ЛЕКЦИЯ. Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение трех векторов.

ЛЕКЦИЯ 6. Смешанное произведение векторов. Двойное
векторное произведение трех векторов.
1. Смешанное произведение трех векторов.
2. Выражение смешанного произведения в декартовых
координатах.
3. Двойное векторное произведение.
Смешанное произведение трех векторов.
Пусть даны три произвольных вектора а,b и с. Если вектор а
векторно умножается на вектор b, а затем получившийся при этом
вектор [аb] скалярно умножается на вектор с, то в результате
получается
число
[аb]
с,
называемое
смешанным
произведением векторов а, b и с.
Геометрический смысл смешанного произведения поясняет
следующая теорема.
Теорема 2.16. Смешанное произведение [аb] с равно объему
параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах
а, b и с, взятому со знаком плюс, если тройка аbс правая, и со знаком
минус, если тройка аbс левая. Если же векторы а, b и с компланарны, то
[аb]с равно нулю.
Доказательство. Прежде всего, исключим тривиальный случай,
когда векторы а и b коллинеарны (ибо среди трех некомпланарных
векторов не может быть двух коллинеарных векторов). В этом случае
векторы а, b и с компланарны), и нам требуется доказать, что смешанное
произведение [аb]с равно нулю. Но последнее очевидно, ибо векторное
произведение [аb] двух коллинеарных векторов а и b равно нулю.
Остается рассмотреть случай, когда векторы а и b не коллинеарны.
Обозначим через S площадь параллелограмма, построенного на
приведенных к общему началу векторах a и b, а через е — орт векторного
произведения [аb].
Тогда, как доказано в предыдущем пункте, справедлива формула
(2.39). С помощью этой формулы и формулы (2.31) для скалярного
произведения получим
[аb] с= (Se) с = S(ес) = S|е| ∙ прe с = S ∙ прe с.
Сначала предположим, что векторы а, b
и с не компланарны. Тогда прeс с точностью до
знака равна высоте h параллелепипеда,
построенного на приведенных к общему
началу векторах а, b и с, при условии, что
основанием
служит
параллелограмм,
построенный на векторах а и b (рис. 2.18).
(2.41)
Таким образом, с точностью до знакаправая часть (2.41) равна
объему V построенного на векторах а, b и с параллелепипеда. Остается
уточнить знак.
Очевидно, что прe c= + h, если векторы
е и с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами а
и b, и прe c= - h, если векторы е и с лежат по разные стороны от указанной
плоскости. Но это означает, что прe c= + h, если тройки аbс и аbе одной
ориентации, и прe c= - h, если указанные тройки противоположной
ориентации. Так как по определению векторного произведения тройка аbе
является правой (см. конец предыдущего пункта), то
+ℎ, если а𝐛с − правая тройка,
пре с = {
−ℎ, если а𝐛с − левая тройка.
Для завершения доказательства теоремы достаточно вставить это
значение прес в правую часть (2.41).
В случае, когда векторы а, b и с компланарны, вектор с лежит в
плоскости, определяемой векторами а и b, откуда следует, что прec =0, и
по формуле (2.41) [аb] с =0. Теорема полностью доказана.
Следствие 1. Справедливо равенство [аb]с=a[bc].
В самом деле, из переместительного свойства скалярного
произведения вытекает, что а [bс] = [bc] а, и достаточно доказать, что
[аb]с=[bc]а. С точностью до знака, последнее равенство очевидно, ибо
как правая, так и левая его части с точностью до знака равны объему
параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с. Но и знаки правой и
левой частей последнего равенства совпадают, ибо обе тройки аbс и bса
относятся к группе троек (2.36) и имеют одинаковую ориентацию (см. п.1).
Доказанное равенство [аb]с=а[bc] позволяет записывать смешанное
произведение трех векторов а, b и с просто в виде аbс, не указывая при
этом, какие именно два вектора (первые два или последние два)
перемножаются векторно.
Следствие
2.
Необходимым
и
достаточным
условием
компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного
произведения.
В самом деле, компланарность векторов в силу теоремы 2.16 влечет
равенство нулю их смешанного произведения. Обратное вытекает из того,
что для некомпланарных векторов смешанное произведение (в силу той же
теоремы) равно отличному от нуля объему параллелепипеда.
Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из
которых совпадают, равно нулю.
В самом деле, такие три вектора заведомо компланарны.
Выражение смешанного произведения
в декартовых координатах.
Теорема 2.18. Если три вектора а, b и с определены своими
декартовыми прямоугольными координатами
а = {𝑋1 , 𝑌1 , 𝑍1 }, 𝑏 = {𝑋2 , 𝑌2 , 𝑍2 }, с = {𝑋3 , 𝑌3 , 𝑍3 },
то смешанное произведение аbс равняется определителю, строки
которого соответственно равны координатам перемножаемых
векторов, т.е.
𝑋1 𝑌1 𝑍1
[𝒂𝒃𝒄] = |𝑋2 𝑌2 𝑍2 |
(2.47)
𝑋3 𝑌3 𝑍3
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как смешанное произведение аbс равно
скалярному произведению векторов [аb] и с и поскольку координаты
вектора [аb] определяются формулой (2.45), а координаты с равны
{𝑋3 , 𝑌3 , 𝑍3 }, то в силу выражения (2.33) для скалярного произведения
векторов в координатах получим
аbс =X3(Y1Z2 – Y2Z1) + Y3(X2Z1 – X1Z2) + Z3(X1Y2 – X2Y1).
Если воспользоваться выражением для определителя второго
порядка и символом такого определителя, то последнее выражение можно
переписать в виде
𝑌
𝒂𝒃𝒄 = 𝑋3 | 1
𝑌2
𝑍1
𝑋
| − 𝑌3 | 1
𝑍2
𝑋2
𝑍1
𝑋
| + 𝑍3 | 1
𝑍2
𝑋2
𝑌1
|.
𝑌2
(2.48)
Формулы (2.47) и (2.48) эквивалентны, ибо при разложении
определителя, стоящего в правой части (2.47), по третьей строке
получается выражение, стоящее в правой части (2.48) '). Теорема доказана.
Следствие.
Необходимым
и
достаточным
условием
компланарности трех векторов а = {𝑋1 , 𝑌1 , 𝑍1 }, 𝒃 = {𝑋2 , 𝑌2 , 𝑍2 } и с =
{𝑋3 , 𝑌3 , 𝑍3 } является равенство нулю определителя, строками которого
служат координаты этих векторов, т.е. равенство
𝑋1 𝑌1 𝑍1
|𝑋2 𝑌2 𝑍2 | = 0.
𝑋3 𝑌3 𝑍3
В самом деле, достаточно привлечь следствие 2 из теоремы 2.16 и
воспользоваться формулой (2.47).
Двойное векторное произведение.
Пусть даны три произвольных вектора а, b и с. Если вектор b
векторно умножается на вектор с, а вектор а также векторно
умножается на векторное произведение [bc], то получающийся при этом
вектор
[а[bc]]
называется
двойным
векторным
произведением.
Теорема 2.19. Для любых векторов а, b и с справедлива формула
[а [bс]] =b (ас) - с (аb).
(2.49)
Доказательство. Рассмотрим отдельнодва случая: 1) векторы b и с
коллинеарны; 2) векторы b и с не коллинеарны.
В первом случае обозначим через с0 орт вектора с и учтем, что
с = |с| ∙ с0, b= ± b| ∙ с0, где знак плюс берется для случая, когда векторы b и
с одинаково направлены, а знак минус — для случая, когда b и с
противоположно направлены. С помощью этих формул для с и b получим,
что b(ас) — с (аb) =0 , т.е. правая часть (2.49) равна нулю. Но и левая часть
(2.49) равна нулю, ибо векторное произведение [bс] двух коллинеарных
векторов равно нулю. Для первого случая теорема доказана.
Переходим к доказательству теоремы для случая, когда векторы b и с
не коллинеарны. Так как вектор [а [bc]] ортогонален вектору [bc], а
последний ортогонален плоскости, определяемой векторами b и с, то
векторы [а [bc]], b и с компланарны, а поэтому (в силу следствия 1 из
теоремы 2.5) вектор [а[bc]] можно разложить по двум неколлинеарным
векторам b и с как по базису, т.е. найдутся вещественные числа 𝛼 и 𝛽
такие, что
[а [bс]] = 𝜶b + 𝜷с.
(2.50)
Остается доказать, что 𝜶 =ас, 𝜷 =-аb. Докажем, например, что 𝜶 = ас.
Воспользуемся теоремой 2.15. Для этого обозначим буквой 𝜋 плоскость,
определяемую векторами b и с, буквой е — единичный вектор, лежащий в
𝜋 и ортогональный к с, буквой g — единичный вектор, ортогональный
плоскости 𝜋 и такой, что тройка есg является правой. По теореме 2.15
[bс] = прe b∙ |c]. g.
(2.51)
Если со — орт вектора с, то правая тройка есоg образует декартов
прямоугольный базис. Разложим вектор а по этому базису, учитывая, что
координаты равны проекциям вектора а на базисные векторы:
а = е ∙ пр𝑒 а + с𝟎 ∙ пр𝑐 а + 𝒈 ∙ пр𝑔 а.
(2.52)
Умножая векторно (2.52) на (2.51) и учитывая, что [еg] =-с0, [с0g] =е,
[gg] =0 (сравните с формулами (2.46)), получим
[а [𝑏𝑐]] = −с0 ∙ пр𝑒 а ∙ пр𝑒 𝑏 ∙ |с| + е ∙ пр𝑐 а ∙ пр𝑒 𝑏 ∙ |с|.
(2.53)
Сравнивая формулы (2.50) и (2.53), будем иметь
𝛼𝑏 + 𝛽с = −с0 ∙ пр𝑒 а ∙ пр𝑒 𝑏 ∙ |с| + е ∙ пр𝑐 а ∙ пр𝑒 𝑏 ∙ |𝑐|.
(2.54)
Остается умножить обе части (2.54) скалярно на е и учесть, что bе =
пр𝑒 b, с0е =0, ее = 1. Окончательно получим
𝜶 ∙ пр 𝑒 𝒃 = пр𝑐 а ∙ пр𝑒 𝒃 ∙ |с| или 𝛼 = |с| ∙ пр𝑐 а = ас.
Для доказательства равенства 𝛽 = −а𝑏 следует в проведенных
рассуждениях поменять ролями векторы с и b и учесть, что
[а [сb] = -[а [bc]. Теорема доказана.