- 18 <== Возврат к содержанию раздела 1.4 Методы приближения функций Определение: Приближением функции f (x) называется ее замена многочленом вида: Pm(x)=a00(x)+ a11(x)+…+ amm (x), (1.8) где а0, а1,…, am - постоянные коэффициенты, 0(x), 1(x),…, m(x) – однотипные, предварительно заданные функции, как правило непрерывно-дифференцируемые. В вычислительной практике задачи приближения функций чаще всего решаются с целью получения аналитических функций, соответствующих зависимостям вида yi=f (xi), i=0,1,…,n, которые получены в результате экспериментального исследования какого-либо объекта. Общая схема эксперименz - возмущающие воздействия (помехи) та: x( x0 ,x1,...,xn ) - входная (независимая) переменная Объект исследования y( y0 , y1,..., yn ) - выходная (зависимая) переменная Примером объекта исследования может служить емкостной реактор с мешалкой: входной переменной может быть температура в реакторе, выходной - концентрация целевого продукта, помехами - неравномерность перемешивания и обогрева. Полученные зависимости обычно представляют в виде таблиц: x x0 x1 x2 . . . xn-1 xn y y0 y1 y2 . . . yn-1 yn . В случаях, когда наблюдается существенный разброс значений выходной переменной, обусловленный влиянием помех, осуществляется операция ее сглаживания. Один из популярных методов сглаживания - метод скользящего среднего. Сглаженное значение y*i получается усреднением значений yi, соответствующих значениям xi, которые попадают в интервал усреднения δx = [xi-z;xi+z], где z – натуральное число, т.е. y*i z 2 z 1 1 2 1 yi j . Например, при z = 1, y*i1 yi j ( yi yi 1 yi 2 ) . 2 z 1 j 0 3 j 0 3 Заметим, что положение z экспериментальных точек в начале диапазона [x0;xn] и стольких же в конце не изменится. Пример. Сгладить зависимость: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 2 5 3 3 2 1 1 4 2 при z = 1. 1 1 1 y1* ( y0 y1 y2 ) ( 2 5 3) 3 ; 3 3 3 1 1 2 y*2 ( y1 y2 y3 ) (5 3 3) 3 ; 3 3 3 1 1 2 * y3 ( y 2 y3 y 4 ) ( 3 3 2 ) 2 ; 3 3 3 - 19 1 1 2 y*4 (3 2 1) 2; y*5 ( 2 1 1) 1 ; 3 3 3 Положение точек ( x0 , y0 ), ( x8 , y8 ) 1 1 1 y*6 (1 1 4) 2; y*7 (1 4 2) 2 . 3 3 3 не изменяется. Преимущества аналитических функций перед табличными: компактность, удобство хранения, возможность дифференцирования и интегрирования. Главная цель приближения табличных зависимостей многочленами вида (1.8): получение значений зависимой переменной, соответствующих значениям xj xi, i = 0,1,…,n, т.е. тем, для которых эксперименты не проводились. Замечание: Получаемые в результате приближения экспериментальных зависимостей функции y = Pm(x) достоверны только при x[x0;xn]. Попытки их использования для получения значений y, соответствующих x < x0 или x > xn могут привести к серьезным ошибкам. В вычислительной практике применяются два основных способа приближения функций: интерполяция и аппроксимация. 1.4.1 Интерполяция экспериментальных зависимостей Постановка задачи. Пусть задан ряд значений независимой переменной x0 < x1 < x2 <…< xn, и в результате эксперимента получены соответствующие им значения зависимой переменной y0, y1,…, yn. Сформировать многочлен Pn(x)=a00(x)+a11(x)+… +ann (x), удовлетворяющий условию yi=Pn(xi), i=0,1,…,n, (1.9) а при xi < x < xi+1, i = 0,1,…,n-1 – принимающий "разумные" значения. Следовательно, график функции y=Pn(x) должен проходить через все точки (xi,yi), i = 0,1,…,n, а между этими точками - не иметь выраженных экстремумов (см. рисунок 1.6). Выбор вида функций i(x), i=0,1,…,n зависит от характера экспериментальной зависимости. Чаще всего на практике применяется полиномиальная интерполяция, когда i(x)=xi, i = 0,1,…,n, т.е. Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn. (1.10) Теоретической основой полиномиальной интерполяции является III теорема Вейерштрасса: любая Рисунок 1.6 График интерполирующего многочлена непрерывная функция f (x) на замкнутом интервале [a;b] оси x может быть сколь угодно точно приближена степенным полиномом, т.е. 0 n n(): max f ( x) Pn ( x) . Степень поx[ a ;b ] линома (1.10), интерполирующего зависимость yi = f (xi), i = 0,1,…,n, равна n, т.е. меньше числа заданных точек (xi,yi) на единицу. - 20 Задача полиномиальной интерполяции сводится к определению значений коэффициентов а0, а1,…, an полинома (1.10), при которых выполняется условие (1.9). Наиболее популярным способом ее решения является использование одной из многочисленных интерполяционных формул: Лагранжа, Ньютона, Гаусса, Бесселя, Стирлинга, Эрмита и т.д. Чаще всего на практике применяются формулы Лагранжа и Ньютона. 1, j i Определение: Полином li(x), такой что li ( x j ) , i,j=0,1,…,n 0, j i называется полиномом Лагранжа. Согласно этому определению, только при x=xi li(x) = 1, а при любом другом li(x) = 0, следовательно, полином Лагранжа может быть записан в виде: li(x)=Сi(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn). Значение коэффициента Сi можно определить из условия li(xi)=Сi(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn)=1, следовательно, Ci=1/[(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn)]. Таким образом, для заданного набора значений независимой переменной x0,x1,…,xn полиномы Лагранжа имеют вид ( x x0 )( x x1 )...( x xi 1 )( x xi 1 )...( x xn ) li ( x) , i = 0,1,…,n. ( xi x0 )( xi x1 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn ) Условие (1.9) выполняется для полиномов Лагранжа, умноженных на соответствующие значения yi: li(xi)yi=yi, i=0,1,…,n, следовательно, формула Лагранжа для полиномиальной интерполяции может быть записана в виде: n n ( x x 0 )( x x1 )...( x x i 1 )( x x i 1 )...( x x n ) Pn ( x) y i l i ( x) y i (1.11) ( x i 0 i 0 i x 0 )( x i x1 )...( x i x i 1 )( x i x i 1 )...( x i x n ) Пример. Интерполировать зависимость x0=0; x1=/2; x2= ; y0=0; y1=1; y2=0; [sin(x)]. ( x 0) x x ( x ) 2 ( x 0)( x ) 2x 2 2 P2 ( x) 0 1 0 1 1 . ( 0) 0 (0 ) 0 2 2 2 2 Замечание. На отрезке [0;] P2(x) хорошо приближает функцию sin(x): sin(/6)=0.5; P2(/6)=0.556; sin(/3)=0.866; P2(/3)=0.889; - но за пределами этого отрезка использование P2(x) вместо sin(x) неоправданно: sin(-/6)=-0.5; P2(-/6)=-0.778; sin(-/3)=-0.866; P2(-/3)=-1.778. Определение: Конечной разностью 1-го порядка для зависимости yi=f (xi), i = 0,1,…,n называется отношение разности значений зависимой переменной в двух соседних точках к разности соответствующих значений независимой переменной: y y y y y y y0 1 0 , y1 2 1 ,. . . , yn 1 n n 1 x1 x0 x2 x1 xn xn 1 (аналоги производной для табличной функции). Конечные разности 2-го порядка получаются из разностей 1-го порядка по правилам: - 21 y y 0 y y n 2 y y1 2 y 0 1 , 2 y1 2 , . . . , 2 y n 2 n 1 x2 x0 x 3 x1 x n x n2 (аналоги второй производной для табличной функции). В общем виде m1 y i 1 m1 y i (1.12) m y i , i 0,1,..., n m; m 1,2,..., n xi m xi С ростом порядка m число конечных разностей уменьшается: при m=1 их n штук, при m = 2 – (n–1) штук, при m = l – (n-l+1) штук, при m = n–1 – 2 штуки и при m = n – только одна (ny0). Интерполяционный многочлен Ньютона использует конечные разности рассматриваемой табличной функции и существует в двух формах. Первая (левая) формула Ньютона имеет вид: Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) (крайнее правое значение x = xn в формуле не используется). Значения коэффициентов а0, а1,…, an определяются из условия (1.9): y y Pn ( x 0 ) y 0 a 0 a 0 y 0 , Pn ( x1 ) y1 y 0 a1 ( x1 x 0 ) a1 1 0 y 0 . x1 x 0 Аналогично можно показать, что a2=2y0, a3=3y0,…, an=ny0, следовательно, n Pn ( x) y 0 ( x x 0 )( x x1 )...( x x k 1 )k y 0 . k 1 (1.13) Вторая (правая) формула Ньютона: Pn(x)=a0+a1(x-xn)+a2(x-xn)(x-xn-1)+…+an(x-xn)(x-xn-1)…(x-x1) (не используется крайнее левое значение x = x0). Из условия (1.9) в данном случае получается a0=yn, a1=yn-1, a2=2yn-2,…, an=ny0, т.е. n Pn ( x) y n ( x x n )( x x n 1 )...( x x n k 1 )k y n k . k 1 (1.14) Пример. Интерполировать зависимость x0=0; x1=1; x2=2; x3=3; y0=-1; y1=0; y2=7; y3=26; y1 y 0 y y y y 1, y1 2 1 7 , y 2 3 2 19; Конечные разности: y 0 x1 x 0 x 2 x1 x3 x 2 y1 y 0 2 y1 2 y 0 y y1 3, 2 y1 2 6; 3 y 0 1. x 2 x0 x3 x1 x3 x 0 Левая формула: P3(x)=y0+y0(x–x0)+2y0(x–x0)(x–x1)+3y0(x–x0)(x–x1)(x–x2)= = –1+1(x–0)+3(x–0)(x–1)+1(x–0)(x–1)(x–2) = x3–1. Правая формула: P3(x)=y3+y2(x–x3)+2y1(x–x3)(x–x2)+3y0(x–x3)(x–x2)(x–x1)= =26+19(x–3)+6(x–3)(x–2)+1(x–3)(x–2)(x–1) = x3–1. Замечание. Существует единственный полином степени n, интерполирующий заданные точки (xi,yi), i=0,1,…,n. Следовательно, для одной и той же зависимости yi=f (xi), i=0,1,…,n все интерполяционные формулы порождают один и тот же полином. Разница между различными интерполяционными формулами заключается в способе формирования полинома вида (1.10). 2 y 0 - 22 В отличие от формулы Лагранжа, которая имеет одинаковую трудоемкость при любом расположении точек (xi,yi), формулы Ньютона менее трудоемки, если эти точки являются равноотстоящими, т.е. xi = xi–xi-1 = const, i=1,2,…,n (конечные разности вычисляются проще, поскольку их знаменатели известны заранее). Кроме того, при увеличении числа точек (xi,yi) использование формул Ньютона потребует лишь добавления к уже сформированному многочлену Pn(x) дополнительных слагаемых, а использование формулы Лагранжа – повторения операции его формирования. С другой стороны, применение формул Ньютона требует предварительного вычисления всех конечных разностей интерполируемой зависимости yi = f (xi), i=0,1,…,n. Для удобства их вычисления рекомендуется формировать следующие таблицы: x y ..... y 2y 3y n-1y n y 2 3 n-1 x0 . . . . . y0 y0 y0 y0 y0 ny0 2 n-1 x1 y1 ...... ..... 0 y1 y1 y1 x2 y2 ...... ..... 0 ...... y2 3yn-4 x3 y3 ...... 2yn-3 3yn-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ...... 0 ..... ...... ...... yn-2 2yn-2 xn-1 yn-1 0 0 ..... ...... ...... yn-1 xn 0 0 0 ..... 0 0 yn Коэффициенты левой формулы Ньютона стоят в верхней строке таблицы, коэффициенты правой - на диагонали. На практике полиномиальная интерполяция с использованием формул Лагранжа, Ньютона и им подобных применяется при n 56. При большем числе точек (xi,yi) ее результаты становятся малопригодными: получаемые полиномы Pn(x) удовлетворяют условию Pn(xi) = yi, i = 0,1,…,n, но в промежутках между точками (xi,yi) могут принимать явно "неразумные", недостоверные значения. Поэтому при n > 56 осуществляют кусочную полиномиальную интерполяцию, т.е. применяют формулы (1.12) - (1.14) не ко всему отрезку [x0;xn], а последовательно к его частям, содержащим не более 56 точек (xi,yi). Наиболее популярны кусочно-линейная и кусочно-квадратичная интерполяция. Кусочно-линейная интерполяция зависимости yi = f (xi), i = 0,1,…,n предусматривает соединение каждой пары соседних точек (xi,yi) отрезком прямой линии, т.е. формирование для каждого отрезка [xi,xi+1] полинома P1(i)(x), i=0,1,…n-1, например, по формуле Лагранжа x x x x i 1 i P1(i ) ( x) y i y i 1 , x i x i 1 x i 1 x i y i 1 y i ( x xi ) . x i 1 x i Кусочно-квадратичная интерполяция сводится к формированию для каждого отрезка [xi,xi+2] полинома P2(i)(x), i = 0,2,…n–2, т.е. предусматривает соединение каждой тройки соседних точек (xi,yi) отрезком квадратичной параболы. По формуле Лагранжа а по левой формуле Ньютона P1(i ) ( x) y i - 23 x xi 1 x xi 2 x xi x xi 2 x xi x xi 1 P2(i ) x y i y y , xi xi 1 xi xi 2 i 1 xi 1 xi xi 1 xi 2 i 2 xi 2 xi 1 xi 2 xi 2 по правой формуле Ньютона y i 2 y i 1 y i 1 y i y y x x x i 1 x i P2(i ) ( x) y i 2 i 2 i 1 ( x x i 2 ) i 2 i 1 ( x x i 2 )( x x i 1 ) . x i 2 x i 1 xi 2 xi Пример. Интерполировать зависимость x0=-3; x1=-1; x2=1; x3=3; x4=5 y0=0; y1=-2; y2=1; y3=2; y4=-1 и определить значения y в точках x = -2, x = 0, x = 4. 1) x[-3;-1], линейная по формуле Лагранжа: x x0 x x1 x 1 x 3 ( 0) P1 y 0 y1 0 2 x 3, P1(0)(–2) = 2 – 3 = –1; x 0 x1 x1 x 0 3 1 1 3 2) x[-1;1], линейная по правой формуле Ньютона: y y 1 2 P1(1) ( x ) y2 2 1 ( x x2 ) 1 ( x 1) 1.5 x 0.5, P1(1)(0) = 0 – 0.5 = –0.5; x2 x1 11 3) x[1;5], квадратичная по левой формуле Ньютона: y y ( y y ) ( x 4 x3 )( y 3 y 2 ) ( x3 x 2 ) P2( 2) ( x) y 2 3 2 ( x x 2 ) 4 3 ( x x 2 )( x x 3 ) x3 x 2 x4 x2 2 1 ( 1 2) (5 3) (2 1) (3 1) ( x 1) ( x 1)( x 3) 0.5 x 2 2.5 x 1, 3 1 5 1 P2(2)(4)= –8 + 10 –1=1. Рассмотренные способы кусочной интерполяция просты, их результаты вполне надежны. Единственный недостаток - интерполирующая функция не гладкая (ломаная), т.е. ее производная может иметь разрывы в точках (xi,yi). Это существенно в случаях, когда зависимой переменной является первообразная от действительно интересующей исследователя величины (например, нас интересует изменение скорости тела во времени, а в эксперименте снята зависимость его пути от времени). Существует способ кусочной интерполяции, лишенный этого недостатка - сплайн-интерполяция. Английское слово сплайн обозначает гибкую рейку из упругого материала. Цепляя к сплайну пружины разной жесткости и грузила разного веса, можно получить кривую, интерполирующую заданное множество точек (xi,yi), i = 0,1,…,n. Сплайн не разрушается, т.е. образует гладкую кривую S(x). В теории балок доказывается, что S(x) на каждом отрезке [xi-1;xi], i=1,2,…,n представляет собой кубический полином, причем соседние полиномы, их первые и вторые производные соединяются непрерывно. Поэтому S(x) называется кубическим сплайном. Полином, формируемый для каждого из отрезков [xi-1;xi], i=1,2,…,n имеет вид: ai+bi(x-xi-1)+ci(x-xi-1)2+di(x-xi-1)3. Коэффициенты этих полиномов определяются из следующих соотношений: ai = yi-1, i = 1,2,…,n; (1.15) 1 - 24 - y y y y c i x i x i 1 2c i 1 x i 1 x i 1 c i 2 x i 1 x i 3 i 1 i i i 1 , i 1,..., n1 (1.16) x i 1 x i x i x i 1 c1 c n 1 0; y y i 1 x i x i 1 bi i (c i 1 2 ci ), i 1,2,..., n ; (1.17) x i x i 1 3 c i 1 c i , i 1,2,..., n ; (1.18) 3( x i x i 1 ) т.е. значения коэффициентов bi, di, i = 1,2,…,n зависят от значений коэффициентов ci, для определения которых необходимо решить систему (1.16) линейных уравнений порядка (n-1). Системы вида (1.16) обычно хорошо обусловdi n лены, для них всегда выполняется условие |aii| |aij| , i = 1,2,...,n, поэтому j 1, j i их можно без преобразований решать методами Гаусса, Якоби, Зейделя. Пример. Интерполировать зависимость x0=1; x1=3; x2=5; x3=7 y0=-2; y1=-4; y2=1; y3=3 и определить значения y в точках x = 2, x = 4, x = 6. a1 = y0 = -2, a2 = y1 = -4, a3 = y2 = 1. c1 = c4 = 0; y2 y1 y1 y0 ; 2c2 ( x2 x0 ) c3( x2 x1 ) 3 8c2 2c3 10 .5; x2 x1 x1 x0 y3 y2 y2 y1 2c2 8c3 4.5; ; c ( x x ) 2 c ( x x ) 3 2 2 1 3 3 1 x3 x2 x2 x1 c2 46 .5 / 30 1.55; c3 28 .5 / 30 0.95 . 2 2 5 2 2 2 b1 1.55 2.033; b2 ( 0.95 3.1 ) 1.07; b3 ( 1.9 ) 2.27 . 3 3 2 3 2 3 1.55 0.95 1.55 0.95 d1 0.258 ; d 2 0.413; d 3 0.158 . 6 6 6 2 2.033 ( x 1) 0.258 ( x 1)3 , x [1;3] Следовательно: S ( x ) 4 1.07 ( x 3) 1.55 ( x 3)2 0.41 ( x 3)3 , x [3;5] 2 3 1 2.27 ( x 5) 0.95 ( x 5) 0.158 ( x 5) , x [5;7] Поэтому y (2) S (2) 3.742 ; y (4) S (4) 1.79; y (6) S (6) 2.475 . Интерполяция не находит широкого применения для приближения экспериментальных зависимостей, т.к. нет смысла получать функцию, график которой проходит точно через экспериментальные точки, если эти точки несут в себе погрешность. Среднее значение погрешности эксперимента обычно известно, поэтому значительно чаще в инженерной практике экспериментальные зависимости аппроксимируют, т.е. приближают функциями, графики которых проходят достаточно близко к точкам (xi,yi), i = 0,1,…,n - 25 1.4.2 Аппроксимация экспериментальных зависимостей. Определение: Задача построения многочлена вида (1.8), значения которого в точках xi , i 0, 1,..., n в достаточной степени соответствуют значениям yi, i = 0,1,…,n, называется задачей аппроксимации зависимости yi = f (xi) (рисунок 1.7). Постановка задачи: Подобрать элементарные функции j(x): x j , sin( j x ), e jx и т.п., порядок m и определить значения коэффициентов многочлена Pm ( x)a00 ( x)a11( x)...amm ( x), при которых он достаточно точно соответствует исходной экспериментальной зависимости. Чаще всего в вычислительной практике используется полиномиальная аппроксимация, когда j ( x) x j , j 0,1,..., m, Рисунок 1.7 График аппроксимирующего многочлена т.е. Pm ( x) a0 a1x a2 x2 ... am xm. Наиболее популярными методами полиномиальной аппроксимации являются метод наименьших квадратов и метод ортогональных полиномов Чебышева. Метод наименьших квадратов предусматривает произвольный выбор порядка m полинома Pm(x) и определение значений коэффициентов a 0 , a1 ,..., a m из условия 1 n ( Pm ( x i ) y i ) 2 min, (1.19) n 1 i 0 т.е. минимума среднеквадратичного отклонения Pm ( xi ) от yi, i=0,1,…,n. При выбранном m задача определения значений коэффициентов a 0 , a1 ,..., a m сводится к поиску минимума функции n S (a0 , a1 ,..., am ) (a0 a1 xi a2 xi2 ... am xim yi ) 2 . i 0 Как известно из курса высшей математики, функция S достигнет минимума в точке, где n S 2 (a0 a1 xi a2 xi2 ... am xim yi ) xij 0, j 0,1,..., m . a i 0 Преобразуя эти выражения, получим систему линейных уравнений порядка (m+1) с неизвестными a 0 , a1 ,..., a m : - 26 n n 2 m yi ; a0 ( n 1 ) a1 xi a2 xi ... am xi i 0 i 0 i 0 i 0 n n n n n a0 xi a1 xi2 a2 xi3 ... am xim 1 xi yi ; (1.20) i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .... n n n n n m xim yi ; a0 xi a1 xim 1 a2 xim 2 ... am x 2 m i 0 i 0 i 0 i 0 i 0 Доказано, что определитель системы (1.20) отличен от нуля: ее решение существует и единственно. Диагональные коэффициенты матрицы системы всегда отличны от нуля, т.е. ее можно без преобразований решать методом Гаусса. Применить итерационные методы, как правило, не удается. Довольно популярным способом выявления степени соответствия полученного в результате полинома yPm (x ) зависимости yi=f (xi), i = 0,1,...n y является вычисление значения критерия Фишера F , где ост n y y n 1 n ( yi y )2 - дисперсия относительно среднего значения yi, i = 0,...,n: n i 0 n n 1 1 yi ; ост [ Pm ( xi ) yi ]2 - остаточная дисперсия. Критеn 1 i 0 n m i 0 рий Фишера показывает, во сколько раз рассеяние исходной экспериментальной зависимости относительно полученного полинома меньше, чем ее рассеяние относительно среднего арифметического значения yi, i = 0,1,...,n. Степень соответствия тем выше, чем больше полученное значение F превышает табличное Fp(f1,f2) для выбранного уровня значимости р и чисел степеней свободы f1, f2. Уровень значимости р – это число, полученное вычитанием из единицы значения вероятности того, что Pm(x) – р y Pm(x) + р, (например р = 0.05, если вероятность равна 0.95), f1=n, f2= n – m. Если полученное значение F окажется меньше табличного, необходимо изменить условия формирования полинома y = Pm(x): а) увеличить его порядок m (с учетом ограничения m < n, т.к. при m = n Pm(x) станет интерполяционным полиномом); б) выбрать другие элементарные функции φj, j = 0,1,..., m; в) увеличить уровень значимости р; г) предварительно сгладить зависимость yi = f (xi), i = 0,1,...,n. Пример. Аппроксимировать зависимость x 1 3 6 10 15 21 y 0.64 1.35 3.86 5.13 9.05 8.85 степенным полиномом. Выберем m = 1, т.е. искомый полином P1( x ) a0 a1x . Система (1.20) в данном случае примет вид - 27 - yi ; a0 6 a1 xi 6a0 56 a1 28 .8; a0 0.581; i 0 i 0 5 5 5 a1 0.453; 56 a0 812 a1 400.75; a 2 xi yi ; 0 xi a1 xi i 0 i 0 i 0 P1 (1) 1.034 ; P1 (3) 1.941; P1 (6) 3.302 ; P1(x) = 0.581 + 0.453x, P1 (10 ) 5.116 ; P1 (15) 7.383; P1 ( 21) 10 .104 . 5 5 1 (0.64 1.35 3.86 5.13 9.05 8.85) 4.813. 6 1 y [( 0.64 4.813 ) 2 (1.35 4.813 ) 2 (3.86 4.813 ) 2 5 . 2 2 2 (5.13 4.813 ) (9.05 4.813 ) (8.85 4.813 ) ] 12 .933 . 1 ост [(1.034 0.64 ) 2 (1.941 1.35) 2 (3.302 3.86 )2 5 1 . 2 2 2 (5.116 5.13) (7.383 9.05) (10 .104 8.85) ] 1.292 y F 10 .01 > F0.05(5,4) = 6.3, т.е. степень соответствия аппроксимируост ющего полинома экспериментальной зависимости вполне достаточна. На практике метод наименьших квадратов применяют лишь при m 57, т.к. при больших m система (1.20) становится плохо обусловленной и коэффициенты a 0 , a1 ,..., a m определяются с большими ошибками. Еще один существенный недостаток этого метода – необходимость повторного решения задачи в случаях, когда точность первоначального решения недостаточна. Метод ортогональных полиномов Чебышева лишен указанных недостатков. Многочлен Pm(x) при его использовании также имеет вид (1.8), но функции j ( x), j 1,2,..., m - это полиномы, удовлетворяющие условиям, y n j ( xi ) k ( xi ) 0, j k . i 0 n [ j ( xi )] 2 0, j 0,1,2,..., m. i 0 (1.21) 0 ( x) 1. 1 ( x) можно получить из условий (1.21), положив 1 ( x) x . 1 n 1 n xi , 1 ( xi ) xi xi . n 1 i0 n 1 i0 i 0 i 0 Следующий полином Чебышева вычисляется по двум предыдущим: r 1 ( x) ( x r 1 ) r ( x) r 1 r 1 ( x), r 1,2,..., m 1, где n n 0 ( xi ) 1 ( xi ) 0 ( xi ) 0 n r 1 xi [r ( xi )]2 i 0 n n n i 0 i 0 i 0 2 2 [r ( xi )] , r 1 xi r ( xi ) r 1 ( xi ) / [r 1 ( xi )] . - 28 Например, 2 ( x) ( x 2 ) 1 ( x) 2 0 ( x), где 2 2 n n n 1 n 1 n 1 n 2 xi xi xi xi , 2 xi xi xi . xi n 1 i0 n 1 i0 n 1 i0 i 0 i 0 i 0 Для получения конкретного полинома при фиксированном m необходимо найти по этим формулам полиномы j ( x), j 1,2,..., m и определить зна- чения коэффициентов a0 , a1 ,..., am . Доказано, что наиболее вероятные значения коэффициентов равны n n i 0 i 0 a r y i r ( xi ) / [ r ( xi )] 2 , r 0,1,2,..., m. Использование метода ортогональных полиномов не связано с решением систем линейных уравнений и позволяет легко переходить от полинома Pm (x) к полиному Pm1 ( x) при недостаточной точности первого. Для этого необходимо сформировать полином m1 ( x) , определить значение коэффициента am1 и добавить произведение am1 m1 ( x) к многочлену Pm (x) . Поэтому, хотя алгоритм этого метода значительно сложнее алгоритма метода наименьших квадратов, в вычислительной практике чаще применяется метод ортогональных полиномов. Пример. Аппроксимировать зависимость: x0 1; x1 1; x2 3; x3 5; y0 3; y1 2; y2 4; y3 1; Вначале примем m 1 P1 ( x) a0 a1 1 ( x). 3 3 i 0 i 0 a0 yi 0 ( xi ) / [0 ( xi )]2 (3 2 4 1) / 4 0.5; 1 3 1 ( x) x xi x (11 3 5) / 4 x 2; 4 i0 3 3 i 0 i 0 a1 yi 1 ( xi ) / [1( xi )]2 ( 9 2 4 3) / (9 1 1 9) 0.4; P1( x) 0.5 0.4 ( x 2) 0.4 x 0.3; P1( 1) 0.7; P1(1) 0.1; P1(3) 0.9; P1(5) 1.7; 1 (3 2 5 1) 0.75 ; 4 1 y [( 3 0.75)2 ( 2 0.75)2 ( 4 0.75)2 (1 0.75)2 ] 9.667 . 3 1 ост [( 0.7 3)2 ( 0.1 2)2 ( 0.9 5)2 ( 1.7 1)2 ] 12 .9 . 3 1 y F 0.749 < F0.05(3,1) = 8.2. ост y m 2 P2 ( x) 0.5 0.4 ( x 2) a2 2 ( x); - 29 3 3 i 0 3 i 0 2 xi [1 ( xi )] 2 / [1 ( xi )] 2 (9 1 3 45) /(9 11 9) 2; 3 2 xi 1 ( x) 0 ( xi ) / [0 ( xi )] 2 (3 1 3 15) / 4 5; i 0 i 0 2 ( x) ( x 2) 1 ( x) 5 0 ( x) ( x 2) ( x 2) 5 x 2 4 x 1; 3 3 i 0 i 0 a2 y1 2 ( xi ) / [2 ( xi )]2 (12 8 16 4) / (16 16 16 16 ) 0.625; P2 ( x) 0.5 0.4 ( x 2) 0.625 ( x2 4 x 1) 0.625x2 2.9 x 0.325; P2 ( 1) 3.2; P2 (1) 2.6; P2 (3) 3.4; P2 (5) 0.8; 1 [( 3.2 3) 2 ( 2.6 2) 2 ( 3.4 4) 2 (0.8 1) 2 ] 0.8. 3 2 y F 12 .083 > F0.05(3,2) = 8.8, т.е. полином P2(x) достаточно точ ост но аппроксимирует заданную экспериментальную зависимость. ост <== Возврат к содержанию раздела