Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а 0, то существует
advertisement
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Геометрия 9 класс Учитель математики и информатики Попова Елена Анатольевна Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а 0, то существует такое число k, что b = ka b Доказательство: b 1) a b . Возьмём число k a ; т.к. k 0, ka a то векторы k a и b сонаправлены. Кроме того их длины равны k a k a b a Поэтому b ka a b. b a ka b 2) a b .Возьмём число k , т.к. k 0, то векторы a k a и b снова сонаправлены. Их длины также равны ka k a b a a b Поэтому b k a Пусть а и b – данные вектора. Вектор p=ха + уb , х и у – некоторые числа ,то говорят р разложен по векторам а и b . х и у – коэффициенты разложения. y b p a j 0 i x Теорема: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство: Пусть а и b - неколлинеарные векторы. Докажем , что любой вектор р можно разложить по векторам а и b. 1. Пусть р коллинеарен b . Тогда р = уb , где у – некоторое число р = 0· а + у·b ,т.е. р разложен по векторам а иb. Координаты вектора p x; y y р j 0 i p x i y j В А x y a 7 i 3 j a 7; 3 a j 0 i x y a 4 i2 j a a 4; 2 a j 0 i x y a 4 i 3 j a j 0 i a x a 4; 3 10. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. а+b=(х1+х2)i + (у1+у2)j 20. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. а-b=(х1-х2)i + (у1-у2)j 30. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. ка =кхi +куj
