Загрузил Алишер Эшанов

анализ переходных процессов

реклама
Тема: Операторный
метод анализа
переходных процессов
Учебные вопросы
1 Преобразование Лапласа и его
свойства.
2 Законы Ома и Кирхгофа в
операторной форме. Операторная
схема замещения.
3 Алгоритм анализа переходных
процессов операторным методом.
4 Определение оригинала по его
изображению. Теорема разложения.
Недостатки
классического м етода
1) ограниченность прим енения, используется в
основном в тех случаях , к огда исследуем ая
цепь им еет невы сок ий порядок слож ности, а
внеш нее воздействие на нее после к ом м утации
является гарм оническ ой ф унк цией врем ени
либо постоянно;
2) гром оздк ость при анализе перех одны х
процессов цепей более второго порядк а, так к ак
нах ож дение свободной составляю щ ей и
постоянны х интегрирований требует реш ение
алгебраическ их уравнений вы сок ого порядк а.
Сущность
операторного метода
Расчет перех одного процесса переносится из
области ф унк ций действительной перем енной
(врем ени t) в область ф унк ций к ом плек сного
перем енного
. При этом операции
диф ф еренцирования и интегрирования ф унк ций
врем ени зам еняю тся соответствую щ им и
операциям и ум нож ения и деления ф унк ций
к ом плек сного перем енного на оператор p. Это
сущ ественно упрощ ает расчет, так к ак сводит
систем у диф ф еренциальны х уравнений к
систем е алгебраическ ой.
Этапы развития
операторного м етода
1. М атем атическ ое обоснование
операторного м етода впервы е
дано в 1862г. русск им
м атем атик ом М .Е.Ващ енк оЗах арченк о, к оторы й пок азал
возм ож ность прим енения
сим волическ ого (операторного)
исчисления к интегрированию
диф ф еренциальны х уравнений
на основе прям ого
преобразования Лапласа
Этапы развития
операторного м етода
2. В к онце X I X в. английск ие
инж енеры -элек трик и
О.Х эвисайд и Д.Карсон
успеш но прим енили и
развили сим волическ ий
м етод реш ения
диф ф еренциальны х
уравнений для расчета
перех одны х процессов в
элек трическ их цепях
Преобразования
Лапласа
Прям ое преобразование Лапласа
где f(t) – ограниченная ф унк ция
действительного перем енного t,
определенная при (при t < 0; f(t) = 0) .
Обратное преобразование Лапласа определяю т
из реш ения уравнения:
Условны е обозначения
соответствия оригинала
и изображ ения:
Функция оригинал f(t)
Выражение
функции
t
Вид функции
Изображение
функции
F(p)
Свойства преобразования
Лапласа
1. Теорем а о слож ении или линейность
преобразования
2. Теорем а о диф ф еренцировании
Свойства преобразования
Лапласа
3. Теорем а об интегрировании
4. Теорем а запазды вания
Изображ ение напряж ения
на резистивном элем енте
Ur(t) = r i(t)
Операторная сх ем а
зам ещ ения
Ur(p) = r I (p)
Зак он Ом а в
операторной ф орм е
для резистивного
элем ента
Изображ ение напряж ения
на индук тивном элем енте
Операторная сх ем а
зам ещ ения
U L (p) = - L i(0) + pLI (p)
где i(0) = i(0-) = i(0+) – ток в
индук тивном элем енте в
м ом ент к ом м утации t = 0,
учиты ваю щ ий начальны е
условия (согласно первого
зак она к ом м утации).
Изображ ение напряж ения
на ём к остном элем енте
Операторная сх ем а
зам ещ ения
где Uc(0) = Uc(0-) = Uc(0+) –
напряж ение на ем к остном
элем енте, соответствую щ ее
начальном у условию
(согласно второго зак она
к ом м утации).
Закон Ом а в операторной
ф орм е для последовательной
цепи
Законы Кирх гоф а в
операторной ф орм е
Первы й зак он Кирх гоф а в операторной форме:
Он гласит: алгебраическ ая сум м а
операторны х ток ов в лю бом узле
цепи равна нулю .
Второй зак он Кирх гоф а в операторной форме:
Он гласит: алгебраическ ая сум м а
операторны х падений
напряж ений на всех участк ах
зам к нутого к онтура равна
алгебраическ ой сум м е
операторны х ЭДС, вк лю ченны х
в этот к онтур.
Операторная сх ем а
зам ещ ения
При составлении эк вивалентны х операторны х сх ем источник и
ток а и напряж ений i(t) и U(t) зам еняю тся
соответствую щ им и изображ ениям и I (p) и U(p),
индук тивность L зам еняется на Lp, а ем к ость C – на 1/ Cp
при нулевы х начальны х условиях .
Если начальны е условия ненулевы е, то последовательно с
Lp добавляется источник напряж ения Li(0), а с C –
источник напряж ения –Uc(0)p
Алгоритм анализа переходных
процессов операторным
методом
1. И зображ ается исх одная расчетная сх ем а
зам ещ ения цепи и определяю тся
начальны е условия к ом м утации.
2. Все известны е элек трическ ие величины и
парам етры изображ аю тся в операторной
ф орм е (слож ны е ф унк ции – с пом ощ ью
таблиц оригиналов и изображ ений) и
осущ ествляется перех од к операторной
сх ем е зам ещ ения цепи.
Алгоритм анализа переходных
процессов операторным
методом
3. На основе зак онов Ом а, Кирх гоф а в операторной ф орм е в
соответствии с вы бранны м м етодом расчета цепи после
ее к ом м утации составляется систем а операторны х
уравнений с учетом начальны х условий, к оторая
реш ается относительно изображ ений иск ом ы х
перех одны х ток ов и напряж ений.
4. Полученны е изображ ения иск ом ы х перех одны х ток ов и
напряж ений преобразую тся либо к табличны м , либо к
виду, удобном у для прим енения теорем ы разлож ения, и
определяю тся оригиналы (перех одны е ток и и
напряж ения).
5. Производится анализ х арак тера перех одного процесса.
Способы перех ода к
оригиналам
Способы
перех ода
к оригиналам
С пом ощ ью
таблиц
оригиналов
и изображ ений
С пом ощ ью
обратного
преобразования
Лапласа
На основе
теорем ы
разлож ения
Теорем а
разлож ения
Теорем а разлож ения ф орм улируется следую щ им
образом .
Если изображ ение иск ом ой ф унк ции м ож но
представить в виде рациональной дроби
где м ногочлены F1(p) и F2(p) общ их к орней не
им ею т;
ak и bk – действительны е числа,
Теорем а разлож ения
(продолж ение)
то F(p) м ож но разлож ить на ряд слагаем ы х ,
к аж дом у из к оторы х соответствует табличны й
интеграл
где p1,p2,...,pn – корни х арактеристического уравнения F2(p) = 0;
F1(p1),F1(p2),… ,F1(pn) – значения м ногочлена числителя при
соответствую щ их корнях
p1,p2,… ,pn х арактеристического уравнения;
- значения производны х м ногочлена знам енателя при
соответствую щ их корнях p1,p2,… ,pn х арактеристического
уравнения.
Алгоритм прим енения
теорем ы разлож ения
1. Изображ ение иск ом ой ф унк ции представить в
виде рациональной дроби.
2. Составить х арак теристическ ое уравнение
знам енателя и определить его к орни p1,p2,… ,pn.
3. Определить значения м ногочлена числителя при
к аж дом из к орней х арак теристическ ого
уравнения.
4. Определить в общ ем виде производную
м ногочлена знам енателя и ее значения при
к аж дом из к орней х арак теристическ ого
уравнения.
5. По теорем е разлож ения записать оригинал
(иск ом ую ф унк цию ).
Прим ер . Пусть задано
изображ ение в виде
Необх одим о найти его оригинал.
Реш ение.
Обозначим F1(p) = p +2; F2(p) = p(p2 + 5p +4).
Найдем к орни х арак теристического уравнения F2(p) = p(p2
+ 5p +4) = 0.
p1 = 0; p2 = - 1; p3 = - 4.
При этом F1(p1) = 2; F1(p2) = 1; F1(p3) = - 2.
Определим производную
Отсю да
Ок ончательно получим :
Скачать