Интеграл по траекториям в суперпространстве для релятивистской спинорной частицы во внешнем калибровочном поле

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Н. В. Борисов, П. П. Кулиш, Интеграл по траекториям
в суперпространстве для релятивистской спинорной частицы во внешнем калибровочном поле, ТМФ, 1982, том 51, номер 3, 335–343
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 198.16.78.44
5 июня 2021 г., 22:19:24
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Том 51, №3
июнь, 1982
ИНТЕГРАЛ ПО ТРАЕКТОРИЯМ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ
ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ СПИНОРНОЙ ЧАСТИЦЫ
ВО ВНЕШНЕМ КАЛИБРОВОЧНОМ ПОЛЕ
Борисов Н. В., Кулиш П. П.
Рассматривается функция Грина релятивистской спинорнбй частицы
во внешнем калибровочном поле. С помощью введения соответствующей
системы когерентных состояний для фермиевских переменных, опи­
сывающих спиновые и цветовые степени свободы, строится представле­
ние этой функции Грина в виде континуального интеграла по траекто­
риям в суперпространстве.
Исследование широкого круга задач квантовой теории поля и статисти­
ческой физики требует выхода за рамки теории возмущений. Так, пони­
мание механизма конфайнмента в квантовой хромодинамике связано с изу­
чением поведения спинорных кварков на больших расстояниях, где, в
отличие от малых расстояний, не применимо разложение по константе
связи. Удобным исходным пунктом для построения различных приближен­
ных схем является континуальный интеграл [1, 2]. Среди таких схем наи­
большей известностью в качестве альтернативы к стандартной теории воз­
мущений по заряду пользуется квазиклассическое разложение, которое
строится на основе анализа соответствующей классической системы, участ­
вующей в формулировке континуального интеграла,
В последние годы проводятся интенсивные исследования классиче­
ской и квантовой динамик систем с адтикоммутирующими переменными
[3—5] и, в частности, релятивистской спинорной частицы [4—8]. На
основе развитого в этих работах классического описания спинорной части­
цы уравнение Дирака получается как условие на вектора состояния соот­
ветствующей квантовой системы, порожденное связями. Квантование та­
кой системы в формализме континуального интеграла [9], которое следует
проводить с учетом параметризационной суперинвариантности соответ­
ствующего действия [10], в настоящее время выполнено не в полном объ­
еме (нет обоснования выбора меры интегрирования по множителям Лагранжа, не включено взаимодействие с произвольным внешним полем
Янга — Миллса). Поэтому остается открытым вопрос, определяет ли по­
строенная классическая система квазиклассическое разложение функции
Грина уравнения Дирака во внешнем калибровочном поле. Иначе говоря,
можно ли для этой функции Грина получить представление в виде конти­
нуального интеграла по конфигурационному пространству соответствую­
щей системы от экспоненты классического действия для спинорной час­
тицы.
335
В настоящей работе такое представление получается с использованием
метода пятого параметра (собственного времени) (см., например, [И]) Л
точнее с привлечением супераналога собственного времени (Т, 0), где 6 —
грассманова переменная. Переход к континуальному интегралу совершает­
ся через построение конечнократных аппроксимаций в фазовом простран­
стве посредством вставки в ядро оператора эволюции по собственному
времени разложений единицы [12]. Для наблюдаемых в спиновом и цвето­
вом пространствах используется разложение единицы по когерентным
состояниям для фермионов [13, 3, 14]. Проведенное построение контину­
ального интеграла для дираковского пропагатора тесно связано с извест­
ными для него представлениями (см., например, [11, 15]). Однако устра­
нение внешнего дифференцирования за счет использования супёрвремени
и переход от упорядоченных матричных экспонент в спиновом и цветовом
пространствах к континуальному интегрированию по грассмановой алгебре,
реализующему это упорядочение, позволили вычислить интеграл по им­
пульсным переменным и перейти к фейнмановской форме интеграла по
траекториям в конфигурационном суперпространстве. При этом в показа­
теле экспоненты возникает действие, которое соответствует реперному
варианту действия для спинорной частицы [7], с учетом калибровки соб­
ственного времени. Таким образом, исследование предложенной в [7]
классической системы, описывающей спинорную частицу, является осно­
вой для построения квазиклассического разложения функций Грина спилорной частицы.
Авторы благодарны Л. Д. Фаддееву за полезные обсуждения и поста­
новку вопроса о связи дираковского пропагатора с континуальным инте­
гралом в суперпространстве.
Задача нахождения функции Грина Sqrnl(x', х; А) дираковской частицы
во внешнем калибровочном поле Alxa(x) (a=l,2,...,N;-N.—
размерность
калибровочной группы) :
(1)
{[id$mn—eA»a{x){Ta)mn]4/q—m§mnbvq}Sqrnl{x\x-,
mZ
=6 6pr6
(4)
A)==
(*'--*)
(т, щ 1=1,..., К;
р, q, r = l , . . . , 4 ;
jx=0, 1, 2, 3),
сводится к построению оператора s, обратного к
(2)
[(p.-eA/ix)
Ta)\-m]^[D;b-m].
Этот оператор действует в пространстве Ж представления алгебр:
(За)
[Pw*v]=^v,
(36)
{Y^YvH2gVv,
(Зв)
[Та,
Tb]=ifbcTc..
Пространство Ж можно выбрать в виде тензорного произведения про­
странств Я, L, V, реализующих представления каждой из алгебр (За),
(36), (Зв):
Ж=Н®1®У.
В шредингеровском представлении (За) и стандартной матричной реа­
лизации (36), (Зв) имеем Ж^Ь2(М")®С'®СК
(K=dimV).
При этом
336
функция Грина Sqrnl(x\ х; А) является матричным элементом оператора §
в базисе {\х>; х^М^} в Я и матричных базисах {| д>; д = 1 , . . . , 4}, {|п>\ п=-=1,...,К}
вЬжУ:
Sqrnl(x',x; 4 ) ==<#', g, n\s |аг, г, Z>.
Для построения континуального интеграла потребуется базис когерент­
ных состояний в спиновом пространстве L и цветовом пространстве V.
В L— пространстве представления клиффордовой алгебры (36), введем
фермионные операторы:
;
(4а)!
г\а- 1^1=—(То+Тз),
П2 = - у ( Т 1 + Ы ;
(46)
%а: Tfi = —(-^о+^з), ^ 2 = — (fi-ifs);
(4в)
{'Па,%} = = бар,
{^av%}
= 0 = :
{^%}^
ОЬ, £ = 1, 2 .
Пространство L можно реализовать как фоковское пространство1* для
ферми-операторов {т]а, r]a}a==1> 2.
Когерентные состояния |ri>, <rf| определяются условиями
(5)
Г|а|'П>='Па|'П>,
<f\ |Пос==<Л JTTOC,
где {т)а, Ца)а=1,2 — образующие грассмановой алгебры с инволюцией, антикоммутирующие с операторами т]а, ца. Эти состояния можно выразить че­
рез фоковский вакуум:
(6)
|n> = ^ a T l a |0>,
<^тТ| ^= <01
Нормировка и соотношение полноты когерентных состояний задаются ра­
венствами
(7)
, <т}' | т)> = е™«,
{ П
Ща dry?*** | r,) <tj | = IL
«* a t = i , 2
(здесь использовано определение интеграла по грассмановой алгебре [16]:
' J dTJa'Tla^l, • JdTla-1—0).
Переход от матричных элементов в когерентном базисе к представле­
нию, в котором матрицы Дирака имеют стандартный вид (например, с диа­
гональной ifs), осуществляется следующим образом (см. приложение):
(8)
<р\... I g>*= J Д
(Ща dria'e-VV Д
d^,d^e~v\p\r\r>X
Р=1,2
Х<гтг..|т1><Т]1<7>, р,д=1,...,4,
где <11тг|> = — щ и <2|г|>=-—^г]2, <3|т|>=1, <4|т}>=—r]ir|2, <т]|д>=<д|т]>.
*> Заметим, что для произвольного 4-вектора а^ можно ввести компоненты a a , а*£
[а=1, 2) по формулам (4а), (46) с заменой ^ц на ац. При этом ац-&ц=2 {ааЪ^+а-Ьа,).
2 Теоретическая и математическая физика, т. 51, № 3
337
Конструкция когерентных состояний, связанных с внутренними степе­
нями свободы, в общем случае отличается от описанной выше конструк­
ции для спиновых степеней свободы. Клиффордова алгебра (36)
эквивалентна фермионной алгебре (4в), а операторы Та ( а = 1 , . . . . , N)
реализуют представление «алгебры токов» (Зв) в изотопическом простран­
стве V, и потому их можно рассматривать как фермионные токи, являю­
щиеся билинейными комбинациями образующих соответствующей фер­
мионной алгебры:
'
(9а)
Ta===\m(ta)mn%n,
(96)
{%w, %n} =*Gmn,
{%m, %п} =>0={%т, %п},
т, га=1, .
..,К;
K=dimV,
где матрицы (ta)mn^<m\Ta\n)
задают матричное представление алгебры
(Зв). Введем фоковское пространство VF для ферми-операторов (96) и
отождествим V с одночастичным подпространством VF: V^(V¥)U
\пУ~
~%п|0>. Операторы (9а) коммутируют с оператором числа фермионов и
потому переводят одночастичное подпространство в себя. Аналогичным
свойством будет обладать оператор (2), продолженный B'H®L®VFH
обрат­
ный к нему оператор $.
Для фермионных операторов (96), так же как и для операторов (4в),
можно ввести систему когерентных состояний |%>, <%| в VF:
(Ю)
Хт|х>=х»1х>> <%f%rn=*<%\%m,
к
m~l
Ядро оператора перехода от представления в базисе когерентных состоя­
ний к матричному представлению в этом случае есть
(И)
'.<Чх>-<о|х»1зс>=х»..
<х|п>=<я1х»|о>=х»,
, -
к
•
•
..•
1
Ш.. М>= J T J d%m'd%m'e-^'f»'d%nd%ne-™«X
Х%к'<%'\...\%>Ь,
k,l=l,...,K.
Отметим отличие этого оператора перехода от (8). Здесь исходное про­
странство реализовано как одночастичное подпространство VFr а в (8)
использовано все пространство когерентных состояний.
Для представления дираковск'ого пропагатора в виде континуального
интеграла по траекториям в суперпространстве от экспоненты, в показа­
теле которой стоит классическое действие для спинорной частицы, вос­
пользуемся операторным формализмом и методом пятого параметра Фока.
Перепишем матричный элемент оператора s следующим образом:
(12)
338
<^ff , ,xM5J*,.ii > x>^<^Y»X / l[^-^]" 1 l^4.X> e
- < . . .1 [ s , 2 --^О^'Г'-т1
j
(D^+m)
I.. .>=
\UT\Yехр{*-у-+в1»2'}:<«л,П',Х'1е-в;21«1т1,х>,
= ~
0
где 5= 1 /2£> l l 2 -(e/4)o l l v F^f-+ieS^„ o, v =(t/2) [^, ^ v ] ,
F^^AS-dA»"—ерЪсА^А^,
Ta=%mtmna%n, 9 — образующая грассмановой алгебры
(Jde'-e-l).В соответствии со стандартной процедурой [12] разобьем интервал
[О, Т] на N частей: T=sN, e-iTH=(e-ieH)N
и вставим между экспонентами
wH
e~ разложения единицы в #®L®F F . На к-м месте вставляется
(13)
,. Л
W e v p = - ? П dxf П «й^Л^
М-=0
X П ^
-(ft) (ft)
а=1,.2
dx™*-*» х™ | *<*>, т)<*>, %W> <»(*>, т}да, X(fc) |.
Поскольку в Я входят некоммутирующие операторы рй, £й, f)a, ffa, xw,
Xm, то для получения явного вида матричных элементов <(/с) |е~ геН | (к—
~1)>=<ж(Л\т](Л),Х(ЬМе^8Н|ж('1"1)» Ti(ft"1)»X-ft"1)^ необходимо использовать до­
полнительное разложение единицы:
(14)
IH®L®V¥=\ П
v
ii
rf
,Г»
К
X П dx™ dx^e*™
<v ^ w
d^d^a
П
ПГ—.1
х
О
'(ft)х '(ft)
™ | р<*\ ri'(ft), Х'<*> > <p<*>, r)'(ft), x'M |.
Обычно достаточно вставить (14) слева (или справа) от е~геН. В рассмат­
риваемом случае из-за наличия в б / члена, содержащего четвертую сте­
пень по 5U, %„, это разложение следует вставлять между ковариантными
производными бц. Для остальных слагаемых в Й этот вопрос несуществен
и разложение (14) будем вставлять слева. Справедливы равенства
(15)
<(k)\Dj(k)'>=<x<k\^k\%m\D»\pm,4m,%'m>=
= (/>Г - е А ^ ' И х-' W x f ' X (Ь) I (*)'>,
С(Л)10ц|(А-1)>=(рГ-вА,Ч« ( ^ 1 О^ № ) «».' , хГ 1 ) )<(Л)'1(Л-1)>,
<(ft)'№,il.(fc-D>=2[ ( р а ' 4 - ^ . » ^ - 1 ' ) X™ *т»'Х£~1))т[.<*> +
+ 04Ч-в^(а!^|0йЬ>«~^"")чГ1>]<(й)'|'(Л-1)>,
<(Л)Нв,.Л/(*)Г в 1№-1)>*^[чГ%Г 1 ^ ! зГ(а г «»- 1 ))+'--2*
339
+n,(^чГl)^(*(*-lo+rIa"l)тftwv(ж(*",))+•'.•
где
<(ky\(k-l)>=(2n)-^xHip,l4h~i)nTn^i)+Uk)
X»*"1')-
Используя эти равенства для построения конечнократных аппроксимаций,
после перехода к пределу N-+°° получаем представление функции Грина
спинорнои частицы континуальным интегралом по фазовому пространству
в формализме собственного супервремени:
(16)
< Ж / , г Т ' , Х ' И 1 ^ Л а > = у | ^ | у е х р { - ^ + те?'}х
О
X J 2>х„ (т) SDpy. (т) ^)г)а
Хехр {V,
(т) £>ца (т) ^ Х т (т) 5>х» (-0 X
(гГ«(Г) г) «(Г) +ТТ« (0) Ч« (0) +%т (Г) Х т (Т) +%™ (0)JC« (0)) +
о
( 1
£
12
4
+ 0-2[ ( ^ а - ^ а а Х т ^ п а % п ) ; П а + (/?а-^аа%т^шпаХп) Ла] [
^ Т }•
Интегрирование в континуальном интеграле (16) ведется по траекториям
(#й ( т ) , / ^ ( т ) , т[а (т), ца (т), %w ( г ) , %т ( т ) ) , тб [О, Т] с граничными условия­
ми Х»(0) =Яц,. Хр(Т) = # / , Т)а.(О) =Т) а , Г]"а (Г) = Т)с/,
%m(0)
=%m, %m(T)
=%J'.
Квадрирование оператора Дирака в (12) позволило получить в (16)
гауссов интеграл по импульсам р^ который можно точно вычислить. Ин­
тегрируя по р^ получаем искомое выражение для дираковского пропагатора через интеграл по траекториям в суперпространстве 2) (x^ g^, %m, %m):
(17)
<x'X,r\S\x,n,x>=-^]dTJ—exp^^r+mQTJx
i
»
X js>x„{т)'3>Ъ(т)2>%m(T)2)%m(T)exp{—
T
(ца(Т)ца(Т)
+
Л
+Xm (T) %M.(T) ) +i\ S?dX + — (т)«
(U) tl« (0) +%m
(0) Хш (0) ) . j ,
0
где
(18/
1
J
.
J
.
i& ( # ц , gn, % m , % m ) = — - # й ~Г — - Stigfx"!" —— \%m%m
%m%m)
2)
Здесь g,* - вектор с антикоммутирующими компонентами, связанный с г\а, Ца
по формулам (4а), (46).
340
I
Исходная функция Грина Sqrnl{xr, x\ .A)'=W, q, n\ § \x,r, Z> получается
переходом от когерентного к матричному базису (см. (8), (11)):
к
<x',q,n\$\x,r,l>=
Х
JTJfl^o'dVTTdXm'dxm'X
IT^^PII^71^71
е
^Р(~Т1а,'Па,~Т1Р'ПР~Хт,Хт,-^Хп)Х
Х<д!т1,><^1х,><^,,тГ%5С,1^1^'П,Х><7п1^><5с1г>.
Для корректного определения континуального интеграла с помощью
конечнократных аппроксимаций, помимо интегрируемого функционала от
траектории, должен быть задан определенный способ аппроксимации. Это
соответствует заданию порядка некоммутирующих операторов при кванто­
вании [17]. Интегралы (16) и (17) следует понимать через конечнократ™,
ные аппроксимации, получаемые на основе формул (15). Особенностью
возникающего при этом способа аппроксимации является удвоение числа
промежуточных точек деления по отношению к исходному разбиению
интервала [О, Т] при построении траекторий в грассмановых переменных
'Па? Т)а» %m,'%m'
V t): V = =
*,;(*): * } ?
p(2)
V
0
f"m ^ ' ' Am
л
7 '(D
т
p
<
*
)
я (2 >
01
^ m * ' • ' f"m
•
1
г
1
YU)
•
Лт
ЧаМ^^Ча
'la
iaM-i 0)
'a
I
-
2
(l)
Лт
Y'(2)
г)
(2)
Am
7XD
•
Y
Лт
*4
n(i>
^
^aC2)
__
..,.
l
TV — 1
Y (2)
Y (iV-l)
(2)
Y (iV-i)
Лт
^(N-1)
'la
Лт
Y
2
г/"la
>
•la
..
' '
—|Г,
N
YW
Y '№
Лт
Y'
Л
W
т
i;w
r(iv-i) от
'la
ъ .
Лт
Y(iV)__-
Лт
Лттс
ч$Г>
4^
= 4.
При таком построении аппроксимаций дираковский пропагатор пред­
ставляется континуальным интегралом с явно калибровочно-ковариантным
действием (18). Другой способ вычисления матричных элементов опера­
тора е~геН [18] приводит к представлению дираковского пропагатора кон­
тинуальным интегралом с лагранжианом, содержащим калибровочно-нековариантные слагаемые: (д^А^)у1\ и
AfA^ffit^.
Полученное представление (17), (18) позволяет истолковать функцию
Грина Sqrnl(x\ x\ А) как квантовомеханическую амплитуду распростране­
ния точечной релятивистской частицы, спиновые степени свободы которой
описываются антикоммутирующим вектором |!й, а жзоспиновые — грассмановыми переменными %m, %m. Лагранжиан (18) соответствует суперсим­
метричному действию для дираковской частицы в реперном формализме
[7] (в калибровке собственного времени) с учетом включения взаимодей­
ствия с внешним калибровочным полем. Это является прямым обобщением
соответствующих фактов для скалярной релятивистской частицы.
341
Использованный в настоящей работе прием для построения конечнократных аппроксимаций к континуальному интегралу с помощью коге­
рентных состояний для фермионов является достаточно общим и связан
с реализацией матричного умножения посредством свертки по грассмановым переменным. Он позволяет получать представления для функций Гри­
на матричных дифференциальных операторов в виде континуального ин­
теграла по суперпространству. Заметим, что, не проводя «квадрирование»
оператора Дирака в (12), можно получить другое представление дираковского пропагатора в виде интеграла по траекториям в пространстве
(хт Рт £и.» %т, %т) с гамильтонианом, линейным по импульсам.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Построим ядро оператора перехода от матричной реализации /^-матриц Дирака
к когерентному базису. Будем исходить из следующей реализации у^-матриц:
т
° ~ ( / о)' * ~ U
о )•
В этом случае
/о о о о\
i ~
.
0 0 0 1
' % = Т (Vo + ?з) ~ Ч 1 0 0 0 / '
\о о о о/
т. е. отличными от нуля матричными элементами (q\r\i\p) (/?, q=i, ..-., 4) являются
<2|^i|4> = v < 3 M l > = J .
•
~
i
Аналогично для rj2 = — (^1 + ^2,)' <1|т]2|4> = -г, <3|r|212> = г. С учетом этих ма­
тричных элементов из определяющего уравнения для когерентных состояний г]а|т]>=
=т|а|г1>, т. е.
Y<q\4a\p)<p\4>=r)*(q\r)>
(а==1,2; д=1,...,4),
следует
<flh>.= f
-?*\с.
Условие нормировки когерентных состояний Щ'\г])=ё~Г]Гч приводит к СС=1, поэтому
можно взять С==1.
Литература
[1] Faddeev L. D. Introduction to functional methods, in: Methods in field theory, ed
R. Balian and J. Zinn-Justin. North-Holland, Amsterdam, 1976, 3-40.
[2] Попов В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистиче­
ской физике. М.: Атомиздат, 1976, 256 с.
[3] Борисов Н. В., Иоффе М. В.,Эйдес М. # . - ТМФ, 1976, 29, № 1, 25-41.
f4] Berezin F. A., Marinov М. S.- Ann. Phys., 1977,104, № 2, 336-351.
Щ Casalbuoni Я . - Nuovo Cim., 1976, A33, № 3, 389-431.
[61 Barducci A., Casalbuoni R., Lusanna L.— Nuovo Cim., 1976, A35, N° 3, 377—399.
Щ Brink L., Di Vecchia P., Howe P.-Nucl. Phys., 1977, B118, № 1, 76-94.
Ж Ravndal F. - Phys. Rev., 1980, D21, № 10, 2823-2833.
|9j Barducci A., Bordi F., Casalbuoni R. Part-integral quantization of spinning par­
ticles interacting with crossed external electromagnetic fields. Preprint TH. 2971CERN. Geneva: GERN, 1980.
S42
[10] Fradkin E. S., Vilkovisky G. A. Quantization of relativistic systems with constra­
ints, equivalence of canonical and covariant formalisms in quantum theory ©J
gravitational field. Preprint TH. 2332-CERN. Geneva: CERN, 1977.
Schwinger J.- Phys. Rev., 1951, 82, № 5, 664-682.
Tobocman W.~ Nuovo Cim., 1956, 3, № 6, 1213-1229.
Candlin D. J.- Nuovo Cim., 1956, 4, № 2, 231-239.
Halpern M. В., Jevicki A., Senjanovic P . - P h y s . Rev., 1977, D16, № 8, 2476-2485»
Фрадкин Е. С- Тр. ФИАН, 1965, -29, 7-138.
Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965, 235 с.
Верезин Ф. А.- ТМФ, 1971, 6, № 2, 194-207.
Борисов Н. В., Кулиш П. П. Тр. 4-го Международного семинара по проблемам
физики высоких энергий и квантовой теории поля, т. 2. Протвино: ИФВЭ, 1981,,
263-272.
Ленинградское отделение
Математического института
им. В. А. Стеклова
Академии наук СССР
Поступила в редакцию
12.V.1981 r„
PATH INTEGRAL IN SUPERSPACE FOR RELATIVISTIC
SPINOR PARTICLE IN AN EXTERNAL GAUGE FIELD
Borissov N.V., Kulish P . P .
Green's function of relativistic spinor particle in an external gauge field is con­
sidered. By means of introducing the system of coherent states for fermion variables
corresponding to spin and colour degrees of freedom, the representation of the Green
function in the form of the path integral in the superspace is constructed.
%Ш