Лекция 2. О развитии арифметики в трудах восточных и западных ученых-математиков. Основные дидактические принципы методики формирования математических представлений у детей дошкольного возраста. План: 1.Первые сведения о развитии арифметики содержатся в трудах Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми, Омара Хайяма, Насриддина Туси, Джамшида Гиясиддина Аль-каши, Улугбека 2.Вопросы развития математических представлений в психологопедагогической литературе 3.Содержание и сущность концепции дошкольного образования содержание и сущность программы «Первый шаг» Ключевые понятия: психология, педагогика, концепция, математическое представление Аль-Хорезми (полное имя - Абу Абдулла Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми) математик, астроном и географ IX века. Имя Ал-Хорезми указывает на его родину - государство Хорезм, а одно из прозвищ учёного - Ал-Маджуси говорит о его происхождении из зороастрийских жрецов - магов (по-арабски «маджус»). Полное имя ал-Хорезми - Абу Абдаллах (или Абу Джафар) Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми. В переводе с арабского языка это означает: отец Абдаллаха (или отец Джафара), Мухаммад, сын Мусы из Хорезма. Иногда - в соответствии с арабским написанием - его называют Ал-Хуваризми. Биографических сведений об Ал-Хорезми история почти не сохранила. До нас не дошли даже точные даты его рождения и смерти. Известно лишь, что он родился в конце восьмого века, а умер во второй половине девятого, точнее после 847 г. Сейчас условно принято считать годом его рождения 783 г., а годом смерти 850 г. В некоторых исторических источниках Ал-Хорезми назван «Ал-Маджуси», т. е. маг. Из этого заключают, что его предки были магами - жрецами зороастрийской религии, распространенной на территории Средней Азии. Ал-Хорезми принадлежал к тем среднеазиатским ученым, которые были привлечены для работы в столицу арабского халифата Багдад. Таких ученых было немало. Среди современников ал-Хорезми, живших в Багдаде, можно назвать, например, знаменитых астрономов Абу-Ал-Аббаса Ахмада АлФаргани и Ахмада ибн Абдаллаха Ал-Марвази, известного под именем Хабаш Ал-Хасиб. Первый из них происходил из Ферганы, другой - из Мерва. Багдад был основан в 60-х гг. VIII в. халифом Ал-Мансуром из династии Аббасидов, правившим с 754 по 775 г. Новая столица государства, занимавшего в то время огромную территорию, быстро стала важным центром торговли, науки и культуры. Управлять огромным государством было нелегко. Правители халифата поняли, что их экономические и военные планы нельзя воплотить в жизнь, если не будут освоены те знания, которыми владели покоренные народы. Поэтому повелители всемерно содействовали развитию науки. В Багдаде возникла крупная научная школа, которая привлекала к себе выдающихся ученых из разных стран. Была создана библиотека, пополнявшаяся ценными научными трудами. Особое внимание в это время проявлялось к достижениям древнегреческой и эллинистической науки. Сочинения классиков античности собирались и переводились на арабский язык. Для покупки рукописей снаряжались специальные экспедиции. Особый интерес вызывали точные науки - математика, астрономия, геодезия, математическая география. Были пере¬ведены «Начала» Евклида, «Альмагест» Птолемея, «Сферика» Менелая и др. Изучались также и индийские астрономические сочинения. Однако багдадские ученые VIII - IX вв. были не только переводчиками и комментаторами. Они занимались также самостоятельными исследованиями и достигли замечательных результатов в разных областях знания. Преемники халифа Ал-Мансура продолжали оказывать науке покровительство. Его внук Харун Ар-Рашид, который правил с 786 по 809 г., известен (правда, в очень идеализированном виде) по сказкам «Тысячи и одной ночи». Наибольшего расцвета наука в Багдаде достигла при сыне Харуна Ар-Рашида - халифе Ал-Мамуне, правившем с 813 по 833 г. При нем был основан «Дом мудрости» (байт ал-хикма) - учреждение, выполнявшее функции Академии наук. При «Доме мудрости» находилась богатая библиотека старинных рукописей и астрономическая обсерватория. В Багдаде, в числе других ученых этой академии, работал долгие годы АлХорезми. Известный историк X в. Ан-Надим сообщает, что Мухаммад ибн Муса, уроженец Хорезма, был привлечен в «Дом мудрости» халифа АлМамуна. До 813 г. Ал-Мамун был наместником восточных провинций и жил в Мерве. Не исключено, что здесь он и встретился с Ал-Хорезми, а впоследствии пригласил его в Багдад. В одном из своих сочинений Ал-Хорезми с похвалой отозвался об Ал-Мамуне. Он отмечал его: «любовь к науке и стремление приближать к себе ученых, простирая над ними крыло своего покровительства и помогая им в разъяснении того, что для них неясно, и в облегчении того, что для них затруднительно». Неизвестно, насколько активным было в действительности личное участие Ал-Мамуна в научной работе, но не вызывает сомнения, что ученые, работавшие при «Доме мудрости», внесли огромный вклад в математику, астрономию и другие науки. Они провели, например, измерение длины градуса меридиана для того, чтобы уточнить величину окружности Земли, найденную в древности. Было найдено значение дуги 1°, близкое к истинному (111 км). Историки считают, что в этой работе принимал участие и АлХорезми. О багдадском периоде его жизни подробных сведений тоже не сохранилось. Имеются сообщения о том, что он совершил два путешествия: одно - в страну хазар, а другое - в Византию. Однако трудно утверждать, что эти сведения достоверны. Наиболее поздняя дата, связанная с именем Ал-Хорезми,- 847 г. В этом году умер халиф Ал-Васик, и Ал-Хорезми упоминается среди лиц, присутствовавших при его кончине. Таким образом, мы видим, что фактов из жизни великого среднеазиатского ученого сохранилось очень мало. Поэтому историки науки должны основываться главным образом на исследовании его трудов. Многообразные научные интересы Ал-Хорезми касались математики, теоретической и практической астрономии, географии и истории. Не все труды, написанные Ал-Хорезми, сохранились. Некоторые из них, упомянутые средневековыми писателями, впоследствии были утеряны. Им было написано первое руководство по арифметике, основанное на позиционном принципе. Кроме того, сохранились его трактаты об алгебре и о календаре. Мухаммед написал знаменитую книгу «Китаб аль-джебр вальмукабала» - «Книга о восстановлении и противопоставлении» (посвящена решению линейных и квадратных уравнений), от названия которой произошло слово «алгебра». Трактат по алгебре также включает главу по геометрии, тригонометрические таблицы и таблицы широт и долгот городов. Руководство ал-Хорезми сыграло очень большую роль в развитии арифметики. Имя автора в латинизированной форме Algorismus и Algorithmus стало обозначать в средневековой Европе всю систему десятичной арифметики. Впоследствии слово «алгоритм» стало обозначать всякий регулярный процесс, за конечное число шагов дающий решение определённого класса задач. Географический трактат Ал-Хорезми «Книга картины Земли» является первым известным трудом по географии на арабском языке. Он оказал сильное влияние на дальнейшее развитие этой науки в странах Востока. Я составил краткую книгу об исчислении алгебры и алмукабалы, заключающую в себе простые и сложные вопросы арифметики, ибо это необходимо людям Аль-Хорезми В период Раннего Средневековья Средняя Азия становится мировым центром наук, подарившим миру многочисленных учёных. К числу знаменитых учёных того времени принадлежит аль-Хорезми Мухаммед бен Муса (полное имя Абу Абдуллах Мухаммед ибн Муса́ альХорезми). Сведений о жизни аль-Хорезми, к сожалению, сохранилось очень мало. Известно, что родился он на территории нынешнего Узбекистана в Хорезме (нынешней Хиве) около 800 года н. э. Значительную часть своей жизни Хорезми Мухаммед бен Муса провёл при дворе багдадского калифа аль-Мамуна, большого покровителя наук. Он возглавлял в Багдаде библиотеку Дома мудрости, своего рода Багдадской академии. В мировой науке Мухаммед бен Муса известен своим трактатом по математике «О числах и действиях с ними». В этом сочинении впервые дано систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной позиционной системе исчисления. И хотя подлинный арабский текст утерян, благодаря переводу его в XII веке с арабского на латинский язык европейские учёные впервые познакомились с индийско-арабским способом счёта. С этого времени «арабские » цифры навсегда вошли в европейскую и мировую математику. Второй трактат бен Муса – учебник математики, выпущенный им под заглавием «Китаб аль-джебр валь мукабала» около 830 года, посвящён в основном решению уравнений первой и второй степени. Бен Муса подчёркивал, что написал свою книгу, чтобы помочь людям решать их проблемы в повседневной жизни. Он рассматривал такие важные для того времени вопросы, как деление наследства, купеческие счета, судебные дела, торговые сделки и т.д. Учёный дал классификацию числовых линейных и квадратных уравнений и метод их решения. Метод, которым пользуется Мухаммед бен Муса, заключается в двух операциях. Первая операция, которую он называет «аль-джебр», то есть восстановление, состоит в устранении из уравнения отрицательных величин путём добавления по обеим сторонам уравнения выражений, противоположных данным отрицательным величинам. Вторая операция носит название «валь-мукабала», то есть противопоставление. По сути, действия аль-джебр и алмукабала – это применяющийся ныне перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую и приведение подобных членов. Эти две операции позволили аль-Хорезми приводить всякое алгебраическое уравнение первой и второй степени к шести каноническим формам. Эти уравнения записывались им словесно, решение этих уравнений альХорезми также выражал в виде словесных правил. Если греки решали квадратные уравнения чисто геометрическим путём, то метод аль-Хорезми – почти алгебраический. Он может решить любое квадратное уравнение по его общему правилу (найти положительные корни), а чертежом пользуется лишь для пояснения справедливости своего риторического решения. И это колоссальный шаг вперёд по сравнению с геометрической алгеброй греков. Если перевести на наш современный математический язык описательные методы решения шести видов линейных и квадратных уравнений, данные альХорезми, то получим известные формулы, по которым можно найти корни уравнений. Имя Хорезми, в его латинизированной форме Ал-хорезми, увековечено в повсеместно известном математическом термине алгоритм. Алгоритм – это несколько изменённая форма имени Алхорезми, под влиянием греческого слова «аритмос» – число. С именем Хорезми бен Мусы связано и другое важнейшее математическое понятие – алгебра. Алгебра – это латинизированное название операции «альджебр», применявшейся Хорезми Мухаммедом бен Мусой при решении уравнений. В своих математических трудах Хорезми бен Муса дал начало новому разделу математики – алгебре. Научное наследие Хорезми оказало большое влияние на развитие математики и других наук и прочно вошло в сокровищницу человеческой культуры. Большую важность для астрономии того времени представляла его книга об астролябии (приборе для определения широты). Составленный им сборник астрономических и тригонометрических таблиц был переведён на китайский и европейские языки. Немалый вклад аль-Хорезми внёс и в географию. Он считается автором первого сочинения по математической географии. Он впервые на арабском языке описал известную к тому времени обитаемую часть Земли, дал карту с координатами важнейших населённых пунктов, с морями и океанами, горами и реками. Причём его Книга картины Земли – не просто перевод сочинений предшественников, а оригинальный труд, содержащий много новых данных. Он организовал научные экспедиции в Византию, Хазарию, Афганистан. Под его руководством была вычислена длина одного градуса земного меридиана. Одному из виднейших сотрудников Улугбека Гияс-ад-дин Джемшиду принадлежит ряд работ: 1. «Усовершенствованные Ильханские таблицы Хакана». В их основе – Мерагские таблицы Насир-ад-дина Туси. Они исправлены и дополнены Джемшидом. Написана работа на таджикском языке. Хакан – султан. 2. «Трактат об окружности». На арабском языке. Определение π. 3. «Лестница небес» - на арабском языке. Проблемы измерения небесных тел. 4. «Услада прекрасных садов». Описание изобретенного для обсерватории Улугбека астрономического инструмента. 5. «Ключ к арифметике». 6. «Трактат о хордах и синусах». Предполагается, что Гияс-ад-дин Джемшид умер в 30-х годах XV века. Заслуживают внимания работы сотрудника обсерватории Улугбека Салах-ад-дина Муса бин-Мухаммед Казы-Задэ. 1. «Трактат по арифметике». На арабском языке. 2. Комментарии к «сущности астрономии» Махмуда бинМухаммада бин-Омара ал-Чагмини. та работа служила настольной книгой студентов-астрономов. Экземпляр этого сочинения на арабском языке имеется в институте по изучению восточных рукописей АН УзССР (№ 2655). 3. Комментарии к «Основам фигур» Шамсутдина Самарканди. 4. «Трактат о синусе». 5. Комментарии к «Ключу к наукам» ат-Тафтазани. Казы-Задэ умер вскоре после Гияс-ад-дина Джемшида, также не дожив до окончания работы по составлению астрономических таблиц (т. е. до 1437 г.). Следующим талантливым представителем рассматриваемой школы является Али-Кушчи, ученик Улугбека. Ему приписывают работы: 1. «Трактат по арифметике» на таджикском языке, посвященный индусской математике и вопросам астрономии (№ 3356). 2. «Трактат по астрономии» (№ 3356). 3. «Трактат о решении лунообразной фигуры». 4. «Трактат Мухаммедия» по арифметике и алгебре. После трагической смерти Улугбека Али-Кушчи переселился в Стамбул, где последний трактат был переведен с таджикского на арабский язык и преподнесен султану Мухаммеду II, откуда и название. 5. «Фатхия» - трактат по астрономии на арабском языке. 6. «Комментарии к таблицам Улугбека», или иначе «Таблицам Гурагони». Этот труд, повидимому, не сохранился. Али-Кушчи умер в 1474 г. в Стамбуле. Замечательным представителем школы Улугбека был внук Казы-Задэ – Махмуд бин-Мухаммед (Мерием Челеби). Му’ин-ад-дин и его сын Мансур Каши. Ученик последнего Абд-ал-Али бин-Мухаммед бин-Хусейн Бирджанди: «Комментарии к Гурагонским таблицам», т. е. к таблицам Улугбека. Эта работа прекрасно сохранилась, на таджикском языке со множеством чертежей, датирована 929 годом хиджры3) (1522 г.) (№ 704). Вопросы практической астрономии. Наклонение эклиптики получается как полуразность полуденных высот Слнца во времена летнего и зимнего солнцестояний. Улугбек дает значение ε = 23о30/17//. Вторым склонением Улугбек называет широту точек экватора. Лапласом было открыто, что от притяжения Луны и планет наклонение эклиптики может изменяться в пределах от 21о.5 до 27о.5. Факт непрерывного уменьшения наклонения эклиптики примерно на 0//.5 в год был известен астрономам Востока. Основной инструмент обсерватории Улугбека предназначался для определения «постоянных» астрономии: наклонения эклиптики, точки весеннего равноденствия, длины звездного года и других величин, выводимых из наблюдений Солнца, планет, Луны. Огромные размеры секстанта (или квадранта), удачная конструкция, высокое мастерство обеспечили высокую точность наблюдений. Первый по времени каталог звезд был составлен Гиппархом; содержит положение 1022 звезд и помещен в Птолемеевом «Альмагесте». Предположительно, явление прецессии было открыто еще вавилонскими астрономами, однако, подтверждено было благодаря именно каталогу Гиппарха. Составляя свой каталог, он сравнивал свои наблюдения с результатами, полученными Аристиллом и Тимохарисом за 150 лет до него. Оказалось, что все долготы звезд увеличились, широты же остались неизменными; им было установлено, что в течение года точка весеннего равноденствия на 36// перемещается по эклиптике к западу. По существу, после Гиппарха, вторым астрономом, составившим фундаментальных каталог звезд, был Улугбек. Его каталог основан на положениях звезд, определенных в Самаркандской обсерватории. Звездный каталог Улугбека содержит 1018 звезд; наблюдались примерно 900 (долготы) и примерно 878 (широты). Таким образом, только у примерно 700 звезд определены оба элемента по собственным наблюдениям. 2. Математика — это фундаментальная наука, методы которой, активно применяются во многих естественных дисциплинах, таких как физика, химия и даже биология. Сама по себе, эта область знаний оперирует абстрактными отношениями и взаимосвязями, то есть такими сущностями, которые сами по себе не являются чем-то вещественным. В дошкольном возрасте закладываются основы знаний, необходимых ребенку в школе. Математика представляет собой сложную науку, которая может вызвать определенные трудности во время школьного обучения. На сегодня задача формирования развития познавательной деятельности, в том числе и математической, рассматривается в дошкольной педагогике как некое условие развития личности ребенка. Экспериментальные исследования в области дошкольной педагогики, проводимые Н.Г. Белоус, Л.Н. Вахрушевой, Н.С. Денисенковой, Л.Ф. Захаревич, Т.А. Куликовой, Л.М. Маневцовой, Н.К. Постниковой, П.Г. Сирбиладзе и др., показывают, что уже на ступени старшего дошкольного возраста, у детей возможно сформировать достаточно устойчивый познавательный интерес. Содержание обучения математическим представлениям и понятиям формирует характерные для познавательного интереса операции мышления (сравнение, анализ, обобщение, классификация, сериация) и мыслительные процессы (рассуждение, умозаключение, суждение). Обучение математике в дошкольном возрасте способствует воспитанию у детей привычки полноценно, логично аргументировать происходящее в окружающем мире. Овладевая математическими знаниями, дети сравнивают, сопоставляют, делают выводы, познают математические связи и отношения. Усвоение математического содержания способствует развитию четкости, точности и логичности мысли, умения пользоваться символикой, раскрывать связи и отношения, обобщать и интерпретировать наблюдаемое. Понятие «математическое развитие дошкольников» является довольно сложным, комплексным и многоаспектным. Оно состоит из взаимосвязанных и взаимообусловленных представлений о пространстве, форме, величине, времени, количестве, их свойствах и отношениях, которые необходимы для формирования у ребенка «житейских» и «научных» понятий. В процессе усвоения элементарных математических представлений дошкольник вступает в специфические социально-психологические отношения со временем и пространством (как физическим, так и социальным); у него формируются представления об относительности, транзитивности, дискретности и непрерывности величины и т. п. Эти представления могут рассматриваться в качестве особого «ключа» не только к овладению свойственными возрасту видами деятельности, к проникновению в смысл окружающей действительности, но и к формированию целостной «картины мира». Е.И. Щербакова среди задач по формированию элементарных математических знаний и последующего математического развития детей выделяет главные, а именно: — приобретение знаний о множестве, числе, величине, форме, пространстве и времени как основах математического развития; — формирование широкой начальной ориентации в количественных, пространственных и временных отношениях окружающей действительности; — формирование навыков и умений в счете, вычислениях, измерении, моделировании, обще учебных умений; — овладение математической терминологией; — развитие познавательных интересов и способностей, логического мышления, общее интеллектуальное развитие ребенка. Разработка психолого-педагогических вопросов методики формирования начальных математических представлений у детей дошкольного возраста строится на основе методологических позиций психологии и педагогики. Проблема формирования элементарных математических представлений у дошкольников исследуется в трудах А.В. Белошистой, Ф. Н. Блехер, Л. В. Глаголевой, В.В. Даниловой, Я.А. Каменский, А.М. Леушиной, Л.С. Метлиной, Р.Л. Непомнящей, И.Г. Песталоцци, Т.Д. Рихтерман, А.А. Столяра, Г.В. Тарунтаевой, Е. И. Тихеевой, М. Фидлер, Л. К. Шлегер и многих других. Первая методическая концепция разрабатывается Ф. Н. Блехер, Л. В. Глаголевой, Е. И. Тихеевой, Л.К. Шлегер. Суть ее заключается в следующем: усвоение математических представлений ребенком осуществляется в процессе жизни и разнообразной деятельности. Играя, работая, живя, дети сами черпают необходимые им для развития знания из окружающего мира. Педагог должен лишь создавать условия, пользоваться каждым удобным случаем для совершенствования количественных представлений у детей. Игра рассматривается авторами как метод обучения и средство развития интересов детей, активности, находчивости и сообразительности, приучения их к наблюдательности, развития памяти, разумной критики и осознания своих ошибок. Разработки по конкретным направлениям и практическое руководство деятельностью детского сада в области обучения детей счету оказали значительное влияние как на становление методики как таковой, так и на уровень подготовки детей детского сада к обучению в школе Значительное влияние на процесс формирования у дошкольников представлений о числе и счетной деятельности показывают труды К. Ф. Лебединцева. Он, рассматривая развитие числовых представлений у детей в раннем детстве, приходит к выводу, что первые представления о числах в пределах пяти возникают у детей на основе различения групп предметов, восприятия множеств. А далее, за пределами этих небольших совокупностей, основная роль в формировании понятия числа принадлежит счету, который вытесняет восприятие множеств. Вопросы развития представлений о множестве предметов у детей, закономерности перехода от восприятия множеств к числу исследуются психологоми И. А. Френкелем и математиком-методистом Л. А. Яблоковым. Ими обосновывается положение о том, что необходимо формировать у детей умения распознавать отдельные элементы множества, а затем переходить к обобщениям о зависимости восприятия множества от способа пространственного расположения его элементов, об усвоении детьми числительных и ступенях овладения счетными операциями. Н. А. Менчинская наиболее полно рассмотривает вопросы обучения малышей арифметике. Она прослеживает процесс формирования понятия о числе от младшего возраста до начала школьного обучения. На большом экспериментальном материале изучает соотношение восприятия множеств (групп предметов) и счета на различных этапах овладения числом, дает психологический анализ процесса решения детьми арифметических задач. С. Пигулевская в пособии «Счет в детском саду» раскрывает опыт обучения детей счету на материале содержания занятий, приемов обучения, проведения игр и использования некоторых дидактических средств. Содержание обучения заключается в последовательном изучении каждого из чисел первого десятка в отдельности. Дети образовывают числа путем последовательного присоединения к одному предмету другого, затем — третьего и т. д. Одновременно с рассмотрением состава числа дети изучают счет. Ф. А. Михайлова и Н. Г. Бакст рекомендуют до обучения счету сформировать у детей представление о множестве, в дальнейшем изучение состава чисел из единиц и двух меньших чисел, отношений между смежными числами рассматривать как предпосылка усвоения действий сложения и вычитания. Наряду с показом образования чисел путем прибавления к числу единицы авторы раскрывают приемы обучения детей сравнению чисел путем сопоставления двух групп предметов, раскладывая их один под другим. Обучение детей образованию чисел, сравнению их осуществлялось параллельно с усвоением способов решения простых арифметических задач, счета в обратном порядке, счета и отсчета группами, по два, по три. А.М. Леушина разрабатывает основы дидактической системы формирования элементарных математических представлений, создает программу, содержание, методы и приемы работы с детьми 3-, 4-, 5- и 6-летнего возраста. Основные положения теоретической и методической концепции А.М. Леушиной таковы: Полноценное математическое развитие обеспечивает лишь целенаправленная деятельность на занятии, в ходе которой взрослый продуманно ставит перед детьми познавательные задачи, показывает адекватные пути и способы их решения. В процессе обучения на занятиях реализуются основные программные требования, математические представления формируются в определенной системе. - Повседневная жизнь, окружающая реальная действительность, которую ребенок познает в процессе своей разнообразной деятельности в общении с взрослыми и под их обучающим воздействием является источником элементарных математических представлений. В разнообразных видах детской деятельности возникают благоприятные условия для уточнения, закрепления и лишь в отдельных случаях для появления у ребенка новых представлений. Это возможно потому, что он в своей деятельности не пассивно воспринимает вещи с их свойствами, отношениями, а активно воздействует, преобразует, распоряжается ими во времени и пространстве. Формирование количественных представлений как целенаправленный процесс строится с учетом тех представлений, которые складываются в повседневной жизни и деятельности, в стихийном опыте детей. В истории педагогики достаточно широкое применение находит система математического развития детей М. Монтессори. Суть ее в том, что когда трехлетние дети приходят в школу, они уже умеют считать до двух или трех. Потом они легко научаются нумерации. Одним из способов обучения нумерации М. Монтессори использовала монеты. По ее мнению размен денег представляет первую форму нумерации, довольно интересную для возбуждения живого внимания ребенка. Далее она рекомендует обучать с помощью методических упражнений, применяя, как дидактический материал одну из систем, уже использованную в воспитании чувств, то есть серию из десяти брусков различной длины. Специфические особенности восприятия и ознакомления дошкольников с временем и пространством как объективной реальностью, изучаются А.М. Леушиной, С.Д. Луцковской, Т.А. Мусейибовой, Т.Д. Рихтераман и др. Т.Д. Рихтераман формированию временных представлений придает особое значение. Она создает методику формирования временных понятий у детей дошкольного возраста через систему обучения на специально организованных занятиях и в условиях игровой деятельности детей. Ученый отмечает, что чувство времени у дошкольников развивается постепенно. При этом большое значение имеет фиксация внимания ребенка на длительности того или иного отрезка времени. С.Д. Луцковская, изучая процесс формирования у ребенка дошкольника пространственно-временных представлений, делает вывод, что в дошкольном возрасте ребенок погружен в нерасчлененное время - пространство, поскольку его социальные связи не носят еще четко обозначенной и заданной ориентации во времени, регламентируемой социально значимым взрослым. Его ориентация во времени осуществляется в значительной мере стихийно, разрозненно, дискретно, поскольку на этот процесс влияет много факторов, имеющих разные источники, подчас мало связанные между собой. В этом возрасте представления о времени носят мифологический характер: они богаты по содержанию, но не структурированы; глобальны, но не систематизированы. Представления о временных характеристиках существуют в детском сознании фрагментарно и с разной степенью осознанности. Формирование представлений у дошкольников о форме рассматривают Л.А. Венгер, В.П. Новикова, Т.А. Мусейибова и др. Многократные исследования показали, что восприятие конкретной предметной формы доступно ребенку очень рано. Уже на втором году можно констатировать у детей узнавание знакомых предметов по контурам. В дальнейшем, в дошкольном возрасте даже довольно сложные контурные и силуэтные рисунки легко узнаются детьми. Усвоение эталонов формы предполагает знакомство с квадратом, прямоугольником, кругом, овалом, треугольником. Позднее может быть введена также форма трапеции. Однако во всех случаях имеется в виду умение узнавать соответствующую форму, называть ее и действовать с нею, а не производить ее анализ (указывать количество и величину углов, сторон и т.п.). Важное место занимает при изучении геометрического материала наглядность. Цель метода наглядности обогащение и расширение Е.А. Носова указывает, что в дошкольные годы желательно детей научить: Различать геометрические формы: круг, треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. Различать прямую и кривую линию. Понимать слова, обозначающие взаимное расположение предметов: по картине отвечать на вопросы воспитателя, кто находится на, над, под, рядом, за, перед, между; что близко, а что далеко; что впереди, а что сзади; что внизу листа, что вверху, а что в середине. Упорядочивать предметы и картинки в ряды по возрастанию размера предметов, по убыванию размера предметов. Считать наизусть до 10. Определять количество предметов в пределах 5 без пересчёта. Сравнивать по количеству. Различать цифры в пределах 10. Л.А. Венгер, О. М.Дьяченко предлагают математическое развитие строить тактм образом, чтобы оно было направлено на развитие логического мышления, а именно на умение устанавливать простейшие закономерности: порядок чередования фигур по цвету, форме, размеру. В.А Крутецкий, З.А. Михайлова, Е.А. Носова, М.Н. Полякова изучая развитие интеллектуальных способностей, логического и творческого мышления выделяют такие компоненты математических способностей: способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей; способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном; способность к оперированию числовой и знаковой символикой; способность к «последовательному, правильно расчленённому логическому рассуждению», связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах; способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;способность к обратимости мыслительного процесса, (к переходу с прямого на обратный ход мысли); гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов; математическая память. Можно предположить, что её характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы; способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики как геометрия. Подводя итоги вышесказанному, можно сделать выводы, что под математическим развитием детей дошкольного возраста понимают не только сумму знаний в области числа и счета, пространственно – временной ориентировке, представлений о геометрических формах и величинах, но и математические способности, которые помогают ребенку успешно овладевать математическими категориями.
