Курсач Теория линейных электроцепей

Министерство Путей Сообщения Российской Федерации
Омский Государственный Университет Путей Сообщения
Допускается к защите
Проект защищен
с оценкой
(с исправлениями, без исправлений)
(подпись)
«
»
(подпись, фамилия)
(подпись)
(фамилия)
20
г.
«
»
(фамилия)
20
Расчетно-пояснительная записка
к курсовому проекту
По дисциплине “Теория линейных электрических цепей”
«Исследование и расчёт характеристик двухполюсников и
четырёхполюсников»
Консультанты:
Разработчик:
Студент группы
(подпись)
(фамилия)
(подпись)
(фамилия)
(подпись)
Омск 2000
(фамилия)
г.
2
УДК 621.372
РЕФЕРАТ
Курсовой проект содержит 49 страниц, 9 графиков, 7 таблиц, использовано 5
источников.
ДВУХПОЛЮСНИК
ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИК
ХОЛОСТОЙ ХОД
КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
ОБРАТНЫЙ ХОЛОСТОЙ ХОД
ОБРАТНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПРИВЕДЁННОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
СИСТЕМНАЯ ФУНКЦИЯ
АКТИВНЫЙ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИК
Курсовая работа содержит расчет и исследование характеристик пассивных
двухполюсников и четырехполюсников, математические выражения и расчет для
собственных, повторных и рабочих параметров схем, расчет параметров активного
четырехполюсника.
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение .................................................................................................................................... 4
Задание на курсовую работу .................................................................................................... 5
1. Синтез схем реактивных двухполюсников ........................................................................ 6
1.1. Выявление необходимых и достаточных условий для физической реализации
схемы .......................................................................................................................................... 6
1.2. Расчет элементов схем Фостера и Кауэра методом разложения на простые и
непрерывные дроби ………………………………………………………………………
1.3. Определение класса, расчет резонансных чатот и построение графиков Z1() и
Z2(ω). ........................................................................................................................................ 13
2. Расчёт входных сопротивлений четырёхполюсника в режимах холостого хода и
короткого замыкания .............................................................................................................. 18
2.1. Режим холостого хода при прямом включении .................................................. 18
2.2. Режим короткого замыкания при прямом включении........................................ 19
2.3. Режим холостого хода при обратном включении ............................................... 22
2.4. Режим короткого замыкания при обратном включении .................................... 24
3. Нахождение основной матрицы A и системной функции исследуемого
четырёхполюсника.................................................................................................................. 26
3.1. Нахождение основной матрицы типа A исследуемого четырёхполюсника..... 26
3.2. Системная функция исследуемого четырёхполюсника ..................................... 28
4. Расчёт характеристических, повторных и рабочих параметров четырёхполюсника .. 29
4.1. Расчёт характеристических параметров четырёхполюсника ............................. 29
4.2. Расчет повторных параметров четырёхполюсника............................................. 36
4.3. Расчёт рабочих параметров четырёхполюсника ................................................. 37
5. Экспериментальная проверка результатов теоретических расчётов ............................. 39
6. Расчёт элементов эквивалентного активного четырёхполюсника ................................ 42
6.1. Расчёт эквивалентного четырёхполюсника ......................................................... 42
6.2. Расчет элементов эквивалентного активного четырёхполюсника .................... 42
Заключение .............................................................................................................................. 48
Библиографический список
4
ВВЕДЕНИЕ
В современной технике решается широкий круг задач, связанных с
использованием электрических явлений для передачи и обработки информации. В
общем случае электрическая цепь состоит из источников электрической энергии,
приемников и промежуточных звеньев, связывающих источники с приемниками.
При выполнении курсового проекта необходимо провести анализ и синтез этих
основных
промежуточных
элементов:
двухполюсников
(ДП)
и
четырехполюсников (ЧП), а также выполняется расчет входных сопротивлений
ЧП в режимах холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ), нахождение
основной матрицы типа А и системной функции исследуемого ЧП, расчет
характеристических, повторных и рабочих параметров ЧП, экспериментальная
проверка зависимости Z2(p) методом двухполюсника, расчет элементов
эквивалентного активного и пассивного ЧП.
Анализ и синтез электрических цепей взаимосвязаны. Методы синтеза
базируются на использовании общих свойств характеристик различных классов
цепей, которые изучаются в процессе анализа. В заданном курсовом проекте
указана схема синтезируемого ЧП, составными элементами которого являются ДП
с известной частотной зависимостью сопротивления в символической и
операторной форме.
Примечание: все формулы разделов 1  5 взяты из №1 и №2
библиографического списка, а формулы раздела 6 взяты из №4
библиографического списка.
5
Задание на курсовую работу
6
1.СИНТЕЗ СХЕМ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ, ВХОДЯЩИХ В
СОСТАВ ИССЛЕДУЕМОГО ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА
1.1. Выявление необходимых и достаточных условий для физической
реализации схемы
Если по операторной функции Z(p) – зависимости входного сопротивления
двухполюсника от параметра p (или от частоты) можно построить соответствующую
электрическую цепь, то такую функцию называют физически реализуемой.
Для реактивного двухполюсника функция Z(p) физически реализуема, если:
1) она положительна и действительна, все коэффициенты при операторе p – только
вещественные и положительные числа;
2) высшая степень оператора p равна числу элементов в схеме;
3) высшие и низшие степени многочленов числителя и знаменателя функции Z(p) могут
отличаться не более чем на единицу;
4) её нули и полюсы расположены на мнимой оси, при этом они являются комплексносопряженными, нули и полюсы чередуются, кратных (одинаковых) корней не бывает;
5) в числителе (знаменателе) функции стоят только нечётные степени, а в знаменателе
(числителе) стоят только четные степени оператора p.
1.2. Расчет элементов схем Фостера и Кауэра методом разложения на простые
и непрерывные дроби
Схема замещения исследуемого ЧП приведена на рис. 1.1
Схема замещения исследуемого ЧП
1
Z1
2
Z2
1`
2`
Рис. 1.1
Согласно заданию операторное сопротивление двухполюсника Z1 определяется по
формуле
0,05  ( p 2  2  108 )
Z1 ( p ) 
.
(1.1)
p
Z 1  0,05 p 
1
10
7
p
 pL1 
1
pC1
(1.2)
7
Запишем выражение (1.1) следующим образом:
Из выражения (1.2) видно, что ДП с операторным сопротивлением Z1(p) состоит
из катушки индуктивности L1 = 50 мГн и конденсатора емкостью C1 = 0,1 мкФ,
соединенных последовательно. Схемы Фостера и Кауэра для этой схемы будут
одинаковы.
Операторное сопротивление Z1(p) соответствует схеме, приведенной на рис. 1.2.
Элементная схема операторного сопротивления Z1(p)
L1
50 мГн
С1
0,1мкФ
Рис. 1.2
График для функции сопротивления Z1( j ) приведен на рис.1.13.
Согласно заданию операторное сопротивление двухполюсника Z2 определяется по
формуле:
Z 2 ( p) 
0,02  ( p 2  0,974  108 )  ( p 2  6,855  108 )
.
p  ( p 2  2  108 )
(1.3)
Этот ДП состоит из четырех реактивных элементов, т.к. высшая степень оператора
p равна четырем.
В схеме происходит три резонанса. Первый из них резонанс напряжений, т.к.
постоянный ток через схему не проходит.
Есть четыре вида канонических схем, в которых можно реализовать функцию
заданного ДП. Рассмотрим каждую из четырех схем, определим значения элементов, а
затем выберем наиболее оптимальную, которую будем использовать в дальнейших
расчетах.
а) Схема Фостера 1-ого рода.
Схема Фостера 1-ого рода, имеющая класс ”    ” в общем виде изображена на
рис.1.3.
а) Схема Фостера 1-ого рода.
C2n+1
C1
C3
C2n-1
L2n+1
L1
L3
Рис.1.3
L2n-1
8
Синтез данного пассивного ЧП будем проводить с помощью метода разложения
на простые дроби функции сопротивления (Z(p)).
В общем виде сопротивление ДП записывается следующим образом
Z ( p)  A p 
n
A0
A p
  2 2i 1 2 ,
p i 1 p   2i
(1.4)
где A p - полюс при p   ,
A0
- полюс при p  0 ,
p
A2i 1 p
- пары мнимых полюсов при p   j 2i .
p 2   22i
Используя понятие предела, найдем значения коэффициентов
соответственно по (1,5), (1,6), (1,7)
Z ( p)
,
A  L2i 1  lim
p 
p
1
A0 
 lim p  Z ( p) ,
C 2i 1 p 
A2i 1 
1
C2i 1
 2lim
p   22i
A , A0 , A2i 1
p 2   22i
 Z ( p) .
p
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Резонансная частота i-ого контура определяется по (1.8)
 2i 
1
L2i 1  C 2i 1
,
(1.8)
где L2i 1 - индуктивность i-ого контура, Гн;
С 2i 1 - емкость i-ого, Ф.
Для нашего случая, когда класс ДП “    ” и он имеет четыре элемента, схема
Фостера 1-ого рода будет иметь вид, изображенный на рисунке 1.4.
В общем виде сопротивление заданного ДП Z2(p) запишем в виде:
A0
Ap
 2 1
.
p
p  2  10 8
Значение частоты при которой возникает резонанс токов, взято из (1.3).
Z 2 ( p)  A p 
Схема Фостера 1-ого рода
C1
C3
L3
L1
Рис. 1.4
(1.9)
9
Затем, используя (1.5), (1.6), (1.7), (1.8) получим:



0.02  p 2  0.974  10 8  p 2  6.855  10 8
A  lim
 20 мГн  L3 ;
p 
p 2  p 2  2  10 8





0.02  p  p  0.974  10  p 2  6.855  10 8
A0  lim
 6.677  10 6 ;
2
8
p 0
p  p  2  10
p
2
8







 2  10  0.02  p  0.974  10 8  p 2  6.855  10 8
A1  lim 8
 2.49  10 8 ;
2
2
8
p  210
p  p  2  10
1
1
C3 
 149.76нФ ; C1 
 200.8нФ ;
A0
A1
1
1
L1  2

 25 мГн .
8
  C1 2  10  200.8  10 9
2
8
2

Полученные результаты расчетов сведем в табл.1.1.
б) Схема Фостера 2-ого рода.
Схема Фостера 2-ого рода, имеющая класс “    ”, в общем виде изображена на рис.1.5.
Схема Фостера 2-ого рода
L1
C1
L3
C3
L5
C5
L2n-1
C2n-1
Рис.1.5
Синтез этого пассивного ДП будем осуществлять с помощью метода разложения
на простые дроби функции проводимости Y(p).
В общем виде проводимость ДП записывается следующим образом
n
Y ( p)  
i 1
где
A2i 1 p
,
p 2   22i
(1.10)
A2i 1 p
- пары мнимых нулей.
p 2   22i
Значения коэффициентов A2i 1 (величина, обратная индуктивности) в этом случае
определяются по (1.11).
A2i 1 
где
1
L2i 1
 2lim
p   22i
p 2   22i 1
 Y ( p) ,
p
 2i 1 - частота, при которой наступает резонанс напряжений.
(1.11)
10
Резонансная частота для i-ой ветви определяется по (1.12).
 2i 1 
1
L2i 1  C 2i 1
,
(1.12)
где L2i 1 - индуктивность i-ой ветви, Гн;
С 2i 1 - емкость i- ой ветви, Ф.
В нашем случае, схема Фостера 2-ого рода будет иметь вид, изображенный на
рис1.6.
L1
C1
L3
C3
Рис.1.6
Из выражения (1.3) запишем проводимость.
Y2 ( p ) 
p  ( p 2  2  10 8 )
.
0,02  ( p 2  0,974  10 8 )  ( p 2  6,855  10 8 )
(1.13)
Теперь запишем для нашего случая общий вид проводимости через простые
дроби.
Y  p 
A3  p
A1  p
 2
.
8
( p  0,974  10 ) ( p  6,855  10 8 )
2
(1.14)
Очевидно, что в знаменателе выражения (1.13) записаны частоты, при которых
наступает резонанс напряжений и их можно найти, приравняв его к нулю.
0,02  ( p 2  0,974  10 8 )  ( p 2  6,855  10 8 )  0
(1.15)
Откуда следует, что 1  0,974  10 8 с-1 и  3  6,855  10 8 с-1.
Используя выражение (1.10), найдем значения неизвестных коэффициентов A1 и
A3, с помощью которых определим индуктивности L1 и L3.
A1 
1

L1
lim
p 2  0.974 10 8


p  p
p  0.02   p




 6.855  10    p  2  10 
 24.2 мГн ;
 0.974  10    p  6.855  10 
p  p 2  0.974  10 8  p 2  2  10 8
 114 мГн ;
p  0.02  p 2  0.974  10 8  p 2  6.855  10 8
2
8
2
8
1
 2 lim 8
2
8
2
8
L3 p 6.85510
1
1
1
1
C3  2 
 60нФ ; C1  2 
 90нФ ;
8
3
8
 3 6.855  10  24.2  10
 1 0.974 10 114 10 3
A3 
Полученные результаты расчетов сведены в табл.1.1.
11
в) Схема Кауэра 1-ого рода.
Схема Кауэра 1-ого рода, имеющая класс “    ”, в общем виде изображена на
рис.1.7.
Схема Кауэра 1-ого рода
L2
L4
L2n
C2
C4
C2n-2
C2n
Рис.1.7
Синтез такого пассивного ДП будем осуществлять методом разложения в
непрерывную (цепную) дробь функции сопротивления.
Z ( p)  pL2 
1
pC 2 
.
1
pL4 
(1.16)
1
pC 4 
1
pL6  
В нашем случае, когда класс ДП “    ” и он имеет четыре элемента, схема
Кауэра 1-ого рода будет иметь вид, изображенный на рис.1.8.
Разложим в непрерывную дробь выражение (1.3) и найдем тем самым значения
элементов данной схемы (см. рис.1.8).
Схема Кауэра 1-ого рода
L2
L4
C2
C4
Рис.1.8
0,02p4 + 1,5658 107 p2 + 1.3353 1015 p3 + 2 108 p
0.02p4 + 4 106 p2
0.02p  pL2 ;
1.1658 107 p2 + 1.3353 1015
p3 + 2 108 p
p3 + 1,1454 108 p
8.5457 107 p
1.1658 107 p2 + 1.3353 1015
85.78 10-9 p  pC2
;
1.1658 107 p2 + 1.3353 1015
1.1658 107 p2
1.3353 1015
8.5457 107 p
136.4 10-3 p  pL4
;
12
8.5457 107 p
8.5457 107 p
0
1.3353 1015
64 10-9 p  pC4 .
Полученные результаты расчетов сведем в табл.1.1.
г) Схема Кауэра 2-ого рода.
Схема Кауэра 2-ого рода, имеющая класс “    ”, в общем виде изображена на
рис.1.9.
Схема Кауэра 2-ого рода
C2
C4
C2n
L2
L4
L2n-2
L2n
Рис.1.9
Синтез этого пассивного ДП будем осуществлять методом разложения в
непрерывную дробь функции проводимости по восходящей степени оператора p.
1
1
Y ( p) 
pC 2 
.
(1.17)
1
1

pL2
1
1
1

1
pC 4

pL4
В нашем случае, когда класс ДП “    ” и он имеет четыре элемента, схема
Кауэра 2-ого рода будет иметь вид, изображенный на рис.1.10.
Схема Кауэра 2-ого рода
C2
C4
L2
L4
Рис.1.10
13
Разложим в непрерывную дробь выражение (1.13) по восходящей степени
оператора p и получим значения элементов схемы Кауэра 2-ого рода (см. рис.1.10).
1.3353 1015 + 1,5658 107 p2 + 0,02p4 2 108 p + p3
1
1

1.3353 1015 + 6.67677 106 p2
;
9
pC 2
149.8  10  p
8.98123 106 p2 + 0,02p4
2 108 p + p3
2 108 p + 0.4454 108 p3
8.98123 106 p2 + 0,02p4
1
1

3
pL2
50  10  p
;
0.5546 p3
8.98123 106 p2 + 0,02p4
8.98123 106 p2
0.5546 p3
1
1

9
pC 4
61,75  10  p
;
0,02p4
0.5546 p3
0,02p4
1
1
.

3
pL4
36  10  p
0.5546 p3
0
Полученные результаты расчетов сведем в табл.1.1.
Таблица1.1
Вид схемы
Фостер
1-ого рода
Фостер
2-ого рода
Кауэр
1-ого рода
Кауэр
2-ого рода
Результаты расчетов схем Фостера и Кауэра
Элементы схемы ДП
L1, мГн
C1, нФ
L2, мГн
C2, нФ
25
200.8
20
150
114
90
24.2
60
20
85.78
136.4
64
50
150
36
61.75
Проанализировав полученные значения элементов для каждой схемы (см.
табл.1.1), можно сделать вывод о том, что наиболее оптимальная из схем – это схема
Фостера 1-ого рода.
Если сложить индуктивности каждой из схем в отдельности, то получиться, что
общее значение индуктивности для схемы Фостера 1-ого рода будет наименьшим, что
более выгодно с практической точки зрения.
График для функции сопротивления Z2( j ) приведен на рис.1.14.
1.3. Определение класса, расчет резонансных чатот и построение графиков
Z1(p) и Z2(p).
Найдем нули и полюсы двухполюсников, входящих в состав исследуемого ЧП.
14
Согласно заданию операторное сопротивление двухполюсника Z1 определяется по
формуле:
Z 1 ( p) 
0,05  ( p 2  2  10 8 )
.
p
Приравняв к нулю числитель Z1(p), получим нули функции:
р 02  2  10 8  0 ,
р 02  2  10 8 .
Считая, что p  j , получаем:
p01, 2   j   j  1,4142135  10 4 .
Приравняв к нулю знаменатель Z1(p), получим полюсы функции:
px  0 ,
p x  j  0 .
Определим значения сопротивления внешних нулей и полюсов:
Z1 ( j )  Z1 ( j 0)   - полюс функции Z1(p),
Z1 ( j )  Z1 ( j)   - полюс функции Z1(p).
Полюсно-нулевое изображение Z1(p) представлено на рис.1.11
Полюсно-нулевое изображение Z1(р)
j
j14142,135

- j14142,135
-j

Рис. 1.11
Согласно заданию операторное сопротивление ДП Z2 определяется по формуле:
0,02  ( p 2  0,974  10 8 )  ( p 2  6,855  10 8 )
Z 2 ( p) 
.
p  ( p 2  2  10 8 )
Приравняв к нулю числитель Z2(p) (см. (1.15)), получим нули функции:
p01, 2   j1   j  9.87  10 3 ,
p03, 4   j 3   j  2.62  10 4 .
Приравняв к нулю знаменатель Z2(p), получим полюсы функции:
p   p 2  2  10 8   0 ,
p x1  0 ,
p x2, 3   j 2   j  1.4142  10 4 .
Определим значения сопротивления внешних нулей и полюсов:
Z 2 ( j )  Z 2 ( j 0)   - полюс функции Z2(p),
15
Z 2 ( j )  Z 2 ( j)   - полюс функции Z2(p).
Полюсно-нулевое изображение Z2(p) представлено на рис.1.12
Полюсно-нулевое изображение Z2
j
j2,6182104
j14142,135
j9869,14
- j9869,14
- j14142,135

- j2,6182104
-j

Рис. 1.12
Из полюсно-нулевого изображения (см. рис.1.11) определим класс и резонансную
частоту сопротивления Z1(p):
Z1 ( j)   .
Z 1 ( j 0)   ,
Через ДП Z1 постоянный ток и ток сверхвысокой частоты не проходят
следовательно, класс ДП “    ”.
Данный ДП имеет один резонанс напряжений на частоте   14142,135  10 4 с 1 .
Из полюсно-нулевого изображения (см. рис.1.12) определим класс и резонансную
частоту ДП Z2(р):
Z 2 ( j)   .
Z 2 ( j 0)   ,
Через ДП Z2 постоянный ток и ток сверхвысокой частоты не проходят,
следовательно, класс ДП “    ”.
Данный ДП имеет два резонанса напряжений на частотах   9869,14  10 3 с 1 и
  26182с 1 , а также один резонанс токов на   14142с 1 .
Для построения графиков необходимо в заданную формулу подставить
определенное значение контрольной частоты.
Зависимость сопротивления от частоты оформляем в виде табл.1.2.
Произведём расчёт Z 1 ( j) и Z 2 ( j) на контрольной частоте  = 7000 рад/с.
Z 1 ( ) 
1  5  10 9  7000 2
  j1,078  10 3 Ом .
7
j  7000  10
0.02  (0.974  10 8   2 )  (6.855  10 8   2 )
  j 582.906 Ом.
j  (2  10 8   2 )
Значения сопротивлений двухполюсников Z1 и Z 2 на различных частотах
приведены в табл. 1.2.
Z 2 ( j ) 
16
Таблица 1.2
Зависимости сопротивлений Z1 и Z2 от частоты
Угловая
частота , рад/с
0
2000
4000
6000
8000
9869,14
10000
12000
14000
14142,135
16000
18000
20000
22000
24000
26000
26182
28000
30000

Частота f, Гц
0
318
636,62
954,93
1273
1571
1592
1910
2228
2251
2546
2865
3183
3501
3820
4138
4167
4456
4775

Сопротивление Z1(), Ом Сопротивление Z2(), Ом

4900 ej90
2300ej90
1367ej90
850ej90
519,803ej90
500ej90
233,333ej90
14,286ej90
0
175ej90
344,444ej90
500ej90
645,455ej90
783,333ej90
915,385ej90
927,158ej90
1043ej90
ej90


3248ej90
1481ej90
810,555ej90
381,583ej90

30,446ej90
751,009ej90
17240ej90

1521ej90
734,013ej90
431,962ej90
249,359ej90
116,15ej90
8,883ej90

82,718ej90
163,96ej90

Графики зависимости Z1(j), Z2(j) приведены на рис. 1.13, рис. 1.14
соответственно.
17
График зависимости Z1(j)
2000
1071.43
Ом
142.86
0
2000
4000
6000
1 10
1.2 10
4
8000
1.4 10
4
1.6 10
4
 4
4
2 10
4
1.8 10
Рад/с
785.71
Z 1 ( p)
j
1714.29
2642.86
3571.43
4500

Рис. 1.13
График зависимости Z2(j)
1 .5 1 0
4
1 .2 9 1 0
Ом
4
1 .0 8 1 0
4
8 70 0
6 60 0
Z 2 ( p)
j
4 50 0
2 40 0
3 00
0
4 00 0
8 00 0
1 .2 1 0
4
1 .6 1 0
4
2 1 0
4
1 80 0
3 90 0
6 00 0

Рис. 1.14
2 .4 1 0
4
2 .8 1 0
4
3 .2 1 0
4
3Рад/с
.6 1 0
4
4 1 0
4
18
2. РАСЧЕТ ВХОДНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ
ЧП
В
РЕЖИМАХ
Входным
сопротивлением
четырёхполюсника
называется
то
полное
сопротивление четырёхполюсника переменному току, которое может быть измерено
со стороны его входных зажимов при условии замыкания его входных зажимов на
заранее заданное сопротивление.
При прямом направлении передачи
U
A  Z  A12
Z ВХ 1  1  11 H
.
(2.1)
I 1 A21  Z H  A22
При обратном направлении передачи
Z ВХ 2 
U2
A22  Z H  A12
/
.

(2.2)
/
/
I2
A21  Z H  A11
Входное сопротивление четырёхполюсника относится к числу его внешних
(рабочих) параметров, зависит от направления передачи, нагрузки и собственных
параметров.
На практике часто применяются значения ZВХ при холостом ходе и коротком
замыкании на выходе четырёхполюсника.
Элементная схема прямого Г-образного четырёхполюсника
L1
50 мГн
C1
0,1мкФ
L3
20 мГн
С3
0,2 мкФ
L2
25 мГн
С2
0,15 мкФ
Рис. 2.1
2.1. Режим холостого хода при прямом включении
Схема исследуемого четырёхполюсника в режиме холостого хода при прямом
направлении передачи приведена на рис. 2.2.
19
1
L3
20 мГн
С3
0,2 мкФ
С2
0,15 мкФ
L2
25 мГн
1/
Рис. 2.2
Z XX ( p)  Z 2 ( p)
Подставляя в (2.3) сопротивление двухполюсника (1.3), получим
Z XX ( p) 
0,02  ( p 2  0,974  10 8 )  ( p 2  6,855  10 8 )
.
p  ( p 2  2  10 8 )
(2.3)
(2.4)
ZХХ при прямом направлении передачи равно Z2(p), рассмотренному в пункте 1.3,
а его полюсно-нулевое изображение приведено на рис.1.12.
Проведём контрольный расчет ZХХ на частоте  = 7000 рад/с.
0.02  (0.974  10 8   2 )  (6.855  10 8   2 )
Z хх ( ) 
  j 582.906 Ом.
j  (2  10 8   2 )
Остальные значения сопротивлений ZХХ на других частотах приведены в табл. 2.1.
2.2 Режим короткого замыкания при прямом включении
Схема включения четырёхполюсника для нахождения ZВХ в режиме короткого
замыкания при прямом включении показана на рис. 2.3.
L1
50 мГн
C1
0,1мкФ
L3
20 мГн
С3
0,2 мкФ
L2
25 мГн
Рис. 2.3
С2
0,15 мкФ
20
Z 1 ( p)  Z 2 ( p)
.
(2.5)
Z 1 ( p)  Z 2 ( p)
Подставляя в выражение (2.4) сопротивления двухполюсников (1.1) и (1.3),
получим
10 3   p 2  2  10 8    p 2  0,974  10 8    p 2  6,855  10 8 
Z КЗ ( p) 
.
(2.6)
0,05  р   p 2  2  10 8   0,02  р   p 2  0,974  10 8    p 2  6,855  10 8 
Z КЗ ( p) 
Приравнивая поочерёдно числитель и знаменатель выражения (2.6) к нулю,
находим корни, которые являются соответственно нулями и полюсами операторного
сопротивления Z(p).
Нули:
Полюсы:
1 = 9869,1438,  = 14142,135 и  = 26182 рад/с
11113, = 19647 рад/с.
Тогда выражение (2.6) можно записать в виде
Z КЗ ( j ) 



10 3  2  10 8   2  0,974  10 8   2  6,855  10 8   2

0,05  j  2  10  
8

2 2

 0,02  j  0,974  10  
8
2

  6,855  10
8
2

.
(2.7)
Полюсно-нулевое изображение ZКЗ
j
j26182
j19647
j14142,1356
j11113
j9869,1438
- j9869,1438
- j11113
- j14142,1356
-j

σ
- j19647
-j26182
Рис. 2.4
Из полюсно-нулевого изображения (рис. 2.4) видно, что этот двухполюсник в
режиме короткого замыкания при прямом включении имеет класс “    ”.
Проведём контрольный расчет ZКЗ на частоте  = 7000 рад/с.
Z КЗ ( j ) 



10 3  2  10 8  7000 2  0,974  10 8  7000 2  6,855  10 8  7000 2

0,05  j 7000  2  10  7000
8

2 2
Z кз ( j7000)   j378.402  378.402  e 90 Ом.
0



 0,02  j 7000  0,974  10  7000  6,855  10  7000
8
2
8
2

.
21
Остальные значения сопротивлений ZКЗ на других частотах приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Зависимости сопротивлений ZХХ и ZКЗ при прямой передаче от
частоты
Угловая частота
Сопротивление
Сопротивление
f, Гц
ZХХ, Ом
ZКЗ, Ом
рад/сек
0
0


j90
318
2000
1953ej90
3248e
j90
636,62
4000
1481e
900,864ej90
954,93
6000
810,555ej90
508,794ej90
1273
8000
381,583ej90
263,356ej90
1571
9869,1438


j90
1592
10000
30,446e
32,42ej90
1769
11113
751,009ej90

j90
1910
12000
17240e
338,504ej90
2228
14000
17240ej90
14,298ej90
2251
14142,135


j90
2546
16000
1521e
197,761ej90
2865
18000
734,013ej90
648,991ej90
3127
19647
473,046ej90

j90
3183
20000
431,962e
3174ej90
22000
3501
249,359ej90
406,342ej90
24000
3820
116,15ej90
136,37ej90
j90
26000
4138
8,883e
8,97ej90
26182
4167


j90
28000
4456
82,718e
76,639ej90
30000
4775
163,96ej90
143,757ej90




Графики частотной зависимости входных сопротивлений исследуемого
четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом
направлении передачи сигнала приведены на рис. 2.5.
22
Частотная зависимость входных сопротивлений исследуемого четырёхполюсника в режимах
холостого хода и короткого замыкания при прямом направлении передачи сигнала
8000
6400
Ом
4800
3200
1600
0
Z
j
1600
3200
4800
6400
8000
0
3000
6000
9000
1.2 10
4
1.5 10
4
1.8 10
2.1 10
4
4
2.4 10
4
4
2.7 10
Рад/с
3 10
4
ω
- частотная зависимость сопротивления четырёхполюсника в режиме
холостого хода при прямом направлении передачи.
- частотная зависимость сопротивления четырёхполюсника в режиме
короткого замыкания при прямом направлении передачи.
Рис. 2.5
2.3. Режим холостого хода при обратном включении
Схема включения четырёхполюсника для нахождения ZВХ в режиме холостого хода при
обратном включении
L1
50 мГн
C1
0,1мкФ
2
L3
20 мГн
С3
0,2 мкФ
L2
25 мГн
С2
0,15 мкФ
2`
Рис. 2.6
23
Z / ХХ ( p)  Z 1 ( p)  Z 2 ( p).
(2.8)
Подставляя в выражение (2.8) сопротивления двухполюсников (1.1), (1.3),
получим
Z / ХХ ( p) 
0,05  ( p 2  2  10 8 ) 0,02  ( p 2  0,974  10 8 )  ( p 2  6,855  10 8 )


p
p  ( p 2  2  10 8 )
(2.9)
Приравнивая поочерёдно числитель и знаменатель выражения (2.9) к нулю,
находим корни, которые являются нулями и полюсами операторного сопротивления
Z/хх(p).
Нули:
= 11111,21, 3 = 19645,37 рад/с.
Полюсы:
= 14142,135 рад/с.
Тогда выражение (2.9) можно переписать в виде
0,05  (2  10 8   2 ) 0,02  (0,974  10 8   2 )  (6,855  10 8   2 )
Z ХХ ( p) 


j
j  (2  10 8   2 )
/
(2.10)
Полюсно-нулевое изображение Z’хх
j
j19645,37
j14142,135
j11111,21
σ
- j11111,21
- j14142,135
- j19645,37
-j

Рис. 2.7
Из полюсно-нулевого изображения (рис. 2.7) видно, что этот двухполюсник в
режиме холостого хода при обратном включении имеет класс “  ”.
Проведём контрольный расчет ZХХ на частоте  = 7000 рад/с.
Z / ХХ ( p) 
0,05  (2  10 8  7000 2 ) 0,02  (0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )

.
j 7000
j 7000  (2  10 8  7000 2 )
Z / ХХ ( p)  1661  e 90 .
0
Остальные значения сопротивлений ZХХ на других частотах приведены в табл. 2.2.
24
2.4. Режим короткого замыкания при обратном включении
Схема включения четырёхполюсника для нахождения ZВХ в режиме короткого
замыкания при обратном включении
L1
C1
0,1мкФ
50 мГн
2
2`
Рис. 2.8
/
Z КЗ
( p)  Z 1 ( p).
(2.11)
Подставляя в выражение (2.11) сопротивление двухполюсника (1.1), получим
0,05  ( p 2  2  10 8 )
.
p
Подробно этот двухполюсник рассмотрен в п.1.2 и п.1.3.
/
Z КЗ

(2.12)
Из полюсно-нулевого изображения (рис. 1.11) видно, что этот двухполюсник в
режиме короткого замыкания при обратном включении имеет класс “  ”.
Проведём контрольный расчет ZКЗ на частоте  = 7000 рад/сек.
0,05  (2  10 8  7000 2 )
  j1,078  10 3 Ом
j 7000
Остальные значения сопротивлений Z/КЗ на других частотах приведены в табл. 2.2.
/
Z КЗ

Угловая частота
рад/сек
0
2000
4000
6000
8000
10000
11111,21
12000
Таблица 2.2
Зависимости Z’ХХ и Z’КЗ от (j)
Сопротивление Z/ХХ, Сопротивление Z/КЗ,
f, Гц
Ом
Ом
0
0
0
j90
318
8148e
4900 ej90
636,62
3781ej90
2300ej90
954,93
2177ej90
1367ej90
1273
1232ej90
850ej90
1592
496,55ej90
30,446ej90
1768
0
344,341ej90
j90
1910
517,676e
751,009ej90
25
Угловая частота
рад/сек
14000
14142,135
16000
18000
19645,37
20000
22000
24000
26000
28000
30000

Продолжение табл. 2.2
Сопротивление Z/ХХ, Сопротивление Z/КЗ,
Ом
Ом
j90
17220e
17240ej90
0

j90
1346e
1521ej90
389,569ej90
734,013ej90
0
473,243ej90
68,038ej90
431,962ej90
396,095ej90
249,359ej90
667,184ej90
116,15ej90
906,502ej90
8,883ej90
j90
1126e
82,718ej90
1331ej90
163,96ej90


f, Гц
2228
2251
2546
2865
3127
3183
3501
3820
4138
4456
4775

Графики частотной зависимости входных сопротивлений исследуемого
четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном
направлении передачи сигнала приведены на рис. 2.9.
Частотная зависимость входных сопротивлений исследуемого четырёхполюсника в режимах
холостого хода и короткого замыкания при обратном направлении передачи сигнала
5 00 0
4 00 0
Ом
3 00 0
2 00 0
1 00 0
Z
j
0
1 00 0
2 00 0
3 00 0
4 00 0
5 00 0
0
3 00 0
6 00 0
9 00 0
1 .2 1 0
4
1 .5 1 0
4
1 .8 1 0
4
2 .1 1 0
4
2 .4 1 0
4
4
2 .7 1 0
рад/с
3 1 0
4

- частотная зависимость сопротивления четырёхполюсника в режиме
холостого хода при обратном направлении передачи.
- частотная зависимость сопротивления четырёхполюсника в режиме
короткого замыкания при обратном направлении передачи.
Рис. 2.9
26
3. НАХОЖДЕНИЕ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ ТИПА A И СИСТЕМНОЙ
ФУНКЦИИ ИССЛЕДУЕМОГО ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА
3.1. Нахождение основной матрицы типа A исследуемого четырёхполюсника
В данной курсовой работе рассматривается четырёхполюсник, собранный из
оптимально выбранных двухполюсников в соответствии со схемой замещения, указанной
в задании.
Теория четырёхполюсников позволяет, применяя некоторые обобщённые
параметры, связать между собой напряжения и токи на входе и выходе, не производя
расчётов этих величин в схеме самого четырёхполюсника.
К таким обобщённым параметрам относятся собственные параметры
четырёхполюсников, которые определяются без учета влияний внешних подключений
(генератора и нагрузки). Параметры-коэффициенты A (а также B, Z, Y, H, G) относятся к
собственным параметрам.
Четырёхполюсную цепь (рис.3.1), имеющую вход и выход, следует
характеризовать связями между двумя напряжениями U1 и U2 и двумя токами I1 и I2.
I1
I2
ZГ
U1
(A)
U2
ZН
E
S1
S2
Рис. 3.1
Если за функции принять U1 и I1, а за аргументы U2 и I2, то получим основную
систему уравнений четырёхполюсника в виде:
U 1  A11  U 2  A12  I 2
(3.1)
I 1  A21  U 2  A22  I 2
Такую систему уравнений для любых заданных условий включения
четырёхполюсника можно дополнить ещё двумя уравнениями: уравнением генератора 
E Г  I1  Z Г  U Г
(3.2)
и уравнением приёмника 
U2  I2  ZН .
(3.3)
Матрица А имеет вид:
А12 
А
.
A   11
 А21 А22 
Для
пассивных
четырёхполюсников
определитель,
коэффициентов A, равен единице.
А  А11  А22  А12  А21  1.
(3.4)
составленный
из
(3.5)
Коэффициенты A для заданной прямой Г-образной схемы имеют следующий вид:
27
А11  1.
A12  Z 1Ом.
1
A21 
См.
Z2
Z
А22  1  1 .
Z2
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
Чтобы убедиться в правильности выбора коэффициентов A-матрицы, подставим
выражения (3.6), (3.7), (3.8) и (3.9) в выражение (3.5).
A 1
Z1 Z1

1
Z2 Z2
Следовательно, выражения (3.6), (3.7), (3.8) и (3.9) верны.
Подставляя в выражения (3.6), (3.7), (3.8) и (3.9) сопротивления двухполюсников
(1.1) и (1.3) в виде Z = (j) и произведя различные математические преобразования,
получим
А11  1,
A12 
(3.10)
0,05  (2  10  j )
,
j
8
2
(3.11)
j  (2  10 8   2 )
A21 
,
0,02  (0,974  10 8   2 )  (6,855  10 8   2 )
(3.12)
(0,974  10 8   2 )  (6,855  10 8   2 )  2,5  (2  10 8   2 ) 2
А22 
.
(0,974  10 8   2 )  (6,855  10 8   2 )
(3.13)
Проведём контрольный расчет A-параметров на частоте  = 7000 рад/с.
А11  1,
A12 
A21 
0
0,05  (2  10  7000 2 )
  j1,078  10 3  1078e  j 90 ,
j 7000
8
j  (2  10 8  7000 2 )
3
 3  j 90 0

j
1
,
716

10

1
,
716

10
e
,
0,02  (0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )
А22 
(0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )  2,5  (2  10 8  7000 2 ) 2
 2,85.
(0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )
Проверим достоверность найденных коэффициентов, используя (3.5).


1  2,85   j1,078  10 3  j1,716  10 3  2,85  1,85  1.
Так как уравнение выполнилось, то коэффициенты найдены верно.
28
3.2. Системная функция исследуемого четырёхполюсника
Запишем системную функцию H(S) через A-параметры.
ZН
H (S ) 
.
(3.14)
А11  Z Н  А12  А21  Z Н  Z Г  А22  Z Г
Подставив в выражение (3.14) полученные ранее выражения (3.10), (3.11), (3.12) и
(3.13) и проведя некоторые математические преобразования, получим:
9 p  ( p 2  0,974 10 8 )  ( p 2  6,855 10 8 )
H ( s)  3 6
10 p  18 p 5  1,38790910 6 p 4  1,4092210 10 p 3  3,043547510 14 p 2  1,201818610 18 p  1,33541410 22 (3.15)
Проведём контрольный расчет системной функции H(S) на частоте  = 7000 рад/с.
9 j  (0,974  10 8   2 )  (6,855  10 8   2 )
H ( s )  3 6
10   j18 5  1,38790910 6  4  j1,4092210 10  3  3,043547510 14  2  j1,201818610 18   1,33541410 22
H ( s)  0,022  j 0,052  0,056e j1,171 .
В дальнейшем мы используем системную функцию для расчета активного
четырехполюсника (см. п.6.2).
29
4. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ, ПОВТОРНЫХ И РАБОЧИХ
ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА
4.1. Расчёт характеристических параметров четырёхполюсника
При исследовании работы четырёхполюсника в качестве различных устройств
автоматики, телемеханик и связи удобно пользоваться характеристическими
параметрами ZC1, ZC2 и gC. Они зависят только от схемы замещения, то есть являются
собственными параметрами.
Характеристическое сопротивление – это такое входное сопротивление
четырёхполюсника, в котором в качестве нагрузки используется другое
характеристическое сопротивление. Характеристическое сопротивление – это среднее
геометрическое входных сопротивлений холостого хода и короткого замыкания.
При прямом направлении передачи энергии
A11  A12
Z C1  Z ХХ  Z КЗ 
(4.1)
A21  A22
и при обратном направлении передачи энергии
A22  A12
/
/
.
Z C 2  Z ХХ
 Z КЗ

(4.2)
A21  A11
Подставим выражения (3.10), (3.11), (3.12) и (3.13) в выражение (4.1) и проведем
некоторые математические преобразования. В итоге получим, что:
Z с1 
0,05  р  p


   p  6,855  10   0,02
  0,02  р   p  0,974  10    p  6,855  10  р   p
2
 2  10 8
2
2
Перезапишем выражение (4.3) в виде:
Z с1 
2
10 3  p 2  2  10 8  p 2  0,974  10 8


8
8
2

2

 0,02  j  0,974  10 8
2
8
2
 2  10 8
  6,855  10     0,02
    6,855  10    j  2  10
10 3  2  10 8   2  0,974  10 8   2
0,05  j  2  10
8 2
2
2
.
(4.3)
2 2
8
2

8
2
8
2

.
(4.4)
Проведём контрольный расчет характеристического сопротивления ZC1 на частоте
 = 7000 рад/с.
Z c1  j 220500  j 469,562 Ом.
Остальные значения характеристического сопротивления на различных частотах
приведены в табл. 4.1.
Подставим выражения (3.10), (3.11), (3.12) и (3.13) в выражение (4.2) и проведем
некоторые математические преобразования. В итоге получим, что:
Z C2 
0,05  ( p
2

 2  10 8 ) 2  0,02  ( p 2  0,974  10 8 )  ( p 2  6,855  10 8 )  0,05
.
p3
(4.5)
Перезапишем выражение (4.5) в виде:
Z C2 
0,05  (2  10
8

  2 ) 2  0,02  (0,974  10 8   2 )  (6,855  10 8   2 )  0,05
.
j 3
(4.6)
30
Проведём контрольный расчет характеристического сопротивления ZC2 на частоте
 = 7000 рад/с.
Z C2 
0,05  (2  10
8

 7000 2 ) 2  0,02  (0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )  0,05

j 7000 3
 j 1793000  j1339 Ом.
Остальные значения характеристического сопротивления на различных частотах
приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Зависимость характеристических сопротивлений от частоты
Характеристическое Характеристическое
Угловая частота
f, Гц
сопротивление
сопротивление
рад/с.
ZC1, Ом
ZC2, Ом
0
0
-
-
318
2000
2518ej90
6318ej90
636,62
4000
1155ej90
2949ej90
954,93
6000
642,188ej90
1725ej90
1273
8000
317,005ej90
1023ej90
1571
9869,1438
0
519,803ej90
1592
10000
31,418ej90
484,538ej90
1769
11111,21
0

12000
1910
504,202
347,55
14000
2228
496,44
496,029
14142,135
2251
499,058
499,058
16000
2546
548,358
485,246
18000
2865
690,194
366,313
3127
19645,37
0

j90
3183
20000
1171e
184,443ej90
j90
22000
3501
318,316e
505,63ej90
24000
3820
125,854ej90
722,93ej90
26000
4138
8,926ej90
910,932ej90
26182
4167
0
927,157ej90
28000
4456
79,62ej90
1083ej90
30000
4775
153,526ej90
1246ej90
Графики частотной зависимости характеристических сопротивлений ZC1 и ZC2
исследуемого четырёхполюсника приведены на рис. 4.1 и рис.4.2 соответственно.
31
Частотная зависимость характеристического сопротивления ZC1
3000
2400
Ом
1800
1200
600
0
Z C1
j
600
1200
1800
2400
3000
0
3000
6000
9000
1.2 10
4
1.5 10
1.8 10
4
2.1 10
4
10
2.7
рад/с
2.4 10
4
4
4
3 10
4

Рис. 4.1
Частотная зависимость характеристического сопротивления ZC2
7000
5600
Ом
4200
2800
1400
0
ZC2
j
1400
2800
4200
5600
7000
0
3000
6000
9000
1.2 10
4
1.5 10

Рис. 4.2
4
1.8 10
4
2.1 10
4
2.4 10
4
4
рад/с
2.7 10
3 10
4
32
Характеристическая постоянная передачи gC оценивает потери мощности в
четырёхполюснике, не зависит от направления передачи энергии через
четырёхполюсник.
Характеристическая постоянная передачи через A-параметры записывается в виде:
g C  ln( A11 A22  A12 A21 ).
(4.7)
Подставим в выражение (4.7) полученные ранее выражения для A-параметров
((3.10), (3.11), (3.12) и (3.13)).
 (0,974  108   2 )  (6,855  108   2 )  2,5  (2  108   2 ) 2

0,05  (2  108   2 ) 2

gC  ln 

8
2
8
2
8
2
8
2 

(
0
,
974

10


)

(
6
,
855

10


)
0
,
02

(
0
,
974

10


)

(
6
,
855

10


)


Характеристическая постоянная также записывается в виде:
g C  a C  jbC ,
(4.8)
где
a C  ln
и

A11 A22  A12 A21 , Нп

bC  arg A11 A22  A12 A21 , град.
(4.9)
(4.10)
aс  это постоянная затухания, которая показывает степень потери мощности в
четырёхполюснике или степень уменьшения амплитуды тока (напряжения) на выходе
четырёхполюсника по сравнению с этими величинами на входе.
bc  это фазовая постоянная, которая показывает смещение по фазе между токами
и напряжениями на входе и выходе четырёхполюсника.
Проведём контрольный расчёт gC, aC и bC по (4.7), (4.9) и (4.10), соответственно, на
частоте  = 7000 рад/с.
(0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )  2,5  (2  10 8  7000 2 ) 2
g C  ln(

(0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )

0,05  (2  10 8  7000 2 ) 2
)  ln(1,688  1,36)  1,115
0,02  (0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )
aC  ln

0,05  (2 10 8  7000 2 ) 2
 ln 1,688  1,36  1,115, Нп.
0,02  (0,974 10 8  7000 2 )  (6,855 10 8  7000 2 )
bC  arg(

(0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )  2,5  (2  10 8  7000 2 ) 2

(0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )
(0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )  2,5  (2  10 8  7000 2 ) 2

(0,974  10 8  7000 2 )  (6,855  10 8  7000 2 )
0,05  (2 10 8  7000 2 ) 2
)  arg(1,688  1,36)  0, град.
0,02  (0,974 10 8  7000 2 )  (6,855 10 8  7000 2 )
Аналогичный результат даёт расчёт ac и bc через входные сопротивления
холостого хода и короткого замыкания.
33
Обозначив:
Z КЗ
Z / КЗ
,
th( g C )  x  jy 

Z ХХ
Z / ХХ
(4.11)
aC  10  lg N , дБ
(4.12)
получим
и
bC 

2
, град ,
(4.13)
где
1  x  jy
.
(4.14)
1  x  jy
Подставив выражения (2.5) и (2.8) в (4.11) и проведя некоторые математические
преобразования, получим:
N  N  e j 

x  jy 

  6,855  10   
  0,02  j  0,974  10     6,855  10
0,02  10 3  0,974  10 8   2

2
j  0,05  j  2  10 8   2
Подставляя выражение (4.15) в (4.14), получим:
1
N
1
2

2 2
8
8
2
  6,855  10   
j  0,05  j  2  10     0,02  j  0,974  10     6,855  10
0,02  10  0,974  10     6,855  10   
j  0,05  j  2  10     0,02  j  0,974  10     6,855  10
0,02  10 3  0,974  10 8   2
2
2 2
8
8
3
8
2 2
2
8
8
2
8
2

2
  N  e
2

2 2
8
2 2
8
2 2
8
8
. (4.15)
j
. (4.16)
Беря из выражения (4.16) N и подставляя его в выражение (4.12) можем
определить постоянную затухания aС.
Беря аналогичным образом из выражения (4.16)  и подставляя его в выражение
(4.12) можем определить фазовую постоянную bС.
Проведём контрольный расчёт gC, aC и bC по (4.12)  (4.16) на частоте  = 15000
рад/с.
x  jy 


  6,855  10   
  0,02  j  0,974  10     6,855  10
0,02  10 3  0,974  10 8   2

j  0,05  j  2  10 8   2
2
2
2 2
8
8
2
8
2

 0,806.
1  0,806
 9,294  9,294  e j 0 ,
1  0,806
то есть, получаем, что N = 9,294 и  = 0.
N
aC  10  lg 9,294  9,682, дБ ,
0
bC   0, град .
2
Остальные значения характеристической постоянной передачи gC, постоянной
затухания aC и фазовой постоянной bC на различных частотах приведены в табл. 4.2.
34
Таблица 4.2
Значения характеристической постоянной передачи
Характеристиче
Постоянная
Фазовая
Угловая частота
f, Гц
ская постоянная
затухания
постоянная
, рад/с
gC
aC, дБ
bC, град
0
8.956
0
0
0
2000
318
1.034
8.981
0
4000
636,62
1.045
9.079
0
6000
954,93
1.078
9.359
0
8000
1273
1.191
10.341
0
9869,1438
1571
7,338
63,74
90
1592
10000
18.04
90
2,604ej37,103
j90
1769
11113
0
90
1,521e
j90
1910
12000
0
0
0,591e
j90
2228
14000
0
0
0,029e
14142,135
2251
0
0
0
2546
16000
0
0
0,346ej90
j90
2865
18000
0
0
0,755e
j89,052
3127
19647
0
90
1,571e
j76,161
3183
20000
3.363
90
1,618e
j56,142
22000
3501
9.155
90
1,892e
j44,333
24000
3820
13.968
90
2,248e
j27,577
26000
4138
26.13
90
3,394e
j90
26182
4167
61,441
90
1,571e
28000
4456
1,98
17.194
0
30000
4775
1,708
14.833
0
Графики частотной зависимости постоянной затухания и фазовой постоянной
показаны на рис 4.1 и рис 4.2 соответственно.
35
График частотной зависимости постоянной затухания
30
27
дБ
24
21
18
15
aC
12
9
6
3
0
3000
6000
9000
1.2 1 0
1.5 1 0
4
4
1.8 1 0
4
2.1 1 0
4
2.4 1 0
4
1 0
2.7рад/с
3 1 0
4
4

Рис 4.3
График зависимости фазовой постоянной
2
1.8
рад
1.6
1.4
1.2
1
bC
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
3000
6000
9000
1.2 10
4
1.5 10
4
1.8 10

Рис. 4.4
4
2.1 10
4
2.4 10
4
2.7 10
рад/с
4
3 10
4
36
4.2. Расчет повторных параметров четырёхполюсника
При включении несимметричных четырёхполюсников, особенно для коррекции
амплитудных искажения, бывает выгодно пользоваться повторными параметрами Zп1,
Zп2, gп. Повторным сопротивлением называется такое, при подключении которого в
качестве нагрузки входное сопротивление становится равным нагрузочному.
Для прямого направления передачи
Z ПОВТ 1 
A11  A22  ( A11  A22 ) 2  4
(4.17)
2  A21
и для обратного
Z ПОВТ 2 
A22  A11  ( A11  A22 ) 2  4
(4.18)
.
2 A21
Повторная постоянная передачи характеризует соотношения между входными и
выходными токами, напряжениями и мощностями в режиме, при котором
четырёхполюсник нагружен на соответствующее выбранному направлению передачи
повторное сопротивление.
A A

( A11  A22 ) 2
22
g П  ln  11

 1 .
(4.19)


2
4


Проведём расчет выражений (4.17), (4.18) и (4.19) на частоте  = 7000 рад/с,
используя рассчитанные ранее A-параметры.
Z ПОВТ 1 
Z ПОВТ 2 
A11  A22  ( A11  A22 ) 2  4
2  A21
A22  A11  ( A11  A22 ) 2  4
2  A21


1  2,85  (1  2,85) 2  4
2  j1,716  10 3
2,85  1  (1  2,85) 2  4
2  j1,716  10 3
  j 419,638
  j1498
Ом.
Ом.
A A

 1  2,85

( A11  A22 ) 2
(1  2,85) 2
22
g П  ln  11

 1   ln 

 1   1,273.
 2



2
4
4




Таким образом видно, что значение g П очень близко к значению g С .
4.3. Расчёт рабочих параметров четырёхполюсника
Входным
сопротивлением
четырёхполюсника
называется
то
полное
сопротивление четырёхполюсника переменному току, которое может быть измерено со
стороны его входных зажимов при условии замыкания его выходных зажимов на заранее
заданное сопротивление.
При прямом направлении передачи:
A  Z  A12
Z ВХ 1  11 H
.
(4.20)
A21  Z H  A22
При обратном направлении передачи:
A22  Z H  A12
/
Z ВХ 2 
A21  Z H  A11
/
.
(4.21)
Проведём расчет выражений (4.20) и (4.21) на частоте  = 7000 рад/с, используя
рассчитанные ранее A-параметры и ZН = 450 Ом.
37
Z ВХ ! 
Z ВХ 2 
A11 Z Н  A12
1  450  j1079

 395,7567e  j 82,51  51,603  j 392,378 Ом,
A21 Z Н  A22
j 0,001716  450  2,85
A22 Z / Н  A12
2,85  450  j1079

 1326,31704e  j 77 , 73  281,959  j1296 Ом.
/
j 0,001716  450  1
A21 Z Н  A11
Сопротивление передачи – это отношение входного напряжения к выходному
току.
При прямом направлении передачи:
Z ПЕР1  A11 Z Н  A12 ,
(4.22)
и при обратном направлении передачи:
Z ПЕР 2  A22 Z Н  A12 .
(4.23)
В ряде случаев при определении условий передачи энергии от входа к выходу
четырёхполюсника требуется учитывать ZГ. Тогда используют приведённое
сопротивление четырёхполюсника – отношение ЭДС генератора к току в нагрузке.
e g C ( Z Н  Z C 2 )(Z Г  Z C1 )
Z ПРИВ1 
(1   Н  Г e  2 g C ) , Ом,
(4.24)
2 Z С1 Z C 2
где
Z  ZС2
Н  Н
 коэффициент несогласованности нагрузки с характеристическим
Z Н  ZС2
сопротивлением четырёхполюсника ZC2 (на выходе);
Z  Z С1
Г  Г
 коэффициент несогласованности внутреннего сопротивления
Z Г  Z С1
генератора с характеристическим сопротивлением четырёхполюсника ZC1 (на входе).
При обратном направлении передачи энергии через четырёхполюсник:
e g C ( Z Г  Z C 2 )(Z / Н  Z C1 )
Z ПРИВ 2 
(1   / Г  / Н e  2 g C ) , Ом,
(4.25)
2 Z С1 Z C 2
где
Z  ZС2
Z / Н  Z С1
/
 Н  /
и  /Г  Г
 коэффициенты несогласованности на выходе и
Z Г  ZС2
Z Н  Z С1
входе четырёхполюсника соответственно.
Проведём расчет выражений (4.24) и (4.25) на частоте  = 7000 рад/с, используя
рассчитанные ранее характеристические сопротивления.
450  j1339
Н 
 0,797  j 0,604  1  e j 37 ,156 ,
450  j1339
900  j 469,652
Г 
 0,572  j 0,82  1  e  j 55,10 ,
900  j 469,652
Z ПРИВ1 
e1,115 (450  j1339)  (450  j 469,652)
2 j1339  j 469,652
 3015  j 383,777  3039,327e j 7 , 25 Ом.
(1  e j 37 ,136  e  j 55,10  e  21,115 ) 
38
450  j 469,652
 0,043  j 0,999  1  e j 87 ,535 ,
450  j 469,652
900  j1339
Г 
 0,377  j 0,926  1  e j 67 ,847 ,
900  j1339
Н 
Z ПРИВ1 
e1,115 (900  j1339)  (450  j 469,652)
2 j1339  j 469,652
(1  e j 87 ,535  e j 67 ,847  e  21,115 ) 
 2183  j 383,777  2116,477e j 9,971
Ом.
Для характеристики условий передачи мощности сигнала через четырёхполюсник
используют логарифмическую меру рабочего коэффициента передачи по мощности
четырёхполюсника  рабочую постоянную передачи.
 Z Z 
 Z Z

g P  g C  ln  Г C1   ln  Н C 2   ln 1   Н  Г e  2 g C ,
(4.26)
2 Z Z 
2 Z Z 
Г C1 
Н C2 


где gC  собственная постоянная передачи по мощности.
Проведём расчет выражения (4.26) на частоте  = 7000 рад/с, используя
рассчитанные ранее характеристические сопротивления.
 900  j 469,652 


  ln  450  j1339   ln 1  e j 37 ,136  e  j 55,10  e  21,115 
g P  1,115  ln 
 2 900  j 469,652 
 2 450  j1339 




j 7 , 621
 0,867  j 0,116  0,875  e
.
Отсюда видно, что значение g Р очень схоже с g ВН .
Практическое применение имеет рабочее затухание – вещественная часть gР.



a P  a C  20 lg
Z Г  Z C1
2 Z Г Z C1
 20 lg
Z Н Z C 2
2 Z Н ZC2
 20 lg 1   Н  Г e  2 g C ,

дБ .
(4.27)
При этом в выражении e 2 g C величину gC надо подставлять в неперах.
Рабочее затухание оценивает существующие условия передачи энергии по
сравнению с оптимальными условиями выделения максимальной мощности на нагрузке.
Рабочее затухание принято в качестве эксплуатационного измерителя.
Проведём расчет выражения (4.27) на частоте  = 7000 рад/с, используя
рассчитанные ранее характеристические сопротивления.
a P  9,682  20 lg
900  j 469,652
2 900  j 469,652
 20 lg
450  j1339
2 450  j1339
 20 lg 1  e j 37 ,136  e  j 55,10  e  21,115 
 7,529,
дБ.
Вносимая постоянная передачи gВН отличается от gР на величину, учитывающую
разницу между ZН и ZГ, то есть величину несогласованности генератора с нагрузкой.
 Z  ZГ 
.
g ВН  g Р  ln  Н
(4.28)
2 Z Z 
Н
Г 

Проведём расчет выражения (4.28) на частоте  = 7000 рад/с, используя
рассчитанную ранее рабочую постоянную передачи.
 900  450 
  0,808  j 0,116  0,816e j 8,17 .
g ВН  0,867  j 0,116  ln 
 2 900  450 
39
5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ
РАСЧЁТОВ
В задании на курсовой проект предлагается экспериментально в лаборатории
ТЛЭЦ проверить зависимость Z2(р) от частоты методом двухполюсника.
Схема измерений
Индикатор
И
Генератор
“Инд”
“М”
G
2
“RЭ”
”CЭ”
1
1/
ЧП
2/
Рис. 5.1
Проверку будем произвдить с помощью ЭВМ. Для этого мы выделяем ряд частот
(по три частоты в каждом диапазоне между резонансными частотами) для проведения
измерений сопротивлений. При измерении необходимо уравновешивать МПТ с помощью
подбора эквивалентного резистора магазином сопротивлений
и эквивалентного
конденсатора на магазине ёмкостей. Результаты экспериментальных исследований
приведены в табл. 5.2.
Для расчёта экспериментальных значений Z2(р) воспользуемся выражениями (5.1)
при ёмкостном характере сопротивления и (5.2)  при индуктивном.
1
Z X  R  jX  RЭ 
,
(5.1)
jC Э
10 5
 j10 5 C Э .
(5.2)
RЭ
Проведём контрольный расчёт любого из сопротивлений, например, Z2(р) на
частоте f = 1000 Гц. На этой частоте Z2(р) имеет индуктивный характер, поэтому
воспользуемся выражением (5.1).
1
Z 2  р   RЭ 
 1  j 740,277  740,277e  j 90 ,
Ом.
jC Э
Остальные результаты расчётов сопротивлений Z2(р) на других частотах заносим в
табл. 5.2.
Z X  R  jX 
40
Угловая
частота , рад/с
0
1571
3142
4713
6284
7855
9426
9869,14
11000
12570
14140
14142,135
15710
17280
18850
20420
21990
23560
25130
26182
26700
28270
29850

Частота f, Гц
0
250
500
750
1000
1250
1500
1571
1750
2000
2250
2251
2500
2750
3000
3250
3500
3750
4000
4167
4250
4500
4750

Сопротивление Z2()теор.
, Ом

4179ej90
1980ej90
1190ej90
741.809ej90
409.982ej90
97.388ej90

305.616ej90
1209ej90
794000ej90

1783ej90
913.482ej90
581.423ej90
387.06ej90
249.816ej90
142.402ej90
52.861ej90

24.948ej90
94.544ej90
158.11ej90

Таблица 5.1
Сопротивление Z2()эксп.
, Ом

4177ej90
1976,68ej90
1188ej90
739,7ej90
407,7ej90
95,04ej90

308,446ej90
1213,34ej90
794013ej90

1791,1ej90
915,2ej90
583,625ej90
389,7ej90
251,08ej90
144,7ej90
53,76 ej90

23,51ej90
93,82ej90
156,54ej90

41
Экспериментальный и теоретический графики зависимости характеристического
сопротивления Z2 от частоты.
1.5 10
4
Ом4
1.29 10
1.08 10
4
8700
Z2
j
6600
4500
2400
300
0
4000
8000
1.2 10
4
1.6 10
4
2 10
4
2.4 10
1800
3900
6000

Рис. 5.2
4
2.8 10
4
3.2 10
4
3.6 10
рад/с
4
4 10
4
42
6. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ЭКВИВАЛЕНТНОГО
ПАССИВНОГО ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА
АКТИВНОГО
И
6.1. Расчёт эквивалентного четырёхполюсника
Согласно заданию нам дан эквивалентный четырёхполюсник (рис. 6.1), у которого
необходимо определить элементы сопротивлений Z1, Z2, Z3 и Z4 и их значения.
Z/1
Z/2
Z/3
Z/4
Рис. 6.1
Для определения Z/1, Z/2, Z/3 и Z/4 воспользуемся A-параметрами исследуемого
четырёхполюсника ((3.6)  (3.9)) и эквивалентного четырёхполюсников ((6.1) – (6.4)), а
также выражением (6.5).
(Z / 1  Z / 4 )  (Z / 2  Z / 3 )
А11 
,
(6.1)
Z / 2 Z / 4  Z /1Z / 3
Z / 1 Z / 2 (Z / 3  Z / 4 )  Z / 3 Z / 4 (Z / 1  Z / 2 )
A12 
Ом,
Z / 2 Z / 4  Z /1Z / 3
(6.2)
Z /1  Z / 2  Z / 3  Z / 4
A21 
См,
Z / 2 Z / 4  Z /1Z / 3
(6.3)
(Z / 1  Z / 2 )  (Z / 3  Z / 3 )
.
Z / 2 Z / 4  Z /1Z / 3
(6.4)
А22 
АТ ij  А М ij ,
(6.5)
где i и j – это индексы A-параметров.
Уже из выражений A-параметров, записанных для мостового четырёхполюсника,
видно, что не имеет смысла проводить определение и расчёт элементов для
эквивалентного четырёхполюсника, указанного в задании, поскольку (судя по
выражениям (6.1)  (6.4)) он будет иметь большее количество элементов, чем
исследуемый.
6.2. Расчет элементов эквивалентного активного четырёхполюсника
Существует несколько путей построения активного четырёхполюсника:
1) замена ёмкостей на частотно-зависимые отрицательные сопротивления;
2) замена индуктивностей на гираторы (их входное сопротивление обратно
сопротивлению нагрузки);
43
3) каскадное соединение простых четырёхполюсников.
Построим эквивалентный активный четырёхполюсник из каскадного соединения
более простых. Для этого воспользуемся системной функцией H(S) (3.15) и рассмотрим
её как передаточную функцию H(p).
9 p  ( p 2  0,974 10 8 )  ( p 2  6,855 10 8 )
H ( s)  3 6
10 p  18 p 5  1,38790910 6 p 4  1,4092210 10 p 3  3,043547510 14 p 2  1,201818610 18 p  1,33541410 22 (6.6)
Найдём корни знаменателя выражения (6.6) и записываем передаточную функцию
H(p) в виде:
9p
( p 2  6,855  10 8 )
( p 2  0,974  10 8 )
H ( p)  2


(6.7)
( p  2824 p  7,11  10 7 ) ( p 2  7244 p  1,02  10 9 ) ( p 2  7932 p  1,837  10 8 )
Или
H ( p)  H 1 ( p)  H 2 ( p)  H 3 ( p)
(6.8)
Первый сомножитель:
( p 2  6,855  10 8 )
H 1 ( p)  2
.
( p  7244 p  1,02  10 9 )
Нормируем H1(p) на коэффициент 1,02  10 9 , в результате получим
G ( p 2  0,67)
G1 ( p 2  a)

,
( p 2  0,23 p  1) ( p 2  bp  1)
где а = 0,67 и b = 0,23.
Это заграждающий фильтр.
Принципиальная схема такого фильтра показана на рис. 6.2.
H1 ( p ) 
Заграждающий фильтр
С1
R1
C3
R2
C3
R3
C2
R4
R6
R5
Рис. 6.2
Расчёт заграждающего фильтра проводится по следующей последовательности:
(6.9)
1) выбираем С1 = ,

2) установить С3 = С4 = ,
(6.10)
2
(6.11)
3) вычислить  =   a ,
44
4) установить R3 =
1

и R1 = R2 = 2R3,
(6.12)
[ (a  1)]
, (ёмкость С2 может быть равна нулю),
4
4 a
6) вычислить R4 
,
  (1  a)  4  C 2
5) выбрать C 2 
7) вычислить k  2 
8) определить G 
2  C2


b
2 a
 k

 1


 b  C 2  ,
  a  R4

2
.
4  C2  
Придерживаясь вышеприведённой последовательности,
элементов первого каскада.
1. Выберем С1 = 2 Ф.
2
2. Тогда С3 = С4 =  1 Ф .
2
3. Вычислим  = 2  0,67  1,64 .
1
4. Тогда R3 =
 0,61 Ом и R1 = R2 = 20,61 = 1,22 Ом.
1,64
[2(0,67  1)]
 0,165 . Значит выбираем С2 = 0 Ф.
5. C 2 
4
4  0,67
6. Вычислим R4 
 4,97 Ом.
2  (1  0,67)  4  0
7. Вычислим k  2  0 
0,23

(6.13)
(6.14)
(6.15)
(6.16)
проведём
расчёт
 1

 0   2,105 .

2  0,67  4,97

2
2  0,67
2  2,105
 2,105 .
8. Определим G1 
02
Таким образом, имеем следующие величины:
С1 = 2 Ф, С2 = 0,1 Ф, С3 = 1 Ф, R1 = R2 = 1,22 Ом, R3 = 0,61 Ом, R4 = 4,97 Ом.
Денормируем ёмкости по частоте на коэффициент 1,02  10 9 , в результате чего
получим, что:
С1 = 62,5 мкФ, С2 = 0 мкФ, С3 = С4 = 31,25 мкФ.
Денормируем теперь все элементы на коэффициент 10000, в результате чего
получим, что:
С1 = 6,25 нФ, С2 = 0 нФ, С3 = С4 = 3,125 нФ, R1 = R2 = 12,2 кОм, R3 = 6,1 кОм,
R4=21,05 кОм.
Для реализации коэффициента k = 2,105 воспользуемся схемой
неинтвертирующего усилителя, для чего рассчитаем R5 и R6 по (6.17).
R
k 1 5
(6.17)
R6
где R5 , R6 - делитель напряжения на выходе операционного усилителя.
Выберем R6 = 10 кОм, тогда R5 = 11,05 кОм.
45
Схема первого каскада
6,25нФ
12,2кОм
12,2кОм
3,125нФ
3,125нФ
6,1кОм
21,05кОм
10кОм
11,05кОм
Рис. 6.3
Второй сомножитель:
( p 2  0,974  10 8 )
H 2 ( p)  2
( p  7,932  10 3 p  1,837  10 8 )
Нормируем H1(p) на коэффициент 1,837  10 8 , в результате получим
G 2 ( p 2  a)
G ( p 2  0,53)
H 2 ( p)  2

,
( p  0,585 p  1) ( p 2  bp  1)
где а = 0,53 и b = 0,585.
Это заграждающий фильтр.
Принципиальная схема такого фильтра показана на рис. 6.2.
Придерживаясь вышеприведённой последовательности выражений (6.9)  (6.16),
проведём расчёт элементов второго каскада.
1. Выберем С1 = 2 Ф.
2
2. Тогда С3 = С4 =  1 Ф .
2
3. Вычислим  = 2  0,53  1,46 .
1
4. Тогда R3 =
 0,685 Ом и R1 = R2 = 20,685 = 1,37 Ом.
1,46
[2(0,53  1)]
 0,235 . Значит выбираем С2 = 0 Ф.
5. C 2 
4
4  0,53
6. Вычислим R4 
 3,1 Ом.
2  (1  0,53)  4  0
20
0,585
2
 1



  0,585  0   2,04 .
2
2  0,53 2  0,53  3,1

2  2,04
 2,04 .
8. Определим G1 
40 2
Таким образом, имеем следующие величины:
С1 = 2 Ф, С2 = 0 Ф, С3 = 1 Ф, R1 = R2 = 1,37 Ом, R3 = 0,685 Ом, R4 = 3,1 Ом.
7. Вычислим k  2 
Денормируем ёмкости по частоте на коэффициент
получим, что:
С1 = 147,6 мкФ, С2 = 0 мкФ, С3 = С4 = 73,8 мкФ.
0,974  10 8 , в результате чего
46
Денормируем теперь все элементы на коэффициент 10000, в результате чего
получим, что:
С1 = 14,76 нФ, С2 = 0 нФ, С3 = С4 = 7,38 нФ, R1 = R2 = 13,7 кОм, R3 = 6,85 кОм,
R4=31кОм.
Для реализации коэффициента k = 2,04 воспользуемся схемой неинтвертирующего
усилителя, для чего рассчитаем R5 и R6 по (6.17)
Выберем R6 = 10 кОм, тогда R5 = 10,4 кОм.
Схема второго каскада
14,76нФ
13,7кОм
7,38нФ
6,85кОм
13,7кОм
7,38нФ
31кОм
10кОм
10,4кОм
Рис. 6.4
Третий сомножитель:
9
p
G1  G 2
9p
H 3 ( p)  2
 2
7
( p  2824 p  7,11 10 ) ( p  2824 p  7,11 10 7 )
Нормируем H1(p) на коэффициент 7,11  10 7 , в результате получим
9
p
G p
G1  G 2
0,97 p
H 2 ( p)  2
 2
 2 3
,
( p  0,335 p  1) ( p  0,335 p  1) ( p  bp  1)
где b = 0,335.
Это фильтр, принципиальная схема которого показана на рис 6.5.
Схема третьего каскада
C1
R1
C2
R2
R4
R3
Рис. 6.5
47
Такая цепь рассчитывается следующим образом.
C1C 2 R1 R2 1  k   1 ,
(6.18)
C1 R1  C 2 R2  C 2 R1  b ,
(6.19)
G  kC2 R2 .
(6.20)
Выбрав значения элементов С1, С2 и R2 ,подставив их в формулы (6.18)  (6.20) и
проведя необходимые математические преобразования, мы получим значения элементов
схемы (см. рис.6.5).
1. Выберем С1 = С2 = 1Ф .
2. Тогда
3. Вычислим
4. Тогда
C1
R1
C2
R2
R4
R3
Рис.6.6
48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе проведённой курсовой работы были получены характеристики и
параметры двухполюсников и четырёхполюсника, приведены математические
выражения для расчёта их параметров, построены графические зависимости
сопротивлений двухполюсников и четырёхполюсника а также характеристическое
ослабление и фазовая постоянная для четырёхполюсника.
В
работе
произведён
расчёт
элементов
активного
эквивалентного
четырёхполюсника на операционных усилителях.
Выполнение настоящей курсовой работы способствовало закреплению
теоретических знаний по разделам курса теории линейных электрических цепей 
”Двухполюсники” и “Четырёхполюсники” и появлению практических навыков,
необходимых при эксплуатации, проектировании, разработке и усовершенствовании
устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.
49
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Карпова Л. А., Полунин В. Т. и др. «Исследование и расчет характеристик
двухполюсников и четырехполюсников» /Омский ин-т инж. ж.-д. трансп.— Омск,
1991. — 41 с.
2. Шебес. М.Р. «Задачник по теории линейных электрических цепей: Учебное
пособие для электротехнических, радиотехнических специальностей вузов.»- М.:
Высшая школа, 1990.-544 с.
3. Лосев А.К. «Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов.» — М.:
Высшая школа, 1987.-512 с.
4. Лэм Г. «Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация.»  М: Мир, 1982.592 с.
5. Стандарт предприятия. Курсовой и дипломный проекты. Требования к
оформлению. СТП ОмИИТ-15-94.— Омск: ОмИИТ, 1990.