Произведения векторов

Произведения
векторов
1
Скалярное произведение
• Скалярным произведение векторов a ⋅ b называется
число, которое вычисляется по формуле
a ⋅ b = a b cos ϕ .
• Свойства скалярного произведения
• 1. a ⋅ b = a прa b = b прb a 2. a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b .
• 3.
a = a ×a
4.
a⋅b = b ⋅a
• 5. (a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
• 6.
(λ a ) ⋅ b = λ (a ⋅ b )
2
Вычисление скалярного произведение
• Теорема. Пусть
a = a x i + a y j + az k , b = bx i + by j + bz k.
• Тогда
a ⋅ b = a x bx + a y by + a y bz .
• Следствие.
a = a x 2 + a y 2 + az 2
cosϕ =
a x bx + a y b y + a y bz .
a x 2 + a y 2 + a z 2 bx 2 + b y 2 + bz 2
.
3
Векторное произведение
a, b, c
• Тройка некомпланарных векторов
называется правой тройкой, если смотреть с конца
вектора a и вращать вектор b
к вектору c ,
то вращение будет происходить против часовой
стрелки.
•
Векторным произведением векторов a × b
называется
вектор перпендикулярный
векторам a
и b
, длина которого равна a × b = a b sin ϕ .
Направление вектора a × b выбирается так, что
векторы a × b , a , b образуют правую тройку.
4
a×b
b
S = a ×b
a
5
Векторное и смешанное
произведения
6
Свойства векторного произведения
a × b = −[b × a ]
• 1.
• 2 .Если векторыa и b отличны от нулевого
вектора, то a × b = 0 тогда и только тогда, когда
векторы a
и b
коллинеарны.
• 3.
a × (b + c ) = a × b + a × c
• 4.
(λ a ) × b = a × (λ b ) = λ[a × b ]
7
Вычисление векторного произведения
a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + by j + bz k
• Если
и
векторы i , j , k образуют правую тройку, то
справедлива формула i
j k
a × b = a x a y az
bx
by
bz
• где "обобщённый определитель" третьего порядка
понимается по правилу разложения по первой
строке.
8
Векторное произведение ортов
• Из определения и свойств получаем
i × j = k,
i × i = 0,
i × k = − j, j × k = i ,
j × j = 0, k × k = 0.
z
k
i
j
y
x
9
Пример. Вычисление площади треугольника.
• Вычислить площадь треугольника
∆ABC , A(1;0;0), B (2;1;1), C (1, 0,1).
B
C
C
A
10
Смешанное (векторно-скалярное)
произведение
• Смешанным произведением
a b c векторов
называется число равное скалярному
произведению
векторного произведения a × b и вектора c ,
a b c = [a × b ] ⋅ c .
11
Геометрическое истолкование
смешанного произведения
• Теорема. Смешанное произведение трёх
некомпланарных векторов по абсолютной величине
равно объёму параллелепипеда, построенного на
этих векторах.
a×b
ϕ
c
b
a
12
Следствие. Знак смешанного произведения
• Если векторы a , b , c
образуют правую тройку, то
смешанное произведение положительно, если –
левую, то отрицательно. Если векторы компланарны,
то смешанное произведение равно нулю.
a ×b
b
a
×
b
ϕ
b
a
c
c
a
13
Вычисление смешанного произведения
• Теорема. Если
a = a x i + a y j + az k , b = bx i + by j + bz k , c = c x i + c y j + cz k
• и векторы i , j , k
образуют правую тройку, то
справедлива формула
ax
a b c = bx
cx
ay
az
by
cy
bz
cz
14
Следствия
• Справедливы равенства
[a × b ] ⋅ c = a b c = ca b = bca = [b × c ] ⋅ a = a ⋅ [b × c ] .
• Смешанное произведение линейно относительно
любого сомножителя. Например, для первого
сомножителя справедливы равенства
(a1 + a2 ) b c = a1 b c + a2 b c ,
(λ a ) b c = λ (a b c ).
15