Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень Правило умножения обыкновенных дробей: Для того чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение записать в числителе новой дроби, второе – в знаменателе. 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 ∙ = 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 1 3 1∙3 3 2 2 3 2∙3 ∙ = = ∙3= ∙ = =2 2 5 2 ∙ 5 10 3 3 1 3∙1 1 2 3 2∙3 1 ∙ = = 3 8 3∙84 4 Правило умножения рациональных дробей: Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель произведению их знаменателей 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 ∙ = , где 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 − некоторые многочлены, 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 причем 𝑏 ≠ 0 и 𝑑 ≠ 0. Пример 1: 𝑦2 1 35𝑦 2 5𝑥 2 7𝑦3 ∙ ∙ = = 3 ∙ 2𝑥 𝑦 2𝑥 1 𝑥 2 = 𝑎 −𝑎𝑏 𝑐 + 𝑎𝑐 𝑎2 − 𝑏𝑎𝑐 Пример 2: − 𝑏𝑐 = 𝑐∙ 𝑎 = −𝑏 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 5 𝑎−1 3𝑎3 5𝑎 − 5 3𝑎3 = ∙ 2 = ∙ 2 2 𝑎 𝑎−1 𝑎+1 𝑎 𝑎 −1 1 𝑎 3 5 𝑎 − 1 ∙ 3𝑎 15𝑎 = 2 = 𝑎 ∙ 𝑎−1 𝑎+1 𝑎+1 1 1 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 2 ∙ 𝑎= 𝑎2 − 𝑏𝑎𝑐 =− 𝑏𝑐 𝑎 −=𝑏𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏𝑑 𝑏) 𝑏 Пример 3: 𝑑 − 𝑚2 − 1 2𝑚 − 2𝑛 (𝑚 − 1)(𝑚 + 1) 2(𝑚 − 𝑛) ∙ 2 = ∙ = 𝑚−𝑛 𝑚 +𝑚 1 𝑚−𝑛 𝑚(𝑚 + 1) 1 𝑚 − 1 (𝑚 + 1) ∙ 2(𝑚 − 𝑛) (𝑚 − 1) ∙ 2 2𝑚 − 2 = = = (𝑚 − 𝑛) ∙ 𝑚 𝑚 + 1 𝑚 𝑚 1 1 𝑎𝑎 − + 𝑏𝑏 2 𝑎=−𝑎2𝑏 −=2𝑎𝑏 𝑎2 − + 𝑏2 Пример 4: 2 − 4𝑝 + 4 𝑝 𝑝 𝑝 2 − 4𝑝 + 4 = ∙ = ∙ 𝑝 2 2 3𝑝 − 12 1 3𝑝 − 12 2− 𝑝 𝑝 𝑝2 − 4𝑝𝑝+ 4 4𝑝 + 4 𝑝 𝑝−2 = ∙ = ∙ = ∙ 2 3(𝑝 − −4) 2)(𝑝 + 2) 1 1 3(𝑝 − 2)(𝑝 + 2) 1 (𝑝 − 2) 𝑝∙ 𝑝−2 2 𝑝 ∙ (𝑝 − 2) 𝑝2 − 2𝑝 = = = 3𝑝 + 6 3(𝑝 − 2)(𝑝 + 2) 3(𝑝 + 2) 1 2 = 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 ∙ = 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 Правило деления рациональных дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 ∶ = ∙ , где 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑑 − некоторые многочлены, 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 причем 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 и 𝑑 ≠ 0. Пример 1: 6𝑥 2 2𝑥 3 ∶ 3 = 𝑦 𝑦 3 1 ∙ 𝑦2 6𝑥 2 ∙ 𝑦 3 3𝑦 2 = = 3 𝑦 ∙ 2𝑥 𝑥 1 1 𝑥 Правило возведения рациональных дробей в степень: Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби. Пример 5: 𝑎 2𝑏 3 𝑎 3 𝑎3 = = 3 3 2𝑏 8𝑏 𝑎 𝑏 𝑛 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑏 𝑎𝑛 Пример 6: 2 2 3𝑥 𝑦3 = 𝑎𝑛𝑚 𝑎 𝑏 𝑛 3𝑥 2 2 9𝑥 4 = = 6 3 2 𝑦 𝑦 Пример 7: − 𝑚 3 2 2𝑚𝑛 𝑎2 𝑏 3 −2𝑚𝑛2 3 −8𝑚3 𝑛6 = = 2 3 3 𝑎 𝑏 𝑎6 𝑏 9 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑏
