АПВПМ–2019
О РЕШЕНИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ЧИСЛЕННОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
1
1,2
Е. В. Амелина , С. К. Голушко
Новосибирский государственный университет, 630090, Новосибирск
Институт вычислительных технологий СО РАН, 630090, Новосибирск
1
2
УДК 539.3
DOI: 10.24411/9999-016A-2019-10005
Предложен и реализован эффективный подход к решению задач численной оптимизации композитных конструкций. Решена задача условной оптимизации многослойного композитного бака высокого давления при заданных ограничениях на прочность и внутренний объем конструкции. Параметрами проектирования являлись
толщина стенки, форма бака и угол укладки армирующих волокон. Достоверность полученных решений подтверждена решением ряда тестовых оптимизационных задач и решением прямых задач расчета напряженнодеформированного состояния баков с найденными параметрами. Показано, что при решении широкого класса
оптимизационных задач можно использовать математические модели композитных конструкций, построенные
на основе соотношений классической теории оболочек Кирхгофа — Лява и уточненной теории Тимошенко.
композит, оболочка, конструкция, моделирование, оптимизация, напряженно-деформированное состояние.
Ключевые слова:
Введение
Металлокомпозитные баки высокого давления являются перспективным типом конструкций ракетно-космической техники, обеспечивая их повышенную прочность и минимальный вес. Внутреннее давление является
основной нагрузкой для таких баков. Анализ возможностей применения гибридных баков, состоящих из
металлических сосудов (лейнеров), обеспечивающих герметичность конструкции, и композитных силовых
оболочек, обеспечивающих прочность и жесткость, является весьма актуальным и перспективным направлением исследований [1, 2].
К настоящему времени можно выделить несколько подходов к решению задач оптимального и рационального проектирования композитных конструкций [3]– [11]. Наиболее распространенным является подход,
при котором используются уравнения безмоментной теории оболочек и "нитяная" модель композиционного
материала (КМ) [12, 13]. При таком подходе реализация безмоментного состояния конструкции по существу
не обеспечивается, а только предполагается. Вопрос о том, будет ли спроектированная оболочка действительно безмоментной при безмоментных краевых условиях остается в таких работах открытым.
Другой подход связан с обоснованным упрощением исходной постановки задачи трехмерной теории упругости и использованием различных вариантов двумерных теорий оболочек [3, 14, 15].
Именно такой подход использован в данной работе. Для проверки достоверности получаемых решений
использованы варианты теории оболочек Тимошенко [16] и Андреева-Немировского [17], учитывающие поперечные сдвиги с различной степенью точности. Достоверность результатов численной оптимизации обеспечена сравнением с известными частными аналитическими решениями.
1
Постановка задачи
Рассмотрим многослойный композитный сосуд давления, находящийся в равновесии под действием внутреннего давления. Необходимо определить параметры композиционного материала и конструкции, обеспечивающие выполнение следующих требований:
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта
18-29-18029).
ISBN 978-5-901548-42-4
28
Е. В. Амелина, С. К. Голушко
𝑉 ≥ 𝑉0 ,
𝑃 ≥ 𝑃0 ,
(1)
𝑀 ≤ 𝑀0 ,
где 𝑉 — внутренний объем, 𝑃 — внутреннее давление, 𝑀 — масса сосуда; 𝑉0 , 𝑃0 , 𝑀0 — некоторые заданные
значения.
Будем решать задачу минимизации (или максимизации) одного из функционалов, определяющих критерий оптимальности, при фиксации оставшихся двух в виде ограничений из (1).
В общем случае математическая постановка задач оптимизации конструкций включает выбор оптимизируемого функционала, формулировку определяющих уравнений, а также ограничений на функции состояния и управляющие параметры.
Будем рассматривать бак как жестко защемленную на краях оболочку. С учетом наличия плоскости
симметрии в середине бака, достаточно рассчитывать и проектировать только одну его половину. Вид нагружения и закрепления позволяет рассматривать задачу, как задачу осесимметричного деформирования.
Оболочка задается вращением образующей 𝑟 = 𝑟(𝜃) относительно оси 𝑜𝑦 (рис. 1), где 𝑟 — текущий
радиус оболочки, 𝜃 — угол между нормалью к поверхности оболочки и осью вращения, который изменяется
в пределах [𝜃0 ; 𝜃1 ].
y
r1
Меридиан
Образующая
Угол
намотки
r2
r
0
Рис. 1: Геометрия оболочки вращения
Для решения прямых задач расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) многослойных
композитных баков и верификации решений задач оптимизации будем использовать классическую теорию
оболочек Кирхгофа — Лява [18] и уточненные теории Тимошенко [16] и Андреева — Немировского [17].
Физические соотношения опишем с помощью структурных моделей КМ [3].
Для решения обратных задач оптимизации будем использовать критерий минимума веса композитной
оболочки:
∫︁
𝜃1
𝑀 = 2𝜋
𝜃0
𝑟𝑅1 ℎ𝑑𝜃 [𝜌𝑚 (1 − 𝜔𝑟 ) + 𝜌𝑟 𝜔𝑟 ] → min,
(2)
где 𝜌𝑚 , 𝜌𝑟 — плотности материалов связующего и армирующих волокон, 𝜔𝑟 — объемное содержание арматуры.
В качестве управляющих функций выберем: главный радиус кривизны 𝑅1 (𝜃), толщину оболочки ℎ(𝜃),
угол спирального армирования 𝜓(𝜃).
Искомое решение должно удовлетворять ограничению на внутренний объем оболочки
∫︁ 𝜃1
𝜋
𝑟2 𝑅1 sin 𝜃𝑑𝜃 = 𝑉0
(3)
𝜃0
и требованию ее неразрушения
max{𝑏𝑠𝑟 , 𝑏𝑠𝑚 } ≤ 1,
(4)
где 𝑏𝑠𝑟 , 𝑏𝑠𝑚 — интенсивности напряжений в связующем материале и армирующих волокнах, определяемым
по рассчитанному НДС бака по одной из структурных моделей КМ.
Будем использовать следующие ограничения на функции управления:
0 ≤ 𝜓 ≤ 90∘ ,
ℎ*0 ≤ ℎ ≤ ℎ*1 ,
𝑅0* ≤ 𝑅1 ≤ 𝑅1* ,
(5)
О решении обратных задач численной оптимизации композитных конструкций
29
где ℎ*0 , ℎ*1 , 𝑅0* , 𝑅1* — константы.
При изготовлении композитных оболочек вращения широкое распространение получил метод непрерывной намотки по геодезическим линиям. В этом случае справедлива формула Клеро:
(6)
𝑟 sin 𝜓(𝑟) = 𝐶,
где 𝐶 — константа, определяемая из условия на экваторе оболочке, а толщина оболочки определяется соотношением
𝑅 cos 𝜓𝑅
,
(7)
ℎ(𝑟) = ℎ𝑅
𝑟 cos 𝜓(𝑟)
которое имеет особенность у кромки отверстия, где угол армирования должен быть равен 90𝑜 . Формула (7)
применяется при 𝑟 ≥ 𝑟1 +𝑟𝜔 , где величина 𝑟𝜔 равна ширине армирующей ленты. Соотношение, определяющее
толщину стенки бака в итоге принимает вид:
⎡
𝑅 cos 𝜓𝑅
⎢ ℎ𝑅 𝑟𝜔 cos 𝜓(𝑟1 + 𝑟𝜔 ) , 𝑟 ≤ 𝑟1 + 𝑟𝜔 ;
⎢
(8)
ℎ(𝑟) = ⎢
⎣
𝑅 cos 𝜓𝑅
ℎ𝑅
,
𝑟 ≥ 𝑟1 + 𝑟𝜔 .
𝑟 cos 𝜓(𝑟)
2
Прямая задача расчета НДС многослойного бака
Проблема определения НДС композитного бака приводит к необходимости решения краевых задач для жестких систем дифференциальных уравнений. Такие системы являются плохо обусловленными, а в структуре
их решений имеются решения с ярко выраженным характером погранслоев. Численные расчеты были выполнены методами сплайн-коллокации и дискретной ортогонализации, реализованными в пакетах COLSYS [19]
и GMDO [20]– [24] соответственно. Эти вычислительные инструменты показали высокую точность и эффективность при решении задач механики композитных пластин и оболочек [3].
Решение ряда прямых задач при различных значениях параметров проектирования и последующий анализ показали, что решение задач численной оптимизации можно осуществлять с использованием достаточно простых соотношениях теорий оболочек Кирхгофа–Лява или Тимошенко, для которых трудоемкость
решения существенно (на порядок) меньше, чем с использованием уточненных теорий (например, теории
Андреева – Немировского). На рис. 2 показано влияние угла спирального армирования 𝜓 на интенсивности
напряжений в связующем материале 𝑏𝑠𝑚 (пунктир) и арматуре 𝑏𝑠𝑟 (сплошная линия). Результаты, полученные с использованием теории Кирхгофа – Лява, обозначены линиями без дополнительных символов, теории
Тимошенко — с △, теории Андреева – Немировского — с .
bsm, bsr
w,mm
,o
90
Рис. 2: Влияние угла спирального армирования на НДС композитного сосуда давления
30
Е. В. Амелина, С. К. Голушко
Используя угол армирования в качестве параметра проектирования можно существенно повысить запас
прочности бака: разница между наилучшим и наихудшим вариантами может отличаться более чем в 20 раз
по интенсивностям напряжений в связующем 𝑏𝑠𝑚 и арматуре 𝑏𝑠𝑟 . Варианты с армированием, близким к
окружному являются неудачными. В этом случае в зоне закрепления возникают значительные поперечные
деформации, сопротивление которым оказывает, в основном, слабый материал матрицы, в то время как
арматура практически не работает.
3
Обратная задача оптимизации многослойного бака
Рассмотрим тестовую задачу совместной оптимизации формы и толщины безмоментной осесимметричной
изотропной оболочки вращения минимального веса, которая имеет аналитическое решение [29]. Здесь и
далее параметры оболочки: 𝑉0 = 3м3 , 𝑟1 = 0.5м, 𝑟2 = 1м, 𝑞 = 108 Па. В качестве ограничения по прочности
использовано соотношение
max{|𝜎11 |, |𝜎22 |} ≤ 𝜎 * ,
(9)
где 𝜎 — постоянная прочности материала.
Из уравнений равновесия безмоментной оболочки можно легко получить аналитические выражения для
усилий
√
√︀
𝑇1 𝑟𝑟′′
𝑇01 + 𝜋𝑞(𝑟2 − 𝑟12 ) 1 + 𝑟′2
,
𝑇2 = 𝑞𝑟 1 + 𝑟′2 +
.
(10)
𝑇1 =
2𝜋𝑟
1 + 𝑟′2
*
Рассмотрим случай, когда 𝜎11 = 𝜎 * . Соотношения для радиуса и толщины оптимальной оболочки в
декартовых координатах примут вид [29]:
√︂
√︁
𝑞
𝛼2
𝑟(𝑥) = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥2 + 𝑟12 ,
ℎ(𝑥) =
𝛼(1 + 𝛽)𝑥 + 𝛽(1 + 𝛽)𝑥2 +
+ 𝑟12 ,
(11)
*
2𝜎
4
где 𝛼, 𝛽 зависят от геометрических параметров конструкции.
Выберем в качестве управляющих функций главный радиус кривизны 𝑅1 и толщину ℎ, а в качестве
переменной интегрирования — угол поворота нормали к образующей оболочки 𝜃.
Поставленная задача является задачей условной оптимизации, включающей прямые (параллелепипедные) ограничения на управления и траекторные ограничения, наложенные в конце интервала изменения
независимой переменной. Одним из распространенных подходов к решению таких задач является метод последовательной безусловной оптимизации. Он заключается в формировании свертки терминальных функционалов и многократном решении однокритериальной задачи с использованием методов оптимизации [25].
В данной работе для свертки использовался метод модифицированной функции Лагранжа.
Для решения вспомогательных задач безусловной оптимизации проводилась дискретизация управляющих функций на сетке, не связанной с сеткой решения прямой задачи, и, таким образом, искалось решение
невыпуклой задачи конечномерной оптимизации [26]. Для решения задачи безусловной оптимизации был
использован программный комплекс OPTCON-A [27, 28].
На рис. 3 приведено сравнение полученных численного и аналитического решений при различных значения параметра 𝛼 (сплошные кривые — аналитическое решение, пунктирные — численное). В табл. 1
приведены числовые значения погрешностей.
Отличие между расчетным и точным значением массы составило 2 %, т.е. чувствительность функционала
массы оболочки к изменению главного радиуса кривизны невелика.
Другая тестовая задача заключалась в поиске проекта бака минимальной массы в рамках полной моментной постановки на основе уравнений теории оболочек Кирхгофа – Лява. Значения растягивающих усилий на
краях оболочки являлись искомыми параметрами, а перерезывающие усилия и моменты равнялись нулю.
Максимальные относительные погрешности по компонентам искомых параметров составили для 𝜃0 = 2.3%,
𝜃1 = 0.8%, ℎ = 6.3%, 𝑅1 = 2.9%, 𝑇10 = 4.0%, 𝑇02 = 1.2%. Отклонение по значению целевой функции (весу)
составило 0.4%.
На основании проведенных экспериментов можно заключить, что предложенный подход к численному
решению оптимизационных задач является эффективным. Кроме того показано, что оптимальные решения, полученные в безмоментной постановке, могут остаться оптимальными и в более общей моментной
постановке.
О решении обратных задач численной оптимизации композитных конструкций
31
Рис. 3: Влияние параметра геометрии 𝛼 на вид оптимальных решений
Таблица 1: Максимальные относительные погрешности численных решений
Функция
проектирования
Максимальная относительная разность
𝛼=1
𝛼=2
0.003%
0.003%
ℎ
𝑅1
1%
4%
𝛼=3
2%
17%
Далее были исследованы несколько различных постановок задачи оптимального проектирования. Основное их отличие заключалось в выборе функций проектирования, либо в виде функций, либо в виде констант.
Дополнительно был рассмотрен проект поиска бака оптимальной формы, образованного непрерывной намоткой по геодезическим линиям.
В таб. 2 приведено сравнение проектов баков, полученных при решении оптимизационных задач. Приняты следующие обозначения: 1 — 𝜓 , 2 — ℎ, 3 — 𝑅1 ; после "F" идут номера функций управления, которые
задавались как функции, после "C" — функции управления — константы. Сокращением "Geod" обозначен
проект с непрерывной намоткой по геодезическим линиям.
Таблица 2: Сравнение различных проектов многослойных баков
Проект
F123
F12C3
F13C2
F23C1
F1C23
F2C13
F3C12
Geod
C123
Масса, кг
16.04
16.02
16.05
17.01
20.23
16.42
16.07
19.09
22.13
𝑀/𝑀𝐶123
72.5%
72.4%
72.5%
76.9%
91.4%
74.2%
72.6%
86.2%
100.0%
𝜓max − 𝜓min
4
12
2
0
15
0
0
85
0
ℎmax /ℎmin
1.08
1.55
1.00
4.74
1.00
1.83
1.00
9.95
1.00
𝑅1max /𝑅1min
1.62
1.00
1.94
3.14
1.00
1.00
1.83
5.42
1.00
Масса оптимизированного бака, полученного непрерывной намоткой волокон по геодезическим линиям
(Geod) составила 19 кг, однако за счет выбора оптимальной формы бака (проект F3C12) можно добиться
снижения веса до 16 кг.
Отметим, что проект с геодезической непрерывной намоткой обладает перепадом толщины стенки бака
почти в 10 раз с резким градиентом вблизи места закрепления. Проект F123 более предпочтителен, перепад
значений параметров не превышает 10% по толщине и 4.5% по углу армирования. Представляют интерес
проекты с постоянной толщиной стенки бака (F13C2, F3C12), показывающие возможность получения конструкций с массой близкой к минимальной за счет управляющих функций 𝑅1 и 𝜓 .
Для проверки решения оптимизационной задачи полученные параметры управления были подставлены
в прямую задачу расчета НДС конструкции.
Среди полученных решений можно выделить проект F123, НДС которого является практически безмоментным, а арматура почти равнонапряженной. В этом проекте влияние поперечных сдвигов минимально.
32
Е. В. Амелина, С. К. Голушко
Подставив это решение в задачу расчета НДС в рамках различных вариантов теорий оболочек, обнаружим, что все три теории дают близкие результаты при расчете интенсивностей напряжений в связующем
материале и арматуре.
Заключение
Разработан эффективный подход к оптимизации многослойных композитных сосудов давления, позволяющий строить проекты конструкций, удовлетворяющих заданным требованиям и обладающих рядом дополнительных ценных свойств: малым изменением параметров проектирования, напряженным состоянием
близким к безмоментному и с почти равнонапряженной арматурой.
Полученные решения оптимизационных задач верифицированы решением прямых задач расчета НДС
баков с найденными параметрами в рамках математических моделей, построенных на основе классической и
уточненных теорий. Показано, что при решении оптимизационных задач можно использовать относительно
простые математические модели облочек, построенные на основе соотношений теорий Кирхгофа — Лява и
Тимошенко.
Список литературы
[1] Thesken J. C., Murthy P. L. N., Phoenix S. L. et al. A theoretical investigation of composite overwrapped
pressure vessel (COPV) mechanics applied to NASA full scale tests. NASA/TM–2009—215684, 2009.
[2] Амелина Е. В., Буров А. Е., Голушко С. К., Лепихин А. М., Москвичев В. В., Юрченко А. В. Расчетноэкспериментальная оценка прочности металлокомпозитного бака высокого давления // Вычислительные технологии. 2016. Т. 21, № 5. С. 3–21.
[3] Голушко С. К., Немировский Ю. В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин
и оболочек вращения. Москва: ФИЗМАТЛИТ. 2008.
[4] Голушко С. К., Немировский Ю. В. Обзор и анализ подходов к проблеме рационального проектирования
армированных оболочек. Красноярск. 1988. — 31 с. (Препринт ВЦ СО АН СССР; № 16).
[5] Голушко С. К., Немировский Ю. В. Об одном подходе к проектированию осесимметричных оболочек с
равнонапряженной арматурой // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности
/ Материалы X Всес. конф. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1988. С. 58–64.
[6] Голушко С. К., Немировский Ю. В. Построение проектов армированных оболочечных конструкций
минимального веса // Вычислительные проблемы механики / Межвуз. сб. Красноярск: Изд-во: КГУ,
1989. С. 117–130.
[7] Голушко С. К. Две задачи рационального проектирования армированных оболочек вращения. Красноярск. 1986. С. 8–14. (Препринт ВЦ СО АН СССР; № 1).
[8] Голушко С.К. Проектирование тонкостенных оболочек с равнонапряженной арматурой. Красноярск.
1987. С. 29–32. (Препринт ВЦ СО АН СССР; № 1).
[9] Golushko S.K. Direct and inverse problems in mechanics of composite shells // Proc. of The Sixth JapanRussia Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. Nagoya: Nagoya University, 1998. P. 125–130.
[10] Голушко С.К., Немировский Ю.В., Одновал С.В. Расчет и рациональное проектирование композитных
оболочек вращения // Динамика сплошной среды. 1998. № 113. С. 39–44.
[11] Golushko S. K. Direct and inverse problems in the mechanics of composite plates and shells // Computational
Science and High Performance Computing. Russian-German Advanced Research Workshop, Novosibirsk,
Russia. Germany: Springer-Verlag, 2005. P. 205–228.
[12] Stadler W., Krishnan V. Natural structural shapes for shells of revolution in the membrane theory of shells
// Structural Optimization. 1989. V. 1. P. 19–27.
О решении обратных задач численной оптимизации композитных конструкций
33
[13] Vasiliev V. V. Composite pressure vessels: design, analysis, and manufacturing. Blacksburg, Virginia, USA:
Bull Ridge Publishing. 2009.
[14] Liang C.C., Chen H. W., Wang C. H. Optimum design of dome contour for filament-wound composite pressure
vessels based on a shape factor // Compos. Struct. 2002. V. 58, iss. 4. P. 469–482.
[15] Zu L., Koussios S., Beukers A. Shape optimization of filament wound articulated pressure vessels based on
non-geodesic trajectories // Compos. Struct. 2010. V. 92, iss. 2. P. 339–346.
[16] Григоренко Я. М., Василенко А. Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. Москва:
Наука. 1992.
[17] Андреев А. Н., Немировский Ю. В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука. 2001.
[18] Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз. 1951.
[19] Ascher U., Christiansen J., Russel R. D. Collocation software for boundary value ODEs // ACM. Trans. on
Math. Software. 1981. V. 7, iss. 2. P. 209–222.
[20] Голушко С. К., Горшков В. В., Юрченко А. В. О двух численных методах решения многоточечных
нелинейных краевых задач // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, № 2. С. 24–34.
[21] Голушко С. К., Морозова Е. В., Юрченко А. В. О численном решении краевых задач для жестких систем
дифференциальных уравнений // Вестник КазНУ. Cерия: Математика, механика, информатика. 2005.
№ 2. С. 12–26.
[22] Голушко С. К., Горшков В. В., Юрченко А. В. О двух численных методах расчета сопряженных композитных конструкций // В кн.: Современные методы математического моделирования природных и
антропогенных катастроф. Тезисы докладов V науч. конференции. 1999. С. 49–55.
[23] Golushko S. K., Yurchenko A. V. Solution of boundary value problems in mechanics of composite plates and
shells // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2010. V. 25, iss. 1. P. 27–55.
[24] Голушко С. К., Идимешев С. В., Семисалов Б. В. Методы решения краевых задач механики композитных пластин и оболочек. Новосибирск: КТИ ВТ СО РАН, 2014. 131 с.
[25] Бертсекас Д. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа. Москва: Радио и связь. 1987.
[26] Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации.
Москва: Наука. 1982.
[27] Горнов А. Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. Новосибирск:
Наука. 2009.
[28] Амелина Е. В., Голушко С. К., Горнов А. Ю., Юрченко А. В. Задачи проектирования многослойных
гибридных сосудов давления // В сб.: Безопасность и живучесть технических систем. Материалы и
доклады: в 3-х томах. 2015. С. 34–40.
[29] Баничук Н. В. Оптимизация осесимметричных мембранных оболочек // Прикладная математика и
механика. 2007. № 1. P. 19–27.
Амелина Евгения Валерьевна — к.ф.-м.н., ст. науч. сотр. Новосибирского государственного университета;
e-mail: [email protected];
Голушко Сергей Кузьмич — д.ф.-м.н., профессор Новосибирского государственного университета;
глав. науч. сотр. Института вычислительных технологий СО РАН;
e-mail: [email protected].
Дата поступления — 30 апреля 2019 г.
