Применение программы GeoGebra к решению задачx

УДК 735.29
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММЫ GEOGEBRA К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Толстенков Е. Д.
Муниципальное автономное образовательное учреждение «Общеобразовательное
учреждение гимназия №15»
Цель работы: показать возможности использования программы GeoGebra для
решения задач
Метод проведенного исследования: метод моделирования
Основные результаты: интерактивная геометрическая среда GeoGebra позволяет:
выполнить наглядный чертеж при решении задачи; развивать "трехмерное", "объемное"
мышление; моделировать то или иное перемещение объектов. Тем самым среда GeoGebra делает математику более наглядной для учеников, позволяет проводить эффективные исследования при решении различных математических задач.
ВВЕДЕНИЕ
Новые компьютерные технологии постепенно все больше и больше внедряются
в процесс обучения учеников. Но далеко не каждый учитель математики готов использовать в преподавании инновационные технологии. Но технологический прогресс диктует свои условия. Как говорится, "трудно идти вперед с головой, повернутой назад".
Вопросам создания и использования новых информационных технологий, условиям компьютеризации обучения посвящены труды исследователей: Н. В. Апатовой
«Влияние информационных технологий на содержание и методы обучения в средней
школе», В. Ф. Любичевой «Теоретические основы проектирования учебного процесса
по
курсу
"Методика преподавания математики",
С.
А.
Кругликова
«Методика преподавания математики с использованием информационных технологий
и компьютерных продуктов учебного назначения».
Динамическая математика может оказаться очень полезным инструментом в
преподавании, ведь в ее рамках многие понятия и теоремы становятся для учащихся
«видимыми» и «осязаемыми». Наиболее ярким представителем динамической математики является компьютерная среда GeoGebra. Интерактивная геометрическая среда GeoGebra может служить отличным инструментом для учителей математики, так как она
позволяет обеспечить наглядность решения самых разнообразных математических задач, облегчить их понимание. Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке
Java, переведена на 39 языков
Особенностью этой среды является возможность создания на экране чертежей,
выполненных циркулем и линейкой. Причем, если любую точку чертежа переместить в
другое место, то все зависимые элементы чертежа сохранят свою взаимную принадлежность
Среда GeoGebra позволяет создавать на экране компьютера как иллюстративные, так и исследовательские чертежи.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Рассмотрим решения стереометрических задач координатным методом и решение задач с параметром графическим методом с использованием динамической среды
GeoGebra для построения моделей задач и проверки полученных ответов.
ЗАДАЧА 1
В правильной треугольной пирамиде
с основанием
известны реб-
ра
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,
проходящей через середины ребер
и
Решение:
1) Находим координаты точек:
D(
−7√3
7√3
−7√3
7√3
4
4
2
2
; -1,75; 12), E (
; 1,75; 0), A (
; -3,5; 0), B (0; 7; 0), C (
; -3,5; 0)
2) Уравнение прямой DE:
𝒙−𝑬𝒙
𝑫𝒙−𝑬𝒙
=
𝒚−𝑬𝒚
𝑫𝒚−𝑬𝒚
=
𝒛−𝑬𝒛
𝑫𝒛−𝑬𝒛
(1)
7√3
4
7√3
−
2
𝒙−
=
𝒚−𝟏,𝟕𝟓
− 𝟑,𝟓
=
𝒛
𝟏𝟐
Отсюда l = −
коэффициенты
3) Уравнение плоскости ABC:
7√3
2
, m = - 3,5, n = 12, где l, m, n - направляющие
𝑥 − 𝐴𝑥
𝑦 − 𝐴𝑦
𝑧 − 𝐴𝑧
|𝐵𝑥 − 𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧| = 0
𝐶𝑥 − 𝐴𝑥 𝐶𝑦 − 𝐴𝑦 𝐶𝑧 − 𝐴𝑧
(2)
- 73,5√3z = 0
Тогда a = 0, b = 0, c = - 73,5√3, d = 0
4) Находим искомый угол:
|𝑎𝑙+ 𝑏𝑚+ 𝑐𝑛|
sin A = √𝑎2 2 2 √𝑙2 2 2
+𝑏 +𝑐
+𝑚 +𝑛
(3)
sin A =
12
√193
Значит, искомый угол равен arcsin
Ответ: arcsin
12
√193
12
√193
ЗАДАЧА 2
На плоскости фиксируется точка P. Рассматриваются всевозможные равносторонние треугольники ABC, для которых AP = 3, BP = 2. Какую наибольшую длину может иметь CP?
Решение:
1) Координаты точек:
A (3;0), B (x; y), C (x0; y0)
2) Уравнение окружности с радиусом PB = 2:
x2 + y2 = 4
y = √4 − 𝑥 2
Отсюда B (x; y) = B (x; √4 − 𝑥 2 )
3) ∆ABM: AB2 = AM2 + BM2 = 13 - 6x
AB = AC = BC = √13 − 6𝑥
4) ∆ABM: cos BAM =
sin CAK =
𝑦0
√13−6𝑥
Отсюда y0 =
Отсюда x0 =
.
Угол CAK = 120° - arccos
= sin 120° · cos (arccos
3−𝑥
√13−6𝑥
3−𝑥
√13−6𝑥
) - cos 120° · sin (arccos
3−𝑥
√13−6𝑥
)
1
√3
2
5) cos CAK =
3−𝑥
√13−6𝑥
(3 - x) + 2 √4 − 𝑥 2
𝑥0 − 3
√13−6𝑥
√3
2
= cos 120° · cos (arccos
𝑥0 − 3
√13−6𝑥
) + sin 120° · sin (arccos
𝑥0 − 3
√13−6𝑥
)
1
√4 − 𝑥 2 + 2 (3 + x)
6) ∆PCK: PC2 = PK2 + CK2 = 𝑥02 + 𝑦02
PC2 = 13 - 3x + 3√3 √4 − 𝑥 2 = p (x)
3√3𝑥
p'(x) = -3 - √4− 2. Находим точки экстремума:
𝑥
3√3𝑥
P'(x) = 0, -3 - √4−
𝑥2
+
= 0,
x = -1
-1
x
x = -1 - точка максимума, поэтому PC2наиб = 25.
PCнаиб = 5
Ответ: 5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Интерактивная геометрическая среда GeoGebra позволяет: выполнить наглядный чертеж при решении задачи; развивать "трехмерное", "объемное" мышление; моделировать то или иное перемещение объектов, строить трехмерные фигуры, сечения,
графики функций, анимировать эти компоненты, наблюдая их взаимное изменение.
Тем самым среда GeoGebra делает математику более наглядной для учеников, позволяет проводить эффективные исследования при решении различных математических задач, увеличивает скорость усвоения материала, что способствует повышению качества
преподавания математики
Инновационные технологии вносят "движение" в преподавание математики,
позволяют вовлечь в эту науку большее количество учеников
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Гельфанд И.М. Метод координат / И. М. Гельфанд, Е. Глаголева, А. Кириллов. -М.:
Наука, 1973. -184 с.
2. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Полонский, М. Якир.
-К.: Текст, 1992. -290 с.