Элективный курс 9 Решение прикладных задач в Excel

Муниципальное общеобразовательное учреждение
Дьяконовская основная общеобразовательная школа
Буйского муниципального района
Костромской области
«Принята:»
Методическим советом школы
Протокол № ___
от _______________2013 г
_________________________
«Утверждаю:»
Директор ОУ
_____________/Т.В.Румянцева
«______»__________ 2013г.
«Решение прикладных (экономических) задач в Excel»
Программа
элективного курса
по информатике и ИКТ
Класс 9____
Автор программы:
Румянцева Лидия Семеновна,
учитель математики,
высшая квалификационная категория
д. Юрецкие
2013 г.
Пояснительная записка
В настоящее время в России наблюдается переход к постиндустриальному, так
называемому «информационному» обществу, отличительной чертой которого является
перенос центра тяжести в общественном разделении труда из сферы материального
производства в область информационных процессов и технологий. Появляются новые
профессии, непосредственно связанные с обработкой информации. Информационная
компонента становится ведущей составляющей подготовки человека, в какой бы сфере
деятельности ему не пришлось работать в будущем.
Компьютерное моделирование стало одним из основных общенаучных методов
исследования, методов познания мира. Без него трудно представить профессиональную
деятельность людей многих профессий.
Чрезвычайно важные для современного образования вопросы построения и
исследования информационных моделей ещѐ не заняли подобающего места в содержании
базового курса информатики. Вместе с тем наблюдается уменьшение числа часов,
выделенных на изучение курса информатики и ИКТ на ступени основного общего
образования в региональном
и школьном компоненте. Кроме того, предмет
«Информатика и ИКТ» остаѐтся востребованным как экзамен по выбору в итоговой
аттестации выпускников основной школы. Изучение данного курса позволит развить
практические компетенции учащихся в области освоения табличного процессора Excel,
что позволит успешно справиться с заданиями ГИА по информатике, относящихся к теме
курса; даст возможность максимально реализовать межпредметные связи, послужит
средством профессиональной ориентации и будет служить целям профилизации обучения
на старшей ступени школы. Этим обусловлена актуальность данного курса.
Цель курса:

удовлетворение индивидуальных образовательных интересов учащихся в сфере
освоения способов решения прикладных экономических задач средствами ИКТ
Задачи курса:
образовательные

освоить встроенные функции табличного процессора Excel для записи
расчетных формул или условий выбора
при решении прикладных
экономических задач;

учиться выбирать из возможных вариантов решения задачи наиболее
рациональное решение

научиться строить компьютерные модели процесса с помощью табличного
процессора Excel

научиться проводить компьютерный эксперимент с помощью табличного
процессора Excel
воспитательные:

воспитание умения работы в коллективе, группе;

прививать навыки информационной культуры
развивающие:

развивать логическое и вероятностное мышление учащихся;

развивать коммуникативные, эвристические способности учащихся;
Основа курса – личностная, практическая и продуктивная направленность занятий. В ходе
изучения курса учащиеся получают возможность приобретения знаний и умений,
необходимых
им
для
дальнейшего
профессионального
самоопределения
и
самореализации. Овладение умением применять табличный процессор Excel для решения
прикладных задач – это личностно значимый образовательный продукт и результат. В
этом заключается педагогическая целесообразность изучения данного курса.
Формы организации учебных занятий
Курс проводится в виде мини-лекций и практических занятий. На лекции учителем
выдается необходимый объем информации по изучаемой теме, объясняется технологии и
методы решения задач. На практической части урока разбираются решения различных
задач и рассматриваются способы реализации решений с помощью процессора
электронных таблиц Excel. Задачи сгруппированы по блокам в зависимости от изучаемой
темы, предлагаются задачи для самостоятельного решения.
Наполнение материала осуществляется и регулируется учителем
с учетом
способностей обучающихся, профиля класса.
Первое занятие каждого блока начинается с изложения теоретических сведений. В
ходе изложения учитель оперирует материалом из рассматриваемой области научного
знания, показывая межпредметные связи
между ней и информатикой. Практическую
работу на компьютере предваряет разбор задач без применения электронных таблиц.
После этого задача реализуется в электронных таблицах. Задачи постепенно усложняются.
Для активизации деятельности учащихся применяются следующие методы
обучения: деловая игра, эвристическая беседа, методы группового обучения, в процессе
которых ребята получают информацию о специфике той или иной профессиональной
деятельности,
овладевают
соответствующим
теоретическим
материалом,
взаимодействовать друг с другом для получения максимального результата.
учатся
Сроки реализации программы: 1 год
Возраст обучающихся: 13-15 лет
Ожидаемые результаты обучения:
после
прохождения курса учащиеся владеют следующими знаниями, умениями и
способами деятельности:

умеют планировать свою деятельность, связанную с решением задач
различных учебных дисциплин, с использованием электронных таблиц;

умеют описывать решаемые задачи на языке математических понятий, точно
формулируя цель решения;

умеют выбирать оптимальный метод и технологию решения задач
конкретного типа;

умеют грамотно обрабатывать результаты измерений, формулировать
вопросы и выводы по исследуемой проблеме, правильно интерпретировать
полученные результаты;

знают способы решения задач на оптимальное планирование и
управление;
Контрольно – измерительные мероприятия:
Контроль усвоения материала курса осуществляется в процессе беседы, устного
опроса по теории, наблюдения за выполнением самостоятельной работы и практической
работы.
Учебно – тематический план
№ темы
Наименование тем курса
Всего
часов
3
в том числе
лекции
практика
1
2
1
Встроенные функции
2
Простейшие
статистические
характеристики.
6
1
5
3
Задачи оптимизации
6
2
4
2
1
1
17
5
12
4
Решение уравнений
Итого:
Формы контроля
устный опрос,
беседа,
практическая
работа
устный опрос,
беседа,
практическая
работа
устный опрос,
беседа,
практическая
работа
устный опрос,
беседа,
практическая
работа
Календарно – тематическое планирование
№ занятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Тема 3.
10.
11
12
Тема раздела,
занятия
колформы и
Дата
во
методы
занятия
часов
обучения
(план)
Тема 1. Встроенные функции. 3 ч.
Встроенные функции.
1
лекция,
Основные понятия
коллективная
Практическая работа
1
практическая
№1.
Встроенные
работа,
математические
групповая
функции
Практическая работа
1
практическая
№
2.
Встроенные
работа,
условные и логические
индивидуальная
функции
Тема 2. Простейшие статистические характеристики. 4 ч.
Простейшие
1
лекция,
статистические
коллективная
характеристики
Практическая работа
1
практическая
№ 3. Медиана как
работа,
статистическая
индивидуальная
характеристика.
Практическая работа
1
практическая
№
4.
Сбор
и
работа,
группировка
индивидуальная
статистических
данных Частота.
Практическая работа
1
деловая игра,
№ 5. Статистический
обучение в
анализ.
группе
Практическая работа
1
практическая
№ 6. Расчѐт среднего
работа,
значения.
индивидуальная
Практическая работа
1
практическая
№ 7. Размах, мода и их
работа,
практическое
индивидуальная
значение.
Задачи оптимизации. 6 ч.
Инструмент
«Поиск
1
лекция,
решения».
Команда
коллективная
«Подбор параметров».
Практическая работа
1
практическая
№ 8. Составление
работа,
штатного расписания.
индивидуальная
План
выгодного
1
эвристическая
производства.
беседа,
коллективная
Дата
занятия
(факт)
13
14
15
Тема 4.
16
17
Практическая работа
№ 9. Задачи
о
перевозках.
Практическая работа
№ 10. Минимизация
затрат на оплату труда.
Практическая работа
№ 11. Нахождение
максимальной
суммарной цены.
Решение уравнений. 2ч.
Практическая работа
№ 12. Графическое
решение уравнения.
Практическая работа
№
13. Числовое
решение уравнения с
заданной точностью.
1
1
1
1
1
практическая
работа,
индивидуальная
практическая
работа,
индивидуальная
практическая
работа,
индивидуальная
практическая
работа,
индивидуальная
практическая
работа,
индивидуальная
Литература
для учителя:
1.Ю.В. Макарычев, Н.Г. Миндюк Элементы статистики и теории вероятностей. М.:
Просвещение, 2003.
2.Н.В.Макарова Информатика. Задачник по моделированию 7-9 класс.-СПб.:Питер,
2006
3.А.Г.Дубинина, С.С.Орлова Excel для экономистов и менеджеров, .-СПб.:Питер, 2008
4. Симонович С.В., Евсеев Г.А. Практическая информатика. Учебное пособие для
средней школы. Универсальный курс. – Москва: АСТ-ПРЕСС: Информ-Пресс,
1998
5. Симонович С.В. Компьютер в вашей школе. М.: АСТ-ПРЕСС: Информком-Пресс,
2001
6. Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям.
Учебное пособие для общеобразовательных учреждений/Н.Д.Угринович, Л.Л.Босова,
Н.И.Михайлова. – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002. 400 с.:ил.
7. Н.В. Макарова «Информатика. Задачник по моделированию»
8. А.Х. Шелепаева «Поурочные разработки по информатике»
для учащегося:
1. Симонович С.В., Евсеев Г.А. Занимательный компьютер. Книга для детей,
учителей и родителей. Москва: АСТ-ПРЕСС: Информком-Пресс, 2002
2. Н.В. Макарова «Информатика. Задачник по моделированию»
3. ГИА 2013, Экзамен в новой форме: Информатика: 9-й. : Тренировочные варианты
экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой
форме/авт.-сост. Д.П.Кириченко, П.О.Осипов, А.В.Чернов. – М.: АСТ. Астрель, 2013
4. Информатика и ИКТ. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2011./Под ред. Ф.Ф.Лысенко,
Л.Н. Евич. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011
5.Н.В.Макарова Информатика. Задачник по моделированию 7-9 класс.-СПб.:Питер,
2006
Интернет – ресурсы:
1. Встроенные функции http://exsolver.narod.ru/
2. Решение уравнений
http://www.exponenta.ru/educat/systemat/pimonov/Equations/gl2.asp
Методическое сопровождение.
Материалы для учителя.
Тема 1. Встроенные функции.
Лекция.
Цель: научиться работать с Мастером функций, проводить анализ данных .
MS Excel содержит 320 встроенных функций. Простейший способ получения полной
информации о любой из них заключается в использовании меню ? (справка) .Для
удобства функции в Excel разбиты по категориям (математические, финансовые,
статистические и т.д.).
Обращение к каждой функции состоит из двух частей: имени функции и аргументов в
круглых скобках. Аргументы функции могут быть следующих типов:
1)числовые константы, например, функция ПРОИЗВЕД(2;3) вычисляет произведение
чисел 2 и 3, т.е. 2·3.
2)ссылки на ячейки и блоки ячеек (функция ПРОИЗВЕД (А1;С1:СЗ) вычисляет
произведение содержимого ячеек А1,С1,С2 и С3, т.е.А1·С1·С2·СЗ
3) текстовые константы (заключенные в кавычки).
4) логические значения.
5) массивы.
6) имена ссылок, например, если ячейке А10 присвоить
имя СУММА (последовательность команд Вставка, Имя, Определить.. .),а блоку
ячеекВ10:Е10 -имя ИТОГИ , то допустима следующая запись: =СУММ(СУММА;
ИТОГИ).
7) смешанные аргументы, например, =СРЗНАЧ (Группа;АЗ;5*3)
Формулы, содержащие функции, можно вводить непосредственно в ячейку, в строку
формул или создавать с помощью Мастера функций. Для вызова Мастера
функций необходимо выбрать команду Функция в меню Вставка или нажать
кнопку Мастер функций (значок fx ). B открывшемся диалоговом окне выберите
категорию и имя функции, затем в поля с соответствующими подсказками введите
аргументы. После нажатия кнопки Закончить готовая функция появится в строке формул
Пример 1. Вычислить значение функции у = ех · sin(x) для -1=< х <=1 c с шагом ?х=0,2 .
Определить количество отрицательных у.
Заполним столбец А значениями аргумента функции. Чтобы не вводить их вручную ,
применим следующий прием. Введите в ячейку А1начальное значения аргумента -1 . В
меню Правка выберите команду Заполнить, затем Прогрессия и в открывшемся
диалоговом окне укажите предельное значение
(1),шаг(0.2 ) и направление (По столбцам). После нажатия кнопки ОК в столбце А будут
введены все значения аргумента . В ячейку В1введите формулу : =exp(А1)*
sin(AI). Размножьте эту формулу на остальные ячейки столбца В, ухватив левой мышью
черный квадратик в правом нижнем углу рамки выделенной ячейки В1 и протащив рамку
до конца изменения аргумента . В итоге будут вычислены соответствующие значения
функции.
Для определения количества отрицательных у в ячейку С1 введите
формулу =СЧЕТЕСЛИ (В 1: В 11; <0). В результате в ячейке С1 будет вычислено
количество отрицательных значений в ячейках В1:В11 (т.е. у ). Принцип действия
большинства логических функций Excel заключается в проверке некоторого условия и
выполнения в зависимости от него тех или иных действий. Так,
функция ЕСЛИ выполняет проверку условия, задаваемого первым аргументом
логического выражения: ЕСЛИ (логичическое 1; значение_да; значение нет) и
возвращает значение да, если условие выполнено (ИСТИНА) , и значение нет, в
противном случае (ЛОЖЬ).
Например:
1)=ЕСЛИ(В6<10;5; 10). Если значение в ячейке В6<10, то функция вернет результат 5 ,
иначе -10.
2 )=ЕСЛИ(В4>80;"Сданы";"Не сданы"). Если значение В4>80, то в ячейке с
приведенной формулой будет записано "Сданы ", иначе - "Не сданы".
3) =ЕСЛИ(СУММ(А1:А10)>0; СУММ(В1:В10);0). Если сумма значений в
столбце А1:А10 >0 , то в ячейке, содержащей эту формулу вычислится сумма значений в
столбце В1:В10, иначе – запишется 0.
Дополнительные логические функции:
=И (логическое выражение 1; логическое выражение 2;...) – возращает значение
ИСТИНА, если все аргументы истинны, и ЛОЖЬ, если хотя бы один аргумент – ЛОЖЬ.
Например, для =ЕСЛИ(СУММ(А1:А10)>0; И; СУММ(В1:В10)>0;
СУММ(А1:В10);0). Если суммы и в столбце А1:А10 и в столбце В1: В10положительны ,
то вычислить сумму значений в ячейках А1:В10 , иначе - 0.
Аналогично используются:
=ИЛИ (логическое 1;логическое 2;...) – возращает значение ИСТИНА, если хотя бы один
аргумент является - ИСТИНА
=НЕ (флаг) – меняет значение ИСТИНА на ЛОЖЬ и наоборот.
Анализ статистических данных
MS EXCEL предоставляет широкие возможности для анализа статистических данных. Для
решения простых задач можно использовать встроенные функции. Рассмотрим некоторые
из них.
1 .Вычисление среднего арифметического последовательности чисел:
=СРЗНАЧ(числа).
Например: =СРЗНАЧ(5;7;9) , =СРЗНАЧ(А1 :А10;С1 :С10), =СРЗНАЧ(А1:Е20).
2. Нахождение максимального
(минимального)значения: =МАКС(числа) =МИН(числа). Например: =МАКС(А4:С10);=
МИН(А2;С4;7)
3.Вычисление медианы (числа являющегося серединой множества): =МОДА(числа).
Следующие функции предназначены для анализа выборок генеральной совокупности
данных.
5.Дисперсия: ДИСП(числа).
6 Стандартное отклонение: =СТАНДОТКЛОН(числа).
7. Ввод случайного числа: =СЛЧИС() .
Пакет анализа
Для решения сложных задач применяется ПАКЕТ АНАЛИЗА.
ПАКЕТ АНАЛИЗА –дополнение EXCEL расширяющее аналитические возможности и
позволяющее строить гистограммы, составлять таблицы ранг и персентиль, делать
случайные или периодические выборки данных и находить их статистические
характеристики, генерировать неравномерно распределенные случайные числа, проводить
регрессионный анализ и многое другое. Чтобы воспользоваться инструментами анализа,
выполните следующие действия:
1) В меню Сервис выберите команду Анализ данных....
2)Выберите из списка название нужного инструмента анализа и нажмите ОК.
3)В большинстве случаев в открывшемся диалоговом окне нужно просто указать интервал
исходных данных интервал для вывода результатов и задать некоторые параметры.
Инструмент Описательная статистика формирует таблицу статистических данных,
ускоряя и упрощая этот процесс по сравнению с использованием формул 1-6.
Инструмент Генерация случайных чисел дает возможность получать равномерное и
неравномерное распределение.
Инструмент Гистограмма позволяет создавать гистограммы распределения данных.
Область значений измеряемой величины разбивается на несколько интервалов,
называемых карманами, в которых в виде столбцов откладывается количество попавших в
этот интервал измерений, называемой частотой.
Пример .
Дана таблица с данными о температуре воздуха в Краснодаре летом 2000 года. Интервал
измерения от 18°С до 38°С (его можно определить с помощью функций MAKC() и
МИН().
1. Разобьем этот интервал на подинтервалы - карманы шириной, например 2°С (ширина
карманов не обязательно должна быть равной).
2. Воспользуемся командой Заполнить из меню Правка для быстрого заполнения
столбца карманов (значения в столбце будут изменяться от 18 до 38°С с шагом 2°С).
3. Выполним команду Анализ данных из меню Сервис , открывшемся диалоговом окне
зададим входной интервал (это ячейки с данными о температуре), интервал карманов
выходной интервал (надо указать только верхнюю левую ячейку для выхода результатов)
и установим флажок Выход графика.
4. После нажатия кнопки ОК на экран будет выведена гистограмма, а рядом со столбцом
карманов появится столбец частот, показывающий, сколько дней летом в Краснодаре
имели температуру, попадавшую в каждый интервал.
Сбор и группировка статистических данных. Частота
Обучающимся предлагается следующий теоретический материал:
Для изучения различных общественных и социально-экономических явлений, а также
некоторых процессов, происходящих в природе, проводятся специальные статистические исследования. Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленного сбора
информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап называется этапом
статистического наблюдения.
Для обобщения и систематизации данных, полученных в результате статистического
наблюдения, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты группировки сводят
в таблицы.
Рассмотрим такой пример. Администрация школы решила проверить математическую
подготовку восьмиклассников. С этой целью был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу
выполняли 40 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал число верно
выполненных заданий. В результате был составлен такой ряд чисел:
6, 5, 4, 0, 5, 7, 9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 6, 7, 2, 5, 7, 6, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 4, 3, 5, 9, 6, 7, 8, 6, 9,
8.
Для того чтобы удобно было анализировать полученные данные, упорядочим этот ряд:
0,
1, 2,
3,3,
4,4,4,4,4,
5,5,5,5,5,5,
6,6,6,6,6,6,6,6, 7 ,7,7,7,7,7,7,
8,8,8,8, 9,9,9,9.
Представим полученные данные в виде таблицы, в которой для каждого числа верно
выполненных заданий, записанного в верхней строке, укажем в нижней строке количество
появлений этого числа в ряду, то есть частоту:
Число
верно 0
выполненных
заданий
Частота
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
5
6
8
7
5
4
Такую таблицу называют таблицей частот.
В рассмотренном примере сумма частот равна общему числу проверяемых работ,
то есть 40.
Вообще, если результат исследования представлен в виде таблицы частот, то сумма
частот равна общему числу данных в ряду.
При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных
переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели.
Простейшими из них являются такие известные вам статистические характеристики, как
среднее арифметическое, мода, медиана, размах.
Проанализируем результаты проведенной проверки работ учащихся.
Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно выполненных
заданий разделить на число учащихся, то есть на 40. Получим: (0•1 + 1 • 1 + 2 • 1 +3•2 + 4•5 +
5 •6 + 6•8 + 7•-7 + 8•5 + 9•4) / 40 = 5,8
Значит, в среднем учащиеся выполнили по 5,8 заданий, то есть примерно 2/3
общего объема работы.
Введем некоторые новые понятия:
Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим значениями из
этих чисел.
Модой ряда чисел называют число, чаще других встречающееся в данном ряду.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называю число,
записанное посердине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов
называют среднее арифметическое двух чисел, записанных посиредине.
Наибольшее число верно выполненных учащимися заданий равно 9, а наименьшее
- 0. Значит, размах ряда равен 9-0 = 9, то есть различие в числе верно выполненных
заданий достаточно велико. Из таблицы ясно, что чаще всего встречаются работы, в которых верно выполнено 6 заданий, то есть мода ряда равна 6.
Найдем медиану ряда. Так как в ряду всего 40 чисел, то медиана равна среднему
арифметическому 20-го и 21 -го членов соответствующего упорядоченного ряда. Для того
чтобы определить, в какие группы попадают эти члены, будем последовательно суммировать частоты и сравнивать суммы с числами 20 и 21. Найдем, что 1 + 1 + 1 + 1+2 + 5 + 6
= 16, 1 + 1 + 1 + 2 + 5 + 6 + 8 = 24, то есть 20-й и 21 -й члены ряда попадают в ту группу,
которую составляют учащиеся, верно выполнившие 6 заданий. Значит, медиана ряда
равна (6 + 6):2 = 6.
Иногда составляют таблицу, в которой для каждого данного указывается не
частота, а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это отношение,
выраженное в процентах, называют относительной частотой, а саму таблицу таблицей относительных частот.
В нашем примере общая численность совокупности - это число учащихся,
писавших работу, то есть 40. Таблица относительных частот выглядит следующим
образом:
Число верно выполненных 0
1
2
3
4
5
6
7
8
заданий
2,5 2,5 2,5 5
12,5 15
20
17,5 12,5
Относительная частота,%
Нетрудно убедиться, что сумма относительных частот составляет 100 %.
9
10
Вообще, если по результатам исследования составлена таблица относительных
частот, то сумма относительных частот равна 100%.
Заметим, что при большом разбросе данных в ряду таблицы частот или
относительных частот перестают быть наглядными и становятся излишне громоздкими. В
таких случаях для анализа данных строят интервальный ряд. Для этого разность между
наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей (примерно 519) и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. За начало первого
интервала часто выбирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое число,
расположенное левее. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в
этот интервал, или выраженное в процентах отношение этого числа к общей численности
совокупности. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему
интервалу.
Пусть, например, на партии из 50 электроламп изучали продолжительность их
горения (в часах). По результатам составили такую таблицу:
Продолжительность
горения, ч
До 200
200-400
400-600
Частота
1
3
5
600-800
9
800-1000
16
1000-1200
9
1200-1400
5
1400-1600
2
Пользуясь составленной таблицей, найдем среднюю продолжительность их
горения. Для этого составим новую таблицу частот, заменив каждый интервал числом,
которое является его серединой. Получим:
Продолжительность Частота
горения, ч
100
1
300
3
500
5
700
9
900
16
1100
9
1300
5
1500
2
Для полученного ряда данных найдем среднее арифметическое: (100-1 + 300-3 +
500-5 + 700-9 + 900-16 + 1100-9 +1300- 5 + 1500-2)/ 50 =870
Значит, средняя продолжительность горения электроламп приближенно равна 870
часам.
В рассмотренном в начале урока примере были проанализированы результаты выполнения
теста восьмиклассниками одной школы. Тот же тест можно было бы использовать для более
широкой проверки математической подготовки учащихся,
например,
предложить его
восьмиклассникам всех школ города или региона. Заметим, что организация такой проверки
связана с серьезными трудностями по пересылке тестов в школы, сбору и проверке работ
учащихся, обработке полученных результатов. Вообще, проведение любого массового
исследования требует больших организационных усилий и финансовых затрат. Например,
перепись населения страны связана с подготовкой разнообразной документации, выделением и
инструктажем переписчиков, сбором информации, обработкой собранных сведений.
В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное
исследование, его заменяют выборочным.
При выборочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, называемой
генеральной совокупностью, выбирается определенная ее часть, то есть составляется
выборочная совокупность (выборка), которая подвергается исследованию. При этом выборка
должна быть представительной, или, как говорят, репрезентативной, то есть отражающей
характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.
Пусть, например, в ходе кампании по выборам мэра в городе со стотысячным населением
хотят узнать, кто из кандидатов имеет наибольшие шансы на успех. Для этого проводят опрос,
например, полутора тысяч избирателей, в ходе которого выясняется, за кого они собираются
голосовать. При этом нельзя опрашивать только молодых избирателей или только пенсионеров,
так как это может привести к неправильным выводам. Необходимо, чтобы среди опрашиваемых
было примерно одинаковое число мужчин и женщин, людей с разным социальным положением и
образованием.
Выборочное исследование проводят также и тогда, когда проведение сплошного
исследования связано с порчей или уничтожением продукции. Например, при исследовании
продолжительности горения партии электроламп, выпущенных заводом, невозможно
проверить всю партию, так как это просто привело бы к ее уничтожению.
Сбор и группировка статистических данных. Частота
Обучающимся предлагается решить следующие задачи под руководством
учителя:
Задача 1
На выборах мэра города будут баллотироваться три кандидата:
1. Алексеев;
2. Иванов;
3. Карпов.
(Обозначим их числами 1, 2, 3.) Проведя опрос 50 избирателей, выяснили, за кого
из кандидатов они собираются голосовать. Получили следующие данные:
2
1
3
3
1
3
1
3
2
3
2
2
2
2
2
3
3
3
2
1
3
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1
1
2
2
1
3
2
1
3
1
3
2
2
1
2
Необходимо представить эти данные в виде таблицы частот.
Технология работы:
-Запустите табличный процессор Excel.
-Заполните таблицу в соответствии с образцом (так как ряд достаточно большой, то
поместим данные в диапазон клеток):
1
2
3
4
5
6
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Таблица частот на выборах мэра города
2
1
3
3
1
3
1
3
2
3
2
2
2
2
2
3
3
3
2
1
3
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
J
K
L
M
N
O
P
2
3
3
1
1
2
2
1
3
2
1
3
1
3
2
2
1
2
1
2
3
13
23
14
0
Выделите диапазон P3:P6, в котором будет выведена частота.
Используя функцию ЧАСТОТА (данные; интервалы), где данные - это множество
значений блока B3:N6, а интервалы – блок O3:O5, определим число людей в группах.
(=ЧАСТОТА(B3:N6; O3:O5).
Введите формулу в ячейку P3, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Задача 2
Учащимся восьмых классов школы некоторого города была предложена
контрольная работа по алгебре, содержащая 6 заданий. При подведении итогов составили
таблицу, в которой указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т. д. задания:
Число выполненных
заданий
0
1
2
3
4
5
6
Число учащихся
27
53
87
223
146
89
Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот (с точностью до
1%).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Технология работы:
Заполните таблицу в соответствии с образцом:
A
B
C
Таблица относительных частот
исходные данные результат в %
0
0
0,00
1
27
4,46
2
33
5,45
3
87
14,38
4
223
36,86
5
146
24,13
6
89
14,71
605
100
Введите формулы в расчетные ячейки:
Ячейка
Формула
В10 =СУММ(ВЗ:В8)
(1)
С3
=В2/В$10*100
(2)
С10 =СУММ(СЗ:С9)
(3)
Формула 3 вставлена для контроля. (Значение должно быть 100%.)
Задача 3
При изучении качества продукции, выпущенной цехом, определяли число бракованных
деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей.
Получили такую таблицу:
Число бракованных
0
1
2
3
4
деталей
Число ящиков
8
22
13
2
2
Найдите среднее арифметическое, размах и моду полученного ряда данных. Объясните
практический смысл этих статистических характеристик.
Технология работы:
Заполните таблицу в соответствии с образцом (так как ряд достаточно большой, то
поместим данные в диапазон клеток):
А
В
Качество продукции цеха
Число
Число бракованных
ящиков
деталей
0
8
1
22
2
13
3
2
4
2
Промежуточный
результат
Среднее
арифметическое
9,4
Минимум
2
Максимум
22
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Результат
Размах
Мода
20
2
Введите формулы в расчетные ячейки:
Ячейка
Формула
В9
=СРЗНАЧ(В3:В7)
B10
=МИН(В3:В7))
B11
=МАКС(В3:В7)
B13
=В11-В10
B14
=МОДА(В3:В7)
Задача 4
Имеются следующие данные о распределении участников похода по возрасту:
Возраст, лет
Число
участников
18-22
25
22-26
18
26-30
5
30-34
2
Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний возраст участников.
Технология работы:
Заполните таблицу в соответствии с образцом:
А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
В
С
D
E
Cредний возраст участников похода
Исходные данные
средний
Число
Середина
возраст
участников
Возраст, лет
возрастного
участников
интервала
22
20
25
18
500
26
24
18
22
432
30
28
5
26
140
34
32
2
30
64
50
1136
22,72
Введите формулы в расчетные ячейки:
Ячейка
Формула
C4
=МЕДИАНА(A4:B4)
E4
=C4*D4
E8
=СУММ(E4:E7)
D8
=CYMM(D4:D7)
D7
=E8/D8
Сбор и группировка статистических данных. Частота
Обучающимся предлагается решить следующие задачи:
Задача 1
В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено, сколько времени в неделю (с точностью
до 0,5 часа) они затрачивают на занятиях в кружках и спортивных секциях. Получили следующие
данные:
5
1,5
0
2,5
1
0
0
2
2,5
3,5
4
5
3,5
2,5
0
1,5
4,5
3
3
5
3,5
4
3,5
3
2,5
2
1
2
2
4,5
4
3,5
2
5
Представьте этот ряд в виде таблицы частот. Найдите, сколько времени в среднем тратят
ученики на занятия в кружках и спортивных секциях.
Технология работы:
- Запустите табличный процессор Excel.
- Заполните таблицу в соответствии с образцом:
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
D
E
Исходные данные
5
0
4
1,5
3,5
2
4
1,5
0
5
4,5
4
1
3,5
0
2
3,5
3
3,5
2
2
2,5
2,5
2,5
3
3
2
5
1
3,5
0
5
2,5
4,5
F
G
Значение
Частота
ряда
0
4
0,5
0
1
2
1,5
2
2
5
2,5
4
3
3
3,5
5
4
3
4,5
2
5
4
- Выделите диапазон G2:G12.
- Используя функцию ЧАСТОТА (данные; интервалы), где
данные - это множество значений блока А2::Е8, а интервалы - лока F2:F12, определим
число людей в группах. =ЧACTOTA(A2:E8;F2:F12).
- Введите ее, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Задача 2
Ряд данных о количестве акций одинаковой стоимости, приобретенных сотрудниками
лаборатории, представлен в виде таблицы частот:
Число акций
Частота
2
20
5
12
10
7
25
4
100
2
Для этого ряда данных найдите среднее арифметическое, размах и моду. Что
характеризует каждый из этих показателей?
Технология работы:
Заполните таблицу в соответствии с образцом:
1
2
3
4
5
A
В
Акции сотрудников лаборатории
исходные
данные
2
20
5
12
10
7
6
7
8
25
100
Промежуточный
результат
4
2
Среднее
арифметическое
9
10
Минимум
11
Максимум
12
Результат
13
14
Размах
Мода
9
2
20
18
2
Для решения задачи введите формулы в расчетные ячейки:
Ячейка
Формула
В9
=СРЗНАЧ(B3:B7)
В10
=МИН(B3:B7)
В11
=МАКС(B3:B7)
BI3
=В11-В10
В14
=МОДА(B3:B7)
Задача 3
При проверке 70 работ по русскому языку отмечали число орфографических
ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы
частот:
0
1
2
3
4
5
6
Число
4
6
15
26
12
4
3
Частота
ошибок
Каково наибольшее различие в числе допущенных ошибок? Какое число ошибок
является типичным для данной группы учащихся? Укажите, какие статистические
характеристики были использованы при ответе на поставленные задачи?
Технология работы:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
Исходные данные
0
4
1
6
2
15
3
26
4
12
5
4
6
3
Промежуточные
результаты
Минимум
3
Максимум
Результаты
Размах
Мода
11
12
13
14
26
23
4
Для решения задачи введите формулы в расчетные ячейки:
Ячейка
Формула
В10
=МИН(В2:В8)
В11
=МАКС(В2:В8)
В13
=В11-В10
В14
=МОДА(В2:В8)
Задача 4
Ниже показана
среднесуточная
переработка
сахара (в тыс. ц) заводами сахарной
промышленности некоторого региона:
12,0
20,1
20,8
13,5 14,7
16,9 19,1
19,7 18,9
Представьте эти
18,9 17,3 16,1
18,4 17,8 15,6
19,0 16,1 15,8
данные в виде ряда с интервалами длиной в три единицы. Найдите,
сколько сахара в среднем перерабатывал в сутки завод региона:

заменив каждый интервал его серединой;

используя заданный ряд;
В каком случае средняя выработка найдена точнее?
А
1
2
3
12
4
20,1
5
20,8
6
Результат
В
С
D
Е
F
G
Н
I
J
К
Cреднесуточная переработка сахара (в тыс. ц) заводами
ЗначеИнтервальЧасто
Произведение
Исходные данные
ние
ный ряд
та
ряда
18,
16,
0
13,5 14,7
17,3
0
12
6
0
9
1
18,
15,
27
16,9 19,1
17,8
12
15,00
13,5
2
4
6
15,
82,5
19,7 18,9 19 16,1
15
18
16,5
5
8
ср.
знач
17,3
18
21
19,5
7
8
ср.
знач
9
8
156
3
18
265,5
14,8
Для решения задачи введите формулы в расчетные ячейки:
Ячейка
Формула
I3
=МЕДИАНА(G6:H6), скопируйте ее для всего столбца
С6
=CP3HAЧ(A2:F4)
Выделите диапазон J3: J 7
J3
=ЧACTOTA(A3:F5; I3: I5)
К3
= I 3* J3
J8
=СУММ(J3: J7)
К8
=CУMM(К3: К8)
С9
= К8/ J8
ДИСПЕРСИЯ
Часто в жизни приходится обрабатывать данные наблюдений. При чем
наблюдать можно что угодно. Например, каждый день вы ходите в школу и
обратно. Сколько шагов вы делаете, преодолевая это расстояние? Если в течение
нескольких дней вы из любопытства проведете подсчеты, то наверняка у вас получатся близкие друг к другу, но всѐ же разные числа. Никому, конечно, и в голову
не придет, что меняется расстояние между школой и домом. Ясно, что на
количество шагов влияют различные внешние факторы: скажем, в школу вы шли
быстро, чтобы не опоздать, и ваш шаг был шире, а по дороге домой вы шли не
спеша, с одноклассницей, и ваш шаг был короче. Можно сказать, что количество
шагов от дома до школы — величина случайная.
Проведя 20 наблюдений, вы получите 20 значений случайной величины.
Пусть при таком измерении некий школьник Иванов получил следующую
последовательность чисел:
372, 376, 374, 375, 373, 364. 380, 374, 377, 375, 376, 373, 375, 374, 373, 371.
375, 373, 374, 376.
Их удобнее расположить в виде линейной таблицы. Какое же количество
шагов естественно взять в качестве расстояния от школы до дома? Каждому ясно
— среднее арифметическое. В данном случае это 374.
Выясним, какие значения получил Иванов. Пусть это набор чисел от А до В.
У другого ученика, естественно, будет другой набор, но тоже в каком -то
промежутке. Возьмем данные, полученные четырьмя учениками и занесем их в
таблицу.
Это будет двумерный массив размером 4 х 20 (у каждого из 4 учеников 20
наблюдений). Распечатаем полученную таблицу и найдем среднее арифметическое для
каждой строки.
Конечно, среднее арифметическое уберегает нас от ошибочных выводов. Но как
же достаточно точно определить расстояние, проведя то или иное количество
наблюдений?
Математики для этой цели ввели специальную величину и назвали ее дисперсией
(от лат. dispersio — рассеяние, т. е. разброс данных). Обозначим значения случайной
величины через А,, А 2 , A N , а среднее арифметическое этих значений — через М.
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов разностей между значениями
случайной величины и ее средним значением. В наших обозначениях:
D=
((A1-M)2+(A2-M)2+…(AN-
M)2)/N
Из этой формулы видно, что чем меньше дисперсия, тем меньше отличаются
результаты наблюдении от своего среднего значения и тем ближе среднее значение к
истинному. В частности, если дисперсия равна нулю, то все числа А. совпадают между
собой (и со своим средним значением).
Вновь вернемся к наблюдениям Иванова.
Конечно, среднее значение (374) числа шагов от дома до школы характеризует не
только расстояние, но и длину человеческого шага: у разных людей длина шага разная.
Куда больше можно узнать о человеке, его характере, темпераменте и некоторых
наклонностях, имея всю последовательность наблюдений.
Например, рассматривая приведенную выше последовательность, можно предположить, что значение 364 получилось в тот день, когда Иванов опаздывал в школу.
Вообще же характер у него довольно ровный, темперамент скорее флегматичный — лишь
один раз (получив, наверное, двойку) он шел заметно медленнее, чем обычно, сделав 380
шагов. Подумайте, что еще можно сказать об Иванове.
Допустим, что Иванов сагитировал нескольких своих товарищей провести тот же
эксперимент. Через 10 дней каждый из них, в том числе и Иванов, представили по 20
результатов наблюдений, не указав своих фамилий.
Можно ли узнать, какие из результатов принадлежат Иванову, а какие нет? Да,
можно.
Математики установили, что для этого, как правило, достаточно сравнить дисперсии и средние значения.
Дисперсия и среднее значение так же индивидуальны, как отпечатки пальцев.
Если наблюдения делал один и тот же человек, то дисперсии и средние значения во
всех этих наблюдениях будут близки, если разные люди, то далеки. Осталось выяснить:
какие значения считать близкими, а какие далекими.
На этот вопрос ответ дает специальный раздел математики — статистика.
Оказывается, достоверность ответа зависит от числа наблюдений. Если число
наблюдений от 25 до 50, то дисперсии можно считать далекими, когда отношение
большей дисперсии к меньшей больше 2. Чтобы говорить о близости средних значений
двух последовательностей результатов, надо найти модуль разности средних и разделить
его на квадратный корень из суммы дисперсий. Если полученное число больше 0,6, то
средние значения считаются далекими. В том случае, когда близки и дисперсии, и
средние значения, можно сделать вывод, что наблюдения почти наверняка проводились
одним и тем же человеком.
У любознательных учеников возникает вопрос: откуда эти числа (2 и 0,6) взялись? Отвечаем: из специальных таблиц, которые были составлены математиками. Их
можно найти в любом справочнике по математической статистике.
Метод сравнения средних значений и дисперсий используется в самых разных
отраслях человеческой деятельности. В медицине — для установления диагноза, в
литературоведении — для определения автора произведения (когда авторство является
спорным), в криминалистике — для розыска преступников.
Практическая работа в электронных таблицах Excel
Задача 1
Составьте математическую модель, алгоритм и программу решения следующей задачи.
Известны данные о продолжительности горения (в часах) электрических ламп,
изготовленных на двух заводах.
Лампы 1-го завода: 1600, 1510, 1610, 1650, 1530, 1688, 1570, 1600, 1700, 1720, 1680,
1800, 1780, 1690, 1710, Г530, 1720, 1750, 1810,
Лампы 2-го завода: 1580, 1460, 1640, 1550, 1600, 1620, 1780, 1640, 1750, 1820, 1860,
1740, 1750, 1730, 1590, 1610, 1700, J580, 1670.
Можно ли утверждать, что на заводах поддерживаются одинаковые технологические
условия производства?
Для решения задачи введите формулы в расчетные ячейки:
Ячейка
Формула
A25
=СРЗНАЧ(A6:A24)
B26
=СРЗНАЧ(B6:B24)
A26
=ДИСПР(A6:A24)
B26
=ДИСПР(B6:B24)
A27
=ЕСЛИ(A26/B26>1;A26/B26;B26/A26)
A29
=ABS(B25 - A25)/КОРЕНЬ(B26+A26
А
1
2
3
4
5
6
7
8
В
С
ЗАДАЧА. Практическая работа.
Известны данные о продолжительности горения электрических
ламп, изготовленных на двух заводах. Можно ли утверждать, что
на заводах поддерживаются одинаковые технологические условия
производства?
1 завод
2 завод
1600
1580
Продолжительность
горения электрических
1510
1460
ламп
1610
1640
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1650
1530
1688
1570
1600
1700
1720
1680
1800
1780
1690
1710
1630
1720
1750
1810
1670,947368
7047,734072
1,393583604
дисперсии
близки
0,031607631
средние близки
1550
1600
1620
1780
1640
1750
1820
1860
1740
1750
1730
1590
1610
1700
1580
1670
1666,842105 Среднее значение
9821,606648 Дисперсия
Отношение дисперсий
Отношение средних
Вывод: Можно утверждать, что на заводах поддерживаются одинаковые технологические
условия.
Задача2.
Органами милиции задержан грузовик с помидорами, похищенными на
овощной базе. В городе всего четыре базы, каждая из них получает помидоры
из своего сельскохозяйственного района. Определите, с какой базы были
вывезены помидоры. Расследование осложняется тем, что помидоры на всех
базах одного сорта.
Решение.
Воспользуемся методом сравнения средних значений и дисперсий.
В каждом сельскохозяйственном районе свои условия произрастания
помидоров,
поэтому
помидоры
разных
районов
отличаются,
например,
удельным весом (диаметром, весом и др.). Выберем по 20—25 помидоров
(реально, конечно, больше) на каждой овощной базе и из грузовика. У нас
получится 5 последовательностей — по одной для каждой базы (всего 4) и еще
одна для грузовика, с которой мы и будем сравнивать первые четыре. Это наши
исходные данные. Результатом является номер овощной базы, где совершено
хищение.
Чтобы добиться результата, нужно, как уже сказано выше, вычислить
средние значения и дисперсии всех пяти последовательностей и провести
сравнение.
Пусть вес одного помидора на соответствующих базах и в грузовике
изменяется в следующих пределах (в г): 1-я база: (70, 100); 2-я база: (80, 90); 3-я
база: (75, 95); 4-я база: (90, 120); грузовик: (80, 90).
Технология работы.
Запустите табличный процессор Excel.
Заполните таблицу в соответствии с образцом:
A
1
2
Вес
помидоров
3
…
31
Средние
32 значения
33
Дисперсия
Промежуточные
34 вычисления
B
1 база
C
2 база
D
3 база
E
4 база
F
Грузовик
Формула 1
Копирование
вниз
Формула 2
Копирование
вниз
Формула 3
Копирование
вниз
Формула 4
Копирование
вниз
Формула 5
Копирование
вниз
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Копирование
вправо
Формула 6
Формула 7
Формула 8
Формула 9
35
Близость
36 дисперсий
Близость
средних
37 значений
38 Вывод
Формула 10
Формула 11
В2
=СЛЧИС()*(100—70)+70 (1)
С2
=СЛЧИС()*(90—80)4-80 (2)
D2
=СЛЧИС()*(95-75)+75 (3)
Е2
=СЛЧИС()*(120—90)+90 (4)
F2
=СЛЧИС()*(90—80)+80 (5)
Находим средние значения на каждой базе и в грузовике:
В32 =CP3HA4(B2:B31)
Находим значения дисперсий на каждой базе и в грузовике:
(6)
ВЗЗ =ДИСПР(В2:В31)
(7)
Находим отношения большей дисперсии к меньшей для грузовика и для каждой базы:
В34 =ECJIH($F33>B33; $F33/B33; B33/$F33)
Находим отношения модуля разности средних к корню и суммы дисперсий
грузовика и каждой базы:
В35 =ABS($F32-B32)/KOPEHb($F32+B32)
(9)
Определяем близость дисперсий грузовика и каждой базы:
В36 =ЕСЛИ(В34<2; "дисперсии близки"; "дисперсии далеки") (10)
Определяем близость средних для грузовика и каждой базы:
В37 =ЕСЛИ(В35<0,6; "средние близки"; "средние далеки")
(11)
Сравнивая строки 36 и 37, замечаем, что дисперсии и средние одновременно
близки у грузовика и второй базы. Значит, помидоры украдены со второй базы.
Проанализируйте результат. Почему грузовик не с первой базы, хотя средние
арифметические у них примерно равны?
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Проведите следующий эксперимент: подбросьте 25 раз монету. При выпадении
«решки» записывайте 1, а при выпадении «орла» — 0. Получится последовательность из 0
и 1. Вычислите среднее значение и дисперсию для этой последовательности. Повторите
эксперимент. Получилось ли новое среднее значение и дисперсия близкие к предыдущим?
2. Составьте математическую модель, алгоритм и программу решения следующей задачи:
Школьник и злоумышленник написали сочинение на одну и ту же тему. Определите,
списывал ли злоумышленник у школьника?
3. Допустим, что Иванов сагитировал нескольких своих товарищей провести эксперимент
по измерению расстояния от школы до дома. Через 10 дней каждый из них, в том числе и
Иванов, представили по 30 результатов наблюдений, не указав своих фамилий. У Иванова
случайно остался один результат наблюдений. Узнайте, какие из результатов принадлежат
Иванову, а какие нет?
Вероятность случайного события
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто
наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты. Всякий
результат, полученный
в
процессе наблюдения или эксперимента, будем называть
событием.
Событие, которое может произойти, а может и не произойти, называют случайным
событием.
Например, поражение мишени или промах при выстреле – случайные
события. Выигрыш команды во встрече с соперником, проигрыш или ничейный результат
– это тоже примеры случайных событий.
Рассмотрим такой пример. Бросают игральный кубик, то есть небольшой куб, на
гранях которого нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. При бросании игрального кубика на его
верхней грани может выпасть одно очко, два очка, три очка, и так далее. Каждый из этих
исходов является случайным.
Провели такое испытание. Игральный кубик бросали 100 раз и наблюдали, сколько
раз произойдет событие «на кубике выпало 6 очков». Оказалось, что в данной серии
экспериментов «шестерка» выпала 9 раз. Число 9, которое показывает, сколько раз в этом
испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события, а
отношение частоты к общему числу испытаний, равное 9/100, называют относительной
частотой этого события.
Вообще, пусть определенное испытание проводится многократно в одних и тех же
условиях и при этом каждый раз фиксируется, произошло или нет интересующее нас
событие А. Число m называют частотой события А, а отношение m/n – относительной
частотой, где n – общее число испытаний.
В ходе статистических исследований установлено, что при многократном
повторении определенного опыта или наблюдения в одних и тех же условиях
относительная частота появления ожидаемого события остается примерно одинаковой,
незначительно отличаясь от некоторого числа р. Например, при бросании монеты она
может упасть кверху орлом или решкой. Если монета однородна и имеет правильную
геометрическую форму, то шансы выпадения орла и решки одинаковы. При небольшом
числе испытаний выпадение орла, например, может произойти чаще, чем решки. Однако
если эти испытания проводятся достаточно большое количество раз, то относительная
частота выпадения орла близка к относительной частоте выпадения решки. Однако если
эти испытания проводятся достаточно большое количество раз, то относительная частота
выпадения орла близка к относительной частоте выпадения решки.
Многие исследователи проводили испытания с бросанием монеты и вычисляли
относительную частоту выпадения орла. В таблице указано число бросков монеты в
проводимых ими испытаниях и относительные частоты выпадения орла.
Число бросков
Относительная частота
выпадения орла
4040
0,5070
4092
0,5005
10000
0,4979
20480
0,5068
24000
0,5005
80640
0,4923
Из таблицы видно, что относительная частота выпадения орла незначительно
отличается от ½.
Учащимся предлагается это проверить.
Задача 1
Определить относительную частоту выпадения орла.
Для этого:
- Запустите процессор электронных таблиц Exсel;
- Заполните таблицу в соответствии с образцом.
Введите формулы в расчетные ячейки:
Ячейка
Формула
А1
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()+0,5)
А500
А501
А502
А503
Копируем формулу
=СЧЕТЕСЛИ(А1:А500;1)
=СЧЕТ(А1:А500)
= А501/ А502*100
Комментарий
Выпадение орла или
решки
Число выпадений орла
Число бросков
Относительная частота
Полученные
результаты
0 или 1
234
500
0,49
Вообще, результаты наблюдений и опытов показывают, что при большом числе
испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, относительная частота принимает
достаточно устойчивое значение, около которого группируются наблюдаемые значения
относительной частоты, и принимается за вероятность случайного события. Такое
определение называют статистическим определением вероятности.
Вероятность случайного события находят, когда в ходе статистического
исследования анализируют относительную частоту наступления этого события при
многократном повторении в одних и тех же условиях эксперимента или наблюдения. Так,
например, поступают, когда хотят определить ожидаемую всхожесть семян некоторого
растения, предсказать результат выступления спортсмена в соревнованиях по стрельбе, и
т.п.
Для того чтобы найти вероятность интересующего нас события, необходимо
провести достаточно большое число экспериментов или наблюдений, и лишь после этого
можно определить приближенно вероятность наступления интересующего нас случайного
события. В тоже время, если рассматриваются испытания со случайными исходами и все
исходы этих испытаний равновозможны, то вероятность наступления случайного события
удается найти путем рассуждений, не прибегая к испытанию.
Вернемся к рассматриваемому примеру с бросанием игрального кубика. Будем
считать, что кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала, поэтому
при его бросании шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6
одинаковы. Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания:
выпадения очков 1,2,3,4,5,6.
Задача 2
Найдите статистическую вероятность для каждого значения выпадения очков
1,2,3,4,5,6.
Введите формулы в расчетные ячейки:
1
2
3
4
5
…
500
A
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*6+1
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
B
1
2
3
4
5
6
C
D
=ЧАСТОТА(A1:A500;B1:B6)
=С1/500*100
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Полученные результаты ниже:
A
B
C
1
2
1
83
D
16,6
2
3
4
5
6
6
5
6
2
5
2
3
4
5
6
88
86
88
78
77
17,6
17,2
17,6
15,6
15,4
Усложним задачу: рассмотрим событие В, которое означает выпадение числа
очков, кратного 3. Это событие происходит при двух исходах испытания: когда выпало 3
очка и когда выпало 6 очков. Эти исходы называют благоприятными исходами для
события В. При бросании кубика из
6 равновозможных исходов
испытания
благоприятными для события В являются лишь два исхода. Отношение числа
благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов равно 2/6. Это отношение
называют вероятностью события В и пишут Р(В)=2/6=1/3.
Вероятностью события называют отношение числа благоприятных для него
исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.
В рассмотренном примере посмотрим на значения ячеек D3 и D6, их сумма 32,6
колеблется около 33%. Таким образом, классическое
и статистическое определение
вероятности совпадают с определенной степенью точности.
Что означает на практике, что вероятность рассматриваемого события В равна 1/3?
Разумеется, это не означает, что при каждых шести бросках число очков, кратное 3,
выпадает ровно два раза. Возможно, что оно выпадает один раз, три раза или не выпадает
совсем. Однако если провести большое число испытаний, то относительная частота
появления события В будет мало отличаться от1/3. Вообще, при увеличении числа
испытаний относительная частота появления случайного события приближается к его
вероятности.
Сопоставляя классическое и статистическое определение вероятности, можно
сделать вывод, что нахождение классической вероятности не требует, чтобы испытание
было
проведено
в
действительности,
а
нахождение
статистической
вероятности(относительной частоты) предполагает фактическое проведение испытания.
Для того, чтобы найти вероятность некоторого события, надо правильно
определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого
исходов.
Рассмотрим, например, известную задачу Даламбера: найти вероятность того, что
при подбрасывании двух монет на обеих монетах выпадут решки.
При бросании монет равновозможными являются следующие исходы: (о,р), (о,о),
(р,р), (р,о), где в каждой паре на пером месте записан результат бросания первой монеты,
а на втором – результат бросания второй монеты. Выпадение орла обозначено буквой «о»,
выпадение решки - о буквой «р».
Благоприятным событием для А, состоящего в том, что оба раза выпадут решки,
является один исход. Значит, Р(А)=1/4.
Задача 3
Проверить, что вероятность выпадения оба раза решки равна 0,25.
Введите формулы в расчетные ячейки:
1
2
A
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()+
0.5
Копируем формулу
B
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()+
0.5
2
3
Копируем формулу
3
4
Копируем формулу
4
C
=A1+B1
Копируем
формулу
Копируем
формулу
Копируем
формулу
D
0
E
=ЧАСТОТА(C1:C50
;D1:B3)
1
Копируем формулу
2
Копируем формулу
Копируем формулу
F
=E1/50
Копируем
формулу
Копируем
формулу
5
Копируем формулу
…
Копируем формулу
50
Копируем формулу
Копируем
формулу
Копируем
формулу
5
6
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем
формулу
Копируем
формулу
Копируем
формулу
Полученные результаты приведены ниже:
A
1
2
3
4
5
6
B
1
0
0
1
1
0
C
1
1
1
1
1
0
D
2
1
1
2
2
0
E
0
1
2
9
26
15
F
0,18
0,52
0,3
Вероятность выпадения оба раза решки – это значение ячейки F3, которое
соответственно равно 0,3.
Введем теперь понятия достоверного и невозможного события.
Пусть С – событие, состоящее в том, что при бросании игрального кубика выпадает
менее 7 очков. Так как каждый из исходов 1,2,3,4,5,6, является благоприятным для
события С, то вероятность наступления события С равна:
Р(С)=6/6=1
Событие, которое происходит всегда, сколько бы
раз ни повторялось
испытание, называется достоверным событием. Вероятность достоверного события
равна 1.
Обозначим буквой F событие, обозначающее, что при бросании игрального кубика
выпадает 7 очков. Очевидно, что это событие произойти не может. Число благоприятных
для него исходов равно 0, то есть Р(F )=0/6=0. Такое событие называют невозможным
событием.
Пусть некоторое испытание имеет n равновозможных исходов, из которых m
благоприятны для события А. Тогда P(A)=m/n. Так как m≤n, то m/n≤1, то есть P(A) ≥=0.
Следовательно,
0≤ P(A) ≤1
Приведем пример вычисления вероятностей.
Задача 4
Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел приготовить 11 первых
8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет,
который он не подготовил?
Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене 25. Пусть
М – событие, заключающееся в том, что ученику достанется на экзамене билет, к
которому он не подготовился. Число благоприятных для М исходов(но не для ученика)
равно 25-(11+8), то есть 6.
Значит
Р(М)=6/26=0,24
Проверим, это для этого:
введите формулы в расчетные ячейки:
1
2
3
4
5
…
50
51
52
A
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*25+1)
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
2
14
6
16
12
…
4
25
0
1
0
1
1
…
0
1
B
=ЕСЛИ(A9>11;1;0)
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
1
1
1
1
1
…
1
0
C
=ЕСЛИ(A1<18;1;0)
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
D
=B1+C1
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
=СЧЁТЕСЛИ(D1:D49;2)
=СЧЁТ(D1:D49)
=D50/D51
0
2
1
2
2
…
1
1
12
48
0,25
Задача 5
Антон и Игорь бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму
выпавших очков. Они договорились, что если при очередной попытке в сумме выпадает 8
очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадает 7 очков, то выигрывает Игорь.
Является ли такая игра справедливой?
При бросании кубиков на белом кубике может выпасть 1,2,3,4,5 или 6 очков.
Каждому числу очков, выпавших на белом кубике, соответствует шесть вариантов числа
очков, выпавших на черном кубике. Все равновозможные исходы этого испытания
приведены в таблице:
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
В каждой паре на первом месте записано число очков, выпавших на белом кубике,
а на втором – число очков на черном кубике. Общее число равновозможных исходов
равно 36.
Пусть событие А означает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а
событие В означает, что в сумме выпало 7 очков.
Для события А благоприятными являются следующие 5 исходов:
(2;6), (3,5), (4;4), (5,3), (6;2)
Для события В благоприятными являются следующие 6 исходов:
(1;6), (2,5), (3,4), (4;3), (5,2), (6;1)
Отсюда:
Р(А)=5/36
Р(В)=6/36
Поэтому делаем вывод шансов выиграть у Игоря больше, чем у Антона. Значит,
такая игра не является справедливой.
Проверим, это для этого:
введите формулы в расчетные ячейки:
1
2
3
4
5
…
10
0
A
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*
6+1)
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
B
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*
6+1
Копируем формулу
C
==A1+B1
D
E
=ЧАСТОТА(C1:C100;
D1:D12)
1
Копируем
формулу
Копируем
формулу
Копируем
формулу
Копируем
формулу
Копируем
формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
2
Копируем формулу
3
Копируем формулу
4
Копируем формулу
5
Копируем формулу
6
…
12
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем
формулу
Полученные результаты приведены ниже:
A
1
2
3
4
5
6
7
B
5
2
5
3
1
5
4
C
5
3
5
6
6
3
5
D
10
5
10
9
7
8
9
E
1
2
3
4
5
6
7
F
=Е1/100
F
0
3
5
4
10
13
15
0
0,03
0,05
0,04
0,1
0,13
0,15
8
9
10
11
12
13
14
…
100
4
6
3
6
5
5
1
…
3
1
3
6
5
5
1
2
5
9
9
11
10
6
3
5
8
8
9
10
11
12
16
16
9
9
0
0,16
0,16
0,09
0,09
0
Из полученной таблицы Р(А)=0,15, Р(В)=0,16 следовательно делаем вывод шансов
выиграть у Игоря больше, чем у Антона. Значит, такая игра не является справедливой.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.Выберите 7 строк произвольного текста. Проведя подсчет букв, найдите относительную
частоту появления букв: а) а б) е в) ю
2.Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадает:
а) 1 очко б) более 3 очков?
3. Ученик записал в тетради произвольное двухзначное число. Какова вероятностьтого,
что сумма цифр этого числа окажется равной 6?
4. В ящике находится 10 деталей, одна из которых нестандартная. Наугад берут 2
детали.Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартными?
Сложение и умножение вероятностей
Рассмотрим пример. Пусть в коробке находится 19 шаров:10 белых, 4 красных и 5
зеленых. Из коробки наугад вынимают один шар. Рассмотрим такие события.
Событие А – шар оказался красным;
Событие В – шар оказался зеленым;
Событие С – шар оказался цветным(то есть красным или зеленым);
События А и В являются несовместимыми, так как наступление одного из них
исключает наступление другого. Событие С означает наступление одного из событий: А
или В.
Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями событий Аи В.
Найдем
вероятности
событий
А,
В
и
С.
Для
каждого
из
проведенных
испытаний(извлечение из коробки одного шара) равновозможными являются 19 исходов.
Из них события А благоприятными являются 4 исхода, для события В – 5 исходов, для
события С – 9 исходов. Отсюда:
Р(А)=4/19; Р(В)= 5/19; Р(С)=9/19
Мы видим, Р(С)= Р(А) + Р(В)
Вообще можно доказать, что справедливо следующее утведждение: если событие5
С означает, что наступает одно из двух несовместимых событий А или В, вероятность
события С равна сумме вероятностей событий А и В.
Задача 1
На карточках написаны натуральные числа от 1 до 10 включительно, после чего
карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли одну карточку. Какова
вероятность того, что на ней будет написано простое число или число, большее 7?
Пусть событие А означает, что на каточке написано простое число, а событие В
означает число, большее 7. Для события А благоприятными являются 4 исхода 10
равновозможных(появление одного из чисел 2,3,5,7), то есть вероятность события А равна
0,4. Для события В благоприятными являются 3 исхода из 10 равновозможных(появление
чисел 8,9,10), то есть вероятность события В равна 0,3.
Нас интересует событие С, когда на карточке написано простое число или число,
большее 7.Событие С наступает
тогда, когда наступает одно из событий А или В.
Очевидно, что эти события являются несовместимыми. Значит, вероятность события С
рпвна сумме вероятностей событий А и В, то есть:
Р(С)= Р(А) + Р(В)=0,4+0,3=0,7.
Проверим это. Для этого
заполните таблицу в соответствии с образцом.
В2
С2
D2
E2
F2
G2
Н2
Н98
Н99
Формула
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*10+1)
=ЕСЛИ(B2=C$1;1;0)
=ЕСЛИ(B2=D$1;1;0)
=ЕСЛИ(B2=Е$1;1;0
=ЕСЛИ(B2= F$1;1;0)
=ЕСЛИ(B2>7;1;0)
=СУММ(C2:G2)
=СЧЁТЕСЛИ(H2:H97;">0")
Н98/97
Полученные результаты ниже:
В
С
D
1
2
3
8
96
97
98
99
5
3
6
…
6
8
Действия
Копировать вниз 97 строки
Копировать вниз 97 строки
Копировать вниз 97 строки
Копировать вниз 97 строки
Копировать вниз 97 строки
Копировать вниз 97 строки
Копировать вниз 97 строки
E
F
G
Н
1
1
0
2
0
0
0
3
0
1
0
5
1
0
0
7
0
0
0
>7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
63
0,649485
При решении
некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством
вероятностей противоположных событий.
Разъясним смысл понятия «противоположные события» на примере бросания
игрального кубика. Пусть событие А означает, что выпало 6 очков, а событие В - что не
выпало 6 очков. Всякое наступление события А означает ненаступление события В, а
ненаступление события А - наступление события В. В таких случаях говорят, что А и В –
противоположные события.
Найдем вероятности событий А и В.
Для события А благоприятным является один исход из шести равновозможных
исходов, а для события В – пять исходов из шести. Значит:
Р(А)=1/6; Р(В)=5/6;
Нетрудно заметить, что Р(А) + Р(В)=1
Итак, сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Действительно, пусть проводится некоторое испытание и рассматриваются два
события: событие А и противоположное ему событие, которое принято обозначать Ā или
¬А.
События А и Ā – несовместимые события. Событие, означающее наступление хотя
бы одного из них, то есть А или Ā, является достоверным событием. Отсюда следует, что
сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1.
Задача 2
Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков,
выпавших на двух кубиках, меньше 11.
Общее число равновозможных исходов этого испытания равно 36.
Пусть событие А означает, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше
11. Так как благоприятными для события А является большее число исходов, то удобно
сначала найти вероятность противоположного события Ā, которое означает, что сумма
выпавших очков больше или равна 11.
Благоприятными для события Ā. Являются три исхода:
(5,6),(6,5),(6,6). Поэтому Р(Ā)=3/36=1/12.
Так как события А и Ā являются противоположными, то Р(А) + Р(Ā )=1
Отсюда то Р(А)= 1- Р(Ā )=1-1/12=11/12
Проверим это на компьютере. Для этого
заполните таблицу в соответствии с образцом.
1
В
С
D
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*6+1)
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*6+1)
=СУММ(B1:C1)
2
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
3
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
4
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
5
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
6
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
7
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
…
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
КОПИРОВАТЬ ВНИЗ
98
=СЧЁТЕСЛИ(D1:D97;"<11")
99
=D98/97
Полученные результаты ниже:
В
С
D
1
3
1
4
2
5
5
10
3
6
3
9
7
1
4
5
…
98
90
99
0,927835
Рассмотрим теперь, как можно вычислить вероятность события, состоящего в
совместном появлении двух независимых событий.
Два события называются независимыми, если наступление одного из них не
зависит от наступления или ненаступления другого.
Приведем пример.
Пусть в одном из двух ящиков находится 15 деталей, из которых 2 нестандартные,
а в другом - 20 деталей, из которых 3 нестандартные. Из каждого ящика наугад вынимают
по одной детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся нестандартными?
Рассмотрим такие события:
А – из первого ящика вынимают нестандартную деталь;
В – из ящика вынимают нестандартную деталь;
Для события А благоприятными являются 2 исхода из 15, а для события В
благоприятными являются 3 исхода из 20. Значит, Р(А)=2/158, Р(В)= 3/20.
Очевидно, что события А и В являются независимыми. Рассмотрим событие,
состоящее в совместном появлении событий А и В. Обозначим его буквой С.
Общее число равновозможных исходов испытания, в которых событие С наступает
или не наступает, равно 15×20.
Действительно, каждому из 15 извлечений из первого ящика соответствует 20
возможных извлечения деталей из второго ящика.
Благоприятными для события С являются те исходы, при которых обе вынутые
детали являются нестандартными.
Каждому из двух
возможных извлечений
нестандартной детали из первого ящика, то есть число исходов, благоприятных для
события С, равно 2˙3. Следовательно, Р(С)=
2 3
23
= ˙
, то есть Р(С)=Р(А) ˙Р(В).
15  20 15 20
Вообще, можно доказать, что справедливо следующее утверждение: если событие
С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность
события С равна произведению вероятностей событий А и В.
Задача 3
В непрозрачном пакете лежат девять жетонов с номерами 1,2,3,…9. Из пакета
наугад вынимают один жетон, записывают его номер, а жетон возвращают в пакет. Затем
опять вынимают жетон и записывают его номер. Какова вероятность того, что оба раза
будут вынуты жетоны, номера которых являются простыми числами?
Пусть событие А состоит в том, что первый раз вынут жетон, номер которого
является простым числом, а событие В – в том, что во второй раз вынут жетон, номер
которого является простым числом, а событие В – в том, что во второй раз вынут жетон,
номер которого является простым числом. Тогда Р(А)=
4
4
; Р(В)= , так как из чисел
9
9
1,2,3…9 четыре числа являются простыми числами.
Событие В не зависит от события А, так как на повторное извлечение жетонов не
влияет то, какой жетон был вынут в первый раз(извлеченный в первый раз жетон был
возвращен в пакет)
Значит, Р(С)=Р(А) ˙Р(В), то то есть Р(С)=
4 4 16
˙ =  0,2.
9 9 81
Проверим это на компьютере. Для этого
заполните таблицу в соответствии с образцом.
1
2
3
4
…
97
98
B
ФОРМ1
копировать
вниз
C
ФОРМ2
копировать
вниз
D
ФОРМ3
E
ФОРМ4
F
ФОРМ5
G
ФОРМ6
H
ФОРМ11
ФОРМ7
копировать
вниз
ФОРМ8
копировать
вниз
ФОРМ9
копировать
вниз
ФОРМ10
копировать
вниз
ФОРМ12
копировать
вниз
I
ФОРМ13
копировать
вниз
ФОРМ14
99
В1
С1
D2
E2
F2
G2
D3
E3
F3
G3
Н2
Н3
I2
Н98
Н99
ФОРМ15
Формула
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*9+1)
=ЦЕЛОЕ(СЛЧИС()*9+1)
=ЕСЛИ($B2=D$1;1;0)
=ЕСЛИ($B2=Е$1;1;0)
=ЕСЛИ($B2= F$1;1;0)
=ЕСЛИ($B2=G$1;1;0)
=ЕСЛИ($C2=D$1;1;0)
=ЕСЛИ($C2=Е$1;1;0)
=ЕСЛИ($C2= F$1;1;0)
=ЕСЛИ($C2=G$1;1;0)
=СУММ(D2:G2)
=СУММ(D3:G3)
=H2+H3
=СЧЁТЕСЛИ(I2:I97;"=2")
I98/97
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Полученные результаты ниже:
B
1
2
3
4
5
…
96
97
98
99
C
D
E
F
G
H
I
2
3
4
5
3
3
6
6
9
8
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
9
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
17
0,173469
Заметим, что если бы после первого извлечения жетон не возвращался обратно, то
события А и В были бы зависимыми, так как вероятность события В зависела бы от того,
вынут ли в первом случае жетон, номер которого является простым числом, или нет.
Задача 4
В результате многократных наблюдений установили, что вероятность попадания в
мишень одного стрелка равна 0,9, а другого – 0,8. Каждый из стрелков сделал по одному
выстрелу по мишени. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?
Рассмотрим такие события:
А – первый стрелок попал в мишень;
В – второй стрелок попал в мишень;
С – мишень поражена.
События А и В независимые. Однако воспользоваться в этом случае умножением
вероятностей нельзя, так как событие С наступает не только, тогда, когда оба стрелка
попали в мишень, но и тогда, когда в мишень попал хотя бы один из них.
Поступим
иначе.
Рассмотрим
события
¬А,
¬В,
¬С,
противоположные
соответственно событиям А, В, С. События ¬А, ¬В являются независимыми, так как
промах при выстреле по мишени первого стрелка( событие ¬А) не зависит от промаха
второго стрелка( событие ¬В). Событие ¬С означает совместное появление событий ¬А,
¬В.
Поэтому Р(¬С)= Р(¬А) ˙ Р(¬В)
Из свойств вероятностей противоположных событий вытекает, что
Р(¬А)=1-0,9=0,1;
Р(¬В)=1-0,8=0,2;
Отсюда получаем Р(¬С)= Р(¬А) ˙ Р(¬В)=0,1˙0,2=0,02.
Так как события С и ¬С противоположные, то теперь несложно найти вероятность
события С:
Р(С)= 1-Р(¬С)=1-0,02=0,98.
Значит, вероятность того, что мишень будет поражена, равна 0,98.
Проверим это на компьютере. Для этого
заполните таблицу в соответствии с образцом.
1
2
3
4
5
…
97
A
=СЛЧИС()
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
B
=СЛЧИС()
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
C
=ЕСЛИ(A1>0,1;1;0)
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
D
=ЕСЛИ(B1>0,1;1;0)
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
98
Полученные результаты ниже:
1
2
3
4
5
…
97
98
99
A
0,86
0,53
0,01
0,40
0,11
0,49
B
0,66
0,37
0,74
0,05
0,15
0,74
C
D
1
1
0
1
1
1
E
1
1
1
0
1
1
2
2
1
1
2
2
96
0,989691
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
E
=C1+D1
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
Копируем формулу
=СЧЁТЕСЛИ(E1:E9
>0")
=Е97/97
1. Многократные испытания показали, что для некоторого стрелка вероятность
выбить при стрельбе 10 очков равна 0,1, а вероятность выбить 9 очков равна 0,3.
Чему равна для этого стрелка вероятность выбить не менее 9 очков?
2. Взяли четыре карточки. На первой написали букву «о», на второй - «т», на третьей
- «с»,На четвертой - «п». Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли
наугад одну карточку за другой и положили рядом. Какова вероятность того, что в
результате получилось слово «стоп» или слово «пост»?
3.
На карточках написали цифры 1,2,3, после чего карточки перевернули и
перемешали. Затем последовательно открыли карточки и положили в ряд. Какова
вероятность того, что получится трехзначное число, большее 300?
4. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на одном кубике
выпадает
одно очко, а на другом - более трех очков?
5. В некоторой настольной игре игрок бросает сразу два кубика и делает столько
ходов, какова сумма выпавших очков. Какова вероятность того, что Ирок сделает
менее 10 ходов?
6. Для натуральных чисел от 1 до 99 включительно найдите частоту появления
простых чисел в первом, втором, третьем и т. Д. десятке. Сравните относительные
частоты для:
а) первого и третьего десятков;
б) второго и десятого десятков.
7. На карточках написаны цифры 1,2,3,4. Карточки перевернули и перемешали. Затем
открыли
Наугад последовательно одну за другой эти карточки, расположив их в ряд слева
направо. Какова вероятность того, что в результате получилось:
а) число 4123;
б) число 4112 или 4321;
в) число, первая цифра которого 2?
8. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того,
что взятый наугад учеником билет имеет:
а) однозначный номер;
б) двухзначный номер?
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Моделирование в электронных таблиц проводится по общей схеме, которая
выделяет четыре основных этапа: постановка задачи, разработка модели, компьютерный
эксперимент и анализ результатов.
Задача 1
Игра в рулетку
Казино процветает из-за того, что у владельца всегда есть некоторое преимущество перед
игроком. Например, в одном из вариантов рулетки колесо имеет 38 лунок: 36
пронумерованы и разбиты на черный и красный цвет, а две оставшиеся имеют № 0 и 00 и
выкрашены зеленым. Игрок, ставя на красное или черное, имеет на выигрыш 18 шансов из
38, а на то, что он проиграет, - 20шансов из 38. Пусть у вас имеется некоторый начальный
капитал, который вы хотите удвоить. Постройте компьютерную модель ситуации.
Для этого
- заполните таблицу в соответствии с образцом.
Введите формулы в расчетные ячейки, учтем, что 18/38=0,47,
A6
=ЕСЛИ(СЛЧИС()<0,47;1;0)
B6
=ЕСЛИ(A6=1;$B$3+$D$3;$B$3-$D$3)
C6
=ЕСЛИ(B6<2*$B$3;"-";"банк")
D6
=ЕСЛИ(B6>0;"-";"БАНКРОТ")
B7
=ЕСЛИ(A7=1;B6+$D$3;B6-$D$3
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B
C
D
20
Ставка
5
Наличность
Выигрыш
Проигрыш
15
20
25
30
35
40
45
40
банк
банк
банк
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Начальный капитал
Результаты
Колесо
0
1
1
1
1
1
1
0
-
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Бросание монеты
У вас есть 10 монет. Вы хотите увеличить свой капитал в 2 раза, испытав заодно и
свою судьбу. Суть игры проста. Играя с маклером, вы делаете ставку и бросаете монету.
Если выпадает орел, маклер выдает вам сумму вышей ставки, в противном случае вы ему
отдаете эту сумму. Ставка может быть любой: от 1 до 10 монет. Удвоение начального
капитала или банкротство приводит к незамедлительному прекращению этого сеанса игры
и расчету. Постройте компьютерную модель ситуации.
2. Игра в кости
Два игрока бросают по две игровые кости. Сумма очков, выпавших на двух
игровых костях, накапливается. Игра прекращается, когда один из игроков достигает
суммы 101. Постройте компьютерную модель ситуации.
3. Лотерея «Спортлото»
Смоделируйте серию игр в 5 из 36. Изберите следующую тактику игры:
- зачеркивать в билетах одну и ту же комбинацию из «счастливых билетов»
- бросать кубик и из количества точек на верхней грани составлять набор чисел.
4. Очередь
За два часа обеденного перерыва 40 человек встали
в очередь за билетами.
Кассирша обслуживает одного клиента в среднем одну минуту. Каждый клиент «мучает»
вопросами кассиршу до пяти минут(случайным образом). Построить модель ситуации и
исследовать ее. Ответьте на вопросы:
- Хватит ли на обслуживание всех клиентов 2 часов?
- Если не хватит, то сколько будет обслужено?
-Как влияет время расспросов на время обслуживания очереди?
5. Нерадивый ученик
Мальчик учит стихотворение из 40 строк. Чтобы запомнить первую строку, ему
понадобится 1 минута. На каждую следующую строку он тратит до 10%(случайным
образом) времени больше. Стихотворение держится в памяти нерадивого ученика не
более трех часов, а до школы бежать 15 минут. Как организовать заучивание
стихотворения?
6. Буратино и папа Карло
У папы Карло было накоплено 20 золотых к тому времени, когда Буратино
поступил н работу в кукольный театр Карабаса Барабаса. Ежедневно Буратино приносил
зарплату 5 золотых, а папа Карло тратил от 30 до 50%(случайным образом) имеющегося
на начало недели богатства. Постройте модель изменения капитала в течении нескольких
недель. Ответьте на вопросы.
- Как изменится капитал, если увеличить(уменьшить) начальный капитал?
- Как изменится капитал, если увеличить зарплату Буратино?
-Как изменится капитал, если увеличить(уменьшить) процент еженедельной траты
капитала?
7. Аквариум
Мальчик решил почистить аквариум. Начал с переселения рыб в банку. Всего
рыбок 40 штук. Первую рыбку он поймал за 5 секунд. И еще 2 секунды он потратил на
перекладывание ее в банку. Но чем меньше становилось в воде рыбок, тем труднее было
их поймать. На каждую следующую рыбку он затратил времени больше до 5%(случайным
образом). Сколько минут он затратил на переселение рыбок?
Моделирование биологических процессов
Осведомленность
о
корректировать
свое
действий просто феноменален.
( Уэст Питер)
Описание задачи
фазе
ритма,
поведение,
дает
возможность
причем
успех
человеку
таких
Существует гипотеза, что жизнь человека подчиняется трем циклическим
процессам, называемым биоритмами. Эти циклы описывают три стороны самочувствия
человека: физическую, эмоциональную и интеллектуальную. Биоритмы характеризуют
подъемы и спады нашего состояния. Считается, что «взлетам» графика, представляющего
собой синусоидальную зависимость, соответствуют более благоприятные дни. Дни, в
которые график переходит через ось абсцисс, считаются неблагоприятными.
Не все считают эту теорию строго научной, но многие верят в нее. Более того, в
некоторых странах мира в критические дни, когда ось абсцисс пересекают одновременно
две или тир кривые, людям профессий с повышенным уровнем риска (летчикам,
каскадерам и т.п.) предоставляются выходные дни.
Создание теории существования биоритмов приходится на начало XX века, когда
два абсолютно независимых исследователя пришли к одним и тем же выводам в
отношении физического и психологического циклов. Это были Герман Свобода (Вена) и
Вильгельм Флисс (Берлин). Сообразить на троих предложил Австриец Фридрих Тельчер
(Инсбрук). В дальнейшем он же обнаружил и четвѐртый цикл – интуитивный (37 дней),
однако в связи со сложностью его применения великой популярности он так и не получил.
За точку отсчета всех трех биоритмов берется день рождения человека. Момент
рождения для человека очень труден, ведь все три биоритма в этот день пересекают ось
абсцисс. С точки зрения биологии это достаточно правдоподобно, ведь ребенок, появляясь
на свет, меняет водную среду обитания на воздушную. Происходит глобальная
перестройка всего организма.
Физический биоритм характеризует внутренний настрой человека, т.е. его
физическое
самочувствие.
Периодичность
его
составляет
23
дня.
Эмоциональный биоритм характеризует внутренний настрой человека, его способность
эмоционального восприятия окружающего. Продолжительность периода эмоционального
цикла равна 28 дням.
Третий биоритм характеризует мыслительные способности, интеллектуальное
состояние
человека.
Цикличность
его
–
33
дня.
Предлагается осуществить моделирование биоритмов для конкретного человека и для
двух друзей, от 1 текущей даты (дня отсчета) на месяц вперед с целью дальнейшего
анализа модели
За точку отсчета всех трех биоритмов берется день рождения человека. Момент
рождения человека очень труден, ведь все три биоритма в этот день пересекают ось
абцисс.
Задача 1
Осуществите моделирование биоритмов для конкретного человека от указанной
даты на месяц вперед с целью анализа модели.
Постройте диаграмму биоритмов и ответьте на вопросы:
- Какие дни наиболее подходят для похода в театр, цирк(хорошее эмоциональное
состояние)?
-Какие дни неблагоприятны для сдачи зачета по физкультуре(плохое физическое
состояние)?
-В
какие
дни
ответы
на
уроках
будут
наиболее
удачными(хорошее
интеллектуальное состояние)?
Для этого:
- Запустите табличный процессор Excel/
- Заполните таблицу в соответствии с образцом:
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Исходные данные
Дата рождения
Дата отсчета
Длительность
прогноза
Результаты
Порядковый номер
дня
=$B$5
=A9+1
Копируем формулу
B
C
D
Физическое
Эмоциональное
Интеллектуальное
=SIN(2*ПИ()*А9=$B$4)/23
Копируем формулу
=SIN(2*ПИ()*А9=$B$4)/28
Копируем формулу
=SIN(2*ПИ()*А9=$B$4)/33
Копируем формулу
- Постройте диаграмму.
- По диаграмме определите дни, в которых значения того или иного биоритма
равны нулю.
- Определите неблагоприятные дни для конкретного человека.
- Постройте диаграмму биоритмов двух человек и определите их совместимость.
Задача 2
Изменение численности биологического вида
Одноклеточная амеба каждые три часа делится на две клетки. Постройте модель
изменения количества клеток через 3,6,9,12… часов.
Математическая модель изменения численности амеб:
Чi+1= Чi*КР
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Исходные данные
Период
Коэффициент
Рождаемости КР
Начальная
численность Ч0
Результаты
Время отсчета
0
=А9+$B$4
B
C
D
3
2
1
Количество клеток
=$B$5
=В9*$B$5
Рассмотрите некоторую систему, в которой численность особей зависит только от
естественной рождаемости и смертности.
Тогда математическая модель процесса изменения численности будет представлена
следующими уравнениями:
- рост численности с учетом рождаемости Чi+1= Чi*КР
- рост численности с учетом смертности Чi+1= Чi -Чi *КС;
- общее изменение численности Чi+1= Чi *(1+КР-КС);
Смоделируйте данную ситуацию.
Задача 2
Рассчитайте, какова будет численность оленей через 1, 3, 5 и 10 лет при полном
отсутствии хищников. Отобразите изменения численности оленей в течение данного
периода времени графически.
В первую строку таблицы будем вносить константы, входящие в условие задания: в
ячейку А1 внесем начальную численность оленей, в ячейку В1 — ежегодное увеличение
популяции оленей, в ячейку С1 — начальную численность волков, в ячейку D1 —
количество оленей, поедаемых одним волком в год, в ячейку El — годовой прирост
численности волков, ячейку F1 оставим для подбора начальной численности пум в задаче
5, в ячейку G1 внесем количество оленей, поедаемых одной пумой в год, в ячейку HI —
годовой прирост популяции пумы
Решение будем записывать в ячейки, расположенные ниже. В экологии
"начальным" годом принято считать "нулевой" год, поэтому годы интересующего нас
периода мы пронумеруем от 0 до 10. Тогда ответ на вопрос о численности оленей, скажем,
через 5 лет окажется в ячейке, расположенной напротив года под номером 5
Формулы и комментарии к решению
1. Численность оленей будем вычислять в ячейках В5:В15. Присваиваем ячейке В5
значение $А$1, где $А$1 — абсолютный адрес ячейки А1, в которую мы занесли
начальную численность популяции оленей. Поскольку по условию начальная численность
оленей одинакова во всех пяти задачах, можно скопировать содержимое ячейки В5 в
ячейки С5 : F5.
2. Записываем в ячейку В6 формулу для вычисления численности оленей в каждом
следующем году:
=В5+В5*$В$1, где $В$1 — абсолютный адрес ячейки В1, в которую мы занесли
число, характеризующее рост популяции оленей.
3. Выделяем ячейку В 6 и копируем формулу в ячейки В 7 : В15 включительно
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Кроличья семья
Самка кролика каждые два месяца приносит в среднем 10 крольчат. Провести расчет
пополнения кроличьей семьи молодняком в течение года.
2. Выращивание зерна
Из 1 зерна пшеницы вырастает колос, содержащий в среднем 25 семян. Вес одного
зернышка 0,1 г.
У Робинзона Крузо, попавшего на необитаемый остров, чудом сохранилось 10 зерен. Он
бережно посадил их, а когда собрал урожай, то вновь посадил их, а когда собрал урожай,
то вновь посадил все до единого зернышка.
В условиях жаркого тропического климата на острове можно снимать 4 урожая в год. Для
того, чтобы обеспечить себя хлебом до следующего урожая, надо иметь 45 кг зерна(по 0,5
кг на каждый день)
После какого урожая Робинзон первый раз смог побаловать себя вкусными хлебными
лепешками? Сколько килограмм семян надо сажать , чтобы
получить урожай,
достаточный и для прокорма до следующего урожая, и для посадки?
Тема 2. Решение прикладных(экономических ) задач в Excel
В данном разделе вы убедитесь, что Excel позволяет не только производить
расчеты, но и решать сложные задачи в различных
сферах деятельности, такие как
решение уравнений, задачи оптимизации, прогнозирования. Решение этих задач может
быть существенно облегчено с помощью инструмента Поиск решения.
Формулировка таких задач может представлять собой систему уравнений с
несколькими неизвестными и набор ограничений на решения. Поэтому решение задачи
необходимо начинать с построения соответствующей модели.
Если настройка Поиск решения не была установлена при первоначальной
установке Excel, то следует запустить процесс установки повторно и выбрать только эту
настройку.
Для того чтобы настройка Поиск решения загружалась сразу при запуске Excel:
- выберите команду Сервис, Настройки;
- в диалоговом окне Настройки в списке настроек установите флажок напротив
настройки Поиск решения. Если в списке нет элемента Поиск решения, то нажмите
кнопку Обзор, что бы самостоятельно найти файл Solver.xla
Виды математических моделей
При решении оптимизационных задач с помощью настройки Поиск решения
необходимо различать линейные и нелинейные подели. Под линейными понимаются
модели, в которых связь ме- аду входными значениями переменных и результирующими
знаниями описывается линейными функциями. Например:
Y = A - X i + B - X 2+ C - X j + ...
В этом выражении А, В, С - константы, Х|, Хг, Хз - переменив, Y - результат.
Если выражение для целевой величины и выражение для ограничений являются
линейными, то можно применять быстрые и надежные методы поиска решения. Для
использования именно лисиных методов следует установить параметр Линейная модель
в окне Параметры поиска решения. Если этот параметр не устано- ить, то даже для
линейной задачи будут использоваться общие, более медленные методы.
Ограничения в задачах.
Под ограничениями понимаются соотношения типа 11>=В1, А2 = В2, АЗ > 0.
По крайней мере одна из ячеек в соотношении, определяю- <ем ограничение,
должна зависеть от переменных задачи, в прогоном случае это ограничение не может
влиять на процесс решения. Часто ограничения записываются сразу для групп ячеек,
например: А1: А10 <= В1: В10 или А1: Е1 >= 0 .
Правильная формулировка ограничений является наиболее ответственной частью
при формировании модели для поиска решения.
В одних случаях ограничения просты и очевидны, например граничения на
количество сырья. Другие ограничения менее оче- вдны и могут быть указаны неверно
или, хуже того, оказаться допущенными.
Решение уравнений.
Часто при решении практических задач возникают ситуации, когда необходимо
достичь какой-то конкретной цели. Например, необходимо, чтобы себестоимость
продукции составляла 20 у. е.
Специфика таких задач состоит в том, что в вашем распоряжении есть
математическая модель исследуемого процесса, например закон ценообразования, но вы
не знаете, при каком значении входящего в нее параметра можно достичь поставленной
цели.
Решение таких задач можно искать методом перебора, однако на это уходит много
времени (в лучшем случае).
Можно предложить другие способы решения. В Excel они реализованы как поиск
значения параметра формулы, удовлетворяющего ее конкретному значению.
Эту процедуру используют для поиска такого значения ячейки, при котором
значение другой ячейки, вычисляемое по формуле, заранее задано. В формуле должна
быть ссылка на ячейку, значение которой ищут. Ограничения на искомое значение ячейки
не налагают.
Познакомимся с этой процедурой на примере составления штатного расписания.
1. Пусть известно, что в штате больницы состоит 6 санитарок, 8 медсестер, 10 врачей, 3
заведующих отделениями, главный врач, заведующий аптекой, заведующий хозяйством и
заведующий больницей. Общий месячный фонд зарплаты составляет 10 ООО у. е.
Необходимо определить, какими должны быть оклады сотрудников больницы.
Построим модель решения этой задачи. За основу возьмем оклад санитарки, а остальные
оклады будем вычислять, исходя из него: во сколько-то раз или на сколько-то больше.
Говоря математическим языком, каждый оклад является линейной функцией от оклада
санитарки: А; • С + Bj, где С - оклад санитарки; А, и В, - коэффициенты, которые для
каждой должности определяются следующим образом:
1.медсестра получает в 1,5 раза больше санитарки (А2 =1,5; В2 - 0);
2.врач - в 3 раза больше санитарки (Аз = 3; Вэ = 0);
3.заведующий отделением - на 30 у. е. больше, чем врач ( А 4 = 3 ; В 4 = 3 0 )
мемента Поиск решения, то нажмите кнопку Обзор, чтобы самостоятельно найти файл
Solver.XLA.
4 . заведующий аптекой — в 2 раза больше санитарки (As— 2; В5=0);
5.заведующий хозяйством - на 40 у.е. больше медсестры (А6 = 1,5; В6 = 40);
6.главный врач - в 4 раза больше санитарки (Л7 = 4: В7 = 0);
7.заведующий больницей — на 20 у.е. больше главного врача (А8 = 4 ; В8 = 20).
Зная количество человек на каждой должности, нашу модель можно записать как
уравнение:
N, * A , - C
+
N2(A2-C
+
B2)+...+N8-(A8-C
+
B8)=IOOOO,
где N j - число санитарок, N2 - число медсестер и т. д.
В этом уравнении нам известны А | . . . А 8 , B i . . . B 8 и M i . . . N g , а С неизвестно.
Анализ уравнения показывает, что задача составления расписания свелась к решению
линейного уравнения относительно С. Решим его.
Технология работы:
-
Запустите табличный процессор Excel.
-
Заполните таблицу в соответствии с образцом:
А
1
Должность
B
Коэф. А
C
D
Коэф. В
Зарплата
сотрудника
Санитарка
2
1
0
1,5
3
0
0
3
2
1,5
4
30
0
40
0
3
1
1
1
4
20
1
Медсестра
3
4
5
6
7
8
9
10
Врач
Зав.
отделением
Зав. аптекой
Завхоз
Главврач
Зав.
больницей
Итого
=B2*$G$2+
C2
Копировать
вниз
E
F
G
Количество
Суммарна Зарплата
сотрудни- я зарплата санитарки
ков
= D2* E2
6
150
Копиро8
вать вниз
10
=СУММ(
F2: F9)
В столбце D вычислите заработную плату для каждой должности. Например, для
ячейки D2 формула расчета имеет вид =B2*$G$2+C2. Затем заполните вниз.
В столбце F вычислите заработную плату всех работающих на данной должности.
Например, для ячейки F2 формула расчета имеет вид =D2*E2. Затем заполните вниз.
В ячейке F10 вычислите суммарный фонд заработной платы больницы. Рабочий
лист электронной таблицы будет выглядеть, как показано ниже:
А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
E
F
КоличестЗарплата
во
Суммарна Зарплата
Должность
Коэф. А
Коэф. В
сотрудник
сотрудни- я зарплата санитарки
а
ков
Санитарка
1
0
150
6
900
150
Медсестра
1,5
0
225
8
1800
Врач
3
0
450
10
4500
Зав.
1440
отделением
3
30
480
3
Зав. аптекой
2
0
300
1
300
Завхоз
1,5
40
265
1
265
Главврач
4
0
600
1
600
Зав.
620
больницей
4
20
620
1
Итого
10425
Как видите, взяв оклад санитарки за 150, мы превысили месячный фонд зарплаты.
Определите оклад санитарки так, чтобы расчетный фонд был равен заданному. Для
этого:
- активизируйте команду Подбор параметра из меню Сервис;
Сохраните таблицу в личном каталоге под именем hospital.xls.
Анализ задачи показывает, что с помощью Excel можно решать линейные
уравнения. Конечно, такое уравнение может решить любой школьник. Однако благодаря
этому простому примеру стало очевидно, что поиск значения параметра формулы,
удовлетворяющего ее конкретному значению, - это не что иное, как численное решение
уравнений. Другими словами, используя Excel, можно решать любые уравнения с одной
переменной.
ТЕМА 3. ЗАДАЧИ
ОПТИМИЗАЦИИ
В задаче 118 мы рассмотрели задачу поиска значения параметра, позволяющего
достичь конкретной цели.
Задачи могут быть и более сложными. Например, поиск нескольких параметров,
обеспечивающих некоторый наперед заданный результат.
Кроме того, иногда интересует не конкретный результат, а минимально или
максимально возможный. Например, как минимизировать затраты на содержание
персонала или максимизировать прибыли от реализации продукции?
Такие задачи в Excel также решаются с помощью Поиска решения.
Если математическая модель исследуемого процесса и ограничения на значения
ее параметров линейны, то задача достижения цели является задачей линейного
программирования.
Решение оптимизационных задач в Excel с использованием настройки Поиск
решения
Для решения оптимизационных задач в Excel предназначена надстройкаПоиск решения
Средство поиска
решения Microsoft
Excel использует
алгоритм нелинейной
оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2), разработанный Леоном Ласдоном (Leon
Lasdon, University of Texas at Austin) и Аланом Уореном (Allan Waren, Cleveland State
University). Поиск решений является частью блока задач, который иногда называют анализ "что если".
Процедура поиска
решения позволяет
найтиоптимальное
значение формулы
содержащейся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой ячеек,
прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле,
содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет значения во влияющих
ячейках. Чтобы сузить множество значений, используемых в модели, применяются ограничения.
Эти ограничения могут ссылаться на другие влияющие ячейки.
Процедуру поиска решения можно использовать для определения значения влияющей
ячейки, которое соответствует экстремуму зависимой ячейки - например можно изменить объем
планируемого бюджета рекламы и увидеть, как это повлияет на проектируемую сумму расходов.
Для решения общей оптимизационной задачи в Excel с использованием настройки Поиск
решения следует выполнить следующие действия:
1. Ввести формулу для целевой функции;
2. Ввести формулы для ограниченй оптимизационной задачи;
3. Выбрать в Excel пункт меню Сервис/Поиск решения;
4. В окне Поиск решения выбрать целевую ячейку, изменяемые ячейки и добавить
ограничения;
5. Нажать кнопку Выполнить, после чего будет получено решениеоптимизационной задачи.
Также среди оптимизационных задач можно выделить некоторые частные виды задач
например: транспортная задача и задача о назначениях. При решениятранспортной
задачи или задачи
о
назначениях в
Excel
с
использованием
настройки Поиск
решения целесобразно использовать стандартный подход описанный в соответсвующих разделах
данного сайта.
Познакомимся с решением этих задач на следующем примере.
2. Составление штатного расписания.
Усложним рассмотренную задачу. Пусть известно, что для нормальной работы
больницы необходимо 5-7 санитарок, 8—10 медсестер, 10 врачей, 3 заведующих
отделениями, главный врач, заведующий аптекой, заведующий хозяйством и заведующий
больницей. Общий месячный фонд зарплаты должен быть минимален. Необходимо
определить, какими должны быть оклады сотрудников больницы, при условии что оклад
санитарки не должен быть меньше прожиточного минимума - 80 у. е.
В качестве модели решения этой задачи возьмем, как и раньше, линейную.
Запишем ее так:
N1 • А1 • С + N2 • (А2 • С + В2)+ … N8 • (А8 • С +В8)=Минимум
В этом уравнении нам не известно число санитарок (N1), медсестер (N2), врачей
(N3) и оклад санитарки (С).
Используя Поиск решения, найдем их. Откройте созданный в предыдущей задаче
файл hospital.xls. В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения. В окне
Установить целевую ячейку укажите ячейку F10, содержащую модель.
Поскольку необходимо минимизировать общий месячный фонд зарплаты, то
активизируйте радиокнопку Минимальному значению.
Используя кнопку Добавить, опишите ограничения задачи.
$Е$2<=7
$Е$2>=5
$Е$3<=10
$Е$3>=8
$G$2>=80
Щелкните кнопкой ОК, затем - Выполнить.
Решение приведено ниже:
А
Должность
Коэф. А
Коэф. В
Зарплата
сотрудника
Санитарка
Медсестра
Врач
Зав.
отделением
Зав. аптекой
Завхоз
Главврач
Зав.
больницей
Итого
1
1,5
3
0
0
0
150
225
450
E
Количество
сотрудников
6
8
10
3
2
1,5
4
30
0
40
0
480
300
265
600
3
1
1
1
4
20
620
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
F
G
Суммарная
зарплата
Зарплата
санитарки
900
1800
4500
1440
150
300
265
600
620
10425
Оно тривиально: чем меньше сотрудников и чем меньше их оклад, тем меньше
месячный фонд заработной платы.
Эта задача специально приведена здесь для того, чтобы учащимся было легче
освоить новый материал. Для закрепления пройденного материала решим следующую
задачу.
3. План выгодного производства.
Предположим, что мы решили производить несколько видов конфет. Назовем их
условно «А», «В», «С». Известно, что реализация 10 килограммов конфет «А» дает
прибыль 9 у. е., «В» - 10 у. е., «С» - 16 у. е.
Конфеты можно производить в любых количествах (сбыт обеспечен), но запасы
сырья ограничены. Необходимо определить, каких конфет и сколько десятков
килограммов необходимо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была
максимальной.
Нормы расхода сырья на производство 10 кг конфет каждого вида приведены ниже.
Нормы расхода сырья
А
В
С
Какао
18
15
12
Сахар
6
4
8
Наполнитель
5
3
3
Прибыль
9
10
16
Технология работы:
Сырье
Запас сырья
360
192
180
- Запустите табличный процессор Excel.
- Заполните таблицу в соответствии с образцом:
А
Наименование
А
В
С
Стоимость продукции
В
Количество
С
Прибыль
=9*В3
=10*В4
=16*В5
=СУММ(С3:С5)
1
2
0
3
0
4
0
5
6
Расход сырья
7
Какао
Сахар
Наполнитель
8
=18*В3+15*В4+12*В5
=6*В3+4*В4+8*В5 =5*В3+3*В4+3В5
В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения и опишите его ограничения, как
указано ниже:
$А$10<=360
$В$10<=192
$В$3>=0
$В$4>=0
$В$5>=0
$С$10<=180.
Не забудьте указать, что изменяются ячейки $В$3:$В$5 и в Параметрах на
Линейность модели. Запустите Поиск решения. Если вы сделали все верно, то решение
будет таким, как указано ниже:
1
2
А
Наименование
А
В
Количество
0
С
Прибыль
0
3
4
5
6
7
8
В
С
Стоимость продукции
Какао
360
8
30
80
320
400
Расход сырья
Сахар
192
Наполнитель
84
Вывод: из решения видно, что оптимальный план выпуска предусматривает
изготовление 80 кг конфет «В» и 20 кг конфет «С». Конфеты «А» производить не стоит.
Полученная вами прибыль составит 400 у. е.
4. Ваше предприятие выпускает изделия 1, изделия 2, изделия 3, используя общий
склад комплектующих. Каждое изделие состоит из деталей, имеющихся на складе. В связи
с ограниченностью запаса необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска
изделий. Прибыль, получаемая от каждого изделия, равна соответственно 47,32; 31,55;
22,08. Число деталей, идущих на каждое изделие, указано в таблице.
Наличие на
складе
Деталь 1
450
Деталь 2
250
Деталь 3
800
Деталь 4
450
Деталь 5
600
Решение.
Изделие 1
Изделие 2
Изделие 3
1
1
2
1
2
1
0
2
1
1
0
0
1
0
1
Технология работы:
Запустите табличный процессор Excel.
Заполните таблицу в соответствии с образцом:
А
B
1
2
3
Наименование
Деталь 1
Склад
450
4
5
6
7
8
9
Деталь 2
250
Деталь 3
Деталь 4
Деталь 5
800
450
600
10
C
Количество
Используемые
детали
=$D$2*D4+$E$2*
E4+$F$2*F4
=$D$2*D5+$E$2*
E5+$F$2*F5
Копировать вниз
Копировать вниз
Копировать вниз
ПРИБЫЛЬ
по видам изделий
D
E
F
Изделие 1 Изделие 2 Изделие 3
100
100
100
1
1
0
1
0
0
2
1
2
2
1
1
1
0
1
G
Всего
=D2*47.32
=E2*31.55
=F2*22.08
=СУММ(
D11:F11)
В ячейках D4:F8 указывается, из какого числа деталей состоит каждое изделие.
В ячейках D2:F2 указываем примерное количество изделий, которые собираемся
выпускать.
В ячейках В4:В8 указывается число деталей на складе.
В ячейках С4:С8 подсчитываем число деталей, взятых со склада для изготовления
изделий.
В ячейках D11.G11 подсчитываем прибыль, полученную от изготовления каждого
изделия, и общую прибыль.
В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения и опишите его
ограничения, как указано ниже: $В$4:$В$8>=$С$4:$С$8
$D$2:$F$2>=0.
Самостоятельно укажите изменяемые ячейки.
Запустите Поиск решения. Если вы сделали все верно, то решение будет таким,
как указано ниже:
А
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Наименование
Деталь 1
Деталь 2
Деталь 3
Деталь 4
Деталь 5
10
Склад
450
250
800
450
600
C
Количество
Используемые
детали
400
200
800
400
600
ПРИБЫЛЬ
по видам изделий
D
E
F
Изделие 1 Изделие 2 Изделие 3
100
100
100
1
1
2
1
2
1
0
2
1
1
0
0
1
0
1
9464
6310
0
G
Всего
15774
4. Найти оптимальный объем перевозок товаров с 3 заводов на 5 региональных
складов. То есть необходимо минимизировать затраты на перевозку грузов от заводовпроизводителей на торговые склады. Производительность каждого завода и затраты на
перевозку от завода на каждый склад приведены в таблице:
Заводы
Поставки
склад 1
склад 2
Завод 1
310
10
8
Завод 2
260
6
5
Завод 3
280
3
4
Решение.
Технология работы:
Запустите табличный процессор Excel.
Заполните таблицу в соответствии с образцом:
А
B
C
D
1
Заводы Всего
склад 1
склад 2
Завод 1 =СУММ(C
2
2:G2)
1
1
Завод 2
Копиро3
ать вниз
1
1
4
Завод 3
1
1
Затраты
склад 3
6
4
5
E
склад 3
склад 4
5
3
5
F
склад 4
1
1
склад 5
4
6
9
G
склад 5
1
1
1
1
1
1
1
Итого
5
6
7
8
9
10
11
=СУММ(C
2:C4)
Копиров.
вправо
Копиров.
вправо
Копиров.
вправо
Копиров.
вправо
180
80
200
160
220
Потреб
ности
складов
Заводы
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Поставки
Затраты
310
10
8
6
5
260
6
5
4
3
280
3
4
5
5
=СУММ(C =С2*С8+С3* Копиров.
Копиров.
Копиров.
Перевоз
ка
С9+С4*С10
11:G11)
вправо
вправо
вправо
Допускаем, что от каждого завода на каждый склад перевозится единица
4
6
9
Копиров.
вправо
продукции. Ячейки $C$5:$G$5.
В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения и опишите его
ограничения, как указано ниже;
$В$2:$В$4>=$В$8:$В$10 Количество перевезенных грузов не может превышать
производственных возможностей заводов.
$C$5:$G$5>=$C$6:$G$6 Количество доставляемых грузов не должно быть меньше
потребностей складов. То есть производство должно быть не меньше потребностей.
$C$2:$G$4>=0 Число перевозок не может быть отрицательным.
Целевая ячейка $В$11. Изменяемые ячейки $C$2:$G$4.
Запустите Поиск решения. Если вы сделали все верно, то решение будет таким,
как указано ниже:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
А
Заводы
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Итого
Потреб
ности
складов
Заводы
Завод 1
Завод 2
Завод 3
Перевоз
ка
B
Всего
300
260
280
C
склад 1
0
0
180
180
D
склад 2
0
0
80
80
E
склад 3
0
180
20
200
F
склад 4
80
80
0
160
G
склад 5
220
0
0
220
180
80
200
160
220
Поставки
310
260
280
Затраты
10
6
3
8
5
4
6
4
5
5
3
5
4
6
9
3200
540
320
820
640
880
Обратите внимание, что с первого завода вывезена не вся изготовленная
продукция, а склады заполнены полностью. Измените потребности складов, затраты на
перевозку от заводов к складу, и вы получите другое решение.
6. Парк отдыха обслуживается семью группами сотрудников. (Группы обозначены
А, Б, В, Г, Д, Е, Ж.) Каждая группа имеет разные выходные дни. Выходных дней для
каждой группы должно быть не менее двух, выходные следуют подряд. Один сотрудник
входит только в одну группу. Известна потребность в сотрудниках в каждый из дней. Все
сотрудники имеют одинаковый размер недельной оплаты, который не зависит от графика
работы. Необходимо подобрать такую численность сотрудников в каждой группе, чтобы
добиться минимизации затрат на оплату труда при выполнении требования по числу
сотрудников на каждый день. Дневная зарплата сотрудников 40 у. е.
Решение.
Технология работы:
Запустите табличный процессор Excel.
Заполните таблицу в соответствии с образцом (в режиме просмотра формул)
Потребность в сотрудниках в каждый из дней
Воскресенье Понедельник Вторник
22
17
13
1
А
Графи
к
А
2
3
Б
В
4
Г
5
Д
6
Е
7
Ж
8
9
10
11
12
13
B
Выходные
дни
Воскресенье,
понедельник
Понедельник
вторник
Вторник,
среда
Среда,
четверг
Четверг,
пятница
Пятница,
суббота
Суббота,
воскресенье
Дневная
оплата
Общая
недельная
зарплата
Пятница
18
Суббота
24
D
E
F
G
H
I
J
ВС
ПН
ВТ
СР
ЧТ
ПТ
СБ
4
0
0
1
1
1
1
1
4
1
0
0
1
1
1
1
4
1
1
0
0
1
1
1
6
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
Форм
1
22
Копир
вправо
17
13
14
15
18
6
4
4
Все требуется
14
Четверг
15
C
Работни
-ки
=СУММ
(С2:С8)
Всего
Среда
14
40
=С10*
С14
Формула1
=$С$2*D2+$С$3*D3+$С$4*D4+$С$5*D5+$С$6*D6+$С$7*D8
24
В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения и опишите его ограничения, как
указано ниже:
$С$2:$С$8>=0 Количество сотрудников в группе не может быть отрицательным.
$С$2:$С$8=целое. Число сотрудников должно быть целым.
$D$10:$J$10>=$D$12:$J$12 Число ежедневно занятых сотрудников не должно быть
меньше ежедневной потребности.
Целевая ячейка $С$15. Изменяемые ячейки $С$2:$С$8
Запустите Поиск решения. Если вы сделали все верно, то решение будет таким как
указано ниже:
Гра
фик
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
Выходные дни
Воскресенье
понедельник
Понедельник
вторник
Вторник, среда
Среда, четверг
Четверг,
пятница
Пятница,
суббота
Суббота,
воскресенье
Всего
Всего
требуется
Работники
2
ВС
ПН
ВТ
СР
ЧТ
ПН
СБ
0
0
1
1
1
1
1
6
1
0
0
1
1
1
1
6
5
5
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
25
22
17
13
14
15
20
24
22
17
13
14
15
18
24
Дневная оплата 40
Общая
1000
недельная
зарплата
Вот тут-то и начинается самое интересное.
Важной особенностью этой задачи является наличие нескольких оптимальных решений,
каждое из которых обеспечивает достижение целевой функции при выполнении всех
ограничений.
Вызовите диалоговое окно Поиск решения и вновь выполните расчет. Вы
получите новое оптимальное решение. Но общее число сотрудников в любом решении
равно 25. Таким образом, можно найти все оптимальные решения и выбрать наиболее
подходящее с точки зрения дополнительных критериев.
7. В нескольких пунктах(пункты отправки) скопились транспортные средства(ТС). Эти ТС
Необходимо составить такой план перегона, чтобы общая стоимость перегона была
минимальной.
В этой задаче мы имеем следующие значимые факторы:
Пункты
Скопилось ТС
А1
120
А2
110
А3
130
- необходимые количества ТС для каждого из пяти пунктов приема:
Пункты
В1
В2
В3
В4
приема
Требуется
80
60
70
100
ТС
- стоимость перегона одного ТС по каждому из пятнадцати маршрутов:
В5
Пункты
В1
В2
В3
отправки
А1
2
4
1
А2
3
10
5
А3
8
9
8
Решение: заполните таблицу в соответствии с образцом.
В4
В5
6
4
3
7
2
4
A
1
B
Пункты
приема
В1
C
D
E
F
3
4
5
6
Пункты
отправки
А1
А2
А3
Требуется
7
8
Решение
А1
80
50
70
0
0
9
А2
0
0
0
0
30
10
11
0
=СУММ
(В8:В10)
10
Копирова
ть вправо
0
Копирова
ть вправо
100
20
13
А3
Итого
принято
Стоимость
перегона
А1
14
А2
15
А3
Копировать
вниз
16
Итого
пункт
в =СУММ
(В13:В15)
2
12
2
3
8
80
50
G
В2
В3
В4
В5
Скопилось
4
10
9
60
1
5
8
70
6
4
3
100
7
2
4
50
120
110
130
Итого
отправлено
120
=СУММ
(В8:F8)
Копировать
вниз
Итого
пункта
=B3*B8
Копировать
вправо
Копировать
вправо
из
=СУММ
(В13:F13)
Копировать
вниз
Копировать
вниз
=СУММ
(В16:F16)
В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения и опишите его ограничения, как
указано ниже: $В$6:$F$6=$В$11:$F$11 Исходные данные – требуемое число ТС по
каждому маршруту и число принятых ТС должно быть одинаковым.
$В$8:$F$10>=$В$8:$F$10=целое.
Изменяемые
данные
должны
быть
целыми
и
положительными.
$G$3:$G$5>=$В$8:$G$10
Исходные данные – количество ТС, скопившихся в каждом из пунктов отправления и
отправляемых из этого пункта.
Целевая ячейка $G$16. Изменяемые ячейки $В$8:$F$10.
Запустите Поиск решения. Если вы сделали все верно, то решение будет таким, как
указано ниже:
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Пункты
отправки
А1
А2
А3
Требуется
B
Пункты
приема
В1
C
2
3
8
80
D
E
F
G
В2
В3
В4
В5
Скопилось
4
10
9
60
1
5
8
70
6
4
3
100
7
2
4
50
120
110
130
Итого
отправлено
120
110
130
360
Решение
А1
80
50
70
0
0
А2
0
0
0
0
30
А3
0
10
0
100
20
Итого
80
60
70
100
50
принято
СтоиИтого из
мость
пункта
перегона
А1
0
200
70
0
0
270
А2
240
0
0
0
60
300
А3
0
90
0
300
80
470
Итого в
240
290
70
300
140
1040
пункт
В заключении отметим, что при некоторых исходных данных задача может иметь
несколько оптимальных решений.
8. Для некоторого технологического процесса требуется использование угля с
определенным содержанием фосфора и пепла. Доступны три сорта угля – А, В, С. Как их
следует смешать, чтобы удовлетворить ограничения на примеси и минимизировать цену?
Характеристики каждого угля приведены в таблице:
Сорт
угля
Содержание
примеси фосфора, %
Содержание
примеси пепла, %
Цена
А
В
С
0,06
2,0
30,0
0,04
4,0
30,0
0,02
3,0
45,0
Смесь угля должна иметь следующие характеристики:
Содержание примеси фосфора в смеси не более, % 0,03
Содержание примеси пепла в смеси не более, %
3,25
Заполните таблицу в соответствии с образцом.
1
2
3
A
B
Содержание
примеси фосфора
не более,
Содержание
примеси пепла не
более,
Сорт угля
4
5
6
7
А
В
С
8
9
10
11
А
В
С
Итого
0,06
0,04
0,02
Решение
% угля
в
смеси
C
Содержание
примеси фосфора
не более
2,0
4,0
3,0
Содержание примеси
фосфора, % в смеси,
даваемое углем этого
типа
E
%
0,03
%
3,25
Содержание
примеси пепла не
более,
30,0
30,0
45,0
Содержание
примеси пепла, %
Цена
Часть
стоимости,
даваемая углем
этого типа
=В8*Е4
=В9*Е5
=В10*Е6
=СУММ(E8:
E10)
В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения и опишите его
0,25
0,00
0,75
1,00
=В8*С4
=В9*С5
=В10*С6
=СУММ(С8:С10)
D
=В8*D4
=В9*D5
=В10*D6
=СУММ(D8:D10)
ограничения, как указано ниже:
Целевая ячейка $Е$11. Изменяемые ячейки $В$8:$В$10.
Ограничения
$В$11=1 Сумма долей угля от разных поставщиков равна единице.
$С$11<= $Е$1 . Суммарные доли примесей фосфора не должны быть больше
предельно допустимых.
$D$11<=
$Е$2 . Суммарные доли примесей пепла не должны быть больше
предельно допустимых.
Запустите Поиск решения. Если вы сделали все верно, то решение будет таким,
как указано ниже.
1
2
A
Содержание
примеси
фосфора
более,
Содержание
B
C
D
E
%
0,03
%
3,25
не
3
примеси пепла
не более,
Сорт угля
Содержание
примеси фосфора
не более
2,0
4,0
3,0
Содержание
примеси пепла не
более,
30,0
30,0
45,0
Содержание
примеси пепла, %
4
5
6
7
А
В
С
8
9
10
11
А
0,0833
0,0050
В
0,3333
0,0133
С
0,5833
0,0117
Итого
1,0000
0,0300
Улучшим сорт угля «В» по содержанию пепла –
0,06
0,04
0,02
Решение
% угля в
смеси
Содержание примеси
фосфора, % в смеси,
даваемое углем этого
типа
Цена
Часть
стоимости,
даваемая углем
этого типа
0,1667
2,50
1,3333
10,00
1,7500
26,25
3,2500
38,75
вместо 4%, укажем 3,5%.
Выполним расчет. Вы увидите, что в этой ситуации становится ненужным приобретать
уголь сорта «А».
1
2
3
A
B
Содержание
примеси
фосфора
не
более,
Содержание
примеси пепла
не более,
Сорт угля
C
Содержание
примеси фосфора
не более
2,0
4,0
3,0
D
E
%
0,03
%
3,25
Содержание
примеси пепла не
более,
30,0
30,0
45,0
Содержание
примеси пепла, %
Цена
4
5
6
7
А
В
С
8
9
10
11
А
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
В
0,5000
0,0200
1,7500
15,00
С
0,5000
0,0100
1,5000
22,50
Итого
1,0000
0,0300
3,2500
37,50
Попробуйте выяснить, насколько дешевым должен стать уголь сорта «А», чтобы
0,06
0,04
0,02
Решение
% угля в
смеси
Содержание примеси
фосфора, % в смеси,
даваемое углем этого
типа
Часть
стоимости,
даваемая углем
этого типа
вновь стало целесообразным его покупать.
9. Задача о рюкзаке
Имеется 4 предмета, каждый из которых характеризуется весом и ценой. Нужно
выбрать из них такие и столько, чтобы их общий вес не превышал 83, а суммарная цена
была максимальной.
Решение
Введите исходные данные и формулы в электронную таблицу, как указано ниже:
1
2
A
Общий вес
B
83
C
D
E
F
Количество
3
4
Вес 1 предмета
Вес 2 предмета
24
10
Цена 1 предмета
Цена 2 предмета
216
85
5
6
7
Вес 3 предмета
Вес 4 предмета
ИТОГО
16
4,5
Цена 3 предмета
Цена 4 предмета
50
40
G
Вес
Стоимость
= E3* B3
Коп.
вниз
= D3* E3
Копировать
вниз
=СУММ
=СУММ
(F3: F6)
(G3: G6)
В меню Сервис активизируйте команду Поиск решения и опишите ограничения,
как указано ниже:
Целевая ячейка $G$7. Находим максимальное значение.
Изменяемые ячейки $Е$3:$Е$6.
Ограничения
$Е$3:$Е$6>=0 Количество предметов не должно быть отрицательным.
$Е$3:$Е$6=целое. Предметы не разделяются.
$F$7:$В$1. Общий вес не должен превышать предельно допустимый.
Запустите Поиск решения. Если вы сделали все верно, то решение будет таким,
как указано ниже:
1
2
3
4
5
6
7
A
Общий вес
B
83
Вес 1 предмета
Вес 2 предмета
Вес 3 предмета
Вес 4 предмета
ИТОГО
24
10
16
4,5
C
Цена 1 предмета
Цена 2 предмета
Цена 3 предмета
Цена 4 предмета
D
E
216
85
50
40
Количество
1
0
0
13
F
G
Вес
Стоимость
24
0
0
58,8
82,8
216
0
0
520
763
Прогнозирование
Иногда
нам
хочется
знать,
"что
будет"
заранее.
Это
облегчает
принятие предстоящих решений в свою пользу. Как принято говорить, "подстелить
соломку".
В науке предвидение называют прогнозированием. Основой прогнозирования
являются наблюдения. Точнее, не сами наблюдения, а числовые значения неких
состояний наблюдаемого явления. Например, курс ценных бумаг. Фиксируя значения
курса во времени, мы получим табличное описание процесса изменения курса. Понятно,
что если описать аналитически этот процесс, то есть поставить ему в соответствие некую
функциональную зависимость ПРОГНОЗ = f(x), где х - некий момент времени, то
ПРОГНОЗ будет не что иное, как значение f(x) в некоторый наперед заданный момент
времени х.
Частотный анализ
При обработке статистических данных в демографии, маркетинге, при анализе
экономических показателей иногда возникает вопрос: "Как часто среди наблюдаемых
результатов встречаются значения, входящие в некоторый диапазон?" Этот вопрос не
является праздным. Ответив на него, можно выработать правильную линию поведения в
будущем. Например, спланировать объем выпуска продукции фабрики верхней одежды на
основе анализа распределения населения некоторого региона по росту.
Заполните данными рабочий лист электронной таблицы, как показано ниже.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
Рост людей
в регионе(см)
D
E
Границы роста
людей(см)
F
Число
людей в
группах
178
163
148
194
140
196
158
146
167
150
178
176
146
198
160
185
176
149
156
170
174
198
202
168
180
172
179
164
203
190
176
179
182
168
200
205
197
158
162
Используя функцию ЧАСТОТА(данные; интервалы),
где данные -
это
множество значений блока A3:D10, а интервалы - блока E3:E9, определим число
людей в группах.
Поскольку этих групп на одну больше числа интервалов, то:

выделите блок F3:F10;

наберите формулу
=ЧАСТОТА(A3:D10;E3:E9);

введите ее, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Результат анализа будет следующим:
E
Границы роста
людей(см)
140
150
160
170
F
Число
людей в
группах
0
4
3
6
180
190
200
9
2
5
3
Он показывает, например, что в данном регионе все люди выше 140 см. Людей
ростом от 140 см до 150 см - четверо и т.д.
Выполнив подобный анализ, фабрика для обеспечения региона может определить
рациональный план выпуска одежды разных размеров. Например, из анализа ясно, что не
следует выпускать одежду для людей, чей рост не превосходит 140 см.
ЗАДАЧА ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Определите, используя результаты предыдущей задачи, сколько необходимо
производить верхней одежды для разных групп людей, если для тех, чей рост больше 180
см, но не превышает 190 см пошить 100 единиц.