Лабораторная работа 7 Интерполирование функций методом Лагранжа. Линейная интерполяция. Цель работы. По результатам эксперимента, заданным в виде последовательности точек на координатной плоскости - , построить интерполяционную функцию методом Лагранжа . Выполнить линейную интерполяцию между двумя любыми соседними узлами, оценить точность полученных результатов. Теоретические положения . Пусть в некоторых точках известны значения функции : . Необходимо определить величины функции при других значениях . Связь неизвестна. Для решения этой задачи функцию требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией так, чтобы отклонение от в заданной области было наименьшим. На практике чаще всего применяется аппроксимация многочленами, т.е. . (1) Если коэффициенты определяются из условия совпадения , (2) то такой способ аппроксимации называется интерполяцией. Точки называются узлами интерполяции, а - интерполирующей функцией. Заметим, что при интерполировании . Рассмотрим процесс интерполирования функций с помощью полино-мов Лагранжа. Исходя из условия задачи, т.е. для , имеем полином третьего порядка: (3) для которого, очевидно, должно выполняться: . Форма (3) наглядно показывает, как получается полином любого порядка, но имеет больше теоретическое значение. Для практического же применения более удобна запись в форме (1), которую нетрудно получить из (3), подставляя туда заданные числа преобразования. и и выполняя очевидные Для выполнения линейной интерполяции следует взять два любых соседних узла, например, аргумента и и по заданному промежуточному значению найти соответствующее значение функции по формуле: , (4) Графически линейная интерполяция сводится к соединению прямой линией точек с координатами и . Порядок выполнения работы. - переписать требуемый вариант задания, - погрешность расчетов принять равной - записать теоретическую функцию - преобразуем полином Лагранжа , , к виду , (5) для чего найдем коэффициенты : а) для суммы (3) вначале вычислим четыре константы: , , , (6) , Проверка: . б) все числители (3) представляют собой выражения вида (например, для первого слагаемого) , (7) для вычисления коэффициентов воспользуемся теоремой Виета (8) в) итоговая функция (4) находится так: (9) - записать полином (5) с вычисленными коэффициентами - по формуле , построить график по 21 точке с шагом - между двух любых крайних узлов или интерполяцию по формуле (4), взяв в качестве , выполнить линейную середину выбранного отрезка. Найти . Весь процесс нанести на координатную плоскость, объединив его с функцией . - Оценка результатов: принимая в качестве точного значения величину погрешность , найти абсолютную , а затем величину относительной погрешности для линейной зависимости. Варианты исходных данных. Функция точках 1 3 5 задана в четырех своими значениями X -1 1 2 7 Y 0 4 15 400 X -5 -2 2 3 Y -96 -3 9 32 X -3 -2 1 3 Y -34 -11 -2 14 2 : X Y 4 X Y 6 -5 -1 2 3 -156 -4 5 20 -2 1 2 -144 -9 0 3 -5 X -4 -3 1 3 Y -51 -20 4 40 7 9 X -3 1 2 4 Y -40 0 5 51 X -5 -4 2 4 -144 -75 3 45 -2 2 3 -185 -5 15 40 Y 11 X Y 13 15 17 19 21 23 25 27 X -4 -1 3 5 Y -45 0 32 144 X -3 0 4 5 Y -34 -1 43 94 X -4 -2 3 6 Y -85 -15 20 185 X -4 -3 4 5 Y -75 -32 45 96 x -4 -2 3 7 y -51 -5 40 400 x -2 -1 2 5 y -3 0 9 144 x -2 -1 4 5 y -11 -2 43 94 x -5 -1 2 3 -156 -4 5 20 -2 1 2 -144 -9 0 3 y 29 -6 x y -5 8 10 12 X -5 -4 3 4 Y -96 -45 32 75 X -3 -1 2 4 Y -34 -2 1 43 X -7 -5 -2 1 -400 -156 -15 0 Y 14 Y 16 20 22 24 26 28 30 -3 1 4 -144 -32 0 45 -3 1 2 -185 -20 4 15 -6 X Y 18 -5 X X -4 -2 4 5 Y -45 -3 75 144 X -2 2 3 5 Y -11 1 14 94 X -4 -1 4 5 Y -85 -4 51 104 X -3 -2 2 5 Y -32 -9 3 96 X -1 1 2 7 Y 0 4 15 400 X -5 -2 2 3 Y -96 -3 9 32 X -3 -2 1 3 Y -34 -11 -2 14 Пример расчета . 1. Цель работы: обработать результаты таблицы данных с целью построения интерполяционной функции методом Лагранжа. 2. Исходные данные: таблица опытных данных. X0 x -5 y -96 Y0 x1 -4 -45 y1 x2 x3 3 4 32 75 y2 y3 Погрешность расчетов = 10-3 , 3. Интерполяционный полином Лагранжа: Требуется получить функцию , так чтобы , 4. Находим коэффициенты 5. Находим константы , по формулам (6): Проверка: k0= 1.333 k1= -0.804 k2= -0.571 k3=1.042 6. Все числители представляют собой выражения вида (7) (назовем их частными многочленами): , где коэффициенты находятся по теореме Виета - формулы (8): 7. Найдем итоговую функцию: - умножим вначале частные многочлены на соответствующие коэффициенты , - сложим коэффициенты при одинаковых степенях запишем требуемую функцию , найдем числа . 8. Таблица из 21 точки в диапазоне исходных данных , X -5,000 -4,550 -4,100 -3,650 -3,200 -2,750 -2,300 -1,850 1,400 0,950 и Y 95,976 69,943 49,031 32,693 20,382 11,552 -5,655 -2,146 0,477 0,101 X -0,500 -0,050 0,400 0,850 1,300 1,750 2,200 2,650 3,100 3,550 4,000 Y -0,473 -1,044 -1,269 -0,600 1,509 5,605 12,234 21,944 35,281 52,792 75,024 9. Между двух крайних узлов [-5;-4] выполняем линейную интерполяцию, взяв в качестве xпромежуточного середину выбранного отрезка. Надо найти yпромежуточное. Линейная интерполяция – это замена на отрезке x0-x1 неизвестной нам кривой y = f(x) прямой линией. Такая замена приводит к погрешности . Но из-за явной простоты метода он находит широкое применение. Максимальная погрешность около середины отрезка. Уравнение прямой проходящей через две точки имеет вид: вместо x при xпр получим y=yпр подставляем значения, получаем: тогда разница между точным значение y и промежуточным значением y абсолютная погрешность 10. Вывод по работе: результатом работы является то, что на взятом промежутке [-5;-4] при применении линейной интерполяции абсолютная погрешность получается равной 4,431%. Это происходит т.к. исходные данные функции охватывают большой промежуток по оси y [-96;75], маленький промежуток по оси x [-5;4] следовательно, график на концах отрезка приближен к прямой линии (т.к. координаты узлов отрезка имеют большой промежуток по оси y).
