Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 45»
Математика
Методы решения систем
линейных уравнений.
Стародубцева Арина
ученица 7 а класса
МБОУ «СОШ №45»
Мартынюк Татьяна Владимировна
учитель математики
МБОУ «СОШ №45»
КЕМЕРОВО 2012
0
Оглавление:
Введение. ……………………………………………………………………….….2
Глава I. Системы двух линейных уравнений с двумя переменны………..….3
1.1. Основные понятия …………………………………………………...3
1.2. Способ подстановки ……………………………………………………3
1.3.Способ алгебраического сложения....…………………......................4
1.4.Графический способ..................................................................................4
Глава II. Решение систем трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
методом Гаусса…………………………………………………………………….6
Заключение……………………………………………………………...................9
Литература ….…………………………………..……………………………….10
1
Введение.
Способы решения систем линейных уранений – очень
интересная и важная тема в школьном курсе математики. Системы
уравнений и методы их решения изучаются в курсе алгебры 7-го
класса, рассматриваются три основных метода решения систем
линейных уравнений (графический способ, способ подстановки,
способ сложения). Изучая дополнительную литературу, я
обнаружила, что в школьном курсе рассматриваются не все
существующие способы решения систем линейных уравнений.
В своей работе я решила рассмотреть другой способ решения
ситем линейных уравнений,а именно метод Гаусса. В процессе
работы приобретаются навыки, с помощью которых последущее
решение систем линейных уравнений станет намного проще и
быстрее.
Цель моей работы: изучитиь различные способы решения
систем линейных уравнений, научиться решать системы трёх
линейных уравнений с тремя неизвестными и системы четырёх
линейных уравнений с четырьмя неизвестными методом Гаусса.
2
Глава I. Системы двух линейных уравнений.
1.1 Основные понятия.
Если даны два линейных уравнений с двумя переменными х и у:
а1х+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0,− и поставлена задача найти такие пары значений
(х; у), которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то
говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений. Уравнения
системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом 𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0
фигурной скобкой: { 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0
Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и
первого, и второго уравнений системы, называют решением системы.
Решить систему - это значить найти все её решения или установить, что
их нет.
Приведём различные способы решения систем двух линейных
уравнений с двумя неизвестными на примере следующей системы:
4𝑥 − 3𝑦 = −1
{
3𝑥 + 4𝑦 = 18
1.2 Способ подстановки.
Этот способ заключается в том, что из одного уравнения данной системы
выражают какую-либо из переменных через другую переменную и найденное
для этой переменной выражение подставляют в другое уравнение системы, в
результате
чего
получают
уравнение
с
одной
переменной.
3𝑦 − 1
3𝑦 − 1
𝑥
=
4𝑥 − 3𝑦 = −1
𝑥=
4
⇔{
⇔{
{
4
3𝑦 − 1
3𝑥 + 4𝑦 = 18
25𝑦 = 75
3∙
+ 4𝑦 = 18
4
3 ∙ (3 − 1)
𝑥=2
𝑥
=
⇔{
⇔{
4
𝑦 = 3.
𝑦=3
3
1.3 Способ алгебраического сложения .
Этот способ состоит в том,что все члены каждого из уравнений
умножают на соответственно подобранные множители так , чтобы
коэффициенты при одной и той же переменной в обоих уравнениях оказались
противоположными числами, а затем уравнения почленно складывают, в
результате чего получают уравнение , содержащее только одну переменную.
Умножив первое уравнение нашей системы на 3, а второе уравнение на
(−4), получим равносильную систему :
{
12𝑥 − 9𝑦 = −3
−25𝑦 = −75
𝑦=3
𝑦=3
⇔{
⇔{
⇔{
−12𝑥 − 16𝑦 = −72
12𝑥 − 9𝑦 = −3
12𝑥 − 9 ∙ 3 = −3
𝑥=2
1.4 Графический способ.
Каждое из уравнений системы представляет собой линейную функцию,
график которой прямая линия. Если эти прямые имеют общую точку
пересечения , то координаты этой точки и будут корнями решения системы.
4𝑥 − 3𝑦 = −1
{
3𝑥 + 4𝑦 = 18
4𝑥 + 1
3
⇔{
18 − 3𝑥
𝑦=
4
𝑦=
Прямая определяется двумя точками. Для построения первой прямой
возьмём точки (−1; −1) и
(5;7), для построения второй − точки
(−2; 6) и (6; 0). Чтобы упростить построение графиков, следует подбирать
такие точки, в которых обеим переменным соответствуют целые числа.
Построенные прямые пересекаются в точке с координатами (2;3) – эти
координаты являются корнями данной системы 𝑥 = 2, 𝑦 = 3 .
4
Графический способ решения системы по сравнению с первыми двумя
способами требует значительно большего времени, поэтому для решения
систем уравнений он используется редко. Преимуществом графического
метода решения системы является его наглядность.
Все-таки графический метод решения системы линейных уравнений
имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные
выводы:
1) графиками обоих уравнений системы являются прямые;
2) эти прямые могут пересекаться, причём только в одной точке, − это
значит, что система имеет единственное решение;
3) эти прямые могут быть параллельны − это значит, что система не имеет
решений (говорят также, что система несовместна);
4) эти прямые могут совпасть − это значит, что система имеет бесконечно
много решений (говорят также, что система неопределена).
5
Глава II. Решение систем трёх линейных уравнений
с тремя неизвестными методом Гаусса.
Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными имеет
следующий вид:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
{𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3
Наиболее распространенным и, пожалуй, самым простым способом
решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Методом
Гаусса называется способ решения системы линейных уравнений путём
последовательного исключения переменных и сведения её к треугольной
системе уравнений. Поэтому метод Гаусса называют методом исключения
переменных.
При решении систем линейных уравнений этим методом используются
следующие преобразования, приводящие к равносильной системе уравнений:
1) перестановка двух уравнений;
2) умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное
от нуля;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответственных
частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число (отличное от
нуля).
"Исключение неизвестных" означает построение равносильной системы
линейных уравнений, имеющей ступенчатый вид, т.е. х может содержать не
более чем в одном уравнении, y − не более чем в двух, z − не более чем в 3-х
уравнениях.
6
Пример 1.
2𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 1,
(1)
(2)
{ 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 2,
𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 3.
(3)
Из данной системы получим уравнение, не содержащее x. Умножив
уравнение (1) на 3, получим уравнение
6𝑥 − 12𝑦 + 9𝑧 = 3
(4)
Умножив уравнение (2) на (−2), получим уравнение
−6𝑥 + 2𝑦 − 10𝑧 = −4
(5)
Сложив полученные уравнения (4) и (5), получим уравнение
−10𝑦 − 𝑧 = −1
(6)
Из исходной системы получим уравнение, не содержащее x и y . Уравнение
(3) умножим на (−2):
−2𝑥 + 4𝑦 − 8𝑧 = −6
(7)
Сложим уравнения (1) и(7), получим:
−5𝑧 = −5
(8)
Из уравнений (1), (6) и (8) составим систему
2𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 1
(9)
−10𝑦 − 𝑧 = −1
(10)
{
(11)
−5𝑧 = −5
Из (11) находим z : 𝑧 = 1
Из (10) находим y : 𝑦 = 0
Из (9) находим x : 𝑥 = −1
Ответ : 𝑥 = −1; 𝑦 = 0 ; 𝑧 = 1.
Пример 2.
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 6
2𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥3 − 3𝑥4 = 8
{ 1
3𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 4
2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = −8
(1)
(2)
(3)
(4)
Исключим неизвестное 𝑥1 из второго, третьего и четвёртого уравнений.
Умножив первое уравнение на (−2) и прибавив его ко второму, мы получим
уравнение , не содержащее 𝑥1 . Аналогичный результат получится, если
умножить первое уравнение на (−3) и на (−2) и прибавить соответственно к
третьему и четвёртому уравнениям системы:
7
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 6
−5𝑥2 − 8𝑥3 + 𝑥4 = −4
{
−4𝑥2 − 10𝑥3 + 8𝑥4 = −14
−7𝑥2 − 4𝑥3 + 5𝑥4 = −20
(5)
(6)
(7)
(8)
Теперь из уравнений (7) и ( 8) исключаем 𝑥2 . Для этого уравнение (6)
4
7
умножаем на (− ) и прибавляем к уравнению (7) , затем умножаем на (− )
5
5
и прибавляем к уравнению (8) :
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 6
−5𝑥2 − 8𝑥3 + 𝑥4 = −4
−3,6𝑥3 + 7,2𝑥4 = −10,8
7,2 𝑥3 + 3,6𝑥4 = −14,4
(9)
(10)
(11)
(12)
Наконец, исключаем 𝑥3 из уравнени (12) , прибавляя к нему уравнение
(11), умноженное на 2:
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 6
−5𝑥2 − 8𝑥3 + 𝑥4 = −4
{
−3,6𝑥3 + 7,2𝑥4 = −10,8
18𝑥4 = −36
(13)
(14)
(15)
(16)
В результате мы получили систему ступенчатого вида:
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 2𝑥4 = 6
−5𝑥2 − 8𝑥3 + 𝑥4 = −4
{
−𝑥3 + 2𝑥4 = −3
𝑥4 = −2
которую легко решить, подставляя в каждое уравнение результат решения
всех уравнений, расположенных под ним:
𝑥4 = −2
𝑥3 = 3 + 2 ∙ (−2) = −1
4 − 2 − 8 ∙ (−1)
𝑥2 =
=2
5
{ 𝑥1 = 6 + 2 ∙ (−2) − 3 ∙ (−1) − 2 ∙ 2 = 1
Ответ: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = −1, 𝑥4 = −2
8
Заключение.
Работа над этой темой была очень интересной. В процессе
работы я узнала много нового, научилась пользоваться научной
литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения,
выделять главное. Я повторила все три способа решения систем
линейных уравнений и нашла способ, который не изучается в рамках
программы 7-го класса по алгебре, разобралась в его сути и сама
попробовала решить несколько систем методом Гаусса. Теперь я
знаю ещё один способ решения систем линейных уравнений (метод
Гаусса), знаю какой путь решения систем линейных уравнений
наиболее простой и быстрый, и ещё в своей работе я изучила
некоторые новые теоретические вопросы.
Тема решения систем линейных уравнений предлагается на
выпускных экзаменах, на вступительных экзаменах в различные
математические вузы, поэтому умение их решать очень важно.
Свою исследовательскую работу по теме «Методы решения
систем уравнений» я собираюсь продолжить в старших классах.
9
Литература:
1. Гусев, В. А., Мордкович, А. Г. Математика: справочные материалы[Текст] :
книга для учащихся / В. А. Гусев , А. Г. Мордкович – М.: Просвещение,
1988.- 416 с.
2. Мордкович, А. Г. Алгебра .7 класс . В 2 ч. Ч. 1. [Текст]: Учебник для
учащихся общеобразовательных учреждений. / А. Г. Мордкович и др. –
М.:Мнемозина, 2009. – 160 с.
3. Энциклопедический словарь юного математика. [Текст]/ Сост.А. П.Савин.–
М.: Педагогика,1985. – 352 с.
10
