темы семестровой 8 класс 2 семестр 2019 compressed

Темы семестровой работы 8 класс 2-й семестр
1. Квадратные уравнения
Решите уравнения:
А) ( x  3)4  13( x  3)2  36  0 .
Б) (2 x  1)2  2 x  1  12  0 .
В) ( x 2  4 x  12)( x 2  4 x  3)  56
Г) Дано уравнение x 2  5 x  2 x 2  5 x  1  28 . а) Решите это уравнение; б)
расположите корни этого уравнения в порядке возрастания.
Д) Дано уравнение 2 x 2  3 x  1  0 . а) Решите это уравнение; б) найдите
наименьшее целое число, расположенное между корнями данного уравнения.
Е) Дано уравнение x 2  3x  2 3  4  0 . a) Решите это уравнение; Б) сравните
корни уравнения с числом 7 3  12 .
2. Квадратные уравнения, теорема Виета
А) Пусть x1 и x2 - корни равнения 3x2  8x 1  0 . Не решая уравнения,
найдите
1 1

и x1x23  x2 x13 .
x1 x2
Б) Пусть x1 и x2 - корни уравнения x 2  5 x  7  0 . Пользуясь теоремой Виета
составьте квадратное уравнение с корнями
1
1
и .
x2
x1
В) Дано уравнение x 2  5 x  4  2  0 . Пользуясь теоремой Виета составьте
квадратное уравнение, корни которого в 3 раза больше корней данного уравнения.
Г) Докажите, что при всех положительных значениях параметра а уравнение
x 2  2 a  1 x  a 2  a  0 имеет только положительные корни.
Д) Найдите все значения параметра а, при которых ровно один корень уравнения x 2  (3a  2) x  2a 2  a  3  0 равен нулю.
3.Преобразование алгебраических выражений
Вычислите
А) 2
2
2
 2 1
3 1 
 
2
 1  2 7  2 6
3  1 
 2 1
Б) 5  2 6  5  2 6  49  20 6  27  3 18  3 12  8 


64 2
64 2

В) 

 2  64 2

2

6

4
2


2
1
Упростите выражение на области допустимых значений переменных:
Г)

t  3t  3 t 1

 2 

t  1  12 t  8 t

.
4х  5 х  1 2х  х  3

х
Д)
4 х 1
3 2 х
Е)  x 1  y 1  x 1  y 1  x  y  .
1
1
1
1  ab 1 a 1  b 1 ab 1  a  b 
.

:

1
a 1b 1 a 1b  ab 1 b  a
a  b
1
Ж)
4.Решение системы неравенств
 x 1  5
А)Решите систему неравенств  2
 x  4 x   x  1 x  2  8
Найдите область определения функции
1
Б) f ( x)  11  2 x  1  15  5 x 
8  2x

 8x  8  x 
3
В) f  x  

 x  12 
4 x  12


x  x 1
3x
Г) f ( x)  2

1 x
2x  2x 1
2
5.Задача на работу или движение
А) Вагон разгружается двумя бригадами за 6 ч. Первая бригада, работая одна,
могла бы выполнить эту работу на 5 ч быстрее, чем одна вторая бригада. За
сколько часов каждая бригада, действуя отдельно, может разгрузить этот вагон?
Б) Теплоход с туристами прошел по течению реки 10 км и против течения 8
км, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость теплохода по течению и
против течения, если скорость самого течения 3 км/ч.
6.Геометрическая задача: треугольники
А)В прямоугольном треугольнике АВС один катет равен 14√10 , а проекция
второго катета на гипотенузу равна 9. Найти гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу этого треугольника.
Б) В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен 4 , а высота,
5
проведённая к гипотенузе, равна 12 см. Найти площадь данного прямоугольного треугольника.
В) Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке K и прямую CD в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника KMC равна 4 и сторона параллелограмма BC в три раза
больше стороны AB.
Г) В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СК из вершины
прямого угла С, а в треугольнике АСК – биссектриса СЕ. Найдите длину катета ВС, если известно, что АВ=10, АЕ=2.
Д) В треугольник АВС вписана прямоугольная трапеция АDFЕ так, что угол
А у них общий, а противоположная ему вершина F лежит на стороне ВС. Боковая сторона FE перпендикулярна стороне АС треугольника, а диагональ AF
перпендикулярна стороне BC. Отрезки AE и ЕС равны соответственно 25 см
и 9см. Найдите отношение ВF : FС, если известно, что высота треугольника
АВС, опущенная из вершины В, равна 25 см.
7. Геометрическая задача: отношение отрезков, отношение площадей.
А) В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) на стороне BC взята точка
D так, что BD: DC=1:4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины B?
Б) В ∆ АВС биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны ∆ АВС.
В) В ∆ АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и пересекаются
в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найти площадь
∆ АВС.
Г) Площадь треугольника АВС равна а . На сторонах треугольника АВ , ВС
и АС выбраны точки С1 , А1 и В1 , соответственно. Известно, что
ВА1 : А1С  3: 7 , АВ1 : В1С  2 :1 и отрезки АА1 , ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О . Найдите площадь треугольника С1ВА1 .
8. Геометрическая задача: углы в окружности, касательная и секущая к
окружности, вписанные и описанные окружности
А)Точки А, В, С, D последовательно расположены на окружности. Известно,
что градусные меры меньших дуг АВ, ВС, СD и АD относятся как 1:3:5:6.
Найдите углы четырехугольника АВСD.
Б)В выпуклом четырехугольнике АВСD известно, что угол АСВ равен 25 градусов, угол АСD равен 40 градусов, и угол ВAD равен 115 градусов. Найти
угол АDВ.
В) АВ и АD – две касательные к некоторой окружности радиуса 5 см (В и D –
точки касания). Точка С принадлежит большей из дуг ВD. Найдите угол
ВСD, если АВ = 5 см.
Г) Две окружности радиусов 9 и 3 см касаются внешним образом в точке А,
через которую проходит их общая секущая ВС. Найдите длину отрезка АВ,
если АС = 5 см.
Д) Трапеция АВСD (AD параллельно ВС) вписана в окружность, радиус которой равен 4 см; АС- биссектриса угла А,  ВСА=30  . Найдите площадь
трапеции.
Е) В прямоугольный треугольник вписана окружность, которая точкой
касания разбивает гипотенузу на отрезки равные 10см и 15см. Найдите
радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь
треугольника.
Ж) В равнобедренную трапецию периметр которой равен 120, а площадь
равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
З) Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 5. В этот же
треугольник вписана окружность радиуса 2. Найдите стороны и площадь
этого треугольника.
9. Исследование графика функции y  f ( x) и решение уравнения с параметром.
Построить график функции
А) y 
x 2  3x  2
. Найти все значения параметра а, для которого уравнение
4  x2
y  a не имеет решения. Укажите область определения функции, область
значений функции, нули функции и промежутки знакопостоянства.
 x  4  1, если  4  x  0
Б) f  x   
. Найти все значения параметра а, для
 x  4  1 , если 0  x  6
которого уравнение y  a имеет решения.
x 3

, при x  2,
1  2
В) y   x  4 x  3
. Определите, при каких значениях параметра m
1  x  1 , при x  2

прямая y  m имеет с графиком 2 общие точки и выпишите координаты
этих точек при каждом из найденных значений параметра m.
( x 2  6 x  8)( x  1)
. а) Укажите множество всех значений аргумента,
x 1
при которых функция принимает отрицательные значения; б) Найдите все
Г) y 
значения параметра а, при которых прямая y  a не пересекает график
данной функции.
10. Квадратное уравнение с параметром.
А) При каких значениях параметра a уравнение a  a  1 x 2  x  a  a  1  0
имеет один корень?
Б) При каких значениях параметра а уравнение x 2  (a  1) x  2a  2  0 имеет
два различных корня? Выпишите эти корни.
В) Найти все значения параметра а, при которых уравнение
a  2x 2  2a  2x  2  0 не имеет корней.
Г) Решите уравнение (a  1) x2  2(3a  2) x  9a  7  0 при каждом значении параметра a.