Лабораторная работа по сопротивлению материалов

Вариант 8
Задание 1
Задана плоская составная стержневая конструкция, состоящая из двух
частей АВ и ВС, связанных между собой шарнирной связью В, показанная на
рис. 1.1. Конструкция размещена на опорах А и С. К ней приложены внешние
сосредоточенные силы Р = 4 кН, Q = 2,5Р = 10 кН и сосредоточенный внешний
момент М = 8 кН∙м. Размер а = 2 м.
Требуется найти реакции XA,YA, MA опоры А,XС, опоры С и XВ, YВ связи
В.
Рис.1.1
Решение:
Для определения реакций расчленим конструкцию в шарнире В и
рассмотрим равновесие части АВ, на который действуют силы: (Рис. 1.1):
реакции XA,YA, MA опоры А и реакции XВ,YВ +2,5Р связи В, а также равновесие
части ВС с действующими на нее силами реакциями XВ, YВ связи В, XС опоры
С и момента М.
Составим уравнения равновесия части АВ:
X  X
A
 XB  0
A
 YB  2,5P  0
Y  Y
M
A
(1)
(2)
 M A  (2,5P  YB )a  X B a  0
(3)
Составим уравнения равновесия части ВС:
 X  X
Y  Y
B
M
B
B
 XС  0
P0
  X С  2a  P  a  M  0
(4)
(5)
(6)
2
Рис.1.1
5. YB = P = 4 кН
6. XC = -P/2 +M/2a = -4/2 + 8/4 = 0
4. XB = XC = 0
(7)
1. XA = - XC = 0
2. YA = -YB +2,5·P = -4 +2,5·4 = 6 кН
3. MA = (2,5P - YB) · a = 6·2 = 12 кН·м.
Модули реакций R A и RB опор А и В определим из формул:
RA 
X A2  Y A2  0  6 2 = 6 кН.
RB 
X B2  YB2  0  4 2 = 4 кН.
Результаты расчета сведены в таблицу.
Проверка
Для проверки правильности решения объединим части АВ и ВС
расчетной схемы, показанной на рис. 1.1, относительно связи В вместе. В
результате получим расчетную схему, показанную на рис. 1.2
3
Рис.1.2
Составим систему уравнений равновесия (8) для полученной расчетной
схемы:
 X X
A
 XC  0  0  0 ;
Y   Y  P  2,5P  6  4  10  0 ;
 M  M  2,5Pa  M  2Pa  12  20  8  16  0.
(8)
A
А
A
где уравнение моментов записано относительно опоры А.
Тождество уравнений нулю при подстановке в них расчетных данных
из табл. 3 свидетельствует о правильности решения.
Задание 2
Задана
нагруженная
пространственная
стержневая
конструкция,
размещенная на опорах (рис.2). Оси координат x и y направлены
4
соответственно горизонтально и вертикально в плоскости чертежа этой
конструкции, а ось z перпендикулярно к плоскости чертежа.
Дано: Р = 4кН, q = 2 кН/м, а= 4 м.
Требуется найти реакции ее опор
Рис.2
В общем случае систему уравнений равновесия пространственной
конструкции, состоящую из трех уравнений проекций и трех уравнений
моментов, можно записать в виде:
 F xi 0 ;  F yi 0 ;  F zi 0 ;
i
i
i


 M xo ( Fi )   M xm  0 ;  M yo ( Fi )   M ym  0 ;
i
m
i
(9)
m

M
(
F
 zo i )   M zm  0 ,
i
m
где F xi , F yi и F zi - проекции внешних сил, действующих на конструкцию, и


реакций ее опор на оси координат x, y и z; M xo ( Fi )  Fxihi , M yo ( Fi )  Fyi hi и

M zo ( Fi )  Fzi hi - моменты этих сил и реакций относительно осей координат
x, y и z в соответствующих плоскостях Оyz, Оxz и Оxy при условии того, что
5
эти плоскости рассматриваются со стороны конца осей координат x, y и z; hi плечи этих проекций сил и проекций реакций относительно какой-либо
произвольной точки О в соответствующих плоскостях Оyz, Оxz и Оxy; M xm ,
M ym и M zm - внешние сосредоточенные моменты, приложенные к
конструкции в этих же соответствующих им плоскостях Оyz, Оxz и Оxy.
Отбросим от рассматриваемой конструкции ее опоры А, В, С, D и
заменим их действие реакциями XD YD, ZD, ZA, ZC и YB. В результате получим
расчетную схему, показанную на рис. 2.1. Первоначально направления
реакций XD YD, ZD, ZA, ZC и YB выберем положительными.
Рис.2.1
Согласно расчетной схеме на рис. 2.1а), конструкция содержит шесть
неизвестных реакций XD YD, ZD, ZA, ZC и YB Уравнений равновесия (9) для
определения этих реакций тоже шесть, т. е. решаемая задача статически
определена. Запишем систему уравнений равновесия (10) этой конструкции по
ее расчетной схеме в виде:
1.
 Х X
2.
Y  Y
D
D
Q P  0;
 YB  0 ;
6
3.
 Z Z
4.
M
DX
D
 Z A  ZC  0 ;
(10)
Z C a / 2  0 ;
5. M DY  Z C a  Z A a  0 ;
6. M DZ  YB a  Pa / 2  0 ,
где уравнения моментов записаны относительно опоры D, которая выбрана за
начало координат системы отсчета Dxyz; Q - внешняя сосредоточенная сила
Q  qa  2  4 =
8 кН,
приложенная посередине участка а, заменяющая внешнюю распределенную
нагрузку с интенсивностью q.
Из системы уравнений равновесия (10) получим:
6. YB =P/2 = 2 кН;
2. YD = -YB = -2 кН;
4. ZC = 0 кН;
5. ZA = 0 кН;
1. XD = -Q +P = -4 кН;
3. ZD = 0 кН;
где номер перед реакцией соответствует номеру уравнения в этой системе, из
которого она определена.
Отрицательные значения реакций X D и
YD характеризует то, что
направления этих реакций должны быть изменены на обратные. После
повторного расчета этих реакций с измененными направлениями они примут
положительные значения ХD = 4 кН и YD =2 кН.(Рис.2.1 б))
Модуль реакций RD опоры D определим по формуле
RD  X D  YD  4 2  2 2 = 4,47 кН
2
2
Результаты расчета сведены в таблицу
7
Проверка
Для проверки правильности решения выберем точку О(-а/2,а/4,а/2)
, как показано на расчетной схеме, приведенной рис.2.1б. Точка О выбрана
так, что в уравнения моментов (9) входят все шесть ранее определенных
реакций XD YD, ZD, ZA, ZC и YB из таблицы.
Составим уравнения моментов (9) относительно этой точки:
M
XO
 Z D  a / 4  Z A  a / 4  ZC  a / 4  0  0  0  0
M
УO
 Z D  a / 4  Z A  a / 4  ZC  a / 4  Q  a / 4  P  a / 4  X D  a / 4  0  0  0  8  4  4  0
M
ZO
 Q  a / 4  Pa / 4  YB  a / 2  YD  a / 2  X D  a / 4  8  4  4  4  4  0
Тождество этих уравнений нулю при подстановке в них расчетных
данных из табл. свидетельствует о правильности решения.
Задание 3
Нагруженный ступенчатый стержень из хрупкого материала с одним
свободным, а с другим жестко закрепленным концом работает на центральное
растяжение и сжатие, либо только на растяжение или сжатие. Схема варианта
нагружения стержня показаны на рис. 3. Здесь же в таблицах приведены
соответствующие этим схемам исходные данные. Ось координат x проходит
по центральной оси стержня.
Требуется:
 построить эпюры внутренних продольных сил N x , нормальных
напряжений  x и перемещений u x поперечных сечений стержня;
8
 проверить перемещение свободного конца, используя принцип
независимости действия сил;
 проверить стержень на прочность полагая, что стержень изготовлен
из хрупкого материала с пределом прочности при растяжении
[ p ]  100 МПа и сжатии [ c ]  200 МПа.
Рис.3
Решение. Разбиваем брус на участки, границами которых являются
поперечные сечения, в которых или приложены силы или изменяется площадь
поперечного сечения бруса. Таких участков 4 (рис.1.2). Определяем
внутренние продольные усилия N по участкам, используя метод сечений.
Начинаем со свободного конца бруса:
1-й участок CD: N1 = 0 кН – участок не нагружен
2-й участок DB: N2 = Р1 = -800 Н – сжатие
(11)
3-й участок BE : N3 = Р1 = -800 Н – сжатие
4-й участок EA : N4 =P2 – Р1 =1200 – 800 = 400 Н – сжатие
Строим эпюру N (Рис. 1.2).
Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения
на участке по формуле

N
F
,
где F– площадь поперечного сечения на участке. Изменение длины участка от
действия нагрузки находим по формуле
9
l 
Тогда
1 
1-й участок CD:
l1 
2-й участок DB:
3 
N1
0
Н/мм2 = 0 МПа,

6
F1 50  10
 1  l1
E

0  20
= 0 мм
2  10 5
 2  l2
E

(12)
 16  80
= -0,0064 мм
2  105
N3
 800 
Н/мм2 = -8 МПа,

6
F2 100  10
l3 
4-й участок ЕА:
E
N2
 800
Н/мм2 = -16 МПа,

F1 50  10 6
2 
l2 
3-й участок BЕ:
 l
 3  l3
E

 8  60
= -0,0024 мм
2  105
N
400
Н/мм2 = 4 МПа,
4  4 
6
F2 100  10
l4 
 4  l4
E

4  40
= 0,0008 мм
2  105
Смещение uA, uE, uB, uD, uC, сечений А, Е,В, D, и C стержня определим
как:
uA  0
u E  u A  l4 = 0,0008 мм;
u B  u E  l3 = -0,0016 мм;
uD  uB  l2 = -0,008 мм;
uС  u В  l1 = -0,008 мм;
Строим эпюры нормальных напряжений σ и cмещение сечений u (Рис. 3.2).
Проверим смещение uC сечения C стержня по принципу независимости
действия сил.
10
Рис. 3.2
Рассчитаем uC от действия сил Р1и Р1 отдельно:
uС ( P1 )  l DB  l BE 
uС ( P2 )  l AE 
P1l DB P1l BE
800  80
800  60



 0,0088 мм.
5
EFDB EFBE
2  10  50 2  10 5  100
P21l AE
1200  40

 0,008 мм.
EFAE 2  10 5  100
Тогда
uС  uС ( P1 )  uС ( P2 )  0,088  0,008  0,0008 мм.
Проверим стержень на прочность. Для этого запишем условие
прочности стержня при его растяжении
 4  [ p ]
(13)
и сжатии
|  2 | max  [ c ] ,
11
где |  4 |
max
и | 2 |
max
- максимальные значения нормальных напряжений на
участках АВ и CD при растяжении и сжатии стержня, которые взяты по
модулю.
После подстановки из условий прочности (122) имеем:
4  100 МПа;
16  200 МПа.
Из полученных неравенств делаем вывод, что при заданных нагрузках
P1 , P2 размерах и свойствах материала Е стержня он удовлетворяет условиям
прочности.
Коэффициент запаса по пределу прочности стержня составляет
n  [ c ] / |  CD | max  200 / 16  12,5
(14)
Задание 4
На рис. 4 дана схема нагружения стержня.
Двно: l1 = 500 мм, l2 = 200 мм, М1 = 240 Н·м, М2 = -40 Н·м,
G = 8·104 МПа, [τ] = 30 МПа, [θ] = град/м, с = dB/d = 0,6.
l1
l2
М1
Нм
мм
500
М2
200
240
-40
 
G
MПа
8∙104
30
 
с  dB / d
град/ м
0,6
0,6
Требуется:
 найти внутренние крутящие моменты M AB и M BC на участках АВ и
ВС стержня;
 подобрать размеры поперечных сечений стержня (диаметр d
стержня и размер h = b стороны его квадрата) для этих участков
исходя из условий прочности d AB , d BC и жесткости d AB , d BC , а
также принять единый размер d  h  b их поперечных сечений;
 найти углы  АВ и  ВС закручивания участков АВ и ВС стержня и
угол С поворота его свободного конца;
12
 построить эпюры внутренних крутящих моментов M x и углов  x
поворота сечений стержня.
Рис.4
Решение. Для определения внутреннего крутящего момента M AB
составим уравнение равновесия стержня в сечении 1 - 1:
 М х  М АВ  М1  М 2  0 ,
откуда
М АВ  М 1  М 2  240  40  200 Н∙м.
Для определения неизвестного внутреннего крутящего момента M BC
составим уравнение равновесия стержня в сечении :
 М х   М ВC  М 2  0 ,
откуда
М ВC  М 2  40 Н∙м.
Подбор диаметров поперечных сечений на участках АВ и ВС
осуществим исходя из условия прочности
 max  M max / W    ,
(15)
где  max и M max максимальное касательное напряжение и максимальный
внутренний крутящий момент на рассматриваемом участке стержня;   предельно допустимое касательное напряжение.
Участок АВ
13
Подставив в (15) M max | M AB | и W
для квадратного поперечного
сечения участка АВ стержня получим
d AB  3
| M AB |
200
3
= 0,31634 м.
0,21   
0,21  30  10 6
Участок ВС
Подставив в (15) M max | M BC | и W для кольцевого поперечного сечения
участка ВС стержня получим

d BC
3
16 | M BC |
16  40
= 0,19833 м.
3
4
 (1  c ) 
3,14(1  0,6 4 )  30  10 6
Подбор диаметров поперечных сечений на участках АВ и ВС исходя из
условия жесткости:
 max  M max /(GJ )   ,
(16)
где  max и M max - максимальный относительный угол закручивания и
максимальный внутренний крутящий момент на рассматриваемом участке
стержня;   - предельно допустимый относительный угол закручивания.
[θ] = 0,6 град/м = 0,6·π/180 = 0,01 рад/м.
Участок АВ
Подставив в (16) M max | M AB | и J для квадратного поперечного сечения
участка АВ стержня получим
d AB  4
180 | M AB ||
180  200
4
= 0,1 м.
0,14       G
0,14  3,14  0,01  8  10 4  10 6
Участок ВС
14
Подставив в (16) M max | M BC | и J для кольцевого поперечного сечения
участка ВС стержня получим

d BC
4
32  180 | M AB ||
32  180  40
4
= 0,076 м.
2
4)
2
     G  (1  c
3,14  0,01  8  10 4  10 6  (1  0,6 4 )
За единый размер для обоих участков примем наибольший из четырех
рассчитанных выше
d  h  b  d AB = 0,1 м ≈ 100 мм.
Рис.4.1
Абсолютные углы закручивания  АВ и  ВС участков АВ и ВС стержня
определим из формул:
 AB 
M AB l1
M AB l1
200  0,5


= 0,89·10-4 рад.
4
4
GJ
G  0,14d
8  10  10 6  0,14  0,14
15
 BC  
M BC l 2
32M BC l 2
32  40  0,2
= -0,12·10-4 рад.


4
4
4
6
4
4
GJ
Gd (1  c )
8  10  10  3,14  0,1  (1  0,6 )
где в первой формуле J для квадратного поперечного сечения стержня , а во
второй - для его кольцевго поперечного сечения .
Определим абсолютный угол С закручивания свободного конца стержня:
А  0;
 B   A   AB = 0,89·10-4 рад.
 C   B   BC  0,89  10 4  0,12  10 4 = 0,77·10-4 рад.
Результаты расчета сведены в табл.
Таблица
M AB
M BC
d AB
d BC
Нм
200
-40
d AB
d BC
d
 АВ
19,8
100
С
10-4 рад
мм
31,6
 ВС
76
100
0,89
-0,12
0,77
По результатам расчетов строим эпюры внутренних крутящих моментов
M x и абсолютных углов  x закручивания сечений стержня, которые
показаны на рис. 4.1
Задание 7
Расчетная схема плоской составной конструкции примера задания 1
(вар.8) показана на рис. 7. Результаты расчета реакции Y A , M A , ее опор А и
С приведены в табл. примера этого же задания:
Р = 4 кН, М= 8 кНм ,а = 2 м
16
Рис.7
Требуется построить эпюры внутренних продольных N x и поперечных
Q y сил, а также внутренних изгибающих моментов M z в этой конструкции.
Решение. Для определения продольных N x и поперечных Q y сил, а
также изгибающих моментов M z на участках АВ и ВС рассматриваемой
составной конструкции воспользуемся методом сечений.
Запишем систему уравнений равновесия стержня на участке АЕ:
 X X
Y  Y
A
A
М  М
 Qx  0 ;
 Nx  0 ;
А
 X Ax  0,
где 0  х  12 м . Из этой системы определим:
N X  YA  6 кН;
QX  0 кН;
M z1 ( x)  M A  12 кН∙м.
17
На участке ЕВ:
 X X
A
 Nx  0 ;
Y  Y
A
 Qx  0 ;
М  М
А
 YA x  0 ,
где 0  х  2 м . Из этой системы определим:
N X  0 кН; QX  6 кН; M z1 ( x)  12  6x кН∙м. Мz(0) = 12 кН∙м. Мz(2) = 0 кН∙м.
На участке ВD:
 X X
Y  Y
 Nx  0 ;
A
 Qx  2,5P  0 ;
A
М  М
z
(2)  YA x  0 ,
где 0  х  2 м . Из этой системы определим:
N X  0 кН; QX  4 кН; M z1 ( x)  4 x кН∙м. Мz(0) = 0 кН∙м. Мz(2) = 8 кН∙м.
На участке DC:
 X X
Y  Y
 Nx  0 ;
A
A
М  М
 Qx  2,5P  0 ;
z
(2)  M  0 ,
где 0  х  2 м . Из этой системы определим:
N X  4 кН; QX  0 кН; M z1 (2)  8  8  0 кН∙м.
Построенные эпюры N x , Q y и M z показаны на рис. 7.1.
18
Рис.7.1
Задание 8
Задана пространственная стержневая конструкция, варианта 8 схемы 8
задания 2. : Р = 4кН, q = 2 кН/м, а = 4 м, Q = qa = 8 кН.
Используя исходные данные, расчетную схему и результаты расчета
реакций опор этой конструкции, выполненные в задании 2, требуется
построить эпюры продольных N x  Qx и поперечных Q y , Q z сил, крутящих
М кр  М x и изгибающих M y , M z моментов в ее стержнях.
Рис.8
19
Решение. Для определения продольной N x и поперечных Q y , Qz сил, а также
крутящего М кр и изгибающих M y и M z моментов на участках АВ, ВС, СЕ и
ЕD стержня рассматриваемой пространственной конструкции воспользуемся
методом сечений. В каждом сечении i – i будем отбрасывать наиболее
удаленную от опоры А часть конструкции и определять внутренние
продольную N x  Qxi и поперечные Q y  Q yi , Qz  Qzi силы, а также
внутренние крутящий М кр  М xi и изгибающие M y  M yi , M z  M zi .
Участок АВ (Рис.8.1):
Запишем систему уравнений равновесия:
 X N
ч
 Qx1  0 ;
 Z   qx
1
 QZ1  0
Рис. 8.1
Y   Y
B
 Qy1  0 ;
 М x11  М x1  0 ;
M
y1
 YB x1  М y1  0 ;
20
 М z11  qx12 / 2  М z1  0 ,
где 0  х1  а . Из этой системы определим:
Q x1  0 кН;
Q y1 ( x1 )  YB =
2кН; Q1Z ( x )  qa = 8 кН;
1
М x1  0
М y1 ( x1 )  М y1 (0)  0 ; М y ( x )  М y (a)  YB a = 8 кНм;
1
1
1
М z1 ( x1 )  М z1 (0)  0 ; М z ( x )  М z (a)  qa 2 / 2 = -16 кНм.
1
1
1
Участок ВС (Рис.8.2):
Рис.8.2
Запишем систему уравнений равновесия :
 X Y
B
 Qx 2  0 ;
Y Q  Q
Z  Q
z2
y2
 0;
 0;
21
М
 Qa / 2  М X 2  0 ;
x 2 2
M
M
Y 2 2
Z 2 2
 МY 2  0
 М Z 2  0 ;,
где 0  х  а /2,
2
Из этой системы определим:
Qx1  N X  YB = -2 кН;
Q y 2  Q  8
кН;
Qz 2  P  6 кН;
М x 2  Qa / 2 = -16 кНм;
М y 2 ( x2 )  0 ;
M Z 2 ( x2 )  0 ;
Участок СЕ (Рис.8.3):
Рис.8.3
Запишем систему уравнений равновесия в этом сечении:
 X P  Q  Q
x3
Y Y
B
 0;
 QY 3  0 ;
22
Z Q
3
M
M
Y 33
M
X3
 0;
 M X3  0;
 M Y 3  Qa / 2 = 0 ;
Z 33
 YB a  Mz 3  0 ,
M Z 3 ( x3 )
где 0  х3  а . Из этой системы определим:
Qx 3  Q  P = 4 кН;
Qy3 = -YB = -2 кН;
Qz 3   Pq  YB  6 кН;
M X3  0
M Y 3  Qa / 2 = -16 кНм;
M Z 3  YB a = 8кНм;
Участок ЕD (Рис.8.4):
Рис.8.4
23
Систему уравнений равновесия в этом стержне:
ΣX = YD – YB + Qx4 = 0
ΣY = Q – XD + Qy4 = 0
ΣZ = Qz4 = 0
ΣMx4-4 = Qa/2 + Mx4= 0
ΣMy4-4 = Qy4 = 0
ΣMz4-4 = Qz4 = 0
где 0  x4  а / 2 . Из этой системы определим:
Qx4 = YB – YD = 0
Qy4 = XD – Q = -4 кН.
Qz4 = 0
Mx4 = -Qa/2 = -16 кНм.
My4 = 0
Mz4 = 0
Эпюры внутренних усилий в конструкции показаны на рис. 8.5
24
Рис.8.5
25
Список использованной литературы
1. Савелькаев, С.В. Механика. Сопротивление материалов: практикум/С.В.
Савелькаев, М.Б. Устюгов, А.И. Совертков; под общ. ред. Савелькаева
С.В. – Новосибирск: СГГА, 2011. – 72 с.
2. Голипад Л. И., Совертков А. И. Сборник задач по механике
деформируемых тел: метод. разработки. – Новосибирск: НИИГАиК,
1985. – 57 с.
3. Федосеев, В.И. Сопротивление материалов/В.И. Федосеев. М.:
Наука,1979. – 560 с.
26