МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики и информационных технологий Кафедра высшей математики и методики преподавания математики Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование (профиль: математика и информатика) РЕФЕРАТ на тему: «Геометрия Лобачевского. Факты геометрии Лобачевского. Параллельные и сверхпараллельные прямые по Лобачевскому. Пучки прямых и кривых плоскости Лобачевского. Модели геометрии Лобачевского (модель Бельтрами-Клейна, модель Пуанкаре, модель в пространстве).» Студентка: Гурина Дарина Андреевна_______________________ Донецк 2021 СОДЕРЖАНИЕ Введение .................................................................................................................. 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО ... 3 1. Геометрия Лобачевского ................................................................................ 3 3. Пучки прямых и кривых на плоскости Лобачевского ................................. 6 4. Модели геометрии Лобачевского (модель Бельтрами-Клейна, модель Пуанкаре, модель в пространстве)..................................................................... 6 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО . 11 1. Теорема Пифагора. .......................................................................................... 11 2. Замечание к теореме Пифагора .................................................................... 12 3. Площадь треугольника ................................................................................... 12 4. Длина окружности и площадь круга............................................................ 13 5. Примеры решения задач с помощью геометрии Лобачевского. .............. 13 Тесты ...................................................................................................................... 17 Глоссарий .............................................................................................................. 20 Введение В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Эта аксиома справедлива только для геометрии Евклида в пространстве, которую также называют евклидовой. Существуют другие геометрии и другие пространства, где эта аксиома не выполняется. Одна из таких геометрий была изобретена нашим соотечественником Николаем Ивановичем Лобачевским. Геометрия Лобачевского помогает нам взглянуть на окружающий мир совершенно по-другому. Чтобы понять это, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Сначала геометрия Лобачевского считалась непригодной для практического применения, так как пространство, в котором мы живем, не соответствует пространству, описываемому этой геометрией. Но законы, выведенные Лобачевским, вскоре нашли практическое применение. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 1. Геометрия Лобачевского Геометрия, как наука, впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, ранее найденные опытом, были приведены в правильную систему и доказаны. "Начало" - крупнейший памятник в творчестве Евклида, где он собрал все, что сделали его предшественники в области геометрии и "словесной алгебры". Но это не только его заслуга. Он также внес много своего, нового, оригинального. До XX века геометрия в школах преподавалась по учебникам, включавшим евклидовы "принципы", переведенные и обработанные в литературе. Однако не все, написанное Евклидом, удовлетворяло математиков, живших после него. Он сделал попытку дать аксиоматическое утверждение геометрии, то есть сформулировать небольшое число аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом подвергся критике сразу, некоторые из них оказались совершенно ненужными, например, что "все прямые углы равны друг другу." Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особую критику математиков. Эта аксиома, как показало историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии. Вот что говорится в пятом постулате: если две прямые линии А и В образуют, на стыке с третьей прямой, односторонние внутренние углы α и β, сумма значений которых меньше двух прямых углов (то есть меньше 180), то эти две прямые обязательно пересекаются, и именно на стороне третьей прямой, вдоль которой расположены углы α и β (составляющие вместе не менее 180). Это утверждение гораздо сложнее других аксиом, поэтому пятый постулат часто заменяется соответствующей аксиомой параллелизма: через точку, расположенную вне данной прямой, можно провести не более одной линии, расположенной в одной плоскости с этой, и не пересекать ее. Попытки доказать пятый постулат предпринимались более двух тысячелетий, сначала в Древней Греции, затем на средневековом Востоке, а затем и в Западной Европе. Но неудачные попытки прямых доказательств направили мысль ученых в другое русло. Мы решили заменить пятый постулат противоположным утверждением. Двери в новую геометрию открыли такие ученые, как Джованни Саккери и Иоганн Ламберт, а их работу продолжили другие ученые, в том числе выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский. Еще до открытия неевклидовой геометрии Лобачевский написал в 1823г. учебное пособие «Геометрия». В нем впервые со всей четкостью отражена так называемая теперь фузионистская точка зрения, согласно которой планиметрию не следует по евклидовой манере отрывать от стереометрии; напротив, обе эти части геометрии нужно по возможности объединить, то есть аналогичные начала планиметрии и стереометрии следует выкладывать параллельно. Так рядом с кругом Лобачевский рассматривал шар и сферу; взаимное расположение прямых на плоскости он рассматривает совместно пространстве, почти с взаимным расположением одновременно трактует плоскостей многоугольники в и многогранники. Хоть и Лобачевский занимался различными вопросами математики, мировую известность он получил как создатель новой геометрии. Лобачевский с юношеских лет был заинтересован аксиомой параллельных прямых. Сначала он пытался доказать пятый постулат, но постепенно пришел к выводу, что этого сделать нельзя, исходя из остальных аксиом. Тогда он заменил его на противоположное утверждение, которое сейчас называют аксиомой Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. В разработанной Лобачевским новой геометрии многие утверждения звучат неожиданно. Вот некоторые из них: 1. Через точку А, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в одной плоскости. 2. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая линия. 3. Сумма углов треугольника – величина переменная. Она зависит от размера треугольника, но всегда меньше π. 4. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = r2(π – A – B –C), где r – радиус кривизны пространства, а A, B, C – величины углов треугольника, выраженные в радианах Остальные аксиомы Лобачевский оставил без изменения и на основе новой системы построил новую геометрию, отличную от евклидовой. Можно считать, что неевклидова геометрия родилась в феврале 1826 года. Лобачевский выступил с докладом о своем открытии, но поддержки не нашёл. Математики его времени ещё не были подготовлены к мысли о возможности существования иной, неевклидовой геометрии. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей. 2. Параллельные и сверхпараллельные прямые по Лобачевскому. В 19 веке Николай Иванович Лобачевский, а также немец Гаусс и венгр Больяи, предложили геометрию, в которой имеются минимум 2 прямые коллинеарные заданной. Эти прямые пересекаются между собой и приближаются к заданной прямой с двух различных направлений. Место их пересечения с заданной прямой находится в бесконечно удаленной точке. Прямые, которые пересекаются с заданной прямой еще дальше, называются сверхпараллельными. Наглядно это можно представить, если изобразить плоскость, как овал, и провести внутри него прямую. Линия границы овала будет представлять в таком варианте прямую бесконечно удаленных точек. Затем вне данной прямой зафиксируем точку и проведем через нее 2 прямые, пересекающие заданную на границе овала (то есть на прямой бесконечно удаленных точек). Эти 2 прямые и будут называться параллельными. Те же прямые, которые пересекаются с данной прямой за пределами овала окажутся сверхпараллельными. Согласно последним научным данным, геометрия Лобачевского имеет место в реальной природе вблизи крупных тяготеющих масс, где само пространство перестает быть плоским и получает кривизну. Сумма углов треугольника в этом варианте не достигает 180 градусов. 3. Пучки прямых и кривых на плоскости Лобачевского На плоскости Лобачевского существуют три различных типа пучков, а именно: а) пучок пересекающихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, проходящих через одну точку - центр пучка (рис. 2-21, а); б) пучок расходящихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к данной прямой (рис. 2-21, б); в) пучок параллельных прямых - множество прямых, состоящее из некоторой направленной прямой и всех направленных прямых, параллельных ей (рис. 2-21, в). Ясно, что если задан пучок, то через любую точку плоскости (отличную от центра пучка пересекающихся прямых) проходит одна и только одна прямая пучка. С каждым пучком прямых связаны определенные линии. 4. Модели геометрии Лобачевского (модель Бельтрами-Клейна, модель Пуанкаре, модель в пространстве). Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского: Модель Пуанкаре Модель Клейна Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами) Модель Пуанкаре. В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта. Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему. Фигура Лобачевского на – плоскости это фигура полуплоскости Принадлежность L. точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (рис. 1). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели. Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии Рисунок 1 плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй. Модель Клейна. За плоскость принимается какой-либо круг (рис. 2.1), за точки - точки принадлежащие этому кругу, за прямые - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями. Рисунок 2 Очевидно, что в пределах определенной части плоскости (круга), как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку С множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество прямых (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих прямой АВ (рис.2.2). Всякая теорема планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно, всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является теоремой геометрии Лобачевского. Это общее утверждение доказывается проверкой справедливости в модели аксиом геометрии Лобачевского. Поэтому, если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие имеется и в геометрии Евклида. Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна некоторые факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный круг, а реальный круг и реальные хорды и интерпритируем теоремы как утверждения об этих реальных вещах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского в модели Клейна имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам. Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами) Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.4), на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского. Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой трактрисой, вокруг ее оси псевдосфера АВ – это (рис.3). Итак, поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором аксиомы и выполняются теоремы многие неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например, если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма его внутренних углов меньше 2π. Сторона треугольника – это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель псевдосфера. Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических треугольников. Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами назвал интерпретацией (истолкованием) неевклидовой геометрии на плоскости. Впоследствии, с развитием и введением в математику аксиоматического метода, под Рисунок 4 интерпретацией (или моделью) некоторой системы аксиом стали понимать любое множество объектов, в которых данная система аксиом находит свое реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение между которыми полностью совпадают с теми, которые описываются в данной системе аксиом. При этом полагают, что если для некоторой системы аксиом существует или можно построить интерпретацию (модель), то эта система аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но и любые теоремы, на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 1. Теорема Пифагора. Теорема. Для всякого прямоугольного треугольника плоскости Лобачевского выполняется равенство ch c = ch a ·ch b, где a, b - длины катетов, c - длина гипотенузы этого треугольника, а ch x= e x ex 2 (гиперболический косинус). Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на евклидовой полуплоскости. Будем считать (см. рисунок ниже), что вершинам A, B, C данного прямоугольного треугольника соответствуют комплексные числа где так как этого всегда можно добиться с помощью некоторого неевклидова движения. Используя формулу для вычисления неевклидова расстояния между точками z и w в H2, получаем, что Почленное перемножение двух первых соотношений и приводит, как показывает третье соотношение, к завершению доказательства теоремы. 2. Замечание к теореме Пифагора Н.И.Лобачевским было замечено, что созданная им неевклидова геометрия в бесконечно малом, то есть в первом приближении, совпадает с геометрией евклидовой плоскости. Проиллюстрируем это на примере теоремы Пифагора. Используя разложение гиперболического косинуса в ряд получим для теоремы Пифагора соотношение Исключая теперь члены низшего порядка, приходим к теореме Пифагора евклидовой геометрии: 3. Площадь треугольника Подробный вывод формулы площади треугольника на плоскости Лобачевского приводить не стоит ввиду его сложности (в нем используется формулы, доказываемые лишь в курсе дифференциальной геометрии). Рис. 25 Если АВС – треугольник в модели Пуанкре, меры углов А,В и С - α, β и γ соответственно, - мера угла B в треугольнике ABD, а и мера углов B и C в треугольнике BCD. Тогда вследствие этого можно сформулировать теорему Т е о р е м а . Для площади треугольника ABC с углами справедлива формула С л е д с т в и е 1 . Площадь треугольника плоскости Лобачевского С л е д с т в и е 2 . Если дан выпуклый многоугольник с ограничена. внутренними то углами 4. Длина окружности и площадь круга. Теорема. Площадь круга с радиусом r равна окружности, ограничивающей этот круг, равна а длина , где shx e x ex . 2 Длина неевклидовой окружности не пропорциональна радиусу, как в случае евклидовой геометрии, а растет быстрее. Также площадь неевклидова круга больше площади круга евклидовой плоскости, имеющего тот же радиус. 5. Примеры решения задач с помощью геометрии Лобачевского. Задача 1 Два спутника связи запустили на орбиту. Чтобы понять, пересекаются ли их зоны покрытия, необходимо доказать, что любые две прямые пересекаются. В сферической геометрии окружность максимального радиуса называется «прямой» линией. Дано: сфера(R;О), две прямые на сфере Доказать: любые прямые пересекаются Доказательство: Вторая «прямая» полностью лежит в одной из полусфер, потому что первая «прямая» делит сферу на две половины. Поэтому её радиус (r) < R сферы, т.е. это не «прямая», а окружность => вторая «прямая» не является прямой => любые две «прямые» пересекаются на сфере, что и требовалось доказать. Задача 2 Из-за загрязнения окружающей среды и появления озоновых дыр ученые прогнозировали на западном полушарии Земли потепление. Они описали его приблизительные размеры использованием параллель и меридиан. с Найти сумму углов предполагаемой зоны потепления, чтобы в дальнейшем высчитать ее точную площадь. Дано: сфера(R;О), угол α =45° ΔABC Найти: Сумму углов ΔABC, образованного двумя меридианами и параллелью. Решение: AC перпендикулярна DF; AB перпендикулярна DF (как меридианы) => угол β и угол α = 90° => ΔABC = угол α + угол β + угол 1 = (90°·2) + 45°= 225°. Ответ:225о Задача 3. За последние 5 лет одним из самых крупнейших извержений вулкана было извержение Мерапи на острове Ява. В результате извержения, продолжавшегося около двух недель, потоки лавы распространились на пять километров и преобладал юго-восточный ветер. Найти сумму углов территории, чтобы пострадавшей вулканологи смогли от извержения, высчитать ее площадь. Дано: сфера(R;О), сфера разбита на 8 частей (равных) тремя ортогональными прямыми; каждая часть является сферическим треугольником. Найти: Сумму углов ABC. Решение: Так как стороны треугольника ортогональны, углы треугольника по 90° => сумма углов ΔABC = 90°· 3 = 270°. Ответ: 270°. Задача 4. В модели геометрии Лобачевского в верхней полуплоскости найти радиус (в смысле геометрии Лобачевского) окружности, описанной около треугольника ABC, где A = (2; 6), B = (7; 1), C = (11; 3). Дано: ABC, A = (2; 6), B = (7; 1), C = (11; 3) Доказать: Верно ли, что около любого треугольника на плоскости Лобачевского можно описать окружность? Верно ли это для сферической геометрии? Решение. Нетрудно заметить, что любая окружность в модели геометрии Лобачевского в верхней полуплоскости является окружностью и в смысле евклидовой геометрии, но не наоборот. Например, если она пересекает Абсолют (т.е. ось абсцисс) под прямым углом, то она является прямой с точки зрения геометрии Лобачевского. Поэтому, для того, чтобы понять, что в геометрии Лобачевского не около любого треугольника можно описать окружность, достаточно взять какой-нибудь треугольник в верхней полуплоскости, описанная окружность которого выходит за ее пределы. Легко проверить, что евклидова окружность, описанная около треугольника ABC, задается уравнением: (x - 7)2 + (y - 6)2 = 25; Очевидно, что она будет также и описанной окружностью с точки зрения геометрии Лобачевского, поскольку она целиком содержится в верхней полуплоскости. Найдем теперь ее центр. Пусть M = (7; 11) и N = (7; 1) - две диаметрально противоположные точки этой окружности, найдем середину O отрезка MN. Естественно выбирать именно этот диаметр рассматриваемой окружности, поскольку в метрики Лобачевского совсем просто вычисляется расстояние между точками с одинаковой ординатой: d (( x0; y1); (x1; y2)) = Пусть O = (7; y), тогда для радиуса r нашей окружности имеют место равенства: откуда и, соответственно, Тесты В каждом задании выберите один из четырёх вариантов ответа. 1. Авторы неевклидовой геометрии A. Лобачевский и Я. Больяи B. Лобачевский, Больяи и Гаусс C. Ламберт и Гаусс D. Лобачевский и Ламберт 2. В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника A. меньше 180° B. больше180° C. больше 360° D. больше 180°, но меньше360° 3.В геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: A. если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны. B. две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу ними другого треугольника C. сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника D. три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника 4. Выберите свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского: A. две параллельные прямые на плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр B. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского транзитивно в данном направлении C. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского симметрично в данном направлении D. расстояние между параллельными прямыми бесконечно убывает в направлении параллельности и неограниченно растет в противоположном направлении 5. Выберите свойства свехпараллельных прямых на плоскости Лобачевского: A. две параллельные прямые на плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр B. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского транзитивно в данном направлении C. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского симметрично в данном направлении D. расстояние между параллельными прямыми бесконечно убывает в направлении параллельности и неограниченно растет в противоположном направлении 6. Если прямые 𝑎 и 𝑏 плоскости Лобачевского составляют с третьей прямой 𝑐 соответственно равные углы, то прямые 𝑎 и 𝑏 A. прямые 𝑎 и 𝑏 параллельны B. прямые 𝑎 и 𝑏 сверхпараллельны C. прямые 𝑎 и 𝑏 пересекаются D. прямые 𝑎 и 𝑏 равноудалены от 𝑐 7. На плоскости Лобачевского существует A. три вида пучков прямых: пучок параллельных прямых в заданном направлении; пучок пересекающихся прямых; пучок сверхпараллельных прямых; B. два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок пересекающихся прямых; C. два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок сверхпараллельных прямых; D. два вида пучков прямых: пучок пересекающихся и пучок сверхпараллельных прямых; 8. Плоскость Лобачевского реализуется в евклидовом пространстве A. только в модели Пуанкаре на полуплоскости; B. в модели Пуанкаре в круге, в модели Пуанкаре на полуплоскости; в модели Бельтрами –Клейна в круге; в модели на псевдосфере; в модели на одной полости двуполостного гиперболоида; C. в модели Бельтрами –Клейна в круге; в модели на псевдосфере; в модели на одной полости двуполостного гиперболоида; D. только в модели на псевдосфере; 9. В какой из геометрий верно утверждение: существует прямая линия, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых и параллельная к другой? A. только в геометрии Евклида B. только в абсолютной геометрии C. только в геометрии Лобачевского D. только в геометрии Римана 10. В какой из геометрий не существует понятия «подобие фигур»? A. только в геометрии Евклида 1 A B. только в абсолютной геометрии C. только в геометрии Лобачевского D. только в геометрии Римана Ключ к тесту 2 3 4 5 6 A A D A B 7 A 8 B 9 C 10 C 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Глоссарий Абсолют - кривая, представляющая собой множество бесконечно удалённых точек в проективной модели плоскости Лобачевского. Аксиома - положение, принимаемое без доказательств. Кривизна - собирательное название ряда характеристик, описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» от соответствующих «плоских» объектов. Орисфера - поверхность пространства Лобачевского, ортогональная к прямым, параллельным в некотором направлении. Орицикл - предельная линия ― линия на плоскости Лобачевского, ортогональная к некоторому семейству параллельных прямых. Перпендикуляр - линия, составляющая прямой угол с другой прямой линией, плоскостью. Постулат - исходное положение, допущение, принимаемое без доказательств. Пучок - семейство геометрических объектов, обладающих некоторым общим свойством. Эквидистанта - для данной плоской кривой L — это множество концов равных отрезков, отложенных в определённом направлении на нормалях к L
