Загрузил Baz1leus

pratusevich mia stolbov km golovin an algebra i nachala mate

Реклама
М. Я. Пратусевич
К. М. Столбов!
►
А. Н. Головин
АЛГЕБРА
.
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ПРОСВЕЩЕНИЕ
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О
П. Ф ЕРМ А
(1601
-
1665 )
Ж . ЛАГРАНЖ
( 1736 -
1813)
К. ГАУСС
( 1777 -
1855 )
А. Н. КОЛМОГОРОВ
Л. ЧЕБЫШЕВ
(1821
-
( 190 3 -
1894 )
А. А. МАРКОВ
(1856-
1922 )
1987 )
М. Я. Пратусевич
К. М. Столбов
А. Н. Головин
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
10
класс
Учебник для
общеобразовательных
учреждений
Профильный уровень
Допущено Министерством
образования и науки
Российской Федерации
Москва
«Просвещение»
2009
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я72
П70
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (№ 10106-5215/514 от 23.10.08)
и Российской академии образования (№ 01-5/7д-124 от 07.07.08)
Условные обозначения:
□ — начало обоснования, доказательства или вывода
Ш — окончание обоснования, доказательства или вывода
* — задача повышенной трудности
О — обратите внимание
— необязательный материал
— теоремы, определения, свойства, утверждения, правила
Группа А — задачи и упражнения на непосредственное применение
понятий и теорем, аналогичные разобранным в тексте
Группа В — задачи и упражнения, требующие привлечения знания
пройденного материала, но не требующие неизвестных идей для
решения
Группа С — задачи, требующие для своего решения новых, не
разобранных в тексте идей, методов, приемов
П70
Пратусевич М. Я.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс :
учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень /
М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М. : Про­
свещение, 2009. — 415 с. : ил. — 18ВЫ 978-5-09-016552-5.
Учебник предназначен для классов с профильным уровнем изучения
математики, в которых на изучение алгебры и начал математического ана­
лиза отведено не менее 4 часов в неделю.
Содержание учебника полностью охватывает все разделы и темы, пре­
дусмотренные Государственным стандартом профильного уровня и требова­
ниями к подготовке выпускника. Выделен материал, пригодный для
изучения в рамках элективных курсов.
Основное внимание уделяется изучению методов решения задач. Впер­
вые введены новые типы и классы задач по всем разделам курса.
УДК 3 7 3 .1 6 7 .1:[512+517]
ББК 22.14я72+ 22.161я 72
I8В N 978-5-09-016552-5
© Издательство «Просвещение», 2009
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2009
Все права защищены
Особенностью данной главы является отсутствие строгих опреде­
лений, а также большое количество обращений к здравому смыслу
и жизненному опыту. Это неудивительно, ибо речь идет о понятиях
и отношениях, лежащих в самых основах математики. Для строгого
описания и введения соответствующих понятий требуется уровень,
далеко выходящий за рамки школьного.
Высказывания и предикаты
1. Понятие высказывания
Высказыванием будем называть повествовательное предложение,
про которое имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Предыдущее предложение является описанием того, что такое вы ­
сказывание, а не определением.
Примеры высказываний: «2 + 2 = 8» — ложное высказы вание,
«Волга впадает в Каспийское море» — истинное высказывание, «Вся­
кое натуральное число, заканчиваю щ ееся четной цифрой, четно» —
истинное высказывание.
Истинность или ложность вы сказы вания называют его ист и н ­
ностным значением . Если вы сказы вание истинно, то ему приписыва­
ют истинностное значение «Т» (от английского слова 1гие — истина),
если ложно — «Г» (от английского ^а1ве — ложь).
А вот примеры предложений, не являю щ ихся вы сказы ваниями:
«Да здравствует труд!», «Да здравствует солнце, да скроется тьма!»,
«Иди сюда!», «Кто звонил?», «Ученик 10 класса».
Более сложными примерами предложений, не являю щ ихся вы ­
сказываниями, будут следующие: «Он пошел в кино», «Четырехуголь­
ник является параллелограммом», «Мы подрались».
Особенностью этих предложений, очень похожих на вы сказы ва­
ния, является неопределенность подлежащего: кто такой «он», кото­
рый пошел в кино? Какой четырехугольник является параллелограм­
мом? Кто эти «мы», которые подрались? В зависимости от ответов на
эти вопросы предложения могут оказаться истинными или лож ными.
Изначально же эти предложения не имеют истинностного значения.
4
[/"лава I. Введение
2. Понятие предиката
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ■---
■»■■■■
Предложение с переменными, которое при замене пере­
менных какими-либо их значениями становится высказыва­
нием, называется предикатом.
Приме р 1, «х2 + у 2 = 1» — предикат, так как при подстановке х = 1,
у — 0 предложение «х2 + у 2 = 1» становится истинным высказыванием,
а при подстановке х = - , у = —— лож ным высказыванием.
«Некто пошел в кино» — такж е предикат, в котором обозначе­
нием переменной служит слово «некто».
«х2 ^ 0» — предикат. Это предложение становится истинным вы ­
сказыванием при подстановке любого вещественного значения х.
«Для всех вещественных х выполнено х 2 ^ 0» не является преди­
катом. 81
Таким образом, наличие переменной в предложении необязатель­
но делает это предложение предикатом. Нужно всегда смотреть на то,
какие предложения получаются при подстановке конкретных значе­
ний переменной, а именно — будут ли они вы сказы ваниями.
В предикат можно подставлять вместо переменных не все значе­
ния, а лиш ь взятые из какого-либо множества. Множество всех таких
значений называется областью определения предиката.
Например, областью определения предиката «Некто пошел в
кино» может служ ить совокупность учеников какого-либо класса или
жителей какого-либо города. Но будет бессмысленным пытаться под­
ставлять в этот предикат вместо переменной, например, число 2.
Обычно область определения предиката задают заранее. Н апри­
мер, область определения предиката х 2 + у 2 = 1 — множество упорядо­
ченных пар чисел. Если рассматривать этот предикат на множестве
натуральны х чисел, то предикат не будет принимать значение «исти­
на», если на множестве целых чисел, то предикат будет истинным вы ­
сказы ванием при подстановке пар (0; 1), (0; -1 ), (1; 0), (-1; 0), на
множестве рациональны х чисел предикат станет истинным, например,
3
4
при подстановке х = - , у = - , на множестве вещественных чисел пре5
5
дикат будет истинным для пар чисел, являю щ ихся координатами то­
чек окружности радиуса 1 с центром в начале координат.
Таким образом, набор значений переменных, при которых пре­
дикат становится истинным, существенно зависит от области его опре­
деления.
П редикат, который при всех значениях переменных из области
определения принимает значение «истина», называют тождествен­
ным предикатом (или тождественно истинным).
5, 1§ 1■Высказывания и предикаты
О Важно подчеркнуть: тождественный предикат не является
истинным высказыванием (поскольку не является высказыванием)
точно так же, как ф ункция, равная константе 1, не является числом 1.
Это объекты разной природы, подчиняющ иеся разным законам!
Например: любое алгебраическое тождество является тождествен­
но истинным предикатом. Ф ормула а 2 —Ъ2 = (а - Ь)(а + Ь) — предикат
от двух переменных, истинный при всех вещественных значениях а и Ъ.
3. Операции над высказываниями и предикатами
(логические связки)
Из нескольких данных вы сказы ваний можно получать новые пу­
тем употребления различны х логических связок, т. е. операций над
высказываниями. Важно подчеркнуть, что в ходе всего излож ения нас
практически нигде не будет интересовать суть вы сказы ваний, а будет
существенным лиш ь, истинны вы сказы вания или лож ны. Поэтому мы
можем обозначать вы сказы вания строчными латинским и буквами
и рассматривать результат применения логических операций в зави­
симости только от истинностного значения исходных вы сказы ваний.
Таким образом, возникает своеобразное «исчисление вы сказы ­
ваний», являю щ ееся частным случаем так называемой булевой
алгебры.
Операция «не», или отрицание
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
--------------
-...............................——— — — — —
Отрицанием высказывания а называется новое высказыва­
ние «не а», имеющее истинностное значение, противопо­
ложное значению исходного высказывания.
Таким образом, если исходное вы сказы вание было истинным, то
его отрицание будет ложным. Если же исходное высказывание было
ложным, то его отрицание будет истинным.
Обозначение: —Iа — отрицание вы сказы вания а (читается «не а»).
Иногда отрицание вы сказы вания а обозначают а или ~а.
Логические операции удобно задавать таблицей и ст и нност и , ко­
торая ставит в соответствие истинностным значениям исходных вы ­
сказываний результат логической операции.
Справа приведена таблица истинности для операции
отрицания.
В рамках формальной логики нас интересует не смысл
высказываний, а лиш ь их истинностные значения и опе­
рации над ними. Поэтому в самой структуре вы сказы ва­
ния а мы не разбираемся, воспринимая его как единое целое.
6
_Глава I. Введение
^/Хсторический комментарий
Джордж Буль (1815— 1864) — английский математик, основоположник
математической логики. Самостоятельно изучил высшую математику, рабо­
тая учителем в пригороде Лондона. Работу Буля, представленную для при­
своения звания профессора колледжа, едва не отклонили от публикации,
а через 2 года эта работа была удостоена Королевской золотой медали.
Основной труд Буля — «Исследование законов мышления» — издан в 1854 г.
Интересно, что одна из пяти дочерей Буля Этель Лилиан (Войнич) —
известная писательница, автор романа «Овод».
Важно уметь распознавать вы сказы вания в предлож ениях обы­
денного язы ка.
П р и м е р 2. Рассмотрим вы сказы вание «Я ходил сегодня в кино».
Можно построить как отрицания данного следующие вы сказы ва­
ния: а — «Не я ходил сегодня в кино», Ь — «Я не ходил сегодня
в кино», с — «Я ходил в кино не сегодня», й — «Я ходил сегодня
не в кино». Ш
Все эти вы сказы вания вполне допустимы с точки зрения русско­
го язы ка. Однако логическое отрицание всегда ставится перед ска­
зуемым.
Таким образом, логическим отрицанием исходного вы сказы ва­
ния будет именно вы сказы вание Ь.
Этот пример показывает, насколько внимательно нужно отно­
ситься к попыткам математической формализации обыденного
язы ка.
Обычно из контекста или интонации ясно, что именно утверж да­
ется во фразе. Н апример, если в исходной фразе с «нажимом» про­
изнести слово «сегодня», то ясно, что утверждается, что поход
в кино был сегодня, а не вчера и не позавчера. При этом сам факт
похода в кино под сомнение не ставится. В этом случае логичным
будет за отрицание данного высказывания принять высказывание с.
Если вы сказы вание имеет вид «а есть Ь», то его отрицание имеет
вид «а не есть Ь».-------------------------------------------------------------- ---------Логическое «и», или конъюнкция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
--------- ■------------ --------- ------- ---------- ------------------------------------------ -
Конъюнкцией двух высказываний называется высказыва­
ние, истинное, если истинны оба исходных высказывания,
и ложное в противном случае.
Обозначение конъю нкции: а л Ь или а & Ь (читается: «а и Ь»).
':ШйУ §1. Высказывания и предикаты
Справа приведена таблица истинности
а
ь
алЬ
для конъю нкции двух вы сказы ваний.
Следует отметить, что в обыденной речи
Р
Р
р
союз «и» употребляется часто в смысле кон ъ­
юнкции. Например, если было обещано пойти
Р
т
Р
в кино и съесть мороженое, а мороженого не
р
Р
Т
было, то мы сочтем себя обманутыми.
Пример 3. Высказывание а л (2 • 2 ^ 3) истин­
т
т
т
но. Определим истинность вы сказы вания а.
□ Имеет место конъю нкция двух вы сказы ­
ваний. Конъю нкция истинна в том и только в том случае, когда истин­
ны оба вы сказы вания. Значит, вы сказы вание а истинно.
Если бы второе высказывание было лож ным, условие задачи стало
бы некорректным. Ш
Вместо записи вида (х > 1) л (х < 2) часто применяется запись
\ х > 1,
ВИда {* < 2.
Логическое «или», или дизъю нкция
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
- ----------------------------------------
Дизъюнкцией двух высказываний называется высказывание,
истинное, если истинно хотя бы одно исходное высказыва­
ние, и ложное, если оба исходных высказывания ложны.
Обозначение дизъю нкции: а V Ь (читается «а или Ь»).
Таблица истинности для дизъю нкции
двух высказываний а и Ь приведена справа.
а
ь
В обыденной речи союз «или», кроме
Р
р
смысла дизъю нкции (например, во фразе:
«Мы встретились в семь или в восемь часов»),
Р
т
может иметь смысл так называемой строгой
дизъю нкции, которая, в отличие от обычной,
Т
р
ложна, если оба вы сказы вания истинны (на­
пример: «Выбирай — или кот, или я»).
т
Т
Строгая дизъю нкция вы раж ается такж е
союзом «либо».
а VЬ
Р
Т
т
т
П р и м е р 4. Высказывание а V (2 • 2 ^ 3) истинно. Определим истин­
ность вы сказы вания а.
□ Имеет место дизъю нкция вы сказы ваний, одно из которых истин­
но. Тогда результат дизъю нкции — истинное высказывание независи­
мо от истинности вы сказы вания а. Значит, истинностное значение вы ­
сказывания а может быть любым. ®
8
[_Глава I. Введение
П р и м е р 5, П усть им ею тся следую щ ие в ы ск азы ван и я: а — «К омпью ­
терн ая игра „ К р я к а “ дорогая», Ь — «Я куплю ком пью терную игру
,,К р я к а“ », с — «Я смогу заработать деньги летом ». Зап иш ем в сим во­
лической форме таки е вы ск азы ван и я:
а) Я не смогу заработать денег летом и не куплю ком пью терную
игру «К ряка».
б) Я не смогу заработать денег летом и ком пью терная игра «К р я­
ка» дорогая, или я куплю ком пью терную игру «К ряка».
в) К ом пью терная игра «К ряка» весьм а дорогая, и я ее не куплю ,
или ком пью терная игра «К ряка» недорогая, и я ее куплю .
□
а) В данном вы ск азы ван и и мы видим отрицание в ы сказы ван и я с,
отриц ани е вы ск азы ван и я Ъ (не долж но см ущ ать отсутствие после сою­
за «и» м естоим ения «я», оно у ж е было в этой ф разе), соединенны е
союзом «и». П оэтому в сим волическом виде вы сказы ван и е зап и сы ва­
ется так: (—\с) л ( - ь ) .
б) А налогично преды дущ ем у: ((—\с) л а) V Ъ. Здесь следует обра­
тить вним ание на зн ак п р еп и н ан и я, п о казы ваю щ и й , что союз «или»
соединяет все преды дущ ее вы сказы ван и е, к а к единое целое, с после­
дую щ им .
в) П риведем ответ: (а л Ы О ) ( ( - 1а) л Ъ). Р асстан овка скобок,
т. е. порядок соверш ения операци й, д и кту ется смыслом ф разы и р ас­
становкой знаков п реп и н ан и я. ®
Д и зъ ю н к ц и я часто зап и сы вается в ином виде: вместо записи
х < 2,
(х < 2) V (х > 3) м ож но зап исать
[х > 3.
Импликация
П усть некто сообщ ил одному учени ку: «Если ты зак о н чи ш ь ч ет­
верть без троек, я куплю тебе часы ». В к ак о м случае некто солгал?
Если четверть закон чен а без троек и часы к у п л ен ы , этот некто сказал
правду. Если четверть зако н чен а с тр о й кам и , а часы куп лен ы все р ав ­
но, м ож но считать, что некто очень щ едр, но, наверное, н ельзя с к а ­
зать, что он солгал. Если четверть зако н чен а с тройкам и и часы не
к у п л ен ы , то все справедливо, и о п ять-таки некто сказал правду. А вот
если четверть закон чен а без троек, а часы не куплен ы , у уч ен и к а есть
повод обиж аться и говорить, что он обманут.
Т аки м образом, вы сказы ван и е вида «если а , то Ь» м ож но счесть
л о ж н ы м , только если а — истинное, а Ъ — лож ное вы сказы вани е.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ------------------------------------------------------------------------------------------------
Импликацией двух высказываний а и Ь называется выска­
зывание, ложное в случае, когда а истинно, а Ь ложно,
и истинное в остальных случаях.
О бозначение и м п л и к ац и и : а —►Ь (читается: «Если а , то Ь»).
9__|_§1. Высказывания и предикаты
Справа приведена таблица истинности
а -* Ь
а
ь
для импликации вы сказы ваний а и Ъ.
В отличие от предыдущих операций, зн а­
Р
р
Т
чение импликации зависит от порядка вы ска­
зываний. Истинностные значения а —►Ь и Ъ—>а
т
т
Р
при истинном Ъ и ложном а различны (первая
р
р
Т
импликация истинна, а вторая — ложна).
В импликации а —►Ъ вы сказывание а н а­
т
Т
т
зывается посы лкой, а вы сказы вание Ъ — за­
ключением импликации.
Если посылка лож на, то им пликация истинна вне зависимости от
истинностного значения заклю чения. Это вы раж ается поговоркой «Из
лжи следует все что угодно».
Имеется шутливое стихотворение на ту ж е тему: «Если мы подни­
мем дом / И положим на носилки, / Мы его перенесем / В силу л ож ­
ности посылки».
В обыденном язы ке можно усмотреть причинно-следственный х а­
рактер истинности импликации (а — причина, Ь — следствие). Одна­
ко в формальной логике вы сказы вания а и Ь могут быть никак не свя­
заны между собой. Н апример «Если 2 + 2 = 4, то Волга впадает в
Каспийское море» — истинное вы сказы вание, несмотря на то, что по­
сылка и заклю чение н икак не связаны между собой.
Пример 6. (К лятва как им пликация.) Рассмотрим достаточно стандарт­
ный риторический прием. Если мы хотим убедить собеседника в том,
что говорим правду, можем сказать фразу вида: «Да провалиться мне на
этом месте, если я вру!», предлагая счесть это восклицание истинным
высказыванием.
Это высказывание с сохранением смыслового значения можно пе­
реписать так: «Если я вру, то провалюсь на этом месте». И так, имеет­
ся импликация: я вру —►я провалюсь на этом месте. Собеседник ви­
дит, что никто никуда не провалился, т. е. заклю чение импликации
ложно. Если вся им пликация истинна, то посылка лож на (см. таблицу
истинности для импликации). Значит, я говорю правду.
Таков подсознательный механизм действия этого риторического
приема. И
Ясно, что перечисленные логические операции могут быть приме­
нены не только к вы сказы ваниям, но и к предикатам. Например, если
дан предикат /?(х), зависящ ий от переменной х, его отрицанием слу­
жит предикат ~пр ( х ) 9 ставящ ий в соответствие каж дому значению х ис­
тинностное значение отрицания вы сказы вания р (х ).
Аналогично, например, если имеются два предиката, заданные
на одной и той же области определения, их конъю нкцией будет
служить предикат, ставящ ий в соответствие каж дому значению пере­
менной (либо набору значений переменных) истинностное значение
конъюнкции вы сказы ваний, получающ ихся при подстановке этих пе­
ременных в исходные предикаты.
10
Глава I. Введение
Обратим внимание на то, что вопрос выяснения того, истинны
или ложны исходные вы сказы вания, леж ит за пределами изуче­
ния логики. Л огика показывает, как из одних вы сказы ваний со­
ставлять другие и каким будет их истинностное значение, если
известно истинностное значение исходных высказываний.
Однако, представление об основных операциях над вы сказы ва­
ниями помогает лучше уяснить, о чем идет речь, разобраться,
истинность каки х вы сказы ваний уже известна, а каки х — требует
------------доказательства.
П р и м е р 7. Выясним,
при
каки х
вещественных
х
предикат
(х 2 - 5х + 6 = 0) —►(х 2 - 4 = 0) становится ложным высказыванием.
□ Имеем импликацию двух предикатов. И мпликация лож на тогда
и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно. Посылка
(т. е. предикат х 2 - 5х + 6 = 0) истинна при х = 2 и л и х = 3. Заклю ­
чение (т. е. предикат х 2 - 4 = 0) истинно при х = 2 и л и х = -2 . Таким
образом, им пликация будет ложной лиш ь при х = 3. 11
П р и м е р 8. Представим сложное высказывание «Если летом мы по­
едем в П ариж и у нас будет достаточно денег, то мы посетим Версаль
или Лувр» в виде результата логических операций над простыми вы ­
сказы ваниям и, обозначив каждое простое высказывание буквой.
□
Прежде всего вычленим импликацию , на которую указы вает
сложный союз «если..., то...». Имеем два вы сказы вания: «Мы по­
едем в П ариж , и у нас будет достаточно денег» — посылка им плика­
ции, и «Мы посетим Версаль или Лувр» — заключение импликации.
В каждом из полученных высказываний имеющийся союз указы вает
на возможность дальнейшего расщ епления на вы сказы вания. Имеем:
а: «Мы поедем в П ариж »,
Ъ: «У нас будет достаточно денег»,
с: «Мы посетим Версаль»,
й: «Мы посетим Лувр».
Исходное вы сказы вание становится таким: (а л Ъ) —►(с V й). 11
При анализе сложных вы сказываний обыденного язы к а с точки
зрения их состава следует иметь в виду, что союзы, соединяющие про­
стые вы сказы вания, могут быть разнообразными. Так, вместо союза
«и» может употребляться «а также» либо просто «а» (например: «Петя
пошел в кино, а Вася — в театр»), а вместо «если..., то...» — слово
«следовательно» и т. д. Более того, соответствующие союзы могут во­
обще отсутствовать!
П р и м е р 9. Известно, что на вопрос «Кто из трех учеников отличник?»
получен верный ответ: «Если Андрей — отличник, то и Вася — отлич­
ник, но неверно, что если Борис — отличник, то и Вася — отличник».
Кто отличник?
11 | § 1. Высказывания и предикаты
□
Запишем простые вы сказы вания:
а: «Андрей — отличник»,
Ь: «Боря — отличник»,
с: «Вася — отличник».
Тогда вы сказы вание
(ответ
на
вопрос)
вы глядит
так:
(а -> с) л —I (Ъ —> с) (обратите внимание, что здесь конъю нкция обозна­
чена словом «но», а не «и»). Так как данное истинное вы сказы вание
представляет собой конъю нкцию двух вы сказы ваний, то оба вы сказы ­
вания а —►с и —|(Ь —> с) должны быть истинными. Тогда вы сказы ва­
ние Ь —> с должно быть ложно. И м пликация лож на, если Ь истинно,
а с ложно. Но если с ложно и а —> с истинно, значит, а ложно. Таким
образом, отличником является только Борис. И
I
4. Свойства операций над высказываниями
Объединим свойства операций над вы ск азы в ан и ям и в следую щ ую
теорему:
Т Е О Р Е М А ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1
■Щ
Пусть а, Ь и с — произвольные высказывания. Тогда:
1. (а л Ь) л с = а л (Ь л с) (сочетательный закон конъюнкции).
2. (а V Ь) V с = а V (Ь V с) (сочетательный закон дизъюнкции).
3. а л (Ь V с) = (а л Ь) V (а л с) (распределительный закон конъ­
юнкции относительно дизъюнкции).
4. а V (Ь л с) = (а V Ь) л (а V с) (распределительный закон дизъ­
юнкции относительно конъюнкции).
5. а л Ь = Ь л а (переместительный закон конъюнкции).
6. а V Ь = Ь V а (переместительный закон дизъюнкции).
7. а V (-.а) = Т (закон исключенного третьего).
8. —I(—\д) = а.
9. —I(а л Ь) = (—ха) V (—\Ь).
10. -1(ауЬ) = (-1а)д(-1Ь).
11. а -> Ь = (-па) V Ь.
12. —I(а —■>Ь) —а л (—хЬ).
13. а -> Ь = (-.Ь) - * (-.а).
Знак равенства в формулировках свойств означает, что при одних
и тех же истинностных значениях высказы ваний а, б и с истинност­
ные значения правой и левой частей равенства будут одинаковыми.
Доказательство всех приведенных свойств может быть проведено
построением таблиц истинности для левой и правой частей.
□ Докажем, например, свойство 3. Построим таблицу истинности
высказывания в правой и левой частях равенства согласно определе­
ниям конъю нкции и дизъю нкции. Видно, что столбцы таблицы, соот­
ветствующие левой и правой частям равенства, совпадают.
12 I Глава I. Введение
а
ь
с
а л (Ь V с)
(а л Ь) V (а л с)
Р
р
р
Р
Р
Р
т
р
Р
Р
Т
р
р
Р
Р
т
т
р
т
Т
р
р
т
р
Р
р
т
т
р
Р
т
р
т
т
т
т
т
т
т
т
Д окаж ем, такж е свойство 12, располагая свойством 11. Д ля этого
достаточно применить к обеим частям равенства 11 операцию отрица­
ния, затем использовать равенства свойств 10 и 8. 81
Все свойства логических операций над вы сказы ваниями можно
перенести на предикаты. Знак равенства (а точнее тождественного
равенства) в этом случае означает, что при подстановке одинаковых
значений переменных истинностные значения получающ ихся вы ска­
зываний в левой и правой частях равенства будут одинаковыми.
02-
М нож ества и операции над ними
1. Понятие множества
М ножества окружаю т нас повсюду. Да и мы сами находимся внут­
ри множеств. Например, ученик класса может являться элементом
следующих множеств: множество учеников своего класса, множество
учеников своей ш колы, множество ж ителей своего населенного пунк­
та, множество граждан России, множество людей, множество млеко­
питаю щ их и т. д.
Понятие множества, будучи одним из центральных понятий мате­
м атики, не определяется (точно так же, как в геометрии не определя­
ется, например, понятие точки). Таким же образом не определяется,
что означает «элемент принадлежит множеству». Можно воображать
себе множество к ак «сумку с элементами». Те элементы, которые
«находятся в сумке», принадлеж ат множеству, остальные не принад­
леж ат.
13/.] §2. Множества и операции над ними
Таким образом, задать множество означает определить, какие
элементы принадлеж ат множеству. Тем самым множество — это сово­
купность элементов, рассматриваемая как единое целое.
Множества принято обозначать заглавными латинским и буквами:
А, Б , . . . . Тот ф акт, что элемент х принадлеж ит множеству А , записы ­
вается так: х е А (читается: «х принадлежит А»). Соответственно, если
элемент у не принадлежит множеству А , запись будет такой: у & А.
В обыденной ж изни мы достаточно часто определяем, принадле­
жит элемент данному множеству или нет. Н апример, является юноша
учеником нашего класса или нет, является ли батарейка подходящей
для часов, принадлежит кн и ж ка к множеству интересных или нет
(при этом представление о множестве интересных книж ек у каждого
свое, поэтому данная кн и ж ка может входить в множество кн иж ек, ин­
тересных одному человеку, и не входить в множество кн иж ек, инте­
ресных другому. Несовпадением таких множеств и вызваны дискус­
сии об «интересности» данной книги. Хотя давно уже сказано: «О
вкусах не спорят»).
Интересно отметить, что зачастую мы не знаем, принадлеж ит ли
элемент данному множеству, и это незнание нас беспокоит. Например,
является ли купленный нами подарок элементом множества вещей,
нравящ ихся человеку, которому мы его дарим?
Специальным случаем множества является пустое множество,
т. е. множество, которому не принадлежит ни один элемент. Оно обо­
значается 0 .
Пустое множество одно. Нет отдельно пустого множества нату­
ральных чисел, пустого множества людей и т. д. Множество без
элементов одно и то ж е, независимо от того, какие элементы рас­
________
сматриваются.
Как и все достаточно общие понятия математики, понятие множ е­
ства, как таковое, начало изучаться существенно позже, чем стало
использоваться.
2. Способы задания множеств
Существуют два основных способа задания множеств (напомним,
что задать множество означает указать способ для определения, при­
надлежит произвольный элемент данному множеству или нет):
П еречисление списка элементов данного множ ества
Таким способом задается множество учеников вашего класса (спи­
ском в журнале).
Решив уравнение х 2 - 1 = 0, вы задаете множество его решений
перечислением — это множество, состоящее из чисел 1 и -1 .
14 I Глава Г Введение
Задавая множества перечислением, элементы множества записы ­
вают в фигурных скобках. Например: {-1; 1} — множество реш е­
ний уравнения х 2 - 1 = 0, или {И в а н о в , П ет ров, Сидоров} — некото­
рое множество людей, состоящее из трех человек.
О Важно подчеркнуть, что каждый элемент множества счит а­
ется один р а з , независимо от того, сколько р аз он упо м янут в спи­
ске элементов. Например, запись {-1; 1; 1} обозначает то ж е множест­
во, что и {-1; 1}, т. е. множество из двух элементов.
Задание множества характеристическим свойством
Ясно, что задавать множество перечислением его элементов м ож ­
но, если этих элементов не слиш ком много. А задать перечислением,
например, все вещественные числа невозможно. Поэтому в основном
множества задают указанием характеристического свойст ва,
т. е. такого предложения с переменной, которое становится истинным
высказыванием при «подстановке» вместо переменной элемента мно­
жества, и становится ложным высказыванием при подстановке значе­
ния, не являю щ егося элементом множества.
Таким образом, характеристическое свойство множества — это
предикат, который обращается в истинное высказывание при подста­
новке вместо переменной любого элемента данного множества и обра­
щ ается в ложное высказывание при подстановке любого элемента, не
принадлежащ его данному множеству.
Множество {-1; 1} может быть задано характеристическим
п или (х
/ - 11)2(х
\?/ +. 1) = п
~ Щх
+ 2—
)(х+
~,
-----Л——
------1) = 0
свойством х 2 —11 = 0,
0 , или (х
х 2- 4
а такж е многими другими характеристическими свойствами. Каждое
из этих равенств становится истинным при «подстановке» вместо х
элементов множества и лож ным в противном случае. 8!
П р и м е р 10.
П р и м е р 11. Множество параллелограммов на плоскости задается ха­
рактеристическим свойством «объект х является четырехугольником,
у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам». Таким
образом, чтобы выяснить, является ли данный объект элементом мно­
ж ества параллелограммов, достаточно проверить, является ли он че­
тырехугольником, диагонали которого делятся точкой пересечения
пополам, й
Необходимо еще раз подчеркнуть, что характеристическое свойст­
во данного множества — это свойство, присущее элементам данного
множества, и только им. Оно позволяет отделить элементы, принадле­
ж ащ ие данному множеству, от элементов, не принадлеж ащ их ему. Та­
ким образом, при подстановке в характеристическое свойство произ­
вольного элемента любой природы должен получаться ответ «да», если
элемент принадлеж ит множеству, и ответ «нет» в противном случае.
15 ! § 2. Множества и операции над ними
Обычно предполагаемые «кандидаты в элементы множества» вы ­
бираются не из любых мыслимых объектов, а из некоторого множест­
ва, называемого универсумом.
В примере 10 универсумом являлось множество вещественных чи ­
сел (вряд ли кто-нибудь захотел бы проверить, удовлетворяет ли дан­
ному характеристическому свойству, например, дж инн из сказок «Ты­
сяча и одна ночь»). В примере 11 универсумом являлось множество
геометрических фигур на плоскости (хотя могло быть и множество
всех четырехугольников на плоскости).
Особо отметим, что одно и то же множество может рассматривать­
ся в различных универсумах. При этом свойство, бывшее характери­
стическим для данного множества при рассмотрении его в одном уни­
версуме, может перестать быть характеристическим при рассмотрении
в другом универсуме.
Пример
12. Пусть универсумом служ ит множество натуральных
чисел. Тогда свойство 16 < х 2 < 25 будет характеристическим для мно­
жества А = {4; 5}. В то же время при рассмотрении в качестве универ­
сума множества целых чисел указанное свойство будет характеристи­
ческим для множества В = {-5; -4 ; 4; 5}. 11
При необходимости универсум, в котором рассматривается данное
множество, определяют заранее.
Например, записав А = {х е N 1 х - 5 > 0}, мы показываем, что
универсумом в данном случае является множество натуральных ч и ­
сел, а для множества В = {х е К: х - 5 > 0} универсумом является мно­
жество вещественных чисел.
Пусть М ( х ) — некоторое характеристическое свойство. Задавае­
мое им множество принято записывать так: {х: М (х)} (читается:
«Множество х , таких, что М (х)» ). Например: {х: х 2 - 1 = 0} — это
множество, состоящее из чисел 1 и -1 , а {х: (0 < х < 20) л (х ■: 5)} это множество чисел {5; 10; 15}.
П р и м е р 13. (Парадокс Рассела.) Пусть имеется полк солдат и в со­
ставе этого полка парикмахер. Командир полка издал приказ «Па­
рикмахер бреет тех и только тех воинов полка, кто не бреет себя
сам». Может ли этот приказ быть выполнен?
□ Если этот приказ можно выполнить, то полк разобьется на 2 мно­
жества: тех воинов, кого бреет парикмахер, и тех, кого он не бреет.
Попробуем выяснить, в какое множество входит парикмахер.
Если он входит в первое множество, то, по определению этого мно­
жества, он бреет себя сам и, тем самым, наруш ает приказ. Если же
парикмахер входит во второе множество, то, по определению этого
множества, он себя не бреет и, опять-таки, наруш ает приказ.
Таким образом, приказ командира полка невозможно выполнить. Ш
Следовательно, даже самые простые вы раж ения с переменными
могут не быть характеристическими свойствами.
_______
16 ! Глава I. Введение
сторическии комментарии
Бертран Рассел (1872—1970) — английский философ, математик, ло­
гик, социолог и общественный деятель, внук премьер-министра Великобри­
тании времен правления королевы Виктории, граф, лауреат Нобелевской
премии по литературе (1950), один из основателей формальной логики,
автор всемирно известных трудов «Принцип математики» (1901), «Основания
математики» (1910—1913). Несколько раз оказывался в тюрьме за свои па­
цифистские убеждения. Среди нематематических трудов Рассела известны
«История западной философии» (1945), «Философия и политика» (1947),
«Власть и личность» (1949), «Влияние науки на общество» (1952), «Автобио­
графия» (1967—1969).
Д ля любого множества А существует хотя бы одно характеристи­
ческое свойство. Это свойство х е А . Таким образом, всегда можно
записать А = {х: х е А ). Эта запись верна, но абсолютно не инфор­
мативна.
Примером задания множества его характеристическим свойством
является такж е следующая запись: А — ^ —: п е Т У к Здесь задано мно­
жество чисел, обратных натуральным. А так: В = {х2: х е [0; 2]} — за­
дано множество квадратов чисел отрезка [0; 2], т. е. отрезок [0; 4].
3. Подмножества и надмножества. Равенство множеств
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Множество А содержится в множестве В, если все элемен­
ты множества А принадлежат множеству В.
Обозначение: А с Б (читается: «А содержится в В »).
Знак с , а такж е саму запись А с Б называют вклю чением и гово­
рят, например, что необходимо доказать включение А с Б .
Если А с Б , то говорят, что А является подмножеством Б ,
а Б — надмножеством А.
Приме р 14. Пусть А = {х: х 2 - 1 = 0}, Б = {у: у г - у = 0}. Тогда А с Б . ®
О Здесь важно отметить, что разные обозначения переменных
в характеристических свойствах, задающ их данные множества, не
означают различного состава этих множеств. Элементами обоих мно­
жеств являю тся числа, удовлетворяющие соответствующим условиям,
при этом не имеет значения, одной и той же буквой обозначена пере­
менная в этих условиях или разными.
1|^ | §2. Множества и операции над ними
Отметим, что пустое множество лежит в любом множестве (его
несуществующим элементам можно приписать любое свойство, в том
числе лежать в данном множестве).
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ------------------------------ ----------------------------------------------------------------------
Два множества называются равными, если каждый элемент
одного множества является элементом другого множества
и наоборот.
Обозначение: А = Б .
Заметим, что А —В тогда и только тогда, когда А с: В и В с: А .
П р и м е р 15. По определению треугольник — это некоторое множество
точек плоскости (в одних учебниках — зам кнутая трехзвенная лома­
ная вместе с ограниченной ею частью плоскости, в других — сама эта
замкнутая трехзвенная ломаная). Под равенством двух треугольников
мы, формально говоря, должны подразумевать равенство двух мно­
жеств точек плоскости, т. е. тот ф акт, что эти множества состоят
из одних и тех же точек. Однако такое понятие равенства треугольни­
ков не имеет больших практических применений. Существенно более
важным является свойство двух треугольников совпадать при нало­
жении. Именно это свойство и называется равенством треугольни­
ков, хотя не совпадает с равенством треугольников как множеств. По­
этому в некоторых книгах свойство треугольников совпадать при
наложении носит другое название, нежели равенство (например, кон­
груэнтность). й
Чтобы доказать, что А с Б , нужно взять любой элемент множест­
ва А и доказать, что он принадлежит множеству Б . Поэтому такое
доказательство обычно начинается словами: «Возьмем произвольный
элемент х е А», а заканчивается словами: «Таким образом, х е Б » .
Пример
16. Пусть А = {х: х + 1 > 0}, В = {х: х > 0}. Д окаж ем, что
В с: А . Возьмем любой элемент х е Б . По определению множества В
имеем х > 0. Тогда х + 1 > 0, откуда х е А. й
Конечно ж е, доказательство данного вклю чения очевидно, однако
показывает схему проведения такого доказательства в общем случае.
В следующем пункте мы встретим такие доказательства.
З а м е ч а н и е . Не следует путать знаки е и с . Первый из них ста­
вится между элементом и множеством, а второй — между двумя мно­
жествами. Запись 1 е А правильная, равно как и запись {1} А
(смысл обеих записей один и тот же).
Зачастую, особенно в геометрии, можно ошибиться, записав а е а
(здесь а — прям ая, а — плоскость). Ведь и плоскость, и прям ая —
множества точек, поэтому прям ая не является элементом плоскости,
а является ее подмножеством. П равильная запись: а с: а .
18 1 Глава I. Введение
Вообще говоря, множества могут быть элементами других мно­
жеств. Однако с рассмотрением множеств, элементами которых
могут служить другие множества, нужно быть крайне осторож­
ными.
Можно показать, что не существует множества, состоящего из
множеств, не содержащ их себя в качестве элемента. Если такое
множество содержит себя в качестве элемента, то по определению
его элементы — это множества, не содержащие себя в качестве эле­
мента. Если же оно не содержит себя в качестве элемента, то
должно входить в себя как элемент опять-таки по определению (не
________
правда ли, напоминает парадокс Рассела?!).
4. Операции над множествами
Рассмотрим два множества А и В. Введем операции над множест­
вами, тесно связанные с изученными логическими операциями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
...... — ------------------
■------------ ■--------------------- -
Объединение множеств — это множество, состоящее из
элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных
множеств.
На рисунке 1.1 два овала
изобра­
жаю т множества А и В, а закраш ено
объединение множеств А и В.
Обозначение объединения множеств
А и В: А II В.
Объединение множеств удобно зар
дать характеристическим свойством:
Рис. 1.1
А II В = {х: (х е А) V (х е В)}.
Таким образом, операция объеди­
нения множеств соответствует операции дизъю нкции их характери­
стических свойств.
Пример
17.
Пусть
X I ) {1; 2; 3}= {1; 2; 3; 4; 5},
(1)
X II {2; 4; 5} = {2; 3; 4; 5}.
(2)
Найдем множество X .
□ Рассмотрим равенство (1). Так как объединение множеств — это
множество, состоящее из элементов, принадлеж ащ их хотя бы одному
из данных множеств, а числа 4 и 5 не принадлеж ат множеству
{1; 2; 3}, то 4 е X и 5 е X .
Кроме этих элементов, в множестве X могут содержаться какие-то
из чисел 1, 2 или 3. Н икакие другие элементы в множестве X сод ер-
19 | § 2. Множества и операции над ними
жаться не могут, так как они должны содержаться в объединении
множества X с произвольным множеством.
Обратимся теперь к равенству (2). Из него рассуждением, анало­
гичным предыдущему, следует, что 3 е X , а такж е элементом X может
быть число 2.
Таким образом, может быть два различны х множества X , удовле­
творяющие данным равенствам: X = {3; 4; 5} и X = {2; 3; 4; 5}. Про­
веркой убеждаемся, что оба этих множества удовлетворяют данным
равенствам, й
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
I
--------------------------------------------------- ------------------ -------------- ---- --------
IП ересечением множеств называется множество элементов,
принадлежащих каждому из множеств.
Обозначение
пересечения
мно­
жеств А и В: А П В.
На рисунке 1.2 два овала изобра­
жают множества А и Б , а закраш енная
часть — их пересечение.
Пересечение множеств задается конъА
юнкцией характеристических свойств:
А П В = { х : (х е А ) л (х е Б)}.
Рис. 1.2
П р и м е р 18. Докажем, что А П В с А. Действительно, возьмем любой эле­
мент х е А П В . Тогда (х е А) л (х е В). Конъюнкция истинна, если истинны
оба высказывания. В частности, х е А . Итак, любой элемент А П В явля­
ется элементом множества А . Это и означает, что А П В с А. й
П р и м е р 19. Пусть А = {х е К: /(х ) = 0} и В = {х е К: § (х ) = 0} (т. е.
А и В — множества корней соответствующих уравнений), где /(х ) и
§(х) при вещественных х принимают вещественные значения. Тогда
множество А П В является множеством корней уравнения / 2(х) +
+ #2(х) = 0, т. е. А П В = {х е К: / 2(х) + § 2(х) = 0}. й
Пример 20. Найдем множество X , если
Х П { 1 ; 2; 3; 4} = {1; 2}
X II {2; 3; 4; 5} = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
(1)
(2)
□ Из равенства (1) следует, что 1 е X и 2 е X . Кроме этих элементов,
в множестве X могут содержаться еще элементы, отличные от чисел
3 и 4 (иначе числа 3 и 4 содержались бы в пересечении). Из равенст­
ва (2) следует, что элементами, содержащ имися в множестве X , могут
быть, кроме чисел 1 и 2, еще числа 5 и 6. При этом обязательно 6 е X ,
иначе числу 6 неоткуда взяться в объединении. Таким образом, для
множества X имеется два возможных варианта: X = {1; 2; 5; 6} и
X = {1; 2; 6}. При их подстановке в условие вместо X получаем верные
равенства, поэтому оба множества удовлетворяют условию, й
20 ! Глава I. Введение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Разностью множеств А и В называется множество, состоя­
щее из всех элементов множества А, не принадлежащих
множеству В.
Обозначение разности множеств А
и В: А \ В .
На рисунке 1.3 два овала изобра­
жают множества А и Б , а закраш енная
часть — разность А \ В .
Х арактеристическое свойство раз­
ности множеств выраж ается через х а­
рактеристические свойства исходных
множеств: А \ В = {х : (х е А ) л (х € Б)}.
Рис. 1.3
Особо выделяют случай разности
множеств, когда «уменьшаемое» яв л я ­
ется универсумом. Тогда разность универсума и данного множества А
называют дополнением данного множества и обозначают А .
Таким образом, дополнение множества — это множество всех не
принадлеж ащ их ему элементов из некоторого изначально выбранного
множества (универсума). На язы ке характеристических свойств до­
полнению множества соответствует отрицание его характеристическо­
го свойства.
5. Свойства операций над множествами
Свойства операций над множествами повторяют свойства логиче­
ских операций. Основные из них объединим в теорему.
—-------- -- --------- ---------— - ■|
ТЕОРЕМА .............
Н К
Пусть А, Б и С — произвольные множества. Тогда:
1. А П В = В П А (переместительный закон (коммутативность)
пересечения).
2. А 0 В = В и А (переместительный закон (коммутативность)
объединения).
3. (А П В) П С = А П (Б П С) (сочетательный закон (ассоциатив- \
ность) пересечения).
4. (А II Б) II С = А II (Б I) С) (сочетательный закон (ассоциатив­
ность) объединения).
5. А П (Б I) С) = (А П Б) и (А П С) (распределительный закон ( д и - <
стрибутивность) пересечения относительно объединения).
6. АО (В П С) = (АО В) П (АО С) (распределительный закон (ди­
стрибутивность) объединения относительно пересечения).
7. А\ ( БПС) = (А\ Б) ЩА\ С) .
8. А \ ( Б У С ) = (А\ Б)П(А\ С).
21 | §3. Кванторы. Структура теорем
д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательства всех этих свойств аналогичны.
Докажем, например, равенство 7.
Пусть х е. (А \ ( В П С)), тогда, по определению, ( х е А ) л ( х ё ( В П С)).
Что значит х ё (В П С)? Это — отрицание того, что х е (В П С), т. е.
-п(х е (В П С)) <=>- 1 ((х е В) л (х е С)). Отрицание конъюнкции есть дизъ­
юнкция отрицаний. Поэтому -I ((х е Б) а (х е С)) <=>( - 1 (х е Б)) V (-. (х е С)) <=>
<=> (х е В) V (х ё С). И так, имеем:
(х е А ) л (х € (Б П С)) <=> (х е А ) а ((х ё В) V (х € С)) <=>
<=> ((х е А ) л (х ё Б)) V ((х е А ) а (х ё С)) <=> (х е А \Б ) V (х е А \С ) <=>
« х е (АЛБ) Ы(А \С).
□
Таким образом, А \(Б П С ) с ((А \Б ) II (А \С)). Проведя рассуждения
в обратном порядке, получим, что и А \(Б П С ) э ((А \Б ) II (А \С)), отку­
да А \(Б П С) = (А \Б ) I) (А \С ). В
П р и м е р 21. Пусть А , Б и С — некоторые множества. Д окаж ем, что
если (А II Б ) с= С, то Б с: С.
□ Нужно доказать, что Б с С. Д ля этого возьмем любой х е В .
Коль скоро х е Б , то х е (А II Б). Так к ак по условию (А II Б ) с: С, то
х е С. И так, взяв произвольный х е Б , мы показали, что х е С . Зн а­
________
чит, В с= С. В
03.
Кванторы. Структура теорем
1. Кванторы в предикатах с одной переменной
Напомним, что предикат — это предложение с одной или несколь­
кими переменными, становящ ееся высказыванием при подстановке
вместо переменных конкретных значений. Отсюда следует, что один
из способов превратить предикат в вы сказы вание — подставить вме­
сто переменных конкретные значения.
Однако существует и другой способ. Рассмотрим предложение:
«Для всех вещественных х выполнено х 2 < 1». Оно является вы сказы ­
ванием, причем ложным. Тем самым, несмотря на то, что в этом предло­
жении есть переменная, оно является вы сказы ванием, а не предикатом.
Смысл этого вы сказы вания в том, что предикат принимает значе­
ние «истина» для всех значений переменной. Понятно, что после этого
конкретное значение переменной подставлять уж е бессмысленно. Та­
ким образом, переменная перестала быть «свободной», про нее уж е все
сказано, она «связана» соответствующим выражением (в данном слу­
чае словами «для всех»).
Существуют два основных выражения, «связывающие» переменную:
1.
«Для всех значений...» и его синонимы («Для любых значе­
ний...», «Каковы бы ни были зн ачени я...», «Для каждого значения...»
и т. п.), обозначаемое значком V (перевернутая прописная буква
22 1 Глава I. Введение
А — начальная буква английского слова а11 — все). Рассмотренное
нами предложение символически записывается так: Ух х 2 < 1.
2. «Существует значение...» и его синонимы («Н айдется...»,
«Для некоторого...», «Хотя бы при одном...» и т. п.), обозначаемое
значком 3 (перевернутая прописная буква Е — начальная буква анг­
лийского слова ех1818 — существует). Высказывание Зх: х 2 < 1 (чита­
ется: «Существует х, такой, что х 2 < 1») является истинным. Действи­
тельно, такой х существует, например, равный 0.
Эти вы раж ения называю тся квант орам и : V — квантор всеобщно­
сти, 3 — квантор существования.
И так, предикат от одной переменной можно превратить в вы ска­
зывание, снабдив эту переменную квантором всеобщности или кван ­
тором существования.
Пусть Р (х ) — предикат. Чтобы установить истинность вы сказы ва­
ния вида Зх: Р (х ), достаточно предъявить какое-либо значение х, при
подстановке которого в Р (х ) он примет значение «истина».
Чтобы установить истинность высказы вания вида \/х Р (х ), нужно
взять произвольный х из области определения предиката Р (х ) и к а ­
ким-либо образом проверить, что значение предиката для этого х бу­
дет истинным. Поэтому доказательство утверждений вида У х Р (х )
обычно начинается словами: «Возьмем произвольный х».
О Отметим, что истинность вы сказы вания У х Р (х ) означает, что
предикат Р (х ) является тождеством.
Важно такж е отметить, что один и тот же по форме предикат мо­
ж ет быть задан на разных областях определения. Чтобы подчеркнуть,
на какой области определения рассматривается предикат, «снабжен­
ный» квантором, эту область можно записать возле переменной. Н а­
пример: Ух е [0; 1] х 2 < 1 — истинное высказывание.
Пример
22.
Установим истинностное значение вы сказы вания:
Ух ((х2 - 5х + 6 ^ 0) V (х2 + 5х + 6 < 0)).
□
П редикат представляет собой дизъю нкцию двух предикатов. Пер­
вый из них истинен при х е ( - о о ; 2] 11[3; + о о ), а второй — при х е (-3; -2).
При х = 2,5 оба предиката становятся ложными вы сказы ваниями,
следовательно, дизъю нкция их будет такж е ложной. Таким образом,
предикат (х2 - 5х + 6 ^ 0) V (х2 + 5х + 6 < 0) истинен не при всех зна­
чениях х, т. е. вы сказы вание Ух ((х2 - 5х + 6 ^ 0) V (х2 + 5х + 6 < 0))
ложно. И
Рассмотренный пример показывает, что высказывание У х Р (х )
ложно, если истинно Зх: —Р ( х ). Точно так ж е, высказывание Зх: Р (х )
ложно, если для всех х значением предиката Р (х ) будет лож ь, т. е.
значение предиката —Р ( х ) — истина.
Таким образом, имеет место правило от рицания вы сказы ваний
с кван т ор ам и:
-.(У х Р (х )) = Зх: ^ Р (х ),
-н(3х: Р (х )) = Ух ^ Р (х ).
1ИИ §3. Кванторы. Структура теорем
П р и м е р 23. Приведем пример множества А, такого, чтобы вы сказы ­
вание Ух е А ((х2 - 5х + 6 ^ 0) V (х2 + 5х + 6 < 0)) было истинным.
□ Из рассмотрения предыдущего примера ясно, что в качестве мно­
жества А можно взять, например, интервал (-3; -2 ), или отрезок
[5; 7], или луч [3; + о о ). 11
2. Кванторы в предикатах с несколькими переменными
Рассмотрим предикат Р (х , у) с двумя переменными, состоящий
в том, что у 2 —х 2 = 4. Чем является предложение Ух Р (х , у)? Под­
ставим у = 0. Получаем Ух 0 - х 2 = 4 — это высказывание (причем
ложное). Подставим у = 1. Получим Ух 1 - х 2 = 4 — тоже ложное вы ­
сказывание.
Таким образом, при подстановке различны х значений у получают­
ся различные вы сказы вания. Значит, предложение У х Р (х , у) явл яет­
ся предикатом от одной переменной у.
И так, если связать одну из переменных квантором в предикат е,
зависящем от нескольких переменных, получит ся предикат, завися­
щий от ост авш ихся перем енны х.
Следовательно, можно связать кванторами оставш иеся перемен­
ные и получить высказывание.
Ясно, что каждую из п переменных можно связать двумя возмож­
ными кванторами, поэтому только за счет выбора кванторов имеем
уже 2п вариантов получения вы сказы вания из предиката. А ведь ва­
жен еще и порядок «связывания» переменных.
Обратимся вновь к предикату Р (х , у). Рассмотрим предикат:
3у: у 2 - х 2 = 1. Свяжем переменную х квантором всеобщности. Полу­
чаем высказывание: УхЗу: у 2 — х 2 = 1 (читается: «Для любых значе­
ний х найдется такое значение у, что у 2 - х 2 = 1»).
Установим истинностное значение полученного вы сказы вания.
Для этого возьмем произвольное значение х. Проверим, существует
ли у , такой, что у 2 - х 2 = 1, т. е. у 2 = 1 + х 2. Такой у существует! Это,
например, у = л/1 + х 2 .
И так, взяв произвольный х, мы наш ли для него у , такой, что
предикат стал истинным высказыванием при подстановке в него в зя­
того х и найденного у. Таким образом, вы сказы вание УхЗу: у 2 - х 2 = 1
истинно.
Рассмотрим теперь предикат Ух у 2 - х2 = 1. Свяжем переменную у
квантором существования. Получаем вы сказы вание Зу: Ух у 2 - х 2 = 1.
Установим истинностное значение этого вы сказы вания.
Если это высказывание истинно, то при каком-то значении у (обо­
значим его у о) истинно вы сказы вание Ух у \ - х 2 = 1. Однако ясно, что
для х Ф ±у/уо - 1 равенство у% - х 2 = 1 не выполнено. Таким образом,
24 1 Глава I. Введение
высказывание \/х у \ - х 2 = 1 будет ложным при любом взятом у 0.
А тогда вы сказы вание 3у: Ух у 2 — х 2 = 1 ложно.
О И так, при перестановке порядка разноименных кванторов ис­
тинностное значение вы сказы вания может меняться!
Особенно хорошо это видно на примере обыденного язы ка. Рас­
смотрим, например, высказывание: «В нашем кафе каж ды й столик
обслуживается официантом». Переписав в более формализованном
виде, получаем: «В нашем кафе для любого столика существует офи­
циант, который обслуживает этот столик». Переставив кванторы, по­
лучаем: «В нашем кафе существует официант, который обслуживает
любой столик». Согласимся, что смысл вы сказы ваний различен (осо­
бенно с точки зрения официанта).
П р и м е р 24. Установим истинностное значение вы сказы вания: УсЗЬ:
Ух х 2 + Ьх + с > 0.
□ Попробуем доказать истинность данного вы сказы вания. Д ля этого
возьмем произвольное значение с. Обозначим взятое значение через с0.
И так, верно ли, что ЗЬ: Ух х 2 + Ьх + с0 > 0?
Мы знаем из курса средней ш колы , что неравенство х 2 + Ьх +
+ с0 > 0 выполнено при всех х, если дискриминант квадратного трех­
члена в левой части неравенства будет отрицателен. Следовательно,
можно переформулировать вопрос так: верно ли, что ЗЬ: Ь2 - 4с0 < 0?
Очевидно, что ответ на этот вопрос отрицательный. Ведь при с0< 0 тако­
го Ь не существует! Таким образом, исходное высказывание ложно. ®
Правило отрицания работает и в случае нескольких переменных,
«снабженных» кванторами.
Чтобы получить отрицание высказывания, полученного из преди­
ката связыванием нескольких переменных кванторами, нужно
заменить кванторы всеобщности на кванторы существования,
кванторы существования заменить на кванторы всеобщности, со­
хранив порядок переменных, а сам предикат заменить его отри­
цанием.
□ Это правило следует из правила отрицания для одного квантора.
Пусть, например, имеется вы сказы вание УхЗу: Р (х , у ). Его можно
рассматривать как предикат 3у: Р (х , у) относительно переменной х,
которая связана квантором всеобщности. Тогда
-.(\/хЭ
у:Р(х,
согласно правилу отрицания с одним квантором. Теперь еще раз при­
меняем правило отрицания с одним квантором для внутреннего преди­
ката и окончательно получаем: —\(УхЗу: Р (х , у)) = Зх: Уу —IР (х , у). ®
ДЛ1 §3. Кванторы. Структура теорем
Пример 25. Построим отрицание вы сказы вания:
\/е >0 36 >0: \ / х х е [0; 1] \/х 2 е [0; 1] \х х - х 2 \ < 6 -* \х\ - х | | < е.
□ Меняем все кванторы на противоположные в соответствии с пра­
вилом отрицания:
Зе > 0: У6 > 0 З х х е [0; 1]: З х 2 е [0; 1]: —.( | - х 2\ < 6 —►|х2 - х \ \ < е).
В соответствии со свойствами логических операций (свойство 11,
п. 4 § 1) отрицание импликации — это конъю нкция посылки и отри­
цания заклю чения. Таким образом, окончательно имеем:
Зе > 0: У6 > 0 З х г е [0; 1]: З х 2 е [0; 1]: (\хг - х 2\ < 6) л (|х 2 - х 2 \> г). Ш
3. Следование и равносильность. Структура теорем
Пусть на одной и той же области определения заданы два предика­
та. Будем использовать для записи их аргументов одинаковые буквы
(для простоты излож ения и краткости обозначений без потери общно­
сти рассуждений в дальнейшем будем рассматривать предикаты от
одной переменной). Особую роль в математике играют вы сказы вания
вида \/х (Р ( х ) —> С?(х)). Д ля таких вы сказы ваний имеется специальное
обозначение: Р (х ) => ф (х). Если это высказывание истинно, то гово­
рят, что С?(х) следует из Р (х ).
О Еще раз важно подчеркнуть, что Р ( х ) —>С?( х) — предикат,
а Р (х) => С} (х) — высказывание!
Пример 26. Пусть Р (х ) — предикат «х — четное натуральное число»,
С?(х) — предикат «х2 — четное число». Тогда Р (х ) => ф (х).
□ Действительно, нужно доказать, что У х ( Р ( х ) —►С?(х)). Д ля этого
возьмем произвольное значение х. Если х не есть четное натуральное
число, то им пликация Р (х ) —►С?(х) истинна в силу ложности посылки.
Если же х — четное натуральное число, то по определению четного
числа Зк е 2: х = 2к. Тогда х 2 = (2к)2 = 2 (2 к2). Таким образом, сущест­
вует целое число (а именно число 2й2), такое, что х 2 в 2 раза больше
его. Значит, по определению х 2 — четное число. 81
На практике допускается меньшая степень подробности доказатель­
ства. В частности, при доказательстве вы сказы вания \/х (Р (х ) —►С?(х))
можно опустить рассмотрение тех х, при подстановке которых в преди­
кат Р (х ) он становится ложным высказыванием.
Что означает высказывание Р (х) => С? (х) на язы ке множеств? Рас­
смотрим А = {х: Р(х)}, В = {х: С?(х)}. Тогда, если х ё А, им пликация
Р(х) —►С?(х) будет истинна. Чтобы эта им пликация была истинна при
х е А (т. е. когда Р (х ) истинен), нужно, чтобы С?(х) такж е был исти­
нен, т. е. х е В. Таким образом, получаем А а В.
26
^|
Глава I. Введение
Наоборот, если А с Б , то при истинном Р (х ) будет истинным
и ф (х), а при ложном Р (х ) им пликация истинна в силу ложности по­
сылки. И так, доказана следующая теорема:
ТЕОРЕМА
П
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Высказывание Р(х) =» О(х) истинно тогда и только тогда, когда
А с Б, где А = {х: Р (х)}, В = {х: О (х)}.
Приме р 27. (х2 - 1 = 0 ) = > ( | х - 1 | (х2 - 5х + 4) = 0) — истинное вы ска­
зывание (так как все реш ения уравнения х 2 —1 = 0 при подстановке
в предикат (х —1)(х2 —5х + 4) = 0 обращают его в истинное вы сказы ­
вание). 11
Большинство теорем имеют структуру следования предикатов.
Правда, формулировки не позволяют увидеть это в явной мере. Н апри­
мер, теорему «Четырехугольник с парой равных и параллельны х сто­
рон — параллелограмм» можно сформулировать в виде следования
предикатов: «Для любого четырехугольника если в нем существует
пара равных и параллельных сторон, то этот четырехугольник — па­
раллелограмм» .
Обычно в формулировки теорем не включают квантор всеобщно­
сти, а формулируют только импликацию . Например, «В прямо­
угольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату
гипотенузы» вместо «Для любого треугольника если он прямо­
угольный, то сумма квадратов его катетов равна квадрату гипо­
тенузы». На самом деле даже последняя формулировка не совсем
точная, поскольку понятия «катет» и «гипотенуза» относятся к
прямоугольным треугольникам. В то же время предикат-посылка
«он прямоугольный» задан на множестве всех треугольников, зна­
чит, предикат-заклю чение тоже должен быть задан на множестве
всех треугольников, а к сторонам произвольного треугольника по­
няти я «катет» и «гипотенуза» неприменимы. Поэтому уточненная
формулировка может быть такой: «Для любого треугольника если
он прямоугольный, то квадрат наибольшей стороны равен сумме
квадратов двух других сторон».___________________________ ________
Иногда в утверж дениях теорем им пликация «запрятана» доволь­
но глубоко. Например, \/х е К х 2 ^ 0. К ак записать эту теорему в виде
импликации? Например, так: \/х (х е К —> х 2 ^ 0), т. е. х е К =>
=> х 2 ^ 0.
Если истинны оба вы сказы вания Р => С? и ф => Р , то говорят, что
предикаты Р и
равносильны и обозначают этот факт: Р <=> ф. На
язы ке множеств равносильность предикатов означает совпадение мно­
жеств тех значений переменной, при которых эти предикаты истинны.
ЗВш §3. Кванторы. Структура теорем
П р и м е р 28. Пусть имеется уравнение /(х ) = 0, где /(х ) — некоторое
выражение (например, квадратный трехчлен, или частное двух линей­
ных выражений, или вы ражение любого знакомого нам вида). Оно
представляет собой предикат. Чтобы решить уравнение, мы преобразу­
ем этот предикат двумя способами: зам еняя либо на равносильный
(например, добавляя число к обеим частям равенства), либо на следст­
вие (с возможным риском приобретения новых корней, а значит, необ­
ходимостью проверки).
Пусть /(х ) = х 2 - 2х - 3.
Пример первого пути — решение уравнения х 2 - 2х - 3 = 0. Дей­
ствительно:
х 2 - 2х - 3 = 0 <=> (х - I ) 2 - 4 = 0 <=>
<=> (х - 1 - 2)(х - 1 + 2) = 0 <=> Х
х = —1.
Все переходы, кроме последнего, являлись просто тождественны­
ми преобразованиями, а законность последнего перехода мотивирова­
на свойством множества вещественных чисел: произведение равно
нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен
нулю, а другие не теряют при этом смысла. 11
4. О формулировках теорем. Система теорем
Пусть теорема имеет вид Р => ф. Ее стандартная формулировка
с опущенным квантором всеобщности: «Если Р , то ф». Однако в речи
и записи импликации та же теорема имеет большое количество раз­
личных форм. Вот лиш ь некоторые из них:
Р достаточно для ф;
Р — достаточный признак ф;
С? необходимо для Р;
С? — необходимый признак Р;
Р только тогда, когда ф,
С? тогда, когда Р;
С? следует из Р;
С? вытекает из Р .
При доказательстве теоремы важно уметь извлекать из ее форму­
лировки, что дано, а что следует доказать. С этой целью важно на­
учиться переводить формулировки теоремы из одного вида в другой.
С одним утверждением вида Р => С2 (назовем его прямым утверж ­
дением) связаны еще три теоремы:
С? => Р — утверждение, обратное исходному;
-IР => —1(^ — утверждение, противоположное прямому;
-,ф => —,Р — утверждение, противоположное обратному.
Ясно, что истинностные значения прямого и обратного утверж де­
ний могут быть разными (например: «Если углы вертикальны , то они
28 1 Глава I. Введение
равны» — истинное утверждение, обратное исходному, «Если углы
равны, то они вертикальны» — ложное утверждение). Вместе с тем
свойство 13 (с. 11) показывает, что прямое утверждение и противопо­
ложное обратному истинны или лож ны одновременно. Именно на этом
основан метод доказательства от противного: вместо доказательства
теоремы Р => мы доказываем теорему -п(д => -■Р.
Забавный лингвистический пример. Известна поговор­
ка: «Кто не рискует, тот не пьет шампанского». Сформулируем ее
в форме следования: «Для любого человека если он не рискует, то
не пьет ш ампанского». Сформулируем теперь теорему, противопо­
ложную обратной: «Для любого человека если он пьет шампанское,
то он рискует». Иначе говоря: «Кто пьет шампанское, тот рискует»!
Зерно этого парадокса в том, что смысл данных высказываний
в обыденном язы ке не совпадает с их смыслом в язы ке формальной
_______
логики. 11
П р и м е р 29.
04 .
М етод математической индукции
В этом параграфе мы познакомимся с методом математической
индукции — мощным методом, который позволит нам доказывать
многие утверждения.
1. Аксиома индукции. Метод математической индукции
Д ля начала решим известную задачу о Ханойской башне.
Х а н о й ск а я башня представляет собой п дисков, нанизан­
ных в порядке уменьш ения их размеров на один из трех колыш ков.
Д окаж ем, что возможно переместить всю башню на один из других ко­
лы ш ков, перенося каж ды й раз только один диск и не помещая боль­
ший диск на меньш ий.
П р и м е р 30.
Рис. 7.4
29 1§4. Метод математической индукции
Е=1
®
®
®
®
®
Рис. 1.5
□ Пусть изначально диски нанизаны на первом стержне (рис. 1.4),
а переложить их мы должны на третий. Если п = 2, то мы можем дей­
ствовать следующим образом: переложить меньший диск на второй
стержень, потом больший диск на третий, а затем меньший поверх
большего (рис. 1.5). Задача решена для п — 2.
Д ля п — 3 можно было бы так же подробно описать процедуру пе­
рекладывания дисков, но мы попробуем воспользоваться тем, что уже
умеем перекладывать башню из двух дисков. Временно забудем про
нижний, самый большой диск. Тогда останется баш ня из двух верх­
них дисков. Переложим ее на свободный стержень. Теперь переложим
третий диск на третий стержень (рис. 1.6), а потом башню из двух
верхних дисков со второго стерж ня на третий (третий диск не мешает
проведению операций, так как он самый большой). Аналогично можно
поступить и для четырех дисков: сначала переложить башню из трех
дисков на второй стержень, потом самый большой диск на третий,
а затем башню из трех дисков со второго стерж ня на третий. И так
далее.
I
1 _П
®
ф
Г X
Ф
Рис.
®
®
ф
30
Глава I. Введение
Рис. 1.7
Баш ню из к дисков можно переложить аналогично: сначала пере­
лож ить башню из к - 1 дисков на второй стержень, потом к -й диск на
третий стержень, а затем башню из к —1 дисков на третий стержень.
Понятно, что таким образом мы можем поступать с башней из любого
числа дисков (рис. 1.7).
В этой задаче мы сначала научились решать задачу для п = 2,
а потом объяснили, к ак, умея перекладывать башню из к дисков, пе­
релож ить башню из к + 1 дисков. Сделаем вывод: мы сможем перело­
ж ить башню из любого числа дисков. ®
На самом деле, если говорить более формально, сделать такой вы ­
вод нам позволяет следующая аксиома мат емат ической и н д у к ц и и .
А ксиома математической индукции
Если известно, что некоторый предикат, заданный на множестве
натуральны х чисел, верен для п = 1 и из предположения, что он верен
для произвольного п, вытекает его справедливость для п + 1, то этот
предикат верен при всех натуральных числах.
Можно переформулировать аксиому следующим образом.
Пусть у нас есть бесконечная последовательность утверждений А 19
А 2,
А п, . . . . Тогда если мы знаем, что верно утверждение А г и из
справедливости утверждения А п для произвольного п следует справед­
ливость утверж дения А п +19 то верны все утверждения в этой последо­
вательности.
Таким образом, чтобы доказать цепочку утверждений, зависящ их
от натуральной переменной п (иначе говоря, доказать тождественную
истинность предиката А (п)), можно:
31 | § 4. Метод математической индукции
1. Д оказать первое утверждение, т. е. А (1);
2. Доказать, что если утверждение справедливо для произвольно­
го я, то оно справедливо и для п + 1. Тогда по аксиоме индукции м ож ­
но будет сделать вывод о справедливости всех утверждений в цепочке.
Такой метод доказательства называется методом математической
индукции. Утверждение А (1) называется базой индукции, а утверж де­
ние А ( п ) => А ( п + 1) — индукционным переходом.
Обратим внимание, что для доказательства индукционного перехо­
да мы должны установить истинность импликации А ( п ) —> А ( п + 1)
для всех натуральных п, а не истинность утверж дения А { п + 1). Пред­
положение об истинности утверждения А ( п ) для доказательства истин­
ности импликации делается потому, что в случае ложности утверж де­
ния А ( п ) им пликация уже истинна.
Идею метода математической ин­
дукции можно пояснить с помощью
следующего наглядного примера. Вы­
строим в ряд бесконечное число костей
домино так, чтобы п-я кость, падая, ро­
няла п + 1-ю (индукционный переход).
Если теперь мы уроним первую кость
(база индукции), то за ней последует Рис. 1.8
вся цепочка (рис. 1.8).
О Аксиома индукции следует из утверж дения о том, что у лю­
бого множества, элементами которого являю тся натуральные чис­
ла, есть наименьший элемент.
В самом деле, если считать, что у любого множества натураль­
ных чисел есть наименьш ий элемент, то аксиому индукции можно
легко доказать следующим образом. Пусть имеется бесконечная по­
следовательность утверждений
А 2,
А п, . . . . Рассмотрим мно­
жество номеров всех неверных утверждений. Пусть оно непусто.
Тогда среди этого множества есть наименьш ий. Пусть он равен к.
Он не равен 1 (первое утверждение верно), значит, можно рассмот­
реть утверждение с номером к —1. Оно верно (ведь к наименьш ий
из номеров неверных утверждений), но тогда и утверждение с номе­
ром к верно — противоречие.
________
Заметим, что при применении метода математической индукции
важна как база индукции, так и индукционный переход.
В самом деле, если пропустить базу индукции, то можно доказать
с помощью метода математической индукции, например, что соседние
натуральные числа равны. Пусть известно, что число п равно числу
п -1-1 (верно утверждение с номером п), т. е. п = п + 1. Прибавив по 1
к обеим частям этого «равенства», получим, что п + 1 = п + 2 (доказа­
ли, что верно утверждение с номером п + 1).
32
Глава I. Введение
В то ж е время, не доказав индукционного перехода, нельзя сде­
лать вывод о справедливости всех утверждений в цепочке, даж е прове­
рив большое количество этих утверждений. Например, если бы мы
проверили утверждение «п2 + п + 41 — простое число» для первых
тридцати девяти чисел, то оказалось бы, что это утверждение верно,
однако сделать вывод о том, что число п 2 -I- п + 41 простое при всех на­
туральных п, было бы неверным (это неверно, например, при п = 41).
2. Применение метода математической индукции
Теперь покажем некоторые стандартные примеры применения ме­
тода математической индукции при доказательстве тождеств, нера­
венств и задач, связанных с делимостью.
Пример 31. Докаж ем, что при любом натуральном п выполняется
тождество 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п\ = (п + 1)! - 1.
□
б а з а и н д у к ц и и . Пусть п = 1. Тогда утверждение выглядит так:
I • 1! = (1 + 1)! - 1, что верно, т. е. база индукции доказана.
и н д у к ц и о н н ы й п е р е х о д . Пусть верно утверждение с номером п ,
то есть мы знаем, что 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п\ = (п + 1)! - 1.
Докаж ем, что тогда верно утверждение с номером п + 1.
В самом деле, воспользовавшись индукционным предположением,
можно записать
1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п\ + (п + 1) • (п + 1)! = (п + 1)! - 1 + (п + 1) • (п + 1)!
(мы заменили сумму 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п\ на выражение (п + 1)! - 1,
так как знаем, что эти выражения равны, — это и есть утвержде­
ние с номером п). Преобразуем полученное выражение: (п + 1 ) ! - 1 +
+ (п + 1) • (п + 1)! = (п + 1)! (п + 2) - 1 = (п + 2)! - 1, т. е. мы получили,
что верно равенство 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • п\ + (п + 1) • (п + 1)! = (п + 2)! - 1,
а это и есть утверждение с номером п+ 1, что и требовалось доказать. 1
З а м е ч а н и е . Базу можно проверять не только для п = 1, но и для
п = й, где к любое натуральное число (или даж е 0, если у нас есть ну­
левое утверждение). Тогда метод математической индукции позволяет
сделать вывод о справедливости всех утверждений, начиная с номера й.
Пример 32. Докаж ем, что при любом натуральном п число
I I п +2+ 122л + 1 делится на 133.
□
б а з а и н д у к ц и и . Для п = 0. I I 2 + 121 = 133 делится на 133.
и н д у к ц и о н н ы й п е р е х о д . Пусть верно утверждение с номером п,
т. е. Ц"+ 2 + 122п +1 делится на 133. Докаж ем, что верно утверждение
с номером п + 1, т. е. Ц(" + 1) + 2 + 122 <"+ 1>+ 1 = 11» + 3 + 122п + 3 делится
на 133. В самом деле, 11" + 3 + 122п + 3 = 11" + 2 • 11 + 122л + 1 • 144 =
= 11" + 2 • 11 + 122п + 1 • (11 + 133) = 11 • (11" + 2 + 122" + 1) + 133 • 122" + 1.
Оба слагаемых делятся на 133 (так как Ц " + 2 + 122п + 1 делится на 133
по индукционному предположению), значит, и сумма делится на 133,
что и требовалось доказать. 81
4. Метод математической индукции
Рассмотрим примеры использования метода математической ин­
дукции при доказательстве неравенств.
П р и м е р 33. (Неравенство Бернулли.) Д окаж ем, что (1 + х )п ^ 1 + п х
при любом натуральном п и х > -1 .
□ база и н д у к ц и и .
При п — 1
неравенство
превращ ается в
(1 + х)1 ^ 1 + х, что, очевидно, верно.
и н д у к ц и о н н ы й п е р е х о д . Пусть верно утверждение с номером п,
т. е. (1 + х)п> 1 + п х при х > - 1 . Докажем утверждение с номером п + 1.
Имеем (1 + х )п > 1 + пх. Домножим обе части неравенства на 1 + х
(по условию 1 + х > 0). Получим (1 + х )п +1 ^ (1 + пх)( 1 + х). Раскроем
скобки в правой части: (1 + пх)( 1 + х) = 1 + (п + 1)х + пх2. Зам е­
тим, что 1 + (п + 1)х + пх2 ^ 1 + (п + 1)х в силу того, что х 2 ^ 0. Таким
образом, (1 + х)п +1 ^ 1 + (п + 1)х. Индукционный переход доказан. 81
торическии комментарий
Бернулли — династия швейцарских ученых и государственных деятелей,
давшая миру более двух десятков первоклассных ученых. Наиболее известны
Якоб I Бернулли (1654—1705), один из основателей математического анализа,
а также теории вероятностей; Иоганн I (1667—1748), брат Якоба I, он указал
многие методы интегрирования, способы подсчета длин кривых, раскрытия
неопределенностей; Даниил (1700—1782), кроме математики, прославлен
исследованиями в физиологии и медицине, по приглашению Петра I работал
в Петербургской академии наук, ему принадлежат исследования по астроно­
мии, анализу, теории чисел и теории вероятностей, тригонометрическим ря­
дам, динамике жидкости и газа и т. д.
При доказательстве неравенств с помощью метода математической
индукции часто удобно пользоваться следующими утверж дениями.
Утверждение 1
......... ........... ......................................................... ................................ .
Пусть имеются две последовательности положительных чисел.
Если для некоторого натурального числа т справедливо нера­
венство ат^ Ьт и для всех к ^ т справедливо неравенство
ак+ 1 _ ак ^ &к+ 1 _
то при всех п ^ т справедливо неравенство
Д окажем утверждение по индукции.
Неравенство ат ^ Ьт верно.
и н д у к ц и о н н ы й п е р е х о д . Пусть ак ^ Ък. Известно, что ак +1 - ак ^
^ Ьк+1 - Ьк. Сложим эти два неравенства. Получим ак +1 ^ Ьк +1, что и
требовалось доказать. В
□
д о к а з а т е л ь с т в о
база
и н д у к ц и и
.
.
34 I Глава I. Введение
З а м е ч а н и е . М ожно аналогичное утверж ден ие сф орм улировать
и д л я строгих неравенств (наприм ер, если вместо одного из неравенств
ат ^ Ът или ак + 1 - ак ^ Ьк +г - Ьк будет соответствую щ ее строгое, то м о ж ­
но сделать вывод, что при всех п > т справедливо неравенство ап > Ьп).
.......... .......................................... ............................................ .
Утверждение 2
Пусть имеются две последовательности положительных чисел.
Если для некоторого натурального числа т справедливо нера­
венство ат^ Ь т и для всех к ^ т справедливо неравенство
* +1 ^
ак
/с+1, то при всех п ^ т справедливо неравенство ап ^ Ьп.
Ьк
З а м е ч а н и е . Ф актически эти утверждения означают следующее:
если в какой-то момент одна последовательность не меньше другой
(т. е. ат ^ Ьт для некоторого т) и
растет потом не медленнее (мы срав
ниваем то на сколько или во сколько
раз быстрее растет последо­
вательность в первом и втором утверж дениях соответственно), то эта
последовательность с этого момента будет не меньше другой.
Докажем, что для всех натуральны х п выполняется нера­
+ ~^= + ... + —!=: ^ 4п.
П р и м е р 34.
венство
VI
□
у/2
Рассмотрим
4п
две
последовательности:
а п = — + — + ... + —== и
VI
л/2
л1п
Ьп = 4п. Нам нужно доказать, что для всех натуральных п выполняет­
ся неравенство ап ^ Ъп. Воспользуемся утверждением 1.
Д окаж ем, что а г ^ Ьх. В самом деле, а х = ~^= ^ >/Г = Ьг.
VI
Д окаж ем теперь, что последовательность ап растет не медленнее
последовательности Ьп, т. е. ап +1 - ап ^ Ьп +1 - Ьп (в данном случае
удобнее рассматривать на сколько растут последовательности). В са­
мом деле, а п +1 - а п = --■■■ - , Ьп +1 - Ъп = 4 п + 1 - л/гс, т. е. достаточно
1
доказать, что —— - ^ 4 п + 1 —л/гс, что очевидно, если заметить, что
л/гс+ 1
4 п + 1 - 4 п = —=—
. Неравенство доказано. [В
ып + д/ти-1
П р и м е р 35. Докаж ем, что для всех натуральных п выполняется нера1 • 3 • 5 • ... • (2/г - 1)
1
2 • 4 • 6 • ... • 2тг
^2 п + 1 *
_ 11■•33 ■-55 ■-... •■(2/г - 1)
тт
П усть а„ = — - .
------- ------, Ьп = -■--------- . В данном прим ере удоб2 -• 4....• 2тг
2п
9 п
4 • 6 -• ...
^2п + 1
в ен ств о --------------- 1----------<
г-.
□
нее воспользоваться утверж ден ием 2.
зая §4. Метод математическом индукции
Неравенство справедливо для п = 1, а х — — < — = Ьг.
а
Ъ+
2
V3
Докажем, что
^
при любом натуральном
2л+1 д/2п + 1
+ 2 К '^ 2 — ' ’
ЧТ°
2
^
"
Равносильно
неравенству
п,
т. е.
/о
Я—Г 5
(2п + 1)^2^ + 3 <
< у/2п + 1(2п + 2), т. е. д/2п + 1у]2п + 3 < 2п + 2, что для натуральны х п
равносильно (возведем в квадрат) (2п + 1){2п + 3) < (2п + 2)2, т. е.
4п2+ 8д + 3 < 4п2 + 8п + 4, что, очевидно, верно. Неравенство доказано. 11
О Иногда удобно использовать другую форму доказательства по
индукции. Если известно, что некоторое утверждение верно для 1,
и из предположения, что утверждение верно для всех чисел, меньших
либо равных некоторому п, вытекает его справедливость для п + 1, то
это утверждение верно для всех натуральны х чисел. Воспользуемся
этим замечанием при решении следующего примера.
Пример 36. Число х таково, что число х +
— целое. Д окаж ем, что
при любом натуральном п число х п + —
целое.
хп
□ б а з а и н д у к ц и и . Утверждение очевидно для п — 1. Проверим
'
о 2
утверждение для п — 2. х 2 + ^ — = х + — - 2, т. е. целое число. База
доказана.
и н д у к ц и о н н ы й
п е р е х о д . Пусть верны утверж дения с номерами
меньшими либо равными п (т. е. все числа вида х к +
— целые при к < п).
хк
Докажем, что тогда и число х п+1-\—
будет целым. Рассмотрим число
х п + — [ х + —]. Это число целое по индукционному предположению
хп \
*)
(произведение двух целых чисел), и оно равно (раскроем скобки) числу
/
Н
у- п +
лу( * " + ^
4
у
г + х п ~1 н
1
г. Таким образом, число х п +1 н
Х п~1
Xп V
1
Хп+
равно чис-
1
, т. е. разности целых чисел (число
/ - 1У
хп~1 л—
целое опять же по индукционному предположению) и, знах
чит, является целым числом, что и требовалось доказать. Щ
З а м е ч а н и е . Обратим внимание на один важ ны й момент. В ин­
дукционном переходе при доказательстве утверж дения с номером
п+ 1 мы использовали справедливость утверждений с номерами п
и п - 1. Это означает, что если бы мы проверили базу только при п — 1,
36 1 Глава I. Введение
то не смогли бы перейти от я = 1 к я = 2, используя рассуждения ин­
дукционного перехода, ведь в процессе рассуждения у нас появилось
бы утверждение с номером 0 (х° +
— целое число), которое мы не
я;0
доказывали (хотя оно, конечно, верно).
Следующий пример показывает, что неаккуратные рассуждения
могут приводить к неправильным выводам.
Пример 37. Докаж ем, что любые п чисел равны, т. е. если а 19 а 2, ...,
ап — произвольные числа, то а 1 = а 2 = а 3 = . . . = ап.
□
б а з а инду кц ии. При п - 1 утверждение, очевидно, верно: у нас
есть одно число и оно равно самому себе.
и н д у к ц и о н н ы й п е р е х о д . Пусть утверждение верно для номера
п, т. е. если а Х9 а 2, ..., ап — произвольные числа, то а г = а2 = а3 =
= ... = ап. Докажем утверждение с номером п + 1. Пусть у нас есть
п + 1 число: а 19 а 2, ..., ап9 ап +1. Рассмотрим первые п чисел. Они рав­
ны по предположению индукции. Осталось доказать, что им равно и
число ап +1. Для этого рассмотрим числа а 2, ..., а п, ап +1. Их ровно п,
и, значит, по индукционному предположению они равны, т. е. ап +1
равно первым п числам, что и требовалось доказать. 11
Попробуйте самостоятельно найти ошибку в приведенном рассуж­
дении.
Метод математической индукции настолько мощный, что применя­
ется часто. Однако не так много задач, где он применяется в чистом виде,
без длинных рассуждений или вычислений. Вот пример такой задачи.
Пример 38. Докаж ем, что квадрат 2п х 2п с вырезанной угловой клет­
кой можно разрезать на фигурки вида С П .
□
б а з а инд у кц ии. При п - 1 квадрат 2п х 2п с вырезанной угловой
клеткой представляет собой фигурку
| | | | | | | | | | | | | | | нужного вида, так что никаких разреза____________________________
ний не требуется.
-----------------------------------------инд укционный п е р е х о д . Пусть
существует разрезание квадрата 2п х 2п
с вырезанной угловой клеткой на фигур____________п -С —__________
ки нУжного вида. Рассмотрим квадрат
____________________________
2п + 1 х 2п +1 с вырезанной угловой клет-----------------------------------------кой (рис. 1.9). На рисунке показано,
-----------------------------------------что, если вырезать фигурку указанного
вида в центре квадрата, оставшаяся
____________________________
часть представится в виде объединения
____________________________
четырех квадратов вида 2п х 2п с выре-----------------------------------------занной угловой клеткой, которые разре­
зать на данные фигурки возможно в
Рис. 1.9---------------------------------- силу индукционного предположения. II
Д ^ _§4. Метод математической индукции
Для формулировки следующего определения нам понадобится по­
нятие корня п -й степени из числа, которое мы подробно обсудим в гла­
ве V. Пока лиш ь отметим, что корнем п-й степени из неот рицат ель­
ного числа а (п е ЛГ, п ^ 2) назы вается такое число Ь, что Ъп = а.
Обозначение: л/а = Ь. Корень п-й степени из любого неотрицательного
числа существует, и притом единственный (см. гл. V). Например:
VI = 1, л/32 = 2, 6/1 ООО ООО = 1 0 .
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ............................................. ................................ .
Пусть х,, х2
хп — положительные числа. Тогда сред­
ним арифметическим этих чисел называется число
X "Ь X “Ь -Н X
— , а их средним геометрическим — число
п
уп{
Докажем с помощью метода математической индукции еще одно
важное и часто используемое неравенство — так называемое неравен­
ство Коши или неравенство о среднем арифметическом и среднем гео­
метрическом.
Т Е О Р Е М А К О Ш И (о среднем ариф метическом и среднем геом етрическом )
Для любых положительных чисел х1?х2,
хп их среднее арифмети­
ческое больше их среднего геометрического либо равно ему, т. е.
верно неравенство
х, + х2 + ... + хл
,-------------------
-! ----- 2
— -------- ^ ”/хг х2- ... • хл.
При этом равенство достигается только в случае х1 = х 2 = ... = х п.
д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем
сначала следующую л е м м у
мощью метода математической индукции.
□
с по­
Пусть произведение п положительных чисел хь х2, ..., хп равно 1.
Тогда наименьшее значение, которое принимает их сумма, рав­
но л и достигается при х1 = х2 = ... = хл = 1.
б а з а и н д у к ц и и , п = 2. Пусть произведение двух полож ительных
чисел равно 1.
Обозначим одно из чисел через а . Тогда другое число равно
Нам
нужно доказать, что ос + ^ > 2. После переноса числа 2 в левую часть
и приведения к общему знаменателю получим равносильное неравен2а -Г 1
ство
------- > 0, которое очевидно, верно, так к ак в числителе сто­
ит полный квадрат (а - I ) 2. При этом равенство достигается лиш ь при
а = - = 1.
а
и н д у к ц и о н н ы й
п е р е х о д . Пусть данное утверждение верно для
всех натуральных к < п. Докажем справедливость утверждения для к = п.
И так, у нас есть п положительных чисел х 19 х 2,
х п9 произведе­
ние которых равно 1. Либо все эти числа равны 1, и тогда их сумма
равна п (и утверждение доказано), либо среди них есть число боль­
ше 1, но тогда среди них есть и число меньше 1 (если бы все числа
были больше либо равны 1 и хотя бы одно из них было при этом строго
больше 1, то и их произведение было бы больше 1). Не ум аляя общно­
сти, можно считать, что х г < 1, а х 2 > 1.
Рассмотрим следующие числа: (хх • х 2), х 39 ..., х п. Их количество рав­
но п - 1, а произведение равно произведению чисел х 19 х 2, х3, ..., х п, т. е.
равно 1. Тогда можно воспользоваться индукционным предположением,
записав: (х г • х 2) + х 3 + ... + х п ^ п — 1. Заметим, что при выбранных х 2
и х 2 верно неравенство (1 - х г) ( х 2 - 1) > 0, откуда х х + х 2 - 1 > х х • х 2.
Значит, х х • х 2 + х 3 + ... + х п < х х + х 2 — 1 + х 3 + ... + х п = х х + х 2 +
+ х 3 + ... + х п - 1, откуда получаем п - 1 < х х + х 2 + х 3 + ... + х п - 1,
следовательно, х х + х 2 + х 3 + ... + х п > п. И ндукционный переход дока­
зан, а вместе с ним доказана и лемма.
Д окаж ем теперь саму теорему.
Обозначим ^ х г • х 2 • ... • х п = 8 и рассмотрим числа
Их произведение равно
Х1
х2
х п
ХГ
Х2 - . . . - Х п
Х1- Х 2 - . . . - Х п
1
2
Х г • Х2 •
= 1.
Х2 *
_
хх х2
По доказан ной лем м е м ож но сделать вывод, ч т о
5 1-------1
5 - ... +
Н— — ^ п,
-у- =
причем
равенство
достигается
только
в случае,
когда
= ... = -у- = 1, т. е. когда х х = х 2 = ... = х п. Д ом нож им обе части
н еравенства на 8 и поделим на п, получим равносильное неравенство
хг + х2 + ... + х п
,----------------------------------^ 8=
щхг • х 2 • . . . • х п , которое и требовалось д оказать.
Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
В этом параграфе мы познаком им ся с простейш ими комбинаторными
задач ам и . К ом бин аторика — часть м атем ати к и , н ау к а, зан и м аю щ аяся
реш ением задач о ко м б и н ац и ях и п ерестановках элем ентов некоторого
м нож ества. С овременная ко м б и н ато р и ка н аш ла прим енение во м ногих
р азд ел ах м атем ати ки , в том числе т а к и х , к а к теория вероятностей, ста­
ти сти к а, кр и п то гр аф и я.
39 1 §5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
1. Разбор случаев и правило умножения
Начнем с примеров.
П р и м е р 39. У Светы 30 различны х карандаш ей и 40 различны х ручек.
Сколько у нее есть способов выбрать ручку и карандаш ?
□ У Светы есть возможность выбрать к каж дом у карандаш у одну из
40 ручек. Карандаш ей всего 30. П оскольку с каж ды м карандаш ом
можно выбрать одну из 40 ручек, то всего вариантов 30 • 40 = 1200. 11
П р и м е р 40. Сколько существует чисел, все цифры которых нечетны,
если каждое из них: а) двузначное; б) шестизначное.
□ а) Двузначные числа, у которых обе цифры нечетны, могут начи­
наться с цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В каждом случае на втором месте мы
можем поставить одну из 5 нечетных цифр, т. е. существует 5 двузнач­
ных чисел, удовлетворяющих условию, начинаю щ ихся с 1; 5 двузнач­
ных чисел, удовлетворяющих условию, начинаю щ ихся с 3, и т. д. Все­
го вариантов 5 • 5 = 25.
б)
На первое место можно поставить любую из 5 нечетных цифр,
на второе место любую из 5 нечетных цифр, таким образом вариантов
расстановок цифр на первые два места у нас 25 (как в пункте а). К к а ж ­
дому из этих 25 вариантов на третьем месте мы можем поставить одну
из 5 цифр, т. е. вариантов расстановок цифр на первые три места
25 • 5 = 125. Аналогично, вариантов расстановок цифр на первые шесть
мест (т. е. ш естизначных чисел) у нас 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 = 15 625. 1
П р и м е р 41. У мамы есть 4 сына и много одинаковых фломастеров,
одинаковых ручек и одинаковых карандаш ей. Каждому сыну она хо­
чет дать либо фломастер, либо ручку, либо карандаш . Сколькими спо­
собами мама может раздать по одному предмету каждому?
□ Аналогично решению предыдущих двух задач: первому сыну
мама может дать фломастер, ручку или карандаш . Всего три варианта.
В каждом из этих трех вариантов есть три варианта дать предмет вто­
рому сыну. Итого 3 - 3 = 9 вариантов раздать фломастеры, ручки и к а ­
рандаши двум сыновьям. В каждом из этих девяти вариантов есть
три варианта выбрать предмет для третьего сына, и т. д. Получаем
3 • 3 • 3 • 3 = 81 способ. 11
Попробуем обобщить реш ения этих примеров. В них мы ф актиче­
ски воспользовались общим интуитивно понятным правилом, которое
называется правилом умножения.
Правило у м н о ж е н и я 1
Если в множестве А 1 содержится п1 элементов, в множестве А2
содержится п2 элементов и т. д., в множестве Ак содержится пк
элементов, то число способов одновременно выбрать один эле­
мент множества/^, один элемент множества А2 и т. д., один эле­
мент множества Ак в указанном порядке, равно л1 • п2 • ... • пк.
40
Глава I. Введение
З а м е ч а н и е . Иногда это правило формулируют следующим обра­
зом: число всевозможных упорядоченных
комбинаций вида
(а19 а 2,
ак)9 где а х — элемент множества А 19 а2 — элемент множества
А 2 и т . д .,
— элемент множества А к9 равно \ А г \ • \ А 2\ • ... • \А к\9 где
| А ь\ — количество элементов в множестве А ь.
2. Правило сложения
Разберем еще одну задачу.
У мамы есть 5 разных карандаш ей, 6 разных ручек, 4 раз­
ных фломастера. Сколькими способами она может выбрать для сына
два предмета с разными названиями?
□ У мамы есть три возможных варианта (три выбора). Мама дает
сыну карандаш и ручку, в этом случае у мамы есть 5 • 6 = 30 способов.
Мама дает сыну ручку и фломастер, в этом случае у мамы есть 6 • 4 = 24
способа. Н аконец, мама может дать сыну карандаш и фломастер, в этом
случае у мамы есть 5 • 4 = 20 способов. Д ля того чтобы подсчитать
общее количество способов, нужно сложить количество вариантов для
всех случаев. Итого получается 30 + 24 + 20 = 74 способа. 11
В этой задаче мы встретились с приемом разбиения всех вариантов
на несколько случаев. Д ля того, чтобы подсчитать общее количество ва­
риантов в таких реш ениях, следует подсчитать количество вариантов
в каж дом случае, а потом сложить полученные числа. Нужно только
внимательно следить, чтобы случаи не пересекались (иногда один и тот
же вариант может попасть в два рассматриваемых случая одновремен­
но, и тогда мы подсчитаем его 2 раза и получим неправильный ответ)
и каж ды й вариант попал в какой-либо из рассматриваемых случаев.
З а м е ч а н и е . Иногда этот прием формулируют в виде правила сло­
ж ения.
Пример 4 2 .
Правило сложения
В Ц
(разбор случаев)
......................... ■■■■.......... ................
Если множества А^, А2,
Ак не имеют общих элементов, то ко- *
личество элементов в их объединении равно сумме количества
элементов в каждом из множеств.
Приме р 43. Сколько существует ш естизначных чисел, в записи кото­
рых все цифры одинаковой четности?
□ Рассмотрим два случая: все цифры нечетны и все цифры четны.
Д ля случая всех нечетных цифр мы уже подсчитывали количество ва­
риантов — оно равно 15 625 (см. пример 40, б). Рассмотрим случай,
когда все цифры четны. В этом случае на первом месте может стоять
любая из 4 четных цифр (кроме 0), на втором — любая из 5 и т. д.
По правилу произведения общее количество вариантов в этом случае
равно 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 = 12 500. Общее количество вариантов равно
15 625 + 12 500 = 28 125. 1
Реш им задачу посложнее.
41 | §5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Пример 44. Сколькими способами можно поставить на ш ахматную
доску белого и черного королей так, чтобы они не били друг друга?
□ Белого короля можно поставить на любое из 64 полей. Однако ко­
личество полей, которые он при этом будет бить, зависит от его распо­
ложения. Поэтому необходимо рассмотреть три случая:
а) если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьет
3 поля и на одном поле стоит сам, и остается 60 полей, на которые
можно поставить черного короля;
б) если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких по­
лей — 24), то он бьет 5 полей и на одном поле стоит сам, и для черного
короля остается 58 возможных полей;
в) если же белый король стоит не на краю доски (таких полей 36),
то он бьет 8 полей и на одном поле стоит сам, и для черного короля
остается 55 возможных полей.
Таким образом, всего есть 4 • 60 + 24 • 58 + 36 • 55 = 3612 спосо­
бов расстановки королей так, чтобы они не били друг друга.
Как изменится ответ, если мы будем выставлять на доску двух бе­
лых королей (т. е. короли не будут отличаться)? 81
3. Размещения и перестановки
Рассмотрим два часто встречающихся типа комбинаторных задач
и введем специальные обозначения для их ответов.
П р и м е р 45. В фирме с 10 сотрудниками надо назначить директора
и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
□ Директора можно выбрать 10 способами и в каж дом варианте за­
местителя можно выбрать из 9 оставш ихся людей. Всего 10 • 9 = 90 ва­
риантов.
Обратим внимание, что в данном случае такж е использовано
правило умножения. 61
П р и м е р 46. Сколько существует способов выбрать 3 человек из 7 и рас­
ставить их в ряд?
□ Эта задача похожа на предыдущую. На первое место можно вы ­
брать любого из 7 человек, на второе место — любого из 6 оставш ихся
человек, на третье место — любого из 5 оставш ихся человек. Всего су­
ществует 7 • 6 • 5 = 210 вариантов. 61
Обобщим эти задачи и ответы в них.
Сколько существует способов выбрать к человек из п чело­
век и расставить их в ряд?
□ На первое место мы можем выбрать любого из п человек, на второе
место — любого из п - 1 человека и т. д., на к-е место — любого из
п + к - 1 человека. Всего получается п • (п - 1) • (п — 2) • ... • (п — к + 1)
вариантов. 61
П р и м е р 47.
42 I Глава I. Введение
ЯН^Н^ннммммншнншммнн
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е .......... ........... .........................■■■.......
— ............ —..........................
А* = п • (п - 1) • ... • (п - к + 1) называется числом размеще­
ний из п предметов по к и обозначается А* (читается: «а из
эн по ка»).
Число размещ ений показы вает, сколько существует способов по­
ставить в заданном порядке к выбранных элементов из п данных. Фор­
мулу для А к можно привести к виду А к — — —— .
(п - к)\
Напомним, что п\ — это произведение всех натуральных чисел от
1 до п. По определению считается, что 0! = 1.
П р и м е р 48. Сколько существует способов выстроить в ряд 5 человек?
□ На первое место можно поставить любого из 5 человек, на второе
место — любого из 4 человек и т. д., на предпоследнее место — любо­
го из 2 человек, на последнее место остается один человек. Всего
5 - 4 - 3 * 2 - 1 = 5!= 120 вариантов. Ш
В этом примере мы встретились с числом перестановок.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
I
— —
—— — —— —
■■. т
Количество способов переставить п различных предметов
называется числом перестановок и обозначается Рп.
Рассуж дая, как в примере 47, легко понять, что
Р п = п • (п - 1) • ... • 2 • 1 = п\.
Обратим внимание, что Рп = А% в силу одинакового комбинатор­
ного смысла величин, стоящ их по обе стороны знака равенства.
П р и м е р 4 9 . Сколько различны х слов можно получить, переставляя бу­
квы слова «эллипс»?
□ Если бы буквы «л» в слове «эллипс» были бы разные (например л х
и л 2), то количество перестановок букв слова «эллипс» равнялось бы 6!.
Однако, например, варианты «лхл 2эипс» и «л2л хэипс» на самом деле
представляют собой один и тот же вариант, а мы подсчитали его 2 раза.
Таким же образом дважды мы подсчитали каж ды й вариант, и, зна6!
чит, мы подсчитали удвоенное количество вариантов. Ответ: — = 360. ®
П р и м е р 50. На полке стоит 10 томов. Сколько существует таких рас­
положений книг, чтобы: а) тома 1 и 2 стояли рядом; б) тома 1 и 2 не
стояли рядом?
П а) Мысленно объединим тома 1 и 2 в один (раз они стоят рядом),
тогда у нас будет 9 томов и число перестановок будет равно 9!, но в к а ­
ждом варианте у нас есть два способа: поставить том 1 левее тома 2
или правее, таким образом, общее количество вариантов равно 9! • 2.
43 1 § 5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
б) В этой задаче встречается прием, часто используемый в комби­
наторных задачах. Если трудно подсчитать число перестановок, когда
тома 1 и 2 не стоят рядом, подсчитаем число перестановок, когда они
стоят рядом (а это мы уже сделали в первой задаче), и вычтем его из
общего числа перестановок, равного, очевидно, 10!. Ответ: 10! - 9! • 2. 61
П р и м е р 51. Сколько существует трехзначны х чисел, в записи которых
есть хотя бы одна шестерка?
□ И здесь удобно «перейти к дополнению». Всего трехзначны х чисел
9 • 10 • 10 = 900 (на первом месте не может стоять 0), чисел, в которых
нет шестерок 8 * 9 * 9 = 648. Таким образом, чисел хотя бы с одной
шестеркой 900 - 648 = 252. 11
Вообще говоря, при решении комбинаторных задач бывает (ино­
гда) легче найти количество комбинаций, не удовлетворяющих усло­
вию, если в формулировке имеются слова (или смысл) «хотя бы», «не
больше» и т. д.
4. Сочетания. Простейшие свойства сочетаний
Рассмотрим примеры.
П р и м е р 52. Сколько существует способов выбрать 3 человек из 7?
□ Рассуждение, аналогичное предыдущим (см. пример 46). Сначала
мы можем выбрать любого из 7 человек, на второе место — любого из
6 человек, на третье место — любого из 5 человек, всего 7 • 6 • 5 = 210
вариантов. Но! Заметим, что для трех человек А, Б и В мы подсчитали
эту тройку не один раз, а целых шесть: АБВ, АВБ, БВА, БАВ,
ВАБ, ВБА. И так мы сделали с каж дой тройкой, значит, чтобы полу­
чить правильный ответ, нам нужно 210 разделить на 6, т. е. ответ:
35 способов.
В предыдущих рассуждениях (когда мы расставляли трех выбран­
ных людей в ряд) все эти 6 вариантов были различны , а в данном слу­
чае порядок людей в тройке нам неважен! В
Обобщим эту задачу.
П р и м е р 53. Сколько существует способов выбрать к человек из п (без
учета порядка)?
□ На первое место мы можем выбрать любого из п человек, на вто­
рое место любого из п — 1 человека и т. д., на к-е место — любого из
п + к - 1 человек. Всего получается п • (п — 1) • (п —2) • ... • (п - к + 1)
вариантов. Рассмотрим набор из к людей. Заметим, что каж ды й такой
набор мы подсчитали к\ раз (так как порядок людей нам неважен, то
все варианты, отличающ иеся лиш ь перестановками этих к людей, —
это один и тот ж е вариант, а таких перестановок к\). Таким образом,
а
а
и
п • (п - 1) • ... • (п - к + 1)
число способов выбрать к человек из п р а в н о -------------------------
.В
44
Глава I. Введение
Полученное число называется числом сочетаний из п предметов
по к и обозначается Ск (читается «цэ из эн по ка»). И так,
гк _ 71-(п - 1)- ...-(71- к + 1)
"
к\
Приме р 54. Пусть в п-символьной последовательности из нулей и еди­
ниц имеется к нулей (а значит, п — к единиц). Подсчитаем число таких
последовательностей.
61 Д ля этого пронумеруем места, где стоят цифры, от 1 до п. Места,
где стоят нули, можно выбрать Скп способами, а после выбора мест, где
стоят нули, последовательность восстанавливается однозначно. Та­
ким образом, количество п-символьных последовательностей из нулей
и единиц, содержащих ровно к нулей, равно Ск . 11
З а м е ч а н и е . В решении мы могли выбирать места, где стоят не
нули, а единицы. Ответ тогда был бы С" ~к. П оскольку мы подсчитали
одно и то же количество последовательностей, только разными спосо­
бами, можно сделать вывод: Ск = С" ~к. Тот же вывод можно получить
и прямым сравнением выраж ений для Ск и С”~к.
Этот способ рассуждений часто встречается в комбинаторике. Для
того чтобы доказать некоторую формулу, можно придумать задачу,
ответом в которой будет и левая и правая часть формулы (и значит,
они равны).
Домножив числитель и знаменатель на (п - к)1, можно получить
более короткую форму записи:
п • (п - 1) • ... • (п - к + 1)
к\
71 • (п - 1) • ... • (п - к + 1)(тг - к)\
п\
к \(п - к)\
к \{п - к)\
Приме р 55. Сколько существует способов выбрать из полной коло­
ды карт 10 карт, чтобы среди них было ровно два короля, две дамы
и один туз?
□ Выбрать двух королей из четырех мы можем С | способами, вы­
брать двух дам из четырех тоже С | способами, одного туза — 4 спосо­
бами, оставш иеся 5 карт мы выбираем из 40 карт (без королей, дам
и тузов) С|о способами. Всего способов, согласно правилу умнож ения,
С |. С |- 4 . С 450. В
Приме р 56. Сколько существует способов выбрать из 20 человек 3 пары?
□
Выбрать первую пару можно С|0 способами, вторую пару —
способами, третью пару — С|б способами. Всего существует С|0 • С*ъ • С^6
способов. Но порядок пар нам неважен! Обозначим первую пару че­
рез А, вторую — через Б, третью — через В, тогда набор пар АБВ (как
45 1 §5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
и каждую другую тройку) мы подсчитали 3! = 6 раз, т. е. правильный
Г'З
п2 . ^16
/П(2 к ,
°20 . ^18
ответ: -----------------.
В
.
6
З а м е ч а н и е . Ответ С|0 • С^8 • С*6 был бы правильным, если бы мы
не только выбирали пары, но и, например, первую пару отправляли
бы в Амстердам, вторую — в П ариж , а третью — на уборку картош ки.
В этом случае порядок пар — к акая первая, к а к а я вторая, к ак ая
третья — был бы важен (особенно для людей из этих пар).
В следующем примере мы вновь встретимся с приемом, который
назовем переходом к дополнению.
Сколько существует способов выбрать 19 человек из 20?
□ Выбрать 19 человек — это все равно, что не выбрать одного чело­
века, а не выбрать одного человека можно 20 способами. Это и есть от­
вет задачи. 11
Докажем еще одно важное свойство чисел сочетаний, которое при­
годится нам в следующем пункте.
П р и м е р 57.
П р и м е р 58. Докажем, что Ск
п + Скп~1 = Ск +1.
□ Попробуем придумать комбинаторную задачу, ответом в которой
будет и левая, и правая часть равенства. Д ля правой части равенства
задачу придумать легко: сколько существует способов выбрать к чело­
век из п + 1?
Осталось понять, почему ответ в этой задаче не только Ск +1, но и
Ск +Скп- \ Д ля этого выберем из п + 1 человек одного, например Петю
Васечкина, и разобьем все варианты на два случая: 1) П етя входит
в число выбранных; 2) П етя не входит в число выбранных.
В первом случае, кроме Пети, нам нужно выбрать к - 1 человек,
но уже из п человек (без Пети). Это можно сделать Ск~г способами.
А во втором случае нам нужно выбрать к человек из п человек. И это
можно сделать Ск способами. Итого, окончательный ответ по правилу
суммы С* + С*“ \ т. е. С* +Скп~1= С* + 1. ®
З а м е ч а н и е . Легко было доказать это свойство, используя я в ­
ную формулу для числа сочетаний. Попробуйте это сделать самостоя­
тельно.
5. Бином Ньютона
Биномом Ньютона называется формула:
(а + Ъ)п = С°а" + С \а п~1Ь + ... +Ска п~кЬк + ... +С%Ьп .
(1)
В этой формуле п — натуральное число, а и Ъ — любые числа или
алгебраические вы раж ения.
46 | Глава I. Введение
^/Хсторический комментарий
Исаак Ньютон (1642(1643)—1727) — великий английский математик
и физик. В одном из основополагающих трудов «Математические начала на­
туральной философии» (1687) описал законы, позже названные в его честь,
и закон всемирного тяготения, являющиеся фундаментом классической ме­
ханики. Он открыл теорию рассеивания света, выяснив, в частности, причину
образования радуги. Построил зеркальный телескоп. Примерно в одно вре­
мя с немецким ученым Г. В. Лейбницем, Ньютон создал дифференциальное
и интегральное исчисление.
Будучи назначенным директором Монетного двора Англии, реформиро­
вал монетную систему, в частности, придумал наносить рифление на ребро
монеты (что предотвращало порчу монеты путем спиливания ее металла во­
круг контура). Исаак Ньютон являлся одним из основателей Лондонского Ко­
ролевского общества — аналога академии наук.
Интересно, что Ньютон значительную часть времени занимался во­
просами богословия, в частности, исследованием хронологии библейских
событий.
Благодаря литературе (например: «Тоже мне бином Ньютона», —
говорит Бегемот из романа М. Булгакова «Мастер и М аргарита»)1, на­
ряду с теоремой Пифагора бином Ньютона является одним из самых
известных математических понятий.
□ Д окажем эту формулу по индукции.
б а з а и н д у к ц и и , п = 1. а + Ъ = С ? а + С\Ь = а + Ь.
и н д у к ц и о н н ы й п е р е х о д . Пусть верна формула
(а + Ь)п = С%ап + С \ а п~1Ъ + ... + Ск
па п~кЬк + ... + С%Ъп.
Тогда
(а + Ъ)п +1 = (а + Ъ)п ( а + Ъ) =
= (С%ап + С \ а п~1Ъ + ... + Ска п~кЬк + ... + С"Ь")(а + Ъ).
Последнее равенство верно по индукционному предположению.
Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим
( а + Ь)п+1= С^ап+1+ (С1п
+С%)апЪ + ...+ (С* ”
1+ С*
1Интересно, что в рассказе «Последнее дело Холмса» А. Конан Дойль, ха­
рактеризуя профессора Мориарти, говорит, что тот потряс ученый мир Евро­
пы своим трактатом о биноме Ньютона. Однако в то время (вторая половина
XIX в.) ничего нового и потрясающего про бином Ньютона доказать было не­
возможно! И Булгаков, и Конан Дойль используют понятие «бином Ньютона»
как синоним некоторого сложного недоступного знания, что, как вы убеди­
тесь, отнюдь не так!
47 1 §5. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона
Так как Ск + С кп~г = Ск +1 (см. пример 58) и С" = С®+1, то
(а + Ь)п + 1= С°п + 1а п + х + Сгп + 1а пЬ + ... + Скп +1а п~к +1Ьк + . .. +С% +1Ьп + \
Следовательно, равенство (1) верно. 61
Данную формулу можно доказать и по-другому.
Рассмотрим процесс перемножения п скобок (а + Ъ) • (а + Ъ) • ... х
х (а + Ъ) до приведения подобных слагаемых. Каждое слагаемое полу­
чается так: из каких-то к скобок берем множитель а, а из оставш ихся
п - к скобок — множитель Ъ. В результате получается слагаемое вида
акЪп~к. Ясно, что таких слагаемых будет несколько, а именно столько,
сколько способов выбрать из п скобок те к скобок, в которых берется
множитель а. А это число способов и равно Ск . Поэтому в итоговую
сумму слагаемое вида а кЬп ~к входит с коэффициентом Ск , и так для
всех целых к от 0 до п.
Пример 59. Чему равна сумма С® + С\ + ... + С" ?
□ Подставим в формулу бинома Ньютона значения а - 1 и Ъ - 1.
Получим 2п = (1 + 1)" = С°1Л + С \ I " " 1! + ... + Ск 1п~к1к + ... + С" 1п =
= С® + С\ + ... + С ", таким образом, ответ: 2п.
Эту формулу можно было бы доказать, придумав комбинаторную
задачу, ответом в которой будет как левая, так и правая часть. П риме­
ром такой задачи может служить следующая: сколько существует по­
следовательностей 0 и 1 длины п?
Вычислить количество п-символьных последовательностей из ну­
лей и единиц можно двумя способами:
1. Сложить найденные в примере 54 количества п-символьных
последовательностей, в которых имеются 0 нулей (их будет С®), 1 нуль
(их будет С^), 2 нуля (их будет С^), ..., п нулей (их будет С"). П олу­
чим, что всего п-символьных последовательностей из нулей и единиц
будет
С® + С* + С* +... + С " .
2. На каждом из п мест в последовательности может стоять нуль
или единица, т. е. имеется два варианта заполнения каждого места.
Варианты заполнения разных мест независимы. Поэтому, применив
правило произведения, получаем, что количество п-символьных по­
следовательностей из нулей и единиц равно 2п.
Поскольку полученные два вы раж ения имеют один и тот ж е ком­
бинаторный смысл, то они равны. 11
Пример 60. Какое слагаемое в разлож ении вы раж ения (1 + л/З)100 ПО
формуле бинома Ньютона будет наибольшим?
□ Рассмотрим отношение (к + 1)-го члена разлож ения бинома Нью­
тона к к -му члену. Оно равно
С & о Х- ( У 5 ) * +1 = _________ 1 0 0 !_________
С*,0 • (л/З)*
<* + 1)! (Ю0 -
к - 1)! '
/г! (1 0 0 - /г)1
100!
дт = ( 1 0 0 - &)л/з
‘У
+ 1
’
Если это отношение больше 1, то {к + 1)-й член разлож ения боль­
ше й-го.
48 1 Глава I. Введение
(100 — к)у[3
.
.
100л/3 - 1
по
Реш ив н еравенство ---------- -— > 1, получим к < ---------——~ 63,03,
к +1
1+ л/З
т. е. при значениях к от 1 до 63 включительно следующее слагаемое
больше предыдущего, таким образом, наибольшее слагаемое будет при
к - 64. Ответ: С^о *(л/З)64. Н
П р и м е р 61- Какой коэффициент будет в разлож ении вы раж ения
(х + у + г)566 при х 500у 10г 56?
□ Раскроем скобки и не будем приводить подобные слагаемые. Сте­
пень каждого одночлена будет равна 566, при этом нам нужно подсчи­
тать, сколько одночленов вида х 500у 102 ь6 у нас получилось. Но при рас­
кры тии скобок одночлен х 500у 102 56 будет получаться, если мы из
500 скобок выберем х, из 10 скобок выберем у и из оставш ихся 56
Л
*
^500 пю
-------- . -®
выберем
г . гг
Таким образом:
СйЯ*
•
= (500+ 10+ 56)!
—=566!
566
66
500! 10! 56!
500! 10! 56!
С^б. Особенности множества вещественных чисел
1. Представление о множестве вещественных чисел
С натуральными числами вы сталкивались еще до поступления
в ш колу. П рактически все умеют считать, и могут находить сумму или
произведение натуральны х чисел. Н атуральные числа появились так
давно, что каж ется, что с человечеством они были всегда. Недаром не­
мецкий математик XIX в. Л. Кронекер сказал: «Натуральные числа
создал Бог, все остальное — дело рук человеческих».
сторическии комментарии
Леопольд Кронекер (1823—1891) — немецкий математик. Один из
основоположников линейной алгебры (в части теории решения систем ли­
нейных уравнений), классик теории чисел. Считал, что только арифметика
обладает подлинной реальностью. После окончания Берлинского универси­
тета он занялся финансовой деятельностью и весьма преуспел. Любовь
к математике привела к тому, что Кронекер преподавал без вознаграждения
в Берлинском университете в течение многих лет.
Естественным образом в ж изни человека появляю тся такж е и дро­
би. Каждому известно, что такое четверть яблока или половина пирога.
Н аконец, отрицательные числа такж е возникают в реальной практике
(например, в средневековой Индии отрицательное число интерпретиро­
вали как долг).
Таким образом, то числовое множество, которое сейчас называет­
ся «Множество рациональны х чисел», давно и хорошо знакомо челове-
49 I §6. Особенности множества вещественных чисел
честву. В частности, ещ е в Д ревней Греции получали р езу л ьтаты , от­
носящиеся к рац иональн ы м числам .
Однако, тот ф акт, что отнош ение д лины диагон али к в ад р ата
к длине его стороны не я в л я ет ся рац и он альн ы м числом , привел к к р и ­
зису древнегреческой м атем ати к и , распаду ш к о л ы П иф агора и д аж е,
по легенде, к убийству у ч ен и к а П иф агора, обнародовавш его этот ф акт.
Мы не будем в наш ем учебнике строить теорию вещ ественного
числа (то, к а к вещ ественны е чи сла получаю тся из р ац и о н альн ы х ),
удовлетворивш ись им ею щ им ся у каж дого из вас представлением о ве­
щ ественных числах и о том, что они склад ы ваю тся и ум нож аю тся по
тем ж е закон ам , что и рац и он альн ы е чи сла, и так и м ж е образом их
можно сравнивать по величине.
К ак известно, каж д о е вещ ественное число м ож но изо б р аж ать точ­
кой на числовой оси. Р ац и о н ал ьн ы е числа зап олн яю т ось не цели ком
(хотя м еж ду двум я р ац и о н альн ы м и числам и всегда есть ещ е хотя бы
одно, наприм ер, их полусум м а). Н а оси есть «ды рки». Д олж но бы ть
некоторое свойство м нож ества вещ ественны х чисел, описы ваю щ ее,
как заполнены эти «ды рки». Т ак и м образом, с помощ ью этого свойст­
ва можно получить м нож ество вещ ественны х чисел расш ирением м но­
жества рац и он альн ы х чисел.
Напомним следующие стандартные обозначения числовых множеств:
N — множ ество н ату р альн ы х чисел,
2 — множ ество ц елы х чисел,
— множ ество рац и он альн ы х чисел,
К — множ ество вещ ественны х чисел.
О Предостережение . Н екоторы е у ч ащ и еся путаю т, п р и н и м ая
множество рац и он альн ы х чисел за К (видимо, сч и тая, что К — первая
буква слова «рациональны й»). К — первая буква ф ранцузского гее1е
и английского геа1 — вещ ественны й, р еал ьн ы й , действительны й.
2. Ограниченные числовые множества.
Точные верхние и нижние границы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
л---
Числовое множество А называется ограниченным сверху ,
если ЗМ : \/х е А х ^ М. Число М называется верхней грани­
цей множества (рис. 1.10).
Рис . 1.10
Пример 62. Любой отрезок я в л я ет ся огран иченн ы м сверху м нож ест­
вом. Т акж е множ еством , ограниченны м сверху, я в л я ет ся м нож ество
А = {х е
х 2 ^ 3}. Его верхней гран ицей я в л я ет ся , наприм ер, число
100 (ясно, что все рац иональн ы е чи сла, к вад р ат которы х м еньш е 3,
будут меньш е 100). 61
50 1 Глава I. Введение
Если М — верхняя граница множества А , то любое число, боль­
шее М , такж е верхняя граница множества А .
Отметим, что у множества всех натуральных чисел, меньших 100,
есть верхняя граница, принадлеж ащ ая самому множеству, — это
число 99. В то же время у множества чисел вида
такой
верхней границы нет. Такж е нет верхней границы, принадлежащей
самому множеству, у множества А из предыдущего примера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
..............
«■— ....... ■■■.................-
Верхняя граница числового множества, принадлежащая са­
мому этому множеству, называется максимальным элемен­
том или максимумом множества.
Обозначение максимального элемента множества А: шах А.
Таким образом, у множества натуральны х чисел, меньших 100,
1
есть максимальный элемент, а у множества чисел вида \ —п : п е N ? ,
а такж е у множества А = {х е ($: х 2 ^ 3} максимального элемента нет.
Аналогично определяются понятия числового множества, ограни­
ченного снизу, ниж ней границы и минимума множества.
Обозначение минимального элемента множества А: пип А.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
I
.....................................................
— -------------- --
Числовое множество, ограниченное сверху и снизу, называ­
ется ограниченным.
Ограниченное множество содержится в некотором отрезке число­
вой прямой.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ................... .... - —
........ ............................. ——
..................... .
Пусть А — непустое ограниченное сверху множество. Пусть
МА — множество его верхних границ. Если в МА есть наи­
меньший элемент, то он называется супремумом множест­
ва А.
Обозначение: вир А. С помощью введенных обозначений определе­
ние супремума множества записывается так: вир А = ш т М А(рис. 1.11).
А
Рис. 1.11
МА
х
Таким образом, чтобы найти супремум множества, согласно опре­
делению нужно найти множество верхних границ данного множества,
а затем взять его наименьш ий элемент (если он есть).
51 I § 6. Особенности множества вещественных чисел
Аналогично инфимумом ограниченного снизу непустого числового
множества В называется наибольш ий элемент в множестве ниж них
границ (если он существует).
Обозначение: игЕВ.
Если В — ограниченное снизу множество и тв — множество его
нижних границ, то игЕВ = т а х т в .
Супремум и инфимум м нож ества так ж е назы ваю тся т очной
верхней границей и точной ниж ней границей м нож ества соответст­
венно.
Пример 63. Пусть А = {х е К: 0 ^ х ^ 1}. Тогда множество верхних
границ А — луч [1; + о о ). Число 1 — наименьш ий элемент в множестве
верхних границ. Поэтому вир А = 1. Ш
П р и м е р 64. Рассмотрим А = {х е ф: х 2 < 1}. Д окаж ем, что множество
всех его верхних границ — [1; + о о ) и найдем вир А.
□ Действительно, если у ^ 1, то у 2 ^ 1, а тогда Ух е А у 2 ^ х 2. Н ера­
венство у 2 ^ х 2 равносильно неравенству | */ | ^ | х| , откуда, с учетом
того, что у — положительное число, получаем у ^ \х\. В свою очередь,
\х \ > х. И так, у ^ х.
Таким образом, все у ^ 1 являю тся верхними границами мно­
жества А.
Пусть теперь у < 1. Тогда Зх е (?: (у < х < 1) л (х > 0). Но х 2 < 1,
поэтому х е А. И так, поскольку наш елся элемент А, больший у , в зя­
тый нами у не является верхней границей для А.
Теперь видно, что наименьшей границей среди верхних границ
является число 1, значит, вир А = 1.
Итак, в данном случае множество А , состоящее из рациональных
чисел, имеет своим супремумом такж е рациональное число. 111
П р и м е р 65. Пусть А = {х е ф: х 2 < 3}. Это множество ограничено свер­
ху, однако рационального супремума оно не имеет. 111
И так, если ограничиваться рассмотрением множества рациональ­
ных чисел (?, то его ограниченные сверху подмножества могут как
иметь супремум в (?, так и не иметь его.
------Пример
66. Рассмотрим пустое множество. Разумно считать его
| ограниченным. Ведь, например, определение ограниченности свер­
ху множества А можно записать так: 3М: Ух ((х е А) —> (х ^ М )).
Если А = 0 , то посылка импликации будет ложной, а значит, вся
импликация — истинной. При этом истинной эта им пликация бу­
дет при всех М . Таким образом, верхней границей пустого множ е­
ства служит любое вещественное число. Пустое множество не имеет
супремума. Иногда, впрочем, полагают для записи вир 0 = - о о .
Аналогично записывают
0 = + о о , отмечая тот ф акт, что среди
нижних границ пустого множества нет наибольшей. 1 1 ________
52 I Глава I. Введение
3. Аксиома полноты
Д ля множества вещественных чисел принимается верной аксиома
по лно т ы , вы раж аю щ ая тот ф акт, что изображения вещественных чи­
сел на оси заполняют ось целиком, не оставляя «дырок». Она имеет не­
сколько равносильных формулировок, каж дая из которых может быть
принята за аксиому, а тогда остальные будут уже теоремами. В нашем
изложении полноту прямой будет задавать следующая аксиома.
Аксиома супремума
Любое непустое ограниченное сверху множество вещественных
чисел имеет супремум. Иначе говоря, множество верхних границ лю­
бого ограниченного сверху множества имеет наименьший элемент!
Это и есть та недостающая аксиома, которая отличает вещест­
венные числа от рациональны х. А именно, множество веществен­
ных чисел есть множество супремумов всевозможных ограничен­
______
ных сверху подмножеств рациональных чисел.
У т в е р ж д е н и е — ——
н
— — —■
— —— ----- —-■
. Любое ограниченное снизу числовое множество имеет инфимум.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть В — числовое множество, ограничен­
ное снизу. Пусть т — одна из ниж них границ множества Б . Тогда
Ух е
г > гг У множая неравенство на (-1), получаем Ух е В
- х ^ —т. Иначе говоря, число —т является верхней границей мно­
ж ества А — {-х: х е В). Обратно: если М — верхняя граница множе­
ства А , то Уу е А у ^ М , что после умнож ения на (-1) дает Уу е А
—у ^ —М . Однако —у е Б , причем если у принимает все значения из А,
то —у принимает все значения из Б . И так, Ух е В х ^ —М (рис. 1.12).
1
1
1
►
А
зирА 0
т!Б
Б
х
Рис.
1.12
Таким образом, каж дая н и ж н яя граница множества Б являет­
ся числом, противоположным соответствующей верхней границе
множества А, и наоборот. Но в множестве верхних границ множест­
ва А есть наименьш ий элемент. Тогда ему противоположный будет
наибольшим в множестве ниж них границ множества Б , т. е. т 1 Б . I®
У т в е р ж д е н не
............■■ ■■■.........
г
Пусть А и В — два непустых числовых множества, причем Ухе А
Уу е В х ^ у . Тогда зир А ^
В (рис. 1.13).
1
зир А
А
Рис.
1.13
1
т !Б
Б
►
х
|53 ; 1 §7. Мощность множеств
д о к а з а т е л ь с т в о . Множество А ограничено сверху (его верхней
границей является, например, любой элемент из множества В). Зн а­
чит, существует вир А, я в л я ю щ и й с я наименьшей из верхних границ
множества А. Но поскольку любой элемент из множества В является
верхней границей множества А , то \/у е В вир А ^ у (по определению
супремума). Тогда вир А является нижней границей множества В
(по определению нижней границы), а игЕВ, являясь наибольшей из
нижних границ, будет больше либо равен любой ниж ней границы,
в том числе и вир А. И так, вир А ^ пгЕВ. 11
□
Мощность множеств
1. Как установить, равны ли количества элементов
в двух множествах
Представим себе бал, на котором присутствуют юноши и девуш ки.
Распорядитель бала хочет узнать, поровну ли юношей и девуш ек,
а если нет, то кого из них больше?
Естественно, первый способ узнать это — просто сосчитать коли­
чество тех и других, а затем сравнить числа между собой. Однако
в случае большого количества участников бала этот способ займет
слишком много времени.
Есть и другой способ: объявить вальс, призвать всех танцевать и
посмотреть, все ли разбились на пары. Если да, то юношей и девушек
поровну. Если нет, то тех, кто остался, больше и можно даж е узнать,
на сколько больше.
Это простое соображение и леж ит в основе общего подхода к про­
блеме подсчета «количеств элементов» в различны х множествах.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ---------------------------------------------------------- ---------------- —
_
_
Два множества называются равномощными, если между
этими множествами существует взаимно-однозначное со­
ответствие1.
Например, все множества из трех элементов равномощ ны, так как
можно сопоставить первый элемент одного множества первому элемен­
ту второго, второй элемент первого множества второму элементу вто­
рого множества и, наконец, третий элемент первого множества треть­
ему элементу второго.
Очевидны следующие естественные свойства равномощ ных мно­
жеств:
1.
Два множества, равномощные третьему, равномощны между
собой.
1Подробно о взаимно однозначном соответствии см. главу IV.
$Л§] Глава I. Введение
2. Если м нож ество А равном ощ но м нож еству Б , то и м нож ество В
равном ощ но м нож еству А .
3. Множество равномощно самому себе.
Эти свойства напоминают свойства равенства, параллельности, ра­
венства фигур в геометрии и т. п.
2. Счетные множества
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е -------------------------------------------- ------------------------ ------------------ -----------
Множество, равномощное множеству натуральных чисел,
называется счетным.
Казалось бы, что здесь удивительного? Но здесь нас и подстерега­
ют неожиданности.
П р и м е р 67. М нож ество н ату р альн ы х чисел, больш их 2, счетно.
□
Пусть А = {п е N1 п > 2}. Рассмотрим следующее взаимно-одно­
значное соответствие: числу п е А поставим в соответствие число
п —2. Ясно, что при этом каждому числу из множества А будет по­
ставлено в соответствие натуральное число, разным числам из А будут
соответствовать разные натуральные числа и каж дое натуральное чи­
сло будет соответствовать какому-то числу из множества А . 11
И так, оказалось, что в множестве натуральных чисел столько же
элементов, сколько в его подмножестве, образованном выкидыванием
двух элементов! Невозможно, чтобы при выкидывании из конечного
множества двух элементов в нем осталось столько же элементов,
сколько было!
П р и м е р 68. О бъединение двух н епересекаю щ ихся счетны х множ еств
счетно.
□
Пусть А и Б — два счетных непересекаю щихся множества. То­
гда существует взаимно-однозначное соответствие /, ставящее в соот­
ветствие элементы множества А всем натуральным числам, и вза­
имно-однозначное соответствие ё, ставящ ее в соответствие элементы
множества Б всем натуральным числам. Пусть /(х ) = п. Поставим в со­
ответствие элементу х е А натуральное число 2п. Если ё (у ) = пг, поста­
вим в соответствие элементу у е В натуральное число 2пг - 1. В резуль­
тате элементам множества А поставлены в соответствие все четные
натуральные числа, а элементам множества Б — все нечетные нату­
ральные числа. Следовательно, объединение множеств А и Б счетно. 11
И так, в одном множестве столько же элементов, сколько в двух
таких же!
Но и это еще не все.
П р и м е р 69. Множество рациональны х чисел счетно.
□
Р асп олож и м рац и он альн ы е ч и сл а в виде бесконечной п и рам и д аль­
ной таблицы :
Мощность множеств
В строке таблицы с номером п стоят рациональные числа, пред­
ставленные в виде несократимых дробей, у которых сумма модулей
числителя и знаменателя равна п. Ясно, что в каж дой строке, кроме
первой, не более 2п — 2 чисел (где п — номер строки). Теперь будем
обходить числа, начиная с 0, по марш руту, показанному на рисунке,
и присваивать натуральные номера встречающимся числам.
Приведем номера нескольких первых чисел, записав под номером
соответствующее ему число в таблице:
п
1
Л
Яп 0
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1
2
1 1
2
3
1 1
1 1
1
2 2
1
1
3 3
3
1
4
1
3
2
2
3
1 1
4 4
2
3
3
2
4
1
5
1
Ясно, что таким образом все рациональные числа будут пронуме­
рованы, а это и есть искомое соответствие между множеством рацио­
нальных чисел и множеством натуральны х чисел: каж дому рацио­
нальному числу соответствует его номер. 11
3. Несчетные множества
Может показаться, что все множества счетны. Однако это не так.
Т Е О Р Е М А К А Н Т О Р А (1 8 7 4 г.) ----------------------------------- ------------------------- ----- -
Н Н
Множество вещественных чисел отрезка [0; 1] не является
| счетным.
56 I Глава I. Введение
д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть утверждение теоремы неверно и множе­
ство чисел отрезка [0; 1] счетно. Это значит, что их можно занумеро­
вать, т. е. каждому числу присвоить натуральный номер.
Запиш ем числа в столбик по порядку номеров. При этом каждое
число запиш ем бесконечной десятичной дробью и не будем допускать
числа с «хвостом» из одних девяток. Например, вместо 0,19999999...
будем писать 0,200... .
Получилась следующая запись:
0, а 1а 2а 3...
о»
з***
0» с1с2с3...
□
Сконструируем теперь десятичную дробь по следующему правилу.
Запиш ем 0, а после запятой на первое место поставим цифру, отлич­
ную от а х и от 9, на второе место — цифру, отличную от Ъ2 и 9, на
третье — отличную от с3 и 9 и т. д. В результате получится десятичная
дробь, которая не упомянута в списке дробей, так к ак с каж дой из напи­
санных различается хотя бы в одной цифре! Получили противоречие
с тем, что все числа отрезка [0; 1] были пронумерованы. 111
Самостоятельно подумайте, зачем нужно было выбирать цифры,
отличные от 9.
^Исторический комментарий_______________________________
Георг Кантор (1845—1918) — немецкий математик, основатель совре­
менной теории множеств. Ввел понятие равномощных множеств, доказал неравномощность множества точек отрезка и множества натуральных чисел,
сформулировал аксиому непрерывности, занимался теорией рядов и другими
вопросами. Из соображений о мощностях доказал, что существуют числа, не
являющиеся корнями многочленов с целыми коэффициентами. Работы Канто­
ра оказали революционное влияние на математику. Как сказал великий Д. Гиль­
берт: «Никто не изгонит математиков из рая, созданного для них Кантором».
Можно показать, что множество точек отрезка [0; 1] равномощно
множеству всех вещественных чисел, которое, в свою очередь, равно­
мощно множеству точек плоскости, а такж е получить много других
удивительных и захваты ваю щ их дух следствий.
Однако завершим параграф следующим определением:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
................
— .....................................................................
Множество называется бесконечным, если оно равномощ­
но некоторому своему подмножеству, отличному от себя
самого.
Именно потому, что множество натуральны х чисел равномощно,
например, множеству четных чисел, можно сказать, что оно беско­
нечно!
_______
ЭЛУ §8. Уравнения с одной переменной. Равносильность и следование
Уравнения с одной переменной.
Равносильность и следование
1. Понятие уравнения и его корня
С понятиями уравнения и неравенства мы постоянно имели дело
в курсе основной ш колы.
Пусть задано множество М . Уравнением с одной переменной бу­
дем называть равенство вида /(х ) = ^г(х), где /(х ) и ^г(х) — вы раж е­
ния, имеющие смысл при подстановке значений переменной х из мно­
жества М .
На протяжении нашего курса множество М обычно будет число­
вым множеством.
х+1
Пример 70. а) —- — = х — уравнение, обе части которого имеют смысл
при подстановке вещественных х, не равных 0, т. е. М = В\{0}.
б)
НОД (х; х + 3) = НОД (3; х) — это уравнение, вы раж ения в обе­
их частях которого имеют смысл лиш ь при целых значениях перемен­
ной х, т. е . М = 2 . №
Таким образом, уравнение — это предикат специального вида
с одной переменной, заданный на некотором числовом множестве.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е .........................
— ------------------
|
I Значение переменной, при подстановке которого в уравне1 ние получившееся равенство будет верным, называется
корнем уравнения.
Решить уравнение означает найти все его корни или дока­
зать, что их нет.
Следовательно, ответом в уравнении является множество всех его
корней. Это множество должно удовлетворять двум требованиям:
1. Все его элементы являю тся корнями уравнения.
2. Никаких других корней, помимо указанных, уравнение не имеет.
Нетрудно видеть, что реш ить уравнение означает найти множест­
во истинности соответствующего предиката.
Мы знаем два способа задания множеств: перечислением и х ар ак ­
теристическим свойством.
Например, множество корней уравнения 1 из примера 70 м ож ­
но задать так: | х е К:
Ясно, что этот ответ абсолютно вер­
ный, но никому не нуж ный. Поэтому понятие реш ения уравнения
нужно уточнить, наложив ограничение на способ описания множества
корней.
58 ! Глава !. Введение
Сформулируем это ограничение следующим образом:
Решить уравнение означает представить множество его корней
в виде объединения промежутков (отрезков, интервалов, полу­
интервалов и лучей) и множеств, состоящих из отдельных точек.
Обычно ответ уравнения выписывают «слева направо» — в поряд­
ке следования корней на числовой оси.
Например, ответ уравнения |х |( х + 1) = х ( х + 1) — множество
{-1} У [0; +оо).
Иногда множество корней уравнения представляет собой хорошо
известное множество (например, множество корней уравнения 2 при­
мера 70 — это множество всех целых чисел). Естественно, что нет
смысла перечислять по отдельности все целые числа для записи ответа
в данном уравнении. Можно просто записать в ответе 2 .
Конечно ж е, не всегда ответ уравнения можно записать в требуе­
мом виде. Например, некоторые уравнения могут иметь ответом мно­
жество всех рациональны х чисел, больших 5. Однако подавляющее
большинство реш аемых нами уравнений допускают запись ответа
в требуемом виде.
2. Область определения уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
— ....
■■■■........
- .......... ... ........ ........
(Естественной) областью определения уравнения (иногда —*
областью допустимых значений уравнения) называется мно­
жество всех значений переменной х, при которых обе части
уравнения одновременно имеют смысл.
Д ля краткости мы будем использовать аббревиатуру ООУ для за­
писи области определения уравнения.
В дальнейшем если не указы вается множество М , на котором за­
дано уравнение, то подразумевается, что уравнение задано на естест­
венной области определения.
Возникает вопрос: насколько это понятие необходимо и нужно ли
начинать решение уравнения с поиска ООУ? Безусловно, знание ООУ
полезно, поскольку среди значений переменной, не входящ их в об­
ласть определения, заведомо нет корней уравнения. Тем самым сужа­
ется круг поиска, и задача может упроститься.
В то же время, далеко не всегда стоит начинать решение уравне­
ния с нахож дения его области определения. Может случиться, что на­
хождение области определения уравнения н икак не облегчает отбор
корней, да и само по себе может оказаться слиш ком сложной задачей,
даж е сложнее, чем само уравнение.
ш \ §8. Уравнения с одной переменной. Равносильность и следование
Гораздо важнее следить за изменениями области определения
при преобразовании уравнения, которые могут привести к потере кор­
ней (в случае суж ения ООУ) или приобретению посторонних корней
(в случае расш ирения ООУ).
Вот несколько интересных примеров, связанны х с понятием ООУ:
Реш им уравнения:
а) —= 0. Левая часть этого уравнения равна 0 всюду, кроме х = 0.
П р и м е р 71.
Число 0 не входит в ООУ. Поэтому множеством корней этого уравне­
ния является ( - о о ; 0) II (0; + о о ).
х2
б) — = 0. У этого уравнения нет корней.
в)
^ |
~2
= х — 2. Сократив дробь в левой части уравнения, пох- 1
лучим х —2. Равенство х —2 = х — 2 выполнено при всех значениях х.
Таким образом, если не учесть ООУ, можно получить неправильный
ответ — множество вещественных чисел. С учетом ООУ получаем от­
вет ( - о о ; 1 ) II ( 1 ; + о о ).
г) у[х — у[х = 0. Множество корней уравнения: [0; + о о ). И
При стандартных преобразованиях уравнений примера 71 (на­
пример, при сокращ ении дроби) происходит расш ирение области опре­
деления, которое может повлечь появление «лишних корней». Таким
образом, в уравнениях данного примера нахождение ООУ было по­
лезным.
1
5
= —.
П р и м е р 72. Рассмотрим у р авн ен и е -----------------
1+ Т7 = 1 =
1+
1+
^
Решив его, не обращая внимание на ООУ, получаем х = 1. Оче­
видно, что найденное значение х принадлеж ит ООУ, поскольку при
положительных х все знаменатели получающ ихся дробей будут поло­
жительны, а никаких других причин для суж ения ООУ, кроме воз­
можного деления на 0 , нет.
В то же время нахождение ООУ данного уравнения довольно гро­
моздко (можете найти его самостоятельно).
Таким образом, в данном случае поиск ООУ нецелесообразен. 11
П р и м е р 73. Рассмотрим уравнение у/х - 1 + л/З - Зх = х 2 - 1. ООУ этого
уравнения состоит из одного числа х = 1. Подстановкой убеждаемся,
что это число является корнем уравнения.
Таким образом, в этом примере поиск ООУ явился ключевым мо­
ментом реш ения. 1 1
60 1Глава I. Введение
П р и м е р 74. Рассмотрим уравнение д/х3 — х —1 = д/х3 + х - 4. Здесь
найти ООУ в приемлемом виде просто невозможно. В то же время,
из необходимости для равенства радикалов равенства подкоренных
выраж ений получаем х = —. Непосредственной подстановкой убежда2
3
емся, что подкоренное выражение левой части уравнения при х = и
положительно. Проверять положительность подкоренного выражения
правой части нет необходимости, поскольку при х = — оба подкоренСа
ных вы раж ения равны. Коль скоро одно из них положительно при
данном значении х, то другое тоже. Ответ: х =
Ш
Са
Другие примеры, связанные с необходимостью поиска ООУ, будут
рассмотрены далее.
И так, единого рецепта по поводу необходимости оты скания ООУ
нет. В сякий раз, реш ая конкретное уравнение, нужно отдельно ре­
ш ать вопрос о необходимости оты скания ООУ.
3. Равносильность и следование
Пусть даны два уравнения: / (х) = ^, (х) (1) и
(х ) = &2 (х ) (2).
Обозначим множество корней уравнения (1) через М 19 а множест­
во корней уравнения ( ) через М 2.
П оскольку уравнения являю тся предикатами, то можно рассмот­
реть следование уравнений как следование предикатов.
1
1
/ 2
2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
-—
------- —
-----------
— -----------
Если М! с: М2, т. е. если каждый корень уравнения (1) явля­
ется корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется
следствием уравнения (1) (запись: (1) => (2)).
Например, уравнение х 2 —4 = 0 является следствием уравнения
х - 2 = 0, т. е. х - 2 = 0 = > х 2 - 4 = 0. Действительно, множество реше­
ний первого уравнения М х = {2} содержится в множестве решений вто­
рого уравнения М 2 = {- 2 ; 2 }. Заметим, что обратного следствия нет.
Следствием уравнения, множество решений которого пусто, явля­
ется любое другое уравнение.
Точно такж е понятие равносильности предикатов может быть
применено и к уравнениям:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
|
...............
—
Если множества решений уравнений М 1 и М2 совпадают, то
уравнения (1) и (2) называются равносильными.
З а м е ч а н и е . Если уравнения равносильны, то каждое из них яв­
ляется следствием другого.
8. Уравнения с одной переменной Равносильность и следование
Эти определения естественны, но иногда расходятся с наш ими
обычными представлениями: когда мы говорим о следовании или
равносильности, мы невольно (опираясь на привычный опыт) пред­
ставляем себе какую-то связь между формами записи уравнений,
«получение» одного уравнения из другого какими-то преобразова­
ниями.
1
5
Равносильны ли у р авн ен и я
= 0 и —-----------= 0? Да! Множестх - 2
х6 + х + 1
во решений каждого уравнения пусто, поэтому они равносильны. При
этом одно уравнение н икак «не получается» из другого.
Наличие следования или равносильности между двумя уравнения­
ми зависит, в том числе, и от областей определения этих уравнений. Н а­
помним, что в определение уравнения входит множество М , на котором
рассматривается это уравнение. В связи с этим говорят о равносиль­
ности уравнений на каком-то множестве чисел. Например, уравнения
х2- 4 = 0 и х - 2 = 0 равносильны на множестве всех положительных
чисел (или, например, на множестве натуральны х чисел), но не равно­
сильны на множестве К.
Обычно (кроме специально оговариваемых случаев) мы будем рас­
сматривать уравнения на естественной области определения и го­
ворить, что уравнения равносильны, опуская слова «на естественной
области определения».
4, Логика решения уравнения. Преобразования уравнений
Рассмотрим несколько способов реш ения уравнений.
Использование равносильных преобразований
Этот метод состоит в приведении уравнения к простейшему урав­
нению х = а или совокупности уравнений такого вида (или к системе
уравнений или неравенств или даже к совокупности таких систем, для
каждой из которых ответ получается стандартным образом).
Особенность метода состоит в том, что на каж дом шаге в цепочке
преобразований не происходит изменения множества решений исход­
ного уравнения, т. е. нет ни потери корней, ни приобретения посто­
ронних корней.
Осталось понять, какие преобразования будут заменять уравнение
равносильным ему (такие преобразования будем назы вать равносиль­
ными).
Например, в курсе основной ш колы мы пользовались тем, что
множество решений уравнения не меняется, если:
1 ) к обеим частям уравнения прибавить одно и то ж е число;
2 ) обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то ж е от­
личное от нуля число.
62 | Глава I. Введение
О казывается, если слово «число» заменить на слово «выражение»
или «функция», ситуация услож няется. Имеют место следующие
утверждения:
Утверждение 1
........................... . ■■■
Пусть дано уравнение Цх) = д (х). Если функция ср(х) определена
при всех значениях х из области определения этого уравнения,
то Г(х) = д (х) «=> Г(х) + ср(х) = д (х) + <р(х).
К о м м е н т а р и й . Здесь существенным является условие: «функция
ср(х) определена при всех значениях х из области определения этого
уравнения». Если это не так, может произойти потеря корней. Дейст­
вительно, если х — а — корень уравнения /(х ) = #(х), — не входит в
область определения функции (р(х) (т. е. если (р(а) не определено), то
число а не является корнем уравнения /(х ) + (р(х) = &(х) + (р(х), т. е.
произош ла потеря корня.
П р и м е р 75. Уравнения х + 3 = 2 и х + 3 + л[х = 2 + л[х не равносильны!
Единственный корень первого уравнения (х = -1 ) не является корнем
второго уравнения, которое вообще не имеет вещественных корней. 1 1
Приме р 7 6. После упрощ ения уравнения х 2 + х + л/х - 1 = л/х - 1 + 2
получим х 2 + х — 2 = 0, откуда х = 1 или х = -2 . Но при этом х = -2 не
является корнем исходного уравнения! Корнем исходного уравнения
является 1 . 1 1
Ситуации примеров 75 и 76 стали возможными благодаря тому,
что в процессе преобразований изменилась область определения урав­
нения. В частности, в примере 76 уравнение, равносильное исходному,
может быть записано так: х 2 + х —2 + л/х - 1 - л/х - 1 = 0. Знаки ради­
калов в записи этого уравнения «напоминают» о том, что ООУ являет­
ся луч [1; +оо). Можно такж е записать систему, равносильную исход# Гх 2 + х - 2 = 0,
ному уравнению:
># \ х ^ 1.
Таким образом, даже такие безопасные с виду действия, к ак при­
ведение подобных слагаемых или взаимное уничтожение одинаковых
выраж ений в обеих частях уравнения, могут расш ирять область опре­
деления уравнения и, соответственно, вести к приобретению посторон­
них корней.
У т в е р ж д е н и е 2<
Пусть дано уравнение Цх) = д (х). Если функция ср(х) определена
при всех значениях х из области определения этого уравнения и
не обращается в нуль ни в одной точке этого множества, то
Г(х) = д(х)^> Г(х) • ф(х) = д (х) • ср(х).
63 | §8. Уравнения с одной переменной. Равносильность и следование
К о мме н т а р и й . Условие «функция ср(х) определена при всех зна­
чениях х из области определения этого уравнения» играет ту ж е роль,
что и раньше (в противном случае уравнение /(х ) • ср(х) = # (х ) • ср(х)
даже не является следствием исходного уравнения), а условие «ср(х) не
обращается в нуль ни в одной точке области определения исходного
уравнения» предохраняет от появления посторонних корней.
Пример 77. Реш им уравнение —
I- —= ---- -—- . Если умножить обе
2 - х
2
2 х - х2
части уравнения на 2 (2х - х2), получим 4х + 2х - х 2 = 8 , откуда х = 4
или х = 2. Однако х = 2 не является корнем уравнения, так к ак не
входит в ООУ. Ответ: {4}. 1 1
Здесь так ж е, как в предыдущем примере, в записи полученного
уравнения нет «напоминания» о том, что его область определения не
содержит точек 0 и 2 .
Таким образом, реш ая уравнение с использованием равносильных
преобразований, нужно внимательно следить, чтобы каж дое следую­
щее уравнение действительно было равносильно предыдущему.
Этот подход оправдывает себя при работе с технически несложны­
ми и стандартными уравнениями.
Использование уравнений-следствий. Цепочки следствий и проверка
Весьма часто бывает трудно следить за равносильностью преобра­
зований, особенно когда речь идет о технически слож ных уравнениях.
В таких случаях имеет смысл выстроить цепочку следствий, т. е. про­
следить, чтобы по пути не произошло потери корней. При этом как
правило появляю тся посторонние корни, которые можно потом от­
бросить проверкой — но проверка при этом является обязательной
частью решения! Например, имеет место следующее утверждение:
Утверждение 3
■ ■
.....
■■■
■■
Пусть дано уравнение Г(х) = д(х). Тогда уравнение Т2 {х) = д2(х)
1 является его следствием.
Пример 78. Рассмотрим уравнение л/х + 1 = л/х —2 + д/2х - 5. При возве­
дении в квадрат обеих частей данного уравнения может расш ириться
область определения уравнения, могут такж е появиться посторонние
корни, но наверняка не происходит потери корней. Значит, получив­
шееся уравнение будет следствием исходного. Возводим в квадрат:
х + 1 = х - 2 + 2д/х - 2д/2х - 5 + 2х - 5.
После преобразований получим д/х - 2 ^ 2 х - 5 = 4 - х. Еще раз воз­
водим в квадрат: 2х 2 - 9х + 10 = х 2 - 8 х + 16.
Следовательно х 2 - х - 6 = 0, откуда х = -2 или х = 3.
64 I Глава I. Введение
П р о в е р к а (это действие обязательно!): х = 3 подходит (явля­
ется корнем исходного уравнения); х = - 2 — посторонний корень.
Ответ: {3}. 11
З а м е ч а н и е . Непосредственная проверка (подстановка получен­
ных значений переменной в исходное уравнение) может оказаться тру­
доемкой, а иногда и вовсе невыполнимой задачей (например, если
ответом будет целый промежуток). В каких-то случаях будет действи­
тельно выгоднее воспользоваться равносильными преобразованиями;
тогда, конечно, проверка уже будет не нужна.
Неравенства с одной переменной
Базовые понятия, относящ иеся к неравенствам, родственны аналогичным понятиям, введенным для уравнений.
Пусть задано числовое множество М . Строгим неравенством с
одной переменной на множестве М будем называть предикат вида
/(х ) > ^ (х ) или /(х ) < ^(х ), где /(х ) и ё ( х ) — вы раж ения, принимаю­
щие числовые значения при подстановке значений переменной х из
множества М . Задача реш ения неравенства состоит в нахождении всех
значений х, при подстановке которых неравенство обращается в вер­
ное числовое неравенство. Такие значения называются решениями нера­
венства.
Общий вид нестрогого неравенства: /(х ) ^ &(х) (/(х ) ^ #(х)). Мно­
жество решений нестрогого неравенства, очевидно, является объедине­
нием множества решений соответствующего строгого неравенства
/(х ) > &(х) и уравнения /(х ) = ё(х ).
Любое неравенство может быть записано и в таком виде: Р(х) > О
(Р(х) ^ 0). Это тоже равноправная (и для нас более удобная) форма за­
писи неравенства в общем виде.
Таким образом, неравенства с одной переменной являю тся преди­
катам и специального вида.
Ответом в неравенстве является множество всех решений этого не­
равенства. Уточним: как и в случае уравнения, это множество должно
удовлетворять двум требованиям:
1 )
все указанны е в ответе значения переменной являю тся реше­
ниями неравенства;
2 )
никаких других решений, помимо указанны х, неравенство не
имеет.
Так ж е, как в случае уравнений, ответ в неравенстве обычно пред­
ставляется в виде объединения промежутков (отрезков, полуинтерва­
лов, интервалов, лучей) и множеств, состоящих из отдельных точек.
К ак и в случае уравнений, некоторые неравенства могут иметь ответ,
не записываемый подобным образом. Однако ответ в подавляющем
большинстве встречающ ихся неравенств может быть представлен в
требуемом виде.
63И §9. Неравенства с одной переменной
1. Область определения неравенства
Понятие области определения неравенства полностью аналогично
понятию области определения уравнения.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ..................... .................... ...... .... .................. .................................. .............
(Естественной) областью определения неравенства (ино­
гда — областью допустимых значений неравенства) называ­
ется множество всех значений переменной х, при которых
обе части неравенства одновременно имеют смысл.
Для краткости будем использовать аббревиатуру ООН для записи
области определения неравенства.
2. Равносильность и следование
Пусть даны два неравенства: / ( х ) > ^ , (х) (1) и
(х ) > (х ) (2)*
(Знаки неравенств здесь могут быть любыми: >, с,
^.)
Обозначим множество решений неравенства (1) через М 19 а множ е­
ство решений неравенства ( ) через М 2.
Поскольку неравенства являю тся предикатами, то можно рассмот­
реть следование неравенств как следование предикатов.
1
1
/ 2
2
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Если Мт с~ М 2, т. е. если каждое решение неравенства (1)
является решением неравенства (2), то неравенство (2) на­
зывается следствием неравенства (1): (1) => (2).
Например, неравенство х 2 —4 > 0 является следствием неравенства
х - 2 > О, т. е. х — 2 > 0 = > х 2 - 4 > 0 . Действительно, множество реш е­
ний первого неравенства М х —(2; + о о ) содержится в множестве реш е­
ний второго неравенства М 2 = (-оо; —2) II ( 2 ; + о о ). Заметим, что обратно­
го следствия нет.
Точно такж е понятие равносильности предикатов может быть
применено и к неравенствам.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Если множества решений уравнений М ^ и М2 совпадают, то
неравенства (1) и (2) называются равносильными.
Замечание 1. Если неравенства равносильны, то каж дое из них
является следствием другого.
Замечание 2 . К ак и в случае уравнений, понятие равносильно­
сти неравенств зависит от области определения неравенства. Обычно
будем рассматривать неравенства на естественной области опреде­
ления и говорить, что неравенства равносильны, опуская слова «на
6 6 | Глава I. Введение
естественной области определения». Неравенства, не имеющие реше­
ний, такж е считаются равносильными!
Еще раз отметим, что все до сих пор сказанное вы глядит абсолют­
но одинаково для уравнений и неравенств: мы только поменяли знак
равенства на знак неравенства и заменили слово «уравнение» на слово
«неравенство», что неудивительно, ибо уравнения и неравенства суть
предикаты, и понятия следования и равносильности для них являются
частными случаями соответствующих понятий для предикатов.
А вот дальше начинаются различия. Л огика реш ения неравенства
сложнее, чем уравнения; кроме того, стандартные преобразования,
применяемые при работе с уравнениями, имеют свои особенности в
применении к неравенствам.
Например, вам известно, что умножение обеих частей неравенства
на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный
(при умножении уравнения на число нужно было следить только за
тем, чтобы оно не было равно нулю, а здесь приходится обращать вни­
мание еще и на знак числа). Многие преобразования, в случае уравне­
ния расш иряю щ ие ООУ и ведущие к приобретению посторонних кор­
ней (умножение на знаменатель, возведение в квадрат и др.) при
работе с неравенствами могут привести к потере решений и вообще
принципиально неверному ответу. К тому ж е, в отличие от уравнений,
в неравенствах, как правило, невозможна проверка всех решений. Это
означает, что схема, использующ ая цепочку следствий с последующей
проверкой найденных решений, столь удобная для уравнений, для не­
равенств непригодна.
И все-таки многие приемы и методы аналогичны приемам и мето­
дам реш ения уравнений (равносильные преобразования, разложение
на множители, замена переменной). Однако главное замечание состоит
в том, что решение практически любого неравенства при помощи «ме­
тода интервалов» можно свести к решению одного или нескольких
уравнений! Это, собственно, и будет наш им основным методом в работе
с неравенствами. (При этом корни соответствующего уравнения дос­
тавляю т нам часть граничных точек для включаемых в ответ проме­
ж утков.)
Рассмотрим теперь вопрос о равносильных преобразованиях нера­
венств.
В курсе основной ш колы мы пользовались тем, что множество ре­
шений неравенства не меняется, если:
1 )
к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число;
2 )
обе части неравенств умножить (разделить) на одно и то же по­
ложительное число;
3) обе части неравенства умножить на одно и то ж е отрицательное
число и изменить знак неравенства на противоположный.
Эти утверждения меняю тся, если слово «число» заменить на слово
«выражение» или «функция». Мы будем пользоваться следующим на­
бором утверждений:
67 1§ 9. Неравенства с одной переменной
Утвержде н и е
Пусть дано неравенство Цх)> д (х). Если функция ср(х) определе­
на при всех значениях х из области определения этого неравен­
ства, то Цх)>д (х) <=> Г(х) + ср(х) > д (х) + ср(х).
Ко мм е н т а р и й . К ак и в случае уравнений, существенным являет­
ся условие «функция ф(х) определена при всех значениях х из области
определения этого неравенства». Если это не так, может измениться
множество решений. Действительно, если х = а — решение неравенст­
ва /(х ) > #(х), — не входит в область определения функции ф(х) (т. е.
если ф(а) не определено), то число а не является решением неравенст­
ва /(х ) + ф(х) > #(х) + ф(х).
П р и м е р 79. Неравенства х + 3 < 2 и х + 3 + л/х < 2 + л/х не равносильны!
(Множество решений первого неравенства есть открытый луч (—оо; - 1 ),
а множество решений второго неравенства 0 .) 1 1
Значит, для неравенств, как и для уравнений, даж е такие безопас­
ные с виду действия, к ак приведение подобных слагаемых или взаим­
ное уничтожение одинаковых выраж ений в обеих частях неравенства,
могут изменять область определения неравенства и, соответственно,
множество решений.
Дальше мы не будем повторять все комментарии, которые уже
были сделаны при рассмотрении примеров на решение уравнений.
Просто кратко сформулируем оставшиеся утверж дения.
Утверждение 2
■■■■■■■■............................................ —.....
Пусть дано неравенство Цх) > д (х). Если функция ф (х) определе­
на при всех значениях х из области определения этого неравен­
ства и положительна на этом множестве (ф (х) > 0 для всех х из
области определения неравенства), то
Г(х) >д(х)*=> Г(х)
■<
р(х) >
П
Неравенства {(х) > д (х) и -1(х) < -д (х) равносильны, т. е.
Г(х)>д(х) <^-Г(х)<-д (х).
С л е д с т в и е . Если ф ункция ф(х) определена при всех значениях х
из области определения неравенства /(х ) > #(х ) и отрицательна на
этом множестве (ф (х) < 0 для всех х из области определения неравен­
ства), то
/(х ) > ^(х ) <=> /(х ) • ф(х) < ё ( х ) • ф(х).
Мы пока ограничимся этим набором преобразований с тем, чтобы
расширить его при необходимости позже. В частности, пока мы не
обсуждаем возведение неравенства в степень и применение некоторых
формул.
<р(х
68
Глава I. Введение
И последнее: все эти преобразования мы будем стараться исполь­
зовать в минимальном объеме, а именно для приведения неравенства
к виду, удобному для применения метода интервалов. Метод интер­
валов мы считаем главным методом решения алгебраических нера­
венств.
Приме р 80. К ак решать неравенство вида ( /( х ) ) 2 > (^Г(х))2? Здесь фак­
тически идет речь об извлечении корня из обеих частей неравенства.
Но можно попросту воспользоваться формулой разности квадратов:
(/(X ))2 >
(ё (х))2<=> (П х ))2 - (ё (х))2
О <=> (П х ) - ё (х ))(Н х ) +
>
Таким образом мы естественным путем приходим к методу интер­
валов. 1 1
3. Метод интервалов
В общем случае метод интервалов основывается на следующем
рассуждении.
Пусть имеется неравенство вида /(х ) > 0. Предположим, что
/(а ) > 0, а /(Ь) < 0. Тогда для непрерывных ф ункций естественно пред­
положить, что где-то между а и Ь левая часть неравенства принимает
значение 0 или не определена. Тем самым, если на каком-то проме­
ж утке числовой оси непрерывная ф ункция /(х ) не имеет корней и
определена при всех х из этого промежутка, то знак этой функции на
данном промежутке будет постоянным.
З а м е ч а н и е . Конечно ж е, то, что мы «естественно предположи­
ли», выполнено далеко не для всех ф ункций. Однако функции, фи­
гурирующие в подавляющем большинстве неравенств, которые мы
будем реш ать, непрерывны и такому предположению удовлетворяют.
Таким образом, для применения метода интервалов к решению не­
равенства /(х ) > достаточно отметить на числовой оси все решения
уравнения /(х ) = , а такж е точки, в которых ф ункция /(х ) не опреде­
лена. Обычно отмеченными точками числовая ось разбивается на ин­
тервалы, в каж дом из которых левая часть неравенства принимает
значения одного знака. Достаточно выбрать из этих интервалов те, на
которых ф ункция имеет нуж ный знак, и при необходимости (если не­
равенство нестрогое) добавить в множество решений корни функции.
Рассмотрим несколько примеров, реш аю щ ихся с помощью метода
интервалов.
Приме р 81. Реш им неравенство х - 2х - 5х + ^ 0.
□ Реш им сначала уравнение х - 2х - 5х + = 0:
х - 2х - 5х + = (х - )(х - 3)(х + 2).
Корнями уравнения являю тся числа -2 , 1, 3. Отметим их на числовой
прямой.
Заметим, что если х > 3, то все сомножители положительны
( х - 1 > 0 , х + 2 > 0 , х - 3 > 0 ) и произведение будет положительно.
0
0
3
3
3
2
6
2
2
6
6
1
т
I §э. Неравенства с одной переменной
Если 1 < х < 3, то х - 1 > О, х + 2 > О, х - 3 < 0 и произведение будет
отрицательно. Если - 2 < х < 1, то х - 1 < О, х + 2 > О, х - 3 < 0 и про­
изведение положительно; наконец, если х < —2 , то все сомножители и,
следовательно, произведение отрицательны. Заметим такж е, что сами
корни в данном случае неравенству удовлетворяют, так как неравенст­
во нестрогое. Получаем ответ: х е [-2; 1] II [3; + о о ) (рис. 1.14).
X
Рис. 1.14
Можно было рассуждать и по-другому. Заметив, что во всех точ­
ках между соседними корнями ф ункция принимает значения одного
знака, на каждом промежутке можно было взять одну (любую) точку,
чтобы определить знак во всех точках этого промеж утка.
Например, взяв х = 4 на промежутке (3; + о о ), заметим, что
(4 - 1)(4 - 3)(4 + 2) > 0 и, значит, (х - 1)(х - 3)(х + 2) положительно
при всех х > 3. Аналогично для промежутка (1; 3) можно взять х = 2,
чтобы определить, что выражение (х - 1 )(х - 3)(х + 2 ) отрицательно
при 1 < х < 3 и т. д.
Наконец, возможно следующее рассуждение: можно заметить (в дан­
ном случае), что при переходе через корни ровно один сомножитель ме­
няет знак и, значит, все выражение меняет знак. Таким образом, если
при х > 3 выражение положительно и при переходе через корень х = 3
(т. е. при движении по оси справа налево после точки х = 3) выражение
знак поменяло, то при 1 < х < 3 выражение отрицательно, далее при пе­
реходе через корень х = 1 выражение еще раз меняет знак и, следова­
тельно, положительно при - 2 < х < 1. Н аконец, выраж ение меняет знак
при переходе через х = - 2 и, следовательно, отрицательно при х < —2 .
На картинке удобно отмечать положительные участки «верхней
волной», отрицательные участки «нижней волной» (рис. 1.14), а кор­
ни уравнения рассматривать отдельно, вы деляя их «жирной точкой»,
если они включаются в ответ и «незаштрихованной» точкой, если они
не включаются в ответ. 1 1
Пример 82. Решим неравенство (х - 1)3(х -I- 2)2(х + 3)п (2 - х ) > 0.
□ Отметим на числовой прямой корни уравнения
(х + 1)3(х + 2)2(х + 3)п (2 - х) = 0 (рис. 1.15),
т. е. -3 , - 2 , 1 , 2 :
х
Рис. 1.15
70 1 Глава I. Введение
Если х > 2, то множитель 2 — х отрицателен, а остальные сомно­
ж ители положительны, таким образом, все выражение отрицательно.
При переходе через точку 2 сомножитель 2 - х меняет знак, а знаки
остальных не меняются, таким образом произведение меняет знак и ста­
новится положительным, т. е. выражение положительно при 2 < х < 1 .
При переходе через точку 1 сомножитель (х - I ) 3 меняет знак
(если х > 1 , то (х - I ) 3 положительно, если х < 1 , то (х - I ) 3 отрица­
тельно), остальные сомножители знак не меняют, таким образом про­
изведение меняет знак и становится отрицательным при - 2 < х < 1 .
Обратите внимание, что линейный множитель (х — 1) входит в
разлож ение на множители в нечетной степени и произведение меняет
свой знак при переходе х через точку 1. Другой случай у нас встретит­
ся при переходе х через точку ( - 2 ).
В самом деле, сомножитель (х + 2 ) 2 положителен как при х > -2,
так и при х < - 2 , таким образом при переходе через точку ( - 2 ) ни один
из сомножителей знак не меняет, значит и произведение не меняет
знак и остается отрицательным при - 3 < х < - 2 . Особо отметим, что
линейный множитель (х + 2 ) входит в разложение на множители в
четной степени и свой знак при переходе через точку ( - 2 ) не меняет,
к ак и все произведение.
Н аконец, при переходе через точку (-3) меняет знак сомножитель
(х + З)11, ( 1 1 — нечетная степень) и, следовательно, все произведение
положительно при х < -3 .
Отдельно рассмотрим точки, нанесенные на числовую прямую.
Так как неравенство нестрогое, а нанесенные точки — корни урав­
нения (х - 1 )3(х + 2 )2(х + 3)п (2 - х) = 0 , то все они удовлетворяют
исходному неравенству и их нужно вклю чить в ответ. Таким образом,
итоговый ответ: х е (-оо; -3 ] II {- 2 } II [ 1 ; 2 ].
В ответе точка х = -2 получилась изолированной, не входящей ни
в один интервал. При решении неравенств про такие точки часто забы­
вают. Поэтому мы рекомендуем отдельно рассматривать точки, кото­
рые наносятся на числовую прямую (корни соответствующего уравне­
ния и точки, в которых ф ункция (выражение) не определена — см.
примеры 83 и 84). 11
З а м е ч а н и е . Еще раз обратим внимание на следующее возможное
решение. После того, как мы отметили точки —3, -2 , 1, 2 на рисунке,
можно взять по одной точке из каждого промеж утка (конечного или
бесконечного) на которые разбивают числовую прямую эти точки и оп­
ределить знак вы раж ения в этих точках. Например, можно взять точ­
ку х = 3, и, заметив, что при этом значении выражение отрицательно,
сделать вывод, что выражение отрицательно при всех х > 2. Заметив,
что выражение положительно при х = 1,5, можно сделать вывод, что
выраж ение положительно при всех 2 < х < 1 , и т. д.
В двух следующих примерах мы отмечаем на числовой прямой не
только корни соответствующего уравнения, но и точки, в которых рас­
сматриваемое выражение не определено.
Неравенства с одной переменной
Пример 83. При каки х значениях х определено выраж ение
н л
П )
<(* - I) 2
\
+
2 ) 3
(3 - х )?
х ( х - 5 ) 3'
0 Данное выражение определено при тех и только тех значениях х,
(х - I ) 2 (х 2 ) 3 (3 . Л ,
которые удовлетворяют неравенству ---------- -— —
1 ^ О (подкох(х - 5)3(х + 3)
ренное выражение должно быть неотрицательно). Реш им данное нера­
венство методом интервалов. Д ля этого отметим на числовой прямой
(х —I ) 2 (х + 2 ) 3 (3 —я;)
корни у равн ен и я
----- ——-----= 0 и точки, в которых это вырах ( х - 5)3(х + 3)
жение не определено. Это точки -3 , - 2 , 0, 1, 3, 5. При этом корни
уравнения обозначены закраш енными точками, а точки, где вы раж е­
ние не определено — незакраш енными (рис. 1.16).
Рис. 1.16
Если х > 5, то все сомножители положительны, кроме 3 - х , зна­
чит все выражение отрицательно. При переходе через точку 5 множ и­
тель (х - 5 ) 3 меняет знак (степень нечетна!), а остальные нет, поэтому
все выражение меняет знак и становится положительным при
3 < х < 5. При переходе через точку 3 множитель 3 —х меняет знак и
вместе с ним все выражение меняет знак и становится отрицательным,
(х —I ) 2 (х + 2)3 (3 —х)
----- - г - ----- —----< 0 при 3 > х > 1. При переходе через точку 1
т. е .
х (х - 5)3(х + 3)
никакой из множителей знак не меняет (может менять знак только
множитель (х —I)2, но он этого не делает — он положительный как
при х > 1 , так и при х < 1 — степень множ ителя четна), поэтому вы ра­
жение отрицательно при 0 < х < 1. Далее, выраж ение меняет знак при
переходе через точки 0 и - 2 (степень соответствующих множителей
нечетна!) и точку -3 , таким образом, выраж ение отрицательно при
-3 < х < - 2 и положительно при - 2 < х < 0 и х < - 3 .
Отдельно рассмотрим нанесенные на прямую точки. Точки 1, —2
и 3 входят в множество решений (при этих значениях выраж ение рав­
но 0), а точки 0, -3 и 5 не входят (при этих значениях выраж ение не
определено). Таким образом, ответ (его удобнее всего «считать» по ри ­
сунку 1.16): х е (-оо; -3 ) I! [-2; 0) II {1} II [3; 5).
Заметим, что, как и в предыдущих примерах, для того, чтобы
определить знак вы раж ения на промеж утках, можно было из каждого
72 ] Глава I. Введение
промеж утка взять по точке и посмотреть какого знака значение выра­
ж ения в этой точке. ®
Н аконец, рассмотрим еще один пример.
в>1 о
П р и м е р 84.
(5х + 4)(3х - 2 1
Реш им н еравенство -------------- 1
х
3
(Зх - 2)(х + 2)
1 —х
^ -------------------------- .
□ В левой и правой части данного примера мы видим один и тот же
сомножитель З х - 2, однако сократить на него было бы ошибкой, так
к ак он может быть к ак положительным ^при х >
тельным ^при х < ^
так и отрица­
и во втором случае мы должны были бы изме­
нить знак неравенства. Поэтому при таком способе реш ения нужно
было бы рассмотреть три случая ^х >
х <
х =
но удобнее пе­
ренести все в левую часть, разлож ить на множители и воспользоваться
методом интервалов:
(5 л: + 4 )(3 х - 2)
х + 3
0
(Зх - 2 )(х + 2)
(3х _ 2) {
1
(5л; + 4 )(3 х - 2)
х + 3
1 -х
'{
х
_
+ 3
л±
1
Ь
1- х)
(Зх - 2)(х + 2)
о о (3* ~ и * -6** ~ 4х ~ 2) а о.
(л; + 3)(1 - л;)
Здесь удобно поделить неравенство на -2 , изменив знак на противопо„ „
(З л ; - 2)(3х2 + 2 х + 1)
п
лож ны й. Получим равносильное неравенство ---- —^ ^ —
^ 0.
Заметим, что З х 2 + 2х + 1 > 0 при любом х (а значит этот множитель не
меняет знак вы раж ения). Таким образом наше неравенство равносиль^
_+__^___________ >
но неравенству
х
—— ------^ 0. Решаем
(х + з)(1 -
х)
его методом интервалов (рис. 1.17).
Ответ: х е
-3 ;
1
0
2
3
У (1 ; + о о ). 81
10 . Уравнения и неравенства с м одулем
1. Элементарные уравнения и неравенства с модулем.
Интерпретация на числовой прямой
Напомним определение, известное из курса основной ш колы:
, , _ Гх, если х ^ ,
- х , если х < .
0
1
0
§ 10. Уравнения и неравенства с модулем
Кстати, заметим,
и гт и м , что
ч.ти нам
н.
удобнее будет немного другая форма этоесли х ^ 0 ,
I , (х, е(
го определения
: И = Ь , если х ^ 0 .
На числовой прямой модуль числа х есть расстояние от точки
А(х) до начала отсчета. Это удобно использовать для реш ения уравне­
ний и неравенств вида \х \ — а, |х | < а, |х | > а и т. д. (здесь и далее мы
пока обсуждаем только случай а > 0 ).
Уравнение
или
неравенство
Геометрический
смысл
|х | =а
(а > 0)
Расстояние от точ­
ки с координатой х
до нуля составляет
ровно а единиц
|х | < а
(а> 0)
Точка с координа­
той х удалена от
нуля на расстояние,
меньшее а единиц
|х | > а
(а > 0)
Точка с координа­
той х удалена от
нуля на расстояние,
большее а единиц
Интерпретация
на числовой прямой
—а
Решение
а
х
-<*////0////уа
х
0
х = а,
х = -а
-а <х < а,
т. е.
х е (-а; а)
х > а или х < -а ,
/ / // ,7 %
9
т. е.
о/ / / л
*
хе
(-о о ; -а ) 11
II (а; +оо)
Заметим сразу, что решение любого из приведенных неравенств
связано с решением соответствующего уравнения, а именно: корни
уравнения являю тся границами интервалов в ответе для неравенства.
Рассмотрим общий случай уравнений и неравенств такого вида.
На координатной плоскости сразу видно, что уравнение \х\ — а
имеет следующие реш ения (рис. 1.18):
если а > 0 , то решений два: х 1 = - а ,
х2 = а;
если а = 0 , то единственное решение х = 0 ;
если а < 0 , то решений нет.
На этом же рисунке видно, что не­
равенство | х | < а имеет следующие ре­
шения:
если а > 0 , тох е (-а ; а);
если а < 0 , торешений нет.
Для неравенства \х \> а:
если а > 0 , то х е ( - о о ; —а) II (а;+ о о );
если а ^ 0 , торешением является лю ­
бое число: х е К.
ЯМВ| Глава I. Введение
С л е д с т в и е . При а > О неравенство |х | < а равносильно двойному
II
Гх > а,
неравенству - а < х < а, а неравенство \х \ > а — совокупности
^
А теперь легко видеть, что те же подходы годятся для уравнений
и неравенств вида |/( х ) | = а, |/( х ) | < а, |/( х ) | > а и т. д.: они
сводятс
к уж е рассмотренным с помощью замены /(х ) = 1.
Приме р 85, Реш им уравнение |2 х —3| = 5. Уравнение |?| = 5 имеет два
реш ения I = 5 или I = -5 ; соответственно, 2х - 3 = 5, откуда х = 4; или
2х - 3 = - 5 , откуда х = -1 (рис. 1.19). Ответ: {-1; 4}.
- 1
Рис . 1.19
1
4
Рис. 1.20
-
1
4
*
Рис. 1.21
А теперь решим неравенство 12х - 3 1< 5. Отметим на числовой оси
корни уравнения |2 х - 3| = 5: значения х г = -1 и х 2 = 4. Ответом в не­
равенстве будут все точки корневого промеж утка, т. е. интервал (-1; 4)
(рис. 1 . 2 0 ).
В случае же неравенства 12х —3 1> 5 ответом будет вся внешняя
часть корневого промежутка, т. е. объединение открытых лучей
(—оо; —1) II (4; +оо) (рис. 1.21). 61
ВЫВОД
В общем случае неравенство | Т(х) \ < а равносильно систеГТ (х) < а,
Л
ме неравенств
) [
или, в случае а > 0, двойному не-
[/ (х) > —а,
равенству - а < Т(х) < а.
Неравенство | ^ ( х ) | > а
7 (х) > а,
венств
Т {х) < - а .
равносильно совокупности нера-
2. Операция снятия знака модуля.
Перебор случаев, метод интервалов
Пример 8 6 . Реш им уравнение \х - 1 1= 2х + 1.
Если мы попробуем (аналогично решению уравнения |/( х ) | = а) над*
2 —2 х “
Ь1
писать совокупность
’
то, решив ее, получим два корх х — услХ X),
ня: х = 0 или х — -2 . При этом х — 0 будет корнем данного уравнения,
1§ 10. Уравнения и неравенства с модулем
а х = - 2 корнем не является, что можно про­
верить прямой подстановкой. П ричины этого
видны на рисунке 1 . 2 2 .
Решим это уравнение другим способом.
Для этого раскроем модуль по опреде­
лению:
- 1 , если х — 1 ^ О,
если х - 1 ^ О,
т. е. \х
-
1
, если х ^
если х ^
1
1
,
.
Рассмотрим два случая.
1) х ^ 1. В этом случае уравнение приоб- Рис. 1.22
ретает вид х - 1 = 2х + 1, откуда х = -2 . Но
я = - 2 не подходит условию рассмотрения данного случая (х > 1 ), а по­
тому корнем не является.
2) я ^ 1. В этом случае уравнение приобретает вид 1 - х = 2х + 1 ,
откуда х = 0. Это значение удовлетовряет условию х < 1, поэтому дей­
ствительно является корнем данного уравнения.
Удобно записать это решение в следующей форме:
х < 1
1[
1 - х = 2х + 1
х =0
х =0
х>1
х —1 = 2х + 1
х = -2
0
Ответ: {0}.
Пример 87. Построим график функции у = \ 2х — 3| + х.
II
00
1
*
у = 3 - 2х + х
Х > \
у = 2х —3 + х
II
00
я
1
00
*< !
График показан на рисунке 1.23. Ш
Если модулей в уравнении (неравен­
стве, функции) несколько, то поступаем сле­
дующим образом.
Сначала отмечаем на числовой прямой все
корни и точки разрыва вы ражений под знаком
модуля. Они разбивают прямую на интервалы,
х
Глава I. Введение
мним
на которых все «подмодульные выражения»
имеют постоянный знак. Знак этот определя­
ется, например, при помощи подстановки ка­
кого-либо значения («контрольной точки») из
соответствующего интервала.
После этого остается только решить по­
лучивш ееся уравнение или неравенство, в
котором уже не будет модулей, и выбрать ре­
шение, принадлежащ ее данному промежутку
(пересечь полученное множество решений с
промежутком, в котором работали).
Приме р 8 8 . Построим график функции
у = 2 \ х - 1 | + |х + 1 1.
Рис. 1.24
х <-1
—1 < я; < 1
- 1
х>
1
1
I
00
1
я
\х-1\ = 1-х ; \х+1\ = - х - 1 \х-1\ = 1- х; \х + 1\ = х + 1 \х-1\ = х - 1 ; \х+ 1| = я: + 1
у = 2(х - 1) + х + 1
у = -2(х - 1) + х + 1
у = -2(х - 1) - (х + 1)
у — Зх — 1
у = -З х + 1
График показан на рисунке 1.24. 18
Пр и ме р 89. Реш им уравнение 2 \ х - 1 1+ | х + 1| = 3.
4л
3
X
- 1 0
1
-2(х - 1 ) - (х + 1 ) = 3 -2(х - 1 ) + я:+1 = 3 2{х - 1 ) + я;+1 = 3
4
2
х=О
х = ~3
е [1 ; + о о )
0 е [-1 ; 1 ]
-§ е (-°°; - 1 ]
х =0
0
Очевидно, сама операция снятия знака модуля нисколько здесь не
изменилась. Далее, реш ая полученные уравнения, отбираем корни,
принадлежащ ие выбранным интервалам.
Это можно пронаблюдать с помощью графика, показанного на ри­
сунке 1.24. г 4^|
Ответ: ^ 0; — 18
П р и м ер 90. Решим неравенство 2 | я г - 1 | + | х + 1 | < 3 .
_____
.
-2(х - 1 ) - (х + 1 ) < 3 -2(х - 1 ) + х + 1 < 3 2(х - 1 ) + х + 1 < 3
х>0
* > -!
1
х
0
Ответ:
0;
х е (0; 1]
хе
<
Ц[_3адачи и упражнения
Видно, что отличий в ходе реш ения не слиш ком много. Нужно
лишь отобрать в каждом промежутке те значения х, которые удовле­
творяют неравенству, «работающему» на этом промежутке. Гранич­
ные точки промежутков (х = - 1 и х = 1 ) лучш е вклю чать в оба проме­
жутка: это даст нам возможность контролировать правильность
вычислений. Например, точка х = 1 обязана одновременно входить в
решения обоих неравенств
- 2 х + 2 + х + 1 < 3 и 2 х - 2 + х + 1 < 3 . 61
О Если в условии присутствует двойной модуль (модуль в вы ра­
жении под знаком модуля), то лучш е сначала снять знак внутреннего
модуля, а потом, сохраняя уже полученные граничные точки, занять­
ся снятием внешнего модуля.
П р и м е р 91.
Реш им неравенство | 3 - | х - 2 | | ^ | х - 7 | .
х
2
|3 + х - 2| < \х - 7|
|3 —х + 2| < \х —7|
\х + 1| < \х - 7|
|5 - х \ < \ х - 7 \
- х - 1< 7 —х х + 1<7- х
-1 < 7
х<3
х е (-оо; - 1 ] х е [ - 1 ; 2 ]
Ответ: (-оо;
И
6
5 - х < 7 - х х - 5 <7 - х х - 5 < х —7
-5 < -7
5 <7
х< 6
0
х е [5; 6 ]
х е [2 ; 5]
]. И
Задачи и упраж нения
П онятие в ы с ка з ы в а н и я и п р е д и к а т а
Группа А
. . Укажите среди предложений вы сказы вания, для найденных вы ­
сказываний укаж ите их истинностные значения:
а) Который час?
б) Число 2 есть наименьшее простое число.
в) Если х = 5, то х — 1 = 4.
г) Вычислите х 2 при х = 5.
д) Долой войну!
е) Территория России — самая большая среди всех государств мира,
ж) Не нужно сушить волосы над газовой плитой.
з)
Число 5 является корнем уравнения х 2 —25 = 0.
и*) Утверждение пункта и*) ложно.
1 1
78 ! Глава I. Введение
. . У каж ите какое-либо значение а, чтобы предикат стал тождеством:
а) х > а х - 1 ; б)
а2 + х 2 ^
2
х
;
в) (л/х)2
1 2
Логические операции над высказываниями и предикатами
Группа А
1.3. Найдите истинностное значение вы сказы вания:
а) - 1 ( ( 7 • 5 < 6 ) л (2 • 2 = 0));
б) (—,(2 - 3 < 4)) V (2 - 3 = -1 ) л (5 • 8 < 48);
в) -,((2 - 3 < 4 ^ ( 2 - 3 = -1 )) л (5 • 8 ^ 48);
г) (—,(2 - 3 < 4)) V ((2 - 3 = -1 ) а (5 • 8 ^ 48));
д) ((2 2 < 4) V (7 > 5)) —>• - 1 ( 5 > 8 );
е) (2 2 < 4) V ((7 > 5) -* -|(5 > 8 ));
ж) ->(2 + 2 = 8 ) ^ ((3 = 5)
(7 < 9));
з) Ы 2 + 2 = 8 ) - (3 = 5)) - (7 < 9);
и) Ь ( ( 2 + 2 = 8 ) - (3 = 5))) - (7 < 9).
1.4. Д окаж ите, что при всех истинностных значениях высказываний
а, Ъ, си <2 :
а)
а( а
(а—►Ъ)) —»• Ь истинно;
б) (Ъ V С) V (а л —Iс) = (а V Ь) V с (т. е. истинностные значения вы­
раж ений (Ъ V с) V (а л -ч с)и
а( V )ЬV
содинаковы);
в) ( - 1 (а л Ь)) —►((-|Ь) л
а) = а;
г) ((а -* Ь) л (—<Ь)) —►—«а истинно;
д) (а а (а —►(Ь V с)) а (Ь —> с?) а (с —> й)) —►д, истинно.
1.5. Приведенные ниже сложные вы сказы вания представьте в виде ре­
зультатов логических операций с простыми вы сказы ваниями, обо­
значив последние буквами:
а) Если мы напишем контрольную работу раньше, то пойдем
в кино или в парк.
б) Вы пошли в буфет во время урока, значит, вы пропустили урок.
в) У ваш их ботинок оплавлены подошвы, значит, вы промочили
ноги и, придя с улицы , грели их у камина.
г) Не поехав в город и не работая на приусадебном участке, мы
проведем выходной день, читая книгу или играя в футбол.
1 .6 . Придумайте предложение о ваш их планах после окончания шко­
лы , в котором встречались бы:
а) две им пликации и конъю нкция; б) им пликация и две дизъюнк­
ции; в) три импликации, отрицание и конъю нкция.
Постарайтесь придать этим предложениям к ак можно более естест­
венную форму с точки зрения русского язы ка.
1.7. Найдите истинностное значение вы сказы вания а, если:
а) а V (2 + 2 = 5) — ложно;
б) (-.а) а (2 • 2 = 4) — ложно;
в) —|(а V 3 • 3 = 8 ) — истинно;
г) а —►(2 + 4 ^ 6 ) — ложно;
д) (2 + 4 ^ 6 ) —►а — истинно;
е) а —►(—*а) — истинно;
ж) (а V (2 • 3 ^ 7)) —> (а а (2 • 3 ^ 7)) — истинно;
з) а а ( —Iа —> а) — ложно;
и) (а —►(а V (-«а))) V ((а а (3 • 7 = 21)) —►(-<а)).
79 I Задачи и упражнения
. . Известно, что если П етя не видел Колю на улице, то либо Коля
ходил в кино, либо П етя сказал правду; если Коля не ходил в
кино, то Петя не видел Колю на улице и Коля сказал правду; если
Коля сказал правду, то либо он ходил в кино, либо Петя солгал.
Выясните, ходил ли Коля в кино.
1.9. На острове ж ивут рыцари, говорящ ие всегда правду, и лж ецы ,
которые всегда лгут.
а) В сказал А: «А, ты лжец!». К акие из следующих утверждений
заведомо истинны:
а — «А — лж ец»; Ь — «В — лж ец»; с — «А и В разны х типов»;
сI — «В — рыцарь, А — лж ец»; е — «Если А — ры царь, то В —
лжец»; / — «Если В — лж ец, то А — рыцарь»?
б) Известно, что если А — ры царь, то и В — рыцарь. К акие из
следующих утверждений заведомо верны:
а — «А — рыцарь»; Ь — «А и В — одного типа»; с — «Если А —
лжец, то и В — лж ец»; й — «Если В — ры царь, то и А — ры ­
царь»; е — «Если В — лж ец, то и А — лж ец»?
в) А сказал: «Если я лж ец, то и В — лж ец». К акие из следую­
щих утверждений заведомо верны:
а — «Если А — лж ец, то и В — лж ец»; Ь — «А — лж ец»; с —
«Если А — рыцарь, то В — лж ец»; (1 — «Если А — рыцарь, то
и В — рыцарь»; е — «А и В — лж ецы »; / — «А и В — одного
типа»; § — «Если В — ры царь, то А — рыцарь»; к — «Если А —
рыцарь, то о В ничего нельзя сказать»; I — «Если А — лж ец, то
В — рыцарь»; у — «А — рыцарь или В — лж ец»?
1 .1 0 . При каки х х предикат обращается в истинное вы сказы вание (изо­
бразите полученные значения х на числовой оси):
а) (-.(х 2 - 2 х - 3 ^ 0 )) V (х 2 + 2 < 0 );
б) (х 2 - 2 х - 3 ^ 0 ) л (х 2 + х < 0 );
в) (х 2 - 2 х - 3 ^ 0 ) л -.( х 2 + х < 0 );
г) ( I(х 2 - 2 х - 3 ^ 0 ) V (х 2 + х < 0 )) л (| х | ^ 2 );
д) (2 > х) —►(2 > 1);
е) (2 < х) —►(4 < 5); ж) (х > 5) —►(х > 3);
з) (х > 4) —* (Зх < 6 ); и) ((х > 5) V (х < 3)) —►
(х 2 < 4);
к) ((х > 5) ^ (х < 3))
(х 2 < 4);
л) (х > 5) —> ((х < 3) ^ (х 2 < 4));
м) (х 2 < 4) —►((х > 5) —►(х < 3))?
1 8
Группа В
1 .1 1 . При каки х вещественных а предикат является тождеством:
а) (х < а) V (х > 2 );
б) ((х - 1 )(х - а) < 0 ) V ((х - 1 )(х - 2 ) > 0 );
в) ((х - 1 )(х - 2 ) ^ 0 ) V ((х - 1 )(х - а) > 0 );
г) ((х - 1 )(х - а) ^ 0 ) V ((х - а )(х - 2 ) > 0 );
д) ((х - 2 )(х - а) > 0 )
((х - 3)(х - 1) > 0 );
е) ((х - а )(х - 2 ) < 0 )
((х - 1 )(х - 2а) ^ 0 );
ж) ((х - а )(х - 2а) ^ 0) V (а + И х ^ а + 2))
(х е (2; 15));
80 1 Глава I. Введение
з) ((х - а) (х - 2а) < 0) V (а + 1 ^ х ^ а + 2)) —»• (х е (2; 15));
и) (3 ^ х < 6 ) —►((х - а )(х - 2 а) < 0 - » - а - 1 < х < а + 1 );
к) ((3 < х < 6 ) -»• ((х - а )(х - 2 а) ^ 0 )) -»• (а - 1 < х < а + 1 )?
1 .1 2 .
Изобразите на координатной плоскости множество точек, при
подстановке соответствующих координат которых данный преди­
кат обращается в истинное высказывание:
х - у = 1 ; б) (х ^ 3) V (х +у 2- ); в) ( - 1 (х < 3)) л (х ^ 2у);
а)
г) ((х > 3) л
(у > 1)) л ((х < - 3 ) V< - 2 ));
д) ((х > 3) V
(у > 1)) л ((х < -3 ) V< -2));
е) (х > 2 ) ►
{у <3);
ж ) ((х +
у = 1 ) л (х < 3)) -»■ (х > у);
з) (х +
у = 1 ) л ((х < 3)
(х > у)).
Понятие множества. Способы задания множеств
Группа А
1.13. Задайте множество характеристическим свойством:
а) {- 1 ; 0 ; 1 };
б ) {2; 1; 0; л/2};
1.14.
1.15.
1.16.
в) множество четных натуральных чисел;
г) множество чисел вида 12к + 7, где к — целое.
Задайте множество перечислением:
а) {х е N 1 5 < 2х + 1 < 28};
б) {х е К: ( х - 1 ) 2 + (х2 - I ) 2 = 0};
к- 1
АГ х + 1 АГ
в) <х е 2,: Зк е 2: х =
|;
г) | х е N1 ----- е N
х -2
к+1
}■
Верно ли, что:
а) 1 е {х: \/у х у + 1 > у };
б) 2 е {х: \/у х у + 1 > у};
в) 2 е {у: \/х х 2 + 1 > у};
г) - 2 6 {у: \/х х 2 + 1 > у}?
В верхней строке таблицы записаны некоторые элементы, а б
нижней — некоторые множества. Запиш ите все возможные соот­
ношения принадлежности элементов верхней строки таблицы
множествам нижней ее строки:
0
{0}
{0; -1; 1} {{-1; 1};-1; 1}
1.17.
1.18.
1.19.
{-1; 1}
{{0; -1};
Н ;1 > ; 1}
-1
И ; 1; 2}
{0; 1}
{{{-1; 1}; 0; 1};
{1; -1; {0» И ; 1:2}
-1; 1}
К акие элементы х удовлетворяют условию:
а) х е 0 ; б) х е {0 }; в) х е {0 ; {0 }; {0 ; {0 }}}.
Приведите пример множеств А, В и С, таких, что А е В, В е С, но
А ё С.
Выпишите все множества, являю щ иеся подмножествами мно­
жества {1; 2; 3; 4}.
81 д Задачи и упражнения
. . Приведите пример возможного универсума для:
а) множества всех ромбов;
б) множества всех равносторонних треугольников;
в) множества всех правильных многоугольников;
г) множества всех кругов и многоугольников.
Приведите пример общего универсума для множеств пунктов а —г.
1 .2 1 . Приведите пример универсума для множеств задачи 1.13.
Группа В
1 .2 2 . Найдите все х е й ,
такие, что:
1 2 0
1.23. При каки х вещественных х в множестве {х; х 2; х - 3; 2х - 1} бу­
дет меньше четырех элементов?
Подмножества и надмножества. Равенство множеств
Группа А
1.24. Докажите, что если А с В и В с С, то А с С ( транзитивность
в к л ю че н и я).
1.25. Выберите такие попарно различные подмножества А, В, С, В , Е
множества {1; 2; 3; 4; 5}, чтобы одновременно выполнялись сле­
дующие условия:
а) А с В, В с С, В с Е , С с 2), Е с В);
б) А с В, В а С, В с= В, С с= В.
1.26. Д окажите, что не существует попарно различны х подмножеств
А, В, С, В , Е множества {1; 2; 3; 4}, чтобы одновременно выпол­
нялись следующие условия:
а) 1 е А, А с С, В с Д Е с В, С с Е ;
б) 2 е В , 3 е В, В с С, А с В, С с В , В с В.
П окажите, что в пунктах а и б отсутствия любого из данных усло­
вий достаточно для существования подмножеств, удовлетворяю­
щих оставшимся условиям.
1.27. Приведите прим ер попарно р азл и ч н ы х м нож еств А , В , С, В , В,
чтобы одновременно вы п олн яли сь следую щ ие условия:
а) А с С, С с В, Е с В, В с В;
б) В с А, С с В , С с В, А с В;
в) В с В, С с В , А с В.
Группа В
1.28. а) Д окажите, что попарно различны х множеств, одновременно
удовлетворяющих условиям пунктов а и б предыдущей задачи, не
существует.
б) Какое условие из пункта а или б предыдущей задачи нужно вы ­
черкнуть, чтобы наш лись попарно различные множества А, В, С,
В, В, удовлетворяющие оставш имся условиям пунктов а и б?
82 1 Глава I. Введение
в) Найдите множества А и В, если попарно различные множества
А , В, С, В>, Е удовлетворяют условиям пунктов а й в предыдущей
задачи и являю тся подмножествами множества {1; 2; 3; 4}.
1.29. Верно ли, что:
а) {1; -1 ; 3} с {х: х 4 - х 3
+ х - 1 = 0};
б) {х:
х <3} с {х: х 2 < 9};
в) {х е А : х 2 > 16} с {х е
2 \ х >4};
г) |х :
[
Эке Х
к + 2)
{
х=
— -1 = \ х : Эк+ -; 1;
д) {х: х 2 + х ^ 12} с {х: х 2 - 25 > 0}?
1.30. Найдите все х е К, такие, что:
а) {х2; 2 —х; х + 3} = {1; 4};
б) {х; х + 1 ; 2 х - 1 } с {3 - х; х 2 - 1 ; 2 - х};
в) {х; х 2 - 1; 2х + 1} с [0; 17];
г) { х+1: т Ы
=
* 2- * } •
1.31. При каки х а выполнено:
а) {х : а х 2 + а х + 1 = 0 } = 0 ;
в) {г: аг - 1 ^ 0 } с [ 2 ; +оо);
б) {у: ау > 1 } Ф 0 ;
г) {и а12 + а 1 ^ 0 } с [ - 2 ;
2
]?
Операции над множествами. Свойства операций
Группа А
1.32. Д окаж ите, что не существует такого множества X , что:
а) X II {1; 2; 3} = {1; 2; 4; 5; 6 }; б) Х П {1; 2; 3; 4} = {3; 4; 5; 6 };
в) Х \{1; 2; 3; 4} = {4; 5; 6 };
г) {1; 2; 3; 4}\Х = {3; 4; 5}.
1.33. Пусть: а)
АП В = ;Аб)АI
I
В =А
;в) А \В = А . Что мо
о связи множеств А и В?
1.34. Найдите все множества А , для которых
=
1.35. Д окаж ите, что:
а) если
В с С, то А
(П
В )с С;
б) если С с ( А П В), то
С
а
А
в) если С с (
А
\В,) то С
Л
В
г) если А \ В — С, то (А П С) с А;
д) если А I) В = С, то С П А = А;
е) если А П В = С, то
1.36. На рисунке 1.25 изображены множества
А , В и С. Закрасьте на таком же рисунке
множество:
ВIС
=В
.
а) А П
(В\С);б) В II (А П С);
в) (С и А )\(В П С);
г)
В
\А
(и)(В \А );
д) (А У В )\(А П В); е) ((А У )СПВ )\С .
Рис. 1.25
83 | Задачи и упражнения
Рис. 7 .2 6
1.37. Сравнив результаты пунктов г и д, а такж е пунктов а и с преды­
дущей задачи, сформулируйте и докаж ите соответствующие свой­
ства операций.
1.38. На рисунке 1.26 изображены множества А , В и С. Выразите за­
крашенные части через множества А , В и С с помощью операций
объединения, пересечения и разности.
1.39. Пусть А = {х: х 2 - 5х + 4 ^ 0}, В = {х: 10х - х 2 - 24 > 0}, С = [1; 6 ].
Изобразите на числовой оси и задайте уравнением или неравенст­
вом множество:
а) А I) В; б) (С \А ) Ы(С\В); в) А \В ; г) А \(С \(А II В)).
1.40. Выразите множества А и В с помощью операций объединения, пе­
ресечения и разности через:
а) А \В ; В \А ; А П В; б) А II В; А П В; А \В ;
в) (А \В ) У (В \А ); А П В; В \А .
1.41. Пусть А = {1; 2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8 }. Задайте множество X перечисле­
нием, если:
а) Х \ А = {9; 10}, А \Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6 };
б) Х \ А = {9}, А П Х = {1; 2};
в) А и Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8 ; 9; 10}, А П Х = {3; 4; 5};
г) А \ Х = {3; 4; 5}, А и X = {1; 2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8 ; 9}.
Группа В
1.42. Пусть А а = [а; 2а - 1] (например, А 2 = [2; 3], А х = {1}, А х =
0 ,
по-
2
скольку левый конец отрезка должен быть меньше правого),
В а = [а - 1; 10 - а]. При каки х а выполнено:
а)
Ва
Ф0 ;
б) А а = 0;
в) 3 е А а П Б а;
г) 3 е
А а\ В а;д) 3 е В а\ А а;
е) А а П Б а ^ 0 ;
ж) А а\Б а * 0 ;
з) А П
а
А 2а _2 с [5; 10];
Кванторы
Группа А
1.43. У становите истинностное значение вы ск азы ван и я:
а) З х : х - 1 = х + 1;
б) З х : х 2 - 2х + 3 = 0;
в) Зх: х 2 - 2 х - 3 = 0;
г) Ух х 2 + х + 1 ^ 0;
Глава I. Введение
1.44.
1.45.
1.46.
1.47.
1.48.
д) З х : (х 2 - 2х = 0) л (х2 + 5х - 4 ^ 0);
е) Ух (х2 - 4х + 3 0) V (х 2 - 5х + 6 ^ 0);
ж) Ух (х2 - 4х + 3 > 0) V (х2 - 5х + 6 > 0);
з) Зх: (х е [1; 3] —►х е [0; 2]);
и) Ух ((х е [2; 3]
(х2 - 4) < 0)) V (х2 + х - 1 < 0).
Подберите такой предикат Р ( х , у) от двух переменных х и у, чтобы:
а) высказывание Зх: Зу: Р (х , у) было истинным, а при всех
остальных расстановках кванторов получались ложные высказы­
вания;
б) высказывание У х У у Р ( х , у) было лож ным, а при всех осталь­
ных расстановках кванторов получались истинные высказывания;
в) при всех расстановках кванторов получались истинные выска­
зы вания;
г) вы сказы вания У хЗ у: Р (х , у) и Зх: Уу Р (х , у) были истинны­
ми, а высказывание Зу: Ух Р (х , у) — ложным;
д) вы сказы вания Зх: Уу Р (х , у) и Уу Зх: Р (х , у) были истинны­
ми, а вы сказы вания Зу: У х Р (х , у) и УхЗу: Р (х , у) — ложными.
Запиш ите вы сказы вание в виде формул с кванторами, обозначив
предикаты и переменные буквами:
а) Ночью все кош ки серы.
б) По крайней мере одно двузначное число является четным.
в) К аж ды й охотник ж елает знать, где сидит фазан.
г) Если кто-то наш ел клад, то и мы найдем.
д) Ни одна селедка не умеет рычать.
е) Пока гром не грянет, м уж ик не перекрестится.
Пусть Р (х ), С?(х), К( х ) — предикаты, А = {х: Р(х)}, В = {х: С?(х)},
С = {х: Р(х)}. Используя в записи только обозначения предика­
тов, логические связки и кванторы, запиш ите высказывание,
утверждающее, что:
а) А П В = 0 ;
б) В П С Ф 0 ;
в) А \ В = 0 ;
г) А \ В Ф 0 ;
д) А Ы В с С;
е) А II В = В \С .
Получите с помощью кванторов всевозможные истинные выска­
зы вания из предикатов:
а)
\х\ - у =1; б) | х | - | г / | = 3; в) | х | < х + |г/|.
Пусть А = {п2: п е ЛГ}. Задайте множество А характеристическим
свойством, т. е. в виде А = {х: Р(х)}, где Р ( х ) — предикат.
Группа В
1.49. При каки х вещественных а истинно высказывание:
а) Зх: х 2 + а х + 2 = 0;
б) Ух х 2 + ах + 2 > 0;
в) Зх: а х 2 + а х + 1 ^ 0;
г) Ух а х 2 + а х + 1 > 0?
1.50. Найдите множество значений свободной переменной, при кото­
рых будет истинным предикат:
а) Ух (х ^ 2) V (х + у > 10); б) Уу х 2 - у 2 = 1; в) Зу: х 2 - у 2 = 1;
г) Зх: (а2 - 1 )х = а + 1 ; д) Ух (а 2 - 1)х = а + 1;
85 I Задачи и упражнения
е) Зх: (х +
\у \ >2
) -* (х +
у >3) ; ж) Ух (х + |2) —»• (х +>3) ;
з) Зу: (х + 11/| > 2) —»■(х
+ у >3
); и) V (х + |
> 2 ) -► (х
1.51. Д окажите, что (Зх: Уу Р (х , у)) —►(Уу Зх: Р (х , у)) — истинное вы ­
сказывание при любом предикате Р (х , у).
1.52. Выясните истинностное значение вы сказы вания:
а) Уа Зх: х 2 - а х - 2 = 0;
б) Зх: Уа х 2 - а х - 2 = 0;
в) Ух За: х 2 - а х - 2 = 0;
г) За: Ух х 2 - а х - 2 = 0;
д) За: УЬ Зх: х 2 - а х + Ь =0;
е) УЬ За: Зх: х 2 - ах + Ь = 0;
ж) Уа УЬ Зс: Зх: а х 2 + Ьх + с > 0;
з) Уа Зс: УЬ Зх: а х 2 + Ьх + с > 0;
и) За: Зс: УЬ Зх: а х 2 + Ьх + с > 0.
Следование и равносильность
Группа А
1.53. Выясните для каждого из условий, является оно необходимым
или достаточным для выполнения неравенства х 2 - 6 х + 8 ^ 0 :
а) х = 3; б) х ^ 1; в) х ^ 3; г) х ^ 3 л х < 5; д) 2 ^ х ^ 4.
Сформулируйте соответствующие теоремы.
1.54. Выясните, какие из следующих высказы ваний истинны:
а) Д ля того чтобы число делилось на 5, необходимо, чтобы оно за­
канчивалось 0 .
б) Д ля того чтобы число делилось на 6 , необходимо, чтобы оно де­
лилось на 3.
в) Д ля того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необ­
ходимо, чтобы две его противоположные стороны были параллельны.
г) Д ля того чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо,
чтобы его стороны были равны 3, 4, 5.
1.55. Поставьте в предложении вместо многоточий одну из связок: «не­
обходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «не
необходимо и не достаточно», «необходимо и достаточно» так,
чтобы получились верные вы сказы вания:
а) Д ля того чтобы число было меньше 6 , ..., чтобы оно было мень­
ше 5.
б) Чтобы четырехугольник был параллелограммом, ..., чтобы он
был ромбом.
в) Равенство произведения нулю ..., чтобы первый сомножитель
был равен нулю.
г) Условие делимости числа на 8 является ... для делимости этого
числа на 24.
д) Для того чтобы две прямые на плоскости были параллельны ,
..., чтобы они не имели общих точек.
е) Чтобы сумма двух положительных чисел была больше 8 , ...,
чтобы каждое из них было больше 4.
ж) Чтобы сумма шести чисел была больше 240, ..., чтобы хотя бы
одно из них было больше 40.
86 1 Глава I. Введение
з) Д ля того, чтобы корни уравнения х 2 + х + Ь = 0 имели разные
знаки,
чтобы Ь < 0.
и) Д ля того, чтобы корни уравнения х 2 + х + Ь были одного зна­
ка, ..., чтобы Ъ > 0 .
к ) *---- = 0 ..., чтобы х = - 2 .
х - 2
л) Чтобы прям ая у = к х + Ь пересекала вторую и четвертую чет­
верти, ..., чтобы к < 0 (запиш ите это высказывание в форме им­
пликации предикатов с кванторами).
1.56. Сформулируйте и докаж ите теорему вида:
а) А \ В = В только тогда, когда...;
б) А \ В = А II В тогда, когда...;
в) А II В = А \ В тогда и только тогда, когда... .
1.57. Сформулируйте теорему в форме «Если..., то ...», «Всякий...
есть...», «...необходимо д л я...» , «...достаточно д л я...» , «Если
н е..., то и не...»:
а) Вертикальные углы равны.
б) В треугольнике против большей стороны леж ит больший угол.
в) Отрезок короче ломаной, соединяющей его концы.
г) Сумма углов треугольника равна 180°.
д) Около треугольника можно описать окружность.
е) П ерпендикуляры к параллельным прямым параллельны.
ж ) Площади подобных треугольников относятся как квадраты
коэффициентов подобия.
Группа В
1.58.
Постройте отрицание вы сказы вания:
а) Р
( х
)=> ф (х); б) \/е > 0 36 > 0: (|х - 1 1< 5) => (|х 2 - 1| < е)
в)
\/е > 0
пЗ еЫ: \/т
е
1
2т
1
2 т+к
< е;
г) Уе > 0 Зп е N 1 \/х е [0; 1] \/у е [0; 1] \ / к > п V/ > п \хк - у 11< е.
Метод математической индукции
Группа А
1.59. Известно, что для последовательности {ап}:
а) выполняется соотношение ап +1 = 3ап - 2ап_ 1? а такж е а 0 = 2 ,
а х = 3. Д окаж ите, что ап = 2п + 1; б) выполняется соотношение
ап +1 = Зап- 2 а п_ 1, а такж е а0 = 0, а г = 1. Д окаж ите, что ап- 2п- 1.
1.60. Последовательность Фибоначчи определяется следующими усло­
виями: ип +г = ип + ип_ х, и х — 1, и2 = 1. Д окаж ите, что верны сле­
дующие соотношения:
а)
б)
и 2п + 1 = и 2 + и 4 + • • • + и 2 П1
и п и п+ 1 = и 1 + и 2 + • • • + и п -
87д Задачи и упражнения
1.61. Даны натуральные числа х 19 ..., х п. Докаж ите, что число
( 1 + х \ ) ( 1 + х \ ) •. . . • ( 1 + х 2) можно представить в виде суммы квад­
ратов двух целых чисел.
1.62. Докажите тождество:
а) 1 + 3 + 5 + ... + (2 п — 1) = ть2\
б) I 2 + 2 2 + З 2 + ...
+ п 2 = 71 ( 7 1 + ^ (2п + 1};
в) 1 • 2 ■3 + 2 • 3 • 4 + ... +
п ( п +1)(п + 2) = 7 1 ( 7 1 + 1)(п + .2 )(п 1:
_ 1 _ , _ 1 _ , _ 1_ +
|
1
_ - 1.
1•2 + 2 •3 + 3 • 4
(га - 1)л
п ’
ч ^ 2_
22
_______ п * _________
п(п +1 ) .
Д 7
1-3 3 -5
(2п - 1) •
(2п +1)
2 (2 п + 1 )’
е) 1 + 1 + 1 + - " + 2 ^ = 2 ~ 2 ^ ;
ж) ^ - + —
П(', + 3)
1*2*3 2*3*4
п
• (л + 1) • (п + 2)
4(л + 1)(тг + 2)
1.63. Докажите, что для любого натурального п :
а) 5л + + 5п • Зп +2 делится на 17;
б)
/г+ . " + + " + 2 . 22п + делится на 19;
в) 32п +2 + п - 9 делится на 16;
г) 4Л + 15п - 1 делится на 9;
д) 10" + 18п - 1 делится на 27;
е) 2
+ Зп + 4 делится на 9.
1.64. Докажите, что для всех натуральных п число, записываемое Зп
единицами, делится на 3".
1.65. Докажите, что для всех натуральны х п, начиная с некоторого,
выполняется неравенство:
1
2
3
5 2
1
2
2
3
1
8
2 п ~ 1
а) п—+1 1— +п—!~?
+ 2 + ••• 2 п+ 1Г>
51 ; б) 3" >
г)
2
е)
2
4п
> ~^=+ -у=
VI л/2
л/п
П> п2; ж ) п! > 2 "; з)
и> ГТ^Г
(п1У > 71+ 1
к>
21
+... + -р= >
1
+
* 4! • 6 ! • -
1 + ... + ^ <
2
2
(7 п + Т -
1
);
-
• ( 2 л)! > (( + 1 )!)".
. . Докажите, что б + д/б + д/б+ . . . +л/б < 5 при любом количестве
корней.
Ш. Докажите, что |х 1 + дс2 + ... + лг„| ^ |хх| + |дс2| + ... + |дсп|, где лгх,
#2, ...,
— любые вещественные числа.
1 66
д)
88
Глава I. Введение
. . Д окаж ите, что квадрат можно разрезать на любое число квадра­
тов, начиная с шести.
1.69. Д окаж ите, что любую сумму, начиная с 8 рублей, можно упла­
тить только монетами в 3 рубля и 5 рублей.
1 6 8
Группа В
1.70. а) На сколько частей делят плоскость п прямы х «общего положе­
ния», т. е. таких, что никакие две не параллельны и никакие три
не проходят через одну точку?
б) Докаж ите, что эти части можно раскрасить в два цвета в шах­
матном порядке, т. е. так, чтобы любые две части, граничащие по
отрезку или лучу, были покраш ены в разные цвета.
1.71. У каждого из п человек появилась новость. Два человека в разго­
воре передают друг другу все известные им новости. Докажите,
что п человек (при п > 3) могут за 2п — 4 разговора передать друг
другу все новости (т. е. чтобы каж ды й знал новость каждого).
1.72. Д окаж ите, что в разложении числа (п + 1)(п + 2) • ... • 2п на про­
стые множители ровно п двоек.
1.73. На сторонах выпуклого многоугольника
наруж у его растут волосы. Проводится
несколько прямых так, что никакие три
из них не проходят через одну точку и ни
одна из них не содержит сторон много­
угольника. На каж дой прямой по одну
сторону от нее растут волосы. Д окаж и ­
те, что среди частей, на которые много­
угольник делится этими прямы ми, будет
часть, все волосы которой торчат наруж у
(рис. 1.27).
1.74. В стране п городов, между каж ды м и двумя из которых проложе­
на дорога с односторонним движением. Д окаж ите, что можно вы­
брать марш рут, проходящий по всем городам ровно по одному
разу (вклю чая начальный и конечный пункты маршрута).
Разбор случаев и правило умножения
Группа А
1.75. Сколько существует способов выбрать по одному шахматисту из
двух команд по 1 0 человек в каждой?
1.76. Сколько существует способов выбрать 2 карты различных мастей
из колоды в 36 карт?
1.77. У двух коллекционеров по 15 картин и по 8 скульптур. Они хотят
обменять либо скульптуру на скульптуру, либо картину на карти­
ну. Сколькими способами можно это сделать?
1.78. Сколько различны х натуральны х делителей имеет число 2п • Зт?
Задачи и упражнения
В магазине есть 6 разных видов ручек и 4 разны х видов тетрадей.
Сколькими способами можно купить ручку и тетрадь?
1.80. В том же магазине (см. задачу 1.79) есть еще 5 различны х видов
карандашей. Сколькими способами можно купить комплект из
тетрадки, ручки и карандаш а?
1.81. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы
из слова «комбинаторика»?
1.82. Наташа хочет подняться в гору и спуститься обратно. Сколько
у нее способов это осуществить, если на гору ведет 8 дорог?
1.83. Сколько существует ш естизначных чисел, в десятичной записи
которых использованы только цифры 1, 2, 3, 4, 5?
1.84. В киоске продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. С кольки­
ми способами можно купить конверт с маркой?
1.85. На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 3 прилага­
тельных. Нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей
речи. Сколькими способами это можно сделать?
1 .8 6 . Монету бросают пять раз.
Сколько разны х последовательностей
орлов и решек можно при этом получить?
1.87. Сколько существует способов расставить 20 разны х книг по 5 пол­
кам (порядок книг на полке не важен, на полке может не быть ни
одной книги)?
1 .8 8 . Надо послать 10 срочных писем. Сколькими способами это можно
сделать, если для передачи писем можно использовать четырех
курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?
1.89. Гоша закраш ивает таблицу размером 6 x 6 . При этом каж дую
клетку он красит в один из 3 цветов. Сколькими способами он мо­
жет это сделать?
1.90. Сколько существует различны х последовательностей нулей и еди­
ниц длины 1 0 ?
Ш. Сколькими способами можно поставить на ш ахматную доску бе­
лую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
1.92. Сколькими способами можно поставить белого и черного ферзей
на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?
1.93. Сколько существует пятизначны х чисел, все цифры которых име­
ют одинаковую четность?
1.94. На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно вы лож ить
в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной
книги) если а) порядок книг в стопке не важен; б) порядок книг в
стопке важен?
1.95. Алфавит племени «Мумбо-Юмбо» состоит из трех букв. Словом
является любая последовательность, состоящая не более чем из
четырех букв. Сколько слов в язы ке племени «Мумбо-Юмбо»?
1.96. Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно вы ­
брать 4 карты разных мастей и достоинств?
1.79.
90 1 Глава I. Введение
1.97. Сколько натуральны х делителей у числа р • р 22 • ... •
если
числа р г, р 2, ..., р п — простые, а х, а 2, ..., ос„ — натуральные?
1.98. Сколько существует семизначных чисел, у которых любые две
соседние цифры разные?
Размещения и перестановки
Группа А
1.99. В классе 27 человек. Сколькими способами из них можно вы­
брать старосту, помощ ника старосты и заместителя старосты?
1 . 1 0 0 . Сколькими
способами можно составить четырехцветный флаг
с четырьмя горизонтальными полосами из семи цветов радуги?
1 . 1 0 1 . Сколько
существует способов вы ложить в ряд 5 разноцветных
шаров?
1 .1 0 2 . Сколько существует способов расставить 8
одинаковых ладей на
шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
1.103. Сколькими способами можно построить в ряд 8 учеников, среди
которых есть Петя и Вова, если:
а) Вова не должен стоять с краю;
б) Петя хочет стоять рядом с Вовой;
в) П етя не хочет стоять рядом с Вовой;
г) Петю нельзя ставить первым, а Вову — последним?
1.104. Сколько существует способов распределить комплект наград (зо­
лотую, серебряную и бронзовую медали) среди 16 команд?
1.105. Сколько можно составить из букв слова «комета» таких переста­
новок, в которых гласные и согласные буквы чередуются?
1.106. За длинным столом сидят 8 мужчин и 8 ж енщ ин. Сколькими
способами их рассадить, чтобы они чередовались?
1.107. Сколько различны х упорядоченных наборов букв можно полу­
чить, переставляя буквы слова: а) пилот; б) мама; в) парадокс?
1.108. Сколько существует ш естизначных чисел, у которых все цифры
различны?
1.109. Сколько существует семизначных чисел, у которых есть хотя бы
две одинаковые цифры?
1 .1 1 0 . В алфавите племени «Амба-Мамба» шесть букв. Словом является
любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы
две одинаковые буквы. Сколько слов в язы ке племени «АмбаМамба»?
1 .1 1 1 . Игральный кубик бросают трижды. Среди всех возможных после­
довательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один
раз встречается шестерка. Сколько таких последовательностей?
1 . 1 1 2 . Сколько существует способов расставить в ряд 10 учеников, сре­
ди которых есть одна Маша и один Витя, если известно, что
М аша долж на стоять после Вити?
91 1Задачи и упражнения
1.113.
1.114.
Сколько существует перестановок 10 различны х цифр, в кото­
рых цифра 1 стоит между цифрами 0 и 2 (между цифрами 0 и 1
и между цифрами 1 и 2 могут быть еще цифры)?
Сколько существует способов выбрать двух деж урны х в классе из
2 0
человек?
Сочетания. Простейшие свойства сочетаний
Группа А
В стране 20 городов, каж ды е 2 из которых соединены авиалини­
ей. Сколько авиалиний в этой стране?
1.116. Сколько существует способов выбрать из 8 мальчиков и 7 девочек
2
мальчиков и 1 девочку?
1.117. Сколько существует способов из 10 преподавателей, 1 1 завучей и
12 директоров выбрать 4 преподавателя, 3 завуча и 2 директора?
1.118. Сколько существует способов из 10 яблок и 6 груш выбрать 4 яб­
лока и 3 груши?
1.119. У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одина­
ковых апельсина. К аж ды й день в течение девяти дней подряд она
дает сыну один из оставш ихся фруктов. Сколькими способами
это может быть сделано?
1 .1 2 0 . Сколькими способами можно поселить 7 студентов в 3 комнаты:
одноместную, двухместную и четырехместную?
1 .1 2 1 . Сколькими способами можно поставить на полку 3 книги одного
вида, 5 другого, 8 третьего?
1 .1 2 2 . Валя переставляет буквы слова «обороноспособность». С кольки­
ми способами он может это сделать?
1.123. Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали
шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, две л а ­
дьи, два слона и два коня)?
1.124. Сколько диагоналей в выпуклом п -угольнике?
1.125. Сколько существует способов выбрать из полной колоды карт
4 карты так, чтобы среди них было ровно 2 туза?
1.126. Ш кольник к экзамену подготовил ответы на 10 из 20 вопросов.
Билет состоит из 3 вопросов. Ш кольник сдает экзамен, если в би­
лете, который он вытащ ит, по крайней мере 2 подготовленных
вопроса, которые он знает. Сколько существует билетов, вы та­
щив которые ш кольник сдаст экзамен?
1.127. Сколько существует способов разбить команду из 12 человек на
3 команды по четыре человека в каж дой?
1.128. Сколько существует способов выбрать из 12 человек 2 команды
по 4 человека?
1.129. Сколько существует ш естизначных чисел, у которых 3 четные
и 3 нечетные цифры?
1.115.
92 I* Глава I. Введение
>г(лряаш
1.130. Есть 3 собрания сочинений трех разных авто­
ров. Каждое содержит по 5 томов. Сколькими
способами можно их расставить на полке, если
тома одного автора должны стоять рядом?
1.131. Сколькими способами можно прочитать сло­
во «треугольник» (рис. 1.28)?
1.132. Сколькими способами можно разбить 14 че­
ловек на пары?
Группа В
ТРЕУ ГОЛЬНИК
РЕУГОЛЬНИК
ЕУ Г ОЛЬНИК
УГ о л ь ни к
ГОЛЬНИК
ольник
льник
ьни к
ник
ик
к
Рис. 1.28
1.133. Сколько существует семизначных чисел, в запи­
си которых каждая последующая цифра больше
предыдущей (первый разряд — разряд единиц)?
1.134. Сколько точек пересечения диагоналей в выпуклом: а) восьми­
угольнике; б) я-угольнике, если никакие 3 диагонали не пересе­
каю тся в одной точке?
1.135. Сколько существует способов выбрать из колоды карт (52 штуки)
6
так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?
1.136. Сколько существует способов из 100 человек выбрать 4 пары?
1.137. Сколько существует способов выбрать 4 пары для танца из 16
юношей и 5 девушек?
1.138. Сколько слов можно составить из четырех букв А и не более чем
из двух букв Б?
1.139. Д окаж ите двумя способами (используя формулу Скп и с помощью
комбинаторных рассуждений) формулу:
к - С пк = п - С пк ~_\.
Бином Ньютона
Группа А
1.140. Разлож ите с помощью бинома Ньютона: а) (1 + л/2) ; б) (л/3 + л/5) ;
в) (х + 2у)6; г) (2х - 0,5у)5.
1.141. Найдите член разложения (1 + 2 х ) 1 0 с наибольшим коэффициентом.
1.142. Какое слагаемое в разложении (1 + >/2) 10° по формуле бинома
Ньютона будет наибольшим?
1.143. Сколько рациональных слагаемых в разложении бинома (л/2 + ^ ) 10°?
1.144. Найдите: а) коэффициент при х ь в стандартном виде многочлена
( 1
- 2х + х 2)6; б) сумму коэффициентов этого многочлена.
1.145. Найдите коэффициенты при: а) х 1 0 0 г/5 0 2 30; б) х 200у 30г 9 в разложе­
нии (х + у + г)239.
1.146. Найдите коэффициенты при х 17 и х 18 после раскры тия скобок
и приведения подобных членов в вы раж ении ( 1 + х 5 + х 7)20.
1.147. В каком из выраж ений после раскры тия скобок и приведения по­
добных членов коэффициент при х 1 7 больше: у выражения
( 1
+ х 2 - х 3 ) 1 0 0 0 или у вы раж ения ( 1 - х 2 + х 3)1000?
Д^_3адачи и упражнения
1.148.
Вычислите:
а) 1 + 2С1 + 2 2 -С 2 + ... + 2 " - С";
б) 1 + ЗС1 + 32 -С 2 + . . . + 3 " - С " ;
в) 1 -С 1 + С2 - . . . + ( - 1 ) я . С».
Группа В
1.149.
1.150.
1.151.
1.152.
Докажите тождество:
а) С"+ Л = С°С* + С \С пт - 1 + ... + С"С° ;
б) 1-С\ + 2 - С2 + ... + п - С" = п - 2 " " 1;
в) (С° ) 2 +(С * ) 2 + ... + (С" ) 2 = С2"„.
На окружности отмечены 11 точек. Сколько существует вы пук­
лых многоугольников с верш инами в отмеченных точках?
Докажите, что число способов выбрать четное число предметов из
п равно числу способов выбрать нечетное число предметов.
Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1 х 30 и за ход мо­
жет сдвинуться на любое количество полей вправо. Сколькими
способами она может добраться до крайнего правого поля: а) ров­
но за 7 ходов; б) вообще?
О граниченны е ч и с л о в ы е м н о ж е с т в а . Т о ч н ы е гр а н и ц ы
Гр у п п а А
1.153.
1.154.
1.155.
1.156.
1.157.
1.158.
1.159.
1.160.
1.161.
Сформулируйте определение: а) множества, ограниченного сни­
зу; б) нижней границы; в) минимума множества. Приведите при­
меры множеств, имеющих минимум и не имеющих минимум.
Сформулируйте отрицание утверждения о том, что число М —
верхняя граница множества А .
Запишите задание множества верхних границ множества А х а­
рактеристическим свойством.
Пусть А — непустое ограниченное сверху множество, М А — мно­
жество его верхних границ. Докаж ите, что М А ограничено снизу.
Докажите, что если А — непустое ограниченное множество, то:
а) т 1 А ^ в и р А ;
б) 1 п! А = вир А тогда и только тогда, когда А состоит из одного числа.
Пусть А — числовое множество, ограниченное сверху:
а) докажите, что В = {-х : х е А) ограничено снизу;
б) верно ли, что С = {х 2: х е А} ограничено сверху?
Пусть А — ограниченное множество. Д окаж ите, что 3К > 0:
\/хе А
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Пусть А с Б и Б ограничено сверху. Д окаж ите, что А такж е
ограничено сверху. Сформулируйте и докаж ите аналогичное
утверждение для множеств, ограниченных снизу.
Докажите, что максимальный элемент множества является его
супремумом.
94 1 Глава I. Введение
1.162.
1.163.
1.164.
Пусть А * 0 , А с В и В ограничено сверху. Докаж ите, что
вир А ^ вир Б . Сформулируйте и докаж ите аналогичное утверж­
дение для множеств, ограниченных снизу.
Пусть А , В — два непустых числовых множества, причем
\/х е А Зу е Б: х ^ у. Докаж ите, что если В ограничено сверху, то:
а) А ограничено сверху; б) вир А ^ вир Б .
Сформулируйте и докаж ите аналогичное утверждение для огра­
ниченных снизу множеств.
Докаж ите, что если А и Б — непустые ограниченные сверху мно­
жества, то:
а) А II Б ограничено сверху; б) вир А II Б = шах {вир А; вир Б}.
Сформулируйте и докаж ите аналогичное утверждение для мно­
жеств, ограниченных снизу.
Группа В
1.165.
1.166.
1.167.
Пусть вир А = М , п 1 1 А = т. Найдите супремум и инфимум мно­
жества:
а) Б = {-х: х е А};
б) С = {х + 5: х е А};
в) В - {2х - 7: х е А};
г*) Е = {х2: х е А}.
Пусть А и Б — непустые ограниченные снизу числовые множест­
ва и пусть С = {х + у: х е А , у е Б}. Найдите и 1 1 А , игЕБ, С
и т ! С , если:
а)
А = 6[ ; 7]; Б = (2; 4);
б) А = | ± : п е Л г |,
в)
А —[0; 1], Б = | 1 : п е Л г |.
{0; 1};
г) Сформулируйте и докаж ите результат о связи т ! С с т
и т ! Б д л я произвольных множеств А и Б .
Найдите супремум и инфимум множества:
: и е Л г |; в) А = | ^ у : п е Л ^ .
1.168.
Найдите супремум и инфимум множества:
а) А =
7
\ т 2+ п 2
:
т ,
п еЛг1;
)
б) А = { ——— :
’
\т + п
ап,
и еЛ г}.
)
Область определения уравнения
Г р у п п а А (1.169—1.194)
1.169.
Реш ите уравнение:
а) х + 1 = х + 1 ;
п
б) х + 2 = х + 1 ;
в)
х + 1
х + 1*
95-3 Задачи и упражнения
1.170.
ж) л/х + 1 = л/х + 1 ;
з) х + л/х = л/х - 1 ;
и) 4 ~ х = 1 ;
к) л/х - 1 = л/х - х 2 ;
л) л/-х 2 = 1 .
Может ли оказаться так, что какое-то значение переменной х:
а) является корнем уравнения, но не принадлежит ООУ;
б) не является корнем уравнения, но принадлеж ит ООУ?
Для соответствующих примеров используйте задание 1.169.
Равносильность и с л е д о в а н и е
1.171.
1.172.
1.173.
1.174.
Выясните, равносильны ли уравнения:
а) х 2 - 2 = 0 и х 4 - 4 = 0;
б) ——
—— = 1 и х - 2 = 1;
х - 3
х2 —4
х2 —4
в) ------- = 1 и х —2 = 1;
г)-------- = - 4 и - 2 = -4 ;
7
х+2
+2
д) х 3 = 0 и х 3 - 2 х = 0 ; е) х 3 = 0 и х3 + _ 0.
X
х
х +2
ж) д/х2 + 4х + 4 = 1 и х + 2 = 1.
Выясните, равносильны ли уравнения:
а) Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 Н---- — = 2х + 4 + —-—;
х - 1
х- 1
б) Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 + —-— = 2х + 4 н
—;
х- 3
х - 3]___
в) Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 + д/х2 - 4 = 2х + 4 + д/х2 - 4;
г) Зх + 1 = 2х + 4 и Зх + 1 + д/х2 - 16 = 2х + 4 + д/х2 - 16;
д) х + 3 = 2 и (х + 3) (х - 1 ) = 2 (х - 1 );
е) х + 3 = 2 и (х + 3)(х + I ) 2 = 2 (х + I )2;
ж) л/х + Зл/х - 4 = Зл/2 и д/(х + 3)(х - 4) = Зл/2;
з) х + 3 = 0 и ( х + З ) 4 = 0 ;
и) х + 3 = 1 и (х + З ) 4 = 1 ;
ч
о о
х+3
2
.
| 0 0 х+3
2
к) х + 3 = 2 и —— - = ——
л) х + 3 = 2 и —— - =——
х г —1
х* —1
\
о
п /х - 1 2 (х - 1 )
м) х + 3 = 2 и (х + 3 )--------.
х+1
х+1
На каком множестве следует рассматривать уравнения, чтобы
они оказались равносильными?
а) —---- - = -4 и х - 2 = -4 ;
б) х + 3 = 1 и (х + З ) 4 —1;
х + 2 ____
в) л/х + Зл/х —4 = Зл/2 и д/(х + 3)(х - 4) = Зл/2;
г) л/х + Зл/х - 4 = Зл/2 и х 2 - х - 12 = 18.
Решите уравнение, используя цепочку следствий с последующей
проверкой:
. х 2 + Зх + 2
„
х 2 - 4х + 4
„
а ) ^ Т 4 — ь = 0 ~' 6) » » - з ^ , » 7 2 = 0;
4
Глава
I. Введение
нммнм
в) (9 - х 2 )д/2 - х = 0;
г) д/4 - х • д/х2 - 4 9 • (х + 4) = 0;
д)
е) д/х + Зд/х - 4 = Зд/2;
~ 36)(* + ^ = 0;
д/бх + 8 - х 2
ж ) д/х2 + 8 = 2х + 1;
з) д/х + 3 - д/2х - 1 = д/Зх - 2;
и) д/8 х + 1 - д/2х - 2 = д/7х + 4 - д/Зх - 5.
Равносильность неравенств
1.175. Выясните, равносильны ли неравенства:
а)
----- >
х+1
0
и х>
0
;
б) — >
х
0
и х >0 ;
в) — ^
х
г) — > - 1 и х > - 1 ; д) — > - 1 и --(х---2)- > - 1 .
7
X
х
х - 2
Равносильные преобразования неравенств
1.176. Выясните, равносильны ли неравенства:
а) х + 1 > 3 и х + 1 н—X > 3Xн— ;
1
Л
1
;
б) х + 1 > 3 и х + 1 + --------> 3 Н
3-х
3-х
в) х 2 > х + 1 и х 2 (х 2 + 1 ) > (х + 1 )(х 2 + 1 );
г) х > 2 и х (х - 3) > 2 (х - 3);
д) х > 2 и х (х - 2 ) 2 > 2 (х - 2 )2;
е) х > 2 и х (х -
2
0
и х^
) >
2
0
(х -
;
2
);
ж ) —-— < 3 и - — 3^х + 2^ < 0 ;
х+ 2
х+ 2
и) ^ — - > 0 и (х - 1)(3 - х) > 0;
3-х
. (х - 1)(х - 2) 2
.
х- 1 _
л>
зТ~х
> 0 и з Т 7 >0;
з) —-— < 3 и 1 < 3 (х + 2 );
х+2
к) ——- ^ 0 и ( х - 1 ) ( 3 - х ) > 0 ;
3-х
. (х -1 )(х -5 ) 2
Л х -1
.
м)
8-х
> 0 и з Г 7 >0:
н) ^
о) ^
п)
> 7 Г 1 я х - 1>2х;
4 х + 2 < 2 и 1 + 2 < 4 ; р)
с) д/х + Зд/х - 4 < Зд/2 и д/(х + 3)(х - 4)
т) д/х + Зд/х - 4 > Зд/2 и д/(х + 3)(х - 4)
д/х + 1
/х + 1 ^ 0
.
ф)
У) ,------ >2 и-------- - 3* 2;
д/х - 1
Vх - 1
+
^
и ( х ~ 1)г>4х1:
< 1 и -]х + 2 < х;
< Зд/2;
> Зд/2;
д/х - 2
х- 2
< 1 и — — ^ 1.
д/х + 3
х+3
Уравнения и неравенства с модулем
1.177. Реш ите уравнение:
а) 15х + 3| = 7;
в) | 2 х 2 - х | = 0 ;
>(
б) | 9 - 2 х | = 5;
г) | х 3 - д / х | = - 2 ;
97 ^ Задачи и упражнения
д) | 2 х - х 2 - 3 | = 1; е) | х 2 + 5х + 4| + | х 2 - 1 6 1= 0;
ж) | х 2 + 5х + 4 1+ | х 2 - 1 6 1+ 12х2 + х - 1 1= 0.
1.178. Решите неравенство:
а) |х | < 3; б) | х | ^ 4 ; в) | 2 х —1 | < 3 ; г) 1 5 —2 х| > 3;
д) |л/2 х - 2 | < -2;
е)|3-4х|>-1;
ж ) | х +3 | > 0 ;
з) 2 < | 3 х - 5 | < 7;
и) 0 < |3 х + 2| < 1;
к) |3 - | х - 2 || < 1.
1.179. Решите уравнение, используя снятие знака модуля по опреде­
лению:
а) |х | = |2 х + 3| + х —1; б) | х + 1 | = 2 | х - 1 | + х;
в) | х + 1 1+ |2 —х| + | х + 3| = 6 ; г) | х - 1 1- | х| + | 2х + 3| = 2х + 4;
д) | х + 1 | - | х | + 3 | х - 1 | - 2 | х - 2 | = | х + 2 |;
е) | х 2 - Зх + 2 1= | х | - х 2 + 4; ж) х 2 = 11 - 2х 2 1;
- - 11 = 2 ; к ) | |
з) ^ ---- — = х; и ) ^ — | 1 + I
х —2
| х | • (х - 2 )
"
1
1
1
1
1.180. Реш ите уравнение ан ал и ти ч еск и и, по возм ож ности, граф ически:
а) |х | = х + 1 ;
б) | х + 1 1 = х + 3;
в) | Зх — 1 1 = 3 —х;
г) |3х + 1 1= 5 + 6 х;
д) | х| + | х —1 1= 1;
е) 11 —|х11 = 14;
ж) х 2 - | х | - 6 = 0 ;
з) | х 2 + 2 х - 3 1 = 3 - 2 х - х 2;
и) |4 + Зх - х 2| = х 2 - Зх - 4; к) — -—г = х - 1.
| X —1 1
1.181. Решите неравенство, используя снятие знака модуля по опреде­
лению:
а) | х + 1 | + 4 > 2 | х | ;
б) | 2х + 3| > | х| —4х - 1;
в) | х - 2 | + | 3 - х | > х + 2;
г) | х —1 | > | х + 2| —3;
д) | х - б| < | х 2 - 5х + 9|;
е) | х 3 —1 1> 1 —х;
0
ч 14 —х| „
. 2х - 5
ч | х —2 1
ж)
' < 3;
з) ,
-т > - 1 ;
и) '
' > 3;
х+6
| х —3 1
х 2 —5х + 6
. х2 - | х | - 6
_
. | х 2 —4х| + 3 1
| х 2 —2х| + 4 ..
к) — х - 2о— > 2;
л) х 2 + |—
м > х 22 x+ |1 х +' 20 || > 1‘
х -~ТТ
5 1 > 1;
1.182. Решите неравенство аналитически и графически:
а)|х+1|>|х-1|;
б ) | х | + 3 > | х + 3|;
в) х 3 + 1
\ 2 ^ | | ч 3 1 х | —2
г ) ы »\х\+1;
д, - ^ — < - 1 ;
е). Зх + 2
х+1
1.183.
Дана ф ункция Д х) = |х + 1 1—|х —2 1.
а) Решите уравнение /(х ) = 3.
б) Решите неравенство /(х ) < 3.
в) Постройте график функции у = /(х ).
г) Сколько решений имеет уравнение /(х ) —а в зависимости от
значения а?
98 ; Глава I. Введение
Метод интервалов
Реш ите неравенство (1.184—1.189).
1.184. а) х (х 2
+ 2х - 3 ) > 0; б) (л: - 1) (л: 2 - 6 )<0;
в) (х2 - З х - 2 8 )(Зх2 - х + 2) < 0; г) (х 2 - 6 х + 9 )(х 2 - Зх - 4) ^ 0.
2х - 1 п
1 - Зл: . п ч х
4х - 5
-х 2 + х + 6
1.185. а)
< 0 ; б) -------- > 0 ; в)
< 0 ; г)
-2 х 2 + х + 6
Зх2 - 4х - 4
3 - 5х
' 1 —4х
х3 + 4х2 4
х2 - 6х - 1
>0;
1.186. а)
б)
х3 - Зх2 - х + 3
х4 - 7х2 + 12
х2 + 3 х - 13
5х2 - З х + 1 о
>2;
1.187. а)
X2 + X- 6
б)
х2 + 2
<3;
. 2 х -3 . х- 2
в)
^ ------ ;
г) 3 - х ^
} 4 х - 1 х +2
2 - х
х 3 - 4х
х 2 - 7х + 10
х+2
х- 2
1.188. а)
б)
х 2 + 5х + 6
2х - 15*
х2 + 2х - 3
1 ’
(Ъх + 4)(3х - 2 ) < (Зх - 2)(х + 2)
т
\ 2х + 4
3 - 2х
1.189. а) - — — ^
1-х
7 - Ъх
Ъх - 7
х - 3
1.190. При каки х значениях х определено выражение:
(х + 3)(х - 1)(х + 2)#
IЗх + 9 .
2х - 1
б)
в)
а)
]1 х + 4 ’
Зх
5
V
(х - I)3 (л: + 1)(х - 5)
(х + 1)(х - 5).
г)
Д)
х ( х - I)2
(х - 5)2 (х - 2)
1.191. Придумайте неравенство, в котором ответом являлось бы множество:
а) ( - о о ; - 2 ) II ( - 2 ; + о о ); б ) [ 2 ; + о о ); в) ( 2 ; + о о ); г ) ( 2 ; 3 ) II ( 3 ; +оо);
д) ( - о о ; - 1 ) и ( - 1 ; 0 ) ; е) { - 2 } и ( 0 ; 1 ) и [ 3 ; + о о ).
1.192. Реш ите неравенство:
а) л /х - 1 ( х 2 - 2 х - 3 ) < 0 ;
б) (х 2 - 5х + 4)д/х2 —7х + 10 ^ 0;
в) (х 2 - 5х + б)д/2х2 - Зх - 5 ^ 0.
1.193. Реш ите неравенство:
а) х - 2 (х 2 + Зх - 4) ^ 0;
в) х - 3 (-х 2 + Зх + 4) > 0;
1.194. Реш ите неравенство:
д/б + X - X2
д/б + X
^ -------а)
х+4
2х + 5
2
в) 2х2 + х - 3 + х - 1 2х + 3 +
40
24
7
г) х2 - 9 х2 - 4 х2 - 5х + 6
б) х - 1 1(х2 + Зх - 10) ^ 0;
г) х + 6 1(х 2 + 5х + 4) > 0.
у 2
б)
д/12 - х - х2
2х - 7
1 > 0;
х2 + 5х + 6
д/12 - х - х2 ^
х- 5
’
ши I
0 1 1 . Деление с остатком целых чисел
1. Деление с остатком
Деление с остатком целых чисел было изучено вами на предыду­
щих ступенях образования. Однако с целью систематизации и расш и­
рения ваших познаний в этой области напомним некоторые определе­
ния и факты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
----------------------------
—
Пусть а и Ь ^ О - два целых числа. Разделить число а на
число Ь с остатком — это значит найти такие числа д и г,
что будут выполнены следующие условия:
1) а = Ьд + г; 2) 0 ^ г < \ Ь | .
При этом число д называется неполным ч ас т н ы м , а число г —
остатком от деления а на Ь. Число а именуется д е ли м ы м, а число
Ь — делителем.
Равенство 1 (при соблюдении неравенства 2) называют записью
деления с остатком. Ш ироко употребительным является такж е вы ра­
жение а дает при делении на Ь остаток г.
О Остаток не может быть отрицательным числом! Кроме того,
он не может быть больше или равен \Ь\.
Таким образом, от деления на Ь может быть не более |Ь| различ­
ных остатков. В то же время числа 0, 1, ..., |Ь| - 1 к ак раз и дают ров­
но \Ь\ различных остатков. И так, можно сформулировать следующее
утверждение:
Н Н При делении на Ь все целые числа дают ровно | Ь | различных
[ остатков.
100| Глава II. Целые числа
П р и м е р 1. Я вляется ли запись 1998 = -1 1 • (-182) - 4 записью деле­
ния с остатком числа 1998 на -1 1 ?
□
О т в е т : нет, так к ак отрицательное число —4 не может служить
остатком.
К ак верно записать деление с остатком числа 1998 на -1 1 ? Преоб­
разуем неверную запись деления с остатком следующим образом:
1998 = -1 1 • (-182) - 4 = -1 1 • (-182) - 11 + 7 = -1 1 • (-181) + 7.
В записи 1998 = -1 1 • (-181) + 7 выполнены оба условия из опре­
деления деления с остатком. Щ
О Обратите внимание на деление с остатком отрицательных чи­
сел! Проще всего разделить с остатком модули чисел, а затем «подо­
гнать ответ».
П р и м е р 2 . Разделим с остатком -2 0 0 6 на 13.
□ Разделим с остатком 2006 на 13 (например, уголком). Имеем
2006 = 1 5 4 - 1 3 + 4. Чтобы в левой части равенства получить -2006,
домножим равенство на —1. В результате получим
-2 0 0 6 = 13 • (-154) - 4.
Но последнее равенство не является записью деления с остатком. По­
ступаем с ним так ж е, как в предыдущем примере, и получаем
-2 0 0 6 = 13 • (-155) + 9. В
З а м е ч а н и е . Выясним, почему нельзя делить с остатком на 0? Ко­
нечно, можно сказать, что условие 2 из определения деления с остатком
не выполнено ни для какого г при Ь = 0. Однако почему не дать другое
определение деления с остатком? Здесь следует отметить, что деление
с остатком служ ит естественной цели: выяснить, сколько раз число Ь
«помещается» в числе а и сколько еще остается. Этот вопрос наиболее
естественен для натуральны х а и Ъ. А соответствующее определение для
целых чисел получается обобщением (хотя, может быть, с точки зрения
обыкновенного здравого смысла» удобнее считать в примере 2 , что, от­
клады вая в отрицательном направлении по 13, мы «шагнем» 154 раза
и останется пройти еще 4 единицы, нежели что нужно пройти 155 раз,
а затем вернуться на 9 единиц). В любом случае задача узнать, сколько
раз «помещается» число 0 в ненулевом числе а, выглядит полной бес­
смыслицей! А на вопрос «Сколько раз помещается число 0 в числе 0?»
ответом может служ ить любое число. Поэтому отсутствует и деление
на 0 как арифметическое действие.
Отметим еще раз, что деление с остатком мы рассматриваем лишь
для деления целого числа на целое, отличное от нуля, и не говорим,
например, о результате деления с остатком числа 2,5 на число у[2.
После того как определяют представление какого-либо объекта
в конкретном виде, встает вопрос о существовании и единственно­
сти такого представления. Наличие ответа на этот вопрос есть не­
отъемлемое требование математической культуры . Например, тео­
1011 § 11. Деление с остатком целых чисел
рема о существовании и единственности разлож ения вектора по двум
неколлинеарным векторам есть пример ответа на вопрос о существова­
нии и единственности представления вектора в виде линейной комби­
нации двух неко л линеарных векторов.
Докажем соответствующую теорему.
Т Е О Р Е М А (о делении с остатком ) ■
■■■■■■■■ ■■■1
.................
Для любых целых чисел а и Ь ^О можно разделить с остатком
число а на число Ь, т. е. представить число а в виде а = Ьд + г,
где
причем такое представление единственно.
□
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
с у щ е с т в о в а н и е . Рассмотрим все неотрицательные числа вида
а - Ъх при различных целых х (подумайте, почему будет хотя бы одно не­
отрицательное число такого вида; почему их будет бесконечно много).
Согласно аксиоме минимальности (см. с. 31) в этом множестве су­
ществует наименьший элемент. Назовем его г. И так,
г = пип {а - Ъх: а - Ъх ^ 0, х е 2}.
Тогда существует число д е 2> такое, что г = а - Ьд. По определе­
нию, г есть наименьший элемент в множестве неотрицательных чисел,
следовательно, г само неотрицательное число. Д окаж ем, что г < |&|.
Пусть г ^ |&|. Тогда число гг = г - \Ь\ = а - Ь(д ± 1) (знак + или берется в зависимости от знака числа Ь) будет неотрицательным числом
вида а - Ьх9 меньшим г, что противоречит выбору г как наименьш его
числа такого вида. Наше предположение о том, что г ^ | Ъ|, оказалось не­
верным, значит, г < |&|. Тогда а = Ъд + г, где 0 ^ г < 6 .
З а м е ч а н и е . Схема приведенного доказательства весьма поучи­
тельна и будет неоднократно использована в дальнейш ем. Стержнем
этой схемы является так называемый «принцип крайнего»: рассматри­
вается самое меньшее, самое большее, самое левое, самое нижнее и т. д.
Использование «принципа крайнего» в данном доказательстве по­
зволяет сократить следующее естественное доказательство.
Возьмем число а и будем прибавлять или вычитать (в зависимости
от знаков а и Ь) число Ь до тех пор, пока полученное число не станет
первый раз неотрицательным (если а было отрицательным) или по­
следний раз неотрицательным (если а было положительным). Если эта
разность была не меньше |&|, можно произвести прибавление или вы­
читание Ь еще раз, что противоречит выбору момента «остановки».
е д и н с т в е н н о с т ь . Пусть существуют два представления: а = Ьдг + гг
и а = Ъд2 + г2, где 0 ^ г 1 < | б | и 0 ^ г 2 <| б| .
Приравняв их, получим: гг - г2 = Ь(д2 - 9 Х), откуда \г2 — г1\ =
= \Ь\\д2 ~ Яг\- Если обе части равенства ненулевые, то \д2 — дг \ ^ 1, так
как д2 - д1 — целое число. Тогда |г 2 —гх| ^ |&|, откуда ясно, что одно
из чисел гг и г 2 больше |&|, что противоречит исходному предполо­
жению. 61
________
I
1021 Глава II. Целые числа
Ранее мы видели, что при самых простых действиях с числами
остатки от деления ведут себя достаточно сложным образом. Напри­
мер, при умножении делимого на — 1 остаток не умножается на - 1 ,
остаток от деления суммы чисел на число далеко не всегда равен сум­
ме остатков слагаемых и т. п. Отсутствие такого рода свойств — плата
за возможность однозначно определить неполное частное и остаток от
деления двух целых чисел. Поэтому теоремы об остатках от деления
сумм и произведений удобно формулировать на язы ке сравнений, что
будет сделано в следующем параграфе.
2. Делимость
Особенно важ ным случаем деления с остатком является случай
остатка, равного нулю. Тогда говорят, что число а делится на число Ъ.
Иногда подчеркивают отсутствие положительного остатка, говоря:
число а нацело делится на число Ь.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
----------------------------- -------------------------------------------- ---------------------- -
Будем говорить, что ц ел ое число а делится на ц елое чис­
ло Ь, отличное от нуля, если существует целое число с, та­
кое, что а = Ьс.
Отметим, что понятие делимости на 0 не определено.
П риняты два основных обозначения того, что а делится на Ь:
а \ Ь и Ъ\а. Последнее обозначение обычно читают к ак «Ь делит а».
Т Е О Р Е М А (основные свойства д е л и м о с т и )
П
■■■■■■■■■■»- ■■
■■■■—.— ■.■■■■■■■■■■у
Пусть а, Ь, с — целые числа, причем Ь, с ф 0.
1. Если а : Ь и Ь ; с, то а ; с.
2. Если а •Ь, то при всех целых к выполнено ка \ Ь.
3. Если а ; с и Ь ; с, то (а + Ь) \ с.
4. Если а • с и Ь ; с/, то аЬ \ сд.
5. Если а •Ь и а ^ 0, то | а | ^ | Ь | .
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем свойство 1. По определению делимо­
сти если а ■6 , то существует целое число х, такое, что а = хЬ. Анало­
гично существует такое целое число у , что Ь = ус. Подставив это зна­
чение в равенство, получаем а = х(ус) = (ху)с. И так, нашлось целое
число х у , такое, что а = (ху)с. Значит, по определению делимости а \ с.
Аналогично доказываю тся свойства 2, 3 и 4. (Докажите их само­
стоятельно!)
Докажем свойство 5. Если а • 6 , то существует целое число с,
такое, что а = Ьс. Тогда |а | = |&| • |с |. Если а # 0, то и с ^ 0, а тогда
|е | ^ 1. Домножив это неравенство на положительное число |&|, полу­
чим \а \ = \ Ь\ • |с| ^ |Ь|. И, следовательно, |а | ^ |&|. Н
1031 § 11 ■Деление с остатком целых чисел
З а м е ч а н и е . Из свойства 2 для к = -1 и свойства 3 получаем, что
если а ■с и Ь • с, то (а - Ь) \ с.
В дальнейшем мы не будем подробно доказы вать такие очевидные
следствия из основных свойств делимости.
Пример 3. Докажем, что дробь
несократима (п — натуральное
число).
Зп + 2
□ Пусть дробь сокращ ается на некоторое натуральное число <2 > 1.
Это означает, что ее числитель и знаменатель делятся на <2, т. е.
(2п + 1) ! <2 и (3п + 2) ■<2. Домножим данные соотношения так, чтобы
коэффициенты перед п стали одинаковыми. По свойству 2 получаем
3(2л + 1) • <2 и 2 (3 п + 2) ! <2. Тогда разность полученных чисел тоже де­
лится на <2 , откуда 1 • <2 , но по предположению < 2 > 1 , что противоречит
свойству 5. ®
Пример 4. Докажем, что ( аЬ - Ьа) \ 9, где абс... означает число, запи­
санное цифрами а, Ь, с, ... в том же порядке.
□ Имеем аЬ = 10а + 6 , Ьа = 106 + а, откуда аЬ - Ьа = 9 (а - 6 ). По
определению делимости (аЬ - Ьа) • 9. ®
Иногда полезным при решении задач является следующее утверж ­
дение.
Утверждение ....■■■■........ —■■■■■■■■■■■........
..................
.
Среди п подряд идущих целых чисел есть ровно одно, делящееся
на п.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть данные числа а 19 а х + 1, а х + 2, ...,
а,1 + п — 1 и пусть а х имеет остаток г при делении на д. Если г = 0, то
утверждение доказано. Пусть г > 0. Тогда число а х + п - г входит в
множество рассматриваемых чисел, так как г < п. При этом, так как
а\ - пд л- г^ то а х + л - г = л (д + 1) \ п. И так, существование числа, де­
лящегося на п , среди данных чисел доказано.
Докажем, что среди п подряд идущ их целых чисел нет двух р аз­
личных чисел, делящ ихся на п . Если среди данных чисел есть хотя бы
два числа, кратны х п , то разность между ними кратна п , следователь­
но по модулю не меньше д. Однако среди п подряд идущ их чисел вы ­
брать два с разностью, модуль которой не меньше п , не удастся (наи­
больший модуль разности равен, очевидно, п■- 1 ). 61
П р и м е р 5. Докажем, что при всех целых п выполнено утверждение
(п3 + Зп2 + 2 п) ! 3.
□ Разложим выражение на множители: пг + Зп2+ 2п = п (п + 1) (п + 2).
Значит п3 + Зп2 + 2п представимо в виде произведения трех подряд иду­
щих целых чисел, среди которых есть делящееся на 3, а тогда их произ­
ведение делится на 3. 61
1041 Глава II. Целые числа
1 ^ 1 2 . Сравнения. Перебор остатков
1. Определение сравнимости
Известно, что есть числа четные и нечетные. С точки зрения дан­
ных определений четные числа — это делящ иеся на 2 , а нечетные чис­
ла — это числа, дающие при делении на 2 остаток 1. А других остат­
ков при делении на 2 нет. Таким образом, естественно объединить
в одну группу числа, дающие один и тот же остаток от деления на дан­
ное целое число.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
(
-----------------------------------------------
— -------- ----------------------
Пусть т — ненулевое целое число. Два целых числа а и Ь
называются сравнимыми по модулю т , если (а - Ь) : т.
Обозначение: а = Ь или а = Ь (т о й т ) . Сама запись называется срав­
нением (аналогично тому, как запись 2 - 3 = 6 называется равенством).
Пр и ме р
6
. 25 = 15 (ш ой(—10)), 213 = —5. 81
109
З а м е ч а н и я . 1) П оскольку на 1 делятся все целые числа, то срав­
нимость по модулю 1 не несет никакой информации (по модулю 1
сравнимы все целые числа).
2) Два числа сравнимы по модулю т тогда и только тогда, когда
при делении на т они дают одинаковые остатки.
3) Ясно, что числа, сравнимые по модулю т , будут сравнимыми
и по модулю —т, поэтому при исследовании сравнений в качестве мо­
дулей можно рассматривать лиш ь натуральные числа, большие 1. Это­
го соглаш ения мы и будем в дальнейш ем придерж иваться.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Множество всех чисел, сравнимых между собой по моду­
лю т (т. е. имеющих одинаковый остаток от деления на т),
называется классом вычетов по модулю т.
2. Свойства сравнений
Напомним основные свойства равенства вещественных чисел:
I. Свойства равенства к ак отношения
(верные для равенства чисел, фигур, векторов, множеств и т. д.)
1. Число равно самому себе.
2. Если а = 6 , то Ъ = а.
3. Если а = Ъ и Ъ = с, то а = с.
105) § 12. Сравнения. Перебор остатков
II.
Свойства равенства в приложении к арифметическим действиям
1. Если а = Ъ, то для всех чисел с выполнено а + с = Ь + с ( к обеим
частям равенства можно прибавлять одно и то ж е число).
2. Если а = Ь, то для всех чисел с выполнено ас = Ьс (обе части р а­
венства можно умножать на одно и то ж е число).
Обе части равенства можно делить на одно и то ж е число, отлич­
ное от нуля.
3. Если а = Ь и с = (1, то а + с = Ь + с1 (равенства можно почленно
складывать).
4. Если а = Ь и с = й, то ас = Ьй (равенства можно почленно умно­
жать).
Свойства для деления и вы читания чисел здесь не формулируют­
ся, так как деление есть умножение на обратное число, а вычитание
есть сложение с противоположным числом.
Обратимся теперь к свойствам сравнений.
.......
Т Е О Р Е М А (свойства сравнений)
■■■"—..................................
■■■
Пусть а, Ь, с, т е N и т > 1.
I. Свойства сравнения как отношения
1) а = а (то б ш ).
2) Если а=Ь, то Ь=а.
т
т
3) Если
Ь
=
аи
Ь=с, то а=с.
т
т
т
II. Свойства сравнений в приложении к арифметическим
действиям
1) Если а=Ь, то для всех целых с выполнено а + с = Ь + с.
т
т
2) Если а=Ь, то для всех целых с выполнено ас=Ьс.
т
т
3) Если а=Ь, то для любого ненулевого целого к выполнено
т
ка кт
= кЬ.
4) Если для некоторого ненулевого целого к выполнено ка = /сЬ,
,
кт
то а= Ь.
т
5) Если а= Ь и с = с(, то а + с = Ь + с/.
т
т
т
6) Если а= Ь \л с = с1, то ас = Ьб.
т
□
т
т
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Свойства равенств из группы I дословно переносятся на свойства
сравнений из группы I в силу того, что сравнимость двух чисел по мо­
дулю т есть равенство их остатков от деления на число т .
Все свойства группы II удобно доказы вать, исходя из определения
сравнения. Докажем, например, свойства 3 и 4.
Так как а = 6 , то (а - Ъ) \ т , откуда, используя свойство 2 делимот
сти, имеем, что к (а - Ь) \ кт, а это и означает ка = кЬ.
106 Глава II. Целые числа
Обратно, пусть
кт
ка = кЬ, т. е. (ка - кЬ) ! т, откуда
делимости найдется целое число с, такое, что к(а - Ь) = с к т , а тогда
а - Ь = с т , т. е. (а - Ь) • т, что и означает а = Ъ.
тп
Аналогично доказываю тся свойства 1 , 2 и 5.
Д окаж ем теперь свойство 6 . Так к ак а = 6 , то ас = 6 с по свойству 2.
т
т
Аналогично, Ьс=Ьд. Осталось применить свойство 3 группы I. 11
т
З а м е ч а н и е . Рассмотрим верное сравнение
6
= 2 ( т о й 4). Если со­
кратить обе части сравнения на 2 , получим неверное сравнение
3 = 1 ( т о й 4). Поэтому утверждение, обратное свойству 2, без дополни­
тельных условий неверно! О дополнительных условиях будет рассказа­
но в примере 13 § 14.
Непосредственно из свойства 6 сравнений следует, что обе части
сравнения можно возводить в нат уральную степень.
Теперь можно сформулировать свойства остатков от деления на
язы ке сравнений (с учетом того, что число сравнимо по модулю т со
своим остатком от деления на т ).
1) Остаток от деления суммы чисел на число т сравним с суммой
остатков от деления слагаемых на число т.
2) Остаток от деления произведения чисел на число т сравним
с произведением остатков от деления сомножителей на число т.
Эти свойства остатков позволяют находить остатки от деления
больших степеней чисел, а такж е последние цифры (ведь последняя
цифра числа — это остаток от деления этого числа на 1 0 ).
Приме р 7. Докаж ем, что квадраты натуральны х чисел не дают остат­
ка 2 при делении на 3.
□ Натуральное число п может давать при делении на 3 остатки 0,1,2.
Если п = 0 (т о й 3), то п 2 = 0 (т о й 3), если п = 1 (т о й 3), то п 2 = 1 (то й 3).
Наконец, если п = 2 (т о й З ), то п 2 = 4 (т о й З ), а 4 = 1 (т о й З ). Таким
образом, если число п кратно 3, то п 2 \ 3, в противном случае
п 2 = 1 (т о й З ). 1 1
П редложенный в доказательстве метод называется методом пере­
бора ос татков. Выбирается необходимое для реш ения задачи число,
по модулю которого перебираются все остатки. Н апример, если число
при делении на 3 дает остаток 2 , то оно никак не может быть квадра­
том натурального числа.
Приме р 8 . На какую цифру заканчивается число 132007?
□ П оследняя цифра числа — это остаток от деления числа на 10.
Можно переформулировать задачу так: с каки м однозначным числом
107^ § 12. Сравнения. Перебор остатков
сравнимо по модулю 10 выражение 132007? Заметим, что так к ак 13= 3,
то по свойству сравнений 132007 = 3 2 0 0 7 в
ю
ю
Рассмотрим, с чем могут быть сравнимы степени 3 по модулю 10.
З1 = 3, З2 = 9, З3 = 7, З4 = 1, З 5 = 3,.. (каждое последующее сравнение
10
10
10
10
10
получается умножением обеих частей предыдущего на 3, а не возведе­
нием в степень!). Ясно, что дальше правые части сравнений будут по­
вторяться через четыре ш ага. Следовательно, остаток от деления сте­
пени на 10 зависит от того, какой остаток при делении на 4 дает
показатель степени. В нашем случае этот остаток от деления равен 3,
следовательно, искомая последняя цифра равна 7. 61
Рассмотрим на основе выведенных свойств сравнений некоторые
признаки делимости.
Одними из наиболее известных признаков делимости являю тся
признаки делимости на 3 и на 9: число делится на 3 (на 9), если сум­
ма его цифр делится на 3 (на 9).
Мы докажем более общее утверждение: число сравнимо по моду­
лю 9 со своей суммой цифр десятичной записи, т. е.
а па п - 1
= ап + ап_ 1 + ... + а 0.
□ Для доказательства рассмотрим разность левой и правой частей
сравнения и докажем, что она делится на 9. По правилам десятичной
записи натуральных чисел имеем:
« А - 1 - " а 1 а о = «П • 1 0 " +
а•1 0 "
Поэтому
_____________
а па п_1. . . а 1а0~ ( а п + ап _ 1 + ... +
= ап • 1 0 " +ап_ 1 • 1 0 " _ 1 + ... +
а0 —( + а п_
= а„(10" - 1) + а„_ х(10"-1 - 1) + ... + (101 - 1).
Заметим, что 10= 1, а тогда и 10й = 1 при натуральны х к (обе час9
9
ти сравнения можно возводить в натуральную степень). Поэтому все
выражения в скобках будут кратны 9, и, следовательно, вся послед­
няя сумма ап(10п - 1) + ап_ 1 (10л ~ 1 - 1) + ... + а 1 (Ю 1 - 1) будет т а к ­
же кратна 9. 11
Рассмотрев остатки от деления степеней числа 10 на 11, можно по­
лучить аналогичным образом пр изн ак делимости на 11.
Если в десятичной записи числа сумма цифр, стоящ их на нечет­
ных местах, сравнима с суммой цифр, стоящ их на четных местах, по
модулю 1 1 , то число делится на 1 1 .
Например, число 23 4 5 1 6 1 5 кратно 11, так как 2 + 4 + 1 + 1 =
= 3 + 5 + 6 + 5. Более того, разность указанны х сумм цифр (если места
считать с разряда единиц) будет сравнима с самим числом по моду­
лю 11 (например, 123 457 = (7 + 4 + 2) - (5 + 3 + 1) = 4).
108 Глава II. Целые числа
Такж е докаж ем при зн ак и сравнимости по модулю вида 2" и 5":
Число сравнимо по модулю 2п и 5" с числом, записанным п
последними цифрами данного числа в том же порядке (например,
123 4 5 7 = 457).
8
□ Этот признак очевидно следует из того, что при вычитании из
исходного числа его «хвоста», состоящего из п последних цифр, по­
лученная разность будет заканчиваться на п нулей, т. е. делиться на
10", которое, в свою очередь, делится на 2" и на 5". Ш
Ц
013.
Наибольший общий делитель и наименьшее
общ ее кратное двух целых чисел
1. Определение наибольшего общего делителя
С понятием наименьшего общего кратного чисел мы сталкивались
в основной ш коле при приведении дробей к общему знаменателю. То­
гда же находили и наибольш ий общий делитель целых чисел. Изучим
эти понятия подробнее и установим их основные свойства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
~ -------------------------------------------------------------------------------------------------
Наибольшим общим делителем двух целых чисел, хотя бы
одно из которых не равно 0, называется наибольший из их
общих натуральных делителей.
Обозначение: НОД (а; Ь) — наибольший общий делитель чисел а и Ь.
Часто НОД опускают и пиш ут просто (а; 6 ), если из контекста
ясно, что речь идет именно о наибольшем общем делителе двух чисел,
а не о чем-либо другом (например, координатах точки).
З а м е ч а н и я . 1) П оскольку у двух целых чисел, хотя бы одно из
которых не равно нулю, всегда есть общий натуральный делитель
(число 1), то множество общих натуральны х делителей непусто. По­
скольку оно конечно, то в нем есть наибольший элемент. Тем самым
доказано существование наибольшего общего делителя любой пары
чисел. (В этом замечании мы следуем требованию математической
культуры: определил объект — докаж и его существование.)
2)
Вопрос о том, что считать наибольшим общим делителем двух
нулевых чисел, будет обсуждаться после доказательства теоремы о ли­
нейном представлении наибольшего общего делителя.
2. Нахождение наибольшего общего делителя.
Алгоритм Евклида
Т Е О Р Е М А ............................................
Пусть а = Ь^ + с, Ь ф О, а, Ь, с, ^ е 2, тогда (а; Ь) = (Ь; с).
—-----------
\
109| § 13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
двух целых чисел
д о к а з а т е л ь с т в о . Докаж ем, что множества общих натуральны х
делителей для чисел а и Ь и для чисел б и с совпадают. Тогда совпадут
и их максимальные элементы.
Чтобы доказать равенство двух множеств, возьмем любой элемент
одного и проверим, что он принадлежит другому, и, наоборот, взяв лю ­
бой элемент второго множества, проверим, что он принадлежит первому.
Итак, пусть й — общий натуральный делитель чисел а и 6 . Тогда,
так как с = а - 6 #, то с \ й. Тем самым (1 является общим натуральным
\а \а
делителем чисел б и с .
Аналогично доказывается, что если д, есть общий натуральный де­
литель чисел 6 и с, то (1 есть общий натуральный делитель чисел а и б . В
С л е д с т в и я . 1) Наибольш ий общий делитель двух чисел совпада­
ет с наибольшим общим делителем одного из них и остатка от деления
другого числа на первое.
2) (а; Ь) = (а + 6 ; Ь) = (а - б; б).
С помощью утверждения теоремы и следствий нетрудно получить
алгоритм Евклида.
□
Алгоритм Евклида
Чтобы найти (а; 6 ), можно применять следующий алгоритм:
1. Поделить с остатком а на 6 , т. е. а =
+ гг (0 ^ гг < |б|). При
этом (а; 6 ) = (6 ; гг) согласно следствию.
2. Поделить с остатком б на гх, т. е. 6 = гхд2 + * " 2 (0 ^ г2 < гх). При
этом (б; гг) = (гг; г2).
3. Поделить с остатком гг на г2, т. е. гг = г2 д3 + г3 (0 ^ г3 < г2).
При этом (гг; г2) = (г2; г3).
И т. д. (пока не получим гк = 0).
□ Поскольку остатки образуют строго убывающую последователь­
ность неотрицательных целых чисел, то эта последовательность конеч­
на. Значит, после какого-то ш ага мы не смогли произвести деление
с остатком. Но деление с остатком нельзя произвести, только если де­
литель равен 0. Значит, на предыдущем шаге у нас получился нулевой
остаток, на который мы и не смогли поделить. И так:
Гк- 2 =
Гк_ 1?* +
0
.
Но в таком случае ясно, что (гк _ 2; гк _ х) = (гк _ г; 0) = гк _ г. Таким обра­
зом, получили (а; 6 ) = (6 ; гх) = (гг; г2) = (г2; г3) = ... = (гк_ 2; гк_ г) = гк_ г.
И так, наибольший общий делитель двух чисел равен последнему
ненулевому остатку в цепочке «последовательных» делений в алгорит­
ме Евклида. И
На основании следствия 2 можно реализовать более «медленный»
алгоритм Евклида, производя вместо делений с остатком вы читания
(понятно, что это то же самое, ведь деление с остатком можно произве­
сти последовательными вы читаниями делителя из делимого).
110 Глава II. Целые числа
Найдем (2576; 154).
Вот «быстрый» алгоритм Евклида:
1) 2576 = 154 • 16 + 112;
3) 112 = 42 - 2 + 28;
2) 154 = 112 ■ 1 + 42;
4) 42 = 28 - 1 + 14.
Так как 28 ! 14, то (2576; 154) = 14. Ш
П р и м е р 10. Найдем (112; 42).
□ Вот «медленный» алгоритм Евклида:
1) 112 - 42 = 70;
4) 28 - 14 = 14;
2) 70 - 42 = 28;
5) 14 - 14 = 0.
3) 42 - 28 = 14;
И так, искомый наибольш ий общий делитель равен последнему не­
нулевому числу в правых частях равенств, т. е. 14. Н
З а м е ч а н и е . Ясно, что при нахождении наибольшего общего де­
лителя целых чисел их знаки можно отбросить и находить наиболь­
ш ий общий делитель их модулей (поскольку наборы натуральных де­
лителей чисел а и - а одинаковы).
П р и м е р 9.
□
Вы, наверное, привы кли находить наибольший общий делитель
по-другому: разлож ить числа на простые множители и выбрать ми­
нимальный набор простых множителей, включаю щий в себя (с уче­
том повторений) наборы каждого из чисел. Однако если для неболь­
ш их чисел этот способ действует успешно, поскольку их нетрудно
разлож ить на простые множители, то для больших натуральных
чисел задача нахож дения их разлож ения на простые множители
занимает очень много времени. В этом случае алгоритм Евклида ра­
ботает гораздо быстрее!
Кроме того, полученные результаты позволят нам доказать
возможность и единственность разлож ения любого натурального
числа, большего 1 , на простые множители (основную теорему ариф­
метики).
3. Линейное представление наибольшего общего делителя
Т Е О Р Е М А (о линейном представлении НОД) — ■
—
..........................—— дш
Пусть (а; Ь) = с/. Тогда существуют такие ц е л ы е х и у, что выпол­
нено равенство: с1 = ах + Ьу (это равенство называется линейным
представлением наибольшего общего делителя чисел а и Ь с ко­
эффициентами х и у).
□
(и б о
д о к а з а т е л ь с т в о
Л = а —а ■ 1 +
.
В
случае
6
=0
утверж дени е
теорем ы
очевидно
6-0).
Д ля ненулевых 6 рассмотрим последний ш аг алгоритма Евклида,
примененного при поиске й: гк_ 3 = гк_ 2с[к_ х + с!. Тогда
3 = Гк- 3 “ Гк - 2Чк- 1 -
(1 )
I
ЗЩ1 § 13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
двух целых чисел
Но, в свою очередь, гк_ 4 = гк_ 3дк_ 2 + г к_ 2, откуда
Гк- 2 = Гк - 4 ~ Гк - 3<1к- 2*
Подставим равенство (2) в равенство (1). Получим
(2)
^ = Гк - 3 ~ (Гк - 4 ~ Гк- зЯк~ 2 ) Як- 1?
откуд а
Гк- з(1 + Як- 2 (1 к- 1 ) “ Гк-4Я.к - 1 (3)
Обозначим 1 + дк _2дк_ г = а 19 - д к- \ - Ъх. Очевидно, что числа а х и
Ъх — целые. Тогда
^ = « Л - з + Ь л _ 4.
(4)
Аналогично из предыдущего шага алгоритма Евклида мы знаем,
чтогк_5 = гк_ 4дк _ з + гк_ з, откуда гк_ 3 = гк _ ь - гк_4дк_ г. Подставив это
равенство в равенство (4), получим
“ гк - 4 Як-з)+ Ъхгк_ 4,
откуда
Л = « Л - 5 + (&! - а хдк _ 3) г к_ 4.
Обозначив
- а хдк_ 3 = а 2,
= Ь2, получим
(1 =
- 4 + Ь2гк ~ 5 ,
(5)
где а2, &2 — целые числа.
Итак, в равенстве (5) мы получили выражение 6, через остатки
с меньшими номерами, нежели в равенстве (4), с целыми коэффициен­
тами.
Ясно, что, последовательно выражая остатки (из записей деления
с остатком в алгоритме Евклида) через предыдущие, мы на каждом
шаге будем получать выражение й через предыдущие остатки со все
меньшими номерами. Последним получится выражение й через а и Ь. И
____
Приведем другое доказательство теоремы о линейном представле­
нии НОД.
□ Пусть имеется последовательность (а, 6 , г2, ..., г п) целых чисел,
где Ь Ф 0 , первые два числа заданы произвольно, а каждое следующее
есть остаток от деления двух предшествующих. Тогда существуют
целые х и у, такие, что гп = а х + Ьу.
Доказательство проводим индукцией по п.
б а з а индукции, п = 2. Тогда г2 = а - Ьдг. Обозначив х = 1, у = - 6 ,
получим требуемое соотношение.
и н д у к ц и о н н ы й п е р е х о д . Пусть для всех индексов к , меньших п ,
существуют целые х к и у к, для которых гк = х ка + у кЬ. Докаж ем, что
найдутся целые х п и у п, для которых гп = х па + у пЬ.
По У С Л О ВИ Ю гп = Г п - 2 “ Ч п Гп - \ ( * ) • Но для гп_ 1 и гп_ 2 выполнено
утверждение индукционного предположения. Поэтому существуют
целые х п_ 2 и у п_ 2, х п_ г и */„_!, для которых гп_ х = х п_ ха + у п_ гЬ
1121 Глава II. Целые числа
и гп_ 2 = х п _ 2а + у п- ф . Подставив эти значения в равенство (*), по­
лучим:
гп = Х п _ 2а + у п _ 2Ь _!« + !/„_ 1 &)<7 п =
= (хп _ 2 - х п _ !<7 п)а
1
Обозначив х п 2 - х п
= х п,
= Ут получим тре­
буемое представление для г„. ®
Однако при таком оформлении оказывается непонятным способ на­
хож дения коэффициентов х и у, описанный в первом доказательстве.
П р и м е р 11. Найдем линейное представление (2576; 154).
□ Из примера 9 известно, что (2576; 154) = 14. Будем использовать
равенства из примера 9. Имеем
14 = 42 - 28 - 1 = 42 - (112 - 42 • 2) - 1 = 42 • 3 - 112 • 1 =
= (154 - 112 • 1) • 3 - 112 • 1 = 154 • 3 - 112 • 4 =
= 154 ■3 - (2576 - 154 • 16) • 4 = 154 - 67 - 2576 - 4.
И так, 14 = 2576 • (-4) + 154 • 67.
Согласимся, что подобное равенство трудно получить подбором! II
Существует еще одно, принципиально другое доказательство тео­
ремы о линейном представлении наибольшего общего делителя.
Рассмотрим наименьшее натуральное число вида а х + Ьу, где х
и у — всевозможные целые числа (сравните это начало доказательства
с началом доказательства теоремы о делении с остатком!). Назовем это
число й (постарайтесь понять, почему при любых целых а и 6 , хотя бы
одно из которых не равно 0 , существует хотя бы одно натуральное чис­
ло указанного вида).
Д окаж ем, что й = (а; 6 ).
Заметим, что если а \ с и Ь \ с, то при любых целых х и у выполне­
но (ах + Ьу) \ с. Поэтому й кратно любому натуральному общему дели­
телю чисел а и Ь. А поскольку <1 ^ 0, то й не меньше любого натураль­
ного общего делителя чисел а и Ь. Если доказать, что д, само является
общим делителем чисел а и 6 , то й окаж ется наибольшим среди их
общих делителей!
Д окаж ем, например, что а \ й. Пусть это не так. Тогда при деле­
нии с остатком а на д, получается ненулевой остаток г< д. Имеем
а = <1д + г, где г — натуральное число, меньшее й. Но тогда г = а =
— а - (ах + Ьу)д = а (1 - дх) + (-ду)Ь. Мы получили, что г = а х х + Ьух
(здесь х г = 1 - дх, у х —-ду). Но это противоречит выбору д, как наи­
меньшего числа такого вида! Значит, а \ й. Аналогично Ъ \ й, т. е.
й — общий делитель чисел а п Ь. Ш
К о м м е н т а р и й . Утверждение, обратное теореме о линейном пред­
ставлении, неверно! Действительно, если существуют целые числа х
и у , такие, что й = а х + Ьу, то й вовсе не обязано быть наибольшим
общим делителем чисел а и Ь. Однако ясно, что д, будет кратно наи­
ШЙ § 13. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
двух целых чисел
большему общему делителю. Соответствующий пример можно полу­
чить, просто умножив линейное представление наибольшего общего
делителя на произвольное целое ненулевое число.
Из теоремы о линейном представлении следует, что наибольший
общий делитель двух чисел кратен любому общему делителю этих чисел.
С другой стороны, если натуральный общий делитель таков, что он кратен
любому общему делителю, то он, естественно, не меньше любого из общих
делителей. Поэтому наибольшим общим делителем двух целых чисел, хо­
тя бы одно из которых не равно 0 , можно назвать натуральны й общий
делитель этих чисел, делящ ийся на любой их общий делитель. Можно
также сказать, что наибольш ий общий делитель — это наименьшее
натуральное число, делящ ееся на любой общий делитель данных чисел.
В случае, когда оба числа равны 0, в множестве натуральных
общих делителей нет наибольшего элемента, ибо оно состоит из всех
натуральных чисел. В то ж е время есть число, которое делится на все
общие делители двух нулей. Это число 0. Правда, 0 не может быть
ничьим делителем, поэтому применять к нему термин «наибольший
общий делитель» каж ется несколько странным. Тем не менее из сооб­
ражений, о которых сказано выше, а такж е из других соображений,
в некоторых книгах по определению полагают наибольш ий общий де­
литель двух нулей равным 0 .
Отметим такж е, что определение наибольшего общего делителя,
а также все его свойства могут быть распространены на большее коли­
чество чисел, нежели два. При этом определение наибольшего общего
делителя п чисел может быть дано тремя способами:
1. Наибольшим общим делителем п целых чисел, хотя бы одно из ко­
торых не равно 0 , называется наибольший общий натуральный делитель
этих чисел.
2. Наибольшим общим делителем п целых чисел, хотя бы одно из
которых не равно 0 , называется их общий натуральный делитель, деля­
щийся на все общие делители данных чисел (при использовании этого
определения нужно будет доказывать существование такого делителя).
3. Определение по индукции. Наибольший общий делитель двух
чисел определен выше. Далее, (аг; а2;
ап) = ((аг; а2; ...; ап_ 1)\ ап).
При этом необходимо доказательство корректности данного
определения (т. е. что наибольш ий общий делитель п чисел не зависит
от того, какое число «уединить»).
Для доказательства корректности проще всего из определения 3 по­
лучить теорему о линейном представлении наибольшего общего делите­
ля п чисел через эти числа. Из этой теоремы вывести (аналогично случаю
двух чисел) то, что наибольший общий делитель кратен любому общему
делителю, откуда получить, что он не меньше любого общего делителя.
Из последнего заклю чения выводится корректность определения 3!
Однако в дальнейшем изложении и в задачах понятие наиболь­
шего общего делителя более чем двух чисел встречаться практически
________
не будет.
1141 Глава II. Целые числа
4. Наименьшее общее кратное двух чисел
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.............................—------ — ———
■—
Наименьшим общим кратным двух ненулевых целых чисел
называется наименьшее натуральное число, делящееся на
эти числа.
Обозначение: [а; Ь] — наименьшее общее кратное чисел а и Ь (за­
частую произносят «НОК а и 6 »),
Очевидно (как следствие свойства минимальности множества нату­
ральны х чисел), что у любых двух натуральных чисел существует
(и притом единственное) наименьшее общее кратное.
В отличие от наибольшего общего делителя наименьшее общее
кратное не занимает в нашем излож ении существенного места. Огра­
ничимся лиш ь следующим примером доказательства свойства наи­
меньшего общего кратного.
П р и м е р 12. Д окаж ем, что любое общее кратное ненулевых целых чи­
сел а и Ъ делится на их наименьшее общее кратное.
□
Пусть 5 • а, 5 - 6 . Предположим, что 5 /[ а ; 6 ]. Тогда разделим 5
на [а; Ь] с остатком. Имеем 5 = [а; Ь] • + г, где 0 < г < [а; 6 ].
Так как 5 ■а и [а; Ь\ \ а, то и г ! а. Аналогично г ! 6 . И так, получи­
ли, что г — натуральное число, являю щ ееся общим кратны м чисел а
и 6 , причем меньшее, чем [а; 6 ]. Но [а; 6 ] — наименьшее среди всех
натуральны х общих кратны х чисел а и 6 . Полученное противоречие
доказывает утверждение примера. (Где ранее использовалось анало­
гичное рассуждение?) И
Утверждение примера 12 позволяет сформулировать определение
наименьшего общего кратного двух чисел к ак такого общего кратно­
го, на которое делятся все общие кратные этих чисел. Решение при­
мера 1 2 является частью доказательства равносильности этих опре­
делений (проведите это доказательство целиком!).
Определение наименьшего общего кратного п чисел можно дать
следующими способами:
1. Н аименьш им общим кратны м нескольких ненулевых целых
чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на
каж дое из этих чисел.
З а м е ч а н и е . П оскольку, например, модуль произведения ненуле­
вых целых чисел делится на каждое из них, то множество общих крат­
ных нескольких ненулевых целых чисел есть подмножество натураль­
ных чисел и непусто, значит, среди них можно выбрать наименьшее.
Таким образом, доказана корректность введенного определения.
2. Можно дать определение наименьшего общего кратного п це­
лы х не равных нулю чисел к ак такого общего кратного этих чисел, на
которое делятся все их общие кратны е.
;ДЯ| §14. Взаимно простые числа
3.
Можно такж е ввести определение наименьшего общего кратно­
го нескольких чисел отличных от нуля по и н д у к ц и и . Именно: понятие
наименьшего общего кратного дв ух чисел введено ранее. По определе­
нию полагаем [аг; а2;
ап] = [[аг; а2;
ап_ 1]; ап].
За ме ч а н и е . При этом, так ж е к ак и в случае с наибольш им об­
щим делителем, необходимо доказать корректность данного определе­
ния (наименьшее общее кратное п чисел не зависит от того, какое
именно из них «уединить»).
Наблюдаемую определенную «параллельность» свойств наимень­
ших общих кратных и наибольш их общих делителей можно иллю ст­
рировать следующим наблюдением: наименьшее общее кратное п чи ­
сел есть наибольший общий делитель всех общих кратны х этих
чисел. В свою очередь, наибольш ий общий делитель п чисел есть
наименьшее общее кратное всех общих делителей этих чисел.
® 1 4 . Взаимно простые числа
1. Определение и критерий взаимно простых чисел
ОПРЕДЕЛЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Два целых числа называются взаимно простыми, если их
наибольший общий делитель равен 1.
Очевидным и часто используемым следствием этого определения
является то, что у взаимно простых чисел нет общих нат у ра льн ы х
делителей, больших 1.
Т Е О Р Е М А (критерий взаимной простоты двух ч и с е л )........................
П
□
■—■■■■■■■у
Целые числа а и Ь взаимно просты тогда и только тогда, когда
существуют целые х и у, такие, что ах + Ьу = 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
н е о б х о д и м о с т ь .
Необходимость условия взаимной простоты
следует из теоремы о линейном представлении наибольшего общего де­
лителя.
д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть 1 = а х + Ъу (*) и д — какой-либо общий
делитель чисел а и Ь. Тогда в силу равенства (*) 1 ! д. Отсюда д —± 1.
Итак, множество общих делителей чисел а и 6 , связанны х меж ­
ду собой равенством (*), состоит из 1 и -1 . Тогда наибольший
общий делитель этих чисел равен 1 , что и означает их взаимную про­
стоту! Ш
З а м е ч а н и е . Полезно сравнить условие теоремы с текстом ком­
ментария к теореме о линейном представлении НОД (с. 112).
116 Глава II. Целые числа
2. Свойства взаимно простых чисел
Ряд естественных свойств делимости (например, чтобы число было
кратно 12, достаточно его кратности 3 и 4) следует из весьма глубоких
свойств взаимно простых чисел.
Т Е О Р Е М А (свойства взаимно простых чисел)
Пусть а, Ь,
с, р, д е г, с ф 0, р ф 0, д ф 0.
1.
Если аЬ
■с и (а; с) = 1, то Ь ; с.
2. Если ( а ; с ) = 1 и (Ь; с) = 1, то (аЬ; с) = 1 (в частности, если
(а; с) = 1, то (ал; с) = 1).
3.
Если с ! а, с ! Ь и (а; Ь) = 1, то с ! аЬ, при а, Ь ф 0.
4.
Если (а;
Ь) = 1 и а : р, Ь ; д, то (р; д) = 1.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . 1 . Если (а; с) = 1, то существуют целые х и у,
такие, что 1 = а х + су. Умножим обе части этого равенства на Ъ. Име­
ем Ь = аЬх + сЪу. Но в правой части этого равенства оба слагаемых
кратны с. Значит, и сумма их кратна с, т. е. Ъ ■с.
2. Вновь используем линейное представление единицы. Имеем для
некоторых целых х и у равенство 1 = а х + су, а для некоторых целых и
и V — равенство 1 = Ъи + со. Перемножим эти два равенства. Получим:
1 = (ах + су) (Ъи + си) = аЬхи + Ъсуи + асхи + с2уи = аЬ (ха) + с (Ъуи + ахи + сус).
И так, наш лись такие целые р и д (р = х а , д = Ъуи + ахи + суи), что
1 = аЬр + сд. По критерию взаимной простоты получаем, что (аЪ; с) = 1.
3. Разделим с на а. Имеем с = асх. Н ужно доказать, что сг ■Ъ.
Пусть это неверно. Поделим сг с остатком на Ъ:
сг = Ъд + г,
(*)
где 0 < г < | & | . Умножим обе части равенства (*) на а. Получим
с = аЪд + га. Так как с \ Ъ и аЪд \ Ъ, то га = (с - аЪд) \ Ъ. Так как
(а; Ъ) = 1, то по свойству 1 получаем г ! Ъ. Так как г Ф 0, то г ^ \ Ь \ , что
противоречит тому, что г есть остаток от деления на Ъ.
Полезно сравнить данное доказательство с доказательством един­
ственности деления с остатком.
4. Пусть д • <1 и р \ й, где й — натуральное число. Тогда а \ й
и Ъ \ (I, как делящ иеся на числа, кратные й. В силу взаимной простоты
а и Ъ имеем й = 1. И так, общим натуральным делителем чисел р и д
может быть только 1 , а тогда эти числа взаимно простые. И
Обычно свойства взаимно простых чисел доказываю тся исходя
из существования и единственности разлож ения на простые мно­
ж ители. Однако в этом случае доказательство самой этой теоремы
обычно опускают либо оно весьма затруднительно.
Кроме того, к ак мы увидим далее, все указанные доказательства
дословно переносятся на другие совокупности объектов, где опреде­
лено деление с остатком! В частности, для таких совокупностей
объектов будет верным и существование и единственность разложе­
ния на «простые» сомножители!
*
I
§14. Взаимно простые числа
3. Примеры использования свойств взаимно простых чисел
Укажем несколько примеров использования свойств взаимно про­
стых чисел.
П р и м е р 13. Докажем еще одно свойство сравнений (в дополнение
к утверждениям теоремы о свойствах сравнений, см. с. 105).
Если ка =
кЪ и (к; т) = 1, то а =
Ь (обе части сравнения можно разт
т
делить на число, взаимно простое с модулем).
□ Так как ка =
кЬ, то (ка - кЪ) \ т 9 т. е. к (а - Ь) ; т. Так как
пг
(к; т) = , то по свойству взаимно простых чисел имеем (а - Ь) • т 9
что и означает а =
Ь. Ш
т
1
1
П р и м е р 14. Пусть натуральные числа а, Ь и с таковы, что
(а; Ъ) = 1 и аЪ = с2. Д окажем, что а и Ъ являю тся квадратами нату­
ральных чисел (т. е. существуют такие натуральные числа а х и ЬХ9
что а = а\ и Ь = Ьх).
□ Пусть (а; с) = р, (Ь; с) = д. Так как (а; Ь) = 1, то по свойству 4 вза­
имно простых чисел (р; д) = 1. Пусть а = р а Х9 с = р с Х9 Ь = дЬх, с = дс2.
Подставив это в исходное равенство и разделив обе части полученно­
го равенства на рд, получим
«1& 1 =
С ХС 2 .
(* )
Согласно результату задачи 11.86 имеем (ах; сх) = 1 и (Ьх\ с2) = 1. Так
как а1Ъ1 ! сх и (ах; сх) = 1 , то из свойства 1 взаимно простых чисел
имеем Ьг \ сх, откуда Ьх > сх. В то же время схс2 \ Ьх, причем
(Ьх; с2) = 1, откуда сг ! ЬХ9 т. е. сх > Ъх. Окончательно сх = ЬХ9 откуда
после подстановки в равенство (*) получим с2 = а х.
Итак, а = р а х, с = рЬХ9 Ь — дЬх и с — дах.
Рассмотрим равенство рЬх = дах. Так как (р; д) = 1, получаем из
свойства 1 взаимно простых чисел, что Ьх \ д. Аналогично а х \ р.
Заметим, что так как а х является делителем а, Ьх является делите­
лем 6 , причем (а; Ь) = 1, то (ах; Ьх) = 1 по свойству 4.
Тогда, применяя свойство 1 к соотношению рЪх \ а Х9 получаем
р ! ах. С учетом предыдущего получаем р = а х. Аналогично д = Ьх.
Окончательно получаем а = а\ и Ь = Ь\ . 61
Из доказательства следует, что числа а х и Ъх являю тся наиболь­
шими общими делителями чисел а и Ь и числа с соответственно.
П р и м е р 15. Докажем, что при всех целых п справедливо утверждение
(л3 + 3 п 2 + 2 п) I 6 (см. пример 5, с. 103).
□ Имеем п3 + З п 2 + 2п = п ( п + 1)(п + 2). Так к ак среди сомножите­
лей, являю щ ихся тремя подряд идущими числами, есть ровно один,
кратный 3, то все произведение кратно 3.
Так как среди двух соседних чисел п и п + 1 одно является чет­
ным, то все произведение является четным.
Так как числа 2 и 3 взаимно простые, то если число делится на 2
и на 3 , то оно делится и на 6 по свойству 3 взаимно простых чисел. Ш
118] Глава II. Целые числа
ф 1 5 - Простые числа- Основная теорема арифметики
1 . Определение и свойства простых чисел
С понятием простого числа вы сталкивались еще в начальной
ш коле. Известно, что попытки учащ ихся дать определение простого
числа с первого раза обычно успеха не приносят (можете попробовать
дать определение простого числа, не загляды вая дальше в текст). По­
этому приведем здесь определение простого числа и рассмотрим неко­
торые свойства простых чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
......... ■■■»....... — —
■■■............ .... .................................. .....................
] Натуральное число, большее 1, называется простым, если
Ч оно не имеет других натуральных делителей, кроме самого
себя и 1.
Если натуральное число имеет делитель, отличный от себя
и 1, оно называется составным.
З а м е ч а н и е . Число 1 не относится ни к простым, ни к составным
(причины этого мы обсудим после изучения основной теоремы арифме­
тики).
Простые числа представляют собой «кирпичики», из которых
с помощью умножения строятся все натуральные числа, большие 1.
К ак ищут простые числа? Со времен эллинистического Египта извес­
тен алгоритм, называемый «решето Эратосфена». Он состоит в следующем.
Чтобы найти все простые числа от 2 до п, нужно выписать все нату­
ральные числа от 2 до п. Далее, первое выписанное число является про­
стым. Вычеркиваем все числа, кратны е найденному. Первое невычеркнутое число вновь простое. Затем вычеркиваем все числа, кратные ему.
Первое невычеркнутое число — простое и т. д. (можете попробовать на­
писать программу поиска простых чисел и оценить, сколько времени
она работает для различны х значений п). Проиллюстрируем работу
алгоритма на примере поиска простых чисел от 2 до 31.
§
Ф§
11
2
3
4
5
7
8
9
42
44
4ё
45
17
4%
24
13
19
§§
2%
22
24
2ё
27
39
23
25
29
31
Здесь двумя черточками зачеркнуты числа, которые подверглись
вычеркиванию 2 раза (например, число 10 вычеркнуто к ак делящееся
на 2 и как делящ ееся на 5).
К ажды й раз первое невычеркнутое число является числом, не
кратны м ни одному из меньш их его (но больших 1), т. е. оно не имеет
других натуральны х делителей, кроме 1 и самого себя, следовательно,
является простым. С другой стороны, каждое простое число будет най­
дено этим алгоритмом, поскольку не будет вычеркнуто.
I
119| § 15. Простые числа. Основная теорема арифметики
-------
|Т1ример 17. Докажем, что каждое натуральное число п , большее 1,
имеет простой делитель.
□ Доказательство проведем индукцией по п .
б а з а и н д у к ц и и . При п = 2 утверждение верно, ибо число 2 име­
ет простой делитель — само себя!
и н д у к ц и о н н ы й
п е р е х о д . Пусть каждое
натуральное число,
меньшее к , имеет простой делитель. Д окаж ем, что само число к
имеет простой делитель.
Если число к простое, то оно имеет в качестве простого делителя
само себя. Если же число к составное, то к \ к19 где 1 < к г <к. Тогда чис­
ло кг согласно индукционному предположению имеет простой дели­
тель, который по свойству 1 делимости является делителем к. ®
Укажем очевидные свойства простых чисел, прямо следующие из
определения.
1. Пусть р — простое число. Тогда любое целое число либо
взаимно просто с р, либо делится на р.
2. Пусть аЬ ■р, где р — простое число. Тогда хотя бы одно из
чисел а или Ь кратно р.
д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Возьмем произвольное целое число а и рас­
смотрим наибольший общий делитель числа р и числа а. Так как он
является делителем числа р, то равен либо 1, либо р. В первом случае
(а; р) = 1, во втором а ■р.
2.
Если число а не кратно р, то по предыдущему свойству а взаим ­
но просто с р, а тогда, по свойству 1 взаимно простых чисел, Ь • р. Ш
□
2. Бесконечность множества простых чисел
Еще во времена Евклида была известна следующая основопола­
гающая теорема.
ТЕОРЕМА
Простых чисел бесконечно много.
г Доказательство этой теоремы, приведенное ниж е, является, неГ;смотря на свою простоту, одной из ж емчуж ин математической мысли.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть простых чисел конечное количество. За• пишем их все: р х, р 2,
р п.
Рассмотрим число а = р±р2 * ••• ’ Рп + 1Оно, с одной стороны, дает остаток 1 при делении на любое из про­
стых чисел, следовательно, оно не делится ни на какое из чисел
Ри Р2>•••> Рп• С другой стороны, по утверждению из примера 17, у чис-
120; Глава II. Целые числа
л а а должен быть простой делитель (возможно, оно само). Следова­
тельно, этот простой делитель не перечислен среди чисел р 19 р 2-> рп
вопреки предположению. ®
Приведем пример использования идеи этого доказательства.
П р и м е р 18. Докажем, что простых чисел вида 4к — 1 бесконечно много.
□ Пусть простых чисел вида 4к - 1 конечное количество. Обозна­
чим их через р 19 р 2,
р п. Рассмотрим число а = 4р х ■р 2 • ... • р п - 1.
Оно не делится ни на одно из чисел р 19 р 29 ..., р п. Значит, все его про­
стые делители имеют вид 4к + 1 (поскольку каж дое простое число,
кроме 2, дает при делении на 4 либо остаток 1, либо остаток 3). Но, пе­
ремнож ая сколь угодно много множителей вида 4к + 1, получаем чис­
ло такого ж е вида (дающее остаток 1 при делении на 4), в то время как
а = 3. Полученное противоречие доказывает утверждение. ®
4
При попытке доказать аналогичным образом утверждения о бес­
конечности множества простых чисел вида 4к + 1 возникает пробле­
ма: число вида 4к + 1 вполне может получаться произведением чисел
вида 4к - 1. Дальнейшее развитие соответствующей теории требует
привлечения более тонких идей и методов и приводит к знаменитой
теореме Д ири хл е: в любой арифметической прогрессии натуральных
чисел, первый член и разность которой взаимно просты, имеется бес- ^
конечно много простых чисел!
1.
3. Основная теорема арифметики
Следующее утверждение носит исторически сложившееся назва­
ние «основная теорема арифметики». Оно позволяет свести многие во­
просы делимости, взаимной простоты и некоторые другие к вопросам
о наличии или отсутствии простых делителей и их количестве.
Т Е О Р Е М А (основная теорем а а р и ф м е т и к и )................ ■■■■........ ..................
ШЯЩ Любое натуральное число п > 1 единственным образом (с точно­
стью до перестановки сомножителей) представимо в виде про­
изведения нескольких (возможно, одного) простых чисел (среди
которых могут быть и равные).
Например, 18 = 2 • 3 • 3, 1001 = 7 • 11 • 13. Естественно вместо
записи одинаковых сомножителей использовать запись в виде степе­
ни, например 18 = 21 • З2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
................. ............. ..... ..........................
............................................
Запись натурального числа, большего 1, в виде
„
„а1 „ а о
п = Ра • Р2 '
• Рк
(где все р, — попарно различные простые числа, а каждое
ос, е А/) назь вается канонической формой записи натураль­
ного числа.
15. Простые числа. Основная теорема арифметики
Из основной теоремы арифметики следует, что у каждого нату­
рального числа, большего 1, имеется единственная каноническая фор­
ма записи.
Теперь становится ясным, почему 1 неудобно считать простым чис­
лом. Ведь если 1 — простое число, то основная теорема арифметики не
будет выполнена! В самом деле, 18 = 2 - 3 2 = 1- 2 * 3 2 = 1 2 0 0 9 . 2 • З2. Та­
ким образом, не будут совпадать ни наборы множителей, ни наборы по­
казателей степеней в такой канонической форме записи.
Еще раз подчеркнем: никто не мешает вклю чить число 1 в опре­
деление простого числа. Однако такое определение будет неудобным
в практических применениях понятия простого числа, в том числе
в главном таком применении — основной теореме арифметики.
Р Доказательство основной теоремы арифметики проведем по
индукции по числу п.
база и н д у к ц и и , п = 2 им еет, и п р и том единственное, разл ож е­
ние н а п р о с т ы е м н о ж и т е л и .
и н д у к ц и о н н ы й
п е р е х о д . Пусть все числа, меньшие к , имеют
единственное разложение на простые множители. Докаж ем, что к
также имеет единственное разложение на простые множители.
Действительно, если к — простое, то утверждение верно. Если ж е
к — составное, то оно раскладывается в произведение двух меньших
его сомножителей, каж ды й из которых раскладывается на простые
множители согласно предположению индукции. Таким образом, су­
ществование разлож ения на простые множители числа к доказано.
Докажем единственность. Пусть к = р хр 2 • ... • р 8 = дхд2 • ... ■дг
и предположим, не умаляя общности, что среди чисел ^ нет числа,
равного р г. Тогда, согласно утверждению, все числа <?, взаимно про­
сты с р х (ведь д1 — простые числа и они не могут делиться на р 19 не
будучи равны р х). Отсюда ( д ^ •
• <7*; Р\) = 1, что противоречит
исходному равенству, ведь
* ••• ‘ <?*) Р\Итак, среди чисел дь есть число, равное р х. Не ум аляя общности,
пусть, например, дх —р х. Сократив обе части равенства на р 19 имеем
Р2 * ••• • Ра —# 2 “ ••• * Яе- Но обе части равенства являю тся разло­
жениями числа, меньшего к 9 на простые множители! По предполо­
жению индукции, такое разложение единственно, поэтому набор
оставшихся чисел р ь (г = 2, ..., I) с точностью до перестановки сов­
падает с набором оставш ихся чисел дь (I = 2, ..., I). Тогда совпадают
и наборы простых множителей числа к (полученные добавлением
одного и того же числа р х к обоим одинаковым наборам). ®
4. Приложения основной теоремы арифметики
Укажем несколько очевидных свойств, следующих из основной
теоремы арифметики:
1.
Если натуральное число, большее 1, является к -й степенью на­
турального числа, то в его канонической форме все показатели степе­
ни кратны к .
122 Глава II. Целые числа
2. Если два числа не имеют общих простых делителей, то они
взаимно просты.
3. Если произведение двух взаимно простых чисел, больших 1,
является к-й степенью натурального числа, то каж дое из них является
к -й степенью некоторого натурального числа (следует из предыдущих
пунктов).
Попробуйте доказать свойство 3 самостоятельно и сравните это до­
казательство с приведенным в конце § 11 доказательством этого утвер­
ж дения для к = 2.
Интересной является такж е интерпретация понятий наименьшего
общего кратного и наибольшего общего делителя в терминах разложе­
ния на простые множители.
И так, пусть а = р ^ 1 •
•. . . • рк к, Ь = р^ 1 • р 22 -. . . • р1к (приве­
денные формы записи чисел а и Ь не являю тся каноническими, так
к ак показатели степеней могут быть и нулевыми)1. Тогда, очевидно,
(а; Ь) =
р Г п(а15 Р1) • р 2т1п(аг; Рг)■... •Р*>,
а
[а; Ь] = Р1тах(а1:
. р2тах(а 2; Р»). . . . .
Э*>.
Пример
_
19.
Имеем
т т (ах; Р х ) + т а х ( а х ; Рх)
~ Р1
[а; Ь] • (а; &) =
т т ( а 2 ; р 2 ) + т а х ( а 2 ; (3 2 )
’ Р2
пип ( а*; Р Л) + т а х ( а*; р*)
’ • • • ’ Рк
’
откуда, с учетом очевидного равенства пип (а; Р) + шах (а; Р) = а + Р,
получим [а; 6] - (а; Ь) = аб. 11
Доказанное утверждение дает быстрый способ вычисления НОК
двух чисел без нахож дения их разлож ений на простые множители.
П р и м е р 20. Найдем количество натуральных делителей натурального
числа а, представленного в канонической форме (см. задачи 1.78, 1.97).
□
Пусть а = р ^ 1 ■р%2 • . . . • р%к, где а, > 0. Ясно, что натуральными
делителями числа а могут быть те и только те числа 6, которые имеют
вид Ь = р \ 1 • р12 •. . . • р1к, где 0 ^ Р* ^ а*. Таким образом, натуральных
делителей числа а столько ж е, сколько возможно наборов показателей
степеней простых множителей в числе Ь. А число таких наборов легко
сосчитать: для первого показателя имеется а г + 1 возможных значений,
для второго имеется а 2 + 1 возможных значений, ..., для к -го будет
а к + 1 возможных значений. П ользуясь правилом умнож ения, получа­
ем: количество натуральны х делителей натурального числа а, представ­
ленного в канонической форме, равно (аг + 1) • (а 2 + 1) ■ ... • (ак + 1). 11
1За счет нулевых степеней наборы простых множителей у чисел о и б сде­
ланы одинаковыми. Например, 18 = 21 • З2, 28 = 22 • 71. Рассматривая совме­
стно эти числа, получаем 18 = 21 • З2 • 7°, 28 = 22 • 3° • 71.
I
ш
§ 15. Простые числа. Основная теорема арифметики
«/Хсторический комментарий_____________________________
Натуральные числа — один из первых математических объектов, кото­
рый стал изучать человек. Использования натуральных чисел требовала
практика повседневной жизни, и в частности, счета.
Таким образом, классическая теория чисел — одна из древнейших
областей математики.
Изложения первых результатов классической теории чисел дошли до нас
в копиях знаменитого труда Евклида «Начала». В книгах VII, VIII и IX системати­
зированы основные предложения теории чисел. В частности, теорема о бес­
конечности множества простых чисел — это предложение 20 книги IX «Начал».
Методы решения уравнений в целых числах (точнее, в рациональных
числах), были изложены в книгах Диофанта (III в. до н. э., Александрия). До
нас дошли 6 книг «Арифметики» Диофанта. В частности, он приводит без до­
казательства тот факт, что всякое простое число вида 4/с + 1 представимо
в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Эту теорему позднее дока­
зал П. Ферма.
В честь Диофанта уравнения в целых числах называются диофантовыми
(кстати, слово «арифметика» происходит от греческого «агу^Нтоз», которым
Диофант называл переменную в уравнениях). Известна задача, высеченная,
по преданию, на надгробии Диофанта, в которой ответом якобы является его
возраст: «Боги ниспослали ему быть мальчиком шестую часть жизни. Добавив
к сему двенадцатую часть, они покрыли его щеки пушком; после седьмой час­
ти они зажгли ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак
даровали ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры поло­
вины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре
года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он завершил свою жизнь».
Наиболее известный широкой публике результат теории чисел — это
Великая, или Последняя, теорема Ферма (1601—1665) о том, что не сущест­
вует решения в натуральных числах уравнения хР + у" = гР при п > 3.
Известна история появления этой теоремы на полях книги «Арифметика»
Диофанта в переводе Баше де Мезирака 1621 года издания, с которой Ферма
никогда не расставался. У этого издания были очень широкие поля, на кото­
рых Ферма оставлял свои заметки. В частности, напротив задачи 8 он оставил
такое примечание: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы
двух кубов, или для биквадрата быть записанным в виде суммы двух биквад­
ратов, или, в общем, для любого числа, которое есть степень больше двух,
быть записанной в виде суммы двух таких же степеней. Я нашел поистине
удивительное доказательство этого факта, но поля здесь слишком узки, чтобы
вместить его». После смерти Ферма его сын опубликовал «Арифметику» Дио­
фанта с комментариями отца. Так математические достижения Ферма, кото­
рый никогда не публиковал своих результатов, стали достоянием гласности.
Однако, кроме этой теоремы (доказанной лишь в 1995 г. американским
математиком Э. Уайлсом, причем методами, явно недоступными Ферма),
Ферма принадлежат многие изящные и глубокие результаты теории чисел,
которые он не рассматривал всерьез, считая, что переоткрывает то, что
I
124 Глава II. Целые числа
было известно античным математикам. Будучи работником, как мы бы сей­
час сказали, органов юстиции в Тулузе, Ферма вел замкнутый образ жизни,
посвящая все свое свободное время математике. Поскольку Ферма никому
не сообщал своих доказательств (а свои результаты либо не публиковал во­
обще, либо посылал в виде задач известным европейским математикам того
времени), многие его результаты были заново доказаны известными мате­
матиками, в том числе великим российским математиком, швейцарцем по
происхождению, Л. Эйлером. В частности, Л. Эйлеру принадлежит результат
задачи 11.129.
Леонард Эйлер (1707—1783) — один из величайших математиков всех
времен. Родился в Швейцарии, однако большую часть жизни провел в Пе­
тербурге, куда приехал в 1726 г. В Петербурге Эйлер работал до 1741 г., ко­
гда, будучи уже всемирно известным ученым, принял приглашение короля
Пруссии Фридриха II и переехал в Берлин. В 1766 г. Эйлер вернулся в Рос­
сию, где и проработал до самой смерти. При этом с 1765 г. Эйлер ослеп и
был вынужден все свои работы диктовать, а вычисления и преобразования
производить в уме. Причем более половины его трудов были созданы в по­
следнее десятилетие жизни.
Интересно отметить, что все время пребывания Эйлера в Пруссии за
ним сохранялась должность и жалованье члена Петербургской академии
наук. А во время Семилетней войны поместье Эйлера в Германии было взято
под охрану частями русской армии.
Невозможно указать ни одной области математики, в которой Эйлер не
оставил бы свой след. Это и математический анализ, и алгебра, и теория ве­
роятностей, и вариационное исчисление, и теория чисел, и топология и тео­
рия графов, одним из основателей которых он был, и баллистика, и теория
навигации и судостроения, и оптика, и астрономия, и многие другие разде­
лы математики и физики. Всего за свою жизнь Эйлер опубликовал более
860 научных работ.
Парижская академия наук в 1775 г. в порядке исключения избрала Эйле­
ра девятым членом (разрешалось только 8). Портреты Эйлера неоднократно
размещались на банкнотах и монетах разных стран (в частности, Швейцарии).
Невозможно перечислить всех знаменитых ученых, как российских, так
и зарубежных, работавших и работающих в области теории чисел.
Интересно, что в теории чисел есть много проблем, формулировки ко­
торых понятны любому старшекласснику, но которые не решены до сих пор.
Вот лишь некоторые из них:
1) Конечно или бесконечно число пар простых чисел-близнецов (т. е.
простых чисел, различающихся на 2, как, например, 11 и 13 или 239 и 241)?
2) Конечно или бесконечно множество простых чисел вида 2п - 1? Эти
числа называются простыми числами Мерсенна по имени священника Маре­
на Мерсенна, который приложил немалые усилия к распространению мате­
матических знаний и проблем в Европе и был, как говорили, «первым науч­
ным журналом Европы». То, что в простых числах Мерсенна п должно быть
простым, утверждает задача II. 121 а.
3) Конечно или бесконечно множество простых чисел вида 2Л+ 1? Эти
числа называются простыми числами Ферма. До сих пор известны лишь
125] Задачи и упражнения
5 чисел для п = 2°, 2 \ 22, 23, 24 (то, что число п должно быть степенью чис­
ла 2, составляет утверждение задачи 11.1216). Число Ферма для п = 25, как
показал Эйлер, делится на 641. К.Ф. Гаусс доказал, что циркулем и линейкой
можно построить лишь такие правильные многоугольники, вписанные в дан­
ную окружность, число сторон которых имеет в своем каноническом разло­
жении только двойки и первые степени простых чисел Ферма?
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) — один из величайших математиков
всех времен. В возрасте 23 лет подготовил фундаментальное сочинение
«Арифметические исследования», оказавшее значительное влияние на по­
следующее развитие математики и не утратившее актуальности до сих пор.
Фундаментален вклад Гаусса во все области математики. Еще при жизни
ученого была выпущена медаль с его портретом и надписью «Рппсерз та*Нетайсогит» — «Император математиков». Многие свои результаты Гаусс не
опубликовал. Они содержатся в записках, тетрадях, переписке с коллегами.
Вплоть до Второй мировой войны результаты Гаусса изучались и публикова­
лись Геттингенским университетом, в котором Гаусс проработал всю жизнь.
Интересно отметить, что Гаусс пришел к идее существования неевкли­
довой геометрии, но, в отличие от Н. И. Лобачевского, не решился ее опуб­
ликовать, опасаясь критики. Интересно также, что у Гаусса и Лобачевского
был общий наставник — И. Бартельс.
Портрет Гаусса как выдающегося представителя Германии был изобра­
жен на купюре в 10 марок (до появления евро).
4) Всякое ли четное натуральное число представимо в виде суммы двух
простых (это знаменитая проблема Гольбаха, существенную лепту в реше­
ние которой внес знаменитый отечественный математик И. М. Виноградов).
Иван Матвеевич Виноградов (1891—1983) — выдающийся математик
XX столетия. Его труды относятся в основном к аналитической теории чисел
и продолжают традиции Петербургской математической школы, заложенные
Эйлером. Виноградов написал более 140 работ, снискавших ему мировую
известность. Был академиком более чем 20 зарубежных академий.
Современные результаты теории чисел находят свое практическое при­
менение, например, в передаче и кодировании информации.
И Задачи и упражнения
Деление с остатком
Группа А
II.1.
Произведите деление с остатком:
а) 13 452 на 23;
б) -1 3 452 на 23;
в) -1 3 452 на -2 3 ;
г) 13 452 на -2 3 ;
д) 17 345 на -1 2 ;
е) 17 345 на 12;
ж) -1 7 345 на -1 2 ;
з) -1 7 345 на 12.
П.2. Вычислите сумму частного и остатка от деления года вашего рож ­
дения на сумму числа вашего рождения и номера месяца вашего
рождения.
Глава II. Целые числа
мш янм нм м м м пвнм ннм м
п.З.
п .4 .
II.5.
и.6.
п.7.
п.8.
П.9.
и.Ю.
а) Делимое равно -5 3 8 , неполное частное равно 26. Найдите все
возможные значения соответствующих делителя и остатка,
б)
Делимое равно -2 0 0 7 , неполное частное равно -1 0 9 . Найдит
все возможные значения соответствующих делителя и остатка.
При делении на целое число а все целые числа дают остаток 0.
Найдите все такие числа а и докаж ите, что других нет.
Найдите наибольшее целое число, которое при делении с остат­
ком на 18 дает частное 23.
Найдите все возможные натуральные значения а, если 341 при
делении на а дает остаток 18. Как изменится ответ, если искать
целые а?
К аким может быть число г, чтобы существовало единственное
число 6, при делении на которое 253 давало бы остаток г?
В некотором месяце три вторника приходятся на четные числа.
К аким днем недели будет 10-е число этого месяца?
Числа 2006, 1607 и 2810 дают одинаковые остатки при делении
на число Ь > 1. Найдите число 6.
Пусть а и Ь — натуральные числа (а > Ь). Д окаж ите, что остаток
,
а
от деления а на о меньше —.
Делимость
Группа А
и .и . Д окаж ите, что если а \ Ъ и Ъ \ а, то \а \ = |&|.
п.12. Д окаж ите, что: а) число, записанное 9 единицами, делится на 9;
б)
число, записанное 81 единицей, делится на 81.
и.13. Док аж и те, что:
а) аЬаЬаЬ \ 21; б) аЪ + Ъа \ 11; в) аЬс - сЬа \ 99.
п .1 4 . Д окаж ите, что при натуральны х п дробь несократима:
V 6л + 7
21л + 4
Юл + 12 ’
14л + 3 '
тт «
2т + 3
И .15. Наидите все натуральные лг, такие, ч т о --------------целое число.
т- 1
п.16. На какие целые числа можно сократить дробь при некотором
значении п:
ч 2л + 1
2л + 1
, го
а > 6л
А +11
^ П »
б) V
, тт > П
7л + 11п€
п.17. Д окаж ите, что если (а + Ъ) \ 9, аЬ \ 9, то:
а) (а2 + Ъ2) ! 9; б) (а3 + Ъ3) ■81; в) (а3 + Ь3) : 243.
п.18. Д окаж ите, что сумма всех ш естизначных чисел делится на 99,
если они составлены из цифр: а) от 1 до 8; б) от 2 до 7. Решите
аналогичную задачу для восьмизначных чисел.
п.19. Известно, что аЪсйе -41. Д окаж ите, что еаЪЫ =41.
»
Задачи и упражнения
11.20. Сумма двух натуральны х чисел равна 239. Может ли произведе­
ние этих чисел делиться на 239?
11.21. Докажите, что аЬЫе/ ! 37 тогда и только тогда, когда (аЬс + йе/) ■37.
11.22. Докажите, что остатки двух целых чисел при делении на ненуле­
вое целое число т совпадают тогда и только тогда, когда
(а - Ь)\ т.
11.23. Известно, что (За + 76) ■19. Д окаж ите, что (41а -1- 83Ь) • 19.
11.24. Вася приобрел в магазине несколько плюшек по 14 р. за штуку,
некоторое количество пышек по 3 р. 50 к. и слойку за 28 р. Про­
давец сказал, что с Васи 205 р. Прав ли продавец?
11.25. Докажите, что количество натуральных делителей натурального
П +, 11.
числа п не превосходит —
Сл
11.26. Каждое из натуральных чисел а, 6, с, й делится на натуральное
число аЬ - Ы . Докаж ите, что аЬ - ей = 1.
Сравнения. П е р е б о р о с т а т к о в
Группа А
П.27. Найдите наибольшее трехзначное число, удовлетворяющее срав­
нению:
а) х = 13;
б) х = 17; в) х = 6 .
7
27
'
35
7
15
11.28. Найдите наименьшее трехзначное число, удовлетворяющее срав­
нению:
а) 2х = 8; б) Зх = 15; в) 13х = 26.
7
14
7
57
7
182
11.29. Какие остатки могут давать квадраты и кубы целых чисел при
делении на: а) 4; б) 5; в) 8?
11.30. Какой остаток при делении на 3 дает число х, если
2х = 1 (т о й 6)?
п.31. Какой остаток дает число х при делении на 7, если:
а) 8х = 3;
б) 6 х = 3; в) 4х = 3?
7
7
7
7
7
7
11.32. На какую цифру оканчивается число:
а) б2006; б) 92007; в) 72006 + 92005; г) З11®- 9и3 ?
11.33. Найдите остаток от деления:
а) 72007 на 4; б) 7?13 на 11; в) Зп9 на 7; г) 21913 на 5.
11.34. Докажите, что данное число не является квадратом никакого
натурального числа: а) 199 519 961 997; б) 19 951 996 199 734;
в) 1 234 199 663; г) 1 234 199 674.
11.35. Существует ли натуральное число п, такое, что:
а) (п2 + п + 1) ! 1996; б) (п2 + п + 1) : 1995?
11.36. Найдите все значения х, если 10я = х (т о й 11) при некоторых на­
туральных п .
128, Глава II. Целые числа
и .3 7 .
П .38.
п .3 9 .
П .40.
п .4 1 .
п .4 2 .
И.43.
Д окаж ите, что дробь п
1 несократима ни при каком натураль4 пг + 7
ном п .
Д окаж ите, что равенство х 3 + у 3 + г 3 = 12 345 672 007 не выпол­
нено ни при каки х целых х, у , г .
Д окаж ите, что аб • 9, если а2 + 62 • 3.
Д окаж ите, что сумма кубов трех последовательных целых чисел
кратна 9.
Д окаж ите, что при всех целых а и Ь выполнено аЬ(а2 - Ь2) ■3.
Д окаж ите, что сумма квадратов трех последовательных нату­
ральны х чисел не есть точный квадрат.
Десятизначное число на 1 больше квадрата натурального числа.
Д окаж ите, что в нем есть одинаковые цифры.
Группа В
11.44.
и .4 5 .
11.46.
И.47.
И.48.
И .49.
п .5 0 .
п .5 1 .
п .5 2 .
II.53.
и .5 4 .
Реш ите сравнения (описать все возможные целые х, удовлетво­
ряю щ ие данным сравнениям):
а) Зх - 6 = -1 (т о й 11);
б) 5х + 56 = 7 (т о й 18);
в) 7х + 3 = 2х - 1 (т о й 13);
г) 13х - 6 = 6х +13 (т о й 18).
а) Реш ите сравнение 1) х 2 - 2 х - 3 = 0 ; 2) х 2 - 2х + 1 4 = 0 .
б) При каки х с имеет реш ения сравнение 16” =17? Найдите все
возможные натуральные п для каждого из найденных с.
Д окаж ите, что из любых пяти целых чисел можно выбрать два,
разность квадратов которых делится на 7.
Кусок бумаги порвали на 8 частей, затем некоторые из образовав­
ш ихся кусков порвали еще на 8 частей и т. д. Могло ли после не­
скольких таких процедур оказаться ровно 2008 кусков бумаги?
Д окаж ите, что:
а) если аЪ + ей \ а - с, то ай + Ъс \ а - с;
б) если аЪ + ей \ а + с, то ай + Ъс \ а + с.
Н атуральное число п таково, что (п + 1) ! 8. Д окаж ите, что сумма
всех натуральных делителей числа п такж е делится на 8.
Д окаж ите, что при натуральных а и п выполнено:
(а2п + 1 + (а - 1)” + 2) : (а2 - ал- 1).
Д окаж ите, что уравнение х у ( х + у) = 5 ... 5 не имеет решений
в целых числах.
2008
Д окаж ите, что при различны х т и п числа 2т и 2” имеют различ­
ные наборы цифр в десятичной записи.
Может ли при натуральных п :
а) (5” - 1) ! (4” - 1); б) (7” - 1) ! (6” - 1)?
При каки х натуральны х п выражение 2” + 3” + 4” является квад­
ратом натурального числа?
I
129 Задачи и упражнения
1155. Число а равно утроенной сумме своих цифр. Докажите, что а \ 27.
11.56. Решите уравнение в целых числах:
а) Зх2 + 1 = 5у;
б) 2х + 3* + 4х = у 2;
в) 2х + 65 = у 2;
г) 3* + 55 = у 2;
д) л! - 1 = к2.
11.57. Докажите, что квадрат натурального числа не может закан чи ­
ваться четырьмя одинаковыми ненулевыми цифрами.
11.58. Пусть а = п 2 (л е ЛГ). Д окаж ите, что среди двух последних цифр
числа а хотя бы одна четна.
П.59. Докажите, что натуральное число является квадратом некоторо­
го натурального числа тогда и только тогда, когда число его де­
лителей нечетно.
11.60. Выписаны подряд все натуральные числа от 1 до л.
а) п = 2008. Делится ли полученное число на 3?
б) Каким должно быть л, чтобы полученное число делилось на 3?
(Опишите л в терминах остатков от деления.)
Группа С
11.61. Докажите, что при любом натуральном л сумма цифр числа
1981" не меньше 19.
11.62. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (используя их все по одному
разу) составить шестизначное число, кратное 11?
11.63. Докажите, что если некоторый признак делимости не зависит от
порядка цифр десятичной записи числа, то это признак делимо­
сти на 3, на 9 или на 1.
11.64. Пусть натуральные числа х, у , г удовлетворяют соотношению
х2 + у 2 — г 2. Д окаж ите, что хотя бы одно из этих чисел кратно:
а) 2; б) 3; в) 5; г) 4.
11.65. Докажите, что если сумма цифр числа т равна сумме цифр числа
2/л, то т ■9.
И.66. Докажите, что (л + I)2 и л (л - 1) имеют разные суммы цифр при
любом натуральном л.
П.67. Пусть 2п — 10а + Ь (0 < Ь < 10). Д окаж ите, что аЬ \ 6.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел
Группа А
И.68. Найдите:
а) (822; 1374); б) (4623; 3473); в) (4373; -826); г) (-3791; 3281).
11.69. Для наибольших общих делителей из задачи II.68 найдите их л и ­
нейные представления.
П.70. Что можно сказать про целые числа а и 6, если:
а) (а; Ь) = а; б) [а; Ь] = а?
11.71. Известно, что (а; Ь) = 1. Найдите (5а + 3Ь; 8а + 56).
130; Глава II. Целые числа
и.72. Реш ите систему уравнений в натуральны х числах:
( х + у =180,( х + у —168,
Г7л: = 11
Глгг/ = 720,
а) \(х ; у) = 30;
’ \(лг; у) = 24;
В) \(* ; у) = 45; Г) 1(лг; у) = 4.
тт
^ 5п + 6
„
и.73. На какие числа можно сократить дробь
—при натуральных л?
Ьп + 7
и .7 4 . Найдите наибольшее трехзначное число п , для которого дробь
11п + 2 ^
---------- будет сократимой.
7п —2
11.75. При каки х натуральны х п дробь — г---------- является сократимой?
2п2 + п + 3
и .7 6 . Реш ите систему уравнений в натуральных числах:
. /(*;*/) = 1 5 ,
=
]у;х[<40,
8
| * + 1/ = 667>
а) \[х;
у]= 420; ) \ ( х ; у ) = 1 2 ; в ) | ^ | | = 120; г) {(х; *,) = 4.
и .7 7 .
Докаж ите, что если сумма двух натуральных чисел равна 30 030,
то их произведение не делится на 30 030.
Группа В
Д окаж ите, что (2т —1; 2п - 1) = 2(т; - 1.
(
п.79. Д окаж ите, что 1 1 . . . 1 ; 1 1 . . . 1 = 1 1 ...1 .
п .7 8 .
V
п
т
у
(т;
п
)
11.80. Последовательность чисел Фибоначчи задана равенствами:
и 1 - и 2 — 1,
ип+2
и п + 1+ и п- Д окаж
ных п выполнено: а) (и„;
ип+х) = 1;
п.81. а) Докаж ите, что прям ая 4 х + 6у - 5 = 0 не проходит через точ­
ки, обе координаты которых — целые числа.
б) Д окаж ите, что если прям ая 4 х + 6у - с = 0 при целом с прохо­
дит хотя бы через одну точку, обе координаты которой целые
числа, то она проходит через бесконечно много таких точек.
в) При каки х с прям ая 4 х + 6у - с = 0 проходит через точку, обе
координаты которой целые числа?
П.82. Пусть т и а > 1 — натуральные числа. Д окаж ите, что
И.83. Д окаж ите, что если а х < а2 < ... < ап — натуральные числа, то их
наименьшее общее кратное не меньше п а г.
п.84. Пусть а х, а 2, ..., ап, ... — бесконечная последовательность нату­
ральны х чисел. Пусть Ьп = [ап; ап +2]. Д окаж ите, что если последо­
вательность {Ьп} ограничена, то в последовательности {ап} беско­
нечно много одинаковых членов. Верно ли обратное утверждение?
ЗН|_Задачи и упражнения
Взаимно простые числа
Группа А
11.85. Верно ли, что если (а; Ь) = 1 и (Ь; с) = 1, то (а; с) = 1?
И.86. а) Докажите, что частные от деления двух целых чисел на их
наибольший общий делитель взаимно просты.
б) Пусть а и Ь — два целых ненулевых числа и ах и Ьг — их частные
от деления на (а; Ь). Верно ли, что а х и Ьг взаимно просты с (а; Ь)1
11.87. Д окаж ите, что: а) если (а; с) = 1, то Ь \ (аЬ ; с); б) если (а; Ь) = 1,
то (ас; 6) = (с; 6); в) если (а; Ь) = 1, то (а + Ь; аЪ) = 1.
11.88. Сумма неполного частного и остатка, полученных при делении
натурального числа на 100, равна сумме неполного частного и
остатка, полученных при делении того же числа на 2007. Чему
могут быть равны неполное частное и остаток?
11.89. Известно, что (а; 6) = 1. Д окаж ите, что (п2 - 1) ! 24.
11.90. Найдите такую цифру х, чтобы:
а) 573x2 1 6; б) 890x52 ! 72; в) 367x5 ; 75.
____
11.91. Найдите такие цифры х и у, чтобы: а) 2x39у \ 88; б) 2x3у \ 45;
в) 7x37у давало от деления на 4 остаток 3, а от деления на 11 —
остаток 7.
11.92. Натуральное число при делении на 2001 и на 2002 дает остаток
315. Каков остаток от деления этого числа на 58?
11.93. В арифметической прогрессии, состоящей из натуральны х чисел,
разность взаимно проста с натуральным к . Д окаж ите, что лю­
бые к последовательных членов этой прогрессии дают все воз­
можные остатки от деления на к , причем по одному разу.
11.94. Докажите, что (а3 + Ъ3 + с3) ! 6 тогда и только тогда, когда
(а + Ь + с) \ 6.
Н.95. Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на
6 остаток 5, при делении на 7 — остаток 6, а при делении на
11 — остаток 10.
Г ру п п а В
11.96. Найдите все пары взаимно простых чисел а и 6, для которых выа+Ь
3
полнено равенство -г----------- = — .
а2+ аЪ + Ъ2 13
Г ру п п а С
11.97. а) Пусть а — четное натуральное число, к — натуральное число.
Докажите, что (ал- 1; а 2к + 1) = 1.
б) Докажите, что при к ^ т выполнено (22* -1-1; 22т +1) = 1.
11.98. (Реш ение у равн ен и я П иф агора в н ату р альн ы х чи сл ах .) П усть
х, у, г — натуральн ы е числа, удовлетворяю щ ие уравнению
х 2 л- у 2 — г 2 (*).
132] Глава II. Целые числа
а) Докаж ите, что (х; у) = (х; г) = (у; г).
б) Докаж ите, что если (х; у) = Л и тройка чисел (х; у; г) удовле­
творяет уравнению (*), то тройка чисел
4 ; 4 ; 4 тоже удовле\й й й )
творяет уравнению (*).
З а м е ч а н и е . Тем самым достаточно найти все тройки чисел,
удовлетворяющих уравнению (*) и взаимно простых между со­
бой. Остальные тройки будут получаться домножением на одно
и то же число.
И так, в дальнейшем (х; у) — (у; г) = (г; х) = 1.
в) Докаж ите, что среди чисел х, у , г ровно одно четное и это чис­
ло — х или у .
З а м е ч а н и е . П оскольку х и у равноправны (если тройка
(х; у\ г) является решением уравнения (*), то и тройка (у; х; г)
является решением уравнения (*))> не ум аляя общности, можно
считать, что четным является х.
„
п- т
п +т
~
0
Пусть —-— = а , —-— = V. Отсюда х = 2ьш.
д) Д окаж ите, что у = \ и 2 - ь>2|, г = и2 + V2.
е) Докаж ите, что числа и и V имеют разную четность и взаимно
простые.
З а м е ч а н и е . Таким образом, все взаимно простые решения урав­
нения х 2 + у 2= г2 при четном х описываются тройками (2ш>; \и2- г2|;
и2 + а2), где числа и и V — взаимно простые разной четности.
11.99. Числа л + 1 и 2 л + 1 являю тся квадратами натуральных чисел.
Д окаж ите, что п • 24.
И.ЮО. а) Д окаж ите, что среди любых четырех последовательных нату­
ральны х чисел можно выбрать одно, взаимно простое с каждым
из остальных.
б) Докаж ите, что среди любых пяти последовательных нату­
ральны х чисел можно выбрать одно, взаимно простое с каждым
из остальных.
в) Д окаж ите, что среди любых шести последовательных нату­
ральны х чисел можно выбрать одно, взаимно простое с каждым
из остальных.
г*) Верно ли утверждение задачи для любого числа подряд иду­
щ их натуральны х чисел?
И.Ю 1. Д окаж ите, что (а; Ь) • [а; Ь] = аЬ для натуральных чисел а и Ъ9
не используя основной теоремы арифметики.
п.102. Пусть (а; т) = 1.
а) Д окаж ите, что существует такое натуральное й, что а а =
1.
т
б) Пусть натуральное п , таково, что а п =
1.
Пусть
й
—
наименьТИ
шее из таких чисел п . Докаж ите, что п \ а.
133 Задачи и упражнения
Простые ч и с л а
Г руппа А
Н.ЮЗ. Докажите, что если у натурального числа р нет натуральны х
делителей, не превосходящих у]р , то оно простое.
П.Ю4. Решите с применением основной теоремы арифметики зада­
чу 11.59.
Н.Ю5. Найдите наименьшее натуральное п , такое, что п = 2 а3 = 365 =
= 5с1 для некоторых натуральны х чисел а, 6, с.
11.106. Пусть п = (16а + 176)(17а + 166) • 11. Д окаж ите, что п \ 121.
П.Ю7. Найдите все тройки простых чисел х, у , г, такие, что 19х —у г =
= 1995.
11.108. Найдите все натуральные числа, меньшие 400, имеющие ровно
15 делителей.
П.Ю9. а) Д окажите, что остатки от деления простых чисел на 30 не
являю тся составными числами.
б) Верно ли аналогичное утверждение для остатков от деления
на 60?
Н.110. Натуральное число имеет 2006 различны х натуральны х делите­
лей. Может ли оно быть кратны м 182?
11.111. Шесть простых чисел являю тся последовательными членами не­
постоянной арифметической прогрессии. Д окаж ите, что р аз­
ность этой прогрессии не менее 30.
Н.112. Решите в натуральных числах уравнение —
х +—
у = —,
р где р — заданное простое число.
11.113. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел
вида 6к - 1 (к — некоторое натуральное число).
11.114. Приведите пример: а) двух; б) трех; в) пяти; г*) а подряд иду­
щих составных чисел (п — произвольное натуральное число).
и.115. Найдите все простые числа р , для которых являю тся простыми
числа:
а) р + 10 и р + 14;
б) р 3 - 6 и р 3 + 6;
в) р 4 - 606;
г) 2р 2 - 9 и 2р 2 + 9;
д) 11р - 7;
е) 2р 2 + 13.
И.И6. Докажите, что если сумма и произведение целых чисел кратны
простому числу р, то каждое из этих чисел кратно р . Верно ли
это утверждение для составных чисел р?
П.117. Натуральное число а четно и таково, что если а делится на про­
стое число р, то а делится и на р - 1. Найдите все такие а.
Группа В
11.118. а) Д окажите, что если натуральное а не является квадратом на­
турального числа, то уравнение х! + а = у 2 имеет лиш ь конечное
число решений в натуральных числах.
I
134] Глава II. Целые числа
б) Докаж ите, что уравнение х\ - а = у 2 имеет конечное число
решений в натуральных числах при любом натуральном а.
в) Реш ите в натуральны х числах уравнение х\ = у 2.
и.119. Докаж ите равенство <« Ь) • <6; е> - с) =
9] • [И с] ■[а;с]
(а; Ь; с)2
[а; Ь; с]2
п.120. Пусть А — множество, состоящее хотя бы из восьми натураль­
ных чисел, каж ды е два из которых не взаимно просты. Найди­
те множество А, если:
а) наименьшее общее кратное всех чисел из множества А рав­
но 210, произведение всех чисел из А делится на 1920 и не
является квадратом никакого натурального числа;
б) наименьшее общее кратное чисел из множества А равно
390, произведение всех чисел из А не делится на 160 и не явля­
ется четвертой степенью никакого целого числа;
в) наименьшее общее кратное всех чисел из множества А рав­
но 330, сумма всех чисел из А равна 755 и произведение всех
чисел из А не является четвертой степенью никакого натураль­
ного числа.
п.121. Д окаж ите, что: а) если 2к - 1 — простое число, то к — про­
стое; б) если 2к + 1 — простое число, то к = 2п.
п.122. Д окаж ите, что наименьшее натуральное число, взаимно про­
стое с каж ды м из чисел 2, 3, ..., п, — простое для любого нату­
рального п .
П .123.
Вычислите сумму всех делителей числа р ^ 1- р
... • р%к.
п .1 2 4 .
Н аибольш ий простой делитель ч и с л а р 1р 2 ' ••• 'Рп + 1 равен р п+1?
р г = 2. Д окаж ите, что в этой последовательности нет пятерок.
Группа С
и.125. Пусть ап — произведение первых п простых чисел.
а) Найдите а 3.
б) Может ли сумма двух различны х членов этой последова­
тельности быть простым числом?
в) Может ли равенство ат + ап = 32 842 вы полняться при неко­
торых натуральных т и п ?
г) ат - ап — 30 000. Найдите ат и ап.
д) Реш ите в целых числах уравнения с двумя неизвестными
ап + 1 = х 2 и ап - 1 = у 2.
и.126. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел,
непредставимых в виде х 2 + р , где х е N . а р — простое число.
п.127. Докаж ите, что при п ^ 12 простое число с номером п больше Зп.
и.128*. Д окаж ите, что совершенное число (т. е. натуральное число,
равное сумме всех своих натуральных делителей, кроме себя
самого) не является квадратом никакого натурального числа.
П.129*. Докаж ите, что если а = х 2 + у 2 = г 2 + г2, где х, у, г, I — попар­
но различны е натуральные числа, то а — составное число.
Многочлены уже изучались ранее, в частности, квадратные трех­
члены, в основном с целью решения соответствующих уравнений
или облегчения тождественных преобразований. При изучении
данной главы мы систематизируем и расширяем круг известных
сведений о многочленах, а также раскрываем общность многих
свойств многочленов и целых чисел.
0 1 6 . Понятие многочлена
1. Определение многочлена
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Выражение, являющееся записью произведения числа и ко­
нечного количества переменных, называется одночленом
(мономом).
Обратите, пожалуйста, внимание на слова «записью произведе­
ния». Пока переменным не приданы числовые значения, мы не можем
вычислить их произведение, а можем лиш ь записать его. В ходе даль­
нейшего излож ения (вплоть до теоремы о совпадении формального и
функционального равенства многочленов) мы будем изучать некото­
рые свойства записей сумм и произведений переменных.
Пример 1. Выражения: - 2 ху; 1,7аЬЬссс; — к х 1х 2х 3х 5х 5 являю тся одно­
членами. Ш
Обычно произведения одинаковых сомножителей записывают в
виде степени. Полученную форму записи одночлена называют с т а н ­
дартной, а числовой множитель именуют коэффициентом данного
одночлена.
Стандартными формами записи одночленов из примера 1
являются (соответственно) следующие: - 2 ху; 1,7аЪ2сг; — п х ^ х ^ * . Щ
П р и м е р 2.
Степенью одночлена называется сумма степеней переменных,
входящих в его запись. Д ля одночленов примера 2 степени равны соот-
I
136 Глава III. Многочлены
ветственно: 2; 6; 5 (впрочем, если считать, что в записи последнего од­
ночлена к является не числом, а обозначением переменной, то его сте­
пень будет равна 6).
Любое ненулевое число будем считать одночленом степени 0. Таким
образом, множество одночленов включает в себя множество чисел.
Особо следует выделить нулевой одночлен, т. е. одночлен, коэффи­
циент которого равен 0. Этот одночлен можно считать одночленом от
любого набора переменных! В силу того, что одночлен есть запись про­
изведения, удобно и естественно считать, что нулевой одночлен — это
просто число 0.
Следует отметить, что, например, запись 2а х 2 можно трактовать
несколькими способами: либо это одночлен третьей степени с коэффи­
циентом 2 (т. е. переменных в нем две), либо это одночлен второй сте­
пени с коэффициентом 2а (т. е. переменная в нем одна). Обычно из
смысла решаемой задачи бывает ясно, какие буквы считаются обозна­
чениями переменных одночлена, а какие — обозначениями произ­
вольного числового коэффициента.
В зависимости от рассматриваемых вопросов, множество чисел,
из которых берутся коэффициенты одночлена, оговаривают зара­
нее. Например, можно ограничиться рассмотрением лиш ь одночле­
нов с целыми коэффициентами.
Зачастую в качестве коэффициентов одночлена рассматривают
не только числа, но и другие объекты, например, остатки от деле­
ния на какое-либо число или даже другие одночлены. Однако прак­
тически везде в нашем изложении мы будем придерж иваться дан-1
ных выше определений.
Л_
Одночлены складываю тся, умножаются и возводятся в степень по
правилам, известным из основной ш колы.
Одночлены, различаю щ иеся лиш ь коэффициентами и порядком
сомножителей либо совпадающие, называются подобными. Например,
- 2 х 2у, 5у х 2, а х 2у — подобные одночлены (разумеется, если в послед­
нем одночлене считать а записью произвольного числового коэффици­
ента). Заметим, что нулевой одночлен (т. е. число 0) подобен любому
одночлену. Если сложить подобные одночлены, то результатом будет
одночлен, подобный каж дому из слагаемых.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ——
.... —
...................—
----- -------- ----------------
Сумма конечного числа одночленов называется многочле­
ном ( п о л и н о м о м ) .
Пример 3. 2а3 + Ь4 — многочлен с переменными а и Ь, 7х3 + Ъх + 3 —
многочлен с переменной х.
Обратите внимание, что первый многочлен является многочленом
от двух переменных, в то время как каждое слагаемое является одно­
членом от одной переменной. 61
Д Д § 16. Понятие многочлена
Естественно, что среди слагаемых в сумме одночленов могут встре­
титься подобные. Сложив все подобные между собой одночлены, мы по­
лучим запись многочлена как суммы одночленов, никакие два из кото­
рых не подобны. Сами одночлены в такой записи называю тся членами
многочлена. Наибольш ая из степеней одночленов в такой записи назы ­
вается степенью многочлена.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ____________________________________________________________
Наибольшая из степеней одночленов, входящих в запись
многочлена, не содержащую подобных слагаемых, называ­
ется степенью многочлена.
З а м е ч а н и е . В данном выше определении можно усмотреть некото­
рую неясность. Например, какова степень многочлена 2а 3 + 64? «Конеч­
но, 4», — скажет Сторонник здравого смысла. А Формалист возразит ему:
«В этом многочлене есть одночлен 0 • 68, поэтому степень его равна 8».
Эта неясность исчезает при более детальном рассмотрении опреде­
ления. Ведь нулевой одночлен подобен любому. Значит, если в записи
многочлена есть хотя бы один ненулевой одночлен, то нулевого много­
члена в этой записи нет! Иначе в этой записи были бы два подобных
одночлена. Таким образом, соответствие здравого смысла и формаль­
ной теории восстановлено.
Если Р — многочлен, то его степень обозначается д.е§Р (от фран­
цузского д.е§гё — степень).
З а м е ч а н и е . Если степень многочлена равна 0, то он является кон­
стантой (т. е. не имеет в своей записи ни одной переменной). Удобно
считать, что степень многочлена, равного нулевой константе, равна —оо
(т. е. является не числом, а символом, который обладает свойствами:
1) -о о + п = - о о , где п — неотрицательное целое число; 2) - о о + ( - о о ) =
= -о о ; 3) - о о меньше любого неотрицательного числа). П ричины этого
соглашения будут объяснены д ал ее1.
Число 0, рассматриваемое как многочлен, будем обозначать 0 (гре­
ческая прописная буква «тета»). Разумно задать вопрос: зачем новое
обозначение для числа 0 и что значит «рассматриваемое к ак много­
член»? Д ля ответа на этот вопрос посмотрим внимательно, например,
на запись /(х ) Ф 0, где /(х ) — многочлен. Что она значит? Что ни при
каких х многочлен не равен 0? Или что этот многочлен не является ну­
левой константой? Д аже из этого рассмотрения видна польза от нового
обозначения. Другие мотивы его введения появятся ниж е.
Итак, 0 — это единственный многочлен, у которого нет нену ле ­
вых коэффициентов.
1Многочлен — сумма конечного числа попарно не подобных одночленов
с ненулевыми коэффициентами. Нулевой многочлен — сумма нуля таких
одночленов. Значит, степень нулевого многочлена — это максимум пустого
множества. А на с. 51 объяснено, почему шах 0 = -о о .
138 Глава III. Многочлены
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
....... ....... ■■■■■■■■»...................
................... ...................... ... ... .
Два многочлена называются равными, если их записи, не
содержащие подобных слагаемых, состоят из соответствен­
но равных одночленов.
П р и м е р 4. Многочлены 2 а2 + Ь3 и Ь3 + 2 а2 равны, а многочлены
а 2 + а 2 + Ь3 и а 2 + Ь3 не равны (хотя и состоят из одинаковых одно­
членов). Н
2. Действия с многочленами
Над любыми двумя многочленами, так же к ак и над целыми чис­
лами, возможно осуществлять следующие действия: сложение, умно­
ж ение, деление с остатком, если делитель не является многочленом,
равным 0 . Под словом «действие» подразумевается, что его результа­
том будет такж е многочлен. В этом смысле деление двух многочленов
возможно не всегда, так как результат не всегда будет многочленом.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ■■
- ■■
....... ■■■■-------
—
............................
Суммой двух многочленов называется многочлен, получен­
ный сложением всех членов многочленов-слагаемых.
каж м м м м ам м м тм м м ш ам м м м ам м иам м ам м м м м м ам ам м м м м им м ам м ваам м м м м авм ям ам ам ^^
П р и м е р 5. (2х — 5х у + Зу — 7)
= -З х + 6у - 8х у - 6. 1®
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
+
(3у — Ьх —3х у
+
1)
=
--- --------- ------------------------------- ----- ------------------------ ------------------------
Произведением двух многочленов называется многочлен,
полученный суммированием произведений каждого одно­
члена первого сомножителя на каждый одночлен второго
сомножителя.
Таким образом, если у первого сомножителя было т членов, а у
второго — п членов, то у произведения (до приведения подобных сла­
гаемых) будет т п членов.
Пример 6. (2х - Ьху + Зу — 7) • (3у — Ьх — 3х у + 1) = 6х у - 10х2 - 6х 2у +
+ 2х - 1Ьху2 + 2Ьх2у + 1Ьх2у 2 —Ьху + 9у 2 - 1Ьху — 9х у 2 + 3у — 21 у + 35х +
+ 21 х у - 7 = 1Ьх2у 2 + 19х 2у - 24х у 2 + 7х у + 37х - 18г/ - 7. ® ‘
Н аряду с этими действиями применяется такж е подстановка
многочленов в многочлен. При этом переменные заменяю тся соответ­
ствующими многочленами.
Пример 7. Подставим в многочлен а2 - 2Ь многочлены х + у + г и
х у + у г + г х вместо а и Ъ соответственно.
^1
139 §17. Многочлены от одной переменной.
Метод неопределенных коэффициентов
□ Имеем (х -г у + г)2 - 2 (ху л- у г л- гх). После приведения подобных
слагаемых получаем х 2 -г у 2 -г г 2.
Итак, если обозначить Р ( а , Ъ) = а2 - 26, § ( х , у, г) = х + у + г,
Н(х9 у , г) = х у -Г у г -г гх, то получим следующую запись:
Р ( ё (х, У, г), 6 (х , у, г)) = х 2 + у 2 + г 2. ®
Многочлен, в который подставляют, будем назы вать вн е ш н и м ,
а многочлены, которые подставляют, — в н у т р е н н и м и . П олучивш ий­
ся в результате подстановки многочлен называют композицией внеш ­
него и внутренних многочленов.
@17. Многочлены от одной переменной.
Метод неопределенных коэффициентов
1, Многочлены от одной переменной
Дальнейшее изложение в основном будет посвящено многочленам
от одной переменной, которую мы чаще всего будем обозначать через
х. Для многочлена степени п от одной переменной принята канониче­
ская форма з а п и с и : апх п + ап_ 1х п ~1 + ... + а хх + а 0, где ап Ф 0 (иначе
степень многочлена была бы меньше п). Одночлен апх п называют
старшим членом данного многочлена.
Утвержден и е
ИИ
.... —■»■■■■■■■
..... ■■■■■■■■»|
Степень произведения многочленов от одной переменной равна
сумме степеней сомножителей (или символически: с1ед(^*р) =
= с!ед/Ч Редд).
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть степень первого многочлена п , а степень
второго многочлена т . При умножении старш их членов этих многочле­
нов получается одночлен степени т + п (поскольку их коэффициенты
не равны нулю, то и коэффициент полученного многочлена тоже не равен
нулю). Все остальные одночлены будут меньшей степени, поэтому не бу­
дут подобны полученному. Таким образом, после приведения подобных
слагаемых наибольш ая степень одночлена останется равной т -г п. I
Это предложение остается верным и для случая, когда один из со­
множителей — нулевой многочлен, благодаря соглашению о свойстве
символа —оо!
"ВТ-------г З а м е ч а н и е . Утверждение предложения верно и для случая умно■жения многочленов от нескольких переменных, однако его доказа­
тельство весьма громоздко, так как одночленов старшей степени
может быть несколько, и требуется обоснование того, почему при
перемножении двух многочленов одночлены получившейся наиболь­
шей степени не уничтожатся при приведении подобных слагаемых.
140! Глава III. Многочлены
У т в е р ж д е н и е ■———«■».... ............... ............... ............... ........... ..... .....................................
ИМ
При подстановке одного ненулевого многочлена от одной перемен­
ной в другой ненулевой многочлен от одной переменной степень
полученного многочлена равна произведению степеней исходных,
т. е. степень композиции двух ненулевых многочленов от одной пе­
ременной равна произведению степеней этих многочленов.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Р (х) = х т, а /(х ) — многочлен степени п.
Тогда Р (/(х )) = /(х )- /(х )- / ( х ) - ... • /(х). Согласно предыдущему предт
ложению, при перемножении многочленов их степени складываются.
Поэтому йе& Р(/(х)) = тп.
Пусть теперь ($(х) = атх т (ат Ф 0). Тогда йе&(Э(/(х)) = тп, так
к ак этот многочлен получен из предыдущего умножением на кон­
станту (т. е. многочлен степени 0), а при умножении многочленов сте­
пени складываю тся.
Подстановка многочлена /(х ) степени п в произвольный много­
член степени т сводится к подстановке его в одночлены степеней т,
т - 1, т - 2, ..., 1 , 0 , а затем сложению полученных многочленов. Так
к ак результаты подстановки /(х ) в одночлены степеней, меньших чем
т , будут многочленами степени, меньшей чем тп, то старший член
степени т п при приведении подобных слагаемых не уничтожится. [8
З а м е ч а н и е . Доказанное утверждение верно и для случая, когда
внеш ний многочлен равен © (благодаря свойству 3 символа -оо). Одна­
ко, если внутренний многочлен равен 0 , результат может иметь сте­
пень 0 (при подстановке в многочлен с ненулевым свободным членом).
Пример 8. Найдем Р ( х - 1), если Р ( х ) = х 2 - х.
□ Запиш ем композицию двух многочленов от одной переменной,
где внутренний многочлен линейный, равный х - 1:
Р (х - 1) = (х - I ) 2 - (х - 1) = х 2 - Зх + 2. ®
Пример 9. Найдем Р (х - 1), если Р (2х + 1) = х 3 - 6х + 1.
□ с п о с о б 1 . Пусть * = 2х + 1, тогда х = - — - . Подставив х = -—2
в данное равенство,
получим: Р(Ь) =
2
+ 1’ откуда
1
3
21
7
РЦ) = —I3
12 ------ 1 + 3 —. Теперь вместо I подставим х - 1 и получим
О О О
о
после раскры тия скобок и приведения подобных слагаемых
Р ( х — 1) = —х 3 ——х 2 ——х + 6.
'
8
4
2
З а м е ч а н и е . Не должен смущать тот ф акт, что при первой подста­
новке I — 2х + 1, а при второй подстановке I = х - 1. После первой под­
становки найден исходный многочлен Р( х), у которого раньше был
17. Многочлены от одной переменной.
Метод неопределенных коэффициентов
известен только результат его композиции с многочленом 2х + 1 (прав­
да переменная в многочлене Р обозначена буквой не х , а *). Вторая
подстановка решает задачу нахож дения многочлена Р ( х - 1) при и з­
вестном многочлене Р , переменная в котором обозначена буквой I.
с п о с о б 2 . Вместо переменной х подставим в данное равенство та­
кое выражение, чтобы вместо 2х + 1 получилось х - 1. Иначе говоря,
найдем такой многочлен Я(х), что 2<?(х) + 1 = х - 1. Нетрудно видеть,
что (?(х) = ^ - 1.
х
Итак, подставим вместо л; в данное равенство —- 1. Получим
* - I IV - 6 - 1 —- 1 1 + 1, откуда
( х после
Л
? (* -!) = —
раскры тия
1
3
скобок
3
и приведения подобных Р ( х - 1) = —х 3 - —х 2 - —х + 6. Ш
2. Метод неопределенных коэффициентов
Напомним, что два многочлена равны, если после приведения по­
добных слагаемых они состоят из одинаковых одночленов. Пользуясь
этим определением, можно находить условия, при которых один мно­
гочлен является квадратом другого, делится на другой и т. д.
Для этого неизвестные коэффициенты искомого многочлена обо­
значают буквами и, исходя из условий равенства многочленов, при­
равнивают коэффициенты при одинаковых степенях. Реш ая получен­
ную систему уравнений, находят неизвестные коэффициенты. Этот
метод носит название метода неопределенных коэффициентов.
П р и м е р 10. Найдем а и 6, если
2 х 3 - 8 х 2 + 9х - 9 = (х - 3)(2х 2 + а х + 6).
□ Раскроем скобки в правой части равенства, получим 2 х 3 - 8 х 2 +
+ 9* - 9 = 2 х 3 + (а - 6 ) х 2 + (Ь - 3а ) х - ЗЬ. Отсюда, приравнивая коэф­
фициенты при одинаковых степенях переменной, получаем систему
уравнений
а - 6 = -8 ,
[ а = -2 ,
6 - За = 9, откуда
[Ь = 3.
-3 6 = -9 ,
Отметим, что система получилась избыточной (две неизвестные
и три уравнения). Поэтому если, например, свободный член многочле­
на равен 6, а не -9 , то такое равенство не будет выполнено никогда,
что и покажет система.
Значит, можно решить и задачу, в которой параметров будет боль­
ше, например: при каки х а, Ь и с выполнено равенство
2 х 3 + с х 2 + 9х - 9 = (х - 3 )(2х 2 + а х + 6)?
142 Глава III. Многочлены
а = -2,
а - 6 = с,
Соответствующая система будет иметь вид 6 - За = 9, откуда 6 = 3 ,®
-3 6 = -9 ,
с = - 8.
П р и м е р 11. Найдем многочлен Р ( х ), удовлетворяющий тождеству
Р (Р (х)) = х 4 - 2 х 3 - 2 х 2 + Зх + 1.
□ Прежде всего заметим, что <1е&Р(Р(х)) = (<1е&Р (х))2 согласно утверж­
дению о степени композиции многочленов. Поэтому й е§ Р (х ) = 2.
Пусть Р (х ) = а х 2 + 6х + с, а Ф 0. Тогда Р (Р (х )) = а (ах2 + 6х + с)2 +
+ 6 (ах 2 + 6х + с) + с. Конечно, теперь можно раскры ть скобки и соста­
вить систему. Однако для уменьш ения объема записей посчитаем вна­
чале старш ий коэффициент многочлена Р (Р (х )). Нетрудно видеть, что
он равен а 3. Поэтому, приравнивая старшие коэффициенты, имеем
а = 1. Отсюда Р (Р (х )) = (х2 + 6х + с)2 + 6 (х 2 + 6х + с) + с.
Рассмотрим теперь коэффициент при х 3. Одночлен третьей степе­
ни получается только при раскрытии скобок в первом слагаемом и ра­
вен 26. П риравнивая его к коэффициенту данного в условии многочле­
на, получаем 6 = -1 .
Перепишем теперь Р (Р (х )) = (х2 - х + с)2 - (х2 - х + с) + с. Рас­
смотрим коэффициент при х. Он равен —2с + 1. Приравняем его к ко­
эффициенту данного в условии многочлена и получим —2с + 1 = 3, от­
куда с = -1 . И так, искомый многочлен Р (х ) = х 2 - х - 1.
Закончить на этом решение было бы ошибкой. Представим себе, что
свободный член многочлена, данного в условии, равен не 1, а 2. Однако
мы вовсе не использовали свободный член в своих рассуждениях (равно
к ак и коэффициент при х 2). Поэтому для заверш ения реш ения необхо­
димо произвести проверку, например, прямой подстановкой или под­
считав при найденном значении с оставшиеся коэффициенты. Оконча­
тельный ответ: Р ( х ) = х 2 - х - 1. Ш
З а м е ч а н и е . Ф актически в данном рассуждении все равно реша­
лась система, в которой имелись три неизвестные величины (а, б и с )
и пять уравнений (по числу приравниваемых коэффициентов). Просто
для нахождения неизвестных использовались только три уравнения,
а далее следовало проверить, не противоречат ли найденные значения
двум оставшимся уравнениям. Н апример, если вместо равенства коэф­
фициентов при х в изложенном решении рассмотрели бы коэффициент
при х 2, получили бы уравнение 2с = -2 , а рассмотрев равенство свобод­
ных членов, получаем уравнение с2 = 1, которое имеет два решения!
Метод неопределенных коэффициентов можно применять и для
реш ения задач, в которых фигурируют многочлены от нескольких
переменных.
П р и м е р 12. При каком вещественном а многочлен Р (х , у) = х 2 + у* +
+ ау 2 + 2у 3 + 2х у 2 + 2х у + 2у + 2х + 1 является квадратом некоторого
многочлена?
|43|_§18. Деление многочленов с остатком
□ Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как
степень многочлена Р ( х , у ) равна 4, то степень многочлена Я ( х , у ), та­
кого, что Р(х, у) = Я 2( х , у), равна 2. Значит, многочлен Я ( х , у) можно
представить в следующем виде: Я ( х , у) = Ьх2 + су2 + йху + ех + /т/ +
откуда
ф2(л;, у) = Ь2х 4 + с2у 4 + (<12 + 26с) х 2*/2 + 2Ъс1х3у + 2с й х у 3 + 2Ьех3 + 2с/т/3 +
+ (2йс + 2 М ) х 2у + (2 й / + 2 с ё ) х у 2 + (26^* + с2) х 2 + (2с^* + / 2) у2 +
+ (2(1§ + 2 е ^ х у + 2едх + 2/8У + ф .
Приравнивая коэффициенты при одночленах одинаковых степе­
ней и считая коэффициенты отсутствующих одночленов равными О,
получаем последовательно: 6 = 0 (приравниваем одночлены, содержа­
щие х4), откуда (1 = 0 (приравниваем одночлены, содержащие х 2у 2).
Далее, с2 = 1 (приравниваем одночлены, содержащие у 4), откуда
с = ±1. Но поскольку смена знака вы раж ения, возводимого в квад­
рат, не меняет значения квадрата, можно, не ум аляя общности, счи­
тать, что с = 1. Тогда / = 1 (приравниваем одночлены, содержащие
у3), а затем е = 1 (приравниваем одночлены, содержащие х у 2). Н ако­
нец, приравняв одночлены, содержащие ху, получим 8 = 1 . Теперь
осталось приравнять коэффициенты при у 2 и получить а = 3. Ш
0 1 8 . Деление многочленов с остатком
1. Деление с остатком
Рассмотрим деление с остатком многочленов от одной переменной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
------—..................................................................................................... |
Пусть
Цх)и
д(х) — многочлены, причем д (х) * 0
с остатком Цх) на д(х) — это значит найти такие многочле­
ны д(х) и г(х), для которых выполняются два условия:
1)
Г(х) = д(х) • д(х) + г(х);
2) с!ед
)х(г <с1ед
д(х).
Многочлен ^(x) называется неполным частным от деле­
ния Т(х) на д ( х ), а многочлен г(х) — остатком от деления
Г(х) на д(х).
Отметим, что это определение является «калькой» с соответствую­
щего определения для целых чисел, только в роли модуля целого чис­
ла (как мерила его величины) выступает степень многочлена. Это
наблюдение позволяет строить теорию, связанную с делением много­
членов, «по следам» соответствующей теории целых чисел.
З а м е ч а н и е . Пусть 8(х ) = 1, т. е. это многочлен степени 0, единст­
венный ненулевой коэффициент которого равен 1. Разумно считать,
что при делении на 8(х) в остатке получается нулевой многочлен.
144 Глава III. Многочлены
Однако тогда степень нулевого многочлена долж на быть меньше 0.
При этом ее нельзя брать равной какому-либо отрицательному числу
(скажем, -1 ), иначе наруш ается истинность утверждения о степенях
результатов арифметических действий. Это соображение является еще
одним аргументом в пользу соглаш ения о том, что степень тождествен­
но нулевого многочлена равна —оо.
П р и м е р 13. Разделим с остатком многочлен х 4 + Зх3 - х + 5 на много­
член х 2 + х + 1.
□ Деление произведем столбиком:
Запись слева напоминает
х 4 + Зх3 - х + 5
| х2 + х + 1
обычное деление многознач“ х4 + х3 + х2
х 2 + 2х - 3
ных чисел.
2х3 - х 2 - х
Берем старш ий член мно“
9
3
.о 2 . 9
гочлена-делимого и смотрим,
— —------ —------ —-----на что нужно умножить много- З х 2 - Зх + 5
член-делитель, чтобы старший
- З х 2 - Зх - 3
член получился такой же. Для
д
этого достаточно рассмотреть
страший член многочлена х2 +
+ х + 1. В данном случае многочлен х 2 + х + 1 нужно умножить на х2,
чтобы получился старш ий член х 4. Это самое х 2 записываем в ответ. По­
лученное произведение записываем под исходным многочленом и вычи­
таем его из исходного многочлена. Получаем 2х3 - х 2 - х + 5. Однако не
записываем последнее слагаемое, так как оно еще не будет «принимать
участия» в следующем делении.
Далее вновь подыскиваем, на что надо умножить х 2 + х + 1, чтобы
получился старш ий член 2х3. Полученное 2х записываем в ответ. Умно­
ж аем делитель на х 2. Вновь вычитаем получившееся произведение. Раз­
ность равна - З х 2 - Зх + 5, а соответствующий множитель равен -3,
его и записываем в ответ. П олучивш аяся разность (в данном случае 8)
и есть остаток. 61
Этот пример демонстрирует эффективный алгоритм деления с
остатком многочленов столбиком. К ак и вся теория, связанная с деле­
нием многочленов с остатком, такой алгоритм напоминает правило де­
ления столбиком целых чисел, только в роли цифр здесь выступают
одночлены (точнее, их коэффициенты).
Однако деление с остатком можно производить и непосредственно
методом неопределенных коэффициентов, к ак показано в следующем
примере.
П р и м е р 14. Произведем деление с остатком многочлена х 3 - 2х - 5 на
двучлен х 2 - х методом неопределенных коэффициентов.
□ Пусть д(х) — частное от деления, а г(х) — остаток. Так как
й е§ г(х ) < й е§(х2 - х), то г(х) — многочлен либо первой степени, либо
нулевой, либо степени —оо. Все многочлены, имеющие такие степени,
можно записать в виде сх + й, где с и й — неизвестные числа (напри­
мер, если с = 0 , а Л * 0 , то йе&г(х) = 0).
I
.45 § 18. Деление многочленов с остатком
Тогда получим х 3 - 2х - 5 - сх - Л = (х) • (х 2 - х). П оскольку в ле­
вой части этого равенства стоит многочлен степени 3, то в правой части
должен такж е стоять многочлен степени 3. Так к ак, согласно утверж ­
дению пункта 1 § 17, степень произведения равна сумме степеней со­
множителей, то д.е§д(х) = 1, т. е. <?(х) имеет вид #(х) = а х + 6, где а Ф 0.
Запишем теперь деление с остатком:
х 3 - 2х - 5 = (х 2 - х ) ( а х + Ь) + сх + й.
Наша задача — найти неизвестные коэффициенты а, 6, с и й. Д ля
этого раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагае­
мые. Окончательно имеем
х 3 - 2х - 5 = а х 3 + (Ь - а ) х 2 + (с - Ь)х + й.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях перемен­
ной. Получим
1 = а,
а — 1,
0 = Ь - а,
Ь = 1,
-2= с = -1 ,
а = -5 .
- 5 = а,
,
с
Ь
ТКуД°а
Итак, х 3 - 2х —5 = (х 2 - х ) ( х + 1) - х - 5.
З а м е ч а н и е . Отметим, что равенство Ь - а = 0 получено исходя из
того, что одночлена второй степени нет в левой части полученного р а­
венства, значит, не должно быть и в правой (т. е. применительно к
данному равенству выражение «приравняем коэффициенты при оди­
наковых степенях» не совсем уместно). 61
Аналогично теории целых чисел, имеет место
Т Е О Р Е М А (о делении с остатком )
— ——— —
—
———— —- — - -
ШШ? Пусть х) и д(х) — многочлены с вещественными коэффициен­
тами, причем д(х)Ф@. Тогда существует единственное пред­
ставление многочлена Цх) в виде ?(х) = д (х) • д (х) + г (х), где
д (х) и г (х) — некоторые многочлены, причем ведг (х) < с!ед д (х).
□
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
с у щ е с т в о в а н и е . Доказательство
проведем аналогично доказа­
тельству существования деления с остатком целых чисел.
Рассмотрим г(х) — многочлен наименьшей степени среди мно­
гочленов вида ?{х) - д{х) ■д(х) для всевозможных многочленов д(х)
(если таких многочленов несколько, рассмотрим любой из них). По­
скольку степени многочленов являю тся либо неотрицательными чис­
лами, либо символом -оо, то в множестве степеней многочленов данно­
го вида искомая минимальная степень есть!
Для доказательства существования достаточно показать, что
йе&г(х) < йе&ё*(х). Пусть это неверно, т. е. й е^ г(х ) ^ йе§ё*(х). Обозна­
146 Глава III. Многочлены
чим старш ий член многочлена ё{х) за акх к, а старш ий член многочле­
на г(х) за Ъьх 1. При этом, по нашему предположению, 1> к. Если умно­
ж ить ё ( х ) на — х 1~к, то у полученного многочлена старший член будет
ак
Ъь
равен Ъьх 1. Следовательно, многочлен г (х )
х 1~кё{х) будет иметь
меньшую, нежели I, степень. Учитывая то, что г(х) = /(х ) - § (х) • д{х)
для некоторого многочлена д(х), имеем
Ъ
Ь
г (л;) —
- х 1~кё( х ) = /(* ) - •^(x) — - х 1~к§(х) =
ак
= Н х)-
г (х )
х(ё)• \ ^ (х ) + ^ - х 1- к
ь
- х 1~кё(х) тоже имеет вид /(х ) - ^ (х ) • дх(х), что противоречит
выбору г(х) к ак многочлена наименьшей степени такого вида.
З а м е ч а н и я . 1) Данное доказательство идейно идентично доказа­
тельству теоремы существования деления с остатком целых чисел:
взяли наименьш ий (в некотором смысле) объект требуемого вида и,
если он не слиш ком мал, уменьшили его (в том ж е смысле).
2)
Если не выбирать многочлен наименьшей степени, то можно,
последовательно умнож ая многочлен &{х) на соответствующие одночле­
ны и вы читая полученные вы раж ения из многочлена /(х ), уменьшать
степень многочлена. Такие действия можно производить до тех пор,
пока степень получившегося многочлена не будет меньше степени мно­
гочлена ^г(х). Это есть не что иное, как другая запись алгоритма деления
в столбик (т. е. конструктивное доказательство существования)!
е д и н с т в е н н о с т ь . Пусть существуют две записи
/ (х) = ё ( х ) • дг (х) + г! (х) и / (х) = §(х) • д2(х) + г2(х),
где йе^Г! (х) < й е^ё^х) и й е§г2(х) < с1е§ё*(х). П риравняв правые части
вы раж ений, получим: гх(х) - г2(х) = ё ( х ) • (д2(х) — дх(х)). В левой
части получившегося равенства стоит многочлен степени, не большей
максимума степеней гх(х) и г2(х), т. е. степени, меньшей йе§^(х)
(это утверждение задачи ш.4). В правой части равенства стоит много­
член степени йе§ё*(х) + йе§(д2(х) - дх{х)). Если д2( х ) ^ дг(х)9 то
&её(д2( х ) - д 1( х ) ) ^ - о ° 9 а тогда й е ё ё ( х ) + с!е^(д2(х) - ^ ( х ) ) ^ Аеёё(х),
что и доказывает утверждение теоремы. 61
т
2. Делимость многочленов
Аналогично теории делимости целых чисел строится и теория де­
лимости многочленов, где в соответствующих ситуациях в роли моду­
ля числа выступает степень многочлена.
ЦЩ_§ 18. Деление многочленов с остатком
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ----------------------
■■■----------------------------------------------------
Многочлен Р(х) делится на многочлен 0 ( х ) ф
если су­
ществует многочлен 5(х), такой, что Р(х) = О(х) • 5(х).
Иначе говоря, многочлен Р ( х ) делится на многочлен Я ( х ) ф ®,
если остаток от деления Р ( х ) на Я (х) равен 0 .
Обозначения: Р ( х ) ■Я (х) или Я (х ) \ Р(х).
Свойства делимости многочленов повторяют соответствующие
свойства делимости целых чисел.
Т Е О Р Е М А (свойства делимости многочленов)
Ш
.........
..
Пусть Р (х), О (х), 5 (х) и Я (х) — некоторые многочлены (О (х) ф 0;
Я(х) ф 0; 5 (х) ф 0). Имеют место следующие свойства:
1. Если Р(х) : О (х) и О (х) : Я(х), то Р(х) ; Р(х).
2. Если Р(х) ■О (х), то Р(х)Р(х) : О(х).
3. ЕслиР(х) : О(х) и Р(х) :О(х), то (Р(х) + Р(х)) : О(х).
4. Если Р(х) • Р (х) и О (х) :5(х), то Р (х) О (х) ; Р(х)5(х).
5. ЕслиР(х) : О (х) иР ( х ) ф 0, то с!ед Р (х) ^ с!ед О (х).
6. Если Р(х) : О(х), то для любого числа а * 0 верно
Р(х) • аО(х).
Все указанные свойства очевидным образом следуют из определе­
ния делимости.
□ Докажем, например, свойство 3. Так как Р ( х ) \ Я ( х ), то су­
ществует многочлен 5 (х ), такой, что Р ( х ) = Я (х) • 5 (х ). А налогич­
но, существует многочлен Т(х), такой, что К (х ) = Т ( х ) • Я(х). Тогда
Р(х) + К(х) = (8 (х ) + Т(х)) ■Я{х), что по определению означает
(Р(х) + В(х)) : Я(х).
Так же доказываются свойства 1, 2 и 4. Свойство 5 следует из ра­
венства Р(х) = Я (х) • 5 (х) и, следовательно, <1е&Р(х) = с1е&ф(х) + с1е&5(х).
Если Р ( х ) Ф в , то 5 ( х ) ^ 0 , а тогда й е § 5 ( х ) ^ 0 , откуда и следует
Ае%Р(х) ^ й е ^ в (х ). I®
Повторяя доказательства и соответствующие определения из тео­
рии целых чисел (с заменой целых чисел на многочлены и слов
«модуль числа» на слова «степень многочлена»), можно построить
теорию, связанную с понятиями наибольшего общего делителя и
наименьшего общего кратного многочленов, доказать, что алго­
ритм Евклида дает наибольший общий делитель двух многочленов,
доказать теорему о линейном представлении наибольшего общего
делителя многочленов. Дальнейш ая разработка этой теории приво­
дит к нетривиальным результатам, например, теореме о том, что от
иррациональности в знаменателе любой дроби можно избавиться
умножением числителя и знаменателя этой дроби на некоторый
многочлен, который можно вычислить. Однако обсуждение этого
выходит за рамки нашего курса.---------------------------------------- ----------
148 Глава III. Многочлены
3. Деление на линейный многочлен
Д ля деления многочлена на линейный многочлен вида х - с при­
меняют схему Горнера, являю щ ую ся сокращенной записью метода не­
определенных коэффициентов.
З а м е ч а н и е . Многочлен вида х - с иногда называют биномом.
Пусть требуется разделить многочлен апх п + ап_ хх п ~ 1 + ... +
+ а хх + а0 на многочлен х - с.
Остаток от деления многочлена на линейный двучлен является
многочленом степени 0 или —оо, т. е. числом. Неполное частное долж­
но быть многочленом степени п - 1. Запиш ем деление с остатком:
апх п + ап_ 1х п~1 + ... + а хх + а0 =
= (х - с)(Ьп_ 1х п~ 1 + Ьп_ 2х п~2 + ... + Ъгх + Ь0) + г.
Наша задача — найти коэффициенты Ьп _ х, Ьп _ 2,
Ь19 Ь0 и число г.
Раскры в скобки, приведя подобные и приравняв коэффициенты, полу­
чим систему п линейны х уравнений
ьп-
«л =
- 1
,
Ьп-2 ~ ■СЪП~1>
К - 3 - ■ сЬп _ 2
=
а п-2 ~
О
- сьг,
Г -
0
•О
II
1
а о =
-О
«1
1’
Последовательно найдем неизвестные из линейных уравнений:
= «п.
Ьп- 2 = а п-11+' С Ь п - 1 >
Ьп- з ~ а п - 2 + сЬп_2,
К -Х
II
О
Ь0 = а г + сЪг,
+ сЬ0.
Видно, что каж ды й следующий коэффициент находится через
предыдущий по одному и тому же правилу.
Чтобы избежать громоздких записей, деление на линейный дву­
член х - с можно оформить в виде таблицы, называемой схемой Горне­
р а , как показано в следующем примере.
П р и м е р 15. Разделим многочлен 2 х 4 - х 3 + 5 х 2 - 1 на двучлен х + 2.
□ Запиш ем в верхнюю строку таблицы коэффициенты многочле­
на-делимого (не забыв написать 0 вместо коэффициента при х), а в
крайний левый столбец запиш ем число с (в данном случае -2 ).
Начинаем заполнять нижнюю строку таблицы.
I
149 §18. Деление многочленов с остатком
В первый столбец заносим значение из верхней строки (Ьп_ г = ап).
Во второй столбец заносим значение вы раж ения (-1 + (-2) • 2),
т. е. -5 (Ьп _2
= а п - 1 + с6„_х).
В третий столбец заносим значение вы раж ения (5 + (-2) • (-5)),
т. е. 15, и т. д.
В результате в нижней строке таблицы оказались выписаны коэф­
фициенты неполного частного, а в последней клетке — остаток от де­
ления. Таким образом, получаем:
-2
-1
-5
15
О
-1
-30
59
И, следовательно,
2х4 - х 3 + 5 х 2 —1 = (х + 2) (2х3 - 5х2 + 15х - 30) + 59. ®
4. Разложение многочлена по степеням
линейного двучлена х - а
Иногда бывает полезным представить многочлен Р ( х ) как компо­
зицию некоторого многочлена и линейного двучлена х — а. Такое пред­
ставление называется разложением многочлена по степеням х - а.
Делать это можно различны ми способами.
П р и м е р 16. Разлож им многочлен х 3 + 2 х 2 - Зх - 2 по степеням х - 2.
□ Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Пусть
х3 + 2х2 - Зх - 2 = (^ (х - 2). Поскольку степень композиции равна про­
изведению степеней входящ их в нее многочленов, й е ^ в (х ) = 3. Пусть
С?(х) = а3х 3 + а2х 2 + а гх + а 0. Тогда ф (х - 2) = а 3(х - 2)3 + а 2(х - 2)2 +
+ ах(х - 2) + а 0. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
()(х - 2) = а3х 3 + (а2 - 6а3)х 2 + (аг - 4а 2 + 12а3)х + а 0 - 2а х + 4 а2 - 8 а 3.
Имеем:
х3+ 2х2 - Зх - 2 = а 3х3 + (а2 - 6а3) х2 + (аг - 4а 2 + 12а3) х + а 0 - 2а х + 4 а2 - 8а3,
откуда
[аз = ^
а2 - 6а3 = 2,
а х - 4 а 2 + 12а3 = -3 ,
а 0 - 2ах + 4 а 2 - 8 а 3 = -2 .
Эта система легко решается методом последовательного исключе«3 =
^
а , = 8,
ния неизвестных. Получаем:
<
1 «1 = 17,
а 0 = 8.
Итак, х 3 +
2 х -2 Зх - 2 = ( х - 2)3 + 8 (х - 2)2 + 17(х - 2) + 8. Ш
I
1501 Глава III. Многочлены
Пример 17. Разлож им многочлен х 3 + 2 х 2 - Зх - 2 по степеням х-2,
□ Пусть х3 + 2х2 - Зх - 2 = ф (х - 2). Подставим в это равенство
х = I + 2. Получим (г + 2)3 + 2(г + 2)2 - 3(г + 2) - 2 = <д(*). Раскрыв
скобки и приведя подобные слагаемые, получим ф (I) = I3 + Ы2+
+ 17^ + 8. Осталось учесть, что I = х - 2. Ответ: х 3 + 2х2 - Зх - 2 =
= (х - 2)3 + 8 (х - 2)2 + 17 (х - 2) + 8. Ш
Пример 18. Разлож им многочлен х 3 + 2х2 - Зх - 2 по степеням х -2 ,
□ Поделим х3 + 2х2 - Зх - 2 с остатком на х - 2 , воспользовавшись
схемой Горнера.
2
1
2
-3
-2
1
4
5
8
И так, х 3 + 2х2 - Зх - 2 = (х - 2) (х2 + 4х + 5) + 8.
Теперь поделим получившееся неполное частное на х - 2 :
Имеем х 2 + 4х + 5 = (х - 2) (х + 6) + 17. Подставив это выражение
в предыдущее, получим
х 3 + 2х2 - Зх - 2 = (х - 2)((х - 2)(х + 6) + 17) + 8 =
= (х - 2)2(х + 6) + 1 7 (х - 2) + 8.
Осталось поделить с остатком полученное неполное частное х + 6
на х —2 и подставить полученное выражение х + 6 = ( х - 2 ) * 1 + 8
в предыдущее равенство:
х 3 + 2х2 - Зх - 2 = (х - 2)2((х - 2) • 1 + 8) + 17(х - 2) + 8 =
= (х - 2)3 + 8 (х - 2)2 + 17(х - 2) + 8.
Можно оформить это решение совсем коротко, записав все деле­
ния с остатком в одну таблицу:
2
1
2
-3
-2
1
4
5
8
1
6
17
1
8
1
В ячейках, соответствующих остаткам, получаются коэффициен­
ты искомого многочлена, упорядоченные по возрастанию степеней. 61
|^ _ § 1 9 . Теорема Безу и ее следствия.
Совпадение формального и функционального равенства многочленов
@ 1 9 ;. Теорема Безу и ее следствия.
Совпадение формального и функционального
равенства многочленов
1. Многочлен как функция. Теорема Безу
Если вместо буквы х в многочлен Р ( х ) подставить число а, полу­
чится числовое выражение, значение которого можно вычислить. По­
лученное число называется значением многочлена в точке а и обозна­
чается Р(а). Таким образом, многочлен можно рассматривать к а к
функцию, заданную на некотором числовом множестве!
Отметим, что это — другой взгляд на многочлены. По определению
многочлен — это запись некоторого вида. С таким и записями можно
производить соответствующие операции: сложение, умножение, под­
становку и т. д.
Про значение многочлена в каких-то точках ранее ничего не говори­
лось. Мы вообще могли вместо многочленов от одной переменной рас­
сматривать последовательность их коэффициентов и говорить об операци­
ях с этими последовательностями (например, в примере 15 произведено
деление с остатком последовательности (2, -1 , 5, 0, -1 ) на последова­
тельность (1, 2)), обходясь тем самым без упоминания переменной!
Следующая теорема устанавливает связь между двумя взглядами
на многочлен: как на формальную запись (последовательность коэф­
фициентов) с одной стороны, и как на функцию — с другой.
Т Е О Р Е М А Б Е З У ----------- — ----------- -------------------------- ---- ------- ---- ------- ------ --------
П
Остаток от деления многочлена Р(х) с вещественными коэффи­
циентами на двучлен (х - а) равен Р(а), где а е Я.
д о к а з а т е л ь с т в о . Запиш ем деление с остатком многочлена Р ( х )
на двучлен (х - а). Получим Р ( х ) = (х - а ) Я ( х ) + г (поскольку деление
происходит на многочлен степени 1, то остаток является многочленом
степени 0 или —оо, т. е. числом, поэтому записывается как г (констан­
та), а не как г(х)).
Подставим в это равенство х = а 1. Получим Р(а) = г, что и требова­
лось доказать. I®
Обращаем внимание на то, что в данной теореме нулевой много­
член 0 считается просто числом 0.
□
р Данную теорему можно использовать в «обе стороны»: при необхо­
димости найти остаток от деления можно, просто подставив число
в многочлен вместо х, а найти значение многочлена можно, поделив
1Здесь мы не доказываем, что значение многочлена не зависит от того,
в каком виде он записан.
152| Глава III. Многочлены
его с остатком (вычисления по схеме Горнера зачастую экономичнее
прямой подстановки). Таким образом, решение примера 15 можно
воспринимать еще и как нахождение значения многочлена в точнее
_____
х = -2 .
Пример 19. Найдем остаток от деления многочлена Р ( х ) на многочлен
х 2 - Ъх + 6, если Р ( 2)= 3 и Р (х ) ■(х - 3).
□ Так как Р ( х ) ! (х - 3), то остаток отделения многочлена Р(х) на
двучлен х - 3 равен 0 , т. е. по теореме Безу Р (3 ) = 0.
Остаток от деления многочлена Р (х ) на квадратичный трехчлен
является многочленом меньшей степени, т. е. представйм в виде
а х + Ь.
Запиш ем деление с остатком: Р (х ) = (х2 - 5х + 6 )ф (х ) + а х + Ъ.
тт
тд
\ \Р(2)
Подставим
в это равенство х —2о и х = 3. Имеем
__/оч= 2а+ Ь,
Р (о) —За + о.
„
ГЗ = 2а + 6,
Подставив данные задачи, получим систему: <
реш ая кото­
За + 6,
. Ы = -з,
рую найдем
' [ Ь = 9.
И так, искомый остаток равен -З х + 9. Н.
Из теоремы Безу следует простое, но важное утверждение.
У т в е р ж д е н и е .................
П
■■■......... ............... .
Число а является корнем многочлена Р(х) (т. е. Р(а) = 0)тогда
и только тогда, когда Р{х) ; ( х - а ) .
’
Пример 20. При каки х значениях к многочлен х 3- у 3 + к х 2у делится
на двучлен х + у !
□ Будем рассматривать данный многочлен как многочлен от х, счи­
тая переменную у параметром. Тогда согласно теореме Безу делимость
на двучлен х + у означает, что х —- у является корнем многочлена.
Подставив это в многочлен, получим - 2 у 3 + куг = 0. Это равенство
должно выполняться при всех у , поэтому к = 2. Ш
2. Количество корней многочлена
Пусть а х — корень многочлена Р (х ), тогда согласно утверждению
предыдущего пункта Р (х ) ■(х - а х), откуда для некоторого многочлена
Я (х) выполнено
Р (х ) = ( х - а 1) в ( х ) .
(*)
Тогда с!е&(Э(х) = с!е&Р(х) - 1.
Пусть теперь многочлен Р (х) имеет корень а2 * а 1у т. е. Р ( а 2) = 0.
Подставив х = а2 в равенство (*), получим (а2 - а \ ) Я ( а 2) = 0. Так как
Шт § 19. Теорема Безу и ее следствия.
Совпадение формального и функционального равенства многочленов
а2- аг Ф 0, то <?(а2) = 0. Значит, Я (х) = (х - а 2) В ( х ) для некоторого
многочлена В(х). При этом с!е&.й(х) = А е ^ Ж х ) - 1 = йе&Р(х) - 2.
Пусть а и а2,
ак — различные корни многочлена Р(х). Тогда
Р(х) = (х - а г) • (х - а2) • ... - (х - ак) • 5 (х ), где (1е&5(х) = с!е^Р(х) - к.
Если Р(х) Ф 0 , то и 5 (х ) Ф 0 , а отсюда йе&Р(х) ^ к .
Итак, нами доказана теорема.
Т Е О Р Е М А ----------
Количество
I степени.
Следовательно, если степень некоторого многочлена не больше п ,
а количество его корней больше п , то этот многочлен равен 0 .
Пример 21. Докажем, что графики линейной функции и многочлена
третьей степени имеют не более трех общих точек.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . П у с ть /(х ) — многочлен третьей степени, а урав­
нение прямой у = к х + Ъ. Д ля нахож дения общих точек графиков этих
функций нужно составить уравнение /(х ) = к х + 6, равносильное урав­
нению /(х ) — к х — Ь = 0. В левой части последнего уравнения стоит мно­
гочлен третьей степени, значит, у этого уравнения не более трех корней,
а каждому корню соответствует единственная точка пересечения гра­
фиков. Щ
Пусть х х — корень ненулевого многочлена Р (х ). Тогда Р ( х ) =
= (х —х 1) Р 1(х). Может оказаться, что х х является такж е корнем мно­
гочлена Р\(х). В таком случае Р \ ( х ) = (х - х х) Р 2{х), а при подстановке
в исходное равенство Р (х ) = (х - х г)2Р 2{х). П родолжая далее выделять
множители (х - х х), приходим к выражению Р ( х ) = (х - х 1)кР к(х),
причем Р к( х г) ф 0.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е --------------------
»—-------------- -
Число а является корнем кратности к ненулевого многочле­
на Р (х), если Р (х) = (х - а)к О (х), где О (а) ф 0.
Если корень учитывается столько раз, какова его кратность, то го­
ворят, что корни берутся с учетом кр а т н о с т и . В противном слу­
чае — без учета кратности.
П р и м е р 22. У многочлена Р ( х ) = (х - 1)2(х + 2)3х 2(х - 5) имеется 8
корней с учетом кратности и 4 корня без учета кратности. Корень 1
имеет кратность 2, корень -2 имеет кратность 3, корень 0 имеет крат­
ность 2, и корень 5 имеет кратность 1. ®
Ясно, что теперь утверждение теоремы можно уточнить.
ТЕОРЕМА
Количество корней ненулевого многочлена с учетом их кратно- г
стей не превосходит степени многочлена.
154 Глава III. Многочлены
3. Сколько значений нужно задать,
чтобы полностью определить многочлен?
ТЕОРЕМА
— ---------------------------------------------------------
—
Пусть Р(х) и О(х) — два многочлена, степень каждого из кото­
рых не выше п. Пусть различные числа хь х2, ..., хл+1 таковы, что
Р(х1) = 0 (х 1), Р(х2) = 0 (х 2), ..., Р(хл+ 1) = 0 (х л+1). Тогда Р(х) = О(х).
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим многочлен /(х ) = Р (х ) - <?(х). Так
как степени многочленов Р ( х ) и С}(х) не превосходят п , то й е§ /(х ) ^ п.
Однако в силу условия многочлен /(х ) имеет п -г 1 различны х корней
х 19 х 2,
х п +1. Следовательно, /(х ) = 0 , а тогда Р (х ) = Я(х). 18
И так, два многочлена степени не выше п , совпадающие в п +1
различны х точках, равны между собой. Иначе говоря, многочлен степени не выше п задается своими п + 1 зн аче ния ми .
В частности, если многочлен степени не выше п принимает одно
и то же значение в / 1 + 1 различны х точках, то он является кон­
стантой!
Из доказанной теоремы следует замечательное утверждение о сов­
падении формального и функционального равенства многочленов.
ТЕОРЕМА
щ
ШЛ Два многочлена с вещественными коэффициентами равны тогда |
и только тогда, когда они равны как функции, заданные на мно- |
жестве вещественных чисел (т. е. в одинаковых точках принима- 1
ют одинаковые значения).
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Если два многочлена равны (т. е. состоят из
одинаковых одночленов), то они равны как ф ункции, так как с число­
вым значением переменной х в обоих многочленах производятся одни
и те ж е действия.
Если два многочлена равны как ф ункции, то они принимают оди­
наковые значения в бесконечном количестве точек, т. е. можно вы­
брать количество точек большее, чем степень каждого из них, в кото­
рых их значения совпадают. Тогда по доказанной выше теореме
многочлены равны. 18
Пример 23. Упростим выражение:
(х - а)(х - Ь) (х - Ь)(х - с) (х - с)(х - а ).
(с - а)(с - Ъ)
(а - Ъ)(а - с)
(Ь - с)(Ь - а) 9
_|_
Ъс
_|_
ас
(с - а)(с - Ъ) (а - Ь)(а - с) (Ь - а)(Ь - с) ’
□ а) Заметим, что данное вы ражение является многочленом от х
степени не выше второй. Подставим вместо х числа а, Ь и с. Каждый
раз получается 1. Следовательно, многочлен степени не выше второй
Д |_§19. Теорема Безу и ее следствия.
Совпадение формального и функционального равенства многочленов
принимает значение 1 в трех различны х точках, следовательно, я в л я ­
ется константой, равной 1.
б)
Заметим, что данное выражение есть не что иное, к ак свобод­
ный член многочлена из пункта а. По доказанному выше он равен 1 . 1®
г Напомним, что мы рассматриваем многочлены, заданные на чи ­
словых множествах. В иных случаях теорема о совпадении формаль­
ного и функционального равенства может быть неверной.
П р и м е р 24. Рассмотрим множество остатков от деления на 2, т. е. О
и 1. Действия с ними происходят по правилам нахож дения остатков
суммы и произведения. Например, 1 + 1 = 0. Рассмотренный «над
этим множеством» (т. е. и коэффициенты, и значения переменной бе­
рутся из множества {0; 1} и действия производятся как действия с н а­
хождением остатков сумм и произведений) многочлен х 2 + х обладает
следующим свойством: х 2 + х = 0, и при х = 0, и при х = 1. Таким об­
разом, как ф ункция многочлен х 2 + х равен многочлену 0 , но к ак мно­
гочлены они различны (ибо состоят из разны х одночленов). Щ
Приведенный пример показывает, каким важ ны м утверждением
является теорема о совпадении формального и функционального ра­
венства многочленов, заданных над числовыми множествами.
4. Интерполяционная формула Лагранжа
Коль скоро многочлен степени не выше п однозначно определяется
своими значениями в п + 1 точках, возникает вопрос: к ак найти много­
член степени не выше п 9 если известны его значения в п + 1 точках?
Можно, конечно, просто обозначить его коэффициенты буквами и
найти их, решив систему линейных уравнений, получающ ихся при
подстановке известных значений многочлена. Однако можно предъ­
явить явную формулу такого многочлена. Эта формула носит название
интерполяционная формула Лагранжа.
Пусть {(х) — многочлен степени не выше п иП^!) = У, при
/ = 1 , 2 , ..., п + 1 и числа х, попарно различны. Тогда
Г { х )
=
(
Х
-
Х
2
) ( Х
- Х
3
) - . . . - ( Х
- Х
1 ( * 1 ~ * 2 ) ( * 1 - Х3 ) - . . . - ( Х 1 -
п + 1 )
+ У2 (X- х , ) ( х- х3) - . . . - ( х - хп+1) +
2 (*2 “ Х1И * 2 - *з) • - • ( * 2 -
+
Х „+1)
+
1>
+ Ук (X - X,) • ... • (X - х^_,)(х - х„+1) •... • (X- х„)
к ( Хк -
+у
Х,)-...-(Хк -
Х к _- 1) ( Х к -
+
Хк + 1) - . . . - ( Хк -
( х - х 1) ( х - х 2) - . . . - ( х - х п)
0+1 ( * л + 1 - * 1) (Х# ,+ 1 - Х 2 ) - . . . - ( Х п + 1 -
Х„)'
+
Хп)
156, Глава III. Многочлены
д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, если в эту формулу подставить
х = х х, то все слагаемые, кроме первого, обратятся в 0, а первое слагае­
мое равно у г. Аналогично произойдет с остальными значениями х
Стержнем конструкции являю тся дроби вида
(х - хх)(х - х2)- ...• (х - х1_1)(х - х1+1)- ...• (х - х п+1)
( X / — Х 1) ( х / - х2) • . . . • (хь- Х}_ х) ( х ^ — х*+1)- ...• ( х ^ - хл+1)
□
К аж дая такая дробь равна 1 в точке х ь и равна 0 в остальных
точках.
Поскольку числитель каж дой дроби — многочлен степени п,
а знаменатель — число, то каж дая дробь является многочленом сте­
пени п . После умножения на числа у ь и слож ения получается много­
член степени не выше п . Так как он принимает одинаковые значения
с многочленом /(х ) в п + 1 точках, то совпадает с ним. Н
Восстановление многочлена по каким-либо известным данным
(например, по известным значениям в достаточном количестве то- '
чек) назы вается задачей и н т е р по ляц ии .
е го .
Многочлены с целыми коэффициентами
В этом параграфе рассматриваются свойства многочленов с целы­
ми коэффициентами, в том числе связанные со свойствами делимости
целых чисел.
1. Рациональные корни многочлена
с целыми коэффициентами
Пусть Р ( х ) = апх п -г ап_ 1х п~ 1 -г ... -г а хх -г а0 — многочлен с целы­
ми коэффициентами (т. е. а л, ап_ г, ..., а х, а 0 е X и а п Ф 0). Пусть
х 0 = у — корень многочлена Р (х ) (здесь р, д — взаимно простые чис­
ла, причем д — натуральное число). Тогда выполнено равенство
после умножения обеих его частей на дп превращающееся
в следующее равенство:
а ^ п + ап_ Лр п~ хд + ап_ 2р п~2д2 + ... + а^рдп ~1 + а0дп = 0.
П оскольку все слагаемые в этом равенстве, кроме первого, делятся
на д, то а„рп \ д. Так как р и д — взаимно простые числа, то (рп; д) = 1
(свойство 2 взаимно простых чисел). Так к ак а„рп I д и (рп; д) - 1, то
ап : д (свойство 1 взаимно простых чисел).
Аналогично доказы вается, что а0 • р (разумеется, при р Ф 0).
■ и 20. Многочлены с целыми коэффициентами
Итак, нами получено утверждение.
Утверждение
Числитель ненулевого рационального корня многочлена с целыми
коэффициентами является делителем свободного члена, а знаме­
натель — делителем старшего коэффициента.
В частности, если многочлен с целыми коэффициентами имеет
старший коэффициент, равный 1, то знаменателем его рациональных
корней может служить лиш ь 1, т. е. все его рациональные корни —
целые числа, являю щ иеся делителями свободного члена!
Разлож им на множители многочлен
Р ( х ) = 2 х 3 - 5 х 2 - х + 1.
□ Попробуем найти рациональные корни этого многочлена (каж до­
му корню а будет соответствовать множитель х — а в разложении).
Согласно предложению рациональными корнями многочлена мо­
гут быть лиш ь числа ±1; ± ^. П одставляя их в многочлен, получаем:
П р и м е р 25.
Си
1
1
И
Р( 1) = -3 , Р (-1 ) = -5 , Р Г1!
— = —1 , р
{2)
2’
2;
Произведем деление по схеме Горнера:
1
2
;Ы )-
2
-5
-1
1
2
-6
2
0
Итак,
2х3 - Ьх2 - х + 1 = |х + ^ \ (2х2 - 6х + 2) = (2х + 1)(х2 - Зх + 1).
Можно найти разложение на линейные множители квадратного
трехчлена х 2 - Зх + 1 и записать окончательное разложение:
2х3 - 5 х 2 - х + 1 = (2х + 1) I х -
Докажем, что число
Коль скоро
а =2 + л/З, то
П р и м е р 26.
□
8 -у/б'
X-
З+л/ 5
а = у/2 + л
- л/2 = л/З, откуда (а - Т 2 )г
а2 - 2л/2а + 2 = 3 , или 2у[2а = а 2 - 1, что дает 8 а 2 = а 4 - 2 а2 + 1. Окон­
чательно а4 - 10а2 + 1 = 0.
Итак, а является корнем многочлена х 4 - 10х2 + 1. Это многочлен
с целыми коэффициентами и старш им коэффициентом 1. Значит, его
рациональными корнями могут быть только целые числа — делители
свободного члена, т. е. числа ±1. Непосредственной подстановкой убеж-
I
158, Глава III. Многочлены
даемся, что числа ±1 не являю тся корнями данного многочлена, т. е.
многочлен х 4 — 10х 2 + 1 не имеет рациональных корней. Значит, вор
его корни (в том числе и а) являю тся иррациональными числами! I®
0 2 1 . Теорема Виета и симметрические многочлены
1. Теорема Виета
В курсе алгебры средней ш колы изучалась теорема Виета для
квадратного уравнения: числа х 19 х 2 являю тся корнями квадратного
Ь
х х + х2 =
уравнения а х 2 + Ъх + с — 0 тогда и только тогда, когда
х хх 2 =
При этом в случае нулевого дискриминанта единственный корень
квадратного уравнения учитывался дважды и теорема Виета вновь
оказы валась верной.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть многочлен Р ( х) степени
п имеет корни х 19 х 2,
х п (среди которых могут быть и кратные). То­
гда Р ( х ) = (х - х г)(х - х 2) • ... • (х - х п) • Я (х). Поскольку степень вы­
раж ения (х - х г)( х - х 2) • ... • (х - х п) равна п 9 то с!е&ф(х) = 0, т. е.
Я (х ) — число. Сравнивая старшие коэффициенты, убеждаемся, что
это число — старш ий коэффициент многочлена Р(х).
И так, если х 19 х 2, ..., х п — все корни многочлена Р (х ) = апхп+
+ ... + а хх + а0 с учетом их кратностей, то
апх п + ... + а хх + а0 = ап(х - х х)(х - х 2) • ... • (х - х п).
П риравнивая коэффициенты в левой и правой частях равенства
после раскры тия скобок, получаем
ап-1
х 1 + х 2 + . . . + х п = --------,
х гх 2 +
х^х2
+ ... + х гх п + х 2х 3 + ... + х 2х п + ... + х п_ хх п = —
(*)
... - х п= (-1)” — .
Полученное утверждение и называется теоремой Виета: сумма
всевозможных произведений корней многочлена, взяты х по к с учетом
их кратностей, равна (—1)^, умноженной на отношение коэффициента
при переменной степени п - к к старшему коэффициенту.
Обратно, если числа х 19 х 2, ..., х п удовлетворяют системе (*), то
они являю тся всеми корнями многочлена Р ( х ) = апх п + ... + ахх + а0.
]59| §21. Теорема Виета и симметрические многочлены
Пример 27. Вычислим х \ + х \ + х 3, где х 19 х 2, х 3 — корни многочлена
2х3 - Ьх - 3 = 0 (существование трех корней у этого многочлена дока­
зывать не обязательно).
□
По теореме Виета имеем
Так как имеет место
формула а3 + Ъ3 + с3 - 3аЬс = (а + Ь + с) (а2 + Ь2 + с2 - аЬ - Ьс - ас), то
в данном случае х \ + х \ + х 3 = З х гх 2х 3 = ^ . Н
2. Симметрические многочлены
Решая задачи на нахождение значений вы раж ений, зависящ их от
корней многочлена, с применением теоремы Виета, можно обратить
внимание на то, что эти вы раж ения не изменяю тся при перестановке
корней. Например, не находя корней х 19 х 2 квадратного уравнения
2х2 - Зх - 7 = 0, можно найти значение вы раж ения х \ х 2 -1- х \ х х (сде­
лайте это!). При этом если везде вместо х х в этом выраж ении написать
х2, а вместо х 2 написать х 19 то значение вы раж ения не изменится! Та­
кие выражения называются симметрическими.
ОПРЕД ЕЛ ЕН ИЕ ------------------- ------ ------------------------ — - ------- —.
Многочлен Р (х1,х 2, ...,х п) называется симметрическим,
если он не изменяется при любой перестановке переменных.
Пример 28. Симметрическим является следующий многочлен от четы ­
рех переменных: Р ( х 19 х 2, х 3, х 4) = х \ + х 2 + х 3 + х \ + 8 х г + 8 х 2 + 8х3 +
+ 8 я 4 + х 1х 2 х 3 х 49 в т о время как многочлен Я ( х 19 х 2, х 3, х 4) = х г + х 2 +
+ хъ+ х4 + х \ + х \ + х 3 + х \ симметрическим не является, хотя при пе­
рестановках, «не затрагивающ их» х4, переходит в себя (например, при
перестановке, где х х заменяется на х 2, х 2 заменяется на х 3, а х 3 заме­
няется на х г). И
Р Заметим теперь, что вы раж ения, упоминаемые в формулиров­
ке теоремы Виета, суть симметрические многочлены, где пере­
менными служат обозначения корней многочлена. При этом
х 2, ..., х п) = х г + х 2 + ... + х п является многочленом первой
степени, о2(х 19 х 2, ..., х„) = х хх 2 + х гх 3 + ... + х хх п + х 2х 3 + ... + х 2х п +
+ ... + х п_ гх п является многочленом второй степени и т. д.
Традиционно многочлен к-й степени от п переменных, равный
сумме всевозможных произведений этих переменных, взяты х по к со­
множителей, обозначают с к( х 19 х 2, ..., х п).
160! Глава III. Многочлены
Таким образом, теорему Виета можно сформулировать так:
ТЕОРЕМА •—--------——
.................
—--------------- ——-------- -|
Пусть хь х2, ...,хп— все корни многочлена Р(х)=алхл+ ...+ а 1х + а 0,
взятые с учетом кратности. Тогда
«М*!, Х2
х п—^ 1 ,
0 2(х1- *2...... *п) =
о к(х„ х2
о п(х,
п —2
х„) = ( - 1 ) * - ^ ,
хп)= (-1)п— .
Ясно, что все вы раж ения, получаемые из о 19 о 2, •••>
и констант
с помощью действий слож ения и умножения (т. е. все многочлены
относительно переменных о 19 о2, •••> а л)> будут симметрическими мно­
гочленами относительно х 19 х 2, ..., х п при подстановке выражений
о 19 с 2, ..., с п через х Х9 х 2,
х п (поскольку каж ды й многочлен из
о 19 а 2, ..., с п является симметрическим относительно х 19 х 2,
хп).
Гораздо интереснее, что и обратно: всякий симметрический много­
член относительно х 19 х 2, ..., х п яв ля е тс я результат ом подстанов­
ки выражений о 19 о2, ..., о п через х 19 х 2, ..., х п в некоторый много­
член Р (Ох, а 2, ..., о„) относительно о 19 о2, ..., а п (это утверждение мы
оставим без доказательства).
Поэтому многочлены
о2
о„ от л переменных называются
основными симметрическими многочленами.
Таким образом, значение любого симметрического многочлена от
п переменных, где вместо переменных подставлены все корни данного
многочлена п -й степени, может быть выражено только через коэффи­
циенты данного многочлена.
И
Задачи и упражнения
Определение многочлена. Действия с многочленами
Группа А
III.1. Запиш ите в стандартном виде одночлен:
а ) х3У ш ХУ4) ‘ 0,6х;
в) 3аЬх2 • 4х а 2Ь •
б)
(Ьх)3.
* баЬсд • (8й)° • 3;
I
Щ | Задачи и упражнения
Ш.2. Верно ли утверждение:
а) любой одночлен подобен сам себе;
б) если один одночлен подобен другому, то этот другой подобен
первому;
в) два одночлена, подобные третьему, подобны друг другу?
Сопоставьте эти утверждения со свойствами равенств и сравнений.
Ш.З. Найдите степень многочлена:
а) 3 аЬх2 - 7а х 4;
б) (х2 - 1)(х2 + 1) - х 4;
в) ах 4 - 1ъу ь + (7 - *3)(5 - у 5);
г) (а2 + Ь2 + аЬ) ■(а2 + Ь2 - аЬ) - (а2 + Ь2)2;
д) (2х +
Зу)
(4у Зх) . О (-Ъх2 5
, 7 И , „
442
(
Ъ
х
2
Ш.4. Докажите, что й е§(Р + ф) т а х (с1е§Р; йе&ф), где Р и ^ — не­
которые многочлены от нескольких переменных. Приведите
примеры, показываю щ ие, что может быть как <1е&(Р + ф) =
= тах(<1е&Р; с1е§<3), так и й е§(Р + ф) < т а х (й е^Р ; йе&ф).
Ш.5. Докажите, что Р (х) = С) (х) тогда и только тогда, когда
Р (х )-ф (х ) = 0.
Ш.6. Запиш ите в каноническом виде композиции Р ((?(х )) и
)),
если:
а) Р (х )
- х 2 - З х + 2, <?(х) =х 2б) Р (х ) = 2х2 - 1, ф (х ) = 4х3 - Зх;
в) Р (х ) =
2х3- 1, ф (х) = Зх + 1.
Метод неопределенных коэффициентов
Группа А
Ш.7. а) Приведите пример многочлена Р (х ), для которого не сущест­
вует многочлена /(х ), такого, что Р (х ) = /(/(х )); б) верно ли, что
для данного многочлена Р (х ) существует не более одного много­
члена /(х ), такого, что / ( / ( х )) = Р (х )?
Ш.8. Найдите числа а и & из равенства
х4 + 2х3 - 16х2 - 2х + 15 = (х + 1)(х3 + а х 2 - 17х + Ь).
Ш.9. При каки х вещественных
г и 8 выпол
х 3 + гх2 + 2х - 1 = (х - з)(х 2 - 2х - 1) + 3?
III. 10. Найдите многочлен Р (х ), удовлетворяющий тождеству:
а) Р 3(х) + х Р (х ) = 8х3 - 10х2 + 5х —1;
б) Р (х + 1) + Р ( х - 1) = 2х2 - 2х - 4;
в) (2х - 1) Р 2(х) + х Р (х) = 2х5 - 5х4 + 13х3 - 14х2 + 14х - 4;
г) Р (Р (х )) = 8х4 - 8х3 - 24х2 + 13х + 18;
д) Р ( Р ( х » = х 4 - 2х3 - 2х2 + Зх + 1.
162! Глава III. Многочлены
ш.11.
III.12.
а) Пусть Р ( х ) — линейный двучлен, а
(х) — квадратный
трехчлен. Найдите Р(х), если Р((2(х)) = ф (Р (х )).
б) Пусть Р ( х ) и
(х) — квадратные трехчлены, причем
Р (ф (х )) = ф(Р(л:)). Д окаж ите, что Р (х ) = (?(лг).
в) Пусть Р (х ) — квадратный трехчлен, <3(х) = 4 х 3 - Зх. Най­
дите Р (х ), если Р (ф (х )) =
(? (Р (х
Найдите многочлены Р (х ) и <?(х), если Р ((?(х))
5х2 + 7
и ф (х - 1) = х 2 - 2х - 1.
Группа В
Ш .1 3 * .
Пусть р ( х ) — многочлен от одной переменной х, а у — другая
переменная. Докаж ите, что многочлен /(х , у) = р( х ) + у не­
представим в виде произведения двух многочленов, каждый из
которых отличен от константы.
Деление многочленов с остатком
Группа А
III. 14.
Разделите с остатком многочлен /(х ) на многочлен § ( х ) 9 если:
а) /(х ) — х 4 - 4х3 + 5х2 + Зх + 1 и §{х) = х 2 - 2х - 3;
б) /(х ) = 5х4 - х 2 - 6х + 1 и §( х) = х 2 + Зх + 2;
в) /(х ) = х 3 - 2х2 + 5х + 6 и §{х) = Зх2 + 2х + 1;
г) /(х ) = х 4 - 5х3 + 1 и ^г(х) = 2х2 + 5х + 6;
д) /(х ) = х 7 - х 6 - Зх3 + х + 1 и § (х) = 2х2 + 4х + 6;
е) /(х ) = х 6 - Зх5 + х 4 - 2х2 + 5 и §( х) = Зх2 + Зх - 3.
Ш.15. Д окаж ите, что:
а) если Р (х ) — многочлен с целыми коэффициентами, а и Ь —
целые числа, то (Р(&) - Р(а)) \ (Ъ - а);
б) если Р (х ) — произвольный многочлен, а Я (х ) и К(х) — два
различны х многочлена, то (Р (ф (х )) - Р (Д (х ))) ! (ф (х) - В(х)).
111.16. При делении Р (х ) на 8 ( х ) получился остаток 2х2 - х + 1. Най­
дите остаток от деления Р 2(х) на 5 (х ), если йе§ 8 ( х ) = 5.
111.17. Чему равно неполное частное от деления /(х ) на ^Г(х), если:
а) с1е& §( х ) >
/(х );
б) д.е§ ё ( х ) = д.е§ /(х ) и старш ий коэффициент §(х) равен удво­
енному старшему коэффициенту /(х );
в) с!е§ § (х ) + 1 = д.е§ /(х ), старшие коэффициенты многочле­
нов /(х ) и ё ( х ) равны, а коэффициенты на единицу меньшей
степени соответствующих многочленов /(х ) и §(х) равны О?
III. 18.
Неполное частное и остаток от деления /(х ) на §(х) равны д(х)
и г(х) соответственно. Чему равны неполное частное и остаток
от деления:
а) / (х) на 2§(х); б) 2 /(х ) на ё(х); в) - 3 /( х ) на 2ё(х)?
!63]_3адачи и упражнения
При делении с остатком двух м ногочленов:
а) сумма неполного частного и остатка равна удвоенному дели­
мому. Найдите делитель;
б) произведение делителя и остатка равно делимому. Найдите
делимое;
в) произведение неполного частного и остатка равно делимому.
Найдите делимое;
г) сумма делителя и остатка равна делимому. Найдите неполное
частное.
Ш.20. При делении Р ( х ) на 5 (х ) получились неполное частное
<д(х) = х 2 + 1 и остаток К( х ) = х 3 + 5х. К аким будет остаток от
деления Р ( х ) на Я(х)1
Ш.21. Разложите по степеням х - 2 многочлен:
а) 2х3 - 14х2 + 2х - 1; б) Зх3 - 2х2 + х + 7.
Ш.22. Докажите, что х 3 + 2х2 - Зх - 2 > 0 при х ^ 2.
111.19.
Группа В
Ш.23. Н еравные многочлены Р (х) и ф (х ) тако вы , что Р (ф (х )) = Я ( Р (х)).
Д окаж ите, что (Р(Р(х)) - ф (ф (х ))) ■(Р(х) - ф (х )).
Ш.24. Существует ли вещ ественное а , такое, что х 6 + х 3 + а делится на
х3 + х + а?
Многочлен как функция. Теорема Безу
Гр у ппа А
ш.25.
Ш.26.
Ш.27.
III.28.
Ш.29.
Многочлен Р (х ) при делении на х - 2 дает остаток 5, а при деле­
нии на х + 1 — остаток 7. Найдите остаток от деления многочле­
на Р( х) на х 2 - х - 2.
Верно ли, что:
а) (ах3 + х 2 - х - Ь) ; (х2 + 1) « аЬ = 1;
б) (х3 + а х 2 - Ьх - 1) ! (х2 + 1) <=> аЬ = 1?
Если нет, то как поставить знак импликации, чтобы утверж де­
ние стало верным?
При каки х значениях параметров а и Ь многочлен
(х4 + а х 2 + I)4 + (х4 - Ьх2 + I)4
делится на х 2 + 1?
Многочлен Р (х) = 2х3 + а х 2 + Ьх - 3 при делении на х - 2 дает
остаток 27, а при делении на х + 3 — остаток -3 . Найдите оста­
ток от деления многочлена Р( х ) на х + 2.
Найдите остаток от деления многочлена
(х2 - х - I)239 - а ( х 2 + х - I)2
на х - 1, если при делении на х - 2 он дает остаток 50.
I
164! Глава III. Многочлены
ш.30. Остаток от деления многочлена
Р ( х ) = а ( З х 2 - х - I)3 + Ь(2х3 + х - I ) 2
на х 2 - 1 равен 15х - 12. Найдите остаток от деления многочлена
Р ( х ) на х - 3.
Ш .31. Найдите многочлен третьей степени Р (х ), если:
а) он кратен х - 1 и известно, что Р ( х + 1) —Р ( х ) = 6 х 2 -г 6х + 1;
б) он кратен х + 2 и известно, что Р ( х - 1) + Р (х ) - 2Р(х + 1) =
= - 8 х 2 - 2х + 3.
III.32. Может ли
при делении некоторого многочлена Р(х) на
х 2 - 5х + 4 получиться остаток 2х + 3, а при делении на
х 2 - Зх + 2 — остаток Зх - 2?
И1.33. Многочлен Р (х) при делении на х 2 - Зх + 2 дает остаток 5х + 4,
а при делении на х 2 - х - 6 дает остаток Зх - 2.
а) Найдите остаток от деления многочлена Р (х ) на х 2 - 4.
б) Найдите
остаток
от деления
многочлена
Р(х) на
( х - 1)(х - 2)(х - 3).
в) Какой может быть наименьш ая степень многочлена Р(х)?
И1.34. а) Найдите сумму коэффициентов многочлена ( х 2 - х + I)239.
б) Найдите сумму коэффициентов этого многочлена при четных
степенях и при нечетных степенях х.
П1.35. Найдите кратность корня а у многочлена Р (х ), если:
а) Р (х ) = 2х4 - 7х3 + 9х2 - 5х + 1, а = 1;
б) Р (х ) = 5х4 + 14х3 + 12х2 + 2х - 1, а = -1 ;
в) Р (х ) = х 5 - 5х4 + 40х2 - 80х + 48, а = 2;
г) Р (х ) = х 5 + 6х4 + И х 3 + 2х2 - 12х - 8, а = -2 .
П1.36. При каки х значениях а многочлен х 3 - а х 2 + 2ах - 8: а) делится
на х —а; б) дает при делении на х —а остаток 6; в) дает при деле­
нии на х - а остаток 6а?
Ш .37. Существует ли многочлен, принимающ ий при х = 1, 2, 3, ..., 10
значения, соответственно равные 1, 2, 3, ..., 10: а) девятой;
б) десятой степени?
Группа В
Ш .38.
При каки х значениях а многочлен х 3 + у 3 + г 3 + а х у г делится на
х +у +2?
Следствия из теоремы Безу. Формула Лагранжа
Группа А
Ш .39.
а) Д окаж ите, что многочлен степени п е N принимает каждое
свое значение не более чем п раз.
б) Приведите пример многочлена какой-либо степени п $N 1
принимающего каждое свое значение менее п раз.
в) Существует ли многочлен, который каж дое свое значение
принимает ровно столько раз, какова его степень?
165^ Задачи и упражнения
Ш.40. Д окаж ите, что м ногочлены степени п, равн ы е в п р азл и ч н ы х
точках и имею щ ие равны е старш ие коэф ф и циенты , тож дествен­
но равны .
111.41. У двух многочленов п -й степени равн ы старш ие коэф ф и циенты
и свободные члены . Д о к аж и те, что если эти м ногочлены п р и н и ­
мают одинаковы е зн ач ен и я в ( п - 1) то ч к ах , о тли ч н ы х от н у л я ,
то они тож дественно равн ы .
И1.42. Н айдите все м ногочлены Р ( х ), д л я которы х при всех х вы полне­
но равенство Р ( х ) = Р ( х + 1).
И1.43. М ногочлен третьей степени при делении на к аж д ы й из м ного­
членов х — 1, х — 2, х — 3 9 дает остаток 5. Н айдите остаток от де­
лени я этого м ногочлена на х - 4, если его старш и й коэф ф ициент
равен 2.
Группа В
Ш.44. У простите вы раж ени е:
(х - а)(х - Ь) , (х - Ь)(х - с )
ь ( х - с)(х - а) и
(с - а)(с - Ь) (а Ь)(а - с)
(Ь - с)ф - а) 9
______ а_____ _______ Ь
в
-V
с
(с - а)(с - Ь) (а - Ь)(а - с) (Ъ - с)(Ъ - а)9
(а + Ь)с
(Ь + с)а
(с + а)Ь .
(с - а)(с - Ь) (а - Ъ)(а - с) (Ь - с)(Ь - а)9
ч _______ а?_______ _________ __________________ __________
Т) (а - Ь)(а - с) (а -О) (Ь - а)(Ь - с)(Ъ - а) ( с - а) (с - Ь)(с - а)
+
^
(а - а)(Л - Ъ)(4 - с)
.
Ш.45. П усть а х, а 2,ап — р азл и ч н ы е вещ ественны е числа. Д о к а ж и ­
те, что систем а уравн ени й
Х^О,^ * + Х
2 & 1
<
*^2^2
^ + Х^(1\
*^3^2
+ . .. + Хп _+ х п —
+ . . . + Х п _ + Х п — &2 ,
.............................................
9
х^ап + х 2# Л + х 3а п + . .. + х п _ ^ап + х п — Ьп
имеет единственное реш ение, и вы разите х г через ч и сл а а 19 а 2,
•••> &П И ^1»
•••> ^пл
Ш.46. Д окаж и те, что если зн ач ен и я м ногочлена Р ( х ) степени п в точ­
ках 0, 1, 2, ..., п целы е, то они целы е при всех ц елы х зн ач ен и ях
переменной х.
166; Глава III. Многочлены
Многочлены с целыми коэффициентами и их рациональные корни
Группа А
Реш ите уравнение ( ш .4 7 , ш .4 8 ) :
III.47. а) х 3 - 2 х 2 - 5х + 6 = 0;
б) х 3 - 6 х 2+ 15х - 14 = 0;
в) х 4 - 6 х 3 + 10х2 - х - 6 = 0;
г) х 4 - 5 х 3 - х 2 + 26х - 24 = 0;
д) х 4 - х 3 - 9 х 2 + 16х - 4 = 0;
е) х 4 + х 3 - 7х 2 - 8х + 4 = 0.
ш .4 8 . а) 6х4 + х 3
- 2 8 х 2 + 21х - 4 = 0;
б) 6х4 + И х 3 - 12х2 - 14х - 3 = 0;
в) 10х4 + 13х3 + 12х2 + 2х - 1 = 0;
г) 10х4 - 13х3 + 22х2 - 5х - 2 = 0;
д) 6х4 - И х 3 - 7х2 + И х + 6 = 0;
е) 6х4 - 25х3 + 38х2 - 51х + 18 = 0.
ш .4 9 . Пусть Р ( х ) — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите,
что если а и Ь — различны е целые числа, то
(Р(а) - Р(Ь)) ■(а - Ъ).
111.50. Пусть Р (х ) — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите,
что у него нет целых корней, если уравнение Р (х ) = 5 имеет 5
различны х целых корней.
111.51. Уравнение х 5 - а х 2 + Ь = 0 (а, Ь е 2 ) имеет число Ъ своим корнем.
Найдите возможные значения Ь.
Группа В
ш .5 2 .
Пусть Р (х ) — многочлен с целыми коэффициентами, для ко­
торого \ Р ( х 1) \ = |Р ( х 2)| = 1 при некоторых различны х целых хх
и х 2. Д окаж ите, что:
а) если | х 1 - х 2| > 2 , т о у многочлена Р (х ) нет рациональных
корней;
б) если \ х г - х 2| < 2, то рациональным корнем может быть тольхх+ х2
ко х‘'О
п = — -— .
Ш .53.
Пусть несократимая дробь ^ — рациональный корень многочле­
III.54.
Ш .55.
на Р (х ) с целыми коэффициентами. Д окаж ите, что при всех цер
лы х т ф — выполнено
<1
/(га) ! (р - т^).
Д окаж ите, что уравнения не имеют рациональны х корней (воз­
можно, полезным окаж ется использовать утверждение предыду­
щей задачи):
а) 2х3 + 5х2 - Зх - 5 = 0;
б) Зх4 - 7х3 + 2х2 + 2х + 1 = 0;
в) Зх4 + 5х3 + 7 х 2- 2 х - 6 = 0;
г) 5х4 + 3х3+ 17х2+ 1 2 х - 6 = 0.
Пусть Р (х ) — многочлен с целыми коэффициентами и с1е& Р(х) <
^ р - 1. Пусть многочлен Р (х ) при х = 0; 1; 2; ...; р - 1 принима­
ет значения, кратны е р .
I
И_3адачи и упражнения
III.56.
а) Докажите, что если р — простое число, то все коэффициенты
многочлена кратны р .
б) Верно ли утверждение пункта «а» при составном р?
Верно ли, что если у многочлена все значения в целых точках
целые, то и коэффициенты целые?
Теорема В и е т а . С и м м е т р и ч е с к и е м н о го ч л е н ы
Группа А
Пусть 8к(х г; х 2; х 3) = х ? + х ^ + В ы р а з и т е 8к через основные
симметрические многочлены при:
а) к = 2; б) к = 3; в) к = 4.
Ш.58. Выразите основные симметрические многочлены от трех пере­
менных через 8к (см. предыдущую задачу) при к = 1, 2, 3.
Ш.59. Пусть х г; х 2;
х п — корни многочлена
Р (х ) = х п + ап _ хх п ~ 1 + ... + а хх + а0.
Выразите через коэффициенты Р ( х ) коэффициенты многочлена,
имеющего старш ий коэффициент 1 и корни:
Ш.57.
а) —, — ,
X1
— ; б) - х г, - х 2,
Х2
;
Хп
в) х \ , х \ ,
.
Ш.60. Найдите свободный член многочлена третьей степени, корнями
которого были бы числа - 2 , 1 - л/3, 1 + л/3, если его старш ий ко­
эффициент равен 1.
Ш.61. Пусть х х, х 2, х 3 — вещественные корни многочлена
2х3
+ х2+ 7
х- 12 = О
(доказывать существование корней не требуется). Найдите:
а) х гх 2х 3 + х 1х 2х 3 +
х%х2х3
;
б) х 3х 2 + х 3х 3 + х гх \ + х |х 3 +
+ х 2х 3;
^
1
в) Х—2^2т +
/у*^
1
.
/у*
1
/у* /у*2
13
.
1
/у* <у*2
и^2^з
.
1 . 1
/у*2 'У*
/у*2 /у*
г) X* + х | + х | .
Ш.62. Числа -1 и 2 являю тся корнями многочлена х 3 -1- а х 2 + Ъх - 12.
Найдите а и Ь.
х + у + г = а,
Ш.63. Решите систему уравнений х 2 л-у2 л-г2 — а 2, при любом значех 8 + у 3 + г3 = а3
нии параметра а.
168! Глава III. Многочлены
Ш .64.
Реш ите систему уравнений:
а)
X + у +2= 9,х + у + г - 1,
-X + -У + -2 = 1,’
б)' х 2 + у 2 + г 2 = 15,
1 +1+1--1.
х у г
5
х у г — 27;
Реш ите уравнение х 4 + 4х3 - 2х2 + а х + Ь = 0, если оно имеет две
пары равных корней.
Ш .66. Рассмотрим всевозможные произведения нескольких (возможно,
одного) из первых п простых чисел (п > 5) (например, 2; 2-3;
3 - 5 - 1 1 ; 5 - 7 - 1 1 - 1 3 представляют некоторые такие произве­
дения для п = 6). Д окаж ите, что сумма всех таких произведений
раскладывается не менее чем на: а) п простых сомножителей;
б) п + 1 простых сомножителей (простые сомножители могут
быть и одинаковыми).
Ш .67. Д окаж ите, что если:
а) сумма и произведение двух рациональны х чисел — целые
числа, то и сами эти числа целые;
б) сумма, сумма попарных произведений и произведение трех
рациональны х чисел — целые числа, то и сами эти числа целые.
Ш.68. Д окаж ите, что если:
а) сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами
эти числа положительны;
б) сумма, сумма попарных произведений и произведение трех
чисел положительны, то и сами эти числа положительны.
Ш .69. Составьте многочлен, для которого число —1 являлось бы кор­
нем второй кратности, числа 1, л/б и - л / б — корнями первой
кратности, а свободный член равнялся —10.
Ш .70. Корни многочлена Р (х) = х 3 + 6х2 + 5х + а образуют арифмети­
ческую прогрессию. Найдите эти корни и число а.
ш .7 1 . Уравнение х 4 - (За + 6) х 2 - 2 = 0 имеет 4 вещественных корня,
произведение которых равно 2. Найдите а.
Ш .72. Уравнение х 3 + а х 2 + Ьх + с = 0 имеет 3 вещественных корня,
причем а < 0, с > 0. Определите знаки корней.
Ш .65.
® 2 2 . Понятие функции
1. Определение функции
Одним из основных понятий математики является понятие ф унк­
ции. Существует несколько определений этого понятия и множество
споров вокруг них. Исторически одно из первых определений звучало
так: если две переменные х и у связаны между собой так, что с измене­
нием одной из них (х — независимой переменной) меняются значения
другой (переменной у ), то говорят, что у есть зависимая переменная
или функция от переменной х .
Самым общим является в математике следующее определение по­
нятия функции:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть заданы некоторые множества X и У произвольной
природы и закон 1, который каждому элементу х множе­
ства X ставит в соответствие ровно один элемент у мно­
жества У\
»/
Ух е X\У->^ у е V
У/
Тогда говорят, что на множестве X задана функция 1 со зна­
чениями в множестве У и пишут: X -> У.
Множество X называется при этом областью определения ф унк­
ции /. Иногда, в соответствии с французской традицией, множество У
называют областью прибытия ф ункции /.
Важно подчеркнуть, что ф ункция определяется не только законом
соответствия, но и множествами X и У. Если закон соответствия тот
же самый (например, каждому элементу числового множества соответ­
ствует его квадрат), но сами множества X разные (например, в одном
случае — множество целых чисел, а в другом — множество натураль­
ных чисел), то ф ункции будут тоже разные, и свойства их будут раз­
ными (см. примеры 4 и 5)!
1701 Глава IV. Функция. Основные понятия
Если х 0 — произвольное значение х (произвольный элемент, взя­
тый из множества X ), то элемент у 0, поставленный законом / ему в со­
ответствие, называется значением фу нкц ии при значении аргумента
х = х 0 и обозначается у 0 = / ( х 0).
Интересно также разобраться в том, что такое «закон соответст­
вия»? Если взять какой-либо элемент х е X , то можно написать ря­
дом с ним те значения у, которые ему поставлены в соответствие. Та­
ким образом, получаются пары элементов, где на первом месте стоит
значение аргумента, а на втором — соответствующее значение у е У.
И так, закон соответствия между множествами X и У — это
множество пар, где на первом месте стоит элемент из множества X,
а на втором — элемент из множества У. Д ля того, чтобы закон со­
ответствия задавал вместе с множествами X и У функцию, нужно
потребовать, чтобы в определяющем его множестве пар каж дый|
элемент множества X встречался ровно один раз.
т
Разумеется, вместо букв х, у , / можно использовать и другие бук­
вы. Н апример, запись 8 = ф(^) означает, что 8 есть ф ункция аргумен­
та г, причем закон соответствия обозначается буквой ср. Если нужно
избежать наименования переменной в записи функции, т. е. не писать
/(х ), то применяют запись /: X —> У. При этом закон соответствия под­
разумевают известным.
З а м е ч а н и я . 1) Определение оставляет открытым вопрос о том,
какова долж на быть природа закона /, который устанавливает соответ­
ствие между множествами X и У: важно лиш ь, чтобы такой закон был
указан. Подробнее об этом будет сказано в § 23.
2) Важнейш ими словами в определении функции были слова
о том, что любому элементу первого множества ставится в соответст­
вие ровно один элемент второго множества.
3) К ак синоним введенного нами понятия ф ункции употребляется
такж е слово «отображение»: отображение множества X в множество У.
К ак правило, в математике слово «отображение» употребляется
для соответствий самой общей природы. Слово «функция» употребляется
обычно, если речь идет о соответствиях между числовыми множествами
или множествами природы, близкой к числовым множествам (напри­
мер, множества остатков от деления целых чисел по данному модулю).
4) Вообще-то нет никакой необходимости в том, чтобы множества
X и У имели числовую природу (хотя именно этими случаями мы и бу­
дем заниматься в дальнейшем). Не является такж е необходимым, что­
бы область определения содержала бесконечное число элементов.
Приведем несколько примеров.
Пример 1. Пусть X — множество всех треугольников на плоскости,
а У — множество всех окружностей этой ж е плоскости. Каждому тре­
угольнику ставим в соответствие окружность, вписанную в этот тре­
угольник. Это вполне определенный закон, который каж дому элемен­
ту множества X (треугольнику) ставит в соответствие ровно один
элемент множества У (окружность). Н
I
Дд_§22. Понятие функции
П р и м е р 2. Сохраним в качестве X и У множества из предыдущего
примера, но теперь каждому треугольнику поставим в соответствие
описанную около него окружность. П оскольку закон соответствия по­
менялся, это уже другая ф ункция. 1®
Пример 3. Пусть X — множество всех отрезков на плоскости, а У = К —
множество всех вещественных чисел. Выберем единицу измерения
и поставим в соответствие каж дом у отрезку число, равное его длине.
Это тоже ф ункция. Н
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
I
— ...... — ------------------------ -
—
Функция такого вида, т. е. отображение из произвольного
множества в числовое, называется функционалом.
Простейший пример функционала — выставление оценок за про­
верочную работу в вашем классе: каж дому ученику по специальному
правилу ставится в соответствие некоторое число — его оценка. Что пред­
ставляет здесь собой область определения и что — область прибытия?
Приведите еще несколько примеров функционалов из курса гео­
метрии.
П р и м е р 4. Пусть Х = Л Г — множество всех натуральных чисел, а У = К —
множество всех вещественных чисел. Пусть д, е К и Ь в К — ф иксиро­
ванные вещественные числа. Поставим каждому п е N в соответствие
число у = йп + Ь. Получим функцию с областью определения N . (Что
представляет собой последовательность значений этой функции?) Н
Пример 5. Если в условиях предыдущего примера взять X = К, а все
остальные параметры оставить прежними, то каж дому числу х е К
окажется поставленным в соответствие число у = Лх + Ъ. Это уже дру­
гая функция! (Что это за ф ункция?) 1®
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.................
— --------------------- --- -----
Две функции 1\лд называются равными или совпадающими,
если они имеют одну и ту же область определения X и для
каждого значения аргумента х е Х значения этих функций
совпадают: \/х 0 е X Ц х 0) = д (х0).
Пример 6. Пусть заданы ф ункции /: К —►К и §: К —►К. При этом
каждая из функций сопоставляет числу его куб. Таким образом,
1(х) = х 3 и §(1) = I3. Разумеется, данные функции равны, несмотря на
то, что в их формульной записи мы использовали разные буквы для
обозначения аргумента. ®
О Неважно, какой буквой обозначен аргумент, важ но, какие зна­
чения ему соответствуют!
З а м е ч а н и е . У представляет собой множество элементов, среди ко­
торых обязательно содержатся все значения рассматриваемой ф унк­
ции. Однако здесь могут быть и «лишние» элементы, не являю щ иеся
значениями функции. Остановимся на этом чуть подробнее.
172|_Глава IV. Функция. Основные понятия
Пример 7. Рассмотрим /: К —►К и §: К
К, такие, что /(х ) = х 2 и
8(1) = г3. Д ля функции / отрицательные значения I/ не соответствуют ни
одному значению аргумента х. В то ж е время для функции § каждое ве­
щественное значение у соответствует значению г, такому, что 8(1) =у.
П оэтому для ф ун кц ии / в ее области прибытия «лишними» являются
все отрицательные числа, а для функции 8 «лишних» чисел нет. 18
2. Образы и прообразы элементов и множеств.
Виды функций
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
(
—........ ............ .................... ....... ........ ... .................... — ——
Если при отображении
X —►У элемент х0 е Х переходит
в элемент у0 е У, то говорят, что у0 есть образ элемента х0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
-------- — .........
-................ ...... .................. ...........................
Образ множества А а Х называется множеством образов
всех элементов х е А. Образ множества А обозначает­
ся ^(Л)'
Г ( А ) = { у е У \ у = Г( х) , хеА} .
Нередко по заданному значению у 0 е У приходится находить соот­
ветствующее значение аргумента, т. е. решать относительно х уравнение /(х) = у 0.
Это уравнение может иметь не одно, а несколько и даж е бесконеч­
но много реш ений (а может и не иметь ни одного).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
...........................
........................................... ................................
Пусть у0 € У. Множество
всех элем
каждого из которых является у0, называется прообразом
элемента у0 и обозначается М (у0):
(Уо) = {* е X | Цх) = у0}.
З а м е ч а н и е . Прообраз элемента может оказаться и пустым мно­
жеством!
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Прообразом множества В с У называется объединение
прообразов всех элементов у е В. Прообраз множества В
обозначается
(В).
Можно сказать и проще: прообраз множества В — это множество
всех элементов х е X , для которых /(х ) е В:
Г-1
(В) = {х е X | / (х) €
ц [_ § 2 2 . Понятие функции
Пример 8. Рассмотрим функцию у = х 2. Образом элемента х = 2 будет
у = 4. Прообраз элемента у = 4 состоит из двух чисел х = -2 и х = 2,
т. е. / _1(4) = {-2; 2}. Образом отрезка [1; 2] является отрезок [1; 4],
т. е. /([1; 2]) = [1; 4], а прообразом отрезка [1; 4] будет объединение от­
резков [-2; -1] и [1; 2], т. е. / - 1([1; 4]) = [-2; -1] и [1; 2]. ®
Рассмотрим теперь отображение, приведенное в примере 1. Прооб­
разом данной окружности будет множество всех треугольников, опи­
санных около нее.
В примере 2 имеем дело с отображением, при котором, например,
образом множества прямоугольных треугольников с фиксированной
гипотенузой будет множество, состоящее из одной окружности, по­
строенной на этой гипотенузе к ак на диаметре. Понятно, что при этом
прообразом такой окружности будет множество всех треугольников,
вписанных в данную окружность, а не только прямоугольных с ф икси­
рованной гипотенузой.
П р и м е р 9. Пусть / ( х ) =
— . Найдем / -1
Искомое множехг + 1
ство -
И
это множество тех х, для которых ,<х) е [1 ; 2]. Д ля нахожде-
ния этих х достаточно реш ить неравенство —^
^ 2. Реш ив это
—• 2 = [-1; 1]. И
2’
Другой подход к отысканию прообразов множеств излож ен в § 26.
неравенство, получим х е [-1; Ц. Ответ:
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е - .................... ....... ...... ............................ ................ .......... ......................
Образ всей области определения функции
т. е.
образ самого множества X, называется множеством значений
функции и обозначается Е(Т)\
Г(Х) = Е(Г).
Для удобства записи область определения функции / обознача­
ется !>(/). Таким образом, для /: X —►У имеем ! ) ( /) = X .
Множество значений функции всегда содержится в множестве У,
но не обязательно совпадает с ним. (Это несовпадение множества У
и множества значений функции можно видеть в примере 7. Другие
примеры появятся несколько позже.)
Рассмотрим вопрос о нахождении множества значений некото­
рых функций. С некоторыми частными случаями вы уже встречались в
курсе 9 класса, в частности с задачей о множестве значений квадратич­
ной функции. Все рассуждения и примеры были связаны почти исклю ­
чительно с графическими представлениями. О графическом образе мно­
жества значений функции мы упомянем позже (см. рис. 4.23 в § 25).
Выясним, как найти ^ ( / ) , если ф ункция задана формулой.
174| Глава IV. Функция. Основные понятия
Найдем множество значений ф ункции /(х ) =
По
х 2+ 1
определению Е({) есть образ области определения функции !)(/)• В на­
шем случае Л (/) = К. Число а принадлежит Е (/), если прообраз а не
пуст, т. е. если уравнение /(х ) = а имеет хотя бы одно решение. Иначе
говоря, нужно выяснить, при каки х значениях а разрешимо уравнеОС
ние —
= а , или а х 2 - х + а = 0. Если а = 0, то уравнение линейное,
х 2+ 1
и его решение х = 0. Если а * 0, то уравнение квадратное, и разре­
шимо если его дискриминант неотрицателен, т. е. 1 —4 а 2 ^ 0, откуда
Пример
10.
ае
^
Ответ:
Объединяя эти два случая, получим а е
Еф =
|
®
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если множество У все целиком состоит только из образов
элементов множества X, то говорят, что функция 1 отобра­
жает множество X на множество У.
Иначе говоря, ф ункция ? отображает множество X на множество У,
если прообраз каждого элемента у 0 е У не пуст, т. е. для любого у 0 из У
найдется по крайней мере один элемент х 0 е X , такой, что /( х 0) = у0; ко­
роче это можно сказать так: У = /(X ).
Разницу между отображениями X в У и X на У иллюстрирует ри­
сунок 4.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Отображение 1\ X —* У называется вза­
имно однозначным, если образы раз­
личных элементов различны:
\/хь х2еХ х^ ф х 2 -> Цх^) Ф Т(х2).
отображение X
в
У
Иначе говоря, при взаимно однознач­
ном отображении различны м значениям
аргумента обязательно соответствуют раз­
личные значения функции!
В разговорной речи математики упот­
ребляют выражение: взаимно однозначное
отображение «не склеивает точки».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рис. 4 .1
................ ...........................................
Если /"есть взаимно однозначное ото­
бражение множествах на себя (У=Х),
то такое отображение называется
преобразованием множества X.
I
175 §23. Способы задания функции. График функции.
Некоторые элементарные функции
Взаимосвязь между различны ми видами функций (отображений)
иллюстрирует следующая схема:
З а м е ч а н и е . С этого момента мы будем, как правило, рассматри­
вать функции (отображения), для которых как область определе­
ния X , так и множество У (тем самым и множество значений ф унк­
ции) будут числовыми множествами. В таком случае мы говорим о чи ­
словых ф ункциях, которыми и будем заниматься в дальнейш ем в этом
курсе. И так, говоря «функция», мы по умолчанию будем иметь в виду
именно числовые ф ункции.
0 2 3 . Способы задания функции. График функции.
Некоторые элементарные функции
1. Способы задания функции
Аналитический способ
В математике особое место занимают ф ункции, для которых прави­
ло соответствия носит «операционный» или «аналитический» хар ак ­
тер: оно указы вает на математические действия (операции), которые
нужно в определенном порядке совершить над значением аргумента х,
чтобы получить соответствующее значение у .
В этом случае функцией, для простоты речи, называют некото­
рое произвольное выражение (формулу), содержащее аргумент х, зна­
ки действий и числа. При этом принимаются следующие соглаш ения:
а)
за область определения функции принимается множество всех
вещественных чисел, при подстановке которых в формулу все матема­
тические операции выполнимы (в множестве К) (такая область опреде­
ления называется естественной);
17б| Глава IV. Функция. Основные понятия
б) за множество У принимается множество всех вещественных чи­
сел (иначе говоря, результатом каж дой операции, указанной в форму­
ле, является вещественное число);
в) если число а принадлежит области определения, то значение
функции при х — а есть число, получающееся, если подставить в фор­
мулу значение х = а и выполнить указанные действия.
Примеры ф ункций, заданных подобным образом:
у - 2 х + 1;
у = х 2 + х + 1;^
Ф ункция может быть задана различны ми формулами на разных
промеж утках. Подробнее об этом будет сказано в пункте «Кусочное за­
дание ф ункции».
З а м е ч а н и е . Имеет смысл среди аналитических способов особо
выделить неявный способ задания функции, когда ф ункция задается
уравнением Р ( х , у ) = 0 (неявной функцией), где каждое значение
аргумента х и соответствующее ему значение функции у являются ре­
шением данного уравнения. Иногда из этого уравнения можно выра­
зить у через х , т. е. перейти к заданию функции формулой у = /(х), но
далеко не всегда! Вообще говоря, уравнению Р ( х , у) - 0 может удовле­
творять не одна, а множество ф ункций.
П р и м е р 11. Уравнением у 2 - 2ху + х 2 = 0 неявно задается функция
у = х, а уравнением у 2 - 2х у + х 2 = 1, к ак минимум, две функции
у = х + 1 и л = х - 1 (укаж ите еще хотя бы одну функцию, заданную
этим соотношением). Н
В общем виде вопрос о том, к ак по виду соотношения Р( х, у) = О
определить, задает ли оно одну функцию, несколько функций или во­
обще ни одной, является весьма сложным и в нашем учебнике иссле­
дован не будет.
Табличны й способ
Если область определения представляет собой конечный набор чи­
сел (элементов), то функциональную зависимость можно описать, на­
пример, с помощью таблицы.
Примером табличного способа задания функции является колонка
годовых оценок в классном журнале. Областью определения этой функ­
ции является множество учеников класса, а областью прибытия — мно­
жество {1; 2; 3; 4; 5}. При этом мы понимаем, что множеством значе­
ний этой функции в хороших классах служ ит множество {3; 4; 5}.
О писательный способ
Ф ункции, заданные описательным способом, приведены в приме­
рах 1 и 2 предыдущего параграфа.
Графический способ
Н а практике часто соответствие между значениями аргумента
и значениями ф ункции задается с помощью рисунка. С этим способом
вы уже знакомы .
Д |_§23. Способы задания функции. График функции.
Некоторые элементарные функции
-■■■■ - ............
.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ---------------------------------------
Графиком функции у = Ц х ) называется множество всех то­
чек координатной плоскости, абсцисса каждой из кото­
рых принадлежит области определения 0 (0 , а ордината
есть значения функции, если ее аргумент равен абсциссе
(рис. 4.2), т. е.:
Г,= {(х0\ у0): *0 е 0 ( 0 , У0 = П*о)}-
I
З а м е ч а н и е . Не каж дая ф унк­
ция имеет график, который «мож­
но нарисовать»! Но с таким и слу­
чаями мы встретимся позже, а по­
ка будем работать с «обычными»
функциями.
График функции наглядно и л ­
люстрирует свойства ф ункции, что
мы и продемонстрируем ниж е, по­
сле введения нескольких новых
определений. Например:
Г,= {(х0; у 0):
х0 е
!)(/*),
Уо = /Ч^о)}* где !)(/*) = [а; Ь]
Рис.
4.2
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е -------------------------------------
Корнями функции у=Т( х)
Г(х) = 0.
называются корни уравнения
З а м е ч а н и е . Иногда вместо
слова «корни» употребляется тер­
мин «нули ф у н к ц и и ».
Иначе говоря, корни функции
У= Н х ) — это такие значения х,
при которых /(х ) = 0. Графически
это, естественно, абсциссы точек
пересечения графика ф ункции /
с осью Ох (рис. 4.3).
Рис. 4.3
П араметрический способ
Параметрический способ задания ф ункции — это задание значе­
ния у как функции от х с помощью системы уравнений такого вида:
х = /(г), где /(г) и
— некоторые функции,
у = §Ц), где I е М (М — некоторое числовое множество).
При этом переменная I называется параметром. Если удается исклю ­
чить параметр I из системы, можно получить аналитическое задание
функции.
178; Глава IV. Функция. Основные понятия
Гх —
—21 “I- 3
Система \
9
задает функцию, явны й вид которой
[у = Ь2 - 1
можно получить, исключив параметр I из системы. Именно: из пер­
вого уравнения находим I — — . Подставив найденное выражение во
Пример
12.
(ос - гЛ2 1
второе уравнение, получаем у = I —-— I - 1. ®
При параметрическом задании бывает сложно выяснить, задается
ли данной системой ф ункция.
2. Некоторые элементарные функции
Элементарные функции — это небольш ая группа функций, отли­
чаю щ ихся своей простотой и широкой областью применения.
Перечислим некоторые из таких элементарных функций, извест­
ные из курса математики 7—9 классов, а в последующих главах изу­
чим новые элементарные ф ункции.
1. Степенная функция у = х г, где г — фиксированное число.
Вы изучали степенную функцию у = х п с натуральным показате­
лем и целым показателем. В следующей главе будут рассмотрены сте­
пени и с рациональным показателем у = х г, г е ф . Частными случаями
степенной функции являю тся ф ункции вида у = л/х, у = л/хт , у = —==
Щ
и т. д.
^ хт
2. Целые рациональные функции, или многочлены, — функции
вида у = а пх п + ап_ 1х п~ 1 + ... + а хх + а 0, где а 0, а х, ..., ап е К
и пе N.
Среди этих функций особо выделим следующие:
а) константа у = а, где а е К;
б) линейная функция у = к х + Ъ, где к, Ь е К;
в) квадратичная функция у = а х 2 + Ьх + с, где а ^ 0.
3.
Дробно-рациональные функции — ф ункции вида
апх п + а„
... + ап
т. е. это ф ункции, представляющие собой отношение двух много­
членов.
Из этих функций мы чащ е всего имели дело с дробно-линейной
ах + Ъ
функцией у - -------- .
сх + <2
Все перечисленные функции относятся к классу элементарных
алгебраических функций.
179 §23. Способы задания функции. График функции.
Некоторые элементарные функции
3. Кусочное задание функции
Пусть ф ункция / задана аналитически. Заметим, что она может
быть задана различны ми формулами на разны х участках области опре­
деления. В этом случае мы говорим о кусочном задании ф ункции1.
х + 1, если х < О,
Приме р 13. Построим график функции /(х ) = 1 - х , если 0 ^ х < 1,
2х - 2, если х ^ 1.
□ Чтобы построить график этой ф унк­
ции, нужно построить:
часть прямой у —х-\-1, соответствующую
отрицательным значениям х,
часть прямой у = 1 - х , соответствующую
значениям х е [0; 1), и, наконец,
часть прямой, соответствующую значе­
ниям х ^ 1 (рис. 4.4). Ш
1.
Самая «знаменитая» из кусочно за­
данных функций — это модуль числа х:
\ х , если х > О,
/ ( * ) = |* |=
если х < 0.
З а м е ч а н и е . Легко видеть, что та же
функция задается и в такой форме:
если х > 0,
если х < 0.
График этой ф ункции представлен
на рисунке 4.5.
2. Ф ункция,
задаю щ ая з н а к чис1, если х > 0,
ла х: Дх) = 8 1 &пх = 0, если х = 0,
-1 , если х < 0.
График этой ф ункции приведен на
рисунке 4.6 (здесь и далее стрелка на гра­
фике означает, что ее острие не принад­
лежит графику). Верны следующие соот­
ношения: X = \х \ • 8 1 &ПХ, |х | = X • 8 1 &ПХ.
У1\
У = 81&П X
1
X
0
-1
Рис.
4 .6
Интересно, что такие функции стали рассматривать только в середине
XIX в., когда и было уточнено, что такое функция. До этого под функцией
подразумевали нечто, заданное формулой.
1801 Глава IV. Функция. Основные понятия
3. Ц е л а я часть числа х:
Г(х) = [х],
где [х ] — наибольшее целое число, не
превосходящее х. Иногда эту функцию
называют «антье х» (см. график на ри­
сунке 4.7).
Обратите внимание, что [-1,3] = -2
(иногда ошибочно считают, что [-1,3]
равно -1 ).
4. Дробная часть числа х:
= {*}.
Эта ф ункция определяется как раз­
ность ф ункций, определенных выше:
{х} — х — [х ] (см. график на рисунке 4.8).
Все понимают, что {3,7} = 0,7. Однако
требует осмысления, что {-3,7} = 0,3 (по
определению, так как [-3 ,7 ] = -4 ).
© 2 4 . Некоторые свойства функций
1. Ограниченность функций
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
..................................................................................
■
1. Функция
х)называется ограниченной сверху, если су­
Ц
ществует такое число В е й , что для всех х из области опре­
деления функции выполняется неравенство Цх) < В, т. е.
ЗВ е й : \ / х е 0(Г) Г( х) ^В.
2. Функция Цх) называется ограниченной снизу, если су­
ществует такое число Л е й , что для всех х из области
определения функции выполняется неравенство Цх) >А, т. е.
ЭЛ е Я: Ухе 0 ( 0
А.
3. Функция Цх) называется ограниченной, если она одно­
временно ограничена сверху и снизу, т. е. существуют такие
числа Л, В е й , что для всехх е О выполняется двойное не- 1
равенство А < Цх) < В, т. е.
ЭЛ,
ВУ
: хе 0 (0 А< Г ( х ) * В .
ей
Геометрически определение 1 означает, что весь график лежит
ниж е прямой у =
В ,если ф ункция ограничена сверху числом
1811 §24. Некоторые свойства функций
Аналогично, если ф ункция ограничена снизу числом А , то весь
график лежит выше прямой у = А .
Геометрически определение 3 означает, что график функции леж ит
в полосе между прямыми у = А и у = В, т. е. выше прямой у — А и ниж е
прямой у = В.
Можно переформулировать введенные определения с помощью
определений § 6.
Функция называется ограниченной сверху, снизу или просто огра­
ниченной, если множество значений ф ункции соответственно ограни­
чено сверху, снизу или просто ограничено.
Замечание. Очевидно, что определение ограниченности функции
равносильно следующему: ф ункция /(х ) ограничена тогда и только то­
гда, когда ЗС е К : \/х е В (/) |/( х ) | ^ С.
С этими определениями связаны еще два:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
----- ------------ ----------------------- ---------------------------- ---------- ----------------
Если существует такая точка х ^ е 0 ( 0 , что для всех х е 0 ( 0
выполняется неравенство Цх) ^Цх^) = М, то говорят, что функ­
ция Цх) в точке X! принимает наибольш ее зн ачен ие, а само
число М = Т(х^) называется наибольшим значением функции.
Обозначение: М = шах /(х ).
хеЛ(Г)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ •
—
---------- ------------------- -------------------- — — ----------
Если существует такая точка х2 е О (0, что для всех х е О (О
выполняется неравенство Цх) Т*Цх2) = т, то говорят, что функ­
ция Цх) в точке х2 принимает наименьш ее зн ачен ие, а само
число /77= Цх2) называется наименьшим значением функции.
Обозначение: т = т т
х е Л (/)
/(х ).
Замечание. Очевидно, наибольшее и наименьшее значения ф унк­
ции являются соответственно максимальны м и минимальным элемен­
тами ее множества значений.
Некоторые случаи, связанные с наличием наибольш их и наимень­
ших значений, показаны на рисунках 4 .9 —4.11.
Уп
ЩГ) = [а;Ъ]
М = ш ах Д х ) —наибольш ее значение
*€ [а, ь]
ф ункции Д х ) на ГК/}
т = пип Д х )
Х€ [а’Ь]
- наим еньш ее значение
ф ункции Д х ) на В(/)
Щ7) = [т 'у
—м нож ество значений
ф ун к ци и Д х )
Рис. 4.9
182| Глава IV. Функция. Основные понятия
ЩГ) = [а; Ь1
Е(Г) = [ т ; с ) и Ы ; М ]
Рис. 4.10
Замечания. 1) Даже у ограни­
ченной ф ункции может не быть наи­
большего и наименьшего значений
(рис. 4.11).
В то ж е время, если функция
/(х ) ограничена, то множество значе­
ний функции Е ( /) ограничено свер­
ху и снизу. Но тогда оно имеет точ­
ные верхнюю и нижнюю границы,
которые обозначаются соответственно
зир /(х) и
Д х ) . Возникает вопхе О(Г)
хеО(Г)
рос о достижимости этих точных гра­
ниц. Если функция принимает свое
наибольшее значение в точке х0 е Р(1),
то одновременно достигается и точная
верхняя граница:
зир /(х ) = т а х /(х ) = /( х 0).
х € -0(0
Ф ункция /( х ) ограничена,
но наибольш ее значение М
и наим еньш ее т не достигаю тся:
т < К х ) < М V хе[а;Ь ]
Е(/) = ( т ; с]Ц[с1;М)
Рис . 4. 7 7
*€П (Я
Аналогичное рассуждение верно для
точной ниж ней границы.
2)
Можно рассматривать функцию
не на всей области определения, а на
некотором подмножестве С с 2) (/).
(Иногда говорят о сужении функции
/(х ) на множество С, имея в виду
функцию ^г(х), определенную следую­
щ им образом: Ух е С §( х) = /(х).)
Все сказанное выше, включая все
определения и терминологию, сохра­
няется для этого случая. То есть мы
говорим об ограниченности функции
на множестве С и о наибольшем и
наименьшем значениях функции на
множестве С , которые имеют обозна­
чения ш а х /(х ) и пип / (х) соответхе
С
х е
О
ственно, и т. д.
2. Монотонность и экстремумы функции
Представляется естественным назвать функцию возрастающей на
некотором множестве (целиком леж ащ ем в области определения), если
при увеличении значения аргумента х на этом множестве увеличива­
ется значение ф ункции. Точнее:
182| §24. Некоторые свойства функций
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е 1 .............................................................
■■■■...........■■■■
Функция
1 называется строго возрастающей на множес
А сО
(Г),если для любых значений аргумента х^ х2 € А,
ких, что х2 > х , выполняется неравенство
> ^(х,).
Обозначение: /(х)Т на А .
В символической записи это определение вы глядит так: ф ункция /
строго возрастает на
А а И
( /), если \/х 1? е -> Ц х 2) > Ц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
Функция 1 называется строго убывающей на множестве
А с 0(1), если для любых значений аргумента х,, х2 е Д та­
ких, что х2 > х , выполняется неравенство
< ^(хД
Обозначение: Цх)1 на А .
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е 3 --------------------- ----- ------------
Функция Цх) называется нестрого возрастающей (неубы­
вающей) на множестве
Ас 0
),если для любых значений аргу­
(1
мента х,, х2 е
А,х2 > х^ выполнено неравенство Цх2) > Цх^).
Функция Цх) называется нестрого убывающей (невозрас­
тающей) на множестве А с 0(1), если для любых значений аргу­
мента хи х2 е А, х2 >х, выполнено неравенство Цх2) < Цх^).
Обозначение: Ц х ) / на А для неубывающей функции и / ( х ) \ А для
невозрастающей функции.
— — ......................... .— .
.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е 4 .................................................................
Если функция удовлетворяет одному из предыдущих опре­
делений на множестве А, то говорят, что она монотонна
(в случаях определений 1 и 2 строго монотонна) на множе­
стве А (рис. 4.12).
П ром еж утки монотонности:
/(х) | на [ тпх; т2] и на
/(*:)♦ на [ а ; т х] и на
Рис. 4 .1 2
[тг; Ь]
[т2;тг]
1841 Глава IV. Функция. Основные понятия
В случае, если множество А является промежутком, то мы гово­
рим о промежутке монотонности.
З а м е ч а н и я . 1) Обратите внимание на то, что на рисунке 4.12 точ­
ка т 1 вклю чена в оба промежутка монотонности, общей границей ко­
торых она является.
2)
В ходе дальнейшего изложения под словосочетанием «возрастаю
щ ая функция» мы будем подразумевать строго возрастающую функцию.
Ф ункция может иметь множество промежутков монотонности
(а может не иметь и ни одного, даже если определена везде на К).
П р и м е р 14. (Ф ункция Д ирихле.) Определим функцию Л (х ), заданную
на Л, следующим образом: если х — иррациональное число, то
Л (х ) = 0, если же х — рациональное число, то Л (х ) = 1.
Эта ф ункция — один из важ нейш их примеров во всем курсе. Она
служ ит контрпримером ко многим утверждениям.
Очевидно, что на любом промежутке ф ункция Дирихле бесконеч­
но много раз «скачет» от 0 к 1 и обратно. Поэтому у нее нет ни одного
промежутка монотонности. Н
Заметим, что ф ункция, возрастающ ая, например, на двух раз­
личны х промеж утках, вообще говоря, не является монотонной на их
объединении. Классический пример — ф ункция у =
она строго
убывает на откры ты х лучах ( - о о ; 0) и (0; + о о ), но вовсе не монотонна
на их объединении (если взять точки х г = -1 и х 2 = 1, то х г < х 2, но
при этом у ( х г) < у ( х 2)\) Эту функцию называют кусочно убывающей.
Пример кусочно возрастающей функции — ф ункция у = {х}.
К ак определять промежутки монотонности функций, показывает
следующий пример.
сторическии комментарии
Дирихле Петер Густав Лежен (1805—1859) — немецкий математик. В мо-4
лодости был домашним учителем в Париже, где учился у Ж. Фурье. Затем
был профессором Берлинского и Геттингенского университетов. Доказал
ряд известных теорем, в частности о том, что в бесконечной арифметиче­
ской прогрессии натуральных чисел с взаимно простыми разностью и пер­
вым членом встречается бесконечно много простых чисел. Также известен
огромным количеством результатов в анализе и математической физике.
Широко известен «принцип Дирихле», применяемый в большом числе
задач и в шутливой форме звучащий так: если в к клетках сидят пк + 1 кроли­
ков, то хотя бы в одной клетке сидят хотя бы п + 1 кроликов.
Пример
15.
Найдем промежутки монотонности функции /(х ) = * + ^
□
Рассмотрим два значения аргумента х и х + а, где а > 0. Наша
задача — определить такие промежутки на области определения функ-
I
ж
§ 24. Некоторые свойства функций
ции, что если х и х + а одновременно принадлеж ат этим промеж ут­
кам, то разность /( х + а) - /(х ) имеет определенный знак. В зависимо­
сти от того, каков этот знак, промежуток будет либо промежутком
возрастания, либо промежутком убывания функции /(х ).
Рассмотрим разность
-
/(х + а ) - /(х) = х + а + —^------ х - — = а
---- = а \ 1 ---------------- 1.
7
х +а
х
х(х + а)
х(х + а),!
Множитель а, будучи положительным, не влияет на знак вы раж ения.
.
Значит, нужно исследовать знак величины 1 ----------х(х + а)
Так как область определения функции делится точкой х = 0 на две
части, разумно искать промежутки монотонности в каж дой из этих
частей отдельно.
Пусть х > 0. Тогда знак вы раж ения 1 ---------------определяется знах(х + а)
ком выражения х (х + а) - 1. Если а достаточно мало, то выраж ение
х(х + а) — 1 мало отличается от вы раж ения х 2 - 1. При х ^ 1 это вы ра­
жение неотрицательно, а при 0 < х < 1 — неположительно. Таким об­
разом, разумно предположить, что на промежутке [1; + о о ) ф ункция
возрастает, а на промежутке (0; 1] убывает.
Действительно, пусть х и х + а одновременно, например, не мень­
ше 1 (отметим, что при этом х + а будет строго больше 1). Тогда вы ра­
жение х (х + а) - 1, очевидно, будет положительно.
Аналогично, если положительные х и х + а одновременно мень­
ше 1 (отметим, что при этом х будет строго меньше 1), то выражение
х(х + а) - 1 будет отрицательно.
Точно так же (проведите рассуждения самостоятельно) получим,
что на промежутке ( - о о ; -1 ] ф ункция убывает, а на промежутке
[-1; 0) — возрастает. 81
Для монотонных ф ункций имеет место следующ ая простая, но по­
лезная теорема:
ТЕОРЕМА
П
..................
— ....- .......— ---------------------
^
Пусть Г(х) — строго монотонная функция на множестве А. Тогда
{(х) — взаимно однозначная функция на множестве А.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х г Ф х 2. Требуется доказать, что
/(хх) Ф / ( х 2). Не ум аляя общности, можно считать, что х х > х 2. Если
/(х) — возрастающ ая ф ункция, то ^ ( х г) > / ( х 2), а если убываю щ ая, то
Нхх) < Н х 2)- В любом случае / ( х х) Ф / ( х 2). ®
Доказанная теорема позволяет, в частности, применять монотон­
ную функцию к обеим частям уравнения и получать уравнение, равно­
сильное исходному, поскольку равенство значений взаимно однознач­
ной функции равносильно равенству аргументов.
Особый интерес представляют точки области определения, разде­
ляющие промежутки возрастания и убывания, т. е. точки, в которых
186 Глава IV. Функция. Основные понятия
меняется характер монотонности функции. Такие точки естественно
вклю чать одновременно как в промежутки возрастания, так и в проме­
ж утки убывания. Так, мы будем говорить, что ф ункция у = х 2 убывает
на луче ( - о о ; 0] и возрастает на луче [0; + о о ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1 ------------------------------------------------------------------------------------------------
Точка х0 е О (7) называется точкой ( строгого) максимума функ. ции, если существует такой интервал (х0 - 8; х0 + 8) е 0(7),
что для всех х из этого интервала, кроме самой точки х0, вы, полняется неравенство 7(х) < 7(х0).
Само значение /( х 0) в этом случае называют значением максимума
функции (или просто максимумом).
З а м е ч а н и е (о терминологии). Интервал (х0 - 8; х 0 + 8) называ­
ется 8-окрестностью точки х 0 и обозначается Г/§(х0). Можно рас­
сматривать этот интервал как аналог круга, тогда говорят об окре­
стности точки х 0 (с центром х 0) радиуса 8.
Таким образом, ф ункция достигает максимума в точке х 0 е !>(/),
если 38 > 0: 1) 17&(х0) = (х 0 - 8; х 0 + 8) с: 0 ( / ) и 2) Ух е О§(х0) х Фх0
вы полняется неравенство /(х ) < / ( х 0).
Можно еще для удобства ввести понятие проколотой 8-окрестно­
сти точки х0:
^8 (*о) = {*1 I* х<
\о 8, X
хФ0} или й 5 (х0) = (х0 - 6;+5)\{л
Тогда можно переписать определение следующим образом:
х 0 е В (/) — точка максимума ф ункции /, если найдется 8-окрест­
ность X]§(х0) точки х0, что: 1) Е/б(х0) с В ( / ) и 2) для всех х из проколотой окрестности 17ь (х0) выполняется неравенство /(х ) < /( х 0). |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
-------------- ------------------- ------------------------------------ -------------------
Точка х0 е О (7) называется точкой (строгого) минимума функ­
ции, если существует такой интервал (х0 - 8; х0 + 8) е 0(7),
что для всехх из этого интервала, кроме самой точки х0, вы­
полняется неравенство 7(х) > 7(х0).
Иначе говоря, в точке х0 е 0 ( / ) ф ункция / достигает минимума,
если 38 > 0: 1) О5 (х0) с 0 ( / ) и 2) Ух е 176 (х0) /(х ) > / ( х 0).
Точки минимума и максимума объединяются общим термином
«точки экстремума». Еще раз подчеркнем, что, когда мы говорим
«точки экстремума», речь идет о точках оси Ох, а не о точках плоско­
сти (рис. 4.13)!
I
|^ _ § 2 4 . Некоторые свойства функций
Из определения видно, что на­
личие экстремума функции в точ­
ке х0 зависит исключительно от
поведения функции в некоторой
окрестности точки х 0. Такие свойст­
ва называют локальны ми, поэтому
иногда объекты, введенные выше,
именуют точками локального экс­
тремума. Данные понятия ни в коем
т и т 2ут 6 —точки экстрем ум а
случае не следует смешивать с по­
т
2 —точка м аксим ум а
нятиями наибольшего и наимень­
шего значений ф ункции на проме­
т 1 и т г —точки м иним ум а
жутке или на всей области задания.
Это можно пояснить так: для Рис. 4 .1 3
функции, график которой есть к р и ­
вая без разрывов, точки локальны х экстремумов соответствуют верш и­
нам «холмиков» и «впадин» (это их абсциссы). При этом вовсе не обяза­
тельно, чтобы вершины «холмиков» леж али выше, чем все остальные
точки графика!
В определениях существенно, чтобы точка х 0 была внутренней точ­
кой того промежутка, где ф ункция задана. Поэтому, например, для
функции, заданной на отрезке [а; Ь], ни точка х = а, ни точка х = Ъ не
являются точками экстремума, хотя значения функции в этих точках
могут быть больше (меньше) всех значений ф ункции на [а; Ь]1 (См. ри ­
сунок 4.13, где представлен график функции, наибольшее значение ко­
торой достигается в точке 6, но х = Ь
не является точкой максимума.)
Но некоторая связь здесь име­
ется: для оты скания наибольшего
значения непрерывной функции
на отрезке [а; Ь] сравнивают зна­
чения во всех точках максиму­
ма, попавших на интервал (а; 6),
и значения / (а) и / (6) на концах
отрезка. Из этих чисел выбирает­
ся наибольшее. Подробный разго­
вор об этом еще впереди.
На рисунке 4.13 видно, что
точки экстремума являю тся общей
границей промежутков возраста­
ния и убывания ф ункции. Однако,
это не всегда так, что показывают
графики на рисунках 4.14—4.17.
х 0 - точка м аксим ум а (хотя характер
м онотонности здесь не меняется:
/( х ) ♦ слева от точки х 0 и справа
от точки л:0).
Зам етим , что ф ункция / ( х ) | на [а; х 0) и
на ( х 0; Ь], но не монотонна на [а; Ь].
Рис. 4 .1 4
I
188 Глава IV. Функция. Основные понятия
х 0 —точка м аксим ум а, при этом
Г(х)\ на [а ; х 0) и /*(*)♦ на (х0 ;Ь)
х0 - точка м аксим ум а
Рис. 4.75
Рис . 4. 76
#0 —точка минимума
Рис. 4 . 7 7
3. Четные и нечетные функции
Рассмотрим некоторые свойства функций, связанные с симметрией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
...................- .................................... .......... .................
.......... ..............
Функция Цх) называется четной, если она обладает двумя
свойствами:
1) ее область определения 0 ( 0 симметрична относитель­
но нуля (т. е. вместе с любой точкой х0еО (/} точка -х 0
тоже содержится в области определения: (-х0)е О (0 );
2) \/х0 е 0 ( 0 выполняется равенство Ц - х 0) = Цх0).
На самом деле второе требование влечет за собой первое. Ведь для
выполнения указанного равенства необходимо, чтобы функция была
определена в точках х 0 и —х 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция Цх) называется нечетной, если она обладает дву­
мя свойствами:
1) ее область определения 0 ( 0 симметрична относитель­
но нуля (\/х0е О (0 (-х0)е О (0 );
\/х0 е 0 ( 0 выполняется равенство Ц - х 0) = - Ц х 0).
Обратим внимание на то, что первым и общим условием в обоих
определениях выступает требование симметричности области опреде­
ления относительно нуля. Тем самым из рассмотрения на четность
можно сразу исклю чить ф ункции, у которых область определения не
симметрична относительно нуля.
Есть ф ункции, не удовлетворяющие ни одному из этих определе­
ний. Такие функции (не являю щ иеся ни четными, ни нечетными) мы
назовем ф у нк ци ям и общего в ид а .
Из определений непосредственно следует, что график четной
функции симметричен относительно оси Оу (поскольку вместе с любой
точкой (х0; у о) он содержит такж е точку (—х 0; у 0)). Аналогично график
189| §24. Некоторые свойства функций
у\
у =№
Дх) - нечетная функция
Рис. 4 .18
нечетной функции симметричен относительно начала координат (вме­
сте с любой точкой (х0; у 0) он содержит точку ( - х0; - у 0), симметрич­
ную первой относительно начала координат) (рис. 4.18).
Примеры четных функций: у = |х |, у = х 2, у = —-----, у = х 4 - х 2,
хг + 1
любой многочлен, все показатели степеней одночленов которого четны.
Примеры нечетных функций: у = х, у =
у = х 3, у = 2х - х 3, лю ­
бой многочлен, все показатели степеней одночленов которого нечетны.
Отметим некоторые свойства четных и нечетных ф ункций.
1. Для построения графика каж дой такой ф ункции достаточно
построить половину графика, например, для х ^ 0. Вторая половина
получается симметрией. Эти соображения и наглядные представления
можно использовать для получения свойств (исследования) функций
с такими особенностями.
2. Сумма, разность и произведение четных ф ункций /(х ) и § ( х ),
заданных на одном и том же множестве X , являю тся четными функ/(х)
циями. Если, кроме того, §(х ) ^ 0 на X , то ч а с т н о е
тоже четная
ё(х)
ф ункция.
3. Если /(х ) и §(х ) — нечетные ф ункции, заданные на одном и
том же множестве X , то их сумма /(х ) + §(х ) и разность /(х ) - §(х ) я в ­
ляются нечетными ф ункциями, а произведение /(х ) • §(х ) и частное
/(*) , §{х)
/ \ ^ 0, — четными.
*(*)
4. Любая ф ункция с симметричной относительно нуля областью
определения может быть представлена в виде суммы четной и не­
четной функций следующим образом: /(х ) = ср(х) + \|/(х), гдеср(х) =
/ ( х ) +/ ( - х )
/Чх)-/(-х)
— - — нечетная.
= ------ ------- - — четная ф ункция, а \|/(х) =
^
с*
Все эти утверждения требуют доказательства. Д окаж ите все эти
утверждения самостоятельно.
I
190 Глава IV. Функция. Основные понятия
Можно несколько расш ирить круг вопросов и обратить внимание
на некоторые другие виды симметрий графиков (относительно других
осей и центров). Соответствующие предложения имеются в упражне­
ниях к главе.
П р и м е р 16. Исследуем на четность функцию:
а) Ц х ) = [х ] + |х|; б) Цх) = д/х2 + х + 1 + д/х2 - х + 1.
□ а) Область определения данной ф ункции симметрична относи­
тельно нуля, поэтому приступим к сравнению функций Ц х ) и /(-я),
Рассмотрим х = -1 ,5 . Имеем: /(1 ,5 ) = 2,5, /(-1 ,5 ) = -0 ,5 . Таким обра­
зом, числа /(-1 ,5 ) и /(1 ,5 ) не равны и не противоположны. Значит,
ф ункция /(х ) — ф ункция общего вида.
б) Область определения симметрична относительно нуля. Приступим
к сравнению функций /(х ) и /( - х ) . Заметим, что Ц - х ) = д/х2 - х + 1 +
+ д/х2 + х + 1, что равно /(х ) при всех х. Значит, ф ункция /(х ) четная.®
4. Периодические функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
■■■■■
------------ ----------------- —— ---------—
Функция Цх) называется периодической, если существует
такое число Т > 0, что для любого х0 е 0 ( 0 выполнены сле­
дующие условия:
> 1) числа х0 - Т и х0 + Т принадлежат области определения 0 ( 0 ;
2) значения функции в этих точках равны: Т(х0 - Т ) =
= Цх0 + Т) = Цх0).
При этом число Т называется периодом функции Цх).
|
Пример периодической функции —
У = {*} (рис. 4.19).
Изучение периодической функции до­
статочно ограничить изучением ее на лю­
бом промежутке длиной в период, так как
особенности в ее поведении будут перио­
дически повторяться. Поэтому и для по­
строения граф ика такой функции доста­
точно построить его в пределах одного пе­
риода (на любом отрезке вида [х0; х0+ Г),
а затем, сдвигая построенный кусок впра­
во и влево на Г, 2 Г, ... единиц, получить
график в любой области (рис. 4.20).
Введем теперь понятие основного пе­
риода периодической функции. Непо­
средственно из определения следует, что
1911 §24. Некоторые свойства функций
\/ х е В (/) /( х + 2 Т) = /((х + Т) + Т) = /( х + Т) = /(х ),
/( х + ЗТ) = /((х + 2 Г) + Т) = /( х + 2Т) = /(х )
и т. д.
Таким образом, для любого п = ±1; ±2; ... вы полняется равенство
/(х + аТ) = /(х ). Значит, каждое из чисел п Т (п = 1, 2, 3, ...) такж е
является периодом ф ункции /(х ). К ак мы видим, множество перио­
дов периодической ф ункции бесконечно. Если в этом множестве есть
наименьший элемент (иногда говорят «наименьший полож итель­
ный период»), то его называют гл авн ы м (основным) периодом этой
функции.
З а м е ч а н и е . Не всякая периодическая ф ункция имеет главный
период! Например, ф ункция у — 1, очевидно, периодическая, но не
имеет основного периода. Знаете ли вы еще какие-нибудь примеры та­
кого рода?
Утверждение
—
—— —
—
.........
— .
Если у функции есть главный период, то все ее периоды кратны
ему, т. е. имеют вид пГ, где п — некоторое натуральное число.
д о к а з а т е л ь с т в о .
Пусть Т — основной период периодической
функции /(х ). Рассмотрим некоторый период Т г ф ункции /(х ). Если
он не кратен Г, то существует такое натуральное число п , что
пТ < Т г < (п + 1)Т . (Подумайте, почему п не может быть нулем.)
Докажем, что число Т г — п Т будет периодом функции /(х ). В са­
мом деле, при всех х е ! ) ( /) выполнено /( х + Т г - п Т ) = /( х + Т\) = /(х )
(первый знак равенства из-за того, что п Т — период, а второй — из-за
того, что 7 \ — период).
Осталось заметить, что 7 \ - п Т < (п + 1 ) Т - п Т = Т , т. е. у ф унк­
ции /(х ) нашелся положительный период, меньший Г, что противоре­
чит определению Т как главного периода, т. е. наименьшего среди по­
ложительных периодов. Н
З а м е ч а н и е . Сумма и модуль разности периодов периодической
функции такж е являю тся периодами этой ф ункции.
□
У т в е р ж д е н и е ——
■■■ ■■—— ——............ —........ ........*
............... ———;
Пусть Цх) — периодическая функция, главный период которой
существует и равен Г. Пусть а — положительное вещественное
число. Тогда главным периодом функции Цах) будет число —.
а
□
д о к а з а т е л ь с т в о
.
Т
Достаточно показать, что: 1) число — — период
функции /(а х ); 2) любое меньшее число не является периодом ф унк­
ции /(а х ).
192 Глава IV. Функция. Основные понятия
1) Возьмем любой х из области определения функции §(х) = {(ах)
и рассмотрим цепочку равенств:
+ ^
= /
х + = Нах +
а
/(а * ) =
т
Таким образом, по определению число — является периодом функ­
ции ё(х) .
Т
2) Пусть положительное число Р < — является периодом функции
§(х). Тогда для всех х е
венство подробнее:
§ ( х + Р) = §(х). Напишем последнее ра­
е(х) = 8 ( х + Р) = / ( а ( х + Р)) = /( а х + аР);
с другой стороны, /(а х ) = ё*(х), поскольку мы так определили функ­
цию § ( х ).
Таким образом, при всех х из области определения функции #(дг)
имеем /( а х + аР ) = /(а х ). (Заметим, что х принадлеж ит области опре­
деления функции §(х) тогда и только тогда, когда а х принадлежит
области определения ф ункции /(х ). Поэтому (обозначив у = ах) имеем,
что при всех у из области определения функции /(х ) выполнено:
/(у + аР ) = /(у)). Тем самым число аР является периодом функции
/(х ). Но из предположения следует, что аР < Т , что противоречит
тому, что Т — главный (т. е. наименьш ий положительный) период
функции /(х ). Н
Приведем пример двух периодических функций, сумма которых
не является периодической.
Пример 17. Пусть /(х ) = {х}, а ^ (х ) = {хд/2}. Обе эти функции перио­
дические. Докаж ем, что их сумма Н(х)= {х} + {хл/2} непериодическая
ф ункция.
□ Д ля доказательства непериодичности рассмотрим й(0) = 0. Если
Н(х) периодична с периодом Т, то к ( Т ) = 0. П оскольку каждое из сла­
гаемых, составляющ их к(х ), неотрицательно, то их сумма также неот­
рицательна, причем равна 0 тогда и только тогда, когда каждое сла­
гаемое равно 0.
Таким образом, {Т} = 0 и {Тл/2} = 0. Но дробная часть числа равнаО
тогда и только тогда, когда число целое! Поэтому целыми должны быть
числа Тд/2 и Т . Тогда л/2 будет равен отношению двух целых чисел Ту/2
и Г, что невозможно, так как
— иррациональное число. Получен­
ное противоречие доказывает, что ф ункция к (х) непериодична. И
В общем случае доказать непериодичность функции бывает нелегко.
Например, попробуйте доказать непериодичность разности {хл/2 } - {4
!93| §25. Графическое решение уравнений и неравенств.
Количество корней уравнения Цх) = а
025.
Графическое реш ение уравнений и неравенств.
Количество корней уравнения Ц х ) = а
Пусть даны две функции Ц х ) и §(х)
и построены их графики в одной систе­
ме координат. Понятно, что в точках пе­
ресечения графиков значения функций
равны при одном и том же значении аргу­
мента. Такая графическая интерпрета­
ция может оказаться полезной при ре­
шении уравнений, а именно: решениями
уравнения Ц х ) = §( х) в этих условиях
как раз и будут абсциссы точек пересече­
ния графиков Гг и
(рис. 4.21).
В случае неравенств мы имеем анало­
гичную ситуацию. Реш ениями неравен­
ства Ц х ) > §(х) будут все зн ачения х, при
которых график функции у = Ц х ) лежит
выше графика функции у = §(х) (рис. 4.22).
Наконец, рассмотрим часто встречаю­
щуюся задачу: определить число корней
уравнения Ц х ) = а, где число а — пара­
метр, а е К. Д ля этого достаточно постро­
ить график функции у - Ц х ) и в этой же
системе координат рассмотреть всевоз­
можные прямые вида у = а, т. е. прямые,
параллельные оси Ох. Количество точек
пересечения такой прямой с графиком
даст нам количество корней уравнения
Цх) = а при данном значении а, при этом
собственно реш ениями уравнения будут
абсциссы этих точек.
П р и м е р 18. На рисунке 4.23 видно, что
уравнение Ц х ) = а имеет:
при а < - 1 — одно решение,
при а = -1 — два реш ения,
при -1 < а < 3 — три решения,
при а = 3 — два решения,
при а > 3 — одно решение. Н
Таким образом, чтобы решить графи­
чески задачу о числе корней уравнения
Цх) —а в зависимости от значений а,
можно построить график у = Ц х ) и посчи­
тать, сколько раз пересекает этот график
горизонтальная прям ая у = а в зависимо­
сти от расположения этой прямой.
194| Глава IV. Функция. Основные понятия
О 26. Композиция функций. Обратная функция
1. Композиция функций
Введем понятие композиции ф ункций. Заметим только, что это не
принципиально новое понятие, а особенность задания функции форму­
лой. Речь идет о случае, когда под знаком функции / стоит не незави­
симая переменная (например, х), а какая-то другая функция, напри­
мер I = ^(х), со значениями которой и нужно производить операции,
указанные в формуле.
здесь г/ = л/?, где I = — ^
®
\ х 2+ х
х2 + х
Такую подстановку можно описать следующим образом: пусть /
и § — две функции. Подставив под знак функции у = /(^) вместо аргу­
мента I функцию ^Г(х), т. е. I —^Г(х), мы получим новую функцию
у = /(ё ’(х)), которую назовем к о м п о з и ц и е й ф у н к ц и й / и д или сложной
функцией, составленной из функций / и ^ .
При этом / называют внешней функцией, а § — внутренней.
О Важное условие существования композиции: множество значе­
ний внутренней ф ункции Е(§) должно содержаться в области опреде­
ления внешней функции !)(/), т. е. Е й ) с 5 ( / ) (что вполне естественно,
ибо в процессе нахож дения значения сложной функции мы подставля­
ем в функцию / в качестве аргумента все значения функции #).
Таким образом, композиция ф ункций — результат последователь­
ного применения этих ф ункций в определенном порядке.
Часто встречаю щ аяся и удобная в применении запись сложной
функции: ф(дс) = ? ( 8 ( х ) ) = / ( * ) | г =е(х).
Д ля примера
Пример
19. у =— ;
х Ч" 1
Пример 20. а) Дана ф ункция /(х) = ------- . Найдем / ( х 2 + х).
х- 3
х "Ь 1
б) Даны функции /(х ) = ---- и #(х) = х 2 + х. Найдем композиции
х- 3
в) Найдем функцию /(х ), если
при х ^ 1.
□ а) Д ля удобства и понимания реш ения введем промежуточную
переменную I. П оскольку аналитическое задание функции диктует
§ 26. Композиция функций. Обратная функция
кая разница, как называется переменная!). Значит, требуется просто
х2 + х + 1
выполнить подстановку и найти / (^) | *-_ X**+X= / *
I- 3
х2+ х + 1
Итак, /(х 2 + х) =
х2 + х - 3'
—
б)
Поступим так ж е, как и в предыдущем примере. Сначала запи­
шем вспомогательные вы раж ения /(*) = — — и §(1) = I2 + I. Теперь
%
ф(*) = Нё(х)) = Н*)\
=тг!
—о
_ X2 + X + 1
о,
х2 + х - 3 ’
: хг + х
у(*) = 8(Г(х)) = 8 Ю и . т = (*2 + *) | , _*±1=Г
^ 3
ОС
Оу
X
О
= (X - З)2
2х + 1
= I (при х Ф 1). Нас будет интересовать, какие
х- 1
действия нужно произвести с этим г, чтобы получить правую часть
формулы. Д ля этого выразим х через 1: и подставим в правую часть
(схожим образом мы действовали, производя замену при решении
уравнений!):
2х + 1 = Ц х - 1); х =
I Ф2.
в) Пусть
Подставляем это выражение вместо х в исходную формулу и по­
лучаем
'* + I V . п ( *+ 1)
3*2- 3 1 * 2 .
/(*) = г - 2 ) + 2 М - ^ = —---и - 2 ) 2)2
Остался чисто формальный шаг: переименование переменной:
р/ ч
З х 2 — 3
л
и
т = ( 7 Г 2 Г ’ * * 2-®
З а м е ч а н и е . Формально ответом в задаче является бесконечное
множество ф ункций, отличаю щ ихся лиш ь значением в точке х = 2.
Условие х Ф 2 является здесь существенным. Мы не можем ничего ска­
зать про поведение ф ункции /(х ) в точке х = 2. Мы лиш ь установили,
что при х Ф 2 ф ункция /(х ) совпадает с выраж ением в правой части.
Но изначально условия задачи не позволяют узнать, определена ли
функция /(х ) в точке х = 2 вообще (и если определена, то чему равно
ее значение).
О Пример 20, б) показывает, что результат композиции сущест­
венно зависит от того, в каком порядке берутся ф ункции.
196| Глава IV. Функция. Основные понятия
2. Монотонность композиции
....... -.......................
Т Е О РЕМА
*-------—
--- ------
Пусть функция Цх) определена и монотонна на множестве А\
множество ее значений есть множество В (т. е. ЦА) = Б), а функ­
ция д(у) задана и монотонна на множестве В. Пусть
Ф М = д(Ц*))- Тогда:
1. Если функции Цх) на А и д(у) на В имеют одинаковый харак­
тер монотонности, то их композиция ф(х) возрастает на мно­
жестве А.
2. Если функции Цх) на А и д(х) на В имеют разный характер мо­
нотонности (одна убывает, другая возрастает), то их компози­
ция ф(х) убывает на А.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Пусть, например, /(х)1 на А и ^ ( х ) 1 наВ. До­
каж ем , что ф(х) = ^г(/(х))Т на А . Возьмем произвольные х х, х 2 е А та­
кие, что х 2 > х г. Обозначим Ц х г) = у 19 Ц х 2) = у 2. Тогда, поскольку Цх)1
на множестве А , то у 2 < у х. Теперь, в силу убывания ё(у) на множест­
ве В, имеем § ( у 2) > ё ( у г). Но § ( у 2) = ё ( Ц х 2)) = ф (х2) и § ( у 1) = ё (Ц х 1)) =
= ф (хх). Таким образом, ф (х2) > фС^х), а следовательно в силу произ­
вольности выбора х 19 х 2 е А ф ункция ф(х) возрастает на множестве Л.
Доказательства утверждения для случая, когда обе функции воз­
растают, а такж е утверждения пункта 2 полностью аналогичны приве­
денному. Проведите рассуждения самостоятельно. Н
Пример 21. Пусть Цх) = —-—, а §(х) = х 2 - 2х + 3. Определим промех +1
ж утки монотонности функции: а) ф(х) = Цё(х)); б) \|/(х) = ё(Цх)).
□ а) Ф ункция ё ( х ) убывает на луче (-оо; 1] и возрастает на луче
[1; +оо). Ф ункция Ц х ) убывает на каждом из лучей (-оо; -1) и
(-1; +оо). П оскольку Е ( ё ) = [2; +оо), то Ц х ) убывает на Е(§). Тогда на
луче (-оо; 1] ф ункция ф(х) является композицией убывающих функ­
ций, и, тем самым, возрастает на этом луче. В то же время на луче
[1; +оо) ф ункция ф(х) представляет собой композицию убывающей
и возрастающей функций, а потому убывает на этом луче.
б)
Сложнее ситуация с функцией \|/(х) = §( Цх)). Эта функция мо­
ж ет являться композицией двух убывающих функций при тех зна­
чениях х, для которых Ц х ) < 1 (т. е. значения ф ункции Цх) лежат
в промежутке убывания функции ^Г(х)). Реш ив неравенство
< 1,
х +1
получаем х е (-оо; -1 ) II (-1; 0]. Таким образом, \|/(х) возрастает на ка­
ждом из промежутков (-оо; -1 ) и (-1; 0] (но ни в коем случае не на их
объединении! См. с. 184). Аналогично, \|/(х) убывает на луче [0; +оо),
поскольку на этом луче значения Ц х ) попадают на промежуток воз­
растания ф ункции § и, тем самым, \|/(х) становится композицией воз­
растающей и убывающей ф ункций. ®
I
197| § 26. Композиция функций. Обратная функция
3. Понятие об обратной функции
Пусть задана ф ункция у = /(х ). Тогда каж дому числу х0 е П (/) со­
ответствует единственное число у 0 = /( х 0) е Е (/). Если мы по данному
значению функции у 0 захотим найти соответствующее значение аргу­
мента, нам придется решить уравнение /(х ) = у 0, у 0 е Е (/). Такое урав­
нение может иметь не одно, а несколько и даж е бесконечно много
решений. (Множество решений этого уравнения — прообраз элемен­
та у0.) Реш ениями такого уравнения будут абсциссы точек пересече­
ния прямой у = у 0 с графиком ф ункции /(х ). Нас будут особо интересо­
вать условия, при которых такое уравнение будет иметь единственное
решение для каждого фиксированного значения у 0. Тогда отображе­
ние, которое ставит в соответствие каждому элементу у 0 это решение
х0, будет функцией! (Ее-то мы и назовем обратной к данной ф ункции.)
Ясно, что для этого необходимо, чтобы разным значениям аргумента
х соответствовали разные значения аргумента у , т. е. \/х х, х 2 е 1 : х ^ х 2
выполнялось / ( х х) Ф / ( х 2). Именно тогда прообраз каждого элемента у 0
будет состоять из единственного элемента х0. Дадим теперь определение.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ----------------------------------------------------------------------------------------------------
Пусть 1 — взаимно однозначная функция, заданная на мно­
жестве X с множеством значений Е(Т).
Тогда на множестве Е(Т) можно задать функцию /г_1, стаетствие каждому элементу у0 е Е(Г) единствящую в
венный элемен т х0 е X, для которого Т(х0) = у0. Эта функция
-1 называется обратной для функции Т: х = /г-1 (у).
Функцию, у которой есть обратная, называют такж е обратимой
функцией.
Подведем итог: если / — взаимно однозначная ф ункция, то она
обратима, и на ее множестве значений Е( / ) задана обратная ф ункция.
Но мы привыкли обозначать аргумент функции буквой х, а значе­
ния — буквой у . Переходя к таким обозначениям, получаем запись
обратной функции в виде у — / _1(х), х е П ( /-1).
Очевидно, что если § — обратная для /, то / — обратная для §
функция. Поэтому говорят о взаимно обратных ф ункциях.
Примеры взаимно обратных функций разобраны ниже (см. пример 22).
4. Свойства взаимно обратных функций
В рассуждениях данного пункта будем предполагать, что ф унк­
ция / обратима.
Способ нахож дения обратной функции
Чтобы найти функцию, обратную для функции /(х ), достаточно
разрешить уравнение у = /(х ) относительно х, т. е. выразить из этой
формулы х через у (получим х = §(у)) и при необходимости поменять
местами названия переменных (получим у = §(х)).
198 Глава IV. Функция. Основные понятия
Т Е О Р Е М А (свойства взаимно обратных функций)
Пусть х) и д(х) — взаимно обратные функции.
1. Если Цх) — строго монотонная функция, то обратная ей функ­
ция д (х) тоже строго монотонна, причем если /"(х)!, то и д (х )!,
а если ^(х)!, то и д (х)1.
2. При переходе от функции к обратной ее область определе­
ния и множество значений меняются местами: й(д) = Е(Г},
Е(О) = О(0-
3. Графики взаимно обратных функций (если аргумент каждой
из них обозначен за х, а значения откладываются на оси Оу)
симметричны друг другу относительно прямой у = х.
4. Для любого х е С (0 справедливо равенство д (?(х)) = х;
для любого х е 0( д) справедливо равенство 1(д (х)) = х.
Таким образом, композиция взаимно обратных функций есть тож­
дественное отображение на области определения внутренней функции.
д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем свойство 1. Пусть, например, функ­
ция /(х ) строго возрастает на П (/). Мы хотим доказать, что тогда
и ф ункция § будет строго возрастать на П (ё’).
Возьмем произвольную пару чисел у 19 у 2 е П (ё’), таких что у 2 > уг.
П окаж ем, что § ( у 2) > §(У\)> т. е. х 2 > х г.
Докажем от противного: предположим, что это не так, и х 2 ^ х{.
Тогда в силу строгого возрастания ф ункции / имеем / ( х 2) <
т. е. у 2 ^ 1/х, что противоречит условию выбора пары у 2 > у г. Полу­
ченное противоречие доказывает требуемое. А это и означает по опре­
делению, что ф ункция § строго возрастает на П (ё’).
Свойство 2 следует непосредственно из определения обратной функ­
ции.
Свойство 3 тоже вполне очевидно. Вообще говоря, это следствие
переименования переменных. Ведь если бы мы сохранили формулу
х = § ( у ), графики прямой и обратной ф ункций совпали бы! А такая
смена названий переменных определяет как раз симметрию всей коор­
динатной плоскости относительно прямой у = х.
Действительно, точка, симметричная точке М( а; Ъ) относительно
прямой у = х у есть М г (Ь; а). Возьмем точку (х 0; у 0) на графике функ­
ции Гл Тогда у 0 = ?(х0) и х 0 = § ( у 0). Но это означает, что функция §
в точке у 0 принимает значение х 0 и точка (у0; х 0) леж ит на графике
функции Гё. А точки (х0; у 0) и (у 0; х0) симметричны относительно пря­
мой у = х. Значит, и сами кривые
и
симметричны относитель­
но этой прямой (в силу произвольности выбора точки).
Свойство 4 такж е непосредственно следует из определения. По­
ясним это. Возьмем х 0 е В ( / ) , у 0 = /( х 0). Тогда х 0 = § ( у 0). Подставим
в это последнее равенство вместо у 0 его выражение /( х 0). Получим
х о = ё(Уо) —ё ( Н х 0)). Это верно для любого х 0 е П (/). Аналогично до-т|
назы вается и второе тождество. 8!
-----
□
\90{ § 26. Композиция функций. Обратная функция
З а м е ч а н и е . Из свойства 1 следует,
что если ф ункция / строго возрастает,
следствием неравенства /( х 2) > / ( хх) я в л я ­
ется неравенство х 2 > х г т. е.:
Пх ) \
Н х 2) > /(*1> => *2 > х 1Аналогично, если ф ункция / строго убы­
вает, следствием неравенства /( х 2) > ?(хг)
является неравенство х 2< х г т. е.:
Цдг)!
Н х 2)> Н х г) => х 2 < х г.
Приведем несколько иллю страций
к сказанному.
Рис. 4.2 4
Пример 22. Для ф ункции у — Зх - 5 найдем обратную функцию.
Выражая х из уравнения, имеем х _ У + 5 Заменяем названия
3
х+5
переменных: у =
— искомая обратная ф ункция (рис. 4.24). На
□
этом примере несложно проследить выполнение всех четырех свойств.
Проделайте это самостоятельно! Н
Утвержден ие
Строго монотонная функция обратима.
Это следует из теоремы § 24 о взаимной однозначности монотон­
ных функций.
Вспомним из курса 8—9 классов нахождение обратной функции
для функции у = х 2. Очевидно, на всей области К эта функция не я в л я ­
ется обратимой: при любом х справедливо (- х )2 = х 2, т. е. не выпол­
нено требование взаимной однозначности. (Хватило бы и одной та­
кой пары точек, «портящей» обратимость, например х г = -2 , х 2 = 2,
(-2)2 = 22 = 4.) Однако мы договорились, что будем рассматривать
функцию у — х 2 только на полуоси [0; + о о ), где эта ф ункция строго воз­
растает. Получилась фактически новая ф ункция: /(х ) = х 2 на области
2)(Я = [0 ; + о о ). Переопределенная таким образом ф ункция оказалась
обратимой (она взаимно однозначно отображает луч [0; + о о ) на луч
[0; +оо)), и мы ввели новую функцию §{х) = у[х.
Однако луч ( - о о ; 0] ничем не хуж е, ф ункция /(х ) = х 2, заданная на
этом луче, такж е является взаимно однозначным отображением этого
луча на луч [0; + о о ). Найдем обратную функцию для ср(х) = х 2, х е ( -о о ; 0].
Имеем: 1)(ф-1) = Е (ср) = [0; + о о ), Е (ср-1) = Х>(ф) = ( - о о ; 0].
Найдем формулу для обратной функции: решим уравнение у — х 2
относительно х. Вообще, для положительных у уравнение имеет два
корня: х = ±у[у. Но, учитывая условие х е ( - о о ; 0], мы берем в каче-
2001 Глава IV. Функция. Основные понятия
стве ответа только один корень х = - Л[у. Переименовываем перемен­
ные и получаем обратную функцию у = -л/х, или ср-1(х) = -л/х.
На рисунке 4.25 изображены графики двух пар взаимно обратных
функций: на одном у = х2, при х ) 0 и у = л/х, а на другом у = х2, при
х ^ 0 и у — -л/х.
Еще раз отметим, что строгая монотонность функции не являет­
ся необходимым условием ее обратимости. Существуют функции, не
являю щ иеся монотонными, и тем не менее они обратимые. Такова,
в частности, ф ункция из следующего примера.
Пример 23. Найдем обратную функцию для функции у = -------.
х+1
□ Проверим, обратима ли эта ф ункция. Ее область определения
В (У) = (—оо; —1) II (—1; +оо), но она не монотонна на множестве П (у). Она
кусочно возрастает, а именно строго возрастает на (-оо; -1 ) и на
(-1; +оо). Тем не менее ф ункция взаимно однозначная, что проверяется
непосредственно (можно это заме­
тить и на графике: любая горизон­
тальная прям ая пересекает гра­
фик не более чем в одной точке).
И так,
решим
уравнение
у ( х + 1) = х относительно х. Дау
лее, х =
— и после переименова1 -У
ния переменных у =
Графи1 -х
ки обеих функций показаны на
рисунке 4.26. ®
З а м е ч а н и е . Еще раз под­
черкнем, что задание функции не
зависит от того, какой буквой обо­
значена переменная!
201 §27. Элементарные преобразования графиков функций
® 27. Элементарные преобразования графиков функций
1. Преобразования, сводящиеся к линейным
Иногда при построении графиков функций оказы вается возмож ­
ным упростить задачу и воспользоваться ранее известными граф ика­
ми. Далее мы покаж ем, к ак, зная график функции у — /(х ), построить
графики простейших композиций этой ф ункции с некоторыми элемен­
тарными ф ункциями.
Пусть дан график
функции у = /(х ). Построим график
ф унк­
ции у = § (х).
1. §(х) = /(х ) + а, где а е К.
В этом случае
получается из графика
сдвигом (параллельным
переносом) на а единиц вдоль оси Оу (при а > 0 вверх, при а < 0 вниз)
(рис. 4.27).
2. §(х) = /( х + а), где а е К.
График
получается из графика
сдвигом на \а\ единиц вдоль
оси Ох (при а > 0 влево и при а < 0 вправо) (рис. 4.28).
П о я с н е н и е : например, если §(х) = /( х + 1), то
получится из
графика
сдвигом на 1 влево.
3. §(х) - а • /(х ), где а > 0.
График
получается из графика
растяж ением вдоль оси Оу
в а раз, если а > 1, и сжатием в —раза, если 0 < а < 1 (рис. 4.29).
П о я с н е н и е : абсцисса каж дой точки сохраняется прежней,
а ордината умножается на число а . Точки, леж ащ ие на оси Ох, оста­
ются неподвижными (у них ордината равна 0). Вопрос о неподвиж­
ных точках является одним из важ нейш их при разговоре о преобразо­
ваниях!
Рис. 4 .2 7
Рис. 4 .2 8
202{ Глава IV. Функция. Основные понятия
4. §(х) = /(а х ), где а > 0.
График
получается из графика Г^ сжатием вдоль оси Ох в а раз
при а > 1 и растяж ением в ^ раза при 0 < а < 1 (рис. 4.30).
Заметим, что на этот раз неподвижны точки оси Ог/, а значит, на
графике будет леж ать не более одной неподвижной точки!
5. §(х) = -?(х).
График
получается из графика симметрией относительно оси Ох
(рис. 4.31). Таким образом,
представляет собой зеркальное отраже­
ние Г^. К акие точки графика при этом преобразовании остаются непо­
движ ны ми?
6. §(х) = /(- х ).
График
получается из графика симметрией относительно оси Оу
(рис. 4.32). К акие точки графика при этом преобразовании остаются не­
подвижными?
I
2038 §27. Элементарные преобразования графиков функций
7. ё ( х ) = I/(*)!•
График
получается из графика
следующим образом: участки
графика Гг, леж ащ ие выше оси Ох, остаются на месте и берутся в от­
вет, а участки графика Г/9 леж ащ ие в нижней полуплоскости, симмет­
рично отражаю тся в верхнюю полуплоскость (рис. 4.33).
8. #(х) = /(М ).
График Г§ получается из графика Г^ следующим образом: часть гра­
фика в левой полуплоскости отбрасывается; часть графика в правой
полуплоскости (изображаю щ ая неравенство х > 0) берется в ответ, кро­
ме того, она отражается в левую полуплоскость (относительно оси Оу)
(рис. 4.34).
При таком преобразовании мы получаем четную функцию § (это
легко проверяется). График Г^ оказы вается, таким образом, симмет­
ричным относительно оси Оу.
2. Преобразования, не сохраняющие линейность
9. 2 (*)=
/(* )
Рекомендации по построению графика функции §(х).
1. Отметить точки пересечения
с осью Ох. В этих точках ф унк­
ция §(х) не определена. Провести вертикальны е прямые через эти точ­
ки (мы «вырезаем» эти прямые из плоскости: на них не леж ит ни
одной точки графика Г^).
Эти прямые разбивают плоскость на полосы; далее мы будем рас­
сматривать все полосы по отдельности и строить части графика ф унк­
ции § ( х ), попавшие внутрь такой полосы.
2. Отметить точки пересечения графика
с прямы ми у — 1 и
у = -1 . Они останутся на графике ф ункции §Чх).
3. В каж дой полосе, ограниченной прямы ми, построить часть гра­
фика функции ё’(х), попавшего внутрь этой полосы, двигаясь от не-
204 Глава IV. Функция. Основные понятия
/ У к
у = гШ /
У = Кх)
\'
\
-1
Рис. 4.37
0К
подвижной точки (если она здесь
есть) к границам полосы. Образ это­
го куска кривой будет заключен
внутри этой ж е полосы.
Соответствующие примеры при­
ведены на рисунках 4.35 и 4.36.
10. §(х) = /
1
/
-------- X
Все рекомендации по построению
графика
из предыдущего пункта
сохраняю тся (с точностью до замены
вертикальны х прямы х на горизон­
тальные и наоборот) (рис. 4.37).
3. План построения графика функции
с помощью элементарных преобразований
Именно порядок, в котором выполняются преобразования разо­
бранных типов (к которым относятся линейные ф ункции, модуль и
т. е. правильная последовательность этих преобразований, представ­
ляет собой наибольшую сложность. Лучше всего представить требуе­
мую функцию в виде композиции исходной ф ункции / и набора «стан­
дартных» функций Нк. Тогда порядок действий станет ясен, если
помнить о том, что мы не имеем права вставлять «промежуточные»
(27. Элементарные преобразования графиков функций
функции, например, из композиции /г1(/(х )) мы уж е не можем полу­
чить / ^ 1 (/г2(/(л:))). А вот Н2(Н1(/(х))) и Н1 ([ (к2(х))) — допустимые в на­
шем случае композиции.
Продемонстрируем сказанное на примерах.
I----------
Построим график функции у - д/2|х| + 1.
□ Исходная элементарная ф ункция, график которой мы знаем, —
это / ( х) = у[х. Мы хотим получить под знаком радикала функцию
2\х\ + 1. Это можно сделать несколькими способами. Наиболее удач­
ным представляется следующий план:
■П р и м е р 24.
л/х
^ ( х ) = Г ( Х + 1)
л/х +1
у1 2 х
/2 (л:) = / г (2л:) *
+ 1
# 00= /2
\х\ +1.
(И) л/2|
Вспомните, что означает здесь каждое преобразование! Результат
представлен на рисунке 4.38. И
Но этот план не единственный. Что можно изменить в порядке вы ­
полнения преобразований? Предложите еще два плана преобразований!
Пример 25. Построим график функции у = д/| 2х + 1|.
□ Исходная ф ункция та ж е, что и в примере 24: /(х ) = л/х. Можно по­
пробовать, как и в предыдущем случае, «заработать» линейную ф унк­
цию под знаком радикала. Но этот путь приведет в тупик: мы не сможем
взять модуль от вы раж ения 2х + 1! (Проверьте: это не является ни пре­
образованием в и д а^ (х ) = | /(х)| , ни преобразованием вида§*(х) = /(|х |) .)
Однако выход есть: можно сначала получить Д(х) = д/|х|, а по ­
том «превратить» х в выражение 2х + 1:
д/| х +' 1* 11ё( х) = /2 (2л:), л/|2 х + 1|.
Искомый график представлен на рисунке 4.39. В
Здесь, начиная со второго ш ага, тоже возможны варианты. К а­
кие? Отметим, что преобразования в аргументе функции производятся
в обратном порядке при построении графика. Например, чтобы вычисл/х / х ( * ) =
/( М ) ЛМ
1
? 1 ( х + 1) V' ~
У1к
у —V2|х|+1
Ц -^ х + 1
у , ^ х+1
у= 4х
V
-2 - 1 - 1 0 ]
Рис. 4.38
4
'*
Рис. 4 .3 9
Глава IV. Функция. Основные понятия
лить значение вы раж ения 12х - 1 1, нужно взять аргумент х, умножить
его на 2, вычесть 1, затем взять модуль.
А при построении графика у — /(| 2х - 1 |) из графика у = /(х) сна­
чала из графика /(х ) получим график §(х) = / ( | х | ) , затем из графика
§ (х) получаем график § ( х - 1) = к(х) и, наконец, из графика к(х) полу­
чаем график к(2х), который является искомым.
26. Построим при помощи элементарных преобразований гра(х - I)2
~2
ф ики функций: а) у = ------— ; б) у =
(х - I)2
\2
(х-1)2
I
1
□ а) Если преобразовать формулу у — ---- — к виду у —\1----- , то
X*
А2
сразу становится ясен план построения:
( х - I)2
—1
(рис. 4.40, а).
б)
График второй функции можно получить из предыдущего
графика. Однако у этих функций разные области определения
(х -1 )2
х Ф 0, а ф ункция /2 (х) =
в точке
у ф ункции Д(х) =
(х - I)2
х = 0 определена, и ее значение равно нулю. Можно сделать так:
используем тот ф акт, что во всех точках, кроме х = 0, /2 (х ) - ттт»
п(х)
Пример
и построим график функции
; при этом точка х = 0 окажется вы­
Л(*)
колотой. Далее, в точке х = 0 вычислим значение функции у = / 2(*)
непосредственно по формуле и отметим эту точку на координатной
плоскости. Построение закончено (рис. 4.40, б). В
—-
ИЩ_§28. Поведение функции вблизи точек разрыва и в бесконечности.
Понятие об асимптотах
® 2 8 . Поведение функции вблизи точек разрыва
и в бесконечности. Понятие об асимптотах
Теперь разговор пойдет о ф ункциях, графики которых нельзя полу­
чить при помощи элементарных преобразований из заранее известного
набора функций. Построение по точкам не дает точной картины . Но
есть соображения, которые могут дать представление о том, как ведет
себя какая-то ф ункция и как может выглядеть эскиз ее графика.
Можно, например, задаться вопросом о том, к ак ведет себя ф унк­
ция вблизи точек разрыва.
Чем, скаж ем, различается поведение функций
-у 2
у
/ ( *) =- —
х —2
О
у 2 __ у _ 1
и §(х) =
х —2
в окрестности точки х = 2? Обе ф ункции не определены в этой точке. Но
попробуйте изобразить участки графиков этих ф ункций на интервале
(1; 3), взяв большое количество точек очень близко к точке х = 2. Мы
заметим, что значения ф ункции /(х ) очень мало отличаются от 3, если х
близко к 2. А вот значения функции §(х) по
мере приближения к точке х - 2 неограничен­
но увеличиваются (иначе говоря, бесконечно
возрастают) по модулю, причем справа от точки
х = 2 они положительны, а слева отрицательны
(рис. 4.41, 4.42).
Объяснение происходящему можно дать
следующим образом: выделим целые части
в обеих дробях, тогда
ч х 2 - х - 2 (х + 1)(х - 2)
!(х) = — -— -— = ---------= х + 1, х * 2,
х-2
х-2
х 2- х - 1
Рис. 4.41
= х + 1+
ё(х) = х - 2
х-2
График функции /(х ) представляет собой
прямую у = х + 1 с выколотой точкой.
График функции §(х) вы глядит совершен­
но иначе: в окрестности точки х = 2 главным
становится слагаемое —-— , которое бесконечх ^
но увеличивается по модулю по мере прибли­
жения х к числу 2.
Мы будем говорить, что при стремлении
аргумента х к числу 2 ф ункция § стремится
к бесконечности, и записывать это следующим
образом: ^ (х )— ^ °°- Более подробно: при стрем­
лении х к числу 2 слева ф ункция §( х ) стремит-
2081 Глава IV. Функция. Основные понятия
ся к минус бесконечности (^г(х) -—^ —оо); при стремлении х к числу 2
справа ф ункция §( х) стремится к плюс бесконечности (§ (х)
+оо).
Точные определения этих понятий будут введены позже, в главе VIII,
пока ж е ограничимся интуитивными представлениями.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ----------------------------- ------- ----- --------------------------- ------------ -------------
Если функция /" бесконечно возрастает (по модулю) при
стремлении х к значению х0 справа или слева (Т (х) — >оо
►ХОД­
ИЛИ Т (х) т^->_оо ), то прямая х = х0 называется вертикальной
х —*■х 0асимптотой графика функции 1.
Далее, нас интересует поведение
функции «в обеих бесконечностях»
(если, конечно, данная функция там
определена). Иногда удается, исполь­
зуя метод выделения главной части,
обнаружить «схожесть» ее графика с
графиком более простой функции.
Например, если / ( х ) = х + —, то при
х -* +оо (при неограниченно возрастаю­
щем х) главным является первое слага­
емое, поскольку второе слагаемое ста­
новится пренебрежимо малым с рос­
том х. Значит, функция / ведет себя
почти к ак линейная ф ункция у = х и
ее график очень близко «прижимает­
ся» к этой прямой (рис. 4.43).
Заметим, что в окрестности точки
х = 0 главным является, наоборот, вто­
рое слагаемое, которое неограниченно возрастает (первое слагаемое
при этом ограничено)! Значит, в окрестности точки х = 0 график /
«схож» с графиком ф ункции у = —.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если функция /" представима в виде Цх) - кх + Ь + а (х), где
/с, Ь е Я и а ( х )Х—
----->0
>+оо (иными словами, а (х) — бесконечно
малая), то прямая у =
кх +Ь
называется асимптот
ка функции Т при х —►+оо.
Если функция { представима в виде Цх) = кх + Ь + а (х), где
к, Ье Н и а (х)-^-ц*0 , то прямая у = к х + Ь называется
асимптотой графика функции Т при х —►-оо.
Если / с * 0, то асимптота у = к х + Ь называется наклонной.
Если к = 0, то асимптота у - Ь называется горизонтальной.
209 §28. Поведение функции вблизи точек разрыва и в бесконечности.
Понятие об асимптотах
З а м е ч а н и е . Случай горизонталь­
ной асимптоты можно было бы рас­
смотреть и отдельно, использовав сле­
дующую формулировку: прям ая у —Ъ
является горизонтальной асимптотой
графика функции / при х —►+ о о , если
1(х)----*
X—
*+ооЬ (т. е. значения ф ункции становятся мало отличимыми от числа Ь
с ростом х). Аналогично и для случая
X-> -о о .
Это определение подчеркивает тот
факт, что график функции может
иметь разные асимптоты в бесконечно­
стях разного знака.
Пр и м е р 27.
а) Рассмотрим функцию у = —. Ось Оу является вертикальной
асимптотой, а ось Ох — горизонтальной асимптотой графика этой
функции (рис. 4.44).
б) Можно обобщить предыдущий пример на случай дробно-линей­
ной функции, т. е. функции вида у = аХ + **, где а, 6, с, д е К , ад Ф Ьс9
сх + а
сф 0. График по-прежнему представляет собой гиперболу, но асимпто­
ты будут другими:
вертикальная асимптота х = — доставляется кор„й С
а
нем знаменателя, а горизонтальной асимптотой будет прям ая у = —, что
можно заметить, выделив из дроби целую часть (поделив с остатком
числитель на знаменатель). Проверьте это! Н аличие асимптот позво­
ляет нам упростить построение эскиза этого графика: они являю тся
в некотором роде каркасом, на котором строится гипербола. П оскольку
мы представляем себе ее форму, оста­
лось уточнить ее положение по четвер­
тям и крутизну ветвей, взяв несколько
контрольных точек.
Для примера возьмем функцию
Зх + 2 ,
.
У 2х + 3 (рис. 4.45).
.2
X*
в) Дана ф ункция у —
Представим функцию в виде
-2- 1 + 1
„ . 1
/(*) = х - 1 —х + 1 + х - 1
з
(для получения такого вида можно про­
горизонтальная асимптота У —2
сто поделить с остатком числитель на
знаменатель). Сразу видно, что х - 1 — Рис . 4 .4 5
210| Глава IV. Функция. Основные понятия
вертикальная асимптота: в окрестности
точки х = 1 главным является слагаемое
и /(х) г т ^ + о о , /(х ) г - т> - о о . При
х -> ± о о главным станет слагаемое х + 1,
л поэтому прямая
> О,
а слагаем ое х -1 1 ----±оо
у = х + 1 является наклонной асимпто­
той графика данной функции. Полезно
заметить, что при х -* + о о график лежит
чуть выше прямой у = х + 1 (второе сла­
гаемое — полож ительная величина, так
как х > 1), а при х -* - о о график лежит
чуть ниж е этой ж е прямой. Если еще
учесть корень функции и ее знаки, то
график этой функции должен выглядеть
примерно так, как на рисунке 4.46. II
З а м е ч а н и е . Из определения и приведенных примеров в принципе
видно важнейш ее свойство асимптот, которое иногда даж е принимается
за определение: расстояние от точек графика до асимптоты становится
сколь угодно малым (меньше любого наперед заданного положительно­
го числа) для всех точек графика, начиная с некоторого места, при дос­
таточном удалении точек вдоль кривой от начала координат. Отметим,
что речь идет не об отдельных точках (график может и пересекать та­
кую прямую, даже в бесконечном количестве точек, но это ни о чем не
говорит!), а именно о всем бесконечном «хвосте» графика, начиная с не­
которого места (рис. 4.47—4.49).
Н аш и возможности исследования функций на наличие асимптот
пока еще очень ограничены, но сейчас мы выделим класс функций,
для которого можно находить асимптоты графика.
Вертикальные асимптоты
Рис. 4 .4 7
Д^_§28. Поведение функции вблизи точек разрыва и в бесконечности.
Понятие об асимптотах
Рис. 4.48
Рис. 4.49
Это дробно-рациональные функции, представляющие собой отношеР(х)
те двух многочленов /(х) =
, где Р (х ) = апх п + ап_ хх п~ 1 + ... + а0
Я(х)
(ап Ф0) и Я( х) - Ъкх к + Ък_ гх к~ 1 + ... + Ь0 (Ьк Ф 0) — многочлены степе­
ней п и к соответственно.
Будем считать, что дробь уже сокращ ена, и многочлены не имеют
общих корней. Тогда вертикальные асимптоты доставляю тся корнями
многочлена ф (х). Рассмотрим вопрос о наличии горизонтальных и на­
клонных асимптот. Это зависит от степеней числителя и знаменателя
дроби.
1. Если п < к, то график
имеет горизонтальную асимптоту у — 0.
2. Если п —к, то график Г* имеет горизонтальную асимптоту у = — .
^п
3. Если п = к + 1, то график Г, имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом а п .
^п - 1
4. Если п > к + 1, то график
не имеет наклонных и горизонталь­
ных асимптот.
(Несмотря на это, все ж е и в последнем случае можно попробовать
выделить главную часть: вдруг это окаж ется хорошо известная нам
кривая, тогда можно будет говорить о «криволинейной асимптоте».
Почему бы и нет?)
212,1 Глава IV. Функция. Основные понятия
Хл
х3
Рис. 4.50
Рис. 4.51
В заклю чение заметим, что при по­
строении графиков не стоит пренебрех гать и понятием кратны х корней. Ока­
зывается, в зависимости от кратности
корней, графики вы глядят по-разно­
Рис.
му в окрестностях точек пересечения
с осью Ох. Это мы сейчас никак обосновать не можем, но проиллюст­
рируем.
К ак выглядит часть графика в окрестностях корней х х, х 2 первой
кратности показано на рисунке 4.50; в окрестностях корней х3, х4 чет­
ной кратности — на рисунке 4.51; в окрестностях корней х 5, х 6 нечет­
ной кратности, начиная с третьей, — на рисунке 4.52.
И
Зад ачи и упраж нения
К у с о ч н о -з а д а н н ы е ф у н к ц и и
Группа А
IV. 1.
Д окаж ите по определению, что при всех вещественных х выпол­
нено:
а) [х ] < х < [х ] + 1;
б) 0 < {х} < 1;
в) [х + 1] = [х ] + 1;
г) {х + 1} = {х}.
1У.2*. Реш ите неравенство 2 {х} > х.
х 2, х ^ 1,
1У.З. Постройте график функции / (х)
1 - х , 0 < х < 1,
х, х < 0.
1У.4. П ользуясь тем, что |х | = т а х { х ; -х}, получите запись шах {а; Ь}
и пип {а; Ь} одной формулой, с использованием лиш ь знака моду­
ля и знаков арифметических действий.
О бл асть о п р е д е л е н и я ф ункции
Группа А
Найдите естественную область определения функции (ГУ.5,
1
1У.5. а) /(х) =
б) /(х ) = д/х3 - 4х;
х 2 + Зх + 2 ’
1
в) /(х ) =
г) /(* ) = л[х—3 - д/4 - х;
д/х2 - 4х + 3
1У.6).
щ { Задачи и упражнения
Д) Н х )= Vх - 1 ' л/^+Т;
ж) /(* ) =
е ) / ( * ) = а/х + д/1 - х 2 ;
3) /(х ) =
и) /(х ) =
1
{х}
ГУ.6. а) /(х) = д/х2 - 5х + 6 ----,..— ^ х —..
;
^ —х^ + 2Х + 3
б) /(х) = д/(|х| - I)2 - 4 +
в) /(х) - д/9х2 - 8 - х4
ч г/ ч
1
;
д/И х2 - 10 - я4
7-----д/ ( | * | - 2 ) * - 9
д/9х2 —20 - х 4
г)№ )=
д)№ ) - ^ 3 |,к 2 - 2 ^ - ^
^
е) /(х) = , — ------д/|х| - 2 |х - 1|
Ж) /!(х)=
1
л:3 —|л:| - л: + 4|л:| — 4 ’
з) /(х) = д/з - д/9х2 - 18х + 9^ - д/|х + 1| • (Зх - 6);
и) /(х) = ^5 - д/4х2 - 20х + 25 - д/|х| • ( 2 х - 10).
Множество значений функции
Груп п а А
1У.7. а) Д окажите, что если ф ункция ограничена, то существует такое
положительное число С > 0, что для всех х е й ( / ) выполняется
неравенство | /(х)| < С.
б) Сформулируйте общее утверждение о ф ункции, не ограничен­
ной сверху. На примере функции у =
докаж ите, что она не
хг
ограничена сверху. Ограничена ли эта ф ункция снизу?
Найдите множество значений функции (1У.8, 1У.9).
1У.8. а) у = х 2 + 2;
б) у — х 2 + 2х;
в) у - х - х 2;
т ) у = 1 ^ \'
ч
х
Ж)!, = ? 7 Т ;
ч
х2 + х + 1
к)!, = ^ 7 Т 1 -
я) у =Т 1 ;
\
3)
,!
ч
х2 - 1
у
= х +Г и
- >» = 5 Т 9 ;
2 |4 Глава IV. Функция. Основные понятия
1У.9.
у=
д/х2 +
б) I/ = VI - х;
т]2х - х 2 ; г) I/ = 7 х 4- 1 + 1;
а)
в)
у=
д)
у
у --^4 + З х - х 2;е)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (1У.10, 1У.11).
.
дс
-ч
я 2 - д:
ч
2дс2 —4дс + 9
1УЛ0 а ) ! , = ^ Т 7 Т Т ; б)
+
в) у =
'
1У.11.
а)
у —2х —д/х2 —4х + 4- ^ 4 х 2~Т120лн-"25;
б) у = д/х2 - 14х + 49 - д/х2 + 4х + 4 + х;
в)
у =Зх - ^ Х 2 + 4х + 4) (9х2 - 6х + 1).
1У.12.
Найдите наименьшее значение функции:
1
а \) « = х - 11 +, —
, * > 3 ; б) у = х4 + х 2+
ца 5 .
1У.13*. Найдите наибольшее значение ф ункции двух переменных:
/(х , г/) = х 4 + I/4 + 2
х 2у2
IV.14*. Н айдите м нож ество значен ий ф у н к ц и и у = х 4 + (1 - х)4.
Монотонность функции
Группа А
IV. 15.
Я вл яется ли ф у н к ц и я м онотонной на своей области опреде­
л ен и я:
а)
у = х 3;
б)
у = х 2;
г)
у = х + \ х \ д’, )
у = х 3 + х;
е)
= х 3 - х;
ж ) г/ = ^ х - 1;
з) у =л1х - 1;
и)
х^ +1 1
н)
у =[ х ] + { х } .
П риведите прим ер (нарисовав граф и к) определенной на В
ф у н кц и и , которая:
а) возрастает на п р о м еж у тк ах ( - о о ; - 1 ] и [0; 2] и убывает на
п ро м еж у тках [-1 ; 0] и [2; + о о );
б) им еет бесконечное число пром еж утков возрастания и убы­
ван и я;
в) возрастает на к аж д о м п ром еж утке вида [тг; п + 1), п е ТУ,
и не я в л я ет ся возрастаю щ ей ни на к ак о м пром еж утке длины
больш е 1;
к
1У.16.
)
#
;
л
>
У
=
М
;
м
>
Д(_3адачи и упражнения
IV. 17.
IV. 18.
г) возрастает на множестве целы х значений аргумента х и убы­
вает на множестве всех остальных значений х.
д*) для каждого из условий а) — г) нарисуйте график функции,
если в каждом случае ф ункция отрицательна на области опреде­
ления.
Пусть ф ункция / ( х ) возрастает на промеж утках: а) [0; 2] и [1; 3];
б) [0; 2] и [2; 3]; в) [0; 2] и [2; 3]; г) [0; 2) и [2; 3]. В каки х из
этих случаев можно утверждать, что ф ункция возрастает на от­
резке [0; 3]? Приведите доказательства или контрпримеры.
Приведите примеры строго возрастающ их на множестве К ф унк­
ций /(х ) и ^(х), разность которых ср(х) = /(х ) - ^(х):
а) строго возрастает на множестве К;
б) строго убывает на множестве К;
в) убывает на промежутке (—оо; 0) и возрастает на промежутке
( 0 ; + о о );
г) возрастает на промежутке
(-о о ;
0) и убывает на промежутке
( 0 ; + о о ).
Приведите пример ф ункции, определенной на отрезке [0; 1] и
имеющей на этом отрезке бесконечно много промежутков убыва­
ния и возрастания (можно, например, нарисовать график).
1У.20. Приведите пример определенной на множестве К ф ункции, кото­
рая не имела бы ни одного промежутка возрастания и ни одного
промежутка убывания.
IV. 19.
Экстремумы функции
Группа А
1У.21. Нарисуйте эскизы графиков функций, определенных на множ е­
стве К и имеющих:
а) ровно пять точек экстремума;
б) бесконечное число точек экстремума;
в) бесконечное число точек экстремума на отрезке [0; 1].
1У.22. Объясните, почему перечисленные функции не имеют точек экс­
тремума:
а)
у = х 3 +;хб)
у=
в)
X
1У.23.
Нарисуйте эскиз графика ф ункции, найдите множество зна­
чений, укаж ите точки экстремума и значения ф ункции в этих
точках:
\
2х
ч
,1
а)!, = ? 7 Т ; б>!/ = 5 Т Т ; »>!' = * +71У.24.
Нарисуйте график определенной на множестве К ф ункции, у ко­
торой было бы ровно две точки экстремума, причем обе — точки
максимума. Рассмотрите два случая: а) для разрывной функции;
б) для непрерывной функции.
216 Глава IV. Функция. Основные понятия
1У.25.
1У.26.
1У.27.
IV .28.
Ф ункция, определенная на множестве й , имеет ровно две точки
экстремума, причем одна из них — точка максимума, а дру­
гая — точка минимума. Могут ли быть равными значения функ­
ции в этих точках?
а) Докаж ите, что если ф ункция / ( х ) строго возрастает на неко­
тором промежутке (а0 —х 0; х 0] (слева от точки х 0) и строго убы­
вает на промежутке [ х 0; х 0 + Ь) (справа от х 0) , то в точке х 0 до­
стигается максимум функции.
б) Останется ли верным это утверждение, если брать промежут­
ки вида: 1) (а0 - а; х 0) и ( х 0; х 0 + 6), где а, Ъ > 0 ; 2) (а - х 0; х0] и
( х 0; х 0 + 6), где а, Ь > 0?
Приведите пример функции / ( х ) , которая имеет в точке х 0 мак­
симум, но одновременно такой, что:
а) ф ункция /(х ) не возрастает ни на каком промежутке
(а - х0; х0] слева от точки х0;
б) ф ункция /(х ) строго убывает на интервале (х0 - а; х0) слева
от х 0 и строго возрастает на интервале (х0; х0 + 6) справа от я0
(а и 6 — некоторые положительные числа).
Ф ункция / ( х ) не имеет точек экстремума. Может ли функция
/ 2 ( х ) иметь ровно п точек экстремума? Рассмотрите сначала
п — 1, 2, 3, а затем и произвольное п е N .
Четные и нечетные функции. Симметрия графиков
Группа А
1У.29. О бъясните, почему ф у н к ц и я не м ож ет быть ни четной, ни не­
четной, если она задан а ф орм улой:
1У.30.
1У.31.
1У.32.
1У.ЗЗ.
1У.34.
а) /(х ) = л/х; б) /(х ) = —
; в) /( х ) = х + 1; г) /( х ) = х 2 + х + 1.
х- 1
В ы ясните, четной или нечетной ф у н кц и ей будет:
а) сум м а, разность и произведение двух четны х ф ункций;
б) сум м а, разность и произведение двух нечетны х ф ункций;
в) сум м а, разность и произведение четной и нечетной функций.
И сследуйте на четность ф ункц ию Д и рихле.
П усть /( х ) — ч етн ая , а §(х) — нечетн ая ф у н кц и и . Выясните,
четной или нечетной будет ф у н к ц и я:
а) |?(дс)|; б) ||Г(х)|; В ) / ( - * ) +2(1*1); г)
);
д) х?(х) + х 2ё(х); е) / ( х • |х |).
Н айдите все четны е и все нечетны е ф у н кц и и среди:
а) л и н ей н ы х ф у н кц и й /( х ) = к х + Ь;
б) к вад р ати ч н ы х ф у н к ц и й /( х ) = а х 2 + Ьх + с.
У каж и те все ф у н кц и и , я вл яю щ и еся одновременно четны м и и не­
четны м и.
ЦЦ1Задачи и упражнения
1У.35. Существуют ли определенны е на м нож естве К ф у н кц и и , которы е
являю тся одновременно
а) четны м и и возрастаю щ им и на м нож естве К ;
б) нечетны м и и убы ваю щ им и на м нож естве К;
в) нечетны м и и п олож и тельн ы м и на м нож естве К ?
1У.36. Чему равно значение нечетной ф у н к ц и и в нуле (т. е. / (0)), если
она там определена?
1У.37. Может ли четная ф у н к ц и я им еть: а) ровно одну; б) ровно две;
в) ровно три точки экстрем ум а? О тветьте на тот ж е вопрос про
нечетную ф ункцию .
1У.38. Ф ункция /( х ) задан а на п олож и тельн ой полуоси форм улой
/(х ) = х 2- 4 х , х > 0 . Зад ай те ф ункц ию на м нож естве К , если
известно, что: а) /( х ) — ч етн ая ф у н к ц и я ; б) /( х ) — нечетн ая
ф ункция.
1У.39. Пусть ф у н к ц и я /( х ) определена везде на м нож естве К. Д о к а ж и ­
те, что граф и к ф у н кц и и /( х ) сим м етричен относительно прям ой
х = а тогда и только тогда, когда \/х е К / ( а + х) = / ( а - х).
1У.40. Пусть ф у н к ц и я /( х ) определена везде на м нож естве К. Д о к аж и те,
что граф ик ф ункц ии /( х ) симм етричен относительно точки 2 (а; 6)
тогда и только тогда, когда \/х е К / ( а + х) + / ( а —х) = 26.
1У.41. Н айдите оси сим м етрии гр аф и к а ф ун кц и и :
а) у = х 2 - 4х + 5;
б) у = (х - З)4 + 2 ( х - З)2 + 5;
в) у = а х 2 + 6х + с, а Ф 0;
г) у = у/а + х + л/б - х , 0 < а < Ь;
л
1 ^
1
д) у = тт
х2 + 1 - х 2
1У.42. Н айдите все центры сим м етрии граф и ка:
а)
у = х 3 —З х 2; б)
у = (х - 2)3+ 3 (х - 2) - 6;в)
X т ^X
г) I/ =
%[х+ 1 +
Чх + 3 - 2; д) у =Г--1.
5
х - х2
1У.43. Д окаж ите, что граф и к любого м ногочлена третьей степени им еет
центр сим м етрии.
Периодические ф у н к ц и и
Группа А
1У.44. Д окаж ите, что число 1 я в л я ет ся периодом ф ун кц и и :
а)
у = М + {5х};
^ У = ~ ){хТ2;
2
в>
1У.45. а) Пусть ф ункц ия у = /( х ) имеет период
[0; 1] зад ан а ф орм улой
=
+ {§} •
1 и на полуинтервале
у =
=
21в! Глава IV. Функция. Основные понятия
О
а
Ъ
*
Рис. 4.54
б) Ф у н к ц и я /( х ) зад ан а н а полуинтервале [0; 9) своим графи­
ком , к а к показано на рисунке 4 .5 3 . Д оопределите функцию /(я)
на м нож естве к т а к , чтобы получилась периодическая функция
с главн ы м периодом: а) 4; б) 9; в) 1.
IV.46. Д о каж и те, что ф у н к ц и я /( х ) , определенная на множ естве К , бу­
дет периодической, если при некотором Т е К выполнено одно
из следую щ их условий:
а) Г ( х + Т ) =
б) Г ( х + Т )
в) П х + Т):
г)
1
/(* )’
/(х ) + а
где
ЬПх)-1’
1
1 - Г(хУ
а, Ь е К, аЬ0 , аЬ * - 1 ;
Г(х + Т) = | + 4 П х ) ~ Г2(х),
П риведите прим еры т а к и х ф у н кц и й .
1У.47. Ф у н к ц и я /( х ) зад ан а в двух точках: /( а ) = А , /(&) = Б , причем
А ^ В (рис. 4.5 4 ). Д оопределите ф ункц ию до периодической (не­
обязательно всю ду определенной). К аки е главны е периоды воз­
м ож н ы у доопределенной т ак и м образом ф ункц ии ?
1У.48. Д о каж и те, что п ериодическая ф у н к ц и я не м ож ет быть строго
монотонной на бесконечны х п р о м еж у тках .
1У.49. Д о каж и те, что п ериодическая ф у н к ц и я не м ож ет им еть на своей
области определения конечного ненулевого ч и сл а точек разрыва.
1У.50. П усть / — п ериодическая ф у н к ц и я ,
и Г 2 — каки е-то ее пе­
риоды . Д о каж и те, что любое число вида т Т 1+ п Т 2, где т , п е 1 V,
т а к ж е я в л яется периодом ф у н кц и и /.
1У.51. Ф ун кц и и / и ^ определены на м нож естве К и периодичны с оди­
наковы м главн ы м периодом Т .
а) Д о каж и те, что их сум м а и произведение тож е периодичны
и число Т я в л я ет ся одним из периодов суммы и произведения
этих ф ун кц и й .
2Щ Задачи и упражнения
1У.52.
1У.53.
1У.54.
1У.55.
1У.56.
б)
Д окаж и те, что число Т не обязательно я в л я е т с я главн ы м п е
риодом сум мы ф у н к ц и й / и §: придум айте так и е две ф у н кц и и , п е­
риод суммы которы х был бы м еньш е ч и сл а Т (наприм ер, в 2 раза).
П усть / и § — периодические ф у н кц и и и имею т соизм ерим ы е п е­
риоды . Д окаж и те, что они имею т общ ий период.
П усть / и § — периодические ф у н кц и и и имею т соизм ерим ы е п е­
риоды . Д о каж и те, что ф ун кц и и : а) / + §; б) / • §; в) ^ т а к ж е п е­
риодические.
а) П усть §(х) — пери од и ческая ф у н к ц и я с главн ы м периодом Т,
а /( х ) — прои звольн ая ф у н к ц и я . Д о к аж и те, что ф у н к ц и я
(р(х) = /(§*(х)) т а к ж е будет периодической с периодом Т .
б) М ожет ли главн ы й период тако й ком п ози ц и и ок азаться м ень­
ш е Т?
П усть /( х ) — пери од и ческая ф у н к ц и я с главн ы м периодом Т .
Т
Т
М ожет ли главны й период ф ункц ии / 2(х) быть равны м : а) —; б) —;
Т
2
р
2
3
в) —; г) - Т; д ) —Т, где р и д — н атуральн ы е ч исла?
5
3
Я
Верно л и , что если гл авн ы й период ф у н к ц и и равен Т, то
X
-
X ,
Эх0: /( х ) = / ( х 0) =* " г "°
1У.57. Д о каж и те, что ф у н к ц и я // = |
, а ^ 0, п ериодическая. Н айдите
ее главн ы й период.
IV.58. Н айдите главн ы й период ф ункц ии :
а)
в)
у = 3 { 2 х + 1};
у = 3{х} +
{2х + 1};
б)
у = 12*з+ 11 ;
г)
у = 3{х}
Д)^=4{1}+3{^}; е> Ч ^ } +Ж ;
ж ) у = {х}2;
з)
у + 4 {х};
и) * ' = | М 2 - 2 { | } + 1 1У.59. Д окаж и те утверж дение. Если /( х ) п ериодическая ф у н к ц и я , опре­
д еленн ая на м нож естве К , то уравнение / ( х + Т) = /( х ) , где Т р ас­
см атривается к а к неизвестное, а х — к а к парам етр, им еет по
край н ей мере одно полож и тельн ое реш ение Т = Т 0, удовлетво­
ряю щ ее уравнению при всех зн ач ен и я х парам етра х е К.
2201 Глава IV. Функция. Основные понятия
1У.60. Д окаж ите, что ф ункция не является периодической:
а)
у = х 2 - х;
б)
=
—;
в) у =
-
г ) у ={х2};
д)
ж)
з)
у = {л[2х} + {2х};
= {л[х};
е) у = 2{х} -
| ^ | • {ху[2}.
IV.61. При каком значении а е К ф ункция у — ах — [ х ] будет периоди­
ческой? Найдите ее главный период.
1У.62. Может ли сумма (произведение) непериодических функций ока­
заться периодической функцией? Приведите пример двух не­
периодических функций /(х ) и #(х), таких, что: а) их сумма
/(х ) + §(х); б) их произведение /(х ) • ё(х); в) | /(х)| — есть перио­
дическая ф ункция, имеющая главный период.
1У.63. Приведите пример периодической функции /(х ) и непериодиче­
ской ф ункции §(х), таких, что: а) их сумма /(х ) + #(х); б) их
произведение /(х ) • ^ (х ) — есть периодическая функция, имею­
щ ая главный период. Попытайтесь привести примеры, где функ­
ция /(х ) имеет главный период, а такж е примеры, где /(х) не
имеет главного периода.
1У.64. Д окаж ите, что если периодическая ф ункция с периодом Т ограни­
чена на каком-либо отрезке длиной 7\ то она ограничена и на всей
области определения, т. е. если \/х е [х0; х 0 + Т ] | /(х)| ^ М, то
У хеВ (/) |/(х)|^М.
1У.65. Существуют ли функции: а) периодические и четные (нечетные);
б) периодические и неограниченные; в) периодические и моно­
тонные; г) периодические и обратимые? Ответ обоснуйте: отри­
цательные утверж дения докаж ите, для остальных приведите
примеры.
1У.66. Приведите пример четной периодической ф ункции, такой, что ее
значения в каж дой точке множества X совпадают со значениями
функции:
а) у — 0,5
в)
х, X — [0; 1];
у = 2 — \х — X
,\3 = [2,5; 4,5].
Группа В
1У.67. Ф ункция Н(х) = /(х ) + /(2 х ) периодическая. Верно ли, что функ­
ция /(х ) периодическая? Верно ли, что если функция /(х ) перио­
дическая, то ее главный период такой ж е, к ак у функции Н(х)1
1У.68. Д окаж ите, что если график ф ункции /, определенной на множе­
стве К , симметричен относительно двух прямы х х - а и х - Ь
(а Ф 6), то / — периодическая ф ункция.
Зялячи и упражнения
1У.69. Д окаж ите, что если гр аф и к ф у н к ц и и /, определенной на м н о ж е­
стве К 9 сим м етричен относительно прям ой х — а и точки , не л е ­
ж ащ ей на этой п рям ой, то / — п ериодическая ф у н к ц и я .
1У.70. Приведите прим еры (мож но граф ически) ф ункц ий , явл яю щ и х ся:
а) четны м и (нечетны м и), ограниченны м и (неограниченны м и) и
периодическим и;
б) полож ительны м и (отрицательн ы м и), периодически м и, о гр а­
ниченны ми и четны м и (нечетны м и).
1У.71. С конструируйте (наприм ер, граф ически) ф ункц ию /, удовле­
творяю щ ую всем услови ям одновременно: / — п ериодическая
ф ункц ия с периодом Т = 2, неограни ченная, н ечетн ая, /( 1 ) = 1,
/ (0) = 2.
1У.72. Д окаж ите, что ф у н к ц и я Д и р и х л е Л ( х ) п ериодическая. Н айдите
множество всех ее периодов. Есть ли у нее главн ы й период?
1У.73. Сущ ествует ли п ериодическая ф у н к ц и я , д л я которой:
а) все рац иональн ы е ч и сл а яв л яю тся периодам и, а и р р ац и о ­
нальны е нет;
б) каж дое иррацион альное число я в л я ет ся периодом, но не су­
щ ествует рационального ч и сл а, явл яю щ его ся ее периодом?
1У.74. П усть \ /х З Т > 0: / ( х + Т) = /(х ). Верно л и , что ф у н к ц и я /( х ) пе­
риодическая?
1У.75. Пусть /( х ) — п ериодическая ф у н к ц и я.
а) М ожет ли быть периодической ф у н к ц и я / ( х 2)?
б) М ожет ли быть непериодической ф у н к ц и я / ( х 2)?
в) Верно л и , что если ф у н к ц и я /( х ) не я в л я ет ся константой, то
ф ун кц и я / ( х 2) — непери оди ческая?
1У.76. Верно л и , что ф у н к ц и я /( х ) — п ериодическая ф у н к ц и я , если:
а ) / 2(х); б) / 3(х) — периодическая ф у н к ц и я?
Ком позиция ф у н к ц и й
Группа А
ГУ.77. Д ля ф ун кц и й /( х ) и §(х) найдите ком позицию ф (х) = /(§*(х)),
если:
.с/ ч = л]Ху
Г~ ё (х)
/ ч= х 2
л/ )\ = ±V--------,
* ~ 1
/ ч= —
2х2----- 2х——
+ 1.
е(х)
а)ч /(х)
б) /(х
х- 1
х
(х - 1У
ГУ.78. Д аны ф ун кц и и трех типов: /( х ) = х + а , ё ( х ) = йх, й (х ) = |х |.
Запиш ите в виде ком позиции ф ункц ий /(х ), §*(х) и й (х ) ф ункцию :
а) ф(х) = 2х + 3; б) ф (х) = 2 |х + 1 1- 1; в) ф (х) = 11 - |х ||.
х —1
1У.79. а) Д ан а ф у н к ц и я / (х) = —
. Н айдите /
б) Д ан а ф у н к ц и я /(х ) = —=^===. Н айдите /(д/х2 + 1).
у1+ х 2
Глава IV. Функция. Основные понятия
' Ш И М И И М И М М М 1М М И М В М М И И И М М М М М И М М
1У.80. Даны ф ункции /(х ) = х 2 - 2х + 3 и Ц'(х) = 2 х - 1. Найдите компо­
зицию (можно без упрощ ения получившегося выражения):
а) ф(х) = /(ёЧх));
б) ф(х) =
в) ф(х) = ёЧёЧх));
г) ф(х) = /(/(х)>;
1
х
ж) ф(х) = /(^ (/(х )));
з) Ф(х) = /( 2 /( х ) - ё'(х)).
1У.81. Найдите /(/(х )), /( /( /( х ) ) ) и п-кратную композицию функции
/(х ) с собой, если:
а) /(х ) = х - 1;
б) /(х ) = 1 - х;
в) /(х ) = 2х;
г) /(х ) = х 2;
д) /(х) = V I+ х;
е) /(х ) = ^ ;
д) ф(х) = Н ё ( 2 х - 1));
е) ф(х)
ж) / (х) = - - ;
з) / ( * ) = 7 т — .
1 -х
1+ х
1У.82. Среди л и н ей н ы х ф у н кц и й /( х ) = к х + Ь найдите все такие, что:
а) Ух е Д /( /( х ) ) = /(х ); б) Ух е К /( /( х ) ) = х .
1У.83. Найдите область определения п-кратной композиции функции
/(х ) с собой, если:
а) /(х) = VI + х;
б) /(х ) = л/х^Т ;
в) / ( х ) = - ^ ;
г) /(* ) =
Д) Н х) =
1У.84. При каком условии на множества П (/), !)(§*), Е (/), П (^) облас­
ти определения ф ункции /(х ) и композиции ф(х) = # (/(х )) совпа­
дают?
1У.85. Пусть ф ункция /(х ) строго возрастает и положительна на множе­
стве К .
а) Докаж ите, что: 1) ф ункция / 2(х) возрастает на множестве К\
2) ф ункция д//(х) возрастает на множестве й ; 3) функция —
/(*)
убывает на множестве К .
б) Верны ли утверждения пунктов «1» и «2» для неположитель­
ных функций?
в) Переформулируйте утверждения пунктов «1» и «2» для воз­
растающ их и отрицательных на множестве К функций.
1У.86. Пусть ф ункция /(х ) строго возрастает на множестве К . Будет ли
монотонной ф ункция:
а) /(2 х ); б) /(- х ); в) /(1x1); г) /(2 - Зх)?
1У.87. Найдите промежутки монотонности функции:
а) ф(х) = (х2 + 2х)2 - 6(х2 + 2х) + 1;
б) ф(х) = (х2 + 2х)2 + 2(х2 + 2х) + 1;
в) ф(х) = х (х + 2)(х + 4) (х + 6).
Ц^_3адачи и упражнения
1У.88. Пусть ф ункция /(х ) имеет экстремумы в точках х 1 = —19 х 2 — О,
х3 = 2. В каки х точках имеет экстремумы ф ункция:
а) /(2х); б) /(- х ); в) /(|х |) ; г) / ( х 2); д) /(3 - 2х)?
1У.89. Пусть ф ункция /(х ) возрастает на луче ( - о о ; 1] и убывает на
луче [1; + о о ). Найдите промежутки монотонности функции
Ф(х) = / ( х 2 - 1).
1У.90. Пусть ^х(х) = 2х + 3, ё 2(х) = 2x2 ~ х 9 ё 3(х) = —— ^ Н а й д и х + 2х + 4
те промежутки монотонности, точки экстремума и множества
значений композиций / ( ^ ( х ) ) , ?(ё2(х )), Н ё з ( х ))9 /(/(* )) для
функции:
а) /(х ) = х 2 - 2х;
в) /(х ) = * + - .
х- 1
1У.91. Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и множ е­
ства значений функции:
а)
у=
у[2х+ х 2; б)
у = (Зх - х 2 +
в)
б) /(х ) = 2х - х 2 + 3;
-у2(х 2 + 4х)2 - (х2 + 4х) - 1;
г)
2^ _
^ .
1У.92. Найдите множество значений функции:
а) у = (2х - I)4 - (2х - I ) 2 - 12; б) у = (х - I)4 - х 2 + 2х - 7;
в) у = (х2- х - 3 ) 2- 2 ( х 2- х ) + 1; г)
(х + 1)2(х2 + 2х);
д)
у —(х + 4)2(х + 10) (х - 2);
е)
= х (х + 4 )(х + 5)(х + 9);
ж)
у = (х
1)(х 2 )(х 3 )(х —4); з)
=
-
+
ч
2х4 + х3 - И х 2 + х + 2
- ) у = ------------- ^ --------------■
1У.93. а) Пусть Л — — - ) = - - - при х ^ —2; 1. Найдите /(х ).
^ х + 2 ,) х - 1
б) Пусть /^ 1 +
= х 2 - 1 при х
0. Найдите Л х ).
1У.94. Найдите ф ункции / (х) и ё ( х ) , удовлетворяющие системе урав­
нений (система выполнена при всех вещественных значениях х):
7 ( 2 х +1) +
1) = 2х,
ГЛ 2х + 1) + ^ (х - 1) = х,
' 1Л 2х +1) - 2^(х - 1) = 2х2;
}
Г/(2 х + 2) + 2^(4х + 7) = х - 1,
В) { / ( х - 1 ) + ^ (2 х + 1)= 2 х ;
Г/(4х + 3) + х • ^ (6 х + 4) = 2,
Г) { Д 2 х +1) + ^ (З х + 1) = х + 1.
224] Глава IV. Функция. Основные понятия
1У.95. Найдите функцию, удовлетворяющую уравнению:
а) /(х ) + 2 / ( ^ 1 = х;
в)
Г( х) +
б) (х - 1) • /(х) +
х -л 2 ~ л ) = 2;
Н
М
х- 1
т т
О б р атн ая ф ункция
Группа А
1У.96. Найдите функцию, обратную к заданной (обратите внимание на
заданную область определения), и постройте ее график:
х —1
Г 1 01
а)ч
у = — ж,
— х, е К;Зх + 1
б) — - — , х е [-1
в)
д)
у = 2х + 3, х е (-3;
у = л/х, х е [0; 4];
+ о о ); г)
е)
= л/х, х е (0; 1);
д/х2- 1, х е [-1 ; + о о );
ж)
и)
у = л/1 - х 2 , х е [0; 1];
з) у = - ( х + 2)2 + 3, х е (-2; +оо);
у = х 2 + 2х + 5, х е (-1; + о о ); к) I/ = х 2 вщ п х, х е
1 ос
л) у = х | х | + 2х, х е К;
м) у = —- —, х е (0; + о о );
х + -1, х е (-сю;
,
оч
/ 1 +, очо ).
н)ч у = ----2);
о)ч у = х + 2 , х е (1;
х -2
1 -х
Будут ли все указанны е ф ункции обратимы, если рассматривать
их на их естественной области определения (не накладывая дру­
гих ограничений)? Ответ обоснуйте.
1У.97. Найдите функцию, обратную к заданной, и постройте ее график
(для построения воспользуйтесь элементарными преобразова­
ниями графиков или построением кривы х по асимптотам):
1
2х
а ) У = -- 11-+
- - - -х*
-2 ’ * е (“ ° ° ; ° ] ;
б ) У = 11------ х*2 » х е ( “ ° ° ; _ 1 1;
ч
2х
г1
ч
ч
2х
Г 1 11
В> " = Г П ? ’ 1 € [1; +“ >;
Г) ! / = 1 Т ^ , Д : 6 Г 2 ; 2 ] ;
е) у = х - ^ х 2 - 1, ж е ( - о о ; -1].
д) У = 7 7 ’ х е К;
1 + х^
К акие из этих функций окаж утся обратимыми, если рассматри­
вать их на их естественной области определения (не накладывая
других ограничений)? Ответ обоснуйте.
1У.98. Найдите области определения и множества значений взаимноX
X
обратных функций у = ----- - и у
х+1
х- 1
Ц ^ З а д а ч и и упражнения
Э л ем е н тар н ы е п р е о б р а з о в а н и я г р а ф и к о в
Группа А
1У.99. Придумайте функцию, график которой получен из графика дан­
ной функции при помощи указанны х преобразований:
а) /(х ) = х 2; преобразования: сдвиг на 1 вправо -> растяж ение
в 2 раза вдоль оси Оу —> сдвиг на 1 вниз;
б) /(х ) = х 3; преобразования: растяж ение в 2 раза вдоль оси
Оу —►сдвиг на 1 вниз —►сдвиг на 1 вправо;
в) /(х) = —; преобразования: сдвиг на 1 вправо
вниз —►растяжение в 2 раза вдоль оси Оу;
сдвиг на 1
1У.100. На рисунке 4.55 изображен график ф ункции у = /(х ). Постройте
график функции:
а) у = /(* ) + 2;
б) у
= /( х + 2);
г) у = /(2 х );
в) у = 2 /(х );
е) у = /(- * );
д) у = - /( * ) ;
з) У = / ( 1*1);
ж) «/ = 1/Ч*)1;
и)
у = 1/(1 х |)|;
к )У
=
|/ (
1
о) у = / ( 2 1х | + 1);
н) у = /4 2 * + 1);
п) I/ = /(| 2х + 1 1).
1У.101. Постройте график функции при помощи элементарных преобра­
зований графика линейной функции:
б) г/ == 12х —3 1;
в) у - 12 | х| - 3 1;
а) г/ == 2 1х| —3;
г)
у = 2| х - 1| - 2 ; д ) г/ = 112х — 1 1— 2 1; е)
=
2х - 3 ’
ж ) г/ = - - 3;
з) у = | | | х | - 1 | - 1 | ;
и) у = |2 - |1 - |х|
к) у = д/4х2 - 1;
л) у = | | | х —1 1—1 1—1 1.
1У.102. Постройте график ф ункции при помощи элементарных преобра­
зований:
X
X
б) у = х - 1 *
в) У = 1*1 .
х - 1’
1*1 - 1’
|х + 1| <
х + 21- 1
2х - 1
е) У =
д) У = х + 2| + Г
|х + 1 |- 1’
х + 2 ’
ж) у =
х + 2
2х - 1 ’
к) у = 1*1 - 1.
х2- 1 ’
2 |х | - 1.
1* + 2 ’
з) У = ■
л) у = 2
х + 2
- 1 •
х - 1
И)
у
=
1*1-1 .
2-1*1 ’
226 Глава IV. Функция. Основные понятия
IV. 103.
Постройте график ф ункции при помощи элементарных преобра­
зований графика квадратичной функции:
а) у - \х 2 - 2х\;
б ) у =\ х 2 - 2\х\\;
В) у = - \ х 2 + 2\х\;
ч
1 + х2
Г) У =
1
е) у =
д) У = — х2 - 2х ’
1 - 2х +2х2
з) у = \х 2- б \ х \ + 8\; и) у = \\х2 - 6х| + 8|;
ж) у =
X*
1
1
б
-1
л) у = - Г
+ 8;
м) у =
к) у =
X2 X
х2 - 6 х +8
х2 - 6х + 8 9
\
1
н) у = т]4х2 - 4 х 21х | + х 4 ;
2
+1
о) у =
1*1- 4
IV. 104.
\1
Постройте график ф ункции при помощи элементарных преобра­
зований граф ика ф ункции у = д/х:
в) у —л/х - 1;
а)
у = 2л/х - 1; б) I/ = л/2х - 1;
у = 1 —л/-х;
г) у = у [ 2 х ^ 1 - 1 ;
Д)
~Гуе)
- Х ’,
У
IV. 105.
ж ) I/ = 1 - 2д/-2х;
з) у = л/1 - х;
и) у = 1 - 1V1 -
к) I/ = д/| л: —11;
л) у = 7 2 1ЛГ| “ 1;
м) у —д/| 2л: —1|;
Н)
о) у =
п) у =
I/
д/| 2х - 1|
-1;
р) у = VIN - 2 1- 1
Постройте график функции при помощи элементарных преобра­
зований граф ика степенной функции:
а) у = 2 (х - I ) 3 + 1;
б) у = ^ (х + 2)4 - 1;
в) у = (2х + I)5;
г) у = 11х + 2 |3 - 1 1;
д) у =
е) у =
\3
IV. 106.
1 + 1.
2(х - I)3 + 1’
Постройте график ф ункции при помощи элементарных преобра­
зований (когда это возможно), исходя из графиков известных
элементарных ф ункций, и решите с помощью графика соот­
ветствующее уравнение или неравенство:
а) с помощью графика ф ункции у — -[х ] решите уравнение
|[х ]= х -2 ;
б) с помощью граф ика функции у =
^ решите уравнение
32У1 Задачи и упражнения
в) с помощью графика функции у = — —1 + 1 решите неравенГ*
Л
Ж
ство
1 > —;
12
]
3’
г) с помощью графика ф ункции
12
у =—
-1
решите уравнение
[*] 3 3 Х’
д) с помощью графика ф ункции у = — решите неравенство
Л
1*^-1
[х] 3
Г 1
п(
е) сг помощью
графика функции у — — решите неравенство
н
^ 2 х 2;
ж)
с помощью графика функции у — | х о ^ [ решите неравен­
ство ^ - — - } ^
;
з) с помощью граф ика функции у —
решите уравнение
- = х +1 при х < 3;
и*) с помощью графика ф ункции у - \Г
1]г решите уравнения:
Нестроение г р а ф и к о в п о а с и м п т о т а м и к р а т н ы м к о р н я м
Гру ппа А
Для каждого из следующих графиков сконструируйте формулу,
задающую график, обладающий теми ж е основными особенно­
стями (рис. 4.56)
1У.108. Для каждого из графиков А, Б, В, Г, Д, Е, Ж , 3 на рисунке
(рис. 4.57) подберите в списке формул 1—24 ту, которой может
быть задан этот график:
1) у = ( х - 2)(х + I)2;
2) у = х ( х 2 - 1)(х - 1);
3)
у = ( х - 2)2(х + 1); 4) = (х + 1)2(2 - х);
5)
у = х ( х 2 - 1)(лс + 1);6) = (х - 2)2(лс + I ) 2;
7)
у = х 3(х2 - 1)(х + 1); 8)
(дг2 - I ) 3;
П\
/
2
1
\2
1
1П) у = 1 +
9)
у =(х2 - I ) 2; 10) у =
И
;
IV. 107.
10ч
1-х+ х2
12)У=
1 + х2 =
л оч
1 + х + 2х2
13)У=
1 + х2 ;
л
*
2 + х2
= Т +1?;
2281 Глава IV. Функция. Основные понятия
Рис. 4 .5 7
2291 Задачи и упражнения
-~
2+ х 4 '
у= Г Г ?
л оч
х 4- 1
18>!, = ^ 1 ;
1_
2+
16)!/ = Т Г ? :
лп
л:2 - 1
1 9 )!, = 3 ? Г 1 ;
1-х2
17)у = — ^
я2 - 1
20)» =
21)!/ = ,Х2х (ы1>(Х!
Г,1' 22) у - <^ 'х2(4—х2)
~ * )(а;~ 1);
4 - х 2)
23)
у = - х 5 + 2х3 - х.
1У.109. Н айдите асим птоты гр аф и к а ф ун кц и и :
ч
1
1
1 , 1
а , » = Т Т *г:
б) !, = 7 - 7 Т 1 + 7 7 2 ;
ч
х3
V
1
в ) У = Т~г— о
г
) у = х +—
6х2 - 8 - х4Г ;
х2
ч
х2
ч
х2 —2х + 3
л) у = х + 1 ^ Г 1 ;
е )у =
77
ч
2х4 + х3 + 1
ч
л:3
;
з) у =
ж) у = ------ 5—
(х + I)2 ’
X
и) У =
х4+ 1
IV.110. Установите, как приближаю тся точки графика ф ункции к на­
клонной асимптоте при х —» + о о и при х —> —оо сверху или снизу:
ч
х 3+ 1
(л; + I)3
ч
л;2
“> » = —
• 6> » = <г Г 2 7 ; в ) » = й Т П 1У.111. Найдите область определения ф ункции, множество значений,
корни, асимптоты и постройте график функции; там, где это
возможно, используйте множество значений функции для уточ­
нения расположения точек экстремума:
х 2 + 2х + :
х2 + 1 #
Зх
в) У =
б) У=
а)
х 9
л;2 + 1
1 + х2 ’
л;2
х 2 + 8 л; - 6 в
X2
е) у =
д) У =
г) У =
л;
х + 4’
|х | + Г
х- 1
2 - 4х2
л;2
ж) у =
и) у =
з) У =
1
4х2
’
х2
- 2х ’
‘ 1 * 1 - 1 ’
2х2- 6
(х - З)2 .
х2 + 2х —3
м) у =
л) У =
к) у =
X
х —2 ’
4х - 4 9
(х - I)2 .
6х + 9 - Зх2 ^
4
п) у =
н) у =
о) У =
х2 ’
х2 - 2х + 13 ’
2х + 3 - х 2 9
х2 + х + 1
4х
4л;2 + 9
т) у =
с) У =
Р) У =
х2 - х + 1
4х + 8 ’
(х + I)2 ’
ч
2л;2 + х - 1
У
=
У) У = 2 * * - * - Г
230, Глава IV. Функция. Основные понятия
1У.112. Найдите асимптоты, корни, промеж утки
стройте эскиз графика функции:
х2 - 1
х2 + 1
б) у =
в)
а) у = ж ;
х + 1’
ж2 + ж
х*
е)
г) У =
д) У =
1 - х 3’
ж- 1’
4х3 + 9х в
ж3
ж) у =
и)
3) У =
16-х2
ж2- 1’
ж3 - 16ж
к) у =
ж2- 25 ■
знакопостоянства; по­
х2 —1
ж- I 5
ж3
у =
ж2+ 1’
4ж3 - 9ж,
у =
16 —ж2 ’
у =
Построение графиков. Разные методы
Группа А
IV. 113. Постройте график функции:
1)
у =х 4 2
- х 2;
3) у = -ж 5 + 2ж3 - ж;
2)
у = ж3 - 2ж2 + ж;
4) » = х « - г х . 8 ;
6)
^ ^
ж4 —4ж3 + 4ж2 ’
7) у = л/ж + 1 - д/[ж|;
у = л/ж + 1 - л/ж;
8) у = д/ж2 + 1 - ж;
9) у = д/ж2 + 1 + ж;
д д.
ж2 - 1
11) У = ж4+ 1’
10) I/ = 2д/ж2 + ж +1 - ж;
.. оч
ж+ 1
12) „ = — ,
1-х2
И’
X + X4
г/ = | х2- З х + 2| + | 5 - х | ;
|х - 2| + 1
у
|х + 3 1 5
X* + X
у =
X
| х + 11 | х —11*
(х - I)3 | х31
у =1
+! ^
| х —11
х
13) у =
14) I/ = |ж2 + ж| - ж;
15)
16) у = \х+ 1 (|ж| —2);
ж- 3
18)1/ =
|ж+ 3 + |ж-1|’
ж2 (ж + 1)2_
20) у = ж2 +
+
|ж + 1| ’
17)
19)
ч
21)
22) у 24) у =
ое\
^х +
X■'5
2л/х
- 1 + *\]х - 2у[х
- 1;у =
23)
х2 - х - 2
уЗ
1*1
*“ М
26)" = “ м - '
25)
I/
= |ж|
27) у =
81§п (1
[ж3]
ж2 + 1
- ж2);
ень , логарифм
В этой главе мы расширим понятие степени и рассмотрим другие
понятия и операции, связанные с понятием степени. Кратко напом­
ним свойства степени с целым показателем, которые известны из
курса основной школы.
Итак, при всех целых т и п и любых ненулевых числах а и Ь выпол­
нены равенства:
1) а|Л7 др __ +п.
2) (а • Ь)т= ■Ьт\
3) ат : ап = а"
4) а
5) (ат)п = атп\
6) а~т= —
ат
(для натурального т это равенство является определением степе­
ни с отрицательным целым показателем, а для неположительных
целых т — свойством).
Свойства, в которых нет действия деления и показатели степени
являются натуральными, распространяются и на число 0.
© 2 9 . Корень натуральной степени
1. Определение корня л-й степени
Решая уравнение х 2 = 4, мы получаем два корня: х = 2 и х = -2 .
Пытаясь найти корни уравнения х 2 = 2 (например, для поиска сторо­
ны квадрата площади 2), мы сталкиваемся с необходимостью обозна­
чить решение этого уравнения, так как среди рациональных чисел
корней этого уравнения нет. Однако, поскольку у этого уравнения
два корня, различаю щ ихся лиш ь знаком, достаточно обозначить лиш ь
один такой корень.
Таким образом, можно дать следующее определение:
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ......................................................... - .... - ....................................... .........
Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат
которого равен а.
Из самого определения следует, что квадратны й корень можно
извлекать только из неотрицательных чисел (если рассматривать дейст­
вия в множестве вещественных чисел).
^ Н ч я в -
232 Глава V. Корень, степень, логарифм
Н Н Ц м м и н ан яи и яотм яи ш м м яяям аи м м тм м м
Н еотрицательное число, квадрат которого равен а, называют
арифметическим квадратным корнем.
Слово «арифметический» в приложении к квадратному корню мы
в дальнейшем не будем писать, но будем подразумевать. Символ л/а
всегда будет означать именно арифметический квадратны й корень. Та§—
Г
ким образом, у/а = х <=» <
Л
[х>0.
Например, уравнение х 2 = 2 имеет два корня: х = у[2 и х = -л/2.
У положительных чисел есть одно «преимущество» перед отри­
цательными: произведение двух положительных чисел есть тоже
число положительное. Поэтому в качестве арифметического значе­
ния корня берут именно неотрицательное значение, чтобы, напри­
мер, произведение двух арифметических корней такж е являлось [
арифметическим корнем.
3
Если каждому неотрицательному числу х поставить в соответствие
число л/х, получим функцию, заданную на множестве неотрицатель­
ных чисел К + II {0} и принимающую неотрицательные значения. Эту
ж е функцию, к ак показано в § 26, можно определить как обратную
к ф ункции /(х ) = х 2, заданной на луче [0; +оо).
Аналогично можно определить корень произвольной натуральной
степени двумя способами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ —— — —
—— ..................
■■.......................... ...... ....— ----- ---------
Пусть п — натуральное число, большее 1. Назовем корнем
п-й степени из числа а число х, при возведении в п-ю сте­
пень дающее а.
Число п называют показателем корня, а число а — подко­
ренным выражением.
Таким образом, корень п -й степени из числа а — это решение
уравнения х п = а .
Естественно, ситуация с определением корня п -й степени различ­
на в зависимости от четности п .
В самом деле, посмотрим на схематические графики функций
вида у — х 11 (рис. 5.1) при четном и нечетном п . По графику видно, что
при нечетном п для каждого числа а существует единственное число х,
п-я степень которого равна а, а при четном п для каждого положи­
тельного числа а существуют два числа, отличаю щ ихся знаком, п-я
степень каждого из которых равна а.
При нечетном п существует единственный корень п -й степени из
любого вещественного числа, так как нечетные степени двух различ­
■В[_§29. Корень натуральной степени
ных чисел различны 1, а значит, двух ч и ­
сел, дающих при возведении в п-ю степень
один и тот же результат, быть не может.
Ясно, что корни нечетной степени из поло­
жительных чисел будут положительными,
а из отрицательных — отрицательными.
Ситуация будет другой при четном п .
В этом случае, если подкоренное вы раж е­
ние положительно, существуют два числа,
отличающиеся знаком и дающие одинако­
вый результат при возведении в п-ю степень.
Аналогично ситуации с квадратным
корнем в данном случае под символом у[а
понимается неотрицательное число, даю­
щее при возведении в п-ю степень число а,
называемое арифметическим корнем п-й
х п —а ,
х > 0.
Таким образом, символом у[а обозначается одно из решений урав­
нения х п —а (единственное при нечетном п и одно из двух при чет­
ном п и положительном а). Здесь мы без доказательства принимаем,
что такое решение существует.
степени, т. е. при четном п имеем у[а = х »
{
Пример 1. у/8 = 2, так как 23 = 8, а у/- 2 7 = - 3 , так к ак (-3 )3 = -2 7 .
В то же время ^16 = 2, поскольку 24 = 16, и, хотя (-2 )4 тоже равно 16,
но символ у/16 обозначает неотрицательное число. ®
Определим корень натуральной степени еще одним способом.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е --------------------------------------------------
Пусть п — натуральное число, большее 1. Корнем п-й сте­
пени называется функция, обратная функции Ц х ) = х п, за­
данной на всей вещественной оси при нечетных п, и задан­
ной на множестве Я+ II {0} всех неотрицательных чисел при
четных п.
В первом определении говорится о корне степени п, рассмот­
ренном для каждого числа, а во втором определении — о корне как
о функции. Тогда корень из числа есть значение соответствующей
функции при аргументе, равном этому числу.
ХВ самом деле, пусть при нечетном п выполнено ап —Ъп. Тогда, взяв мо­
дуль от обеих частей, имеем: \а\п = \Ъ\П(так как \хп\ = \х\п. Поскольку при воз­
ведении в натуральную степень большему положительному числу соответству­
ет большая степень, получаем из этого равенства, что \а\ = \Ъ\. Если у чисел а
и Ь разные знаки, то при нечетном п у чисел ап и Ъп также будут разные зна­
ки, поэтому из равенства ап = Ьп следует равенство а = Ъ.
234} Глава V. Корень, степень, логарифм
Мы опускаем доказательство эквивалентности этих определений.
И так, корень п -й степени определен для всех значений подкорен­
ного вы раж ения, если п нечетно, и для неотрицательных значений
подкоренного вы раж ения, если п четно.
Графики корней п -й степени при различны х п > 1 представлены
на рисунке 5.2.
Запись корня без упоминания степени означает арифметический
квадратный корень, т. е. корень второй степени.
Употребляя символ
мы полагаем, что п — натуральное число.
Это соглашение не^является общепринятым. Иногда в книгах встреча­
ются записи вида л/х, хотя большинством авторов принята точка зре­
ния о том, что показателем корня является именно натуральное число,
большее 1.
2. Свойства корней, вытекающие из определения
ТЕОРЕМА
Пусть п > 1 — натуральное число, тогда:
1. При всех допустимых вещественных значениях х выполнено
равенство: (у[х)п = х.
2. При нечетных п выполнено равенство у[~х" = х, а при четных
п — равенство у[~х” = |х|.
3. Пусть а > Ь, тогда у[а > у/Ъ. В частности, если а > 1, то у[а > 1.
4. При нечетных п выполнено: \/а е й уГ^а = -у[а.
д о к а з а т е л ь с т в о . Д окажем все указанны е свойства, пользуясь по­
переменно определениями корня из числа и корня как функции.
1.
Свойство прямо следует из определения, так к ак корень п-й сте­
пени — это такое число, которое при возведении в п-ю степень даст под­
коренное выражение.
□
Щ ^ § 2 9 . Корень натуральной степени
2. Что такое д/х^? Это такое число, которое при возведении в
п-ю степень даст подкоренное вы ражение, т. е. х п. Д ля случая нечет­
ного п на эту роль подойдет число х (то, что других «претендентов»
нет, доказано в сноске на стр. 233).
Для случая четного п имеется дополнительное требование: значе­
ние корня должно быть неотрицательным. Имеются два числа: х и - х ,
дающие при возведении в п-ю степень число х п. Неотрицательное из
них и есть |х|.
Другим доказательством свойства 1, а такж е свойства 2 для слу­
чая нечетного п может служ ить применение свойства обратной
функции. Ведь фактически (л /х )” и
— это результат компо­
зиции двух взаимно обратных функций, а эта композиция являет­
ся тождественным преобразованием. __
В случае же четного п композиция \/х" , рассматриваемая на мно­
жестве неотрицательных чисел, дает такж е х, а рассматриваемая на
множестве к , не является композицией взаимно обратных ф унк­
ций (поскольку ф ункция х п, определенная на К, уж е необратима).
3. Отметим, что при четных п числа а и Ь долж ны быть неотрица­
тельными, а при нечетных п эти числа могут быть любыми.
Требуемое свойство легко вывести из того ф акта, что для неотри­
цательных чисел из того, что а > Ъ, следует, что ап > Ьп. В самом деле,
например, в случае четного п докажем от противного, что если а > Ь,
то у[а > л/б. Предположим, что у[а ^ у!ь , но тогда ( ^ ) " « ( л ) “,
т. е. а ^ Ь — противоречие. Аналогично доказы вается это свойство и
для нечетных значений п .
Указанное свойство такж е следует из того, что ф ункция ух я в л я ­
ется обратной к монотонно возрастающей функции х п, а следователь­
но, по свойству 1 обратных функций такж е монотонно возрастает (еще
раз подчеркнем, что при четных п ф ункция х п рассматривается задан­
ной на множестве неотрицательных чисел, а при нечетных п — на
множестве всех вещественных чисел).
4. Заметим, что при четных п аналога этому равенству быть не мо­
жет, так как при а Ф 0 только одно из чисел а или - а будет леж ать
в области определения корня. Рассмотрим л/—а при нечетном п . По
определению это число, при возведении которого в п-ю степень полу­
чится - а . Легко убедиться, что при возведении числа —у[а в п-ю сте­
пень действительно получится - а , т. е. ( - д / а ) ” = (—1)л • (л /а )” = - а (по­
скольку п — нечетное число). 11
Пример 2. При каки х значениях х выполнено равенство:
а) ^/(х - I)4 = 1 - х; б) (л/х - I ) 4 = 1 - х?
□ а) По свойству 2 из исходного равенства получаем | х - 1 1= 1 - х.
Модуль числа равен противоположному числу тогда и только тогда,
. IЧ
■
236 Глава V. Корень, степень, логарифм
когда число неположительно. Поэтому указанное равенство выполнено
при х < 1.___________________________
б)
По свойству 1 имеем (у х - 1^ = х - 1, при этом, поскольку
показатель корня — четное число, подкоренное выражение должно
быть неотрицательным. Получаем: х — 1 = 1 - х при условии х ^ 1.
Равенство выполнено при х = 1. Ш
Пример 3. Найдем [^-л/127^
□ Заметим, что по свойству 3 выполняется у[32 < у/127 < ^243, т. е.
2 < у/127 < 3. Тогда - 3 < -у/127 < -2 . Таким образом, наибольшее це­
лое число, не превосходящее -л/127, есть -3 . И так, [ - л/127] = -3 . 1
3. Свойства корней, связанные с арифметическими
действиями
ТЕОРЕМА
Пусть п — нечетное натуральное число, а, Ь — произвольные ве­
щественные числа, тогда:
1.
Ч[аЬ = Ч[а-Ч[ь.
2. л[а™ = (у[а)т, где т — произвольное целое число.
1а
3. При Ь ф 0 выполнено я— =
лГэ
\ь
ч/Б
□ д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Что такое л!аЬ? Это число, при возведении
в п-ю степень дающее аЪ. Значит, для доказательства равенства до­
статочно проверить, что правая часть при возведении в п-ю степень
даст аЬ.
, _
.
/ .
/ г\п
И так, имеем [у/а • л/Ъ) = (л /а )” • \ ЦЪ) = аЬ по свойству степеней
и свойству 1 предыдущей теоремы.
Аналогично доказы вается свойство 3.
2.
Свойство 2 при натуральном т следует из определения степени
с натуральным показателем как многократного умнож ения числа на
само себя, а такж е предыдущего свойства:
у/ат = %/а • а • . . . • а - у[а • у[а • . . . • у[а = (л /а)т.
т раз
т раз
При целом отрицательном т запиш ем (используя определение сте­
пени с натуральным показателем, свойство 3 и доказанное свойство 2
для натурального показателя -т):
^
^
\а~т
= _ а _
= № )-.
4 У
Д ля т — О утверждение очевидно (обе части равенства равны 1). В
■ и § 29. Корень натуральной степени
Не так просто обстоит дело в случае, когда показатель корня —
четное число. Это связано с тем, что из двух возможных корней урав­
нения х п — а выбирается лиш ь неотрицательное, а такж е с необходи­
мостью следить за областью определения.
Поэтому формулировки свойств (по смыслу тех же) будут более
громоздкими, а их применение — затрудненным.
ТЕОРЕМА
IПусть II
п
т е Iпис
-игюли.
■ да.
— четное
число.
Тогда:
1. Если а > О,
Ь0
>, то л/аЬ = а
[у •
2. Если а и
.--
и при
,—
О я— =
\Ь Ч]Ь
Ьаковы,
т
что аЬ > 0, то Ч[аЬ = ^\а\ ■^[\Ь\ и при
О
„II=
М
Ь
пЩ
3. При а > 0 выполнено * Уа^=( * Уа) т , где т — произвольное
целое число.
д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Доказательство свойства 1 дословно сов­
падает с доказательством свойства 1 предыдущей теоремы с учетом
того, что д/а • л[ь ^ 0 (ведь свойство такое ж е, просто в условие тео­
ремы добавлено а ^ О, Ъ > 0, что обеспечивает существование кор­
ней как в левой, так и в правой части).
2. Чтобы доказать свойство 2, нужно показать, что правая часть
равенства является корнем п -й степени из аЬ (соответственно из - ) ,
Ь
т. е. что это неотрицательное число и при возведении его в п-ю сте­
пень получится аЬ (соответственно —). Неотрицательность правой
Ъ
части очевидна, а при ее возведении в п-ю степень получается про­
изведение (соответственно частное) модулей чисел а и Ъ. П оскольку
по условию аЬ > 0, то аЬ = \ а\ • |б|, а такж е ^ = —|, при Ь Ф 0.
^□
3. Доказательство свойства 3 дословно совпадает с доказательст­
вом соответствующего свойства из предыдущей теоремы. Щ
З а м е ч а н и е . В случае четного п при а < 0 и четном т может су­
ществовать Ц}ат , но при этом не существует л /а , а следовательно,
и (л/а)т . Д ля этого случая можно доказать свойство
л /а т
=
0 /м ) т-
О Предостережение. Неверно, что при всех а и Ъ ^ а + Ъ = ?[а + Ф
Это равенство не выполняется почти никогда (см. задачу У.26)!
).
238 Глава V. Корень, степень, логарифм
ТЕОРЕМА
П
.........
—.............................. .........................................«д
Пусть а ^ 0, п> 1 и р — произвольные натуральные числа. Тогда
=
В силу неотрицательности обеих частей равенпр 1 ~
ства можно сказать, что у а р — это такое число, которое при возве­
дении в степень пр дает ар (подумайте, зачем здесь нуж на ссылка на
неотрицательность частей равенства). Поэтому для доказательства ра­
венства достаточно показать, что при возведении левой части равен­
ства в степень пр получится ар.
□
д о к а з а т е л ь с т в о
.
Действительно, (%1а^пр = ^ (л /а )” ^ = а р.
С л е д с т в и е . При а > 0, целом т и натуральны х п > 1 и р выпол­
нено равенство \/а т = пл1а тр .
Утверждение следствия получается применением предыдущей
теоремы к числу ат .
З а м е ч а н и е . К сожалению, для отрицательных а утверждение
теоремы может оказаться неверным. Н апример, при а = -1 имеем
V-Т = -1 , в то время как 3‘^(-1)2 = 1. (Кстати, какое место в доказа­
тельстве теоремы «не работает» при отрицательных а?)
Конечно, можно было бы разобраться в том, какие равенства
будут верны в случае отрицательных а, в каком месте надо поставить
модуль и т. п., но практического смысла все эти изы скания иметь не
будут.
------
ТЕОРЕМА
П
Пусть т и п — натуральные числа больше 1, а ^ 0. Тогда
Ф а = т^[а.
д о к а з а т е л ь с т в о . В данном случае,
в силу
обеих частей равенства, ту[а — это такое число,
дении в степень т п даст а. Поэтому достаточно
возведении д/л/а в степень т п получится
г
( .---= ( У ^ )п = а . В
□
I
неотрицательности
которое при возве­
проверить, что при
а. Действительно,
Ясно, что утверждение теоремы остается верным и для отрица^
тельных а при условии существования всех входящ их в него выра
ж ений, т. е. при нечетных т и п .
_
2391 §29. Корень натуральной степени
4. Примеры использования свойств корней
Пример 4. Представим в виде корня выражение а4ь при: а) а>0; б) а<0.
□ а) При а > 0 имеем а = 4 а 4 , откуда (А[ъ - 4 а 4 • 4 Ь = Vа4Ь.
б)
Записать при а < 0 равенство а 4 ь = Ца4Ь было бы ошибкой, так
как левая часть данного равенства отрицательная, а правая полож и­
__
__
___
тельная.
При а < 0 выполнено 4 а 4 = |а| = - а , откуда аЦь = - 4 а 4 •Щ - -Ц а 4Ь. 81
Представление произведения в виде одного корня называют внесе­
нием множителя под зн а к р а д и к а л а 1.
Итак, результат внесения под знак радикала четной степени за­
висит от знака вносимого множ ителя (в отличие от корней нечетной
степени, для которых верна формула а • 2к+4ь = 2к+4 а 2к+1Ь при всех а
и Ь). Верна следующая формула: а24ь = зщп а • 2Уа™Ъ.
Пример 5. Сократим дробь А = -----^ _ 6 ---п р
а - 2у1аЪ + 6
А
Т Л
6
.
( Л - Щ
(У * )2 - ( ^ ) 2
а - 2у[аЬ + (Ъд /^ )2 _ 2л/^ • л/ь + (л /ь)2
Л + Л )
- л/б)2
Д
Д
^
^
является неверным!
Действительно, после знака равенства, отмеченного *, записаны
выражения, содержащие 4а и л/б, существование которых возможно
лишь при а > 0 и Ь > 0 (при а Ф Ь). В то ж е время исходное выраж ение
определено при аЬ > 0 (и а Ф Ъ). Поэтому приведенные преобразования
осуществимы лиш ь для а ^ 0 и Ь ^ 0.
При а < 0 и Ь < 0 преобразования будут другими:
Л=
а-Ь
_
- ( ^ ) М ^ ) 2
а-24аЬ + Ь - ( л/Г ^ ) 2 _ 2 л/Г ^ .л/Г ь -(л /1 ^
(л/-6 - л/-а) (л/-а + 4-Ь) _
_ д/Ць
) 2
-(■ /-а +
4 -Ъ )2
Отдельно рассмотрим случаи: при а = 0 (поскольку при этом знак &мо­
жет быть любым) А = -1 ; при 6 = 0 (при этом знак а может быть лю ­
бым) А = 1.
Отметим, что эти значения А получаются и при подстановке а = 0
и Ь = 0 в результаты соответствующих преобразований. Поэтому окон­
чательный ответ можно записать так:
При а ^ О и Ь ^ О А — 4а_ + 4 ^ , 11^x1
ПрИ а \^ V0/ X
иI С
К/ \ 0V/АХх =
“ у ----- -->/(2 —л/6
у/—а + л/ 6
(при условии, что а и 6 не обращаются в нуль одновременно). 81
у\
Л
/
1
Радикалом (от лат. гасИх — корень) называется знак корня.
-
24о| Глава V. Корень, степень, логарифм
Интересно, что приведенный ответ можно записать, не разбирая
Т Й + 8 1 6 П Ь- ^ \ Ь\
данные случаи: А = - у =
л /|а | -
у = . Этот ответ получится, если
81& П 6 * д/161
подставить равенства а = 8 1 § п а • (д/1а | ) 2 и ^ = зц?п6 • \ Ъ | ) 2 в ис­
ходное выражение, воспользовавшись тем, что для ненулевых а и Ь
должно вы полняться 8 1 § п 6 = 8 1 § п а . При таком решении случай,
когда одно из чисел а и Ь равно 0, следует проверить отдельно (т^
как равенство 8 1 § п 6 = 8 1 §п а в этом случае не выполнено). ___
I х —5
I___________
Пример 6. Реш им уравнение (х - 3)4---------- + 21/х2 - 8 х + 15 = 1.
\ ( х - З)3
□ Заметим, что в первом слагаемом при внесении множителя х - 3
под корень получится такое же подкоренное выражение, что и во втором.
К ак мы видели из примера 4, результат внесения множителя под
корень четной степени зависит от знака этого множ ителя. Поэтому не­
обходимо разобрать два случая:
х ^
1) х > 3. Тогда (х - 3)4
=
5)(х - 3), а уравнение приУ (х-ф
обретает вид 3^](х - 5) (х - 3) = 1, откуда х 2 - 8 х + 15 = — . Реш ая полу81
Х =4+
ченное квадратное уравнение, получим
782
,— Второй корень не
л/82
удовлетворяет условию х > 3. Поэтому в данном случае ответ: х = 4 + —— .
2) х < 3. Тогда (х - 3)4
= -д/(х - 5) (х - 3), а потому уравнеУ(*-3)3
ние будет иметь вид ^/(х — 5) (х - 3) = 1, откуда х 2 - 8х + 15 = 1. Решая
х = 4 + л/2,
Первый из корней не удовлетвоэто уравнение, получим
х = 4 - л/2.
ряет условию х < 3, поэтому в данном случае ответ: х = 4 —л/2. Итак,
ответ исходного уравнения: | 4 - л/2; 4 +
Обратим внимание на то, что в решении не проверялось, имеют
ли смысл вы раж ения при найденных значениях х. Дело в том, что
выраж ение в левой части уравнения имеет смысл при условии неот­
рицательности подкоренных вы раж ений. Ясно, что каждое из них
неотрицательно при условии, что вы раж ения х - 3 и х - 5 имеют
один и тот ж е знак либо х —5 = 0. Это условие можно записать так:
§29. Корень натуральной степени
( * - 3 ) ( х - 5 ) ^ О,
Однако в процессе решения получались уравнения
X Фо*
(х- 3)(х - 5) = -р и (х - 3)(х - 5) = 1, корни которых, естественно,
81
обращают выражение (х - 3)(х - 5) в неотрицательное и не равны 3. 81
Подробнее о решении иррациональных уравнений будет рассказа­
но в одиннадцатом классе.
____
Пример 7. Решим неравенство Цх — 3 ^ 2.
□ Неравенство можно переписать в виде Цх — 3 ^ д/16. Это неравен­
ство выполняется тогда и только тогда, когда О ^ х —3 ^ 1 6 (по со­
ответствующему свойству корня, поскольку ф ункции / ( х ) = ^ х и
= х4 возрастают при х ^ 0). Ответ: [3; 19]. 81
П р и м е р 8. Решим уравнение: а) х 3 = 2 ; б ) х 4 = 2 .
□ а) По определению кубического корня получаем х = ^2. Тот же
самый результат можно было получить, извлекая кубический корень
из обеих частей уравнения.
б)
Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения
(в силу монотонности ф ункции / (х) = Цх полученное уравнение будет
X —4/2
равносильно исходному). Получаем | х | = Ц2, откуда
I- 81
|_х = - V 2 .
Приведенный пример еще раз (см. § 26, п. 1) показы вает, что
х = 2Ца,
уравнение х 2к — а имеет два корня при а > 0:
х = - 2Ца.
Пример 9. Вычислим д/26 - 15л/3 + д/26 +- 15д/3.
□ с п о с о б 1 . Попытаемся извлечь корень. Д ля этого представим
подкоренное выражение в виде куба. Разумно считать, что это куб вы ­
ражения вида а - Ьу!з, и попытаться подобрать соответствующие а и Ь.
Возведем а - ъЦз в куб: (а - ьЦЗ)3 = а 3 + 9аЬ2 - зЦЗ(а2Ь + Ь3). П ри­
равняв соответствующие слагаемые, получим систему уравнений
дЗ _|_9а^2 _ 26
о, , о - ’ Подбирая целые а и 6, получим, что Ь является поло­
т ь + Ъ6 = 5.
жительным делителем 5, т. е. либо 1, либо 5. Подставив Ъ - 1, полу­
чим а = 2. И так, удалось подобрать: 26 - 15д/3 = (2 - л/3)3, а тогда
26 + 15л/3 = (2 + л/3)3. Следовательно д/26 - 15л/3 + д/26 + 15л/з = 4 (поду­
майте, почему можно не проверять это равенство).
способ
2.
Обозначим д/26 - 15л/з + д/26 +- 15л/з = х. Тогда
*3 = 52 + 3 ^2 6 - 15л/3 • ^26 + 15л/з("^26 - 15л/3 + ^2 6 + 15л/3
242| Глава V. Корень, степень, логарифм
(здесь использована формула куба суммы в форме (а + Ь)3 = а3 + Ь3+
+ 3аЪ(а + &)), откуда х 3 = 52 + Зх.
И так, искомое число является одним из корней уравнения
х 3 - Зх - 52 = 0. Подберем целый корень этого уравнения, который
следует искать (см. главу II) среди делителей свободного члена. Пере­
бирая делители, найдем х = 4.
Однако решение на этом не заканчивается. Вдруг у этого уравне­
ния есть еще корни? Тогда возникнет вопрос отбора среди этих корней
нужного нам.
Поделив многочлен х 3 - Зх - 52 на х - 4, получим х 3 - Зх - 52 =
= (х - 4 )(х 2 + 4х + 13). Уравнение х 2 + 4х + 13 = 0 не имеет вещест­
венных корней, а потому у многочлена х 3 - Зх - 52 нет вещественных
корней, кроме х = 4. Поэтому искомое выраж ение равно 4. 11
0 3 0 . Обобщение понятия степени
В курсе основной школы было определено понятие степени с це­
лым показателем. В данном параграфе будет дано понятие о степени с
любым вещественным показателем.
1. Определение степени с рациональным показателем
Попытаемся записать у[а как некоторую степень числа а, т. е. ах.
Разумным является требование сохранения основных свойств опера­
ции возведения в степень, в частности, чтобы при возведении степени
в степень показатели перемножались. Мы знаем, что (л/я) п = а \ отку­
да, если считать что у[а = а х, получим (ах)п = а 1. Условие сохранения
свойства возведения степени в степень влечет апх = а 1, откуда пх = 1,
т. е. х = —.
п
И так, добиваясь сохранения свойства возведения степени в сте­
пень, необходимо принять условие у[а = а» . А тогда, зная, что
( й ) " = у1ат , получаем, что у а должен быть равен а « (если мы хо­
тим, чтобы свойство возведения степени в степень сохранялось),
и приходим к следующему определению:
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ------------------------------
- - ......................... .
1) Пусть а > 0, /л е
,пе М , п 1. Результатом возве
2
числа а в степень — будем называть число %/ат , т. е.
™
I—
л
а л = <Цат.
2) Пусть Г — положительное рациональное число. Тогда О1= 0.
243 § 30. Обобщение понятия степени
Отметим, что при п — 1 вы ражение а п есть степень с целым пока­
зателем, определенная в курсе основной ш колы.
З а м е ч а н и е . Рассуждение, предшествующее определению, ничего
не доказывает, а лиш ь объясняет естественность введения именно та­
кого определения.
т
Мы знаем, что разным записям вида — может соответствовать
п
1 2
3
одно и то же рациональное число (например, —= —= —и т. д.). Поэто2
4 6
му пока данное определение дает результат возведения числа а в сте­
пень, зависящ ий от способа записи показателя (т. е. отдельный ре1
2
зультат для а 2, отдельный — для а 4 и т . д . ) . Разумно проверить,
совпадут ли результаты возведения в степень для равных показателей.
Заметим, что каждое рациональное число единственным образом
представляется в виде
где р е 2 , ^ е N и (р; д) = 1. Любая другая за­
пись этого числа получается умножением числителя и знаменателя на
одно и то ж е ненулевое целое число. П оскольку всегда можно считать,
что знаменатель дроби положителен, то необходимо доказать, что при
умножении ч исли т еля и зна м енат еля дроби на одно и то же н а т у ­
ральное число значение степени с дробным показателем не изменится.
Т Е О Р Е М А (корректность определения степени с рациональным показателем )
т
тк
Пусть а > 0 , т е 2 , п е М , п > 1 , / ( е ^ тогда а~п = а~г* .
. По определению степени с рациональным покапък
/■■■- ■
—
зателем а»* = пу1атк.Согласно следствию на с. 238 пл1атк = Щат , что,
I
□
I
д о к а з а т е л ь с т в о
т
в свою очередь, равно а * по определению степени с рациональным по­
казателем. 11
В отдельном рассмотрении нуждается случай п — 1 (поскольку не
определен корень первой степени). Д ля этого случая утверждение тео­
ремы корректности выглядит так:
и
тк
Пусть а > 0, т е ! , к е
тогда ат = а^~.
Доказательство этого утверждения вытекает из теоремы на с. 238.
Обратим внимание на то, что степень с показателем, равным —,
определена нами для положительных а, несмотря на то что л/а опреде­
лен и для отрицательных а. Это сделано не случайно.
1
Действительно, попытаемся определить (-1)3. Согласно рассужде­
нию, предпосланному определению степени, мы должны положить,
что (-1)3 = л/-1 = -1 . В то ж е время, если мы хотим пользоваться тем,
2441 Глава V. Корень, степень, логарифм
1 2
*
1 2
что —= —, то нужно, чтобы результаты возведения в степень - и были одинаковыми. Но по определению (-1)® = ^/(-1)2 = 1. Таким обра­
зом, ради того, чтобы иметь возможность возводить отрицательные
числа в степени с нечетными знаменателями, пришлось бы отказаться
от возможности сокращ ать дробь в показателе степени.
О О трицательные числа нельзя возводить в рациональную сте­
пень, не являю щ ую ся целым числом.
Напомним, что число 0 можно возводить в степень с положитель­
ным показателем (по определению, что результатом будет 0) и нельзя
возводить в степень с отрицательным показателем.
2. Свойства степени с рациональным показателем
ТЕОРЕМА ... ............ ............. ... - ........... - --—
Пусть а, Ь — произвольные положительные числа, гл, г2 — произ­
вольные рациональные положительные числа. Тогда:
/
1. а г1 -Ь г1 = (аЬ)г1 .
V/11
3. а г1 • а г2 = а г1 + г2 .
2. а гч : Ьг1 =
•
(*
4. а г1 : а г2 = а г1 " г2 . 5. (аг1)Г2 = аггъ .
д о к а з а т е л ь с т в о . Все указанные свойства следуют из теоремы кор­
ректности и соответствующих свойств корней. Докажем свойство 1.
Пусть гг =
где р е 2 , ^ е N . Тогда а п • Ьп - у[аё~ •
- %]ар • Ьр =
/
2= т](аЪ)р = (аб)9 = (аЬ)Г1.
Аналогично доказывается свойство 2.
Докажем свойство 3. Пусть
, г2 = ^ (можно считать, что
дроби гх, г2 уже приведены к общему знаменателю). Тогда
□
р
а г' - а г*=?[аГ • у[аУ = ’^ а т •
ор^/ат
+р
»
= а г' +г*
Аналогично доказы вается свойство 4.
Д окажем свойство 5. Пусть гг = —, г2 =
Тогда
ТЪ
ч
'У 2=
У= ^ ( а т К =
Т Е О Р Е М А (о сравнении степеней)
— ——
= а г1 г2. II
—.— — -----
Пусть а > Ь > 1 , 0 < с < с / < 1 — вещественные числа, гл> г2 — два
рациональных числа, 5! > з2 — два рациональных отрицательных
числа. Тогда:
1. а г1 > а г2 и а 51 > а52.
2. с г1 < с г2 и с 51 < с 52 .
3. а г1 > Ьг1 и а51 < Ь51.
4. с/г1 > с г1и сУ51 < С51.
245[ § 30. Обобщение понятия степени
р0 д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Пусть гг =
г2 =
Тогда из условия сле­
дует, что т > р (так как г1? г2 положительны, то т и р натураль­
ные). Поскольку а > 1, то а т = аР • а т
> ар, откуда в силу свойст­
ва 3 теоремы на с. 234 выполнено л1ат > л1ар , что и требовалось
доказать.
Воспользовавшись доказанны м утверждением для полож итель­
ных чисел
< —з2, получаем а~81 < а ~82, откуда следует —— >
т. е. а®1 > а 82.
Свойство 2 для оснований степени, меньших 1, следует из свойства 1. В самом
рассмотрим число - > 1. По первому свойству
юм деле, рассмот
, откуда с п < с Г2.
3. Для этого умножим обе части верного неравенства
> 1 (это
а л
неравенство верно, так как число —> 1 сначала возводится в натуЪ
ральную степень и результат тоже больше 1, а затем из него извлека­
ется корень, после чего результат такж е больше 1) на 6 Г] и получим
требуемое неравенство. Аналогично доказы вается свойство 4). И
З а м е ч а н и е . Свойство 1 выполняется и для случая, когда один из
показателей равен 0, т. е. если а > 1 и г > 0, то аг > а 0 = 1, а если д < О,
то а! < а ° = 1 .
Пример 10. Сравним а и &, если а = 0,2“6Д и Ь — 55’6.
( \—
□ Имеем а - I —I = 56Д. Тогда согласно свойству 1 получаем 56Д > 55’6. 81
Пример 11.
5
6
При каких значениях параметра а выполняется неравен-
ство а® > а 7?
□ Поскольку а возводится в нецелую положительную степень, то
5
6
6
7
-
-
0. Поскольку - < —, и при этом а 6 > а 7 , то а <
1
(если
бы а было
больше 1, знак неравенства между степенями был бы другим, а при
а - 1 и а —0 имеет место равенство степеней). Значит, 0 < а < 1. ®
/^\1->/2
.
41-^2
Пример 12. Сравним числа —
и (уЗ - 1^
I—
1
□Сравним вначале основания степени, т. е. числа
л/3 — 1 и —. По­
скольку л/3 > ^2,25 = 1,5, то л/з - 1 > 0,5 > у .
пеней отрицательный, то по свойству 2 имеем
Так как показатель сте­
> (л/3 - 1)1-л^. 81
2461 Глава V. Корень, степень, логарифм
Пример 13. Представим в виде степени выраж ение а
□
Заметим, что а > 0, иначе выражение не определено. Преобразу­
ем исходное выражение:
Г ~1
Г——---- -----
а ^ л / а -л/о2
2~
I
1 2
I
И
И Л2
/
= а - у а з -а,ь = а-А[а3+5 = а -д /а 1^ = а-
а15
и
41
= а 1-а 3° = азо. й
4 \ 0,5
Пример 14. Вычислим 11 - 2з + ^16 ^ |^1 + З23 + 2з
__
□
Преобразовав У16 = 2з, 323 = 2з, получим во второй скобке
2Л
( 2
1 + 32з + 23 = 1 + 2 - 2з + 23 = 1 + 23
Тогда исходное выражение оказывается равным
2 V\
(
2
Г 2 \ 2 >
(
2 "1
1 + 2з = 1 + 2з = 5
1-2з+2з
;
1
)
V ) \1
(предпоследний переход — применение формулы суммы кубов). 11
При решении задач со степенью могут оказаться полезными сле­
дующие советы:
1. Постараться в примерах, где есть число или переменная под
корнем, заменить радикалы на выражение со степенью (например, в
предыдущем примере вместо ^16 написали 2з и т. д.).
2. Можно попытаться выбрать такое число или переменную в сте­
пени, что все остальные будут являться целыми степенями некоторого
выраж ения. Тогда это выражение можно принять за новую переменную.
2
3 Л( Л
±
3 >|
Пример 15. Выполним действия: I а 3 + а 4 а з - а 12 + а 2 .
□
Заметим, что все степени являю тся целыми степенями выраже­
ния а 12. Имеем
\ -8
а з = | а*2 I ;
з / —V
-1
( _!_ Л 16АО з г _1_Л18
а 4= I а*2 ; а з = а*2
; аа22 == I а 12
_1 _
Таким образом, если обозначить а 12 = 6, то необходимо упростить
выраж ение
(6“8 + Ъ9) • (б '16 - Ъ + Ь18) = Ъ~8 • (1 + &17) • Ь~16 •(1 - Ъ17 + 634) =
= Ь~24 • (1 + (617)3) = &“24 • (1 +651).
_1_
9
Подставив теперь Ь = а 12, получим а~2 + а 4. Н
И Й _ § 30. Обобщение понятия степени
3. Понятие степени с вещественным показателем
Как мы поступаем на практике, когда приходится иметь дело,
например, с числом л/2? Мы заменяем его приближением — рацио­
нальным числом, отличающ имся от л/2 столь мало, что замена л/2 на
это рациональное число не повлияет на решение наш ей практической
задачи. Например, считаем, что у[2 — это примерно 1 ,4 или 1 ,5 (в за­
висимости от того, по недостатку или по избытку требуется прибли­
зить л/2) или что л/2 примерно равен 1 ,4 1 или 1 ,4 2 и т. д.
Аналогично будем возводить положительное число а в степень л/2,
т. е. возводим а в степени рациональных приближ ений числа л/2, все
более и более уточняя показатель.
Д ля практических применений этого описания возведения в ирра­
циональную степень вполне достаточно. Следует подчеркнуть, что та­
ким образом можно возводить положительное число в любую вещест­
венную степень, при этом свойства действий со степенями остаются
верными и для вещ ественных показателей.
Отметим, что мы не даем определения степени с вещественным
показателем, так как это потребовало бы определения вещественного
числа и довольно сложных выкладок. На данном этапе следует пони­
мать, как практически вычислить степень с вещественным показа­
телем, а такж е то, что свойства действий со степенями выполняются
и для вещественных показателей.
( /—л/2 ^ ^ . По правилам действий со сте­
П р и м е р 16. Рассмотрим число V2
пенями имеем ^л/2^ ^ = Л/2 Л^ ‘Л^ = л/22 = 2. Ш
Решим уравнениех2+ ^ = 4 и сравним его корни с числом 2.
□ Возведем обе части уравнения в степень — ^—г= = 2 - л/3. Полул9
чим X = 42_лМ.
1
1 2 + л/3
1
Так как 2 + л/3 > 2, то 2 - ^3 =
т= < - , а потому 42_ ^ < 42 = 2
П р и м е р 17.
2+73
2
(использовано свойство 1 на с. 244 о сравнении степеней, верное и для
степени с вещественным показателем). Ответ: х = 42_
х < 2. III
Обратим внимание, что возводить в степень с произвольным пока­
зателем можно только положительное число (или неотрицательное,
если показатель заведомо положителен).
(
Возникает вопрос об области определения функции вида ?(х)ё(х).
Мы будем считать, что если §{х) не является целочисленной кон­
стантой, то это выражение определено лиш ь при /(х ) > 0. Если ё (х )
является натуральным числом, то /(х ) может принимать любые зна­
чения. Если § (х ) целое неположительное число, то /(х ) не может
принимать значение 0.
2481 Глава V. Корень, степень, логарифм
Это соглашение, несмотря на его каж ущ ую ся громоздкость, весь­
ма логично. В самом деле, например, что такое уравнение? Это преди­
кат вида /(х ) = 0, где /(х ) — некоторая ф ункция. Но чтобы задать
функцию, нужно задать ее область определения. Таким образом, пре­
жде чем реш ать уравнение, мы должны понимать, среди каких чисел
будем искать решение. Ясно, что если левая часть представляет собой
выраж ение вида а (х )Ь(л:), то «вылавливать» те значения х, при кото­
рых а(х) отрицательно, но 6(х) целое (чтобы можно было возвести от­
рицательное число в степень), в общем случае тяж ело и громоздко.
Проще считать, что данное выражение определено лиш ь при а(х)> 0.
П р и м е р 18. У уравнения х 2 = 4 есть корни х = 2 и х = —
2. В то же вре­
мя у уравнения х!*1 = 4 есть корень х = 2, а корня х = —2 нет, несмотря
на то что при его подстановке получится верное равенство, так как
изначально показатель степени мог быть произвольным вещественным
числом. ®
Заметим, что сформулированное выше правило об области опре­
деления ф ункции вида /(х )^(л:) не является общепринятым. В некото­
ры х пособиях и на вступительных экзаменах в некоторые вузы счи­
тается, что уравнение X х — х имеет в качестве корня х = -1, а в
других, что у уравнения X х — х корня х = —1 нет. Из сформулирован­
ного нами правила следует, что у такого уравнения корнями могут!
быть только положительные числа.
____
4. Степенная функция
....—
........................
-
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
- —-—
Функция вида Т( х) =хд при а ^ О называется степенной
функцией.
Естественная область определения степенной функции
определяется следующим образом:
1) если а — натуральное число, то 0 ( 0 = /?;
2) если а — отрицательное целое число, то 0 ( 0 = /?\{0};
3) если а — положительное число, не являющееся целым,
то 0 ( 0 = [0; +оо);
4) если а — отрицательное число, не являющееся целым,
то 0 ( 0 = (0; +оо).
Примеры схематических графиков степенной функции при раз­
личны х а представлены на рисунке 5.3.
Важным свойством степенной функции является ее монотонность
при положительных (неотрицательных) значениях аргумента. А именно:
если а > 0, то ф ункция /(х ) = х а возрастает на [ 0 ; +оо);
если а < 0, то ф ункция /(х ) = х а убывает на (0; + оо).
°49[ § 30. Обобщение понятия степени
Тип монотонности степенных ф ункций, определенных при отри­
цательных х , зависит от четности числа а (напомним, что степенная
функция определена при отрицательных х лиш ь для целых а, поэтому
имеет смысл понятие четности числа а). Если а четное, то ф ункция
/(х) = ха возрастает на (-оо; 0) при а < О и убывает при а > 0; если ж е а
нечетное, то ф ункция /(х ) = х а возрастает на (-оо; 0) при а < 0 при
отрицательных а и убывает на (-оо; 0) при а > 0.
Свойство монотонности степенной функции является свойствами 2
и 3 теоремы о сравнении степеней, распространенным и на веществен­
ные показатели степени.
5. Показательная функция
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ....................... ■
- ■■■...............
—
Пусть а > 0, а ф 1. Функция Цх) = а* называется показатель­
ной функцией с основанием а.
Областью определения показательной ф ункции является все мно­
жество К вещественных чисел.
Множеством значений показательной ф ункции является откры ­
тый луч (0; +оо).
Это утверждение на уровне наш их знаний доказать строго нельзя,
но можно представить себе, что при а > 1 при больших по модулю отри­
цательных х значение вы раж ения ах будет практически нулевым (на­
пример, при а = 10 и х = —100 при выборе масштабной единицы 1 см ни
один современный физический прибор не различит Ю-100 и 0), а при
больших положительных х значения ах могут быть сделаны сколь угод­
но большими.
Если а > 1, то показательная ф ункция с основанием а будет воз­
растать на всей вещественной оси.
250| Глава V. Корень, степень, логарифм
= ах, а > 1
----------5
Если 0 < а < 1, то показательная ф ункция с основанием а будет
убывать на всей вещественной оси.
У казанные свойства монотонно­
сти показательной функции суть
следствия свойства 1 теоремы 3 для
степеней с вещественным показа­
телем.
Схематические графики пока­
зательных функций при а > 1 и при
О < а < 1 представлены на рисун­
ке 5.4. График любой показатель­
ной ф ункции проходит через точку
(0; 1), поскольку при любом а >О,
а Ф 1 выполнено а 0 = 1.
Ось Ох является горизонталь­
ной асимптотой графика на (-оо)
при а > 1 и на (+ о о ) при 0 < а < 1 .
Пример
19. Реш им
неравенство: а) 2 * 2 + * < 4 ; б) (0,3 ) * “ 1 < 0,09;
в) 2* > 0,4 • 5*.
□
а) Неравенство 2 * 2 + * < 4 можно записать в виде 2 ^ +х < Так
как ф ункция /(х ) = 2х строго возрастает, то исходное неравенство рав­
носильно неравенству х 2 + х < 2 , решив которое, получим х е (- 2 ; 1 ).
Кратко решение можно записать так:
2 *2
+ х < 4 <^1 х 2 + х < 2 » (х - 1)(х + 2 ) <
0
» х е ( - 2 ; 1 ).
б) Неравенство (0,3)* “ 1 < 0,09 можно записать в виде (0,3)* “ 1 < (0,3)2.
Ф ункция § (х ) = (0,3)* строго убывает, и исходное неравенство выполне­
но тогда и только тогда, когда х - 1 > 2 , т. е. х > 3 .
К раткая запись такова:
(0,3)*1
(0,3)*- 1 < 0,09
<=> х — 1 > 2 <=> х > 3.
в) Приведем краткую запись реш ения:
5 * > 0 / 9 Л*
2* > 0 , 4 - 5 * <=> |
(? )х1
> | <=> х <1.
9 \5/
Обратите внимание, что первый переход заклю чался в делении
обеих частей неравенства на выражение 5*, положительное при всех
вещественных х. III
Найдем множество значений функции:
а) /(х ) = 2**~х; б) д(х) = ^ х _
Пример
20.
188 § 30. Обобщение понятия степени
□ а) Пусть I — х 2 - х. Определим,
какие значения может принимать I
при вещественных х. Иначе говоря
(см. главу IV), выясним, при каки х I
уравнение I — х 2 - х относительно
переменной х будет иметь решение.
Квадратное уравнение х 2 - х - I — О
имеет решение тогда и только тогда,
когда его дискриминант В — 1 + 4*
неотрицателен. Следовательно, урав­
нение имеет реш ения, если и только
если 1 + 4^ ^ 0, т. е. I ^
. Таким
4
образом, при вещественных х вы ­
ражение I — х 2 - х принимает зна1
чения, составляющие луч ~ 4 ; + °° IКоль скоро I принимает значения на луче
ние 21 принимает значения из промежутка 2 4;
+оо
+оо
|, то вы раж е­
. Это можно уви­
деть из рисунка 5.5, на котором изображен эскиз графика ф ункции
у = 2*9 а цветом выделена его часть, соответствующая значениям I из
П роекция этой части на ось у и будет искомым множе1
ством значений. Ответ: Е ( / ) = 2 4 1 +оо
луча
4 ; +о°)-
х
. Тогда § (х ) = кЦ (х)). Мы знаем,
х2 - 1
что множеством значений ф ункции г(х) является промежуток (0; + оо).
Поэтому вопрос задачи может быть переформулирован так: какие знаб) Пусть I (х) = 2х и к (х) =
г
чения принимает ф ункция к (0 =
при полож ительны х значениях
г2- 1
аргумента?
при положительных
Множеством значений функции к {$) =
I2- 1
значениях аргумента является множество таких чисел а, для которых
I
уравнение а — —-----, рассмотренное относительно I, имеет непустое
г2- 1
множество положительных
[ОЖИТ1
корней.
I
. Умножив обе его части на I2 - 1,
Рассмотрим уравнение а =
I2 - 1
получим уравнение а(12 - 1) = I. Это уравнение ни при каком а не име­
252, Глава V. Корень, степень, логарифм
ет корня I — 1 или I ——1 (при подстановке указанны х значений в урав­
нение получаются неверные равенства). Поэтому полученное уравне­
ние будет равносильно исходному.
Уравнение а(12 — 1) = I является квадратным при а Ф 0. Рассмот­
рим сначала случай а — 0. При этом а уравнение имеет единственный
корень I = 0, который не является положительным числом. Значит,
а — 0 не входит в искомое множество значений.
Пусть теперь аф 0. Тогда уравнение приобретает вид а12- 1 - а =0.
Требуется выяснить, при к аки х а это уравнение имеет хотя бы один
положительный корень. Заметим, что если это уравнение имеет ве­
щественные корни, то по теореме Виета произведение корней равно
—1, а потому корни будут иметь разные знаки, а значит, один из кор­
ней будет положительным. Поэтому, если при каком-либо а это урав­
нение имеет вещественные корни, то такое значение а будет элементом
искомого множества. Осталось заметить, что дискриминант данного
уравнения равен 1 + 4 а 2 и положителен при всех а, а потому данное
уравнение при всех а имеет два корня, один из которых положителен.
И так, ответ: Е (^) = ( - о о ; 0) О (0; + о о ). Щ
0 3 1 . Логарифм
1. Мотивы и история появления логарифмов
Представим себе, что нам нужно умножить 28 на 25. Ясно, что это
будет 213. Задача перемножения чисел 256 и 32 уж е не столь проста.
Однако, если мы знаем, что 256 = 28, а 32 = 25, то ответ получается
сразу! Однако было бы ж елательны м получить ответ не только в виде
213, но и в виде числа...
И так, при умножении степеней двойки помогут две таблицы:
2п
2
4
8
16
32
64
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2п
2
4
8
16
32
64
128 256 512 1024 2048 4096 8192 16 384
128 256 512 1024 2048 4096 8192 16 384
С помощью первой таблицы по числу мы находим показатель сте­
пени, затем складываем эти показатели, а затем по второй таблице на­
ходим, какое число соответствует полученному показателю.
В нашем примере, умнож ая 32 на 256, мы находим в первой таб­
лице показатели степени, в которые нужно возвести число 2, чтобы
получить эти числа. С кладывая найденные показатели (5 и 8), мы на­
253 § 31. Логарифм
ходим число, соответствующее их сумме (13), во второй таблице. По­
лучается: 32 • 256 = 8192.
Естественно, произвести сложение показателей гораздо легче, чем
умножение чисел. Вопрос только в том, что нужно располагать табли­
цами степеней и показателей, аналогичными построенным. При этом,
если мы желаем перемножать не только натуральные степени двойки,
но и произвольные числа, понадобятся таблицы степеней и показате­
лей, где показатели будут необязательно целыми. Н апример, если у
нас стоит задача умножать все целые числа до 100, нужно в верхнем
ряду первой таблицы написать эти целые числа, а во втором ряду —
соответствующие показатели. Ф рагмент такой таблицы приведен
ниже (соответствующие показатели приведены с точностью до четвер­
того знака):
2х
2
3
4
5
6
7
8
X
1
1,585
2
2,3219
2,585
2,8074
3
2х
9
10
11
12
13
14
15
X
3,1699
3,3219
3,4594
3,585
3,7004
3,8074
3,9069
Экономии ради мы не помещаем здесь таблицу степеней для соот­
ветствующих показателей.
Теперь, чтобы умножить 3 на 5, можно сложить показатели
(1,585 + 2,3219 = 3,9069) и найти соответствующее число (15).
Однако, чтобы перемножить, например, 12 на 14, наш ей таблицы
не хватает. И если сомножители будут ограничены числом 1000, то
произведение — уже числом 1 000 000!
Здесь на помощь приходит следующее соображение: можно выне­
сти из сомножителей целую степень двойки и в таблицу занести пока­
затели степени, соответствующие числам от 1 до 2, через равные м а­
ленькие промежутки. Тогда можно будет умнож ать числа от 1 до 2
и целые степени двойки отдельно. Вот пример части такой таблицы:
2х
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
X
0,0144
0,029
0,0426
0,0566
0,0704
0,0841
0,0976
2х
1,08
1,09
1,1
1,11
1,12
1,13
1,14
X
0,111
0,1243
0,1375
0,1506
0,1635
0,1763
0,189
Чтобы умножить, например, 2,08 на 4,2, нужно представить эти
числа в виде произведения целой степени двойки на число, находя­
щееся в промежутке от 1 до 2 (2,08 = 21 • 1,04, 4,2 = 22 • 1,05), затем
2541. Глава У. Корень, степень, логарис^м
слож ить показатели у степеней двойки (1 + 2 = 3) и соответствующие
показатели из таблицы (0,0566 + 0,0704 = 0,1270). Таким образом, по­
лученное произведение равно 23 • а, где 1,09 < а < 1,1. Если бы шаг
таблицы в верхней строчке был меньше, чем 0,01, мы смогли бы со­
считать это произведение с большей точностью (здесь мы выяснили,
что 8,72 < 2,08 • 4,2 < 8,8).
Ясно, что таким же образом можно с помощью таблиц упрощать
деление и возведение в степень!
Именно такие соображения леж али в основе составления первых
таблиц показателей и степеней. Ясно, что умножать гораздо труднее,
чем складывать. Поэтому за счет таких таблиц при небольшой потере
точности достигался выигрыш в скорости вычислений. Фактически
такие таблицы заменяли современные калькуляторы . При этом, ска­
ж ем, двадцатизначные таблицы обеспечивали большую точность вы­
числений, чем современный десятиразрядный калькулятор.
Такие точные и быстрые вычисления были необходимы в астроно­
мии и, как следствие, в мореплавании, в механике и других областях
знаний.
Ш вейцарец Й. Бю рги1 (1552—1632) построил такие таблицы
с основанием не 2, а 1,0001. Они были изданы в 1620 г. В 1614 г.
Д. Непер (1550—1617) опубликовал похожие таблицы, беря в качестве
основания степени 0,9999999. Затем математик Г. Бригс (1561—1631)
в 1617 г. построил таблицы, в которых в качестве основания степени
брал число 10. Книга Г. Бригса «Логарифмическая арифметика» по­
явилась в 1624 г. Спустя 150 лет П. Л аплас2 писал: «...это открытие
сокращает время работы с месяцев до дней». В 1620 г. Э. Гунтер (1581—
1626) изобрел логарифмическую линейку — механическое приспособ­
ление, позволяющее производить вычисления на основе действий с по­
казателям и степени. До середины XX в. логарифмическая линейка
оставалась основным вычислительным инструментом инженеров и
конструкторов.
1 Интересно, что Й. Бюрги вместе с И. Кеплером ввели запятую в записи
десятичных дробей.
2П. Лаплас (1749—1827) — французский математик, физик и астроном.
Ему принадлежат многочисленные работы по теории вероятностей (предель­
ная теорема Муавра — Лапласа), математической физике (уравнение Лапла­
са). Он является создателем небесной механики, а также одним из создателей
теории теплопроводности и горения, исследователем капиллярных эффектов
и других разделов математики и естествознания. Интересно, что Наполеон на­
значил П. Лапласа министром внутренних дел, однако через два месяца осво­
бодил его от должности, сказав: «Он во все привносит дух бесконечно малых»
(видимо, П. Лаплас добивался, чтобы отчеты о расходовании средств сходи­
лись до сантима). Известен также ответ П. Лапласа на вопрос о том, где же
в его знаменитой «Небесной механике» место Богу: «Я не нуждаюсь в этой ги­
потезе! »
I
2551 § 31. Логарифм
Таким образом, мы видим, что изобретение метода вычислений
и построение соответствующих таблиц приходятся как раз на время
начала промышленной революции, потребности которой и обслужива­
лись новыми методами и инструментами вычислений.
Интересно такж е рассмотреть вопрос о выборе основания степени,
которое, как мы видим, у разных авторов таблиц было разным.
Пусть в качестве основания степени выбрано некоторое число
а > Ъ. Тогда для создания таблицы нужно вычислить показатели
степени для чисел от 1 до а, идущ их с некоторым шагом, а такж е,
наоборот, для показателей, идущ их с некоторым шагом от 0 до 1,
восстановить соответствующие степени. Такая таблица с основанием
а будет больше, чем аналогичная с основанием Ь (ведь при одинако­
вом шаге от 1 до а нужно большее число шагов, чем от 1 до 6). В то
же время, при большой точности возведения в степень (например,
с шагом 10-8) результаты возведения числа Ь в две соседние степени
будут различаться меньше, чем такие результаты для числа а. Зн а­
чит, для обеспечения необходимой точности вычислений нужно
будет произвести их больше. Поэтому слиш ком близкое к 1 число
брать так же плохо, как и слиш ком большое. Наиболее оптимальным
в этом смысле является число г, о котором подробно рассказывается
------------в главе VII.
2. Определение и простейшие свойства логарифма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ----------- ---------------------------------------------------------------- --- ---------
Пусть а > 0, а * 1. Логарифмом положительного числа Ь по
основанию а называется такая степень, в которую нужно
возвести число а, чтобы получить число Ь.
В записи 1о§а Ь число а называется основанием логарифма, а чис­
ло Ь — аргументом логарифма.
Обозначение: 1о§а 6.
Символически определение логарифма можно записать так:
1о§а Ь = х <=> а х = Ь.
1о§381 = 4 , так как
3
1о§25125 = - , так как 252 = 125. И
П рим ер
21.
З4
= 81; 1о§42 = —, так как
42 =
2;
О Из определения логарифма ясно, что его можно найти лиш ь
для положительных чисел, поскольку Ъ — а х > 0. Таким образом, лога­
рифм определен лиш ь для полож ительных чисел!
Аналогично определению корня можно сказать и так: 1о%аЪ — это
обозначение для реш ения уравнения ах = Ь.
I
25б| Глава V. Корень, степень, логарифм
—
Почему в определении логарифма основание берется положи­
тельным? Пусть, например, а ——4. В какую степень нужно возвес­
ти это а, чтобы получить, например, 2? Такой степени нет! Равно
как нет такого показателя для подавляющего большинства вещест­
венных чисел (всех, кроме целых степеней числа —4, ведь -4 ни в
какую степень, кроме целой, не возвести). Поэтому рассматривать
логарифмы с отрицательным основанием не имеет смысла.
Такж е не имеет смысла рассматривать логарифмы по основа­
нию 1. Ведь в какую бы степень ни возвести 1, будет получаться 1.
Значит, ни у какого числа, кроме 1, не будет логарифма по основа­
нию 1. В то ж е время логарифмом по основанию 1 от 1 может слу­
ж ить любое вещественное число. Поэтому символ 1о§х бессмыслен •
для всех чисел, кроме 1, а для 1 принимает какое угодно значение^
___
Такой символ никому не нужен!
О Отметим, что из определения следует, что логариф м 1 по лю­
бому основанию равен О.
Пример 22. Реш им уравнение: а) 2х = 3; б) 10^.4 = 2.
□ а) По определению логарифма х = 1о§23.
б) По определению логарифма 1о%х 4 — это такая степень, в кото­
рую нужно возвести х, чтобы получить 4. Уравнение говорит нам, что
эта степень равна 2. Значит, х 2 = 4. Кроме того, х > 0 и х Ф 1. Таким
образом, ответ: х = 2.
( 2 4
Это решение можно записать так: 1о%х 4 = 2 » <х > О, <=> х = 2. В
х Ф1
Пример 23. Реш им уравнение 1о§3(х2 - 1) = 2.
□ По определению логарифма левая часть данного уравнения — это сте­
пень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить х 2 - 1. Из уравнения
следует, что эта степень равна 2. Значит, х 2 - 1 = З2, откуда
Х
©
-л/Ю.
Обратим внимание на то, что в данном решении не проверялось,
что х 2 —1 > 0, поскольку мы искали те х, при которых х 2 - 1 равно
степени положительного числа, т. е. положительно.
Пример 24. Реш им уравнение 10&*(х + 3) = 2.
□
По определению логарифма левая часть данного уравнения —
это степень, в которую нужно возвести х, чтобы получить х + 3. Из
уравнения следует, что эта степень равна 2. Тогда х 2 = х + 3. При
этом, так как х находился в основании логарифма, нужно учесть х > О
и х Ф 1. Таким образом, получаем ответ: х = * +
сеивается, так как является отрицательным).
2
(второй корень от-
щ ] § 31. Логарифм
Более кратко данное решение можно записать так:
х =
1оё*(х + 3) = 2 »
х 2 - хл- 3,
х > О,
»
х Ф1
1+ ^13
2
1+ у[Тз _
1 - л/Гз » х = ---------. 81
х х > О,
х^ 1
Обратим внимание, что и в данном примере мы не проверяли усло­
вие х + 3 > 0, так как из реш ения следует, что оно равно квадрату по­
ложительного вы раж ения.
На основании определения логарифма получаем:
Т Е О Р Е М А (основное логариф мическое тождество)
Пусть а > 0 , а * 1 и Ь > 0 , тогда а'°9а ь=
ь.
□ В самом деле, если возвести число а в ту степень, в которую его
надо возвести, чтобы получилось 6, то получится Ъ. 81
П р и м е р 25. Вычислим 2 5 1ое5 7.
□ 251оез7 = (52У °^7= 521о^ 7= (б10* * 7)2 = 72 = 49. 81
ТЕОРЕМА
Если логарифмы по одному и тому же основанию от чисел рав­
ны, то сами числа равны.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть 1о§аЬ = 1о§ас = I. Так к ак 1о%аЪ = I, то по
определению а* = Ъ. А так к ак 1о%ас = I, то по определению а* = с . Сле­
довательно Ъ = с. Щ
Эта теорема, несмотря на свою очевидность, имеет важное значе­
ние, особенно при решении уравнений, так как позволяет заменять р а­
венство чисел равенством логарифмов и наоборот.
Реш им уравнение:
а) 1о§3(дг + 2) = 1о§3(2х); б) 1о§5(х - 1) = 1о§5(2х).
□ а) Вместо равенства логарифмов с одинаковыми основаниями за­
пишем равенство выражений: х + 2 = 2х, откуда х = 2. Проверка пока­
зывает, что при данном х аргументы обоих логарифмов положительны,
т. е. логарифмы определены и х = 2 является решением уравнения.
б)
Вместо равенства логарифмов с одинаковыми основаниями за­
пишем равенство выражений: х - 1 = 2х, откуда х = -1 . Однако при
х = -1 аргументом логарифма оказы вается отрицательное число! По­
этому у данного уравнения решений нет.
В отличие от уравнения пункта «а» здесь проверка области опре­
деления привела к отсеиванию корней.
П р и м е р 26.
:Д || Глава У. Корень, степень, логарифм
К раткая запись реш ения может быть такой:
1о§5(х - 1) = 1оё5(2х) <=>
€0"
Опять обратим внимание на то, что мы не записываем в системе
условие х — 1 > 0, так как при решении находимы те х, при которых
х - 1 = 2х, а 2х > 0. II
В заклю чение отметим, что существует несколько чисел, которые
наиболее часто встречаются в качестве оснований логарифмов, поэтому
для логарифмов по таким основаниям введены специальные символы:
1§х = 1о§10х — этот логарифм называется десятичным;
1пх = 1о%ех — этот логарифм называется натуральным (е ~ 2,71828...,
подробнее об этом числе см. в главе VII).
В информатике часто употребляется такж е логарифм по основа­
нию 2, который иногда обозначают 1Ъ, однако это обозначение еще не
стало общепринятым.
Пример 27. Докаж ем, что 1о§23 — иррациональное число.
□ Будем доказывать от противного. Пусть 1о§2 3 = —, г д е р е 2 , ^ е N .
р_
Я
Это значит, что 2 9 = 3 по определению логарифма. Тогда 2р = 3?. Оче­
видно, что р Ф 0. Если р < 0, то 2р < 1, а 3? > 1, а значит, равенство
2р = Зд не может вы полняться. Если ж е р — натуральное число, то мы
получим равенство двух натуральных чисел, одно из которых в своем
разлож ении на простые множители содержит только двойки, а дру­
гое — только тройки, что противоречит основной теореме арифмети­
ки. Полученные противоречия доказывают утверждение задачи. II
В предыдущих рассмотрениях осталось недоказанным то, что
сущ ест вует логарифм каждого положительного числа по любому
полож ительному, не равном у 1, основанию.
Этим утверждением мы активно пользуемся (иначе трудно объ­
яснить, почему существует, например, 1о§23 из предыдущего при­
мера). Доказательство данного утверждения в курсе приведено не
будет. Во всяком случае, это утверждение того же ряда, что и су­
ществование корня квадратного из любого положительного числа
(и доказы вается примерно так же). Поэтому если в курсе основной
ш колы никто не усомнился в существовании корня квадратного, то,
нет оснований сомневаться и в существовании логарифма!
3. Свойства логарифмов,
связанные с арифметическими действиями
П оскольку логарифм есть не что иное, как показатель степени, то
свойства логарифмов повторяют свойства показателей степени. Напри­
мер, если степени перемножаются, то показатели складываются. По­
этому логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
259 § 31. Логарифм
Объединим свойства логарифмов, связанные с арифметическими
действиями, в теорему:
Т Е О Р Е М А (о свойствах действий с логариф мами)
Пусть а > 0 , а * 1, Ь> 0, с > 0, а * 0 — вещественные числа.
Тогда:
1. 1ода (Ьс) = 1ода Ь + 1ода с.
2.
3. 1одаЬа = а!одаЬ.
4. !ода(ХЬ = —1одаЬ.
|о 9 а ^ |
= | о 9 а Ь - !ода с.
д о к а з а т е л ь с т в о . 1) В левой части равенства степень, в которую
нужно возвести число а, чтобы получить 6с, а в правой части — сумма
степеней, в которые нужно возвести число а, чтобы получить числа 6
и с. По правилам действий со степенями при перемножении степеней
с одинаковыми основаниями, показатели степеней складываю тся, сле­
довательно, можно записать:
а 1оёаЬ+1оеас_ а 1оёаЪ. а ^ёас - \уС§
□
Значит, правая часть доказываемого равенства — это показатель сте­
пени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить 6с, т. е.
1оеа(6с).
Аналогично доказываются свойства 2 и 3. (Докаж ите их самостоя­
тельно.)
Докажем свойство 4. Требуется убедиться, что показатель степе­
ни, в которую надо возвести аа, чтобы получить число 6, равен —1о%аЪ.
Для проверки этого возведем аа в степень ^ 1 о § а6. Получим
(а “ ) ^ 1оеаЬ = а “' ^ 1ое° Ь = а х°е«ь
В
З а м е ч а н и е . К равенствам, упомянутым в теореме, в полной мере
относятся замечания о свойствах корней четной степени. Например,
1оёа(6с) определен при а > 0 , а ^ 1, 6с > 0 , при этом числа б и с могут
быть оба отрицательны. Поэтому, например, равенство 1 можно запи­
сать так: 1о§а (6с) = 1о§а |б| -г 1о§а |с|. Однако такое равенство нельзя
«прочесть справа налево», ибо правая часть определена при 6 ^ 0 ,
с Ф 0, а левая часть — лиш ь при 6с > 0.
Аналогичное замечание имеет место относительно свойств 3 и 4.
Например, выражение 1о§2х 2 определено при х Ф 0, а 21о§2х — при
х > 0. Поэтому верное равенство в данном случае вы глядит так:
1о &2 х 2 = 2 1 о § 2 |л : | .
По тем ж е причинам не верно равенство 1о§ 4 5 = —1 0 ^ 5, а верно
1
равенство 1о§ X4 5 = —1оё\х I\5-
*
4
260 1 Глава V. Корень, степень, логарифм
П р и м е р 28.
2
Вычислим 1о§5- + 1о§25 2,25.
о
□
Рассмотрим второе слагаемое:
1оё25 2,25 = 1о§52 (1,5)2 = |1 о &5(1,5)2 = | .
1,5 = 1оёб 1,5.
Тогда значение искомого вы раж ения равно
1о § 5 I
+ 1 о ё 5 1 ,5 =
1оё5
§ • 1 ,б 1
=
1о§5 1 = 0 . ®
Избавимся от знака логарифма в записи числа 8 1ое43“ 1ое1бТ.
□ П оскольку основание степени и основания логарифмов являют­
ся степенями числа 2, разумно представить их в виде этих степеней.
Имеем
П р и м е р 29.
1 10^2 3
§1ое4 3 - 1ое167 _
( 2 3 ) 1ое22 3 - 1° ё2* 7 =
( 2 3 )2 10623
3
_ (21°823)2
4 10627 =
|
1о е г З
№ 3)2
А
(2 3 )4 1082 7
2 4 1082 7
3
32
з “ "Т* ®
( 2 1о82?)4
П р и м е р 30.
74
Реш им уравнение
1оВ3((* - 3)(х - 2)) - 1оев( ( х - 2 ) ( х - 5)) = - 1 .
□ Преобразуем левую часть, приведя ее к виду логарифма частно^
^
3
1
го. Получим 1о§я
= -1 , откуда --------= - , откуда х = 2. Однако
х- 5
х- 5 3
х = 2 не входит в область определения данного уравнения, ибо обраща­
ет в нуль аргумент логарифма. Поэтому ответ: решений нет.
То же самое решение может быть записано так:
1оВ8((х - 3 ) ( * - 2 )) - 1ов3((* " 2 ) ( х - 5» = - 1 <=>
(х - 3)(х - 2) > О,
(х-2){рс-5)>0,
1
* -3
,
з ж-$г=
(х - 3)(х - 2| > О,
(х - 2)(х - 5) > О,
х-3
1
х- 5 3
(х - 3)(х - 2) > О,
( х - 2 )(х - 5)>0, » х е 0 . Ш
х= 2
Пример 30 показывает, насколько внимательно нужно относить­
ся к преобразованиям логарифмических вы раж ений. При решении
уравнений и неравенств нужно следить за сохранением области опре­
деления.
2611 § 31. Логарифм
4. Формула перехода к другому основанию
Рассмотрим основное логарифмическое тождество и найдем лога­
рифм от обеих частей равенства по произвольному основанию с (с > 0;
с Ф1). Это возможно, так как равенство логарифмов эквивалентно ра­
венству их аргументов.
Имеем 1о%с(а1оёаЬ) = 1 о В о с п о л ь з о в а в ш и с ь свойством 3 теоремы
о свойствах действий с логарифмами, получим следующее полезное ра­
венство:
1оёса - 1 о ё аЬ = 1оёсЬ.
(1)
Эта формула имеет такж е другой вид, называемый формулой пере­
хода к другому основанию:
1
^ 1оёсЬ
1о
ё а Ь= Г~—
1оёса
(данная формула верна при а > 0, а Ф 1, Ъ > 0, с > 0, с Ф 1).
В таком виде формула вы раж ает логарифм по основанию а через
логарифмы по основанию с. В частности, она означает, что логарифмы
по двум разным основаниям различаю тся лиш ь коэффициентом про­
порциональности .
В некотором смысле логарифмы ведут себя как дроби. Сравните:
\оёса • 1о
ё аЪ= 1о
Пример 31. Вычислим 1о§23 • 1о§34 • 1о§45 • 1о§58.
□ Согласно формуле (1) получаем 1о§23 • 1о§35 * 1о§58 = 1о§25 • 1о§58 =
= 1о^28 = 3. ®
Пример 32. Д окажем, что а 1оёьс = сХоёъа.
□ Поскольку а = с1оёса, получаем а 1оё*>с = с1оёса' 1°еьс = с1оёЬа9 щ
Пример 33. Упростим а 1ёа .
□ В показателе степени стоит отношение двух десятичных логариф­
мов. По формуле перехода это отношение равно 1о§а 1§а. Тогда исход­
ное выражение равно а 1оёа1ёа = 1§а. 81
Пример 34. Пусть 1^2 = а, 1^3 = Ь. Выразим через а и & число
,
25
0 ,6 72'
25
□ 1о§6— = 1од625 - 1о§672 = 21о§65 - 1о§62 - 2. П оскольку в уелоI^
вии даны десятичные логарифмы, перейдем к основанию 10:
1е5
1е5
1е5
2621 Глава V. Корень, степень, логе
Заметим, что 1 = 1&10 = 1§5 + 1§2, откуда 1§5 = 1 - 1§2 = 1 а
вательно, 11огк5с = 1 _ .
Следо-
а + .Ь „
В то ж е время 1оей2 = ---- = ------- . Таким образом, окончательно
,
25
50 + 25 —2 „
186 в + »
1о8« й =
1ГГь'
О Важным следствием формулы перехода является формула за­
мены аргумента на основание: 1& = -------.
1оеьа
Пример 35. Вычислим 8 1 10673.
1
□ 8 1 10673 = (34)1о6з7 = (з1оез7)4 = 74 = 2401. II
П рименяя формулу перехода и ее следствия в уравнениях и нера­
венствах, важно следить за областью определения.
Пример 36. Реш им уравнение 1о§2х • Ь&Ддс + 3) = 2.
□ Преобразуем левую часть уравнения \о%2х *
+ 3) = 1о&2(:х: + 3).
Тогда, реш ая уравнение, получаем 1о§2(х + 3) = 2, откуда х = 1. Одна­
ко х — 1 не может быть корнем уравнения, поскольку в основании вто­
рого логарифма окаж ется 1. Таким образом, у данного уравнения неа
решений. III
5. Логарифмическая функция и ее монотонность
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е .........................................
- ............... .... .......... ■■■■■■■■■ .........
Пусть а > 0, а ф 1. Функция Цх) = 1одах называется логариф­
мической функцией.
Естественная область определения логарифмической функции —
( 0 ; + о о ).
К ак следует из формулы перехода, любые две логарифмические
ф ункции отличаются лиш ь коэффициентом пропорциональности. Та­
ким образом, можно изучить одну из них и получить сведения про все
функции.
Исследуем на монотонность функцию у = 1%х. Пусть х г > х 2>0.
ОС
ОС
ОС
Рассмотрим 1 ё х г - \%х2 = 1§—
> 0, ибо поХ2 . П оскольку —
Х2 > 1, то 1§Х—
2
казатель степени, в которую нужно возвести 10,чтобы получить чис­
ло, большее 1, должен быть положителен (см. замечание на с. 245).
Таким образом, ф ункция у = 1%х возрастает на всей области определе­
ния. Значит, если х > 1, то \%х > 0, а если х < 1, то 1&х < 0.
2633 § 31. Логарифм
1^ х
1оепх = ——.
1%а
Поскольку 1§а > О, ф ункция 1о§ах по­
лучается из возрастающей функции
умножением на положительный коэф­
фициент —
—
—, т. е. возрастает.
Пусть
а > 1.
Тогда
При 0 < а < 1 ф ункция 1о§а х полу­
чается из возрастающей функции умно­
жением на отрицательный коэффици­
ент -— , т. е. убывает.
1%а
Схематически графики функции
у = 1о^а х при различных а представле­
ны на рисунке 5.6. Графики всех лога­
рифмических функций проходят через
точку (1; 0), поскольку при всех а > 0,
а Ф1 выполнено 1о§а 1 = 0.
О Пусть у = ах, тогда х = 1о%ау. Таким образом, показательная и
логарифмическая функции с основанием а являются взаимно-обрат­
ными.
Поэтому свойства монотонности логарифмической функции могли
быть получены из свойств монотонности показательной (что ф актиче­
ски и было сделано, ведь монотонность показательной функции я в л я ­
лась содержанием свойств 1 и 2 теоремы о сравнении степеней § 30).
Пример 37. Реш им неравенство: а) 1о&2(х - 1) < 2; б) 1о§1(л: + 1) > -1 .
2
□ а) Поскольку у = 1о%2х — возрастающ ая ф ункция, то неравен­
ство 1о&2(* - 1) < 1о§24 равносильно 0 < х - 1 < 4 (левая часть неравен­
ства учитывает область определения логарифма), откуда ответ:
*б(1; 5).
б) Поскольку у = 1о§1(х + 1) — убывающая ф ункция, то нера2
венство 1о§!(х + 1) > 1о§х2 равносильно 0 < х + 1 < 2, откуда ответ:
2
2
(-1; 1). И
Пример 38. Сравним 1о§23 и 1о§34.
□ способ 1. Вычтем 1 из обоих чисел. Получаем, что необходимо
1 3
3
4
4
3
2
3
сравнить 1од2- и 1од3- . Имеем 1о§3- < 1о§3- = ---- < 1од2- , поскольСк
О
0
4
Ю^2 о
с*
ку 1оё23 > 1. Значит, 1о§23 > 1од34.
х е
264; Глава V. Корень, степень, логарифм
1о&3 4
-------- = 1о§34 • 1о§32. Требуется до1о^2 3
казать, что эта величина меньше 1. Используя неравенство о средних
геометрическом и арифметическом, получим:
с п о с о б
2. Рассмотрим частное
д
А
т
о 2 3з 4
4 ++
г "о ^ 11о2
1о23 2 _
2
”
V1од34-1ое32 < --------
11о^3о
о 238
=
11ое39
о^3 9
2
= 1,
откуда и следует требуемое неравенство. В
И
Задачи и упражнения
Определение корня л-й степени.
Свойства корней, вытекающие из определения
Группа А
У.1. Вычислите (устно):
а) ^64 ;
б) ^32 + ^81;
г) Ц ;
в) V27 + ^/(-2)4;
д)И Й / '
е)
/?“й-
У.2. Вычислите:
а) ^/0,027 + ^/0,00032;б) ^ 8 - ^
в) ^96 • 4 8 6 - ^0,084 •
■0,00001;
г) ^/1952-12 500;
д)^^5 1 2 • л/729.
У.З. Сравните числа:
а) ^ 7 - 2 и л/26 - 3; б) 6/0,199 - «/^2 и «/1,199 - ^ 2 ;
в) ^80 + л/80 и ^80 + 4л/80.
У.4. Найдите естественную область определения функции:
а) %
у1*
х~
+ 3о ; б) \л1*
х -+ 3о ;
в) а/(х - 3) ^ - V I - лг; г) Vх2
* - 1 + ^х + 1.
У.5. Реш ите уравнение:
а) х 5 = 33; б) х 6 = 33;
в) Зх4 - 5 = 0;
г) 7х5 + 8 = 2.
У.6. Найдите: а) [>/Зб]; б) [л ^ 2 3 ]; в) [>/-317 ]; г) [- ^ 1 5 б ].
У.7. Реш ите уравнение:
а) ^/2х - 1 = 3;
г) ^ 2 Ц х - 8 + 2 = 1;
б)
д) 7л:8 + 5л:4 - 2 = 0;
\[Зх + 1 =2;
е) Зх6 - 5л:3 - 2 = 0.
I
265| Задачи и упражнения
Группа В
У.8. Выразите только с помощью символов корня и знаков арифметиче­
ских действий:
а) { ^ 2 2 3 } ; б) { - ^ 2 2 в } ; в) {V—3 1 7 } ; г) { ^ - 2 3 9 } .
У.9. Решите уравнение:
а) ^/х5 + х - 1 = х;
б) ^ х 4 - х - 1 = х;
в) ^ х 3 - х 2 + х = 2 - х;
г) ^/х4 - бх3 + 33 = х —1.
У.10. Решите неравенство:
а) ^/2х + 1 < 3;
б) ^/2х + 1 < 3;
в) 3 ф .- 2х > 2;
г) 5 - ^/Зх - 8 5* 4.
У.11. На рисунке 5.7 изображены графики ф ункций I/ = -Ух, I/ = \/х,
у = л/х, у = "Ух —^/х. Установите соответствие между графиками и
формулами.
Рис. 5 .7
У.12. Постройте график функции:
а) у = 2 + л/1 - х;
б) у = 3 - %1х + 2;
г) у = |2 - VIх| + 2 1;
д)
в) у = ^/|х + 1| - 1;
у = 2 + |^ /|х | -
Свойства к о р н е й , с в я з а н н ы е с а р и ф м е т и ч е с к и м и д е й с т в и я м и
Группа А
Вычислите (У.13—У.18).
I 2 ^ ^
1/790-
О 75^9
^ «ко/Г2"\ _ч о/7Т . 0/Г2"
Глава V. Корень, степень, логарифм
4 Я И М Я Н Н Н Я И Я М И Я М Н Н Н М Ш М И М М Н М М Ш
У.14. а) 2 1 /1 0 0 . 8/12,5 : 1/1,25 - ^ ° ’° 6^
б ) Ш - г к ± +Ш
2
1 /з
У.15.а> 7 2 - 1
/
=
2
^ М
.
8/1о
- 7
V64
в) (^162 : Ц З : Ц 2 + 2 Щ
з
2
б
: ^729;
У.16. а) V» - >/65 • V» + ^65;
)
1/25 • 1 /8 -1 /= 5 -1 /2 + р ;
г) (^ 24 + ^ б ) 2 : (4л/з + Зл/б).
б) ^/б - 2л/17 • ^/б + 2717.
У.17. а) д/л/б + 4л/2 • $ / б - 2 ^ 2 •
^2^2 +Ш;
б) ^2л/13 + 4д/Сб • з|24Д - */52 • л/^40 - */52.
У.18. а) (1 - л/2) • ^ 1 7 + 12л/2;
б) ^/л/з - 2 • ^ 7 + 4л/3;
в) >/2л/б - 5 • д/49 + 2л/б;
г) ^л/б - л/1з • ^ 9 + л/бб : ^ 2 .
У.19. Упростите выражение:
а) У * ± 1 - № - ,
л/о^ + 1
б) С ^ 8 - з ' | : ( » Л + 1);
№ -2
,1 4
У
ч л/а^- л/аЬ2 з/- ^
В ,- Л Т 1 Г “ Л
ч л/а^- л/аЬ бГТ г!2
гЧ 1 & Й Г + ^
;
д) |^(1/л- - Уй)~2 + (Ух + У у) -2>) . V* + л/у.
х - у
е) - Ц г = : С 2 + ^ Щ = ] + |'3Л + 2’Л "* ^
' 4
! * « Т
Г
Й - 2 ) ! / ? + 2 1 /Г
У.20. Реш ите уравнение:
ч Хл Гх - 1 л[х*-1
А
а) —==-----------= ------= 4;
3л / ^ - 1
3л /^+1
6л/х
0 л/х
б) -7 =--------3 = - —.
л/х+ 1
2
Группа В
У.21. Упростите:
{ 1 /Г Г } - } ! /» }
1/17-1/14
’
{У зз}
{1/То?}- { - 1 1 2 }
1 /П - 1 Й ’
1 /6 -7 2 -1 /1 7
■
щ|_3адачи и упражнения
У.22. Вычислите:
а)
2^2 • ( 1 + лД)
. ( й - 1 ) ;
^4-1
6)
Л
л /2 + 1
+ 715 -
2 3 /4 5 .
( л / З — \[4Ь)
425 - 4 ^ 5
2^5
в)
^5-3
6 + ^5 у/2+
л /4 0 + 1
42 + 12 , (
л/2-3
9
г)
2-9^2*12^4+5^2-3
9 - ^/1 Г
„
л
... Vx^ +
- ---- ==; б) - г~- -— ■. —.
У.23. Сократите дробь: а)
4а& - 4
и
Ь
аыполнено
в
равенство:
У.24. При каких
а)
а4аЬ =
;б)ь 4 а =
-4аъ
У.25. Внесите множитель под знак корня:
а)
а4,3 а >;0 б)
ь42
,Ъ< 0;
д)
аЪ4ь е)
аЬ
-2;ж)
ф
в)
У.26. Какому необходимому и достаточному условию должны удовле­
творять числа
а)
4а +
Ъ
аи
4а + 4Ь;
-
Ь,чтобы выпол
б)4а +
У.27. Вычислите ^ 2 5 + 4л/б - д/1 + 2л/б^ • д/1 - 2л/б.
х2 + 2х - 3 + (х + 1) • (/х4 - 18х2 + 81
,
.
х2 - 2х — 3 + ( х - 1 ) л / х 2 - 9
Упростите выражение-------------------------Докажите равенство:
а)
д / ^ 8 + д /л /2 — 1 — д|^
л /5 + 2
-
д/л/2 -
1
4Е
М * - д/л/2 + 1
Подумайте, из каких соображений можно придумать эти равенства.
У.30. Упростите выражение
8х - у - 6 (2
4*?У~ф у 2 ) • (4
+
+
8 х 4у ~
У.31. Постройте график функции:
....
2 - х2 + х
а) /(х) =
• -••== ; б) / (х) = гЩх4 - 2х2 + I)8 - х2.
1°/(х2 —4х + 4)5
У.32.
Решите уравнение:
а) (х + 2)
\ (х
+ 2)3
+ 1 = 0;
б) (х _ 1 )6р * Е Е 1 + 2 = 0 .
Глава V. Корень, степень, логарифм
Группа С
У.ЗЗ. Найдите число а такое, чтобы одновременно были целыми числа:
а) а - у / 2 и ^ - ^ 4 + ^2;
б) а + л/9 и ^ + 2л/9 4- Зл/З.
19 /х
/9
—5л/з
г~
У.34. Д окаж ите, что число з|——
+ л/3 является целым
у.35. При каки х а естественная область определения функции
/(х ) = ^1~х2 + 2х + а - л/х - 4
состоит из одной точки? Чему равно значение функции при каж­
дом из найденных а?
У.36. Упростите выражение
х3 - Зх + (х2 - 1)т]х2 - 4 + 3|х 3 - Зх - (х2 У.37. Реш ите уравнение:
3/х +±5 = 12&3^ .
а. ) 3/х
Щ +±5 + Щ
а> ± - ^ + А 1 - =
у .38. Решите уравнение:
- 4
=^
х+1
б) (х + 1Ь / — —
+ (х - 2)4/- —-+-1— = 4^/х2 - х - 2 = 6.
(х + 1 ) 3 '
7 \ ( х - 2 )3
У.39. а) Найдите многочлен в (х) с целыми коэффициентами наимень­
шей степени, корнем которого является число л/3 + л/2.
б) Найдите остальные корни многочлена ф (х).
в) Пусть Р (х) = х6- 6 х 4- 6 х 3 + 12х2 - 77х + 13. Вычислите р ( л/2+^ з ).
О п р ед ел ен и е степ ен и с рациональны м п о казател ем
Группа А
У.40. Представьте в виде степени числа а:
У.41. Вычислите:
4
а )|3 § Г ;
8
3
б) (0,25)2;
4
в) 8 з
/
л/9, а = 3;
^16, а = 2.
1
м ) 6; г) ^ оо8)“' -
21 Г
У.42. Вычислите:
а) ^23 - 373^ ^23 + 63 + З3
у б) (*/б +
^54
Л|_3адачи и упражнения
У.43. Пусть /(х) = д/л/х - 2у[х + а.
а) Найдите !)(/) при а = 0.
б) Найдите все значения а, при каждом из которых / ( 9 9 - 70л/2) < 1.
в) При каки х а справедливо равенство Л (/) = [1; +оо)?
Решите неравенство (У.44, У.45).
+ 2 + 1
1
со
);
б)
- Зл /^ + 2
X + 4
V/
У.45. а) ХХ44 х + 4 ^ 0;
ух + 2
Ц\-2х -2
*11- 2х - 1’
б) (х - 1)д/(х - 2)(х - 4) ^ 0.
У.46. Решите уравнение:
_____
а) ^/х4 - 4х3 + 2х2 + 2х = л/б - х 2 ;
б) ^/х4 - 7х3 + 12х2 + х + 1 = л/21 - х 2 .
У.47. Дано неравенство ^ 2 х - а - 1 < ^ 2 а - х - 3. Реш ите его при:
5
а)
а - 1; б)
а -0; в)
а = —.
о
Выясните, при каки х значениях параметра а данное неравенство
не имеет решений.
У.48. Решите уравнение:
а) 2 ^ 9 х 2 - 6х + 1 + ^/Зх - 1 = 8; б) З^Дбх2 - 8 х + 1 + 4х = 5.
У.49. Решите систему уравнений:
а)
$[ху = 3 + х;
* ± У - + ^ х 2 _ ~2
+ л/ху =2>
б)
- У)2
х 2 + у 2 = 98.
6( ,х - у ) в
О п р ед ел ен и е и с в о й с т в а с т е п е н и
с р ацио н ал ь ны м и в е щ е с т в е н н ы м п о к а з а т е л е м
Группа А
У.50. Вычислите:
2
а) ( 2 ^ 2 р • (0,25)4 . ^
б) в°*^2 5 . в) [ ( ^ 5 _
2
) - 1
+ (Тб + 2 ) -1 ] .
У.51. Представьте данное число в виде степени с основанием а:
а) Тз • Тз,
г)
а =3;
б) 0,25 • ^2 • Тв,
'фдЩ
/б,а= 0,2; д) 2 • Т2 • Т2, а = 2л/2;
2 ; в) ^
Ц
/
б
е) 1 Ё Е , а = л/7;
7 4
5;
2 7 0 [ Глава У. Корень, степень, логарифм
ж ) л/2 + л/3,
а= л/3 - -\/2; з) л/2 - л/з, а = 5 - 2л/б;
и) л/2 - л/3, а = 5 + 2л/б.
У.52. Найдите естественную область определения функции:
-
а)
У =[ 2^
2
55 ] 3;
4
б) I / = (х2 - 5 х - б ) 7; в)
1
(| х - 2| - 3) 5;
_±_
1
г)
у = (б - | 5 х - 1 1)7 + (х 2 - 2х + 1) 11; д)
У.53. Сравните числа:
= (9 - х 2 ) 3 -
_1
б) 250,3 и (0,2) °’5;
г)
+ 2) 0-6 и (л/7 + 2,5) .
С
ИIсо
а) 4 Зи 2~°'75;
в) (л/5 - 2 ) 0,6 и (л/7 - 2,5)1;
У.54. Вычислите:
1
а) 9 : ( з 1- ’/з) 1+^ - 160-75;
б) (0,5)2+ ^ •
Л_Я;
1- —
2
в)
■9
г)
2
7
У.55. Д окаж ите, что число иррационально: а) 23; б) 55.
У.56. Найдите целую часть числа: а) 2 ^ ; б) 3
в)
1+л/б
-8
У.57. Упростите выражение:
а) и + Ъ +
в)
Ъ- а
1
1
а4 +64
^ 1
р2
г)
а 1,5 _ ^1,5
п=
/
г-
(Уа
а2 +62
-
-
г~\
171 -
* /’
^
2 1
, 0 /^"
П
Т~2 +
а4-6
• ?3 - 2<?з
I
*
- + р4
рО’25 + дз
\
( р 0.25+ з/^).
Упростите выражение (У.58, У.59).
1
х*
У.58. а)
+ 0 ,5 ( 2 - х)4 х 4 : (2х - х 2)0’25 • х;
2 л/(2 - х)3
б)
а- Ь
+ 2#2 +
■\[й + л/ь
За2 + З&л/аб
л/аб - а в
+ ~~з
5
а2 -Ьу[а
2
.
ЦД; Задачи и упражнения
4 а- 9 а '1
в)
~~1
а - 4 + За-1
г
а 0,5 _ о 0,5
2д/й - Зо ^
-
х 3 - л/х + 1
з
а2
у.59.а)
а2+
б) (
х3- 1
I
аб2
62
1
1
б2 - а 2
* + у[у*)
5
V
3_________ 3 _ _ 1 - У х
,/—
х+1
+ 2а2 - 4 а 6
а- 6
1 - Л
2 2 V1
\3
1
+ -
✓ 4
,-0.2
Г
И - у ) 0’3;
л/у
1\
а9Ь 9 - а9Ь9 + 3 а3 - (а3Ь)3
(а - 6)2
в)
(Г Г 1’+
(
V
• 1+х 3
1
;
) - Га3 - л/аЬ +
1
2 (а + 6)
а + Ъш
2 5
1
г)
а - 46
а - 96
^ (а6)2
✓ ь^ -6ль
Та +
6
а+
6 2
+ 9&
1
1
а 2 - 362
У.60. П остройте граф и к ф у н кц и и :
1
Л
I
а) у = х 3 и у = Ух; б) у = х 3 и у =
Ух
7
У.61. П остройте в одной систем е координат гр аф и ки у = х 8, у - х
8
и у - X7 .
У.62. П остройте граф и к ф ун кц и и :
1
1
а) У = (л*2 - 4х + 4)6; б) у - (х2 + 6х + 9) 6.
Решите уравнение (У.63—У.65).
^
У.63. а) (х2 - Зх + 10)3 = 4;
У.64. а)
х 54 = 6;
б)
4
б) Г2* + 3 ) 3 = — .
^
х 3 - 2х2
У.65. а) (х3 - х 2 - 4х - З)3 = х;
- 2 х3 - 2
х= ЗУЗ.
б) (х2 - 4х + 4)5 = (х2 + 2х - 8)5.
Реш ите неравенство (У .66— У .68).
1
2
У .66. а) л[х ^ х 6 + 2; б) х 3 ^ 4л[х - 5.
1
У.67. а) (х - 2)3 - д/2х - х 2 ^ (х2 - 2х)3;
1
б) (Зх - 2 - х 2)7 - (х - 2)2 ^ л/1- х.
У .68.
У .69.
У.70.
а) (х3 - 2)~4 < (х6 - 14) 4; б) {
>
х 0-3.
х+3
Г '±
\ _
Реш ите систему уравнений } х 3 + у 3 — 3 ,
уху = 8.
Реш ите неравенство:
а) V* - 1 + д/Зх - 2 ^ ^/5 - 4х; б) л/Г+~х - ^/-2х - 1 ^ V -*.
П о ка зате л ь н а я ф ункция
Группа А
Постройте график функции (У .71—-У.73).
У .71. а) I / = 21*1;
б) у = 1 - 21*1; в) у = 1 - 21* - х1; г) у — | 1 - 21*_11|.
У .72. а) у = 0,7*" 1 - 1;б) у = 0,71*1- 1 1; в) у = |0 ,7 Н - 1- 1|.
4*- 1
9(9^-1 - 1)
у .7 3 . а) у = ------- ; б) у — — ------------2*- 1
3* - 3
У .74. Реш ите неравенство: а) 22* + 3 > 1; б) 0 , 3 3* - 1 > 1; в) 0,5* < 4*.
У .75. При каки х а график ф ункции проходит через точку А:
а) /(х ) = 32*-1* + Ч А (1 ; 27); б) *(х) = 12 * - а| + За - 2, А (-1 ; 9,5)?
У .76. Сравните числа:
гга ) 3 л и 3 л 1 - й ; б)
„ е д )± ^ .
(2,1)^ + 3 (2,1)^ + 3
в) (О .О !)^ -^ - 2 ( 0 , 1 ) ^ и (0 , 0 1 ) ^ - ^ _ 2 (0,1 ) Л - Л .
г) (7 б + 7 з - з ) * " г и ( л/5 + 7 8 - з ) 2“ Л .
У .77.
Реш ите уравнение:
_1
а) Здс2_л: = 9; б ) 4 2* - 1= ^
Реш ите неравенство (У .78,
X
У .78. а) З х+2 ^ Зл/З; б)
У .79.
а) (л/2 + 1 ) ^ +
*; в) 83*~2 = (0.25)*2; г) (0,3)Д;3+Д;2- З = з |.
У .79).
(0,2)*?+2х< 5.
5Х+3 > (л/2 -
1
) *;
б) (Тб + 2 )* " 1 > (л/б -
I
273 Задачи и упражнения
Г ру ппа В
У.80. а) Реш ите неравенство 10* > 5*.
Iю* —5*1
б) Постройте график ф ункции у =
---- —!
110* —5*1
в) Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение ———^ - = а?
У.81 .
а) Постройте график функции у =
д /9 * -
2 • 6* + 4 * + 2*.
б) Решите неравенство д/9* - 2 - 6* + 4 * + 2* ^ 1.
в) При каких а уравнение д/9*- 2-6*+ 4 * + 2* = а не имеет решений?
У.82 . Исследуйте на монотонность и найдите супремум и инфимум
функции или докаж ите, что их не существует:
Зх+4
а) ?(х)= 3-*2+2*“ 2;
в)
б) /(х ) = 7 Х+1 ;
Г( х) = З ' + З 1-*; г) /(* ) =
7*
49х + 1
У.83. Решите уравнение:
а) 22* + 1 + 3 • 2* = 2;
б) 9* + 3 • 3*" 1 = 12;
в) 8* + 3 • 4*= 3 • 2 * + 1 ;
г) 32* + 3 + 1 = 4 • 3* + г.
У.84. Докажите неравенства для всех а, Ъ е К и определите, при каки х
а и Ь достигается равенство:
ка+1
1
аа
к
1
о. < 13 - 56 + ^ Ь 2; б) ■■■ ... . ^ ^ - Ъ + ±Ъ2.
52а+ 25
2
36а+1 + 1 6
3
У.85. Пусть М = {(х; у): 2* + 2у = 1}.
а) У каж ите координаты какой-либо точки А е М .
б) Докажите, что множество М леж ит в третьей координатной
четверти.
в) Д окажите, что М имеет ось симметрии.
г) Найдите координаты точек пересечения множества М с п р я­
мой у - —х — 1.
д*) Найдите наибольшее значение, которое может принимать
х + у для точек (х; у) е М .
а)
О пр едел ен ие л о г а р и ф м а . Л о г а р и ф м и ч е с к а я ф у н к ц и я
Группа А
Вычислите (У.86—У.89).
У.86. а) 1о§327 ; б)1од3л/3; в )1 о д ^ З ;
У.87. а) 1 0 ^ 2 ^ 2 ^ ;
б) 1 о ^ ^ /5 ;
д)1од3^ = ; е )1 о в ^ ^ = = .
в)
( ю 3 • ^ 1 0 ).
У.88. а) 31+ 1о8з6; б) 5-2- 1о8 5 7; в) 8 1об83- 1о*8 2.
У.89. а) 410627+1; б) 921°ез5 + 2; в) 3 1оеч/з 7“ 1о®949.
г) 2 7 1о^ 5~1.
2741 Глава V. Корень, степень, логарифм
Постройте график функции (У.90, У.91).
У.90. а)
у =2 1082 *; б)
У.91. а)
у =21оё2(ж_1);
б)
у = 3-1о& х;
в)
у = °хе * 2 ;
г) у = (х2)'°8* ^1Х+1,
У.92. Реш ите уравнение:
у =х 1ое*2.
1о§1( х 2 - 4)
а) 3 »
=0,2;
в) 51ое°’2* = х + 2;
У.93. Сравните числа:
а) 1о§ 2 7 и 1од4 80;
в)
1о§ 25 и 1о§ 35;
б)
г) 4 1ое°’5
х>= 9;
1- х
б)1о§ол 6 и 1од0>01 (4л2 + 1);
г ) 1ое, 5 и 1 0 ^ x 5 ;
Д) 1оё т з -7 2 7 и 1о^ - 1 6Постройте график функции (У.94, У.95).
У.94. а)
у = 1о&2( х - 2 ) ;
б)
в)
у = 1 0 ^ 1 (х + 1 );
г)
у = 1од3 ( - х + 3);
у
= кэ^о.зС-* ~ !)•
2
у = - |1 о е 0 ,в(-^)1; б)
Реш ите уравнение (У.96, У.97).
У.96. а) 3х ~ 1= 2; б) 52* + 3 = 7; в) 2*2- * + 1 = 3 ;
У.97. а) 1о§4 (х 2 - 1) = 2; б) 1о§2 (х 2 - Зх) = 2.
у = Э10^ ^ !
У.95. а)
г)
5 *2-з* + 8
=7>
Группа В
У.98. Найдите естественную область определения функции:
а) /(х ) =
1оёх2(-Зх 2);
б) /(х ) = 1од6_ *(х 2 - 4х + 4);
в) / (х) = 1о&х (4 - х 2);
г) /(х ) = 1ое2Ж(3* - 3);
д) / (х) = 108
^ (3 * - 4 х);
е) /(х ) = 1о203*(0,2* - 0,16);
ж ) /(х ) = 1о*?;2_6х+9(4* - 2).
1оёх- 0,25
Решите уравнение (У.99—У.105).
У.99. а) у!3х + 2 = 2 • 3* - 2; б) ^ 2 • 52* - 5* + 1 = ^2 • 5 Ж- 2.
У.ЮО. а) кэд^Дх2 - Зх + 2) = 1; б) 1 о § ^(х 2 - 4х + 2) = 2; в) 1о§жЗ = -1;
г) 1одж+ 12 = 2;
д) 1о84_ я* 6 = 1 .
У.101. а) 1оё(* + 2) 2 = 2; б) 1одж_ 4(5х) - 2.
У.Ю2. а) 1о§3(2 ■3* - 2) = х - 1; б) 1о&2(5 • - 6) = х + 2.
У.ЮЗ. а) 1о§ 9(2 + Зд:) = х ; б) 1о8 7( 4 9 * - 8 ) = х + 1; в) 1о§4(4х - 3 ) = 1 У.Ю4. а) 1о§ 2 х • (1 - 1од3 х) = 0;
б) 1о§5(х - 2) • ^1од4х -
= 0.
I
ДЛ_Задачи и упражнения
У.Ю5.
а) 1од2(1од3х + 1) = 2;
У.106.
Докажите, что число иррационально:
а) к>253; б) 1о&89; в) к>2 241 2 ; г) 1о2250200.
Выведите критерий рациональности числа 1о§а 6, где а и Ь — на­
туральные числа, не равные 1.
Дана ф ункция /(х ) = 1о%а +х (2ах - х 2).
а) Имеет ли решение при а = 1 уравнение /(х ) = 1?
б) Найдите все значения а, при которых ф ункция /(х ) не опре­
делена.
в) Может ли область определения ф ункции /(х ) при некотором а
состоять из одной точки?
г*) При каких а имеет реш ения уравнение /(х ) = 1 ?
Выразите формулой количество десятичных знаков натурально­
го числа п.
У.107.
У.108.
б) 1од3(1оё2л:- 1) =
Свойства л о г а р и ф м а , с в я з а н н ы е с а р и ф м е т и ч е с к и м и д е й с т в и я м и
Группа А
Вычислите (У .109—У .111).
а) 1о&2 10 - 1од2 5; б) 1од5 75 + 1о§5
У.110. а) 43'°е2^(5-М)-41оеАф -4 2 );
У.109.
1о§1 0,04
б )3
5
+1оё25(3 + 2л/2)-1оё 1 (л /2 -1 ).
5
У.И1. а) 1од216л/2;
б) 1од125 5л/5;
в)
3
1оеэ>/з.
Решите
У.112. а)
в)
У.113.
а) 1о§ 2 ( х - 5) - 1о§ 4 ( х 2 4) = 2;
б) 1од!(9х2 + 6х + 1) + 1од3(х + 1) = —1.
9
Группа В
24
х ---У.114.
1од30,5
1оё3 24 - 1°ё5 3 ’
о
------1 6 2 - 1 0 6 0 . 1 5
1ое, 27 —1о&, 3 п г , 1 ----—=5— 0,2
.
1о&4 45 + 1ое4 0,2
уравнение (У .112—У .116).
1од2(2х - 1) + 1о§2(3 - х) = 1;
б) 1од2х +
\о&4х 2=8;
1ое3х - 1 о § х(х + 2) = 1;
г) 1о§3х + 1о§9х + 1од27х = 22.
1
д)
г)
а) 21дЗ + 1§
х+2
= 21§х;
б) 1о22(1о23х ) + 1о22(1од9х ) = 1.
2761
Глава V. Корень, степень, логарифм
^ М М М М М И Я М И М М П М И М М М а Я М Я М Ш М М Н Ё
•—
г
У.115. а) 1о^2лг2 + 1°ё4 1^ 1= тг? б) 1о§3 (х 2 - 2дг + 1) = 1о§9|х - 1| + 3.
Ск
у.116. 1оёх2(х2
- 1) + 1оёх2 3 = | .
Формула перехода к другому основанию
Группа А
Вычислите (У.117—У.119).
У.117. а) 1о§23 • 1о§38; б) 1од717 • 1од17343.
1
1е(1е2)
У.118. а) 3 1о8 з3; б) 7 1 8 7 .
У.119. а) 3 1ое25- 1 : 51ой З ; б) 41_ 1о®53 • 9 1оез2.
У.1 2 0 . Найдите 1о§4515, если 1од35 = а.
У.1 2 1 . Найдите 1о§836, если 1о§122 = Ъ.
У.1 2 2 . Найдите 1од2018, если 1о§32 = а, 1од53 = Ь.
У.123. Найдите 1о§ 1 2 30, если 1о§ 2 3 =
1о§ 5 2 = 6 .
У.124. Найдите 1о2бЗ,38, если 1§2
1§13 = Ъ.
У.125. Найдите 1оётп \ -7 = , если 1о
л/тг,
= 2.
У.126. Найдите 1од „4Г-(тп^й),
если 1о
т* л/П
= •'/З.
У.127. Н айдите
\оёаЬ[ — ) , если 1од0а = -2 .
ь )~ь
У.128. Н айдите 1 о 2 ^ (а 3л/б), если 1о§а 2 = 1о§6 3.
~Т
ь3
У.129. Найдите 1о&^_ ^-(аЬ2), если 1о§3а = 1о§56.
V
У.130. а) Д окаж ите, что при с > 2 из равенства 1о%ас = 1о%ьс следует ра­
венство а = Ь.
б) Будет ли из равенства 1о§ас = 1о§&с следовать равенство а -Ь
при произвольных положительных с?
Реш ите уравнение (У.131—У.133).
у.131. а) 1о§3х + 1 0 ^ 3 =
б) 2 1 0 ^ 5 - 1о§5х = -3 .
Ск
У.132. а) 1о2* + ! (х3 - 9х + 8) • 1о2* _ х(х + 1) = 3;
б) 1 о ё х + 3(2 х 2 - 2х + 24) • 1о2*2 х ( х + 3) = 2.
У.133. а) 3 + 102* +19 = 1 0 2 ^ (# +
б) 1о8*(9х2) • 1о2§* = 4.
277 Задачи и упражнения
Л о гари ф м ическая ф у н к ц и я и е е м о н о т о н н о с т ь
Группа А
Сравните числа (у.134—у.142).
У.134. а) 1о&27 и 1о&481; б) 1о§0д6 и 1о§0,01(4л2).
У.135. а) 1о&25 и 1о§35; б)
х3 и 1ое^_^3.
У.136. а) 1о&823 и 1,5; б) 1о§27 и -2,5.
з
У.137. а) 71о®з5 и (О,49)1оез(0’5); б) (л/б+2 ) 1080,5? и (л/б- 2) 6.
У.138. а) 2 1о§73 и 1о§0 !0 ,2 ; б)
2 и 1 о д ^ _^(л/б - 2 ).
У.139. а) 1 о д |5 - 21од85 и 1 о б |3 - 21об43;
б) 1од^56+ 2 1од0>56 и 1од| 55 + 2 1од0 55;
2106x3- 1
7
и 21об49 0,2 - 1.
1о^! 3 + 1
0,2 + 1
7
г)
У.140. а)
1о^27 - 2 1о^447 - 2
и --------------- .
1о&27 - 3 1о^447 - 3
1о§2 5 - 1о§2 7 и 1 - 1 о &25;
б) 1о§35 -1 о § 1 2 и 1о29 7 + 1о&34;
з
и 1об153.
в) 1об27 + 2 1об2 3 и 1 - 1об0153б; г) 2 - —
1об2 3
У.141. а) 10^24^2
и 1обх218; б) 1обхб675 и 1об7584 375;
в) 1об36 и 1обх8 72;
г) 1об672 и 1об318.
У.142. а) 1обэ8 и
1с>687; б)1§9и 1обц 10.
Решите неравенство (У.143—
У.148).
У.143. а) 1об3(Зл: - 1) > 2; б) 1обх(4х + 3) > -2 .
2
У.144. а) 1обх(д^2 + Здг - 2) > -2 ; б) 1о6 70у2 + Зл: - 39) < 2;
в) 1об 1 (х2 з
У.145. а) 31ов2<*+1>< 9;
У.146. а)
Ъх) > 0.
б)
1об0>5(2* - 1)
1об05[\о б з ^ -± -^ 5* 0;
в) 1об3(1од х
>
х) -1;
> 0;
б) 1об2 1 -
в)
((Хб)106***2- 2*-2) < 1.
^ ^ < 1;
г) 1об0 25 (1од2л: + 3) > -2 .
V.147. а) 1од2х + 1о§2(х + 2) > 2; б) 1о§3(х2 у.148. а) 1о§|(х - 1) - 21о{ *2 ( х - 1) - 3 < 0;
б) -21о§ 2 (х + 2) + 1о§! (х + 2) + 6 ^ 0.
3
1) + 1оёх(дг + 3) < -1.
д
3
Группа В
У.149.
У.150.
Определите с точностью до десятков, сколько цифр в десятич­
ной записи числа: а) 2100; б) З100.
Пусть а ( п ) — количество цифр десятичной записи числа п.
а) Д окаж ите, что либо а ( п 2) = 2а (п), либо а ( п 2) = 2а (п) - 1.
б) Сформулируйте и докаж ите аналогичную теорему для п3.
(У.151, У.152).
^* +
Найдите множество значений ф ункции
У.151. а)
У.152.
1о %2 ( х 2
+ 6х + 8); б)
а) /(х ) = 1о§|
(х 2
б) *«*)=- 1<*|
У.153.
+ 1) - 2 \о%2(х 2 + 1)5
+ в1о85
.
Д ана ф ункция ёЧх) = 1о^2(*2 + 4х + а).
а) При
а = 1 решите неравенство ё’(х) < 2.
б) При а = 3 найдите Е (§).
в) Может ли
Е(§) = К?
г) Найдите все значения а, для каждого из которых
Е( ё ) с ( 2 ; + оо).
У.154. Реш ите уравнение:
____
а)
х =6 + 1од0 5х; б) (х + I)2 = +
1о§3(10 - х).
У.155*. а) Д окаж ите, что ф ункция 1 0 5 * (х + 1) убывает при х > 1.
б) Реш ите уравнение 1о§6 _ х (1о§2*) = 1о§7_ х (1о§2(2х)).
У.156. Реш ите неравенство: а) 10^2 > —1; б) 1о§4 2 3 < 1 .
У.157. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых не­
равенство выполнено при всех вещественных х:
а) 1оя. (х2 - х + 2а) < 1 ;
б) 1оя2„ . , (х2 + 2х + 4а) > 1;
в)
1оёа_ 2(2х + а + 1) > 1;
г) 1од3_ а (3* + а 2 - 6) < 1.
I
Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов «тригонон» — треугольник и «метрео» — измеряю. Его можно перевести
как «решение треугольников». Основные объекты изучения триго­
нометрии — тригонометрические функции: синус, косинус, тан­
генс, котангенс. Вы уже встречались с этими функциями в курсе
геометрии, где они помогали вам выразить одни элементы тре­
угольника через другие.
В данной главе мы подробнее познакомимся с этими тригономет­
рическими функциями, которые являются «самыми естественны­
ми» из периодических функций и часто встречаются в физике при
описании различных процессов.
0 3 2 . Обобщенный угол.
Измерение углов в радианах и градусах.
Единичная (тригонометрическая) окружность
1. Обобщенный угол
Рассмотрим пример.
Пример 1. При равномерном вращении колеса точка А на его ободе
проходит за одну секунду угол, равный 10°. Сколько полных оборотов
сделает точка А (рис. 6.1) и где она будет находиться относительно на­
чального положения через минуту?
□ Мы знаем, что в минуте
60 секунд. Значит, за минуту
точка А пройдет угол «600 гра­
дусов» — это один полный обо­
рот (360°) и еще 240°. Можно
изобразить положение точки А
через минуту (рис. 6.2). Ш
В этой задаче у нас возник
угол 600°. Все величины углов,
которые до этого вы изучали
280!
Глава VI. Тригонометрия
■Мид Л—■
ипт щгтшдпщ
в геометрии, принадлеж али промежутку от 0° до 360° (напомним, что
углом в геометрии мы называли часть плоскости, ограниченную двумя
лучами с общей вершиной, и градусная мера такого угла как раз и на­
ходилась в промежутке от 0 до 360°).
Однако часто (например, в приведенной выше задаче), бывает
удобно рассматривать углы как меру поворота. Несмотря на то, что
угол как мера поворота и угол в геометрии называются одним и тем
ж е словом «угол», это разные понятия.
Рассмотрим окружность с центром О и зафиксированной на ней
точкой А . Заставим теперь точку А «двигаться» по окружности в одном
направлении и рассмотрим ее положение А ' в какой-либо момент.
Естественной характеристикой положения точки А является пройден­
ный ею путь. Ясно, что этот путь однозначно определяется углом, на ко­
торый повернулся радиус О А . Этот угол называют углом поворота или
обобщенным угл о м . Он считается положительным, если точка А двига­
лась против часовой стрелки, и отрицательным, если движение точки А
происходило по часовой стрелке.
5
Например, если точка А прошла против часовой стрелки - длины
6
окружности, то соответствующий угол поворота составит 300° (рис. 6.3),
а если точка А прошла по часовой стрелке две длины окружности, то со­
ответствующий угол поворота составит 720° (рис. 6.4).
Любой обобщенный угол можно представить как несколько (воз­
можно, ни одного) полных оборотов и часть полного оборота. Таким обра­
зом, любой угол можно представить в виде а + 360° • й, где 0 < ос < 360°
и й — целое число. Н апример, угол в 300° представим как 300° = 300° +
+ 360° • 0, а угол -270° представим как -270° = 90°+ 360° • (-1).
Если величина обобщенного угла выражается
целым числом градусов, то такое представление
есть запись деления с остатком численного значе­
ния градусной меры угла на 360.
Приведенный выше текст не является опреде­
лением обобщенного угла, а служ ит лишь его опи­
санием.
Обратим внимание, что при таком описании
углов у нас получается соответствие между угла­
ми поворота и точками на рассматриваемой на ри­
сунке 6.4 окружности, причем нескольким углам
может соответствовать одна и та же точка (напри­
мер, точка А соответствует углу и 360°, и 720е,
а такж е всем углам вида 360°й, где й е 2).
Ясно, что верно следующее утверждение.
Утверждение
1
........................................ ..............................
Различным углам соответствует одна и та же
точка окружности тогда и только тогда, когда
углы отличаются на целое число полных оборо­
тов, т. е. на 360°/с, где к е 2 .
ИЁ_§32. Обобщенный угол. Измерение углов в радианах и градусах.
Единичная (тригонометрическая) окружность
2. Единицы измерения угла. Радианное измерение углов
В геометрии принято измерять углы в градусах: угол в 1 гра­
дус — это — часть прямого угла. Однако существуют и другие единицы измерения угла. Некоторые из них активно используются, другие
совсем забыты, какие-то используются в отдельных областях (напри­
мер, град. Угол в один град — сотая часть прямого угла)1. При этом
самой удобной единицей измерения углов и дуг часто оказываются не
градусы, а так называемые радианы.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е --------------------------------------------------------------------------------------------------
Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающий­
ся на дугу, равную по длине радиусу окружности (рис. 6.5).
Из курса геометрии известно, что длина окруж ­
ности радиуса г равна 2 л г. Следовательно, дуга дли­
ны г составляет — часть окружности, а значит,
2п
центральный угол, опирающ ийся на эту дугу, со­
ставляет — часть от угла 360°, т. е. градусная мера
2к
угла в 1 радиан р а в н а
360°
180°
= ------ . Таким образом,
2к
к
определенная величина угла в 1 радиан не зависит
от радиуса окружности, т. е. введенное определение корректно.
Пример 2. Найдем, сколько градусов составляют углы в к радиан;
6 радиан.
180°
□ Поскольку угол в 1 радиан составл яет
, то угол в к радиан составляет
180°
к
к = 180°. Аналогично, угол в 6 радиан составляет
ШГ 6 _ 10801 « 344°. ®
К
71
Легко вывести и общие формулы перевода градусной меры в радианную и обратно:
о
л
180
0
а =
• а радиан,
х радиан =
х .
Так как в математическом анализе в основном встречается измере­
ние углов в радианах, то единицу измерения радиан часто опускают,
таким образом равенство к радиан = 180° записывают в виде к = 180°.
Измерение углов в градах появилось во времена Французской револю­
ции, когда революционными декретами вводилась десятичная система мер.
Эта единица активно использовалась в артиллерии и баллистике.
282, Глава VI. Тригонометрия
3. Изображение вещественных чисел
на единичной окружности
Рассмотрим окружность единичного радиуса, помещеную в пря­
моугольную систему координат. Пусть центр окружности совпадает
с началом координат. Отметим на окружности точку Р 0(1» 0). Рас­
смотренную окружность с отмеченной на ней точкой Р0 будем назы­
вать тригонометрической (иногда просто единичной) окружностью
(рис. 6.6). В рассматриваемой системе координат эта окружность зада­
ется уравнением х 2 + у 2 = 1. Поставим в соответствие каждому дейст­
вительному числу I точку Р г на окружности по следующему правилу:
Если число I положительно, то, двигаясь по
окружности из точки А, опишем против часо­
вой стрелки путь длиной I. Конец этого пути
и будет точкой Р г (говоря неформально, мы как
бы «наматываем» числовую ось на окружность).
Если число I отрицательно, то, двигаясь
по окружности из точки Р0у опишем по часовой
стрелке путь длиной I. Конечной точкой этого
пути будет точка Р г.
Числу 0 сопоставим точку Р 0.
После того как мы описали это соответствие,
у нас получилась вторая геометрическая модель
для множества действительных чисел. Ее глав­
ное отличие от первой модели — числовой пря­
мой, — заклю чается в том, что каж дой точке на прямой соответствует
ровно одно число, а здесь одной точке соответствует бесконечно много
чисел. Очевидно, что два числа соответствуют одной и той же точке то­
гда и только тогда, когда они отличаются на 2лй, где к — целое число.
Эта модель будет удобна нам, в частности, для определения тригономет­
рических функций произвольного числа.
П р и м е р 3. Отметим на одной единичной окружности точки, соответст13л
вующие числам: а)
б) 3; в) 50.
□
а) Числу
что и числу
6
13л
соответствует та же точка,
6
13л
6
- 2л (рис. 6.7).
б) Число 3 немного меньше л ~ 3,14 (а имен/ 1/
3< —
16
поэтому соответствующая этому
числу точка находится во второй четверти, на­
ходясь на оси абсцисс на расстоянии «по дуге
окружности» меньшем, чем одна шестнадцатая
часть полуокружности (рис. 6.7).
2838 §33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
в) Поделив число 50 на л (например, на калькуляторе), получим
приблизительно 15,9. Легко проверить, что выполняются неравенства
15,9л < 50 < 16л. Таким образом, чтобы отметить точку, соответствую­
щую числу 50, мы должны сделать 7 полных оборотов (по 2л) и еще один
почти целиком (на число, большее чем 1,9л). Исходя из этого, прибли­
женно отмечаем точку С, соответствующую числу 50 (рис. 6.7). Ш
Пример 4. Отметим на одной единичной окружности точки, соответсто 8,
о ----14л .
вующие числам 2,
3
□ Вместо числа 8 будем рассматривать число
8 - 2л (им соответствует одна и та же точка),
14л
2л
а вместо ч и с л а ----------число — . Теперь все расо
о
сматриваемые числа находятся в промежутке
л
(действительно, 1,72 = 8 - 2 • 3,14 > 8 - 2л >
> 8 - 2 • 3,15 = 1,7
> «1
ВЫ ПОЛНЯЮ ТСЯ
"
я < 8о - 2л
о < 2о < —
2л < л .
следующие неравенства: —
2
3
Соответственно можно отметить на окружности
точки (рис. 6.8). Ш
Пример 5. Определим координаты точки Р на
Зл
окружности, соответствующей числу — .
4
□ Рассмотрим треугольник РОВ (рис. 6.9). Он
равнобедренный и прямоугольный, гипотенуза
равна 1. По теореме Пифагора можно вычислить
длину катета
Учитывая знаки, получаем ко-
2
Гл / 2 л/2'
ординаты точки Р3 п
; — |. III
т1
2
2
® 3 3 . Синус, косинус, арксинус, арккосинус
1. Синус и косинус числа. Вычисление значений
В курсе геометрии определялись синус и косинус для углов от 0
до 180°. Однако часто встречаются задачи, в которых нужно работать не
с углами, а с физическими величинами: временем, температурой, ско­
ростью и т. п. Поэтому сейчас мы определим синус и косинус для произ­
вольного числа.
284 Глава VI. Тригонометрия
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ■■■■■-------------- ------------ ----- ---------------------------------------- ------------------
I
Пусть вещественному числу а соответствует точка Ра на
тригонометрической окружности.
Число, равное ординате точки Р0> называется синусом чис­
ла а и обозначается 3111 а.
З а м е ч а н и е . На самом деле мы фактически
Число, равное абсциссе
точки Ра, называется косинусом
определили
не (рис.
только
синус и косинус числа, но
числа а и обозначается соза.
6.10).
и синус и косинус произвольного обобщенного
угла.
Каждому вещественному числу I соответст­
вует обобщенный угол, на который нужно повер­
нуть радиус ОР0> чтобы получить радиус 0РГ
Можно считать, что синус и косинус числа I
суть синус и косинус соответствующего обоб­
щенного угла.
В дальнейшем излож ении на протяжении
этой главы мы не будем делать различия меж­
ду вещественным числом и соответствующим
ему обобщенным углом, употребляя слова «число» и «угол» как си­
нонимы.
Очевидным является утверждение:
Утверждение
[
■■■-■
—■■■■—■■.......... ■■■——■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■.... - ...... .............................—— —
Определение синуса (косинуса) для углов от 0 до 180° задает такое
же число, как и определение синуса (косинуса) углов, изучавшееся
в курсе геометрии.
к
6
К
4
к
51ПХ
0
1
—
л/2
2
л/З
2
созх
1
л/3
л/2
2
2
1
—
2
О
3
2
со
0
оо
в радианах
О
со
0
о
в градусах
О
СО
X
с;
о1—
СЛ
о
Из геометрии мы уже знаем значения синуса и косинуса для неко­
торых углов. Воспользуемся этими знаниями, чтобы составить следую­
щую таблицу:
л
2
1
0
285 §33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
Пример 6. Д ля каки х углов а (180° < а < 270°) выполняется неравен­
ство з т а < 8ш 200°?
□ Из рисунка 6.11 видно, что если угол находится в третьей четвер­
ти, то чем больше угол, тем меньше его синус. Значит, неравенство
выполняется для углов, больших 200°, т. е. ответ: 200° < а < 270°. 81
Пример 7. Сравним 8 т 5 и 8 т 6 .
□ Числа 5 и 6 попадают в промежуток [ — ; 2п ). В этом промеж ут­
ке значения 8 1 п^ увеличиваются с увеличением г, следовательно,
8 ш 6 > 8 т 5 (рис. 6.12). 11
Пример 8. Реш им неравенство сое^ > 0 , 5 .
□ соз %— это абсцисса точки, изображающей число I на единичной
окружности. Поэтому реш ениями неравенства являю тся те и только те
числа, для которых абсциссы соответствующих им точек будут боль­
ше 0,5. Отметим на единичной окружности точки с абсциссой боль­
ше 0,5 (рис. 6.13). Д ля того чтобы решить неравенство, осталось по­
нять, какие числа соответствуют данным точкам. Ясно, что это числа,
к к ,
принадлежащие промежутку
, а такж е отличающ иеся от них
3 3
на 2кк, к е 2,. Ответ можно записать в виде объединения промежутков
(
к
К
|
Ц \ - — + 2кк; — + 2лй1. Т акая запись означает, что рассматриваются
всевозможные промежутки вида |
+ 2л/г;
2пк; —
— + ХКк^
2пк при различны х
3
;
, ~ ( 5к 7 кЛ
для н = о, [ т ; т ] для к = 1,
3
целых
(например, I
^
7л 5п '
= -1 и т. д.) и берется их объединение.
з ’ " Т 1 для
Другая запись ответа: |
о
+ 2пк; ^ + 2пк
о
к е. 2 . Щ
2861 Глава VI. Тригонометрия
2. Основное тригонометрическое тождество
Пусть числу I соответствует точка Рг на триго­
нометрической окружности. Ее координаты (соз*;
И 1) (рис. 6.14). Так как уравнение тригономет­
рической окружности х 2 + у 2 = 1, получаем, что
координаты точки Р г связаны соотношением:
8
1
з т 2Г+ соз2
1.
(1)
Полученное равенство называется основным
т ригономет рическим тож деством .
Кстати, из основного тригонометрического
тождества следует ограниченность синуса и ко­
синуса: | 81П 1 | ^ 1 И | С 0 8 1 | ^ 1 .
П р и м е р 9.
Может ли синус некоторого числа равняться
нус равняться
□
а его коси­
-!>
Нет, так как
— +I
1 ^ 1 , т. е. эти числа не удовлетворяют
13
основному тригонометрическому тождеству. Ш
П р и м е р 10. Синус угла а равен —. Вычислим ко­
синус а .
^
□ Из основного тригонометрического тожде-
ства получаем, что сое2 а = 1 - 8 т 2 а = - . Значит,
2л/2
9
сова = ±------. Из рисунка 6.15 видно, что возможо
ны оба случая, т. е. однозначно косинус а мы опре­
делить не можем — только с точностью до знака. 111
П р и м е р 11. Решим уравнение 8 И13х + сое3# = 1.
□
Из того, что 81Пх ^ 1 и сое х ^ 1, можно сде­
Рис. 6 .15
лать В Ы В О Д , ЧТО 81П3 X ^ 81П2 X И С083 X ^ С082Х. Таким образом, получаем 8 т 3х + со83х ^ 8 т 2х + соз2х = 1. Тем самым,
для достижения требуемого равенства 8 т 3 х + сое3 х = 8 И12 х + сое2х необ­
ходимо одновременное выполнение равенств 8 т 3х = 8 т 2х и со83л; = со82л;.
Запишем и решим систему:
81ПX = О,
Г81П3Л: = 81П2Х 9
|_81ПX = 1,
)с0 8 3Х = С082X
| |~С08 X = О,
С08 X = 1.
Ш
§33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
Если зтл: = 1, то со8Х = 0, а если со8Х = 1, то 81п х = 0, поэтому реше71
ниями системы будут числа вида 2к к 9 к е 2 9 или — н 2п к9 к е 2 . Ш
2
3. Простейшие свойства синуса и косинуса
Докажем некоторые простейшие свойства синуса и косинуса.
Т Е ОР Е МА ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Для любого числа I верны следующие свойства:
1. 8 1 ПЦ + 2пк) = 8 1 П? и соз (I + 2пк) = соз Гдля любого к е 2 .
2.
4.
6.
81П ( - 0 = -51П Г.
81П (л + 0 = -51П
С08
1—
-
Н
= 81П Г.
3.
С 0 8 (—0 = С 0 8 1.
5.
С 0 8 ( к + 1) = - С 0 8 1.
/К
7 . 8 1 П ------ {
= С 0 8 1.
□ д о к а з а т е л ь с т в о . Свойство 1 следует из того, что числа вида
*+ 2пк9 к е 2 , изображаются одной точкой, координатами которой я в ­
ляются косинус и синус данных чисел.
Доказательство свойств 2 и 3 основано на том, что точки, соответст­
вующие числам 1 и -1 9 симметричны относительно оси Ох (рис. 6.16).
Свойства 4 и 5 следуют из того, что точки, соответствующие числам
*и 71+ 19 симметричны относительно начала координат (рис. 6.17).
Остановимся подробнее на свойстве 6. Это свойство хорошо вам
знакомо для углов прямоугольного треугольника. В самом деле, если
один из острых углов прямоугольного треугольника равен а , то другой
равен —- а , и синус одного из них равен косинусу другого. Свойство 6
является обобщением данного ф акта.
При доказательстве свойства 6 придется разбирать случаи распо­
ложения чисел в разны х четвертях. Н апример, для случая, когда I
принадлежит второй четверти, свойство 6 следует из равенства тре­
угольников А О В и СО!) на рисунке 6.18. Ш
Рис. 6 . 16
Рис. 6 .1 7
Рис. 6 .1 8
288 Глава VI. Тригонометрия
Рассмотренные свойства позволяют вычислить синус и косинус
других чисел (углов), когда мы знаем синус и косинус чисел (углов)
первой четверти.
Пример
12. В Ы Ч И С Л И М 81П
Г
I в
. ( 29яЛ
□ По свойству 1 имеем *И П I —— I =
. 5п ,
й
— (вы читая или прибавляя
81П
число, кратное 2я, мы всегда можем «загнать» число в промежуток от
—к до к). По свойствам 4 и 2
1
.
к
.
5я
я 1| = 81П
8 1 П ---- = 81П г к — 7111= - 8 •1 П( ----— = —
6
2
в
1
в
1
6
Значения синусов и косинусов некоторых углов удобно вычислять
по двум моделям:
к
к
модель 1: кратные — (рис. 6.19); модель 2: кратные — (рис. 6.20). 1
4
6
4. Решение простейших тригонометрических уравнений.
Арксинус и арккосинус
Иногда в задачах (например, по физике) встречается ответ: синус
искомого угла равен а. Можно ли при этом определить угол?
Пример
13.
л /2
1
^
о
Найдем х , если: а) 8 т х = — ; б) 8 ш х = —.
□ Оказывается, однозначно определить угол не удается, таких
углов бесконечно много.
а) Из рисунка 6.21 видно, что на окружности имеются ровно две
л/2
точки с ординатой —
По таблице значений синуса и косинуса (с. 284)
I
3891§33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус
находим, что точка, леж ащ ая в первой четверти, соответствует числу
и
я
7 (а также всем числам вида — + 2яй, где к е 2 ).
3я
Точка во второй четверти соответствует числу — (а такж е всем
Зя
^
числам вида — + 2лк, где к е 2 ). Таким образом, однозначно опреде4
лить угол по значению его синуса нельзя, задача имеет бесконечное
я
множество решений, которые задаются формулами — + 2пк или
Зя + 2яй,
о I—
4
б)
Ситуация похожа на ситуацию в пункте «а». Очевидно, что су­
ществует
угол, принадлеж ащ ий промежутку ^0;
где ки егг
^
2,.
синус которого
равен ^ (рис. 6.22), однако в таблице синусов нет значения
поэтому
соответствующий угол мы в явном виде записать не сможем. П оявля­
ется необходимость в новом названии этого угла. Говорят, что этот
угол равен агс зш —(читается: арксинусу —). Обратим внимание, что из
о
1
множества углов первой четверти, синус которых равен —(и которые
3
отличаются друг от друга на целое число, кратное 2я), мы выбрали
угол, принадлежащ ий промежутку I 0; ^ | , т. е. ф актически агсзш ^ —
это такой угол из промежутка
*!)■
синус которого равен —. Ясно,
о
что в этом промежутке такой угол существует, и единственный.
Но на единичной окружности существуют две точки с ординатой —
3
(рис. 6.22). Из равенства отмеченных углов на рисунке 6.22 ясно,
что одно из чисел, соответствующих точке во второй четверти, есть
я - а г с з т - . Все числа, соответствующие точке первой четверти, запио
10_ Пратусевич, 10 кл .
290 1 Глава VI. Тригонометрия
сываются в виде а г с з т - + 2л к,
к е а все числа, соответствующие
о
точке второй четверти, — в виде п - а г с з т —+ 2пк, к е 2 . Эти две се3
рии решений и есть ответ задачи. 81
Дадим определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть -1 < а < 1. Тогда арксинусом числа а называют такое
число I , что синус I равен а и ( е
§"] (Рис- 6.23).
И ными словами, арксинус числа а — это решение уравнения
81
Пх — а на отрезке
2Е.1
2 ’ 2у
Обозначается арксинус следующим образом: а г с з т а .
Определение корректно, поскольку любая горизонтальная прямая
у — а при -1 ^ а ^ 1 пересекает правую полуокружность тригонометри­
ческой окружности в единственной точке, и тем самым решение урав­
нения здесь единственное.
П р и м е р 14. Реш им уравнение 8 т х = 0,2.
□ х - а г с 8 т 0 ,2 + 2кк, к е 2 , или х = п - а г с 8 т 0 ,2 + 2лй, к е 2 . I
Аналогично можно ввести понятие арккосинуса.
х,
л/2
Реш
им уравнение соех = —
.
2
^2
Отметим на окружности точки с абсциссой — (рис. 6.24). Этим
Пример
□
15.
К
точкам соответствуют числа вида — I- 2п к 9 к е 2 , и л и
4
к
Эти две серии можно объединить в одну: х = ±— I- 2л
4
К
4
1- 2пк, к е 2.
е
У1
п
4
\
0
/ л:
л/2
2
п
4
Рис.
Рис. 6 .2 4
Рис. 6 .2 5
®
Щ
§34. Тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс
Опять в данном примере углы получились «хорошие», а в случае
решения уравнения сое х — а при других а нам понадобились бы новые
названия углов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть -1 < а < 1. Тогда арккосинусом числа а называют та­
кое число Г, что косинус Г равен а и ( е [0; к] (рис. 6.25).
Обозначается арккосинус числа а следующим образом: агссоза.
Определение корректно, поскольку для любого числа от -1 до 1 та­
кой угол в указанном промежутке будет существовать, и притом толь­
ко один.
П р и м е р 16. Реш им уравнение: а) сое* = л/2; б) созх =
□ а) Реш ений нет, так как л/2 > 1, а |со8х| ^ 1.
б) х = ±агссо8
~
| + 2яй, к е г . Ш
@ 34. Тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс
1. Определение тангенса и котангенса.
Геометрическое изображение тангенса и котангенса
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число, равное отношению синуса числа I к косинусу числа I,
называют тангенсом числа I и обозначают 1д I, т. е.
*д ' = ^С 078 -I
(2)
Тангенс определен для всех чисел, косинус которых не равен 0,
к
т. е. для чисел, не равных — + лй, к е 2 .
А
ОПРЕДЕЛЕНИЕ —
—
—
------ -—
Число, равное отношению косинуса числа I к синусу числа ?,
называют котангенсом числа I и обозначают с\д1, т. е.
■ .
С08^
с1д I = —— .
У
81ПГ
/о\
(3)
'
Котангенс определен для всех чисел, синус которых не равен 0,
т. е. для чисел, не равных яй, й
Пользуясь таблицей значений синуса и косинуса углов первой чет­
верти, которая была приведена на с. 284, можно составить таблицу
значений тангенса и котангенса этих углов.
10*
0
СО
оо
в радианах
о
О
СО
0
к
К
к
71
6
4
3
2
о
с;
О
>
в градусах
О
СО
><
сл
О
292 Глава VI. Тригонометрия
*дх
0
1
л/3
1
л/з
Не
определен
с*дх
Не
определен
л/3
1
1
л/3
0
Д ля геометрического изображения тангенса и котангенса часто ис­
пользуются линия тангенсов и линия котангенсов.
Пусть задана единичная окружность. Л и ни ей тангенсов называ­
ется прям ая х = 1 (рис. 6.26).
Пусть точка Р г изображает число I на тригонометрической окруж­
ности, которая соответствует ему на окружности. Пусть прямая, со­
единяю щ ая точку Р г и начало координат, пересекает линию тангенсов
в точке В. Тогда
I равен ординате точки В (рис. 6.26).
Действительно, рассмотрим прямую ОРг, проходящую через нача­
ло координат и точку Р г. Эта прям ая имеет уравнение вида у = к х . По­
скольку при подстановке координат точки Р г в уравнение прямой
имеем 8 1 П %= йсо8*, получаем к =
И так, уравнение прямой ОРг та­
ково: у =
- х. Точка пересечения прямой ОРг с осью тангенсов име­
ет абсциссу х — 1, а тогда ордината этой точки у =
Теперь наглядно очевидным является следующее свойство: если
< а < Р < ^-, то
а <
Р (рис. 6.27).
Аналогично
(рис. 6.28).
Рис.
6 .2 6
ли н и е й
котангенсов
Р и с . 6 .2 7
назы вается
прямая
Р и с . 6 .2 8
у- 1
2931 §34. Тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс
ТЕОРЕМА
Для тех значений х, при которых определены обе части равенств,
справедливы следующие свойства:
1. Хд (х + пк) = {дх и с{д (х + пк) = с{дх для любого к е 2 .
2. {д (-х) = -{дх и с{д (-х) = -с{дх.
3. { д ^ ~ х^ = с{дх и с { д ^ ~ х^ = {дх.
4. {д х • с{д х = 1.
Доказательство этих свойств легко провести, пользуясь определе­
нием тангенса и котангенса и аналогичными свойствами для синуса
и косинуса.
□ Докажем, например, свойство 3:
,
/
(п
\
I 2
;
1% —- х
1
•
( п
----------X
8 1 П
\ 2
)
= -----
(Н
С 0 8
со8 х
,
и-,
= —----- = с1%х. И
(пл
зш *
X I
2. Следствия из основного
тригонометрического тождества
Из основного тригонометрического тождества, поделив его по­
членно на сое2х и на 8 т 2х, получим:
1д2х + 1 = —
С08
(4) С
X
с*д2х +1 = - г 4 —•
(5)
81П X
п
Равенство (4) имеет место лиш ь при х Ф — + п к , к е 2 , а равен­
ство (5) — при х Ф п к, к е 2 .
Из этих равенств можно получить, например, вы раж ение тангенса
через косинус и наоборот.
П р и м е р 17. Дано 1%х = 2, п < х < 2л. Вычислим синус, косинус и ко­
тангенс числа х .
□ Так как
• с1&х = 1, то с1%х = 0,5. Из равенства (5) получим
—
81П2X
= с1з2х + 1 = —, т. е.
4
81
П2 х = —. Так как угол п < х < 2л, то его си5
2
1
нус отрицателен, значит, з т х = — р . Далее со зх = с1§ х • 8 тл ; = — = . Ш
V5
V5
2941 Глава VI. Тригонометрия
3. Арктангенс и арккотангенс
Аналогично тому, к ак мы определили арксинус и арккосинус,
можно определить арктангенс и арккотангенс.
П р и м е р 18. Реш им уравнение
л/3.
□ Д ля того чтобы реш ить данное уравнение, отметим на оси танген­
сов число д/3 и проведем прямую через начало координат и точку, изо­
бражающую это число. Получим две точки пересечения этой прямой
с окружностью (рис. 6.29). Числа, изображаемые этими точками, будут
корнями уравнения. Одна из этих точек соответствует числам вида
4к
^- + 2кк, к е 2 (мы знаем, что
л/3), другая
числам вида — + 2пк,
о
о
к
к е 2 . Эти две серии можно объединить в одну: — I- п к9 к е 2 . Это
и есть ответ задачи. ®
3
В данном примере мы знаем угол, тангенс которого равен уЗ.
В общем случае нельзя записать в явном виде угол, тангенс которого ра­
вен заданному числу. Будет существовать единственное число х 0 в про­
тангенс которого равен а (рис. 6.30), а все осталь­
м еж утке
ные реш ения уравнения
= а будут представимы в виде лг0 + 71А,
к е 2 . Аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
—
—
....
■■■■■■■...... ....... ............ .... ..... .... .....................
1. Пусть а — вещественное число. Тогда арктангенсом чис­
ла а называют такое число I, что тангенс { равен а
и
2. Пусть а — вещественное число. Тогда арккотангенсом
числа а называют такое число I , что котангенс I равен
а и I е (0; к) (рис. 6.31).
Рис . 6.31
295; §35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
Арктангенс числа обозначается: агс
значается: агсс
П р и м е р 19. Реш им уравнение
= -2 .
□ х = агс1§(-2) + лй, к е 2 . Ж
Арккотангенс числа обо­
О 35. Тригонометрические формулы.
Метод вспомогательного аргумента
Докажем четыре основные формулы, которые носят название фор­
мул сложения.
1. Синус и косинус суммы и разности
Рассмотрим следующее соображение: если
числа а , р, у, 8 таковы, что |сх —р| = |у —8|, то
дуги РаР$ (где Ра обозначает точку на окруж но­
сти, соответствующую числу а) и РуР§ (и соот­
ветственно стягиваю щ ие их отрезки) равны.
В самом деле, при отображении («наматыва­
нии») числовой прямой на окружность равные
отрезки переходят в равные дуги, а численное
равенство |а - р| = | у - 8| и означает равенство
длин отрезков с концами в а , Р и у, 8.
Рассмотрим числа а , р, а —р, 0. По сделан­
ному замечанию длины отрезков, стягиваю щ их
дуги Р аРр и Ра _ рР0, равны (рис. 6.32). Запиш ем
это равенство, воспользовавшись формулой длины отрезка в координа­
тах. Координаты точек:
Ра(сова, 8 т а ) , Р 0(1; 0), Р а _ р ( с о 8 ( а - Р); 8 т ( а - Р), Р р(собР, 8 т Р ).
Квадрат длины отрезка Р аРр равен
|РаРр|2 = (СОбР - сова)2 + ( 8 1 П Р - 8 1 1 1 а )2 — 2 - 2(С08аС0бР + 8 т а 8 1 Пр).
Квадрат длины отрезка Ра _ рР0 равен
|Р « -р Р 0|2 = (со8(а - Р) - I)2 + 8 Н1 2(а - Р) = 2 - 2 со в(а - Р).
Приравнивая полученные вы раж ения, получим формулу:
со8 (а - Р) = со8 а соз р + з т а з т р.
(6)
С помощью этой формулы можно доказать формулы
С08
-
X \ =
81П X
И
81П
-
X
= С08 X .
(7)
29б| Глава VI. Тригонометрия
□
ТС
Подставив в формулу (6) а = — и Р =
( 7С
получим сов I ——
= втя,
а подставив в последнюю формулу х = ~ —Г, получим вторую формулу.®]
С помощью свойств синуса и косинуса можно доказать аналогич­
ные формулы.
соз (а + р) = соз а соз |3 - з т а з т р,
з т (а - Р) = з т а соз р - з т р соз а,
з т (а + Р) = з т а соз р + з т р соз а.
(8)
(9)
(10)
Д окаж ем, например, формулу (10).
в т ( а + р) = сов
^
= соз ^ - а ^ сов р + в т
- (а + р ^ = сов —<х^ —р ^ =
- а ^ в т р = в т а сов р + в т р сов а . ®
Вычислим в т 1 5 ° .
□ в т 15° = в т (45° - 30°) = з т 45° сов 30° - в т 30° сов 45° =
П р и м е р 20.
_ л/2
л/3
1
л/2 _ Уб - л/2
“ 2*2
2‘ 2 “
(к
1 4
к
к
П р и м е р 21. Найдем соз а , если с о з
а = —и — < а < — .
^6
) 5
3
6
□
И спользуя основное тригонометрическое тождество, получим
8‘п( § - ° Н ’
так к ак из условия следует, что 0 < — - а < —. Тогда
6
2
к /к
)
к
соз а = соз | — - I —- а II = соз —• соз — —а I + з т —• зги Г— - а 1 =
в
)
6
[б
)
4 л/З 3 1 _ 4л/з + 3
5 2
5' 2
10 ’
,
2. Формулы приведения
кп
Если одно из чисел а или Р имеет вид — (к е 2 ), то результаты
применения формул 7, 8, 9 и 10, а такж е аналогичных формул для
тангенса и котангенса имеют особенно простой вид. Полученные фор­
мулы называют формулами приведения, поскольку они позволяют
свести вычисление значений тригонометрических функций к вычисле­
нию значений этих ф ункций на промежутке 0; —
2971 §35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
Например:
з т(
•
а
п
и
^
= сов а,
)
а 1 = вш а.
с о в( п
Аналогичным
ты образом можно
м
вывести и другие формулы, например,
7л
.
7л
. (7 к
)
81П
31П I — + а
= В
81 т — сов а + В т а сов — = —сов а
2
2
или
сов (3л + а) = сов Зл сое а - 8 т а 8 т Зл = -со е а.
При выводе формул приведения часто бывает удобно пользоваться
уже ранее выведенными формулами. Например:
. (11 л
81ПI —
^
. (
. Г 11л
. (к
л^
\
- 81П I — - а I = -сова.
а I = 81П I —— + а - 6 Л I= 81П I а - — I =
В самом деле, пользуясь формулами в т (^ + 2лй) = в т ^ и
сов(^ + 2пк) = сов ^ для любого можно «привести» аргумент
си­
нуса и косинуса в промежуток [-л , л], а затем, пользуясь формулами
8П1(-0 = -31п * и сов (-г) = сов*, можно «привести» аргумент в проме­
жуток [0; л]. С помощью формул 8 И1 (Л - *) =^8 И1 * и сов (л - 0 - -С О В г
. Наконец, с помощью
аргумент «приводится» в промежуток
°; 1
только что выведенных формул сое
аргумент «приводится» в промежуток
Пример
22.
И]
18л
Приведем тригонометрическую функцию /( х ) = с о в
к тригонометрической функции угла а , такого что а е
□ сов
I — сов I
8 1П ^ И 81П
(!-*)■ -
( 2пЛ
18л
18л . ,
=
=сов —----- 4 л , = сов
5
^5
)
{ $ )
СОВ
л
5
2
=
. (л
^2
0; 4 }
л^
5 ^
л к,
10
2
8 1 П ------------------ = 8 1 П -------. Ш
Облегчить использование формул приведения поможет таблица:
X
л + а
л - а
— + а
2
л
----- а
2
Зл ,
— + а
2
31ПХ
-51па
51па
сова
сова
-сова
-соза
СОЗХ
-сова
-сова
-в та
вта
вта
-з т а
*да
-1да
-с*да
с{да
-с1:да
с!да
-с*да
■4д а
*да
-*да
сХдх
2
с1д
а
*да
2981 Глава
•—-м
аяш янVI.
нмТригонометрия
м н янм нм м м м
Чтобы запомнить эту таблицу, достаточно знать, что если к аргу­
менту ф ункции прибавить
или
то после применения формулы
приведения ф ункция меняется на дополнительную (синус на косинус
и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот).
Зн ак, появляю щ ийся перед функцией в результате применения
формулы приведения, совпадает со знаком исходной функции при
угле а , леж ащ ем в первой четверти.
Н апример, сое | ^ + а | = - з т а , поскольку:
1) ф ункция долж на смениться на дополнительную;
2) если а леж ит в первой четверти, то — + а леж ит во второй четверти, а косинусы чисел второй четверти отрицательны. Поэтому в
формуле появляется знак «-».
Заметим, что полученная формула верна для произвольного угла а,
хотя для определения знака правой части формулы мы считали а углом
первой четверти.
3. Тангенс суммы и разности
Имеют место равенства:
/
оч
ос + \а В
'0(а + Р) = Т ^ щ Г
( 11)
1в (а - Р ) .
( 12 )
1
□
+ Хд а *др
Д окаж ем, например, формулу (11).
8 ^п а с о 8 Р + з т р сова _
+ 1&р
соз(а + Р) созасозР - з т а з т Р
11&Р *
Последнее равенство получилось после того, как мы разделили
числитель и знаменатель на с о за с о зр .
Аналогично выводится формула (12). И
О Ф ормулы (11) и (12) нужно применять осторожно, так как
у правой и левой частей разные области определения (правая часть не
71
определена, если хотя бы одно из чисел а или Р имеет вид — + пк, к е 2).
1
( а + В ) — 8 * п ^а + Р ) -
П рим ер 23. Реш им уравнение Ч? \ х +
□
+ 1 = 0.
4^
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу (11):
48^ + е ) + 1 = М
1
-
“7
^ +1=
х
2
1 -
299 §35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
Получим уравнение
= О, которое не имеет реш ений. В то
1 - Ьёх
же время, подставив число — в исходное уравнение, можно убедиться,
что оно является корнем исходного уравнения.
Что ж е произошло? Мы воспользовались формулой (11) и потеря­
ли корень, поскольку область определения сузилась.
При применении формул (11) или (12) (например, реш ая уравне7Г
ния) нужно отдельно проверять случай, когда а или Р равны — + пк,
к е 2 (при этом правая часть не определена, а левая может быть опре­
делена). Ш
4. Формулы двойного угла
Из формул сложения сразу ж е получаются формулы синуса, коси­
нуса и тангенса двойного угла:
1 ..........................................................................
| з т 2 а = 2 з т а соз а.
(13)
с о з 2 а = с о з 2а - з т 2а .
(14)
. _
2 {а а
■ 1д 2 а = -— 5 —
.
1 + 1д2 а
(15)
Эти формулы получаются из равенств (8), (10), (11), если поло­
жить в них Р = а .
Формулу (14) иногда удобно использовать в другом виде, получае­
мом с применением основного тригонометрического тождества:
сое2а = соб2а - 8ш2а = 2соз2а - 1 = 1 - 2 8 т 2а .
(16)
Рассмотрим пример, идея которого часто встречается в задачах на
тригонометрические преобразования.
Вычислим сое20° соб40° со8 80°.
Умножим и поделим вы ражение на 2 8 т 2 0 ° . Получим
2 в т 20° соз20° соз40° соз 80°
сое 20° сое 40° сое 80° =
2 81П20°
П р и м е р 24.
□
В числителе получилась формула синуса двойного угла. Продолжив
преобразование, получим
2 з т 20° соз 20° соз 40° соз 80° з т 40° соз 40° соз 80°
8 т 80° соз 80°
2 811120°
4 8 т 20°
2 з т 20°
8И1160°
зт2 0 ° _ 1 щ
8 8 т 20°
8 з т 20°
8
300 Глава VI. Тригонометрия
5. Формулы половинного угла
Из формул двойного угла видно, что, зная з т а или со за, можно
легко найти соз 2а. Сложнее получается с формулами половинного
угла. В самом деле, из формулы (16) можно получить равенство
9а
1 + соз а
, т. е.
соз — = ---соза
а
соз — = л/(17)
2
V
а
Определить ж е знак соз — невозможно: он может быть любым.
а
3
Какие значения может принимать С08^> если соза = -?
□ По формуле (16) получаем
а
11 + с о з а _ 11 + 0 ,6 _ _2_
соз — = л/2 ~ V
2
” V 2
” ~Л'
л /5
П окаж ем, что знак может быть любой. В самом деле, условию
3
3,
соз а = —удовлетворяет как угол агссоз —(он принадлеж ит промежутку
П рим ер
25.
, так и угол агссоз —+ 2л (он принадлежит промежутку
а
а
В первом случае соз — > 0, а во втором соз — < 0. Значит, реализуСа
Са
а
ются оба варианта, т. е. соз — е {
®
2 \^ б
Л)
А
,
. 9а
1 - соз а
Аналогично получаются формулы з т ^ — = ------------ и
0;
2
а
- соз а
81П — = л/1
-----------•
2
V 2
Отсюда можно получить такж е формулы
^ 2 а _ 1 - соз а
а
и
2
1 + соз а
2
(18)
- соза
+ соза
Весьма удобно такж е уметь вы раж ать тангенс половинного аргу­
мента через з т а и с о за непосредственно, без использования знаков
модуля и радикала.
а
81ПДействительно,
^ =
а . Если умножить числитель и знамена­
ил
соз —
а
0 . а
а
2
81П2 8 1 П—соз —
2
2
зта
тель дроби на 2 с о з ^ , получим
=
а
а
1 + сова*
соз —
2 соз2
2
I
301] §35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
Таким образом, 1§ — = ---------- . Отметим, что левая и правая час2
1 + соза
ти формулы определены при одних и тех ж е значениях а .
Заметим, что если бы мы реш или умнож ить числитель и знамена­
тель дроби на выражение 2 з т ^ - , то знаменатель дроби превратился бы
Сл
в з т а , а в числителе мы получили бы выражение 1 - сова. В итоге мы
приходим к формуле 1%^- = ~— — — . Отметим, что при а = 2пк (где
2
зта
к е 2) левая часть формулы равна нулю, а правая не определена. Про8 1 Па
1 - сое а
т 1 г*
верьте непосредственно, ч т о ---------- = -------------, при а ^ тск, к е 2 .
1 + соз а
8 1 Па
6. Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного аргумента
Иногда бывают полезны формулы, выраж аю щ ие тригонометриче­
ские формулы через тангенс половинного аргумента.
-
2 \д 51па = — ; (19)
1-*д22*дсоз ос = ----------------—; (20) 1да = -— . (21)
1-И д2 -
1- И д 2 —
2
□
1 -*д 2 -
2
2
Докажем, например, формулу (19):
04. —
а
21%
0 . ос
о с 0^ а
9а
2
т
з т а = 2 з т —соз — = 21% — соз2 — = ------------. И
2
2
* 2
2
6
2
О Эти формулы, как и формулу тангенса суммы, нужно приме­
нять с осторожностью: у левой и правой частей опять разные области
определения. Например, если в уравнении вы пользуетесь этими фор­
мулами и заменили синус, косинус и тангенс числа на тангенс поло­
винного аргумента, то вы могли потерять корни вида тс + 2тсй, к е 2! —
их нужно проверять отдельно.
7. Метод вспомогательного аргумента
П р и м е р 2 6 . Какое наибольшее значение при а е й принимает вы раж е­
ние 2 з т а + 5 соз а? У кажем хотя бы одно значение аргумента, при ко­
тором оно достигается.
302 Глава VI. Тригонометрия
□
П р еобр азуем д ан н ое вы р аж ен и е
2зтос + бсоза = у[29\-
{ у/29
Г
81Па +
л/29
сова =
= л/29(совф в т а + втф сова).
Последнее равенство (в нем утверждается,
2
что существует угол ф, такой что созф = - = и
ч
81П ф =
^
л/29
V29
вытекает из того, что если а2 + Ъ2 = 1,
то найдется угол, синус которого равен а и ко­
синус которого равен Ъ. Д ля доказательства это­
го ф акта достаточно рассмотреть точку на координатной плоскости
с координатами (Ь; а) (рис. 6.33). В данном случае этот угол равен
2
агссо з- 7= .
л/29
Продолжим преобразования. У нас получилась формула синуса
суммы
л/29 (соз ф з т а + з т ф соз а ) = л/29 з т (а + ф).
Так как а принимает любые значения, а угол ф — константа,
(а + ф) такж е принимает любые значения, а потому з т ( а + ф) принима­
ет все значения от —1 до 1. Таким образом, наибольшее значение вы­
раж ения равно >/29 и достигается, например, при а + ф =
т. е.
а = — —ф = — - агссоз -Д =. И
2
2
729
Приведенный способ преобразования можно обобщить (здесь сразу
будет понятно, почему мы делили именно на л/29):
соз а =
а з т ос + Ь соз а = л/а2 + Ь2 -■ а . з т а +
1+ Ъ2
у1а2 + Ъ2
= у1а2 + Ь2 з т ( а + ф).
Здесь ф такой угол, что з т ф =
Ь
л
.
а соз ф = .______
7а2 + Ъ2
7а2 + Ъ2
Ясно, что если рассмотреть угол 1|/, такой, что
Ъ
Ъ
С О З VI/ =
...... ,
81ПШ =
- .... ...... ,
7а2 + Ъ2
7а2 + Ъ2
то данное вы раж ение преобразуется к виду д/а2 + Ь2 соз (а - ф). В зави­
симости от задачи, в которой используется это преобразование, можно
прибегать к любой из этих записей.
Использованный метод преобразования называется методом вспо­
могательного аргум ент а.
3031 § 35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента
8. Преобразование произведения
тригонометрических функций в сумму
Формулы сложения позволят нам вывести еще несколько полез­
ных тригонометрических формул.
з т а з т р = ^(соз(а - Р ) - соз (а + Р ) ) ,
(22)
соза созр = ^(соз(а - Р ) + соз (а + Р ) ,
(23)
з т а соз Р = ^ (зт (а + Р ) + з т (а - Р ) ) .
(24)
□ Эти формулы легко доказываю тся с помощью формул слож ения
для преобразования правой части. Н апример, докаж ем формулу (22):
^ (с о в (а - р ) - соз (а + р ) ) =
1
= - (соз а соз Р +
81
п а з т Р - соз а соз р + з т а з т Р ) = з т а з т р .
Если хорошо помнить формулы сложения, ТО эти формулы выводятся
«почти мгновенно» и устно. В самом деле, из формул
соз (а + р ) = соз а соз р - з т а з т р и соз (а - р ) = соз а соз р + з т а з т р
видно, что если сложить эти два равенства, то получится форму­
ла (23). Если ж е из второго равенства вычесть первое, то получится
формула (22). Аналогично можно доказат