Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а 0, то существует

реклама
Разложение вектора
по двум
неколлинеарным
векторам
Геометрия 9 класс
Учитель математики и информатики
Попова Елена Анатольевна
Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и
а  0, то существует такое число k, что

b = ka
b

Доказательство:


b

1) a  b . Возьмём число k 

a
; т.к. k  0,
ka
a
то векторы


k a и b сонаправлены. Кроме



того их длины равны k a  k  a 
b

a
Поэтому


b  ka



a  b.

b

a

ka


b

2) a  b .Возьмём число k  

, т.к. k  0, то векторы
a


k a и b снова сонаправлены. Их длины также равны



ka  k a 
b

a




 a  b Поэтому b  k a
Пусть а и b – данные вектора. Вектор p=ха + уb ,
х и у – некоторые числа ,то говорят р разложен по
векторам а и b . х и у – коэффициенты разложения.
y

b

p


a
j
0

i
x
Теорема: Любой вектор
можно разложить по двум
данным неколлинеарным
векторам, причём
коэффициенты разложения
определяются единственным
образом.
Доказательство: Пусть а и b - неколлинеарные
векторы. Докажем , что любой вектор р можно
разложить по векторам а и b.
1. Пусть р коллинеарен b .
Тогда р = уb , где у – некоторое число
р = 0· а + у·b ,т.е. р разложен по векторам
а иb.
Координаты вектора

p x; y 
y

р

j
0

i

p  x i  y j

В

А
x
y



a  7 i 3 j

a 7; 3

a
j
0
i
x
y



a 4 i2 j

a

a 4; 2

a
j
0
i
x
y



a  4 i 3 j
a
j
0
i

a

x

a 4;  3
10. Каждая координата суммы двух
или более векторов равна сумме
соответствующих координат этих
векторов. а+b=(х1+х2)i + (у1+у2)j
20. Каждая координата разности двух
векторов равна разности
соответствующих координат этих
векторов. а-b=(х1-х2)i + (у1-у2)j
30. Каждая координата произведения
вектора на число равна произведению
соответствующей координаты вектора
на это число. ка =кхi +куj
Скачать