âðåìÿ
èìåëè óñòîé÷èâóþ òåíäåíöèþ ê ðîñòó. Ýòî íàðóøàåò ïåðâîå èç óñëîâèé ñòàöèîíàðíîñòè (79). Ãðåíäæåð è Íüþáîëä (Granger, Newbold, 1974) ïîêàçàëè,
÷òî ïðè èññëåäîâàíèè çàâèñèìîñòè ìåæäó íåñòàöèîíàðíûìè âðåìåííûìè
ðÿäàìè ìåòîäàìè ðàçäåëîâ 1 è 2 ìû ïðèäåì ê íåâåðíûì âûâîäàì. Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé t-ñòàòèñòèêè (18) íå ÿâëÿåòñÿ
ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüäåíòà, F -ñòàòèñòèêè (28) íå ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì
Ôèøåðà, ðàñïðåäåëåíèÿ âñåõ äðóãèõ ñòàòèñòèê èç ðàçäåëîâ 2 è 3 òàêæå
íå áóäóò êëàññè÷åñêèìè. Áîëåå òîãî, Ôèëèïñ (Philips, 1986) äîêàçàë â ÷èñëå ïðî÷åãî, ÷òî t-ñòàòèñòèêà â ýòîì ñëó÷àå íå èìååò ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ðàñõîäèòüñÿ ïðè n → ∞. Ïîýòîìó, ÷åì áîëüøå âûáîðêà, òåì
áîëüøå øàíñîâ ïðèéòè ê ëîæíîìó çàêëþ÷åíèþ î íàëè÷èè ñâÿçè ìåæäó
íåñâÿçàííûìè ïåðåìåííûìè. Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî âûâîäà íåïðèìåíèìà, åñëè ïåðåìåííûå íåñòàöèîíàðíû. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ èçâåñòíà êàê ¾ìíèìàÿ ðåãðåññèÿ¿. Íà ïðàêòèêå ïðèçíàêàìè ìíèìîé ðåãðåññèè ìîãóò ÿâëÿòüñÿ âûñîêèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè (25)
ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ñòàòèñòèêè ļðáèíà-Óàòñîíà (89).
Ïîïóëÿðíûå ìåòîäû èçáàâëåíèÿ îò íåñòàöèîíàðíîñòè - âçÿòèå ïåðâûõ
ðàçíîñòåé (èëè ðàçíîñòåé ëîãàðèôìîâ) è óäàëåíèå äåòåðìèíèñòñêîãî òðåíäà â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íå ñîãëàñóþòñÿ ñ ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèåé. Ëó÷øèé âûõîä áûë ïðåäëîæåí Êëèâîì Ãðåíäæåðîì19 . Ïóñòü ó íàñ åñòü íåñòàöèîíàðíûé ðÿä Xt . Âîçüì¼ì ïåðâûå ðàçíîñòè, òî åñòü ðàññìîòðèì ðÿä
∆Xt = Xt − Xt−1 . Åñëè ðÿä ∆Xt îêàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, òî èñõîäíûé
ðÿä Xt íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðîâàííûì ïîðÿäêà 1. Ýòîò ôàêò îáîçíà÷àåòñÿ
Xt ∼I(1). Ñòàöèîíàðíûé ðÿä â ýòîé òåðìèíîëîãèè èíòåãðèðîâàí ïîðÿäêà
0: ∆Xt ∼I(0). Âîîáùå, åñëè âðåìåííîé ðÿä ñòàíîâèòñÿ ñòàöèîíàðíûì ïîñëå
âçÿòèÿ k -òîé ðàçíîñòè20 ïðè òîì, ÷òî k − 1-àÿ ðàçíîñòü íåñòàöèîíàðíà, òî
ðÿä íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðîâàííûì ïîðÿäêà k , Xt ∼I(k).
Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà íåñòàöèîíàðíûõ ðÿäà Xt ∼I(1) è Yt ∼I(1). Èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ Yt − βXt , âîîáùå ãîâîðÿ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåñòàöèîíàðíîé è èíòåãðèðîâàííîé ïîðÿäêà 1. Îäíàêî, åñëè ìåæäó ýêîíîìè÷åñêèìè
ïîêàçàòåëÿìè Xt è Yt èìååòñÿ äîëãîñðî÷íîå ýêîíîìè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå
19 Çà
ýòè ðåçóëüòàòû Ãðåíäæåð áûë óäîñòîåí Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ýêîíîìèêå çà 2003 ãîä.
ïîðÿäêà k îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé ∆k Xt = ∆k−1 Xt −∆k−1 Xt−1 . Íàïðèìåð ∆2 Xt = ∆Xt −
∆Xt−1 = Xt − 2Xt−1 − Xt−2 .
20 Ðàçíîñòü
46
âèäà
(105)
Yt = α + γXt + εt ,
òî ðàçíîñòü Yt − γXt äîëæíà êîëåáàòüñÿ âîêðóã α, òî åñòü áûòü ñòàöèîíàðíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè çíà÷åíèè β = γ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ Yt − βXt
äîëæíà áûòü ñòàöèîíàðíîé. Åñëè òàêîå çíà÷åíèå β ñóùåñòâóåò, òî ðÿäû
Xt è Yt íàçûâàþò êîèíòåãðèðîâàííûìè, à âåêòîð (1, −β)T íàçûâàþò êîèíòåãðèðóþùèì âåêòîðîì. Âîîáùå, åñëè íåêîòîðàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
ïåðåìåííûõ I(1) îêàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé, òî ýòè ïåðåìåííûå êîèíòåãðèðîâàííû, à êîýôôèöèåíòû ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè íàçûâàþò êîèíòåãðèðóþùèì âåêòîðîì. Ïðè íàëè÷èè êîèíòåãðàöèè îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì
ïîëó÷èòü ñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó γ̂ â óðàâíåíèè (105) îáû÷íûì ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Áîëåå òîãî, êàê ïîêàçàë Ñòîê (Stock, 1987), γ̂ ñõîäèòñÿ
ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ γ ñî ñêîðîñòüþ ïîðÿäêà 1/n (n - êîëè÷åñòâî íàáëþäåíèé)21 . Ïî ýòîé ïðè÷èíå òàêàÿ îöåíêà íàçûâàåòñÿ ñâåðõñîñòîÿòåëüíîé.
Âàæíîñòü êîèíòåãðàöèè äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ âðåìåííûõ ðÿäîâ êðîåòñÿ â òåîðåìå Ãðåíäæåðà î ïðåäñòàâëåíèè
(Granger-Weiss, 1983). Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòîò ðåçóëüòàò íà ñëåäóþùåé ñèñòåìå äâóõ àâòîðåãðåññèâíûõ óðàâíåíèé:
Xt = ν1 +
Yt = ν2 +
p
X
γ1j Xt−j +
p
X
δ1j Yt−j + ε1t ,
j=1
j=1
p
X
p
X
γ2j Xt−j +
j=1
(106)
δ2j Yt−j + ε2t ,
j=1
ãäå Yt è Xt èíòåãðèðîâàíû ïîðÿäêà I(1) è êîèíòåãðèðîâàíû, à ε1t , ε2t íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ñî ñðåäíèì 0 è ïîñòîÿííîé äèñïåðñèåé.
Òîãäà òåîðåìà Ãðåíäæåðà óòâåðæäàåò, ÷òî ýòó ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â
âèäå:
∆Xt = α1 (Yt−1 − ν − βXt−1 ) +
∆Yt = α2 (Yt−1 − ν − βXt−1 ) +
p−1
X
∗
γ1j
∆Xt−j +
p
X
∗
δ1j
∆Yt−j + ε1t ,
j=1
j=1
p−1
X
p−1
X
j=1
∗
γ2j
∆Xt−j +
(107)
∗
δ2j
∆Yt−j + ε2t ,
j=1
√
êëàññè÷åñêîì
√ ñëó÷àå ñòàòè÷åñêîé ìîäåëè ñõîäèìîñòü èìååò ïîðÿäîê 1/ n. Áîëåå òî÷íî, â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå n(γ̂ − γ) èìååò ïðåäåëüíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à â äàííîì ñëó÷àå n(γ̂ − γ)
èìååò íåêîòîðîå ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
21 Â
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
47
ãäå ïî ìåíüøåé ìåðå îäíî èç ÷èñåë α1 , α2 îòëè÷íî îò íóëÿ. Îáà óðàâíåíèÿ
ñèñòåìû ¾ñáàëàíñèðîâàíû¿ â òîì ñìûñëå, ÷òî îáå ÷àñòè èìåþò îäèíàêîâûé
ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàííîñòè, ïîñêîëüêó Yt−1 − ν − βXt−1 ∼ I(0).
Ïóñòü óðàâíåíèå Yt = ν + βXt îïðåäåëÿåò äîëãîñðî÷íîå (èëè ðàâíîâåñíîå) ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïåðåìåííûìè Xt è Yt . Òîãäà Yt−1 − ν − βXt−1
ïîêàçûâàåò ñòåïåíü îòêëîíåíèÿ îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ýòó âåëè÷èíó
èíîãäà íàçûâàþò îøèáêîé íåðàâíîâåñíîñòè). Êîýôôèöèåíòû α1 , α2 îòðàæàþò ñèëó ñòðåìëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ê ñîñòîÿíèþ ðàâíîâåñèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì (107), èçìåíåíèå
çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ çà äàííûé ïåðèîä ñîñòîèò èç ðåàêöèè ñèñòåìû íà
èçìåíåíèÿ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ â ïðîøëîì, ñèëà êîòîðîé õàðàêòåðèçóåò∗
∗
∗
∗
ñÿ êîýôôèöèåíòàìè γ1j
, γ2j
, δ1j
, δ2j
è êîððåêöèè ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ,
ñèëà êîòîðîé õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòàìè α1 , α2 . Ñèñòåìà â ôîðìå
(107) íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ êîððåêöèè îøèáîê (èëè ECM - error correction
model).
Òåñò äëÿ ïðîâåðêè âðåìåííîãî ðÿäà íà ñòàöèîíàðíîñòü áûë ðàçðàáîòàí
Äèêè è Ôóëëåðîì (Dickey-Fuller, 1979). Ïðè ýòîì îíè ó÷èòûâàëè, ÷òî â
ýêîíîìè÷åñêèõ äàííûõ íåñòàöèîíàðíîñòü ÷àùå âñåãî èìååò õàðàêòåð ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ:
Yt = Yt−1 + εt ,
(108)
ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ ñ äðåéôîì:
Yt = α + Yt−1 + εt ,
(109)
èëè êîìáèíàöèè ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ ñ ëèíåéíûì âðåìåííûì òðåíäîì:
Yt = α + Yt−1 + µt + εt .
(110)
Çäåñü εt ýòî áåëûé øóì22 . Óðàâíåíèå (108) åñòü íè ÷òî èíîå êàê àâòîðåãðåññèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (81) ñ φ1 = 1. Òàêèì îáðàçîì, íàì íåîáõîäèìî
ïðîâåðèòü ãèïîòåçó φ = 1 â ñëåäóþùèõ ìîäåëÿõ:
22 Áåëûì
Yt = φYt−1 + εt ,
(111)
Yt = α + φYt−1 + εt ,
(112)
Yt = α + φYt−1 + µt + εt .
(113)
øóìîì íàçûâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåë¼ííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñî ñðåäíèì íîëü è êîíå÷íîé äèñïåðñèåé. Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íîðìàëüíîå, òî ãîâîðÿò ïðî áåëûé øóì â óçêîì ñìûñëå, èëè ãàóññîâñêèé áåëûé øóì.
48
Òàáëèöà 1: Êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèêè Äèêè-Ôóëëåðà (DF)
Óðîâåíü äîâåðèÿ
25
Ðàçìåð âûáîðêè
50
100
∞
AR(1) ìîäåëü (111)
0.010
-2.66 -2.62 -2.60 -2.58
0.025
-2.26 -2.25 -2.24 -2.23
0.050
-1.95 -1.95 -1.95 -1.95
AR(1) ìîäåëü ñ êîíñòàíòîé (112)
0.010
-3.75 -3.58 -3.51 -3.43
0.025
-3.33 -3.22 -3.17 -3.12
0.050
-3.00 -2.93 -2.89 -2.86
AR(1) ìîäåëü ñ êîíñòàíòîé è òðåíäîì (113)
0.010
-4.38 -4.15 -4.04 -3.96
0.025
-3.95 -3.8 -3.69 -3.66
0.050
-3.6
-3.5 -3.45 -3.41
Äëÿ ïðîâåðêè èñïîëüçóåòñÿ îáû÷íàÿ t-ñòàòèñòèêà (19), ðàâíàÿ â äàííîì
ñëó÷àå (φ̂ − 1)/sφ̂ , ãäå φ̂ - îöåíêà φ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, à sφ̂
íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (16). Îäíàêî, êàê ïîêàçàëè Äèêè è Ôóëëåð, ïðè
óñëîâèè φ = 1 ýòà ñòàòèñòèêà íå ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ñòüþäåíòà è
åå ðàñïðåäåëåíèå íå ñòðåìèòüñÿ ê íîðìàëüíîìó ñ ðîñòîì ÷èñëà íàáëþäåíèé. Êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ýòîé ñòàòèñòèêè, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì ÌîíòåÊàðëî, ïðåäñòàâëåíû â Òàáëèöå 1. Åñëè íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå (φ̂ − 1)/sφ̂
íèæå óêàçàííîãî â òàáëèöå íà çàäàííîì óðîâíå äîâåðèÿ, òî ìû äîëæíû
îòâåðãíóòü ãèïîòåçó î íåñòàöèîíàðíîñòè (òî åñòü ãèïîòåçó φ = 1).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå äàííûå íå ïðîòèâîðå÷àò ïðåäïîëîæåíèþ î íåñòàöèîíàðíîñòè. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî óêàçàííûå â Òàáëèöå 1 êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ
îñòàþòñÿ âåðíûìè, åñëè â ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (111)-(113) âêëþ÷èòü
çàïàçäûâàþùèå çíà÷åíèÿ ñêà÷êîâ Yt , òî åñòü ∆Yt−1 , ∆Yt−2 , è ò.ä. Ïîëó÷àþùèéñÿ òåñò íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííûì òåñòîì Äèêè-Ôóëëåðà (ADF augmented Dickey-Fuller). Åñëè ïîðÿäîê ïðîöåññà àâòîðåãðåññèè íå èçâåñòåí çàðàíåå, òî ðåêîìåíäóåòñÿ âêëþ÷àòü âîçìîæíî áîëüøåå êîëè÷åñòâî
çàïàçäûâàþùèõ çíà÷åíèé ñêà÷êîâ Yt , ÷òîáû èçáåæàòü àâòîêîððåëÿöèè âîçìóùåíèé, ïîñêîëüêó ïðèâåäåííûå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ïîëó÷åíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âîçìóùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ áåëûì øóìîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû
ìîùíîñòü òåñòà óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì êîëè÷åñòâà ïåðåìåííûõ.
Äëÿ òåñòèðîâàíèÿ íà íàëè÷èå êîèíòåãðàöèè ìåæäó ïåðåìåííûìè íåîáõîäèìî îöåíèòü ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ïðåäïîëàãàåìîå ðàâíîâåñíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó íèìè. Ïîñëå ýòîãî íà ñòàöèîíàðíîñòü òåñòèðóþòñÿ
îñòàòêè ýòîé ðåãðåññèè. Íóëåâàÿ ãèïîòåçà ñîñòîèò â îòñóòñòâèè êîèíòå-
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
49
Òàáëèöà 2: Êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ òåñòà íà êîèíòåãðàöèþ Äýâèäñîíà è ÌàêÊèííîíà
Êîëè÷åñòâî
ïåðåìåííûõ
2
3
4
5
6
Òèï
ðåãðåññèè
êîíñòàíòà
êîíñòàíòà è òðåíä
êîíñòàíòà
êîíñòàíòà è òðåíä
êîíñòàíòà
êîíñòàíòà è òðåíä
êîíñòàíòà
êîíñòàíòà è òðåíä
êîíñòàíòà
êîíñòàíòà è òðåíä
Óðîâåíü äîâåðèÿ
0.01 0.05 0.10
-3.90 -3.34 -3.04
-4.32 -3.78 -3.50
-4.29 -3.74 -3.45
-4.66 -4.12 -3.84
-4.64 -4.10 -3.81
-4.97 -4.43 -4.15
-4.96 -4.42 -4.13
-5.25 -4.72 -4.43
-5.25 -4.71 -4.42
-5.52 -4.98 -4.70
ãðàöèè, òî åñòü â íåñòàöèîíàðíîñòè îñòàòêîâ. Îäíàêî, äëÿ ýòîé ïðîâåðêè
íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü DF è ADF òåñòû. Ïðè÷èíà ýòîãî êðîåòñÿ â òîì, ÷òî
ÌÍÊ ìèíèìèçèðóåò ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå îñòàòêîâ îò íóëÿ è
äåëàåò èõ ïîõîæèìè íà ñòàöèîíàðíûå. Ïîýòîìó äëÿ òåñòèðîâàíèÿ îñòàòêîâ
íà ñòàöèîíàðíîñòü íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äðóãèå êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ
äëÿ t-ñòàòèñòèêè. Ýòè êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ áûëè ïîëó÷åíû Äýâèäñîíîìè
ÌàêÊèííîíîì (MacKinnon, 1991; Davidson and MacKinnon, 1993) è ïðèâåäåíû â Òàáëèöå 2 äëÿ ñëó÷àÿ áåñêîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà íàáëþäåíèé.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè íàì íåîáõîäèìî ðàáîòàòü ñ íåñòàöèîíàðíûìè ïåðåìåííûìè, ìåæäó êîòîðûìè ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïðåäñêàçûâàåò äîëãîñðî÷íîå ðàâíîâåñíîå ñîîòíîøåíèå, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì:
• Ïðîâåðèòü ïåðåìåííûå íà ñòàöèîíàðíîñòü ïðè ïîìîùè DF èëè ADF
ñòàòèñòèêè Äèêè-Ôóëëåðà23 . Åñëè âûÿâëåíà íåñòàöèîíàðíîñòü, ïðîâåðèòü íà ñòàöèîíàðíîñòü ïåðâûå ðàçíîñòè.  ñëó÷àå èç íåñòàöèîíàðíîñòè ïðîâåðèòü òàêæå âòîðûå ðàçíîñòè24 .  ðåçóëüòàòå ýòîãî øàãà
íàõîäèì ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàííîñòè èìåþùèõñÿ âðåìåííûõ ðÿäîâ.
• Ñôîðìóëèðîâàòü ìîäåëü ïðåäïîëàãàåìîãî ðàâíîâåñíîãî ñîîòíîøåíèÿ
ìåæäó ïåðåìåííûìè. Ïðîâåðèòü íàëè÷èå êîèíòåãðàöèè ìåæäó ïåðåìåííûìè êàê îïèñàíî âûøå.
• Ïðè íàëè÷èè êîèíòåãðàöèè îöåíèòü êîèíòåãðèðóþùèé âåêòîð ìåòî23 Òî÷íåå
íà íàëè÷èå åäèíè÷íîãî êîðíÿ. Ñì. îïèñàíèå òåñòà Äèêè-Ôóëëåðà âûøå.
ïðîâåðÿòü òàêæå ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ èëè äðóãèå ôóíêöèè îò èñõîäíûõ äàííûõ, çàâèñÿùèå îò ïðåäïîëîæèòåëüíîãî âèäà ìîäåëè.
24 Ìîæíî
50
äîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ñâåðõñîñòîÿòåëüíîñòü ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü íà âûñîêîå êà÷åñòâî ýòîé îöåíêè.
• Ñôîðìóëèðîâàòü ìîäåëü êîððåêöèè îøèáîê, ñîãëàñîâàííóþ ñ ðàâíîâåñíûì ñîîòíîøåíèåì, ïðåäñêàçûâàåìûì ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèåé.
• Âìåñòî êîèíòåãðèðóþùåãî âåêòîðà ïîäñòàâèòü åãî îöåíêè ÌÍÊ. Îöåíèòü îñòàâøèåñÿ ïàðàìåòðû ìîäåëè ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
èëè åãî ìîäèôèêàöèåé.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Greene W.H. Econometric Analysis. Fourth Edition. Prentice-Hall
International Inc., 2000.
[2] Thomas R.L. Modern Econometrics. An Introduction. Addison Wesley
Longman, 1997.
[3] Ìàãíóñ ß.Ð., Êàòûøåâ Ï.Ê., Ïåðåñåöêèé À.À. Ýêîíîìåòðèêà. Íà÷àëüíûé êóðñ. Ì.:Äåëî, 2001.
[4] Ìàãíóñ ß.Ð., Íåéäåêêåð Õ. Ìàòðè÷íîå äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå
ñ ïðèëîæåíèÿìè ê ñòàòèñòèêå è ýêîíîìåòðèêå. Ì:Ôèçìàòëèò, 2002.
Ýêîíîìåòðèêà: îñíîâíûå ôîðìóëû ñ êîììåíòàðèÿìè
51
Ñîäåðæàíèå
1 Ââåäåíèå
3
2 Ìíîæåñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ
10
3 Ëèíåéíûå îãðàíè÷åíèÿ, ñòàáèëüíîñòü ïàðàìåòðîâ è ôèêòèâíûå ïåðåìåííûå
16
4 Èíñòðóìåíòàëüíûå ïåðåìåííûå
21
5 Íåñôåðè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ - îáùèé ñëó÷àé
23
6 Ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü
27
7 Àâòîêîððåëÿöèÿ âîçìóùåíèé
35
8 Íåñòàöèîíàðíîñòü è êîèíòåãðàöèÿ
45
Êàðï Äìèòðèé Áîðèñîâè÷
ÝÊÎÍÎÌÅÒÐÈÊÀ: ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÔÎÐÌÓËÛ Ñ
ÊÎÌÌÅÍÒÀÐÈßÌÈ
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå
Îòïå÷àòàíî ïî îðèãèíàë-ìàêåòó,
ïîäãîòîâëåííîìó àâòîðîì,
ìèíóÿ ðåäïîäãîòîâêó.
Âíå ïëàíà.
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 26.05.04. Ôîðìàò 60×84/16
Óñë. ïå÷. ë. 2,8. Ó÷.-èçä. ë. 3,0
Òèðàæ 150 ýêç. Çàêàç 
Èçäàòåëüñòâî
Äàëüíåâîñòî÷íîé ãîñóäàðñòâåííîé àêàäåìèè
ýêîíîìèêè è óïðàâëåíèÿ
Ó÷àñòîê îïåðàòèâíîé ïîëèãðàôèè
690950, Âëàäèâîñòîê, Îêåàíñêèé ïð-ò., 19
40-66-35. E-mail:rio@mail.fesaem.ru