Гидрогазоаэродинамика

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
(национальный исследовательский университет)»
Кафедра «Аэрокосмические системы» (СМ2)
Домашнее задание № 1
по курсу:
«Гидроаэроупругость конструкций ЛА»
9-ый семестр
Вариант №
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Москва, 2021
Оглавление
Задания ..................................................................................................................................3
1. Математическая формулировка ......................................................................................5
2. Уравнение и граничные условия основной краевой задачи на собственные значения
.........................................................................................................................................................5
3. Уравнение Бесселя и его общее решение ......................................................................6
4. Решение уравнения Бесселя ............................................................................................6
5. Расчет значений цилиндрической функции первого рода действительного
аргумента Jn(x)...............................................................................................................................6
6. Графики функций Jn(x) для пяти порядков n=0, n=1, n=2, n=3, n=4 .........................10
7. Расчет значений функций Бесселя первого и второго рода Jn(x), Yn(x) порядка n=i,
i=0,1,2,3. ........................................................................................................................................11
8. Объяснение причины исключения из общего решения задачи о малых колебаниях
жидкости цилиндрических функций второго рода Yn(x) .......................................................12
9. Нахождение корней уравнений J3(x)=0 и J3’(x)=0 .....................................................12
10. Расчет функции радиальной координаты из потенциала смещений жидкости .....13
11. Графики функции радиальной координаты из потенциала смещений жидкости .13
12. Запись собственных функции краевой задачи для потенциала смещений жидкого
топлива в цилиндрического баке (для n=1) ..............................................................................14
Список литературы ............................................................................................................15
Задания
1. Привести математическую формулировку (уравнение и граничные условия)
гидродинамической задачи о малых колебаниях жидкого топлива в баке ЛА. Для описания
динамики жидкого топлива использовать трехмерную модель идеальной несжимаемой
жидкости с потенциальным течением. Математическую формулировку задачи привести в
двух вариантах для двух систем координат: декартовой прямоугольной и цилиндрической.
2. Привести уравнение и граничные условия основной краевой задачи на собственные
значения для координатной функции из потенциала смещений колеблющегося жидкого
топлива.
3. Записать уравнение Бесселя и его общее решение, общее решение основной
краевой задачи для потенциала смещений жидкости через функции Бесселя
(цилиндрические функции) действительного аргумента первого и второго рода n-ного
порядка.
4. Выполнить расчет значений цилиндрической функции первого рода
действительного аргумента Jn(x) (функции Бесселя) нулевого, первого, второго, третьего и
четвертого порядков (n=0, 1, 2, 3, 4), в заданном диапазоне изменения аргумента x (см.
таблицу). Запись x=-5(0.1)11 в задании следует читать так «x изменяется от минус 5 до плюс
11 с шагом 0.1». Для расчета использовать программу bess1.exe. Результаты расчета
выводятся в файл f.out, исходные данные задаются студентами (свой вариант) в файле f.in.
При вводе исходных данных запрещается применение служебных символов типа «пробел»,
«табулятор» и др., а также разделителей, не предусмотренных в образце (файл f.in).
Использовать для проверки (путем сопоставления) полученных результатов программу
bess2.exe. Перед пуском программы bess2.exe ознакомиться с использованными в
программе аппроксимационными выражениями и областью допустимых значений
аргумента х. Указанные выражения и область значений содержатся в файле Помощь.doc.
5. Используя возможности EXCEL (только EXCEL, а не Mathematica, Maple, Mathcad,
Matlab или др.) по результатам расчета (программа bess1.exe, файл f.out), построить
графики функций Jn(x) для пяти порядков n=0, n=1, n=2, n=3, n=4. Пример оформленного
графика, подготовленного для распечатки и включения в отчет по домашнему заданию,
приводится в разделе Примеры (graf 1.xls).
6. Проанализировать построенные графики цилиндрических функций (характер
изменения функций в районе нулевого значения аргумента, особенности поведения
функций четного и нечетного порядков, оценить производную функций в районе нуля).
Результаты анализа зафиксировать в отчете к домашнему заданию.
7. Выполнить расчет значений функций Бесселя первого и второго рода Jn(x), Yn(x)
порядка 0, 1, 2 и порядка N (где N - номер Вашего варианта домашнего задания). Интервал
изменения значений аргумента x (х>=0.1) подобрать таким, чтобы в его пределах функция
минимум трижды меняла знак. Вычисления производить с использованием программы
bess3.exe. Для расчета функции Jn(x) задать в файле данных type=1, для расчета функции
Yn(x) type=3.
8. По результатам расчетов, используя возможности EXCEL, построить графики
цилиндрических функций первого рода действительного аргумента Jn(x) и цилиндрических
функций второго рода действительного аргумента Yn(x) для трех порядков n=0, n=1, n=2 и
порядка n=N (где N - номер вашего варианта ДЗ). Пример оформленных графиков,
подготовленных для распечатки и включения в отчет по домашнему заданию, приводится
в разделе Примеры (graf 2.xls и graf 3.xls).
9. Объяснить причину исключения из общего решения задачи о малых колебаниях
жидкости цилиндрических функций второго рода Yn(x).
10.Определить три низших корня уравнения Jn(x)=0 и J`n(x)=0 с точностью до трех
значащих цифр (n=N). Для расчета функций Jn(x) при определении корней использовать
программу bess3.exe. Метод определения корней - на Ваше усмотрение (возможно
использование любого из перечисленных вычислительных средств: EXCEL, Maple,
Mathcad, Matlab, Mathematica).
11.Используя возможности электронных таблиц EXCEL рассчитать функцию
радиальной координаты из потенциала смещений жидкости (см. лекции).
R n ,m ( r ) 
J n (k m r)
J n ( k m r0 )
12.Параметр n здесь следует задать равным сначала 1, затем N. Радиус бака принять
R (r )
R (k r )
R (r )
0.1*N м. Построить в EXCEL графики функций n , m
(не n ,m m , а именно n , m
). Пример оформленных графиков, подготовленных для распечатки и включения в отчет по
домашнему заданию, приводится в разделе «Пример» (graf 4.xls и graf 5.xls). Полученные
графики представляют собой формы колебаний свободной поверхности (перемещения
свободной поверхности в направлении продольной оси x как функции радиальной
координаты для заданных значений параметров n и m).
13.Записать собственные функции краевой задачи для потенциала смещений жидкого
топлива в цилиндрического баке (для n=1). Собственные функции, характеризуют форму
свободных колебаний жидкости на поверхности (компонента смещений свободной
поверхности для значения осевой координаты х=0).
14.Отчет по домашнему заданию кроме текстовой части включает пять распечаток
пяти серий графических материалов, выполненных в EXCEL. Примеры оформления
отчетных графических материалов, как указывалось выше, приводятся в разделе
«Примеры» (graf 1xls, graf 2xls, graf 3xls, graf 4xls, graf 5xls).
Диапазон изменения аргумента x=-5(0.2)13
1. Математическая формулировка
Рассмотрим свободные колебания жидкого топлива в баке;для описания динамики используем
трехмерную модель идеальной несжимаемой жидкости с потенциальным течением. Уравнения и
граничные условия гидродинамической задачи о малых колебаниях жидкого топлива в баке ЛА в
декартовых координатах:
  0 – во всем объеме,

 0 – на смоченной поверхности,
n
 2

 g0
 0 – на свободной поверхности,
2
x
t
Переход от декартовой СК к цилиндрической осуществим путем замены переменных
xx
y  r cos 
z  r sin 
  0 – во всем объеме,

 0 - граничное условие на плоском днище
x x  h

r
 0 - граничное условие на боковой поверхности
r r0

   x 0  0 - граничное условие на свободной поверхности.
r
2. Уравнение и граничные условия основной краевой задачи на собственные
значения
Разделяем переменные на временные и координатные, получаем краевую задачу для
координатной функции:
 2  2  2


 0 – во всем объеме,
x 2 y 2 z 2

 0 – на смоченной поверхности,
n

   0 - на свободной поверхности,
r
где ( x, y, z, t )   ( x, y, z )  S (t ) , где φ – координатная функция.
Тогда
краевая
задача
 2  2 1  1  2

 

0
x 2 r 2 r r r 2  2
в
цилиндрических
координатах
имеет
следующий
вид:
Граничные условия:

r
 0 - граничное условие на боковой поверхности
r r0

 0 - на плоском днище
x x h

   0 - на свободной поверхности
r
3. Уравнение Бесселя и его общее решение
Функции Бесселя Jn(x) и Yn(x) являются решениями дифференциального уравнения:
d 2
d
z
 ( z 2   2 )  0 при z  ( x  iy ) .
2
dz
d z
Модифицированные In(x) и Kn(x) функции Бесселя In(x) и Kn(x) являются решениями
дифференциального уравнения:
z2
d 2
d
z
 ( z 2   2 )  0 при z  ( x  iy ) .
2
dz
d z
4. Решение уравнения Бесселя
Разложение в ряды:
z2
 1k z 2 2k
k 0 k!  k  1

J z   
1
z n 1 n  k  1!  z 

Yn  z   2 J n  z  ln  
 
 
2 k 0
k!
2
2 k n
 1k z 2n2k  n  k  1   k  1

k!n  k !

k 0



 2k

z 2
I  z   
k 0 k!  k  1

K n  z    1
n 1
I n  z  ln
z 1 n 1  1 n  k  1!  z 
 
 
2 2 k 0
k!
2
k
2k n

1
 1n  z 2  n  k  1   k  1
2
k  0 k!n  k !
n2k

 z  - логарифмическая производная гамма функции.
5. Расчет значений цилиндрической функции первого рода действительного
аргумента Jn(x)
Выполним расчет значений цилиндрической функции первого рода действительного аргумента
Jn(x) (функции Бесселя) нулевого, первого, второго, третьего и четвертого порядков (n=0, 1, 2, 3, 4), в
заданном диапазоне изменения аргумента x.
Функции Бесселя J0(x), Y0(x), J1(x) и Y1(x)
Для 0  x  3 вычисления J0(x) и Y0(x) по аппроксимациям:
J 0 ( x)  1  a1 ( x / 3) 2  a 2 ( x / 3) 4  a3 ( x / 3) 6  a 4 ( x / 3) 8  a5 ( x / 3)10  a 6 ( x / 3)12 ;
x
J 0 ( x)  b0  b1 ( x / 3) 2  b2 ( x / 3) 4  b3 ( x / 3) 6  b4 ( x / 3) 8 
 2
 b5 ( x / 3)10  b6 ( x / 3)12 ;
Y0 ( x) 
2
ln
Погрешность вычислений для J0(x) до 510-8 и для Y0(x) до 1.410-8.
Значения коэффициентов ai и bi из таблицы:
ai
bi
i=0
----------
0.36746691
i=1
2.2499997
0.60559366
i=2
1.2656208
0.74350384
i=3
0.3163866
0.25300117
i=4
0.0444479
0.04261214
i=5
0.0039444
0.00427916
i=6
0.00021
0.00024846
Для 0  x  3 вычисления функций J1(x) и Y1(x) по аппроксимациям:
1
x 1 J 1 ( x)   a1 ( x / 3) 2  a 2 ( x / 3) 4  a3 ( x / 3) 6  a 4 ( x / 3) 8  a5 ( x / 3)10  a6 ( x / 3)12 ;
2
2
x
xY1 ( x)  x ln( ) J 1 ( x)  b0  b1 ( x / 3) 2  b2 ( x / 3) 4  b3 ( x / 3) 6  b4 ( x / 3) 8 

2
10
 b5 ( x / 3)  b6 ( x / 3)12 ;
Погрешность вычислений для J1(x) менее 1.310 -8 и для Y1(x) менее 1.110 -8.
Значения коэффициентов ai и bi из таблицы:
ai
bi
i=0
----------
0.6366198
i=1
0.56249985
0.2212091
i=2
0.21093573
2.1682709
i=3
0.03954289
1.3164827
i=4
0.000443319
0.3123951
i=5
0.00031761
0.0400976
i=6
0.00001109
0.0027873
При x  3 функции J0(x) и Y0(x) вычисляются по аппроксимациям:
J 0 ( x)  x 1 / 2 f 0 cos 0 ;
Y0 ( x)  x 1 / 2 f 0 sin  0 ;
функции J1(x) и Y1(x) вычисляются по аппроксимациям:
J 1 ( x)  x 1 / 2 f1 cos1 ;
Y1 ( x)  x 1 / 2 f1 sin 1 ;
Где: f 0  [a0  a1 (3 / x)  a 2 (3 / x) 2  a3 (3 / x) 3  a 4 (3 / x) 4  a5 (3 / x) 5  a6 (3 / x) 6 ] / 10 8 ; вычисляется с
погрешностью менее 1.610 -8 и
 0  x  [b0  b1 (3 / x)  b2 (3 / x) 2  b3 (3 / x) 3  b4 (3 / x) 4  b5 (3 / x) 5  b6 (3 / x) 6 ] / 10 8 ; вычисляется с
погрешностью менее 710 -8.
f1  [a0  a1 (3 / x)  a 2 (3 / x) 2  a3 (3 / x) 3  a 4 (3 / x) 4  a5 (3 / x) 5  a6 (3 / x) 6 ] / 10 8 ;
вычисляется
с
погрешностью менее 1.610 и
 1  x  [b0  b1 (3 / x)  b2 (3 / x) 2  b3 (3 / x) 3  b4 (3 / x) 4  b5 (3 / x) 5  b6 (3 / x) 6 ] / 10 8 ; вычисляется с
-8
погрешностью менее 710 -8.
Значения коэффициентов ai и bi из таблицы:
J0(x), Y0(x)
J1(x), Y1(x)
ai
bi
ai
bi
i=0
79788456
-78539816
79788456
-235619450
i=1
-77
-4166397
156
12499612
i=2
-552740
-3954
1659667
5650
i=3
-9512
262573
17105
-637879
i=4
137237
-54125
-249511
74348
i=5
-72805
-29333
113653
79824
i=6
14467
13558
-20033
-29166
Модифицированные функции Бесселя I0(x), K0(x), I1(x) и K1(x)
Для 0  x  3.75 вычисления I0(x) и I1(x) по аппроксимациям:
I 0 ( x)  1  a1t 2  a 2 t 4  a3 t 6  a 4 t 8  a5 t 10  a 6 t 12 ;
1
 b1t 2  b2 t 4  b3t 6  b4 t 8  b5 t 10  b6 t 12 ;
2
где t=x/3.75
Погрешность вычислений для I0(x) и I1(x) до 810-9.
Значения коэффициентов ai и bi из таблицы:
ai
x 1 I 1 ( x) 
bi
i=1
3.5156229
0.87890594
i=2
3.0899424
0.514988869
i=3
1.2067492
0.15084934
i=4
0.2659732
0.02658733
i=5
0.0360768
0.00301532
i=6
0.0045813
0.00032411
При x  3.75 функции I0(x) и I1(x) вычисляются по аппроксимациям
a
a
a
a
a
a a
a
x 0.5 e  x I 0;1 ( x)  a0  1  22  33  44  55  66  77  88 ,
t t
t
t
t
t
t
t
где t  x 3.75
Погрешность вычислений для I0(x) до 1.610-7 для I1(x) – 2.210-7
Значения коэффициентов ai из таблицы:
I0(x)
I1(x)
i=0
i=1
0.39894228
0.01328592
0.39894228
-0.03988024
i=2
0.00225319
-0.00362018
i=3
-0.00157565
0.00163801
i=4
0.00916281
-0.01031555
i=5
-0.02057706
0.02282967
i=6
0.02635537
-0.02895312
i=7
-0.01647633
0.01787654
i=8
0.00392377
-0.00420059
Для 0  x  2 вычисления функций K0(x) и K1(x) по аппроксимациям:
x
K 0 ( x)   ln I 0 ( x)  a0  a1 ( x / 2) 2  a 2 ( x / 2) 4  a3 ( x / 2) 6  a 4 ( x / 2) 8 
2
10
 a5 ( x / 2)  a6 ( x / 2)12 ;
x
xK1 ( x)  x ln( ) I 1 ( x)  1  b1 ( x / 2) 2  b2 ( x / 2) 4  b3 ( x / 2) 6  b4 ( x / 2) 8 
2
10
 b5 ( x / 2)  b6 ( x / 2)12 ;
Погрешность вычислений для K0(x) и K1(x) до 810-9
Значения коэффициентов ai из таблицы:
ai
bi
i=0
i=1
i=2
0.57721566
0.42278420
0.23069756
---------0.15443144
-0.67278579
i=3
0.03488590
-0.18156897
i=4
0.00262698
-0.01919402
i=5
0.00010750
-0.00110404
i=6
0.00000740
-0.00004686
При x  2 функции K0(x) и K1(x) вычисляются по аппроксимациям
2
3
4
5
6
2
2
2
2
2
2
x e K 0;1 ( x)  a 0  a1    a 2    a3    a 4    a5    a 6   ,
 x
 x
 x
 x
 x
 x
Погрешность вычислений для K0(x) до 810-9 для K1(x) до 2.210-7
Значения коэффициентов ai из таблицы:
K0(x)
K1(x)
x
i=0
1.2533141
1.2533141
i=1
-0.07832358
0.23498619
i=2
0.02189568
-0.03655620
i=3
-0.01062446
0.01504268
i=4
0.0058872
-0.00780353
i=5
i=6
-0.00251540
0.00053208
0.00325614
-0.00068245
6. Графики функций Jn(x) для пяти порядков n=0, n=1, n=2, n=3, n=4
ДЗ 1 ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ (ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ) ПЕРВОГО РОДА JN(X)
СТУДЕНТ ДЮБАНОВ А.Г. ГРУППА АК1 -91 ВАРИАНТ 3
1,20E+00
1,00E+00
8,00E-01
6,00E-01
J0(x)
4,00E-01
J1(x)
2,00E-01
J2(x)
J3(x)
0,00E+00
-2,00E-01
-5
-4,4
-3,8
-3,2
-2,6
-2
-1,4
-0,8
-0,2
0,4
1
1,6
2,2
2,8
3,4
4
4,6
5,2
5,8
6,4
7
7,6
8,2
8,8
9,4
10
10,6
11,2
11,8
12,4
13
0.5
-4,00E-01
-6,00E-01
-8,00E-01
Рисунок 1 Цилиндрические функции первого рода Jn(x)
J4(x)
Анализ
1.Все функции Бесселя кроме нулевой имеют в районе нулевого значения аргумента равные к
нулю значения;
2.Четные функции Бесселя первого рода являются четными функциями (симметричны
относительно оси Y), а нечетные функции – нечетными функциями (кососимметричны
относительно оси Y);
3.Производная в районе нуля по мере увеличения порядка Бесселевой функции первого рода
уменьшается;
4.Для всех функций по мере удаления от нуля начинают затухать.
7. Расчет значений функций Бесселя первого и второго рода Jn(x), Yn(x)
порядка n=i, i=0,1,2,3.
8. Объяснение причины исключения из общего решения задачи о малых
колебаниях жидкости цилиндрических функций второго рода Yn(x)
Цилиндрические функции второго рода Yn(х) в нуле обращаются в бесконечность, что не имеет
физического смысла, так как решение должно быть ограничено. Поэтому цилиндрические функции
второго рода в решении задачи о колебаниях жидкости в баке не рассматриваются.
9. Нахождение корней уравнений J3(x)=0 и J3’(x)=0
Три низших корня уравнений J3(x)=0 и J3’(x)=0 определены в среде Mathcad Prime при помощи
функции root. Для этого используем встроенную функцию Бесселя 3 порядка и вычислим производную
от нее. Ниже приведены графики, построенные в Mathcad Prime:
Корни функции Бесселя первого рода 3-го порядка и ее производной:
J3(X)
1
6.38
2
9.761
3
13.015
J’3(X)
4.201
8.015
11.346
10. Расчет функции радиальной координаты из потенциала смещений жидкости
Функция радиальной координаты из потенциала смещений жидкости имеет вид:
J (k r )
Rn , m (r )  n m
J n (km r0 ) ,
где J(v) –функция Бесселя первого рода, k= z /r0, ζ – корень уравнения J’(v).
11. Графики функции радиальной координаты из потенциала смещений
жидкости
Для расчета потребуются три низших корня уравнения J1’(x)=0 и J3’(x)=0. Корни второго
уравнения возьмем из пункта 10, а корни первого посчитаем в Mathcad Prime аналогичным методом.
J’1(X)
J’3(X)
1
1,841183783
4.201
2
5,331442776
8.015
3
8,536316364
11.346
Для J’1(X)
ДЗ 1 ФУНКЦИИ РАДИАЛЬНОЙ КООРДИНАТЫ R ИЗ ПОТЕНЦИАЛА СМЕЩЕНИЯ
ЖИДКОСТИ
СТУДЕНТ ДЮБАНОВ А.Г. ГРУППА АК1-91 ВАРИАНТ 3
8,00E-01
6,00E-01
4,00E-01
2,00E-01
-2,00E-01
-4,00E-01
J1() n=1,m=1
J1() n=1,m=2
J1() n=1,m=3
0,3
0,29
0,28
0,27
0,26
0,25
0,24
0,23
0,22
0,21
0,2
0,19
0,18
0,17
0,16
0,15
0,14
0,13
0,12
0,11
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00E+00
Для J’3(X)
ДЗ 1 ФУНКЦИИ РАДИАЛЬНОЙ КООРДИНАТЫ R ИЗ ПОТЕНЦИАЛА СМЕЩЕНИЯ
ЖИДКОСТИ
СТУДЕНТ ДЮБАНОВ А.Г. ГРУППА АК1-91 ВАРИАНТ 3
5,00E-01
4,00E-01
3,00E-01
2,00E-01
1,00E-01
0,3
0,29
0,28
0,27
0,26
0,25
0,24
0,23
0,22
0,21
0,2
0,19
0,18
0,17
0,16
0,15
0,14
0,13
0,12
0,11
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
-1,00E-01
0,01
0,00E+00
-2,00E-01
-3,00E-01
-4,00E-01
J3() n=3,m=1
J3() n=3,m=2
J3() n=3,m=3
12. Запись собственных функции краевой задачи для потенциала смещений
жидкого топлива в цилиндрического баке (для n=1)
Собственные функции, характеризуют форму свободных колебаний жидкости на
поверхности (компонента смещений свободной поверхности для значения осевой
координаты х=0).
Собственные функции краевой задачи для n=1 определяются следующим образом:
h
r
ch(1, m  ) J1 (1, m  )
r
r0
r0
1, m  0 

 sin 
1, m sh(  h ) J1 (1, m )
1, m
r0
,
где θ – угловая, r – радиальная координата цилиндрической системы координат, h – высота
столба жидкости, J1 – функция Бесселя первого порядка первого рода.
Список литературы
1. Лекции по курсу «Взаимодействие упругой конструкции летательного аппарата с
жидкостью и газом». Фрагмент лекции с материалами, относящимися к ДЗ 1.
2. Теоретическая часть к домашнему заданию № 1. См в Разделе «Помощь».
3. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.:
Москва, 1976. - 576 c