материал

МОУ «Лицей №1» (физико-математический)
Мастер-класс
МАСТЕР-КЛАСС
ЛИЦЕЙ
Контактный телефон 422387
Лицей №1 (физико-математический)
г.Норильск
ул.Севастопольская,8а
№1
ТЕМА:
Система подготовки учащихся к ЕГЭ (10-11 класс).
Обучающие и контролирующие тесты по
математике.
Учитель
математики
Сергеева
Светлана Михайловна
Норильск 2005/2006 уч.г.
Уравнения и неравенства. Системы уравнений.
Решение любого вида уравнений и неравенств сопряжено с проведением тождественных преобразований различных
выражений, входящих в заданное уравнение (неравенство), а также с проведением равносильных преобразований.
Владение формулами для тождественных преобразований выражений и теоремами о равносильных преобразованиях
уравнений и неравенств помогут вам в поиске рационального решения заданий теста.
Задания А4, А8 и А9 приводят к решению уравнений, в заданиях А5 и А7 предлагаются иррациональные уравнение и
неравенство.
В первой части есть три задания с параметром на зависимость количества корней квадратного уравнения от его
дискриминанта (А2 и А3) и определение квадратного уравнения.
Задания А8-А10 приводят к решению уравнений и системы уравнений в результате применения характеристических
свойств арифметической и геометрической прогрессий, способствуют повторению формул и свойств прогрессий.
Задачи части В более сложные, рассчитаны на учащихся, имеющих прочные базовые знания.
В заданиях В2-В4 предлагаются неравенство, уравнение и система уравнений, решаемые методом введения новой
переменной.
Остальные задания второй части содержат параметр.
В задании В1 используется условие равенства дроби нулю, в задании В7 при ответе на вопрос об отсутствии корней
уравнения надо различить два случая: когда уравнение является линейным и когда квадратным.
В задании В5 при решении биквадратного уравнения рассмотреть не только случай отрицательного дискриминанта, но и
наличие отрицательных корней квадратного уравнения, полученного в результате замены переменной. ЖЕЛАЕМ
УСПЕХА!
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.
Вариант №1.
Часть 1
А1. Найти сумму целых чисел, являющихся решениями неравенства
( х  2) 2
 0.
( х  1)( 2  х)
(1) –1;
(2) 2;
(3) 1;
(4) 0;
(5) 3;
(6) –2.
А2. При каких значениях параметра с уравнение 5х2 – 4х + с = 0 не имеет действительных корней?
4
4
(1) с = ;
(2) 0 < с < ;
(3) 0 < с <1;
5
5
4
(4) с > ;
(5) с > 1;
(6) с < 0.
5
А3. При каких значениях параметра а график функции f(x) = аx2 + 2x + 1
имеет единственную общую точку с осью Ох?
1
(1) а = 1;
(2) а < 1, а ≠ 0;
(3) а1 = , а2 = 0;
4
(4) а = ± 1;
(5) а1 = 0, а2 = 1;
(6) а  (0, 1).
А4. Найти сумму корней уравнения
х2  2х  1  7 
х2  2х  2 6
3
8
(1)  ;
(2)  ;
5
5
х
х
2
2
 2х  2
.
 2х  3
(3)  2 ;
(4) 2.
А5. При каких значениях параметра а число 2 является корнем уравнения
х  а  3а  х ?
2
2
(1) а 1 = , а 2 = 1;
(2) а = ;
(3) а = 1;
(4) а  1.
9
9
А6. Найти все целые значения
х , для которых выполняется неравество
f( х )  f( х + 2), если f( х ) =
(1)
(4)
х 1 = 0, х 2 = 1;
х 1 = 0, х 2 = 1;
14 - х  2  х .
(2) -2 <
(4) -2 <
А7. Решить неравенство
(1) 2 ≤ х ≤ 14;
(3) -2 < х < 5;
А8. При каких значениях
(1)
x 3 .
x2
(2) х 1 = 1, х 2 = 2;
(5) х 1 = 2, х 2 = 3;
х=
3
;
4
х числа 3 х ,
(2)
х=
1
;
4
х2
2
(3)
А9. При каких значениях х числа 2 х ,
(1) х 1 = –16, х 2 = 4;
(3) х 1 = –8, х 2 = –4;
(3) х = 1;
(6) х = 0.
х ≤ 2;
х ≤ 14.
и 2 х  1 являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?
х = 1;
(4)
х =  34 .
х  8 и х  2 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии?
(2) х 1 = –12, х 2 = 8;
(4) х = –16.
А10. Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 9, а разность между четвертым и вторым членами равна 0,4. Найти
первый член этой прогрессии.
(1) 2;
(2) 0,5;
(3) –1;
(4) 3;
(5) 6;
(6) 1.
Часть 2.
В1. При каких значениях параметра
а уравнение
имеет единственное решение?
В2. Решить неравенство
х 1
0.
х х 6
В3. Решить уравнение
1
 2 1  
 х  2   7 х    10  0 .
х
х  

 х  1 х  а 
х  3х  2а 
0
В4. Найти произведение всех значений
х и у , являющихся решениями системы
1

1
 1,
5

3
 1.
х  у 1 х  у 1
х  у 1 х  у 1
В5. Найти все значения параметра а , при которых уравнение
х 4  2(а  1) х 2  а 2  1  0 не имеет корней.
В6. При каких значениях параметра
Номера
заданий
Вариант 1
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
А10
1
4
5
3
3
3
4
1
1
6
b
 х 2  1  0,
система 
не имеет
 2 х  3  b
решения?
В7. При каких значениях параметра
а графики функций
у  (а  6) х 2  4
не пересекаются ?
Номера верных ответов части 1 теста по теме "АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. Системы уравнений".
Номера
заданий
Вариант
1
В1
1
 ; 0; 1;3.
2
В2
0 ≤ х < 1,
В3
 3  13
;
2
х > 4.
2 5 .
ТРИГОНОМЕТРИЯ
В4
2
Ответы к заданиям части 2.
В5
В6
В7
а  1,
а  1.
b 1
3  a  6
у  2ах  1 и
СТАРТОВЫЙ ТЕСТ
Цель тестирования – установить степень готовности учащихся 10 классов к решению различных видов тригонометрических уравнений,
неравенств, систем уравнения
Задачи тестирования:
1. Оценка уровня усвоения учащимся ключевых понятий курса тригонометрии, необходимых в качестве опорных знаний при решении
тригонометрических уравнений, неравенств, систем уравнения.
2. Выявления пробелов в знании учащихся с целью организации коррекционной работы.
Стартовый тест по алгебре и началам анализа для учащихся 10 классов составлен с учетом требований к обязательному уровню усвоения
содержания обучения. Тест представлен в 2-х эквивалентных вариантах по 8 заданий в каждом и рассчитан на 15 минут. Все задания данного
теста - с закрытой формой ответов.
Основная цель учителя – обеспечить самостоятельную работу каждого учащегося.
Стартовый тест по алгебре и началам анализа в 10 классе.
Тригонометрические уравнения.
I вариант.
Указание. Тест состоит из 8 заданий и рассчитан на 15 минут. Эти задания имеют предлагаемые ответы, обозначенные буквами а, б, в, г.
Выберете среди предложенных ответов правильный (единственный) и зачеркните на бланке ответов соответствующую ему букву.
1. Вычислите без таблиц и калькуляторов cos
а) 3 ;
б)  3 ;
2. Вычислить arcsin
а)

;
6
б)
в)
1
.
2
5
;
6
в)
2
 3;
2

;
3
3
 
 
 tg     sin    .
4
 3
 4
г) 3 
г) 

3
;
2
;
2

3
.
3. Вычислите  

2



5
а)  ;
б) 
;
6
6
5
2
;
г)
;
6
3
 1
4. Вычислите arctg 1 + arccos 0 + arcsin    + arcctg 3
 2
2
2
5
5
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
4
2
4
3
5. Вычислите 3arccos
в)
 1 
1
1
 .
+ 2arcsin(-1) - arctg 
2
2
 3
2


;
б)
;
в) 3 ;
г)  ;
3
12
6
6. Записать формулу корней уравнения tgx = a.
а)
а)  arctga +  k, k  z;
в)  arctga + 2  k; k  z;
б) arctga + 2  k,
г) arctga +  k;
7. Сколько корней имеет уравнение sin3x =
а) один;
в) бесконечное множество;
k  z;
k  z;
3?
б) два;
в) ни одного.
8). Сколько корней имеет уравнение ctg2x = 1?
а) один;
в) бесконечное множество;
б) два;
в) ни одного.
Стартовый тест по алгебре и началам анализа в 10 классе.
Тригонометрические уравнения.
II вариант.
Указание. Тест состоит из 8 заданий и рассчитан на 15 минут. Эти задания имеют предлагаемые ответы, обозначенные буквами а, б, в, г.
Выберете среди предложенных ответов правильный (единственный) и зачеркните на бланке ответов соответствующую ему букву.
1. Вычислите без таблиц и калькуляторов cos
в)
б)  3 ;
а) 3 ;
2. Вычислить arcsin

;
6
 1
3. Вычислите    .
 2

5
а)  ;
б)
;
6
6
а)

;
4
2
.
2
б)
в)
в)
3
2 ;
г)

3
;
б) 

2
;
 3
;
2
3
;
4
г)
5
;
6
г)
4. Вычислите arcsin 0 + arctg ( 3 ) + arccos
а) 
2

 
 сtg     cos .
3
6
 6
в)

;
6

;
3
2
;
3
3
3
+ arcctg
2
3

г)
;
3
1
 1
5. Вычислите 3arcsin    + 2arccos(-1) - arcctg1.
3
 2
17
5
3
31
а)
;
б)
;
в)
;
г) 
;
4
4
12
12
6. Записать формулу корней уравнения cosx = a.
а) arccos a+ 2  k,
k  z;
б)  arcos a + 2  k,
k  z;
в)  arccos a +  k;
г) arccos a +  k;
k  z;
k z;
7. Сколько корней имеет уравнение sinx = 2?
а) один;
в) бесконечное множество;
б) два;
в) ни одного.
8). Сколько корней имеет уравнение tg3x =
а) один;
в) бесконечное множество;
1
?
2
б) два;
в) ни одного.
Ответы к стартовому тесту:
Номер
задания
Вариант 1
Вариант 2
1
2
3
4
5
6
7
8
б
б
а
а
в
а
а
г
б
б
г
а
г
г
в
в
Тренинговый тест.
Тест предназначен для тренинга учащихся 10 классов по решению тригонометрических уравнений, систем уравнений.
Цель тестирования:
1. Знакомство учащихся с особенностями процедуры тестирования.
2. Диагностика уровня обученности учащихся.
Задача тестирования:
1. Подготовка учащихся к тематическому тестированию.
2. Проверка уровня усвоения общеучебных умений и навыков.
Требованиями обязательного уровня обученности, заложенной в данном тексте, определенны содержанием учебной программы по математике.
Объем и уровень сложности задания соответствует возрастным особенностям ученика.
Тест позволяет оценить уровень сформированности навыков решения различных видов тригонометрических уравнений, систем уравнений. Он
представлен в 4-х эквивалентных вариантах по 10 заданий в каждом и рассчитан на 2 часа.
Тест по алгебре и началам анализа
(Тренинг) 10 класс
Тригонометрические уравнения, системы уравнения.
I Вариант
Инструкция. Тест состоит из 10 заданий и рассчитан 2 часа. Выполняйте задания в предложенной последовательности, внимательно
прочитав указания к каждой части. Не задерживайтесь слишком долго на одном задании. Если не можете выполнить очередное задание,
переходите к следующему. Приступайте к выполнению теста. Желаем успеха!!
Часть I (Задания 1 - 5)
Указание. Эти задания имеют предполагаемые ответы, обозначенные буквами а, б, в, г. Выберите среди предложенных ответов правильный
(единственный) и зачеркните на бланке ответов соответствующую ему букву.
1. Сколько корней имеет уравнение sinx = - 2
а) один
б) два
в) бесконечное множество г) ни одного
2. Решите уравнение ctgx = 0

а) k , k  z
б)   k , k  z
2
3. Решите уравнение 3tg
а) 
в) 

3

3
в)

2
 k , k  z
г)
3
 k , k  z
2
x
 3
2

 2k , k  z;
б) 
 2k , k  z;
г) не имеет решения;
6
 k , k  z;
 x 
4. При каком значении х выражение sin    равняется 1?
 3 3


а) (1) k   6k , k  z;
б) (1) k   2k , k  z;
2
6
в) 

2
 6k , k  z;
5. Решите уравнение sin 2
5
 4k , k  z;
4
4
 4k , k  z;
в) 
3
а) 
г) не существует такого значения х.
x
x 1
 cos 2  .
4
4 2
2
 2k , k  z;
б)
3
2
 4k , k  z;
г) 
3
Часть II (задания 6 - 10).
Указания. Эти задания выполняются на отведенных для ответов местах.
6. Решите уравнение 8 sin 2 x  6 cos x  3  0
7. Решите уравнение 2 sin 2 x  2 cos 2 x  5 sin 4 x  cos x
8. Решите уравнение sin 2x  cos x  0
sin x  cos y  1
9. Решите систему уравнений  2
2
sin x  cos y  1
5

x  y 
10. Решите систему уравнений 
2
sin 2 x  sin 2 y  1
Тест по алгебре и началам анализа
(Тренинг) 10 класс
Тригонометрические уравнения, системы уравнения.
II Вариант
Инструкция. Тест состоит из 10 заданий и рассчитан 2 часа. Выполняйте задания в предложенной последовательности, внимательно
прочитав указания к каждой части. Не задерживайтесь слишком долго на одном задании. Если не можете выполнить очередное задание,
переходите к следующему. Приступайте к выполнению теста. Желаем успеха!!
Часть I (Задания 1 - 5)
Указание. Эти задания имеют предполагаемые ответы, обозначенные буквами а, б, в, г. Выберите среди предложенных ответов правильный
(единственный) и зачеркните на бланке ответов соответствующую ему букву.
1. Сколько корней имеет уравнение sinx = -2
а) один
б) два
в) бесконечное множество г) ни одного
2. Решите уравнение ctgx = 0
а)

4
 k , k  z
б) 
3. Решите уравнение
2 k
 , k  z;
а) 
9
3
2 k
 , k  z;
в)
9
3

2
в) (1) k 
 2k , k  z

4
 k , k  z
г) (1) k 
3ctg3 x  1  0
б) 

3
 k , k  z;
г) не имеет решения;
 x 
4. При каком значении х выражение sin    равняется 1?
 4 4
а)   8k , k  z;
б)   2k , k  z;
в)    8k , k  z;
г) не существует такого значения х.
1
5. Решите уравнение sin 3 x  cos 3 x   .
4

 k
а) (1) k   2k , k  z;
б) (1) k 1  , k  z;
6
36 3
4
 4k , k  z;
в) 
г) не имеет решения.
3
Часть II (задания 6 - 10).
Указания. Эти задания выполняются на отведенных для ответов местах.
6. Решите уравнение 8 cos 2 x  6 sin x  3  0

2
 k , k  z
7. Решите уравнение 3 cos 2 x  5 sin 2 x  sin 2 x  0
8. Решите уравнение sin x  cos
x
0
2
sin x  cos y  0
9. Решите систему уравнений  2
2
sin x  cos y  2
x  y  
10. Решите систему уравнений 
sin x  sin y   2
Тематический тест по алгебре и началам анализа
10 класс
Тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнения.
I Вариант
Инструкция. Тест состоит из 9 заданий и рассчитан 2 часа. Выполняйте задания в предложенной последовательности, внимательно прочитав
указания к каждой части. Не задерживайтесь слишком долго на одном задании. Если не можете выполнить очередное задание, переходите к
следующему. Приступайте к выполнению теста. Желаем успеха!!
Часть I (Задания 1 - 4)
Указание. Эти задания имеют предполагаемые ответы, обозначенные буквами а, б, в, г. Выберите среди предложенных ответов правильный
(единственный) и зачеркните на бланке ответов соответствующую ему букву.
1. Найдите корни уравнения 2cos(-2x)-1 = 0


а) (1) k   k , k  z;
б)  2k , k  z;
6
3


в)   k , k  z;
г)   2k , k  z;
6
3


2. Решите уравнение tg   2 x   0
3


 k
 k
 k
а)  k , k  z
б)  , k  z
в)   , k  z г)  , k  z
3
5 2
6 2
6 2
3. Решите уравнение sin3x<0
k k
  2k 2 2k 
; 
а) ( ; ), k  z;
б)  
, k  z;
3 3
3 
3 3 3
  2k  2k 
  k  k 
; 
в)    ;  , k  z;
г)   
, k  z;
 6 3 6 3 
 6 3 6 3 
1
4. Решите уравнение sin 3 x  cos 3 x   .
4




а)   2k ;  2k , k  z;
б)
4
 4

3


в)   2k ;  2k , k  z;
г)
4
4


 




k
;
k , k  z;
 4
4


 

 4 k ; 4  2k , k  z;
Часть II (задания 5 - 9).
Указания. Эти задания выполняются на отведенных для ответов местах.
5. Решите уравнение cos 2 x 
1
на промежутке [0;  ]
2
6. Решите уравнение 2 cos 2 x  1  sin x
7. Решите уравнение sin 2 x  sin 2 x  3 cos 2 x  0
8. Решите систему уравнений sin x  sin 5x  2 cos 2x
1

sin x  cos y  2
9. Решите систему уравнений 
x  y  

6
Тематический тест по алгебре и началам анализа
10 класс
Тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнения.
II Вариант
Инструкция. Тест состоит из 9 заданий и рассчитан 2 часа. Выполняйте задания в предложенной последовательности, внимательно прочитав
указания к каждой части. Не задерживайтесь слишком долго на одном задании. Если не можете выполнить очередное задание, переходите к
следующему. Приступайте к выполнению теста. Желаем успеха!!
Часть I (Задания 1 - 4)
Указание. Эти задания имеют предполагаемые ответы, обозначенные буквами а, б, в, г. Выберите среди предложенных ответов правильный
(единственный) и зачеркните на бланке ответов соответствующую ему букву.
1. Найдите корни уравнения 2sin3x-1 = 0

а) (1) k   k , k  z;
18
 k
в) (1) k   , k  z;
18 3
б) 
г) 

18

18
 2k , k  z;

k
3
, k  z;
 x 
2. Решите уравнение cos    1
 4 2


а) 2k , k  z
б)  k , k  z
в)  2k , k  z
4
4
3. Решите уравнение cos 2x  0

а) (k ;  k ), k  z;
2

 

в)    2k ;  2k , k  z;
2
 2

г)

2
 4k , k  z

 

б)   k ; k , k  z;
4
 4


 

г)    2k ;  2k , k  z;
4
 4

1
4. Решите уравнение sin 3 x  cos 3 x   .
4

 

а)   2k ;  2k , k  z;
б)
6
 6

5


в)  k ; k , k  z;
г)
6
6

5


 6  2k ; 6  2k , k  z;
5


 6  2k ; 6 k , k  z;
Часть II (задания 5 - 9).
Указания. Эти задания выполняются на отведенных для ответов местах.
5. Решите уравнение sin 2 x 
3
на промежутке [0;  ]
4
6. Решите уравнение 2 cos 2 x  5 sin x  4  0
7. Решите уравнение 4 sin 2 x  3 sin x  cos x  cos 2 x
8. Решите систему уравнений cos 5x  cos x  2 cos 3x
5

x  y 
9. Решите систему уравнений 
3
sin x  2 sin y
Ответы к тесту - тренингу
ОТВЕТЫ К ТЕМАТИЧЕСКОМУ ТЕСТУ:
Номер
Задания
1 2
Вариант1
Номер задания
1 2в
Вариант 1
г
в
Вариант 2
г
б
3 4
5
6
7
8
9
г3 б4 а 5  63


8   n ,
  2n7,
,
 k ,
4 4
2
4 2
arctg 24 k ,
в в в

2
kz, k  z

 2nk ,z
n 
kz
2
3
1
arctg  k ,
k  z; (1) k   k , 2 arctg 3  n,  n2k ,
(16)
 n,
6 k  z;n  z;
63
k  z;
n k z z;
3  2k ,

в а в
   k , k  z
(1) n 1  k ,
6
n  z;
4
3
arctg  n, n  z
5
(1) n 1
n, k  z;

3
 2n,
n 

n   10
;
  (1)
12
12
2
 5, 

  

  2n; kn, n    2n; 

(

1
)

4 3
2
2 

,
12 2 
 12


5


k  z , n  z;
n  z;
   2n 
 4 3

n  z;
3




  2  n; 
  2k ; 
4
2
,
2
,
   2n 
  3



  n 
9
 

   2k ; 
 2

 2n



k , n  z;
2 4
n  z;

Вариант2 в
г
б б
 2
3
,
3
(1) n
n  z;

6
 k ,


 k ,
4
kz
 arctg
n  z;

k
6 3
kz
1
 n,
4

,

3

   k ;  k ,
6
2

k  z;
 n,
2
n  z;
«Производная. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции. Касательная.»
Семинар – практикум. (подборка дидактических материалов)
Одна из самых важных целей изучения математического анализа в школе – формирование умения
решать задачи на нахождение наибольших и наименьших значений. Решение задач этого типа, основанное
на применении производной, имеет большую прикладную направленность.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке сформулировано в
школьных учебниках. Оно не применимо к функции, заданной на открытом промежутке.
В этом случае для решения задачи обычно проводят исследование функции на монотонность, либо
выясняют поведение функции вблизи концевых точек или при х   . иногда полезно представить график
функции схематически.
Задача 1.
Правильная треугольная призма имеет объем 16 дм 3 . Найти длину стороны основания призмы с
наименьшей полной поверхностью.
Решение.
a2 3
 3ah , где а – сторона основания, h –
2
a2 3
64
3
высота призмы. По условию задачи объем призмы равен 16 дм , т.е.
h=16, откуда h  2
. Имеем:
2
a 3
Полная поверхность призмы вычисляется по формуле S=
S
3  2 128 
a 
, a 0 .
2 
a 
Задача свелась к нахождению наименьшего значения функции на промежутке (0;  ).
Проведем исследование функции на монотонность:
3 a 3  64 
, a 0 .
a2
Т.к. на промежутке (0;4] функция убывает, а на промежутке
[4;  ) возрастает, то значение
функции в точке x0  4 наименьшее из всех ее значений на промежутке (0;  ).
Итак, полная поверхность призмы наименьшая при стороне основания 4 дм.
В случае, если исследование на монотонность затруднительно, часто помогает следующее очевидное
утверждение:
Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на множестве х в некоторой точке x0  x ,
то на любом подмножестве x1 множества х, содержащем точку x0 , функция будет принимать наибольшее
(наименьшее) значение в этой же точке x0 .
Задача 2.
Какую наибольшую площадь может иметь трапеция, 3 стороны которой равны а?
Решение.
Очевидно, что это равнобедренная трапеция, боковые стороны которой и наименьшее основание равны
а. Пусть высоты трапеции отсекают от большего основания отрезки длиной х (считая от вершин основания).
Тогда большее основание трапеции равно а+2х, а высота a 2  x 2 . Имеем S(х)=(а+х) a 2  x 2 , x  (0;а);
S ( x) 
a  x2 a 2  x 2  . Рассмотрим функцию y  (a  x) 2 a 2  x 2 , x  (0;а).
a
Находим производную y ( x)  2a  x  2 x 2  ax  a 2  . Критические точки х= , х=-а.
2
a
2
Замечаем, что на интервале (0;а) находится лишь одна критическая точка х= . Рассмотрим функцию у
на отрезке [0;a].
a
2
Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической точке: S (0)  a 2 , S (a)  0, S ( ) 
Видим, что наибольшее значение функции S на отрезке [0;a] достигается в точке х=
3a 2 3
.
4
a
- внутренней точке
2
отрезка. Следовательно, наименьшее значение функции на любом промежутке, являющемся подмножеством
a
2
отрезка [0;a] и содержащем точку х= , достигает в этой же точке.
3a 2 3
Ответ:
.
4
Задача 3.
Найти множество значений функции y    3x 2  12 x  3 .
Ответ: y   3;0 .
Задача 4.
Найти наибольшую из площадей прямоугольников, две вершины которых лежат на отрезке [0;3] оси
абсцисс, а две другие на графике функции y  3x  x 2
Ответ:
3 3
.
2
Задача 5.
Найти все значения параметра а, при которых функция y  x 2  3* e1a возрастает в интервале (а;а+2)
Ответ: a   1;1 .
Задача 6.
 9
 1,
27
Найти наименьшее значение функции y  3x 
на множестве решений системы неравенств  x  3
.
x
x4 3

Ответ: 18
Задача 7.
Написать уравнение касательной к графику функции y  4 x  2 x1 в точке ее минимума.
Ответ: у=-1
Показательная и логарифмическая функции.
Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств достаточно полно
рассмотрены в учебном пособии для 11 класса.
Остановимся на некоторых вопросах, связанных с равносильностью уравнений, источниками потери и
приобретения корней при решении логарифмических уравнений.
Появляющиеся при потенцировании посторонние корни устанавливают обычно с помощью проверки. В
случае, когда такая проверка затруднена, целесообразно заменить исходное уравнение равносильной
системой, состоящей из данного уравнения и необходимых неравенств. В полученной смешанной системе
уравнения решают, а неравенства проверяют.
Пример 1. Решить уравнение:
3 log3
Решение: Применив формулу а
х 1, 2 =
loga x
( x 2 2 x 1)
+х=2
= х, получим уравнение
х 2 -2х-1+х=2 (1), корни которого
1  13
.
2
Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел удовлетворят неравенству х 2 -2х-1>0 (2)
Однако, проверку корней можно упростить следующим образом.
Перепишем уравнение (1) : х 2 -2х-1 =2-х. Видим, что х 2 -2х-1>0 тогда и только тогда, когда х<2. Таким
образом, вместо проверки неравенства (2) можно осуществить проверку условия х<2. Теперь легко видеть,
что только х 1 =
1  13
является корнем исходного уравнения.
2
Пример 2. Решить уравнение:
log 2 x  log 2 (4 x  x 2  1)  1 (3)
Решение: Неравенство (3) равносильно системе:
 x  0,

(3)  4 x  x 2  1  0
log ( x(4 x  x 2  1))  1
 2
 x  0,
 x  1,
 x  0,
 x  0,


2
 4 x  x  1  0
 3


3  17
2
2
x  4x  x  1  2
 x(4 x  x  1)  2
 x(4 x  x 2  1)  2
x 
2


В отличие от уравнений, в случае решения неравенств проверка, как правило, неосуществима, поэтому
необходимо выполнять лишь равносильные преобразования.
Пример 3. Решить неравенство.
log 2 x  log 2 ( x 3  2 x  3) > log 2 ( x 4  2) . (4)
 x  0,
 3
x  2 x  3  0,
Решение. Неравенство(4) равносильно системе неравенств  4
 x  2  0,
 x( x 3  2 x  3)  x 4  2.

(I)
Заметим, что неравенство x 3  2 x  3  0, следует из остальных неравенств системы (I).
 x  4 2
Следовательно, (I)   2
 4 2  x  2.
2 x  3x  2  0
Ответ: 4 2  x  2.
Применение формул
log a ( f ( x) * g ( x))  log a f ( x)  log a g ( x),
log a
f ( x)
 log a f ( x)  log a g ( x),
g ( x)
log a ( f ( x)) 2 k  2k log a f ( x)( k  z , k  0)
Может привести к потере корней, чего, естественно, допускать не следует.
Чтобы формулы логарифмирования не приводили к потере корней, ими пользуются в виде:
log a ( f ( x) * g ( x))  log a f ( x)  log a g ( x) ,
log a
f ( x)
 log a f ( x)  log a g ( x) ,
g ( x)
(II)
log a ( f ( x)) 2 k  2k log a f ( x) .
Отметим, что первые две формулы также не являются универсальными, т.к. они могут привести к
расширению области определения уравнения и, следовательно, появлению посторонних корней. Но это не
так опасно, как сужение области определения и потеря корней. Посторонние корни могут быть установлены с
помощью проверки.
Преобразование уравнения, при котором не теряются и не приобретаются посторонние корни,
log a ( f ( x) * g ( x))  h( x) к
заключается
в
переходе
от
уравнения
вида
совокупности
уравнений
log a f ( x)  log a g ( x)  h( x)
log ( f ( x))  log ( g ( x))  h( x)
a
 a
Пример 4. Решить уравнение:
log 22 (sin x cos x)  log 2 sin 2 x * log 2 cos 2 x
Решение:
(log 2 sin x  log 2 cos x)  4 log 2 sin x  log 2 cos x,
уравнений

2
(6)
(log 2 ( sin x)  log 2 ( cos x))  4 log 2 ( sin x) * log 2 ( cos x).
2
(5)
уравнение
(5)
равносильно
совокупности
(7)
Преобразуем уравнения (6) и (7), получим:
(log 2 sin x  log 2 cos x) 2  0,
log sin x  log 2 cos x
 2


2
log 2 ( sin x)  log 2 ( cos x)
(log 2 ( sin x)  log 2 ( cos x))  0.


 x  4  2n, n  z ,

 x   k , k  z

4
 x  5  2n, n  z

4
Отметим, что если пользоваться формулами группы II, то получим уравнение
(log 2 sin x  log 2 cos x ) 2  4 log 2 sin x * log 2 cos x (8), являющееся следствием уравнения (5). Уравнение (8) равносильно
уравнению
log 2 sin x  log 2 cos x , корни которого x  
получаем x 

4

4
 n, n  z. Посторонними корнями являются: x  

4
 n, n  z . Отбросив их,
 n, n  z .
Отметим, что применение формулы log a ( f ( x)) 2k  2k log a f ( x) (k  z, k  0) приводит к равносильному
уравнению. Левая и правая части равенства определены при одних и тех же значениях х.
Пример 5. Решить уравнение:
log 4 x 2  log x6 64  2. (9)
Решение: (9)  log 2 x  log x 2  2  log 2 x  1  x  2.
Ответ: x  2 .
Пример 6. Решить уравнение
log 2 ( x 2  14 x  49) 8  6 log 4 14  2 x =7
(10)
Решение: заметим, что х<7, преобразуем: log 2 ( x 2  14x  49)8  16 log 2 x  7  16 log 2 (7  x)
Следовательно,
(10)  8 log 2 (7  x)  3 log 2 (7  x)  11.
Обозначив log 2 (7  x) через у, получим 3 y 2  8 y  11  0 , откуда у=1. Далее: log 2 (7  x)  1, откуда х=5.
Примером преобразований, которые могут привести как к потере корней, так и к приобретению
посторонних корней может служить также переход к новому основанию логарифма, содержащему
переменную.
Если при решении уравнения применяется формула
log g ( x ) f ( x) 
log h ( x ) f ( x)
log h ( x ) g ( x)
, то могут быть потеряны корни, при которых h(x)  0 или h(х)=1.
Например, если в уравнении log 2 x x  log 8 x перейти к основанию х, то получится уравнение
x
1

log x (2 x)
1
log x
8
x
(11) , единственным корнем которого является х=2. однако, легко видеть, что х=1 является корнем уравнения
(11), но этот корень оказался потерянным.
Переход к основанию х сузил область определения уравнения (появилось дополнительное ограничение
х  1, но как раз х=1 является корнем уравнения). Значит, прежде чем переходить к основанию х, надо
выяснить, не является ли х=1 корнем уравнения, а затем при х  1,воспользоваться формулой перехода.
В данной задаче переход к основанию 2 не осложнил бы решения, но позволил избежать потери корня.
Появление элективных курсов как ответ на запрос ученика, семьи, учителя, общества и государства.
При введении профильного обучения в старшей школе ученику и его родителям предлагается совершить выбор двух
уровней.
Сначала ученик выбирает профиль, а вместе с ним и набор предметов, уровень их изучения, соответствие которых
задачам образовательной программы определяется государством и школой.
Затем школьник осуществит выбор второго уровня - определит набор элективных курсов.
Выбор элективных курсов осуществляется из числа предложенных школой, но тем не менее этот выбор может быть
принципиально другим, нежели тот, который совершается при определении профиля ученика.
Особенности программ элективных курсов:
- Программы элективных курсов носят примерный характер.
- Они не определяют жестко обязательный для изучения объём учебного материала, поскольку содержание итогового
контроля по курсу разрабатывает сам учитель.
- Рабочую версию программы сравнительно легко построить на основе деятельностного подхода к планированию
учебных занятий.
- Они дают возможность преодолеть одну из самых главных причин трудностей, возникающих в школе при их изучении
нормативных предметов. Эта причина – требование обязательной успеваемости.
Методы и формы организации курсов:
- Ученик должен активно действовать на уроке (дискуссии, учебные проекты, диспуты, индивидуальная и групповая
исследовательская работа, работа в творческих мастерских и т.д.).
- Самостоятельная работа с различными источниками учебной информации.
Формы контроля за уровнем достижения учащихся:
- использование приёмов самоанализа и самооценки,
- защита исследовательских микропроектов,
- выполнение определённого набора практических заданий,
- подготовка рефератов,
- проведение зачета и т.д.
Элективный курс «Задачи с параметрами» рассчитан на 17 часов и содержит темы: квадратный трёхчлен, расположение
корней квадратного трёхчлена (7 часов); необходимые условия в задачах с параметрами (4 часа); функции, производная,
графики, задачи на координатной плоскости (4 часа); рациональные уравнения
Решение задач, а точнее, уравнений и неравенств с параметрами, открывает перед учащимися значительное число
эвристических приёмов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в
исследованиях и на любом другом математическом материале.
Одна из занятий элективного курса «Задачи с параметрами» по теме: Свойства функций, Графические приёмы в задачах
с параметрами.
Элективный курс «Задачи с параметрами»
Тема: Свойства функций, графические приемы в задачах с параметрами.
Цель занятия: - Представление элективного курса «Задачи с параметрами».
- Формирование умений и навыков решения задач, ключ решения которых – свойства
функций, их графики.
Ход занятия.
I.
«Разминка».
Решение задач (аналитические приемы)
1) Решить уравнение: (a-4)*(a+7)*x=(a+3)*(a-4)
Решение: При а=4 уравнение примет вид: ОХ=0, т.е. Х- любое
При а= -7, получим ОХ=44, т.е. нет решений.
При а  4, а  -7, х=
a3
. (а  (-  ;7)  (-7; 4)  (4;  ))
a7
Ответ: а=4, х – любое
а= -7, нет решений
При а  4 и а  -7, х=
a3
.
a7
действительное число.
2) Найти все b, при которых корни уравнения (b+1)*x 2 +2x-3b-1=0
Решение: При b=1, уравнение 2х=-2,
х=-1,
-1  1 – удовлетворяет условию.
При b  -1, условие выполняется при:
D  0
 f (1) 0


 xb 1
b  1 0
или
D  0
 f (1) 0


 xb 1
b  1 0
Эта совокупность равносильна системе :
D  0

 xb 1
(b  1) f (1) 0

, или
1  (b  1) * (3b  1)  0
 1

1

 b 1
(b  1) * (2  2b) 0
и т.д.
Ответ:
II.
Решение задач.
1. Для самостоятельной работы дома предлагались задания:
меньше 1.
Найдите значения параметра а, при которых вершины парабол лежат по разные стороны от прямой
y=4.
у=х 2 -6ах+а+8,
Ответ: a  2,
у=2 х 2 +4ах+3 а 2
1  145
1  145
 a
.
18
18
(сверка ответов, вопросы по решению задачи).
Решение (краткое)
(1) у=х 2 -6ах+а+8,
(2) у=2 х 2 +4ах+3 а 2
В 1 (3а;-9а 2 +а+8)
В 2 (-а; а 2 )
Вершины по разные стороны прямой у=4 если:
a 2  4

 9a 2  a  8 4
или
a 2  4

 9a 2  a  8 4
Решая системы, получим:
 a 2

 1  145
a 

18

a 1  145

18
или
 a 2

1  145 1  145
 18  a 18

Ответ: a  2,
1  145
1  145
 a
.
18
18
2. (Из домашнего задания)
Найти все а, при каждом из которых уравнение
различных корня.
Решение:
При а=0
х=2 2 x , х-4 x
Уравнение имеет одно решение х=0, что не удовлетворяет условию задачи.
Строим график у=2 2 x  a 2 и у=х-а.
(1)
у=2 2 x  a 2
Последовательность построения:
а) у=2х-а 2 , х  0 . (у=2х «вниз» на а 2 )
б) у=2* x - а 2
(симметрия относительно ОУ)
в) у= 2 x  a 2
г) у=2* 2 x  a 2 - растяжение от оси ОХ с к=2.
(2)
у=х-а – семейство прямых, образующих угол 45  с осью ОХ.
Из них выбираются те, которые пересекают 1-й график в 3х точках.
х-а=2* 2 x  a 2 имеет три
При этом для прямой l: -а=2а 2 , для прямой m:  2a 2  a  0
Решим совокупность: 
2
a  2a  0
Так как а  0 , то а=1
2
Ответ: а=- , а=-2.
1
или а=-2.
2
a2
 a  0;
2
III.
Задачи.
1. Найти все значения параметра а при которых вершины парабол у=х 2 -4ас и у=х 2 -(а+2)*х+2
лежат по
разные стороны от прямой у=х.
1
2
Ответ: а  (6; ) .
Решение:
(1) у=х 2 -4ас,
В 1 (2а; -4а 2 )
(2) у=х 2 -(а+2)*х+2,
В2 (
a  2  a 2  4ac  4
)
;
2
4
Вершины парабол лежат по разные стороны от прямой у=х, если ордината одной из вершин больше
соответствующего значения функции у=х (в точке х=х b ), а другая наоборот. Т.е.
 4 a 2  2 a ,
 2
  a  4a  4 a  2

;

4
2

или

2a(2a  1)  0

a(a  6)  0
 4 a 2  2 a ,
 2
  a  4a  4 a  2

;

4
2


или
2a(2a  1)  0

a(a  6)  0
1
2
Ответ: а (6; ) .
2. Найдите все а, при которых наименьшее значение функции у=х 2 +2х-1+ x  a >2.
Ответ:
a
21
13
или a 
4
4
Решение:
Постараемся иначе взглянуть на условие:
Найдите а, при которых неравенство х 2 +2х-1+ x  a -2>0 выполняется для  х.
Тогда x  a >-х 2 -2х+3
Переведем на графический язык:
График у= x  a должен располагаться так, чтобы на параболе у=-х 2 -2х+3 не нашлось ни одной
точки, лежащей выше точек «уголка» у= x  a или на нем самом.
Вершина уголка не должна принадлежать отрезку a1 ;a2  .
Абсциссы точек а 1 и а 2 соответствуют моменту касания. Искомые значения параметра
a  a
1
определяются совокупностью 
.
a

a
2

Найдем а 1 и а 2 . уравнения х-а 1 = -х 2 -2х+3 и а 2 -х= -х 2 -2х+3 должны иметь единственный корень
х 2 +3х- а 1 -3=0;
х 2 +х-3+ а 2 =0
D=9+4 а 1 +12,
D=1+12-4 а 2
D=0, а 1 = -
21
4
D=0, а 2 =
13
4
21

a   4
Тогда 
.
13

a  4

Ответ: a  
21
13
, a .
4
4
Для самостоятельной работы:
1) Найти все значения параметра а, при которых вершины парабол лежат по разные стороны от прямой
у=-2х.
у= х 2 +ах, у= х 2 -4ах+2.
Ответ: (-4;
1 3
1 3
)  (0;
)
2
2
2) Для каждого значения параметра а определить число решений уравнения x 2  2 x  3 =а.
 x 2  y  2 x  a
3) Найти все значения параметра а, при которых система уравнений  2 2
имеет решения.
 x  y  2 x
1
Ответ:  2;  .

4