MU 230303 Texnicheskaya diagnostika mashin i oborudovaniya MU k PR1

Пр а к т и ч е с к а я
работа
№ 1
М ЕТОД БАЙЕСА
Цель работ ы : изучение метода Байеса для диагностики техничес­
кого состояния исследуемых систем и объектов.
М ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Среди методов технической диагностики метод, основанный на обоб­
щенной формуле Байеса, занимает особое место благодаря простоте и
эффективности. Разумеется, метод Байеса имеет недостатки: большой
объем предварительной информации, «угнетение» редко встречающих­
ся диагнозов и др. Однако в случаях, когда объем статистических дан­
ных позволяет применить метод Байеса, его целесообразно использо­
вать как один из наиболее надежных и эффективных.
Пусть имеется диагноз D. и простой признак к , встречающийся при
.
J
этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (нали­
чие у объекта состояния D. и признака к )
.
J
P (D ikj) = P (D i)P (kj / D i) = P (kj )P(Di / k j ).
(1)
Из этого равенства вытекает формула Байеса
P (Ц / k j ) = P (D )
P( k j / Di)
.
(2)
Очень важно определить точный смысл всех входящих в эту форму­
лу величин:
P(D.) - вероятность диагноза D., определяемая по статистическим
данным (априорная вероятность диагноза). Так, если предваритель­
но обследовано N объектов и у N. объектов имелось состояние D , то
P (D ) = N. / N.
(3)
3
P ( k j / D i) - вероятность появления признака к, у объектов с состо­
янием D .. Если среди N. объектов, имеющих диагноз D у N ,, проявил­
ся признак к,, то
N
P (k j / D i ) = n
(4)
P (k j ) - вероятность появления признака к, во всех объектах неза­
висимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа N
объектов признак к. был обнаружен у NJ объектов, тогда
P (k j) = N j / N.
(5)
Для установления диагноза специальное вычисление Р(к.) не требу­
ется. Как будет ясно из дальнейшего, значения P(D.) и Р(к, /Dv), извес­
тные для всех возможных состояний, определяют величину Р(к)).
В равенстве (2) P(D. / к ) - вероятность диагноза D. после того, как
. J
.
стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака к. (апо­
стериорная вероятность диагноза).
Обобщенная формула Байеса относится к случаю, когда обследо­
вание проводится по комплексу признаков K, включающему признаки
кр к2,
ку. Каждый из признаков к. имеет т. разрядов (кд, j
•■•,
j
..., к.т ). В результате обследования становится известной реали­
зация признака
(6)
и всего комплекса признаков К *. Индекс *, как и раньше, означает конк­
ретное значение (реализацию) признака. Формула Байеса для комплек­
са признаков имеет вид
P(Dt / K *) = P(Dt )P (K * / Dt ) / P(K*),
(i = 1,2,..., n),
(7)
где P(D. / K*) - вероятность диагноза D. после того, как стали известны
результаты обследования по комплексу признаков K; P(D.) - предвари­
тельная вероятность диагноза D . (по предшествующей статистике).
Формула (7) относится к любому из n возможных состояний (диаг­
нозов) системы. Предполагается, что система находится только в од­
ном из указанных состояний и потому
4
E P(Ds) = !•
s=1
(8)
В практических задачах нередко допускается возм ож ность су­
ществования нескольких состояний Ay, ..., А , причем некоторые из
них могут встретиться в комбинации друг с другом. Тогда в каче­
стве различных диагнозов D { следует рассматривать отдельные со­
стояния Dy = А х,
D r = A r и их комбинации D r+1 = Ay /\ А т
*
Перейдем к определению P (K / Di) . Если комплекс признаков со­
стоит из н признаков, то
P (K * / Di) = P(k* / Di)P(k* / k*Dt)...P(k* / k* ••• k*_1Di) ,
(9)
где k * = kjs - разряд признака, выявившийся в результате обследова­
ния. Для диагностически независимых признаков;
P (K * / Di) = P(k* / Di)P(k2 / Di) ••• P (k * /D i) .
(10)
В большинстве практических задач, особенно при большом числе
признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при
наличии существенных корреляционных связей между ними.
Вероятность появления комплекса признаков K*
P( K *) = E P( Ds) P( K * / Ds ) .
s=1
Обобщенная формула Байеса может быть записана
P D / K *) =
P( Di )P ( K D i )
,
(j)
(12)
E P( Ds) P(K * / D s)
s=1
где P ( K / D ) определяется равенством (9) или (10). Из соотношения
(12) вытекает
E P (Di / K *) = 1,
s=1
(13)
5
что, разумеется, и должно быть, так как один из диагнозов обязательно
реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна.
Следует обратить внимание на то, что знаменатель формулы Байе­
са для всех диагнозов одинаков. Это позволяет сначала определить ве­
роятности совместного появления i-го диагноза и данной реализации
комплекса признаков
P (DtK *) = P( Di) P( K */ Di)
(14)
и затем апостериорную вероятность диагноза
П
P(Di / K *) = P (D iK * )/X P(DSK *) .
(15)
s=1
Для определения вероятности диагнозов по методу Байеса необхо­
димо составить диагностическую матрицу (табл. 1), которая формиру­
ется на основе предварительного статистического материала. В этой
таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных
диагнозах.
Таблица 1
Диагностическая матрица в методе Байеса
Признак
Диагноз
Di
D
D2
kj
ki
k2
k3
P(D)
P(kl2/
P
(
k2
1
/
P
(
k31
/
P (k32/
P (kii /
P (k13/
P (k22 / P (k23 / P (k24 /
/ D)
/ D)
/ D)
/ D)
/D
/ D)
/D ) / D) / D)
0,8
0
0,6
0,8 0,3
0,2
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
0,3
0,7
0,2
0,7
0,9 0,1
0,1
0,1
Если признаки двухразрядные (простые признаки «да - нет»), то в
таблице достаточно указать вероятность появления признака P(k. / D ).
J
1
Вероятность отсутствия признака P (k j / Dt ) = 1 - P (kj / Dt ).
Однако более удобно использовать единообразную форму, полагая,
н ап ри м ер, для д ву х р азр яд н о го п р и зн ака P (kj / Dt ) = P (k j1/D t) ;
P (k j / D i) = P (k j2 / D i) .
6
mJ
Отметим, что ^ P (kjs / Dt ) = 1, где m. - число разрядов признака kj.
s=1
Сумма вероятностей всех возможных реализаций признака равна еди­
нице.
В диагностическую матрицу включены априорные вероятности ди­
агнозов. Процесс обучения в методе Байеса состоит в формировании
диагностической матрицы. Важно предусмотреть возможность уточ­
нения таблицы в процессе диагностики. Для этого в памяти ЭВМ сле­
дует хранить не только значения P(k.J S / D.),
но и следующие величины:
I
N - общее число объектов, использованных для составления диагнос­
тической матрицы; N.I — число объектов с диагнозом D I.; IN..
] - число
объектов с диагнозом D., обследованных по признаку kj. Если поступа­
ет новый объект с диагнозом D , то проводится корректировка прежних
априорных вероятностей диагнозов следующим образом:
P( Di) =
N +1
N +1
N u +1
N
1
ц
= P ( D J ------- + N +1
N +1 N +1
i = ц.
(16)
Далее вводятся поправки к вероятностям признаков. Пусть у нового
объекта с диагнозом D,, выявлен разряд r признака kj. Тогда для даль^
]
нейшей диагностики принимаются новые значения вероятности интер­
валов признака kj при диагнозе D M:
]
^
Nj
P ( k js / Dm)
W ; s Ф r;
js
m n .+1
P(kjs / Du)
P( kjr / Dm)
N j
Nj + 1
; s = r.
(17)
N jj + 1
Условные вероятности признаков при других диагнозах корректиров­
ки не требуют.
Прим ер
Поясним метод Байеса. Пусть при наблюдении за газотурбинным
двигателем проверяются два признака: к х - повышение температуры
7
газа за турбиной более, чем на 50° С и к2 - увеличение времени выхода
на максимальную частоту вращения более, чем на 5 с. Предположим,
что для данного типа двигателей появление этих признаков связано либо
с неисправностью топливного регулятора (состояние Dy), либо с увели­
чением радиального зазора в турбине (состояние D 2).
При нормальном состоянии двигателя (состояние D 3 ) признак ky, не
наблюдается, а признак k2 наблюдается в 5% случаев. На основании
статистических данных известно, что 80% двигателей вырабатывают
ресурс в нормальном состоянии, 5% двигателей имеют состояние Dy и
15% - состояние D 2 . Известно также, что признак ky встречается при
состоянии Dy в 20%, а при состоянии D 2 в 40% случаев; признак k2 при
состоянии Dy встречается в 30%, а при состоянии D 2 - в 50% случаев.
Сведем эти данные в диагностическую таблицу (табл. 2).
Найдем сначала вероятности состояний двигателя, когда обнаруже­
ны оба признака ky и k2 . Для этого, считая признаки независимыми,
применим формулу ( 1 2 ).
Вероятность состояния
P( D1/ k1k2) =
0,05 • 0,2 • 0,3-------------------0,05 •0,2 •0,3 + 0,15 •0,4 •0,5 + 0,8 • 0 • 0,05
09.
Аналогично получим P(D 2 / k1k2) = 0,91; P(D 3 / k1k2) = 0 . Определим
вероятность состояний двигателя, если обследование показало, что по­
вышение температуры не наблюдается (признак k y отсутствует), но
увеличивается время выхода на максимальную частоту вращения (при­
знак k 2 наблюдается). Отсутствие признака k y есть признак наличия
k 1 (противоположное событие), причем P (k 1 / Di ) = 1 _ P(k 1 / Di ).
Для расчета применяют также формулу (12), но значение P(ky / Di)
в диагностической таблице заменяют на P (k 1 / Di). В этом случае
P( D / k1k2) = ------------------ 0 , 0 5 • 0 , 8 • 0 , 3 --------------------- = 0,12
0,05 •0,8 •0,3 + 0,15 •0,6 •0,5 + 0,8-1 •0,05
и аналогично P(D 2 / k ^ ) = 0,46; P(D 3 / k ^ ) = 0,41. Вычислим вероят­
ности состояний в том случае, когда оба признака отсутствуют. Анало­
гично предыдущему получим
8
P ( D J k,k2) = -------------------- -------- ------ ----------------------- = 0,03,
0,05 •0,8 •0,7 + 0,15 • 0,6 •0,5 + 0,8 4 • 0,15
P ( D2 / k1k2) = 0,05; P(D 3 / k1k2) = 0,92.
Отметим, что вероятности состояний D y и D 2 отличны от нуля, так
как рассматриваемые признаки не являются для них детерминирующи­
ми. Из проведенных расчетов можно установить, что при наличии при­
знаков ky и k2 в двигателе с вероятностью 0,91 имеется состояние Dy,
т. е. увеличение радиального зазора. При отсутствии обоих признаков
наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,92). При от­
сутствии признака k y н наличии признака k2 вероятности состояний D y
и D 2 примерно одинаковы (0,46 и 0,41) и для уточнения состояния двига­
теля требуется проведение дополнительных обследований.
Таблица 2
Вероятности признаков и априорные вероятности состояний
D.
D
P ( V D.)
P ( V D.)
P (D)
0,2
0,3
0,05
0,4
0,5
0,15
0,0
0,05
0,80
Решающее правило - правило, в соответствии с которым прини­
мается решение о диагнозе. В методе Байеса объект с комплексом
признаков K* относится к диагнозу с наибольшей (апостериорной) веро­
ятностью
K * е Д -, если P (Dt / K *) > P(D j / K *)( j = 1,2,..., n;i Ф j ) .
(18)
Символ е , применяемый в функциональном анализе, означает при­
надлежность множеству. Условие (18) указывает, что объект, обладаю­
щий данной реализацией комплекса признаков K* или, короче, реализа­
ция K* принадлежит диагнозу (состоянию) D . Правило (18) обычно
уточняется введением порогового значения для вероятности диагноза
P(D{ / K*) > P ,
(19)
9
где р - заранее выбранный уровень распознавания для диагноза D .
При этом вероятность ближайшего конкурирующего диагноза не выше
1 - P . Обычно принимается Pt > 0,09. При условии
P(D{ / K*) > P ,
(20)
решение о диагнозе не принимается (отказ от распознавания) и требу­
ется поступление дополнительной информации.
Процесс принятия решения в методе Байеса при расчете на ЭВМ
происходит достаточно быстро. Например, постановка диагноза для 24
состояний при 80 многоразрядных признаках занимает на ЭВМ с быст­
родействием 10-20 тыс. операций в секунду всего несколько минут.
Как указывалось, методу Байеса присущи некоторые недостатки,
например погрешности при распознавании редких диагнозов. При прак­
тических расчетах целесообразно провести диагностику и для случая
равновероятностных диагнозов, положив
P (D ) = 1/n.
(21)
Тогда наибольшим значением апостериорной вероятности будет об­
ладать диагноз Dj , для которого P (K* / D ) максимальна
K* е D t, если P(K* / D ) > P(K* / D J ( j = 1,2, ..., n; i Фj).
(22)
Иными словами, устанавливается диагноз D ,, если данная совокуп­
ность признаков чаще встречается при диагнозе D , чем при других
диагнозах. Такое решающее правило соответствует методу максималь­
ного правдоподобия. Из предыдущего вытекает, что этот метод яв­
ляется частным случаем метода Байеса при одинаковых априорных
вероятностях диагнозов. В методе максимального правдоподобия «ча­
стые» и «редкие» диагнозы равноправны.
Практическая часть
1. Изучить методические указания и получить задание.
2. Рассчитать вероятность указанного преподавателем диагноза (тех­
нического состояния исследуемого объекта) при появлении определен­
ных диагностических параметров.
3. Оформить отчет о практической работе.
4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с пре­
подавателем
Отчет долж ен содерж ать:
1. Цель работы.
10
2.
3.
4.
5.
Задание.
Основные формулы и положения.
Расчет указанной вероятности (численный).
Выводы по работе.
ЗАДАНИЯ ПО РАБОТЕ
Из 1000 обследованных подшипников передней подвески автомоби­
лей 900 подшипников выработали ресурс в исправном состоянии и 100 в неисправном.
Все подшипники были обследованы по следующим признакам:
- общий уровень вибрации;
- температура;
- загрязнение смазки.
У 70% исправных подшипников общий уровень вибрации лежал в
диапазоне от 0,25 до 0,5 g, у 20% исправных подшипников - от 0,5 до
0,75 g и у 10% - >0,75g.
У 80% исправных подшипников температура лежала в диапазоне
50-70 град, у 10% - в диапазоне 70-90 град. И у 10% - >90 град.
У 90% исправных подшипников загрязнение смазки было в пределах
нормы.
У 80% неисправных подшипников наблюдалась вибрация >0,75 g, у
15% неисправных подшипников вибрация в диапазоне 0,5-0,75g.
У 85% неисправных подшипников температура была >90 град, у 8%
неисправных подшипников - в диапазоне 70-90 град.
У 70% неисправных подшипников загрязнение смазки было выше
нормы.
Рассчитать:
1. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,25-0,5g, температуры - 50-70 град, загрязнения
смазки в пределах нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25-0,5g, температура
50-70 град, загрязнение смазки в пределах нормы.
2. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,5-0,75g, температуры - 50-70 град, загрязнения
смазки в пределах нормы.
11
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5-0,75g, температура 50-70 град, загрязнение смазки в пределах нормы.
3. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне >0,75g, температуры - 50-70 град, загрязнения
смазки в пределах нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g , температура 50-70 град, загрязнение смазки в пределах нормы.
4. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,25-0,5g, температуры - 70-90 град, загрязнения
смазки в пределах нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25-0,5g, температура 70-90 град, загрязнение смазки в пределах нормы.
5. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,5-0,75g, температуры - 70-90 град, загрязнения
смазки в пределах нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5-0,75g, температура 70-90 град, загрязнение смазки в пределах нормы.
6. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне >0,75g, температуры - 70-90 град, загрязнения
смазки в пределах нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация - >0,75g, температура 70-90 град, загрязнение смазки в пределах нормы.
12
7. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,25-0,5g, температуры - >90 град, загрязнения
смазки в пределах нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25-0,5g, температура >90 град, загрязнение смазки в пределах нормы.
8. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,5-0,75g, температуры - >90 град, загрязнения
смазки в пределах нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5-0,75g, температура >90 град., загрязнение смазки в пределах нормы.
9. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне >0,75g, температуры - >90 град, загрязнения смазки
в пределах нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g, температура >90 град., загрязнение смазки в пределах нормы.
10. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,25-0,5g, температуры - 50-70 град, загрязнения
смазки в выше нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25-0,5g, температура 50-70 град, загрязнение смазки выше нормы.
11. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,5-0,75g, температуры - 50-70 град, загрязнения
смазки в выше нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
13
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5-0,75g, температура 50-70 град, загрязнение смазки выше нормы.
12. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне >0,75g, температуры - 50-70 град., загрязнения
смазки в выше нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация >0,75g, температура 50-70 град, загрязнение смазки выше нормы.
13. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,25-0,5g, температуры - 70-90 град, загрязнения
смазки в выше нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25-0,5g, температура 70-90 град, загрязнение смазки выше нормы.
14. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,5-0,75g, температуры - 70-90 град., загрязне­
ния смазки в выше нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5-0,75g, температура 70-90 град, загрязнение смазки выше нормы.
15. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне - >0,75g, температуры - 70-90 град, загрязнения
смазки в выше нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация - >0,75g, температура 70-90 град, загрязнение смазки выше нормы.
16. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,25-0,5g, температуры - 70-90 град, загрязнения
смазки выше нормы.
14
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25-0,5g, температура >90 град, загрязнение смазки выше нормы.
17. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне 0,5-0,75g, температуры - 70-90 град, загрязнения
смазки в выше нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,5-0,75g, температура >90 град, загрязнение смазки выше нормы
18. Вероятность исправного состояния подшипника при наблюдении
вибрации в диапазоне - >0,75g, температуры - >90 град, загрязнения
смазки выше нормы.
Уточнить априорные вероятности появления исправного и неисправ­
ного состояний, а также условные вероятности признаков, если в ре­
зультате обследования 1001 подшипника установлено, что у него было
исправное состояние и наблюдались: вибрация 0,25-0,5g, температура 50-70 град, загрязнение смазки выше нормы.
П рактическая работа № 2
М ЕТОД М ИН ИМ АЛЬНО ГО РИСКА
Цель работы: изучение метода минимального риска для диагности­
ки технического состояния исследуемых систем и объектов.
М ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Вероятность принятия ошибочного решения слагается из вероятно­
стей ложной тревоги и пропуска дефекта. Если приписать «цены» этим
ошибкам, то получим выражение для среднего риска
R = C2\P\ J f ( * / Dx)dx + C-12P2 J f ( x / D2)dx.
(1)
*0
Разумеется, цена ошибки имеет условное значение, но она должна
учесть предполагаемые последствия ложной тревоги и пропуска дефекта.
15
В задачах надежности стоимость пропуска дефекта обычно существенно
больше стоимости ложной тревоги (C12 > > C21). Иногда вводится цена
правильных решений Сп и С22, которая для сравнения со стоимостью
потерь (ошибок) принимается отрицательной. В общем случае средний
риск (ожидаемая величина потери) выражается равенством
*0
~
R = Ci i р J f (x / Di )dx + C21p J f (x / D )d x +
x0
x0
“>
+ C12 P2 J f (x / D 2 )dx + C2 2 P2 J f (x / D 2 )dx.
x0
(2)
Величина x, предъявляемая для распознавания, является случайной
и потому равенства (1) и (2) представляют собой среднее значение (ма­
тематическое ожидание) риска.
Лх / D!)A
Ах / D,)
Ах / D,)
0max
xl
X0min Л2
х
Рис. 1. Точки экстремума среднего риска ошибочных решений
Найдем граничное значение х0 из условия минимума среднего
риска. Дифференцируя (2) по Хо и приравнивая производную нулю,
получим сначала условие экстремума
dR
— = CiiPif ( V Di) - C2iPf (xo/Di) + Cn P2f (xo/D2 ) - C22P2f ( V D2 ) = 0
dxo
(3)
f (x q / D i) = (Ci2 - C22)P2
f (xq/D2 ) (C2i - Cii)P
(4)
или
Это условие часто определяет два значения Хо, из которых одно со­
ответствует минимуму, второе - максимуму риска (рис. 1). Соотноше­
ние (4) является необходимым, но недостаточным условием миниму­
16
ма. Для существования минимума R в точке x = x0 вторая производная
должна быть положительной
d 2r
> о , что приводит к следующему ус-
dxQ
ловию относительно производных плотностей распределений:
f '(Х0/Dl) < (C12 - C2 2 )P2
f '(xo/ D2 ) (C21 - C11 )P1 '
(5)
(5)
Если распределения f(x, D j) и f(x, D 2) являются, как обычно, одно­
модальными (т. е. содержат не более одной точки максимума), то при
Х1 < x0 < Х2
(6)
условие (5) выполняется. Действительно, в правой части равенства стоит
положительная величина, а при x > Х1 производная f '(x / D1) , тогда как
при x < x 2 значение f '(x / D2) .
В дальнейшем под Хо будем понимать граничное значение диагнос­
тического параметра, обеспечивающее по правилу (5) минимум сред­
него риска. Будем также считать распределения f( x / D j) и f( x / D 2)
одномодальными («одногорбыми»).
Из условия (4) следует, что решение об отнесении объекта x к со­
стоянию D j или D 2 можно связать с величиной отношения правдопо­
добия. Напомним, что отношение плотностей вероятностей распреде­
ления x при двух состояниях называется отношением правдоподобия.
По методу минимального риска принимается следующее решение
о состоянии объекта, имеющего данное значение параметра x:
f (x o /D 1 ) > (C12 - C 2 2 )P2
f (x o /D 2 )
(C 21 - C11 )P1 ;
(7)
f (x0 / D1) < (C12 - C22)P2
x е D^, если r /
1 тл \ i
\d ■
2
f (xo/ D 2 )
(C 21 - Cn ) P1
(8)
w
x е D 1,
если
Эти условия вытекают из соотношений (5) и (4).
Условие (7) соответствует x < xo, условие (8) x > xo. Величина
(C12 - C22) P2 представляет собой
r “ пороговое значение для отношек^ = -----------------(C21 - C11)P1
17
ния правдоподобия. Напомним, что диагноз D x соответствует исправ­
ному состоянию, D 2 - дефектному состоянию объекта; С21 - цена лож­
ной тревоги; С Х1 - цена пропуска цели (первый индекс - принятое со­
стояние, второй - действительное); С п < 0,С22 - цены правильных
решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач
условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся
и тогда
* = С 12 P 2 / С 21 P i.
(9)
Часто оказывается удобным рассматривать не отношение правдо­
подобия, а логарифм этого отношения. Это не изменяет результата, так
как логарифмическая функция возрастает монотонно вместе со своим
аргументом. Расчет для нормального и некоторых других распределе­
ний при использовании логарифма отношения правдоподобия оказыва­
ется несколько проще.
Рассмотрим случай, когда параметр x имеет нормальное распреде­
ление при исправном D 1 и неисправном D2 состояниях. Рассеяние пара­
метра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается оди­
наковым.
В рассматриваемом случае плотности распределений
(X-*1)2
f (x / Dl ) = — = e
GV 2п
2°
;
(X-*2 )2
f (x / D 2 ) = - ^ = e
o\J2n
2°2 .
Внося эти соотношения в равенство (4), получаем после логарифми­
рования
ln f (*0 ' D1) = — ^ -[ 2x0(x2 - x 1 ) + x 2 - x 22] = ln (C12 -C22)P2 •
f (*o / D2)
2o 2
2 1
1
2
(C21 - Cn ) P
Из этого уравнения
1( - 4
x0 = — X, + x2)
0
2
1 2
18
s2
P2 , (C12- C22) ^
---------- (ln— + ln —-----—
x2 - x
P1
(C 21 - Cn )
При x < x0, x i D 1; при x > x 0 x i D 2.
Прим ер
Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осу­
ществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состоя­
ния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и
среднеквадратичное отклонение Gj = 2. При наличии дефекта подшип­
ников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны
x2 = 12, о 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными.
Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше
которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во
избежание опасных последствий). По статистическим данным неисп­
равное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей.
Примем, что отношение стоимостей пропуска цели и ложной тревоСло = 20, и откажемся от «вознаграждения» правильных решений
ги —12
С21
(Cji = C22 = 0). Из условия (4) получаем
20— = 2 ,2 2 .
0,9
1
f (x0/ D1 ) = - ^ е
2v п
(x-5)2
:
о .о 2
2'2'
(x-12)2
2:
f ( x 0 / d 2) =
23
Внося эти значения в предыдущее равенство, получаем после лога­
рифмирования
1
Это уравнение имеет положительный корень xo = 7,456.
Практическая часть
1. Изучить методические указания и получить задание.
19
2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра,
выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации
по методу минимального риска.
3. Оформить отчет о практической работе.
4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с пре­
подавателем.
Отчет долж ен содерж ать:
1. Цель работы.
2. Задание.
3. Основные формулы и положения.
4. Расчет указанного предельного значения диагностического пара­
метра (численный).
5. Выводы по работе.
Практическая работа № 3
М ЕТОД М И Н И М А Л ЬН О ГО Ч И С ЛА
О Ш И БО Ч Н Ы Х РЕШ Е Н И Й
Цель работ ы : изучение метода минимального числа ошибочных
решений для диагностики технического состояния исследуемых сис­
тем и объектов.
М ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Вероятность ошибочного решения определяется как
x
ош = P1 J f (x /D 1)dx + P2 J f (x /D 2 )dx .
(1)
xo
Из условия экстремума этой вероятности получаем
^
= - P i f (xo / Di) + P2 f (xo / D 2 ) = 0.
dxo
(2)
Условие минимума дает
= -P i f '(xo / Di) + P2 f '(xo / D 2 ) > 0
dxo
20
(3)
или
f ' ( V A ) / f '(x0/D 2) < P2 /P 1 .
(4)
Для одномодальных распределений неравенство (4) выполняется, и
минимум вероятности ошибочного решения получается из соотноше­
ния (2)
f (x 0 /D 1 ) / f (x 0 /D 2 ) = P2 / P1 ,
(5)
где, как и раньше, P i = P(D i), P 2 = P(D2) - априорные вероятности диаг­
нозов.
Решение x е D i принимается при
f (x / D 1 ) / f (x / D 2 ) > P2 / P1
(6)
f (x / D 1 ) / f (x / D 2 ) < P2 / P1 .
(7)
и x е D 2 при
Очевидно, что соотношения (5)-(7) являются частным случаем ус­
ловия минимального риска, если стоимости решений одинаковы. Усло­
вие выбора граничного значения (5) часто называется условием Зигерта-Котельникова (условием идеального наблюдателя). К этому условию
приводит также метод Байеса. Действительно, вероятности диагнозов
D i и D 2 для данного значения x (ап о стер и о р н ы е вер о ятн о сти )
P(D 1 / x) = P (D 1 ) f (x / D 1 ) / f (x); P (D 2 /x ) = P (D 2 ) f (x / D 2 ) / f ( x ) .
Решение x е D i принимается при
P(D 1/ x) > P (D 2 / x)
или
f (x / D 1 ) / f (x / D 2 ) > P j/P 1 ,
(8)
что совпадает с равенством (6).
В задачах надежности рассматриваемый метод часто дает «нео­
сторожные решения», так как последствия ошибочных решений суще­
ственно различаются между собой. Обычно цена пропуска дефекта
существенно выше цены ложной тревоги. Если указанные стоимости
приблизительно одинаковы (для дефектов с ограниченными последстви­
ями, для некоторых задач контроля и др.), то применение метода вполне
оправдано.
21
Пр имер
Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осу­
ществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состоя­
ния среднее значение составляет xi = 5 (5 г железа на 1 т масла) и
среднеквадратичное отклонение G1 = 2. При наличии дефекта подшип­
ников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны
x2 = i2, о 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными.
Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше
которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во
избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисп­
равное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей.
Плотности распределения
i
f (x o/D i) = _
2yl n
(x-5)2
e 2-22 ;
- (x-i2)2
f (xo / D2) =
e
2 32
;
f (xo/ Di ) = P ..
f (x o /D 2 ) P i ;
- (xo - 5)2 + (xo - i2 )2 = ln Г 0 ,! ^
8
i8
V
0,9
.
7 /
Это уравнение имеет положительный корень Хо = 9,79
Практическая часть
1. Изучить методические указания и получить задание.
2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра,
выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации,
по методу минимального числа ошибочных решений
3. Оформить отчет о практической работе.
4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с пре­
подавателем.
22
Отчет долж ен содержать:
1. Цель работы.
2. Задание.
3. Основные формулы и положения.
4. Расчет указанного предельного значения диагностического пара­
метра (численный).
5. Выводы по работе.
П рактическая работа № 4
М ЕТОД НАИБОЛЬШ ЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Цель работы: изучение метода наибольшего правдоподобия для
диагностики технического состояния исследуемых систем и объектов.
М ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Метод наибольшего правдоподобия можно рассматривать как част­
ный случай метода минимального риска. Правило решения принимает­
ся следующим:
f (x / D1) > 1
x е D i, если f (x / D2) > 1;
(1)
f (x / D1) < 1
Х е D 2, если f (x / D2) < 1 ’
где x - значение параметра для диагностируемого объекта.
Граничное значение находится из условия
f (x0/ D1) = f (x0/ D 2 ) .
(2)
Сопоставляя условия (4) и (2), легко установить, что они совпадают,
если положить
(C12 - C22)P2 =1
(3)
(C21 - C11)P1
В большинстве практических случаев используется условие (3), и
тогда для метода наибольшего правдоподобия следует считать
CH PL = 1 .
C21 P1
(4)
23
Для задач надежности вероятность неисправного состояния обычно
представляет собой малую величину, но цена пропуска дефекта значи­
тельно больше цены ложной тревоги (С ^ >> С 21 ). Тогда условие (4)
дает решение, не требующее знания точных значений стоимости оши­
бок и качественно отражающее указанные обстоятельства (P 2 << P i,
С12 >> С21).
Пр имер
Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осу­
ществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состоя­
ния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и
среднеквадратичное отклонение о1 = 2 . При наличии дефекта подшип­
ников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны
x2 = 12, о 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными.
Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше
которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во
избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисп­
равное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей.
Плотности распределения
^
(x-5)2
f (V D1) = - T= e 2-22 ;
2v n
- (x-12)2
f (x0 / D2) = з 1 = e
2'32 ;
- (x0 - 5)2 + (xp - 1 2 ) 2 = 0
8
18
.
Это уравнение имеет положительный корень x0 = 8,14.
Практическая часть
1. Изучить методические указания и получить задание.
2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра,
выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации
по методу наибольшего правдоподобия.
24
3. Оформить отчет о практической работе.
4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с пре­
подавателем.
Отчет долж ен содерж ать:
1. Цель работы.
2. Задание.
3. Основные формулы и положения.
4. Расчет указанного предельного значения диагностического пара­
метра (численный).
5. Выводы по работе.
П рактическая работа № 5
М ЕТОД М ИН ИМ АКСА
Цель работ ы: изучение метода минимакса для диагностики техни­
ческого состояния исследуемых систем и объектов.
М ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Метод минимакса предназначен для ситуации, когда отсутствуют
предварительные статистические сведения о вероятности диагнозов D 1
и D 2 . Рассматривается «наихудший случай», т. е. наименее благоприят­
ные значения р и P 2, приводящие к наибольшему значению (максиму­
му) риска.
Будем считать, что величина риска зависит теперь от Хо и P 1 (веро­
ятность второго диагноза P 2 = 1 - P 1). Из соотношения вытекает, что
xq
R (xo,Pi) = C„Pi J f (x / D i)dx + C2 iPi J f (x / D1)dx +
x0
xo
~
+Ci2 (i - Pi) J f (x / D 2 )dx + c - ( i - Pi) J f (x / D 2 )dx.
-~
xo
(1)
Для нахождения экстремума приравняем нулю частные производ­
ные по Хо и P r Условие
^ =0
dxo
(2)
25
дает
f (V D 1 ) = (C12 - C22)(1 - P1 )
f (x0 / D2)
Из соотношения
(C21 - C11)P1
d R =0
dP1
получаем
(3)
(4)
~
-'v0
C 21 P1 J f (x / D1)dx + C11P1 J f (x / D1)dx =
x0
-~
x0
~
= C12 J f (x / D2)dx + C22 J f (x / D2)dx.
-~
x0
(5)
Теперь требуется определить значения x0 и P x, удовлетворяющие
*
*
уравнениям (3) и (5). Если x0 и P1 являются корнями указанных урав* *
нений, то точка R (x0, P1 ) является экстремальной.
Можно показать для одномодальных распределений, что величина
риска становится минимаксной (т. е. минимальной среди максималь­
ных значений, вызванных «неблагоприятной» величиной Pj). Отметим,
что при Pj = 0 и P 2 = 1 риск принятия ошибочного решения отсутствует,
так как ситуация не имеет неопределенности. При Pj = 0 (все изделия
неисправны) из условия (4) вытекает x0 ^ -°° и все объекты действи­
тельно признаются неисправными; при Pj = 1 и P 2 = 0 x0
и в соот­
ветствии с имеющейся ситуацией все объекты классифицируются как
исправные.
*
Для промежуточных значений 0 < Pj < 1 риск возрастает и при P1 = P1
становится максимальным. Рассматриваемым методом выбирают ве­
личину x 0 таким образом, чтобы при наименее благоприятных значени­
ях P j потери, связанные с ошибочными решениями, были бы минималь­
ными.
26
Рассмотрим процедуру решения уравнений (3) и (5). Сначала из урав*
нения (5) найдем значение x0 , что можно сделать следующим обра­
зом. Представим уравнение (5) в виде
j ( x0) = 0,
(6)
где
~
x0
j ( x 0 ) = (C 21 - Cn ) J f (x / D1 )dx - (C12 - C2 2 ) J f (x / D ^ d x + Cn - C - . (7)
x0
-~
Последнее равенство можно записать с помощью функций распре­
деления
j ( x 0) = (C21 - C11)[1 - F (x0 / D1)] - (C12 - C22) F (x 0 / D2) + C11 - C22;
Л0
F (x 0 /D 1 ) = J f ( x / D{)dx;
Л0
F ^ / D 2 ) = J f ( x / D 2 )dx.
(8)
Уравнение (6) решаем по методу Ньютона, связывающему исход­
ные xo(n_i) и последующие xo(n) приближения
=
x0(n) = x0(n-1)
j ( x0(n-1))
~dj
".
( x0(n-1))
dx0
(9)
Значение производной
dj
dx0
= (C21
C11)f (x0(n-1)/D I)
(C12
C22)f (x0(n-1) /D 2).
(10)
В качестве первого приближения можно принять x0 (1) = (x1 + x 2 )/2 ,
где x1, x2 - средние значения х для распределения f(x / D 1) и f(x / D 2).
*
При достаточной близости x0(n) и x0(n1) принимаем x0 = x0(n) . Далее из
равенства (3) находим наименее благоприятное значение вероятностей
к* неисправного состояний^
исправного P1* и Г
P2
P = ----------------------- C12 - C22*------------- *--------; р ; = 1 - р ? .
C12 - C22 + (C21 - C11) f (x0 /D 1) / f (x0/D 2)
(11)
27
Рис 1. Определение граничного значения диагностического параметра
по методу минимакса
*
Величину риска определяем по равенству (1) при значениях x0 = х0 ,
р1 = р * . Отметим некоторые случаи, в которых решение становится
достаточно наглядным. Положим, что условные выигрыши отсутствуют
С ц = С22 = 0, а цены ошибок одинаковы C12 = С21. Тогда из уравнения (5)
вытекает
~
х0
J f (x / Dl )dx = J f (x / D2)dx или F (Xo/Di) + F (Xo/D2) = 1,
x0
-~
где F(x0 / D 1) и F(x0 / D 2) - соответствующие функции распределения.
Последнее соотношение показывает равенство условных вероятностей
ошибочных решений.
На рис. 1 для этого случая площади Р лт и Р пд равны. В общем
случае
J
Рлт = x0
P
f (x / D1)dx
x°
J f (x / D2)dx
= С12 = Цена пропуска дефекта
C21
Цена ложной тревоги
Зависимость (12) выражает равенство условных рисков ошибочных
решений. С помощью функций распределения она записывается в виде
28
1 - F (V D 1 ) = C12
1
F ( x0 / D2)
C21
(13)
Прим ер
Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осу­
ществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состоя­
ния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и
среднеквадратичное отклонение Gj = 2. При наличии дефекта подшип­
ников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны
x2 = 12, о 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными.
Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше
которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во
избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисп­
равное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей. Гра­
ничное значение xo вычисляется из уравнения (8)
C21[1 - F (x0 / D1)] - C12 F (x0 / D 2 ) = 0.
Для нормального распределения функции распределения выражают­
ся с помощью функций Лапласа
2
o2
2
2
Расчет проводится по формуле (9). Первое приближение:
x0(1) = (x + x2) /2 = (5 + 12)/2 = 8,5.
Второе приближение:
x0(2) = x0(1) - j ( x 0(1)) / j '(x0(1));
29
j ( x0(1)) = C21[1
F (x0(1)/ D1)] C12F (x0(1)/ D2);
j '(x0(1)) = C21f (x0(1)/D 1)
C12f (x0(1)/D 2).
Значения С21 = 1, С12 = 20. Расчеты дают x0(2) = 6,79. При расчете
использовались таблицы для нормального распределения. Последую­
щие приближения дали x0(3) = 5,91; x0(4) = 5,72; x0(5) = 5,71. При С21 = 1,
С12 = 1 получено x0(1) = 8,5; x0(2) = 7,79; x0(3) = 7,80. Значения наиболее
неблагоприятных вероятностей состояний при x0 = 5,71; P* = 0,61;
P2 = 0 ,3 9 ; при x* = 7,80; р* = 0,93; P2* = 0,07 .
Практическая часть
1. Изучить методические указания и получить задание.
2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра,
выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации
по методу минимакса.
3. Оформить отчет о практической работе.
4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с пре­
подавателем.
Отчет долж ен содерж ать:
1. Цель работы.
2 Задание.
3. Основные формулы и положения.
4. Расчет указанного предельного значения диагностического пара­
метра (численный).
5. Выводы по работе.
П рактическая работа № 6
М ЕТО Д Н Е Й М А Н А -П И Р С О Н А
Цель работ ы : изучение метода Неймана-Пирсона для диагностики
технического состояния исследуемых систем и объектов.
М ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Оценки стоимости ошибок часто неизвестны и их достоверное оп­
ределение связано с большими трудностями. Вместе с тем ясно, что во
всех случаях желательно при определенном (допустимом) уровне од30
ной из ошибок минимизировать значение другой. Здесь центр пробле­
мы переносится на обоснованный выбор допустимого уровня ошибок с
помощью предыдущего опыта или интуитивных соображений.
По методу Неймана-Пирсона минимизируется вероятность пропус­
ка цели при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги.
Таким образом, вероятность ложной тревоги
P1 1 f (x / D ) d x < A,
(1)
x0
где А - заданный допустимый уровень вероятности ложной тревоги; Pj
- вероятность исправного состояния.
Отметим, что обычно условие (1) относят к условной вероятности лож­
ной тревоги (множитель Pj отсутствует). В задачах технической диагнос­
тики значения Pj и Р 2 в большинстве случаев известны по статистичес­
ким данным.
Из рис. 1 видно, что при увеличении ошибки ложной тревоги (сече­
ние x 0 перемещается влево) величина ошибки пропуска дефекта умень­
шается. Ее наименьшее значение будет соответствовать знаку равен­
ства в условии (1)
P1 1 f (x / D1)dx = A.
(2)
x0
Теперь условие (1) однозначно определяет величину x 0 и значение
риска.
Остановимся на выборе значения А — допустимого уровня ложной
тревоги (риска поставщика).
Прим ер
При эксплуатации было установлено, что у 2-3% двигателей встре­
чаются поломки в результате повышенных динамических нагрузок при
увеличенном фланке шестерни редуктора. В дефектных редукторах
наблюдается повышенная виброперегрузка при частоте, соответству­
ющей частоте зацепления. Было проведено измерение вибраций всего
парка двигателей и назначена норма, при повышении которой двигатель
направляется на разборку и дефектацию. При выборе нормы исходили
из двух соображений: число снимаемых с эксплуатации двигателей дол­
жно существенно превышать ожидаемое число дефектных двигателей;
принимаемое значение ложной тревоги не должно нарушать нормаль­
31
ную эксплуатацию или приводить к чрезмерным экономическим поте­
рям. Этим условиям удовлетворяла норма, приводящая к снятию с экс­
плуатации примерно 10% двигателей.
В практических задачах можно принимать
A = kP2,
(3)
где k - коэффициент избыточности, зависящий от разрешающей спо­
собности диагностических средств, опасности дефекта, экономических
затрат и других обстоятельств.
При дефектах с ограниченными последствиями можно принимать
k=3- 1
(3.1)
При опасных дефектах - k = 3 - 10. Для редко встречающихся
(P 2 < 0 ,01), но крайне опасных дефектов, коэффициент избыточности
может достигать и больших значений.
В задачах технической диагностики можно использовать и другой
подход: определять граничное значение х0, исходя из выбранной веро­
ятности пропуска дефекта. В этом случае
x0
P2 J f (x / D2)dx = B,
(4)
где B - заданное значение вероятности пропуска дефекта.
Трудно указать общие правила для назначения величины B, она дол­
жна выбираться с учетом указанных ранее соображений. Если дефект
крайне нежелателен даже на единичном изделии, можно принимать
B <— ,
(5)
kN
( )
где N - общее число изделий, находящихся в эксплуатации; k - коэффи­
циент избыточности (1 < к < 10). Во всех случаях для реализации прин­
ципа невозможности маловероятных событий величина B должна быть
малой (B < 0,01). В методе Неймана-Пирсона граничное значение х0
находится из уравнения (2) или (4).
При практическом решении подобных уравнений целесообразно ис­
пользовать метод Ньютона, полагая, например
j(x 0 ) = Pi J f (x0/D i)dx - A; j '(x0) = - Pi f (x 0 /Д ) .
x0
32
(6)
Прим ер
Диагностика состояния трансмиссии газотурбинного двигателя осу­
ществляется по содержанию железа в масле. Для исправного состоя­
ния среднее значение составляет x1 = 5 (5 г железа на 1 т масла) и
среднеквадратичное отклонение Gi = 2. При наличии дефекта подшип­
ников и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны
x2 = 12, о 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными.
Требуется определить предельное содержание железа в масле, выше
которого двигатель подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во
избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисп­
равное состояние трансмиссий наблюдается у 10% двигателей. Прове­
дем решение различными методами.
По методу Неймана-Пирсона принимаем A = kP 2 . Считая послед­
ствия дефекта ограниченными (для контроля состояния трансмиссии
используются также показания вибродатчиков), принимаем k = 1, что
дает A = 0,1. Полагая первое приближение x 0 (1) = (x1 + x 2 )/2 = 8,5 , нахо­
дим второе приближение
+ P1[1 - F (x0a ) / D1)] - A
x0(2) ■x0(1)
P1f ( x0(1)/ D1)
Расчеты даю т следую щ ие значения приближений: x 0 (2 ) = 6,85;
x0(3) = 7,36; x0(4) = 7,43; x0(5) = 7,43.
Практическая часть
1. Изучить методические указания и получить задание.
2. Рассчитать предельное значение диагностического параметра,
выше которого исследуемый объект подлежит снятию с эксплуатации
по методу Неймана-Пирсона.
3. Оформить отчет о практической работе.
4. Защитить отчет о практической работе при собеседовании с пре­
подавателем.
Отчет долж ен содержать:
1. Цель работы.
2. Задание.
3. Основные формулы и положения.
4. Расчет указанного предельного значения диагностического пара­
метра (численный).
5. Выводы по работе.
ЗАДАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ № 2, 3, 4, 5, 6
З ад ач а № 1
Диагностика газотурбинного двигателя осуществляется по содер­
жанию железа в масле. Установлено, что для исправного состояния сред­
нее значение содержания железа составляет x1 = 10 (10 г на 1 т) и сред­
неквадратическое отклонение Gj = 3. При наличии дефекта подшипников
и других деталей (неисправное состояние) эти значения равны x2 = 20,
G2 = 5, Распределения предполагаются нормальными. Определить пре­
дельное содержание железа в масле, выше которого двигатель подле­
жит снятию с эксплуатации.
Определить предельное содержание железа разными методами:
1. Методом минимального риска.
2. Методом минимального числа ошибочных решений.
3. Методом минимакса.
4. Методом Неймана-Пирсона.
5. Методом наибольшего правдоподобия.
Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероят­
ность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сде­
лать выводы.
Д ополнит ельная информация
а) C11 = C22 = 0;
б) С 2 = 20;
С21
С19
С 2 = 30;
С21
Рг = 0,05;
C l i = £ 2 2 = _о д
С21 С21
в) Си = С22 = 0;
C
- 12 = 1;
С21
р = 0,1;
Рг = 0,05.
З ад ач а № 2
Диагностика бортового преобразователя напряжения осуществляется
по общему уровню вибрации его корпуса. Установлено, что для исправ­
ного состояния среднее значение вибрации составляет x1 = 20 мм/с и
среднеквадратическое отклонение Gj = 7 мм/с. При наличии дефекта,
34
где x2 = 45 мм/с, g 2 = 12 мм/с, распределения предполагаются нор­
мальными. Определить предельное значение общего уровня вибрации
разными методами:
1. Методом минимального риска.
2. Методом минимального числа ошибочных решений.
3. Методом минимакса.
4. Методом Неймана-Пирсона.
5. Методом наибольшего правдоподобия.
Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероят­
ность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сде­
лать выводы.
Д ополнит ельная инф ормация
C
а) Cn = C22 = 0 ; - 12 = 1 0 ;
C21
б) C 2 = 20; C l = C 2 = _ i;
C21
C21 C21
в) Cn = C 22 = 0;
C
C 2 = 1;
C21
Рг = 0 , 1 ;
P2 = 0,2;
P2 = 0,1.
З ад ач а № 3
Диагностика гиромотора осуществляется по температуре подшип­
никовых узлов. Установлено, что для исправного состояния среднее зна­
чение t0 подшипникового узла составляет x1 = 50° C и среднеквадрати­
ческое отклонение а 1 = 15° С . При наличии повышенного износа, где
x2 = 100° C , а 2 = 25° C , распределения предполагаются нормальными.
Определить предельное значение t° разными методами:
1. Методом минимального риска.
2. Методом минимального числа ошибочных решений.
3. Методом минимакса.
4. Методом Неймана-Пирсона.
5. Методом наибольшего правдоподобия.
35
Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероят­
ность пропуска цели и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сде­
лать выводы.
Д ополнит ельная информация
а) C „ = C - = 0;
C
= 40;
P2 = 0,1;
C21
б) ^
= 30;
C21
91
C 91
C21
в) ^
= 20; ^
C21
C21
C 2 = -1;
C
C21
= -0,5;
P22 = 0,2;
C 2 = -1;
C21
P2 = 0,15.
З ад ач а № 4
Диагностика газотурбинного двигателя осуществляется по температу­
ре за турбиной. Для исправного состояния характерна следующая средняя
температура и среднеквадратическое отклонение: x1 = 450°C, ^ = 70°C .
При неисправном состоянии, где x2 = 600° C, s 2 = 50° C , распределения
предполагаются нормальными. Определить граничное значение t° за тур­
биной двигателя разными методами:
1. Методом минимального риска.
2. Методом минимального числа ошибочных решений.
3. Методом минимакса.
4. Методом Неймана-Пирсона.
5. Методом наибольшего правдоподобия.
Рассчитать также для всех методов вероятность ложной тревоги,
вероятность пропуска цели, и средний риск. Результаты свести в табли­
цу. Сделать выводы.
Д ополнит ельная информация
а) Cn = C22 = 0;
36
C 2 = 100;
C21
P2 = 0,05;
С 12
= 50;
С21
I Г}
|к>
II
С21
=20'
С21
£ п = С22
С21
Си =_ С22 = -1;
С21 С21
Р2 = 0,07.
З ад ач а № 5
Диагностика технического состояния шлифовального круга станка про­
изводится по амплитуде вибрации на частоте вращения. В случае исправ­
ного состояния среднее значение вибрации на частоте вращения и средне­
квадратическое отклонение составляют
= 1000 мм/с2, о1 = 200 мм/с2.
При шлифовании круг изнашивается неравномерно. Появляется повышен­
ная вибрация, которая влияет на качество изготавливаемых деталей. Для
неисправного состояния характерны х1 = 1500 мм/с2, Gj = мм/с2, распре­
деления предполагаются нормальными. Определить граничное значение
вибрации (при превышении которого шлифовальный круг необходимо ба­
лансировать) разными методами:
1. Методом минимального риска.
2. Методом минимального числа ошибочных решений.
3. Методом минимакса.
4. Методом Неймана-Пирсона.
5. Методом наибольшего правдоподобия.
Рассчитать для всех методов вероятность ложной тревоги, вероят­
ность пропуска цели, и средний риск. Результаты свести в таблицу. Сде­
лать выводы.
Д ополнит ельная инф ормация
а) C11 = C22 = 0;
С\2
= 1;
P2 = 0,1;
С21
б) C11 = C22 = 0;
С12
= 20;
С12 = 10- C11 = ^22
в) т г ^ = 10; ^ = ^ 22 = -1;
С21
С21 С21
P2 = 0,1;
Рг = 0,1.
37
Библиографический список
1. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978.
240 с.
2. Диагностирование и прогнозирование технического состояния авиаци­
онного оборудования: Учеб. пособие для вузов / В. Г. Воробьев, В. В. Глу­
хов, Ю. В. Козлов и др.; Под ред. 77. М. Синдеева. СПб.: Транспорт, 1994.
191 с.
3. Дмитриев А. К. Основы контроля и технической диагностики:
Учеб. пособие. М.: МО. 1988. 206 с.
4. Технические средства диагностирования: Справочник / В. В. Клюев,
П. 77. Пархоменко и др.; Под общ. ред. В. В. Клюева. М.: Машинострое­
ние, 1989. 672 с.
38