Величины, которые определяются своим числовым значением, называются скалярными. Примеры: площадь, длина, объём , температура. Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением называются векторными. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление. Обозначается АВ или ā Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается |ā|. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором – ē. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. ā||b Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях. Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. 1.Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правило треугольника или правилом параллелограмма. 2. Чтобы сложить несколько векторов можно воспользоваться правилом многоугольника. Произведением вектора ā на скаляр( число) λ называется вектор λ×ā, который имеет длину |λ|×|ā|, коллинеарен вектору ā, имеет направление вектора ā, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0. Проекцией вектора АВ на ось ℓ называется положительное число |А1В1|, если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число -|А1В1|, если вектор и ось противоположно направлены. Проекция вектора АВ на ось ℓ обозначается так: прℓАВ. Если АВ=0 или АВ ℓ,то прℓАВ = 0. у В А х Если известны координаты точек А(х1;y1) и В(х2;y2). Имеем АВ = ОВ - ОА =(Х2 – Х1; У2 – У1) У В (У2 – У1) А (Х2 – Х1) О Х Скалярным произведением двух ненулевых векторов ā и 𝑏 называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается 𝑎×𝑏 ; 𝑎×𝑏 = 𝑎 × 𝑏 ×cos 𝛼 , где α – угол между векторами Иначе эта формула может выглядеть так: 𝑎 × 𝑏 = 𝑎 × прā𝑏 = 𝑏 ×пр𝑏 𝑎 𝑎 α 𝑏 1.Скалярное произведение обладает переместительным свойством а×𝑏= 𝑏×𝑎 2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (λ×𝑎) ×𝑏 = λ×(𝑎×𝑏) 3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: 𝑎(𝑏+ 𝑐) = 𝑎×𝑏 + 𝑎×𝑐 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: 𝑎2 = 𝑎×𝑎= 𝑎 × 𝑎 ×cos 0= 𝑎 × 𝑎 = 𝑎 2 5. Если векторы взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Верно и обратное утверждение. Если заданы координаты точек А(х1;у1) и В(х2;у2), то скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат. 𝑎×𝑏=𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 Из формулы скалярного произведения выразим cos 𝜑= 𝑎∗ 𝑏 𝑎 𝑏 или cos 𝜑= 𝑥1 𝑥2 +𝑦1 𝑦2 𝑥1 2 + 𝑦1 2 𝑥2 2 +𝑦2 2 Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов: векторы перпендикулярны, если скалярное произведение равно нулю. Три некомпланарных вектора а, 𝑏 и 𝑐, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору 𝑏 виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой. Векторным произведением называется вектор с, который: 1) перпендикулярен векторам а и 𝑏 2) Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах 𝑎 и 𝑏 как на сторонах 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 ×sin 𝜑 3) Векторы 𝑎, 𝑏 и 𝑐 образуют правую тройку.
