Задача: Коротышка Знайка решил поставить эксперимент и попросил Незнайку помочь ему. Они пробрались в школьный кабинет физики на ленивом дрессированном голубе, усадили голубя на горизонтальный стол, Незнайку подвесили на легкой пружине так, что он выполнял роль пружинного маятника. голубя и пружинный маятник связали легкой нерастяжимой нитью, которую перекинули через идеальный блок. Коэффициент трения между сидящим голубем и поверхностью стола равен 0,2. Отношение массы голубя и Незнайки равно 8. Незнайка совершает колебания вдоль вертикали, причем свешивающаяся с блока нить тоже вертикальна. Максимальная возможная амплитуда этих колебаний, при которой они еще остаются гармоническими, равна 1,5 см. Чему равен период этих гармонических колебаний? Решение: Пусть М – масса ленивого голубя, m – масса Незнайки, k-жесткость пружины, 𝜇коэффициент трения между столом и бруском, А – амплитуда колебаний пружинного маятника, Т – период колебаний пружинного маятника. Известно, что период гармонических колебаний пружинного маятника 𝑚 вычисляется по формуле 𝑇 = 2𝜋√ . Когда пружинный маятник находится в 𝑘 равновесии, то удлинение пружины равно 𝑥0 = 𝑚𝑔 𝑘 . Колебания Незнайки будут гармоническими, если одновременно будут выполнены 2 условия: 1) Верхний конец пружины неподвижен в процессе колебаний. 2) Пружина и нить все время натянуты, поэтому грузик нигде не испытывает свободного падения. Из условия (1) следует вывод, что, когда Незнайка находится в крайнем нижнем положении (удлинение пружины 𝑥ниж = 𝑥0 + 𝐴), величина силы натяжения нити, которая равна по модулю упругой силе пружины, оказывается недостаточной для того, чтобы сдвинуть ленивого голубя с места: 𝐹упр = 𝑘(𝑥0 + 𝐴) = 𝑚𝑔 + 𝑘𝐴 ≤ 𝜇𝑀𝑔 Откуда для амплитуды колебаний пружинного маятника: 𝐴≤ Выразив k, как 𝑘 = 4𝜋2 𝑚 𝑇2 𝑔 (𝜇𝑀 − 𝑚) 𝑘 , получим: 𝑀 𝑇2 𝐴 ≤ (𝜇 − 1) 𝑔 2 𝑚 4𝜋 Обратимся к условию (2). Если оно выполнено, то в крайнем верхнем положении Незнайки (удлинение пружины 𝑥верх = 𝑥0 − 𝐴), пружина либо растянута, либо не напряжена, но не сжата, тогда 𝑚𝑔 𝑇2 𝐴 ≤ 𝑥0 = =𝑔 2 𝑘 4𝜋 Перейдем к числам. По условию задачи: (𝜇 𝑀 − 1) = (0.2 ∙ 8 − 1) = 0.6 < 1 𝑚 Тогда максимальная амплитуда гармонических колебаний пружинного маятника выражается как: 𝐴макс 𝑀 𝑇2 = ( 𝜇 − 1) 𝑔 2 𝑚 4𝜋 Из выражения для максимальной амплитуды гармонических колебаний получим искомый период этих колебаний: 𝐴макс 1.5 ∙ 10−2 𝑇 = 2𝜋√ = 2𝜋√ ≈ 0.31с 𝑀 (0.2 ∙ 8 − 1)9.8 ( 𝜇 𝑚 − 1) 𝑔 Ответ: Период гармонических колебаний≈ 0.31 с
