Научно-исследовательская работа «10 способов решения квадратных уравнений» Выполнил Улевский Сергей Алексеевич учащийся 9 класса МБОУ ЕСОШ №11 Руководитель Шаповалова Людмила Алексеевна учитель математики МБОУ ЕСОШ №11 Оглавление Введение ............................................................................................................... 3 1. Методы и способы решения квадратных уравнений................................... 4 1.1. Решение квадратных уравнений по общей формуле.............................. 5 1.2.Разложение левой части на множители. ................................................... 5 1.3.Метод выделения полного квадрата ......................................................... 5 1.4.Решение уравнений с помощью теоремы Виета ...................................... 6 1.5.Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов. .......... 6 1.6. Решение уравнений способом «переброски». ......................................... 7 1.7. Геометрический способ решения квадратных уравнений ..................... 7 1.8. Графическое решение квадратного уравнения. ...................................... 7 1.9. Решение уравнения при помощи циркуля и линейки.. .......................... 8 1.10.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. ................. 8 Заключение . ........................................................................................................ 8 Приложение 1 ...................................................................................................... 9 Приложение 2 ...................................................................................................... 9 Литература ......................................................................................................... 10 2 Введение Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида. В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами их этих уравнений. Поэтому я выбрал тему «10 способов решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением уравнений. квадратных Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов. Цель работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения. Задачи: - рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений; - выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений; - научиться решать квадратные уравнения различными способами. Объект исследования: квадратные уравнения. Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений. Методы исследования: теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов; анализ полученной информации; сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность. 3 1. Методы решения квадратных уравнений Квадратным уравнением называется уравнение вида + + = 0, где х-переменная, a, b и с-некоторые числа, при этом а≠0. Корень такого уравнения – это значение переменной, обращающее квадратный трёхчлен в ноль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество. Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент а называют первым или старшим, коэффициент b называют вторым или коэффициентом при х, с называется свободным членом этого уравнения. Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля (a, b, c≠0). Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент а: + + = 0, р=b/a, q=c/a. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) + = 0, где с ≠ 0; 2) + = 0, где b ≠ 0; 3) = 0. В рамках данной работы мы будем рассматривать способы решения только полных квадратных уравнений. 1.1. Решение квадратных уравнений по общей формуле Для решения квадратных уравнений применяется способ нахождения корней через дискриминант. Для нахождения дискриминанта используется следующая формула = − 4. После нахождения D мы используем формулу для нахождения корней уравнения , = ±√ . Стоит заметить, что если: D>0 – уравнение имеет два корня; D=0– уравнение имеет один корень; D<0 – уравнение не имеет корней. Пример решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.1). 4 1.2. Разложение левой части на множители Для демонстрации способа решим уравнение + 10 − 24 = 0. Разложим левую часть на множители: + 10 − 24 = + 12 − 2 − 24 = + 12 − 2 + 12 = + 12 − 2. Следовательно, уравнение можно переписать так: + 12 − 2 = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = − 12. Пример решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.2). 1.3. Метод выделения полного квадрата Выделение полного квадрата − это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде ± ²суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения. Решим уравнение ² + 14 + 40 = 0. Решение: Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата. Для применения первой формулы необходимо получить выражение ² + 14 + 49 = 0. Поэтому прибавим и отнимем от многочлена ² + 14 + 40 число 9, чтобы выделить полный квадрат ² + 14 + 40 + 9 − 9 = 0 ² + 14 + 40 + 9 − 9 = 0 ² + 14 + 49 − 9 = 0 + 7² − 9 = 0 Применим формулу «разность квадратов» ² − ² = − ⋅ + + 7² − 32 = 0 + 7 – 3 + 7 + 3 = 0 5 + 4 + 10 = 0 + 4 = 0 + 10 = 0 = – 4 = – 10 Ответ: – 4; – 10. Пример решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.3). 1.4. Решение уравнений с помощью теоремы Виета Для решения полного квадратного уравнения по теореме Виета нужно разделить всё уравнение на коэффициент а. Для уравнения + + = 0, если х1 и х2 его корни, справедливы формулы: x1 x2 = q x1 + x2 = − p Пример решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.4). 1.5.Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов Если выполняется следующее условие: а + с = , то = −1 ; = −с/а Пример: 4 + 3 − 1 = 0 = −1 4−1=3 = −1/4 = −0,25 Если выполняется следующее условие: а + + = 0, то = 1 , = с/а Пример: 5 + 2 − 7 = 0 = 1 5+2−7=0 = 7/5 = 1,2 Пример невозможности решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.5). 1.6. Решение уравнений способом «переброски» Так называемый неприведённых и метод «переброски» непреобразуемых к позволяет виду сводить приведённых с решение целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к 6 решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем: умножим уравнение + + с = 0 на а. Получим: ²² + + = 0. Введём новую переменную y=ax. Получим y2+by+ac=0. Корни этого уравнения y1 и y2.Следовательно х1=y1/a; х2=y2/a. Пример решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.6). 1.7. Геометрический способ решения квадратных уравнений Решим уравнение ² − 4 − 12 = 0. Представим его в виде ² − 4 = 12. На рисунке 1«изображено» выражение − 4х , т.е. из площади квадрата со стороной х дважды вычитается площадь квадрата со стороной 2. Значит х2 – 4х+4 есть площадь квадрата со стороной х-2. Выполнив замену ² − 4 = 12, получим − 2² = 12 + 4 − 2² = 16 −2=4 − 2 = −4 = 6 = −2 Рис. 1 Ответ: = 6 , = −2. Пример решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.7). 1.8. Графическое решение квадратного уравнения В уравнении ² + + = 0 перенесём второй и третий члены в правую часть уравнения. Получим: ² = − − . Построим графики функций ( = ² (парабола); (=− − (прямая). Следует учесть, что: Рис. 2 - если прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; - если прямая касается параболы (только одна общая точка), то уравнение имеет один корень; 7 - если прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. Пример решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.9). 1.9. Решение уравнения при помощи циркуля и линейки. Решим уравнение ² + + = 0: 1) построим на координатной плоскости точки: A( −/2; + /2)-центр окружности и В(0; 1) 2)Проведём окружность r=AB ис. 3 3)Абсциссы точек пересечения с осью Ox есть корни исходного уравнения Следует учесть, что: - если радиус окружности больше ординаты центра (AB>АС, или ) > + /2), окружность Рис. 4 Пересекает ось абсцисс в двух точках .К (х1 ; 0) и N (х2 ;0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ² + + = 0. - если радиус окружности равен ординате центра (AB = AС, или ) = + /2, окружность касается оси абсцисс в точке С(х1 ; 0), где х1 – корень квадратного уравнения. - если радиус окружности меньше ординаты центра (AB<AС, или ) < + /2, окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения. Пример решения уравнения данным способом находится в Приложении 1 (1.9). 1.10. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений. Номограмма даёт значения положительных корней уравнения ,² + , + = 0. Если уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из -р. 8 В случае, когда оба корня отрицательны, берут , = −- и находят по номограмме два положительных корня t1; t2уравнения -² + − - + , = 0, а затем , = −- ; , = −- . Если коэффициенты pи qвыходят за пределы шкал, выполняют подстановку / 1 0 02 , = .- и решают посредством номограммы уравнение - + - + kберётся с таким расчётом, чтобы имели место неравенства −12,6 ≤ −12,6 ≤ 1 0² = 0 , где / 0 ≤ 12,6; ≤ 12,6. Вид монограммы для решения уравнения ,² + , + = 0 можно найти в Приложении 2. Заключение В ходе выполнения данной исследовательской работы мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выбранной теме, изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться решать квадратные уравнения 10 способами. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них по-своему интересен. С моей точки зрения, наиболее рациональными для использования будут способы, изучаемые в школе: 1.1.(по формуле); 1.4.(по теореме Виета); а также способ 1.5.(используя свойства коэффициентов). «Плюсы» и «минусы» различных способов решения Название способа решения квадратных Плюсы Минусы уравнений Решение квадратных Можно применить ко всем Нужно выучить уравнений по формуле квадратным уравнениям. формулы. Разложение левой части Нужно правильно уравнения на множители Метод выделения Дает возможность сразу увидеть корни уравнения. За минимальное количество 9 вычислить слагаемых для группировки. Нужно правильно полного квадрата действий можно найти корни найти все слагаемые уравнений для выделения полного квадрата. Решение уравнений с Достаточно легкий способ, использованием дает возможность сразу теоремы Виета увидеть корни уравнения. Свойства коэффициентов легко находятся только целые корни. Подходит только к Не требует особых усилий квадратного уравнения некоторым уравнениям За минимальное количество Решение уравнений способом переброски действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом легко найти только целые корни. теоремы Виета. Геометрический способ решения квадратных похож на способ Наглядный способ. уравнений Графическое решение квадратного уравнения квадрата Могут быть не Наглядный способ Наглядный способ циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы точности при составлении графиков Решение квадратных уравнений с помощью выделения полного Могут быть не точности Наглядный способ, прост в Не всегда под рукой применении. имеется номограмма. Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам не только в школе и в ВУЗе, но и на протяжении всей жизни. 10 Литература: 1. Мордкович, А. Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2013.-260с. 2. Мордкович, А.Г. Алгебра.8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2013.-270с. 3. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с. 4. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с. 5. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990-83с. 6. Теорема Виета – Режим доступа:.http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-3130/817-stihi-o-fransua-vieta/ Теорема Виета(ресурсы удаленного доступа (Internet)). 20.01.2016г. 7. Квадратные уравнения– Режим доступа: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (ресурсы удаленного доступа (Internet)). 20.01.2016г. 11 Приложение 1 Практическая часть 12 Приложение 2 Вид монограммы для решения уравнения ,² + , + 13 =0
