Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîå
ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ
¾Èðêóòñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò¿
Â. Ã. Àíòîíèê
×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå
Èðêóòñê, 2014
ÓÄÊ 519.6
ÁÁÊ 22.193
A72
Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà
Èðêóòñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà
Èçäàíèå âûõîäèò â ðàìêàõ Ïðîãðàììû ñòðàòåãè÷åñêîãî ðàçâèòèÿ
ÔÃÁÎÓ ÂÏÎ ¾ÈÃÓ¿ íà 20122016 ãã., ïðîåêò Ð12102002
Ðåöåíçåíòû:
A72
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê Î. Â. Õàìèñîâ;
êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. À. È. Áåíèêîâ
Àíòîíèê Â. Ã.
×èñëåííûå ìåòîäû : ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå / Â. Ã. Àíòîíèê. Èðêóòñê : Èçä-âî ÈÃÓ, 2014. 113 ñ.
ISBN ???-?-????-????-?
Ïîñîáèå ñîäåðæèò ìàòåðèàëû ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî êóðñó ¾×èñëåííûå ìåòîäû¿ (ðàçäåëû âû÷èñëèòåëüíàÿ àëãåáðà, ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç
è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ). Ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì, ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé è ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ,
ìåòîäû ðåøåíèÿ íà÷àëüíîé è êðàåâîé çàäà÷ äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.  íà÷àëå êàæäîãî ðàçäåëà ïðèâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå
òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ. Äàíû ðåøåíèÿ òèïîâûõ ïðèìåðîâ.
Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ âñåõ
ôîðì îáó÷åíèÿ â ðàìêàõ íàïðàâëåíèé ïîäãîòîâêè: ¾Ìàòåìàòèêà¿, ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà¿.
Áèáëèîãð. 3 íàçâ.
ÓÄÊ 519.6
ÁÁÊ 22.193
ISBN ???-?-????-????-?
c Àíòîíèê Â. Ã., 2014
c ÔÃÁÎÓ ÂÏÎ ¾ÈÃÓ¿, 2014
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Âñïîìîãàòåëüíûé ìàòåðèàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Íîðìû âåêòîðîâ è ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Ëèíåéíûå ñèñòåìû. Ìåòîä Ãàóññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Ìåòîä Ãàóññà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
ëèíåéíûõ ñèñòåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1. Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Ìåòîä Çåéäåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Ïðàâèëî ßêîáè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Ëèíåéíûå ñèñòåìû.
Ðåäóêöèÿ ê ýêñòðåìàëüíûì çàäà÷àì . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1. Âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3. Ìåòîä ìèíèìàëüíûõ íåâÿçîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4. Ìåòîä ìèíèìàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5. Ñèñòåìû ñ ïðÿìîóãîëüíûìè ìàòðèöàìè . . . . . . . . . . . . . . 40
6. Ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1. Âñïîìîãàòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Ìåòîä âðàùåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1. Ìåòîä èòåðàöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2. Ìåòîä Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3
7.3. Ìåòîäû ñîêðàùåíèÿ èíòåðâàëà ëîêàëèçàöèè . . . . . . . . . . . 61
7.4. Ìåòîä ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.5. Ìåòîä õîðä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.1. Èíòåðïîëèðîâàíèå ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2. Íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå . . . . . . . . . . 73
8.3. Íàèëó÷øåå ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . .76
8.4. Àïïðîêñèìàöèÿ ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíûõ
ìíîãî÷ëåíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.5. Êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1. Èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2. Ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ . . . . . . . . . . . . . . . 91
10. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.1. Ìåòîäû Ýéëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
10.2. Ìåòîäû Ðóíãå Êóòòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
10.3. Ìåòîäû Àäàìñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
11. Ëèíåéíàÿ äâóõòî÷å÷íàÿ çàäà÷à
äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12. Ëèíåéíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à
äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
.
4
Ââåäåíèå
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò ìàòåðèàëû ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî êóðñó
¾×èñëåííûå ìåòîäû¿, êîòîðûé ÷èòàåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè ¾Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà¿ Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè, ýêîíîìèêè è èíôîðìàòèêè Èðêóòñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Ðàññìàòðèâàþòñÿ èçáðàííûå âîïðîñû ðàçäåëîâ ¾Ìàòåìàòè÷åñêèé
àíàëèç¿ è ¾Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ¿. Óïðàæíåíèÿì ïðåäøåñòâóþò êðàòêèå ñâîäêè íåîáõîäèìûõ òåîðåòè÷åñêèõ ñâåäåíèé. Ðàçîáðàíû ðåøåíèÿ òèïîâûõ ïðèìåðîâ.  ñîäåðæàòåëüíîì ïëàíå ïîñîáèå ñîãëàñîâàíî
ñ êóðñîì ëåêöèé [1].
 ïåðâîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþòñÿ òî÷íûå è èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
(ìåòîä Ãàóññà, ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè, ìåòîä Çåéäåëÿ). Ïðèâîäèòñÿ ìåòîäèêà ñâåäåíèÿ èñõîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû ê ýêñòðåìàëüíûì çàäà÷àì.
Èçó÷àåòñÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.
Âî âòîðîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé: ìåòîä èòåðàöèé, ìåòîä Íüþòîíà, ìåòîäû ñîêðàùåíèÿ èíòåðâàëà ëîêàëèçàöèè.
 òðåòüåì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé.
Îïèñûâàþòñÿ ìåòîäû èíòåðïîëèðîâàíèÿ è íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ
ôóíêöèé â êëàññå ìíîãî÷ëåíîâ. Îáñóæäàåòñÿ ñïîñîá êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíîé àïïðîêñèìàöèè.
 ÷åòâåðòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ: ìåòîäû ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òðàïåöèé, ïàðàáîë. Îïèñûâàåòñÿ ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë.
Çàêëþ÷èòåëüíûé ïÿòûé ðàçäåë ïîñâÿùåí ìåòîäàì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
5
1. Âñïîìîãàòåëüíûé ìàòåðèàë
1.1. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ
Ïóñòü Rn âåùåñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n ñ êîîðäèíàòíûìè îðòàìè ei , i = 1, n. Âñÿêèé ýëåìåíò x ∈ Rn åñòü âåêòîð-ñòîëáåö ñ
êîîðäèíàòàìè x1 , . . . , xn . Äëÿ ïàðû x, y ∈ Rn îáîçíà÷èì îïåðàöèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
n
X
hx, yi =
x i yi .
i=1
Ïóñòü A (n × n)-ìàòðèöà ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè aij , i, j = 1, n.
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: AT òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà, A−1 îáðàòíàÿ ìàòðèöà, detA îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A. Êðîìå òîãî, îáîçíà÷èì E (n × n)-åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Îïðåäåëåíèå 1.1. Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ
1) äèàãîíàëüíîé, åñëè aij = 0, i 6= j ;
2) íèæíåé òðåóãîëüíîé, åñëè aij = 0, i < j ;
3) âåðõíåé òðåóãîëüíîé, åñëè aij = 0, i > j ;
4) íåâûðîæäåííîé, åñëè detA 6= 0;
5) îðòîãîíàëüíîé, åñëè AT A = E ;
6) ñèììåòðè÷íîé, åñëè AT = A;
7) ìàòðèöåé ñî ñòðîãèì äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì, åñëè
|aii | >
n
P
|aij |, i = 1, n.
j=1, i6=j
Îáðàçóåì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ñ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé A
hx, Axi =
n X
n
X
aij xi xj .
i=1 j=1
Îïðåäåëåíèå 1.2. Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé (A > 0), åñëè hx, Axi > 0 äëÿ ëþáîãî x 6= 0, íåîòðèöàòåëüíî
îïðåäåëåííîé (A > 0), åñëè hx, Axi > 0, x ∈ Rn .
6
Óïðàæíåíèå 1.1. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöû
3
5
à) A =
4
−
5
ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè.
√
4
1
3
5
2
2
; á) A =
1 √3
3
−
5
2 2
Óïðàæíåíèå 1.2. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöû
à) A =
2 −1
−1
2
!
; á) A =
1 1
!
1 4
ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûìè.
Óïðàæíåíèå 1.3. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ òðåóãîëüíûõ
ìàòðèö îäíîãî òèïà åñòü òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà òîãî æå òèïà.
Óïðàæíåíèå 1.4. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê òðåóãîëüíîé,
ñîõðàíÿåò ýòî ñâîéñòâî.
Îòìåòèì, ÷òî îïðåäåëèòåëü òðåóãîëüíîé ìàòðèöû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ åå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.
Îïðåäåëåíèå 1.3. ×èñëî λ íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì
(÷èñëîì) ìàòðèöû A, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð x 6= 0, ÷òî Ax = λx.
Ýòîò âåêòîð íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A, ñîîòâåòñòâóþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ. Ïðè ýòîì (λ, x) ñîáñòâåííàÿ ïàðà
ìàòðèöû A.
Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ, ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A è òîëüêî îíè
ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ det(A − λE) = 0.
Ýòî àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå ñòåïåíè n, êîòîðîå èìååò íà êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè n êîðíåé λi (A), i = 1, n. Ñïåêòðîì ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ
ñîâîêóïíîñòü åå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé: σ(A) = {λi (A)}. Ñïåêòðàëüíûé
ðàäèóñ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ρ(A) = max |λi (A)|.
16i6n
Óïðàæíåíèå 1.5. Ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé:
à) λ(αA) = αλ(A);
7
á) λ(A + B) = λ(A) + λ(B);
â) λ(Ak ) = λk (A), k = 2, 3, . . . .
Óïðàæíåíèå 1.6. Äëÿ ìàòðèö
−1
à) A =
4
3 −2
!
; á) A =
2 3
!
2 1
íàéòè ñïåêòð σ(A) è ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ρ(A).
Óïðàæíåíèå 1.7. Ïîêàçàòü, ÷òî
à) ñîáñòâåííûå ÷èñëà ïðÿìîé A è îáðàòíîé A−1 ìàòðèö ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì λ(A−1 ) = 1/λ(A);
á) ñîáñòâåííûå ÷èñëà òðåóãîëüíîé ìàòðèöû ñîâïàäàþò ñ åå äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè.
Îïðåäåëåíèå 1.4. Ìàòðèöà Bm , m = 1, n − 1 âèäà
1
...
Bm =
1
bm+1,m 1
..
...
.
bn,m
1
íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé íèæíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé.
−1
Óïðàæíåíèå 1.8. Ïîêàçàòü, ÷òî îáðàòíàÿ ìàòðèöà Bm
ÿâëÿåòñÿ
òàêæå ýëåìåíòàðíîé òðåóãîëüíîé è èìååò ñëåäóþùèé âèä
−1
Bm
=
1
...
.
1
−bm+1,m 1
..
...
.
−bn,m
8
1
Óïðàæíåíèå 1.9. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà B = B1 B2 . . . Bn−1 èìååò
ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó
−1
Bm
1
=
b21
.
1
b31 b32 1
..
...
.
1
bn1 bn2
. . . bn,n−1 1
1.2. Íîðìû âåêòîðîâ è ìàòðèö
Îïðåäåëåíèå 1.5. Ïóñòü x ∈ Rn . Âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ kxk íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîé íîðìîé, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå àêñèîìû:
1) kxk > 0, kxk = 0 ⇔ x = 0;
2) kαxk = |α| · kxk äëÿ ëþáîãî ÷èñëà α;
3) kx + yk 6 kxk + kyk.
Âûäåëèì íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå âåêòîðíûå íîðìû:
1) kxk1 =
n
P
|xi | îêòàýäðè÷åñêàÿ;
i=1
s
2) kxk2 =
n
P
i=1
x2i ñôåðè÷åñêàÿ (åâêëèäîâà);
3) kxk∞ = max |xi | êóáè÷åñêàÿ (÷åáûøåâñêàÿ).
16i6n
Óïðàæíåíèå 1.10. ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ f (x) íîðìîé âåêòîðà x â
Rn ?
à) f (x) = max
t∈[0,1]
n
X
xi t
i−1
;
á) f (x) = max
t∈[0,1]
i=1
n
X
xi ti .
i=1
Óïðàæíåíèå 1.11. Ïóñòü Q îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, x ∈ Rn . Ïîêàçàòü, ÷òî kQxk2 = kxk2 .
Îïðåäåëåíèå 1.6. Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ kAk íàçûâàåòñÿ ìàòðè÷íîé íîðìîé, åñëè âûïîëíåíû
9
ñëåäóþùèå àêñèîìû:
1) kAk > 0 , kAk = 0 ⇔ A = 0;
2) kαAk = |α| · kAk äëÿ ëþáîãî ÷èñëà α;
3) kA + Bk 6 kAk + kBk;
4) kABk 6 kAk · kBk.
Çäåñü B (n × n)-ìàòðèöà.
Óêàæåì íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå ìàòðè÷íûå íîðìû:
1) kAk1 = max
ñêàÿ);
n
P
16j6n i=1
|aij | ìàêñèìàëüíàÿ ñòîëáöîâàÿ íîðìà (îêòàýäðè÷å-
2) kAk2 = max
p
λi (AT A) ñïåêòðàëüíàÿ íîðìà (åâêëèäîâà);
16i6n
n
P
3) kAk∞ = max
|aij | ìàêñèìàëüíàÿ ñòðî÷íàÿ íîðìà (êóáè÷åñêàÿ);
16i6n j=1
s
n P
n
P
a2ij íîðìà Ôðîáåíèóñà.
4) kAkF =
i=1 j=1
Óïðàæíåíèå 1.12. Ïîêàçàòü, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ íîðìà ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû ðàâíà åå ñïåêòðàëüíîìó ðàäèóñó.
Óïðàæíåíèå 1.13. Äëÿ ìàòðèöû
1 0 0
A=
0
1
0
0 −3 2
âû÷èñëèòü kAk1 , kAk2 , kAk∞ , kAkF .
Óïðàæíåíèå 1.14. Ïîêàçàòü, ÷òî kAk k 6 kAkk , k = 2, 3, . . . .
Óïðàæíåíèå 1.15. Ïóñòü Q îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïîêàçàòü, ÷òî
à) kQAk2 = kAk2 ;
á) kQAkF = kAkF .
Óïðàæíåíèå 1.16. ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ
F (A) = max |aij |
16i,j6n
íîðìîé ìàòðèöû A?
10
Óïðàæíåíèå 1.17. Ïîêàçàòü, ÷òî kEk > 1.
Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó âåêòîðíûìè è ìàòðè÷íûìè íîðìàìè.
Îïðåäåëåíèå 1.7. Íîðìà ìàòðèöû kAk íàçûâàåòñÿ ñîãëàñîâàííîé ñ
âåêòîðíîé íîðìîé kxk, åñëè ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
kAxk 6 kAk · kxk, x ∈ Rn .
Îïðåäåëåíèå 1.8. Ìàòðè÷íàÿ íîðìà kAk íàçûâàåòñÿ ïîä÷èíåííîé
âåêòîðíîé íîðìå kxk, åñëè
kAk = max
x6=0
kAxk
.
kxk
Óïðàæíåíèå 1.18. Ïîêàçàòü, ÷òî kAkF ñîãëàñîâàíà ñ kxk2 .
Óïðàæíåíèå 1.19. Ïîêàçàòü, ÷òî kAk∞ ïîä÷èíåíà ïî îòíîøåíèþ ê
kxk∞ .
11
2. Ëèíåéíûå ñèñòåìû. Ìåòîä Ãàóññà
2.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ A = {aij }, i, j = 1, n è âåêòîðîì ñâîáîäíûõ êîìïîíåíò b =
= (b1 , . . . , bn ) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî âåêòîðà x = (x1 , . . . , xn ) çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ,
(2.1)
...
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå
Ax = b.
(2.1)
Îòìåòèì, ÷òî äâå ñèñòåìû âèäà (2.1) íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè,
åñëè ìíîæåñòâà èõ ðåøåíèé ñîâïàäàþò.
Êàê èçâåñòíî, åñëè ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ A íåâûðîæäåíà, òî ñèñòåìà (2.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x∗ .
Óêàæåì îäèí êëàññ ëèíåéíûõ ñèñòåì, ðåøåíèå êîòîðûõ ïðîâîäèòñÿ
ýëåìåíòàðíî. Ïóñòü A âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Òîãäà ñèñòåìà
(2.1) èìååò âèä
n
X
aij xj = bi , i = 1, n
j=i
(òðåóãîëüíàÿ ñèñòåìà). Â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî detA 6= 0, åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå òàêîé ñèñòåìû íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì
bn
1
x∗n =
, x∗i =
ann
aii
bi −
n
X
!
j=i+1
12
aij x∗j , i = n − 1, 1.
Óïðàæíåíèå 2.1. Óêàçàòü ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ íèæíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé A.
Îäíîé èç îñíîâíûõ èäåé ïðè ïîñòðîåíèè ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ
ñèñòåì â îáùåé ïîñòàíîâêå (2.1) ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå èñõîäíîé ñèñòåìû ê ýêâèâàëåíòíîé ñ òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé.
Îòìåòèì, ÷òî ìåòîäû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ìîæíî ðàçäåëèòü íà
äâå ãðóïïû: òî÷íûå (ïðÿìûå) è èòåðàöèîííûå. Òî÷íûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò íàéòè ðåøåíèå ñèñòåìû çà êîíå÷íîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé.
Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ýòî ìåòîäû ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé,
êîòîðûå ïîçâîëÿþò íàéòè òî÷íîå ðåøåíèå â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðèáëèæåíèé. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ýòîãî òèïà çà êîíå÷íîå ÷èñëî
èòåðàöèé ìîæíî íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ.
2.2. Ìåòîä Ãàóññà
Îïèøåì îäèí ìåòîä ðåøåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû (2.1), îòíîñÿùèéñÿ
ê êëàññó òî÷íûõ ìåòîäîâ, ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ (ìåòîä Ãàóññà ). Àëãîðèòì èñêëþ÷åíèÿ ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè øàãîâ.
Øàã 1. Èñêëþ÷åíèå íåèçâåñòíîé x1 èç âñåõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (2.1),
êðîìå ïåðâîãî.
Ïóñòü a11 6= 0. Òîãäà èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âûðàæàåì x1
x1 = −
a12 x2 + . . . + a1n xn − b1
a11
(2.2)
÷åðåç îñòàëüíûå íåèçâåñòíûå è ïîäñòàâëÿåì (2.2) âî âñå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.1), íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷àåì ïðåîáðà-
13
çîâàííóþ èñõîäíóþ ñèñòåìó âèäà
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,
(1)
(1)
(1)
a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ,
(2.3)
...
(1)
(1)
(1)
an2 x2 + . . . + ann xn = bn ,
(1)
(1)
ãäå ýëåìåíòû aij , bi , i, j = 2, n ïîëó÷åíû ïî ôîðìóëàì
(1)
aij =
a11 aij − a1j ai1 (1) a11 bi − b1 ai1
, bi =
.
a11
a11
(2.4)
Îòìåòèì, ÷òî ýëåìåíò a11 â äàííîì ñëó÷àå íîñèò íàçâàíèå âåäóùåãî
ýëåìåíòà ïåðâîãî øàãà. Åñëè â ñèñòåìå (2.1) a11 = 0, òî â ïåðâîì ñòîëáöå
ìàòðèöû A, â ñèëó åå íåâûðîæäåííîñòè, íàéäåòñÿ íåíóëåâîé ýëåìåíò
ai1 .  ýòîì ñëó÷àå ïåðåä âûïîëíåíèåì øàãà 1 íåîáõîäèìî ïåðåñòàâèòü
óðàâíåíèÿ ñ íîìåðàìè 1 è i è ïîñëå ýòîãî ïðîâîäèòü èñêëþ÷åíèå x1 .
(1)
Óêàæåì ïðîñòîå äëÿ çàïîìèíàíèÿ ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ aij
(1)
è bi . Ñ ýòîé öåëüþ ïðåäñòàâèì ôîðìóëû (2.4) â âèäå
det
(1)
aij =
a11 a1j
ai1 aij
a11
!
det
(1)
, bi =
a11 b1
ai1 bi
a11
!
.
(2.5)
Îòìåòèì, ÷òî (2 × 2)-ïîäìàòðèöû, ôèãóðèðóþùèå â (2.5), ëåãêî âûäåëÿþòñÿ èç ðàñøèðåííîé ìàòðèöû A = (A, b). Äëÿ èõ ôîðìèðîâàíèÿ
óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì ïðÿìîóãîëüíèêà : ïðè âû÷èñëåíèè ýëå(1)
(1)
ìåíòà aij , ( bi ) íåîáõîäèìî â ìàòðèöå A íà ýëåìåíòå aij , ( bi ) è âåäóùåì
ýëåìåíòå a11 âîññòàíîâèòü ïðÿìîóãîëüíèê.
Øàã 2. Èñêëþ÷åíèå íåèçâåñòíîé x2 èç âñåõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (2.3),
êðîìå ïåðâûõ äâóõ.
(1)
Ïóñòü a22 6= 0. Òîãäà èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ âûðàæàåì x2
(1)
x2 = −
(1)
(1)
a23 x3 + . . . + a2n xn − b2
(1)
a22
14
(2.6)
÷åðåç îñòàëüíûå íåèçâåñòíûå è ïîäñòàâëÿåì (2.6) âî âñå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.3), íà÷èíàÿ ñ òðåòüåãî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñèñòåìó
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1 ,
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2 ,
a33 xn + . . . + a3n xn = b3 ,
...
(2)
an3 x3 + . . . + ann xn = bn ,
(2)
(2)
ãäå ýëåìåíòû aij , bi , i, j = 3, n ïîñëå âòîðîãî øàãà ïîëó÷åíû ïî ôîðìóëàì
det
(2)
aij =
(1)
a22
(1)
ai2
(1)
a22
(1)
a2j
(1)
aij
!
(1)
a22
(1)
ai2
(1)
a22
det
(2)
, bi =
(1)
b2
(1)
bi
!
.
(1)
(1)
Ýëåìåíò a22 íàçûâàåòñÿ âåäóùèì ýëåìåíòîì âòîðîãî øàãà. Åñëè a22 =
= 0, òî íåîáõîäèìî ïåðåñòàâèòü âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2.3) ñ îäíèì
èç íèæåñëåäóþùèõ.
Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ èñêëþ÷åíèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî
(2)
(n−2)
a33 6= 0, . . . , an−1,n−1 6= 0,
ïîñëå (n − 1)-ãî øàãà èñêëþ÷åíèÿ ïîëó÷èì ïðåîáðàçîâàííóþ èñõîäíóþ
ñèñòåìó
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn
(1)
= b1 ,
(1)
(1)
= b2 ,
(2)
(2)
= b3 ,
a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn
a33 xn + . . . + a3n xn
(1)
(2)
(2.7)
...
(n−1)
ann
(n−1)
xn = bn
.
Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (2.7) ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé. Åå ðåøåíèå ïðîâîäèòñÿ ýëåìåíòàðíî (ñì. ï. 2.1), ÷òî è çàâåðøàåò ðåàëèçàöèþ ìåòîäà
Ãàóññà.
15
Ïåðåõîä îò ñèñòåìû (2.1) ê òðåóãîëüíîé ñèñòåìå (2.7) íàçûâàåòñÿ ïðÿ-
ìûì õîäîì ìåòîäà Ãàóññà, à ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèÿ êîìïîíåíò ðåøåíèÿ
ñèñòåìû (2.7) îáðàòíûì õîäîì ìåòîäà.
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëå ïðîâåäåíèÿ ïðÿìîãî õîäà ìåòîäà Ãàóññà ìîæíî
ðåøèòü çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû A
(1)
detA = (−1)k a11 a22 · · · a(n−1)
,
nn
ãäå k êîëè÷åñòâî ïåðåñòàíîâîê ñòðîê â ìàòðèöàõ ïðè âûáîðå âåäóùèõ
ýëåìåíòîâ.
Ïðèìåð 2.1. Ðåøèòü ëèíåéíóþ ñèñòåìó ìåòîäîì Ãàóññà
x1 − 2x2 + 3x3 = 1,
2x1 + 3x2 − x3 = 2,
−x − x + x = 3.
1
2
3
Ðåøåíèå. Äëÿ óäîáñòâà âû÷èñëåíèé ðàññìîòðèì ðàñøèðåííóþ
(n×(n+1))-ìàòðèöó A, ïîëó÷åííóþ ïðèñîåäèíåíèåì ê ìàòðèöå A ñòîëáöà b
A=
1 −2
3 1
3 −1 2
.
−1 −1 1 3
2
Ïðîâåäåì ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî íåîáõîäèìî áóäåò
âûïîëíèòü äâà øàãà. Âåäóùèé ýëåìåíò ïåðâîãî øàãà a11 . Òîãäà
det
(1)
(1)
a22 = a22 =
(1)
a23 = a23 =
(1)
a21 a22
=
a24 = b2 =
a11 a13
a21 a23
a11 b1
a21 b2
a11
16
1 · 3 − (−2) · 2
= 7,
1
!
a11
det
(1)
!
a11
det
(1)
a11 a12
=
!
1 · (−1) − 3 · 2
= 7,
1
=
1·2−1·2
= 0.
1
Àíàëîãè÷íî:
(1)
(1)
(1)
a32 = −3, a33 = 4, a34 = 4.
Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïåðâîãî øàãà ïîëó÷èëè ïðåîáðàçîâàííóþ ìàòðèöó
A
1 −2 3 1
=
0 7 −7 0 .
0 −3 4 4
(1)
 ðåçóëüòàòå âòîðîãî øàãà èìååì
(2)
A
1 −2
=
0
3 1
7 −7 0
0 1 4
0
(1)
(âåäóùèé ýëåìåíò a22 ).
Ïîëó÷èëè òðåóãîëüíóþ ñèñòåìó
x1 − 2x2 + 3x3 = 1,
7x2 − 7x3 = 0,
x3 = 4.
Ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿåì êîìïîíåíòû åå ðåøåíèÿ
x∗3 = 4, x∗2 = 4, x∗1 = −3.
Ïðè ýòîì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A ðàâåí
detA = 1 · 7 · 1 = 7.
Èòàê, ðåøåíèåì ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ âåêòîð
x∗ =
−3
4
. 4
17
2.3. Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îáðàùåíèÿ ìàòðèöû A ïîèñêà ìàòðèöû A−1 .
Ïî îïðåäåëåíèþ îáðàòíàÿ ìàòðèöà A−1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ìàòðè÷íîãî
óðàâíåíèÿ
AX = E.
Ðàñïèøåì ýòî óðàâíåíèå ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû X .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
n ëèíåéíûõ ñèñòåì âèäà
Ax = ei , i = 1, n.
(2.8)
Ïðè ýòîì ðåøåíèåì i-é ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ i-é ñòîëáåö îáðàòíîé ìàòðèöû
A−1 . Äëÿ ðåøåíèÿ êàæäîé èç ñèñòåì (2.8) ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, ìåòîä Ãàóññà.
Ïðèìåð 2.2.
2 1
A=
−1 1
!
.
Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó A−1 ìåòîäîì Ãàóññà.
Ðåøåíèå. Äëÿ óäîáñòâà ðåàëèçàöèè ìåòîäà ðàññìîòðèì ðàñøèðåííóþ (2 × 4)-ìàòðèöó A, ïîëó÷åííóþ ïðèñîåäèíåíèåì ê ìàòðèöå A åäèíè÷íîé ìàòðèöû E
A=
2 1 1 0
−1 1 0 1
!
.
Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà ïîòðåáóåò âûïîëíåíèÿ òîëüêî îäíîãî øàãà.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
A
(1)
2 1 1 0
.
=
3 1
0
1
2 2
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîèñêà ñòîëáöîâ îáðàòíîé ìàòðèöû A−1 íåîáõîäèìî
18
ðåøèòü äâå òðåóãîëüíûå ñèñòåìû
2x1 + x2 = 1,
3
1
x2 = ,
2
2
2x1 + x2 = 0,
3
x2 = 1.
2
Ðåøåíèÿìè ýòèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû:
1
−3
x=
2 .
3
1
3
x=
1 ,
3
 èòîãå èìååì
1
1
3 −3
. =
1
2
3
3
A−1
Óïðàæíåíèÿ
1. Íàéòè ðåøåíèå ëèíåéíîé ñèñòåìû ìåòîäîì Ãàóññà. Ïîäñ÷èòàòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ:
1.1.
1.2.
1.3.
2x1 + 2x2 + x3 = 2,
−x1 + 2x2 − x3 = −12,
x + 2x + 2x = 4.
1
2
3
2x1 + x2 + x3 = 6,
2x1 + 3x2 − x3 = 2,
x + 3x + 2x = 2.
1
2
3
x1 +
x2 + 2x3 = −2,
x1 + 2x2 + 2x3 = 1,
−x + x + 2x = −1.
1
2
3
19
1.4.
−2x1 +
x2 + 3x3 = 1,
2x1 + 2x2 − 2x3 = −1,
−x + 2x − 3x = 3.
1
2
3
1.5.
−x1 + 2x2 −
1.6.
x3 = 2,
3x1 −
x2 − 2x3 = 3,
x1 −
x2 + 2x3 = 1.
2x1 − 3x2 + 2x3 = 2,
x1 − 2x2 + x3 = 2,
2x − x − 3x = −1.
1
2
3
1.7.
2x1 + 2x2 + 2x3 = 1,
x1 +
−x +
1
1.8.
2x1
−x
1
−2x1
2x
1
1.9.
x2 −
x3 = −1,
x2 + 2x3 = 2.
− 2x2 +
x3 + 2x4 = 9,
+
x2 −
x3 − 2x4 = −5,
+
x2 +
x3 + 3x4 = 2,
−
x2 + 3x3 + 2x4 = −1.
2x1 + 2x2 +
x3 + 4x4 = −5,
3x1 + 3x2 −
x3 + 4x4 = −8,
x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 = −1,
−4x − 2x + 3x + x = 0.
1
2
3
4
20
1.10.
4x1
2x
1
x1
2x
1
+ 2x2 + 2x3 +
x4 = 14,
+
x2 −
x3 −
x4 = 5,
+
x2 + 3x3 +
x4 = 2,
−
x2 + 3x3 + 2x4 = 7.
2. Äëÿ çàäàííîé ìàòðèöû A íàéòè îáðàòíóþ A−1 . Ïîäñ÷èòàòü detA:
2.1.
2
1 1
A=
3
2 1
.
1 −1 2
2.2.
2 3 −2
.
A=
−1
1
1
2 −1 −3
2.3.
−4 2 −2
A=
−1 −1 2 .
1 2 −3
2.4.
A=
2.5.
−2 1
1
3 2 −1
.
−1 1 2
1 −3 2
.
A=
−3
4
−1
1 1 1
2.6.
−1
A=
−3
2 −1
2 −1
.
−4 −2 −1
21
2.7.
2 4 2
.
A=
−3
−6
2
2 −1 2
2.8.
1 −2 −2
A=
1 −2 1 .
1 −1 −1
2.9.
2 −1 2
.
A=
1
−2
−1
2 1 4
2.10.
−1 3 −1
A=
−1 2
1
.
1 1 −2
22
3. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
3.1. Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó â ñëåäóþùåé ïîñòàíîâêå
x = Bx + c,
(3.1)
ãäå B (n × n)-ìàòðèöà, c n-ìåðíûé âåêòîð.
Îðãàíèçóåì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïîèñêà ðåøåíèÿ x∗ ñèñòåìû (3.1)
ïî ïðàâèëó
xk+1
i
=
n
X
bij xkj + ci , i = 1, . . . , n, k = 0, 1, . . . .
(3.2)
j=1
Çäåñü k íîìåð èòåðàöèè, xk k -å ïðèáëèæåíèå, x0 íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå. Ïðàâèëî (3.2) ïåðåõîäà îò xk ê xk+1 íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ïðîñòîé
èòåðàöèè.
Ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ìåòîäà.
Òåîðåìà 3.1. Åñëè kBk < 1, òî ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè ñõîäèòñÿ
(xk → x∗ , k → ∞) ïðè ëþáîì âûáîðå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ x0 .
Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìåòîäà õàðàêòåðèçóåòñÿ íåðàâåíñòâîì
kxk+1 − x∗ k 6 kBk · kxk − x∗ k. Îöåíêà ïîãðåøíîñòè èìååò âèä
kxk − x∗ k 6
kBk
kxk − xk−1 k.
1 − kBk
(3.3)
Ïóñòü ε > 0 çàäàííàÿ òî÷íîñòü ðåøåíèÿ. Ãîâîðÿò, ÷òî âåêòîð x
ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì ðåøåíèåì ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ òî÷íîñòüþ ε,
åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
kx − x∗ k 6 ε.
Òîãäà â ñèëó (3.3) óñëîâèåì îñòàíîâêè ìåòîäà ìîæåò ñëóæèòü ñîîòíîøåíèå
kBk
kxk − xk−1 k 6 ε.
1 − kBk
23
 ýòîì ñëó÷àå xk ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì ðåøåíèåì ñ òî÷íîñòüþ ε.
3.2. Ìåòîä Çåéäåëÿ
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó â âèäå (3.1). Îïèøåì èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ ïîèñêà ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû. Ïóñòü íà k -ì øàãå (k = 0, 1, . . .)
èìååòñÿ ïðèáëèæåíèå xk . Îïðåäåëèì 1-þ êîìïîíåíòó (k + 1)-ãî ïðèáëèæåíèÿ ïî ìåòîäó ïðîñòîé èòåðàöèè:
xk+1
= b11 xk1 + b12 xk2 + . . . + b1n xkn + c1 .
1
Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû (3.1) äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè xk+1
2 . Ïðè ýòîì ó÷èòûâàåì, ÷òî ïåðâàÿ êîîðäèíàòà î÷åðåäíîãî
ïðèáëèæåíèÿ óæå íàéäåíà. Ïîëó÷àåì
xk+1
= b21 xk+1
+ b22 xk2 + . . . + b2n xkn + c2 .
2
1
Ïðîäîëæàÿ äåéñòâîâàòü ïî ýòîé ñõåìå, èìååì
k
k
xk+1
= bi1 xk+1
+ . . . + bi,i−1 xk+1
1
i
i−1 + bii xi + . . . + bin xn + ci =
=
i−1
X
bij xk+1
j
+
j=1
n
X
bij xkj + ci , i = 1, n.
(3.4)
j=i
Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè, ïðè ïîäñ÷åòå
xk+1
, i = 2, . . . , n èñïîëüçóþòñÿ óæå èçâåñòíûå êîîðäèíàòû íîâîãî ïðèi
áëèæåíèÿ xk+1
j , j = 1, . . . , i − 1. Ðàñ÷åòíàÿ ôîðìóëà (3.4) îïðåäåëÿåò
ìåòîä Çåéäåëÿ äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû (3.1).
Òåîðåìà 3.2. Åñëè kBk∞ < 1, òî ìåòîä Çåéäåëÿ ñõîäèòñÿ ïðè ëþáîì
âûáîðå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ x0 .
Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìåòîäà îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì
kxk+1 − x∗ k∞ 6 µkxk − x∗ k.
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè èìååò âèä
kxk − x∗ k∞ 6
µ
kxk − xk−1 k∞ , k = 1, 2, . . . ,
1−µ
24
(3.5)
i−1
n
X
X
βi
ãäå µ = max
, αi =
|bij |, βi =
|bij |. Ïðè ýòîì êà÷åñòâî
16i6n 1 − αi
j=1
j=i
ìîäèôèêàöèè õàðàêòåðèçóåòñÿ íåðàâåíñòâîì µ 6 kBk∞ . Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ìåòîäà Çåéäåëÿ íå íèæå, ÷åì ó ìåòîäà ïðîñòîé
èòåðàöèè.
Îòìåòèì, ÷òî ìåòîäû ïðîñòîé èòåðàöèè è Çåéäåëÿ ïðèìåíèìû ê ëèíåéíûì ñèñòåìàì, çàäàííûì â âèäå (3.1), óäîáíîì äëÿ èòåðàöèé. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó â íîðìàëüíîé ôîðìå
Ax = b
(3.6)
è îïèøåì îäèí èç ñïîñîáîâ ïðèâåäåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ê ïðåäñòàâëåíèþ (3.1).
3.3. Ïðàâèëî ßêîáè
Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.6) âûðàçèì x1 :
x1 = −
a13
a1n
b1
a12
x2 −
x3 − . . . −
xn +
.
a11
a11
a11
a11
Àíàëîãè÷íî âòîðîå óðàâíåíèå ðàçðåøèì îòíîñèòåëüíî x2 :
x2 = −
a21
a23
a2n
b2
x1 −
x3 − . . . −
xn +
.
a22
a22
a22
a22
È òàê äàëåå
xn = −
an1
an2
an,n−1
bn
x1 −
x2 − . . . −
xn−1 +
.
ann
ann
ann
ann
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó â âèäå (3.1), ãäå
B=
0
−
an1
ann
a12
a1n
−
... −
a11
a11
...
an2
−
...
0
ann
25
,
c
=
b1
a11
...
bn
ann
.
Óïðàæíåíèå 3.1. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè A ìàòðèöà ñî ñòðîãèì äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì, òî äëÿ ìåòîäîâ ïðîñòîé èòåðàöèè è Çåéäåëÿ
âûïîëíåíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè.
Ïðèìåð 3.1.
(
4x1 + x2
x1
= 2,
+ 3x2 = 1,
x0 =
1
!
2
.
Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î ñõîäèìîñòè ìåòîäà.
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì ßêîáè äëÿ ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìû
ê âèäó, óäîáíîìó äëÿ èòåðàöèé
1
x1 = − x2 +
4
x2 = − 1 x1 +
3
Çäåñü
1
,
2
1
.
3
(3.7)
1
1
0
−
4
, c = 2 .
B=
1
1
−
0
3
3
Ïðèìåíèì òåïåðü ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó (3.2) ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
1
1
x11 = − x02 + = 0,
4
2
1
1
x12 = − x01 + = 0.
3
3
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (3.3), îöåíèì ïîãðåøíîñòü íàéäåííîãî ïðèáëèæåíèÿ x1 . Ïðîâåäåì íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ
kBk∞
1 1
= max
,
4 3
=
1
, kx1 − x0 k∞ = max{1, 2} = 2.
3
Ñëåäîâàòåëüíî,
kx1 − x∗ k∞ 6
1
3
1
1−
3
26
· 2 = 1. Ïîñêîëüêó kBk∞ < 1 (èñõîäíàÿ ìàòðèöà A ìàòðèöà ñî ñòðîãèì äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì), òî ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè ñõîäèòñÿ.
Ïðèìåð 3.2. Â óñëîâèÿõ ïðèìåðà 3.1 ïðîâåñòè îäíó èòåðàöèþ ìåòîäà
Çåéäåëÿ. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Ðåøåíèå. Íàïîìíèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà ßêîáè ìû óæå ïðèâåëè
èñõîäíóþ ñèñòåìó ê âèäó (3.7). Ñëåäóÿ ïðàâèëó (3.4), ïîëó÷èì
1
1
x11 = − x02 + = 0,
4
2
1
1 1
x12 = − x11 + = .
3
3 3
Ïîëó÷èì îöåíêó ïîãðåøíîñòè, âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâîì (3.5). Ñ
ýòîé öåëüþ ïîäñ÷èòàåì
1
1
, β1 = , β2 = 0,
3
4
1
1
5
5
µ = max
, 0 = , kx1 − x0 k∞ = max 1,
= .
4
4
3
3
 èòîãå èìååì
1
5 5
kx1 − x∗ k∞ 6 4 · = . 1 3 9
1−
4
α1 = 0, α2 =
Óïðàæíåíèÿ
1. Äëÿ ñëåäóþùèõ ñèñòåì ïðîâåñòè îäèí øàã
à) ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè;
á) ìåòîäà Çåéäåëÿ.
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ:
1.1.
6x1 +
x2 − 2x3 = 1,
x1 + 5x2 + x3 = 2,
x + 2x + 4x = 3,
1
2
3
x0 =
27
1
2
.
−1
1.2.
−4x1 +
x2 +
2x1 + 4x2 +
1.3.
x1
2x3 = −1,
x3 = 2,
+3x3 = 1,
3x1 +
x3 = 2,
−5x1 −
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
x1 +
x2 +
3x2 −
0
.
x0 =
−2
1
2
x0 =
4
.
−1
x3 = 1,
x3 = 1,
x0 =
x1 + 5x2 + 2x3 = −1,
−x + x + 4x = 1,
1
2
3
1.4.
x2 − 3x3 = −3,
3x1 + x2 − x3 = 2,
2x1 + 4x2 + x3 = 2,
x + 2x + 5x = 3,
1
2
3
4x1 + x2 + 2x3 = 2,
2x1 + 4x2 − x3 = −1,
−x + x + 5x = 3,
1
2
3
6x1 + 2x2 − 3x3 = 2,
2x1 + 5x2 + 2x3 = −1,
2x + x + 8x = 4,
1
2
3
5x1 − x2 + 3x3 = 1,
x1 + 3x2 − x3 = 4,
3x + x + 5x = −2,
1
2
3
28
−1
3
.
0
2
.
x0 =
−2
1
1
x0 =
3
.
−1
−3
x0 =
2
.
1
x0 =
2
1
.
−1
1.9.
−4x1 +
x2 + 2x3 = 1,
2x1 + 6x2 + 3x3 = 7,
−x + x + 3x = 2,
1
2
3
1.10.
9x1 + 4x2 −
x3 = 1,
−x1 + 4x2 − 2x3 = 2,
x1 − 3x2 + 6x3 = 1,
1
.
x0 =
−1
−1
0
x0 =
1
.
1
2. Èñïîëüçóÿ ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè, íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå xe
ñèñòåìû ñ òî÷íîñòüþ ε:
2.1.
5x1 + 2x2 +
x3 = −1,
x1 + 6x2 + x3 = 2,
x + 2x − 4x = 2,
1
2
3
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
x0 =
1
0
,
−1
3x1 +
x2 +
x3 = 1,
2x1 + 4x2 +
x3 = 1,
x −
1
x0 =
x2 + 5x3 = 1,
1
,
−1
x3 = 1,
x1 − 2x2
= 1,
x + 2x − 4x = 2,
1
2
3
0
x =
5x1 +
x2 +
1
1
0
,
−1
4x1 +
x2 −
x3 = 2,
x1 + 3x2 +
x3 = 3,
x +
1
x2 + 4x3 = 2,
x0 =
0 ,
0
3x1 +
x2
= 1,
−x1 + 4x2 − x3 = 1,
−x + x + 3x = 2,
1
2
3
29
0
ε = 1.
ε = 1.
ε = 1.
ε = 1.
0
x0 =
1
,
0
ε = 1.
4. Ëèíåéíûå ñèñòåìû. Ðåäóêöèÿ ê ýêñòðåìàëüíûì
çàäà÷àì
4.1. Âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ïðîñòðàíñòâå Rn .
Îïðåäåëåíèå 4.1. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â
òî÷êå x ∈ Rn , åñëè äëÿ ëþáîãî ïðèðàùåíèÿ ∆x ∈ Rn , ∆x 6= 0 èìååò
ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå
f (x + ∆x) − f (x) = h`(x), ∆xi + o(k∆xk),
(4.1)
ãäå `(x) ∈ Rn , îñòàòîê o(k∆xk) îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì
o(k∆xk)
→ 0, k∆xk → 0.
k∆xk
(4.2)
Îòìåòèì, ÷òî âåêòîð `(x) íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì ôóíêöèè f â òî÷êå
x è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ∇f (x). Âåêòîð −∇f (x) íàçûâàåòñÿ àíòèãðàäèåíòîì ôóíêöèè f â òî÷êå x.
Ñîãëàñíî (4.1), ∇f (x) åñòü âåêòîð, ñîñòàâëåííûé èç ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè f :
∇f (x) =
∂f (x)
∂f (x)
...
∂x1
∂xn
.
Ïðèìåð 4.1. Íàéòè ãðàäèåíò ôóíêöèè
1
f (x) = hx, Axi, AT = A.
2
Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì 4.1. Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ
ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè f
1
1
f (x + ∆x) − f (x) = hx + ∆x, A(x + ∆x)i − hx, Axi =
2
2
1
1
= hx, Axi + hAx, ∆xi + h∆x, A∆xi−
2
2
30
1
1
− hx, Axi = hAx, ∆xi + h∆x, A∆xi.
2
2
Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî (4.2). Â ñîãëàñîâàííûõ íîðìàõ èìååì ñëåäóþùóþ îöåíêó
|h∆x, A∆xi| 6 k∆xk · kA∆xk 6 kAk · k∆xk2 .
Îòñþäà
1
h∆x, A∆xi
2
→ 0 ïðè k∆xk → 0.
k∆xk
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
∇f (x) = Ax. Ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: íàéòè òî÷êó x∗ ∈ Rn , òàêóþ, ÷òî
f (x∗ ) 6 f (x), ∀x ∈ Rn .
Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå òî÷êà x∗ íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà
ôóíêöèè f (x) íà Rn èëè ðåøåíèåì çàäà÷è íà ìèíèìóì
f (x) → min, x ∈ Rn .
(4.3)
Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x∗ . Òîãäà, åñëè x∗ ðåøåíèå çàäà÷è (4.3), òî
∇f (x∗ ) = 0.
(4.4)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðàâåíñòâî (4.4) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ìèíèìóìà ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x∗ .
Îïðåäåëåíèå 4.2. Âåêòîð p ∈ Rn íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåíèåì ñïóñêà
ôóíêöèè f â òî÷êå x, åñëè f (x + αp) < f (x) äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ α.
Óòâåðæäåíèå 4.1. Ïóñòü ∇f (x) 6= 0. Òîãäà âåêòîð p ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ñïóñêà, åñëè hp, ∇f (x)i < 0.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âåêòîð p = −∇f (x) ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì
ñïóñêà ôóíêöèè f (x) â òî÷êå x.
31
Óòâåðæäåíèå 4.2. Âåêòîð −∇f (x) óêàçûâàåò íàïðàâëåíèå ñêîðåéøåãî óáûâàíèÿ ôóíêöèè f â òî÷êå x.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ àíòèãðàäèåíò â òî÷êå x ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé êàñàòåëüíîé ê ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå è íàïðàâëåííûé â ñòîðîíó óáûâàíèÿ
ôóíêöèè. Óêàæåì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ (x∗ òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè f (x)).
4.2. Ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó
Ax = b,
(4.5)
ãäå A (n × n) ñèììåòðè÷íàÿ, ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà:
AT = A, A > 0.
32
(4.6)
Ñôîðìèðóåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ
1
ϕ(x) = hx, Axi − hb, xi.
2
Îòìåòèì, ÷òî
∇ϕ(x) = Ax − b.
Ðàññìîòðèì ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó
ϕ(x) → min, x ∈ Rn .
(4.7)
Òåîðåìà 4.2. Òî÷êà x∗ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (4.5) ñ óñëîâèåì
(4.6) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x∗ ðåøåíèå çàäà÷è (4.7).
Èíûìè ñëîâàìè, çàäà÷è (4.5)(4.6) è (4.7) ýêâèâàëåíòíû.
Îïèøåì ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è
(4.7).
Ïóñòü íà k -ì øàãå èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (k = 0, 1, . . .) èìååòñÿ
òî÷êà xk ∈ Rn . Ïîñòðîèì ñåìåéñòâî òî÷åê
xk (α) = xk − α∇ϕ(xk )
(4.8)
ñ ÷èñëîâûì ïàðàìåòðîì α > 0.
Ðåøèì âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà α
ϕ(xk (α)) → min, α > 0.
(4.9)
Ïóñòü αk åå ðåøåíèå. Òîãäà ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå (xk+1 ) ñôîðìèðóåì ïî ïðàâèëó
xk+1 = xk (αk ).
(4.10)
Ñîîòíîøåíèÿ (4.8)(4.10) îïðåäåëÿþò ìåòîä ñêîðåéøåãî ñïóñêà äëÿ
çàäà÷è (4.7). Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèåì îñòàíîâêè ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà ∇ϕ(xk ) = 0 (Axk − b = 0). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî xk = x∗ .
33
Óêàæåì ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó äëÿ âåëè÷èíû αk . Îáîçíà÷èì gk (α) =
= ϕ(xk (α)). Òîãäà
1
gk (α) = hxk − α∇ϕ(xk ), A(xk − α∇ϕ(xk ))i−
2
1
−hb, xk − α∇ϕ(xk )i = α2 h∇ϕ(xk ), A∇ϕ(xk )i−
2
−αh∇ϕ(xk ), ∇ϕ(xk )i + ϕ(xk ).
Ôóíêöèÿ gk (α) åñòü âûïóêëàÿ ïàðàáîëà (êîýôôèöèåíò ïðè α2 ïîëîæèòåëåí). Ïîýòîìó äëÿ ïîèñêà åå òî÷êè ìèíèìóìà (áåç ó÷åòà îãðàíè÷åíèÿ
α > 0) äîñòàòî÷íî ðåøèòü óðàâíåíèå
gk0 (α) = 0.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
αk =
h∇ϕ(xk ), ∇ϕ(xk )i
.
h∇ϕ(xk ), A∇ϕ(xk )i
(4.11)
Ïîñêîëüêó αk > 0, òî äåëàåì âûâîä, ÷òî ôîðìóëà (4.11) îïðåäåëÿåò ðåøåíèå çàäà÷è (4.9).
Ïðèìåð 4.2.
(
2x1 − x2 = 1,
x0 =
−x1 + 3x2 = 0,
!
1
.
1
Ïðîâåñòè îäíó èòåðàöèþ ìåòîäà ñêîðåéøåãî ñïóñêà.
Ðåøåíèå. Ìàòðèöà A è âåêòîð b èìåþò âèä
A=
2 −1
−1
!
1
, b=
3
!
0
.
Íàéäåì ãðàäèåíò ôóíêöèè ϕ â òî÷êå x0
∇ϕ(x0 ) = Ax0 − b =
2 −1
−1
3
34
!
1
1
!
−
1
0
!
=
0
2
!
.
Ïîäñ÷èòàåì çíà÷åíèå α0 ïî ôîðìóëå (4.11)
h∇ϕ(x0 ), ∇ϕ(x0 )i
4
1
α0 =
=
=
.
h∇ϕ(x0 ), A∇ϕ(x0 )i 12 3
Òîãäà
x1 = x0 − α0 ∇ϕ(x0 ) =
1
!
1
1
−
3
0
2
!
0
=
1 . 3
4.3. Ìåòîä ìèíèìàëüíûõ íåâÿçîê
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó â ïîñòàíîâêå (4.5)(4.6). Ââåäåì âåêòîð
íåâÿçîê
r(x) = Ax − b.
Ðàâåíñòâî r(x∗ ) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî x∗ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (4.5).
Îòìåòèì, ÷òî ∇ϕ(x) = r(x).
Îðãàíèçóåì ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïîèñêà ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.5)(4.6). Ïî èçâåñòíîìó ïðèáëèæåíèþ xk , k = 0, 1, . . . ïîñòðîèì
ñåìåéñòâî òî÷åê
xk (α) = xk − αr(xk )
ñ ïàðàìåòðîì α > 0. Çàìåòèì, ÷òî ýòî ïðàâèëî ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé
(4.8) äëÿ ìåòîäà ñêîðåéøåãî ñïóñêà.
Äàëåå, â îòëè÷èå îò (4.9), ðåøèì âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó íà ìèíèìóì
íåâÿçêè
1
kr(xk (α))k22 → min, α ∈ R.
2
Ïóñòü ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà αk . Òîãäà îáðàçóåì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå
xk+1 = xk (αk ).
35
Óïðàæíåíèå 4.3. Äîêàçàòü, ÷òî
hr(xk ), Ar(xk )i
αk =
.
hAr(xk ), Ar(xk )i
(4.12)
Ïðèìåð 4.3.
(
x1 + x2 = 1,
−1
x0 =
x1 + 3x2 = 1,
!
.
2
Ïðîâåñòè îäíó èòåðàöèþ ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ íåâÿçîê.
Ðåøåíèå. Â äàííîé ñèòóàöèè
A=
1 1
!
, b=
1 3
!
1
.
1
Îïðåäåëèì âåêòîð íåâÿçîê
r(x0 ) = Ax0 − b =
1 1
!
−1
1 3
2
!
−
1
!
1
=
0
!
4
.
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (4.12) äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ α0 :
48
hr(x0 ), Ar(x0 )i
=
= 0.3 .
α0 =
hAr(x0 ), Ar(x0 )i 160
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
x1 = x0 − α0 r(x0 ) =
−1
2
!
− 0.3
0
4
!
=
1
0.8
!
. 4.4. Ìåòîä ìèíèìàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé
Ïðîäîëæèì èçó÷åíèå çàäà÷è (4.5). Îòìåòèì, ÷òî çäåñü ìû íå òðåáóåì
âûïîëíåíèÿ óñëîâèé (4.6). Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ
1
g(x) = kAx − bk22 .
2
Ýòî íåâÿçêà ñèñòåìû (4.5) â òî÷êå x: g(x) > 0, g(x) = 0 ⇔ Ax = b.
36
Óïðàæíåíèå 4.4. Ïîêàçàòü, ÷òî ∇g(x) = AT (Ax − b).
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî çàäà÷à (4.5) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å íà ìèíèìóì
íåâÿçêè
g(x) → min, x ∈ Rn .
Ïîñòðîèì èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïîèñêà ðåøåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû
(4.5) íà îñíîâå g(x).
Ïóñòü èìååòñÿ ïðèáëèæåíèå xk ∈ Rn , k = 0, 1, . . . . Îáðàçóåì α-ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî òî÷åê
xk (α) = xk − α∇g(xk ), α > 0.
Íàéäåì âåëè÷èíó αk êàê ðåøåíèå çàäà÷è
1 k
kx (α) − x∗ k22 → min, α > 0,
2
ãäå x∗ ðåøåíèå çàäà÷è (4.5).  ðåçóëüòàòå ïîëàãàåì
xk+1 = xk (αk ).
Óïðàæíåíèå 4.5. Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèÿ
2g(xk )
.
αk =
h∇g(xk ), ∇g(xk )i
(4.13)
Îòìåòèì èíòåðåñíûé ôàêò: ôîðìóëà (4.13) íå çàâèñèò îò x∗ .
Ïðèìåð 4.4.
(
x1 − x2 = −1,
2x1 + x2 = 2,
x0 =
0
!
.
1
Ïðîâåñòè îäíó èòåðàöèþ ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé.
Ðåøåíèå. Ïàðàìåòðû çàäà÷è:
A=
1 −1
2
1
!
, b=
37
−1
2
!
.
Íàéäåì ãðàäèåíò ôóíêöèè g â òî÷êå x0
1 2
−1 1
Òîãäà
!"
·
∇g(x0 ) = AT (Ax0 − b) =
!
!
!#
1 −1
0
−1
−
=
2 1
1
2
−2
−1
!
.
2g(x0 )
1
α0 =
=
.
h∇g(x0 ), ∇g(x0 )i 5
Ñëåäîâàòåëüíî,
2
!
5
−2
. =
6
−1
5
x1 = x0 − α0 ∇g(x0 ) =
0
!
−
1
1
5
Ïîäâåäåì èòîã. Ìåòîäû, èçëîæåííûå â íàñòîÿùåì ðàçäåëå, îïèðàþòñÿ
íà ðåäóêöèþ ëèíåéíîé ñèñòåìû ê çàäà÷àì íà ìèíèìóì è ðàçëè÷àþòñÿ
ìåæäó ñîáîé, ïî ñóòè äåëà, õàðàêòåðîì âñïîìîãàòåëüíûõ ïîäçàäà÷ íà ïîèñê øàãà αk . Â ìåòîäå ñêîðåéøåãî ñïóñêà íàõîäèòñÿ ìèíèìóì ôóíêöèè
ϕ(x) âäîëü íàïðàâëåíèÿ åå àíòèãðàäèåíòà.  ìåòîäå ìèíèìàëüíûõ íåâÿçîê îáåñïå÷èâàåòñÿ íàèìåíüøåå çíà÷åíèå íåâÿçêè âäîëü òîãî æå íàïðàâëåíèÿ.  ìåòîäå ìèíèìàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé ãàðàíòèðóåòñÿ ìèíèìàëüíàÿ âåëè÷èíà ïîãðåøíîñòè âäîëü íàïðàâëåíèÿ àíòèãðàäèåíòà ôóíêöèè
íåâÿçêè.
Óïðàæíåíèÿ
1. Â ñëåäóþùèõ ñèñòåìàõ ïðîâåñòè îäíó èòåðàöèþ
à) ìåòîäà ñêîðåéøåãî ñïóñêà;
á) ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ íåâÿçîê;
â) ìåòîäà ìèíèìàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé.
38
1.1.
2x1 +
x2 −
x3 = 1,
x1 + 2x2 + 2x3 = 0,
−x + 2x + 5x = 0,
1
2
3
1.2.
3x1 +
x2 + x3 = −1,
x1 + 3x2 +
x + 2x +
1
2
1.3.
2x1 −
2x3 = 2,
x2 + x3 = 1,
1.4.
x1 +
3x1 +
= 0,
x3 = 1,
x3 = 1,
x2 −
x3 = −1,
x − x + 2x = 1
1
2
3
1.5.
1.6.
1.7.
1
x0 =
0
.
0
x0 =
2x3 = 1,
−x1 + 3x2
−1
0
.
1
0
1
x0 =
1
.
0
.
x0 =
−1
1
= −2,
x1 + x2
x1 + 3x2 + x3 = 0,
x2 + x3 = 0,
0
x0 =
0
.
1
= 0,
4x1 + x2
x1 + 2x2 + x3 = 2,
x2 + x3 = 0,
x1
x −
1
+
3x2 −
x3 = −1,
x3 = 0,
x2 + 2x3 = 1,
39
0
x0 =
0
.
1
1
x0 =
0 .
1
1.8.
2x1 + x2 +
x3 = 0,
x1 + x2 + x3 = −1,
x + x + 2x = 1,
1
2
3
1.9.
1.10.
3x1 + x2 +
0
x0 =
1
.
0
x3 = 1,
x1 + x2 + x3 = 0,
x + x + 2x = 1,
1
2
3
x0 =
2x1 +
x2
= 1,
x1 + 3x2 + 2x3 = 2,
2x2 + 2x3 = 1,
40
−1
1
.
1
0
x0 =
1
.
0
5. Ñèñòåìû ñ ïðÿìîóãîëüíûìè ìàòðèöàìè
Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó
Ax = b,
(5.1)
ãäå A (m × n)-ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ, b ∈ Rm âåêòîð ïðàâûõ ÷àñòåé. Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (5.1) ìîæåò íå èìåòü ðåøåíèé (â îáû÷íîì
ñìûñëå). Ðàñøèðèì ïîíÿòèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5.1). Ñôîðìóëèðóåì ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó íà ìèíèìóì íåâÿçêè
kAx − bk2 → min, x ∈ Rn .
(5.2)
Ïåðåõîä îò (5.1) ê (5.2) íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Â
îòëè÷èå îò (5.1), çàäà÷à (5.2) âñåãäà èìååò ðåøåíèå (âîçìîæíî, íå åäèíñòâåííîå).
Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåìû (5.1) íàçûâàåòñÿ ëþáîå
ðåøåíèå çàäà÷è (5.2).
Åñëè ñèñòåìà (5.1) ñîâìåñòíà, òî åå ïñåâäîðåøåíèÿ ñîâïàäàþò ñ îáû÷íûìè ðåøåíèÿìè.  ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå çàäà÷è (5.2) ðàâíî íóëþ.
Îïðåäåëåíèå 5.2. Íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåìû (5.1) íàçûâàåòñÿ ïñåâäîðåøåíèå ñ íàèìåíüøåé íîðìîé.
Ïî çàäà÷å (5.2) ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ
1
1
1
ϕ(x) = hAx − b, Ax − bi = hx, AT Axi − hx, AT bi + hb, bi.
2
2
2
Ïðè ýòîì ∇ϕ(x) = AT (Ax − b). Òîãäà çàäà÷à (5.2) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
ϕ(x) → min, x ∈ Rn
è ýêâèâàëåíòíà ëèíåéíîé ñèñòåìå
AT Ax = AT b
(5.3)
ñ (n × n) ñèììåòðè÷íîé, íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöåé AT A.
41
Ñèñòåìà (5.3) íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé. Îíà âñåãäà ñîâìåñòíà, è ëþáîå åå ðåøåíèå åñòü ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû (5.1).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé m > n, rankA = n (÷èñëî óðàâíåíèé íå ìåíüøå
÷èñëà íåèçâåñòíûõ è ìàòðèöà A èìååò ïîëíûé ñòîëáöîâûé ðàíã). Òîãäà, êàê èçâåñòíî, ìàòðèöà AT A íåâûðîæäåíà è åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
ñèñòåìû (5.3) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
x = (AT A)−1 AT b.
Îïðåäåëåíèå 5.3. Ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöåé íàçûâàåòñÿ (n × m)ìàòðèöà âèäà A+ = (AT A)−1 AT .
Îòìåòèì, ÷òî ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà A+ îïðåäåëÿåò íîðìàëüíîå
ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû (5.1):
x = A+ b.
Åñëè m = n è ìàòðèöà A íåâûðîæäåíà, òî ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà
ñîâïàäàåò ñ îáðàòíîé: A+ = A−1 .
Ïðèìåð 5.1.
−x1 + 2x2 = 1,
x1 + 3x2 = 3,
3x − x = 1.
1
2
Íàéòè íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå.
Ðåøåíèå. Ïðåäâàðèòåëüíî ñôîðìèðóåì ñèñòåìó (5.3):
−1
A=
AT A =
2
T
1 3
, A =
3 −1
11 −2
−1 1
, AT b =
42
,
2 3 −1
!
−2 14
!
3
5
10
!
,
(
11x1 − 2x2 = 5,
−2x1 + 14x2 = 10.
Äëÿ ïîèñêà åå ðåøåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì Ãàóññà, îïèñàííûì â 2:
3
5
x∗ =
4 . 5
 ðåçóëüòàòå íàéäåíî íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû.
Óïðàæíåíèÿ
1. Íàéòè íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå:
1.1.
2x1 − x2 = 1,
−x1 + x2 = 3,
3x + x = −1.
1
2
1.2.
x1 +
x2 = −1,
x1 + 2x2 = −3,
x + 3x = 3.
1
2
1.3.
2x1 + 2x2 = 1,
x1 + 4x2 = 0,
−x + 2x = −1.
1
2
1.4.
x1 +
x2 = 1,
−x1 + 4x2 = 2,
x1 +
43
x2 = 3.
1.5.
x1 + 2x2 = 1,
2x1 + 4x2 = −3,
x + x = 2.
1
2
1.6.
4x1 − 2x2 = −8,
2x1 − x2 = −3,
−4x + 2x = −2.
1
2
1.7.
2x1 + 3x2 = 1,
−4x1 − 6x2 = 6,
−2x − 3x = 2.
1
2
1.8.
x1
−x
1
−x
1
1.9.
1.10.
+
x3 = 1,
+
x2
−
x2 + 2x3 = 0,
+ 2x2 +
= 2,
x3 = −1.
2x2 + x3
−x +
x3
1
x1 − x2 + 4x3
x + 2x
1
2
−x1
2x
1
x1
−x
1
= 0,
= 1,
= 1,
= 0.
+ x2 +
x3 = 1,
+
x3 = 2,
+ x2
= 0,
+ x2 + 2x3 = −1.
2. Íàéòè ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó:
44
2.1.
2 3
.
A=
1
1
1 2
2.2.
−3 1
A=
2.3.
1 2
.
1 1
1 1
.
A=
1
2
2 2
2.4.
A=
2.5.
A=
2.6.
2 1
1 2
.
−1 1
−2 −1
2
−1
1
.
1
1 1 −1
0 1 0
A=
.
1 −1 1
1 3 −1
2.7.
1 1 1
1 2 1
A=
0 1 1
1 1 −1
45
.
2.8.
A=
2.9.
1 1
1 3 1
.
1 1 −1
−1 1 1
1 1
2 3
A=
1 2
1 3
2.10.
1
1
2
.
1
2
2 1 −1
0 1 2
A=
.
1 1 2
2 1 −1
46
6. Ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
6.1. Âñïîìîãàòåëüíûå îïðåäåëåíèÿ
Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Íàïîìíèì, ÷òî ñîáñòâåííàÿ
ïàðà (λ, x) ìàòðèöû A îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
Ax = λx, x 6= 0.
Ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñîñòîèò â ïîèñêå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë λ
è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ x ìàòðèöû A.
Âûäåëèì íàèáîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé äëÿ ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ïóñòü A äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà: A = diag(a11 , . . . , ann ). Òîãäà åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò ñ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè:
λi = aii , i = 1, n.  êà÷åñòâå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ
ìîæíî âûáðàòü åäèíè÷íûå îðòû: xi = ei , i = 1, n.
Îïðåäåëåíèå 6.1. Êâàäðàòíûå ìàòðèöû A, B ïîðÿäêà n íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà P , òàêàÿ, ÷òî
B = P −1 AP . Ïðè ýòîì ìàòðèöà P íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïîäîáèÿ, à ñîîòíîøåíèå P −1 AP ïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ.
Óïðàæíåíèå 6.1. Ïóñòü (λ, x) ñîáñòâåííàÿ ïàðà ìàòðèöû B =
= P −1 AP . Ïîêàçàòü, ÷òî (λ, P x) ñîáñòâåííàÿ ïàðà ìàòðèöû A.
Òàêèì îáðàçîì, ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ñîõðàíÿåò ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû. Èíûìè ñëîâàìè, ïîäîáíûå ìàòðèöû èìåþò îäèíàêîâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñâÿçàíû ÷åðåç
ìàòðèöó ïîäîáèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x(A) = P x(B).
Îòìåòèì, ÷òî åñëè B äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû B ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A, à ñòîëáöû ìàòðèöû P ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè A.
Óïðàæíåíèå 6.2. Ïóñòü P îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïîêàçàòü, ÷òî
47
ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä P T AP .
Óïðàæíåíèå 6.3. Ïîêàçàòü, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ñîõðàíÿåò ñâîéñòâî ñèììåòðè÷íîñòè.
Óïðàæíåíèå 6.4. Ïîêàçàòü, ÷òî îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ñîõðàíÿåò íîðìó Ôðîáåíèóñà ìàòðèöû A.
Óòâåðæäåíèå 6.1. Ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé
ñ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé ïîäîáèÿ.
Ðàññìîòðèì îäèí ìåòîä, ðåøàþùèé ïðîáëåìó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû.
6.2. Ìåòîä âðàùåíèé
Ïóñòü y ∈ R2 çàäàííûé âåêòîð. Ïîñòðîèì âåêòîð z ∈ R2 , ïîâåðíóâ
y âîêðóã íà÷àëà êîîðäèíàò íà óãîë ϕ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè
Èçâåñòíî, ÷òî êîîðäèíàòû âåêòîðîâ y, z ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
z1 = y1 cos ϕ − y2 sin ϕ,
z2 = y1 sin ϕ + y2 cos ϕ.
48
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìàòðèöó
U=
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ
!
cos ϕ
.
(6.1)
Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü z = U y . Ïðè ýòîì ìàòðèöó U íàçûâàþò ìàòðè-
öåé âðàùåíèÿ, ñîîòíîøåíèå U y ïðåîáðàçîâàíèåì âðàùåíèÿ, ϕ óãëîì
ïîâîðîòà.
Óïðàæíåíèå 6.5. Ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà U ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé.
Ïóñòü A ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà 2 (a12 = a21 ). Ðàññìîòðèì
ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ñ ìàòðèöåé âðàùåíèÿ C = U T AU . Îòìåòèì, ÷òî
ìàòðèöà C ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñèììåòðè÷íîé: c12 = c21 .
Óïðàæíåíèå 6.6. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè
2a12
1
,
ϕ = arctg
2
a11 − a22
òî C äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.
Ïðèìåð 6.1.
A=
(6.2)
√ !
3
.
√
3
2
4
Èñïîëüçóÿ ìàòðèöó âðàùåíèÿ, íàéòè ñîáñòâåííûå ïàðû ìàòðèöû A.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå âðàùåíèÿ ñ ìàòðèöåé (6.1),
ãäå óãîë ïîâîðîòà ϕ ïîäñ÷èòàåì ïî ïðàâèëó (6.2).  ðåçóëüòàòå èìååì
√
1
ϕ = arctg 3 =
2
√
3
1
−
2
2
U =
√
1
3
Òîãäà
2
π
,
6
.
2
√
√
3
1
3
1
−
4
3
2
2
2
2
T
U AU =
=
√
√
√
1
3
1
3
3
2
−
2 2
2 2
√
49
=
!
5 0
= C.
0 1
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû C : λ1 = 5, λ2 = 1. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå âåêòîðà ýòî ñòîëáöû ìàòðèöû U :
√
3
2
,
x1 =
1
2
1
−
2
x2 =
√
3
2
.
Ðàññìîòðèì n-ìåðíûé ñëó÷àé, êîãäà A ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Òîãäà àíàëîãè÷íûå êîíñòðóêöèè èìåþò âèä:
ìàòðèöà âðàùåíèÿ (p < q)
Upq (ϕ) =
1
...
cos ϕ . . . − sin ϕ
.. . .
..
.
.
.
sin ϕ . . .
cos ϕ
...
1
ïðåîáðàçîâàíèå âðàùåíèÿ
C = Upq (ϕ)T AUpq (ϕ);
óãîë ïîâîðîòà
2apq
1
.
ϕ(p, q) = arctg
2
app − aqq
Äëÿ ìàòðèöû A ââåäåì âåëè÷èíó
∆(A) =
n
X
i, j = 1
i 6= j
50
a2ij ,
p
q
ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ñóììó êâàäðàòîâ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ
ìàòðèöû A. Âåëè÷èíà ∆(A) õàðàêòåðèçóåò ìåðó ¾áëèçîñòè¿ ìàòðèöû
A ê äèàãîíàëüíîé: ∆(A) > 0, ∆(A) = 0 ⇔ A äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.
Îïèøåì èòåðàöèîííûé ìåòîä, ðåøàþùèé ïðîáëåìó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ìåòîä âðàùåíèé.
Îáîçíà÷èì A0 = A è ðàññìîòðèì îáùèé øàã ìåòîäà. Ïóñòü ïîñòðîåíà
ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà Ak , ïîäîáíàÿ A0 . Íàéäåì íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ
(k)
íàääèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû Ak . Ïóñòü ýòî áóäåò apq (âåäóùèé
ýëåìåíò íà k -ì øàãå):
(k)
|a(k)
pq | = max |aij |, p < q.
16i<j6n
(k)
Åñëè apq = 0, òî Ak äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà è ìåòîä çàâåðøàåòñÿ: ñîáñòâåííûå ÷èñëà A ñîâïàäàþò ñ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè Ak .
(k)
Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé, êîãäà apq 6= 0. Ïðèìåíèì ê ìàòðèöå Ak
ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ñ ìàòðèöåé âðàùåíèÿ Upq = Upq (ϕ), ϕ = ϕ(p, q).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ìàòðè÷íîå ïðèáëèæåíèå
T
Ak+1 = Upq
Ak Upq .
Îòìåòèì ñâîéñòâà íîâîãî ïðèáëèæåíèÿ:
1) ìàòðèöà Ak+1 ñèììåòðè÷íà è ïîäîáíà Ak ;
(k+1)
2) apq
= 0, kAk+1 kF = kAkF ;
3) ìàòðèöà Ak+1 ¾áëèæå¿ ê äèàãîíàëüíîé, ÷åì Ak : ∆(Ak+1 ) = ∆(Ak )−
(k)
−2(apq )2 .
Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü: ∆(Ak ) → 0, k → ∞.
Ïóñòü ε > 0 çàäàííàÿ òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ ê äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå. Çà êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé ìåòîäà âðàùåíèé ïðèäåì ê íåðàâåíñòâó
(k+1)
∆(Ak+1 ) 6 ε. Òîãäà λi (A) ≈ aii
, i = 1, n.
Îáñóäèì âîïðîñ î âû÷èñëåíèè ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû
51
A.
Ïóñòü ìåòîä îñòàíîâëåí ïîñëå k -é èòåðàöèè, ò. å.
(k+1)
Ak+1 ≈ diag(a11
, . . . , a(k+1)
nn ).
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: Uk ìàòðèöà âðàùåíèÿ íà k -é èòåðàöèè.
Óïðàæíåíèå 6.7. Ïîêàçàòü, ÷òî â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííûõ ïðåäñòàâëåíèé äëÿ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A ìîæíî âûáðàòü ñòîëáöû
ìàòðèöû Pk = U0 U1 . . . Uk .
Ïðèìåð 6.2.
√
0 2 3
.
A=
0
−1
1
√
2 3 1 −2
2
Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà âðàùåíèé.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì A0 = A. Íàéäåì âåëè÷èíó
√
∆(A0 ) = 2 · (2 3)2 + 2 = 26.
Îïðåäåëèì íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ íàääèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû
A0 :
√
(0)
(0)
max |aij | = 2 3 = a13 .
16i<j63
(0)
 äàííîì ñëó÷àå p = 1, q = 3. Ïîñêîëüêó a13 6= 0, òî ïîäñ÷èòàåì óãîë
ïîâîðîòà
(0)
√
1
2a13
π
1
ϕ = ϕ(1, 3) = arctg (0)
arctg
3
=
.
=
(0)
2
2
6
a −a
11
33
Òîãäà ìàòðèöà âðàùåíèÿ ïðèìåò âèä
π
π
cos
0 − sin
6
6
1
0
= U13 (ϕ) =
0
π
π
sin
0 cos
6
6
U13
52
=
√
1
3
2 0 −2
0 .
= 0 1
√
1
3
0
2
2
 èòîãå îïðåäåëèì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå
1
4
0
2
√
3
1
T
A1 = U13 A0 U13 =
.
−1
2
2
√
3
0
−4
2
Âû÷èñëèì âåëè÷èíó
(0)
∆(A1 ) = ∆(A0 ) − 2(a13 )2 = 26 − 24 = 2. Óïðàæíåíèÿ
1. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà âðàùåíèé:
1.1.
√
3
3 1
√
A=
1 −1
3
.
1 −1 2
1.2.
1.3.
2
√
A=
0
5
−3
3
.
√
2 −3 3
−1
1
0
√
−3 1 4 3
A=
0
√1 1
.
4 3 0
5
53
1.4.
1
0 −1 0
√
0
1
3 0
A=
.
√
−1
3
3
1
0
0
1 1
1.5.
−1
0
√
2
4 1 3 3
.
0
1 1
0
√
0 3 3 0 −2
A=
1.6.
A=
2 0
√
3 0 − 3 −1
0 1
1 2
.
√
− 3 1
1 0
−1 2
0 1
2. Äëÿ ìàòðèöû A ðåøèòü ïðîáëåìó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ òî÷íîñòüþ ε:
2.1.
2.2.
2.3.
√
6 2 3 0
√
1 ,
A=
2 3
2 3
1
0
3 1
ε = 1.
√
4 3
−3
1
,
A=
1
0
√2
5
4 3 0
ε = 1.
A=
1
2
1
1
2
− 12
− 21
√
−4
3
,
√
3 −2
1
2
54
ε = 1.
7. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ f (x), îïðåäåëåííóþ íà îòðåçêå
[a, b] ÷èñëîâîé îñè. Ïîñòàâèì çàäà÷ó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
f (x) = 0.
(7.1)
7.1. Ìåòîä èòåðàöèé
Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå (7.1) â ýêâèâàëåíòíîì âèäå
x = ϕ(x).
(7.2)
Ïîñòðîèì ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ
xk+1 = ϕ(xk ), k = 0, 1, . . . ,
(7.3)
ãäå x0 çàäàííîå íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå. Ñõåìà (7.3) íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì èòåðàöèé.
Òåîðåìà 7.1 (î ñõîäèìîñòè ìåòîäà èòåðàöèé ). Ïóñòü
1) ôóíêöèÿ ϕ(x) îïðåäåëåíà â îáëàñòè
S = {x : |x − x0 | 6 δ, δ > 0};
2) äëÿ ëþáûõ x, y èç îáëàñòè S âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
|ϕ(x) − ϕ(y)| 6 q|x − y|, 0 6 q < 1;
3) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
|ϕ(x0 ) − x0 | = r 6 (1 − q)δ.
Òîãäà â ìåòîäå èòåðàöèé
à) xk ∈ S, k = 1, 2, . . .;
á) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } ñõîäèòñÿ: xk → x∗ , k → ∞, ãäå x∗ ∈ S 55
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.2);
â) ñïðàâåäëèâà îöåíêà ïîãðåøíîñòè
|xk − x∗ | 6
r
q k , k = 1, 2, . . . .
1−q
(7.4)
Çàìå÷àíèå 7.1. Åñëè ôóíêöèÿ ϕ(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà
â îáëàñòè S , òî íåðàâåíñòâî |ϕ0 (x)| 6 q < 1, x ∈ S îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 2) òåîðåìû.
Ïðèìåð 7.1.
1 2
5
1
x − x + = 0, x0 = , S =
4
9
3
1
1
x : |x − | 6
.
3
2
Òðåáóåòñÿ:
1) ïðîâåðèòü óñëîâèÿ òåîðåìû 7.1;
2) ìåòîäîì èòåðàöèé íàéòè x1 ;
3) îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Ðåøåíèå. Äàííîå óðàâíåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
1
5
x = x2 + .
4
9
Ñëåäîâàòåëüíî,
1
5
ϕ(x) = x2 + .
4
9
Ïðîâåðèì óñëîâèÿ òåîðåìû 7.1. Ïåðâîå óñëîâèå, íåñîìíåííî, âûïîëíåíî. Ïîñêîëüêó
1
5
|ϕ0 (x)| = |x| 6
< 1, ïðè x ∈ S,
2
12
òî è âòîðîå óñëîâèå âûïîëíåíî. Ïðè ýòîì q = 5/12. Ïðèñòóïèì ê ïðîâåðêå òðåòüåãî óñëîâèÿ. Çàìåòèì, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå
δ=
1
7
1
1
, |ϕ(x0 ) − x0 | =
− = = r.
2
12 3
4
Òîãäà
r=
1
7
< (1 − q)δ =
.
4
24
56
Ñëåäîâàòåëüíî, âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 7.1 âûïîëíåíû. Äàëåå ïîäñ÷èòàåì
x1 ïî ìåòîäó èòåðàöèé
7
.
12
Íàêîíåö, èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî (7.4) äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè
x1 = ϕ(x0 ) =
1
4
|x1 − x∗ | 6
1−
5
12
·
5
5
=
≈ 0, 18. 12 28
Èññëåäóåì âîïðîñ îá ýôôåêòèâíîé ðåäóêöèè óðàâíåíèÿ (7.1) ê âèäó
(7.2), óäîáíîìó äëÿ èòåðàöèé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â îáëàñòè S , ïðè÷åì ïðîèçâîäíàÿ f 0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
f 0 (x) < 0, 0 < m 6 |f 0 (x)| 6 M, x ∈ S
ñ èçâåñòíûìè ïîñòîÿííûìè m, M .
Çàäàäèì ôóíêöèþ ϕ(x) â âèäå
ϕ(x, α) = x + αf (x),
ãäå α > 0 ÷èñëîâîé ïàðàìåòð.
Âûáåðåì ïàðàìåòð α òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ñõîäèìîñòü
ìåòîäà èòåðàöèé xk+1 = ϕ(xk , α), k = 0, 1, . . . ê êîðíþ x∗ ñ ìàêñèìàëüíî
âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî:
1) ðåøèòü íåðàâåíñòâî |ϕ0 (x, α)| 6 q(α) < 1, x ∈ S îòíîñèòåëüíî α;
2) íàéòè çíà÷åíèå α∗ , êîòîðîå äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèè q(α).
Ïðèñòóïèì ê âûïîëíåíèþ ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. Íàéäåì âûðàæåíèå
äëÿ q(α). Îòìåòèì, ÷òî ϕ0 (x, α) = 1 + αf 0 (x), ïðè÷åì
−M 6 f 0 (x) 6 −m, x ∈ S.
Îòñþäà
1 − αM 6 1 + αf 0 (x) 6 1 − αm.
57
Òîãäà äëÿ x ∈ S èìååì
|ϕ0 (x, α)| = |1 + αf 0 (x)| 6
∆
6 max{|1 − αm|, |1 − αM |} = q(α).
Ðåøèì íåðàâåíñòâî q(α) < 1. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè q(α), íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó èç äâóõ íåðàâåíñòâ
(
|1 − αm| < 1,
|1 − αM | < 1.
Åå ðåøåíèå èìååò âèä: 0 < α < 2/M . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè 0 < α < 2/M
èìååì q(α) < 1.
Çàìåòèì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì (â) òåîðåìû 7.1, âåëè÷èíà q(α) õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè xk → x∗ , k → ∞, à èìåííî:
÷åì ìåíüøå q(α), òåì áûñòðåå ñõîäèìîñòü. Ïîñòàâèì çàäà÷ó ïîèñêà îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ α∗ ∈ (0, 2/M ) èç óñëîâèÿ
q(α∗ ) = min2 q(α).
0<α< M
Óïðàæíåíèå 7.1. Ïîêàçàòü, ÷òî
α∗ =
2
.
m+M
(7.5)
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèþ ϕ(x) â óðàâíåíèè (7.2) ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå
ϕ(x) = x + α∗ f (x),
ãäå âåëè÷èíà α∗ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó (7.5).
7.2. Ìåòîä Íüþòîíà
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7.1) â ïðåäïîëîæåíèè íåïðåðûâíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè f (x).
58
Ïóñòü x0 çàäàííîå íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå. Ïðîâåäåì ëèíåàðèçàöèþ
ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Òåéëîðà:
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(|x − x0 |).
Ïðåíåáðåãàÿ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì ðàçëîæåíèÿ, ïðèõîäèì ê ëèíåéíîìó
óðàâíåíèþ
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) = 0,
ðåøåíèå êîòîðîãî ïðèíèìàåì çà ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå
f (x0 )
.
f 0 (x0 )
Äàëåå ïîâòîðèì ïðîöåäóðó îòíîñèòåëüíî òî÷êè x1 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
x1 = x0 −
ñëåäóþùóþ èòåðàöèîííóþ ôîðìóëó
f (xk )
, k = 0, 1, . . . .
(7.6)
f 0 (xk )
Èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà (7.6) íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Íüþòîíà äëÿ ðåøåxk+1 = xk −
íèÿ óðàâíåíèÿ (7.1).
Óêàæåì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôîðìóëû (7.6):
Ïóñòü
íà
äåêàðòîâîé ïëîñêîñòè
èìååòñÿ òî÷êà M ñ êîîðäèíàòàìè
(xk , f (xk )). Ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ ê êðèâîé y = f (x) â òî÷êå M . Óðàâíåíèå ýòîé êàñàòåëüíîé èìååò âèä
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).
59
Ïîëàãàÿ çäåñü y = 0 (ïåðåñå÷åíèå êàñàòåëüíîé ñ îñüþ 0x) è ðåøàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî x, ïðèõîäèì ê ôîðìóëå (7.6).
Îòìåòèì äðóãîå íàçâàíèå ìåòîäà Íüþòîíà ìåòîä êàñàòåëüíûõ.
Ñôîðìóëèðóåì óñëîâèÿ ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè ìåòîäà Íüþòîíà.
Òåîðåìà 7.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a, b] è óðàâíåíèå (7.1) èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü
x∗ íà [a, b]. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ çíàêîïîñòîÿíñòâà ïðîèçâîäíûõ
f 0 (x) > 0, f 00 (x) > 0, x ∈ [a, b] èëè
f 0 (x) < 0, f 00 (x) < 0, x ∈ [a, b],
(7.7)
òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk }, ïîñòðîåííàÿ ïî ìåòîäó Íüþòîíà, ïðè âûáîðå x0 = b ìîíîòîííî óáûâàåò è ñõîäèòñÿ ê êîðíþ x∗ .
Åñëè óñëîâèÿ (7.7) çàìåíèòü íà ñëåäóþùèå
f 0 (x) > 0, f 00 (x) < 0, x ∈ [a, b] èëè
f 0 (x) < 0, f 00 (x) > 0, x ∈ [a, b],
òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } ïðè x0 = a ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è ñõîäèòñÿ
ê x∗ .
Äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè k -ãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ
íåðàâåíñòâîì
|xk − x∗ | 6
|f (xk )|
,
m
ãäå m = min |f 0 (x)|.
a6x6b
Ïðèìåð 7.2.
6x2 − 17x + 5 = 0.
Íàéòè îòðåçêè ëîêàëèçàöèè êîðíåé óðàâíåíèÿ è, âûáðàâ íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå x0 , ïðîâåñòè ïî îäíîé èòåðàöèè ìåòîäà Íüþòîíà.
60
Ðåøåíèå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ðàñïîëîæåíèÿ êîðíåé (îòðåçêîâ
ëîêàëèçàöèè) ñîñòàâèì ñëåäóþùóþ òàáëèöó
x
0
1
2
3
f (x) 5 −6 −5 8
Îòñþäà âèäíî, ÷òî êîðíè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ðàñïîëîæåíû íà îòðåçêàõ
[0, 1] è [2, 3]. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèì ìåòîä Íüþòîíà äëÿ êàæäîãî
îòðåçêà.
1. Ïóñòü [a, b] = [0, 1]. Îïðåäåëèì çíàêè ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè f (x)
íà ýòîì îòðåçêå
f 0 (x) = 12x − 17 < 0, f 00 (x) = 12 > 0, 0 6 x 6 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëàãàÿ x0 = a = 0, èìååì
x1 = x0 −
f (x0 )
5
=
≈ 0, 29.
f 0 (x0 ) 17
2. Âûáåðåì òåïåðü [a, b] = [2, 3]. Òîãäà
f 0 (x) = 12x − 17 > 0, f 00 (x) = 12 > 0, 2 6 x 6 3.
Íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå â ýòîì ñëó÷àå x0 = b = 3 è
x1 = 3 −
49
8
=
≈ 2, 58. 19 19
7.3. Ìåòîäû ñîêðàùåíèÿ èíòåðâàëà ëîêàëèçàöèè
Ïðîäîëæèì èçó÷åíèå óðàâíåíèÿ (7.1).
Ïóñòü èçâåñòåí îòðåçîê [a, b] ñ óñëîâèåì f (a) · f (b) < 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èñêîìûé êîðåíü x∗ ëåæèò â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà (a, b). Áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî îí åäèíñòâåííûé íà (a, b). Òîãäà ïðîìåæóòîê (a, b) íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ëîêàëèçàöèè, è ãîâîðÿò, ÷òî ðåøåíèå x∗ ëîêàëèçîâàíî
â ïðåäåëàõ (a, b).
61
Ïóñòü ε > 0 çàäàííàÿ òî÷íîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7.1). Òîãäà çàäà÷ó (7.1) ìîæíî ñ÷èòàòü ðåøåííîé, åñëè íàéäåí èíòåðâàë ëîêàëèçàöèè
(a, b) ñ óñëîâèåì b − a 6 ε.  êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7.1) â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò áûòü âûáðàíà ëþáàÿ òî÷êà x ∈ (a, b). Ïðè
ýòîì ãàðàíòèðîâàííî âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè |x − x∗ | < ε.
Ðàññìîòðèì ìåòîäû ïîñëåäîâàòåëüíîãî óìåíüøåíèÿ äëèíû èíòåðâàëà
ëîêàëèçàöèè, èñïîëüçóþùèå òîëüêî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f .
Îïèøåì îáùóþ ñõåìó ìåòîäîâ òàêîãî òèïà:
1) ïóñòü íà k -ì øàãå èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà ïîëó÷åí èíòåðâàë ëîêàëèçàöèè (ak , bk ), k = 0, 1, . . .;
2) âûáåðåì òî÷êó xk ∈ (ak , bk );
3) åñëè f (xk ) = 0, òî x∗ = xk è ìåòîä ïðåêðàùàåò ñâîþ ðàáîòó (êîðåíü
óðàâíåíèÿ (1) íàéäåí);
4) ïóñòü f (xk ) 6= 0. Òîãäà
åñëè f (xk ) · f (ak ) < 0, òî (ak+1 , bk+1 ) = (ak , xk );
åñëè f (xk ) · f (bk ) < 0, òî (ak+1 , bk+1 ) = (xk , bk ).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì èíòåðâàë ëîêàëèçàöèè (ak+1 , bk+1 ) ñ óñëîâèåì
bk+1 − ak+1 < bk − ak .
Êîíêðåòíûå ìåòîäû ýòîãî òèïà ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî âûáîðîì òî÷êè
xk â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà ëîêàëèçàöèè. Óêàæåì íàèáîëåå èçâåñòíûå âàðèàíòû òàêîãî âûáîðà.
7.4. Ìåòîä ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ
Âûáåðåì â êà÷åñòâå òî÷êè xk ñåðåäèíó îòðåçêà [ak , bk ]:
xk =
ak + bk
.
2
Òàêîé âûáîð ñîêðàùàåò äëèíó èíòåðâàëà ëîêàëèçàöèè âäâîå:
bk+1 − ak+1 =
62
bk − ak
.
2
Åñëè [a0 , b0 ] íà÷àëüíûé èíòåðâàë ëîêàëèçàöèè, òî
bk+1 − ak+1 =
bk − ak
bk−1 − ak−1
b 0 − a0
=
= ... =
.
2
4
2k
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî xk → x∗ , k → ∞ ñî ñêîðîñòüþ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì 1/2.
Óêàæåì îäíî ýêñòðåìàëüíîå ñâîéñòâî òî÷êè xk â ìåòîäå ïîëîâèííîãî
äåëåíèÿ. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íåêîòîðóþ òî÷êó x ∈ (ak , bk ).
Òîãäà ïîãðåøíîñòü òàêîãî âûáîðà îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
∆
|x − x∗ | < max{bk − x, x − ak } = ϕ(x).
Óïðàæíåíèå 7.2. Ïîêàçàòü, ÷òî âûáîð òî÷êè xk â ìåòîäå ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì â ñìûñëå îöåíêè ïîãðåøíîñòè ϕ(x).
Ïðèìåð 7.3.
3x2 − 8x + 4 = 0.
Ïðîâåñòè îäíó èòåðàöèþ ìåòîäà ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ äëÿ ïîèñêà íàèìåíüøåãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ.
Ðåøåíèå. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî èíòåðâàëà ëîêàëèçàöèè (a0 , b0 ) ìîæíî âûáðàòü èíòåðâàë (0, 1). Òîãäà x0 = 1/2. Ïîñêîëüêó f (1/2)·f (1) = −3/4 < 0, òî ñëåäóþùèì ïðèáëèæåíèåì ÿâëÿåòñÿ
èíòåðâàë (a1 , b1 ) = (1/2, 1). 7.5. Ìåòîä õîðä
 êà÷åñòâå ïðèáëèæåíèÿ xk âûáåðåì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ 0x
ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè (ak , f (ak )), (bk , f (bk )) ãðàôèêà ôóíêöèè
y = f (x).
63
Óïðàæíåíèå 7.3. Ïîêàçàòü, ÷òî ðàñ÷åòíàÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ
òî÷êè xk èìååò âèä
xk =
ak f (bk ) − bk f (ak )
.
f (bk ) − f (ak )
Óïðàæíåíèÿ
1. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà èòåðàöèé äëÿ ïîèñêà âñåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ
2 − |x| =
1
cos x.
2
2. Ïîñòðîèòü ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó ìåòîäà èòåðàöèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ âñåõ
êîðíåé óðàâíåíèÿ
x3 + 3x2 − 1 = 0.
3. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà èòåðàöèé äëÿ ïîèñêà âñåõ êîðíåé óðàâíåíèÿ
1
− x3 + 2x2 − 4x + 3 = 0.
2
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííûõ ïðèáëèæåíèé.
4. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà èòåðàöèé äëÿ ïîèñêà ïîëîæèòåëüíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ
−2x3 + x2 + 3x + 1 = 0.
64
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ.
5. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà èòåðàöèé äëÿ ïîèñêà íàèáîëüøåãî îòðèöàòåëüíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ
8
2x3 + x2 + 3x + 4 = 0.
3
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ.
6. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà èòåðàöèé äëÿ ïîèñêà íàèìåíüøåãî ïîëîæèòåëüíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ
−2x3 + x2 + 2x + 1 = 0.
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ.
7. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà èòåðàöèé íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå xe íàèáîëüøåãî îòðèöàòåëüíîãî êîðíÿ ñ òî÷íîñòüþ ε = 0, 5.
3
5
x2 − x − = 0.
4
2
8. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà Íüþòîíà äëÿ ïîèñêà âñåõ êîðíåé óðàâíåíèé
à) x2 −
x
1
= 0; á) (x + 2)3 − e− 2 = 0.
|x − 1|
9. Ïîñòðîèòü ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó ìåòîäà Íüþòîíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ
a > 0, p = 2, 3, . . . . Ïðîâåñòè äâå èòåðàöèè äëÿ ïîäñ÷åòà
√
√
p
a,
2.
10. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà Íüþòîíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëîæèòåëüíîãî
êîðíÿ óðàâíåíèÿ
3
3x3 + x2 − 4x − 1 = 0.
4
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ.
11. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà Íüþòîíà äëÿ ïîèñêà îòðèöàòåëüíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ
4
4x3 − x2 − 3x + 1 = 0.
3
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ.
65
12. Ïðîâåñòè îäèí øàã ìåòîäà Íüþòîíà äëÿ ïîèñêà íàèáîëüøåãî îòðèöàòåëüíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ
4x3 + 10x2 − 10x − 25 = 0.
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ïðèáëèæåíèÿ.
13. Ìåòîäîì Íüþòîíà íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå xe ïîëîæèòåëüíîãî
êîðíÿ ñ òî÷íîñòüþ ε = 0, 2.
3x2 + 4x − 4 = 0.
15. Ìåòîäîì ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïîëîæèòåëüíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ
12x2 + 5x − 28 = 0
ñ òî÷íîñòüþ ε = 0, 2.
14. Ìåòîäîì ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû
√
2 ñ òî÷íîñòüþ ε = 0, 3.
15. Ìåòîäîì õîðä íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå îòðèöàòåëüíîãî êîðíÿ
óðàâíåíèÿ
3x2 − 1 = 0
ñ òî÷íîñòüþ ε = 0, 6.
16. Ìåòîäîì õîðä õîðä íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïîëîæèòåëüíîãî
êîðíÿ óðàâíåíèÿ
3x2 − 8 = 0
ñ òî÷íîñòüþ ε = 0, 4.
66
8. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [a, b] ÷èñëîâîé îñè è çàäàíà
òàáëèöåé çíà÷åíèé fi = f (xi ), i = 0, n â òî÷êàõ x0 < x1 < . . . < xn ýòîãî
îòðåçêà.
Ïîñòàâèì çàäà÷ó àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè f (x) íà [a, b] ñ ïîìîùüþ
ôóíêöèè g(x) èç íåêîòîðîãî ñåìåéñòâà, èñïîëüçóÿ èíôîðìàöèþ î çíà÷åíèÿõ fi , i = 0, n.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è.
8.1. Èíòåðïîëèðîâàíèå ôóíêöèé
Ôóíêöèþ g(x) áóäåì èñêàòü â âèäå àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè íå âûøå n
g(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn .
(8.1)
Êîýôôèöèåíòû a0 , a1 , . . . , an îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé ðàâåíñòâà çíà÷åíèé
g(xi ) = f (xi ), i = 0, n.
(8.2)
Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè xi , i = 0, n íàçûâàþòñÿ óçëàìè èíòåðïîëèðîâà-
íèÿ, à ñîîòíîøåíèÿ (8.2) óñëîâèÿìè èíòåðïîëèðîâàíèÿ. Ïîãðåøíîñòü
èíòåðïîëèðîâàíèÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
R(x) = f (x) − g(x), x ∈ [a, b].
Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà
Çàïèøåì ìíîãî÷ëåí g(x) â ñëåäóþùåì âèäå [1]
4
g(x) = Ln (x) =
n
X
f (xi )
i=0
67
n
Y
j=0,j6=i
x − xj
.
xi − xj
(8.3)
Óêàæåì ðàçâåðíóòóþ ôîðìó çàïèñè ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ
Ln (x) = f (x0 )
+f (x1 )
(x − x1 ) . . . (x − xn )
+
(x0 − x1 ) . . . (x0 − xn )
(x − x0 )(x − x2 ) . . . (x − xn )
+ ...+
(x1 − x0 )(x1 − x2 ) . . . (x1 − xn )
+f (xn )
(x − x0 ) . . . (x − xn−1 )
.
(xn − x1 ) . . . (xn − xn−1 )
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì
|R(x)| 6
Mn+1
max |ωn+1 (x)|,
(n + 1)! a6x6b
(8.4)
Mn+1 = max |f (n+1) (x)|,
a6x6b
ωn+1 (x) = (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn ).
Ïðèìåð 8.1. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
1
2
3
fi
0
2
5
Çàïèñàòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà.
Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå n = 2. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (8.3)
ôîðìèðîâàíèÿ âûðàæåíèÿ L2 (x):
L2 (x) = 0 ·
(x − 2)(x − 3)
(x − 1)(x − 3)
+2·
+
(1 − 2)(1 − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
(x − 1)(x − 2) 1 2 1
= x + x − 1. (3 − 1)(3 − 2)
2
2
√
Ïðèìåð 8.2. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = x, x ∈ [1, 4] ïîñòðîèòü èíòåð+5 ·
ïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà ïî óçëàì x0 = 1, x1 = 4. Îöåíèòü
ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëèðîâàíèÿ.
Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå n = 1 è òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
èìååò âèä
68
xi
1
4
fi
1
2
Òîãäà
x−4
x−1 1
2
+2·
= x+ .
1−4
4−1
3
3
Òåïåðü îöåíèì ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà
L1 (x) = 1 ·
(8.4):
|R(x)| 6
M2
max |ω2 (x)|.
2! 16x64
Ïðîâåäåì íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ
1
1
1
1
= √ = ,
f 00 (x) = − √ , M2 = max − √
16x64
4
4 x3
4 x3
4 13
ω2 (x) = (x − 1)(x − 4) = x2 − 5x + 4,
9
5
max |ω2 (x)| = ω
= .
16x64
2
4
Òîãäà
|R(x)| 6
1 1 9
9
· · =
≈ 0.28, x ∈ [1, 4]. 2 4 4 32
Èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Íüþòîíà
Ïðåäâàðèòåëüíî ââåäåì ïîíÿòèå ðàçäåëåííûõ ðàçíîñòåé.
Ðàçäåëåííûìè ðàçíîñòÿìè íóëåâîãî ïîðÿäêà ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ
f (xi ), i = 0, n.
Ðàçäåëåííûå ðàçíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà îïðåäåëèì â âèäå
f (xi ; xi+1 ) =
f (xi+1 ) − f (xi )
, i = 0, n − 1.
xi+1 − xi
Äàëåå ðàçäåëåííûìè ðàçíîñòÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàþòñÿ âåëè÷èíû
f (xi ; xi+1 ; xi+2 ) =
f (xi+1 ; xi+2 ) − f (xi ; xi+1 )
, i = 0, n − 2.
xi+2 − xi
69
 îáùåì ñëó÷àå ïðèâåäåì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ðàçäåëåííûõ ðàçíîñòåé
k -ãî ïîðÿäêà
f (xi ; xi+1 ; . . . ; xi+k ) =
f (xi+1 ; . . . ; xi+k ) − f (xi ; . . . ; xi+k−1 )
, i = 0, n − k.
xi+k − xi
Îòìåòèì, ÷òî íà ïðàêòèêå äëÿ ïîäñ÷åòà ðàçäåëåííûõ ðàçíîñòåé óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöåé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà âûáåðåì ñëó÷àé n = 3.
xi
ÐÐ-0
x0
f (x0 )
ÐÐ-1
ÐÐ-2
ÐÐ-3
f (x0 ; x1 )
x1
f (x1 )
f (x0 ; x1 ; x2 )
f (x1 ; x2 )
x2
f (x0 ; x1 ; x2 ; x3 )
f (x2 )
f (x1 ; x2 ; x3 )
f (x2 ; x3 )
x3
f (x3 )
Èñïîëüçóÿ óêàçàííûå ïîíÿòèÿ, ïðèâåäåì âèä èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà â ôîðìå Íüþòîíà
4
Nn (x) = f (x0 ) + f (x0 ; x1 )(x − x0 )+
+f (x0 ; x1 ; x2 )(x − x0 )(x − x1 ) + . . . +
(8.5)
+f (x0 ; x1 ; . . . ; xn )(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ).
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëèðîâàíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì
(8.4).
Ïðèìåð 8.3. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
1
2
3
fi
-1
2
4
Çàïèñàòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí â ôîðìå Íüþòîíà.
Ðåøåíèå. Ïîñòðîèì òàáëèöó ðàçäåëåííûõ ðàçíîñòåé
70
xi
ÐÐ-0
1
-1
ÐÐ-1
ÐÐ-2
3
2
2
-0,5
2
3
4
Èòàê, çäåñü
f (x0 ) = −1, f (x0 ; x1 ) = 3, f (x0 ; x1 ; x2 ) = −0, 5.
 ðåçóëüòàòå èìååì
N2 (x) = f (x0 ) + f (x0 ; x1 )(x − x0 )+
+f (x0 ; x1 ; x2 )(x − x0 )(x − x1 ) =
1
= −1 + 3(x − 1) − (x − 1)(x − 2) =
2
9
1
= − x2 + x − 5. 2
2
Óêàæåì äðóãîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà
Íüþòîíà.
Çàïèøåì ìíîãî÷ëåí â âèäå
Nn (x) = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )(x − x1 ) + . . . +
+cn (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ).
(8.6)
Êîýôôèöèåíòû ci , i = 0, n íàéäåì ñ ïîìîùüþ óñëîâèé èíòåðïîëèðîâàíèÿ (8.2) ïðè g(x) = Nn (x). Íà îñíîâàíèè ïðåäñòàâëåíèÿ (8.6) èìååì
Nn (x0 ) = c0 , Nn (x1 ) = c0 + c1 (x1 − x0 ),
Nn (x2 ) = c0 + c1 (x2 − x0 ) + c2 (x2 − x0 )(x2 − x1 ),
...
71
Nn (xn ) = c0 + c1 (xn − x0 ) + . . . + cn (xn − x0 ) · · · (xn − xn−1 ).
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ëèíåéíîé òðåóãîëüíîé ñèñòåìå îòíîñèòåëüíî
íåèçâåñòíûõ c0 , c1 , . . . , cn :
Nn (xi ) = fi , i = 0, n.
(8.7)
Ïðèìåð 8.4. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
2
4
5
fi
-2
1
4
Ïîñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí â ôîðìå Íüþòîíà.
Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå
N2 (x) = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )(x − x1 ) =
= c0 + c1 (x − 2) + c2 (x − 2)(x − 4).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òðåóãîëüíîé ñèñòåìû (8.7) ïðîâåäåì íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ
N2 (2) = c0 , N2 (4) = c0 + c1 (4 − 2) = c0 + 2c1 ,
N2 (5) = c0 + c1 (5 − 2) + c2 (5 − 2)(5 − 4) = c0 + 3c1 + 3c2 .
Îòñþäà
c0
= −2,
c0 + 2c1
= 1,
c + 3c + 3c = 4.
0
1
2
Ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ
c0 = −2, c1 =
3
1
, c2 = .
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî,
3
1
N2 (x) = −2 + (x − 2) + (x − 2)(x − 4) =
2
2
72
1
3
= x2 − x − 1. 2
2
8.2. Íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå
Ïðîäîëæèì èçó÷åíèå
çàäà÷è ïîèñêà àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè
g(x) ïî òàáëèöå (xi , f (xi )), i = 0, n.
Ôóíêöèþ g(x) ïîñòðîèì â âèäå àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà
Pm (x, α) = a0 + a1 x + . . . + am xm , α = (a0 , a1 , . . . , am )
ñòåïåíè íå âûøå n (m 6 n).
Äëÿ ïîèñêà êîýôôèöèåíòîâ α ìíîãî÷ëåíà Pm ñôîðìèðóåì çàäà÷ó
ϕ(α) =
n
X
2
(Pm (xi , α) − f (xi )) → min .
{α}
i=0
(8.8)
Çàäà÷à (8.8) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé íàèëó÷øåãî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî
ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f (x). Åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ íàáîð êîýôôèöèåíòîâ α∗ = (a∗0 , a∗1 , . . . , a∗m ). Ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãî÷ëåí Pm (x, α∗ ) íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàèëó÷øåãî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Óêàçàííûé ñïîñîá àïïðîêñèìàöèè íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ.
Îòìåòèì, ÷òî åñëè m = n (ñëó÷àé ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè n), òî Pn (x, α∗ )
åñòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí è çíà÷åíèå çàäà÷è (8.8) ðàâíî íóëþ:
ϕ(α∗ ) = 0.
 îáùåì ñëó÷àå (ïðè m < n) ìíîãî÷ëåí íàèëó÷øåãî ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ Pm (x, α∗ ) ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì.
Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíòû α∗ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû
∂ϕ(α)
= 0, k = 0, m.
∂ak
 ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðèõîäèì ê óðàâíåíèÿì
n
X
(Pm (xi , α) − f (xi ))xki = 0, k = 0, m.
i=0
73
(8.9)
Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (8.9) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ a0 , a1 , . . . , am .
Óêàæåì äðóãóþ ôîðìó çàïèñè ñîîòíîøåíèé (8.9):
m
X
skj aj =
j=0
skj =
n
X
f (xi )xki ,
(8.10)
i=0
n
X
xk+j
, k, j = 0, m.
i
i=0
Ïðèìåð 8.5. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
1
2
4
fi
-1
1
-2
Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí P1 (x, α∗ ), àïïðîêñèìèðóþùèé f (x) ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ϕ(α∗ ).
Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå n = 2, m = 1, P1 (x, α) = a0 + a1 x.
Ñôîðìèðóåì ëèíåéíóþ ñèñòåìó (8.10), ñâîäÿ ïðîìåæóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ â òàáëèöó
xi
fi
x0i
x1i
x2i
fi x0i
fi x1i
1
-2
1
1
1
-1
-1
2
1
1
2
4
1
2
4
-2
1
4
16
-2
-8
3
7
21
-2
-7
Σ
Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ â ïîñëåäíåé ñòðîêå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììó
ýëåìåíòîâ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòîëáöà.
Òîãäà èìååì
(
3a0 +
7a1 = −2,
7a0 + 21a1 = −7.
Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû:
a∗0 =
1 ∗
1
, a1 = − .
2
2
74
 èòîãå
P1 (x, α∗ ) =
ïðè÷åì
∗
ϕ(α ) =
2
X
1−x
,
2
2
(P1 (xi , α∗ ) − f (xi )) =
i=0
= (0 − (1))2 + (−0, 5 − 1)2 + (−1, 5 − (−2))2 = 3, 5. Ïðèâåäåííûé ñïîñîá àïïðîêñèìàöèè îïðåäåëÿåò äèñêðåòíûé âàðè-
àíò çàäà÷è î íàèëó÷øåì ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì ïðèáëèæåíèè (âõîäíûìè
äàííûìè çäåñü ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûé íàáîð çíà÷åíèé x0 , x1 , . . . , xn ). Óêàæåì ñîîòíîøåíèÿ, îïèñûâàþùèå íåïðåðûâíóþ çàäà÷ó :
àïïðîêñèìèðóþùàÿ ôóíêöèÿ:
f (x), x ∈ [a, b];
àïïðîêñèìèðóþùèé ìíîãî÷ëåí:
Pm (x, α) = a0 + a1 x + . . . + am xm ;
çàäà÷à î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè:
Zb
2
(Pm (x, α) − f (x)) dx → min;
ϕ(α) =
{α}
a
ëèíåéíàÿ ñèñòåìà äëÿ ïîèñêà êîýôôèöèåíòîâ α∗ :
∂ϕ(α)
= 0, k = 0, m ⇔
∂ak
Zb
⇔
(Pm (x, α) − f (x))xk dx = 0, k = 0, m.
(8.11)
a
Ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì ïðèâåäåì àëüòåðíàòèâíûé âèä ñèñòåìû
(8.11)
m
X
j=0
Zb
skj aj =
a
75
f (x)xk dx,
Zb
skj =
xk+j dx, k, j = 0, m.
a
8.3. Íàèëó÷øåå ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå
Êàê è ðàíåå, ôóíêöèþ g(x) áóäåì èñêàòü â âèäå àëãåáðàè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè íå âûøå m (m 6 n): g(x) = Pm (x, α).
Ñôîðìèðóåì çàäà÷ó ïîèñêà êîýôôèöèåíòîâ α = (a0 , a1 , . . . , am ) ìíîãî÷ëåíà Pm
ϕ(α) = max |Pm (xi , α) − f (xi )| → min .
06i6n
{α}
(8.12)
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ϕ(α) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåëè÷èíó ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ ìíîãî÷ëåíà Pm (x, α) îò çíà÷åíèé àïïðîêñèìèðóåìîé
ôóíêöèè f (x) ïî âñåì òî÷êàì xi , òî ñìûñë çàäà÷è (8.12) ñîñòîèò â ìèíèìèçàöèè ýòîãî îòêëîíåíèÿ.
Çàäà÷à (8.12) íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëè-
æåíèÿ ôóíêöèè f (x). Ïîíÿòíî, ÷òî åå ðåøåíèå ñîñòàâëÿåò íàáîð êîýôôèöèåíòîâ α∗ = (a∗0 , a∗1 , . . . , a∗m ). Ïðè ýòîì ìíîãî÷ëåí Pm (x, α∗ ) íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè f (x).
Ðåøåíèå çàäà÷è (8.12) çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó m è n.
Åñëè m = n, òî Pn (x, α∗ ) åñòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí
(ϕ(α∗ ) = 0).
Âûäåëèì ñèòóàöèþ, êîãäà m = n − 1. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé ÷åáûøåâñêîé èíòåðïîëÿöèè.  ýòîì ñëó÷àå ìíîãî÷ëåí
íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ Pn−1 (x, α∗ ) ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåí-
76
íûì. Êîýôôèöèåíòû α∗ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ëèíåéíîé ñèñòåìû
a0 + a1 x0 + . . . + am xm
= f (x0 ),
0 + h
a + a x + . . . + a xm − h
= f (x1 ),
0
1 1
m 1
...
a + a x + . . . + a xm + (−1)n h = f (x ),
0
1 n
m n
n
(8.13)
ãäå h íåèçâåñòíàÿ âåëè÷èíà.  äàííîì ñëó÷àå îòêëîíåíèå ìíîãî÷ëåíà
P (x, α∗ ) îò ôóíêöèè f (x) â óçëàõ xi , i = 0, n ñîñòàâëÿåò ïîñòîÿííóþ
âåëè÷èíó |h|. Ïîýòîìó ϕ(α∗ ) = |h|.
Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé, êîãäà m < n − 1. Çäåñü òàêæå ìíîãî÷ëåí
íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ Pm (x, α∗ ) ñóùåñòâóåò è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Êîýôôèöèåíòû α∗ èùóòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìíîãî÷ëåí Pm
îñóùåñòâëÿë ÷åáûøåâñêóþ èíòåðïîëÿöèþ íà íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè èç
m + 2 óçëîâ {xi0 , . . . , xim+1 } èñõîäíîãî íàáîðà {x0 , . . . , xn }.
 çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì ñõåìó ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíà íàèëó÷øåãî
ïðèáëèæåíèÿ :
1) åñëè m = n, òî íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí
(â ôîðìå Ëàãðàíæà èëè Íüþòîíà);
2) åñëè m = n − 1, òî èìååì çàäà÷ó ÷åáûøåâñêîé èíòåðïîëÿöèè, ðåøåíèå
êîòîðîé ïðîâîäèòñÿ ÷åðåç ðåøåíèå ëèíåéíîé ñèñòåìû (8.13);
3) åñëè m < n − 1, òî, ïåðåáèðàÿ âñåâîçìîæíûå íàáîðû èç m + 2 òî÷åê
çàäàííîé ñèñòåìû óçëîâ {x0 , x1 , . . . , xn }, ðåøèì çàäà÷è ÷åáûøåâñêîé èíòåðïîëÿöèè.  ðåçóëüòàòå áóäóò ïîñòðîåíû ìíîãî÷ëåíû Pm (x, αk∗ ), k =
= 1, 2, . . . . Äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ âû÷èñëèì âåëè÷èíó ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ ϕ(αk∗ ) ïî ïðàâèëó (8.12). Ñðåäè ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé âûáåðåì íàèìåíüøåå. Ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãî÷ëåí áóäåò ÿâëÿòüñÿ
ìíîãî÷ëåíîì íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ.
Ïðèìåð 8.6. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
77
xi
-1
0
1
fi
0
1
4
Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí P1 (x, α∗ ), ðåøàþùèé çàäà÷ó î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè f (x). Âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ϕ(α∗ ).
Ðåøåíèå. Ïîíÿòíî, ÷òî n = 2, m = 1, P1 (x, α) = a0 + a1 x. Ïîñêîëüêó
â äàííîì ñëó÷àå m = n − 1, èìååì çàäà÷ó ÷åáûøåâñêîé èíòåðïîëÿöèè.
Ñîñòàâèì ñèñòåìó (8.13):
a0 − a1 + h = 0,
a0
− h = 1,
a + a + h = 4.
0
1
Åå ðåøåíèå:
h=
1 ∗ 3 ∗
, a = , a = 2.
2 0 2 1
Òàêèì îáðàçîì,
P1 (x, α∗ ) =
1
3
+ 2x, ϕ(α∗ ) = |h| = . 2
2
8.4. Àïïðîêñèìàöèÿ ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ
Ïðîâåäåì àïïðîêñèìàöèþ ôóíêöèè f (x) ïî òàáëèöå {xi , f (xi )}, i =
= 0, n ñ ïîìîùüþ îáîáùåííîãî ìíîãî÷ëåíà
Q(x, α) = a0 p0 (x) + a1 p1 (x) + . . . + am pm (x).
Çäåñü α = (a0 , a1 , . . . , am ) íàáîð íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ, (p0 (x),
p1 (x), . . . , pm (x)) çàäàííàÿ ñèñòåìà áàçèñíûõ ôóíêöèé. Ïðèìåðàìè ýòîé
ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ:
1) ñòåïåííûå ôóíêöèè pi (x) = xi , i = 0, m;
2) ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà (ðå÷ü î íèõ ïîéäåò íèæå).
Îòìåòèì, ÷òî â ýòèõ ñëó÷àÿõ Qm (x, α) åñòü àëãåáðàè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí.
78
Äëÿ ïîèñêà êîýôôèöèåíòîâ a0 , a1 , . . . , am ñôîðìèðóåì ôóíêöèþ
ϕ(α) =
n
X
2
(Qm (xi , α) − f (xi ))
i=0
è ïîñòàâèì çàäà÷ó
ϕ(α) → min .
{α}
(8.14)
Åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ íàáîð êîýôôèöèåíòîâ α∗ = (a∗0 , a∗1 , . . . , a∗1 ). Äëÿ èõ
ïîèñêà âîñïîëüçóåìñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ìèíèìóìà
â çàäà÷å (8.14):
∂ϕ(α)
= 0, k = 0, m.
∂ak
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ëèíåéíîé ñèñòåìå âèäà
m
X
skj aj =
j=0
skj =
n
X
f (xi )pk (xi ),
(8.15)
i=0
n
X
pk (xi )pj (xi ), k, j = 0, m.
i=0
Ïðîâåäåì óïðîùåíèå ñèñòåìû (8.15).
Îïðåäåëåíèå 8.1. Ôóíêöèè p(x) è q(x) íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè íà ìíîæåñòâå òî÷åê x0 , x1 , . . . , xn , åñëè
n
X
p(xk )q(xk ) = 0.
k=0
Îïðåäåëåíèå 8.2. Ñèñòåìà ôóíêöèé p0 (x), p1 (x), . . . , pm (x) íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé îòíîñèòåëüíî íàáîðà xi , i = 0, n, åñëè
n
X
pi (xk )pj (xk ) = 0, i, j = 0, m, i 6= j.
k=0
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà áàçèñíûõ ôóíêöèé pi (x), i = 0, m ÿâëÿåòñÿ
îðòîãîíàëüíîé. Òîãäà ìàòðèöà ëèíåéíîé ñèñòåìû (8.15) ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé: skj = 0, k 6= j . Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ÿâíûì âûðàæåíèÿì
79
äëÿ êîýôôèöèåíòîâ α∗ :
n
P
a∗0 =
n
P
fi p0 (xi )
i=0
n
P
, . . . , a∗m =
p20 (xi )
i=0
fi pm (xi )
i=0
n
P
.
(8.16)
p2m (xi )
i=0
Íàêîíåö, óêàæåì îäèí èç âàðèàíòîâ íàáîðà îðòîãîíàëüíûõ áàçèñíûõ
ôóíêöèé ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà íà ìíîæåñòâå òî÷åê {xi }, i = 0, n:
p0 (x) = 1, p1 (x) = x − b,
pi (x) = (x − ci )pi−1 (x) − di pi−2 (x), i = 2, m,
ãäå
n
P
xj pi−1 (xj )
n
1 X
j=0
xj , c i = P
,
b=
n
n + 1 j=0
2
pi−1 (xj )
j=0
n
P
di =
xj pi−1 (xj )pi−2 (xj )
j=0
n
P
j=0
.
p2i−2 (xj )
Ïðèìåð 8.7. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
1
2
3
fi
0
2
5
Ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà ïîñòðîèòü Q1 (x, α∗ ). Âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ϕ(α∗ ).
Ðåøåíèå. Ïðîâåäåì àíàëèç óñëîâèé çàäà÷è:
n = 2, Q1 (x, α) = a0 p0 (x) + a1 p1 (x),
3
1X
p0 (x) = 1, b =
xj = 2, p1 (x) = x − 2.
3 j=0
Äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ ñâåäåì â òàáëèöó
80
xi fi p0 (xi ) p1 (xi ) p20 (xi ) p21 (xi ) fi p0 (xi ) fi p1 (xi )
1
0
1
-1
1
1
0
0
2
2
1
0
1
0
2
0
3
5
1
1
1
1
5
5
3
2
7
5
Σ
Îñòàëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (8.16):
a∗0 =
7 ∗ 5
, a = .
3 1 2
Òîãäà
Q1 (x, α∗ ) =
∗
ϕ(α ) =
2
X
7
5
x + (x − 2),
3
2
2
(Q1 (xi , α∗ ) − f (xi )) =
i=0
2 2 2
1
7
29
= − −0 +
−2 +
−5 =
6
3
6
1
1
1
1
=
+ +
= .
36 9 36 6
8.5. Êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ
Îäíèì èç ïóòåé ïîâûøåíèÿ êà÷åñòâà àïïðîêñèìàöèè ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ âûñîêèõ ñòåïåíåé. Íî áîëåå
ïåðñïåêòèâíûì ñïîñîáîì ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíîé
àïïðîêñèìàöèè. Îñíîâíàÿ èäåÿ ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî àïïðîêñèìèðóþùàÿ ôóíêöèÿ g(x) ñîñòàâëÿåòñÿ èç ìíîãî÷ëåíîâ, êàê ïðàâèëî,
îäèíàêîâîé íåáîëüøîé ñòåïåíè, îïðåäåëåííûõ êàæäûé íà ñâîåé ÷àñòè
îòðåçêà [a, b].  êà÷åñòâå ïðèìåðà îïèøåì ñïîñîá êóñî÷íî-ëèíåéíîé àï-
ïðîêñèìàöèè.
81
Ïîñòðîèì êóñî÷íî-ëèíåéíóþ ôóíêöèþ
g1 (x), x ∈ [x0 , x1 ),
g (x), x ∈ [x , x ),
2
1 2
g(x) =
...
g (x), x ∈ [x , x ],
n
n−1 n
gi (x) = ci x + di , i = 1, n.
Çäåñü ÷èñëà ci , di , i = 1, n ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè.
Ñäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:
1) ôóíêöèÿ g(x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì èíòåðïîëèðîâàíèÿ
g(xi ) = fi , i = 0, n;
(8.17)
2) ôóíêöèÿ g(x) íåïðåðûâíà â óçëàõ xi , i = 1, n − 1:
gi (xi ) = gi+1 (xi ), i = 1, n − 1.
(8.18)
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ôóíêöèé gi (x), ïðåäñòàâèì ðàçâåðíóòóþ ôîðìó çàïèñè óñëîâèé (8.17)(8.18):
c1 x0 + d1 = f0 ,
c1 x1 + d1 = f1 ,
c2 x1 + d2 = f1 ,
c2 x2 + d2 = f2 ,
...
cn xn−1 + dn = fn−1 ,
c x +d = f .
n n
n
n
(8.19)
Ýòî ëèíåéíàÿ ñèñòåìà îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ ci , di , i = 1, n. Ïîäñ÷èòàåì îáùåå ÷èñëî óðàâíåíèé: 2(n − 1) + 2 = 2n.
Ðåøèâ ñèñòåìó (8.19), ïîëó÷èì ÿâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèé gi (x),
i = 1, n, ñîñòàâëÿþùèõ àïïðîêñèìèðóþùóþ ôóíêöèþ g(x).
Ïðèìåð 8.8. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
82
xi
-1
2
3
fi
0
2
-1
Ïîñòðîèòü êóñî÷íî-ëèíåéíóþ ôóíêöèþ g(x), àïïðîêñèìèðóþùóþ f (x).
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó n = 2, òî
g1 (x) = c1 x + d1 , g2 (x) = c2 x + d2 .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñåë c1 , d1 , c2 , d2 ñîñòàâèì ñèñòåìó (8.19)
c1 x0 + d1
c x +d
1 1
1
c2 x1 + d2
c x +d
2 2
Îòñþäà èìååì
2
= f0 ,
= f1 ,
= f1 ,
= f2 .
−c1 + d1
2c + d
1
1
2c2 + d2
3c2 + d2
Ñëåäîâàòåëüíî,
c1 = d1 =
= 0,
= 2,
= 2,
= −1.
2
, c2 = −3, d2 = 8.
3
Òàêèì îáðàçîì,
2 x + 2 , −1 6 x 6 2,
3
3
g(x) =
−3x + 8, 2 6 x 6 3. Óïðàæíåíèÿ
1. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-2
0
2
3
fi
-1
1
2
4
83
Ïîñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà. Âû÷èñëèòü
ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå äëÿ f (1).
2. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-1
1
3
4
fi
0
2
1
0
Ïîñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí â ôîðìå Íüþòîíà. Âû÷èñëèòü
ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå äëÿ f (2).
1
, x ∈ [−1, 1] àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïî óçëàì
x+2
{−1, 0, 1} ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà Ëàãðàíæà. Çàïè-
3. Ôóíêöèÿ f (x) =
ñàòü âûðàæåíèå äëÿ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè.
x
2
{−π, 0, π} ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà Íüþòîíà. Çàïè-
4. Ôóíêöèÿ f (x) = − sin , x ∈ [−π, π] àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïî óçëàì
ñàòü âûðàæåíèå äëÿ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè.
5. Íà äåêàðòîâîé ïëîñêîñòè x1 0x2 çàäàíû òî÷êè (−1, 3), (1, 1), (2, 3).
Èñïîëüçóÿ èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà, ïîñòðîèòü êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ âèäà x2 = f (x1 ), ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòè òî÷êè.
1
, x ∈ [−4, −1] àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïî óçëàì
−x
{−4, −3, −2, −1} ñ ïîìîùüþ èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíîãî÷ëåíà Ëàãðàíæà.
6. Ôóíêöèÿ f (x) =
a2
Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà a îöåíêà ïîãðåøíîñòè èíòåðïîëèðîâàíèÿ íå ïðåâîñõîäèò 10−5 ?
7. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
0
2
4
fi
-3
1
3
Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí P1 (x, α∗ ), àïïðîêñèìèðóþùèé f (x) ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
84
8. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-1
0
1
2
fi
-2
1
2
3
Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí P2 (x, α∗ ), àïïðîêñèìèðóþùèé f (x) ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
9. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-3
-2
0
1
fi
-2
2
1
5
Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí P1 (x, α∗ ), àïïðîêñèìèðóþùèé f (x) ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
10. Ïî çàäàííîé òàáëèöå ôóíêöèè
xi
-1
1
3
fi
2
-1
0
ïîñòðîèòü ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, àïïðîêñèìèðóþùóþ f (x) ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, è âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå äëÿ f (2).
11. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = ex , x ∈ [0, 1] ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí íàèëó÷øåãî
ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ P1 (x, α∗ ).
12. Ïî çàäàííîé òàáëèöå ôóíêöèè
xi
-1
1
2
fi
5
-1
1
ïîñòðîèòü ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, ïðîâîäÿùóþ ÷åáûøåâñêóþ èíòåðïîëÿöèþ, è âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå f (1.5).
13. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-1
0
1
2
fi
0
2
1
-1
85
Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí P2 (x, α∗ ), ðåøàþùèé çàäà÷ó î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè f (x). Âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ϕ(α∗ ).
14. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-2
-1
0
1
fi
-3
2
1
2
Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí P1 (x, α∗ ), ðåøàþùèé çàäà÷ó î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè f (x). Âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ϕ(α∗ ).
15. Ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí P3 (x, α), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì
P3 (−1, α) = 0 , P3 (0, α) =
7
, P3 (1, α) = 1 , P3 (2, α) = 2 .
3
16. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-3
2
1
4
fi
-2
4
3
-6
Ïîñòðîèòü êóñî÷íî-ëèíåéíóþ ôóíêöèþ g(x), àïïðîêñèìèðóþùóþ f (x).
17. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-2
-1
3
fi
1
-2
2
Ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà ïîñòðîèòü Q1 (x, α∗ ). Âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ϕ(α∗ ).
18. Äàíà òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
xi
-1
0
1
2
fi
-1
1
0
-2
Ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà ïîñòðîèòü Q1 (x, α∗ ). Âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ϕ(α∗ ).
86
9. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a, b] ÷èñëîâîé îñè. Ïîñòàâèì çàäà÷ó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà
Zb
I(f ) =
f (x)dx,
a
èñïîëüçóÿ çíà÷åíèÿ fi , i = 1, n ôóíêöèè f (x) â íåêîòîðûõ òî÷êàõ x1 , . . .,
xn èç [a, b]: fi = f (xi ), i = 1, n.
Ïðèâåäåì ðÿä îïðåäåëåíèé.
Îïðåäåëåíèå 9.1. Ñîîòíîøåíèå âèäà
Zb
f (x)dx ≈
a
n
X
4
ci f (xi ) = S(f )
(9.1)
i=1
íàçûâàåòñÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé. Çäåñü S(f ) êâàäðàòóðíàÿ ñóììà,
ci êâàäðàòóðíûå êîýôôèöèåíòû, xi êâàäðàòóðíûå óçëû.
Îïðåäåëåíèå 9.2. Ïîãðåøíîñòüþ êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû (9.1) íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
Rn (f ) = I(f ) − S(f ).
Åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè f (x) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî Rn (f ) = 0,
òî êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé.
Îïðåäåëåíèå 9.3. Êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà S(f ) èìååò àëãåáðàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòè m, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé ïðè f (x) =
= xk , k = 1, m è íå òî÷íà ïðè f (x) = xm+1 : Rn (xk ) = 0, k = 1, m,
Rn (xm+1 ) 6= 0.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïîäõîäû ê ïîñòðîåíèþ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë.
87
9.1. Èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä
Ââåäåì íà îòðåçêå [a, b] ðàâíîìåðíóþ ñåòêó
a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b, xi − xi−1 = h, i = 1, n.
b−a
íàçûâàåòñÿ øàãîì ñåòêè. Î÷åâèäíî,
Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà h =
n
÷òî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå
n Zxi
X
I(f ) =
f (x)dx.
(9.2)
i=1 x
i−1
Ôîðìóëû ïðÿìîóãîëüíèêîâ
Ïðîâåäåì çàìåíó ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [xi−1 , xi ] èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîì Ëàãðàíæà íóëåâîé ñòåïåíè L0,i (x).
1.  êà÷åñòâå èñõîäíûõ äàííûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ L0,i (x) âîçüìåì òî÷êó
xi−1 è ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå f (xi−1 ). Ïîíÿòíî, ÷òî L0,i (x) = f (xi−1 ).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
Zxi
Zxi
f (x)dx ≈
xi−1
L0,i dx = hf (xi−1 ).
xi−1
 ñèëó (9.2) ïðèõîäèì ê êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíè-
êîâ
S(f ) = h
n
X
f (xi−1 ).
(9.3)
i=1
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè ôîðìóëû (9.3) èìååò âèä
|R(f )| 6
h(b − a)
max |f 0 (x)|.
a6x6b
2
(9.4)
2. Åñëè äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíà L0,i (x) âîñïîëüçîâàòüñÿ òî÷êîé
(xi , f (xi )), òî ïîëó÷èì êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ
S(f ) = h
n
X
i=1
88
f (xi ).
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè çäåñü òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì (9.4).
3. Âû÷èñëèì ñåðåäèíó xi îòðåçêà [xi−1 , xi ]:
xi =
xi−1 + xi
2
è ïîñòðîèì ìíîãî÷ëåí L0,i (x) ñ ïîìîùüþ òî÷êè (xi , f (xi )). Òîãäà èìååì
êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ
S(f ) = h
n
X
f (xi ).
i=1
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè çäåñü èìååò âèä
h2 (b − a)
|R(f )| 6
max |f 00 (x)|.
a6x6b
24
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ôîðìóëû ëåâûõ è ïðàâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ èìåþò
àëãåáðàè÷åñêóþ ñòåïåíü òî÷íîñòè, ðàâíóþ 1, à ôîðìóëà ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàâíóþ 2.
Ôîðìóëà òðàïåöèé
Çàìåíèì f (x) åå èíòåðïîëÿöèîííûì ìíîãî÷ëåíîì L1,i (x) ïî çíà÷åíèÿì f (xi−1 ), f (xi ). Ýòîò ìíîãî÷ëåí èìååò âèä
L1,i (x) =
1
[(x − xi−1 )f (xi ) − (x − xi )f (xi−1 )].
h
Ïðè ýòîì
Zxi
Zxi
f (x)dx ≈
xi−1
L1,i (x)dx =
f (xi−1 ) + f (xi )
h.
2
xi−1
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå òðàïåöèé
S(f ) = h
f (x0 ) + f (xn )
+
2
89
n−1
X
i=1
!
f (xi ) .
Ïðèâåäåì îöåíêó ïîãðåøíîñòè
h2 (b − a)
|R(f )| 6
max |f 00 (x)|.
a6x6b
12
Ôîðìóëà ïàðàáîë (Ñèìïñîíà)
Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Â ïðåäåëàõ îòðåçêà [xi−1 , xi ] âûäåëèì
xi−1 + xi
è ïîñòðîèì èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí
2
L2,i (x) ïî òðåì òî÷êàì (xi−1 , f (xi−1 )), (xi , f (xi )), (xi , f (xi )). Òîãäà
ñðåäíþþ òî÷êó xi =
Zxi
Zxi
f (x)dx ≈
xi−1
L2,i (x)dx =
h
(f (xi−1 ) + 4f (xi ) + f (xi )).
6
xi−1
 èòîãå êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà ïàðàáîë ïðèíèìàåò âèä
S(f ) =
h
(f (x0 ) + f (xn ) + 2(f (x1 ) + . . . + f (xn−1 ))+
6
+4(f (x1 ) + . . . + f (xn ))).
Îöåíêà ïîãðåøíîñòè
h4 (b − a)
|R(f )| 6
max |f IV (x)|.
2880 a6x6b
Ïðèìåð 9.1. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = x2 âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà
Z4
I=
f (x)dx
0
ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, çàäàâàÿ n = 8. îöåíèòü
ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ðåøåíèå. Ïîíÿòíî, ÷òî çäåñü a = 0, b = 4. Âû÷èñëèì øàã ñåòêè
h=
b−a 1
= .
n
2
Äàëåå ñîñòàâèì òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè f (x)
90
xi
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
fi
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
12,25
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ (9.3)
1
I ≈ (0 + 0, 25 + 1 + 2, 25 + 4 + 6, 25 + 9 + 12, 25) = 17, 5.
2
Òåïåðü ïåðåéäåì ê îöåíêå ïîãðåøíîñòè èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ
íåðàâåíñòâà (9.4). Ïðîâåäåì íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ
max |f 0 (x)| = max |2x| = 8.
06x64
06x64
Òîãäà
|R| 6
4
· 8 = 8.
2·2
9.2. Ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ
Âîçüìåì çà îñíîâó îáùóþ ôîðìóëó
I(f ) ≈ S(f ) =
n
X
ci f (xi ).
(9.5)
i=0
Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû ci , i = 0, n îïðåäåëèì òàê, ÷òîáû ôîðìóëà
(9.5) áûëà òî÷íîé äëÿ âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå n. Îòìåòèì,
÷òî â êà÷åñòâå óêàçàííûõ ìíîãî÷ëåíîâ äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ôóíêöèè
f (x) = xk , k = 0, n.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé
S(xk ) = I(xk ), k = 0, n.
(9.6)
 ñèëó ðàâåíñòâà (9.5) ñèñòåìà (9.6) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî
íåèçâåñòíûõ c0 , c1 , . . . , cn .
Ïðèìåð 9.2. Ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ ïîñòðîèòü
ôîðìóëó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà
Zb
I(f ) =
f (x)dx,
a
91
ïîëàãàÿ n = 1, x0 = a, x1 = b.
Ðåøåíèå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (9.5) èñêîìàÿ ôîðìóëà èìååò ñëåäóþùóþ
ñòðóêòóðó
S(f ) = c0 f (x0 ) + c1 f (x1 ) = c0 f (a) + c1 f (b).
Äëÿ ïîèñêà êîýôôèöèåíòîâ c0 , c1 ñîñòàâèì ñèñòåìó (9.6). Ñ ýòîé öåëüþ
ïðîâåäåì ïðîìåæóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ
Zb
I(x0 ) =
x0 dx =
a
I(x1 ) =
Zb
dx = b − a,
a
Zb
1
1
x1 dx = b2 − a2 ,
2
2
a
S(x0 ) = c0 a0 + c1 b0 = c0 + c1 ,
S(x1 ) = c0 a1 + c1 b1 = ac0 + bc1 .
 ðåçóëüòàòå èìååì ñèñòåìó
c0 +
ac0
c1 = b − a,
b2 − a2
+ bc1 =
.
2
Åå ðåøåíèå:
c0 = c1 =
b−a
.
2
Òàêèì îáðàçîì,
S(f ) =
b−a
b−a
f (a) + f (b)
f (a) +
f (b) =
(b − a).
2
2
2
Ïîëó÷èëè ôîðìóëó òðàïåöèé äëÿ ñëó÷àÿ n = 1. 92
Óïðàæíåíèÿ
1. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = (x + 1)3 íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå
çíà÷åíèå èíòåãðàëà
Z4
I=
f (x)dx
0
ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Òðåáóåòñÿ:
1) íàéòè íàèìåíüøåå ÷èñëî n, îáåñïå÷èâàþùåå ïîãðåøíîñòü èíòåãðèðî-
3
;
2
2) èñïîëüçóÿ íàéäåííîå n, âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå I .
âàíèÿ, ìåíüøóþ, ÷åì
2. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = −(x − 1)3 íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå
çíà÷åíèå èíòåãðàëà
Z3
I=
f (x)dx
−1
ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû òðàïåöèé. Òðåáóåòñÿ:
1) íàéòè íàèìåíüøåå ÷èñëî n, îáåñïå÷èâàþùåå ïîãðåøíîñòü èíòåãðèðî-
5
;
4
2) èñïîëüçóÿ íàéäåííîå n, âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå I .
âàíèÿ, ìåíüøóþ, ÷åì
3. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = x2 − 1 âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà
Z2
I=
f (x)dx
−2
ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû òðàïåöèé, ïîëàãàÿ n = 8. Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü
èíòåãðèðîâàíèÿ.
4. Âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ
Z4
Ik =
xk dx, k = 1, 2, 3, 4
0
ïî ôîðìóëàì ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, òðàïåöèé, ïàðàáîë ñ øàãîì h = 1.
93
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ òî÷íûìè çíà÷åíèÿìè.
5. Âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà
Z2
I=
(1 + x + x2 + x3 + x4 )dx
−2
ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ïðàâûõ è ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ øàãîì h = 1.
Îöåíèòü ïîãðåøíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ òî÷íûì çíà÷åíèåì I .
6. Ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ ïîñòðîèòü ôîðìóëó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà
Zb
f (x)dx,
I(f ) =
a
a+b
, x2 = b.
2
7. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà
ïîëàãàÿ n = 2, x0 = a, x1 =
Z1
I(f ) =
f (x)dx
−2
ñ ïîìîùüþ ìåòîäà íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ ïîñòðîèòü ôîðìóëó
÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîëàãàÿ n = 2, x0 = a, x1 = a +
x2 = b.
94
b−a
,
3
10. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè âèäà
y 0 = f (x, y), y(x0 ) = y0
(10.1)
íà îòðåçêå [x0 , x0 + a].
Çäåñü y = y(x) íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, âåëè÷èíà y0 çàäàåò íà÷àëüíîå
óñëîâèå.
Íà îòðåçêå [x0 , x0 + a] ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó x1 , x2 , . . . , xn óçëîâ
èíòåãðèðîâàíèÿ:
a
, i = 1, n.
n
Âåëè÷èíà h = xi+1 − xi íàçûâàåòñÿ øàãîì èíòåãðèðîâàíèÿ.
xi = x0 + ih, h =
Îáîçíà÷èì ÷åðåç yi , i = 1, n ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
(10.1), ïîëó÷åííîå íåêîòîðûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì, â óçëàõ èíòåãðèðîâàíèÿ: yi ≈ y(xi ), i = 1, n.  ðåçóëüòàòå òî÷íîå ðåøåíèå àïïðîêñèìèðóåòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ òî÷åê y1 , y2 , . . . , yn .
Ïîãðåøíîñòü ìåòîäà â óçëå xi îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì ri = y(xi )−
−yi , i = 1, n.
Ïîãðåøíîñòü ri îöåíèâàþò â çàâèñèìîñòè îò øàãà h.
Ãëîáàëüíàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè õàðàêòåðèçóåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
R = max |ri |, R 6 Chp .
16i6n
Çäåñü p ïîðÿäîê òî÷íîñòè ìåòîäà.
Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è
Êîøè (10.1).
95
10.1. Ìåòîäû Ýéëåðà
ßâíûé ìåòîä Ýéëåðà
yi+1 = yi + hf (xi , yi ), i = 0, n − 1
(10.2)
(òî÷êà yi+1 ÿâíûì îáðàçîì âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðåäûäóùóþ yi ).
Íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà
yi+1 = yi + hf (xi+1 , yi+1 ), i = 0, n − 1
(10.3)
(òî÷êà yi+1 çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (10.3) íåÿâíî).
ßâíûé è íåÿâíûé ìåòîäû Ýéëåðà èìåþò ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè:
R ∼ O(h).
Óòî÷íåííûé ìåòîä Ýéëåðà
yi+1 = yi−1 + 2hf (xi , yi ), i = 1, n − 1.
(10.4)
Ôîðìóëà (10.4) îïðåäåëÿåò äâóøàãîâûé ìåòîä : äëÿ ïîäñ÷åòà yi+1 èñïîëüçóþòñÿ äâå òî÷êè yi−1 è yi . Îòìåòèì, ÷òî âû÷èñëåíèÿ çäåñü ñëåäóåò
íà÷èíàòü ñ èíäåêñà i = 1:
y2 = y0 + 2hf (x1 , y1 ).
Íåäîñòàþùåå çíà÷åíèå y1 íåîáõîäèìî èñêàòü äðóãèì ÷èñëåííûì ìåòîäîì
(íàïðèìåð, ÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà).
Ïîðÿäîê òî÷íîñòè ìåòîäà âòîðîé: R ∼ O(h2 ).
Ïðèìåð 10.1. Äëÿ çàäà÷è Êîøè
y 0 = −xy, y(0) = 1, x ∈ [0, 2]
íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ÿâíûì è íåÿâíûì ìåòîäàìè Ýéëåðà, ïîëàãàÿ n = 4.
96
Ðåøåíèå. Ïîíÿòíî, ÷òî çäåñü
x0 = 0, y0 = 1, a = 2, f (x, y) = −xy, h =
Ïîñòðîèì ñåòêó
a
1
= .
n 2
1
i
xi = 0 + i = , i = 0, 4.
2
2
Ïðîâåäåì âû÷èñëåíèÿ, èñïîëüçóÿ ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà (10.2):
yi+1 = yi − hxi yi , i = 0, 3.
 ðåçóëüòàòå èìååì
y1 = y0 − hx0 y0 = 1 −
1
· 0 · 1 = 1,
2
1 1
· · 1 = 0, 75,
2 2
3
3 1
y3 = y2 − hx2 y2 = − · 1 · = 0, 375,
4 2
4
3 1 3 3
y4 = y3 − hx3 y3 = − · · = 0, 09375.
8 2 2 8
y2 = y1 − hx1 y1 = 1 −
Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ íåÿâíûì ìåòîäîì Ýéëåðà (10.3):
yi+1 = yi − hxi+1 yi+1 , i = 0, 3.
(10.5)
Çàïèøåì ÿâíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ yi+1 , ðåøèâ óðàâíåíèå (10.5) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî yi+1
yi+1 =
Òîãäà
y1 =
yi
, i = 0, 3.
1 + hxi+1
y0
1
=
1 + hx1
1 + 21 ·
1
2
=
4
= 0, 8,
5
4
y1
8
5
y2 =
=
=
≈ 0, 533,
1
1 + hx2
1 + 2 · 1 15
8
y2
15
y3 =
=
1 + hx3
1 + 12 ·
97
3
2
=
32
≈ 0, 305,
105
32
y2
16
105
=
≈ 0, 152.
y4 =
=
1 + hx3
1 + 21 · 2 105
Èíòåðåñíî
íàéäåííîå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ òî÷íûì
ñðàâíèòü
x2
y(x) = exp
. Ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ ñâåäåì â òàáëèöó
2
ßâíûé ÌÝ
Íåÿâíûé ÌÝ
i
xi
y(xi )
yi
|ri |
yi
|ri |
0
0
1
1
0
1
0
1
0,5
0,883
1
0,117
0,8
0,083
2
1
0,607
0,75
0,143 0,533
0,074
3
1,5
0,325
0,375
0,05
0,305
0,02
4
2
0,135
0,094 0,041 0,152
0,017
Íàéäåì ãëîáàëüíûå ïîãðåøíîñòè:
ÿâíûé ìåòîä: R = 0, 143;
íåÿâíûé ìåòîä: R = 0, 083.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà â
äàííîì ñëó÷àå ïîêàçàë áîëåå òî÷íûå ðåçóëüòàòû ïî ñðàâíåíèþ ñ ÿâíûì
ìåòîäîì.
10.2. Ìåòîäû Ðóíãå Êóòòà
Îáùàÿ ñõåìà ýòîãî êëàññà ìåòîäîâ èìååò âèä
yi+1 = yi + h
m
X
pj kj , i = 0, n − 1,
j=1
k1 = f (xi , yi ),
k2 = f (xi + α2 h, yi + β21 hk1 ),
...
km = f (xi + αm h, yi + βm1 hk1 + . . . + βm,m−1 hkm−1 ).
98
(10.6)
Çäåñü p1 , . . . , pm , α2 , . . . , αm , βlq , 0 < q < l 6 m ïàðàìåòðû ìåòîäà, ïîäëåæàùèå âûáîðó. Ôîðìóëà (10.6) îïðåäåëÿåò m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå Êóòòà.
Âûäåëèì èç (10.6) íåêîòîðûå êîíêðåòíûå âàðèàíòû ôîðìóë òèïà Ðóíãå Êóòòà.
1. Ïóñòü m = 1 (îäíîýòàïíûé ìåòîä ).  ýòîì ñëó÷àå p1 = 1, ò. å.
yi+1 = yi + hf (xi , yi ), i = 0, n − 1.
Ýòî ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà.
2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé m = 2 (äâóõýòàïíûé ìåòîä ). Ïîëîæèì p1 =
1
= p2 = , α2 = 1, β21 = 1. Òîãäà ôîðìóëà (10.6) ïðèíèìàåò âèä
2
h
yi+1 = yi + (f (xi , yi ) + f (xi + h, yi + hf (xi , yi ))), i = 0, n − 1.
2
Îòìåòèì, ÷òî äðóãîå íàçâàíèå ìåòîäà ìåòîä Ýéëåðà ñ ïåðåñ÷åòîì.
1
2
1
2
Åñëè ïîëîæèòü p1 = 0, p2 = 0, α = , β21 = , òî ïðèõîäèì ê ôîðìóëå
h
h
yi+1 = yi + hf (xi + , yi + f (xi , yi )), i = 0, n − 1.
2
2
Ýòî ìåòîä ñðåäíåé òî÷êè.
 îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîðÿäîê ìåòîäîâ âòîðîé: R ∼ O(h2 ).
10.3. Ìåòîäû Àäàìñà
Îáùàÿ ñõåìà ìåòîäîâ Àäàìñà èìååò âèä
yi = yi−1 + h(b0 fi + b1 fi−1 + . . . + bm fi−m ), i = m, n,
(10.7)
ãäå fi = f (xi , yi ). Êîýôôèöèåíòû b0 , b1 , . . . , bm ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè
ìåòîäà.
Ôîðìóëà (10.7) îïðåäåëÿåò m-øàãîâûé ìåòîä Àäàìñà (m = 1, 2, . . .).
99
Âû÷èñëåíèÿ çäåñü ñëåäóåò íà÷èíàòü ñ èíäåêñà i = m:
ym = ym−1 + h(b0 f (xm , ym ) + . . . + bm f (x0 , y0 )).
Íåäîñòàþùèå çíà÷åíèÿ y1 , . . . , ym−1 íåîáõîäèìî èñêàòü ñ ïîìîùüþ äðóãîãî ÷èñëåííîãî ìåòîäà (íàïðèìåð, ìåòîäîì Ýéëåðà).
Îòìåòèì, ÷òî åñëè b0 = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùèé ìåòîä Àäàìñà ÿâëÿåòñÿ
ÿâíûì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (b0 6= 0) ôîðìóëà (10.7) îïðåäåëÿåò íåÿâíûé
ìåòîä Àäàìñà.
Ðàññìîòðèì èíòåðïîëÿöèîííûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è ïîèñêà ïàðàìåòðîâ b0 , b1 , . . . , bm .
Ïóñòü b0 6= 0 (íåÿâíûé ìåòîä).
1. Ïîñòðîèì èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà Lm (x) ïî òàáëèöå
xi−m
xi−m+1
...
xi
fi−m
fi−m+1
...
fi
2. Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì
Zxi
yi = yi−1 +
Lm (x)dx, i = m, n.
xi−1
Ïóñòü b0 = 0 (ÿâíûé ìåòîä).
1. Ñîñòàâèì èíòåðïîëÿöèîííûé ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà Lm−1 (x) ïî òàáëèöå
xi−m
xi−m+1
...
xi−1
fi−m
fi−m+1
...
fi−1
2. Ïðèìåíèì èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå
Zxi
yi = yi−1 +
Lm−1 (x)dx, i = m, n.
xi−1
100
Ïðèìåð 10.2. Ïîñòðîèòü îäíîøàãîâûé íåÿâíûé ìåòîä Àäàìñà.
Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è, m = 1, b0 6= 0. Èñïîëüçóÿ òàáëèöó çíà÷åíèé
xi−1
xi
fi−1
fi
ñôîðìèðóåì ìíîãî÷ëåí Ëàãðàíæà L1 (x):
L1 (x) = fi−1
=−
x − xi
x − xi−1
+ fi
=
xi−1 − xi
xi − xi−1
fi
fi−1
(x − xi ) + (x − xi−1 ).
h
h
Äàëåå ïðîèíòåãðèðóåì
Zxi
fi−1
fi
L1 (x)dx = (−
(x − xi )2 + (x − xi−1 )2 )
2h
2h
xi
=
xi−1
xi−1
=
h
h
fi−1 + fi .
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî,
h
h
yi = yi−1 + fi−1 + fi , i = 1, m.
2
2
Òàêèì îáðàçîì,
h
yi = yi−1 + (f (xi−1 , yi−1 ) + f (xi , yi )), i = 1, m,
2
ïðè÷åì b0 = b1 =
1
. 2
Óïðàæíåíèÿ
1. Äëÿ çàäà÷è Êîøè
y 0 = y, y(0) = 1, x ∈ [0, 4],
101
ïîëàãàÿ h = 1, íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ:
à) ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà;
á) ìåòîäà Ýéëåðà ñ ïåðåñ÷åòîì;
â) óòî÷íåííîãî ìåòîäà Ýéëåðà.
2. Äëÿ çàäà÷è Êîøè
y 0 = cos x + y, y(0) = 0, x ∈ [0, 2π],
π
, íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ:
2
à) íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà;
ïîëàãàÿ h =
á) ìåòîäà Ýéëåðà ñ ïåðåñ÷åòîì.
Ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ òî÷íûì ðåøåíèåì çàäà÷è.
3. Ïîñòðîèòü îäíîøàãîâûé ÿâíûé ìåòîä Àäàìñà.
4. Ïîñòðîèòü äâóøàãîâûé íåÿâíûé ìåòîä Àäàìñà.
5. Ïîñòðîèòü äâóøàãîâûé ÿâíûé ìåòîä Àäàìñà.
102
11. Ëèíåéíàÿ äâóõòî÷å÷íàÿ çàäà÷à
äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé
Ïóñòü íà îòðåçêå [a, b] çàäàíà ëèíåéíàÿ ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
yi0 = hai (x), yi + fi (x), i = 1, n.
(11.1)
Çäåñü y = y(x) n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ (èñêîìîå ðåøåíèå), ai (x), i =
= 1, n n-ìåðíûå âåêòîð-ôóíêöèè, fi (x), i = 1, n ñêàëÿðíûå ôóíêöèè.
Îïèøåì ëèíåéíóþ äâóõòî÷å÷íóþ çàäà÷ó äëÿ ñèñòåìû (11.1). Ñ ýòîé
öåëüþ îáîçíà÷èì x1 = a, x2 = b è ïðèñîåäèíèì ê ñèñòåìå (11.1) êðàåâûå
óñëîâèÿ ñëåäóþùåãî âèäà
(
hbi , y(x1 )i = βi , i = 1, k,
i
hb , y(x2 )i = βi , i = k + 1, n,
(11.2)
ãäå bi ∈ Rn çàäàííûå âåêòîðû, βi èçâåñòíûå âåëè÷èíû.
Ñîîòíîøåíèÿ (11.1)(11.2) ôîðìèðóþò ëèíåéíóþ äâóõòî÷å÷íóþ çàäà÷ó. Åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ y(x), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñèñòåìå (11.1), à òàêæå êðàåâûì óñëîâèÿì (11.2).
Îïèøåì ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è (11.1)(11.2), êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â
ïîñëåäîâàòåëüíîì ïåðåíîñå óñëîâèé (11.2) â çàäàííóþ òî÷êó z ∈ [a, b].
Ìåòîä ïðîãîíêè
1. Ïîñòðîèì ôóíêöèþ
H(c, x, y) =
n
X
ci (hai (x), yi + fi (x))
i=1
îòíîñèòåëüíî âñïîìîãàòåëüíîé n-ìåðíîé âåêòîð-ôóíêöèè c = c(x).
103
Îïðåäåëèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
∂H
c0i = −
, i = 1, n,
∂yi
α0 = c f (x) + . . . + c f (x),
1 1
n n
(11.3)
ãäå α = α(x) íåêîòîðàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ.
2. Íàéäåì ðåøåíèÿ ci (x), αi (x) ñèñòåìû (11.3) ñ ðàçëè÷íûìè íà÷àëüíûìè
óñëîâèÿìè
(
c(x1 ) = bi ,
α(x1 ) = βi , i = 1, k,
(
c(x2 ) = bi ,
α(x2 ) = βi , i = k + 1, n.
(11.4.1)
(11.4.2)
Îòìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà z ñîâïàäàåò ñ x1 , òî èç ïðèâåäåííûõ óñëîâèé
ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü òîëüêî íàáîð ñîîòíîøåíèé (11.4.2). Åñëè z = x2 ,
òî íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü òîëüêî óñëîâèÿ (11.4.1).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå
(z 6= x1 , z 6= x2 ) ñèñòåìó (11.3) íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàòü ñ óñëîâèÿìè
(11.4.1) è (11.4.2).
3. Çàïèøåì ïîëíûé íàáîð óñëîâèé â òî÷êå z :
hci (z), y(z)i = αi (z), i = 1, n.
(11.5)
Ýòî ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî âåêòîðà
y(z). Ïóñòü y = y(z) ðåøåíèå ñèñòåìû (11.5).
4. Ñôîðìèðóåì çàäà÷ó Êîøè
yi0 = hai (x), yi + fi (x), yi (z) = y i , i = 1, n.
Åå ðåøåíèå y = y(x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîé çàäà÷è (11.1)(11.2).
Ïðèìåð 11.1.
(
y10 = 2x,
y1 (0) + y2 (0) = 1,
y20 = 3y1 , −2y1 (2) + y2 (2) = 4.
104
Ðåøèòü çàäà÷ó ìåòîäîì ïðîãîíêè, ïåðåíîñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â òî÷êó
z = 0.
Ðåøåíèå. Ïðåäâàðèòåëüíî ïðîâåäåì àíàëèç çàäà÷è.
ðàçìåðíîñòü ñèñòåìû: n = 2;
êîíöåâûå òî÷êè: x1 = 0, x2 = 2;
êîëè÷åñòâî êðàåâûõ óñëîâèé â òî÷êå x1 : k = 1;
êîëè÷åñòâî êðàåâûõ óñëîâèé â òî÷êå x2 : n − k = 1;
b1 = (1 1)T , β1 = 1, b2 = (−2 1)T , β2 = 4;
ôóíêöèè fi (x), i = 1, 2, îïèñûâàþùèå íåîäíîðîäíîñòü èñõîäíîé ñèñòåìû: f1 (x) = 2x, f2 (x) = 0.
Ïðèñòóïèì ê ðåøåíèþ çàäà÷è ñîãëàñíî îïèñàííîé ñõåìå.
1. Ñîñòàâèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
H(c, y, x) = 2xc1 + 3y1 c2 .
Çàïèøåì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (11.3)
∂H
c01 = −
= −3c2 ,
∂y
1
∂H
0
=
−
= 0,
c
2
∂y2
0
α = 2xc1 .
(11.7)
2. Ïîñêîëüêó z = 0 = x1 , òî ñôîðìèðóåì òîëüêî íàáîð íà÷àëüíûõ óñëîâèé (11.4.2)
c1 (2) = −2,
c2 (2) = 1,
α(2) = 4.
Ðåøèì çàäà÷ó Êîøè (11.7)(11.8):
c1 (x) = 4 − 3x, c2 (x) = 1, α(x) = 4 + 4x2 − 2x3 .
3. Ñîñòàâèì íàáîð óñëîâèé (11.5) â òî÷êå z = 0:
c1 (0)y1 (0) + c2 (0)y2 (0) = α(0).
105
(11.8)
Îòñþäà èìååì
4y1 (0) + y2 (0) = 4.
Äîïîëíèì ýòî ñîîòíîøåíèå íà÷àëüíûì óñëîâèåì èñõîäíîé çàäà÷è â òî÷êå
z = 0:
y1 (0) + y2 (0) = 1.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ëèíåéíóþ ñèñòåìó
(
4y1 (0) + y2 (0) = 4,
y1 (0) + y2 (0) = 1.
Åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ âåêòîð
y(0) =
1
0
!
.
4. Çàïèøåì èòîãîâóþ çàäà÷ó Êîøè
(
y10 = 2x,
y1 (0) = 1,
y20 = 3y1 , y2 (0) = 0.
Ðåøàÿ åå, ïîëó÷àåì èòîãîâûé îòâåò:
y1 (x) = x2 + 1, y2 (x) = x3 + 3x. Óïðàæíåíèÿ
1. Ðåøèòü ëèíåéíóþ äâóõòî÷å÷íóþ çàäà÷ó ìåòîäîì ïðîãîíêè, ïåðåíîñÿ
íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â òî÷êó z :
à)
(
y10 = 3y2 + 2, y1 (0) −
y2 (0) = 1,
y20 = 2x,
y1 (2) − 3y2 (2) = 1,
y10 = −4x,
y1 (0) −
z = 1;
á)
(
y2 (0) = 0,
y20 = 6y1 − x, y1 (1) + 2y2 (1) = 4,
106
z = 0;
â)
y10 = y2 ,
y0
2
y1 (0) + y2 (0) = 1,
π
π
= 2 − y1 , 2y1 ( ) − y2 ( ) = 0,
2
2
z = 0;
ã)
(
y10 = y2 − 2x,
y20 = 4,
ä)
y1 (0) + y2 (0) = −2,
2y1 (1) + y2 (1) = 3,
0
y1 = 2,
y1 (0) − y2 (0) = −2,
y0 = y ,
1
3
y1 (1) − y3 (1) = 2,
z = 1;
y20 = 3y3 + y1 , y2 (1) + y3 (1) = 1,
107
z = 1;
12. Ëèíåéíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî
ïîðÿäêà
Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà íà îòðåçêå [a, b]
y 00 − p(x)y = f (x),
(12.1)
y(a) = ya , y(b) = yb .
(12.2)
Çäåñü y = y(x) íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ (ðåøåíèå), p(x), f (x) çàäàííûå
ôóíêöèè, ya , yb çàäàííûå ÷èñëà.
Îïèøåì ìåòîä ïîèñêà ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (12.1)(12.2).
Ìåòîä êîëëîêàöèè
Âûáåðåì íàáîð áàçèñíûõ ôóíêöèé g0 (x), g1 (x), . . . , gm (x), x ∈ [a, b],
óäîâëåòâîðÿþùèõ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) gi (x) äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìû íà [a, b];
2) g0 (a) = ya , g0 (b) = yb , gi (a) = 0, gi (b) = 0, i = 1, m;
3) ôóíêöèè gi (x), i = 1, m ëèíåéíî-íåçàâèñèìû.
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (12.1)(12.2) áóäåì èñêàòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
y(x, α) = g0 (x) + a1 g1 (x) + . . . + am gm (x),
ãäå α = (a1 , a2 , . . . , am ) âåêòîð ïàðàìåòðîâ.
Îáðàçóåì ôóíêöèþ
ϕ(x, α) = y 00 (x, α) − p(x)y(x, α) − f (x).
Ôóíêöèÿ ϕ(x, α) íàçûâàåòñÿ íåâÿçêîé ðåøåíèÿ, ïîñêîëüêó îíà õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü îòêëîíåíèÿ ôóíêöèè y(x, α) îò òî÷íîãî ðåøåíèÿ y(x)
108
çàäà÷è (12.1)(12.2). Åñëè ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ a1 , a2 ,
. . ., am âûïîëíèòñÿ òîæäåñòâî
ϕ(x, α) ≡ 0, a 6 x 6 b,
òî y(x, α) åñòü ðåøåíèå çàäà÷è (12.1)(12.2): y(x, α) = y(x).  ïðîòèâíîì
ñëó÷àå (íåâÿçêà íå ðàâíà íóëþ) y(x, α) ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì ðåøåíèåì.
Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà (a, b)
m òî÷åê x1 , . . . , xm ñ óñëîâèåì: a < x1 < . . . < xm < b. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû
â êàæäîé èç ýòèõ òî÷åê íåâÿçêà ϕ îáðàùàëàñü â íóëü:
ϕ(xi , α) = 0, i = 1, m.
(12.3)
Ñèñòåìà (12.3) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ a1 , . . . , am .
Ïóñòü α∗ = (a∗1 , . . . , a∗m ) ðåøåíèå ñèñòåìû (12.3). Òîãäà ñôîðìèðóåì
ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (12.1)(12.2)
ỹ(x) = y(x, α∗ ) = g0 (x) + a∗1 g1 (x) + . . . + a∗m gm (x).
Äàäèì
àëüòåðíàòèâíóþ
ôîðìó
çàïèñè
ñèñòåìû (12.3).
Ïóñòü
s(x), a 6 x 6 b íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà îáîçíà÷åíèå Ls(x) èìååò
ñëåäóþùóþ ðàñøèôðîâêó
4
Ls(x) = s00 (x) − p(x)s(x).
Ñ ó÷åòîì òàêîãî îáîçíà÷åíèÿ ñèñòåìó (12.3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
a1 Lg1 (x1 ) + . . . + am Lgm (x1 ) = f (x1 ) − Lg0 (x1 ),
a Lg (x ) + . . . + a Lg (x ) = f (x ) − Lg (x ),
1
1 2
m
m 2
2
0 2
...
a Lg (x ) + . . . + a Lg (x ) = f (x ) − Lg (x ).
1
1 m
m
m m
m
0 m
(12.4)
 çàêëþ÷åíèå óêàæåì íåêîòîðûå ñïîñîáû âûáîðà áàçèñíûõ ôóíêöèé
gi (x), i = 1, n:
109
1) gi = (x − a)i (x − b);
2) gi = (x − a)(x − b)i ;
x−a
).
b−a
Ïðè âûáîðå ôóíêöèè g0 (x) ìîæíî ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñ-
3) gi = sin(iπ
ëè ya = yb , òî g0 (x) = ya .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ya 6= yb ) ïîëîæèì
g0 (x) =
1
((x − a)yb − (x − b)ya ).
b−a
Ïðèìåð 12.1. Íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è
y 00 − y = 1, 0 6 x 6 3,
y(0) = 0, y(3) = 0
ìåòîäîì êîëëîêàöèè, ïîëàãàÿ m = 2.
Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå
a = 0, b = 3, p(x) = 1, f (x) = 1, ya = 0, yb = 0.
Ñîãëàñíî óñëîâèþ, ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå
y(x, α) = g0 (x) + a1 g1 (x) + a2 g2 (x).
Âûáåðåì áàçèñíûå ôóíêöèè
g0 (x) = 0, g1 (x) = x(x − 1), g2 (x) = x2 (x − 1).
Çàäàäèì íàáîð òî÷åê xi :
x1 = 1, x2 = 2.
Ïåðåéäåì ê ñîñòàâëåíèþ ñèñòåìû (12.4) ïîèñêà ïàðàìåòðîâ a1 è a2 .
Ïðåäâàðèòåëüíî âûïîëíèì ïðîìåæóòî÷íûå âû÷èñëåíèÿ:
g000 (x) = 0, g100 (x) = 2, g200 (x) = 6x − 2,
Lg0 (x) = 0, Lg1 (x) = −x2 + x + 2, Lg2 (x) = −x3 + x2 + 6x − 2,
110
Lg1 (1) = 2, Lg2 (1) = 4, f (1) = 1,
Lg1 (2) = 0, Lg2 (2) = 6, f (1) = 1,
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñèñòåìó
(
2a1 + 4a2 = 1,
6a2 = 1.
Îòñþäà
a∗1 = a∗2 =
1
.
6
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå
1
1
x3 − x
ỹ(x) = x(x − 1) + x2 (x − 1) =
. 6
6
6
Óïðàæíåíèÿ
1. Íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è
y 00 − y = 2x, −2 6 x 6 3,
y(−2) = y(3) = 0
ìåòîäîì êîëëîêàöèè, ïîëàãàÿ m = 2, x1 = −1, x2 = 2.
2. Íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è
y 00 − 2xy = 2, −2 6 x 6 2,
y(−2) = 2, y(2) = 2
ìåòîäîì êîëëîêàöèè, ïîëàãàÿ m = 3, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1.
3. Íàéòè ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è
y 00 − y = sin x, 0 6 x 6 π,
y(0) = y(π) = 0
π
π
ìåòîäîì êîëëîêàöèè, ïîëàãàÿ m = 2, x1 = , x2 = .
6
2
111
Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê
1. Ñ ð î ÷ ê î Â. À. ×èñëåííûå ìåòîäû / Â. À. Ñðî÷êî. ÑÏá. : Ëàíü,
2010. 208 ñ.
2. Á à õ â à ë î â Í. Ñ. ×èñëåííûå ìåòîäû â çàäà÷àõ è óïðàæíåíèÿõ /
Í. Ñ. Áàõâàëîâ, À. Â. Ëàïèí, Å. Â. ×èæîíêîâ. Ì. : Âûñø. øê., 2000. 190 ñ.
3. Ê è ð å å â Â. È. ×èñëåííûå ìåòîäû â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ / Â. È.
Êèðååâ, À. Â. Ïàíòåëååâ. Ì. : Âûñø. øê., 2008. 480 ñ.
112
Ó÷åáíîå èçäàíèå
Àíòîíèê Âëàäèìèð Ãåîðãèåâè÷
×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ
ISBN ???-?-????-????-?
Ðåäàêòîð Â. Â. Ïîïîâà
Òåìïëàí 2014 ã. Ïîç. 104
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü ??.??.2014. Ôîðìàò 60x90 1/16
Ó÷.-èçä. ë. ?,?. Óñë.-ïå÷. ë. ?,?. Òèðàæ 100 ýêç. Çàêàç ???
Èçäàòåëüñòâî ÈÃÓ
664003, Èðêóòñê, áóëüâàð Ãàãàðèíà, 36
