к.т.н. А.В. БАРЫШЕВ ДЛИНА УЧАСТКА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА В КАНАЛАХ С ПОСТОЯННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ Представлен инженерный метод расчета длины участка гидродинамической стабилизации при ламинарном течении жидкости для каналов с постоянным поперечным сечением произвольной формы. Получена единая формула для расчета длины начального участка каналов эллиптического, кругового, кольцевого, прямоугольного и треугольного сечений. Потребность в информации о длине участка гидродинамической стабилизации (начального участка) необходима при расчете теплообменных, массообменных процессов и аппаратов химической технологии. Решение этой задачи рассмотрено во многих работах, например, [1–5, 7–10]. Однако, в большинстве указанных работ расчет длины участка гидродинамической стабилизации производится для труб и каналов с поперечным сечением в форме круга, параллельных пластин или прямоугольника. При этом используются различные расчетные методы, отличающиеся повышенной математической сложностью. Вместе с тем, результаты, полученные в различных источниках, зачастую рознятся. Кроме того, в отечественной литературе сводка по длинам участков гидродинамической стабилизации при ламинарном течении жидкости для каналов с постоянным поперечным сечением произвольной формы отсутствует. Поиск конечного результата решения для труб и каналов с определенной, нечасто встречающейся, формой поперечного сечения представляет определенную трудность. Однако, в работе [1] декларируется способ нахождения длины участка гидродинамической стабилизации для каналов произвольного поперечного сечения. С помощью этого способа установлена длина начального участка для каналов с кольцевой, эллиптической, прямоугольной и треугольной формой поперечного сечения. Однако, как отмечает Е. Спэрроу в обсуждении к этой работе, найденная длина участка стабилизации, для всех случаев, короче, чем приведенная в других работах, и данных, полученных экспериментально. Автором, совместно с Лукичевым А.В., был предложен инженерный метод расчета длины участка гидродинамической стабилизации, названый «методом определяющих параметров». С помощью этого метода с хорошей точностью были решены задачи поиска длины участка гидродинамической стабилизации для каналов с поперечным сечением в форме: круга, при радиальном течении в зазоре между круглыми параллельными пластинами, прямоугольника с различным соотношением сторон и между бесконечными параллельными пластинами [2, 3]. Следует отметить, что последние две формы поперечных сечений, названных выше, являются однотипными, т.е. течение между бесконечными параллельными пластинами можно рассматривать как течение в прямоугольном канале, где отношение высоты канала к его ширине стремится к нулю. Другие формы поперечных сечений каналов не рассматривались. Суть метода заключалась в использовании для расчета интегрального соотношения Кармана, в котором реальные параметры δ, τ0 и v заменялись определяющими параметры δ*, τ0* и v*. Эти параметры определялись выражениями: δ*=k· δ, (1) * * τ0 =μvmax/ δ , (2) * v =vmax/2, (3) * где δ – определяющая толщина пограничного слоя; k – коэффициент пропорциональности; τ0* – определяющее касательное напряжение на стенке канала; v* – определяющая скорость, условно принимаемая постоянной в слое δ*. Вместе с тем, реальный профиль течения в канале заменялся ступенчатым (рис.1, поз.1 – реальный профиль течения, поз.2 – ступенчатый профиль течения). Метод определяющих параметров изначально рассматривался как эвристический. Однако, в гидромеханике можно найти некоторые его обоснования. Так, если рассмотреть интегральные соотношения импульсов для каналов с поперечным сечением, в том числе, в форме круга и прямоугольника [2,3], можно увидеть, что скорость течения в пограничном слое зависит только от физических величин τ 0, μ, и ρ. Где: τ0 – касательное напряжение на стенке канала; μ – динамическая вязкость среды; ρ – плотность среды. Рис.1 Касательное напряжение на стенке канала – сила Модель профиля (отнесенная к единице поверхности), действующая Течения в плоскости, ориентированной по течению, пропорциональная изменению скорости по нормали к направлению движения: v n (4) При расчете длины участка гидродинамической стабилизации Шиллер также использовал, профиль скорости ступенчатого вида несколько иной формы, однако полученный им результат [4, с.103] по точности уступал экспериментальным данным и данным, полученным по методу определяющих параметров. Как отмечалось ранее, с помощью метода определяющих параметров был успешно решен ряд задач определения длины начального участка. В связи с чем, возник вопрос о возможности применения метода определяющих параметров для каналов с другой формой поперечного сечения при определении длины участка гидродинамической стабилизации. Здесь сразу следует указать, что для получения конечного результата расчета для каналов с различным поперечным сечением необходимо знать отношение максимальной скорости к средней в каждом из них. Предпосылкой возможности использования метода определяющих параметров для расчета длины участка гидродинамической стабилизации в каналах с различной формой поперечного сечения послужили данные, опубликованные в работе Дейли и Харлемана [5, с.282]. Здесь указывается, что пристенное касательное напряжение в углах каналов некруглого поперечного сечения меньше, чем на прямых участках стенки. Однако перенос количества движения (импульса силы), обусловленный циркуляцией потока в углах канала, способствует выравниванию касательных напряжений по периметру канала. Кроме того, в качестве гипотезы о возможности использования метода определяющих параметров в каналах с различной конфигурацией поперечного сечения, принято то, что для расчета используются лишь общие характеристики поперечного сечения канала и характерная скорость в нём. К таковым относятся относительная максимальная скорость в канале, периметр и площадь сечения канала. В связи с этим, автором произведен расчет длины участка гидродинамической стабилизации в каналах с поперечным сечением в форме равностороннего треугольника, эллипса и кольцевого зазора. В качестве примера рассмотрим расчет длины участка гидродинамической стабилизации ламинарного течения в канале в форме равностороннего треугольника. Рассмотрим канал в форме равностороннего треугольника с изображенным определяющим a * пограничным слоем δ (рис. 2). Чтобы не затенять рис. 2 ра определяющий пограничный слой показан лишь на δ* одной из сторон “а” канала. Расчет будем выполнять на основе интегрального соотношения Кармана: dv max 0 d v(v v) dy (v v) dy max max dx 0 dx 0 Рис. 2 (5) Заменим реальные параметры в выражении (5) определяющими: * dv max 0* d * * * v (v max v )dy (v max v )dy (6) dx 0 dx 0 * Подставляя в (5) выражения для v , 0* и v* из (1), (2) и (3) получим: d dx 0 v max 2 v max dv max v max dy 2 dx v max 0 v max vv max dy 2 После несложных преобразований найдем: v max * 0.25v max * v v ср * , (8) (7) где v max = v max v cp Чтобы найти δ* составим балансовое уравнение: П v max * v max ( F П * ) F 2 (9) Где: П – периметр сечения канала; F – площадь сечения канала. Отсюда находим δ*: * 2 F (v max 1) v max П (10) Подставив выражение (10) в (8) и решив полученное уравнение находим: xC 1 0.75 1 v max 1.75ln v max DГ Re 4 v max 4 (11) Где: DГ – гидравлический (эквивалентный диаметр) канала, Re – число Рейнольдса. Отсюда находим длину участка гидродинамической стабилизации: 1 0.75 1 xC v max 1.75ln v max DГ Re 4 v max 4 (12) Сравнивая полученное выражение (11) с выражением (8) работы [3, с.102] видим, что они совпадают. Для полноты данных представим геометрические характеристики треугольного канала и величину относительной максимальной скорости в канале. Сторона канала равна a (см. рис.2), тогда: DГ 4F П П 3a Re v ср DГ v max 2.26 6 F 0.433a 2 Сравним результат, полученный по формуле (11) с другими данными (см.табл.1). Таблица 1 v max 2,26 xC DГ Re [1] [7] (11) [5] 0,0398 0,0575 0,063 0,065 Как следует из данных таблицы 1 формула (11) обеспечивает результат наиболее близкий по точности к данным Буссинеска, наиболее точно отвечающим экспериментальным данным [5, с.280]. При поиске решения не использовались конкретные размеры поперечного сечения канала, поэтому выражения (11) и (12) будут справедливыми также для других форм поперечного сечения каналов (автором дополнительно проверены случаи каналов с эллиптическим и кольцевым концентрическим сечением). Несмотря на идентичность полученных выражений xC для каналов, DГ Re численное выражение xс для конкретных форм и размеров поперечных сечений будет различным. Это объясняется различием параметров, входящих в DГ , Re и величиной v max . Поскольку выражения (11) и (12) представлены как универсальные для каналов с постоянным поперечным сечением произвольной формы, рассмотрим конкретные примеры и сравним полученные результаты с данными других авторов. Перейдем к каналу с поперечным сечением в форме окружности: v CP DГ DГ 2 R Re v CP D 2 v CP 4 R 2 DГ Re Г v max 2 , где R – радиус окружности. Тогда из формулы (12) следует: xC 0.75 1 v max 1.75ln v max 0.162 v CP R v max 4 2 Сравним полученный результат с другими данными (см. табл.2). Таблица 2 КОМПЛЕКС xС v CP R 2 [9] [1] [8] [2] (11) 0,115 0.104 0,170 0.165 0.162 Как следует из данных таблицы 2 формула (11) обеспечивает результат близкий к данным Никурадзе [8], полученным опытным путем. Расхождение составляет 4,71%. В том случае, если в процессе решения использовать цилиндрическую систему координат, метод определяющих параметров [2] обеспечивает расхождение расчетных и опытных данных лишь 2,94%. Данные по каналу с поперечным сечением в форме прямоугольника приведенные в работе [3] совпадают с данными полученными по формуле (11), для полноты картины они представлены в таблице 3. Таблица 3 xC DГ Re v max h/b [3] [1]* [1] [9] [10]** 0.0 1.500 1,011·10-2 – 0,588·10-2 1,00·10-2 – -2 -2 -2 – 0.2 1.715 2,133·10 1,380·10 1,272·10 2,000·10-2 – 0.5 1.992 3,986·10-2 3,170·10-2 2,550·10-2 4,000·10-2 * - Данные, получены Олсоном Р.М. в обсуждении к работе [1]. ** - Данные, получены по наклону экспериментальной кривой потерь давления. Как следует из данных таблицы 3 формула (11) обеспечивает результат наиболее близкий по точности к экспериментальным данным [10]. Теперь рассмотрим канал с поперечным сечением в форме эллипса. Для канала с поперечным сечением в форме эллипса имеем [11, с.24]: П 1.5(a b) ab F ab v max 2 где a и b – большая и малая полуоси эллипса. 2 4 ab V / (13), DГ Re ср 2 1.5(a b) ka b В выражении (13) обозначим k . Тогда из выражения (12) находим: a 1 0.75 1 4k v 1.75ln v m a x m a x v max 4 1.5(1 k ) k v ср a 2 4 xC 2 (14) Сравним полученный результат с другими данными (см. табл.4). Таблица 4 xC b/a 0,1 0,4 0,8 1,0 v max 2,00 v ср a (14) 3,643-10-3 0,048 0,127 0,162 2 [1] 1.898·10-3 0.026 0.069 0.104 Как следует из таблицы 4, полученные в работе результаты отличаются от аналогичных данных, полученных Маккомасом [1]. Однако, как было указано выше, Е. Спэрроу в обсуждении к этой работе отметил, что найденная в ней длина участка стабилизации, для всех случаев, короче, чем приведенная в других работах. Это предполагает, что полученные в настоящей работе результаты являются более точными. Перейдём к определению длины участка гидродинамической стабилизации в канале осесимметричного кольцевого сечения. Основой для расчета будет служить формула (11). Для сравнения данных полученных нами в выражении (11) с данными полученными Маккомасом необходимо знать значение v max , которое зависит от геометрии кольцевого зазора, т.е. от радиуса наружного и внутреннего колец. Кроме того необходимо знать радиус, на котором будет находиться максимальная скорость в зазоре. Данные по v max для различных сочетаний наружного и внутреннего колец непосредственно представлены только в работе Маккомаса, поэтому в настоящей работе они были проверены расчетным путем. В результате получено совпадение данных. При проведении расчетов были приняты следующие обозначения: r2 – наружный диаметр кольцевого канала; r1 – внутренний диаметр кольцевого канала; rmax - диаметр кольцевого канала, на котором величина скорости достигает максимума ( v max ). Кроме того, с целью сравнения результатов расчета с данными, приведенными в работе Маккомаса, введем форм параметр k: r k 1 1 0 k 1. r2 В гидромеханике [12, с.221] известна формула для распределения скоростей в кольцевом зазоре: r2 ln p 2 2 v= r2 r r22 r12 r r 4 l ln 2 r1 (15) Известна так же формула для средней скорости течения в кольцевом зазоре: v CP = p 2 2 r2 2 2 r r r r / ln 2 1 2 1 8 l r1 Теперь можно найти v max v max v cp . Сделать это можно двумя путями: 1) предварительно найти максимум v, используя любой способ максимизации выражения (15). Далее найти отношение максимальной и средней скорости; 2) при заданных размерах использовать значение rmax вместо r в формуле (15). Согласно [7, с.112] rmax равно: rmax r22 r12 r 2 ln 2 r1 Полученные данные и данные работы Маккомаса сведены в таблицу 5. Таблица 5 k v 0,1 0.2 0.3 0,4 0.5 0.6 0.7 0,8 0.9 1.5002 1.5008 1.5021 1.5043 1.5078 1.5133 1.5222 1.5374 1.5673 xс DГ Re [1] 0.00588 0.00589 — 0.00596 — 0.00613 0.00630 0.00660 0.00725 (11) 0.01012 0.01014 0.01020 0.01029 0.01044 0.01067 0.01106 0.01173 0.01310 На основании материала, изложенного выше можно сделать следующие выводы: 1. Метод определяющих параметров позволил получить универсальную формулу для расчета длины участка гидродинамической стабилизации при ламинарном течении жидкости для каналов с постоянным поперечным сечением произвольной формы. 2. Полученная формула, в двух вариантах (11) и (12), обеспечивает хорошую точность конечного результата. ЛИТЕРАТУРА 1. Маккомас С.Т. Длина начального участка для каналов произвольного поперечного сечения // Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер. Д. Теоретические основы инженерных расчетов. – 1967, № 4. – С. 160–165. 2. А.В. Барышев, А.В. Лукичев. Метод определяющих параметров для инженерного расчета внутренних ламинарных течений жидких и газообразных сред с пограничным слоем. Электронная техника. Сер. Микроэлектроника, вып.1(117), 1986. 3. А.В. Барышев, А.В. Лукичев, В.И. Иванов. Расчет длины участка гидродинамической стабилизации при ламинарных течениях жидкости или газа в реакторах и каналах технологического оборудования. Электронная техника. Сер. Микроэлектроника, вып.3(123), 1987. 4, Юдаев В.Ф. Гидравлика: учебное пособие. – М.: Инфра-М, 2018. – 301 с. 5. Дж. Дейли, Д. Харлеман. Механика жидкости. – М.: Энергия, 1971. – 480 с, 6. Каминер А.А., Яхно О.М. Гидромеханика в инженерной практике. – К.: Техника, 1987. – С. 54. 7. К.О. Беннет, Дж. Е. Майерс. Гидродинамика, теплообмен и массообмен. – М.: Недра, 1966. – 726 с. 8. С.М. Тарг. Основные задачи теории ламинарных течений. – М.,Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. – 420 с. 9, Теория пограничного слоя. Шлихтинг Г. – М.: Наука, 1974. – 707 с. 10. Спэрроу Е., Хиксон С., Шевит Г. Экспериментальное исследование развития ламинарного потока в прямоугольных трубах// Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер. Д. Теоретические основы инженерных расчетов. – 1961, № 1. – С. 131–140. 11. Справочник для студентов технических вузов. Высшая математика. Физика. Теоретическая механика. Сопротивление материалов / А.Д. Полянин, В.Д. Полянин, В.А. Попов и др. – М.: ООО «Издательство АСТ», 2002. – 735 с. 12. Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика: Учеб. для вузов / Под ред. Д.Н. Попова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002, – 384 с.
