Кузьмин В. И. - Модели и методы анализа нелинейных колебаний с трендом

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ
(МИРЭА)
В.И. КУЗЬМИН, А.Б. САМОХИН,
А.Ф. ГАДЗАОВ, В.В. ЧЕРДЫНЦЕВ
МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА
НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ С ТРЕНДОМ
МОНОГРАФИЯ
Москва
МИРЭА
2015
2
УДК 519.6(075)
ББК 22.19я75
К89
Утверждено редакционно-издательским советом МИРЭА
в качестве монографии
Подготовлено на кафедре «Прикладная математика»
Рецензенты:
д.ф.-м.н. Сетуха А.В., д.ф.-м.н. Крюковский А.С.
Кузьмин В.И.
Модели и алгоритмы анализа нелинейных колебаний с трендом:
К 89
монография / В.И. Кузьмин, А.Б. Самохин, В.В. Чердынцев,
А.Ф. Гадзаов. – М.: МИРЭА, 2015. – 94 с.
ISBN 978-5-7339-1109-9
В книге изложены модели и алгоритмы анализа результатов измерений
характеристик иерархии процессов нелинейных колебаний с трендом. Основой
моделей является метод выделения колебаний из тренда, основанный на определении класса функции, характеризующих его. Значимый класс функций, обеспечивающий исключение тренда, представленный теорией пропорции, определяет
колебания с близкой к нулю средней. Определяются значения наиболее близкие
к периодам, учитывающие влияние способа исключения тренда. Тренда нелинейных процессов определяются сглаживанием по наиболее к близким периодам
величинам. Представлены условия наиболее близких к периодам величин и параметров трендов типа кривых ограниченного роста.
ISBN 978-5-7339-1109-9
© Кузьмин В.И., Самохин А.Б.,
Гадзаов А.Ф., Чердынцев В.В., 2015
© МИРЭА, 2015
3
ВВЕДЕНИЕ
В связи с тем, что задачей является определение периодических компонент нелинейных процессов с трендом требуется провести исключение тренда, так чтобы был получен ряд гарантированно содержащий близкие к периодам величины. Решение такой
задачи может быть проведено путем проверки полученного после
исключения тренда ряда по критериям, характеризующим его
принадлежность к классу почти-периодических функций.
На этой основе мы вроде ограничиваем класс анализируемых функций. Так, при использовании ряда Фурье не требуется
предварительно анализировать структуру ряда, так как любые
данные можно разложить в этот ряд, В действительности, вводя
ограничения, обеспечивающие наличие почти-периодов, проблема приобретает определенность – выполнение условий, соответствующих почти-периодическим функциям, гарантирует соответствие ряда его периодической структуре.
Таким образом, прежде чем искать периодические (или
близкие к ним) характеристики ряда его нужно преобразовать
так, чтобы остались именно эти периодические компоненты. При
этом надо контролировать влияние способа исключения тренда
на результат.
По структуре ряды экспериментальных данных представляют собой либо колебания относительно постоянного уровня (например, ЭКГ), либо представляют собой композицию характеристик процесса, имеющих принципиально разные масштабы изменения аргумента. При этом «медленные» движения маскируют
характеристики «быстрых» движений. Таким образом, в общем
случае, результаты измерений, представляемые для обработки,
являются композицией характеристик иерархии механизмов, определяющих свойства системы и проблемой является «расщепление» информации, характеризующей каждый из уровней. Только
на основе результатов такого анализа появляется возможность
определения механизмов взаимодействия процессов, происходящих на разных структурных уровнях. Так, наличие некратных
значений почти-периодов для быстрых движений позволяет оп-
4
ределять положение критических состояний на макро-уровне.
Основное значение почти-периода определяется как «характерное время» процессов типа цепных реакций.
«Послойный» анализ исходного ряда представляет собой
последовательность:
1) исключение трендов, на каждой стадии которых проводится проверка принадлежности получаемого в результате ряда к
классу почти-периодических функций;
2) проверка согласованности характеристик алгоритмов исключения трендов и получаемых значений почти-периодов;
3) сглаживание по почти-периодам для определения характеристик медленных» движений;
4) анализ связей характеристик на микро- и макро- уровнях
и прогнозирование динамики системы по начальным стадиям ее
развития.
Авторы выражают благодарность доктору физикоматематических наук Д.Л. Тытику за творческое сотрудничество
и совместные исследования, существенно повлиявшие на развитие представленных в монографии результатов.
5
1. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
О РАЗДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИЙ
1.1. Тренд функции
Тренд функции интуитивно понятен. Простейший пример –
функция f ( x) = x + sin( x) . Ясно, что тренд этой функции – линейная функция x. Общее определение тренда дать довольно затруднительно, а, кроме того, оно не будет иметь конструктивного
характера.
Пусть действительная функция f(x) имеет вид
f ( x) = F (ϕ ( x) + ω ( x )) .
(1.1)
Здесь f(x) и F(x) – известные функции. F(x) имеет обратную
функцию F −1 , ϕ (x) – неизвестная достаточно гладкая функция, а
ω (x) - тоже неизвестная почти периодическая функция. Тогда
F (ϕ ( x)) будет функцией тренда. Функции вида (1.1) возникают во
многих практических задачах.
Будем полагать, что функцию ϕ (x) с достаточной точностью
можно представить в виде суперпозиции известных базисных
функций vm , m = 1,..., M , т. е.
ϕ ( x) ≈
M
 a m vm
.
(1.2)
m =1
Вид базисных функций задается из априорных соображений, которые определяются спецификой задачи.
Неизвестные коэффициенты am в (1.2) будем определять из
следующего условия
M


−1
a1 ,..., am min   ( F f ( x) −  am vm )d x 
a1 ,..., a m 

m =1
2
(1.3)
Условие (1.3) получено из следующих соображений. Из (1.1)
имеем, что F −1 f ( x) = ϕ ( x) + ω ( x) . Тогда
M
M

 

  ( F −1 f ( x) −  am vm )d x  2 =   [(ϕ ( x) −  am vm ) ) + ω ( x)]d x  2 . (1.4)

 

m =1
m =1
6
Интеграл от функцииϕ (x) в правой части (1.4) мал, посколькуϕ (x) - почти периодическая функция. Поэтому из (1.4), учитывая (1.2), следует условие (1.3).
Вычисляя интегралы в (1.3) и возводя в квадрат получившееся
выражение, получим квадратичную функцию относительно неизвестных величин am. Приравнивая частные производные по am к нулю (условие экстремума квадратичной функции) получим систему
линейных уравнений относительно неизвестных значений am.
Рассмотрим один частный случай, который имеет много
приложений. Пусть функция f (τ ) имеет вид
f (τ ) =exp (a + kτ + ω (τ ) ) ,
(1.5)
где константы a, k и почти периодическая функция ϕ (τ ) неизвестны. Из вышеизложенного несложно определить функцию
тренда exp (a + kτ ) .
Рассмотрим функцию
d2
( 2)
(1.6)
P(τ ) = (ln f (τ ) ) = 2 ω (τ ) .
dτ
Очевидно, что значения близкие к периодам функций ω (τ ) и
P(τ ) совпадают. Тогда из (1.6) можно определить значения близкие к периодам T функции P(τ ) , а значит и ω (τ ) .
В реальных измерениях функция f (τ ) задана в дискретных
точках, т.е. известны значения f (τ i ) , где τ i = iδ , i – целые числа.
Из формулы Тейлора имеем очевидные равенства
d f (τ i )
1 d 2 f (τ i ) 2 1 d 3 f (τ i ) 3
f (τ i + δ ) = f (τ i ) +
δ+
δ +
δ + o (τ 3 ) ,
2
3
dτ
2 dτ
6 dτ
d f (τ i )
1 d 2 f (τ i ) 2 1 d 3 f (τ i ) 3
f (τ i − δ ) = f (τ i ) −
δ+
δ −
δ + o (τ 3 ) . (1.7)
2
3
dτ
6 dτ
2 dτ
В (1.7) – функция o (δ 3 ) имеет порядок малости δ 4 . Из (1.7) получим, что функция P (τ ) в дискретных точках описывается следующей формулой
d 2ω (τ i ) f (τ i + δ ) f (τ i − δ ) − f 2 (τ i )
P (τ i ) =
≈
.
(1.8)
dτ 2
δ 2 f 2 (τ i )
7
Точность выражения (1.8) имеет порядок малости δ 2 . Далее значения близкие к периодам функции P(τ i ) , а значит и функции ω (τ i ) , находится из формулы (2.3).
Фактически при этом решается задача, которую можно определить следующим образом. Будем считать, что характеристики
тренда кодируются через опорные точки. Задача состоит в том, чтобы найти такое положение этих точек, которое обеспечит исключение тренда. Рассмотрим в качестве простейшего случая ситуацию, в
которой для решения этой задачи используются 3 точки yt-Δt, yt, yt+Δt,
находящиеся на равных расстояниях по аргументу от средней точки.
1.2. Исключение тренда на основе теории пропорций
для трёх точек
В этой постановке задача сводится к классическим результатам
теории пропорции, в соответствии с которыми осуществляется разбиение отрезка (рис.1.1)[1, 2].
Рис.1.1. Разбиение отрезка
Рассмотрим арифметическую и геометрическую пропорции.
Для арифметической пропорции:
b=
a+c
или
2
yt =
yt −Δt + yt +Δt
.
2
Тогда состояние системы характеризуется безразмерным критерием:
+ yt + Δt
y
S = t − Δt
= 1.
2 ⋅yt
После логарифмирования получим
+ yt +Δt
y
ln(S ) = ln( t −Δt
) = 0.
2 ⋅yt
Для геометрической пропорции:
8
b = a ⋅ c или
y t = yt −Δt ⋅ yt +Δt
.
Тогда состояние системы характеризуется безразмерным критерием:
y
⋅y
p = t − Δt 2 t + Δt = 1.
yt
После логарифмирования получим
y
⋅y
ln(P) = ln( t −Δt 2 t +Δt ) = 0.
yt
Характеристики эмпирического ряда, представленные этими
безразмерными критериями, могут быть использованы в качестве
индикаторов характеристик систем для исключения тренда, параметры которого учитываются величиной сдвига по аргументу
∆t относительно состояния yt.
Преобразование эмпирических данных в координатах
ln(
и
yt − Δt + yt + Δt
)~t
2 ⋅yt
Ρ(t , Δt ) = ln(
(1.9)
yt − Δt ⋅ yt + Δt
yt2
)~t
(1.10)
приводит к исключению из данных трендовых участков.
Таким образом, для исключения тренда возможно использование метрик, определенных соотношением теории пропорций.
За основу возьмем ряд пропорций пифагорейской школы, представленные Витрувием во II в (табл.1).
Таблица 1
Вид пропорций и координаты для исключения тренда
№
1
2
Вид пропорции
b = a⋅c
b=
(a + c)
2
Вид координат

y
⋅y
ln t − Δt 2 t + Δt  ~ t
yt


y
+ y t + Δt
ln t − Δt
2 ⋅yt


 ~ t

9
3
4
5
6
b = a⋅c
y t − Δt ⋅ y t + Δt − y t2 ~ t
2⋅a⋅c
a+c
 2 ⋅ yt −Δt ⋅ yt +Δt 
 ~ t
ln
+
y
(
y
y
)
t + Δt 
 t t −Δt
b=
a2 + c2
b=
a+c
2 ⋅ a ⋅ c − a2
b=
c
 y t2− Δt + y t2+ Δt 
~t
ln

y
(
y
y
)
⋅
+
t − Δt
t + Δt 
 t
 2 ⋅ y t + Δt ⋅ y t − Δt − y t2− Δt
ln 
2 ⋅ yt


 ~ t

Возможности метода исключения тренда проиллюстрируем
на ряде примеров. Для исключения тренда воспользуемся соотношением (1.10).
На рис. 1.1 представлена динамика среднего числа пятен на
Солнце1.
На рис. 1.2 представлен результат исключения тренда для
данных рис. 1.1. В качестве эффективного значения для ∆t первоначально рассмотрим такие, при которых модуль математического
ожидания (рис. 1.3) полученных в результате исключения тренда
колебаний принимает минимальные значения.
Рис. 1.1. Динамика среднего числа пятен на Солнце. По оси
ординат - числа Вольфа, по оси абсцисс – время в годах
1
ftp://ftp.ngdc.noaa.gov
10
Рис.1.2. Данные рис. 1.1 после ис- Рис.1.3. Модуль математического
ключения тренда
ожидания колебаний рис. 1.1
Минимальное значение функции достигается при ∆t = 10.8 лет.
В следующем примере рассматриваются данные потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см [2,3] (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Поток радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см
Аналогично предыдущему примеру рассмотрим результат исключение тренда (рис. 1.5) и модуль математического ожидания
(рис. 1.6) полученных в результате исключения тренда колебаний.
11
Рис. 1.5. Исключение тренда для Рис. 1.6. Модуль математического
данных рис. 1.4
ожидания колебаний рис. 1.4
Минимальное значение функции достигается при ∆t = 27
дней.
На рис. 1.7 представлена динамика добычи нефти в США с
1851 по 2013 год [4]2.
Рис.1.7. Динамика добычи нефти в США с 1851 по 2013 год
2
http://www.eia.gov
12
На рис. 1.8 представлен результат исключения тренда [5].
При варьировании величины ∆t величина модуля математического
ожидания, получаемого в результате исключения тренда представлена на рис. 1.9.
Рис. 1.8. Исключение тренда для Рис.1.9. Модуль математического
данных рис. 1.7
ожидания колебаний рис. 1.7
Как видно из данных рис. 1.9 значимо выделенного экстремума, соответствующего минимальному влиянию способу исключения тренда здесь нет. Это показывает необходимость детализации
оценки влияния метода исключения тренда на оценки почтипериодических компонент.
На рис. 1.10 и рис. 1.11 показано сопоставление изначальных
данных и колебаний, получившихся после исключения тренда.
Обратим внимание на то, что имеются однородные участки,
которые значимо коррелируют со структурой тренда. Таким образом, на уровне колебаний значимо проявляются места изменения параметров основной тенденции (тренда).
Основные результаты теории пропорций воспроизводятся в
свойствах некоторых классических дифференциальных уравнений [6].
Например, в линейном неоднородном дифференциальном уравнении первого порядка с переменными коэффициентами:
y ( x) + p( x) ⋅ y ( x) = q( x) .
(1.11)
13
Рис. 1.10. Сопоставление радиоизлу- Рис. 1.11. Сопоставление динамики
чения Солнца и колебаний
добычи нефти и колебаний
Три частных решения y1(x), y2(x), y3(x) характеризуются известной пропорцией
y3 ( x) − y2 ( x)
= (C1 − 1) .
y2 ( x) − y1 ( x)
Эти свойства интегральных кривых широко распространены в
характеристиках объектов самой различной природы. В техническом анализе основные паттерны, получили название каналов. Они
характеризуются развитием систем между двумя параллельными
прямыми. Таким образом, для одномерных временных рядов широкий класс трендов может быть представлен уравнением (1.11).
14
Полученные критерии соответствуют модели, которую Кирквуд (1814-1895) использовал в качестве закона планетных расстояний. Он считал, что разности радиусов инерции первоначальных колец образуют геометрическую прогрессию, т.е.
X n+1 − X n
=K,
(1.12)
X n − X n−1
2
 (rn2 + rn2+1 ) 
Xn = 
 ,
2


где rn – расстояние n-ой планеты от Солнца, К – постоянная.
Пропорцию Кирквуда перепишем в виде:
X n+1 − (1 + K ) X n + KX n−1 = 0 .
Решение линейного рекуррентного уравнения ищется виде Xn=λn,
где λ-константа. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
λ2 − (1 + K ) λ + K = 0 . В результате корни характеристического уравнения равны: λ1 = 1, λ2 = K. Тогда решение уравнения Кирквуда запишется в виде:
X n = a + bK n .
Таким образом, фактически пропорция Кирквуда воспроизводит показательную функцию от уровня. Для определения параметров пропорции Кирквуда представим её в виде
ln( X n +1 − X n ) = ln(b( K − 1)) + nK .
Построение данных, соответствующих пропорции Кирквуда, даёт спрямление в координатах ln( X n+1 − X n ) ~ n (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Схема определения основания показательной функции
15
Угол наклона определяет значение параметра K. При n = 0
X 1 − X 0 = b( K − 1) и при известных К, Х1 и Х0 получим
(X − X0)
.
b= 1
( K − 1)
Рассмотрим реализацию данного алгоритма определения
параметров показательной функции от уровня на классическом
примере расстояний планет Солнечной системы. Исходные данные для проведения оценок приведены в табл. 2.
Таблица 2
Расстояния планет от Солнца и логарифмы разностей
расстояний до соседних планет
n
Планета
an/a.e.
ln(an+1 – an)
Меркурий
0,387099
0
Венера
0,723332
-1,08995
1
Земля
1
-1,284937
2
Марс
1,523691
-0,64685
3
Астероиды
2,9
0,322
4
Юпитер
5,202803
0,83
5
Сатурн
9,53884
1,46696
6
Уран
19,1819
2,2662
7
Плутон
39,44
3,00855
Зависимость ln(an+1-an) от n представлена на рис. 1.13 и характеризуется линейным трендом от Венеры до Плутона. Здесь
Венере соответствует номер 0, Земле – 1, Марсу – 2, поясу астероидов – 3, Юпитеру – 4, Сатурну – 5, Урану – 6 и Плутону – 7.
По крайним точкам линейного тренда оценим основание показательной функции К
K=
Тогда b =
(3,00 + 1,28)
6
e
= 2.045 ≈ 2 .
(a1 − a0 )
= 1 − 0,72 ≈ 0,3 и из условия
( K − 1)
a1 = a + b ⋅ K , a = a1 − b ⋅ K = 1 − 0.3 ⋅ 2 = 0.4
16
В результате воспроизводится известный закон Тициуса–Боде
an = 0,4 + 0,3·2n.
Здесь постоянный член характеризует расстояние от Солнца ближайшей к нему планеты - Меркурия, что соответствует n = -∞.
Логарифм разности расстояний
планет от Солнца
3,5
3
ln[a(n+1)-a(n)]
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5 0
2
4
6
8
-1
-1,5
n
Рис. 1.13. Зависимость логарифмов разности расстояний
соседних планет от Солнца
Пропорция Кирквуда является интегралом линейного неоднородного дифференциального уравнения для фиксированного
значения аргумента, то есть представляет собой значения среднего фазового состояния системы X n относительно состояний X n −1
и X n +1 . Для оценки динамических характеристик систем перейдем от среднего значения по фазовому состоянию к среднему
значению по времени, то есть будем считать среднее состояние
X t как определяемое соседними состояниями X t −Δt и X t + Δt . ТоX
+ X t −Δt
.
гда, при К =1 получается X t = t +Δt
2
1.3. Исключение тренда на основе теории пропорций
для четырёх точек
Связь для четырех точек определяется пропорцией, которая
в архитектуре называется вурфом, рис.1.14:
17
w=
( ab + bc ) ⋅ (bc + cd )
.
bc ⋅ ( ab + bc + cd )
Рис. 1.14. Разбиение отрезка на основе вурфа
Будем считать среднее состояние y(t) как определяемое соседними состояниями y(t-Δt), y(t+Δt) и y(t+2Δt) (1.7).
y (t + 2 ⋅ Δt ) − y (t )
y (t + Δt ) − y (t )
:
= C,
(1.13)
y (t + 2 ⋅ Δt ) − y (t − Δt ) y (t + Δt ) − y (t − Δt )
где y(t-Δt), y(t), y(t+Δt), y(t+2Δt) характеристики в моменты времени t-Δt, t, t+Δt, t+2Δt.
При С=1 перепишем соотношение (1.13), как
y(t − Δt ) ⋅ y(t + 2 ⋅ Δt ) + y(t ) ⋅ y(t + Δt )
=1
y(t − Δt ) ⋅ y(t + Δt ) + y(t ) ⋅ y(t + 2 ⋅ Δt )
или
 y (t − Δt ) ⋅ y (t + 2 ⋅ Δt ) + y (t ) ⋅ y (t + Δt ) 
 = 0.
ln
(1.14)
 y (t − Δt ) ⋅ y (t + Δt ) + y (t ) ⋅ y (t + 2 ⋅ Δt ) 
В результате, беря смещение за пробный интервал по времени,
равный Δt, получим метрику, использование которой позволит
исключить из данных трендовую составляющую.
Таким образом, трендовые участки для вурфов исключаются
в следующих координатах:
 y (t − Δt ) ⋅ y (t + 2 ⋅ Δt ) + y (t ) ⋅ y (t + Δt ) 
R(t , Δt ) = ln
 ~ t.
−
Δ
⋅
+
Δ
+
⋅
+
⋅
Δ
y
(
t
t
)
y
(
t
t
)
y
(
t
)
y
(
t
2
t
)


(1.15)
Возможности метода исключения тренда проиллюстрируем
на ряде примеров. Для исключения тренда воспользуемся соотношением (1.15).
Аналогично примерам исключения тренда на основе трёх
точек рассмотрим исключение тренда (рис. 1.15) и модуль мате-
18
матического ожидания (рис. 1.16) полученных в результате исключения тренда колебаний
Рис. 1.15 Исключение тренда для Рис. 1.16 Модуль математического
данных рис. 1.1
ожидания колебаний рис. 1.1
Здесь так же, как и для данных рис. 1.3, минимальное значение функции достигается при значении ∆t = 10.8 дней.
На рис. 1.17 представлен результат исключения тренда для
данных рис. 1.4.
Рис. 1.17. Исключение тренда для Рис. 1.18. Модуль математического
данных рис. 1.4
ожидания колебаний рис. 1.4
19
На рис.1.18 представлен модуль математического ожидания
полученных в результате исключения тренда колебаний
Минимальное значение функции достигается при значении
∆t = 24 дня, что является близким значениям для данных рис.1.6.
Для данных добычи нефти [5] (рис.1.7) исключение тренда на
основе четырёх точек представлен на рис.1.19.
Рис. 1.19. Данные рис. 1.17 после ис- Рис. 1.20. Модуль математического
ключения тренда
ожидания данных рис. 1.17
Как и для случая представленного на рис. 1.9 здесь также значимо выделенного экстремума, соответствующего минимальному
влиянию способу исключения тренда нет.
К такой(1.13) пропорции приводят соотношения четырёх
частных решений уравнения Риккати при фиксированном значении аргумента [6]. Уравнение Риккати имеет вид (1.16)
y (t ) = P(t ) ⋅ y 2 (t ) + Q(t ) ⋅ y (t ) + R(t ) . (1.16)
Для всяких четырех частных решений уравнение Риккати справедливо тождество:
y 4 (t ) − y 2 (t ) y3 (t ) − y 2 (t )
:
= C,
y 4 (t ) − y1 (t ) y3 (t ) − y1 (t )
где y1, y2, y3, y4 – частные решения, С – константа.
(1.17)
20
Связь четырёх частных решений дифференциального уравнения Риккати воспроизводит пропорцию, называемую вурфом.
Уравнение Риккати получается из линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка (1.12)
z(t ) + z (t ) ⋅ P (t ) + z (t ) ⋅ Q (t ) = 0
(1.18)
Пусть нам известно, одно решение уравнения (1.12)
y (t ) dt
z (t ) = e 
.
Тогда,
y (t ) dt
 y (t ) dt + y 2 (t ) ⋅ e  y (t ) dt
z (t ) = y (t ) ⋅ e 
z
(
t
)
=
y
(
t
)
⋅
e



,
.
После подстановки полученных производных в уравнение (1.19)
y (t ) ⋅ e 
y (t ) dt
+ y 2 (t ) ⋅ e 
y (t ) ⋅ e 
y (t ) dt
⋅ P(t ) + e 
y (t ) dt
y (t ) dt
+
⋅ Q(t ) = 0
получается уравнение Риккати (1.10).
Это показывает связь между уравнением Риккати и линейным
дифференциальным уравнением первого порядка, обобщением которого является дифференциальное уравнение второго порядка.
2. ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ИХ ПАРАМЕТРОВ
2.1. Метрики функционального анализа
Метрическим пространством называется всякое множество Е,
в котором для любых двух его элементов x и y определено вещественное неотрицательное число, называемое расстоянием между x и
y, обозначаемое ρ(x,y), причём должны выполняться следующие
требования [7]:
1) ρ(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y;
2) ρ(x,y)=ρ(y, x) (аксиома симметрии);
3) для любых трёх элементов x, y и z ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(z,y) (аксиома треугольника).
21
В функциональном анализе рассматривается ряд метрик для
определения расстояния на метрическом пространстве, некоторые из них представлены в табл. 3.
Таблица 3
Метрики функционального анализа
№ Метрика
1
ρ ( x, y ) =
n
2n
 (x
t
t =1
n
2
− yt ) 2 n n=1, 2, 3, …
p
ρ p ( x, y ) = ( xt − yt )
t =1
1
p
- расстояние в пространстве lp,
p=1, 2, 3, …
Эти функции также широко используются в теории распознавания образов при решении задач классификации. По сути,
они определяют расстояния между объектами или их группами в
метрическом пространстве.
2.2. Почти-периодические функции. Определения и свойства.
Классы сдвиговых функций
Периодические функции используются во многих разделах
математики и ее приложениях. Фундаментальное характеристическое свойство периода функции (2.1) состоит в повторении значений
функции через интервал изменения независимой переменной равный периоду.
f (t + τ ) − f (t ) = 0 ,
(2.1)
Как правило, в реальных данных приходится иметь дело с
нелинейными колебаниями, в связи с чем чистые периоды встречаются достаточно редко. В результате, максимум, на что можно
рассчитывать - это на выявление значений, наиболее близких к
периодам. Такие значения называются почти-периодами [8].
Кроме того, подобные функции могут колебаться относительно
достаточно гладкой функции, которую можно назвать трендом.
22
Почти периодические функции. Функция f(x), x ∈ R , где R
– действительная ось, называется периодической с периодом T,
если f ( x + T ) = f ( x) для любых x, причем T - наименьшее из
возможных чисел.
Периодические функции встречаются во многих приложениях. Однако в реальных измерениях подобные функции не являются строго периодическими. Дадим определение почти периодических функций. Почти период T функции f(x) определяется формулой
1T

T min   f ( x + T ) − f ( x) dx  .
(2.2)
T
T
 0

Пусть задана функция дискретного аргумента f(n), где n целые положительные и отрицательные числа, включая ноль. Тогда
почти период T функции f(n), где T – целое положительное число,
определяется формулой
 1 n −T

T min 
f
(
n
T
)
f
(
n
)
+
−

 .
T
 n − T n =1

(2.3)
Таким образом, задача определения почти-периодов представляет собой поиск минимального расстояния между функциями на метрическом пространстве. Поэтому для выявления значения почти-периода определим класс сдвиговых функций основанных на метриках функционального анализа (табл. 4), которые
определяют расстояния в разных метрических пространствах
Таблица 4
№
Сдвиговые функции
Сдвиговая функция
1
ρ (τ ) =
n −τ
2n
 ( f (t + τ ) − f (t ))
2n
t =1
2
n −τ
p
ρ p (τ ) = ( f (t + τ ) − f (t ) )
t =1
1
p
23
2.3 Модели и алгоритмы определения почти-периодов.
Классы сдвиговых функций
Применение сдвиговых функций, основанных на метриках
функционального анализа и теории почти-периодических функций,
позволяет эффективно определять значения почти-периодов.
В отличие от стандартных методов анализа колебаний, сдвиговые функции опираются, прежде всего, на фундаментальное характеристическое свойство периода функции (2.1). Это позволяет выявлять почти-периоды, свободные от априорных предположений о величине почти-периода или виде функции (формы колебаний), соответствующей анализируемым данным.
Сдвиговые функции выявляют почти-периоды с помощью
оценки степени повторяемости поведения исследуемого ряда при
различных сдвигах. Локальные минимумы этих функций определяют значения почти-периодов.
Как правило, результаты измерений являются дискретными
значениями с известным конечным количеством точек. Преобразуем
сдвиговые функции табл. 4 следующим образом (табл. 5): 1) заменим непрерывные сдвиговые функции дискретными аналогами, 2)
добавим оператор усреднения для компенсации влияния изменения
длины анализируемых данных от величины сдвижки [9-12].
Таблица 5
Сдвиговые функции с оператором усреднения
№
Сдвиговая функция
1
n−τ
1
a(τ k ) =
⋅ 2n  ( f (ti + τ k ) − f (ti )) 2n
n −τ
t =1
2
n
1
a (τ k ) =
⋅ ( f (ti + τ k ) − f (ti ) ) p
n − τ t =1
p
1
24
1 n
⋅  ( f (ti + τ k ) − f (ti )) 2n
n − τ t =1
3
a(τ k ) =
4
n
1
a (τ k ) = (
⋅  f (ti + τ k ) − f (ti ) ) p
n − τ t =1
2n
p
1
Частными случаями этих расстояний при n = 1 является квадрат разности между значениями функции при значениях аргумента смещенных на τ, а при p = 1 функция Альтера-Джонсона. Исследуем свойства сдвиговой функции Альтера-Джонсона [13] (2.4).
Для дискретного случая, если n – общее число отсчетов
функции f(t), заданной экспериментальными значениями, вводится следующая метрика для определения почти периодов:
1 n−τ
a (τ k ) =
⋅  f ( t i + τ k ) − f (t i ) .
(2.4)
n − τ i =1
Система почти - периодов τ функции f(t) может быть определена как совокупность локальных минимумов сдвиговой функции
τ = arg min a (τ )
τ min ≤ τ ≤ τ max ,
где τmin и τmax - естественные пределы поиска периода, выбираемые
таким образом, что, с одной стороны, отбрасываются τ < τmin, при
которых функция а(τ) может принимать малые значения из-за
инерционности функции f(t), и, с другой стороны, отбрасываются
τ > τmax, при которых определение средней a(τ) становится ненадежным из-за малого числа членов суммирования в выражении
(2.4).
Сдвиговая функция строится следующим образом:
1) На первом шаге берем τ=1, и считаем модуль разности значений исходного ряда |f(t+τ)-f(t)| , для всех t от 1 до L=N - τ.
2) Суммируем полученные значения и делим на L. В результате
первое значение функции a(τ) посчитано.
25
3) Повторяем пункты 1 и 2 для всех τ = от 2 до N - 2.
4) Перебор всех сдвижек τ позволяет построить сдвиговую функцию.
Фактически, в этом случае выявляются почти-периоды, представленные в исходных данных, независящие от формы колебаний.
Если в исходном временном ряду имеются почти-периоды
различной длительности, то это означает, что исследуемый процесс
приблизительно воспроизводится через интервалы времени, равные
этим почти-периодам. Поэтому сдвиговая функция, оценивающая
степень близости значений временного ряда, отстоящих друг от
друга на определенный интервал времени, оказывается одной из
важнейших характеристик процесса. Колебания в исходном временном ряду формируются в соответствии со степенью влияния предшествующих и последующих значений временного ряда на его значения в текущий момент времени.
Сдвиговая функция характеризует структуру колебаний исследуемого процесса. Колебания сдвиговой функции, отражая изменение степени влияния предыстории на формирование текущего состояния процесса, по своей структуре могут служить обобщенной
моделью колебаний в исходном ряду. Это свойство сдвиговой
функции позволяет использовать ее для анализа сложных колебательных процессов, содержащих колебания различных длительностей, не обязательно находящихся в суперпозиции друг с другом.
Исследование сдвиговой функции временного ряда позволяет
решить две взаимосвязанные задачи:
1. Найти почти-периоды колебаний, для исследуемого процесса.
2. Определить характер взаимодействия между колебаниями различных почти-периодов.
Положение локальных минимумов сдвиговой функции указывает на наличие в исходном ряду почти-периодов соответствующих
длительностей. Если в исходном ряду имеется почти-период τ1, то
сдвиговая функция a(τ) будет давать локальный минимум в точке τ1
и, кроме того, будет иметь тенденцию к колебательному поведению
с тем же почти-периодом τ1, формируя тем самым арифметическую
26
прогрессию локальных минимумов τ1, 2τ1, 3τ1,… и т.д. Колебания
всех почти-периодов, имеющиеся в сдвиговой функции, будут начинаться с глобального минимума a(0)=0 в точке τ=0.
Анализ локальных минимумов сдвиговой функции следует
вести последовательно, начиная с точки τ = 0 в направлении увеличения τ. Ближайший к началу отсчета локальный минимум дает
возможность выделить в исходном временном ряду почти-период
τ1, соответствующий местоположению этого минимума.
Все далее встречаемые локальные минимумы должны проверяться на кратность τ1. Таким образом, будет выделена совокупность
локальных минимумов, отстоящих друг от друга на интервал, равный первому выделенному почти - периоду τ1.
Эта совокупность обычно свидетельствует о наличии в исходном временном ряду лишь одного периода. В этом случае глубина
локальных минимумов будет уменьшаться с ростом показателя
кратности.
При обнаружении достаточно глубокого локального минимума в точке τ2, такой, что τ2 ≠ kτ1, можно считать τ2 независимым
почти-периодом.
Практика работы со сдвиговыми функциями различных временных рядов показала, что анализ поведения сдвиговой функции с
ростом τ позволяет не только определять длительности периодов в
исходном временном ряду, но и обнаруживать нелинейный эффект
взаимодействия между колебаниями различной длительности, выражающийся в синхронизации фаз этих колебаний.
Если при исследовании локальных минимумов сдвиговой
функции обнаруживается, что минимум в точке τ2 является точкой
синхронизации для колебаний с периодом τ1, то далее следует отсчитывать эти колебания от точки τ2 как от нового начала отсчета.
При обнаружении новых независимых периодов τ3, τ4 и т.д.
анализ производится аналогично, с учетом ожидаемого появления
локальных минимумов через интервалы, равные уже выделенным
периодам, и проверкой наличия эффекта синхронизации между колебаниями различных длительностей.
27
При завершении анализа сдвиговой функции мы получаем
совокупность независимых почти-периодов - τ1,τ2,…,τn и информацию о характере взаимодействия колебаний этих почти-периодов
друг с другом.
Обнаружение эффектов синхронизации позволяет говорить о
процессе как о едином, несмотря на наличие в нем различных колебаний. Дело в том, что в случае существования синхронизации описанного типа суперпозиция колебаний различной длительности нарушается, по крайней мере, в местах сдвижек фазы и в результате
формируется иерархия колебаний, в которых колебания меньших
длительностей как бы упакованы в колебания большей длительности. Такая иерархическая организация и определяет структурную
целостность исследуемого процесса.
В некоторых процессах основные колебания настолько сильно
проявлены по сравнению с остальными, что анализ сдвиговой
функции не дает возможности выделить периоды, некратные основному. В этом случае основной почти-период может быть определен,
как местоположение глобального минимума сдвиговой функции
τ 1 = arg min a (τ )
,
τ min ≤ τ ≤ τ max
где τmin, τmax - естественные пределы поиска почти-периода.
После определения основного почти-периода можно исключить из исходного временного ряда соответствующие ему колебания. Это достигается путем перехода от исходной функции f(t)
к преобразованной функции
f1 (t ) = f (t ) − f (t − τ1 ).
Далее поиск периодов некратных τ1, может быть продолжен с новой функцией f1(t) в качестве исследуемого временного
ряда. Для этого следует вычислить новую сдвиговую функцию
a1(τ) и проанализировать ее локальные минимумы.
В случае необходимости итерационный процесс может быть
продолжен, т.е. определен новый основной период τ2, вычислена
новая функция
28
f2 (t ) = f1(t + τ2 ) − f (t ) = f (t + τ1 + τ2 ) − f (t + τ1 ) − f (t + τ2 ) + f (t )
и так далее, пока все значимые периоды не будут выявлены.
Для проверки эффективности каждой из представленных
метрик и грубости получаемых результатов целесообразно проводить расчеты параллельно по ряду метрик с последующим
сравнением полученных результатов.
Эффективность представленных алгоритмов и последовательность действий при анализе данных рассмотрим на ряде
примеров.
На рис.2.1 представлены данные динамики среднего числа
пятен на Солнце.
Рис. 2.1 Динамика среднего числа пятен на Солнце. По оси ординат - числа Вольфа, по оси абсцисс – время в годах
Рассмотрим результат разложения данных рис.2.1 в ряд Фурье, что соответствует стандартной процедуре определения периодов колебаний (рис. 2.2). Здесь выявляется 11-летний цикл.
На этом содержательная часть информации о системе циклов исчерпывается. Для выявления остальных ритмов необходимо ис-
29
пользование дополнительных методов обработки данных, связанных с фильтрацией коротких и длинных периодов, ориентированных на выявление периодов в ограниченном диапазоне.
Рассмотрим применение сдвиговой функции (2.4) на тех же
данных. Для оценки влияние различных метрик на конечный результат воспользуемся сдвиговой функцией при p=1, что соответствует функции Альтера – Джонсона, а также при p=3 и p=5.
Минимумы (рис.2.3) определяют совокупность почти – периодов солнечной активности, представленную последовательностью значений: 11, 22, 33, 43, 54, 67, 78 , 89, 100, 110, 121, 132,
143, 156, 168, 179, 189, 200 лет [14]. Также из результатов видно,
что различные метрики не влияют на положение локальных минимумов, а некоторое изменение величин амплитуд не изменяет
характера взаимодействия почти–периодов. Здесь до значений τ в
156 лет воспроизводится набор гармоник, соответствующих почти-периоду, длительностью 11 лет. Далее структура сдвиговой
функции меняется.
Рис. 2.2 Результат разложения данных рис. 2.1 в ряд Фурье для определения циклов солнечной активности, по оси абсцисс – время в месяцах
Рис. 2.3 Сдвиговая функция (2.4) на
данных рис. 2.1 (1) – функция Альтера-Джонсона, (2) – функция (2.4)
при p=3, (3) – функция (2.4) при p=5
30
Из представленных результатов видна принципиальная разница информативности получаемых результатов при использовании
метода Фурье как основанного на навязывании эмпирическим данным фиксированной структуры и метрик функционального анализа,
которые не требуют задания фиксированной структуры колебаний.
В первом случае результатом выделения стал 11-летний период, который в принципе очевиден из рассмотренного ряда на
рис.2.1. Действительно, общеизвестно существование периодичности пятнообразовательной активности Солнца с длительностью
около 11 лет. Первичная обработка данных на основе метода Фурье
(рис. 2.2) никакой содержательной информации о более длинных
ритмах при этом не предъявляет.
Поиски более длительных периодов солнечной активности
проводится методом Фурье путем фильтрации коротких и длинных
колебаний относительно интервала поиска значений и к настоящему времени привели к выявлению ряда циклов, многие из которых
получили имена собственные. Они и представлены в приведенных
выше результатах обработки данных на основе сдвиговой функции.
В результате набор основных периодов, выявленных различными авторами в течение последних двухсот лет, воспроизводится
при определении почти-периодов на основе метрик функционального анализа. При этом выявляются значимые значения почтипериодов в диапазонах, границы которых, отличаются на порядок.
Примечательно, что при этом почти-период длительностью в 179
лет соответствуют известному периоду парада планет.
Рассмотрим следующий пример. На рис. 2.4 представлен
фрагмент минутной записи кардиограммы у здорового человека.
На рис. 2.5 показан результат применения метода Фурье для
данных рис. 2.4. Полученное здесь значение периода равно 1с. На
рис. 2.6 представлен результат применения сдвиговой функции
(функция Альтера-Джонсона) для тех же данных. Её минимумы
определяют совокупность почти-периодов.
31
Рис. 2.4. Фрагмент записи ЭКГ по Холтеру у здорового человека
Рис. 2.5. Результат обработка дан- Рис. 2.6. Результат обработки данных
ных методом Фурье
сдвиговой функцией
Результат, полученный методом Фурье больше, чем почтипериод, полученный сдвиговой функцией.
На рис. 2.4 представлена частость встречаемости длительностей сердечного ритма на анализируемом интервале
кардиограммы. Полученный результат показывает, что сдвиговая функция определяет истинное среднее положение почти-
32
периода сердечного цикла, тогда как метод Фурье дает значимую систематическую ошибку.
Рис. 2.7. Частость встречаемости сердечного ритма. По оси абсцисс – время
в секундах между Т-зубцами, по оси ординат – число циклов
Применение преобразования Фурье приводит к получению результата взаимодействия эмпирических данных и членов ряда Фурье. Таким образом, получаемые характеристики
спектра являются результатом такого взаимодействия, т.е. определяют свойства новой системы, представляющей совокупность исходных данных и ряда Фурье. Это приводит к возникновению нелинейных эффектов, не имеющих отношения к
свойствам исходного эмпирического ряда.
Т аким образом, принципиальный характер перехода от
Фурье-анализа к метрикам функционального анализа при анализе нелинейных колебаний очевиден.
2.4. Проверка ряда после исключения тренда на
принадлежность к классу почти-периодических функций
После исключения тренда остаются колебания относительно
среднего значения. Анализ данных необходимо начинать с
проверки исходного ряда на принадлежность к классу почтипериодических функций, которые должны соответствовать
свойствам почти-периодических функциям.
33
Основные свойства, которые могут быть использованы для
оценки принадлежности ряда отклонений от тренда к классу почти-периодических функций и оценке грубости получаемых результатов следующие [8]:
1. Если f(x) – равномерная п.-п. функция, то |f(x)| - так же равномерная п.-п. функция (это следует из неравенства ||f(x+τ)f(x)||≤ |f(x+τ)-f(x)|;
2. Если производная f’(x) равномерной п.-п. функции непрерывна, то она также является равномерной п.-п. функцией;
3. Если неопределенный интеграл
x
F ( x) = C +  f ( x)dx
равномерной
0
п.-п. функции f(x) ограничен на всей числовой оси, то он так
же является равномерной п.-п. функцией.
Фактически, через эти свойства реализуется непосредственная
возможность оценки грубости значений почти-периодов, определенных на основе сдвиговых функций для результатов измерений в
отклонениях относительно тренда.
На рис. 2.8а, в, д представлены модуль, интеграл и производная данных рис. 1.1. Соответственно на 2.8б, г, е представлены сдвиговая для модуль, интеграла и производной.
Из данных рис. 2.8 видно, что после проведения преобразований значения почти-периодов остались без изменений, это свидетельствует о достоверности полученных результатов.
На рис. 2.9а, в, д представлены модуль, интеграл и производная данных рис. 1.4. Соответственно на 2.9б, г, е представлены сдвиговая для модуль, интеграла и производной.Из данных
рис. 2.9 видно, что после проведения преобразований значения
почти-периодов остались без изменений, это свидетельствует о
достоверности полученных результатов.
На рис. 2.10а, в, д представлены модуль, интеграл и производная данных рис. 1.7. Соответственно на 2.10б, г, е представлены сдвиговая для модуль, интеграла и производной.
Из данных рис. 2.10 видно, что после проведения преобразований значения почти-периодов остались без изменений, это
свидетельствует о достоверности полученных результатов.
34
a)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 2.8. а) модуль данных рис. 1.1; б) сдвиговая функция данных (а);
в) интеграл данных рис. 1.1; г) сдвиговая функция данных (в); (д) производная
данных рис. 1.1; е) сдвиговая функция данных (д).
35
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 2.9. а) модуль данных рис. 1.3; б) сдвиговая функция данных (а); в) интеграл данных рис. 1.3; г) сдвиговая функция данных (в); д) производная данных
рис. 1.3; е) сдвиговая функция данных (д).
36
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 2.10. а) модуль данных рис. 1.7; б) сдвиговая функция данных (а);
в) интеграл данных рис. 1.7; г) сдвиговая функция данных (в); д) производная
данных рис. 1.7; е) сдвиговая функция данных (д).
37
2.5. Почти-периоды нелинейных динамических систем
Под динамической системой понимают любой объект или
процесс, для которого однозначно определение понятия как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) с начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному
состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы –
это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами.
Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательная система называется линейной или нелинейной в зависимости от того, линейна или не линейна описывающая её система дифференциальных уравнений.
В настоящее время большой интерес вызывают исследования характеристик процессов нелинейных квазипериодических
колебаний [15-17].
Как правило, параметры, как и значения близких к периодам
колебаний, содержащихся в структуре решений таких уравнений,
не детализируются. Основной акцент в проводимых в этом направлении исследованиях направлен на хаотический характер
реализуемых в этих моделях колебаний. Предметом настоящей
статьи является исследование почти - периодических решений в
классической модели хаотических колебаний, представленной
отображением Хенона [18].
Отображение используется при моделировании динамики
различных биологических объектов, например, образования
псевдоподий у клеток.
При небольших отклонений начальных условий от центра
инвариантные кривые близки к эллипсам. С ростом начальных
условий влияние нелинейности приводят к появлению инвариантных структур, состоящих из пяти замкнутых областей, как
приведено на рисунке. С ростом n точки последовательно пере-
38
скакивают с кривой на кривую, заполняя таким образом всю
структуру. Использование метода сдвиговых функций позволяет
получить все периоды такого движения.
Рассмотрим отображение Хенона (2.8), являющееся нелинейным вращением с растяжением по осям.
 xn+1 = xn cosα − β ( y n − xn2 ) sin α
.

 y n+1 = y n sin α − β ( y n − xn2 ) cosα
(2.8)
На рис. 2.11 представлена структура отображения Хенона, у
которого имеется центральная инвариантная кривая, инвариантные структуры, состоящие из пяти кривых и граница с неустойчивым движением.
Рис. 2.11. Отображение Хенона
Для получения приближенного аналитического интеграла
движения используем метод наименьших квадратов. Рассмотрим
изолирующий интеграл для отмеченной на рис.2.11 кривой:
ψ n2 + t1u n2 + t 2ψ n u n = const .
Коэффициенты формулы получаются из соотношения:
2
 (ψ n2 + t1un2 + t2ψ nun − const )
m
n =1
→ min .
На рис. 2.12 представлены результаты расчета, которые сравниваются с машинным моделированием (значки).
39
Рис. 2.12. Сопоставление результатов расчёта
с машинным моделированием
Очевидно, что любое периодическое движение характеризуется определенным периодом. Рассмотренные методы не позволяют получить эти значения.
Для выявления периодов, представленные в исходных данных, свободные от априорных предположений о величине почтипериода или виде функции (формы колебаний), соответствующей
анализируемым данным воспользуемся сдвиговыми функциями,
например (2.4).
Проиллюстрируем эффективность представленного алгоритма на данных области F1 (рис. 2.11) исходного отображения
Хенона. На рис. 2.13б и рис. 2.13в представлены зависимости данных рис. 2.13а от номера элемента.
Рис. 2.13. а) Область F1 исходного отображения Хенона; б) данные оси
абсцисс области F1 от номера элемента; в) данные оси ординат
области F1 от номера элемента
40
На рис. 2.14 и рис. 2.15 представлены сдвиговые функции
данных рис. 2.13б и рис. 2.13в.
Рис. 2.14. а) Сдвиговая функция данных рис. 2.13б; б) детализированный
фрагмент начального участка сдвиговой функции (а)
Рис. 2.15. а) Сдвиговая функция данных рис. 2.13в; б) детализированный
фрагмент начального участка сдвиговой функции (а)
Из рис. 2.14 и рис. 2.15 видно, что значения почтипериодов этих функций совпадают и составляют 5, 16 и 1800
элементов.
Для проверки [8] на принадлежность ряда отклонений от
тренда к классу почти-периодических функций и оценки гру-
41
бости выявленных значений
почти-периодов используем
свойства почти-периодических функций.
На рис. 2.16а, рис. 2.16г и рис. 2.16ж представлены модуль, интеграл и производная данных рис. 2.13б. Соответственно на рис. 2.16б и рис 2.16в, рис. 2.16д и рис. 2.16е, рис.
2.16з и рис. 2.16и, представлены сдвиговая для модуль, интеграла и производной.
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
Рис.2.16. а) модуль данных рис. 2.13 б; б), в) сдвиговая функция данных
(а); г) интеграл данных рис. 2.13 б; д), е) сдвиговая функция данных (г);
ж) производная данных рис. 2.13 б; з), и) сдвиговая функция данных (ж)
Аналогично рис. 2.16 представлен рис. 2.17 для данных рис.
2.13в. Из данных рис. 2.16 и рис. 2.17 видно, что после проведения преобразований значения почти-периодов остались без
42
изменений, это свидетельствует о достоверности полученных
результатов.
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
Рис. 2.17. а) модуль данных рис. 2.13 в; б), в) сдвиговая функция
данных (а); г) интеграл данных рис. 2.13 в; д), е) сдвиговая функция
данных (г); ж) производная данных рис. 2.13 в; з), и) сдвиговая
функция данных (ж)
Рассмотрим данные рис. 2.13б и рис. 2.13в в полярных
координатах, рис. 2.18 и рис. 2.19 соответственно. Величина
периода для рис. 2.18а и рис. 2.19а соответствует значению
почти-периода 1800 элементов, для рис. 2.18б и рис. 2.19б соответствует 900 элементам, для рис. 2.18в и рис. 2.19в соответствует 1700 элементам, для рис. 2.18г и рис. 2.19г соответствует 1900 элементам.
43
а
б
в
г
Рис. 2.18. Данные рис. 2.13б в полярных координатах с периодами:
а) 1800, б) 900, в) 1700, г) 1900 элементов
Анализ рис.2.18 и рис.2.19 показывает, что наилучшее совпадение фаз достигает при величине периода 1800 элементам,
при других значениях периодов появляются значительные рассогласования фаз. Это подтверждает достоверность выявленных
значений почти-периодов.
44
а
б
в
г
Рис. 2.19. Данные рис. 2.13в в полярных координатах с периодами:
а) 1800, б) 900, в) 1700, г) 1900 элементов
Аналогичные исследования были проведены для других областей модели Хенона, которые показали результаты принципиально соответствующие представленным выше зависимостям.
В табл.6 представлены значения почти-периодов для областей отображения Хенона, рис. 2.11
45
Таблица 6
Почти-периоды для областей отображения Хенона (рис. 2.11)
Названия области
Почти-периоды
f1
5
16
1800
f3
5
95
f4
5
19
43
f7
5
16
80
Представленные в таблице значения почти-периодов показывают, что они воспроизводятся на уровне коротко периодических характеристик и принципиально отличаются для больших
значений почти-периодов.
Представленные методы обработки сигналов, оказавшиеся эффективными при анализе колебании, считающихся хаотическими,
ранее показали эффективность их применения в различных областях
естественнонаучных исследований [3, 19-28].
2.6. Модели и алгоритмы определения почти-пропорции
Функционирование самых различных систем наряду с ритмами арифметических прогрессий сопровождается ритмами геометрических прогрессий. Например, это последовательность периодов
обращения планет Солнечной системы относительно Солнца.
Ритмы геометрической прогрессии удовлетворяют соотношению
f (t ⋅ k ) − f (t ) = 0 ,
(2.9)
где f(t) - значение исследуемого ряда в момент времени t, k - модуль геометрической прогрессии. Это соотношение задаёт расстояние по оси ординат между точками, у которых отношение
расстояний по оси абсцисс равно k.
Дадим определение почти-пропорциональных функций.
Почти-пропорция К функции f(x) определяется формулой
1K

K min   f ( x ⋅ K ) − f ( x) dx 
K
K 0

.
(2.10)
Пусть задана функция дискретного аргумента f(n), где n целые положительные и отрицательные числа, включая ноль. Тогда
46
почти период T функции f(n), где T - целое положительное число,
определяется формулой
 1 n/K

K min 
f ( n ⋅ K ) − f ( n) 

K
 n / K n =1

.
(2.11)
Для выявления ритмов геометрической прогрессии, свободных по возможности от априорных предположений, используем
подход, который опирается, на соотношение (2.9), состоящее в
оценке степени повторении значений функции, отношение расстояний между которыми по оси абсцисс, равно k.
Для дискретного случая, если N - общее число отсчетов
функции f(t), заданной экспериментальными значениями, введем
следующую метрику для определения почти-пропорций [29]:
1
b( k ) =
N k
N k

f (t ⋅ k ) − f (t ) .
t =1
(2.12)
Для идентификации геометрической прогрессии необходимо знать положение нуля отсчёта, который может находиться
внутри или за пределами интервала исследуемых данных. Для
определения его положение расширим класс функции (2.12), где
в качестве второго аргумента будет фигурировать пробное значение положения нуля отсчёта
1
b( k , t 0 ) =
N k
N k

t =1
f (t ⋅ k + t 0 ) − f (t + t 0 ) .
(2.13)
Тогда, система почти-пропорций k функции f(t) может быть
определена как совокупность локальных минимумов функции
(2.13)
k = arg min b( k , t 0 )
k min ≤ k ≤ k max , t 0 min ≤ t 0 ≤ t 0 max ,
где k min , k max и t0 min , t0 max - естественные пределы поиска почти-пропорции и нуля отсчёта, выбираемые таким образом, что, с
одной стороны, отбрасываются малые значения, при которых
функция b(k,t0) может принимать малые значения из-за инерционности функции f(t), и, с другой стороны, отбрасываются боль-
47
шие значения, при которых определение средней b(k,t0) становится ненадежным из-за малости числа отсчётов.
Фактически в этом случае выявляются ритмы геометрической прогрессии, представленные в экспериментальных данных,
вне зависимости от формы колебаний.
В табл.7 Представлен класс сдвиговых функций основанных
на метриках функционального анализа для определения почтипропорций.
Таблица 7
№ Сдвиговая функция
1
N k
1
b( k , t 0 ) =
⋅ 2n  ( f (t ⋅ k + t0 ) − f (t + t0 )) 2n
N k
t =1
2
N k
1
b( k , t 0 ) =
⋅ ( f (t ⋅ k + t0 ) − f (t + t0 ) ) p
N k t =1
3
b( k , t 0 ) = 2 n
1 Nk
⋅  ( f (t ⋅ k + t0 ) − f (t + t0 )) 2n
N k t =1
4
1 Nk
b( k , t 0 ) = (
⋅  f (t ⋅ k + t0 ) − f (t + t0 ) ) p
N k t =1
p
p
1
1
Рассмотрим применение алгоритма идентификации ритмов
геометрической прогрессии на данных годовой добычи нефти в
стоимостном выражении (рис. 2.20). В полулогарифмическом
масштабе тренд представляет собой прямую, которую легко исключить из исходных данных. На рис. 2.21 представлен результат
исключения, обозначенного сплошной линией на рис. 2.20.
На рис. 2.22 представлен результат обработки функцией (2.13)
данных рис. 2.25. Здесь хорошо проявлен локальный минимум при
значениях k = 2.7 = e и t0 = 22 года. На рис. 2.23 стрелочками показано соответствие фаз геометрической прогрессии с полученным
модулем. Точка нуля отсчёта нормирована по оси абсцисс.
48
Рис. 2.20. Данные добычи нефти
в стоимостном выражении
Рис. 2.21. Данные рис. 2.20 после
исключения тренда
Рис. 2.22. Результат обработки
данных рис. 2.21 функцией (2.13)
Рис. 2.23. Проверка почти-пропорции на исходных данных
Рис. 2.24. Стоимость акций компании Procter&Gamble
Рис. 2.25. Результат обработки
данных рис. 2.24 функцией (2.13)
49
Цена акций компании Procter&Gamble (рис. 2.24) характеризуется колебания относительно постоянного уровня на всем интервале. Здесь, k = 1.5 и t0 = 30 месяцев. Функция (2.13) представлена на
рис. 2.25.
Рассмотрим условия синхронизации арифметической и геометрической прогрессий. Пусть w – модуль геометрической прогрессии, τ – величина почти-периода, t1, t2, t3 – числа, являющиеся
одновременно членами арифметической и геометрической прогрессий (рис.2.26), тогда выполняются равенства:
t1 ⋅ w p + q − t1 ⋅ wq
t1 ⋅ wq − t1
=
n⋅τ
.
m⋅τ
Вместо τ будем рассматривать относительную величину θ=τ/t1.
Тогда,
ln[(m + n ) ⋅ θ + 1]
p
(2.14)
−1 = .
ln[m ⋅ θ + 1]
q
Таким образом, зная модуль геометрической прогрессии можно определить величину периода, и, наоборот, по значениям периода, определить модуль геометрической прогрессии.
Для данных рис. 2.22 k = 2.7, что соответствует m=1 и n=2,
p=1 и q=2 (рис. 2.27). Значение τ определяется как полуразность
расстояния по оси абсцисс между вершинами, соответствующими e2
и e3.
Здесь τ = (36-11)/2 = 12 лет, что соответствует стрелочкам на
рис. 2.28.
Рис. 2.26. Схема синхронизации Рис. 2.27. Схема синхронизации
арифметической и геометрической арифметической и геометрической
прогрессий
прогрессий с модулем e
50
Рис. 2.28. Проявленность почти-периода длительностью 12 лет
Для данных рис. 2.24 k = 1.5, что соответствует m=2 и n=3,
p=1 и q=1 (рис. 2.29). Значение τ определяется как полуразность
или 1/3 расстояния по оси абсцисс между вершинами, соответствующими 3/2 и 9/4.
Рис. 2.29. Схема синхронизации арифметической и геометрической прогрессий с модулем 3/2
51
Для исходных данных τ = (300-207)/3 = 31 месяц, что соответствует горизонтальным стрелочкам на рис. 2.30.
Следующий почти-период равен τ = (300-207)/2 = 46 месяцев,
что соответствует горизонтальным стрелочкам на рис. 2.31.
Рис. 2.30. Почти-периода длитель- Рис. 2.31. Почти-периода длительностью 31 месяц
ностью 46 месяцев
Таким образом, функционирование самых различных систем сопровождается ритмами арифметических и геометрических прогрессий.
3. СОГЛАСОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ
ИСКЛЮЧЕНИЯ ТРЕНДОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОЧТИ-ПЕРИОДОВ. ОБОБЩЕННЫЕ
СДВИГОВЫЕ ФУНКЦИИ
Алгоритм оценки набора почти-периодов в эмпирических
данных с трендом состоит из двух этапов, в каждом из которых
присутствуют времена сдвига от текущего значения.
Величина сдвига ∆t в координатах исключения тренда влияет на форму колебаний, полученных в результате исключения
52
тренда. Это приводит к необходимости ее согласования со сдвигом τ, используемым для вычисления сдвиговой функции.
В результате для оценки системы почти-периодов в экспериментальных данных с трендом требуется расширить понятие
сдвиговой функции, включив в нее, кроме аргумента τ, величину
∆t [29].
Исследование системы минимумов этой функции по τ и ∆t
позволит определить набор значений почти-периодов, соответствующих исходному эмпирическому ряду.
Можно выявлять как отдельные локальные минимумы, так
и такие значения τ или ∆t, при которых образуются «каналы»
минимумов при фиксированном значении одной из переменных.
Для выявления «каналов» строятся функции, характеризующие среднюю сумму значений по аргументам функции
a(τ,∆t):
1
Φ (τ ) =
N
N
 a(τ , Δt ) ,
Δt =1
1 L
Ψ ( Δt ) =  a (τ , Δt ) ,
L τ =1
(3.1)
(3.2)
где N и L – количество значений в соответствующем ряду. Положения почти-периодов определяются минимумами функций (3.1),
(3.2).
На рис. 3.1а представлен результат обработки динамики
среднего числа пятен на Солнце (рис. 1.1) обобщенной сдвиговой
функцией из табл. 8 строка 1.
На рис. 3.1б представлена функция (3.1), ее локальные минимумы определяют значения почти-периодов длительностью 11
лет и кратные им.
7
6
5
4
3
2
1
№
Координата исключения тренда
Обобщенная сдвиговая функция
Таблица 8. Анаморфоза исключения тренда и обобщенные сдвиговые функции на их основе
53
54
а)
б)
Рис. 3.1. а) Обобщенная сдвиговая функция a(τ,∆t) и б) функция Φ(τ) (3.1)
для данных динамики среднего числа пятен на Солнце (рис.1.1)
На рис. 3.2а представлен результат обработки динамики потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см (рис.1.4)
обобщенной сдвиговой функцией [3] из табл.8 строка1.
55
На рис. 3.2б представлена функция (3.1), ее локальные минимумы определяют значения почти-периодов длительностью 27
дней и кратные им.
а)
б)
Рис.3.2. а) Обобщенная сдвиговая функция a(τ,∆t) и б) функция Φ(τ)
(3.1) для данных динамики потока радиоизлучения Солнца
на длине волны 10,7 см (рис. 1.4)
56
На рис. 3.3а представлен результат обработки динамики добычи нефти в США [5] (рис.1.7) обобщенной сдвиговой функцией
из табл. 8 строка 1.
На рис. 3.3б представлена функция (3.1), ее локальные минимумы определяют значения почти-периодов длительностью 16
лет и кратные им.
а)
б)
Рис. 3.3. а) Обобщенная сдвиговая функция a(τ,∆t) и б) функция Φ(τ)
(3.1) для данных динамики добычи нефти в США (рис. 1.7)
57
4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕНДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
4.1. Сглаживание по почти-периодам
Для выявления трендовой составляющей в эмпирических
данных, соответствующей исходному ряду, необходимо использовать методы, позволяющие, во-первых, избежать навязывания
определенной зависимости предполагаемому тренду, во-вторых,
согласовать методы выделения тренда с уже найденными характеристиками процесса.
Целесообразно за основу выделения тренда взять метод, при
котором из исследуемых данных исключаются колебания, присутствующие в исходном ряду. В качестве способа выделения
трендовой составляющей рассмотрим метод скользящей средней:
1 τ2
y (t ) =
 y (t + τ ) ,
τ m=−τ 2
*
(4.1)
где y*(t) - значения трендовой составляющей y(t), соответствующее середине интервала усреднения, τ – количество элементов,
по которым ведется усреднение, оно выбирается как ближайшее
нечётное значение к величине почти-периода [12].
Взяв в качестве τ количество элементов, равное почти-периоду,
из исходной зависимости исключается соответствующее колебание.
Применяя к y*(t) соотношение (4.1) с другими τ, можно исключить
основные почти–периоды, в результате остается только тренд.
На рис. 4.1 и рис. 4.2 представлен результат исключения колебаний по формуле (4.1) из данных потока радиоизлучения Солнца
на длине волны 10,7 см (рис. 1.4) с интервалом осреднения 27 дней
[3] и динамики добычи нефти в США с интервалом осреднения 16
лет [5](рис. 1.7).
Принципиальная значимость влияния метода исключения
тренда на оценку регулярной структуры колебаний относительно
него хорошо известна из реакции на фундаментальные результаты Н.Д. Кондратьева [30], связанные с выявлением больших циклов конъюнктуры.
58
Н.Д.Кондратьев использовал метод разделения движений.
При этом метод выделения тренда оставался неопределенным,
однако анализ большого числа временных рядов позволил ему
выйти на стабильную оценку длительности больших циклов.
На рис. 4.3 представлена динамика индекса торговых цен в
Англии с 1780 по 1915 года в золоте.
Рис. 4.1. Вид трендовой зависимости для данных рис. 1.4
Рис. 4.2. Вид трендовой зависимости для данных рис. 1.7
59
Индекс торговых цен в Англии с 1780 по 1915 года в золоте
200
180
160
140
120
100
80
1780
годы
1795
1810
1825
1840
1855
1870
1885
1900
1915
Рис. 4.3. Индекс торговых цен в Англии с 1780 по 1915 год в золоте,
по оси абсцисс – время в годах
На рис. 4.4 представлены колебания, получившиеся в результате
исключения тренда для данных рис.4.3.
Рис. 4.4 Данные рис. 4.3 после исключение тренда при ∆t=5 лет,
по оси абсцисс – время в годах
60
На рис. 4.5 представлена обобщённая сдвиговая функция и функции Φ(τ) (3.1) и Ψ(∆t) (3.2).
Рис.4.5. а). Обобщенная сдвиговая функция a(τ,∆t) для данных рис. 2.35;
б). Функция Φ(τ) (3.1); в). Функция Ψ(∆t) (3.2)
Здесь определяются значения почти-периодов длительностью 45
и 57 лет.
Рассмотрим применение метода выделения трендовой составляющей на данных Н.Д. Кондратьева (рис. 4.6). Для этого
воспользуемся методом скользящей средней (4.1). Величина усреднения τ равна значению 42 года.
Для проверки корректности полученного тренда вычтем его
из исходного ряда и определим параметры колебаний оставшихся
данных, рис. 4.7.
На рис. 4.7 величина почти-периода равна 57 лет, что соответствует значению, полученному раннее. Совпадение значений
почти-периодов говорит о правильности найденного тренда.
Это показывает, что в некоторых случаях воспроизводимость результатов выявления периодических компонент процесса
при неопределенном методе исключения тренда может обеспечи-
61
ваться обработкой большого числа данных, характеризующих
родственные объекты.
Рис. 4.6. Вид трендовой составляющей для данных экономической
статистики после исключения колебаний
Рис. 4.7. Сдвиговая функция для данных после исключения тренда
рис.4.6 из исходного ряда
62
4.2. Иерархия трендов
Процессы развития обычно начинаются экспоненциальной
фазой, что соответствует прямым участкам в полулогарифмическом масштабе.
Переменный характер внутренних и внешних условий развития приводит к тому, что при определенных характеристиках
системы и среды, в которой она развивается, экспоненциальный
рост с постоянным темпом прекращается. На длительных интервалах развитие происходит с падением темпов, например рис.4.8.
В таких случаях падающие участки темпов формируют следующий уровень иерархии трендов, характеризующих развитие
на более длительных интервалах времени. Для их моделирования
используются модели, учитывающие убывание темпов.
Так для данных рис. 4.8 огибающей моделью экспоненциальных участков роста в данном случае является логистическая
модель (рис. 4.9), которая описывает значительно более продолжительный интервал времени развития системы.
Рис. 4.8. Динамика добычи нефти в Рис. 4.9. Сопоставление динамики
США в полулогарифмическом мас- добычи нефти и логистической моштабе
дели
Таким образом, для данных рис. 4.8 логистическая модель
формирует более высокий уровень иерархии трендов.
63
5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ УРОВНЯМИ
ИЕРАРХИИ
5.1. Синхронизация почти-периодов как основа
формирования критических уровней макро-характеристик
процесса
Физико-химическое явление выпадения периодических осадков, впоследствии получившее название «кольца Лизеганга» сопровождает многие процессы, происходящие в коллоидных системах.
Предложен подход для поиска пространственно-временных
параметров в эффекте образования колец Лизеганга, связывающий процессы образования наночастиц и формирования из них
периодических плотных осадков [19-21]. С привлечением метода
динамического рассеяния света (ДРС) исследована кинетика периодического изменения интенсивности рассеяния света наночастицами разных размеров, сопровождающая образование колец
Лизеганга. На начальной стадии (3 час) этот процесс характеризуется одновременным образованием наночастиц (на основе гидроокиси магния и денатурированных белков желатина) двух
фракций: мелкой (~ 1 ÷ 2 нм) и крупной (~ 20 ÷ 80 нм). Найдена
взаимосвязь между периодами изменения интенсивности рассеяния света наночастицами (микропроцесс) и временем образования колец Лизеганга для процесса в целом (макропроцесс).
Как видно на рис. 5.1, для случаев (а) и (б) средний размер
наночастиц составляет примерно 80 нм, а для случая (в) распределение интенсивности рассеяния становится бимодальным и
средние размеры наночастиц равны примерно 1 ÷ 2 нм и 40 нм,
соответственно. Для таких размеров наночастиц оценки показывают, что основной вклад в общее перемещение наночастиц вносит броуновская диффузия, при этом можно пренебречь вкладом
седиментации, который меньше на шесть порядков.
Отметим, что согласно закону Релея интенсивность рассеяния света в коллоидной среде I ~ I 0 ⋅ n ⋅ d 6 (где – n концентрация
64
частиц; d - размер частиц), то есть зависит от нескольких параметров. На данном этапе исследования не анализировались изменения размеров и концентраций наночастиц, которые, в принципе, могут быть получены. В первом приближении была рассмотрена только динамика интенсивности рассеяния света.
Следует отметить, что общий характер распределений сложен, но диапазон размеров наночастиц остается для всех распределений примерно в тех границах, которые представлены на рис.
5.1а и рис. 5.1б. Большим изменениям подвержены интенсивности рассеяния света в процессе регистрации. В качестве основной
особенности приведенных распределений укажем на появление
бимодального распределения в третьем эксперименте (рис. 5в).
Каждое измерение фиксирует вклад в интенсивность рассеяния
света, вносимый той или иной фракцией наночастиц. Поскольку
исследовалась детальная кинетика рассеяния света в процессе
образования колец Лизеганга, то понадобилась методика обработки больших массивов распределений интенсивности.
Ясно, что в первом приближении при анализе результатов
экспериментов необходимо исследовать факторы процесса, поддающиеся непосредственному измерению. Одним из таких факторов является изменение во времени интенсивности рассеяния
света наночастицами, близкое к периодическому поведению. Для
анализа структуры полученных временных рядов и выявления
параметров колебаний использовалась сдвиговая функция метод
почти–периодического анализа (2.4).
Следует отметить, что когда анализируется дискретный временной ряд с фиксированными временными интервалами между
соседними членами ряда (в данном случае 20 сек), то всегда
можно перейти от шкалы отсчетов к временной шкале.
В качестве представительной характеристики каждого распределения использовано максимальное значение интенсивности.
В рассматриваемом случае распределение имело бимодальный
характер, поэтому выбирались максимумы каждой ветви распределения (рис. 5.2).
65
а
б
в
Рис. 5.1. Фрагменты массива распределений интенсивности рассеяния
наночастицами разных размеров, полученные при регистрации рассеяния
света наночастицами в разных местах кювет
66
50
I, интенсивность (%)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
ln (D, нм)
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис. 5.2. Максимумы значений относительных вкладов в интенсивность
рассеяния света наночастицами разного размера (проекция вдоль оси времени). Каждая точка соответствует максимуму в одном распределении
(всего около 700 распределения), часть точек максимумов находится в заслоненном положении. Для наглядности точки проекций максимумов интенсивности соединены отрезками прямых линий
Поскольку распределение бимодально, целесообразно анализировать данные отдельно для мелких и крупных фракций наночастиц. Для анализа двух ветвей распределений были построены вспомогательные дискретные функции. При этом аргументом
являлись временный отсчеты (через 20 сек), а в качестве значения
ординаты выбирался максимум интенсивности, свой для мелкой
и крупной фракции (рис. 5.3б, рис. 5.4б). На рис. 5.3а и на рис.
5.4а представлены ветви распределений интенсивности рассеянного света, относящиеся к мелким и крупным фракциям наночастиц, соответственно.
67
30
I, интенсивность (%)
25
20
15
10
5
ln (D, нм)
0
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
а
30
I, интенсивность (%)
25
20
15
10
5
t, минуты
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
б
Рис. 5.3. Максимумы значений вкладов интенсивности рассеяния света
мелкими наночастицами (проекция вдоль оси времени) – (а); вспомогательная дискретная функция максимумов интенсивности рассеяния света
через интервалы 20 сек – (б). Для удобства восприятия точки соединены
отрезками прямых линий
68
50
I, интенсивность (%)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
ln (D, нм)
0
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
а
50
I, интенсивность (%)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
t, минуты
t,
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
б
Рис. 5.4. Максимумы значений вкладов интенсивности рассеяния света
крупными наночастицами (проекция вдоль оси времени) – (а); вспомогательная дискретная функция максимумов интенсивности рассеяния света
через интервалы 20 сек – (б). Для удобства восприятия точки соединены
отрезками прямых линий
69
Для вспомогательных дискретных функций (рис. 5.3б и
рис. 5.4б) по формуле (2.4) построены сдвиговые функции отдельно для мелких и крупных фракций наночастиц и для всего
ряда в целом. Полученные сдвиговые функции сведены на один
график (рис. 5.5).
9,0
a(τ)
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
t, минуты
160
140
120
100
80
60
40
20
0
4,0
Рис. 5.5. Сдвиговые функции для вспомогательных функций с рис. 5.3б
(нижняя кривая для мелких фракций наночастиц) и с рис. 5.4б (верхняя
кривая для крупных фракций наночастиц), средняя кривая для всего
процесса в целом (рис. 5.2)
На рис.5.5 вертикальными линиями выделена система почти-периодов для крупных фракций наночастиц: 16, 22, 38, 53, 76
и 134 мин. Некоторые почти-периоды совпадают для мелких и
крупных фракций наночастиц. Наиболее глубокий минимум соответствует значению 16 минут, причем он хорошо проявлен
также на интегральной кривой для мелких и крупных фракций
наночастиц.
В [31] был отмечен известный факт, что пространственновременные параметры процесса образования колец Лизеганга
описываются феноменологическими моделями на основе геомет-
70
рических прогрессий. Посмотрим, насколько эти модели применимы к полученным данным о временных параметрах периодических процессов (почти-периоды), происходящих на начальной
стадии процесса образования колец (примерно 3 часа). Для этого
составим таблицу, в которой приведены отношения между найденными почти-периодами для крупных фракций наночастиц
(табл. 9).
Таблица 9
Отношение почти-периодов
k, номер почти- 1
2
3
4
5
6
периода
τk, почти-период, 16
22
38
53
76
134
мин
τk+1/τk
τk+2/τk
τk+3/τk
Среднее
значение
1.38 1.72 1.39 1.43 1.76 1.54
2.38 2.41 2
2.52 2.44
3.31 3.45 3.52 3.43
Отметим, что в табл.1 при получении среднего значения
2.44, значение 2 не учитывалось, поскольку относится к кратным
периодам 38 и 76 минут.
Для анализа полученных данных о средних отношениях
между почти-периодами, используем результаты эксперимента
[31], представленные на рис. 5.6 и показывающие линейную
зависимость (начиная со второго кольца) логарифма времени
образования колец от номеров колец. Этой зависимости соответствует геометрическая прогрессия с модулем 3.6. Этот модуль наиболее близок к среднему значению отношения 3.43
(табл. 1).
Продолжая анализ рис. 5.6, заметим, что единственная
выпадающая точка относится ко времени образования первого
кольца и её отклонение от единой зависимости как отмечено в
[31] определялось методической сложностью при измерении
характеристик процесса в его начале. Продолжая линейный
участок (тренд) до пересечения с осью ординат (при k = 0), получаем lnT0 = 2.6, что соответствует примерно времени T0 = 14
71
минут и близко значению почти-периода 16 минут (наиболее
проявленный почти-период для крупных наночастиц). На основании этого можно предположить, какой физический смысл
имеет коэффициент a в уравнении регрессии Tk = a·3.6k для
описания времени образования колец. Это время некоторого
периодического процесса на уровне образования крупных
фракций наночастиц при образовании колец Лизеганга и равное 16 минутам (самый глубокий минимум для сдвиговой
функции a(τ) на рис.6 для крупных фракций наночастиц).
Таким образом, на основании экспериментов по рассеянию
света наночастицами при образовании колец Лизеганга предлагается феноменологическая модель (с уточненными параметрами)
для времени их образования: Tk = 16·3.4k. Сравним данные уточненной модели с реальными временами образования колец, полученными в [31], табл.10.
Таблица 10
Расчётное и реальное время образование колец
k, но- Расчетное время
Реальное время Tэксп./ Среднее
мер
образования коль- образования
Tрасч. отношение
кольца ца по формуле:
кольца [3], мин
k
Tk = 16·3.4 , мин
1
55
70
1.29
2
188
172
0.91
1.1
3
645
627
0.91
4
2214
2329
1.32
5
7600
8068
1.06
Учитывая расчетные данные времени образования колец,
можно теперь дать более правдоподобную оценку для времени
образования первого кольца, которое равно 55 минутам.
Представленные результаты показывают принципиальную
значимость периодических процессов при образовании колец Лизеганга. Они регистрируются как периодические изменения интенсивности рассеяния света наночастицами разных размеров.
Физический смысл колебаний интенсивности рассеяния света в
72
дисперсной среде еще предстоит выяснить, он, например, может
быть связан с периодическим изменением концентрации наночастиц разных размеров.
10
ln T, мин
9
8
7
6
5
4
3
2
1
k, номер кольца
0
0
1
2
3
4
5
6
Рис. 5.6. Времена начала образования колец в полулогарифмических
координатах, ось абсцисс – номер кольца, ось ординат – время образования
колец. Линия регрессии на графике соответствует уравнению Tk = a·3.6k
Можно отметить также, что теоретическая зависимость расстояний до колец Лизеганга и времён их образования, представленная зависимостью X = b·t0.5 известна [32] и подтверждена результатами предыдущих экспериментов [31]. Следовательно,
знание времён образования колец всегда позволяет получить
оценку расстояний до них. В данной статье показано, что для получения пространственно-временных характеристик процесса
образования колец Лизеганга (при длительных временах) достаточно в начальной фазе эксперимента определить систему почтипериодов в кинетических данных интенсивности рассеяния света
мелкими и крупными фракциями наночастиц.
73
Таким образом, в первом приближении, установлен факт
взаимосвязи временных параметров изменения интенсивности
света (почти-периоды для крупных фракций наночастиц, микропроцесс) и времён образования колец Лизеганга (макропроцесс).
Этот результат может быть значимым для дальнейшего построения общей модели и механизмов кинетики процесса в целом.
Полученная система оценок почти-периодов для процессов,
происходящих на микроуровне при относительно небольшом времени наблюдения (около 3 час) показала принципиальную возможность прогнозирования пространственно-временных характеристик образования колец Лизеганга на макроуровне с общей длительностью несколько суток. Можно отметить также, что здесь не
потребовалась информация о положении значения начальной точки геометрической прогрессии, которая априорно не известна. Это
показывает потенциальную эффективность исследования характеристик периодических свойств физико-химических процессов для
прогнозирования зон фазовых переходов.
Процессы сходные по структуре с явлением колец Лизеганга
наблюдаются, например, при распылении жидкости через форсунки. В этом случае преобладает процесс седиментации и синхронизация потоков капель разного размера, движущихся в поле силы
тяжести с разной скоростью. Он приводит к периодическому укрупнению капель («конденсации»), что проявляется возникновением горизонтальных ярусов, наблюдаемых в эксперименте [33].
Таким образом, дискретная структура процесса может быть
определена на основе почти-периодического анализа кинетических данных. Например, общая регулярность в эффекте колец
Лизеганга выявляется в количественных закономерностях расположения колец, времен их образования, кинетики движения
фронта аммиака. Очевидно, что на макроуровне наблюдаются
интегральные характеристики гетерогенного процесса, являющиеся результатом взаимодействия наночастиц различных размеров и ряда факторов: диффузии, коагуляции и других. Общие
характеристики образования колец Лизеганга первично форми-
74
руются на микроуровне, что и приводит к необходимости экспериментального и теоретического переосмысления возможностей
описания интегральных характеристик через кинетику непосредственного взаимодействия наночастиц в гелевой среде переменной плотности.
Полученные в результате экспериментального исследования
данные позволили выявить гетерогенность поведения этой системы как представленной периодическими процессами, имеющими точки синхронизации и характеризующиеся набором почти-периодов синхронизации. Эффективность исследований в
этом направлении приводит к необходимости более детального
измерения характеристик кинетики на микроуровне и взаимосвязи ее с конкретными физическими процессами для построения
моделей механизма формирования колец Лизеганга.
5.2. Почти-периоды и характеристики трендов
Естественно предположить, что характеристики процессов происходящих на разных уровнях согласованы. Рассмотрим возможности использования параметров процессов нижнего уровня для прогнозирования характеристик процесса
верхнего уровня.
При определения почти-периодов после исключения тренда из исходных результатов измерений и согласований характеристик этих процессов через обобщенную сдвиговую функции получается набор почти-периодов, которые формируют
систему характерных времен, в которых идет формирование
системы верхнего уровня. Примером такого процесса является
последовательность формирования периодической структуры
физико-химических процессов, типа колец Лизеганга [7].
Таким образом, проблема связи характеристик процессов,
происходящих на разных уровнях, может быть решена путем
установления взаимосвязей между характеристиками этих
процессов. Открывающиеся здесь возможности могут быть
рассмотрены на динамике процессов ограниченного роста, для
75
которых известно типовые математические модели, определяющие трендовые характеристики этих процессов. Прежде
всего, это логистическая модель, которая Н.Н. Семеновым была положена в основу теории цепных реакций [34], и модель
Гомперца [12].
Рассмотрим релаксационные свойства моделей ограниченного роста.
Логистическая модель. Для логистической модели (5.1)
dy
= −k y ( y ∞ − y ) .
dx
(5.1)
Введем безразмерную переменную J=y/y∞. В результате получим уравнение вида
dJ
= − k y∞ (1 − J ) ,
dx
где размерный параметр α = ky∞ имеет размерность, обратную
размерности аргумента. Выведем новую переменную z, связанную с безразмерной переменной J соотношением J=1/z.
Тогда логистическое уравнение будет иметь вид
dz
= −α ( z − 1) .
dx
(5.2)
Введем новую переменную u=z-1. При этом логистическое уравнение преобразуется к виду
du
= −α u .
dx
(5.3)
Проверка этого уравнения (5) на устойчивость к фазовому сдвигу
du ( x)
= −α u ( x − δ )
dx
приводит к соотношению
νδ=-1 или v = −
1
δ
.
Подстановка этого соотношения в уравнение, определяющее вид
решения, дает
76
u=e
1
− ⋅x
δ
= z − 1 или z = 1 + e − x / δ ,
откуда
x
dz
1 −δ
1
= − e = − ( z − 1) .
(5.4)
δ
δ
dx
В результате, размерный параметр логистического уравнения равен обратной величине запаздывания (релаксация) α=1/δ
или δ=ky∞.
dy
= − k y ln y
Модель Гомперца. Для модели Гомперца
dx
введем безразмерную переменную J=y/y∞, для которой исходное
уравнение перепишем в виде
dJ
= − k J ln J
dx
или
1 dJ
= −k ln J .
J dx
(5.5)
Тогда левая часть уравнения (5.5) является логарифмической
производной и уравнение имеет вид
d ln J
= − k ln J .
dx
(5.6)
Здесь представлен единственный размерный параметр k с размерностью, обратной размерности аргумента x.
Введем новую переменную u=lnJ, для которой исходное
уравнение (5.6) перепишется в виде
du
= −k u .
dx
(5.7)
Оценим устойчивость полученного уравнения к фазовому
сдвигу. Для этого рассмотрим уравнение вида
du ( x )
= −k u ( x − δ ) ,
dx
где δ - запаздывание.
(5.8)
77
1
v
=
−
Для этого уравнения νδ = -1 и
δ .
В результате
u=e
1
− ⋅x
δ
x
1 −δ
1
du
=
−
=
−
e
u
= ln J и dx
δ
δ
.
Сравним полученное уравнение с уравнением (5.7), откуда
основной размерный параметр исходного уравнения Гомперца
k=
1
δ,
т.е. равен обратной величине запаздывания (релаксация) δ.
Таким образом, величина запаздывания, как характеристика
процесса на уровне, предшествующем исходному процессу, определяет основной размерный параметр логистической модели и
модели Гомперца. Этим предъявляется непосредственная связь
характеристик процессов, происходящих на двух соседних уровнях иерархии. Отсюда знание размерного параметра позволяет
определить характерное время (или пространственный масштаб)
процесса, происходящего на предыдущем уровне, и, наоборот, по
характерному уровню процесса на микроуровне определяется характерное время (или пространственный масштаб) процесса на
макроуровне.
Таким образом, получен однозначный метод оценки параметров релаксации для логистической модели.
Характерное время процесса определяется механизмами
его формирования, идущими на нижнем уровне иерархии. Так,
для экономических процессов это характерное время производственного цикла, время строительства и ввода основных
производственных мощностей. Отсюда можно ожидать, что
характеристики колебаний, которые фиксируются в виде значений, наиболее близких к периодам, определяют общую интегральную динамику систем.
Рассмотрим динамику добычу нефти в США с начала процесса скважинной добычи, рис. 5.7.
78
Рис. 5.7. Динамика добычи нефти в США с 1851 по 2013 год,
по оси ординат тысячи баррелей в день
Для детализации ранних стадий развития перейдем к полулогарифмическому масштабу, обеспечивающему постоянство относительно погрешности результатов измерений характеристик
этого процесса рис.5.8.
Рис. 5.8. Данные рис. 5.7 в полулогарифмическом масштабе
79
Таким образом, общая динамика процесса представлена некоторой общей тенденцией (трендом) и колебаниями относительно неё.
Рассмотрим начальный участок формирования процессов
нефтедобычи. Резко повышенный интерес к добыче нефти проявился после завершения 2-й мировой война, что сформировало
общую трендовую характеристику этого процесса. По этому рассмотрим в рамках какой модели ограниченного роста (в связи с
тем, что нефть является ограниченным природным ресурсом) был
запущен этот процесс.
Для определения основных характеристик его развития рассмотрим динамику процесса с его начала до 1954 года.
Значения почти-периодов согласно в результате обработки данных рис.5.7 представлены на рис. 5.9
Рис. 5.9. Значение почти-периодов для данных рис. 5.7 до 1954 года
80
Таким образом, основное значение почти-периода соответствует 16 годам и определяет основное характерное время процесса добычи нефти в США.
Для этого рассмотрим динамику добычи нефти в США до
1954 года в координатах логистической модели (аналогичное построение для модели Гомперца показало, что этой модели процесс не соответствует), рис. 5.10.
Рис. 5.10. Анаморфоза логистической модели для данных рис. 5.7
с 1859 по 1954 год
Данные рис. 5.10 показывают, что действительно с 50-х годов был запущен процесс логистического типа. В связи с тем, что
почти-период для начального интервала формирования процесса
составил 16 лет, сопоставим динамику логистического роста с
характеристиками этого процесса с соответствующими полученными значениями почти-периодов.
81
В результате, приняв в качестве характерного времени, определяющего параметр логистического уравнения ky∞=1/16 лет,
получим расчётную зависимость для кривой добычи нефти, сопоставление которой с реальной динамикой этого процесса представлено на рис.5.11.
Рис. 5.11. Сопоставление реальной и расчётной динамики добычи нефти
(а); фазовая плоскость расчётных и фактических данных добычи нефти (б).
На рис.5.11 представлено сопоставление динамики добычи
нефти реальная динамика добычи нефти и её расчётная величина
в соответствии с логистической моделью при характерном времени равном почти-периоду процесса на интервале до 1954 года.
Обратим внимание, на то, что в соответствии с данными
рис. 5.11 процесс логистического роста начинается в 1930 году.
Расчёт значения почти-периода на интервале до 1930 года даёт
тоже самое значение почти-периода. Это показывает, что механизм формирования характерного времени процесса за весь период наблюдения был сформирован до выхода на модель логистического роста.
Проведем перепроверку величины характерного времени
процесса по величинам реализованных в нем почти-периодов для
всего рассматриваемого диапазона, рис. 5.12.
82
Рис. 5.12. Значение почти-периодов для данных рис. 5.7.
Представленные на рис. 5.12 данные показывают, что значения почти-периодов зафиксированного на начальном участке
формирования процесса до выхода на интегральную кривую логистического роста воспроизводятся во всем наблюдаемом диапазоне.
Проверим величину характерного времени процесса логистического роста, построив данные в анаморфозе [12] (рис.
5.13), что позволяет непосредственно определить величину параметров, характеризующих безразмерное время процесса ky∞.
Здесь величина k определяется углом наклона прямой, а предел
роста ее пересечением с осью абсцисс. В результате при значении к = 2.68·10-10 и у=23·108 получим характерное время равно
ky∞=1/τ равную 16 лет.
83
Рис. 5.13. Анаморфоза логистической модели для данных рис. 5.7
с 1851 по 2013 год
Эта величина соответствует значению почти-периода, которая воспроизводится в характеристиках процесса как на стадии
до выхода на режим логистического роста, так и на стадии логистического роста.
Обратим внимание на то, что начавшийся в 2008 году процесс интенсивного роста добычи, связанный с переходом на технологии гидравлического разрыва пласта, находится в районе
точки перегиба логистической кривой добычи [12].
Проиллюстрируем представленный алгоритм и закономерности на данных производства электроэнергии в США (рис. 5.14).
На рис. 5.16 представлена анаморфоза логистической модели
для данных рис. 5.14а. Угол наклона и предел роста прямой (рис.
5.16) позволяет определить величину характерного времени
ky∞=1/τ равную 17 годам.
84
Рис.5.14. Данные производства электроэнергии в США (а); данные (а)
с логарифмированным масштабом по оси ординат (б)
Сдвиговая функция для данных рис. 5.14а представлена на рис.
5.15. Основное значение почти-периода соответствует 17 годам.
Рис. 5.15. Сдвиговая функция для Рис. 5.16. Анаморфоза для логистиданных рис. 5.15а
ческой модели для данных рис. 5.14а
Таким образом, величина характерного времени логистической модели соответствуют значению почти-периода для всего
отрезка исходных данных. Стоит отметить, что значения почти-
85
периода для данных производства электроэнергии практически
совпадает с почти-периодом для данных по добычи нефти.
Принципиальным в данном случае оказывается сквозной
механизм формирования почти-периодических компонент процесса, которые реализуются, начиная с ранних стадий развития
системы, и дальше определяет характерное время его динамики
на всём интервале развития в рамках технологий фиксированного
класса. Это и позволяет по результатам измерений характеристик
системы на ранних стадиях её формирования определять основные параметры динамики на макро уровне.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Структура нелинейных колебаний с трендом является
предметом большого количества теоретических и прикладных
исследований. К решению этой проблемы есть два основных
подхода, первый из которых, следуя И.Ньютону, связан с решением задачи о разделении движений, а второй, по Н.Винеру, ориентирован на анализ процесса в целом за счет использования
подхода Дж.Гиббса к анализу стохастических систем.
Представленный Н.Винером алгоритм анализа результатов
измерений был ориентирован на исследование характеристик
систем, динамика которых не сопровождается притоком или расходом энергии, т.е. изолированных систем. В принципе, априорно
неизвестно выполняется ли это условие для анализируемых результатов измерений. В связи с этим в основу рассматриваемых
результатов положен метод разделения движений.
И.Ньютону были известны уравнения движения центра
масс твердого тела и разделение движений определялось разностью реальной динамики и опорной траектории. Этот метод,
именно в такой постановке, лежит в основе разработки систем
автоматического управления движением.
Задача существенно усложняется, когда уравнения опорной
траектории (тренда) неизвестны. В системе методов анализа временных рядов известен эффект Слуцкого-Юла, в соответствии с
86
которым способ исключения тренда существенно влияет на результаты анализа периодических компонент. Известно, что классические результаты Н.Д.Кондратьева (большие циклы конъюнктуры, кондратьевские волны) были подвергнуты уничтожающей
критике в результате произвольных методов исключения трендов.
Ситуация при этом осложняется тем, что несмотря на интуитивно понятное значение термина тренд, формального определения для него не существовало.
Введенное в книге формальное определение тренда позволило определить содержательный класс функций, обеспечивающий исключение тренда с переходом на отклонения с близкой к
нулю средней. Этот класс функций представлен классической
теорией пропорций.
В зависимости от структуры анализируемого ряда однократное исключение тренда не всегда приводит к последовательности с близкой к нулю средней. Это показывает возможность
наличия в анализируемых данных иерархии трендов, последовательное исключение которых проводится до получения близкой к
нулю средней.
В результате остаются колебания с близкой к нулю средней, которые содержат, либо не содержат, близкие к периодам
компоненты. В принципе, принадлежность полученного после
исключения тренда (трендов) ряда к классу функций, содержащих близкие к периодам компоненты, подлежит проверке.
Для анализа и выявления периодических компонент в результатах измерений обычно используют ряды периодических
функций, например, ряд Фурье. Однако, никто не гарантирует,
что данные произвольной природы как-то связаны с этим рядом.
Существует принципиальная возможность использования
расстояний функциональных пространствах (сдвиговых функций), позволяющие определить системы наиболее близких к периодам значений (почти-периодам). При этом анализируемым
данным не навязывается априорная система функций. Использование свойства почти-периодических функций позволяет определить принадлежит ли исследуемая последовательность к классу
87
таких функций. Это является дополнительным контролем надежности получаемых оценок почти-периодов.
С другой стороны, грубость значений почти-периодов проверяется сравнением их значений, получаемых при использовании сдвиговых функций разных классов.
В связи с тем, что способ исключения тренда влияет на
значения почти-периодов, введен класс обобщенных сдвиговых
функций, позволяющих минимизировать влияние методов исключения трендов на значения почти-периодов.
Самостоятельный интерес представляет анализ периодических компонент, которые являются членами геометрических прогрессий. Для их анализа нами введен класс почти-пропорций и
определены алгоритмы их оценки.
При определенных значениях почти-периодов сглаживание
по ним данных исходного ряда позволяет определить иерархию
трендов.
В связи с тем, что характеристики процессов на разных
уровнях иерархии представляют собой свойства анализируемой
системы как целого естественно ожидать взаимосвязи этих характеристик. Для процессов ограниченного роста, что почтипериоды колебаний относительно тренда определяют основной
параметр (характерное время) для процесса в целом.
Среди почти-периодов выявляемых в сдвиговых функциях,
часто встречаются некратные значения. Их синхронизация позволяет выявлять периодические структуры реализуемые на макро
уровне.
Таким образом, в книге представлена последовательность
моделей и алгоритмов анализа результатов измерений характеристик иерархии процессов нелинейных колебаний с трендом.
Работа поддержана грантом Министерства образования и
науки РФ, проект № 3481 «Фильтр».
88
ПРИЛОЖЕНИЕ
Алгоритм анализа нелинейных колебаний с трендом
89
Последовательный анализ исходного ряда состоит из ряда стадий:
1). Исключение тренда из исходных данных;
2). Проверка принадлежности получаемого в результате исключения тренда ряда к классу почти-периодических функций;
3). Построение обобщенной сдвиговой функции для согласования характеристик алгоритмов исключения трендов и получаемых значений почти-периодов;
4). Сглаживание по почти-периодам для определения характеристик «медленных» движений;
5). Построение модели тренда;
6). Анализ связей характеристик на микро- и макро- уровнях
и прогнозирования динамики систем по начальным стадиям их
развития.
90
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Н. Джини. Средние величины. – М.: Статистика, 1970.
Михайлов Б.П. Витрувий и Эллада. – М.: Издательство литературы по строительству, 1967.
Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф. Почти-периодические функции в
методах обработки результатов измерений. Журнал «Электромагнитные волны и электронные системы», 2015. Т. 20,
№ 2, с. 56-61.
Кузьмин В.И., Галуша Н.А., Попов С.А. Кризис современной
цивилизации. – М.: РИОР, 2011.
Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф. Технический анализ. Учебное
пособие. – М.: МИРЭА, МГУПИ, 2015. - 71 с.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 1963.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. – М.: Наука, 1981.
Гутер Р.С., Кудрявцев Л.Д., Левитан Б.М. Элементы теории
функций. – М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1963.
Кузьмин В.И., Гракин А.И. Основы моделирования систем.
– М.: МИРЭА, 1986.
Дементьев В.А., Кузьмин В.И., Лебедев Б.Д., Матвеев Ю.А.
Прогноз критических ситуаций в развитии мирового сообщества и военно-политических конфликтов. – М.: Военное издательство, 1995.
Давыдов С.Д., Шутов М.В. Анализ скрытых периодичностей
солнечной активности методом Джонсона. / / Вопросы кибернетики. Устройства и системы. – М.: МИРЭА, 1983.
Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф. Методы построения моделей по
эмпирическим данным. Учебное пособие. – М.: МГТУ МИРЭА,
2012. - 96 с.
Johnson M. Correlations of cycles in weather, solar activity, geomagnetic values and planetary configurations. - San Fransisco,
Phillips and Van Orden, 1944.
Витинский Ю.И. Солнечная активность. – М.: Наука, 1983.
91
15. Мун Ф. Хаотические колебания. – М.: МИР, 1990.
16. Нелинейные волны. Стахостичность и тарбулентность. Горький: ИПФ АН СССР,1980.
17. Нелинейные волны. Структура и бифуркация. – М: Наука,
1987.
18. Морозов А.Д., Драгунов Т.П. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. Москва-Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2003. - 304 с.
19. Кузьмин В.И., Тытик Д.Л., Гадзаов А.Ф. (ред.) и др. Дискретность и непрерывность в свойствах физико-химических систем. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 190 с.
20. Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф., Тытик Д.Л., Высоцкий В.В., Бусев С.А., Ревина А.А. Кинетика образования наночастиц как
основа моделирования механизмов формирования колец Лизеганга. Коллоидный журнал, 2014. Т.76, №3
21. V.I. Kuzmin, A.F. Gadzaov, D.L. Tytik, V.V. Vysotskii, S.A. Busev,
A.A. Revina. Formation Kinetics of Nanoparticles as the Basic for
Simulating the Generation Mechanism of Lisegang Rings in Gels.
ISSN 1061-933X, Colloid Journal, 2014,Vol.76, №4, pp. 439-446.
22. Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф., Тытик Д.Л., Белащенко Д.К.,
Сиренко А.Н. Методы разделения быстрых и медленных
движений атомов, как основа динамической структуры наночастиц. Российские нанотехнологии, т.4. №11-12, 2010,
www.nanorf.ru, с. 58-63.
23. Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф., Тытик Д.Л., Бусев С.А., Ревина
А.А. Кинетика образования наночастиц серебра в обратных
мицеллах. 1. Интергральные модели и связь их параметров с
процессами на микроуровне. Коллоидный журнал, 2015.
Т.77, №4, с. 477-491.
24. Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф., Тытик Д.Л., Бусев С.А., Ревина
А.А. Кинетика образования наночастиц серебра в обратных
мицеллах. 2. Параметрическая взаимосвязь процессов микро- и
макроуровня. Коллоидный журнал, 2015. Т.77, №4, с. 492-500.
25. V.I. Kuzmin, A.F. Gadzaov, D.L. Tytik, S.A. Busev, A.A.
Revina. Formation Kinetics of Nanoparticles in Reverse
Micells.1. Integral Models and the Relation between Their Pa-
92
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
rameters and Microlevel Processes. ISSN 1061-933X, Colloid
Journal, 2015,Vol.77, №4, pp. 458-472.
V.I. Kuzmin, A.F. Gadzaov, D.L. Tytik, S.A. Busev, A.A. Revina.
Formation Kinetics of Nanoparticles in Reverse Micells.2. Parametric Correlation between Micro- and Macrolevel Processes.
ISSN 1061-933X, Colloid Journal, 2015,Vol.77, №4, pp. 473-481.
Касаткин В.Э., Тытик Д.Л., Ревина А.А., Бусев С.А., Абатуров М.А., Высоцкий В.В., Ролдугин В.И., Казанский Л.П.,
Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф., Цетлин В.В. Электрохимический синтез наночастиц железа и платины в деионизованной
воде. Физикохимия поверхности и защита материалов, 2015.
Т. 51, № 6, с. 618-624.
V.E. Kasatkin, D.L. Tytik, A.A. Revina, S.A. Busev, M.A.
Abaturov, V.V. Vysotskii, V.I. Roldugin, L.P. Kazanskii, V.I.
Kuzmin, A.F. Gadzaov, V.V. Tsetlin Electrochemical Syntesis of
Iron and Platinum Nanoparticles in Deionized Water. ISSN 20702051, Protection of Metals and Physical Chemistry of Surface,
2015, Vol. 51, № 6, pp. 973-979.
Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф. Методы построения моделей
по эмпирическим данным. Учебное пособие. – М.: МГТУ
МИРЭА, 2012. - 96 с.
Кондратьев Н.Д. Проблемы экономической динамики. – М.:
Экономика, Изд. ин. лит., 1989. Кондратьев Н.Д., Опарин Д.И.
Большие циклы конъюнктуры. М.: Институт экономики,
1928.
Кузьмин В.И., Гадзаов А.Ф., Тытик Д.Л., Бусев С.А., Ревина
А.А., Высоцкий В.В. Кинетика образования колец Лизеганга
// Журнал структурной химии 2013, т. 54. Приложение,
с. 183-197.
Scheel A. Robustness of Liesegang patterns. Nonlinearity, 2009,
22, pр. 457–483.
Неустойчивость горения в ЖРД. Под ред. Д. Т. Харрье и Ф.
Г. Рирдона. М.: Мир, 1975. – 869 с.
Семенов Н.Н. Цепные реакции. Избр.тр., том 1. – М.: Наука,
2004.
93
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................... 3
1. МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О
РАЗДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИЙ. ........................................................... 5
1.1. Тренд функции.......................................................................... 5
1.2. Исключение тренда на основе теории пропорций
для трёх точек ................................................................................. 7
1.3. Исключение тренда на основе теории пропорций для
четырёх точек................................................................................. 16
2. ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И МЕТОДЫ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ИХ ПАРАМЕТРОВ ..................................... 20
2.1. Метрики функционального анализа ..................................... 20
2.2. Почти-периодические функции. Определения и свойства.
Классы сдвиговых функций. ......................................................... 21
2.3. Модели и алгоритмы определения почти-периодов.
Классы сдвиговых функций. ......................................................... 23
2.4. Проверка ряда после исключения тренда на
принадлежность к классу почти-периодических функций........ 32
2.5. Почти-периоды нелинейных динамических систем ........... 37
2.6. Модели и алгоритмы определения почти-пропорции......... 45
3. СОГЛАСОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ
ИСКЛЮЧЕНИЯ ТРЕНДОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЧТИПЕРИОДОВ. ОБОБЩЕННЫЕ СДВИГОВЫЕ ФУНКЦИИ. ........ 51
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕНДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.. 57
4.1. Сглаживание по почти-периодам.......................................... 57
4.2. Иерархия трендов. .................................................................. 62
5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ УРОВНЯМИ ИЕРАРХИИ .. 63
5.1. Синхронизация почти-периодов как основа формирования
критических уровней макро-характеристик процесса. .............. 63
5.2. Почти-периоды и характеристики трендов .......................... 74
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................ 85
ПРИЛОЖЕНИЕ ................................................................................ 88
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................ 90
Научное издание
Кузьмин Виктор Иванович, Самохин Александр Борисович,
Гадзаов Алексей Федорович, Чердынцев Виктор Викторович
МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА
НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ С ТРЕНДОМ
Монография
Печатается в авторской редакции
Подписано в печать 30.11.2015. Формат 60×84 1/16.
Физ. печ. л. 6,0. Тираж 100 экз. Изд. № 29. Заказ № 610.
Московский государственный университет информационных технологий,
радиотехники и электроники (МИРЭА)
119454, Москва, пр. Вернадского, д. 78